Termodinamika va statistik fizika

Ko'rsatmalar va nazorat vazifalari masofaviy ta'lim talabalari uchun

Shelkunova Z.V., Saneev E.L.

Masofaviy ta’lim muhandislik-texnologiya mutaxassisliklari talabalari uchun uslubiy ko‘rsatmalar va nazorat topshiriqlari. Ularda “Statistik fizika”, “Termodinamika” dasturlari bo‘limlari, tipik masalalarni yechish misollari va nazorat topshiriqlari variantlari mavjud.

Kalit so‘zlar: Ichki energiya, issiqlik, ish; izoproseslar, entropiya: taqsimot funktsiyalari: Maksvell, Boltsman, Bose - Eynshteyn; Fermi - Dirac; Fermi energiyasi, issiqlik sig'imi, Eynshteyn va Debay uchun xarakterli harorat.

Muharrir T.Yu.Artyunina

Chop etish uchun tayyorlangan d.Format 6080 1/16

R.l. ; uch.-ed.l. 3,0; Murojaat ____ nusxa. Buyurtma raqami.

___________________________________________________

RIO ESGTU, Ulan-Ude, Klyuchevskaya, 40a

ESGTU rotaprintida chop etilgan, Ulan-Ude,

Klyuchevskaya, 42 yosh.

Federal ta'lim agentligi

Sharqiy Sibir davlati

Texnologiya universiteti

FIZIKA №4

(Termodinamika va statistik fizika)

Uslubiy ko'rsatmalar va nazorat vazifalari

masofaviy ta'lim talabalari uchun

Tuzuvchi: Shelkunova Z.V.

Saneev E.L.

ESGTU nashriyoti

Ulan-Ude, 2009 yil

Statistik fizika va termodinamika

1-mavzu

Fizikadagi dinamik va statistik qonunlar. Termodinamik va statistik usullar. Molekulyar-kinetik nazariyaning elementlari. makroskopik holat. Fizik kattaliklar va fizik tizimlarning holatlari. Makroskopik parametrlar o'rtacha qiymatlar sifatida. Termal muvozanat. Ideal gaz modeli. Ideal gaz uchun holat tenglamasi. Harorat haqida tushuncha.

Mavzu 2

uzatish hodisalari. Diffuziya. Issiqlik o'tkazuvchanligi. diffuziya koeffitsienti. Issiqlik o'tkazuvchanlik koeffitsienti. termal diffuziya. Gazlar, suyuqliklar va qattiq moddalardagi diffuziya. Yopishqoqlik. Gazlar va suyuqliklarning yopishqoqlik koeffitsienti.

Mavzu 3

Termodinamikaning elementlari. Termodinamikaning birinchi qonuni. Ichki energiya. Intensiv va keng ko'lamli parametrlar.

Mavzu 4

Qaytariladigan va qaytarilmas jarayonlar. Entropiya. Termodinamikaning ikkinchi qonuni. Termodinamik potensiallar va muvozanat sharoitlari. kimyoviy potentsial. Kimyoviy muvozanat shartlari. Karno sikli.

Mavzu 5

tarqatish funktsiyalari. mikroskopik ko'rsatkichlar. Ehtimollik va tebranishlar. Maksvell taqsimoti. O'rta kinetik energiya zarralar. Boltsmann taqsimoti. Ko'p atomli gazlarning issiqlik sig'imi. Issiqlik sig'imining klassik nazariyasini cheklash.

Mavzu 6

Gibbs taqsimoti. Termostatdagi tizim modeli. Gibbsning kanonik taqsimoti. Termodinamik potensiallar va haroratning statistik ma'nosi. Erkin energiyaning roli.

Mavzu 7

O'zgaruvchan zarrachalar soniga ega tizim uchun Gibbs taqsimoti. Entropiya va ehtimollik. Mikroholatning statistik og'irligi orqali muvozanat tizimining entropiyasini aniqlash.

Mavzu 8

Bose va Fermi taqsimot funksiyalari. Vaznsiz termal nurlanish uchun Plank formulasi. Tabiatdagi tartib va ​​tartibsizlik. Entropiya xaosning miqdoriy o'lchovi sifatida. Entropiyani oshirish printsipi. Tartibdan tartibsizlikka o'tish issiqlik muvozanatining holati haqida.

Mavzu 9

Kristallarning tebranish spektrini o'rganishning eksperimental usullari. Fononlar haqida tushuncha. Akustik va optik fononlar uchun dispersiya qonunlari. Past va yuqori haroratlarda kristallarning issiqlik sig'imi. Elektron issiqlik sig'imi va issiqlik o'tkazuvchanligi.

10-mavzu

Kristallardagi elektronlar. Kuchli va kuchsiz bog'lanishning yaqinlashishi. Erkin elektronlar modeli. Fermi darajasi. Kristallarning tarmoqli nazariyasi elementlari. Bloch funktsiyasi. Elektronlarning energiya spektrining tarmoqli tuzilishi.

11-mavzu

Fermi yuzasi. Banddagi elektron holatlar sonining soni va zichligi. Zona plombalari: metallar, dielektriklar va yarimo'tkazgichlar. Yarimo'tkazgichlarning elektr o'tkazuvchanligi. Teshik o'tkazuvchanligi haqida tushuncha. Ichki va tashqi yarimo'tkazgichlar. tushunchasi p-n birikmasi. Transistor.

12-mavzu

Metalllarning elektr o'tkazuvchanligi. Metalllardagi oqim tashuvchilar. Klassik elektron nazariyasining etarli emasligi. Metalldagi elektron Fermi gazi. Kvazizarralar sifatida joriy tashuvchilar. Supero'tkazuvchanlik hodisasi. Elektronlarning kuper juftligi. tunnel aloqasi. Jozefson effekti va uning qo'llanilishi. Tutib olish va kvantlash magnit oqimi. Yuqori harorat o'tkazuvchanligi haqida tushuncha.

STATISTIK FIZIKA. TERMODİNAMIKA

Asosiy formulalar

1. Bir hil gaz moddasining miqdori (mollarda):

qayerda N-gaz molekulalari soni; N A- Avogadro raqami; m- gaz massasi;  - gazning molyar massasi.

Agar tizim bir nechta gazlarning aralashmasi bo'lsa, u holda tizimdagi moddaning miqdori

,

,

qayerda i , N i , m i , i - mos ravishda moddaning miqdori, molekulalar soni, massasi, molyar massa i aralashmaning th komponenti.

2. Klapeyron-Mendeleyev tenglamasi (ideal gaz holat tenglamasi):

qayerda m- gaz massasi; - molyar massa; R- universal gaz doimiysi; = m/ - moddaning miqdori; T Kelvindagi termodinamik harorat.

3. Izoprotsesslar uchun Klapeyron-Mendeleyev tenglamasining maxsus holatlari bo‘lgan eksperimental gaz qonunlari:

    Boyl-Mariot qonuni

(izotermik jarayon - T= const; m=const):

yoki ikkita gaz holati uchun:

qayerda p 1 va V 1 - gazning dastlabki holatidagi bosimi va hajmi; p 2 va V 2

    Gey-Lyussak qonuni (izobarik jarayon - p=const, m=const):

yoki ikki davlat uchun:

qayerda V 1 va T 1 - gazning dastlabki holatidagi hajmi va harorati; V 2 va T 2 - yakuniy holatda bir xil qiymatlar;

    Charlz qonuni (izoxorik jarayon - V=const, m=const):

yoki ikki davlat uchun:

qayerda R 1 va T 1 - gazning dastlabki holatidagi bosimi va harorati; R 2 va T 2 - yakuniy holatda bir xil qiymatlar;

    birlashtirilgan gaz qonuni (m=const):

qayerda R 1 , V 1 , T 1 - gazning dastlabki holatidagi bosimi, hajmi va harorati; R 2 , V 2 , T 2 yakuniy holatda bir xil qiymatlardir.

4. Gazlar aralashmasining bosimini aniqlovchi Dalton qonuni:

p = p 1 + p 2 + ... +s n

qayerda p i - qisman bosimlar aralashmaning tarkibiy qismi; n- aralashmaning tarkibiy qismlari soni.

5. Gazlar aralashmasining molyar massasi:

qayerda m i- vazn i-aralashmaning uchinchi komponenti; i = m i / i- moddaning miqdori i-aralashmaning uchinchi komponenti; n- aralashmaning tarkibiy qismlari soni.

6. Massa ulushi  i i-gaz aralashmasining uchinchi komponenti (birlik yoki foizda):

qayerda m aralashmaning massasi hisoblanadi.

7. Molekulalarning kontsentratsiyasi (hajm birligiga to'g'ri keladigan molekulalar soni):

qayerda N-tizim tarkibidagi molekulalar soni;  - moddaning zichligi. Formula nafaqat gazlar uchun, balki moddalarning har qanday agregatsiya holati uchun ham amal qiladi.

8. Asosiy tenglama kinetik nazariya gazlar:


,

qayerda<>- molekulaning translatsiya harakatining o'rtacha kinetik energiyasi.

9. Molekulaning translatsiya harakatining o‘rtacha kinetik energiyasi:


,

qayerda k Boltsman doimiysi.

10. Molekulaning o‘rtacha umumiy kinetik energiyasi:

qayerda i- molekulaning erkinlik darajalari soni.

11. Gaz bosimining molekulalar konsentratsiyasi va haroratga bog'liqligi:

p = nkT.

12. Molekulalarning tezligi:

ildiz o'rtacha kvadrat ;

arifmetik o'rtacha ;

katta ehtimol bilan ,

qayerda m i bir molekulaning massasi.

13. Molekulaning nisbiy tezligi:

u = v/v ichida ,

qayerda v bu molekulaning tezligi.

14. Doimiy hajmdagi gazning solishtirma issiqlik sig'imlari (s v) va da doimiy bosim (Bilan R):

15. Maxsus ( o'rtasidagi munosabat Bilan) va molyar ( FROM) issiqlik sig'imlari:

; C=c .

16. Robert Mayer tenglamasi:

C p -C v = R.

17. Ideal gazning ichki energiyasi:

18. Termodinamikaning birinchi qonuni:

qayerda Q- tizimga (gaz) etkazilgan issiqlik; dU- tizimning ichki energiyasining o'zgarishi; LEKIN tizimning tashqi kuchlarga qarshi bajargan ishidir.

19. Gazni kengaytirish ishlari:

umuman ;

izobarik jarayonda ;

izotermik jarayon ;

adiabatik jarayonda ,

yoki ,

adiabatik ko'rsatkich qayerda.

20. Adiabatik jarayonda ideal gazning parametrlarini bog‘lovchi Puasson tenglamalari:

;

21. Issiqlik samaradorligi tsikl.

elektronlar va boshqalar), bu zarralarning xususiyatlari va ular orasidagi o'zaro ta'sir orqali.

Fizikaning boshqa sohalari ham makroskopik jismlarni o'rganmoqda - termodinamika , Mexanika doimiy ommaviy axborot vositalari, uzluksiz muhitning elektrodinamiği. Biroq, ushbu fanlarning usullari bilan aniq muammolarni hal qilishda, tegishli tenglamalar har doim ma'lum bir jismni tavsiflovchi noma'lum parametrlarni yoki funktsiyalarni o'z ichiga oladi. Demak, gidrodinamika masalalarini yechish uchun suyuqlik yoki gazning holat tenglamasini, ya'ni zichlikning harorat va bosimga bog'liqligini, suyuqlikning issiqlik sig'imi, uning yopishqoqlik koeffitsienti va boshqalarni bilish kerak. Ushbu bog'liqliklar va parametrlarning barchasi, albatta, eksperimental tarzda aniqlanishi mumkin, shuning uchun ko'rib chiqilayotgan usullar fenomenologik deb ataladi. Statistik fizika, hech bo'lmaganda printsipial jihatdan va ko'p hollarda, agar molekulalar orasidagi o'zaro ta'sir kuchlari ma'lum bo'lsa, bu barcha miqdorlarni hisoblash imkonini beradi. Bu., statistik fizika jismlarning "mikroskopik" tuzilishi haqidagi ma'lumotlardan foydalanadi - ular qanday zarralardan iboratligi, bu zarralarning o'zaro ta'siri, shuning uchun u mikroskopik nazariya deb ataladi.

Agar vaqtning qaysidir nuqtasida tananing barcha zarrachalarining koordinatalari va tezligi berilgan bo'lsa va ularning o'zaro ta'sir qilish qonuni ma'lum bo'lsa, u holda mexanika tenglamalarini yechish orqali ushbu koordinata va tezliklarni istalgan keyingi nuqtada topish mumkin bo'ladi. o'z vaqtida va shu bilan o'rganilayotgan tananing holatini to'liq aniqlang. (Oddiylik uchun taqdimot klassik mexanika tilida amalga oshiriladi. Lekin hatto kvant mexanikasi vaziyat bir xil: boshlang'ichni bilish to'lqin funktsiyasi tizimlar va zarrachalarning o'zaro ta'sir qonunini hal qilish orqali mumkin Shredinger tenglamasi , vaqtning barcha kelajakdagi momentlarida tizimning holatini aniqlaydigan to'lqin funksiyasini toping.) Biroq, mikroskopik nazariyani qurishning bunday usuli mumkin emas, chunki makroskopik jismlardagi zarrachalar soni juda katta. Masalan, 1-da sm 3 0 °C haroratda va 1 bosimdagi gaz atm taxminan 2,7 × 10 19 molekula o'z ichiga oladi. Bunday sonli tenglamalarni yechish mumkin emas va barcha molekulalarning dastlabki koordinatalari va tezligi haligacha noma’lum.

Biroq, u katta raqam makroskopik jismlardagi zarralar bunday jismlarning xatti-harakatlarida yangi - statistik - qonuniyatlarning paydo bo'lishiga olib keladi. Keng diapazondagi bunday xatti-harakatlar aniq boshlang'ich sharoitlarga - dastlabki koordinatalar va zarracha tezligining aniq qiymatlariga bog'liq emas. Bu mustaqillikning eng muhim ko'rinishi tajribadan ma'lumki, o'z-o'zidan qolgan, ya'ni tashqi ta'sirlardan ajratilgan tizim oxir-oqibat qandaydir muvozanat holatiga (termodinamik yoki statistik muvozanat) keladi, uning xossalari faqat shu bilan belgilanadi. shunday umumiy xususiyatlar boshlang'ich holati, zarrachalar soni, ularning umumiy energiyasi va boshqalar. (sm. Termodinamik muvozanat ). Keyinchalik, biz asosan e'tiborni qaratamiz statistik fizika muvozanat holatlari.

Statistik qonuniyatlarni tavsiflovchi nazariyani shakllantirishdan oldin, nazariyaga qo'yiladigan talablarni asosli ravishda cheklash kerak. Ya'ni, nazariyaning vazifasi makroskopik jismlar uchun turli jismoniy miqdorlarning aniq qiymatlarini emas, balki vaqt o'tishi bilan bu miqdorlarning o'rtacha qiymatlarini hisoblashdan iborat bo'lishi kerak. Masalan, gazda ajratilgan etarlicha katta makroskopik hajmda joylashgan molekulalarni ko'rib chiqaylik. Bunday molekulalarning soni vaqt o'tishi bilan ularning harakati tufayli o'zgaradi va molekulalarning barcha koordinatalari har doim ma'lum bo'lganida aniq topilishi mumkin edi. Biroq, bu kerak emas. Hajmdagi molekulalar sonining o'zgarishi qandaydir o'rtacha qiymatga nisbatan tasodifiy tebranishlar - tebranishlar xarakterida bo'ladi. Hajmdagi ko'p miqdordagi zarrachalar bilan bu tebranishlar zarrachalarning o'rtacha soniga nisbatan kichik bo'ladi, shuning uchun makroskopik holatni tavsiflash uchun ushbu o'rtacha qiymatni aniq bilish kifoya.

Statistik naqshlarning mohiyatini aniqlashtirish uchun yana bir oddiy misolni ko'rib chiqing. Ikki navning ko'p miqdordagi donalari bir idishga joylashtirilsin, har bir nav teng bo'lsin va idishning tarkibi yaxshilab aralashtiriladi. Keyin, kundalik tajribaga asoslanib, hali ham ko'p miqdordagi don bo'lgan idishdan olingan namunada, donalarning tartibidan qat'i nazar, har bir navning taxminan teng miqdordagi donalari topilishiga ishonch hosil qilish mumkin. idishga quyilgan. Ushbu misol statistik nazariyaning qo'llanilishini ta'minlaydigan ikkita muhim holatni aniq ko'rsatadi. Birinchidan, butun "tizim" da - donli idishda ham, tajriba uchun tanlangan "quyi tizimda" ham ko'p miqdordagi donga ehtiyoj bor. (Agar namuna faqat ikkita dondan iborat bo'lsa, u holda ko'pincha ikkalasi ham bir xil bo'ladi.) Ikkinchidan, aralashtirish paytida donalarning harakatining murakkabligi muhim rol o'ynashi, ularning don hajmida bir xil taqsimlanishini ta'minlashi aniq. kema.

tarqatish funktsiyasi. dan tashkil topgan tizimni ko'rib chiqing zarralar, soddalik uchun zarralarning ichki erkinlik darajasi yo'q deb faraz qilsak. Bunday tizim vazifa bilan tavsiflanadi 6 o'zgaruvchilar - 3 koordinatalar qi va 3 impulslar pi, zarralar [bu o'zgaruvchilar to'plami ( R, q)]. Keling, ma'lum bir qiymatning vaqt oralig'ida o'rtacha qiymatni hisoblaylik (p, q), bu koordinatalar va momentlarning funktsiyasidir. Buning uchun intervalni (0, t) ga ajratamiz s teng kichik segmentlar D ta (a = 1,2,....... s). Keyin ta'rif bo'yicha

,

Qayerda q a va p a- vaqti-vaqti bilan koordinatalar va impulslarning qiymatlari ta. Cheklovda s® ¥ yig'indisi integralga tushadi:

(1a)

Agar biz 6-bo'shliqni ko'rib chiqsak, tabiiy ravishda taqsimlash funktsiyasi tushunchasi paydo bo'ladi o'qlarida tizim zarralarining koordinatalari va momentlari qiymatlari chizilgan o'lchovlar; faza fazosi deyiladi. Vaqtning har bir qiymati uchun t hammaning ma'lum qiymatlariga mos keladi q va R, ya'ni tizimning holatini ifodalovchi faza fazosining qaysidir nuqtasi bu daqiqa vaqt t. Keling, butun faza maydonini elementlarga ajratamiz, ularning o'lchamlari tizimning ma'lum bir holatiga xos bo'lgan qiymatlarga nisbatan kichikdir. q va R, lekin baribir shunchalik kattaki, ularning har birida vaqtning turli nuqtalarida tizimning holatini aks ettiruvchi ko'plab nuqtalar mavjud. t. Keyin hajm elementidagi bunday nuqtalar soni ushbu hajmning qiymatiga taxminan proportsional bo'ladi dpdq. Agar proporsionallik koeffitsientini orqali belgilasak sw(p, q), bu bir nuqtada markazlashtirilgan element uchun raqam ( p, q) quyidagicha yoziladi:

da = sw(p, q)dpdq, (2)

Tanlangan fazoviy elementning hajmi. Ushbu hajm elementlarining kichikligini hisobga olgan holda o'rtacha qiymat (1) qayta yozilishi mumkin, ya'ni.

(koordinatalar bo'yicha integratsiya tizimning butun hajmida, momentda -¥ dan ¥ gacha amalga oshiriladi). w( p, q, t) zarracha impuls koordinatalariga nisbatan taqsimot funksiyasi deyiladi. Tanlangan ballarning umumiy soni bo'lgani uchun s, funktsiyasi w normalizatsiya shartini qondiradi:

(4)

(3) va (4) dan w ekanligini ko'rish mumkin dpdq tizimning elementda bo'lish ehtimoli sifatida qaralishi mumkin dpdq faza maydoni. Shu tarzda kiritilgan taqsimot funksiyasiga boshqa talqin berilishi mumkin. Buning uchun biz bir vaqtning o'zida juda ko'p bir xil tizimlarni ko'rib chiqamiz va fazalar fazosining har bir nuqtasi shunday tizimlardan birining holatini ifodalaydi deb faraz qilamiz. Keyin (1)-(1a) dagi o'rtacha vaqtni ushbu tizimlarning umumiyligi yoki ular aytganidek, o'rtacha hisobda tushunish mumkin. statistik ansambl . Shu paytgacha olib borilgan bahs-munozaralar faqat rasmiy xarakterga ega edi (2) ga binoan taqsimot funksiyasini topish hammani bilishni talab qiladi R va q har doim, ya'ni mos keladigan boshlang'ich shartlar bilan harakat tenglamalarining echimlari. Asosiy ta'minot statistik fizika ammo termodinamik muvozanat holatidagi tizim uchun umumiy mulohazalar asosida bu funktsiyani aniqlash imkoniyati haqidagi bayonotdir. Avvalo, harakat paytida tizimlar sonining saqlanishiga asoslanib, taqsimlash funktsiyasi tizim harakatining integrali ekanligini ko'rsatish mumkin, ya'ni agar shunday bo'lsa, doimiy bo'lib qoladi. R va q harakat tenglamalariga ko'ra o'zgaradi (qarang Liuvil teoremasi ). Haydash paytida yopiq tizim uning energiyasi o'zgarmaydi, shuning uchun vaqtning turli nuqtalarida tizimning holatini tasvirlaydigan fazalar bo'shlig'idagi barcha nuqtalar energiyaning boshlang'ich qiymatiga mos keladigan ba'zi "giper sirtda" yotishi kerak. E. Bu sirtning tenglamasi shaklga ega;

Yuqoridagi formulalar quyi tizimdagi zarrachalar soni berilgan holatga tegishli. Agar biz quyi tizim sifatida butun tizimning ma'lum hajmli elementini tanlasak, uning yuzasi orqali zarralar quyi tizimdan chiqib, unga qaytishi mumkin bo'lsa, u holda quyi tizimni energiyaga ega bo'lgan holatda topish ehtimoli. E n va zarrachalar soni n Gibbsning katta kanonik taqsimot formulasi bilan berilgan:

, (9)

Bunda qo'shimcha parametr m kimyoviy potentsial , bu quyi tizimdagi zarrachalarning o'rtacha sonini aniqlaydi va qiymat normalizatsiya holatidan aniqlanadi [qarang. formula (11)].

Termodinamikaning statistik talqini. Eng muhim natija statistik fizika- termodinamik kattaliklarning statistik ma'nosini o'rnatish. Bu asosiy tushunchalardan termodinamika qonunlarini chiqarish imkonini beradi statistik fizika va muayyan tizimlar uchun termodinamik miqdorlarni hisoblash. Birinchidan, termodinamik ichki energiya tizimning o'rtacha energiyasi bilan aniqlanadi. Termodinamikaning birinchi qonuni keyin jismni tashkil etuvchi zarrachalar harakati davomida energiyaning saqlanish qonunining ifodasi sifatida yaqqol talqinni oladi.

Bundan tashqari, tizimning Gamilton funktsiyasi qandaydir l parametriga bog'liq bo'lsin (tizimni o'z ichiga olgan tomir devorining koordinatalari, tashqi maydon va boshqalar). Keyin hosila bo'ladi umumlashgan kuch ushbu parametrga mos keladi va o'rtacha qiymatdan keyin qiymat beradi mexanik ish bu parametr o'zgartirilganda tizimda amalga oshiriladi. Agar ifodani farqlasak l va o'zgaruvchilarni hisobga olgan holda (6) formula va normalizatsiya shartini hisobga olgan holda tizimning o'rtacha energiyasi uchun T va qiymatni hisobga olgan holda bu o'zgaruvchilarning funktsiyasi ham bo'lsa, biz identifikatsiyani olamiz:

.

Yuqoridagilarga ko'ra, o'z ichiga olgan a'zo d l ga teng o'rtacha ish dA tanada bajariladi. Keyin oxirgi muddat tana tomonidan qabul qilingan issiqlikdir. Bu ifodani munosabat bilan solishtirish dE = dA + TdS, bu termodinamikaning birinchi va ikkinchi qonunlarining birlashtirilgan yozuvidir (2-rasmga qarang). Termodinamikaning ikkinchi qonuni ) uchun qaytariladigan jarayonlar , biz buni topamiz T(6) da haqiqatan ham tananing mutlaq haroratiga teng va hosila teskari belgi bilan olinadi. entropiya . Bu shuni anglatadiki u yerda erkin energiya organ, undan uning statistik ma'nosi oydinlashtiriladi.

(8) formuladan kelib chiqadigan entropiyaning statistik talqini alohida ahamiyatga ega. Rasmiy ravishda g energiyaga ega bo'lgan barcha holatlar bo'yicha ushbu formulaga yig'iladi E n, lekin aslida, Gibbs taqsimotidagi energiya tebranishlarining kichikligi sababli, o'rtacha energiyaga yaqin energiyaga ega bo'lgan ularning nisbatan kichik qismigina ahamiyatlidir. Bu muhim holatlarning sonini aniqlash tabiiydir, shuning uchun (8) dagi yig'indini intervalgacha cheklab, E n o'rtacha energiyaga va ko'rsatkichni yig'indi belgisi ostidan chiqarish. Keyin summa beradi va shaklni oladi.

Boshqa tomondan, termodinamikaga ko'ra, =-TS, bu entropiya va ma'lum bir makroskopik holatdagi mikroskopik holatlar soni o'rtasidagi bog'liqlikni beradi, boshqacha qilib aytganda, statistik og'irlik makroskopik holat, ya'ni uning ehtimoli bilan:

Bir haroratda mutlaq nol har qanday tizim ma'lum bir asosiy holatda, shuning uchun = 1, S= 0. Ushbu bayonot ifodalaydi termodinamikaning uchinchi qonuni . Bu erda entropiyaning aniq ta'rifi uchun (8) kvant formulasidan foydalanish zarurligi muhimdir; sof klassik statistikada entropiya faqat ixtiyoriy atamagacha aniqlanadi.

Entropiyaning holat ehtimolining o'lchovi sifatidagi ma'nosi o'zboshimchalik bilan - muvozanatli bo'lishi shart emas - holatlarga nisbatan ham saqlanib qoladi. Muvozanat holatida entropiya berilgan tashqi sharoitda mumkin bo'lgan maksimal qiymatga ega. Bu shuni anglatadiki, muvozanat holati maksimal statistik vaznga ega bo'lgan holat, eng ehtimoliy holat. Tizimning nomutanosiblik holatidan muvozanat holatiga o'tish jarayoni - ehtimolligi kamroq holatlardan ko'proq ehtimoliy holatlarga o'tish jarayoni; bu entropiya ortishi qonunining statistik ma'nosini ochib beradi, unga ko'ra yopiq tizimning entropiyasi faqat ortishi mumkin.

Erkin energiya bilan bog'liq formula (8). bo'linish funktsiyasi bilan termodinamik miqdorlarni usullar bilan hisoblash uchun asos bo'ladi statistik fizika U, xususan, materiyaning elektr va magnit xossalarining statistik nazariyasini yaratish uchun ishlatiladi. Masalan, magnit maydondagi jismning magnit momentini hisoblash uchun bo'linish funktsiyasi va erkin energiyani hisoblash kerak. Magnit moment m tanasi quyidagi formula bilan aniqlanadi:

Qayerda H- tashqi kuchlanish magnit maydon. (8) ga o'xshab, katta kanonik taqsimotda (9) normalizatsiya sharti aniqlanadi termodinamik potentsial formula bo'yicha:

. (11)

Bu potentsial erkin energiya bilan bog'liq:

.

Ilovalar statistik fizika muayyan tizimlarning ma'lum xususiyatlarini o'rganish uchun tizimning o'ziga xos xususiyatlarini hisobga olgan holda, bo'linish funktsiyasini taxminiy hisoblash uchun mo'ljallangan.

Ko'pgina hollarda, bu vazifa issiqlik sig'imini erkinlik darajasida teng taqsimlash qonunini qo'llash orqali soddalashtiriladi. Rezyume(da doimiy hajm v) o'zaro ta'sir qilish tizimlari moddiy nuqtalar- garmonik tebranishlar hosil qiluvchi zarralar teng

c v = k(l/2 + n),

Qayerda l - umumiy soni translatsiya va aylanish erkinlik darajalari, n- tebranish erkinlik darajalari soni. Qonunning isboti Gamiltonning ishlashiga asoslanadi H bunday tizim quyidagicha ko'rinadi: H =(pi) + (q m), bu erda kinetik energiya Kimga ning bir jinsli kvadrat funksiyasidir l + n impulslar pi va potentsial energiya - ning kvadratik funktsiyasi n tebranish koordinatalari q m. Statistik integralda Z(8a) integralning tez yaqinlashishi tufayli tebranish koordinatalari bo'yicha integratsiya - ¥ dan ¥ gacha uzaytirilishi mumkin. O'zgaruvchilarni o'zgartirgandan so'ng, biz buni topamiz Z kabi haroratga bog'liq Tl/2+n, shuning uchun erkin energiya =-kT(l/ 2 +n)(ln T+ const). Bu issiqlik sig'imi uchun yuqoridagi ifodani nazarda tutadi, chunki . Haqiqiy tizimlarda teng bo'linish qonunidan chetga chiqishlar birinchi navbatda kvant tuzatishlari bilan bog'liq, chunki kvantda statistik fizika bu qonun adolatsiz. Tebranishlarning nomutanosibligi bilan bog'liq tuzatishlar ham mavjud.

Ideal gaz. Eng oddiy tadqiqot ob'ekti statistik fizika ideal gaz, ya'ni juda kam uchraydigan gaz bo'lib, uning molekulalari orasidagi o'zaro ta'sirni e'tiborsiz qoldirish mumkin. Bunday gazning termodinamik funktsiyalarini to'liq hisoblash mumkin. Gazning energiyasi shunchaki alohida molekulalarning energiyalarining yig'indisidir. Biroq, bu molekulalarni butunlay mustaqil deb hisoblash uchun hali ham etarli emas. Darhaqiqat, kvant mexanikasida, zarralar o'rtasida o'zaro ta'sir kuchlari bo'lmasa ham, bir xil (bir xil) zarralar, agar ular o'xshash kvant mexanik holatlarida bo'lsa, ularning bir-biriga ma'lum bir ta'siri mavjud. Bu deb ataladigan narsa. almashinuv o'zaro ta'siri . Agar o'rtacha har bir holatda bitta zarrachadan kamroq bo'lsa, uni e'tiborsiz qoldirish mumkin, bu har qanday holatda ham gazning etarlicha yuqori haroratida sodir bo'ladi; bunday gaz degenerativ bo'lmagan deb ataladi. Darhaqiqat, atomlar va molekulalardan tashkil topgan oddiy gazlar barcha haroratlarda degeneratsiyalanmaydi (ular hali ham gazsimon). Degenerativ bo'lmagan ideal gaz uchun tarqatish funktsiyasi alohida molekulalar uchun taqsimlash funktsiyalarining mahsulotiga parchalanadi. intervallarda yotadi dp x, dpy, dpz, va koordinatalari intervallarda dx, dy, dz:

, (12) bilan tashqi maydondagi bir atomli gaz molekulasining energiyasi potentsial energiya (r) ga teng p 2 /2M +(r). Koordinatalar ustida (6) integrallash r(x, y, z) va impulslar R(p x, py, pz) bittadan boshqa barcha molekulalardan molekulalar sonini topishingiz mumkin dN, kimning impulslari

Qayerda d 3 p = dp x dp y dp z, d3x = dxdydz. Ushbu formula Maksvell-Boltzman taqsimoti deb ataladi (2-rasmga qarang). Boltsman statistikasi ). Agar moment bo'yicha (12) integratsiya qilsak, tashqi maydonda, xususan, tortishish maydonida zarrachalarni koordinatalar bo'yicha taqsimlash formulasini olamiz - barometrik formula . Kosmosning har bir nuqtasida tezlik taqsimoti bilan mos keladi Maksvell taqsimoti .

Ideal gazning bo'linish funktsiyasi ham alohida molekulalarga mos keladigan bir xil atamalar mahsulotiga bo'linadi. Monatomik gaz uchun (8) dagi yig'indi koordinatalar va momentlar bo'yicha integrasiyaga kamayadi, ya'ni yig'indisi ustidan integral bilan almashtiriladi. 3 bir zarrachaning faza fazosidagi hujayralar soniga [hajmi bilan] muvofiq. Erkin energiya gaz atomlari teng:

,

Qayerda g- atomning asosiy holatining statistik og'irligi, ya'ni uning pastki holatiga mos keladigan holatlar soni energiya darajasi, . Oxir oqibat, bu entropiya va kvant holatlar soni tushunchasi o'rtasidagi ilgari qayd etilgan bog'liqlik bilan bog'liq.

Ikki atomli va ko'p atomli gazlarda molekulalarning tebranishlari va aylanishi ham termodinamik funktsiyalarga yordam beradi. Bu hissa tebranishlarni kvantlash va molekulaning aylanishi ta'sirining ahamiyatli yoki muhim emasligiga bog'liq. Vibratsiyali energiya darajalari orasidagi masofa tartibli, bu erda w - xarakterli tebranish chastotasi va birinchi aylanish energiya darajalari orasidagi masofa - tartibli. , qayerda - aylanuvchi jismning, bu holda molekulaning inersiya momenti. Klassik statistika, agar harorat etarlicha yuqori bo'lsa, amal qiladi

kT>> D E.

Bunday holda, teng taqsimlash qonuniga muvofiq, aylanish issiqlik quvvatiga doimiy hissa qo'shadi, 1/2 ga teng. k har bir aylanish erkinligi darajasi uchun; xususan, ikki atomli molekulalar uchun bu hissa tengdir k. Tebranishlar issiqlik quvvatiga teng hissa qo'shadi k Har bir tebranish erkinlik darajasi uchun (shuning uchun ikki atomli molekulaning tebranish issiqlik sig'imi k). Tebranish erkinligi darajasining hissasi aylanish bilan solishtirganda ikki baravar katta, chunki tebranish paytida molekuladagi atomlar nafaqat kinetik, balki potentsial energiyaga ham ega. Qarama-qarshi cheklovchi holatda molekulalar o'zlarining er tebranish holatida bo'lib, ularning energiyasi haroratga bog'liq emas, shuning uchun tebranishlar issiqlik sig'imiga umuman hissa qo'shmaydi. Xuddi shu narsa shart ostida molekulalarning aylanishiga ham tegishli . Harorat ko'tarilgach, qo'zg'aluvchan tebranish va aylanish holatida bo'lgan molekulalar paydo bo'ladi va bu erkinlik darajalari issiqlik sig'imiga hissa qo'shishni boshlaydi - go'yo haroratning yanada oshishi bilan klassik chegarasiga intilib, asta-sekin "yoqiladi". Shunday qilib, kvant effektlarini kiritish gazlarning issiqlik sig'imining haroratga eksperimental ravishda kuzatilgan bog'liqligini tushuntirishga imkon berdi. Ko'pgina molekulalar uchun "aylanish kvantini" tavsiflovchi miqdorning qiymatlari bir necha daraja yoki o'nlab darajalarga teng (H 2 uchun 85 K, 2 uchun 2,4 K, H uchun 15 K). Shu bilan birga, "tebranish kvanti" uchun xarakterli qiymatlar minglab darajalarga teng (H 2 uchun 6100 K, O 2 uchun 2700 K, H uchun 4100 K). Shuning uchun aylanish erkinlik darajalari tebranishlarga qaraganda ancha past haroratlarda yoqiladi. Shaklda. 1-rasmda ikki atomli molekula uchun (a) aylanish va (b) tebranish issiqlik sig'imlarining haroratga bog'liqligi ko'rsatilgan (aylanish issiqlik sig'imi turli atomlarning molekulasi uchun tuzilgan).

Noto'g'ri gaz. Muhim yutuq statistik fizika- uning zarralari orasidagi o'zaro ta'sir bilan bog'liq bo'lgan gazning termodinamik miqdorlariga tuzatishlarni hisoblash. Shu nuqtai nazardan qaraganda, ideal gazning holat tenglamasi haqiqiy gaz bosimini zarrachalar sonining zichligi kuchida kengaytirishning birinchi atamasi hisoblanadi, chunki har qanday gaz etarli darajada ideal gaz kabi harakat qiladi. past zichlik. Zichlik ortishi bilan holat tenglamasiga o'zaro ta'sirga bog'liq tuzatishlar rol o'ynay boshlaydi. Ular bosim ifodasida zarrachalar sonining zichligi yuqori bo'lgan atamalarning paydo bo'lishiga olib keladi, shuning uchun bosim so'zda ifodalanadi. shaklning virusli seriyasi:

. (15)

Imkoniyatlar DA, FROM va hokazo. haroratga bog'liq va hosil bo'ladi. ikkinchi, uchinchi va boshqalar. virusli koeffitsientlar. Usullari statistik fizika gaz molekulalari orasidagi o'zaro ta'sir qonuni ma'lum bo'lsa, bu koeffitsientlarni hisoblash imkonini beradi. Shu bilan birga, koeffitsientlar DA, FROM,... ikki, uch va bir vaqtning o'zida o'zaro ta'sirini tasvirlang Ko'proq molekulalar. Misol uchun, agar gaz bir atomli bo'lsa va uning atomlarining o'zaro ta'sirining potentsial energiyasi (r), keyin ikkinchi virus koeffitsienti

Kattalik tartibida DA ga teng, qayerda r0- atomning xarakterli kattaligi yoki, aniqrog'i, atomlararo kuchlarning ta'sir radiusi. Bu shuni anglatadiki, seriya (15) aslida o'lchamsiz parametrning kuchlarini kengaytirishdir № 3 / V, etarlicha kam uchraydigan gaz uchun kichik. Gaz atomlari orasidagi o'zaro ta'sir yaqin masofalarda itarish va uzoqda tortishish xususiyatiga ega. Bu olib keladi DA> 0 da yuqori haroratlar va DA < 0 при низких. Поэтому давление реального газа при высоких температурах ko'proq bosim bir xil zichlikdagi ideal gaz, pastda esa - kamroq. Shunday qilib, masalan, geliy uchun T= 15,3 K omil DA = - 3×10 -23 sm 3, va qachon T= 510 K DA= 1,8 × 10 -23 sm 3. Argon uchun DA = - 7,1×10 -23 sm 3 da T = 180 K va DA= 4,2×10 -23 sm 3 da T= 6000 K. Monatomik gazlar uchun virial koeffitsientlarning qiymatlari, shu jumladan beshinchi koeffitsientlar hisoblab chiqiladi, bu esa gazlarning juda keng diapazondagi zichlikdagi xatti-harakatlarini tavsiflash imkonini beradi (shuningdek, qarang. gazlar ).

Plazma. Maxsus holat ideal bo'lmagan gaz plazma - qisman yoki to'liq ionlangan gaz, shuning uchun unda erkin elektronlar va ionlar mavjud. Etarlicha past zichlikda plazmaning xossalari ideal gaznikiga yaqin. Ideallikdan og'ishlarni hisoblashda elektronlar va ionlar Kulon qonuniga muvofiq elektrostatik o'zaro ta'sir qilishlari muhim ahamiyatga ega. Kulon kuchlari masofa bilan asta-sekin kamayadi va bu termodinamik funktsiyalarga birinchi tuzatishni hisoblash uchun bir vaqtning o'zida ikkita emas, balki ko'p sonli zarralarning o'zaro ta'sirini hisobga olish kerakligiga olib keladi. chunki juftlik o'zaro ta'sirini tavsiflovchi ikkinchi virial koeffitsientdagi (16) integral uzoq masofalarga ajralib turadi. r zarralar orasida. Haqiqatda, Kulon kuchlari ta'sirida plazmadagi ionlar va elektronlarning taqsimlanishi shunday o'zgaradiki, har bir zarrachaning maydoni ekranlanadi, ya'ni Debay radiusi deb ataladigan ma'lum masofada tez kamayadi. Elektronlar va bir zaryadlangan ionlardan tashkil topgan plazmaning eng oddiy holati uchun Debay radiusi rD teng.

STATISTIK FIZIKA- fizikaning bir bo'limi, uning vazifasi makroskopik xususiyatlarni ifodalashdir. jismlar, ya'ni juda ko'p sonli bir xil zarrachalardan (molekulalar, atomlar, elektronlar va boshqalar) tashkil topgan tizimlar, bu zarralarning xususiyatlari va ular orasidagi o'zaro ta'sir orqali.

Shunday qilib, S.da t. jismlarning "mikroskopik" tuzilishi haqidagi ma'lumotlardan foydalaniladi, shuning uchun S. f. mikroskopikdir. nazariya. Bu uning fizikaning boshqa sohalaridan, shuningdek, makroskopiyani o'rganishdan farqi. jismlar: , kontinuumlar mexanikasi va elektrodinamiği. Ushbu fanlarning usullari bilan aniq masalalarni hal qilishda tegishli tenglamalar har doim ma'lum bir jismni tavsiflovchi noma'lum parametrlarni yoki funktsiyalarni o'z ichiga oladi. Bu barcha bog'liqliklar va parametrlarni eksperimental tarzda aniqlash mumkin, shuning uchun ko'rib chiqilayotgan usullar chaqiriladi. fenomenologik. S. f. hech bo'lmaganda printsipial jihatdan imkon beradi, lekin ko'p jihatdan. holatlar va aslida bu miqdorlarni hisoblang.

Agar vaqtning qaysidir nuqtasida tananing barcha zarrachalarining koordinatalari va tezligi berilgan bo'lsa va ularning o'zaro ta'sir qilish qonuni ma'lum bo'lsa, u holda mexanika tenglamalaridan vaqt va istalgan keyingi nuqtadagi koordinatalar va tezliklarni topish mumkin bo'ladi. shu bilan tananing holatini to'liq aniqlaydi. Xuddi shu holat quyidagicha sodir bo'ladi: tizimning boshlang'ich to'lqin funksiyasini bilgan holda, Shredinger tenglamasini yechish orqali, vaqtning barcha kelajakdagi momentlarida tizimning holatini aniqlaydigan to'lqin funksiyasini topish mumkin.

Aslida, mikroskopikni qurishning bunday usuli nazariya mumkin emas, chunki makroskopik zarrachalar soni. jismlar juda katta va erta. molekulalarning koordinatalari va tezligi noma'lum. Biroq, bu makroskopik zarrachalarning ko'pligi jismlar bunday organlarning xatti-harakatlarida yangi (statistik) qonuniyatlarning paydo bo'lishiga olib keladi. Bu qonuniyatlar nazariya muammolarining tegishli chegaralanishidan keyin ochiladi. makroskopikligini tavsiflaydi tana parametrlari vaqt o'tishi bilan ba'zi bir qarang. qiymatlar. Nazariyaning vazifasi bularni hisoblashdir. ma'lum bir vaqtda parametrlarning aniq qiymatlari emas, balki qiymatlar. Statistik ma'lumotlarning mavjudligi naqshlar xulq-atvorda ifodalanadi cf. keng diapazondagi qiymatlar aniq boshlanishga bog'liq emas. shartlar (boshlang'ich koordinatalar va zarrachalar tezligining aniq qiymatlaridan). Ushbu qonuniyatning eng muhim ko'rinishi tajribadan ma'lum bo'lgan tizimning tashqi tomondan ajratilganligidir ta'sir qiladi, vaqt o'tishi bilan ma'lum bir muvozanat holatiga (termodinamik muvozanat) keladi, uning xususiyatlari faqat boshlang'ichning shunday umumiy xususiyatlari bilan belgilanadi. zarrachalar soni, ularning umumiy energiyasi va boshqalar kabi holatlar (qarang termodinamik muvozanat). Tizimning muvozanat holatiga o'tish jarayoni deyiladi. dam olish, va bu jarayonning xarakterli vaqti dam olish vaqtidir.

tarqatish funktsiyasi. dan tashkil topgan tizimni ko'rib chiqing N zarralar, soddalik uchun, zarrachalarda ext yo'q, deb faraz. erkinlik darajalari. Bunday tizim vazifa bilan tavsiflanadi 6N o'zgaruvchilar: 3N koordinatalar x i va 3N impulslar p i zarralar bo'lsa, bu o'zgaruvchilar to'plami quyidagicha qisqartiriladi ( p, x).

Gibbs taqsimoti. Hozirgacha olib borilgan dalillar rasmiy xarakterga ega edi, chunki (1) ga ko'ra taqsimot funktsiyasini topish uchun hamma narsani bilish kerak. X va R har doim, ya'ni mos keladigan boshlang'ich bilan harakat tenglamalarining echimlari. sharoitlar. Asosiy S.ning pozitsiyasi f. termodinamik holatdagi sistema uchun bu f-tionni aniqlash uchun umumiy mulohazalarning imkoniyati haqidagi bayonotdir. muvozanat. Avvalo, harakat paytida zarralar sonining saqlanishiga asoslanib, taqsimlash funktsiyasi tizim harakatining integrali ekanligini ko'rsatish mumkin (2-rasmga qarang). Liuvil teoremasi).

Yopiq tizim harakat qilganda, uning energiyasi o'zgarmaydi, shuning uchun tizimning turli vaqt nuqtalarida holatini tasvirlaydigan fazaviy fazodagi barcha nuqtalar boshlanishiga mos keladigan ma'lum bir gipersuratda yotishi kerak. energiya qiymati E. Ushbu sirt uchun tenglama shaklga ega H(x, p) = E, qayerda H(x,p) - Gamilton funksiyasi tizimlari. Ko'pchilikdan tizimning harakati zarralar juda chalkash, shuning uchun vaqt o'tishi bilan holatni tavsiflovchi nuqtalar post yuzasiga taqsimlanadi. energiya teng ravishda (shuningdek qarang Ergodik gipoteza).Bunday bir xil taqsimot taqsimot funksiyasi bilan tavsiflanadi

qayerda faqat qachon nolga teng bo'lgan delta funksiyasi H = E, A normallashtirish shartidan aniqlangan konstanta (3). ga mos keladigan taqsimlash funksiyasi (4). mikrokanonik Gibbs taqsimoti, o'rtacha hisoblash imkonini beradi. barcha jismoniy qadriyatlar f-le (2) ga muvofiq kattaliklar, harakat tenglamalarini yechmasdan.

(4) ifodani chiqarishda yagona saqlanib qolgan miqdor unga bog'liq deb taxmin qilingan w, tizimning energiyasidir. Albatta, impuls va burchak impulslari ham saqlanib qoladi, lekin bu kattaliklarni ko'rib chiqilayotgan jismni zarrachalar impuls va impuls berishi mumkin bo'lgan qo'zg'almas qutiga o'ralgan deb hisoblash orqali yo'q qilish mumkin.

Aslida, S. f.da. odatda yopiq tizimlar emas, balki makroskopik ko'rib chiqiladi. kichik makroskopik jismlar. qismlar, yoki quyi tizimlar, to-l. yopiq tizim. Quyi tizim uchun tarqatish funktsiyasi (4) dan farq qiladi, lekin tizimning qolgan qismining o'ziga xos shakliga bog'liq emas. termostat. Quyi tizimning taqsimlanish funksiyasini aniqlash uchun termostat zarrachalarining momentlari va koordinatalari ustidagi f-lu (4) ni integrallash zarur. Bunday integratsiyani termostat energiyasiga nisbatan quyi tizim energiyasining kichikligini hisobga olgan holda amalga oshirish mumkin. Natijada quyi tizimning taqsimlash funksiyasi uchun ifoda olinadi

kattalik T bu f-leda temp-ry ma'noga ega. Normalizatsiya koeffitsienti. normallashtirish sharti bo'yicha aniqlanadi (3):

Yarim butun spinli zarralar uchun to'lqin funksiyasi har qanday zarrachalar juftining almashinishida belgisini o'zgartirishi kerak, shuning uchun birida kvant holati bir nechta zarracha bo'lishi mumkin emas ( Pauli printsipi).Bir holatda butun spinli zarralar soni har qanday bo'lishi mumkin, ammo bu holda talab qilinadigan to'lqin funksiyasining o'zgarmasligi zarrachalar bu erda qayta joylanganda ham statistik o'zgarishlarga olib keladi. gaz xossalari. Yarim butun spinli zarralar tasvirlangan Fermi-Dirak statistikasi, ular fermionlar deb ataladi. Fermionlarga, masalan, elektronlar, protonlar, neytronlar, deyteriy atomlari, 3 He atomlari kiradi. Butun spinli zarralar (bozonlar) tasvirlangan Bose - Eynshteyn statistikasi. Bularga, masalan, H, 4 He atomlari, yorug'lik kvantlari - fotonlar kiradi.

Keling, qarang. intervalda yotgan momentga ega bo'lgan birlik hajmdagi gaz zarralari soni dp, bor, shunday va boshqalar faza fazosining bir katagidagi zarrachalar soni. Keyin Gibbs taqsimotidan kelib chiqadiki, bu uchun ideal gazlar fermionlar (yuqori belgi) va bozonlar (pastki belgi)

Bu f-leda - impulsli zarrachaning energiyasi R,- kimyo. zarrachalar sonining doimiylik shartidan aniqlangan potensial N tizimda:

Kvazizarralar. Abs yaqinida. nol harorat. statistik ma'lumotlarga qo'shgan hissasi yig'indiga energiya jihatidan asosiy holatga yaqin bo'lgan zaif qo'zg'aluvchan kvant holatlari hissa qo'shadi. Asosiy energiyani hisoblash. holat sof kvant mexanikdir. vazifa, mavzu ko'p zarralarning kvant nazariyasi. Bunday sharoitda issiqlik harakati zaif o'zaro ta'sir qilish tizimidagi ko'rinish sifatida tavsiflanishi mumkin kvazizarralar energiya va impulsga ega (elementar qo'zg'alishlar) (kristallarda - kvazi-momentum) R. Bog'liqlikni bilib, termodinamikaning haroratga bog'liq qismini hisoblash mumkin. Kvazizarralar statistikasiga qarab ideal Fermi yoki Bose gazi uchun f-lamelarning f-ionlari. Bu kichik bilan Bose quasiparticles, ayniqsa muhim ahamiyatga ega R makroskopik tarzda tasvirlangan uzun to'lqinli tebranishlar kvantlari sifatida qaralishi mumkin. ur-niami. Shunday qilib, kristallarda (va Bose suyuqliklarida) fononlar (tovush kvantlari), magnitlarda - magnonlar (magnit momentning tebranish kvantlari) mavjud.

Ikki o'lchovli va bir o'lchovli tizimlarda kvazizarralarning maxsus turlari mavjud. Yassi kristall holatda Filmda ularning rolini dislokatsiyalar, He filmlarida vorteks filamentlari, polimer filamentlarda solitonlar va domen devorlari o'ynaydi. Uch o'lchamli jismlarda bu ob'ektlar yuqori energiyaga ega va termodinamikaga hissa qo'shmaydi. funktsiyalari.

Kristal hujayra. Panjaradagi atomlar o'zlarining muvozanat pozitsiyalari atrofida kichik tebranishlarni amalga oshiradilar. Bu shuni anglatadiki, ularning issiqlik harakati umuman (va shunchaki past emas) temp-pax kvazizarralar (fononlar) to'plami sifatida ko'rib chiqilishi mumkin (2-rasmga qarang). Kristal panjaraning tebranishlari).Fononlarning, shuningdek, fotonlarning tarqalishi f-loy (16) c = 0 bilan berilgan. Past haroratlarda faqat uzun to'lqinli fononlar muhim bo'lib, ular kvant hisoblanadi. tovush to'lqinlari, elastiklik nazariyasi tenglamalari bilan tasvirlangan. Ular uchun bog'liqlik chiziqli, shuning uchun kristallning issiqlik sig'imi. panjara proportsionaldir T 3. Yuqori haroratlarda issiqlik sig'imi haroratga bog'liq bo'lmasligi va teng bo'lishi uchun energiyaning erkinlik darajalari bo'yicha teng taqsimlanishi qonunidan foydalanish mumkin. 3Nk, qayerda N kristalldagi atomlar soni. O'zboshimchalik bilan bog'liqlik R kristalldagi neytronlarning noelastik tarqalishi bo'yicha tajribalar natijasida aniqlanishi yoki panjaralardagi atomlarning o'zaro ta'sirini aniqlaydigan "kuch konstantalari" qiymatlarini o'rnatish orqali nazariy jihatdan hisoblanishi mumkin. S. f.dan oldin yangi muammolar paydo bo'ldi. deb atalmish ochilishi munosabati bilan. kvazi-davriy kristallar, ularning molekulalari kosmosda davriy bo'lmagan, ammo ma'lum bir tartibda joylashgan (qarang. Kvazikristal).

Metalllar. Metalllarda termodinamikaga hissasi f-tion o'tkazuvchanlik elektronlarini ham beradi. Metalldagi elektronning holati kvazimmentum bilan tavsiflanadi va elektronlar Fermi-Dirak statistikasiga bo'ysunganligi uchun ularning kvazimomentlar bo'yicha taqsimlanishi f-loi (16) bilan berilgan. Shuning uchun, elektron gazning issiqlik sig'imi va shunga mos ravishda, etarlicha past haroratlarda butun metallning issiqlik sig'imi T. Erkin zarrachalarning Fermi gazidan farqi shundaki, Fermi yuzasi endi shar emas, balki kvazimmentumlar fazosida qandaydir murakkab sirtdir. Fermi yuzasining shakli, shuningdek, energiyaning bu sirt yaqinidagi kvazi-impulsga bog'liqligini tajriba yo'li bilan aniqlash mumkin, Ch. arr. tadqiqot magnit. metallarning xossalari, shuningdek, deb atalmish yordamida nazariy hisoblash. psevdopotentsial model. Supero'tkazuvchilarda elektronning qo'zg'atilgan holatlari Fermi yuzasidan bo'shliq bilan ajratiladi, bu esa eksponensialga olib keladi. elektron issiqlik sig'imining haroratga bog'liqligi. Ferromagnitda. va antiferromagnit. moddalar termodinamikaga hissa qo'shadi. f-tion magnitning tebranishlarini ham beradi. momentlar (aylanish to'lqinlari).

Dielektriklar va yarim o'tkazgichlarda T= 0 erkin elektronlar mavjud emas. Cheklangan haroratlarda ularda zaryad paydo bo'ladi. kvazizarralar: manfiy elektronlar. zaryad va musbat bilan "teshiklar". zaryad. Elektron va teshik bog'langan holatni hosil qilishi mumkin - kvazizarra deb ataladi qo'zg'alish.dr. eksiton turi - dielektrik atomining qo'zg'aluvchan holati bo'lib, kristall holatga o'tadi. panjara.

Usullari kvant nazariyasi statistik fizikaning sohalari. Kvant kvant fizikasi muammolarini hal qilishda, birinchi navbatda, metallar va magnitlardagi kvant suyuqliklari va elektronlarning xossalarini o'rganishda kvant fizikasiga kiritilgan kvant maydon nazariyasi usullari katta ahamiyatga ega. nisbatan yaqinda. Asosiy bu usullarda rol o'ynaydi. Green funktsiyasi makroskopik Kvant maydon nazariyasidagi Grin funktsiyasiga o'xshash tizimlar. Bu energiya e va impulsga bog'liq R, kvazizarralarning dispersiya qonuni e(p) tenglamadan aniqlanadi , chunki kvazizarraning energiyasi Yashil funktsiyaning qutbidir. Grin funktsiyalarini zarralar orasidagi o'zaro ta'sir energiyasining bir qator kuchlari shaklida hisoblashning muntazam usuli mavjud. Ushbu seriyaning har bir a'zosi o'zaro ta'sir qilmaydigan zarrachalarning Green funktsiyalaridan olingan energiyalar va momentlar ustidan bir nechta integrallarni o'z ichiga oladi va shunga o'xshash diagrammalar ko'rinishida grafik tarzda tasvirlanishi mumkin. Feynman diagrammasi kvantda. Ushbu diagrammalarning har biri o'ziga xos xususiyatlarga ega jismoniy ma'no, bu qiziqish hodisasi uchun mas'ul bo'lgan atamalarni cheksiz qatorda ajratish va ularni umumlashtirish imkonini beradi. Grinning harorat funksiyalarini hisoblash uchun diagramma texnikasi ham mavjud, bu esa termodinamikani topish imkonini beradi. miqdorlarni to'g'ridan-to'g'ri, kvazizarralarni kiritmasdan. Ushbu texnikada Grin funktsiyalari (energiya o'rniga) ma'lum diskret chastotalarga w n bog'liq va energiyalar ustidagi integrallar bu chastotalar bo'yicha yig'indiga almashtiriladi.

Fazali o'tishlar. Extning doimiy o'zgarishi bilan. parametrlar (masalan, bosim yoki harorat), tizimning xususiyatlari parametrlarning ma'lum qiymatlari uchun keskin o'zgarishi mumkin, ya'ni fazali o'tish sodir bo'ladi. Fazali o'tishlar o'tishning yashirin issiqligining chiqishi va hajmning keskin o'zgarishi (masalan, erish) bilan birga bo'lgan 1-turdagi o'tishlarga va ikkinchi turdagi o'tishlarga bo'linadi. yashirin issiqlik va hajmda sakrashlar yo'q, lekin issiqlik sig'imida sakrash mavjud (masalan, o'ta o'tkazuvchanlik holatiga o'tish). 2-turdagi o'tish davrida tananing simmetriyasi o'zgaradi. Bu o'zgarish miqdoriy hisoblanadi buyurtma parametri, bu fazalarning birida noldan farq qiladi va o'tish nuqtasida yo'qoladi. Statistik Fazaviy o'tish nazariyasi S. ph ning muhim, ammo hali ham to'liq sohasini tashkil qiladi. maks. nazariy jihatdan qiyinchilik tadqiqotlar yaqin atrofdagi materiyaning xususiyatlarini ifodalaydi tanqidiy nuqta, fazali o'tish 1-tur va to'g'ridan-to'g'ri. ikkinchi darajali fazaga o'tish chizig'ining yaqinligi. (Ushbu chiziqdan ma'lum masofada ikkinchi turdagi o'tish tasvirlangan Landau nazariyasi.) Bu yerda tebranishlar anomal ravishda ortadi va S. f ning taxminiy usullari. qo'llanilmaydigan, qo'llab bo'lmaydigan. Shuning uchun muhim rol o'ynaydi aniq echilishi mumkin bo'lgan modellar, unda o'tishlar mavjud (qarang 2D panjara modellari).Mahluq. tebranishlar qurilishidagi taraqqiyot. usul bilan fazaviy o'tishlar nazariyasiga erishiladi epsilon kengaytmalari. Unda o'tish o'lchovlar soni bilan xayoliy fazoda tekshiriladi va natijalar ekstrapolyatsiya qilinadi, ya'ni uch o'lchovli haqiqiy fazoga. Ikki o'lchovli tizimlarda, ma'lum bir haroratda dislokatsiyalar yoki vorteks filamentlari paydo bo'lganda, o'ziga xos fazali o'tishlar mumkin. O'tish nuqtasida tartib parametri keskin yo'qoladi va issiqlik quvvati doimiydir.

Tartibsiz tizimlar. S. f.dagi oʻziga xos joy. egallash stakan- atomlari absda ham tasodifiy joylashtirilgan qattiq jismlar. nol harorat. To'g'ri aytganda, bunday holat nomutanosiblikdir, lekin juda uzoq bo'shashish vaqtiga ega, shuning uchun nomutanosiblik aslida o'zini namoyon qilmaydi. Past haroratlarda ko'zoynaklarning issiqlik sig'imi chiziqli ravishda bog'liq T. Bu uchun ifodadan kelib chiqadi Z(8) shaklida. Qachon bog'liq bo'lsa T xatti-harakati bilan belgilanadi g (E) kichik uchun E. Lekin uchun tartibsiz tizimlar ma'nosi E = 0 ajratilmagan, shuning uchun g (0) Albatta, Z = LEKIN + e(0)T va c ~ T. Qiziqarli xususiyat shisha - issiqlik sig'imining kuzatilgan qiymatlarining o'lchash vaqtiga bog'liqligi. Bu energiya darajasining kichikligi bilan izohlanadi E ko'p vaqt talab qiladigan yuqori potentsial to'siq orqali atomlarning kvant tunnellanishi bilan bog'liq. Qiziqarli xususiyatlar aylantiruvchi ko'zoynaklar- magnga ega bo'lgan tasodifiy joylashtirilgan atomlar tizimi. daqiqalar.

Muvozanatsiz jarayonlarning statistik fizikasi. U tobora ko'proq ahamiyat kasb etmoqda jismoniy kinetika- S. f.ning muvozanatsiz holatda boʻlgan tizimlardagi jarayonlarni oʻrganadigan boʻlimi. Bu erda savolning ikkita formulasi mumkin: tizimni ma'lum bir nomutanosiblik holatida ko'rib chiqish va uning muvozanat holatiga o'tishini kuzatish mumkin; nomutanosiblik holati tashqaridan saqlanib turuvchi tizimni ko'rib chiqish mumkin. sharoitlar, masalan. harorat gradienti o'rnatilgan tana elektr toki bilan oqadi. oqim va boshqalar, yoki ACdagi tana. ext. maydon.

Agar muvozanatdan og'ish kichik bo'lsa, tizimning nomutanosiblik xususiyatlari deb ataladigan narsa bilan tavsiflanadi. kinetik koeffitsientlar. Bunday koeffitsientlarga misollar. koeffitsientlardir. metallarning yopishqoqligi, issiqlik o'tkazuvchanligi va elektr o'tkazuvchanligi va boshqalar. Bu miqdorlar kinetikning simmetriya tamoyilini qondiradi. vaqt belgisining o'zgarishiga nisbatan mexanika tenglamalarining simmetriyasini ifodalovchi koeffitsientlar (qarang. Onsager teoremasi).

Ko'proq umumiy tushuncha hisoblanadi umumiy sezuvchanlik o'zgarishlarni tavsiflash uchun qarang. ma'lum bir jismoniy to'daning qiymatlari. miqdorlar X kichik "umumiy kuch" ta'siri ostida f, shaklida sistemaning Gamiltonianiga kiritilgan , bu erda kvant mexanikasi. ga mos keladigan operator X. Agar a f kabi vaqtga bog'liq, o'zgarish sifatida yozilishi mumkin . Murakkab qiymat - bu umumiy sezuvchanlik, u tizimning tashqi ta'sirga nisbatan xatti-harakatlarini tavsiflaydi. ta'sir. Boshqa tomondan, u dam olishni ham belgilaydi. xossalari: da , qiymat qonun bo'yicha muvozanat qiymatiga bo'shashadi, bu erda w kompleks o'zgaruvchining pastki yarim tekisligida real o'qdan unga eng yaqin funktsiyaning yagonaligigacha bo'lgan masofa. S. f.ning vazifalari orasida. Tebranishlarning vaqtga bog'liqligini o'rganish ham muvozanatsiz jarayonlarni o'z ichiga oladi. Bu bog'liqlik vaqt korrelyatsiyasi bilan tavsiflanadi. funktsiya, bunda qiymatning tebranishlari o'rtacha hisoblanadi X turlicha qabul qilingan vaqt nuqtalari t: uning argumentining juft funksiyasi hisoblanadi. Klassik S.da f. va kattalikning gevşeme qonuni o'rtasida bog'liqlik mavjud. Agar gevşeme ma'lum bir chiziqli differentsial bilan tavsiflangan bo'lsa muvozanat qiymatidan og'ish uchun tenglama, u holda bir xil tenglamani qondiradi t > 0.

va to'plamlar o'rtasidagi munosabat fluktuatsiya-dissipatsiya teoremasi.Teorema shuni ko'rsatadiki, Furye konvertatsiyasi korrelyatsiya qilinadi. funktsiyalari

quyidagicha ifodalanadi:

Maxsus holat (17). Nyquist formulasi.Kuchli nomutanosiblik holatlari tavsifi, shuningdek, kinetikni hisoblash. koeffitsienti yordamida ishlab chiqariladi Boltsmanning kinetik tenglamasi. Bu tenglama integro-differensial hisoblanadi. bir zarrachali taqsimot funksiyasi uchun ur-tion (kvant holatda - bir zarrali zichlik matritsasi yoki statistik operator uchun). U ikki turdagi a'zolarni o'z ichiga oladi. Ba'zilar zarrachalar extiyojda harakat qilganda taqsimotning f-tsiyasining o'zgarishini tasvirlaydi. maydonlar, boshqalar - zarrachalarning to'qnashuvida. Aynan to'qnashuvlar muvozanatsiz tizimning entropiyasining oshishiga, ya'ni bo'shashishga olib keladi. Yopiq, ya'ni boshqa kinetik miqdorlarni o'z ichiga olmaydi. ur-tion, kirishning iloji yo'q umumiy ko'rinish. Uni olishda ushbu muammoda mavjud bo'lgan kichik parametrlardan foydalanish kerak. Eng muhim misol kinetikdir molekulalar oʻrtasidagi toʻqnashuv natijasida gazda muvozanatning oʻrnatilishini tavsiflovchi tenglama. Bu molekulalar orasidagi masofaga nisbatan katta bo'lganda, etarli darajada kam uchraydigan gazlar uchun amal qiladi. Bu tenglamaning o'ziga xos shakli effga bog'liq. molekulalarning ko'ndalang kesimlarining bir-biriga tarqalishi. Agar bu bo'lim ma'lum bo'lsa, tenglamani kerakli funktsiyani ortogonal polinomlar nuqtai nazaridan kengaytirish orqali hal qilish mumkin. Shu tarzda kinetikni hisoblash mumkin koeffitsienti molekulalar orasidagi o'zaro ta'sirning ma'lum qonunlariga asoslangan gaz. Kinetik Tenglama faqat molekulalar orasidagi juft to'qnashuvlarni hisobga oladi va bu koeffitsientlarni kengaytirishda faqat birinchi bo'lmagan atamani tavsiflaydi. gaz zichligi bo'yicha. Shuningdek, biz aniqroq tenglamani topishga muvaffaq bo'ldik, bu ham uch karra to'qnashuvni hisobga oladi, bu esa keyingi kengayish muddatini hisoblash imkonini berdi.

Maxsus muammo - kinetikning kelib chiqishi plazma uchun ur-tion. Kulon kuchlarining masofa bilan sekin kamayishi tufayli, hatto juftlik to'qnashuvlarini hisobga olgan holda, bu kuchlarning boshqa zarralar tomonidan ekranlanishi muhim ahamiyatga ega. Qattiq jismlar va kvant suyuqliklarning nomutanosiblik holatini past haroratlarda mos keladigan kvazizarrachalar gazining nomutanosiblik holati deb hisoblash mumkin. Shuning uchun kinetik bunday tizimlardagi jarayonlar kinetik tavsiflanadi. ular orasidagi to'qnashuvlarni va ularning o'zaro o'zgarishi jarayonlarini hisobga oladigan kvazizarralar uchun tenglamalar. Jismoniy dastur orqali yangi imkoniyatlar ochildi. kvant maydon nazariyasi usullari kinetikasi. Kinetik koeffitsienti tizimni uning Green funktsiyasi bilan ifodalash mumkin, buning uchun diagrammalar yordamida hisoblashning umumiy usuli mavjud. Bu ba'zi hollarda kinetik olish imkonini beradi. koeffitsienti kinetikdan aniq foydalanmasdan. ur-tion va tizimni qo'llash shartlari bajarilmagan hollarda ham muvozanatdan tashqari xususiyatlarini o'rganing.

Statistik fizikaning rivojlanishidagi muhim bosqichlar. S. f. kontseptsiyasiga butunlay asoslanadi atom tuzilishi masala. Shuning uchun, boshlanishi S. f ning rivojlanish davri. atomistikaning rivojlanishi bilan mos keladi. vakillari. S. f.ning rivojlanishi. nazariyaning bo'limi sifatida. fizika serda boshlangan. 19-asr 1859 yilda J. Maksvell gaz molekulalarining tezlikni taqsimlash funksiyasini aniqladi. 1860-70 yillarda R. Klauzius (R. Klauzing) o'rtacha erkin yo'l tushunchasini kiritdi va uni gazning yopishqoqligi va issiqlik o'tkazuvchanligi bilan bog'ladi. Taxminan bir vaqtning o'zida L. Boltzmann Maksvell taqsimotini gazning tashqarida bo'lgan holatga umumlashtirdi. maydon, energiyaning erkinlik darajalariga teng taqsimlanishi haqidagi teoremani isbotladi, kinetik xulosa chiqardi. ur-tion, statistik ma'lumotlarni berdi. entropiyaning talqini va uning ortish qonuni kinetikning oqibati ekanligini ko'rsatdi. ur-tion. Klassik S. f.ning qurilishi. 1902 yilgacha J. V. Gibbs (J. V. Gibbs) asarida yakunlangan. Dalgalanish nazariyasi 1905-06 yillarda M. Smoluxovski va A. Eynshteyn ishlarida ishlab chiqilgan. 1900-yilda M.Plank qora jismning nurlanish spektrida energiyaning taqsimlanish qonunini chiqarib, ham kvant mexanikasi, ham kvant fizikasi rivojlanishini boshlab berdi. 1924 yilda Sh.Bose yorugʻlik kvantlarining impuls taqsimotini topdi va uni Plank taqsimoti bilan bogʻladi. Eynshteyn Bose taqsimotini ma'lum miqdordagi zarrachalar bilan gazlarga umumlashtirdi. E. Fermi (E. Fermi) 1925 yilda Pauli printsipiga bo'ysunuvchi zarrachalarni taqsimlash funktsiyasini oldi va P. A. M. Dirak (R. A. M. Dirak) bu taqsimot bilan Bose-Eynshteyn taqsimoti o'rtasidagi bog'liqlikni mat bilan o'rnatdi. kvant mexanikasi apparati. S. t.ning keyingi rivojlanishi. 20-asrda uning asosiy qo'llanilishi belgisi ostida ketdi. muayyan muammolarni o'rganish tamoyillari.

Lit.: Landau L. D., L va f sh va c E. M., Statistik fizika, 1-qism, 3-nashr, M., 1976; M ayer J., Goeppert-Mayer M., Statistik mexanika, trans. Ingliz tilidan, 2-nashr, M., 1980; Abrikosov A. A., Gorkoye L. P., Dzyaloshinskiy I. E., Statistik fizikada kvant maydon nazariyasi usullari, M., 1962; X u a ng K., Statistik mexanika, trans. ingliz tilidan, M., 1966; Kittel Ch., Kvant nazariyasi qattiq moddalar, boshiga. ingliz tilidan, M., 1967; Silin V.P., Gazlarning kinetik nazariyasiga kirish, M., 1971; Oddiy suyuqliklar fizikasi. Shanba, boshiga. ingliz tilidan, M., 1971; Anselm A. I., Statistik fizika va termodinamika asoslari, M., 1973; L va f sh va c E. M., Pitaevskiy L. P., Statistik fizika, 2-qism, M., 1978; va xzh e, Fizik kinetika, M., 1979; Balesku R., Muvozanat va muvozanatsiz statistik mexanika, trans. Ingliz tilidan, 1-2-jild, M., 1978; Bogolyubov N. N., Statistik fizika bo'yicha tanlangan ishlar, M., 1979; G va b b s J. V., Termodinamika. Statistik mexanika, trans. ingliz tilidan, M., 1982; Leontovich MA, termodinamikaga kirish. Statistik fizika, M., 1983; Boltsmann L., Tanlangan asarlar, trans. nemis, frantsuz, M., 1984 dan. L. P. Pitaevskiy.

Metodlar Ta'lim Ushbu sayt haqida Kutubxona Matematika. forumlar

Kutubxona > Fizika kitoblari > Statistik fizika

Kitob nomidan mualliflar va kalit so'zlar bo'yicha kutubxonadan qidiring:

statistik fizika

  • Aizenshitz R. Qaytarib bo'lmaydigan jarayonlarning statistik nazariyasi. M .: Ed. Xorijiy lit., 1963 (djvu)
  • Anselm A.I. Statistik fizika va termodinamika asoslari. Moskva: Nauka, 1973 (djvu)
  • Akhiezer A.I., Peletminskiy S.V. Statistik fizika usullari. Moskva: Nauka, 1977 (djvu)
  • Bazarov I.P. Statistik fizika va termodinamikaning metodologik muammolari. M.: Moskva davlat universiteti nashriyoti, 1979 (djvu)
  • Bogolyubov N.N. Statistik fizikadan tanlangan asarlar. M.: Moskva davlat universiteti nashriyoti, 1979 (djvu)
  • Bogolyubov N.N. (Jr.), Sadovnikov B.I. Statistik mexanikaning ba'zi savollari. M .: Yuqori. maktab, 1975 (djvu)
  • Bonch-Bruevich V.L., Tyablikov S.V. Statistik mexanikada Grin funksiya usuli. Moskva: Fizmatlit, 1961 (djvu, 2,61 Mb)
  • Vasilev A.M. Statistik fizikaga kirish. M .: Yuqori. maktab, 1980 (djvu)
  • Vlasov A.A. Mahalliy bo'lmagan statistik mexanika. Moskva: Nauka, 1978 (djvu)
  • Gibbs JW Statistik mexanikaning asosiy tamoyillari (termodinamikani oqilona asoslash uchun maxsus qo'llanilishi bilan tushuntirilgan). M.-L.: OGIZ, 1946 (djvu)
  • Gurov K.P. Kinetik nazariyaning asoslari. Usul N.N. Bogolyubov. Moskva: Nauka, 1966 (djvu)
  • Zaslavskiy G.M. Nochiziqli tizimlarda statistik qaytmaslik. Moskva: Nauka, 1970 (djvu)
  • Zaxarov A.Yu. Statistik fizikaning panjarali modellari. Velikiy Novgorod: NovGU, 2006 yil (pdf)
  • Zaxarov A.Yu. Klassik statistik fizikada funksional usullar. Velikiy Novgorod: NovGU, 2006 yil (pdf)
  • Ios G. Nazariy fizika kursi. 2-qism. Termodinamika. Statistik fizika. Kvant nazariyasi. Yadro fizikasi. M.: Ma'rifat, 1964 (djvu)
  • Ishihara A. Statistik fizika. M.: Mir, 1973 (djvu)
  • Kadanov L., Beim G. Kvant statistik mexanikasi. Muvozanat va nomutanosiblik jarayonlari nazariyasida Grin funksiyalarining usullari. M.: Mir, 1964 (djvu)
  • Katz M. Fizikada ehtimollik va tegishli masalalar. M.: Mir, 1965 (djvu)
  • Katz M. Fizika va matematikaning bir qancha ehtimolli muammolari. Moskva: Nauka, 1967 (djvu)
  • Kittel Ch. Elementar statistik fizika. M.: IL, 1960 (djvu)
  • Kittel Ch. Statistik termodinamika. M: Fan, 1977 (djvu)
  • Kozlov V.V. Gibbs va Puankare bo'yicha termal muvozanat. Moskva-Izhevsk: Kompyuter tadqiqotlari instituti, 2002 (djvu)
  • Kompaneets A.S. Jismoniy statistika qonunlari. zarba to'lqinlari. Super zich modda. M.: Nauka, 1976 (djvu)
  • Kompaneets A.S. Nazariy fizika kursi. 2-jild. Statistik qonunlar. M.: Ma'rifat, 1975 (djvu)
  • Kotkin G.L. Statistik fizika fanidan ma'ruzalar, NDU (pdf)
  • Krilov N.S. Statistik fizikani asoslash bo'yicha ishlar. M.-L.: SSSR Fanlar akademiyasidan, 1950 (djvu)
  • Kubo R. Statistik mexanika. M.: Mir, 1967 (djvu)
  • Landsberg P. (tahr.) Termodinamika va statistik fizika muammolari. M.: Mir, 1974 (djvu)
  • Levich V.G. Statistik fizikaga kirish (2-nashr) M.: GITTL, 1954 (djvu)
  • Libov R. Kinetik tenglamalar nazariyasiga kirish. M.: Mir, 1974 (djvu)
  • Mayer J., Geppert-Mayer M. Statistik mexanika. M.: Mir, 1980 (djvu)
  • Minlos R.A. (tahr.) Matematika. Xorijiy fandagi yangilik-11. Statistik fizikada Gibbs holatlari. Maqolalar to'plami. M.: Mir, 1978 (djvu)
  • Nozdrev V.F., Senkevich A.A. Statistik fizika kursi. M .: Yuqori. maktab, 1965 (djvu)
  • Prigojin I. Muvozanatsiz statistik mexanika. M.: Mir, 1964 (djvu)
  • Radushkevich L.V. Statistik fizika kursi (2-nashr) M.: Prosveshchenie, 1966 (djvu)
  • Reif F. Berkeley fizika kursi. 5-jild. Statistik fizika. M.: Nauka, 1972 (djvu)
  • Rumer Yu.B., Ryvkin M.Sh. Termodinamika, statistik fizika va kinetika. M.: Nauka, 1972 (djvu)
  • Rumer Yu.B., Ryvkin M.Sh. Termodinamika Statistik fizika va kinetika (2-nashr). Moskva: Nauka, 1977 (djvu)
  • Ruel D. Statistik mexanika. M.: Mir, 1971 (djvu)
  • Savukov V.V. Statistik fizikaning aksiomatik tamoyillarini takomillashtirish. SPb.: Balt. davlat texnologiya. univ. "Voenmeh", 2006 yil

statistik fizika

fizikaning vazifasi makroskopik jismlarning, ya'ni juda ko'p sonli bir xil zarrachalardan (molekulalar, atomlar, elektronlar va boshqalar) tashkil topgan tizimlarning xossalarini shu zarralarning xossalari va ular orasidagi o'zaro ta'sir orqali ifodalashdan iborat bo'lgan bo'limi. .

Fizikaning boshqa sohalari ham makroskopik jismlarni - Termodinamikani, kontinuum mexanikasini, kontinuumlarning elektrodinamikasini o'rganmoqda. Biroq, ushbu fanlarning usullari bilan aniq muammolarni hal qilishda, tegishli tenglamalar har doim ma'lum bir jismni tavsiflovchi noma'lum parametrlarni yoki funktsiyalarni o'z ichiga oladi. Demak, gidrodinamika masalalarini yechish uchun suyuqlik yoki gazning holat tenglamasini, ya'ni zichlikning harorat va bosimga bog'liqligini, suyuqlikning issiqlik sig'imi, uning yopishqoqlik koeffitsienti va boshqalarni bilish kerak. Ushbu bog'liqliklar va parametrlarning barchasi, albatta, eksperimental tarzda aniqlanishi mumkin, shuning uchun ko'rib chiqilayotgan usullar fenomenologik deb ataladi. Statistik fizika, hech bo'lmaganda printsipial jihatdan va ko'p hollarda, agar molekulalar orasidagi o'zaro ta'sir kuchlari ma'lum bo'lsa, bu barcha miqdorlarni hisoblash imkonini beradi. T. o., S. f. jismlarning "mikroskopik" tuzilishi haqidagi ma'lumotlardan foydalanadi - ular qanday zarralardan iboratligi, bu zarralarning o'zaro ta'siri, shuning uchun u mikroskopik nazariya deb ataladi.

Agar vaqtning qaysidir nuqtasida tananing barcha zarrachalarining koordinatalari va tezligi berilgan bo'lsa va ularning o'zaro ta'sir qilish qonuni ma'lum bo'lsa, u holda mexanika tenglamalarini yechish orqali ushbu koordinata va tezliklarni istalgan keyingi nuqtada topish mumkin bo'ladi. o'z vaqtida va shu bilan o'rganilayotgan tananing holatini to'liq aniqlang. (Oddiylik uchun taqdimot klassik mexanika tilida olib boriladi. Ammo kvant mexanikasida (Qarang: Kvant mexanikasi) vaziyat bir xil: tizimning boshlangʻich toʻlqin funksiyasini (Qarang: Toʻlqin funksiyasi) va oʻzaro taʼsir qonunini bilish. zarralar, Shredinger tenglamasini yechish orqali tizimning kelajakdagi barcha momentlarda holatini aniqlaydigan to'lqin funksiyasini topish mumkin.) Biroq, mikroskopik nazariyani qurishning bunday usuli mumkin emas, chunki makroskopik jismlardagi zarrachalar soni juda katta. Masalan, 1-da sm 3 0 °C haroratda va 1 bosimdagi gaz atm taxminan 2,7․10 19 molekuladan iborat. Bunday sonli tenglamalarni yechish mumkin emas va barcha molekulalarning dastlabki koordinatalari va tezligi haligacha noma’lum.

Biroq, makroskopik jismlardagi zarrachalarning ko'pligi, bunday jismlarning xatti-harakatlarida yangi - statistik - qonuniyatlarning paydo bo'lishiga olib keladi. Keng diapazondagi bunday xatti-harakatlar aniq boshlang'ich sharoitlarga - dastlabki koordinatalar va zarracha tezligining aniq qiymatlariga bog'liq emas. Bu mustaqillikning eng muhim ko'rinishi tajribadan ma'lumki, o'z-o'zidan qolgan, ya'ni tashqi ta'sirlardan ajratilgan tizim oxir-oqibat qandaydir muvozanat holatiga (termodinamik yoki statistik muvozanat) keladi, uning xossalari faqat shu bilan belgilanadi. zarrachalar soni, ularning umumiy energiyasi va boshqalar kabi umumiy xususiyatlar boshlang'ich holati. (Qarang: Termodinamik muvozanat). Kelajakda biz asosan S. t haqida gapiramiz. muvozanat holatlari.

Statistik qonuniyatlarni tavsiflovchi nazariyani shakllantirishdan oldin, nazariyaga qo'yiladigan talablarni asosli ravishda cheklash kerak. Ya'ni, nazariyaning vazifasi makroskopik jismlar uchun turli jismoniy miqdorlarning aniq qiymatlarini emas, balki vaqt o'tishi bilan bu miqdorlarning o'rtacha qiymatlarini hisoblashdan iborat bo'lishi kerak. Masalan, gazda ajratilgan etarlicha katta makroskopik hajmda joylashgan molekulalarni ko'rib chiqaylik. Bunday molekulalarning soni vaqt o'tishi bilan ularning harakati tufayli o'zgaradi va molekulalarning barcha koordinatalari har doim ma'lum bo'lganida aniq topilishi mumkin edi. Biroq, bu kerak emas. Hajmdagi molekulalar sonining o'zgarishi qandaydir o'rtacha qiymatga nisbatan tasodifiy tebranishlar - tebranishlar xarakterida bo'ladi. Hajmdagi ko'p miqdordagi zarrachalar bilan bu tebranishlar zarrachalarning o'rtacha soniga nisbatan kichik bo'ladi, shuning uchun makroskopik holatni tavsiflash uchun ushbu o'rtacha qiymatni aniq bilish kifoya.

Statistik naqshlarning mohiyatini aniqlashtirish uchun yana bir oddiy misolni ko'rib chiqing. Ikki navning ko'p miqdordagi donalari bir idishga joylashtirilsin, har bir nav teng bo'lsin va idishning tarkibi yaxshilab aralashtiriladi. Keyin, kundalik tajribaga asoslanib, hali ham ko'p miqdordagi don bo'lgan idishdan olingan namunada, donalarning tartibidan qat'i nazar, har bir navning taxminan teng miqdordagi donalari topilishiga ishonch hosil qilish mumkin. idishga quyilgan. Ushbu misol statistik nazariyaning qo'llanilishini ta'minlaydigan ikkita muhim holatni aniq ko'rsatadi. Birinchidan, butun "tizim" da - donli idishda ham, tajriba uchun tanlangan "quyi tizimda" ham ko'p miqdordagi donga ehtiyoj bor. (Agar namuna faqat ikkita dondan iborat bo'lsa, u holda ko'pincha ikkalasi ham bir xil bo'ladi.) Ikkinchidan, aralashtirish paytida donalarning harakatining murakkabligi muhim rol o'ynashi, ularning don hajmida bir xil taqsimlanishini ta'minlashi aniq. kema.

tarqatish funktsiyasi. dan tashkil topgan tizimni ko'rib chiqing N zarralar, soddalik uchun zarralarning ichki erkinlik darajasi yo'q deb faraz qilsak. Bunday tizim vazifa bilan tavsiflanadi 6N o'zgaruvchilar - 3N koordinatalar qi va 3N impulslar pi, zarralar [bu o'zgaruvchilar to'plami ( R, q)]. Keling, ma'lum bir qiymatning vaqt oralig'ida o'rtacha qiymatni hisoblaylik F(p, q), bu koordinatalar va momentlarning funktsiyasidir. Buning uchun intervalni (0, t) ga ajratamiz s teng kichik segmentlar D ta (a = 1,2,....... s). Keyin ta'rif bo'yicha

qayerda q a va p a- vaqti-vaqti bilan koordinatalar va impulslarning qiymatlari ta. Cheklovda s→ ∞ yig'indi integralga aylanadi:

Agar biz 6-bo'shliqni ko'rib chiqsak, tabiiy ravishda taqsimlash funktsiyasi tushunchasi paydo bo'ladi N o'qlarida tizim zarralarining koordinatalari va momentlari qiymatlari chizilgan o'lchovlar; faza fazosi deyiladi. Vaqtning har bir qiymati uchun t hammaning ma'lum qiymatlariga mos keladi q va R, ya'ni faza fazosining ma'lum bir vaqtda tizim holatini tasvirlaydigan ba'zi nuqta t. Keling, butun faza maydonini elementlarga ajratamiz, ularning o'lchamlari tizimning ma'lum bir holatiga xos bo'lgan qiymatlarga nisbatan kichikdir. q va R, lekin baribir shunchalik kattaki, ularning har birida vaqtning turli nuqtalarida tizimning holatini aks ettiruvchi ko'plab nuqtalar mavjud. t. Keyin hajm elementidagi bunday nuqtalar soni ushbu hajmning qiymatiga taxminan proportsional bo'ladi dpdq. Agar proporsionallik koeffitsientini orqali belgilasak sō(p, q), bu bir nuqtada markazlashtirilgan element uchun raqam ( p, q) quyidagicha yoziladi:

da = sō(p, q)dpdq, (2)

dpdq = dp 1 dq 1 dp 2 dq 2 ... dp 3N dq 3N

Tanlangan fazoviy elementning hajmi. Ushbu hajm elementlarining kichikligini hisobga olgan holda o'rtacha qiymat (1) sifatida qayta yozilishi mumkin

(koordinatalar bo'yicha integratsiya tizimning butun hajmi bo'ylab, moment bo'yicha -∞ dan ∞ gacha) amalga oshiriladi. Funktsiya ō( p, q, t) zarracha impuls koordinatalariga nisbatan taqsimot funksiyasi deyiladi. Tanlangan ballarning umumiy soni bo'lgani uchun s, funktsiyasi w normalizatsiya shartini qondiradi:

(3) va (4) dan ō ko'rinib turibdi dpdq tizimning elementda bo'lish ehtimoli sifatida qaralishi mumkin dpdq faza maydoni. Shu tarzda kiritilgan taqsimot funksiyasiga boshqa talqin berilishi mumkin. Buning uchun biz bir vaqtning o'zida juda ko'p bir xil tizimlarni ko'rib chiqamiz va fazalar fazosining har bir nuqtasi shunday tizimlardan birining holatini ifodalaydi deb faraz qilamiz. Keyin (1)-(1a) dagi o'rtacha vaqtni ushbu tizimlarning jami yoki ular aytganidek, statistik ansambl bo'yicha o'rtacha hisoblash deb tushunish mumkin (Qarang: Statistik ansambl). Shu paytgacha olib borilgan bahs-munozaralar faqat rasmiy xarakterga ega edi (2) ga binoan taqsimot funksiyasini topish hammani bilishni talab qiladi R va q har doim, ya'ni mos keladigan boshlang'ich shartlar bilan harakat tenglamalarining echimlari. S. f ning asosiy pozitsiyasi. ammo termodinamik muvozanat holatidagi tizim uchun umumiy mulohazalar asosida bu funktsiyani aniqlash imkoniyati haqidagi bayonotdir. Avvalo, harakat paytida tizimlar sonining saqlanishiga asoslanib, taqsimlash funktsiyasi tizim harakatining integrali ekanligini ko'rsatish mumkin, ya'ni agar shunday bo'lsa, doimiy bo'lib qoladi. R va q harakat tenglamalariga mos ravishda oʻzgarishi (qarang Liuvil teoremasi). Yopiq tizim harakat qilganda, uning energiyasi o'zgarmaydi, shuning uchun tizimning holatini vaqtning turli nuqtalarida tasvirlaydigan fazalar bo'shlig'idagi barcha nuqtalar energiyaning boshlang'ich qiymatiga mos keladigan ba'zi "giper sirtda" yotishi kerak. E. Bu sirtning tenglamasi shaklga ega;

H(p, q) = E,

qayerda H(p, q) koordinatalar va momentlar bilan ifodalangan sistemaning energiyasi, ya'ni uning Gamilton funktsiyasi. Bundan tashqari, ko'p zarralar tizimining harakati juda murakkab. Shuning uchun vaqt o'tishi bilan davlatni tavsiflovchi nuqtalar sirt bo'ylab taqsimlanadi doimiy energiya bir tekisda, xuddi yuqorida keltirilgan misoldagi idishda aralashtirishda donalar teng taqsimlanganidek (shuningdek, Ergodik gipotezaga qarang). Izoenergetik sirt bo'yicha bunday bir xil taqsimot quyidagi shaklning taqsimot funktsiyasi bilan tavsiflanadi:

ω( p, q) = Aδ[ H(p, q) - E], (5)

qaerda d[ H(p, q) - E] - Delta funktsiyasi , nolga teng bo'lmaganda faqat H = E, ya'ni bu sirtda, LEKIN normallashtirish shartidan aniqlangan konstanta (4). Mikrokanonik deb ataladigan taqsimot funktsiyasi (5) harakat tenglamalarini echmasdan, barcha jismoniy miqdorlarning o'rtacha qiymatlarini formula (3) bo'yicha hisoblash imkonini beradi.

(5) ifodani chiqarishda ō ga bog'liq bo'lgan sistemaning harakati davomida o'zgarmas qoladigan yagona miqdor tizim energiyasidir, deb faraz qilingan. Albatta, impuls va burchak impulslari ham saqlanib qoladi, lekin bu kattaliklarni ko'rib chiqilayotgan jismni zarrachalar impuls va impuls berishi mumkin bo'lgan qo'zg'almas qutiga o'ralgan deb hisoblash orqali yo'q qilish mumkin.

Aslida, odatda yopiq tizimlar emas, balki har qanday yopiq tizimning makroskopik kichik qismlari yoki quyi tizimlari bo'lgan makroskopik jismlar ko'rib chiqiladi. Quyi tizim uchun tarqatish funktsiyasi (5) dan farq qiladi, ammo tizimning qolgan qismining o'ziga xos xususiyatiga bog'liq bo'lmaydi - deb ataladigan narsa. termostat. Shuning uchun, quyi tizimning taqsimlash funktsiyasini, masalan, termostatni oddiygina iborat deb hisoblash orqali aniqlash mumkin. N koordinatalari va momentlari bilan belgilanadigan ideal gazning zarralari Q va R, yozuvdan farqli o'laroq q va R quyi tizim uchun mikrokanonik taqsimot:

Bu yerda H(p, q) quyi tizimning Gamilton funksiyasi, M gaz zarrasining massasi bo'lib, yig'ish termostatning barcha zarrachalari impulslarining barcha komponentlari bo'yicha amalga oshiriladi. Quyi tizim uchun taqsimot funksiyasini topish uchun biz termostat zarrachalarining koordinatalari va momentlari bo'yicha bu ifodani integrallashimiz kerak. Agar biz termostatdagi zarrachalar soni quyi tizimdagidan ancha ko'p ekanligini hisobga olsak va intilamiz. N→∞, nisbat deb faraz qilgan holda E/N doimiy va 3/2 ga teng kT, keyin quyi tizimning taqsimlash funktsiyasi uchun quyidagi ifoda olinadi:

Qiymat T bu formulada harorat ma'nosi bor, k = 1,38․10 -16 erg/deg Boltsman doimiysi. [Holat E/N→ 3 / 2 kT chunki termostatdagi gaz ideal gaz uchun (13) formulaga mos keladi; pastga qarang.] Normalizatsiya omili e F/kT normallashtirish sharti bo'yicha aniqlanadi (4):

Tarqatish (6) kanonik Gibbs taqsimoti yoki oddiygina kanonik taqsimot (Gibbs taqsimotiga qarang) va miqdor deb ataladi. Z- statistik integral. Mikrokanonik taqsimotdan farqli o'laroq, Gibbs taqsimotida tizimning energiyasi berilmaydi. Tizimning holatlari energiyaning o'rtacha qiymatiga mos keladigan energiya yuzasi atrofida nozik, ammo cheklangan qatlamda to'plangan, ya'ni termostat bilan energiya almashinuvi mumkin. Aks holda, ma'lum bir makroskopik jismga qo'llanilganda, ikkala taqsimot ham bir xil natijalarga olib keladi. Yagona farq shundaki, mikrokanonik taqsimotdan foydalanganda barcha o'rtacha qiymatlar tananing energiyasida va kanonik taqsimotdan foydalanganda harorat bo'yicha ifodalanadi. Agar tana Gamilton funktsiyalari bilan o'zaro ta'sir qilmaydigan ikkita 1 va 2 qismdan iborat bo'lsa H1 va H2, keyin butun tana uchun H = H1 + H2 va (6) ga binoan, tananing taqsimlash funktsiyasi har bir qism uchun taqsimot funktsiyalarining mahsulotiga bo'linadi, shuning uchun bu qismlar statistik jihatdan mustaqil bo'lib chiqadi. Bu talab Liuvil teoremasi bilan birgalikda mikrokanonik taqsimotga murojaat qilmasdan Gibbs taqsimotini chiqarish uchun asos sifatida ishlatilishi mumkin. Formula (6) klassik mexanika tomonidan tavsiflangan tizimlar uchun amal qiladi.

Kvant mexanikasida chekli hajmli sistemaning energiya spektri diskretdir. Quyi tizimning energiya holatida bo'lish ehtimoli E n(6) ga o'xshash formula bilan berilgan:

bu erda normallashtirish sharti

Qiymat Z tizimning bo'linish funktsiyasi deb ataladi; (8) ifodadagi yig'indi tizimning barcha holatlari bo'yicha olinadi.

Klassik mexanika tomonidan yetarlicha aniqlik bilan tasvirlangan sistema uchun (8) formulada holatlar bo‘yicha yig‘indidan tizimning koordinatalari va momentlari bo‘yicha integrasiyaga o‘tish mumkin.Shu bilan birga, har bir kvant holat uchun “hujayra” mavjud. (yoki "hujayra") ħ hajmining fazali maydonida - Bar doimiy. Boshqacha aytganda, yig'ish tugadi n ustidan integratsiyaga kamayadi p va q, dan integralni almashtirishlar soniga bo'lish kerak N zarralar, ya'ni N! Bo'lim funktsiyasi uchun oxirgi klassik chegara:

U sof klassik normalizatsiya shartidan (6a) bir omil bilan farq qiladi, bu esa qo'shimcha atamaga olib keladi. F.

Yuqoridagi formulalar quyi tizimdagi zarrachalar soni berilgan holatga tegishli. Agar biz quyi tizim sifatida butun tizimning ma'lum hajmli elementini tanlasak, uning yuzasi orqali zarralar quyi tizimdan chiqib, unga qaytishi mumkin bo'lsa, u holda quyi tizimni energiyaga ega bo'lgan holatda topish ehtimoli. E n va zarrachalar soni N n Gibbsning katta kanonik taqsimot formulasi bilan berilgan:

unda qo'shimcha parametr m - Kimyoviy potentsial, quyi tizimdagi zarrachalarning o'rtacha sonini aniqlaydi va Ō qiymati normalizatsiya holatidan aniqlanadi [qarang. formula (11)].

Termodinamikaning statistik talqini. S. f.ning eng muhim natijasi. - termodinamik kattaliklarning statistik ma'nosini o'rnatish. Bu S. f.ning asosiy gʻoyalaridan termodinamika qonunlarini chiqarish imkonini beradi. va muayyan tizimlar uchun termodinamik miqdorlarni hisoblash. Avvalo, termodinamik ichki energiya tizimning o'rtacha energiyasi bilan aniqlanadi. Keyin termodinamikaning birinchi qonuni jismni tashkil etuvchi zarralar harakati paytida energiyaning saqlanish qonunining ifodasi sifatida aniq talqinni oladi.

Bundan tashqari, tizimning Gamilton funktsiyasi qandaydir l parametriga bog'liq bo'lsin (tizimni o'z ichiga olgan idish devorining koordinatalari, tashqi maydon va boshqalar). Keyin ushbu parametrga mos keladigan Umumlashtirilgan kuchning hosilasi va l va o'zgaruvchilarni hisobga olgan holda (6) formula va normalizatsiya shartini hisobga olgan holda tizimning E̅ qiymati. T va qiymatni hisobga olgan holda F bu o'zgaruvchilarning funktsiyasi ham bo'lsa, biz identifikatsiyani olamiz:

Yuqoridagilarga ko'ra, o'z ichiga olgan a'zo d l, o'rtacha ishga teng dA tanada bajariladi. Keyin oxirgi muddat tana tomonidan qabul qilingan issiqlikdir. Bu ifodani munosabat bilan solishtirish dE = dA + TdS Qaytariladigan jarayonlar uchun termodinamikaning birinchi va ikkinchi qonunlarining (qarang Termodinamikaning ikkinchi qonuni) birlashtirilgan yozuvi (qarang. Qaytariladigan jarayon), biz shuni aniqlaymizki T(6) da haqiqatan ham tananing mutlaq haroratiga va hosila entropiyaga teng) S. Bu shuni anglatadiki F bu tananing Erkin energiyasi bo'lib, uning statistik ma'nosi oydinlashadi.

(8) formuladan kelib chiqadigan entropiyaning statistik talqini alohida ahamiyatga ega. Rasmiy ravishda g energiyaga ega bo'lgan barcha holatlar bo'yicha ushbu formulaga yig'iladi E n, lekin aslida, Gibbs taqsimotidagi energiya tebranishlarining kichikligi sababli, o'rtacha energiyaga yaqin energiyaga ega bo'lgan ularning nisbatan kichik qismigina ahamiyatlidir. Shuning uchun bu muhim holatlarning sonini D̅n̅ tabiiy ravishda (8) dagi yig‘indini D̅n̅ oralig‘iga cheklash orqali aniqlash mumkin. E n o'rta energiya uchun E̅ va ko'rsatkichni yig'indi belgisi ostidan chiqarish. Keyin yig'indi D̅n̅ ni beradi va shaklni oladi.

Boshqa tomondan, termodinamikaga ko'ra, F = E̅ - TS, bu entropiyaning ma'lum makroskopik holatdagi mikroskopik holatlar soni D̅n̅ bilan, boshqacha aytganda, makroskopik holatning statistik og'irligi (Statistik vaznga qarang), ya'ni uning ehtimoli bilan bog'lanishini beradi:

Mutlaq nol haroratda har qanday tizim ma'lum bir asosiy holatda bo'ladi, shuning uchun D̅n̅ = 1, S= 0. Bu gap termodinamikaning uchinchi qonunini ifodalaydi. Bu erda entropiyaning aniq ta'rifi uchun (8) kvant formulasidan foydalanish zarurligi muhimdir; sof klassik statistikada entropiya faqat ixtiyoriy atamagacha aniqlanadi.

Entropiyaning holat ehtimolining o'lchovi sifatidagi ma'nosi o'zboshimchalik bilan - muvozanatli bo'lishi shart emas - holatlarga nisbatan ham saqlanib qoladi. Muvozanat holatida entropiya berilgan tashqi sharoitda mumkin bo'lgan maksimal qiymatga ega. Bu shuni anglatadiki, muvozanat holati maksimal statistik vaznga ega bo'lgan holat, eng ehtimoliy holat. Tizimning nomutanosiblik holatidan muvozanat holatiga o'tish jarayoni - ehtimolligi kamroq holatlardan ko'proq ehtimoliy holatlarga o'tish jarayoni; bu entropiya ortishi qonunining statistik ma'nosini ochib beradi, unga ko'ra yopiq tizimning entropiyasi faqat ortishi mumkin.

Erkin energiya bilan bog'liq formula (8). F boʻlinish funksiyasiga ega boʻlib, S. f usullari bilan termodinamik miqdorlarni hisoblash uchun asos boʻladi. U, xususan, materiyaning elektr va magnit xossalarining statistik nazariyasini yaratish uchun ishlatiladi. Masalan, magnit maydondagi jismning magnit momentini hisoblash uchun bo'linish funktsiyasi va erkin energiyani hisoblash kerak. Magnit moment m tanasi quyidagi formula bilan aniqlanadi:

m =

qayerda H- tashqi magnit maydonning intensivligi. (8) ga o'xshab, katta kanonik taqsimotda (9) normalizatsiya sharti formula bo'yicha termodinamik potentsial Ō ni aniqlaydi:

Bu potentsial erkin energiya bilan bog'liq:

Ilovalar S. f. muayyan tizimlarning ma'lum xususiyatlarini o'rganish uchun tizimning o'ziga xos xususiyatlarini hisobga olgan holda, bo'linish funktsiyasini taxminiy hisoblash uchun mo'ljallangan.

Ko'pgina hollarda, bu vazifa issiqlik sig'imini erkinlik darajasida teng taqsimlash qonunini qo'llash orqali soddalashtiriladi. Rezyume(doimiy hajmda v) garmonik tebranishlarni amalga oshiradigan zarralar - o'zaro ta'sir qiluvchi moddiy nuqtalar tizimining

c v = k(l/2 + n),

qayerda l- translatsiya va aylanish erkinlik darajalarining umumiy soni; n- tebranish erkinlik darajalari soni. Qonunning isboti Gamiltonning ishlashiga asoslanadi H bunday tizim quyidagicha ko'rinadi: H = K(pi)+ U(q m), bu erda kinetik energiya Kimga ning bir jinsli kvadrat funksiyasidir l + n impulslar pi va potentsial energiya U- ning kvadratik funktsiyasi n tebranish koordinatalari q m. Statistik integralda Z(8a) integralning tez yaqinlashishi tufayli tebranish koordinatalari bo'yicha integrallash - ∞ dan ∞ gacha kengaytirilishi mumkin. O'zgaruvchilarning o'zgarishini amalga oshirgandan so'ng, Z haroratga bog'liq Tl/2+n, shuning uchun erkin energiya F=-kT(l/ 2 +n)(ln T+ const). Bundan issiqlik sig'imining yuqoridagi ifodasi kelib chiqadi, chunki

Ideal gaz. S. tadqiqotining eng oddiy obyekti f. ideal gaz, ya'ni juda kam uchraydigan gaz bo'lib, uning molekulalari orasidagi o'zaro ta'sirni e'tiborsiz qoldirish mumkin. Bunday gazning termodinamik funktsiyalarini to'liq hisoblash mumkin. Gazning energiyasi shunchaki alohida molekulalarning energiyalarining yig'indisidir. Biroq, bu molekulalarni butunlay mustaqil deb hisoblash uchun hali ham etarli emas. Darhaqiqat, kvant mexanikasida, zarralar o'rtasida o'zaro ta'sir kuchlari bo'lmasa ham, bir xil (bir xil) zarralar, agar ular o'xshash kvant mexanik holatlarida bo'lsa, ularning bir-biriga ma'lum bir ta'siri mavjud. Bu deb ataladigan narsa. almashinuv o'zaro ta'siri. Agar o'rtacha har bir holatda bitta zarrachadan kamroq bo'lsa, uni e'tiborsiz qoldirish mumkin, bu har qanday holatda ham gazning etarlicha yuqori haroratida sodir bo'ladi; bunday gaz degenerativ bo'lmagan deb ataladi. Darhaqiqat, atomlar va molekulalardan tashkil topgan oddiy gazlar barcha haroratlarda degeneratsiyalanmaydi (ular hali ham gazsimon). Degenerativ bo'lmagan ideal gaz uchun tarqatish funktsiyasi alohida molekulalar uchun taqsimlash funktsiyalarining mahsulotiga parchalanadi. intervallarda yotadi dp x, dpy, dpz, va koordinatalari intervallarda dx, dy, dz:

, (12) Potensial energiyaga ega bo'lgan tashqi maydondagi bir atomli gaz molekulasining energiyasi U(r) ga teng p 2 /2M + U(r). Koordinatalar ustida (6) integrallash r(x, y, z) va impulslar R(p x, py, pz) bittadan boshqa barcha molekulalardan molekulalar sonini topishingiz mumkin dN, kimning impulslari

qayerda d 3 p = dp x dp y dp z, d3x = dxdydz. Bu formula Maksvell-Boltzman taqsimoti deb ataladi (qarang. Boltsman statistikasi). Agar moment bo'yicha (12) integrasiya qilsak, u holda zarrachalarni tashqi maydonda, xususan, tortishish maydonida koordinatalar bo'yicha taqsimlash formulasini olamiz - Barometrik formula. Fazoning har bir nuqtasida tezliklarning taqsimlanishi Maksvell taqsimoti m bilan mos keladi.

Ideal gazning bo'linish funktsiyasi ham alohida molekulalarga mos keladigan bir xil atamalar mahsulotiga bo'linadi. Monatomik gaz uchun (8) dagi yig'indi koordinatalar va momentlar bo'yicha integrasiyaga kamayadi, ya'ni yig'indisi ustidan integral bilan almashtiriladi. 3 hujayralar soniga ko'ra [n gaz atomlari hajmiga teng:

qayerda g- atomning asosiy holatining statistik og'irligi, ya'ni uning quyi energiya darajasiga mos keladigan holatlar soni; V- gaz hajmi (bu erda e- tayanch tabiiy logarifmlar). Yuqori haroratlarda g =(2J+1)(2L+1), qayerda J- Spin a, a qiymati L- atomning orbital momenti (Qarang: Orbital moment) (birliklarda). ħ ). uchun ifodasidan erkin energiya Bundan kelib chiqadiki, ideal gazning holat tenglamasi, ya'ni uning bosimiga bog'liqligi ( R) zarrachalar sonining zichligi bo'yicha ( N/V) va harorat quyidagi shaklga ega: PV = NkT. Monatomik gazning ichki energiyasi va doimiy hajmdagi issiqlik sig'imi teng bo'ladi:

E = 3 / 2 (NkT), c v = 3 / 2 Nk, (13)

Va uning kimyoviy potentsial:

Xarakterlisi shundaki, hatto degenerativ bo'lmagan (ya'ni klassik mexanikaga etarlicha aniqlik bilan bo'ysunadigan) gaz uchun ham erkin energiya va kimyoviy potentsial ifodalari Plank doimiyligini o'z ichiga oladi. ħ . Oxir oqibat, bu entropiya va kvant holatlar soni tushunchasi o'rtasidagi ilgari qayd etilgan bog'liqlik bilan bog'liq.

Ikki atomli va ko'p atomli gazlarda molekulalarning tebranishlari va aylanishi ham termodinamik funktsiyalarga yordam beradi. Bu hissa tebranishlarni kvantlash va molekulaning aylanishi ta'sirining ahamiyatli yoki muhim emasligiga bog'liq. Tebranish energiya darajalari orasidagi masofa I tartibli - aylanadigan jismning, bu holda molekulaning inersiya momenti. Klassik statistika, agar harorat etarlicha yuqori bo'lsa, amal qiladi

kT>> Δ E.

Bunday holda, teng taqsimlash qonuniga muvofiq, aylanish issiqlik quvvatiga doimiy hissa qo'shadi, 1/2 ga teng. k har bir aylanish erkinligi darajasi uchun; xususan, ikki atomli molekulalar uchun bu hissa tengdir k. Tebranishlar issiqlik quvvatiga teng hissa qo'shadi k Har bir tebranish erkinlik darajasi uchun (shuning uchun ikki atomli molekulaning tebranish issiqlik sig'imi k). Tebranish erkinligi darajasining hissasi aylanish bilan solishtirganda ikki baravar katta, chunki tebranish paytida molekuladagi atomlar nafaqat kinetik, balki potentsial energiyaga ham ega. Qarama-qarshi chegarada

Noto'g'ri gaz. S. t.ning muhim yutug'i. - uning zarralari orasidagi o'zaro ta'sir bilan bog'liq bo'lgan gazning termodinamik miqdorlariga tuzatishlarni hisoblash. Shu nuqtai nazardan qaraganda, ideal gazning holat tenglamasi haqiqiy gaz bosimini zarrachalar sonining zichligi kuchida kengaytirishning birinchi atamasi hisoblanadi, chunki har qanday gaz etarli darajada ideal gaz kabi harakat qiladi. past zichlik. Zichlik ortishi bilan holat tenglamasiga o'zaro ta'sirga bog'liq tuzatishlar rol o'ynay boshlaydi. Ular bosim ifodasida zarrachalar sonining zichligi yuqori bo'lgan atamalarning paydo bo'lishiga olib keladi, shuning uchun bosim so'zda ifodalanadi. shaklning virusli seriyasi:

Imkoniyatlar DA, FROM va hokazo. haroratga bog'liq va hosil bo'ladi. ikkinchi, uchinchi va boshqalar. virusli koeffitsientlar. S. usullari f. gaz molekulalari orasidagi o'zaro ta'sir qonuni ma'lum bo'lsa, bu koeffitsientlarni hisoblash imkonini beradi. Shu bilan birga, koeffitsientlar DA, FROM,... ikki, uch yoki undan ortiq molekulalarning bir vaqtda oʻzaro taʼsirini tavsiflang. Misol uchun, agar gaz bir atomli bo'lsa va uning atomlarining o'zaro ta'sirining potentsial energiyasi U(r), keyin ikkinchi virus koeffitsienti

Kattalik tartibida DA r 0 ga teng - atomning xarakterli kattaligi yoki, aniqrog'i, atomlararo kuchlarning ta'sir radiusi. Bu shuni anglatadiki, seriya (15) aslida o'lchamsiz parametrning kuchlarini kengaytirishdir № 3 / V, etarlicha kam uchraydigan gaz uchun kichik. Gaz atomlari orasidagi o'zaro ta'sir yaqin masofalarda itarish va uzoqda tortishish xususiyatiga ega. Bu olib keladi DA> 0 yuqori haroratlarda va DA T = 15,3 K koeffitsienti DA = - 3․10 -23 sm 3, va qachon T= 510 K DA = 1,8 ․10 -23 sm 3. Argon uchun DA = - 7,1․10 -23 sm 3 da T = 180 K va DA = 4,2․10 -23 sm 3 da T= 6000 K. Monatomik gazlar uchun virial koeffitsientlarning qiymatlari, shu jumladan beshinchi koeffitsientlar hisoblab chiqiladi, bu esa gazlarning juda keng diapazondagi zichlikdagi harakatlarini tavsiflash imkonini beradi (shuningdek, Gazlar ga qarang).

Plazma. Ideal bo'lmagan gazning alohida holati plazma - qisman yoki to'liq ionlangan gaz bo'lib, unda erkin elektronlar va ionlar mavjud. Etarlicha past zichlikda plazmaning xossalari ideal gaznikiga yaqin. Ideallikdan og'ishlarni hisoblashda elektronlar va ionlar Kulon qonuniga muvofiq elektrostatik o'zaro ta'sir qilishlari muhim ahamiyatga ega. Kulon kuchlari masofa bilan asta-sekin kamayadi va bu termodinamik funktsiyalarga birinchi tuzatishni hisoblash uchun bir vaqtning o'zida ikkita emas, balki ko'p sonli zarralarning o'zaro ta'sirini hisobga olish kerakligiga olib keladi. chunki juftlik o'zaro ta'sirini tavsiflovchi ikkinchi virial koeffitsientdagi (16) integral uzoq masofalarga ajralib turadi. r zarralar orasida. Haqiqatda, Kulon kuchlari ta'sirida plazmadagi ionlar va elektronlarning taqsimlanishi shunday o'zgaradiki, har bir zarrachaning maydoni ekranlanadi, ya'ni Debay radiusi deb ataladigan ma'lum masofada tez kamayadi. Elektronlar va bir zaryadlangan ionlardan tashkil topgan plazmaning eng oddiy holati uchun Debay radiusi rD teng:

qayerda N elektronlar soni e elektronning zaryadidir. Debay radiusidagi barcha zarralar bir vaqtning o'zida o'zaro ta'sirda ishtirok etadilar. Bu birinchi bosimni to'g'rilashning proportsional bo'lishiga olib keladi ( N/V) 2 oddiy gazda bo'lgani kabi, lekin zichligi pastroq - ( N/V) 3/2 . Miqdoriy hisoblash qolgan zarrachalarning Boltsman taqsimoti bo'yicha tanlangan elektron yoki ion maydonida taqsimlanishiga asoslanadi. Natijada, birinchi tuzatishni hisobga olgan holda, holat tenglamasi quyidagi shaklga ega:

(elektronlar soni ionlar soniga teng bo'lganligi sababli, zarralarning umumiy soni teng 2N). Xuddi shu turdagi tuzatishlar erigan moddalarning erkin ionlari mavjud bo'lgan elektrolitlarning termodinamik funktsiyalarida ham paydo bo'ladi.

Suyuqliklar. Gazdan farqli o'laroq, suyuqlik uchun holat tenglamasida o'zaro ta'sir shartlari kichik emas. Shuning uchun suyuqlikning xossalari uning molekulalari orasidagi o'zaro ta'sirning o'ziga xos xususiyatiga kuchli bog'liqdir. Suyuqliklar nazariyasida, odatda, nazariyani soddalashtirish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan kichik parametr yo'q. Suyuqlikning termodinamik kattaliklari uchun har qanday analitik formulalarni olish mumkin emas. Bu qiyinchilikni yengishning bir yo'li nisbatan kam sonli zarrachalardan tashkil topgan tizimni o'rganishdir - bir necha mingga teng. Bunday holda, kompyuter yordamida zarrachalarning harakat tenglamalarini to'g'ridan-to'g'ri echish va shu bilan tizimni tavsiflovchi barcha miqdorlarning o'rtacha qiymatlarini qo'shimcha taxminlarsiz aniqlash mumkin. Bunday holda, bunday tizimni muvozanat holatiga yaqinlashish jarayonini ham o'rganish mumkin. Bundan tashqari, statistik integralning asosiy formulasidagi integrallarni kompyuterda (odatda Monte-Karlo usulidan foydalangan holda) hisoblash yo'li bilan zarrachalar soni kam bo'lgan bunday tizim uchun statistik integralni topish mumkin. Ikkala usulda ham olingan natijalar tizimdagi zarrachalar soni kam bo'lganligi sababli haqiqiy suyuqliklarga qo'llanganda past aniqlikka ega.

Suyuqlik nazariyasini qurishning yana bir usuli molekulyar taqsimot funksiyalaridan foydalanishga asoslangan. Agar taqsimlash funksiyasini integrasiya qilsak w sistemaning barcha zarrachalar momenti bo'yicha va barcha zarrachalarning koordinatalari bo'yicha, bittadan tashqari, bitta zarracha fazoviy taqsimot funktsiyasi olinadi. f1(r). Agar biz integratsiya qilsak w barcha zarrachalarning momentiga va ikkitadan tashqari barcha zarralarning koordinatalariga ko'ra, ikkita zarracha taqsimot funktsiyasi olinadi. f2(r1, r2), uchtadan tashqari barcha zarralarning uch zarracha taqsimot funksiyasi f 3(r 1 , r 2 , r 3 ,) va hokazo. Ikki zarracha taqsimot funktsiyasi to'g'ridan-to'g'ri kuzatiladigan jismoniy miqdordir - u, masalan, elastik sochilishni ifodalaydi. rentgen nurlari va suyuqlikdagi neytronlar. Butun sistemaning taqsimot funksiyasi Gibbs taqsimoti (6) bilan berilgan deb faraz qilsak, ikki zarrali funksiyani uch zarrali funksiya va zarralar orasidagi o‘zaro ta’sir potensiali ko‘rinishida ifodalovchi integral munosabatni olish mumkin. Suyuqliklar nazariyasida bu aniq munosabat uch zarracha funktsiyasini ikki zarracha funktsiyasi (bir hil suyuqlikdagi bir zarracha funksiyasi doimiy holatga keltiriladi) bilan ifodalovchi ba'zi taqribiylar bilan to'ldiriladi. Natijada ikki zarrali funksiya uchun tenglama hosil bo‘lib, u son bilan yechiladi. Qo'shimcha munosabatlar aql bovar qilmaydigan jismoniy mulohazalar asosida topiladi va interpolyatsiya xarakteriga ega, shuning uchun ularga asoslangan nazariyalar faqat suyuqlik xususiyatlarining sifat tavsifini talab qilishi mumkin. Shunga qaramay, hatto bunday sifat tavsifi ham muhimdir, chunki u S. f qonunlarining umumiyligini ochib beradi. (shuningdek qarang: Suyuqlik).

Degenerativ gazlar. Agar gaz harorati doimiy zichlikda tushirilsa, bir xil zarrachalar sistemasining to`lqin funksiyalarining simmetriya xossalari bilan bog`liq kvant-mexanik effektlar paydo bo`la boshlaydi. Gaz "buziladi" (qarang Degeneratsiya gaz). Yarim butun spinli zarralar uchun har qanday zarralar juftligi almashtirilganda to'lqin funksiyasi belgisini o'zgartirishi kerak. Bu, xususan, bir nechta zarralarning bir kvant holatida bo'lishi mumkin emasligiga olib keladi (Pauli printsipi). Bitta holatda butun spinli zarralar soni har qanday bo'lishi mumkin, ammo bu holda zarralar qayta joylashtirilganda talab qilinadigan to'lqin funktsiyasining o'zgarmasligi bu erda gazning statistik xususiyatlarining o'zgarishiga olib keladi. Yarim butun spinli zarralar Fermi-Dirak statistikasi bilan tavsiflanadi; ular Fermionlar deb ataladi. Fermiyonlarga, masalan, elektronlar, protonlar, neytronlar, deyteriy atomlari, geliyning engil izotopi 3 He atomlari kiradi. Butun spinli zarralar - Bozonlar Bose-Eynshteyn statistikasi bilan tavsiflanadi. Bularga vodorod atomlari, 4 He atomlari, yorug'lik kvantlari - Fotonlar kiradi.

oraliqda yotgan moment bilan birlik hajmdagi gaz zarralarining o'rtacha soni bo'lsin d 3 p, u yerda n p - faza fazosining bir katakchasidagi zarrachalar soni ( g = 2J+ 1, qaerda J zarracha spini). Keyin Gibbs taqsimotidan kelib chiqadiki, ideal gazlar uchun fermionlar (yuqori belgi) va bozonlar (pastki belgi):

Ushbu formulada e = p 2 /2M impulsli zarrachaning energiyasi R, m - kimyoviy potentsial zarrachalar sonining doimiyligi shartidan ( N) tizimda:

Formula (19) Boltsmann taqsimot formulasiga (12) aylanadi Issiqlik tezligi bilan harakatlanadigan zarrachalarning de Broyl to'lqinlari ular orasidagi o'rtacha masofa tartibiga aylanadi. Shunday qilib, degeneratsiya haroratda pastroq bo'lsa, gazdagi zarrachalar sonining zichligi qanchalik past bo'lsa (va zarrachaning massasi qanchalik katta bo'lsa) ta'sir qiladi. M).

Fermionlar bo'lsa, shunday bo'lishi kerak. np≤ 1. Bu fermion gazining zarralari (Fermi gazi) va at T= 0 nolga teng bo'lmagan momentga ega, chunki faqat bitta zarra nol impulsli holatda bo'lishi mumkin. Aniqroq aytganda, at T Fermi gazi uchun = 0 np= 1 Fermi yuzasi ichida (Qarang: Fermi yuzasi) - radiusli impuls fazosidagi sharlar n p = 0. Cheklangan, lekin past haroratlarda np sfera ichida 1 dan sfera tashqarisida asta-sekin nolga o'zgaradi va o'tish hududining kengligi tartibli MkT/p F. Qiymat np Fermi gazi uchun e energiyaga bog'liqligi rasmda sxematik tarzda ko'rsatilgan. 2 (e 0 = p F 2 /2M). Gaz harorati o'zgarganda, zarrachalarning holati faqat shu o'tish qatlamida o'zgaradi va past haroratlarda Fermi gazining issiqlik sig'imi proportsionaldir. T va teng:

Bose gazida T= 0 barcha zarralar nol impulsli holatda. Bilan davlatda etarlicha past haroratlarda R= 0 - barcha zarralarning yakuniy ulushi; bu zarralar deb atalmish hosil qiladi. Bose-Eynshteyn kondensati. Qolgan zarralar bilan shtatlarda R≠ 0, va ularning soni m = 0 bilan (19) formula bilan aniqlanadi. Haroratda Fazali o'tish (pastga qarang). Nol impulsli zarralarning ulushi yo'qoladi Bose-Eynshteyn kondensatsiyasi yo'qoladi. Issiqlik sig'imining haroratga bog'liqlik egri chizig'i nuqtada mavjud T c tanaffus. da zarrachalarning momentum taqsimoti T > T s formula (19) va m T > bilan berilgan T s) 3-rasmda ko'rsatilgan.

Bose-Eynshteyn statistikasini qo'llashning alohida holati bu muvozanatdir elektromagnit nurlanish, uni fotonlardan tashkil topgan gaz deb hisoblash mumkin. Fotonning energiyasi uning impulsi bilan bog'liqlik bilan bog'liq c - yorug'likning vakuumdagi tezligi. Fotonlar soni unchalik emas berilgan qiymat, va o'zi termodinamik muvozanat shartidan aniqlanadi, shuning uchun ularning impuls taqsimoti (19) formula bo'yicha m = 0 (bundan tashqari, e = rs). Emissiya spektridagi energiya taqsimoti fotonlar sonini energiya e ga ko'paytirish orqali olinadi, shuning uchun chastota diapazonidagi energiya zichligi dō ga teng n p da olinadi ε=ħω . Bu. muvozanatli (qora) nurlanish spektri uchun Plank formulasi olinadi (qarang Plank nurlanish qonuni).

Kristal hujayra. S.ning arizasi f. kristall panjaraning termodinamik funktsiyalarini hisoblash uchun panjaradagi atomlar o'zlarining muvozanat pozitsiyalari atrofida kichik tebranishlar qilishiga asoslanadi. Bu bizga panjarani birlashtirilgan garmonik osilatorlar to'plami sifatida ko'rib chiqishga imkon beradi. Bunday tizimda to'lqinlar tarqalishi mumkin, bu o'zining dispersiya qonuni bilan tavsiflanadi, ya'ni ō chastotasining to'lqin vektoriga bog'liqligi (to'lqin vektoriga qarang). k. Kvant mexanikasida bu to'lqinlar deb ataladigan to'plam sifatida qaralishi mumkin. elementar qo'zg'alishlar yoki kvazizarralar (Qarang: Kvazizarralar) - energiyaga ega fononlar ħω va kvazi-momentum ћk. Kvazi-momentumning impulsning asosiy farqi shundaki, fonon energiyasi kvazimmentumning davriy funktsiyasi bo'lib, kattalik tartibida a - panjara doimiysiga teng. Fononlarning kvazimomenta bo'yicha taqsimlanish funksiyasi Bose-Eynshteyn taqsimot formulasi (19) bo'yicha m = 0 bilan berilgan. Bu holda, ε=ħω. Shunday qilib, qaramlik haqidagi bilim ō( k) panjaraning issiqlik sig'imini hisoblash imkonini beradi. Bu bog'liqlikni kristalldagi neytronlarning noelastik tarqalishi bo'yicha tajribalar natijasida aniqlash mumkin (Neytronografiyaga qarang) yoki panjaradagi atomlarning o'zaro ta'sirini aniqlaydigan "kuch konstantalari" qiymatlarini o'rnatish orqali nazariy jihatdan hisoblash mumkin. Past haroratlarda faqat past chastotali fononlar muhim bo'lib, oddiy tovush to'lqinlarining kvantlariga mos keladi, ular uchun ō bilan bog'liqlik mavjud. k chiziqli. Bu kristall panjaraning issiqlik sig'imi proportsional bo'lishiga olib keladi T3. Yuqori haroratlarda issiqlik sig'imi haroratga bog'liq bo'lmasligi va teng bo'lishi uchun energiyani erkinlik darajalari bo'yicha teng taqsimlash qonunidan foydalanish mumkin. 3Nk, qayerda N kristalldagi atomlar soni.

Metalllar. Metallarda o'tkazuvchanlik elektronlari termodinamik funktsiyalarga ham hissa qo'shadi. Metalldagi elektronning holati kvazi impuls bilan tavsiflanadi va, chunki elektronlar Fermi - Dirak statistikasiga bo'ysunadi, ularning kvazimomentalarga taqsimlanishi (19) formula bilan berilgan. Shuning uchun, elektron gazning issiqlik sig'imi va shunga mos ravishda, etarlicha past haroratlarda butun metallning issiqlik sig'imi T. Erkin zarrachalarning Fermi gazidan farqi shundaki, uning atrofida "faol" elektronlar to'plangan Fermi yuzasi endi shar emas, balki kvazimentum fazosida qandaydir murakkab sirtdir. Fermi sirtining shakli, shuningdek, energiyaning ushbu sirt yaqinidagi kvazi-momentumga bog'liqligi eksperimental ravishda, asosan, metallarning magnit xususiyatlarini o'rganish orqali aniqlanishi mumkin va nazariy jihatdan atalmish yordamida ham hisoblanishi mumkin. kvazpotentsial model. Supero'tkazgichlarda (qarang Supero'tkazuvchanlik ) elektronning qo'zg'atilgan holatlari Fermi yuzasidan chekli kenglikdagi bo'shliq bilan ajratiladi, bu esa elektron issiqlik sig'imining eksponensial haroratga bog'liqligiga olib keladi. Ferromagnit va antiferromagnit moddalarda magnit momentlardagi tebranishlar ham termodinamik funktsiyalarga - Spin to'lqinlariga yordam beradi.

Dielektriklar va yarim o'tkazgichlarda T= 0 erkin elektronlar mavjud emas. Cheklangan haroratlarda ularda zaryadlangan kvazizarralar paydo bo'ladi - elektronlar manfiy zaryad va (teng sonlarda) bilan "teshiklar" musbat zaryad, Elektron va teshik bog'langan holatni hosil qilishi mumkin - eksiton deb ataladigan kvazizarra. Dr. Eksiton tipi - kristall panjarada harakatlanadigan dielektrik atomining qo'zg'aluvchan holati.

S. f.da kvant maydon nazariyasi usullari. Kvant kvant fizikasi muammolarini hal qilishda, birinchi navbatda, metallar va magnitlardagi kvant suyuqliklari va elektronlarning xossalarini o'rganishda kvant fizikasiga kiritilgan kvant maydon nazariyasi usullari katta ahamiyatga ega. nisbatan yaqinda. Ushbu usullarda asosiy rolni makroskopik tizimning G Green funktsiyasi o'ynaydi, bu kvant maydon nazariyasidagi Green funktsiyasiga o'xshaydi. Bu energiya e va impulsga bog'liq R, kvazizarralarning dispersiya qonuni e( R) tenglamadan aniqlanadi:

ya'ni kvazizarraning energiyasi Yashil funktsiyaning qutbi bilan aniqlanadi. Yashil funktsiyalarni zarralar orasidagi o'zaro ta'sir energiyasining kuchlari qatori sifatida hisoblashning muntazam usuli mavjud. Ushbu seriyaning har bir atamasi o'zaro ta'sir qilmaydigan zarrachalarning Grin funktsiyalarining energiyalari va momentlari ustidan bir nechta integrallarni o'z ichiga oladi va kvant elektrodinamikasida Feynman diagrammalariga (Feynman diagrammalariga qarang) o'xshash diagrammalar shaklida grafik ko'rinishida ifodalanishi mumkin. Ushbu diagrammalarning har biri o'ziga xos xususiyatlarga ega jismoniy ma'no, bu qiziqish hodisasi uchun mas'ul bo'lgan atamalarni cheksiz qatorda ajratish va ularni umumlashtirish imkonini beradi. Shuningdek, Green funksiyalarini haroratni hisoblash uchun diagramma texnikasi mavjud bo'lib, u termodinamik miqdorlarni kvazizarralarni kiritmasdan to'g'ridan-to'g'ri hisoblash imkonini beradi. Kvazizarralarning ko'p zarrachali taqsimlash funksiyalaridan foydalanadigan suyuqliklar bo'limida keltirilgan usullar ko'p jihatdan maydonning kvant nazariyasi usullariga yaqin. Ushbu funktsiyalardan foydalanish har doim taxminiy "ajralish" ga asoslanadi - funktsiyani ustidan ifodalash. yuqori tartib pastki funktsiyalari orqali.

Fazali o'tishlar. Tashqi parametrlarning (masalan, bosim yoki harorat) doimiy o'zgarishi bilan tizimning xususiyatlari parametrlarning ba'zi qiymatlari uchun keskin o'zgarishi mumkin, ya'ni fazali o'tish sodir bo'ladi. Fazali o'tishlar birinchi turdagi o'tishlarga bo'linadi, ular o'tishning yashirin issiqligining chiqishi va hajmning sakrashi (bularga, masalan, erish kiradi) va yashirin issiqlik bo'lmagan ikkinchi turdagi o'tishlarga bo'linadi. va hajmning sakrashi (masalan, o'ta o'tkazuvchanlik holatiga o'tish). Fazali o'tishlarning statistik nazariyasi S. f ning muhim, ammo hali ham to'liq yo'nalishidan uzoqdir. uchun eng katta qiyinchilik nazariy tadqiqotlar ikkinchi tartibli fazali oʻtish chizigʻi yaqinidagi va birinchi tartibli fazali oʻtishning kritik nuqtasi yaqinidagi materiya xossalarini ifodalaydi. Matematik nuqtai nazardan, bu erda tizimning termodinamik funktsiyalari o'ziga xos xususiyatlarga ega. Bu nuqtalar yaqinida o'ziga xos Kritik hodisalar yuzaga keladi. Shu bilan birga, bu erda dalgalanmalar anomal ravishda oshadi va S. f ning taxminiy usullari. qo'llanilmaydigan bo'lib chiqadi. Shu sababli, o'tishlar mavjud bo'lgan oz sonli aniq echiladigan modellar muhim rol o'ynaydi (masalan, Ising modeli deb ataladigan).

tebranishlar. S. f qalbida. bu haqiqatdir jismoniy miqdorlar, makroskopik jismlarni tavsiflovchi, yuqori aniqlik bilan ularning o'rtacha qiymatlariga teng. Bu tenglik hali ham taxminiydir, aslida barcha miqdorlar o'rtacha qiymatlardan kichik tasodifiy og'ishlarni - tebranishlarni boshdan kechiradi. Dalgalanishlarning mavjudligi katta fundamental ahamiyatga ega, chunki termodinamik qonuniyatlarning statistik xususiyatini bevosita isbotlaydi. Bundan tashqari, tebranishlar shovqinga aralashish rolini o'ynaydi jismoniy o'lchovlar va ularning aniqligini cheklash. Ba'zi qiymatlarning tebranishlari X o'rtacha atrofida x̅ o'rtacha kvadrat tebranishlari bilan tavsiflanadi

Aksariyat hollarda qiymat X ga proportsional S tartibli tebranishlarni boshdan kechiradi e S/k. Bu formulaga olib keladi

Masalan, tana hajmi va harorati o'zgarishining o'rtacha kvadratlari:

Bu formulalardan ko'rinib turibdiki, nisbiy hajm tebranishlari va haroratning o'zgarishi N - tanadagi zarrachalar soniga teskari proportsionaldir. Bu makroskopik jismlar uchun tebranishlarning kichikligini ta'minlaydi. Turli miqdorlarning tebranishlari o'rtasidagi bog'liqlik x i, x k x i va x funksiyalari bilan tavsiflanadi k ular statistik jihatdan mustaqildir

ostida x i va x k Kosmosning turli nuqtalarida bir xil miqdorning qiymatlarini, masalan, zichlikni ham tushunish mumkin. U holda bu funksiya fazoviy korrelyatsiya funksiyasi ma'nosiga ega. Nuqtalar orasidagi masofa oshgani sayin korrelyatsiya funksiyasi nolga intiladi (odatda eksponensial), chunki fazoning uzoq nuqtalarida tebranishlar mustaqil ravishda sodir bo'ladi. Bu funktsiya sezilarli darajada pasayib ketadigan masofa korrelyatsiya radiusi deb ataladi.

Tebranishlarning vaqt harakati va tebranish shovqinining spektral taqsimoti vaqt korrelyatsiyasi funksiyasi ph ( bilan tavsiflanadi. t), unda turli vaqtlarda olingan miqdorning tebranishlari o'rtacha hisoblanadi t:

Dalgalanishlar nazariyasida muhim rol o'ynaydi Fluktuatsiya-dissipatsiya teoremasi, bu tizimdagi tebranishlarni ma'lum tashqi ta'sirlar ta'sirida uning xususiyatlarining o'zgarishi bilan bog'laydi. Bunday turdagi eng oddiy munosabatni garmonik osilator a ning potentsial energiya bilan tebranishlarini hisobga olgan holda olish mumkin. m - osilator massasi, ō 0 o'ziga xos chastotadir. Formula (22) yordamida hisoblash quyidagilarni beradi: f, o'rtacha qiymat x̅ miqdori bo'yicha o'zgartiriladi

va tebranish X haqiqatan ham kuch ta'sirida bezovtalanish bilan bog'liq f. Umumiy holatda, agar for bo'lsa, fluktuatsiya-dissipatsiya teoremasi qo'llaniladi X"umumiy kuch" mavjud f, bu tizimning energiya operatoriga (Gamiltonian; kvant mexanikasiga qarang) x atamasi sifatida kiritilgan. Quvvatni yoqish f o'rtacha qiymatning o'zgarishiga olib keladi x̅ tomonidan d x̅, va agar f vaqtga bog'liq e-i wt , bu o'zgarish quyidagicha yozilishi mumkin:

a(ō) kompleks kattaligi sistemaning umumlashgan sezgirligi deyiladi. Teorema shuni ko'rsatadiki, korrelyatsiya funktsiyasining Furye konvertatsiyasi

S. f. muvozanatsiz jarayonlar. Fizik fizikaning nomutanosib holatlardagi tizimlardagi jarayonlarni o'rganadigan bo'limi bo'lgan fizik kinetika tobora katta ahamiyat kasb etmoqda. Bu erda ikkita mumkin bo'lgan savol bor. Birinchidan, tizimni qandaydir muvozanatsiz holatda ko'rib chiqish va uning muvozanat holatiga o'tishini kuzatish mumkin. Ikkinchidan, biz muvozanatsiz holati saqlanib qolgan tizimni ko'rib chiqishimiz mumkin tashqi sharoitlar, masalan, harorat gradienti berilgan jism oqadi elektr toki va hokazo, yoki o'zgaruvchan tashqi maydonda joylashgan tana.

Agar muvozanatdan og'ish kichik bo'lsa, tizimning nomutanosiblik xususiyatlari deb ataladigan narsa bilan tavsiflanadi. kinetik koeffitsientlar. Bunday koeffitsientlarga yopishqoqlik koeffitsientlari misol bo'la oladi (qarang