Fraksiya m/n biz qaytarilmas deb hisoblaymiz (oxir-oqibat, qaytariladigan kasr har doim kamaytirilmaydigan shaklga keltirilishi mumkin). Tenglamaning ikkala tomonini kvadratga aylantirib, biz olamiz m^2=2n^2. Bundan biz m ^ 2, keyin esa raqam degan xulosaga kelamiz m- hatto. bular. m = 2k. Shunung uchun m^2 = 4k^2 va shuning uchun 4 k^2 =2n^2 yoki 2 k^2 = n^2. Ammo keyin shunday bo'ladi n kasr bo'lgani uchun ham juft son bo'lishi mumkin emas m/n qaytarilmas. Qarama-qarshilik bor. Bizning taxminimiz noto'g'ri va degan xulosaga kelish kerak ratsional son m/n√2 ga teng bo'lmagan.

Bu ularning barcha isboti.

Qadimgi yunonlarning dalillarini tanqidiy baholash

1) Yunonlar tomonidan qabul qilingan ratsional sonda m/n raqamlar m va n butun, lekin noma'lum(ular hatto, ular bo'lsin g'alati). Va shunday! Va ular o'rtasida qandaydir bog'liqlikni o'rnatish uchun ularning maqsadini aniq belgilash kerak;

2) Qadimgilar bu raqamga qaror qilganlarida m juft bo'lsa, ular qabul qilingan tenglikda m = 2k ular (qasddan yoki bilmasdan!) "sonni to'g'ri" tavsiflay olmadilar. k ". Ammo bu raqam k- bu butun(Butun!) Va butunlay mashhur topilganni aniq belgilaydigan raqam hatto raqam m. Va bo'lmang topildi raqamlar " k"qadimgilar bundan keyin ham qila olmadilar" foydalanish» va raqam m ;

3) Va qachon tenglikdan 2 k^2 = n^ 2 raqamni qadimgi odamlar olishgan n^2 juft va ayni paytda n- hatto, ular bo'lishi kerak shoshilmang haqida xulosa bilan paydo bo'layotgan ziddiyat", lekin chegaraga ishonch hosil qilish yaxshiroqdir aniqlik ular tomonidan qabul qilingan tanlash» raqamlar « n ».

Va ular buni qanday qilishlari mumkin edi? Ha, oddiy!
Qarang: ularning 2 tenglamasidan k^2 = n^2 quyidagi tenglikni osongina olish mumkin k√2 = n. Va bu erda hech qanday ayblanuvchi narsa yo'q - axir ular tenglikdan olishgan m/n=√2 boshqa adekvat tenglik m^2=2n^2! Va hech kim ularni kesib o'tmadi!

Ammo yangi tenglikda k√2 = n aniq INTEGER raqamlari bilan k va n dan ekanligi aniq har doim √2 raqamini oling - oqilona . Har doim! Chunki unda raqamlar mavjud k va n- mashhur BUTUN!

Ammo ularning tengligidan 2 k^2 = n^2 va natijada dan k√2 = n√2 raqamini oling - mantiqsiz (shunga o'xshash " tilagan"qadimgi yunonlar!"), keyin ular bo'lishi kerak, kamida , raqam " k" sifatida butun son bo'lmagan (!!!) raqamlar. Qadimgi yunonlar esa bunga ega emas edilar!

Demak, XULOSA: 2400 yil avval qadimgi yunonlar tomonidan √2 sonining mantiqsizligining yuqoridagi isboti, ochig'i noto'g'ri va matematik jihatdan noto'g'ri, hech bo'lmaganda - bu shunchaki yolg'on .

Yuqorida ko'rsatilgan kichik F-6 broshyurasida (yuqoridagi rasmga qarang), 2015 yilda Krasnodarda (Rossiya) jami 15 000 nusxada chop etilgan. (aniq, homiylik bilan) matematika nuqtai nazaridan yangi, o'ta to'g'ri va juda to'g'ri] √2 raqamining mantiqsizligining isboti, agar qattiq bo'lmaganida, allaqachon sodir bo'lishi mumkin edi " prepo n" Tarixning qadimiylarini o'rganishga.

Irratsional son tushunchasining o'zi shunday tartibga solinganki, u "oqilona bo'lish" xususiyatini inkor etish orqali aniqlanadi, shuning uchun bu erda ziddiyat bilan isbotlash eng tabiiydir. Biroq, quyidagi dalillarni keltirish mumkin.

Asosiy ratsional sonlar irratsional sonlardan qanday farq qiladi? Ularning ikkalasini ham har qanday aniqlik bilan ratsional sonlar bilan yaqinlashtirish mumkin, ammo ratsional sonlar uchun "nol" aniqlik bilan (sonning o'zi) yaqinlashish mavjud, ammo irratsional sonlar uchun endi bunday emas. Keling, u bilan o'ynashga harakat qilaylik.

Avvalo, biz shunday oddiy haqiqatni qayd etamiz. $%\alpha$%, $%\beta$% bir-biriga $%\varepsilon$% aniqlik bilan yaqinlashuvchi ikkita musbat son boʻlsin, yaʼni $%|\alpha-\beta|=\varepsilon$%. Agar raqamlarni teskari aylantirsak nima bo'ladi? Bu aniqlikni qanday o'zgartiradi? Ko'rish oson $$\left|\frac1\alpha-\frac1\beta\right|=\frac(|\alpha-\beta|)(\alpha\beta)=\frac(\varepsilon)(\ alpha\ beta),$$, bu $%\alpha\beta>1$% uchun $%\varepsilon$% dan qat'iy kamroq bo'ladi. Bu tasdiqni mustaqil lemma deb hisoblash mumkin.

Keling, $%x=\sqrt(2)$% qo'yamiz va $%q\in(\mathbb Q)$% $%x$% aniqlik bilan $%\varepsilon$% ning ratsional yaqinlashuvi bo'lsin. Biz $%x>1$% ekanligini bilamiz va $%q$% yaqinlashuviga kelsak, biz $%q\ge1$% tengsizlikni qondirishni talab qilamiz. $%1$% dan kam bo'lgan barcha raqamlar uchun taxminiylik aniqligi $%1$% ning o'zidan yomonroq bo'ladi va shuning uchun biz ularni hisobga olmaymiz.

$%x$%, $%q$% raqamlarining har biriga $%1$% qo'shamiz. Shubhasiz, taxminiy aniqlik bir xil bo'lib qoladi. Endi bizda $%\alpha=x+1$% va $%\beta=q+1$% raqamlari mavjud. O'zaro munosabatlarga o'tadigan va "lemma" ni qo'llagan holda, biz taxminiy aniqligimiz yaxshilangan va $%\varepsilon$% dan qat'iy kamroq bo'lgan degan xulosaga kelamiz. Kerakli shart $%\alpha\beta>1$% marj bilan ham bajariladi: aslida biz $%\alpha>2$% va $%\beta\ge2$% ekanligini bilamiz, shundan xulosa qilishimiz mumkin: aniqlik kamida $%4$% marta yaxshilanadi, ya'ni $%\varepsilon/4$% dan oshmaydi.

Va bu erda asosiy nuqta: shart bo'yicha $%x^2=2$%, ya'ni $%x^2-1=1$%, demak $%(x+1)(x- 1) =1$%, ya'ni $%x+1$% va $%x-1$% sonlari bir-biriga teskari. Va bu shuni anglatadiki, $%\alpha^(-1)=x-1$% (ratsional) $%\beta^(-1)=1/(q+1)$% ga yaqin boʻladi. aniqlik $%\varepsilon$% dan qat'iy kamroq. Bu raqamlarga $%1$% qo'shish qoladi va $%x$% soni, ya'ni $%\sqrt(2)$% $%\beta ga teng yangi ratsional yaqinlashuvga ega ekanligi ma'lum bo'ldi. ^(- 1)+1$%, ya'ni $%(q+2)/(q+1)$%, "yaxshilangan" aniqlik bilan. Bu dalilni to'ldiradi, chunki yuqorida aytib o'tganimizdek, ratsional sonlar $%\varepsilon=0$% aniqlik bilan "mutlaqo aniq" ratsional yaqinlashuvga ega, bunda aniqlikni printsipial jihatdan oshirib bo'lmaydi. Va biz buni uddaladik, bu bizning raqamimizning mantiqsizligi haqida gapiradi.

Aslida, bu argument har doim yaxshilanib boruvchi aniqlik bilan $%\sqrt(2)$% uchun aniq ratsional yaqinlashuvlarni qanday qurishni ko'rsatadi. Biz birinchi navbatda $%q=1$% taxminini olishimiz kerak va keyin bir xil almashtirish formulasini qo'llashimiz kerak: $%q\mapsto(q+2)/(q+1)$%. Bu jarayon quyidagilarni hosil qiladi: $$1,\frac32,\frac75,\frac(17)(12),\frac(41)(29),\frac(99)(70)$$ va hokazo.

Misol:
\(4\) ratsional son, chunki uni \(\frac(4)(1)\) shaklida yozish mumkin;
\(0,0157304\) ham oqilona, ​​chunki uni \(\frac(157304)(10000000)\) shaklida yozish mumkin;
\(0,333(3)…\) - va bu ratsional son: quyidagicha ifodalanishi mumkin \(\frac(1)(3)\) ;
\(\sqrt(\frac(3)(12))\) ratsionaldir, chunki u \(\frac(1)(2)\) sifatida ifodalanishi mumkin. Haqiqatan ham, biz o'zgarishlar zanjirini amalga oshirishimiz mumkin \(\sqrt(\frac(3)(12))\) \(=\)\(\sqrt(\frac(1)(4))\) \(= \) \ (\ frac (1) (2) \)

irratsional son butun son ayiruvchi va maxrajli kasr shaklida yozilmaydigan sondir.

Mumkin emas, chunki u cheksiz kasrlar va hatto davriy bo'lmaganlar. Shuning uchun, bir-biriga bo'linganda irratsional sonni beradigan butun sonlar yo'q.

Misol:
\(\sqrt(2)≈1,414213562…\) irratsional son;
\(p≈3,1415926… \) irratsional son;
\(\log_(2)(5)≈2,321928…\) - irratsional son.

Misol (OGE dan topshiriq). Qaysi ifodaning qiymati ratsional son?
1) \(\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)\);
2)\((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))\);
3) \(\ frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))\);
4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)\).

Yechim:

1) \(\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)\) sonni butun sonli kasr shaklida ifodalash ham mumkin emas. , shuning uchun raqam irratsionaldir.

2) \((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14=-5\) - hech qanday ildiz qolmagan, sonni kasr sifatida osongina ifodalash mumkin, masalan, \(\frac(-5)(1)\) , shuning uchun u oqilona.

3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11) \) - ildizni ajratib bo'lmaydi - raqam irratsional.

4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)=\sqrt(9\cdot 6)+3\sqrt(6)=3\sqrt(6)+3\sqrt(6)=6\sqrt (6)\) ham irratsionaldir.

Birlik uzunligi segmenti bilan qadimgi matematiklar allaqachon bilishgan: ular, masalan, diagonal va kvadratning yon tomonining nomutanosibligini bilishgan, bu raqamning irratsionalligiga teng.

Mantiqiy emas:

Irratsionallikni isbotlovchi misollar

2 ning ildizi

Aksincha faraz qilaylik: u ratsionaldir, ya'ni kamaytirilmaydigan kasr sifatida ifodalanadi, bu erda va butun sonlardir. Keling, taxmin qilingan tenglikni kvadratga aylantiramiz:

Bundan kelib chiqadiki, juft, demak, juft va. Qaerda hammasi bo'lsin. Keyin

Shuning uchun, hatto, demak, juft va. Biz buni oldik va juft bo'lib, bu kasrning qaytarilmasligiga ziddir. Demak, dastlabki taxmin noto'g'ri bo'lib, irratsional sondir.

3 raqamining ikkilik logarifmi

Buning aksini tasavvur qiling: u ratsional, ya'ni kasr sifatida ifodalanadi, bu erda va butun sonlar. dan beri va ijobiy qabul qilinishi mumkin. Keyin

Lekin bu aniq, g'alati. Biz qarama-qarshilikni olamiz.

e

Hikoya

Irratsional sonlar tushunchasi hind matematiklari tomonidan miloddan avvalgi 7-asrda, Manava (miloddan avvalgi 750-yillar - miloddan avvalgi 690-yillar) baʼzi natural sonlarning kvadrat ildizlarini, masalan, 2 va 61-ni aniq ifodalash mumkin emasligini aniqlaganida, bilvosita qabul qilingan.

Irratsional sonlar mavjudligining birinchi dalili odatda pifagoriyalik Metapontlik Gipasga (miloddan avvalgi 500-yillar) tegishli boʻlib, bu dalilni pentagramma tomonlarining uzunliklarini oʻrganish orqali topgan. Pifagorchilar davrida, etarlicha kichik va bo'linmaydigan yagona uzunlik birligi borligiga ishonishgan, bu har qanday segmentga kiritilgan butun sondir. Biroq, Gipasus uzunlikning yagona birligi yo'qligini ta'kidladi, chunki uning mavjudligini taxmin qilish qarama-qarshilikka olib keladi. U ko'rsatdiki, agar teng yonli to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi birlik segmentlarining butun sonini o'z ichiga olsa, u holda bu son bir vaqtning o'zida ham juft, ham toq bo'lishi kerak. Dalil shunday ko'rinardi:

• Gipotenuzaning uzunligini teng yonli to'g'ri burchakli uchburchakning oyog'i uzunligiga nisbati quyidagicha ifodalanishi mumkin. a:b, qayerda a va b eng kichiki sifatida tanlanadi.
• Pifagor teoremasiga ko'ra: a² = 2 b².
• Chunki a² hatto, a juft bo'lishi kerak (chunki toq sonning kvadrati toq bo'lar edi).
• Chunki a:b qaytarilmas b g'alati bo'lishi kerak.
• Chunki a juft, belgilang a = 2y.
• Keyin a² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y², shuning uchun b demak, teng bo'ladi b hatto.
• Biroq, bu isbotlangan b g'alati. Qarama-qarshilik.

Yunon matematiklari bu nisbatni tengsiz miqdorlar deb atashgan alogos(ta'riflab bo'lmaydigan), ammo afsonalarga ko'ra, Gipasga munosib hurmat ko'rsatilmagan. Rivoyatlarga ko'ra, Gipas dengizda sayohat qilganida kashfiyot qilgan va boshqa Pifagorchilar tomonidan "koinotdagi barcha mavjudotlarni butun sonlar va ularning nisbatlariga qisqartirish mumkinligi haqidagi ta'limotni rad etuvchi koinot elementini yaratish uchun uloqtirgan". " Gipasning kashfiyoti Pifagor matematikasi uchun jiddiy muammo tug'dirdi, bu butun nazariya asosida yotgan raqamlar va geometrik jismlar bir va ajralmas degan taxminni yo'q qildi.

Shuningdek qarang

Eslatmalar

Qanday raqamlar irratsionaldir? irratsional son ratsional haqiqiy son emas, ya'ni. uni kasr sifatida ifodalash mumkin emas (ikkita butun sonning nisbati sifatida), bu erda m butun son, n- natural son. irratsional son cheksiz davriy bo'lmagan o'nli kasr sifatida ifodalanishi mumkin.

irratsional son aniq bo'lishi mumkin emas. Faqat 3.333333 formatida. Masalan, Kvadrat ildiz ikkitadan - irratsional son.

Irratsional son nima? Irratsional son(ratsionallardan farqli o'laroq) cheksiz o'nli davriy bo'lmagan kasr deyiladi.

Ko'p irratsional sonlar ko'pincha katta lotin harfi bilan soyasiz qalin harf bilan belgilanadi. Bu.:

Bular. irratsional sonlar to'plami - haqiqiy va ratsional sonlar to'plami o'rtasidagi farq.

Irratsional sonlarning xossalari.

• 2 ta manfiy bo'lmagan irratsional sonlar yig'indisi ratsional son bo'lishi mumkin.
• Irratsional sonlar Dedekind bo'limlarini ratsional sonlar to'plamida, mavjud bo'lmagan quyi sinfda aniqlang katta raqam, va yuqorida kichikroq yo'q.
• Har bir haqiqiy transsendental son irratsional sondir.
• Barcha irratsional sonlar algebraik yoki transsendent hisoblanadi.
• Irratsional sonlar to'plami hamma joyda raqamlar chizig'ida zich joylashgan: har bir juft son o'rtasida irratsional son mavjud.
• Irratsional sonlar to‘plamidagi tartib haqiqiy transsendental sonlar to‘plamidagi tartib bilan izomorf.
• Irratsional sonlar to'plami cheksiz, 2-toifali to'plamdir.
• Ratsional sonlar ustidagi har bir arifmetik amalning natijasi (0 ga bo'lishdan tashqari) ratsional sondir. Irratsional sonlar ustidagi arifmetik amallarning natijasi ratsional yoki irratsional son bo‘lishi mumkin.
• Ratsional va irratsional sonning yig'indisi har doim irratsional son bo'ladi.
• Irratsional sonlar yig'indisi ratsional son bo'lishi mumkin. Masalan, ruxsat bering x mantiqsiz, keyin y=x*(-1) ham mantiqsiz; x+y=0, va raqam 0 ratsional (agar, masalan, har qanday 7 darajaning ildizini qo'shsak va etti darajaning ildizini ayirib tashlasak, biz 0 ratsional sonini olamiz).

Irratsional sonlar, misollar.

γ — ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — s — α — e — π — δ