Tasodifiy o'zgaruvchi turli holatlarga qarab ma'lum qiymatlarni qabul qilishi mumkin bo'lgan o'zgaruvchidir va tasodifiy miqdor uzluksiz deyiladi , agar u qandaydir chegaralangan yoki cheklanmagan oraliqdan istalgan qiymatni qabul qila olsa. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun barcha mumkin bo'lgan qiymatlarni ko'rsatish mumkin emas, shuning uchun ma'lum bir ehtimollik bilan bog'liq bo'lgan ushbu qiymatlarning intervallari belgilanadi.

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilarga misollar: berilgan o'lchamga aylantirilgan qismning diametri, odamning balandligi, o'qning masofasi va boshqalar.

Chunki uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar uchun funktsiya F(x), farqli o'laroq diskret tasodifiy o'zgaruvchilar, hech bir joyda sakrashlari yo'q, u holda uzluksiz tasodifiy miqdorning har qanday yagona qiymatining ehtimoli nolga teng.

Bu shuni anglatadiki, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun uning qiymatlari orasidagi ehtimollik taqsimoti haqida gapirishning ma'nosi yo'q: ularning har biri nolga teng ehtimolga ega. Biroq, ma'lum bir ma'noda, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari orasida "ko'proq va kamroq ehtimol" mavjud. Misol uchun, hech kim tasodifiy o'zgaruvchining qiymati - tasodifiy duch kelgan odamning balandligi - 170 sm - 220 sm dan ko'proq bo'lishiga shubha qilishi dargumon, garchi bir va boshqa qiymat amalda sodir bo'lishi mumkin.

Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimlanish funksiyasi va ehtimollik zichligi

Faqat uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar uchun mantiqiy bo'lgan taqsimot qonuni sifatida taqsimot zichligi yoki ehtimollik zichligi tushunchasi kiritilgan. Keling, uzluksiz tasodifiy miqdor va diskret tasodifiy miqdor uchun taqsimot funktsiyasining ma'nosini taqqoslash orqali yondashamiz.

Demak, tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi (ham diskret, ham uzluksiz) yoki integral funktsiya tasodifiy o'zgaruvchining qiymati bo'lish ehtimolini aniqlaydigan funksiya deyiladi X chegara qiymatidan kam yoki unga teng X.

Uning qiymatlari nuqtalarida diskret tasodifiy o'zgaruvchi uchun x1 , x 2 , ..., x men,... ehtimolliklarning konsentrlangan massalari p1 , p 2 , ..., p men,..., va barcha massalar yig'indisi 1 ga teng. Keling, bu talqinni uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchiga o'tkazamiz. Tasavvur qiling-a, 1 ga teng massa alohida nuqtalarda to'plangan emas, balki x o'qi bo'ylab doimiy ravishda "yog'langan". ho'kiz bir oz notekis zichlik bilan. Har qanday saytdagi tasodifiy o'zgaruvchiga tegish ehtimoli D x Ushbu bo'limga tegishli bo'lgan massa sifatida va bu qismdagi o'rtacha zichlik - massaning uzunlikka nisbati sifatida talqin qilinadi. Biz hozirgina ehtimollar nazariyasiga muhim tushunchani kiritdik: taqsimot zichligi.

Ehtimollik zichligi f(x) uzluksiz tasodifiy miqdor uning taqsimot funksiyasining hosilasidir:

.

Zichlik funksiyasini bilib, uzluksiz tasodifiy miqdorning qiymati yopiq intervalga tegishli bo'lish ehtimolini topishimiz mumkin [ a; b]:

uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining ehtimoli X oraliqdan istalgan qiymatni oladi [ a; b], dan diapazonda uning ehtimollik zichligining ma'lum bir integraliga teng a oldin b:

.

Qayerda umumiy formula funktsiyalari F(x) zichlik funktsiyasi ma'lum bo'lsa, foydalanish mumkin bo'lgan uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimoti f(x) :

.

Uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi grafigi uning taqsimot egri chizig'i deb ataladi (quyida rasm).

Shaklning maydoni (rasmda soyali), egri chiziq bilan chegaralangan, nuqtalardan chizilgan to'g'ri chiziqlar a va b abscissa o'qiga perpendikulyar va o'q Oh, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining qiymati bo'lish ehtimolini grafik tarzda ko'rsatadi X oralig'ida joylashgan a oldin b.

Uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi funksiyasining xossalari

1. Tasodifiy o'zgaruvchining oraliqdan istalgan qiymatni olish ehtimoli (va funktsiya grafigi bilan chegaralangan rasmning maydoni) f(x) va o'q Oh) birga teng:

2. Ehtimollar zichligi funksiyasi manfiy qiymatlarni qabul qila olmaydi:

va taqsimot mavjudligidan tashqarida uning qiymati nolga teng

Tarqatish zichligi f(x), shuningdek, taqsimlash funktsiyasi F(x), taqsimot qonunining shakllaridan biridir, lekin taqsimot funktsiyasidan farqli o'laroq, u universal emas: taqsimot zichligi faqat uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar uchun mavjud.

Uzluksiz tasodifiy miqdorni taqsimlashning amaldagi ikkita eng muhim turini aytib o'tamiz.

Agar taqsimot zichligi funktsiyasi bo'lsa f(x) ba'zi bir chekli oraliqdagi uzluksiz tasodifiy miqdor [ a; b] doimiy qiymatni oladi C, va intervaldan tashqarida nolga teng qiymat qabul qilinadi, keyin bu taqsimlash bir xil deb ataladi .

Agar taqsimot zichligi funktsiyasining grafigi markazga nisbatan nosimmetrik bo'lsa, o'rtacha qiymatlar markaz yaqinida to'planadi va markazdan uzoqlashganda o'rtacha qiymatlardan farqliroq yig'iladi (funktsiya grafigi kesmaga o'xshaydi). qo'ng'iroq), keyin bu taqsimot normal deyiladi .

1-misol Uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimoti funksiyasi ma'lum:

Xususiyat toping f(x) uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi. Ikkala funktsiya uchun grafiklarni tuzing. Uzluksiz tasodifiy miqdorning 4 dan 8 gacha bo'lgan oraliqdagi istalgan qiymatni olish ehtimolini toping: .

Yechim. Ehtimollar taqsimoti funksiyasining hosilasini topib, ehtimollik zichligi funksiyasini olamiz:

Funktsiya grafigi F(x) - parabola:

Funktsiya grafigi f(x) - to'g'ri chiziq:

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining 4 dan 8 gacha bo'lgan oraliqdagi istalgan qiymatni olish ehtimoli topilsin:

2-misol Uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi funksiyasi quyidagicha berilgan:

Hisoblash omili C. Xususiyat toping F(x) uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimoti. Ikkala funktsiya uchun grafiklarni tuzing. Uzluksiz tasodifiy miqdorning 0 dan 5 gacha bo‘lgan oraliqdagi istalgan qiymatni olish ehtimolini toping: .

Yechim. Koeffitsient C ehtimollik zichligi funksiyasining 1 xususiyatidan foydalanib topamiz:

Shunday qilib, uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi funksiyasi:

Integratsiyalash orqali biz funktsiyani topamiz F(x) ehtimollik taqsimotlari. Agar a x < 0 , то F(x) = 0. Agar 0< x < 10 , то

.

x> 10, keyin F(x) = 1 .

Shunday qilib, ehtimollikni taqsimlash funktsiyasining to'liq yozuvi:

Funktsiya grafigi f(x) :

Funktsiya grafigi F(x) :

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining 0 dan 5 gacha bo'lgan oraliqdagi istalgan qiymatni olish ehtimoli topilsin:

3-misol Uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi X tenglik bilan beriladi, esa. Koeffitsientni toping LEKIN, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining ehtimoli X uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi ]0, 5[ oraliqdan qandaydir qiymat oladi X.

Yechim. Shartga ko'ra, biz tenglikka erishamiz

Shuning uchun, qaerdan. Shunday qilib,

.

Endi biz uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining ehtimolini topamiz X]0, 5[ oralig'idan istalgan qiymatni oladi:

Endi biz ushbu tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlash funktsiyasini olamiz:

4-misol Uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligini toping X, bu faqat manfiy bo'lmagan qiymatlarni oladi va uning taqsimot funktsiyasi .

………………………………………………………

An - X tasodifiy o'zgaruvchisi An qiymatini oldi.

Shubhasiz, hodisalar yig'indisi A1 A2, . , An - bu ma'lum bir hodisa, chunki tasodifiy o'zgaruvchi x1, x2, xn qiymatlaridan kamida bittasini oladi.

Demak, P (A1 È A2 È . È An) = 1.

Bundan tashqari, A1, A2, ., An hodisalari mos kelmaydi, chunki bitta tajribada tasodifiy o'zgaruvchi x1, x2, ., xn qiymatlaridan faqat bittasini olishi mumkin. Mos kelmaydigan hodisalar uchun qo'shish teoremasi orqali biz olamiz

P(A1)+P(A2)+ .+P(An)=1,

ya'ni p1+p2+. +pn = 1 yoki qisqasi,

Shuning uchun X tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini beradigan 1-jadvalning ikkinchi qatorida joylashgan barcha sonlar yig'indisi bittaga teng bo'lishi kerak.

MISOL 1. X tasodifiy o'zgaruvchisi matritsa o'ralgan paytdagi nuqtalar soni bo'lsin. Tarqatish qonunini toping (jadval shaklida).

Tasodifiy qiymat X qiymatlarni oladi

x1=1, x2=2, … , x6=6

ehtimollar bilan

p1= p2 = … = p6 =

Tarqatish qonuni jadvalda keltirilgan:

jadval 2

2-MISA. Binomiy taqsimot. X tasodifiy o'zgaruvchini ko'rib chiqaylik - A hodisaning bir qator mustaqil eksperimentlarda sodir bo'lish soni, ularning har birida A p ehtimollik bilan sodir bo'ladi.

X tasodifiy o'zgaruvchisi quyidagi qiymatlardan birini olishi mumkin:

0, 1, 2, ., k, ., n.

X tasodifiy o'zgaruvchining k ga teng qiymat olishidan iborat bo'lgan hodisaning ehtimolligi Bernulli formulasi bilan aniqlanadi:

Rn(k)= bu yerda q=1- r.

Tasodifiy miqdorning bunday taqsimoti binomial taqsimot yoki Bernulli taqsimoti deb ataladi. Bernoulli taqsimoti ikkita parametr bilan to'liq aniqlangan: barcha sinovlarning n soni va har bir alohida sinovda voqea sodir bo'lish ehtimoli p.

Binomiy taqsimotning sharti quyidagi shaklni oladi:

Bu tenglikning to'g'riligini isbotlash uchun uning o'ziga xosligi etarli

(q+px)n=

x = 1 qo'ying.

MISOL 3. Puasson taqsimoti. Bu shaklning ehtimollik taqsimotining nomi:

P(k)= .

U bitta (ijobiy) parametr a bilan aniqlanadi. Agar p tasodifiy o'zgaruvchi bo'lib, Puasson taqsimotiga ega bo'lsa, unda tegishli parametr a - bu tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymati:

a=Ml=, bu erda M - matematik kutilma.

Tasodifiy o'zgaruvchi:

MISOL 4. eksponensial taqsimot.

Vaqt tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsa, uni t bilan belgilaymiz, shunday qilib

qayerda 0<λ=const, t ³ 0, причем, если t=0, то P(t)=0.

Tasodifiy t ning o'rtacha qiymati:

Tarqatish zichligi quyidagi shaklga ega:

4) Oddiy taqsimot

Mustaqil, bir xil taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar bo'lsin va ruxsat bering Agar hadlar yetarlicha kichik bo‘lsa va n soni yetarlicha katta bo‘lsa, - agar n à ∞ uchun M tasodifiy o‘zgaruvchining matematik kutilishi va Dz dispersiyasi Dz=M(p–Ml)2 ga teng bo‘lsa, Ml~ a, Dl~s2, keyin

- normal yoki gauss taqsimoti

.

5) Geometrik taqsimot. Birinchi "muvaffaqiyat" dan oldingi sinovlar sonini belgilaymiz. Agar har bir sinov vaqt birligi davom etadi deb faraz qilsak, u holda biz birinchi "muvaffaqiyat" ga qadar kutish vaqti deb hisoblashimiz mumkin. Tarqatish quyidagicha ko'rinadi:

R(k)=p(1-p)k, (k=0, 1, 2) p>0

6) Gipergeometrik taqsimot.

N - ob'ektlar mavjud, ular orasida n - "maxsus ob'ektlar". Barcha ob'ektlar orasidan k-ob'ektlar tasodifiy tanlanadi. Tanlangan ob'ektlar orasida r - "maxsus ob'ektlar" ga teng bo'lish ehtimolini toping. Tarqatish quyidagicha ko'rinadi:

7) Paskal taqsimoti.

Keling, x - umumiy soni r-chi "muvaffaqiyat" kelishidan oldingi "muvaffaqiyatsizliklar". Tarqatish quyidagicha ko'rinadi:

Tarqatish funktsiyasi quyidagi shaklga ega:

Teng ehtimolli taqsimot x tasodifiy o'zgaruvchisi bir xil ehtimollik bilan oraliqda istalgan qiymatni qabul qilishi mumkinligini anglatadi. Bunday holda, tarqatish zichligi sifatida hisoblanadi

Taqsimlash zichligi va taqsimot funksiyasi chizmalari quyida keltirilgan.

"Oq shovqin" tushunchasini tushuntirishdan oldin bir qator ta'riflarni berish kerak.

Tasodifiy funktsiya tasodifiy bo'lmagan t argumentining funktsiyasi bo'lib, u argumentning har bir belgilangan qiymati uchun tasodifiy o'zgaruvchidir. Masalan, agar U tasodifiy miqdor bo'lsa, X(t)=t2U funksiya tasodifiydir.

Tasodifiy funksiyaning kesimi tasodifiy funktsiya argumentining belgilangan qiymatiga mos keladigan tasodifiy o'zgaruvchidir. Shunday qilib, tasodifiy funktsiya t parametriga qarab tasodifiy o'zgaruvchilar to'plami (X(t)) sifatida qaralishi mumkin.

Tasodifiy o'zgaruvchi Bir xil sharoitlarda o'tkazilgan sinovlar natijasida hisobga olinmagan tasodifiy omillarga qarab har xil, umuman olganda, qiymatlarni qabul qiladigan miqdor deyiladi. Tasodifiy o'zgaruvchilarga misollar: matritsadagi nuqtalar soni, partiyadagi nuqsonli narsalar soni, o'qning zarba nuqtasining nishondan chetga chiqishi, vaqt ish vaqti qurilmalar va boshqalar Diskret va uzluksiz tasodifiy miqdorlarni farqlash. Diskret Tasodifiy o'zgaruvchi deyiladi, uning mumkin bo'lgan qiymatlari sonli yoki cheksiz hisoblanuvchi to'plamni tashkil qiladi (ya'ni, elementlarni raqamlash mumkin bo'lgan bunday to'plam).

davomiy Tasodifiy o'zgaruvchi deyiladi, uning mumkin bo'lgan qiymatlari raqamli o'qning chekli yoki cheksiz oralig'ini doimiy ravishda to'ldiradi. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari soni har doim cheksizdir.

Tasodifiy o'zgaruvchilar lotin alifbosi oxiridagi bosh harflar bilan belgilanadi: X, Y, ...; tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari - kichik harflarda: X, y... . Shunday qilib, X Tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlarining butun to'plamini bildiradi va X - Ba'zi o'ziga xos ma'no.

tarqatish qonuni Diskret tasodifiy o'zgaruvchi - bu tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari va ularning ehtimolliklari o'rtasidagi har qanday shaklda berilgan muvofiqlik.

Tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari bo'lsin X bor . Sinov natijasida tasodifiy o'zgaruvchi ushbu qiymatlardan birini oladi, ya'ni. Bir-biriga mos kelmaydigan hodisalarning to'liq guruhidan bitta voqea sodir bo'ladi.

Ushbu hodisalarning ehtimoli ham ma'lum bo'lsin:

Tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni X deb nomlangan jadval shaklida yozilishi mumkin Yaqin tarqatish Diskret tasodifiy o'zgaruvchi:

Tarqatish qatori teng (normalizatsiya sharti).

3.1-misol. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini toping X - ikkita tanga otishda "burgut" ning paydo bo'lishi soni.

Taqsimot funksiyasi diskret va uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun taqsimot qonunini belgilashning universal shaklidir.

Tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasiX Funktsiya chaqiriladi F(X), Butun son qatorida quyidagicha aniqlanadi:

F(X)= P(X< х ),

ya'ni F(X) tasodifiy o'zgaruvchining ehtimoli bor X dan kichikroq qiymatni oladi X.

Tarqatish funksiyasi grafik ko'rinishda ifodalanishi mumkin. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi uchun grafik bosqichli shaklga ega. Masalan, quyidagi ketma-ketlikda berilgan tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasining grafigini tuzamiz (3.1-rasm):

Guruch. 3.1. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasining grafigi

Funktsiyaning sakrashlari tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlariga mos keladigan nuqtalarda sodir bo'ladi va bu qiymatlarning ehtimolliklariga teng. Tanaffus nuqtalarida funksiya F(X) chap tomonda uzluksiz.

Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasining grafigi uzluksiz egri chiziqdir.

Guruch. 3.2. Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasining grafigi

Tarqatish funktsiyasi quyidagi aniq xususiyatlarga ega:

1) , 2) , 3) ,

4) da .

Tasodifiy o'zgaruvchidan iborat bo'lgan hodisani biz chaqiramiz X Qiymatni oladi X, Ba'zi yarim yopiq intervalga tegishli A£ X< B, oraliqda tasodifiy o'zgaruvchini urish orqali [ A, B).

3.1 teorema. Tasodifiy o'zgaruvchining oraliqga tushish ehtimoli [ A, B) bu oraliqdagi taqsimot funksiyasining o'sishiga teng:

Agar intervalni kamaytirsak [ A, B), , deb faraz qilsak, u holda chegarada, (3.1) formula intervalga tegish ehtimoli o'rniga nuqtaga tegish ehtimolini beradi, ya'ni tasodifiy o'zgaruvchining qiymatni olish ehtimoli. A:

Agar taqsimot funksiyasi nuqtada uzilishga ega bo'lsa A, Keyin chegara (3.2) qiymatga teng funksiya sakrash F(X) nuqtada X=A, Ya'ni, tasodifiy o'zgaruvchining qiymatni olish ehtimoli A (3.3-rasm, LEKIN). Agar tasodifiy miqdor uzluksiz bo'lsa, ya'ni funksiya uzluksizdir F(X), u holda chegara (3.2) nolga teng (3.3-rasm, B)

Shunday qilib, uzluksiz tasodifiy miqdorning har qanday alohida qiymatining ehtimoli nolga teng. Biroq, bu voqea mumkin emas degani emas. X=A, Ammo bu faqat ushbu hodisaning nisbiy chastotasi sinovlar sonining cheksiz ko'payishi bilan nolga teng bo'lishini aytadi.

Guruch. 3.3. Tarqatish funksiyasi sakrash

Uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun taqsimot funktsiyasi bilan bir qatorda taqsimot qonunini ko'rsatishning yana bir shakli - taqsimot zichligi qo'llaniladi.

Agar intervalni urish ehtimoli bo'lsa, u holda nisbat nuqta yaqinida ehtimollik taqsimlanadigan zichlikni tavsiflaydi. X. Bu munosabatning chegarasi , ya'ni. e. hosila, deyiladi Tarqatish zichligi(ehtimollik taqsimotining zichligi, ehtimollik zichligi) tasodifiy miqdor X. Biz tarqatish zichligini belgilashga rozimiz

.

Shunday qilib, taqsimot zichligi tasodifiy o'zgaruvchining nuqta yaqiniga tushish ehtimolini tavsiflaydi. X.

Tarqatish zichligi grafigi deyiladi egri irqlarTa'riflar(3.4-rasm).

Guruch. 3.4. Tarqatish zichligi turi

Tarqatish funktsiyasining ta'rifi va xususiyatlariga asoslanadi F(X), tarqatish zichligining quyidagi xususiyatlarini o'rnatish oson F(X):

1) F(X)³0

2)

3)

4)

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun nuqtaga tegish ehtimoli nolga teng bo'lganligi sababli, quyidagi tengliklar amal qiladi:

3.2-misol. Tasodifiy qiymat X Tarqatish zichligi bilan belgilanadi

Majburiy:

A) koeffitsientning qiymatini toping LEKIN;

B) taqsimot funksiyasini toping;

C) tasodifiy miqdorning (0, ) oraliqlariga tushish ehtimolini toping.

Tarqatish funktsiyasi yoki taqsimot zichligi tasodifiy o'zgaruvchini to'liq tavsiflaydi. Biroq ko'pincha amaliy masalalarni yechishda taqsimot qonunini to'liq bilishning hojati yo'q, uning faqat bir qismini bilish kifoya. xarakter xususiyatlari. Buning uchun ehtimollik nazariyasida taqsimot qonunining turli xossalarini ifodalovchi tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalaridan foydalaniladi. Asosiy raqamli xususiyatlar MatematikKutish, dispersiya va standart og'ish.

Kutilgan qiymat Tasodifiy o'zgaruvchining sonlar o'qidagi o'rnini xarakterlaydi. Bu tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymati bo'lib, uning atrofida uning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari guruhlangan.

Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi X Ramzlangan M(X) yoki T. Diskret tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari va ushbu qiymatlarning ehtimolliklarining juftlangan mahsuloti yig'indisidir:

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi noto'g'ri integral yordamida aniqlanadi:

Ta'riflarga asoslanib, quyidagi xususiyatlarning haqiqiyligini tekshirish oson matematik kutish:

1. (tasodifiy bo'lmagan o'zgaruvchining matematik kutilishi FROM Eng tasodifiy bo'lmagan qiymatga teng).

2. Agar ³0 bo'lsa, u holda ³0.

4. Agar va mustaqil, keyin.

3.3-misol. Bir qator taqsimot bilan berilgan diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini toping:

Yechim.

=0×0,2 + 1×0,4 + 2×0,3 + 3×0,1=1,3.

3.4-misol. Taqsimot zichligi bilan berilgan tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini toping:

.

Yechim.

Dispersiya va standart og'ish Ular tasodifiy o'zgaruvchining tarqalishining xarakteristikalari bo'lib, ular matematik kutishga nisbatan uning mumkin bo'lgan qiymatlarining tarqalishini tavsiflaydi.

dispersiya D(X) tasodifiy o'zgaruvchi X Tasodifiy miqdorning kvadratik chetlanishining matematik kutilmasidan matematik kutilishi deyiladi.Diskret tasodifiy miqdor uchun dispersiya yig‘indisi bilan ifodalanadi:

(3.3)

Va uzluksiz uchun - integral

(3.4)

Dispersiya tasodifiy o'zgaruvchining kvadratining o'lchamiga ega. tarqalish xususiyati, Hajmi bo'yicha mosTasodifiy o'zgaruvchiga ega Stee, standart og'ishdir.

Dispersiya xususiyatlari:

1) doimiy. Ayniqsa,

3)

Ayniqsa,

E'tibor bering, (3.5) formula bo'yicha dispersiyani hisoblash ko'pincha (3.3) yoki (3.4) formulalariga qaraganda qulayroq bo'ladi.

Qiymat deyiladi kovariatsiya tasodifiy o'zgaruvchilar.

Agar a , keyin qiymat

chaqirdi Korrelyatsiya koeffitsienti tasodifiy o'zgaruvchilar.

Ko'rsatish mumkinki, agar , u holda miqdorlar chiziqli bog'liq bo'ladi: qaerda

E'tibor bering, agar ular mustaqil bo'lsa, unda

3.5-misol. 1-misoldagi taqsimot qatori tomonidan berilgan tasodifiy miqdorning dispersiyasini toping.

Yechim. Dispersiyani hisoblash uchun siz matematik taxminni bilishingiz kerak. Yuqoridagi berilgan tasodifiy o'zgaruvchi uchun u topildi: M=1.3. (3.5) formuladan foydalanib dispersiyani hisoblaymiz:

3.6-misol. Tasodifiy o'zgaruvchi taqsimot zichligi bilan beriladi

Dispersiya va standart chetlanishni toping.

Yechim. Biz birinchi navbatda matematik taxminni topamiz:

(nosimmetrik intervaldagi toq funksiyaning integrali sifatida).

Endi biz dispersiya va standart og'ishni hisoblaymiz:

1. Binomiy taqsimot. Bernulli sxemasidagi "MUVAFIQLAR" soniga teng tasodifiy o'zgaruvchi binomial taqsimotga ega: , .

Binom qonuni bo'yicha taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi

.

Ushbu taqsimotning o'zgarishi .

2. Puasson taqsimoti ,

Puasson taqsimoti bilan tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi va dispersiyasi,.

Puasson taqsimoti ko'pincha biz vaqt yoki makon oralig'ida sodir bo'ladigan hodisalar soni bilan shug'ullanayotganda qo'llaniladi, masalan, bir soat ichida avtoyuvish mashinasiga keladigan mashinalar soni, haftada mashinaning to'xtash soni, raqam. yo'l-transport hodisalari va boshqalar.

Tasodifiy o'zgaruvchiga ega Geometrik taqsimot parametr bilan agar ehtimollik bilan qiymatlarni qabul qilsa . Bunday taqsimotga ega tasodifiy o'zgaruvchi mantiqiy Birinchi muvaffaqiyatli sinovning raqamlari muvaffaqiyat ehtimoli bilan Bernoulli sxemasida. Tarqatish jadvali quyidagicha ko'rinadi:

3. Oddiy taqsimot. Ehtimollar taqsimotining normal qonuni boshqa taqsimot qonunlari orasida alohida o'rin tutadi. Ehtimollar nazariyasida mustaqil yoki yig'indisining ehtimollik zichligi isbotlangan Zaif qaram, sonining cheksiz ko'payishi bilan bir xilda kichik (ya'ni, taxminan bir xil rol o'ynaydigan) atamalar, bu atamalar qanday taqsimot qonunlariga ega bo'lishidan qat'i nazar, odatdagi taqsimot qonuniga istalgancha yaqinlashadi (markaziy chegara teoremasi A. M. Lyapunova).

Tarqatish zichligi ehtimolliklar X funksiyani chaqiring f(x) taqsimot funksiyasining birinchi hosilasidir F(x):

Tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimot zichligi tushunchasi X uchun diskret miqdor qo'llanilmaydigan, qo'llab bo'lmaydigan.

Ehtimollik zichligi f(x) differensial taqsimot funksiyasi deyiladi:

Mulk 1. Tarqatish zichligi manfiy bo'lmagan qiymatdir:

Mulk 2. dan gacha bo'lgan oraliqdagi taqsimot zichligining noto'g'ri integrali birga teng:

1.25-misol. Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi berilgan X:

f(x).

Yechim: Tarqatish zichligi taqsimot funktsiyasining birinchi hosilasiga teng:

1. Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi berilgan X:

Tarqatish zichligini toping.

2. Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi berilgan X:

Tarqatish zichligini toping f(x).

1.3. Raqamli xarakteristikalar doimiy tasodifiy

miqdorlar

Kutilgan qiymat uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X, mumkin bo'lgan qiymatlari butun o'qga tegishli Oh, tenglik bilan aniqlanadi:

Integral mutlaq yaqinlashadi deb faraz qilinadi.

a,b), keyin:

f(x) tasodifiy miqdorning taqsimlanish zichligi.

Dispersiya uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X, mumkin bo'lgan qiymatlari butun o'qga tegishli bo'lib, tenglik bilan aniqlanadi:

maxsus holat. Agar tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari intervalga tegishli bo'lsa ( a,b), keyin:

Buning ehtimoli X intervalga tegishli qiymatlarni oladi ( a,b), tenglik bilan aniqlanadi:

.

1.26-misol. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X

Matematik kutilma, dispersiya va tasodifiy o'zgaruvchiga tegish ehtimolini toping X oraliqda (0; 0,7).

Yechim: Tasodifiy miqdor (0,1) oraliqda taqsimlanadi. Uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimlanish zichligini aniqlaymiz X:

a) Matematik kutish :

b) dispersiya

ichida)

uchun vazifalar mustaqil ish:

1. Tasodifiy o'zgaruvchi X taqsimlash funktsiyasi bilan berilgan:

M(x);

b) dispersiya D(x);

X oraliqda (2,3).

2. Tasodifiy o'zgaruvchi X

Toping: a) matematik kutish M(x);

b) dispersiya D(x);

v) tasodifiy miqdorga tegish ehtimolini aniqlash X oraliqda (1; 1,5).

3. Tasodifiy qiymat X integral taqsimot funksiyasi bilan ifodalanadi:

Toping: a) matematik kutish M(x);

b) dispersiya D(x);

v) tasodifiy miqdorga tegish ehtimolini aniqlash X oraliqda.

1.4. Uzluksiz tasodifiy miqdorni taqsimlash qonunlari

1.4.1. Yagona taqsimlash

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X oraliqda bir xil taqsimotga ega [ a,b], agar bu segmentda tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimoti zichligi doimiy bo'lsa va tashqarida u nolga teng bo'lsa, ya'ni:

Guruch. to'rtta.

; ; .

1.27-misol. Ba'zi yo'nalishdagi avtobus 5 daqiqalik interval bilan bir tekis harakatlanadi. Bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorning ehtimolini toping X- avtobusni kutish vaqti 3 daqiqadan kam bo'ladi.

Yechim: Tasodifiy qiymat X- intervalda bir tekis taqsimlangan.

Ehtimollik zichligi: .

Kutish vaqti 3 daqiqadan oshmasligi uchun yo'lovchi avtobus bekatiga oldingi avtobus jo'nab ketganidan keyin 2 dan 5 minutgacha yetib borishi kerak, ya'ni. tasodifiy qiymat X(2;5) oralig'iga to'g'ri kelishi kerak. Bu. Istalgan ehtimollik:

Mustaqil ish uchun vazifalar:

1. a) tasodifiy miqdorning matematik kutilmasini toping X oraliqda bir tekis taqsimlangan (2; 8);

b) tasodifiy miqdorning dispersiyasi va standart chetlanishini toping X,(2;8) oraliqda bir tekis taqsimlangan.

2. Elektr soatining daqiqa ko‘rsatkichi har daqiqa oxirida sakrab turadi. Ma'lum bir daqiqada soat haqiqiy vaqtdan 20 soniyadan ko'p bo'lmagan vaqtni ko'rsatishi ehtimolligini toping.

1.4.2. Eksponensial (eksponensial) taqsimot

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X Agar uning ehtimollik zichligi quyidagi shaklga ega bo'lsa, u eksponent ravishda taqsimlanadi:

ko'rsatkichli taqsimotning parametri qayerda.

Shunday qilib

Guruch. 5.

Raqamli xususiyatlar:

1.28-misol. Tasodifiy qiymat X- lampochkaning ish vaqti - eksponensial taqsimotga ega. Chiroqning o'rtacha ishlash muddati 400 soat bo'lsa, chiroqning kamida 600 soat davom etishi ehtimolini aniqlang.

Yechim: Muammoning shartiga ko'ra, tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi X 400 soatga teng, shuning uchun:

;

Istalgan ehtimollik, qaerda

Nihoyat:

Mustaqil ish uchun vazifalar:

1. Parametr bo'lsa, ko'rsatkich qonunining zichlik va taqsimot funksiyasini yozing.

2. Tasodifiy o'zgaruvchi X

Kattalikning matematik kutilishi va dispersiyasini toping X.

3. Tasodifiy qiymat X ehtimollik taqsimoti funksiyasi bilan berilgan:

Tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va standart og'ishini toping.

1.4.3. Oddiy taqsimot

normal uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimoti deyiladi X, uning zichligi quyidagi shaklga ega:

qayerda a– matematik kutish, – standart og‘ish X.

Buning ehtimoli X intervalga tegishli qiymatni oladi:

, qayerda

Laplas funktsiyasidir.

O'z ichiga olgan tarqatish; , ya'ni. ehtimollik zichligi bilan standart deb ataladi.

Guruch. 6.

Og'ishning mutlaq qiymati musbat sondan kichik bo'lish ehtimoli:

.

Xususan, qachon a= 0 tengligi to'g'ri:

1.29-misol. Tasodifiy qiymat X normal taqsimlanadi. Standart og'ish. Tasodifiy miqdorning mutlaq qiymatdagi matematik kutilmasidan chetlanishi 0,3 dan kichik bo‘lish ehtimolini toping.

Yechim: .

Mustaqil ish uchun vazifalar:

1. Tasodifiy miqdorning normal taqsimlanishining ehtimollik zichligini yozing X, buni bilish M(x)= 3, D(x)= 16.

2. Oddiy taqsimlangan tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va standart og'ishi X mos ravishda 20 va 5. Test natijasida yuzaga kelish ehtimolini toping X(15;20) oraliqdagi qiymatni oladi.

3. Tasodifiy xatolar o'lchovlar standart og'ish mm va matematik kutish bilan normal qonunga bo'ysunadi a= 0. 3 ta mustaqil o‘lchovdan kamida bittasining xatosi absolyut qiymatda 4 mm dan oshmasligi ehtimolini toping.

4. Ayrim moddaning tortilishi tizimli xatolarsiz amalga oshiriladi. Tasodifiy tortish xatoliklari standart og'ish r bilan normal qonunga bo'ysunadi.Mutlaq qiymatda tortishning 10 g dan oshmagan xato bilan o'tkazilishi ehtimolini toping.

Matematik kutish tushunchalari M(X) va dispersiya D(X Diskret tasodifiy o'zgaruvchilar uchun ilgari kiritilgan ) uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilarga kengaytirilishi mumkin.

· Matematik kutish M(X) uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X tenglik bilan aniqlanadi:

agar bu integral yaqinlashsa.

· Dispersiya D(X) uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X tenglik bilan belgilanadi:

· Standart og'ishσ( X) uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi tenglik bilan aniqlanadi:

Diskret tasodifiy o'zgaruvchilar uchun ilgari ko'rib chiqilgan matematik kutish va dispersiyaning barcha xossalari uzluksizlar uchun ham amal qiladi.

Muammo 5.3. Tasodifiy qiymat X differensial funksiya bilan berilgan f(x):

Toping M(X), D(X), σ( X), va yana P(1 < X< 5).

Yechim:

M(X)= =

+ = 8/9 0+9/6 4/6=31/18,

D(X)=

= = /

P 1 =

Vazifalar

5.1. X

f(x), va yana

R(‒1/2 < X< 1/2).

5.2. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X taqsimlash funktsiyasi bilan berilgan:

Differensial taqsimot funksiyasini toping f(x), va yana

R(2p /9< X< π /2).

5.3. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X

Toping: a) raqam Bilan; b) M(X), D(X).

5.4. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X tarqatish zichligi bilan belgilanadi:

Toping: a) raqam Bilan; b) M(X), D(X).

5.5. X:

Toping: a) F(X) va uning grafigini tuzing; b) M(X), D(X), σ( X); c) to'rtta mustaqil sinovda qiymat bo'lish ehtimoli X(1;4) intervalga tegishli qiymatdan roppa-rosa 2 marta oladi.

5.6. Uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimot zichligi berilgan X:

Toping: a) F(X) va uning grafigini tuzing; b) M(X), D(X), σ( X); c) uchta mustaqil sinovda qiymat bo'lish ehtimoli X intervalga tegishli qiymatdan to'liq 2 marta oladi.

5.7. Funktsiya f(X) quyidagicha berilgan:

Bilan X; b) taqsimlash funksiyasi F(x).

5.8. Funktsiya f(x) quyidagicha berilgan:

Toping: a) konstantaning qiymati Bilan, bunda funksiya ba'zi tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik zichligi bo'ladi X; b) taqsimlash funksiyasi F(x).

5.9. Tasodifiy qiymat X, (3;7) oraliqda jamlangan, taqsimot funksiyasi bilan berilgan F(X)= X qiymatni oladi: a) 5 dan kam, b) 7 dan kam emas.

5.10. Tasodifiy qiymat X, (-1; 4) oraliqda jamlangan, taqsimot funksiyasi bilan berilgan F(X)= . Tasodifiy o'zgaruvchining bo'lish ehtimolini toping X qiymatni oladi: a) 2 dan kichik, b) 4 dan kichik.

5.11.

Toping: a) raqam Bilan; b) M(X); c) ehtimollik R(X > M(X)).

5.12. Tasodifiy o'zgaruvchi differensial taqsimot funktsiyasi bilan beriladi:

Toping: a) M(X); b) ehtimollik R(X ≤ M(X)).

5.13. Vaqt taqsimoti ehtimollik zichligi bilan berilgan:

Buni isbotlang f(x) haqiqatan ham ehtimollik zichligi taqsimotidir.

5.14. Uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimot zichligi berilgan X:

Raqam toping Bilan.

5.15. Tasodifiy qiymat X[-2;2] segmentida Simpson qonuniga (izo yonli uchburchak) muvofiq taqsimlanadi (5.4-rasm). Ehtimollar zichligining analitik ifodasini toping f(x) butun son qatorida.

Guruch. 5.4-rasm. 5.5

5.16. Tasodifiy qiymat X(0; 4) oraliqda "to'g'ri uchburchak" qonuniga muvofiq taqsimlanadi (5.5-rasm). Ehtimollar zichligining analitik ifodasini toping f(x) butun son qatorida.

Javoblar

P (-1/2<X<1/2)=2/3.

P(2p /9<X< π /2)=1/2.

5.3. a) Bilan=1/6, b) M(X)=3, c) D(X)=26/81.

5.4. a) Bilan=3/2, b) M(X)=3/5, c) D(X)=12/175.

b) M(X)= 3 , D(X)= 2/9, s( X)= /3.

b) M(X)=2 , D(X)= 3 , s( X)= 1,893.

5.7. a) c =; b)

5.8. a) Bilan=1/2; b)

5.9. a) 1/4; b) 0.

5.10. a) 3/5; b) 1.

5.11. a) Bilan= 2; b) M(X)= 2; 1-da ln 2 2 ≈ 0,5185.

5.12. a) M(X)= p /2; b) 1/2