Logarifmning ta'rifi

b sonining a asosiga bo'lgan logarifmi b olish uchun a ko'tarilishi kerak bo'lgan ko'rsatkichdir.

Raqam e matematikada ifoda moyillik chegarasini belgilash odat tusiga kiradi

Raqam e hisoblanadi irratsional son - bitta bilan taqqoslanmaydigan son, uni butun yoki kasr sifatida aniq ifodalab bo'lmaydi oqilona raqam.

Xat e- birinchi harf Lotin so'zi exonere- maqtanish, shuning uchun matematikada nomi eksponentsial- eksponensial funktsiya.

Raqam e matematikada keng qo'llaniladi va barcha fanlarda u yoki bu tarzda o'z ehtiyojlari uchun matematik hisoblardan foydalanadi.

Logarifmlar. Logarifmlarning xossalari

Ta'rif: b musbat sonning asosiy logarifmi b sonini olish uchun a soni ko'tarilishi kerak bo'lgan ko'rsatkich c hisoblanadi.

Asosiy logarifmik identifikatsiya:

7) Yangi bazaga o'tish formulasi:

lna = log e a, e ≈ 2,718…

“Logarifmlar. Logarifmlarning xossalari»

• Logarifmlar - matematikadan imtihonni takrorlash uchun muhim mavzular

Ushbu mavzu bo'yicha topshiriqlarni muvaffaqiyatli bajarish uchun siz logarifmning ta'rifini, logarifmlarning xususiyatlarini, asosiy logarifmik identifikatsiyani, o'nlik va natural logarifmlarning ta'riflarini bilishingiz kerak. Ushbu mavzu bo'yicha asosiy vazifalar turlari logarifmik ifodalarni hisoblash va o'zgartirish uchun topshiriqlardir. Ularning yechimini quyidagi misollarda ko‘rib chiqamiz.

Yechim: Logarifmlarning xossalaridan foydalanib, biz olamiz

Yechim: daraja xossalaridan foydalanib, olamiz

1) (2 2) log 2 5 =(2 log 2 5) 2 =5 2 =25

Logarifmlarning xossalari, formulalari va isbotlari.

Logarifmlar bir qator xarakterli xususiyatlarga ega. Ushbu maqolada biz asosiy narsani tahlil qilamiz logarifmlarning xossalari. Bu erda biz ularning formulalarini beramiz, logarifmlarning xususiyatlarini formulalar shaklida yozamiz, ularni qo'llash misollarini ko'rsatamiz, shuningdek, logarifmlarning xossalarini isbotlaymiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Logarifmlarning asosiy xossalari, formulalari

Eslab qolish va foydalanish qulayligi uchun biz taqdim etamiz logarifmlarning asosiy xossalari formulalar ro'yxati sifatida. Keyingi bo'limda biz ularning formulalari, dalillari, foydalanish misollari va zarur tushuntirishlarini beramiz.

Shaxsiy logarifm xususiyati: , bu yerda a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 .

Natija: , bu yerda a>0 , a≠1 , n birdan katta natural son, b>0 .

Xulosa 1: , a>0 , a≠1 , b>0 , b≠1 .

Xulosa 2: , a>0 , a≠1 , b>0 , p va q haqiqiy sonlar, q≠0 , xususan, b=a uchun bizda mavjud. .

Xususiyatlarning bayonotlari va dalillari

Biz logarifmlarning qayd etilgan xususiyatlarini shakllantirish va isbotlashga o'tamiz. Logarifmlarning barcha xossalari logarifmning ta’rifi va undan kelib chiqadigan asosiy logarifmik o’ziga xoslik hamda daraja xossalari asosida isbotlanadi.

dan boshlaylik birlik logarifmining xossalari. Uning formulasi quyidagicha: birlikning logarifmi nolga teng, ya'ni log a 1=0 har qanday a>0, a≠1 uchun. Isbot oddiy: yuqoridagi a>0 va a≠1 shartlarini qanoatlantiradigan har qanday a uchun 0 =1 bo‘lganligi sababli, loggarifm ta’rifidan darhol isbotlangan log a 1=0 tengligi kelib chiqadi.

Ko'rib chiqilayotgan xususiyatning qo'llanilishiga misollar keltiramiz: log 3 1=0 , lg1=0 va .

Keling, keyingi mulkka o'tamiz: asosiga teng sonning logarifmi birga teng, ya'ni, log a a=1 a>0, a≠1 uchun. Haqiqatan ham, har qanday a uchun a 1 =a bo'lgani uchun, logarifm ta'rifi bo'yicha log a a=1 bo'ladi.

Logarifmlarning bu xossasidan foydalanish misollari log 5 5=1 , log 5.6 5.6 va lne=1 .

Logarifm asosiga teng sonning kuchining logarifmi darajaga teng.. Logarifmning bu xossasi shakl formulasiga mos keladi log a a p =p, bu yerda a>0, a≠1 va p har qanday haqiqiy son. Bu xususiyat bevosita logarifm ta'rifidan kelib chiqadi. E'tibor bering, u darhol logarifmning qiymatini ko'rsatishga imkon beradi, agar logarifm belgisi ostidagi raqamni asos darajasi sifatida ko'rsatish mumkin bo'lsa, biz bu haqda logarifmlarni hisoblash maqolasida ko'proq gaplashamiz.

Masalan, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 va .

Ikki musbat sonning ko'paytmasining logarifmi x va y bu raqamlarning logarifmlarining ko'paytmasiga teng: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Mahsulot logarifmining xossasini isbotlaylik. Darajaning xossalari tufayli a log a x + log a y =a log a x a log a y va asosiy logarifmik identifikatsiyaga ko'ra log a x =x va log a y =y bo'lgani uchun log a x a log a y =x y bo'ladi. Shunday qilib, log a x+log a y =x y , buning uchun logarifmning ta'rifi talab qilinadigan tenglik kelib chiqadi.

Mahsulotning logarifmi xossasidan foydalanishga misollarni ko‘rsatamiz: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 va .

Mahsulot logarifmi xossasini x 1 , x 2 , …, x n musbat sonlarning chekli n sonining mahsulotiga umumlashtirish mumkin: log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 +log a x 2 +...+log a x n. Bu tenglikni matematik induksiya usuli bilan osongina isbotlash mumkin.

Masalan, mahsulotning natural logarifmini 4, e va raqamlarining uchta natural logarifmi yig‘indisi bilan almashtirish mumkin.

Ikki musbat sonning qismining logarifmi x va y bu sonlarning logarifmlari orasidagi farqga teng. Bo'lim logarifmining xossasi shaklning formulasiga mos keladi , bu yerda a>0 , a≠1 , x va y ba'zi musbat sonlardir. Ushbu formulaning haqiqiyligi mahsulotning logarifmi formulasi kabi isbotlangan: beri , keyin logarifmning ta'rifi bilan .

Logarifmning ushbu xususiyatidan foydalanishga misol: .

Keling, davom etaylik daraja logarifmining xossasi. Darajaning logarifmi ko'rsatkichning ko'paytmasiga va ushbu daraja asosining modulining logarifmiga teng. Darajaning logarifmining bu xossasini formula shaklida yozamiz: log a b p =p log a |b|, bu yerda a>0, a≠1, b va p shunday raqamlarki, b p darajasi mantiqiy va b p >0.

Bu xossani avval musbat b uchun isbotlaymiz. Asosiy logarifmik identifikatsiya bizga b sonini log a b, so'ngra b p =(a log a b) p sifatida ko'rsatishga imkon beradi va natijada paydo bo'lgan ifoda kuch xususiyatiga ko'ra a p log a b ga teng bo'ladi. Shunday qilib, biz b p =a p log a b tengligiga erishamiz, undan logarifmning ta'rifiga ko'ra log a b p =p log a b degan xulosaga kelamiz.

Bu xususiyatni salbiy b uchun isbotlash qoladi. Bu yerda manfiy b uchun log a b p ifodasi faqat p juft ko‘rsatkichlari uchun ma’noli ekanligini ta’kidlaymiz (chunki b p darajaning qiymati noldan katta bo‘lishi kerak, aks holda logarifm ma’noga ega bo‘lmaydi) va bu holda b p =|b| p . Keyin b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b| , qayerdan log a b p =p log a |b| .

Masalan, va ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .

Bu avvalgi mulkdan kelib chiqadi ildizdan logarifmning xossasi: n-darajali ildizning logarifmi 1/n kasr va ildiz ifodasining logarifmi ko'paytmasiga teng, ya'ni bu erda a>0, a≠1, n birdan katta natural son, b>0.

Isbot har qanday musbat b uchun amal qiladigan tenglikka (kasr ko'rsatkichli ko'rsatkich ta'rifiga qarang) va daraja logarifmining xususiyatiga asoslanadi: .

Bu xususiyatdan foydalanishga misol: .

Endi isbot qilaylik logarifmning yangi bazasiga aylantirish formulasi mehribon . Buning uchun tenglik logi c b=log a b log c a ning haqiqiyligini isbotlash kifoya. Asosiy logarifmik identifikatsiya bizga b raqamini log a b, keyin log c b=log c a log a b ko'rinishida ko'rsatishga imkon beradi. Darajaning logarifmi xususiyatidan foydalanish qoladi: log c a log a b = log a b log c a . Shunday qilib log c b=log a b log c a tengligi isbotlangan, demak, logarifmning yangi asosiga o‘tish formulasi ham isbotlangan. .

Keling, logarifmlarning ushbu xususiyatini qo'llashga bir nechta misollarni ko'rsatamiz: va .

Yangi bazaga o'tish formulasi sizga "qulay" asosga ega bo'lgan logarifmlar bilan ishlashga o'tish imkonini beradi. Masalan, undan natural yoki o'nlik logarifmlarga o'tish uchun foydalanish mumkin, shunda siz logarifmlar jadvalidan logarifmning qiymatini hisoblashingiz mumkin. Logarifmning yangi bazasiga o'tish formulasi, shuningdek, ba'zi hollarda ba'zi logarifmlarning boshqa asoslar bilan qiymatlari ma'lum bo'lganda, berilgan logarifmning qiymatini topishga imkon beradi.

Tez-tez ishlatiladi maxsus holat ko'rinishdagi c=b uchun logarifmning yangi asosiga o'tish formulalari. Bu log a b va log b a o'zaro teskari sonlar ekanligini ko'rsatadi. Masalan, .

Formuladan ham tez-tez foydalaniladi, bu logarifm qiymatlarini topishda qulaydir. So'zlarimizni tasdiqlash uchun biz shaklning logarifmining qiymati uning yordamida qanday hisoblanganligini ko'rsatamiz. Bizda ... bor . Formulani isbotlash uchun a logarifmining yangi bazasiga o'tish formulasidan foydalanish kifoya: .

Logarifmlarning taqqoslash xususiyatlarini isbotlash uchun qoladi.

Keling, qarama-qarshi usuldan foydalanamiz. Faraz qilaylik, a 1 >1, a 2 >1 va 1 2 va 0 1 log a 1 b≤log a 2 b uchun to‘g‘ri bo‘lsin. Logarifmlarning xususiyatlariga ko'ra, bu tengsizliklarni qayta yozish mumkin va mos ravishda va ulardan kelib chiqadiki, log b a 1 ≤log b a 2 va log b a 1 ≥log b a 2. U holda, bir xil asosli darajalarning xossalari bo'yicha, b log b a 1 ≥b log b a 2 va b log b a 1 ≥b log b a 2 tengliklari, ya'ni a 1 ≥a 2 qanoatlantirilishi kerak. Shunday qilib, biz a 1 2 shartiga qarama-qarshilikka erishdik. Bu dalilni to'ldiradi.

Logarifmlarning asosiy xossalari

• Dars uchun materiallar
• Barcha formulalar yuklab olish

Logarifmlar, har qanday raqam kabi, har qanday usulda qo'shilishi, ayirilishi va o'zgartirilishi mumkin. Ammo logarifmlar juda oddiy raqamlar emasligi sababli, bu erda deyiladi qoidalar mavjud asosiy xususiyatlar.

Bu qoidalar ma'lum bo'lishi kerak - ularsiz hech qanday jiddiy logarifmik muammoni hal qilib bo'lmaydi. Bundan tashqari, ular juda oz - hamma narsani bir kunda o'rganish mumkin. Shunday qilib, keling, boshlaylik.

Logarifmlarni qo'shish va ayirish

Bir xil asosga ega ikkita logarifmni ko'rib chiqing: log a x va log a y . Keyin ularni qo'shish va ayirish mumkin, va:

Demak, logarifmlar yig‘indisi ko‘paytmaning logarifmiga teng, farq esa bo‘linmaning logarifmidir. E'tibor bering: bu erda asosiy nuqta - bir xil asoslar. Agar asoslar boshqacha bo'lsa, bu qoidalar ishlamaydi!

Ushbu formulalar logarifmik ifodani uning alohida qismlari hisobga olinmagan taqdirda ham hisoblashga yordam beradi ("Logarifm nima" darsiga qarang). Misollarni ko'rib chiqing - va qarang:

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 6 4 + log 6 9.

Logarifmlarning asoslari bir xil bo'lgani uchun biz yig'indi formulasidan foydalanamiz:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 2 48 − log 2 3.

Asoslar bir xil, biz farq formulasidan foydalanamiz:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 3 135 − log 3 5.

Shunga qaramay, asoslar bir xil, shuning uchun bizda:
log 3 135 - log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Ko'rib turganingizdek, asl iboralar "yomon" logarifmlardan iborat bo'lib, ular alohida ko'rib chiqilmaydi. Ammo transformatsiyalardan keyin juda oddiy raqamlar paydo bo'ladi. Ushbu faktga asoslanib, ko'pchilik test qog'ozlari. Ha, bu nazorat - imtihonda barcha jiddiylikdagi o'xshash iboralar (ba'zan - deyarli o'zgarishlarsiz) taklif etiladi.

Logarifmadan ko'rsatkichni olib tashlash

Endi vazifani biroz murakkablashtiramiz. Agar logarifmning asosi yoki argumentida daraja bo'lsa-chi? Keyin ushbu daraja ko'rsatkichini quyidagi qoidalarga muvofiq logarifm belgisidan chiqarish mumkin:

• log a x n = n log a x;
• 
• 

Oxirgi qoida ularning birinchi ikkitasiga mos kelishini ko'rish oson. Ammo baribir buni eslab qolish yaxshiroqdir - ba'zi hollarda bu hisob-kitoblar miqdorini sezilarli darajada kamaytiradi.

Albatta, ODZ logarifmi kuzatilsa, bu qoidalarning barchasi mantiqiy bo'ladi: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Va yana bir narsa: barcha formulalarni nafaqat chapdan o'ngga, balki aksincha qo'llashni o'rganing, ya'ni. logarifmning o'ziga logarifm belgisidan oldingi raqamlarni kiritishingiz mumkin. Bu eng ko'p talab qilinadigan narsa.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 7 49 6 .

Keling, birinchi formula bo'yicha argumentdagi darajadan xalos bo'laylik:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping:

[Rasm sarlavhasi]

E'tibor bering, maxraj asosi va argumenti aniq darajalar bo'lgan logarifmdir: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Bizda ... bor:

[Rasm sarlavhasi]

Menimcha, oxirgi misol tushuntirishga muhtoj. Logarifmlar qayerga ketdi? So'nggi daqiqagacha biz faqat maxraj bilan ishlaymiz. Ular logarifmning asosini va argumentini darajalar shaklida taqdim etdilar va ko'rsatkichlarni olib tashladilar - ular "uch qavatli" kasrga ega bo'lishdi.

Endi asosiy kasrni ko'rib chiqaylik. Numerator va maxraj bir xil raqamga ega: log 2 7. Log 2 7 ≠ 0 bo'lgani uchun biz kasrni kamaytirishimiz mumkin - 2/4 maxrajda qoladi. Arifmetika qoidalariga ko'ra, to'rtta hisoblagichga o'tkazilishi mumkin, bu bajarildi. Natijada javob: 2.

Yangi poydevorga o'tish

Logarifmlarni qo'shish va ayirish qoidalari haqida gapirganda, ular faqat bir xil asoslar bilan ishlashini alohida ta'kidladim. Agar asoslar boshqacha bo'lsa-chi? Agar ular bir xil sonning aniq kuchlari bo'lmasa-chi?

Yangi bazaga o'tish uchun formulalar yordamga keladi. Biz ularni teorema shaklida shakllantiramiz:

log a x logarifmi berilgan bo'lsin. U holda c > 0 va c ≠ 1 bo'lgan har qanday c soni uchun tenglik to'g'ri bo'ladi:

[Rasm sarlavhasi]

Xususan, agar c = x ni qo'ysak, biz quyidagilarni olamiz:

[Rasm sarlavhasi]

Ikkinchi formuladan kelib chiqadiki, logarifmning asosini va argumentini almashtirish mumkin, ammo bu holda butun ifoda "aylantiriladi", ya'ni. logarifm maxrajda joylashgan.

Bu formulalar oddiy sonli ifodalarda kam uchraydi. Ularning qanchalik qulayligini faqat qaror qabul qilishda baholash mumkin logarifmik tenglamalar va tengsizliklar.

Biroq, yangi poydevorga o'tishdan tashqari, umuman hal qilib bo'lmaydigan vazifalar mavjud. Keling, ulardan bir nechtasini ko'rib chiqaylik:

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 5 16 log 2 25.

E'tibor bering, ikkala logarifmning argumentlari aniq ko'rsatkichlardir. Keling, ko'rsatkichlarni chiqaramiz: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Endi ikkinchi logarifmni aylantiramiz:

[Rasm sarlavhasi]

Mahsulot omillarni almashtirishdan o'zgarmaganligi sababli, biz tinchgina to'rt va ikkitani ko'paytirdik va keyin logarifmlarni aniqladik.

Vazifa. Ifodaning qiymatini toping: log 9 100 lg 3.

Birinchi logarifmning asosi va argumenti aniq kuchlardir. Keling, buni yozamiz va ko'rsatkichlardan xalos bo'laylik:

[Rasm sarlavhasi]

Endi yangi bazaga o'tish orqali o'nlik logarifmdan xalos bo'laylik:

[Rasm sarlavhasi]

Asosiy logarifmik identifikatsiya

Ko'pincha echish jarayonida raqamni berilgan asosga logarifm sifatida ko'rsatish talab qilinadi. Bunday holda, formulalar bizga yordam beradi:

1. n = log a a n

2. Birinchi holda, n soni argumentda ko'rsatkichga aylanadi. n soni mutlaqo har qanday bo'lishi mumkin, chunki bu faqat logarifmning qiymati.

   Ikkinchi formula aslida tarjima qilingan ta'rifdir. Bu asosiy logarifmik identifikatsiya deb ataladi.

   Haqiqatan ham, agar b soni shunday darajaga ko'tarilsa nima bo'ladi, bu darajaga b soni a sonini beradi? To'g'ri: bu bir xil raqam a . Ushbu paragrafni yana diqqat bilan o'qing - ko'p odamlar unga "osib" qo'yishadi.

   Yangi asosiy konvertatsiya formulalari singari, asosiy logarifmik identifikatsiya ba'zan yagona mumkin bo'lgan yechimdir.

   [Rasm sarlavhasi]

   E'tibor bering, log 25 64 = log 5 8 - faqat bazaning kvadratini va logarifm argumentini oling. Quvvatlarni bir xil asos bilan ko'paytirish qoidalarini hisobga olsak, biz quyidagilarni olamiz:

   [Rasm sarlavhasi]

   Agar kimdir bilmasa, bu Yagona davlat imtihonidan olingan haqiqiy vazifa edi 🙂

   Logarifmik birlik va logarifmik nol

   Xulosa qilib aytganda, men xususiyatlarni chaqirish qiyin bo'lgan ikkita identifikatsiyani beraman - aksincha, bu logarifm ta'rifidan olingan natijalar. Ular doimo muammolarda topiladi va hayratlanarli, hatto "ilg'or" talabalar uchun ham muammolarni keltirib chiqaradi.

   1. log a a = 1 - logarifmik birlik. Bir marta eslab qoling: har qanday a asosining logarifmi shu asosning o'zidan bittaga teng.
   2. log a 1 = 0 logarifmik nolga teng. a asosi har qanday bo'lishi mumkin, lekin agar argument bitta bo'lsa - logarifm nolga teng! Chunki 0 = 1 ta'rifning bevosita natijasidir.

   Bu barcha xususiyatlar. Ularni amalda qo'llashni mashq qiling! Dars boshida cheat varag'ini yuklab oling, uni chop eting va muammolarni hal qiling.

   Logarifm. Logarifmning xossalari (qo‘shish va ayirish).

   Logarifmning xossalari uning ta'rifidan kelib chiqadi. Shunday qilib, raqamning logarifmi b sabab bilan a raqam ko'tarilishi kerak bo'lgan ko'rsatkich sifatida aniqlanadi a raqamni olish uchun b(logarifm faqat ijobiy raqamlar uchun mavjud).

   Bu formuladan kelib chiqadiki, hisoblash x=log a b, tenglamani yechishga teng ax=b. Masalan, log 2 8 = 3 chunki 8 = 2 3 . Logarifmning formulasi, agar ekanligini asoslash imkonini beradi b=a c, keyin raqamning logarifmi b sabab bilan a teng Bilan. Logarifm mavzusi sonning kuchi mavzusi bilan chambarchas bog'liqligi ham aniq.

   Logarifmlar bilan, har qanday raqamlarda bo'lgani kabi, siz bajarishingiz mumkin qo'shish, ayirish amallari va har tomonlama o'zgartiring. Ammo logarifmlar juda oddiy raqamlar emasligini hisobga olib, bu erda o'zlarining maxsus qoidalari qo'llaniladi, ular deyiladi. asosiy xususiyatlar.

   Logarifmlarni qo'shish va ayirish.

   Bir xil asosga ega ikkita logarifmni oling: log x va log a y. Keyin olib tashlang, qo'shish va ayirish amallarini bajarish mumkin:

   Ko'rib turganimizdek, logarifmlar yig'indisi mahsulotning logarifmiga teng, va farq logarifmlar- qismning logarifmi. Va agar raqamlar bo'lsa, bu to'g'ri a, X va da ijobiy va a ≠ 1.

   Shuni ta'kidlash kerakki, bu formulalardagi asosiy jihat bir xil asoslardir. Agar asoslar bir-biridan farq qilsa, bu qoidalar qo'llanilmaydi!

   Bir xil asosli logarifmlarni qo'shish va ayirish qoidalari nafaqat chapdan o'ngga, balki aksincha ham o'qiladi. Natijada, mahsulotning logarifmi va qismning logarifmi uchun teoremalarga ega bo'lamiz.

   Mahsulotning logarifmi ikkita ijobiy raqam summasiga teng ularning logarifmlari ; bu teoremani izohlab, raqamlar bo'lsa, biz quyidagilarni olamiz a, x va da ijobiy va a ≠ 1, keyin:

   Bo'limning logarifmi Ikki musbat sonning soni dividend va bo'luvchining logarifmlari orasidagi farqga teng. Boshqacha qilib aytganda, raqamlar bo'lsa a, X va da ijobiy va a ≠ 1, keyin:

   Yechish uchun yuqoridagi teoremalardan foydalanamiz misollar:

   Agar raqamlar x va da demak, salbiy mahsulot logarifm formulasi ma'nosiz bo'lib qoladi. Shunday qilib, yozish taqiqlanadi:

   chunki log 2 (-8) va log 2 (-4) iboralari umuman aniqlanmagan (logarifmik funktsiya da= jurnal 2 X faqat argumentning ijobiy qiymatlari uchun aniqlanadi X).

   Mahsulot teoremasi nafaqat ikkita, balki cheksiz ko'p omillar uchun ham amal qiladi. Bu har bir tabiiy uchun, degan ma'noni anglatadi k va har qanday ijobiy raqamlar x 1 , x 2 , . . . ,x n o'ziga xoslik mavjud:

   Kimdan qism logarifm teoremalari logarifmning yana bir xossasini olish mumkin. Bu jurnali yaxshi ma'lum a 1= 0, shuning uchun

   Shunday qilib, tenglik mavjud:

   Ikki o'zaro o'zaro sonlarning logarifmlari bir xil asosda bir-biridan faqat belgisi bilan farqlanadi. Shunday qilib:

   Logarifm. Logarifmlarning xossalari

   Logarifm. Logarifmlarning xossalari

   Tenglikni hisobga oling. Bizga qiymatlarni bildiring va biz qiymatini topmoqchimiz.

   Ya'ni, biz olish uchun xo'roz kerak bo'lgan ko'rsatkichni qidirmoqdamiz.

   Mayli o‘zgaruvchi istalgan real qiymatni qabul qilishi mumkin, keyin o‘zgaruvchilarga quyidagi cheklovlar qo‘yiladi: o” title=”a>o”/> , 1″ title=”a1″/>, 0″ title=”b>0″/ >

   Agar biz va ning qiymatlarini bilsak va biz noma'lumni topish vazifasiga duch kelsak, u holda buning uchun matematik operatsiya kiritiladi, bu deyiladi. logarifm.

   Biz oladigan qiymatni topish uchun sonning logarifmi yoqilgan asos :

   Raqamning asosga bo'lgan logarifmi - bu ko'rsatkichni olish uchun ko'tarish kerak bo'lgan ko'rsatkich.

   Ya'ni asosiy logarifmik identifikatsiya:

   o” title=”a>o”/> , 1″ title=”a1″/>, 0″ title=”b>0″/>

   mohiyatan matematik yozuvdir logarifm ta'riflari.

   Matematik operatsiya logarifmi ko'rsatkichga teskari, shuning uchun logarifmlarning xossalari daraja xossalari bilan chambarchas bog‘liqdir.

   Biz asosiylarini sanab o'tamiz logarifmlarning xossalari:

   (o” title=”a>o”/> , 1″ title=”a1″/>, 0″ title=”b>0″/>, 0,

   d>0″/>, 1″ title=”d1″/>

   4.

   5.

   Quyidagi xususiyatlar guruhi logarifm belgisi ostidagi yoki logarifmning tagida joylashgan koeffitsientni logarifm belgisi oldidagi ko'rsatkichni ko'rsatishga imkon beradi:

   6.

   7.

   8.

   9.

   Keyingi formulalar guruhi asosi berilgan logarifmadan ixtiyoriy asosli logarifmaga o‘tish imkonini beradi va shunday deyiladi. formulalarni yangi bazaga o'tkazish:

   10.

   12. (11-xususiyatdan xulosa)

   

   Quyidagi uchta xususiyat yaxshi ma'lum emas, lekin ular ko'pincha logarifmik tenglamalarni echishda yoki logarifmlarni o'z ichiga olgan ifodalarni soddalashtirishda qo'llaniladi:

   13.

   14.

   15.

   Maxsus holatlar:

   — o'nlik logarifm

   — tabiiy logarifm

   Logarifmlarni o'z ichiga olgan iboralarni soddalashtirishda umumiy yondashuv qo'llaniladi:

   1. Tanitish o'nli kasrlar oddiy shaklda.

   2. aralash raqamlar noto'g'ri kasrlar sifatida ifodalanadi.

   3. Logarifmning negizida va belgisi ostidagi sonlar tub ko‘paytmalarga ajratiladi.

   4. Biz barcha logarifmlarni bir xil asosga keltirishga harakat qilamiz.

   5. Logarifmlarning xossalarini qo‘llang.

   Keling, logarifmlarni o'z ichiga olgan ifodalarni soddalashtirish misollarini ko'rib chiqaylik.

   1-misol

   Hisoblash:

   Keling, barcha ko'rsatkichlarni soddalashtiramiz: bizning vazifamiz ularni logarifmlarga etkazishdir, ularning asosi ko'rsatkichning asosi bilan bir xil sondir.

   ==(7-xususiyat bo'yicha)=(6-xususiyat bo'yicha) =

   Olingan ko'rsatkichlarni asl iborada almashtiring. Biz olamiz:

   Javob: 5.25

   2-misol Hisoblang:

   

   Biz barcha logarifmlarni 6-asosga keltiramiz (bu holda kasrning maxrajidan logarifmlar numeratorga "ko'chib o'tadi"):

   Logarifm belgisi ostidagi sonlarni tub omillarga ajratamiz:

   4 va 6 xossalarni qo'llang:

   Biz almashtirishni taqdim etamiz

   Biz olamiz:

   Javob: 1

   Logarifm . Asosiy logarifmik identifikatsiya.

   Logarifmlarning xossalari. O'nlik logarifm. tabiiy logarifm.

   logarifm asosdagi musbat N soni (b > 0, b 1) N olish uchun b ko'tarilishi kerak bo'lgan x ko'rsatkichi deyiladi .

   Ushbu yozuv quyidagilarga teng: b x = N .

   MISOLLAR: log 3 81 = 4 chunki 3 4 = 81 ;

   log 1/3 27 = – 3 chunki (1/3) - 3 = 3 3 = 27 .

   Logarifmning yuqoridagi ta'rifi identifikatsiya sifatida yozilishi mumkin:

   

   Logarifmlarning asosiy xossalari.

   2) log 1 = 0, chunki b 0 = 1 .

   3) Mahsulotning logarifmi omillarning logarifmlari yig'indisiga teng:

   4) Bo'limning logarifmi dividend va bo'linuvchining logarifmlari o'rtasidagi farqga teng:

   5) Darajaning logarifmi ko'rsatkich va uning asosining logarifmi ko'paytmasiga teng:

   Ushbu mulkning natijasi quyidagicha: log ildizi ildiz sonining logarifmini ildiz kuchiga bo'linganga teng:

   

   6) Agar logarifmning asosi daraja bo'lsa, u holda qiymat ko‘rsatkichning o‘zaro nisbati olmosh jurnali belgisidan chiqarilishi mumkin:

   

   Oxirgi ikkita xususiyatni bittaga birlashtirish mumkin:

   

   7) O'tish moduli formulasi (ya'ni, logarifmning bir bazasidan boshqasiga o'tish):

   

   Muayyan holatda, qachon N = a bizda ... bor:

   

   O'nlik logarifm chaqirdi asosiy logarifm 10. U lg bilan belgilanadi, ya'ni. jurnal 10 N= jurnal N. 10, 100, 1000, sonlarning logarifmlari. p mos ravishda 1, 2, 3, …, ya'ni. juda ko'p ijobiy narsalar bor

   birlik, logarifm sonida birdan keyin nechta nol bor. 0,1, 0,01, 0,001, sonlarning logarifmlari. p mos ravishda -1, -2, -3, …, ya'ni. birdan oldingi logarifm sonida qancha nol bo‘lsa, shuncha manfiyga ega (shu jumladan, nol butun sonlar). Qolgan sonlarning logarifmlari deyiladi kasr qismiga ega mantis. Logarifmning butun qismi deyiladi xarakterli. Amaliy ilovalar uchun o'nlik logarifmlar eng qulaydir.

   tabiiy logarifm chaqirdi asosiy logarifm e. U ln bilan belgilanadi, ya'ni. jurnal e N=ln N. Raqam e irratsionaldir, uning taxminiy qiymati 2,718281828. Bu raqamga to'g'ri keladigan chegara (1 + 1 / n) n cheksiz o'sish bilan n(sm. birinchi ajoyib chegara Raqamlar ketma-ketligi chegaralari sahifasida).
   Qanday g'alati tuyulmasin, tabiiy logarifmlar funktsiyalarni tahlil qilish bilan bog'liq turli operatsiyalarni bajarishda juda qulay bo'lib chiqdi. Asosiy logarifmlarni hisoblash e boshqa asoslarga qaraganda ancha tezroq.

• Kvartiraga egalik huquqini davlat ro'yxatidan o'tkazish to'g'risidagi guvohnomani qanday olish mumkin? Rossiya Federatsiyasi Konstitutsiyasiga muvofiq, davlatga xususiy mulk huquqining kafolati vazifasi yuklangan. Davlat bu sohada o'z vakolatlariga ega [...] SZV-M va RSV-1 hisobotlarini FIUga taqdim etmaslik uchun jarima Har bir hisobot va hisob-kitob davri oxirida sug'urtalangan shaxs Pensiya jamg'armasiga zarur hisob-kitoblarni taqdim etishi shart. RSV-1 shakli. Agar biron-bir sababga ko'ra […]
• Sberbankda pensiyaning moliyalashtirilgan qismini qachon va qanday olish mumkin? Sberbank davlat pensiya jamg'armasining hamkor bankidir. Shu asosda jamg‘arib boriladigan pensiya tayinlagan fuqarolar jamg‘arib boriladigan pensiyani o‘tkazishlari mumkin edi [...]
• Kommunal to'lovlar (ijara) uchun subsidiyalarni qanday olish mumkin? Kommunal to'lovlar uchun subsidiyalar Rossiya Federatsiyasining uy-joy qonunchiligiga muvofiq fuqarolarning ayrim toifalariga beriladi. Jarayon haqida ko'proq ma'lumot olish uchun […]
• Rossiya bo'ylab soliq reestridan TIN yoki OGRN tomonidan bepul ma'lumotlar - onlayn Soliq xizmatlarining yagona portalida, yuridik shaxslarni, yakka tartibdagi tadbirkorlarni davlat ro'yxatidan o'tkazish to'g'risidagi ma'lumotlar, [...]
• Cesspool: sanitariya va qurilish qoidalari va qoidalari Yozgi uy yoki shahar uchastkasida kanalizatsiyani tashkil qilish uchun nafaqat qurilish, balki qonunchilik me'yorlariga ham rioya qilish kerak. Cesspool: uni tartibga solish normalari va qoidalari [...]

ga nisbatan

berilgan ikkitadan uchta raqamdan istalgan birini topish vazifasi qo'yilishi mumkin. Berilgan a va keyin N ko'rsatkich bilan topiladi. Agar N berilgan bo'lsa va u holda a x darajaning (yoki ko'rsatkichning) ildizini chiqarib topilgan bo'lsa. Endi a va N berilgan holda, x topish kerak bo'lgan holatni ko'rib chiqing.

N soni musbat bo'lsin: a soni musbat va birga teng emas: .

Ta'rif. N sonining a asosiga logarifmi N sonni olish uchun a ko'tarish kerak bo'lgan ko'rsatkichdir; logarifm bilan belgilanadi

Shunday qilib, (26.1) tenglikda ko'rsatkich N ning a asosiga logarifmi sifatida topiladi. Yozuvlar

bir xil ma'noga ega. Tenglik (26.1) ba'zan logarifmlar nazariyasining asosiy o'ziga xosligi deb ataladi; aslida u logarifm tushunchasining ta'rifini ifodalaydi. tomonidan bu ta'rif a logarifmning asosi har doim musbat va birlikdan farq qiladi; logarifmlanadigan N soni musbat. Salbiy raqamlar va nolning logarifmlari yo'q. Berilgan asosli har qanday son aniq belgilangan logarifmaga ega ekanligini isbotlash mumkin. Shuning uchun tenglik o'z ichiga oladi. E'tibor bering, bu erda shart juda muhim, aks holda xulosa oqlanmaydi, chunki tenglik x va y ning har qanday qiymatlari uchun to'g'ri.

Misol 1. Toping

Yechim. Raqamni olish uchun siz 2-bazani kuchga ko'tarishingiz kerak Shuning uchun.

Bunday misollarni yechishda quyidagi shaklda yozib olishingiz mumkin:

2-misol. Toping.

Yechim. Bizda ... bor

1 va 2-misollarda logarifmlanadigan sonni ratsional darajali asos darajasi sifatida ifodalash orqali kerakli logarifmni osongina topdik. Umumiy holatda, masalan, boshqalar uchun, buni amalga oshirish mumkin emas, chunki logarifm irratsional qiymatga ega. Keling, ushbu bayonot bilan bog'liq bir savolga e'tibor qaratamiz. 12-§da biz berilgan ijobiy sonning har qanday haqiqiy kuchini aniqlash imkoniyati tushunchasini berdik. Bu, umuman olganda, irratsional sonlar bo'lishi mumkin bo'lgan logarifmlarni kiritish uchun zarur edi.

Logarifmlarning ba'zi xususiyatlarini ko'rib chiqing.

Xossa 1. Agar son va asos teng bo'lsa, u holda logarifm birga teng bo'ladi va aksincha, agar logarifm birga teng bo'lsa, unda son va asos teng bo'ladi.

Isbot. Logarifmning ta'rifiga ko'ra, biz bor va qaerdan bo'lsin

Aksincha, ta'rifi bo'yicha Keyin bo'lsin

2- xossa. Har qanday asosga birlik logarifmi nolga teng.

Isbot. Logarifmning ta'rifi bo'yicha (har qanday musbat asosning nol kuchi birga teng, qarang (10.1)). Bu yerdan

Q.E.D.

Qarama-qarshi gap ham to'g'ri: agar , u holda N = 1. Haqiqatan ham, bizda .

Logarifmlarning quyidagi xossasini aytishdan oldin ikkita a va b sonlar c dan katta yoki c dan kichik bo‘lsa, uchinchi c sonining bir tomonida yotadi, deyishga rozi bo‘laylik. Agar bu sonlardan biri c dan katta, ikkinchisi c dan kichik bo'lsa, u holda ular c ning qarama-qarshi tomonlarida yotadi, deymiz.

Xossa 3. Agar son va asos birlikning bir tomonida yotsa, u holda logarifm musbat; agar son va asos birlikning qarama-qarshi tomonlarida yotsa, u holda logarifm manfiydir.

3-xususiyatning isboti, agar asos birdan katta bo‘lsa va ko‘rsatkichi musbat bo‘lsa, a ning darajasi birdan katta bo‘lishi yoki asosi birdan kichik va ko‘rsatkichi manfiy bo‘lishiga asoslanadi. Agar asos birdan katta bo'lsa va ko'rsatkich manfiy bo'lsa yoki asos birdan kichik va ko'rsatkich musbat bo'lsa, daraja birdan kichik bo'ladi.

Ko'rib chiqilishi kerak bo'lgan to'rtta holat mavjud:

Biz ulardan birinchisini tahlil qilish bilan cheklanamiz, qolganlarini o'quvchi o'zi ko'rib chiqadi.

Demak, tenglikdagi ko'rsatkich na manfiy, na nolga teng bo'lsin, shuning uchun u musbat, ya'ni isbotlanishi kerak bo'lgan narsadir.

3-misol. Quyidagi logarifmlarning qaysi biri musbat, qaysi biri manfiy ekanligini aniqlang:

Yechim, a) 15 raqami va 12 ta asosi birlikning bir tomonida joylashganligi uchun;

b) , chunki 1000 va 2 birlikning bir tomonida joylashgan; shu bilan birga, asos logarifmik sondan katta bo'lishi muhim emas;

c), chunki 3.1 va 0.8 birlikning qarama-qarshi tomonlarida yotadi;

G) ; nega?

e) ; nega?

Quyidagi 4-6 xossalari ko'pincha logarifm qoidalari deb ataladi: ular ba'zi raqamlarning logarifmlarini bilib, ularning har birining ko'paytmasi, bo'linmasi, darajasining logarifmlarini topishga imkon beradi.

4-xususiyat (mahsulotning logarifmi uchun qoida). Berilgan asosdagi bir nechta musbat sonlar ko‘paytmasining logarifmi shu asosdagi bu sonlarning logarifmlari yig‘indisiga teng.

Isbot. Ijobiy raqamlar berilsin.

Ularning hosilasining logarifmi uchun logarifmni aniqlaydigan tenglikni (26.1) yozamiz:

Bu erdan topamiz

Birinchi va oxirgi ifodalarning ko'rsatkichlarini taqqoslab, biz kerakli tenglikni olamiz:

E'tibor bering, shart juda muhim; ikkita manfiy sonning mahsulotining logarifmi mantiqiy, ammo bu holda biz olamiz

Umuman olganda, agar bir nechta omillarning ko'paytmasi ijobiy bo'lsa, unda uning logarifmi ushbu omillar modullarining logarifmlari yig'indisiga teng bo'ladi.

5-xossa (bo'lim logarifmi qoidasi). Musbat sonlar bo'limining logarifmi bir xil asosda olingan dividend va bo'linuvchining logarifmlari orasidagi farqga teng. Isbot. Doimiy ravishda toping

Q.E.D.

6-xossa (darajaning logarifmi qoidasi). Har qanday musbat sonning kuchining logarifmi shu sonning logarifmini ko‘rsatkichni ko‘paytirishga teng.

Isbot. Raqam uchun yana asosiy identifikatorni (26.1) yozamiz:

Q.E.D.

Natija. Musbat sonning ildizining logarifmi ildiz sonining logarifmini ildizning ko'rsatkichiga bo'linganiga teng:

Ushbu xulosaning to'g'riligini 6-xususiyatni qanday va foydalanishni taqdim etish orqali isbotlashimiz mumkin.

Misol 4. A asosi uchun logarifm:

a) (barcha b, c, d, e qiymatlari ijobiy deb taxmin qilinadi);

b) (deb taxmin qilinadi).

Yechish, a) Bu ifodani kasr darajalariga o‘tkazish qulay:

(26.5) - (26.7) tengliklariga asoslanib, endi yozishimiz mumkin:

Biz raqamlarning logarifmlari bo'yicha raqamlarning o'ziga qaraganda oddiyroq amallar bajarilganligini ko'ramiz: sonlarni ko'paytirishda ularning logarifmlari qo'shiladi, bo'linganda ayiriladi va hokazo.

Shuning uchun logarifmlar hisoblash amaliyotida qo'llanilgan (29-sek.ga qarang).

Logarifmga teskari harakat potentsiallanish deb ataladi, ya'ni: potentsial - bu sonning o'zi sonning berilgan logarifmi orqali topilgan harakat. Aslida, potentsiallash hech qanday maxsus harakat emas: bu bazani quvvatga (sonning logarifmiga teng) ko'tarishdan iborat. "Potensiyalash" atamasini "ko'tarilish" atamasi bilan sinonim deb hisoblash mumkin.

Potentsiyalashda logarifm qoidalariga teskari bo'lgan qoidalardan foydalanish kerak: logarifmlar yig'indisini mahsulotning logarifmi bilan, logarifmalar farqini bo'linmaning logarifmi bilan almashtiring va hokazo. Xususan, agar mavjud bo'lsa. logarifm belgisi oldida har qanday omil bo'lsa, u holda potentsiallash paytida u logarifm belgisi ostidagi indikator darajalariga o'tkazilishi kerak.

Misol 5. Agar ma'lum bo'lsa, N ni toping

Yechim. Hozirgina aytilgan potensiyalash qoidasi bilan bog'liq holda, bu tenglikning o'ng tomonidagi logarifmlar belgilari oldida joylashgan 2/3 va 1/3 ko'rsatkichlari ushbu logarifmlarning belgilari ostidagi darajalarga o'tkaziladi; olamiz

Endi biz logarifmlar ayirmasini qismning logarifmi bilan almashtiramiz:

bu tenglik zanjiridagi oxirgi kasrni olish uchun biz oldingi kasrni maxrajdagi irratsionallikdan ozod qildik (25-bo'lim).

Mulk 7. Agar asos birdan katta bo'lsa, u holda Ko'proq kattaroq logarifmaga ega (va kichikroqda kichikroq), agar asos birdan kichik bo'lsa, u holda kattaroq raqam kichikroq logarifmaga ega (kichikroq esa kattaroq).

Bu xususiyat, shuningdek, ikkala qismi ham ijobiy bo'lgan tengsizliklar logarifmi uchun qoida sifatida tuzilgan:

Asosi birdan katta bo‘lgan tengsizliklar logarifmini olishda tengsizlik belgisi saqlanib qoladi, asosi birdan kichik bo‘lgan logarifmni olishda esa tengsizlik belgisi teskari bo‘ladi (80-bandga ham qarang).

Isbot 5 va 3 xossalarga asoslanadi. Agar , keyin va logarifmni olib, biz oladigan holatni ko'rib chiqing.

(a va N/M birlikning bir tomonida yotadi). Bu yerdan

Keyingi holat, o'quvchi buni o'zi aniqlaydi.

Logarifm nima?

Diqqat!
Qo'shimchalar mavjud
555-sonli maxsus bo'limdagi materiallar.
Qattiq "juda emas..." bo'lganlar uchun.
Va "juda ko'p ..." bo'lganlar uchun)

Logarifm nima? Logarifmlarni qanday yechish mumkin? Bu savollar ko'plab bitiruvchilarni chalg'itadi. An'anaga ko'ra, logarifmlar mavzusi murakkab, tushunarsiz va qo'rqinchli deb hisoblanadi. Ayniqsa - logarifmli tenglamalar.

Bu mutlaqo to'g'ri emas. Mutlaqo! Ishonmaysizmi? Yaxshi. Endi 10-20 daqiqa davomida siz:

1. Tushunmoq logarifm nima.

2. Ko‘rsatkichli tenglamalarning butun sinfini yechishni o‘rganing. Agar siz ular haqida eshitmagan bo'lsangiz ham.

3. Oddiy logarifmlarni hisoblashni o'rganing.

Bundan tashqari, buning uchun siz faqat ko'paytirish jadvalini va raqamni qanday qilib kattalashtirishni bilishingiz kerak bo'ladi ...

Men sizda shubha borligini his qilaman ... Xo'sh, vaqtni saqlang! Bor!

Birinchidan, quyidagi tenglamani ongingizda yeching:

Agar sizga bu sayt yoqsa...

Aytgancha, menda siz uchun yana bir nechta qiziqarli saytlar bor.)

Siz misollarni yechishda mashq qilishingiz va o'z darajangizni bilib olishingiz mumkin. Tezkor tekshirish bilan sinov. O'rganish - qiziqish bilan!)

funksiyalar va hosilalar bilan tanishishingiz mumkin.

(yunoncha lós - "so'z", "munosabat" va ἀrthmos - "raqam" dan) raqamlar b sabab bilan a(log a b) shunday son deyiladi c, va b= a c, ya'ni log a b=c va b=ac ekvivalentdir. Agar a > 0, a ≠ 1, b > 0 bo‘lsa, logarifm mantiqiy bo‘ladi.

Boshqa so'zlar bilan aytganda logarifm raqamlar b sabab bilan a raqam ko'tarilishi kerak bo'lgan ko'rsatkich sifatida tuzilgan a raqamni olish uchun b(logarifm faqat ijobiy raqamlar uchun mavjud).

Bu formuladan kelib chiqadiki, hisoblash x= log a b, a x =b tenglamani yechishga teng.

Masalan:

log 2 8 = 3, chunki 8=2 3 .

Shuni ta'kidlaymizki, logarifmning ko'rsatilgan formulasi darhol aniqlashga imkon beradi logarifm qiymati logarifm belgisi ostidagi son asosning ma'lum bir kuchi bo'lganda. Haqiqatan ham, logarifmning formulasi agar buni oqlash imkonini beradi b=a c, keyin raqamning logarifmi b sabab bilan a teng Bilan. Logarifm mavzusi mavzu bilan chambarchas bog'liqligi ham aniq raqam darajasi.

Logarifmni hisoblash nazarda tutilgan logarifm. Logarifm - logarifm olishning matematik amalidir. Logarifm olishda omillarning ko'paytmalari hadlar yig'indisiga aylanadi.

Potentsiyalash logarifmga teskari matematik amaldir. Potentsiyalashda berilgan asos potentsiallashtirish bajariladigan ifoda kuchiga ko'tariladi. Bunda atamalar yig'indisi omillar mahsulotiga aylanadi.

Ko'pincha asoslari 2 (ikkilik), e Eyler soni e ≈ 2,718 (tabiiy logarifm) va 10 (o'nlik) bo'lgan haqiqiy logarifmlar qo'llaniladi.

Ushbu bosqichda buni ko'rib chiqishga arziydi logarifm namunalari jurnal 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.

Va lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 yozuvlari mantiqqa to'g'ri kelmaydi, chunki ularning birinchisida manfiy raqam logarifm belgisi ostida, ikkinchisida - manfiy sonda joylashgan. tayanch, uchinchisida - va logarifm belgisi ostidagi manfiy raqam va bazadagi birlik.

Logarifmni aniqlash shartlari.

a > 0, a ≠ 1, b > 0 shartlarini alohida ko'rib chiqishga arziydi. logarifmning ta'rifi. Keling, bu cheklovlar nima uchun olinganligini ko'rib chiqaylik. Bu bizga x = log a shaklidagi tenglik bilan yordam beradi b, yuqorida keltirilgan logarifmning ta'rifidan bevosita kelib chiqadigan asosiy logarifmik identifikatsiya deb ataladi.

Shartni oling a≠1. Har qanday darajaga bir birga teng bo'lganligi sababli, tenglik x=log a bo'ladi b faqat qachon mavjud bo'lishi mumkin b=1, lekin log 1 1 har qanday haqiqiy son bo'ladi. Ushbu noaniqlikni bartaraf etish uchun biz olamiz a≠1.

Keling, shartning zarurligini isbotlaylik a>0. Da a=0 logarifmning formulasiga ko'ra, faqat qachon mavjud bo'lishi mumkin b=0. Va keyin mos ravishda log 0 0 har qanday nolga teng bo'lmagan haqiqiy son bo'lishi mumkin, chunki noldan nolga teng bo'lmagan daraja nolga teng. Bu noaniqlikni bartaraf etish uchun shart a≠0. Va qachon a<0 biz logarifmning ratsional va irratsional qiymatlarini tahlil qilishni rad etishimiz kerak edi, chunki ratsional va irratsional ko'rsatkichli ko'rsatkich faqat manfiy bo'lmagan asoslar uchun aniqlanadi. Aynan shuning uchun shart a>0.

Va oxirgi shart b>0 tengsizlikdan kelib chiqadi a>0, chunki x=log a b, va musbat bazaga ega daraja qiymati a har doim ijobiy.

Logarifmlarning xususiyatlari.

Logarifmlar xosligi bilan ajralib turadi Xususiyatlari, bu esa mashaqqatli hisob-kitoblarni sezilarli darajada osonlashtirish uchun ularning keng qo'llanilishiga olib keldi. "Logarifmlar olamiga" o'tishda ko'paytirish ancha oson qo'shishga, ayirishga bo'lish va darajaga ko'tarish va ildiz olish mos ravishda darajaga ko'paytirish va bo'linishga aylantiriladi.

Logarifmlarning formulasi va ularning qiymatlari jadvali (trigonometrik funktsiyalar uchun) birinchi marta 1614 yilda Shotlandiya matematigi Jon Nepier tomonidan nashr etilgan. Boshqa olimlar tomonidan kattalashtirilgan va batafsil bayon qilingan logarifmik jadvallar ilmiy va muhandislik hisoblarida keng qo‘llanilgan va elektron hisob mashinalari va EHMlar qo‘llanila boshlanmaguncha o‘z ahamiyatini saqlab qolgan.

ta'rifidan kelib chiqadi. Shunday qilib, raqamning logarifmi b sabab bilan a raqam ko'tarilishi kerak bo'lgan ko'rsatkich sifatida aniqlanadi a raqamni olish uchun b(logarifm faqat ijobiy raqamlar uchun mavjud).

Bu formuladan kelib chiqadiki, hisoblash x=log a b, tenglamani yechishga teng ax=b. Masalan, log 2 8 = 3 chunki 8 = 2 3 . Logarifmning formulasi, agar ekanligini asoslash imkonini beradi b=a c, keyin raqamning logarifmi b sabab bilan a teng Bilan. Logarifm mavzusi sonning kuchi mavzusi bilan chambarchas bog'liqligi ham aniq.

Logarifmlar bilan, har qanday raqamlarda bo'lgani kabi, siz bajarishingiz mumkin qo`shish, ayirish amallari va har tomonlama o'zgartiring. Ammo logarifmlar juda oddiy raqamlar emasligini hisobga olib, bu erda o'zlarining maxsus qoidalari qo'llaniladi, ular deyiladi. asosiy xususiyatlar.

Logarifmlarni qo'shish va ayirish.

Bir xil asosga ega ikkita logarifmni oling: log x va log a y. Keyin olib tashlang, qo'shish va ayirish amallarini bajarish mumkin:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log x 1 + log x 2 + log x 3 + ... + log a x k.

Kimdan qism logarifm teoremalari logarifmning yana bir xossasini olish mumkin. Bu jurnali yaxshi ma'lum a 1= 0, shuning uchun

jurnal a 1 /b= jurnal a 1 - jurnal a b= -log a b.

Shunday qilib, tenglik mavjud:

log a 1 / b = - log a b.

Ikki o'zaro o'zaro sonlarning logarifmlari bir xil asosda bir-biridan faqat belgisi bilan farqlanadi. Shunday qilib:

Jurnal 3 9= - log 3 1/9; log 5 1 / 125 = -log 5 125.