Tasodifiy o'zgaruvchilarning ehtimollik taqsimotlari; taqsimlash funktsiyasi bilan tavsiflanadi

qayerda taqsimot egri shakli parametri, masshtab parametri, siljish parametri. Tarqatishlar oilasi (*) V. Weibull sharafiga nomlangan, u birinchi marta charchoq sinovlari paytida po'latning kuchlanish kuchiga oid eksperimental ma'lumotlarni taxminiy hisoblash va tarqatish parametrlarini (*) baholash uchun tavsiya etilgan usullardan foydalangan. V. r. asimptotikga tegishli uchinchi turdagi ekstremal atamalarning taqsimlanishi variatsion qator. U rulmanlar, vakuum qurilmalari, elektron komponentlarning ishdan chiqishini tasvirlash uchun keng qo'llaniladi. V.ning daryoning alohida holatlari. eksponensial (p=1) va Reyleigh (p=2) taqsimotlaridir. Tarqatish funksiyasi egri chiziqlari (*) Pearson taqsimotlari oilasiga kirmaydi. Weibull taqsimot funktsiyasini hisoblash uchun yordamchi jadvallar mavjud (qarang). Qachonki daraja kvantili q ga teng bo'lsa

gamma funksiyasi qayerda; o'zgaruvchanlik, egrilik va kurtoz ga bog'liq emas, bu esa ularni jadvalga kiritishni va parametr baholarini olish uchun yordamchi jadvallarni yaratishni osonlashtiradi. V. r da. unimodal, ga teng va nosozlik xavfi funksiyasi kamaymaydi. , uchun funksiya monoton kamayib bormoqda. Siz shunday qurishingiz mumkin. chaqirdi Weibull ehtimollik qog'ozi (qarang). Unda tasvir botiq bo'lsa va qavariq bo'lsa, u to'g'ri chiziqqa aylanadi. V. r parametrlarini baholash. kvant usuli maksimal ehtimollik usulidan ancha sodda tenglamalarga olib keladi. Qo'shma asimptotik parametrlarini va (at ) kvant usulida baholash samaradorligi maksimal (va 0,64 ga teng) at. 0,24 va 0,93 darajali kvantillar yordamida. Tarqatish funksiyasi (*) lognormal taqsimotning taqsimot funksiyasi bilan yaxshi yaqinlashtirilgan

(- normallashtirilgan taqsimotning taqsimot funksiyasi,):

Lit:Weibull V., Materiallar mustahkamligining statistik nazariyasi, Stokh., 1939; Gnedenko B. V., Belyaev Yu. K., Solovyov A. D., Matematik usullar ishonchlilik nazariyasida, M., 1965; Jonson L., Charchoq tajribalarini statistik davolash, Amst., 1964; Kramer G Statistikaning matematik usullari, trans. Ingliz tilidan, 2-nashr, M, 1975. Yu. K. Belyaev, E. V. Chepurin.

Matematik ensiklopediya. - M.: Sovet Entsiklopediyasi. I. M. Vinogradov. 1977-1985 yillar.

Boshqa lug'atlarda "WEIBULL DISTRIBUTION" nima ekanligini ko'ring:

tarqatish- 3.38 taqsimlash (ajratish): Tizimni (ob'ektni) loyihalashda qo'llaniladigan va belgilangan mezonga muvofiq komponentlar va quyi tizimlar o'rtasida ob'ekt xususiyatlarining qiymatlariga qo'yiladigan talablarni taqsimlashga qaratilgan protsedura. ... . ..

Weibull taqsimoti- 1.48. Weibull taqsimoti; III turdagi ekstremal qiymatlarni taqsimlash uzluksiz ehtimollik taqsimoti tasodifiy o'zgaruvchi X taqsimot funksiyasi bilan: bu yerda x ³ a; y = (x a)/b; va parametrlar ¥< a < +¥, k >0, b > 0. Eslatma... Normativ-texnik hujjatlar atamalarining lug'at-ma'lumotnomasi

Ehtimollar zichligi Tarqatish funksiyasi Notation (((notation))) Parametrlar masshtab omili ... Vikipediya

Weibull taqsimoti

Ikki parametrli Weibull taqsimoti eksponensial taqsimotdan ko'ra moslashuvchanroqdir, uni quyidagicha ko'rish mumkin. maxsus holat birinchi. Veybull zichligi

1/t0 = va m = 1 da (8) tenglama ko'rsatkichli taqsimot zichligiga aylanadi. 1/t0 qiymati masshtabni, m esa taqsimotning assimetriyasini (shaklini) belgilaydi.

(8) ni 0 dan t gacha integrallashdan keyin Q(t) ga teng F(t) taqsimot funksiyasini olamiz:

Binobarin,

Zichlik (8) va ehtimollik (10) nisbati buzilish tezligini beradi

Weibull taqsimotining asosiy uchastkalari 4-rasmda ko'rsatilgan.

Ikki parametrli Weibull taqsimoti yaqinlashtirishda ajoyib moslashuvchanlikka ega empirik taqsimotlar va shuning uchun ishonchlilik nazariyasining amaliy qo'llanilishida keng qo'llaniladi. Ishonchlilik qonuniyatlarini tavsiflashda, ham yugurish zonasida, ham qarish va eskirish jarayonlarini tahlil qilishda qo'llaniladi.

Weibull taqsimotidagi nosozliklar orasidagi o'rtacha vaqt shartdan aniqlanadi va tengdir

3.4-rasm. Weibull tarqatish uchastkalari

bu yerda - gamma - funksiya;

Oddiy taqsimot

Ikki parametrli normal (Gauss) taqsimot ishonchlilik nazariyasining amaliy masalalarida juda keng qo'llaniladi. Ushbu taqsimotning parametrlari - kutilgan qiymat tasodifiy o'zgaruvchi va - standart og'ish. Oddiy taqsimotning zichligi bog'liqlik bilan aniqlanadi

Oddiy qonun bo'yicha taqsimot funksiyasi F(x) (3.5-rasm) f(x) zichlikning - dan + gacha bo'lgan integrasiya chegaralari bilan integrali bilan aniqlanadi.

Tasodifiy o'zgaruvchi t, barcha ishonchlilik muammolarida bo'lgani kabi, ob'ektning ishlash vaqtining ma'nosiga ega va shuning uchun raqamlarning musbat yarim o'qida aniqlanadi va normal qonun, yuqorida aytib o'tilganidek, butun raqamli o'qda aniqlanadi - ga +. Shu munosabat bilan ishonchlilik nazariyasida kesilgan normal qonun ko'rib chiqiladi, uning zichligi (3.13) doimiy omilga ko'paytirish orqali aniqlanadi.

bu yerda, a, b - kesilgan taqsimotning chap va o'ng chegaralari.

F (a), F (b) - chap va o'ng kesish chegaralarida normal qonunning taqsimlash funktsiyalari qiymatlari.

Doimiy c omilining ma'nosi 6-rasmda ko'rsatilgan normal taqsimot zichligi grafigini ko'rib chiqishda aniq bo'ladi.

5-rasm.

Ma'lumki, taqsimot zichligi egri chizig'i ostidagi maydon har doim birga teng bo'lishi kerak, ya'ni bu holda. 6-rasmda ko'rsatilganidek, bu shartni ta'minlash uchun kesilgan normal qonunning zichlik egri chizig'ini normal qonunning dastlabki zichligini doimiy koeffitsientga ko'paytirish orqali yuqoriga va o'ngga siljitish kerak. Shunga ko'ra, asosiy parametrlar o'zgaradi: matematik kutish va standart og'ish. Hisob-kitoblar shuni ko'rsatadiki, / nisbati bilan< 0.5 (коэффициент вариации) постоянный множитель c для усечённо- нормального закона близок к единице. Поэтому во многих практических задачах теории надёжности пользуются параметрами нормального закона распределения случайной наработки объекта до отказа. При этом математическое ожидание отождествляют со средней наработкой до отказа Т0.

6-rasm.

Oddiy taqsimotda nosozliksiz ishlash ehtimoli teng

Muvaffaqiyatsizlik ehtimoli formula bo'yicha hisoblanadi (s 1 da)

Nosozlik darajasi zichlikning nosozliksiz ishlash ehtimoliga nisbati bilan belgilanadi

(14)…(16) ifodalardagi integrallar shartlarda ifodalanmaydi elementar funktsiyalar. Odatda ular parametrning ehtimollik integrali orqali ifodalanadi

ular uchun jadvallar tayyorlanadi.

(17) ni hisobga olgan holda, normal qonun bo'yicha nosozliksiz ishlash ehtimoli formula bilan aniqlanadi

Dars savollari:

Kirish

Texnik tizimlarning ishonchlilik modellari

Ish vaqtini taqsimlash qonunlari

Kirish

Texnik ob'ektlarni, ayniqsa ularni loyihalash va yaratish bosqichlarida o'rganishning miqdoriy usullari doimo jarayonlar va hodisalarning matematik modellarini qurishni talab qiladi. Matematik model deganda, odatda, analitik va mantiqiy ifodalarning bir-biriga bog'langan to'plami, shuningdek, ob'ekt faoliyatining real jarayonlarini ma'lum bir yaqinlashish bilan aks ettiruvchi boshlang'ich va chegaraviy shartlar tushuniladi. Matematik model - bu to'liq o'lchamli ob'ektning axborot analogi bo'lib, uning yordamida siz yaratilayotgan loyiha haqida bilim olishingiz mumkin. Bashorat qilish qobiliyati modelning belgilovchi xususiyati hisoblanadi. Bularning barchasi ishonchlilikning matematik modellariga to'liq taalluqlidir.

Ishonchlilikning matematik modeli deganda analitik tarzda taqdim etilgan tizim tushuniladi to'liq ma'lumot ob'ektning ishonchliligi haqida. Modelni qurishda ishonchlilikni ma'lum bir tarzda o'zgartirish jarayoni soddalashtiriladi va sxematiklashtiriladi. To'liq miqyosli ob'ektga ta'sir qiluvchi ko'plab omillardan asosiylari ajralib turadi, ularning o'zgarishi ishonchlilikning sezilarli o'zgarishiga olib kelishi mumkin. Tizimning tarkibiy qismlari o'rtasidagi munosabatlar analitik bog'liqliklar bilan ham ma'lum yaqinlashishlar bilan ifodalanishi mumkin. Natijada, ob'ekt ishonchliligi modelini o'rganish asosida olingan xulosalar ma'lum bir noaniqlikni o'z ichiga oladi.

Model qanchalik muvaffaqiyatli tanlansa, u ob'ekt faoliyatining xarakterli xususiyatlarini qanchalik yaxshi aks ettirsa, uning ishonchliligi qanchalik aniqroq baholanadi va qaror qabul qilish uchun asosli tavsiyalar olinadi.

1. Texnik tizimlarning ishonchlilik modellari

Hozirgi vaqtda ishonchlilikning matematik modellarini qurishning umumiy tamoyillari mavjud. Model faqat ma'lum bir ob'ekt uchun, aniqrog'i bir xil turdagi ob'ektlar guruhi uchun ularning kelajakdagi faoliyati xususiyatlarini hisobga olgan holda quriladi. U quyidagi talablarga javob berishi kerak:

Model ob'ektning ishonchliligiga ta'sir qiluvchi omillarning maksimal sonini hisobga olishi kerak;

Model oddiy hisoblash vositalaridan foydalangan holda kirish omillarining o'zgarishiga qarab chiqish ishonchliligi ko'rsatkichlarini olish uchun etarlicha sodda bo'lishi kerak.

Ushbu talablarning nomuvofiqligi modellarni qurish jarayonini ma'lum darajada ijodiy holga keltiradigan modellarni qurishni to'liq rasmiylashtirishga imkon bermaydi.

Ishonchlilik modellarining ko'plab tasniflari mavjud, ulardan biri 1-rasmda ko'rsatilgan.

1-rasm. Ishonchlilik modellarining tasnifi

1-rasmdan ko'rinib turibdiki, barcha modellarni ikkita katta guruhga bo'lish mumkin: ob'ekt ishonchliligi modellari va element modellari. Elementlarning ishonchliligi modellari ko'proq jismoniy tarkibga ega va ma'lum bir dizayn elementlari uchun aniqroqdir. Ushbu modellar materiallarning mustahkamligi xususiyatlaridan foydalanadi, strukturaga ta'sir qiluvchi yuklarni hisobga oladi, ish sharoitlarining elementlarning ishlashiga ta'sirini hisobga oladi. Ushbu modellarni o'rganishda tanlangan omillarga qarab nosozliklar paydo bo'lish jarayonlarining rasmiylashtirilgan tavsifi olinadi.

Ob'ektlarning ishonchlilik modellari ma'lum bir ob'ektni tashkil etuvchi elementlarning o'zaro ta'siri jarayoni sifatida ularning ishlash jarayonining ishonchliligi nuqtai nazaridan rasmiylashtirilgan tavsif uchun yaratilgan. Bunday modelda elementlarning o'zaro ta'siri faqat ob'ektning umumiy ishonchliligiga ta'sir qiluvchi eng muhim aloqalar orqali amalga oshiriladi.

Elementlarning nosozliklari nuqtai nazaridan parametrik ob'ekt ishonchliligi modellari va modellari mavjud. Parametrik modellar elementlarning tasodifiy parametrlari funktsiyalarini o'z ichiga oladi, bu esa modelning chiqishida kerakli ob'ekt ishonchliligi ko'rsatkichini olish imkonini beradi. O'z navbatida, elementlarning parametrlari ob'ektning ishlash vaqtining funktsiyalari bo'lishi mumkin.

Elementlarning nosozliklari nuqtai nazaridan yaratilgan modellar eng rasmiylashtirilgan va murakkab texnik tizimlarning ishonchliligini tahlil qilishda asosiy hisoblanadi. Bunday modellarni yaratishning zaruriy sharti tizimning har bir elementining ishlamay qolish belgilarining aniq tavsifidir. Model alohida elementning ishdan chiqishining tizimning ishonchliligiga ta'sirini aks ettiradi.

Modellarni amalga oshirish tamoyillariga ko'ra, ular analitik, statistik va kombinatsiyalangan (aks holda funktsional - statistik) farqlanadi.

Analitik modellar tizimning ishonchliligini tavsiflovchi parametrlar va ishonchlilikning chiqish ko'rsatkichi o'rtasidagi analitik bog'liqlikni o'z ichiga oladi. Bunday bog'liqliklarni olish uchun muhim omillar sonini cheklash va ishonchlilikni o'zgartirish jarayonining jismoniy rasmini sezilarli darajada soddalashtirish kerak. Natijada, analitik modellar tizim ishonchliligi ko'rsatkichlarini o'zgartirishning nisbatan oddiy muammolarini etarli darajada aniqlik bilan tavsiflashi mumkin. Tizimning murakkablashishi va ishonchlilikka ta'sir qiluvchi omillar sonining ko'payishi bilan statistik modellar birinchi o'ringa chiqadi.

Statistik modellashtirish usuli katta murakkablikdagi ko'p o'lchovli muammolarni qisqa vaqt ichida va maqbul aniqlik bilan hal qilishga imkon beradi. Kompyuter texnikasining rivojlanishi bilan bu usulning imkoniyatlari kengayib bormoqda.

Funktsional-statistik modellarni yaratishni nazarda tutuvchi kombinatsiyalangan usul yanada katta imkoniyatlarga ega. Bunday modellarda elementlar uchun analitik modellar yaratiladi va butun tizim statistik rejimda modellashtiriladi.

U yoki bu matematik modelni tanlash ob'ektning ishonchliligini o'rganish maqsadlariga, elementlarning ishonchliligi to'g'risida dastlabki ma'lumotlarning mavjudligiga, ishonchlilikning o'zgarishiga ta'sir qiluvchi barcha omillarni bilishga, tayyorlikka bog'liq. zararni to'plash va nosozliklar jarayonlarini tavsiflash uchun analitik apparatlar va boshqa ko'plab sabablar. Oxir oqibat, modelni tanlash tadqiqotchi tomonidan amalga oshiriladi.

3. ISHONCHLIKNI HISOBLARDA ENG KO'P FOYDALANILGAN ASOSIY MATEMATIK MODELLAR

3.1. Weibull taqsimoti

Juda ko'p elektron qurilmalar va elektromexanik uskunalarning sezilarli darajada ish tajribasi shuni ko'rsatadiki, ular ushbu qurilmalarning ishlash muddatining uchta davriga to'g'ri keladigan vaqtga (3.1-rasm) ishlamay qolish tezligining uchta bog'liqligi bilan tavsiflanadi.

Bu ko'rsatkich rasmga o'xshashligini ko'rish oson. 2.3, funktsiya grafigidan beri l (t) Veybull qonuniga mos keladi. Nosozlik tezligining vaqtga bog'liqligining ushbu uch turini tasodifiy vaqtni tasodifiy tavsiflash uchun ikki parametrli Weibull taqsimoti yordamida olish mumkin. Ushbu taqsimotga ko'ra, muvaffaqiyatsizlik momentining ehtimollik zichligi

, (3.1)

qaerda d - shakl parametri (eksperimental ma'lumotlarni qayta ishlash natijasida tanlov orqali aniqlanadi, d > 0); l - masshtab parametri, .

Muvaffaqiyatsizlik darajasi ifoda bilan aniqlanadi

(3.2)

Ish vaqti ehtimoli

, (3.3)

va muvaffaqiyatsizlikka qadar vaqtni anglatadi

. (3.4)

E'tibor bering, parametr bilan d = 1, Veybull taqsimoti eksponent bo'ladi va at d = 2 - Rayleigh taqsimotiga.

d uchun< 1, ishlamay qolish darajasi monoton ravishda pasayadi (ishlash davri) va monoton ravishda ortadi (kiyish davri), rasmga qarang. 3.1. Shuning uchun, parametrni tanlash orqali d har uchta bo'limda shunday nazariy egri chiziqni olish mumkin l (t), bu eksperimental egri chiziq bilan chambarchas mos keladi va keyin ma'lum qonuniyat asosida kerakli ishonchlilik ko'rsatkichlarini hisoblash mumkin.

Weibull taqsimoti bir qator mexanik ob'ektlar (masalan, rulmanlar) uchun etarlicha yaqin, u ob'ektlarni majburiy rejimda tezlashtirilgan sinovdan o'tkazish uchun ishlatilishi mumkin.

3.2. Eksponensial taqsimot

Mazhabda qayd etilganidek. 3.1 Muvaffaqiyatsiz ishlash ehtimolining eksponensial taqsimoti shakl parametri bo'lganda Veybull taqsimotining alohida holatidir. d = 1. Bu taqsimot bir parametrli, ya'ni hisoblangan ifodani yozish uchun bitta parametr yetarli l = const. Ushbu qonun uchun teskari bayonot ham to'g'ri: agar buzilish darajasi doimiy bo'lsa, vaqt funktsiyasi sifatida nosozliksiz ishlash ehtimoli eksponensial qonunga bo'ysunadi:

. (3.5)

Muvaffaqiyatsiz ishlash oralig'ini taqsimlashning eksponensial qonuni bo'yicha nosozliksiz ishlashning o'rtacha vaqti quyidagi formula bilan ifodalanadi:

. (3.6)

(3.5) ifodadagi miqdorni almashtirish l qiymati 1 / T 1, biz olamiz. (3.7)

E'tibor bering, eksponensial taqsimot bilan T 1 o'rtacha vaqtdan oshib ketadigan oraliqda nosozliksiz ishlash ehtimoli 0,368 dan kam bo'ladi:

P (T 1) \u003d\u003d 0,368 (3.2-rasm).

Qarish boshlanishidan oldin normal ishlash davrining davomiyligi T 1 dan sezilarli darajada kam bo'lishi mumkin, ya'ni eksponensial modeldan foydalanish maqbul bo'lgan vaqt oralig'i ko'pincha ushbu model uchun hisoblangan o'rtacha ish vaqtidan kamroq bo'ladi. Bu ish vaqtining farqi yordamida osongina oqlanishi mumkin. Ma'lumki, agar t tasodifiy o'zgaruvchisi uchun f(t) ehtimollik zichligi berilsa va o'rtacha qiymat (matematik kutilma) T 1 aniqlansa, ish vaqtining dispersiyasi quyidagi ifoda bilan topiladi:

(3.8)

va eksponensial taqsimot uchun mos ravishda quyidagilarga teng:

. (3.9)

Ba'zi o'zgarishlardan so'ng biz quyidagilarni olamiz:

. (3.10) Shunday qilib, T 1 ga yaqin joyda guruhlangan ish vaqtining eng mumkin bo'lgan qiymatlari diapazonda, ya'ni t = 0 dan t = 2T 1 gacha bo'lgan oraliqda yotadi. Ko'rib turganingizdek, ob'ekt kichik vaqt va vaqt oralig'ida ishlashi mumkin t = 2T 1, l ni saqlab = const. Ammo 2T 1 oralig'ida muvaffaqiyatsiz ishlash ehtimoli juda past: .

Shuni ta'kidlash kerakki, agar ob'ekt ishlagan bo'lsa, vaqtni nazarda tuting t rad qilmasdan, tejash l = const, keyin ish vaqtini keyingi taqsimlash birinchi qo'shilish vaqtidagi bilan bir xil bo'ladi l = const.

Shunday qilib, oraliq oxirida sog'lom ob'ektni o'chirish va uni bir xil oraliqda ko'p marta qayta yoqish arra tishining egri chizig'iga olib keladi (3.3-rasmga qarang).

Boshqa taqsimotlar ko'rsatilgan xususiyatga ega emas. Yuqoridagilardan paradoksal ko'rinadigan xulosa kelib chiqadi: qurilma butun vaqt davomida qarimaganligi sababli (uning xususiyatlarini o'zgartirmaydi), eksponentga bo'ysunadigan to'satdan nosozliklarni oldini olish uchun profilaktik xizmat ko'rsatish yoki qurilmalarni almashtirish tavsiya etilmaydi. qonun. Albatta, bu xulosa hech qanday paradoksni o'z ichiga olmaydi, chunki ish vaqti oralig'ining eksponensial taqsimoti haqidagi taxmin qurilmaning qarimasligini anglatadi. Boshqa tomondan, qurilma yoqilgan vaqt qancha ko'p bo'lsa, qurilmaning ishdan chiqishiga olib keladigan turli xil tasodifiy sabablar shunchalik aniq. Qurilmaning yuqori ishonchliligini ta'minlash uchun profilaktik xizmat ko'rsatish oralig'ini tanlash zarur bo'lganda, bu qurilmalarning ishlashi uchun juda muhimdir. Bu masala ishda batafsil ko'rib chiqiladi.

Eksponensial taqsimot modeli ko'pincha apriori tahlil qilish uchun ishlatiladi, chunki u juda murakkab bo'lmagan hisob-kitoblar bilan yaratilayotgan tizimning turli xil variantlari uchun oddiy munosabatlarni olish imkonini beradi. Posteriori tahlil (eksperimental ma'lumotlar) bosqichida eksponensial modelning test natijalariga muvofiqligini tekshirish kerak. Xususan, agar test natijalarini qayta ishlash jarayonida bu aniqlansa, bu tahlil qilingan bog'liqlikning eksponensialligidan dalolat beradi.

Amalda, ko'pincha shunday bo'ladi l№ const, ammo bu holda u cheklangan vaqt davomida ishlatilishi mumkin. Ushbu taxmin cheklangan vaqt oralig'ida o'zgaruvchan ishlamay qolish darajasi katta xatoliksiz o'rtacha qiymatga almashtirilishi mumkinligi bilan asoslanadi:

l(t)"lcp(t) = const.

3.3. Rayleigh taqsimoti

Rayleigh qonunida ehtimollik zichligi (3.4-rasmga qarang) quyidagi shaklga ega.

¦ , (3.11)

qaerda d* - Rayleigh taqsimot parametri (ushbu taqsimot rejimiga teng). Buni standart og'ish bilan aralashtirib yuborishning hojati yo'q: .

Muvaffaqiyatsizlik darajasi:

Rayleigh taqsimotining xarakterli xususiyati grafikning to'g'ri chizig'idir l (t) kelib chiqishidan boshlab.

Bu holda ob'ektning ishlamay qolish ehtimoli ifoda bilan aniqlanadi

. (3.12)

MTBF

. (3.13)

3.4. Oddiy taqsimot (Gauss taqsimoti)

oddiy qonun taqsimot shaklning ehtimollik zichligi bilan tavsiflanadi

, (3.14)

bu erda m x, s x - mos ravishda, matematik kutish va tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishi x.

Tasodifiy o'zgaruvchi ko'rinishidagi elektr inshootlarining ishonchliligini tahlil qilishda vaqtga qo'shimcha ravishda oqim, elektr kuchlanish va boshqa dalillar ko'pincha paydo bo'ladi. Oddiy qonun ikki parametrli qonun bo'lib, uni yozish uchun siz m x va ni bilishingiz kerak s x.

Muvaffaqiyatsiz ishlash ehtimoli formula bilan aniqlanadi

, (3.15)

va muvaffaqiyatsizlik darajasi - formula bo'yicha

Shaklda. 3,5 egri chiziqlar ko'rsatilgan s t ishi uchun l (t), P (t) va ¦ (t).<< m t, avtomatik boshqaruv tizimlarida ishlatiladigan elementlarning xarakteristikasi.

Ushbu qo'llanmada faqat tasodifiy o'zgaruvchining eng keng tarqalgan taqsimot qonunlari ko'rsatilgan. Bir qator qonunlar ma'lum bo'lib, ular ishonchlilik hisoblarida ham qo'llaniladi: gamma taqsimoti, -tarqatish, Maksvell taqsimoti, Erlang taqsimoti va boshqalar.

Shuni ta'kidlash kerakki, agar tengsizlik bo'lsa s t<< m t bajarilmasa, u holda kesilgan normal taqsimotdan foydalanish kerak.

Muvaffaqiyatsizlikka vaqtni amaliy taqsimlash turini oqilona tanlash, buzilishdan oldin ob'ektlarda sodir bo'ladigan jismoniy jarayonlarni tushuntirish bilan ko'p sonli nosozliklarni talab qiladi.

Elektr inshootlarining yuqori ishonchli elementlarida, operatsiya yoki ishonchlilik sinovlari paytida, dastlab mavjud bo'lgan ob'ektlarning faqat kichik bir qismi muvaffaqiyatsizlikka uchraydi. Shuning uchun, eksperimental ma'lumotlarni qayta ishlash natijasida topilgan raqamli xususiyatlarning qiymati muvaffaqiyatsizlikka qadar kutilgan vaqt taqsimotining turiga kuchli bog'liqdir. Ko'rsatilgandek, ishlamay qolish vaqtining turli qonunlari bilan bir xil dastlabki ma'lumotlardan hisoblangan o'rtacha ishlamay qolish vaqtining qiymatlari yuzlab marta farq qilishi mumkin. Shuning uchun, nosozlikka vaqtni taqsimlash uchun nazariy modelni tanlash masalasiga nazariy va eksperimental taqsimotlarning yaqinlashishini tegishli isboti bilan alohida e'tibor berish kerak (8-bo'limga qarang).

3.5. Ishonchlilik hisoblarida taqsimot qonunlaridan foydalanishga misollar

Nosozliklar yuzaga kelgan vaqt uchun eng ko'p ishlatiladigan tarqatish qonunlari uchun ishonchlilik ko'rsatkichlarini aniqlaylik.

3.5.1. Ishonchlilik ko'rsatkichlarini eksponensial taqsimot qonuni bilan aniqlash

Misol . Ob'ekt muvaffaqiyatsizlik darajasi bilan nosozliklar paydo bo'lish vaqtining eksponensial taqsimotiga ega bo'lsin l \u003d 2,5 H 10 -5 1 / soat.

T = 2000 soat davomida tiklanmaydigan ob'ektning ishonchliligining asosiy ko'rsatkichlarini hisoblash talab qilinadi.

Yechim.

q (2000) = 1 - P (2000) = 1 - 0,9512 = 0,0488.

1. (2.5) ifodadan foydalanib, ob'ekt 500 soat ishlamay qolgan bo'lsa, 500 soatdan 2500 soatgacha bo'lgan vaqt oralig'ida nosozliksiz ishlash ehtimoli teng bo'ladi.

.

1. MTBF

h.

3.5.2. Rayleigh taqsimotida ishonchlilik o'lchovlarini aniqlash

Misol. Tarqatish parametri d* = 100 soat.

T = 50 soat uchun P (t), Q (t) qiymatlarini aniqlash kerak, l (t), T 1 .

Yechim.

(3.11), (3.12), (3.13) formulalaridan foydalanib, biz olamiz

3.5.3. Gauss taqsimotida sxema ko'rsatkichlarini aniqlash

Misol. Elektr davri ketma-ket ulangan uchta standart rezistordan yig'iladi: ;

(% da, nominal qiymatdan qarshilikning og'ish qiymati o'rnatiladi).

Rezistorlar parametrlarining og'ishlarini hisobga olgan holda, kontaktlarning zanglashiga olib keladigan umumiy qarshiligini aniqlash talab qilinadi.

Yechim.

Ma'lumki, bir xil turdagi elementlarni ommaviy ishlab chiqarishda ularning parametrlarini taqsimlash zichligi normal qonunga bo'ysunadi. 3-qoidadan foydalanish s (uch sigma), biz dastlabki ma'lumotlardan rezistorlarning qarshilik qiymatlari yotadigan diapazonlarni aniqlaymiz: ;

Binobarin,

Element parametr qiymatlari normal taqsimlanganda va elementlar sxemani yaratishda tasodifiy tanlangan bo'lsa, natijada R ning qiymati e funktsional o'zgaruvchi bo'lib, normal qonun bo'yicha ham taqsimlanadi va natijada olingan qiymatning dispersiyasi, bizning holatlarimizda, ifoda bilan aniqlanadi.

R ning natijaviy qiymatidan beri e oddiy qonunga muvofiq taqsimlanadi, keyin esa 3-qoidadan foydalaniladi s, yozing

rezistorlarning nominal pasport parametrlari qayerda.

Shunday qilib

Yoki

Ushbu misol shuni ko'rsatadiki, ketma-ket bog'langan elementlarning soni ortib borishi bilan natijada xatolik kamayadi. Xususan, agar barcha individual elementlarning umumiy xatosi teng bo'lsa± 600 Ohm, keyin umumiy natija xatosi± 374 ohm. Murakkabroq sxemalarda, masalan, indüktans va sig'imlardan tashkil topgan tebranish zanjirlarida, indüktans yoki sig'imning berilgan parametrlardan og'ishi rezonans chastotasining o'zgarishi bilan bog'liq bo'lib, uning o'zgarishining mumkin bo'lgan diapazoni bilan ta'minlanishi mumkin. rezistorlarni hisoblashga o'xshash usul.

3.5.4. Eksperimental ma'lumotlarga ko'ra ta'mirlanmaydigan ob'ektning ishonchlilik ko'rsatkichlarini aniqlashga misol

Misol. Sinov bir xil turdagi qayta tiklanmaydigan uskunaning N o = 1000 ta namunasini o'z ichiga oldi, nosozliklar har 100 soatda qayd etildi.

0 dan 1500 soatgacha bo'lgan vaqt oralig'ida aniqlash talab qilinadi. Tegishli oraliqdagi nosozliklar soni Jadvalda keltirilgan. 3.1. 3.1-jadval
Dastlabki ma'lumotlar va hisoblash natijalari

I-chi raqam interval	, h	PCS.		.1/soat
1	0 -100	50	0,950
2	100 -200	40	0,910	0,430
3	200 -300	32	0,878	0,358
4	300 - 400	25	0,853	0,284
5	400 - 500	20	0,833	0,238
6	500 - 600	17	0,816	0,206
7	600 -700	16	0,800	0,198
8	700 - 800	16	0,784	0,202
9	800 - 900	15	0,769	0,193
10	900 -1000	14	0,755	0,184
11	1000 -1100	15	0,740	0,200
12	1100 -1200	14	0,726	0,191
13	1200 -1300	14	0,712	0,195
14	1300 -1400	13	0,699	0,184
15	1400 -1500	14	0,685	0,202 soat

Yechim..

Barcha N o ob'ektlarning ishdan chiqishiga bog'liq holda ishlamay qolishning o'rtacha vaqti ifoda bilan aniqlanadi

, bu erda tj - j-chi ob'ektning ishlamay qolish vaqti (j 0 dan No gacha qiymatlarni oladi). Ushbu tajribada N o = 1000 ta ob'ektdan barcha ob'ektlar muvaffaqiyatsizlikka uchradi. Shuning uchun, olingan eksperimental ma'lumotlarga ko'ra, muvaffaqiyatsizlikka qadar o'rtacha vaqtning faqat taxminiy qiymatini topish mumkin. Vazifaga muvofiq biz formuladan foydalanamiz: r J N o uchun, (3.16)

bu erda tj - j-chi ob'ektning ishlamay qolish vaqti (j qiymatlarni oladi
1 dan r gacha); r - qayd etilgan nosozliklar soni (bizning holatda, r = 315); tr - r-chi (oxirgi) muvaffaqiyatsizlikka qadar ish vaqti. Grafikdan ko'rinib turibdiki, ishga tushirish davridan keyin tі 600 soat, muvaffaqiyatsizlik darajasi doimiy bo'ladi. Kelajakda shunday deb hisoblasak l doimiy bo'lsa, u holda normal ishlash davri sinovdan o'tgan turdagi ob'ektlarning ishdan chiqishiga vaqtning eksponensial modeli bilan bog'liq. Keyin muvaffaqiyatsizlik uchun o'rtacha vaqt

h.

Shunday qilib, o'rtacha vaqtning ikkita taxminidan muvaffaqiyatsizlikka qadar
= 3831 h va T 1 = 5208 h, siz muvaffaqiyatsizliklarning haqiqiy taqsimotiga mos keladiganini tanlashingiz kerak. Bunday holda, agar barcha ob'ektlar muvaffaqiyatsizlikka uchragan bo'lsa, ya'ni r = N o, rasmdagi grafikni to'ldirish uchun, deb taxmin qilish mumkin. 3.6 va vaqtni aniqlang l ko'paya boshlaydi, keyin normal ishlash oralig'i uchun ( l = const) T 1 = 5208 soat ishlamay qolish uchun o'rtacha vaqtni olishi kerak.

Xulosa qilib shuni ta'kidlaymizki, bu misol uchun, (2.7) formula bo'yicha muvaffaqiyatsizlikka qadar o'rtacha vaqtni aniqlash, qachon r<< N о, дает грубую ошибку. В нашем примере

h.

Agar N o o'rniga muvaffaqiyatsiz bo'lganlar sonini qo'yamiz ob'ektlar
r = 315, keyin biz olamiz

h.

Ikkinchi holda, sinov paytida muvaffaqiyatsiz bo'lmagan ob'ektlar taxminan N - r \u003d 1000-315 \u003d 685 dona. umuman olganda, ular baholashga kiritilmagan, ya'ni ishdan chiqishning o'rtacha vaqti faqat 315 ta ob'ekt uchun aniqlangan. Amaliy hisob-kitoblarda bunday xatolar juda keng tarqalgan.

Ushbu taqsimot ko'pincha kuyish va qarish davrlari uchun muvaffaqiyatsizlik darajasini o'rganishda qo'llaniladi. Elektr tarmog'ining ayrim elementlarining izolyatsiyasining xizmat muddatini taqsimlash misolida qarish va izolyatsiyaning buzilishiga olib keladigan va Weibull taqsimoti tomonidan tavsiflangan jismoniy jarayonlar batafsil ko'rib chiqiladi.

Quvvat transformatorlari va kabel liniyalari kabi elektr tarmoqlarining eng keng tarqalgan elementlarining ishonchliligi asosan izolyatsiyaning ishonchliligi bilan belgilanadi, uning "kuchliligi" ish paytida o'zgaradi. Elektromexanik mahsulotlarni izolyatsiyalashning asosiy xususiyati uning elektr quvvati bo'lib, u ish sharoitlari va mahsulot turiga qarab mexanik kuch, elastiklik bilan belgilanadi, bu mexanik ta'sirlar ta'sirida qoldiq deformatsiyalar, yoriqlar, delaminatsiyalar shakllanishini istisno qiladi. yuklar, ya'ni. notekisliklar.

Izolyatsiya strukturasining bir xilligi va mustahkamligi va uning yuqori issiqlik o'tkazuvchanligi mahalliy isitishning kuchayishini istisno qiladi, bu muqarrar ravishda elektr quvvatining bir xillik darajasining oshishiga olib keladi. Elementning ishlashi paytida izolyatsiyani yo'q qilish, asosan, yuk oqimlari va tashqi muhitning harorat ta'siri bilan isitish natijasida sodir bo'ladi.

Izolyatsiyaning ishlash muddatiga ta'sir qiluvchi ikkita asosiy omilni (issiqlik qarishi va mexanik stress) hisobga olgan holda, ular bir-biri bilan chambarchas bog'liq bo'lib, biz izolyatsiyadagi charchoq hodisalari va uning termal qarishi ko'p jihatdan ishlab chiqarish sifatiga bog'liq degan xulosaga kelishimiz mumkin. elektr mahsulotining materiali, mahalliy isitishning yo'qligini ta'minlaydigan izolyatsion materialning bir hilligidan (chunki barcha izolyatsiyaning ishdan chiqishini taxmin qilish qiyin, ya'ni butun izolyatsiya maydonida buzilish sodir bo'ladi).

Mikro yoriqlar, delaminatsiyalar va materialning boshqa bir xilligi izolyatsiyaning butun hajmi (maydoni) bo'ylab ularning joylashuvi va o'lchamiga qarab tasodifiy taqsimlanadi. Issiqlik va elektrodinamik tabiatning o'zgaruvchan noqulay sharoitlari ta'siri ostida materialning bir xilligi ortadi: masalan, mikro yoriq izolyatsiyaga chuqur tarqaladi va agar kuchlanish tasodifan oshirilsa, izolyatsiya buzilishiga olib kelishi mumkin. Muvaffaqiyatsizlik sababi, hatto materialning engil bir xilligi ham bo'lishi mumkin.

Izolyatsiyaning buzilishiga olib keladigan salbiy ta'sirlar soni (termik yoki elektromexanik) bir xillik hajmiga qarab kamayib boruvchi funktsiya deb taxmin qilish tabiiydir. Bu raqam eng katta notekislik (yoriqlar, delaminatsiyalar va boshqalar) uchun minimaldir.

Shuning uchun, izolyatsiyaning xizmat qilish muddatini belgilaydigan salbiy ta'sirlar soni turli o'lchamdagi bir hil bo'lmaganlarga mos keladigan mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar to'plamidan minimal tasodifiy o'zgaruvchini taqsimlash qonuniga bo'ysunishi kerak:

bu erda G va - butun izolyatsiyaning nosozliksiz ishlash vaqti; T va, - / "-chi qismning ish vaqti (/" \u003d 1.2, P).

Shunday qilib, elektr tarmog'i elementining izolyatsiyasi kabi ob'ektning ish vaqti uchun taqsimlash qonunini aniqlash uchun barcha bo'limlarning umumiyligi uchun minimal ish vaqti uchun taqsimlash qonunini topish kerak. Alohida bo'limlarning ish vaqtini taqsimlash qonunlari boshqacha xususiyatga ega bo'lgan, lekin tarqatish qonunlarining shakli bir xil bo'lgan holat eng katta qiziqish uyg'otadi. hududlar o'rtasida aniq farqlar yo'q.

Ishonchlilik nuqtai nazaridan bunday tizimning bo'limlari ketma-ket ulanishga mos keladi. dan bunday tizimning ish vaqtini taqsimlash funktsiyasi P ketma-ket ulangan uchastkalar:

Tarqatish sodir bo'lgan umumiy holatni ko'rib chiqing P(g)"sezuvchanlik chegarasi" deb ataladigan narsaga ega, ya'ni. element vaqt oralig'ida (0, /o) ishlamay qolmasligi kafolatlanadi (alohida holatda, /o 0 ga teng bo'lishi mumkin). Funktsiya ekanligi aniq R(1c + D/) > 0 har doim argumentning kamaymaydigan funksiyasi hisoblanadi.

Tizim uchun siz ish vaqtini taqsimlashning asimptotik qonunini olishingiz mumkin:

Agar taqsimotda sezgirlik chegarasi bo'lmasa / 0 , u holda taqsimot qonuni shaklga ega bo'ladi

qayerda Bilan- ba'zi doimiy koeffitsient; Bilan> 0; a - Veybull ko'rsatkichi.

Bu qonun deyiladi Weibull taqsimoti. U juda ko'p sonli seriyali (ishonchlilik nuqtai nazaridan) ulangan elementlarga (katta sonli muftalar bilan kengaytirilgan kabel liniyalari va boshqalar) ega bo'lgan tizim uchun ish vaqtini taqsimlashni taxminiy hisoblashda juda tez-tez ishlatiladi.

Ish vaqtini taqsimlash zichligi

Agar \u003d 1 bo'lsa, taqsimot zichligi oddiy eksponensial funktsiyaga aylanadi (3.3-rasm).

Weibull qonuniga ko'ra taqsimot zichligidagi muvaffaqiyatsizlik darajasi uchun biz olamiz

Ushbu qonun uchun muvaffaqiyatsizlik darajasi, taqsimot parametriga qarab a, o'sishi, doimiy bo'lib qolishi (eksponensial qonun) va kamayishi mumkin (3.4-rasm).

a = 2 uchun ish vaqtini taqsimlash funksiyasi Reyl qonuniga to'g'ri keladi va a » 1 uchun u o'rtacha ish vaqtiga yaqin joyda normal taqsimot qonuni bilan juda yaxshi yaqinlashadi.

Guruch. 3.3.

Guruch. 3.4.

Shakldan ko'rinib turibdiki. 3.3 va 3.4, eksponensial taqsimot qonuni a = 1 (A. = const) uchun Veybull qonunining maxsus holatidir.

Veybull qonuni hisob-kitoblar uchun juda qulaydir, lekin u A. va mavjud bog'liqlik uchun a parametrlarini empirik tanlashni talab qiladi (/).

Veybull qonuniga ko'ra, ish vaqti va taqsimotdagi o'zgarishlarning matematik kutilishi (o'rtacha vaqt):

bu yerda G(x) - G(.g) jadvalidan aniqlangan gamma funksiya (2-ilovaga qarang); Bilan- yuzaga kelish ehtimolini aniqlaydigan ba'zi doimiy koeffitsient uchun vaqt oralig'ida elementar zarar (0, /)