Mavzu bo'yicha ma'ruza matnlari

NAZARIY MEXANIKA

Mutaxassislik talabalari uchun:

260501.65 Oziq-ovqat xizmatlari texnologiyasi,

To'liq vaqtda ta'lim shakli

Ma'ruza matnlari quyidagilarga asoslanadi:

1. Butorin L.V., Busygina E.B. Nazariy mexanika. O'quv va amaliy qo'llanma. - M., MGU TU, 2004 y

2. Targ S.M. Qisqa kurs nazariy mexanika. - M.: magistratura, 2001 yil - Bilan.

3. Yablonskiy A.A., Nikiforova V.N. Nazariy mexanika kursi. M. "Lan", 2000 yil

Kirish

Zamonaviy sanoat ishlab chiqarish, jumladan, oziq-ovqat sanoati yuqori darajada mexanizatsiyalashgan tarmoqlardir. Ko'proq va murakkab vazifalarni hal qilish texnologik jihozlarga yuklanadi, bu esa o'z navbatida uskunaning murakkablashishiga olib keladi. Zamonaviy muhandisning shakllanishini fundamental fanlarni bilmasdan tasavvur qilib bo'lmaydi. Bu fanlardan biri nazariy mexanika .

Nazariy mexanika mexanikaning mexanik harakati va moddiy jismlarning mexanik oʻzaro taʼsirining asosiy qonuniyatlarini belgilaydigan boʻlimidir. Mexanik harakat moddiy jismlarning fazodagi nisbiy pozitsiyasining vaqt o'tishi bilan o'zgarishi deyiladi, mexanik o'zaro ta'sir- bunday o'zaro ta'sir, buning natijasida mexanik harakat o'zgaradi yoki tana qismlarining nisbiy holati o'zgaradi.

Nazariy mexanika odatda quyidagilarga bo'linadi: statika, kinematika va dinamika .

Statikada shartlar o'rganiladi muvozanat moddiy jismlar va kuchlar tizimini bir xil o'zgartirish usullari. Muvozanat Jismning harakatsiz qoladigan yoki kuchlar ta'sirida to'g'ri chiziq bo'ylab bir tekis harakatlanadigan holati.

Kinematikada jismlar harakatining umumiy geometrik xarakteristikalari ko'rib chiqiladi. Tanaga ta'sir qiluvchi kuchlar hisobga olinmaydi. Harakat qonuni berilgan. Tananing harakat qonuni tananing fazodagi holatining vaqtga bog'liqligi.

Dinamikada jismlarning kuchlar taʼsirida harakatlanishning umumiy qonuniyatlari oʻrganiladi.

1. C tatika qattiq tana

1.1 Statikaning asosiy tushunchalari

Mutlaqo qattiq tana (qattiq tana, tana)- moddiy jism, har qanday nuqtalar orasidagi masofa o'zgarmaydi. Natijada tananing hajmi va shakli o'zgarmaydi.

Moddiy nuqta muammoning shartlariga ko'ra, o'lchamlarini e'tiborsiz qoldiradigan jismdir.

bo'shashgan tana- harakatiga hech qanday cheklovlar qo'yilmagan tana.

Erkin bo'lmagan (bog'langan) tana- harakati cheklangan tana.

Ulanishlar- ko'rib chiqilayotgan ob'ektning harakatiga to'sqinlik qiluvchi jismlar (tana yoki jismlar tizimi).

mexanik tizim- o'zaro bog'langan jismlar yoki moddiy nuqtalar to'plami.

Qattiq jismni nuqtalar orasidagi pozitsiyalari va masofalari o'zgarmaydigan mexanik tizim deb hisoblash mumkin.

Kuch- bir moddiy jismning boshqasiga mexanik ta'sirini tavsiflovchi vektor miqdori.

Kuch vektor sifatida qo'llanish nuqtasi, harakat yo'nalishi va mutlaq qiymat bilan tavsiflanadi (1.1-rasm). Kuch modulining o'lchov birligi Nyutondir.

1.1-rasm. 1.2-rasm.

kuch chizig'i- kuch vektori yo'naltirilgan to'g'ri chiziq.

Konsentrlangan quvvat bir nuqtada qo'llaniladigan kuchdir.

Taqsimlangan kuchlar (tarqatilgan yuk)- tananing hajmi, yuzasi yoki uzunligining barcha nuqtalariga ta'sir qiluvchi kuchlar (1.2-rasm).

Taqsimlangan yuk birlik hajmga (sirt, uzunlik) ta'sir qiluvchi kuch bilan o'rnatiladi.Taqsimlangan yukning o'lchami N / m 3 (N / m 2, N / m).

Tashqi kuch ko'rib chiqilayotgan mexanik tizimga tegishli bo'lmagan jismdan ta'sir qiluvchi kuchdir.

ichki kuch- ta'sir qiluvchi kuch moddiy nuqta mexanik tizim ko'rib chiqilayotgan tizimga tegishli boshqa moddiy nuqta tomondan.

Quvvat tizimi- mexanik tizimga ta'sir qiluvchi kuchlar to'plami.

Yassi kuchlar tizimi- harakat chiziqlari bir tekislikda joylashgan kuchlar tizimi.

Fazoviy kuchlar tizimi- harakat chiziqlari bir tekislikda yotmaydigan kuchlar tizimi.

Birlashtiruvchi kuch tizimi- ta'sir chiziqlari bir nuqtada kesishadigan kuchlar tizimi (1.3-rasm).

Ixtiyoriy kuchlar tizimi- ta'sir chiziqlari bir nuqtada kesishmaydigan kuchlar sistemasi (1.4-rasm).

1.3-rasm 1.4-rasm

Ekvivalent kuchlar tizimi- bir-birini almashtirish tananing mexanik holatini o'zgartirmaydigan bunday kuchlar tizimlari. Qabul qilingan belgi:

Muvozanatli kuchlar tizimi- erkin qattiq jismga qo'llanganda uning mexanik holatini o'zgartirmaydigan (uni muvozanatdan chiqarmaydigan) kuchlar tizimi.

natijaviy kuch- jismga ta'siri kuchlar tizimining ta'siriga ekvivalent bo'lgan kuch.

Quvvat momenti- kuchning aylanish qobiliyatini tavsiflovchi qiymat.

Quvvat juftligi- ikkita parallel, mutlaq qiymatlari teng, qarama-qarshi yo'naltirilgan kuchlar tizimi. Qabul qilingan belgi ().Bir juft kuch ta'sirida tana aylanish harakatini amalga oshiradi.

Kuchning o'qga proyeksiyasi- bu o'qqa kuch vektorining boshidan va oxiridan chizilgan perpendikulyarlar orasiga o'ralgan segment (1.5-rasm).

Agar segmentning yo'nalishi o'qning ijobiy yo'nalishiga to'g'ri kelsa, proyeksiya ijobiy bo'ladi.

Kuchning tekislikdagi proyeksiyasi- bu tekislikka kuch vektorining boshidan va oxiridan chizilgan perpendikulyarlar orasiga o'ralgan tekislikdagi vektor (1.6-rasm).

1.5-rasm 1.6-rasm

1.2. Statika aksiomalari

Statikaning nazariy tamoyillari bir qancha aksiomalarga asoslanadi. Aksioma - bu kuzatishlar natijalarini umumlashtirish natijasida tuzilgan qonun.

1. Muvozanat aksiomasi.

Qattiq jismga ta'sir etuvchi ikkita kuch, agar ular mutlaq qiymatda teng bo'lsa va qarama-qarshi yo'nalishda bir to'g'ri chiziq bo'ylab harakat qilsagina muvozanatlanadi (1.7-rasm).

1.7-rasm 1.8-rasm

2. Muvozanatli kuchlar tizimini qo'shish (tashqariga chiqarish) aksiomasi.

Kuchlar sistemasining qattiq jismga ta'siri, agar unga muvozanatlashgan kuchlar tizimi qo'shilsa yoki undan chiqarib tashlansa, o'zgarmaydi (1.8-rasm).

3. Kuchlar parallelogrammasi haqidagi aksioma.

Qattiq jismning bir nuqtasida qo'llaniladigan ikkita kuch tizimi bir xil nuqtada qo'llaniladigan natijaviy kuchga ega. Olingan vektor bu kuchlar ustiga qurilgan parallelogrammaning diagonali hisoblanadi (1.9-rasm).

Guruch. 1.9 1.10-rasm

4. Qarshilik aksiomasi.

Bir qattiq jism boshqasiga ta'sir qilganda, ta'sir etuvchi kuchga qarama-qarshi mutlaq qiymatga teng bo'lgan reaksiya kuchi paydo bo'ladi (1.10-rasm).

Eslatma. Harakati berilgan kuch deyiladi faol kuch, reaksiya kuchi deyiladi reaktsiya .

5. Bog'lanishlar aksiomasi.

Har qanday erkin bo'lmagan tanani, agar u o'z harakatlarini mos keladigan reaktsiyalar bilan almashtirsa, u aqliy ravishda bog'lardan ozod bo'lsa, erkin deb hisoblanishi mumkin.

1.3 Bog'lar va ularning reaksiyalari

Ko'rib chiqilayotgan ob'ektning harakatiga to'sqinlik qiladigan jismlar cheklovlar deb ataladi. Bog'lanish ko'rib chiqilayotgan jismga ta'sir qiladigan kuch deyiladi bog'lanish reaktsiyasi. Mumkin bo'lgan bog'lanish reaktsiyalarini aniqlashda, reaktsiya ko'rib chiqilayotgan tananing harakatiga to'sqinlik qiladigan kuch ekanligidan kelib chiqish kerak. Reaktsiya aloqa tananing harakatlanishiga imkon bermaydigan joyga teskari yo'nalishda yo'naltiriladi.

Keling, ba'zi umumiy ulanishlarni ko'rib chiqaylik.

Silliq sirt qo'llab-quvvatlash yuzasiga normal bo'ylab harakatni cheklaydi. Reaktsiya sirtga perpendikulyar yo'naltiriladi (1.11-rasm).

Bo'g'imli harakatlanuvchi tayanch tananing normal bo'ylab harakatini mos yozuvlar tekisligiga cheklaydi. Reaktsiya qo'llab-quvvatlash yuzasiga normal bo'ylab yo'naltiriladi (1.12-rasm).

Bo'g'imli sobit tayanch aylanish o'qiga perpendikulyar bo'lgan tekislikdagi har qanday harakatga qarshi turadi. Hisob-kitoblarda Fr reaktsiyasi, qoida tariqasida, X va Y o'qlari bo'ylab ikkita komponent sifatida taqdim etiladi (1.13-rasm).

Bo'g'imli vaznsiz tayoq novda chizig'i bo'ylab tananing harakatiga qarshi turadi. Reaktsiya novda chizig'i bo'ylab yo'naltiriladi (1.14-rasm).

Ko'r-ko'rona tugatish tekislikdagi har qanday harakat va aylanishga qarshi turadi (1.15-rasm). Uning ta'siri ikki komponent va moment bilan bir juft kuch shaklida taqdim etilgan kuch bilan almashtirilishi mumkin.

1.11-rasm 1.12-rasm.1.13-rasm.1.14-rasm.1.15-rasm

1.4 Nuqta atrofidagi moment

Kuch ta'sirida qattiq jism translatsiya harakati bilan birga ma'lum bir markaz atrofida aylanishi mumkin. Kuchning aylanish qobiliyati kuch momenti bilan tavsiflanadi. Kuchning aylanish ta'siri kuch moduliga, markazdan kuchning ta'sir chizig'igacha bo'lgan masofaga va aylanish tekisligidagi aylanish yo'nalishiga bog'liq.

Momentning mutlaq qiymati kuch moduli va eng qisqa masofaning mahsulotiga teng h aylanish markazidan kuchning ta'sir chizig'iga. Masofa h chaqirdi kuchning elkasi (1.16-rasm).

M 0 () = F × h , (1.1)

Agar kuch qo'lni aylantirishga moyil bo'lsa, moment ijobiy hisoblanadi h soat sohasi farqli o'laroq, soat yo'nalishi bo'yicha aylanayotganda salbiy.

Nuqtaga nisbatan kuch momentining xossalari:

1. Kuchning ta'sir qilish nuqtasi kuchning ta'sir chizig'i bo'ylab harakatlantirilganda kuch momenti o'zgarmaydi.

2. Agar kuchning ta'sir chizig'i kuchni qo'llash nuqtasidan o'tsa, kuch momenti nolga teng.

3. Natijaviy kuchning nuqtaga nisbatan momenti summasiga teng bu nuqtaga oid kuchlar shartlari momentlari.

1.16-rasm. 1.17-rasm.

1.5. Eksa atrofida kuch momenti

O'qga nisbatan kuch momenti - bu kuchning o'qning tekislik bilan kesishish nuqtasiga nisbatan o'qga perpendikulyar tekislikka proyeksiyalash momenti.

Agar o'qning musbat uchidan kuch harakat qilmoqchi bo'lgan aylanish soat miliga teskari yo'nalishda sodir bo'layotgandek ko'rinsa, moment ijobiy, agar u soat yo'nalishi bo'yicha bo'lsa, salbiy hisoblanadi.

. (1.3)

O'qga nisbatan kuch momentini topish uchun sizga kerak (1.17-rasm);

1. Z o'qiga perpendikulyar tekislik chizing.

2. Ushbu tekislikka kuchni proyeksiyalang va proyeksiya qiymatini hisoblang.

3. Yelkangizni ushlang h o'qning tekislik bilan kesishgan nuqtasidan kuch proyeksiyasining ta'sir chizig'iga qadar va uning uzunligini hisoblang.

4. Shu yelkaning ko‘paytmasini va mos keladigan ishorali kuch proyeksiyasini toping.

O'qga nisbatan kuch momentining xossalari

O'qga nisbatan kuch momenti nolga teng, agar:

1. , ya'ni. kuch o'qiga parallel.

2. h =0 , ya'ni. kuchning ta'sir chizig'i o'qni kesib o'tadi.

1.6. Bir juft kuch momenti

Bir juft kuch tanaga aylanadigan ta'sir ko'rsatadi. Bir juft kuchning momenti juftlik kuchlarining ta'sir chiziqlari orasidagi eng qisqa masofaga bir kuchning ko'paytmasiga teng bo'lib, bu juftlikning yelkasi deb ataladi (1.18-rasm).

, (1.4)

bu yerda: - juftlikni tashkil etuvchi kuchlar;

h- er-xotinning yelkasi

1.18-rasm.

Agar kuchlar qo'lni soat sohasi farqli ravishda aylantirishga moyil bo'lsa, er-xotinning momenti ijobiy hisoblanadi.

Majburiy juftlik xususiyatlari

1. Har qanday o'qdagi juftlik kuchlarining proyeksiyalari yig'indisi nolga teng.

2. Juftlik momentini o'zgartirmasdan, siz bir vaqtning o'zida kuchlarning qiymatini va juftlikning yelkasini o'zgartirishingiz mumkin.

3. Juft o'z harakat tekisligida o'tkazilishi mumkin, bunda juftlikning tanaga ta'siri o'zgarmaydi.

1.7. Kuchlar tizimining bir xil o'zgarishi

Transformatsiya grafik yoki analitik tarzda amalga oshirilishi mumkin.

1.7.1. Konvergent kuchlar tizimini o'zgartirish

Natija R Ikki yaqinlashuvchi kuchlar parallelogrammasi aksiomasi asosida topiladi. (1.9-rasm). Har qanday miqdordagi yaqinlashuvchi kuchlarning geometrik yig'indisini ikkita kuchni ketma-ket qo'shish orqali aniqlash mumkin (1.19-rasm) - vektor ko'pburchak usuli.

Xulosa : yaqinlashuvchi kuchlar tizimi ( n ) bitta natijaviy kuchga kamayadi .

1.19-rasm 1.20-rasm. 1.21-rasm.

Analitik jihatdan natijaviy kuchni uning koordinata o‘qlaridagi proyeksiyalari orqali aniqlash mumkin

, (1.5)

Teoremaga ko'ra: natijaning o'qdagi proyeksiyasi bu o'qdagi kuchlar shartlarining proyeksiyalari yig'indisiga teng (1.20-rasm). R x = F 1 x + F 2 x + F 3 x, yoki umuman

R x = å F kx (1.6)

(1.6) ni hisobga olgan holda natija ifoda bilan aniqlanadi

Olingan vektorning yo'nalishi vektor va o'qlar orasidagi burchaklarning kosinuslari bilan aniqlanadi x , y, z(1.20-rasm)

1.7.2. Ixtiyoriy kuchlar tizimini o'zgartirish .

Kuchlarning parallelogramma qoidasini to'g'ridan-to'g'ri ixtiyoriy kuchlar tizimiga qo'llash mumkin emas, chunki kuchlarning ta'sir chiziqlari bir nuqtada kesishmaydi. Ilgari kuchlar sistemasi kuchning parallel uzatilishi haqidagi teorema asosida bir markazga keltirilar edi.

Teorema: qattiq jismga qo'llaniladigan kuch, uning ta'sirini o'zgartirmasdan, tananing boshqa nuqtasiga parallel ravishda uzatilishi mumkin, shu bilan birga u bo'lgan nuqtaga nisbatan uzatilgan kuch momentiga teng bo'lgan bir juft kuch qo'shiladi. uzatiladi (1.22-rasm).

Ushbu transformatsiya natijasida kuchlarning yaqinlashuvchi tizimi va kuchlar juftlari momentlarining yig'indisi olinadi. Birlashtiruvchi kuchlar tizimining harakati umumiy kuchning harakati bilan, momentlarning harakati - umumiy moment bilan almashtiriladi. Umumiy vektor * deyiladi asosiy vektor kuch tizimlari, umumiy moment * - ta'kidlash kuch tizimlari.

1.22-rasm

Xulosa: bir xil o'zgarish natijasida ixtiyoriy kuchlar tizimi asosiy vektorga kamayadi * va asosiy nuqta * kuch tizimlari.

Analitik tarzda asosiy vektor kuchlar sistemasining asosiy momentini esa ularning koordinata o’qlaridagi proyeksiyalari orqali aniqlash mumkin

1.8 Kuchlar sistemasi muvozanatining shartlari

1.8.1. Birlashtiruvchi kuchlar sistemasining muvozanati

Ta'rifga ko'ra (1.1-bandga qarang), birlashtiruvchi kuchlar tizimining ta'siri bitta natijaviy kuchning ta'siriga tengdir. Tananing muvozanati uchun natijaning nolga = 0 ga teng bo'lishi zarur va etarli.

(1.7) formuladan kelib chiqadiki, yaqinlashuvchi kuchlarning fazoviy tizimining muvozanati uchun barcha kuchlarning proyeksiyalari yig'indisi zarur va etarlidir. o'qlari X, Y,Z nolga teng edi

å F kx = 0

å Fky= 0 (1,10) Fk z = 0

Yassi yaqinlashuvchi kuchlar tizimining muvozanati uchun barcha kuchlarning X, Y o'qlaridagi proyeksiyalari yig'indisi nolga teng bo'lishi zarur va etarlidir.

å F kx = 0

å Fky = 0 (1.11)

1.8.2. Ixtiyoriy kuchlar tizimining muvozanati.

Ixtiyoriy kuchlar tizimining harakati asosiy vektor va asosiy momentning ta'siriga ekvivalentdir. Muvozanat uchun shart zarur va yetarli

Ixtiyoriy kuchlar tizimining muvozanati uchun barcha kuchlarning X, Y, Z o'qlaridagi proyeksiyalari yig'indisi va barcha kuchlarning momentlariga nisbatan yig'indisi zarur va etarlidir. o'qlari X,Y,Z nolga teng edi.

å F kx = 0

å Fky = 0

å Fkz = 0 (1.13)

å M x(k) = 0

å M y(k) = 0

å M z(k) = 0

Yassi ixtiyoriy kuchlar tizimining muvozanati uchun asosiy vektorning X, Y o‘qlaridagi proyeksiyalari yig‘indisi va O markazga nisbatan kuchlar momentlarining algebraik yig‘indisi nolga teng bo‘lishi zarur va yetarlidir. .

åF ky = 0 (1,14)

EM o ( k) = 0

1.9. Bo'limda o'z-o'zini nazorat qilish uchun savollar

1. Mutlaq qattiq jism, moddiy nuqta, kuch, kuchning ta'sir chizig'i, ixtiyoriy kuchlar sistemasining kuchlar tizimi (tekis, fazoviy, yaqinlashuvchi) ta'rifini bering.

2. Kuchning o`qga, tekislikka proyeksiyasi nima deyiladi?

3. Kuch momenti nima deyiladi, nuqtaga nisbatan kuch momenti qanday aniqlanadi?

4. Quvvat o'z ta'sir chizig'i bo'ylab o'tkazilganda kuch momenti berilgan nuqtaga nisbatan o'zgaradimi?

5. Qaysi holatda berilgan nuqtaga nisbatan kuch momenti nolga teng?

6. Qanday kuchlar tizimiga juft kuchlar deyiladi, juft kuchlarning momenti nimaga teng?

7. Bog‘lanish deb nimaga aytiladi? Obligatsiyalardan ozod qilish tamoyili nima? Bog'lanishlarning asosiy turlarini sanab o'ting, ularning reaktsiyalarini ko'rsating.

8. Fazoda va tekislikda joylashgan kuchlarning yaqinlashuvchi va ixtiyoriy sistemasining muvozanati qanday shartlar va tenglamalardan iborat?

9. Statika masalalarini yechish tartibini tuzing.

2. Kinematika

Kinematika- nazariy mexanikaning mexanik harakatning umumiy geometrik xossalarini fazo va vaqtda sodir bo'ladigan jarayon sifatida qaraydigan bo'limi. Harakatlanuvchi jismlarga geometrik nuqtalar yoki sifatida qaraladi geometrik jismlar. Shunga ko'ra, tadqiqot nuqta kinematikasiga va qattiq jism kinematikasiga bo'linadi

2.1 Kinematikaning asosiy tushunchalari

Nuqtaning (jismning) harakat qonuni- nuqta (jism)ning fazodagi holatining vaqtga bog'liqligi.

Nuqta traektoriyasi- nuqtaning harakat paytidagi fazodagi joylashuvi.

Nuqta (tana) tezligi- nuqta (jism)ning fazodagi o'rni vaqt o'zgarishining xarakteristikasi.

Nuqta (tana) tezlashishi- nuqta (tana) tezligidagi vaqt o'zgarishining xarakteristikasi

2.2. Nuqta kinematikasi

2.2.1 Nuqta harakatini belgilash usullari

Nuqtaning harakatini belgilash tanlangan mos yozuvlar tizimiga nisbatan uning pozitsiyasini o'zgartirishni o'rnatishni anglatadi. Uchta asosiy ma'lumot tizimi mavjud: vektor, koordinata, tabiiy. Shunga ko'ra, nuqta harakatini aniqlashning uchta usuli mavjud.

Vektor sistemada nuqtaning koordinata boshiga nisbatan joylashuvi radius vektori bilan beriladi (2.1-rasm). Harakat qonuni

OXYZ koordinatalar sistemasidagi nuqtaning o'rni uchta bilan berilgan X, Y, Z koordinatalari(2.2-rasm). Harakat qonuni x = x ( t ), y = y ( t ), z = z ( t ).

Nuqtaning tabiiy mos yozuvlar tizimidagi o'rni masofa bilan belgilanadi S traektoriya bo'ylab boshlang'ichdan shu nuqtagacha (2.3-rasm). Harakat qonuni s = s ( t ).

2.1-rasm Guruch. 2.2 2.3-rasm

Harakatni aniqlashning tabiiy usulida nuqta harakati, agar quyidagilar ma'lum bo'lsa, aniqlanadi:

1. Harakatning traektoriyasi.

2. Yoy koordinatasini hisoblashning boshlanishi va yo'nalishi.

3. Harakat tenglamasi.

Harakatni aniqlashning tabiiy usuli bilan, boshqa usullardan farqli o'laroq, harakatlanuvchi koordinata o'qlari traektoriya bo'ylab nuqta bilan birga harakatlanadi. Bunday o'qlar (2.4-rasm).

Tangens () - yoy koordinatalarini traektoriyaga tangensial ravishda oshirish yo'nalishiga yo'naltirilgan.

Asosiy normal ( P) egri chiziqning botiqligi tomon yo'naltirilgan.

Binormal ( ichida) t, n o'qlariga perpendikulyar yo'naltirilgan.

Guruch. 2.4

2.2.2 Nuqtaning kinematik xarakteristikalarini aniqlash

Nuqta traektoriyasi

Vektor mos yozuvlar tizimida traektoriya ifoda bilan tavsiflanadi

Koordinatalar mos yozuvlar tizimida traektoriya nuqta harakati qonuniga muvofiq aniqlanadi va ifodalar bilan tavsiflanadi. z = f ( x , y ) - fazoda yoki y = f(x) - tekislikda.

Tabiiy mos yozuvlar tizimida traektoriya oldindan belgilanadi.

Nuqta tezligi

Ta'rifga ko'ra (2.1-bandga qarang) tezlik kosmosdagi nuqta (tana) pozitsiyasining vaqt o'zgarishini tavsiflaydi.

Vektor koordinata sistemasidagi nuqta tezligini aniqlash

Vektor koordinata tizimidagi nuqtaning harakatini ko'rsatganda, harakatning vaqt oralig'iga nisbati bu vaqt oralig'idagi tezlikning o'rtacha qiymati deb ataladi.

Vaqt oralig'ini cheksiz kichik qiymat sifatida qabul qilib, tezlikning qiymati olinadi bu daqiqa vaqt (oniy tezlik qiymati)

(2.1)

O'rtacha tezlik vektori vektor bo'ylab nuqta harakati yo'nalishi bo'yicha, lahzali tezlik vektori nuqta harakati yo'nalishi bo'yicha traektoriyaga tangensial yo'naltiriladi (2.5-rasm).

2.5-rasm

Xulosa: nuqta tezligi harakat qonunining vaqtga nisbatan hosilasiga teng vektor kattalikdir.

Biz hosilaning quyidagi xususiyatini qayd qilamiz va keyingi fikrlashda foydalanamiz : miqdorning vaqt hosilasi bu miqdorning o'zgarish tezligini belgilaydi.

Koordinatalar tizimidagi nuqta tezligini aniqlash

Hosilaning xossasidan kelib chiqib, nuqta koordinatalarining o‘zgarish tezligini aniqlaymiz

To'rtburchaklar koordinata tizimiga ega bo'lgan nuqtaning to'liq tezligi moduli teng bo'ladi

(2.3)

Tezlik vektorining yo'nalishi rul burchaklarining kosinuslari bilan aniqlanadi

tezlik vektori va koordinata o'qlari orasidagi burchaklar qayerda.

Tabiiy mos yozuvlar tizimidagi nuqta tezligini aniqlash

Tabiiy mos yozuvlar tizimidagi nuqtaning tezligi nuqta harakati qonunining hosilasi sifatida aniqlanadi

V = (2.4)

Oldingi xulosalarga ko'ra, tezlik vektori nuqta harakati yo'nalishi bo'yicha va o'qlarda traektoriyaga tangensial yo'naltirilgan. n.b. faqat bitta proyeksiya bilan aniqlanadi.

nuqta tezlashishi

Ta'rifga ko'ra, tezlashuv tezlikning o'zgarishini tavsiflaydi, ya'ni. tezlikni o'zgartirish tezligi.

Vektor sanoq sistemasidagi nuqtaning tezlanishlari

Hosilning xossasi asosida

Tezlik vektori kattalik va yo'nalishda o'zgarishi mumkin. Vektorning o'sishini aniqlash uchun vektorlarning boshlarini moslashtiramiz (2.6-rasm). Tezlanish vektori tezlik vektorining o'sish chizig'i bo'ylab, ya'ni traektoriyaning egri chizig'i tomon yo'naltiriladi.

2.6-rasm

Koordinatalar tizimidagi nuqtaning tezlashishi

Nuqta koordinatalarining o'zgarishi tezlashishi bu koordinatalarning o'zgarish tezligining vaqt hosilasiga teng.

a x =; ay =; a z = .

To'g'ri to'rtburchaklar koordinata tizimidagi umumiy tezlanish ifoda bilan aniqlanadi

a = , (2.6)

Tezlanish vektorining yo'nalish kosinuslari

.

Tabiiy mos yozuvlar tizimidagi nuqtaning tezlashishi

Tezlik vektorining o'sishi (2.7-rasm) o'qlarga parallel bo'lgan komponentlarga ajralishi mumkin. tabiiy tizim koordinatalar

, (2.7)

Tenglikning chap va o'ng tomonlarini (2.7) bo'lish dt, olamiz

, (2.8)

Bunda: - tangensial tezlanish, (2.9)

Oddiy tezlashuv, (chiqarish, 43-bandga qarang)

bu yerda R - nuqta yaqinidagi traektoriyaning egrilik radiusi

Guruch. 2.7

2.3. Qattiq jism kinematikasi

Qattiq jismlar kinematikasida nuqta kinematikasidan farqli ravishda ikkita asosiy vazifa hal qilinadi:

Harakatni o'rnatish va butun tananing kinematik xususiyatlarini aniqlash;

Tana nuqtalarining kinematik xususiyatlarini aniqlash.

Kinematik xususiyatlarni belgilash va aniqlash usullari jismlarning harakat turlariga bog'liq.

Ushbu qo'llanmada harakatning uch turi ko'rib chiqiladi: translyatsion, qat'iy o'q atrofida aylanish va qattiq jismning tekis-parallel harakati.

2.3.1. Qattiq jismning translatsion harakati

Translational - tananing ikkita nuqtasi orqali o'tkazilgan to'g'ri chiziq dastlabki holatiga parallel bo'lib qoladigan harakat (2.8-rasm).

Teorema isbotladi: translatsiya harakatida tananing barcha nuqtalari bir xil traektoriyalar bo'ylab harakatlanadi va vaqtning har bir momentida mutlaq qiymat va yo'nalishda bir xil tezlik va tezlanishga ega (2.8-rasm).

Xulosa: Qattiq jismning translatsiya harakati uning har qanday nuqtasining harakati bilan belgilanadi va shuning uchun uning harakatining vazifasi va o'rganish nuqta kinematikasiga tushiriladi.

Guruch. 2.8-rasm. 2.9

2.3.2 Qattiq jismning qo'zg'almas o'q atrofida aylanish harakati.

Ruxsat etilgan o'q atrofida aylanish qattiq jismning harakati bo'lib, unda jismga tegishli ikkita nuqta butun harakat vaqtida harakatsiz qoladi.

Jismning holati j burilish burchagi bilan aniqlanadi (2.9-rasm). Burchakning o'lchov birligi radiandir. (radian - markaziy burchak yoy uzunligi radiusga teng bo'lgan doira, to'liq burchak aylana 2p radianni o'z ichiga oladi.)

Jismning qo'zg'almas o'q atrofida aylanish harakati qonuni j = j(t). Tananing burchak tezligi va burchak tezlanishi differentsiallash usuli bilan aniqlanadi.

Burchak tezligi, rad/s; (2.10)

Burchak tezlanishi, rad/s 2 (2.11)

Da aylanish harakati jismlar qo'zg'almas o'q atrofida, uning aylanish o'qida yotmaydigan nuqtalari aylanish o'qining markazida joylashgan doiralarda harakat qiladi.

Agar tanani o'qga perpendikulyar tekislik bilan kesib olsak, aylanish o'qi ustidagi nuqtani tanlang. FROM va ixtiyoriy nuqta M, keyin ishora M nuqta atrofida tasvirlab beradi FROM radiusli doira R(2.9-rasm). davomida dt burchak orqali elementar aylanish mavjud , nuqta esa M masofaga traektoriya bo‘ylab harakatlanadi.Chiziqli tezlik modulini aniqlaymiz:

(2.12)

nuqta tezlashishi M ma'lum traektoriya uning tarkibiy qismlari bilan belgilanadi, qarang (2.8)

,

(2.12) ifodani formulalarga almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:

, ., (2.13)

bu erda: - tangensial tezlanish,

Oddiy tezlashuv.

2.3.3. Qattiq jismning tekis-parallel harakati

Tekis-parallel - qattiq jismning harakati bo'lib, uning barcha nuqtalari bir qo'zg'almas tekislikka parallel tekisliklarda harakat qiladi (2.10-rasm). Jismning harakatini o'rganish uchun bir qismning harakatini o'rganish kifoya S bu jismni qo'zg'almas tekislikka parallel tekislik bilan. Bo'lim harakati S uning tekisligida ikkita elementar harakatlardan tashkil topgan murakkab deb hisoblash mumkin: a) tarjima va aylanish; b) harakatlanuvchi (lahzali) markazga nisbatan aylanish.

Birinchi variantda kesmaning harakatini uning nuqtalaridan birining (qutb) harakat tenglamalari va kesmaning qutb atrofida aylanishi bilan berilishi mumkin (2.11-rasm). Kesimning istalgan nuqtasini qutb sifatida olish mumkin.

Guruch. 2.10-rasm. 2.11

Harakat tenglamalari quyidagicha yoziladi:

X A = X A ( t )

Y LEKIN = Y LEKIN ( t ) (2.14)

j LEKIN = j LEKIN ( t )

Qutbning kinematik xarakteristikalari uning harakati tenglamalaridan aniqlanadi.

O'z tekisligida harakatlanadigan tekislik figurasining har qanday nuqtasining tezligi qutb tezligining yig'indisidir (nuqta kesimida o'zboshimchalik bilan tanlangan) LEKIN) va qutb atrofida aylanish tezligi (nuqtaning aylanishi DA nuqta atrofida LEKIN).

Harakatlanuvchi yassi figuraning nuqtasining tezlanishi - qutbning qo'zg'almas sanoq sistemasiga nisbatan tezlanishi va qutb atrofida aylanish harakatidan kelib chiqqan tezlanish yig'indisi.

(2.15)

(2.16)

Ikkinchi variantda uchastkaning harakati harakatlanuvchi (lahzali) markaz atrofida aylanish sifatida qabul qilinadi P(1.12-rasm). Bunda kesmaning istalgan B nuqtasining tezligi aylanma harakat formulasi bilan aniqlanadi

(2.17)

Bir lahzalik markaz atrofidagi burchak tezligi R kesmaning istalgan nuqtasining tezligi ma'lum bo'lsa, aniqlanishi mumkin, masalan, A nuqta.

(2.18)

2.12-rasm

Bir lahzali aylanish markazining holatini quyidagi xususiyatlar asosida aniqlash mumkin:

Nuqtaning tezlik vektori radiusga perpendikulyar;

Nuqtaning tezlik moduli nuqtadan aylanish markazigacha bo'lgan masofaga proportsionaldir ( V = w ∙ R) ;

Aylanish markazidagi tezlik nolga teng.

Keling, bir lahzali markazning pozitsiyasini aniqlashning ba'zi holatlarini ko'rib chiqaylik.

1. Yassi figuraning ikki nuqtasi tezligining yo'nalishlari ma'lum (2.13-rasm). Keling, radiusli chiziqlarni chizamiz. Tez aylanish markazi R tezlik vektorlariga chizilgan perpendikulyarlarning kesishmasida joylashgan.

2. A va B nuqtalarning tezliklari ma'lum va vektorlari bir-biriga parallel va chiziq AB perpendikulyar (2. 14-rasm). Bunday holda, lahzali aylanish markazi chiziqda yotadi AB. Uni topish uchun bog'liqlik asosida tezliklarning proporsionallik chizig'ini chizamiz V = w R .

3. Tana boshqa jismning mahkamlangan yuzasida sirpanmasdan aylanadi (2.15-rasm). Hozirgi vaqtda jismlarning aloqa nuqtasi nol tezlikka ega, tananing boshqa nuqtalarining tezligi esa nolga teng emas. teginish nuqtasi R oniy aylanish markazi bo'ladi.

Guruch. 2.13 Guruch. 2.14 Guruch. 2.15

Ko'rib chiqilayotgan variantlardan tashqari, kesma nuqtasi tezligini qattiq jismning ikkita nuqtasi tezligining proyeksiyalari haqidagi teorema asosida aniqlash mumkin.

Teorema: qattiq jismning ikkita nuqtasi tezligining bu nuqtalar orqali o'tkazilgan to'g'ri chiziqqa proyeksiyalari teng va teng yo'naltirilgan .

Isbot: masofa AB o'zgartira olmaydi, shuning uchun

V Va kosa ko'p yoki kamroq bo'lishi mumkin emas V Kosbda (2.16-rasm).

Guruch. 2.16

Xulosa: V LEKIN cosa= V DA cosb. (2.19)

2.4. Murakkab nuqta harakati

Oldingi paragraflarda nuqtaning mutlaq harakat deb ataladigan qo'zg'almas sanoq sistemasiga nisbatan harakati ko'rib chiqildi. Amaliyotda nuqtaning koordinatalar sistemasiga nisbatan harakati ma'lum bo'lgan, qo'zg'almas sistemaga nisbatan harakat qiladigan muammolar mavjud. Bunday holda, sobit tizimga nisbatan nuqtaning kinematik xususiyatlarini aniqlash talab qilinadi.

Qo'ng'iroq qilish odatiy holdir: harakatlanuvchi tizimga nisbatan nuqtaning harakati - qarindosh, nuqtaning harakatlanuvchi tizim bilan birgalikda harakatlanishi - portativ, nuqtaning harakatsiz tizimga nisbatan harakati - mutlaq. Shunga ko'ra, tezlik va tezlanishlar deyiladi:

nisbiy;- obrazli; - mutlaq.

Tezlikni qo'shish teoremasiga ko'ra, nuqtaning mutlaq tezligi nisbiy va translatsion tezliklarning vektor yig'indisiga teng (rasm).

, (2.20)

Tezlikning mutlaq qiymati kosinuslar qonuni bilan belgilanadi

, (2.21)

2.17-rasm

Paralelogramma qoidasiga ko'ra tezlanish bilan aniqlanadi faqat tarjima harakatida

, (2.22)

Tarjimaviy bo'lmagan ko'chma harakat bilan tezlashuvning uchinchi komponenti paydo bo'ladi, bu aylanish yoki Coriolis deb ataladi.

, (2.23)

qayerda

Koriolis tezlanishi son jihatdan teng

,

bu erda a - vektorlar orasidagi burchak

N.E.ga ko'ra Koriolis tezlanish vektorining yo'nalishini aniqlash qulay. Jukovskiy: vektorni translatsiya aylanish o'qiga perpendikulyar tekislikka proyeksiya qiling, proyeksiyani tarjima aylanish yo'nalishi bo'yicha 90 gradusga aylantiring. Olingan yo'nalish Koriolis tezlanishining yo'nalishiga mos keladi.

2.5 Bo'limda o'z-o'zini nazorat qilish uchun savollar

1. Kinematikaning asosiy vazifalari nimalardan iborat? Kinematik xususiyatlarni nomlang.

2. Nuqtaning harakatini ko`rsatish va kinematik xarakteristikalarini aniqlash usullarini ayting.

3. Jismning qo‘zg‘almas o‘q atrofidagi translatsion, aylanish, tekis-parallel harakatining ta’rifini bering.

4. Jismning qo'zg'almas o'qi atrofida aylanma, aylanma va tekis-parallel harakati davomida qattiq jismning harakati qanday aniqlanadi va jismning bu harakatlarida nuqtaning tezligi va tezlanishi qanday aniqlanadi?

3. Dinamika

3.1 Dinamika muammolari

Dinamikada ikki turdagi masalalar yechiladi. Birinchisi, aniqlash faol kuchlar moddiy ob'ektning (nuqta yoki tizim) harakat qonuni berilgan. Ikkinchi vazifa birinchisining teskarisi: moddiy ob'ektning harakat qonuni unga ta'sir qiluvchi ma'lum kuchlar bilan aniqlanadi.

3.2. Dinamikaning asosiy tushunchalari

inertsiya- tashqi kuchlar bu holatni o'zgartirmaguncha, moddiy jismlarning dam olish holatini yoki bir xil to'g'ri chiziqli harakatini saqlab turish xususiyati.

Og'irligi- tananing inertsiyasining miqdoriy o'lchovi. Massa birligi - kilogramm (kg).

Moddiy nuqta- bu masalani hal qilishda o'lchamlari e'tiborga olinmaydigan massaga ega bo'lgan jism.

Mexanik tizimning massa markazi- koordinatalari formulalar bilan aniqlanadigan geometrik nuqta.

qayerda m k , x k , y k , zk- k ning massasi va koordinatalari - mexanik tizimning bu nuqtasi,

m tizimning massasi.

Yagona tortishish maydonida massa markazining pozitsiyasi og'irlik markazining pozitsiyasiga to'g'ri keladi.

Moddiy jismning o'qqa nisbatan inersiya momenti aylanish harakatida inertsiyaning miqdoriy o'lchovidir.

Moddiy nuqtaning o'qqa nisbatan inersiya momenti nuqta massasi va o'qdan masofa kvadratining ko'paytmasiga teng.

J Z = m × r 2 (3.2)

Tizimning (jismning) o'qqa nisbatan inersiya momenti barcha nuqtalar inersiya momentlarining arifmetik yig'indisiga teng.

J Z = å m k × rk 2 (3.3)

Moddiy nuqtaning inertsiya kuchi- nuqta massasi va tezlanish modulining mahsulotiga mutlaq qiymatida teng bo'lgan va tezlanish vektoriga qarama-qarshi yo'naltirilgan vektor miqdori

(3.4)

Moddiy jismning inertsiya kuchi- tana massasi va tananing massa markazining tezlanish moduli mahsulotiga mutlaq qiymatda teng bo'lgan va massa markazining tezlanish vektoriga qarama-qarshi yo'naltirilgan vektor miqdori

, (3.5)

jismning massa markazining tezlashishi qayerda.

Elementar kuch impulsi- cheksiz kichik vaqt oralig'idagi kuch vektorining ko'paytmasiga teng vektor miqdori dt

, (3.6)

uchun umumiy impuls kuchi D t elementar impulslarning integraliga teng

(3.7)

boshlang'ich ish kuch- skalyar qiymat dA, kuch vektori va cheksiz kichik siljishning skalyar mahsulotiga teng d .

Vektorlarning skalyar ko'paytmasi ularning modullari ko'paytmasiga va vektorlar yo'nalishlari orasidagi burchakning kosinusiga teng.

dA = F × ds × cos a , (3.8)

bu erda a - siljish va kuch vektorlarining yo'nalishlari orasidagi burchak.

Kuchning uni qo'llash nuqtasining yakuniy siljishidagi ishi siljish ustidan olingan elementar ishning integraliga teng.

(3.9)

Ish birligi Joul (1 J=1 N×m).

Moddiy nuqtaning harakat miqdori- m massa va uning tezligi ko'paytmasiga teng vektor kattalik.

Mexanik tizimning impulsi uning nuqtalari impulslarining vektor yig'indisiga teng.

(3.11)

yoki formulalarni hisobga olgan holda (3.1).

Bu erda: m - mexanik tizimning massasi,

Tizimning massa markazining tezlik vektori.

Moddiy nuqtaning kinetik energiyasi- skalyar qiymat T, nuqta massasi va uning tezligi kvadratining yarmiga teng.

T = (3.13)

Mexanik tizimning kinetik energiyasi yig'indiga teng kinetik energiyalar uning barcha nuqtalari.

3.3. Dinamika aksiomalari

Birinchi aksioma inersiya qonunidir .

Agar erkin moddiy nuqtaga hech qanday kuch ta'sir qilmasa yoki muvozanatli kuchlar tizimi harakat qilmasa, u holda nuqta tinch yoki bir tekis to'g'ri chiziqli harakatda bo'ladi.

Ikkinchi aksioma tezlanishning mutanosiblik qonunidir .

Moddiy nuqtaga unga ta'sir qiluvchi kuch tomonidan berilgan tezlashuv bu kuchga mutanosib bo'lib, kuchning yo'nalishi bilan mos keladi.

(3.15) ifoda deyiladi dinamikaning asosiy qonuni .

Uchinchi aksioma - qarama-qarshilik qonuni .

Ikki moddiy nuqta bir-biriga ta'sir qiladigan kuchlar mutlaq qiymatda teng va bu nuqtalarni qarama-qarshi yo'nalishda bog'laydigan to'g'ri chiziq bo'ylab yo'naltirilgan.

To'rtinchi aksioma - kuchlar ta'sirining mustaqillik qonuni .

Kuchlar sistemasi moddiy nuqtaga ta'sir qilganda, bu nuqtaning umumiy tezlanishi har bir kuch ta'siridan tezlanishlarning geometrik yig'indisiga teng bo'ladi.

3.4. Dinamikaning differensial tenglamalari

Nuqta harakatining differentsial tenglamalari nuqta tezlanishini unga ta’sir etuvchi kuchlar bilan bog‘laydi. Aslida, differensial tenglamalar dinamikaning asosiy qonunining aniq differensial shakldagi yozuvidir.

Nuqtaning mutlaq harakati (inertial sanoq sistemasidagi harakat) uchun differensial tenglama ko‘rinishga ega.

, (3.18)

(3.17) vektor tenglamani to'g'ri to'rtburchaklar inertial koordinatalar sistemasi o'qlariga proyeksiyalarda yozish mumkin.

,

, (3.19)

,

Nuqtaning ma’lum traektoriyasi bilan (3.18) tenglamani tabiiy koordinatalar sistemasi o‘qlariga proyeksiyalarda yozish mumkin.

, (3.20)

(2.8) ni hisobga olgan holda tenglamalar shaklni oladi

(3.21)

3.5 Dinamikaning umumiy teoremalari

Dinamikaning umumiy teoremalari mexanik harakat va mexanik o'zaro ta'sir o'lchovlari o'rtasidagi munosabatni o'rnatadi. Teoremalarning xulosalari dinamikaning asosiy qonunining bir xil o'zgarishi natijasidir.

Impulsning o'zgarishi haqidagi teorema : moddiy nuqta (mexanik tizim) impulsining cheklangan vaqt oralig‘idagi o‘zgarishi impulslar yig‘indisiga teng tashqi kuchlar bir xil vaqt uchun

- moddiy nuqta uchun; (3.22)

- mexanik tizim uchun. (3.23)

Kinetik energiyaning o'zgarishi teoremasi : nuqtaning (mexanik tizimning) harakati davomida kinetik energiyasining o'zgarishi bu harakatdagi barcha ta'sir qiluvchi tashqi kuchlarning ishining yig'indisiga teng.

- moddiy nuqta uchun (3.24)

- mexanik tizim uchun (3.25)

Mexanik tizimning kinetik energiyasi (3.14) ga muvofiq aniqlanadi, qattiq jismlar uchun quyidagi bog'liqliklar olinadi.

Tananing translatsiya harakati bilan, (3.26)

Tananing aylanish harakati paytida, (3.27)

- tananing tekis-parallel harakati bilan. (3,28)

Ayrim bir jinsli jismlarning inersiya momentlari

Guruch. 3.1-rasm 3.2. R 3.3-rasm.

Tsilindrning o'qqa nisbatan inersiya momenti (3.1-rasm).

Rodning z o‘qiga nisbatan inersiya momenti (3.2-rasm).

To'g'ri burchakli plastinkaning x va y o'qlariga nisbatan inersiya momenti (3.3-rasm).

To'pning inersiya momenti quyidagi formula bilan aniqlanadi:

Umumiy holatda kuchlarning ishi (3.8), (3.9) ga muvofiq aniqlanadi.Kuchlar ta'sirining bir qator holatlarida ishni alohida bog'liqliklar bilan aniqlash mumkin.

Gravitatsiya ishi

qayerda: - tortishish kuchi,

Tana holatini vertikal ravishda o'zgartirish.

Tananing aylanish harakati paytida kuchning ishi

, (3.30)

bu erda: - kuch momenti,

Tananing burchak tezligi.

Shuni yodda tutingki, ish skalyar miqdor sifatida ijobiy yoki salbiy bo'lishi mumkin. Agar kuchning yo'nalishi harakat yo'nalishiga to'g'ri kelsa, ish ijobiy bo'ladi.

3.6 d'Alember printsipi

Jismlarning harakatini o'rganishning yuqoridagi usullari Nyuton qonunlariga asoslanadi. Boshqa tamoyillarga asoslangan usullar ishlab chiqilgan. Ulardan biri d'Alember printsipi.Prinsip tuzilgan: agar istalgan vaqtda nuqtaga ta’sir etuvchi kuchlarga inersiya kuchlari qo‘shilsa, hosil bo‘lgan kuchlar tizimi muvozanatlashgan bo‘ladi.

, (3.31)

yoki mexanik tizim uchun

D'Alember printsipi dinamika muammolarini echishda ko'proq qo'llash imkonini beradi oddiy usullar statik, shuning uchun u muhandislik amaliyotida keng qo'llaniladi.

3.7. Bo'limda o'z-o'zini nazorat qilish uchun savollar

1. Dinamikaning asosiy vazifalarini shakllantirish.

2. Massa, inersiya momenti, kuch impulsi, kuch ishi, impuls momenti, kinetik energiya ta’riflarini bering.

3. Dinamikaning asosiy qonuniyatlarini tuzing.

4. Qanday tenglama deyiladi differensial tenglama ma'ruzachilar? Differensial tenglamalar yordamida dinamikaga oid masalalarni yechish algoritmi qanday?

5. Dinamikaning umumiy teoremalarini tuzing.

6. D'Alember tamoyilini shakllantiring. Inersiya kuchlari qanday aniqlanadi?

7. Mumkin bo'lgan harakatlar tamoyilini shakllantirish. Mumkin bo'lgan siljishlar printsipi qanday sharoitlarda qo'llaniladi?

Ushbu bobda jismlarning translatsiya va aylanish harakati paytida doimiy kuch va ishlab chiqilgan quvvat tomonidan bajarilgan ishni aniqlash masalalari ko'rib chiqiladi (E. M. Nikitin, § 81-87).

§ 44. Tarjima harakatida ish va quvvat

O'zgarmas kuchning P ning kuch qo'llash nuqtasi bo'ylab o'tgan s yo'lning to'g'ri qismidagi ishi formula bilan aniqlanadi.
(1) A = Ps cos a,
Bu erda a - kuch yo'nalishi va harakat yo'nalishi orasidagi burchak.

a = 90° da
cos a = cos 90° = 0 va A = 0,
ya'ni harakat yo'nalishiga perpendikulyar ta'sir etuvchi kuchning ishi nolga teng.

Agar kuchning yo'nalishi harakat yo'nalishiga to'g'ri kelsa, u holda a = 0, shuning uchun cos a = cos 0 = 1 va formula (1) soddalashtiriladi:
(1") A = Ps.

Bir emas, balki bir nechta kuchlar odatda nuqtaga yoki jismga ta'sir qiladi, shuning uchun muammolarni hal qilishda natijaviy kuchlar tizimining ishlashi to'g'risidagi teoremadan foydalanish tavsiya etiladi (E. M. Nikitin, § 83):
(2) A R = ∑ A i,
ya'ni har qanday kuchlar sistemasi natijasining ma'lum bir yo'ldagi ishi bu tizimning barcha kuchlarining bir xil yo'ldagi ishining algebraik yig'indisiga teng.

Muayyan holatda, kuchlar tizimi muvozanatlashganda (tana bir tekis va to'g'ri chiziqda harakat qiladi), kuchlar tizimining natijasi nolga teng va shuning uchun A R =0. Shuning uchun, nuqta yoki jismning bir tekis va to'g'ri chiziqli harakati bilan (2) tenglama shaklni oladi.
(2") ∑ Ai = 0,
ya'ni ma'lum bir yo'lda muvozanatlangan kuchlar tizimining ishining algebraik yig'indisi nolga teng.

Bunda ishi ijobiy bo'lgan kuchlar harakatlantiruvchi kuchlar, manfiy bo'lgan kuchlar esa qarshilik kuchlari deyiladi. Masalan, tana pastga siljiganda - tortishish - harakatlantiruvchi kuch va uning ishi ijobiy bo'lib, tana yuqoriga qarab harakat qilganda, uning tortishish kuchi qarshilik kuchi va tortishish ishi manfiydir.

P kuchi noma'lum bo'lgan, ishi aniqlanishi kerak bo'lgan hollarda muammolarni hal qilishda ikkita usul (usul) tavsiya etilishi mumkin.

1. Masalaning shartida ko’rsatilgan kuchlardan foydalanib, P kuchini aniqlang va keyin (1) yoki (1") formuladan foydalanib, uning ishini hisoblang.

2. P kuchini to'g'ridan-to'g'ri aniqlamasdan, A p - kerakli kuchning ishini (2) va (2") formulalar yordamida aniqlang, natijaning ishi haqidagi teoremani ifodalang.

Doimiy kuchning ishi davomida ishlab chiqilgan quvvat formula bilan aniqlanadi
(3) N = A/t yoki N = (Ps cos a)/t.

Agar P kuchining ishini aniqlashda v \u003d s / t nuqtasining tezligi doimiy bo'lib qolsa, u holda
(3") N = Pv cos a.

Agar nuqta tezligi o'zgarsa, u holda s / t \u003d v cf - o'rtacha tezlik va keyin formula (2") o'rtacha quvvatni tushiradi
N av = Pv av cos a.

Koeffitsient foydali harakat(k.p.d.) ishni bajarishda ish nisbati sifatida belgilanishi mumkin
(4) ē = A maydon /A,
qaerda A qavat - foydali ish; A - barcha bajarilgan ishlar yoki tegishli quvvatlarning nisbati:
(4") ē = N qavat /N.

SI ish birligi 1 joule (J) = 1 N * 1 m.

SI quvvat birligi 1 vatt (Vt) = 1 J / 1 sek.

Tizimdan tashqari mashhur quvvat birligi ot kuchi (hp):
1000 Vt = 1,36 litr. Bilan. yoki 1 l. Bilan. = 736 Vt.

Vatt va ot kuchi o'rtasida almashish uchun formulalardan foydalaning
N (kVt) = 1,36 N (hp)
N (hp) \u003d 0,736 N (kVt).

Ma'ruza 2. Ish. Quvvat. Nuqta kinetik energiyasining o'zgarishi haqidagi teorema.

Ushbu ma'ruza quyidagi savollarni o'z ichiga oladi:

Majburiy ish.

Quvvat.

Ishlarni hisoblash misollari.

Potensial energiya

Kinetik energiya

Nuqta kinetik energiyasining o'zgarishi haqidagi teorema.

Moment teoremasi.

Ushbu masalalarni o'rganish mexanik tizimning massa markazi dinamikasi, qattiq jismning aylanish harakati dinamikasi, mexanik tizimning kinetik momenti, "Mashinalar nazariyasi va. mexanizmlar" va "Mashina qismlari".

Majburiy ish. Quvvat.

Bir oz siljishi bo'lgan jismga kuchning ta'sirini tavsiflash uchun kuchning ishi tushunchasi kiritiladi.

16-rasm

Bunday holda, ish kuchning harakatini tavsiflaydi, bu o'zgarishni belgilaydi modul harakatlanuvchi nuqtaning tezligi.

Avval kuchning cheksiz kichik siljishdagi elementar ishi tushunchasini kiritamiz ds. Kuchning elementar ishi (16-rasm) skalyar kattalikdir:

bu yerda nuqta siljishi yo‘nalishi bo‘yicha yo‘naltirilgan traektoriyaga teguvchi kuchning proyeksiyasi va shu tangens bo‘ylab yo‘naltirilgan nuqtaning cheksiz kichik siljishi.

Ushbu ta'rif ish tushunchasiga mos keladi, bu nuqta tezligi modulining o'zgarishiga olib keladigan kuch ta'sirining xarakteristikasi sifatida. Haqiqatan ham, agar biz kuchni komponentlarga ajratsak va , u holda faqat komponent nuqta tezligining modulini o'zgartirib, nuqtaga tangensial tezlanish beradi.Kompanent yoki tezlik vektorining yo'nalishini o'zgartiradi. v(nuqtaga normal tezlanishni beradi), yoki, agar harakat erkin bo'lmasa, u ulanishdagi bosimni o'zgartiradi. Komponent tezlik moduliga ta'sir qilmaydi, ya'ni ular aytganidek, kuch "ish hosil qilmaydi".

Bunga e'tibor berib, biz quyidagilarni olamiz:

. (1)

Shunday qilib, boshlang'ich ish kuch nuqtaning harakat yo'nalishi bo'yicha kuchning proyeksiyasiga elementar siljish bilan ko'paytiriladi yoki kuchning elementar ishi kuch modulining elementar siljishi va kosinusiga ko'paytmasiga teng. kuch yo'nalishi va siljish yo'nalishi orasidagi burchak.

Agar burchak o'tkir bo'lsa, u holda ish ijobiy bo'ladi. Xususan, boshlang'ich ish uchun .

Agar burchak o'tmas bo'lsa, u holda ish manfiy bo'ladi. Xususan, boshlang'ich ish uchun .

Agar burchak, ya'ni. agar kuch siljishga perpendikulyar yo'naltirilgan bo'lsa, u holda kuchning elementar ishi nolga teng.

Elementar ish uchun analitik ifoda topamiz. Buning uchun biz kuchni komponentlarga ajratamiz , , koordinata o'qlari yo'nalishlarida (17-rasm; kuchning o'zi chizmada ko'rsatilmagan).

17-rasm

Elementar siljish koordinata o'qlari bo'ylab , , siljishlardan iborat, bu erda x, y, z - nuqta koordinatalari M. Keyin kuchning siljishdagi ishi uning tarkibiy qismlarining ishining yig'indisi sifatida hisoblanishi mumkin , , siljishlar bo'yicha , .

Lekin faqat komponent siljishda ishlaydi va uning ishi ga teng. Ko'chishlar bo'yicha ish va shunga o'xshash tarzda hisoblanadi. Nihoyat biz topamiz:

Formula kuchning elementar ishi uchun analitik ifodani beradi.

Har qanday chekli siljishda kuch tomonidan bajariladigan ish M 0 M 1 mos keladigan elementar ishlarning integral yig'indisi sifatida hisoblanadi va quyidagilarga teng bo'ladi:

yoki

.

Binobarin, Har qanday siljishda kuchning ishi M 0 M 1 bu siljish bo'yicha olingan elementar ishning integraliga teng. Integral chegaralari nuqtalardagi integratsiya o'zgaruvchilari qiymatlariga mos keladi M 0 va M 1 .

18-rasm

Agar qiymat o'zgarmas bo'lsa (= const), u holda siljishni bildiradi M 0 M 1 orqali biz olamiz: .

Bunday holat ta'sir etuvchi kuch modul va yo'nalish bo'yicha doimiy bo'lganda sodir bo'lishi mumkin ( F= const) va kuch qo'llaniladigan nuqta to'g'ri chiziq bo'ylab harakat qiladi (18-rasm). Ushbu holatda va kuchning ishi .

Ish uchun SI birligi joule (1 j = 1 hm).

Quvvat.

Quvvat kuchning vaqt birligida bajargan ishni belgilaydigan miqdor. Agar ish bir tekisda bajarilsa, unda kuch

qayerda t - ish bajarilgan vaqt A. Umuman

.

Shuning uchun quvvat kuchning tangensial komponenti va harakat tezligining mahsulotiga tengdir.

Tizimdagi quvvat birligi SI hisoblanadi vatt (1 Sess= 1 j/sek). Muhandislikda 1 ot kuchi ko'pincha 75 ga teng quvvat birligi sifatida olinadi kgm/sek yoki 736 Seshanba.

Mashina tomonidan bajarilgan ishni uning kuchi va ishlagan vaqti bilan o'lchash mumkin. Bundan texnologiyada keng qo'llaniladigan ish o'lchov birligi, kilovatt-soat paydo bo'ldi (1 kVt/soat = 3,6j 367100 kgm).

Tenglamadan ma'lum quvvatga ega dvigatel uchun ekanligini ko'rish mumkin V, tortish kuchi qanchalik katta bo'lsa, harakat tezligi shunchalik past bo'ladi V. Shuning uchun, masalan, tepada yoki yo'lning yomon qismida, avtomobil to'liq quvvatda past tezlikda harakat qilish va ko'proq tortishish imkonini beradigan pastki viteslarni o'z ichiga oladi.

Ishlarni hisoblash misollari.

Quyida ko'rib chiqilgan misollar muammolarni hal qilishda bevosita foydalanish mumkin bo'lgan natijalarni beradi.

1) Gravitatsiya ishi. Nuqtaga ruxsat bering M, unga tortishish kuchi ta'sir qiladi , pozitsiyadan harakat qiladi M ­ 0 (x­ 0 , da 0 , z 0 ) holatiga M 1 (X 1 , y 1 , z 1 ). Biz koordinata o'qlarini shunday tanlaymizki, o'q Oz vertikal yuqoriga yo'naltirilgan edi (19-rasm).

19-rasm

Keyin R x=0, R y=0, P z=- R. Ushbu qiymatlarni almashtirish va integratsiya o'zgaruvchisini hisobga olish z:

Agar nuqta M 0 yuqorida M 1 , qayerda h- nuqtaning vertikal harakatining qiymati;

Agar nuqta M 0 nuqta ostida M 1 keyin .

Nihoyat, biz olamiz: .

Binobarin, tortishish kuchi ortiqcha yoki minus belgisi bilan olingan kuch moduli va uni qo'llash nuqtasining vertikal siljishi mahsulotiga tengdir. Agar boshlang'ich nuqtasi oxirgi nuqtadan yuqori bo'lsa, ish ijobiy, agar boshlang'ich nuqtasi oxirgi nuqtadan past bo'lsa, salbiy hisoblanadi. Olingan natijadan kelib chiqadiki, tortishish kuchi uning qo'llanilishi nuqtasi harakatlanadigan traektoriya turiga bog'liq emas.

Bunday xususiyatga ega bo'lgan kuchlar potentsial kuchlar deb ataladi.

2) Elastik kuchning ishi. Yukni ko'rib chiqing M, gorizontal tekislikda yotgan va ba'zi buloqning erkin uchiga biriktirilgan (20a-rasm). Samolyotda nuqta bilan belgilang O buloqning oxiri ta'kidlanmaganida egallagan pozitsiyasi ( kuchlanishsiz buloqning uzunligi) va biz bu nuqtani boshlang'ich sifatida qabul qilamiz. Agar biz hozir yukni muvozanat holatidan uzoqlashtirsak O, kamonni bir qiymatga cho'zish, keyin yuk bahorning elastik kuchi bilan ta'sir qiladi. F, nuqtaga qaratilgan O.

20-rasm

Guk qonuniga ko'ra, bu kuchning kattaligi prujinaning cho'zilishi bilan proportsionaldir. Bizning holatlarimizda beri, keyin modul.

Koeffitsient Bilan chaqirdi qattiqlik koeffitsienti buloqlar. Muhandislikda odatda o'lchaydi Bilan ichida h/sm, koeffitsientni qabul qilish Bilan prujinani 1 ga cho'zish uchun uni qo'llash kerak bo'lgan kuchga son jihatdan teng sm.

Yukni joydan holatga o‘tkazishda elastik kuch bajargan ishni toping . Chunki bu holatda , , keyin biz olamiz:

(Bir xil natijani qaramlik grafigidan olish mumkin F dan X (20-rasm, b) chizmada soyalangan trapetsiya maydonini hisoblash va ish belgisini hisobga olgan holda.) Olingan formulada bahorning dastlabki cho'zilishi ifodalanadi va bahorning so'nggi kengayishi. Binobarin,

,

bular. elastik kuchning ishi qattiqlik koeffitsienti mahsulotining yarmiga va bahorning dastlabki va oxirgi cho'zilishlari (yoki siqilishlari) kvadratlari orasidagi farqga teng.

Ish qachon ijobiy bo'ladi, ya'ni bahor oxiri muvozanat holatiga o'tganda va salbiy bo'lsa, ya'ni. bahorning oxiri muvozanat holatidan uzoqlashadi. Nuqta siljgan taqdirda ham formula o'z kuchini saqlab qolishini isbotlash mumkin M chiziqli emas.

Shunday qilib, kuchning ishi chiqadi F faqat qiymatlarga bog'liq va nuqta traektoriyasi turiga bog'liq emas M. Demak, elastik kuch ham potentsialdir.

21-rasm

3) Ishqalanish kuchining ishi. Ba'zi bir qo'pol sirt (21-rasm) yoki egri chiziq bo'ylab harakatlanadigan nuqtani ko'rib chiqing. Nuqtaga ta'sir etuvchi ishqalanish kuchi mutlaq qiymatda teng fN, qayerda f ishqalanish koeffitsienti bo'lib, sirtning normal reaktsiyasidir. Ishqalanish kuchi nuqtaning siljishiga qarama-qarshi yo'naltiriladi. Binobarin, F tr = - fN va formula bo'yicha

.

Agar ishqalanish kuchi doimiy bo'lsa, u holda , qayerda s-egri yoy uzunligi M 0 M 1 nuqta bo'ylab harakatlanadi.

Shunday qilib, Sürgülü ishqalanish kuchi tomonidan bajariladigan ish har doim manfiy bo'ladi. Ushbu ishning miqdori kamon uzunligiga bog'liq M 0 M 1 . Demak, ishqalanish kuchi kuchdir potentsial bo'lmagan.

4) Ruxsat etilgan o'q atrofida aylanadigan jismga qo'llaniladigan kuchning ishi.

Bunday holda (22-rasm) kuch qo'llash nuqtasi radiusli doira bo'ylab harakatlanadi r. Boshlang'ich ish, (1), , qayerda.

22-rasm

Shunung uchun .

Buni kuchni uchta komponentga ajratish orqali aniqlash qiyin emas (22-rasm). (Kuchlarning momentlari va nolga teng). Ma'nosi,

(2)

Xususan, agar o'qga nisbatan kuch momenti , jism burchak orqali aylanganda kuchning ishi teng

. (3)

Ish belgisi kuch momenti va burilish burchagi belgilari bilan aniqlanadi. Agar ular bir xil bo'lsa, ish ijobiydir.

Formula (3) shuningdek, bir juft kuchning ishini aniqlash qoidasini ham nazarda tutadi. Bir lahza bilan er-xotin bo'lsa m jismning aylanish o'qiga perpendikulyar tekislikda joylashgan bo'lib, u holda jism burchak orqali aylanganda uning ishi

Agar aylanish o'qiga perpendikulyar bo'lmagan tekislikda bir juft kuch ta'sir etsa, u holda uni ikkita juftlik bilan almashtirish kerak. Biri o'qga perpendikulyar tekislikda, ikkinchisi - o'qga parallel ravishda tekislikda joylashgan. Ularning momentlari moment vektorining tegishli yo'nalishlarda kengayishi bilan aniqlanadi: . Albatta, faqat moment bilan birinchi juftlik ishni bajaradi, bu erda vektor va aylanish o'qi orasidagi burchak z,

. (5)

Potensial energiya

Fazoning moddiy nuqtaga ta’sir etuvchi kuch, nuqtaning joylashishiga qarab, u yerda joylashgan qismiga kuch maydoni deyiladi.

Bundan tashqari, bu kuch u = u (x, y, z) kuch funktsiyasi yordamida aniqlanadi. Agar u vaqtga bog'liq bo'lmasa, unda bunday maydon statsionar deb ataladi. Agar u hamma nuqtalarda bir xil bo'lsa, u holda maydon bir hil bo'ladi.

Agar kuchning Dekart o'qlariga proyeksiyalari kuch funktsiyasining tegishli koordinatalarga nisbatan qisman hosilalari bo'lsa.

u holda bunday maydon potensial deb ataladi.

Kuchning ishini hisoblang potentsial maydon nuqtani biror joydan siljitishda M 1 joylashish uchun M 2. (23-rasm).

23-rasm

boshlang'ich ish,

Bu kuch funktsiyasining to'liq differentsialidir.

Yakuniy sayohat ustida ishlash

(7)

qayerda u 2 va u 1 - nuqtalardagi kuch funktsiyasi qiymatlari M 2 va M 1 .

Binobarin, potentsial maydon kuchining ishi nuqtaning traektoriyasiga bog'liq emas, balki faqat nuqtaning boshlang'ich va oxirgi pozitsiyalaridagi kuch funktsiyasi qiymatlari bilan belgilanadi.

Tabiiyki, agar nuqta dastlabki holatiga qaytsa, kuchning ishi nolga teng bo'ladi. Ish nolga teng bo'ladi va boshqa nuqtaga o'tishda M 3, agar u erda kuch funktsiyasining qiymati boshlang'ich pozitsiyasi bilan bir xil bo'lsa.

Kuch funktsiyasining bir xil qiymatlari bo'lgan nuqtalar butun sirtni hosil qilishini taxmin qilish oson. Va kuch maydoni bunday sirtlardan tashkil topgan qatlamli bo'shliqdir (23-rasm). Bunday sirtlar deyiladi tekis yuzalar yoki ekvipotentsial yuzalar. Ularning tenglamalari: u(x, y, z)= C (C- doimiy, qiymatiga teng u bu sirtdagi nuqtalar). Va kuch funktsiyasi mos ravishda chaqiriladi, salohiyat dalalar.

Albatta, ekvipotensial sirtlar kesishmaydi. Aks holda, cheksiz potentsialga ega bo'lgan maydon nuqtalari bo'lar edi.

Chunki, nuqtani ekvipotentsial sirt bo'ylab harakatlantirganda, kuchning ishi nolga teng, u holda kuch vektori sirtga perpendikulyar bo'ladi.

Ushbu sirtlar orasida biz birini tanlaymiz va uni nol sirt deb ataymiz (biz qo'yamiz u= u 0 ).

Nuqta ma'lum bir M joydan nol sirtga o'tganda kuch bajaradigan ish ushbu aniq M joydagi nuqtaning potentsial energiyasi deb ataladi:

. (8)

e'tibor bering, bu potentsial energiya maydonning bir xil nuqtasida null sirtni tanlashga bog'liq.

(8) kuch funktsiyasi bo'yicha. Shuning uchun, (6) ga ko'ra, Dekart o'qlariga kuch proyeksiyalari, chunki,

va kuch vektori .

Bir nechta potentsial maydonlarni ko'rib chiqing.

1) Gravitatsiya maydoni.

Yer yuzasiga yaqin joyda barcha nuqtalarda tortishish kuchi bir xil, tananing og'irligiga teng. Bu shuni anglatadiki, bu kuch maydoni bir hil. Nuqta gorizontal tekislikda harakat qilganda, kuchning ishi nolga teng bo'lganligi sababli, ekvipotensial sirtlar gorizontal tekisliklar bo'ladi (24-rasm), va ularning tenglamalari: u = z = C.

24-rasm

Agar tekislik nol sirt sifatida tayinlangan bo'lsa xOy, keyin pozitsiyadagi nuqtaning potentsial energiyasi M tortishish ishiga teng bo'ladi:

2) Elastik kuch maydoni.

Elastik jism, masalan, prujina deformatsiyalanganda, kuch paydo bo'ladi. Ya'ni, bu jismning yonida kuch maydoni paydo bo'ladi, uning kuchlari tananing deformatsiyasiga mutanosib va ​​deformatsiyalanmagan holatga yo'naltirilgan. Bahorda - nuqtaga M 0 , bu erda deformatsiyalanmagan bahorning oxiri joylashgan (25-rasm).

25-rasm

Agar siz bahorning uchini uning uzunligi o'zgarmasligi uchun harakatlantirsangiz, elastik kuchning ishi nolga teng bo'ladi. Demak, ekvipotensial yuzalar O nuqtada markazlashgan sferik yuzalardir.

Nuqtadan o'tuvchi sferaga nol sirtni belgilang M 0 , deformatsiyalanmagan bahorning oxirigacha. Keyin pozitsiyadagi buloqning potentsial energiyasi M: .

Nol sirtni bunday tanlash bilan potentsial energiya ham cho'zilgan, ham siqilgan holatda hamisha ijobiy (P>0) bo'ladi.

Nuqta kinetik energiyasining o'zgarishi haqidagi teorema.

Massasi bo'lgan nuqtani ko'rib chiqing t, bir pozitsiyadan unga qo'llaniladigan kuchlar ta'sirida harakat qilish M 0 , bu erda tezlik bor , holatiga M 1, uning tezligi qaerda.

Istalgan qaramlikni olish uchun biz dinamikaning asosiy qonunini ifodalovchi tenglamaga murojaat qilamiz. Ushbu tenglikning ikkala qismini nuqta traektoriyasiga teguvchiga proyeksiya qilish M, harakat yo'nalishi bo'yicha biz quyidagilarni olamiz:

Chapdagi tangensial tezlanishning qiymati quyidagicha ifodalanishi mumkin

.

Natijada bizda quyidagilar bo'ladi:

.

Ushbu tenglamaning ikkala tomonini ko'paytirish ds, tanishtiramiz t differensial belgisi ostida. Keyin, qaerda ekanligini payqab - elementar kuch ishi F k kinetik energiyaning o'zgarishi haqidagi teorema ifodasini differentsial shaklda olamiz.

Gravitatsiya ishi. tortishish kuchi R moddiy nuqta massasi t Yer yuzasi yaqinida doimiy, teng deb hisoblanishi mumkin mg

vertikal pastga yo'naltirilgan.

Ish LEKIN kuch R nuqtadan harakatda M 0 nuqtaga M

qayerda h = z 0 - z x - nuqtani tushirish balandligi.

Gravitatsiya ishi bu kuch va tushirish balandligi (ish ijobiy) yoki ko'tarish balandligi (ish manfiy) mahsulotiga teng. Gravitatsiya ishi nuqtalar orasidagi traektoriyaning shakliga bog'liq emas M 0 va M|, va agar bu nuqtalar bir-biriga to'g'ri kelsa, u holda tortishish ishi nolga teng bo'ladi (yopiq yo'l holati). Ballar bo'lsa, u ham nolga teng M 0 va M bir xil gorizontal tekislikda yotadi.

Elastiklikning chiziqli kuchining ishi. Chiziqli elastik kuch (yoki chiziqli tiklovchi kuch) Guk qonuniga muvofiq ta'sir qiluvchi kuchdir (63-rasm):

F = - Bilanr,

qayerda r- kuch nolga teng bo'lgan statik muvozanat nuqtasidan ko'rib chiqilayotgan nuqtagacha bo'lgan masofa M; Bilan- doimiy koeffitsient - koeffitsient qattiqlik.

A=--().

Ushbu formula bo'yicha chiziqli elastik kuchning ishi hisoblanadi. Agar nuqta M 0 nuqta bilan mos tushadi statik muvozanat O, shunday bo'lsa r 0 \u003d 0 va nuqtadan siljish bo'yicha kuchning ishi uchun O nuqtaga M bizda ... bor

Qiymat r- ko'rib chiqilayotgan nuqta va statik muvozanat nuqtasi orasidagi eng qisqa masofa. Biz uni l bilan belgilaymiz va deformatsiya deb ataymiz. Keyin

Chiziqli elastik kuchning statik muvozanat holatidan siljishdagi ishi doimo manfiy bo'lib, qattiqlik koeffitsienti va deformatsiya kvadratining yarmiga teng. Chiziqli elastik kuchning ishi siljish shakliga bog'liq emas va har qanday yopiq siljishdagi ish nolga teng. Ballar bo'lsa, u ham nolga teng Mo va M statik muvozanat nuqtasidan chegaralangan bir xil sharda yotadi.

Egri chiziqli harakatda o'zgaruvchan kuchning ishi.

Egri kesmada kuchning ishi

Qo'llash nuqtasi egri chiziqli traektoriya bo'ylab harakatlanadigan o'zgaruvchan kuchning ishini topishning umumiy holatini ko'rib chiqing. F o'zgaruvchan kuchning qo'llanilishi M nuqtasi ixtiyoriy uzluksiz egri chiziq bo'ylab harakatlansin. M nuqtaning cheksiz kichik siljishi vektori bilan belgilang. Bu vektor tezlik vektori bilan bir xil yo'nalishdagi egri chiziqqa tangensial yo'naltirilgan.

O'zgaruvchan F kuchning cheksiz kichik siljishdagi elementar ishi

ds F va vektorlarining skalyar mahsuloti deyiladi ds:

qayerda a- F va vektorlari orasidagi burchak ds

Ya'ni, kuchning elementar ishi kuch vektorlari modullari va cheksiz kichik siljishning ko'paytmasiga teng bo'lib, bu vektorlar orasidagi burchakning kosinusiga ko'paytiriladi.

F kuch vektorini ikkita komponentga ajratamiz: - traektoriyaga tangens bo'ylab yo'naltirilgan - va - normal bo'ylab yo'naltirilgan. kuch chizig'i

nuqta harakatlanayotgan yoʻlga tangensga perpendikulyar boʻlib, uning ishi nolga teng. Keyin:

dA= Ftds.

dan egri chiziqning oxirgi kesimida F o'zgaruvchan kuchning ishini hisoblash uchun a b ga qadar elementar ishning integralini hisoblash kerak:

Potentsial va kinetik energiya.

Potensial energiya P matketma-ket nuqta hisobga olinadimening fikrim kuch maydoni M qo'ng'iroq ish, kuchlar tomonidan amalga oshiriladila moddiy nuqtani nuqtadan ko'chirishda unga ta'sir qilishMboshlang'ich nuqtasigaM 0 , ya'ni

P = Umm 0

P = =-U=- U

S 0 doimiysi maydonning qaysi nuqtasi boshlang'ich sifatida tanlanganiga qarab, maydonning barcha nuqtalari uchun bir xil bo'ladi. Ko'rinib turibdiki, potentsial energiya faqat ish nuqtalar orasidagi harakat shakliga bog'liq bo'lmagan potentsial kuch maydoni uchun kiritilishi mumkin. M va M 0 . Potensial bo'lmagan kuch maydoni potentsial energiyaga ega emas va u uchun kuch funktsiyasi mavjud emas.

dA = dU= -dP; LEKIN = U - U 0 = P 0 - P

Yuqoridagi formulalardan kelib chiqadiki P boshlang'ich nuqtani tanlashga bog'liq bo'lgan ixtiyoriy konstantagacha aniqlanadi, lekin bu ixtiyoriy doimiy potentsial energiya va bu kuchlarning ishi orqali hisoblangan kuchlarga ta'sir qilmaydi. Buni hisobga olgan holda:

P= - U+ const yoki P =- U.

Maydonning istalgan nuqtasida ixtiyoriy doimiygacha bo'lgan potentsial energiyani bir xil nuqtadagi kuch funktsiyasining minus belgisi bilan olingan qiymati sifatida aniqlash mumkin.

Kinetik energiya sistemaning barcha nuqtalarining kinetik energiyalari yig'indisiga teng bo'lgan skalyar qiymat T deyiladi:

Kinetik energiya tizimning translatsiya va aylanish harakatlariga xos xususiyatdir. Kinetik energiya skalyar miqdor va bundan tashqari, mohiyatan ijobiydir. Shuning uchun u tizim qismlarining harakat yo'nalishlariga bog'liq emas va bu yo'nalishlardagi o'zgarishlarni tavsiflamaydi.

Keling, quyidagi muhim holatga ham e'tibor qaratamiz. Ichki kuchlar tizimning qismlariga o'zaro qarama-qarshi yo'nalishda ta'sir qiladi. Kinetik energiyaning o'zgarishiga tashqi va ichki kuchlarning ta'siri ta'sir qiladi.

Nuqtaning bir tekis harakati.

Nuqtaning bir tekis harakati- harakat, Krom kasat bilan. tezlanish ō t nuqtasi (to'g'ri chiziqli harakatda umumiy tezlanish ω )doimiy. Nuqtaning bir tekis harakatlanish qonuni va uning tezligini o'zgartirish qonuni υ bu harakat davomida tenglik bilan beriladi:

bu erda s - traektoriya yoyi bo'ylab o'lchangan nuqtaning traektoriyada tanlangan mos yozuvlar nuqtasidan masofasi, t- vaqt, s 0 - boshida s qiymati. vaqt momenti t = = 0. - beg. nuqta tezligi. Belgilar qachon υ va ω bir xil, bir xil harakat. tezlashtiriladi, boshqacha bo'lsa - sekinlashadi.

Aktyorlik qilayotganda. qattiq jismning bir tekis harakati, yuqorida aytilganlarning barchasi tananing har bir nuqtasiga taalluqlidir; qattiq burchak o'qi atrofida bir xil aylanish bilan. jismning tezlanishi e doimiy bo'lib, aylanish qonuni va burchakning o'zgarishi qonuni. jismning ō tezliklari tenglik bilan berilgan

bu yerda ph - jismning burilish burchagi, ph 0 - boshidagi ph qiymati. vaqt momenti t= 0, ō 0 - iltimos. ang. tana tezligi. ō va e belgilari mos kelganda aylanish tezlashadi, mos kelmaganda esa sekinlashadi.

To'g'ri chiziqli harakatda doimiy kuchning ishi.

Ta'sir qiluvchi kuch kattaligi va yo'nalishi bo'yicha doimiy bo'lgan va uni qo'llash nuqtasi to'g'ri chiziqli traektoriya bo'ylab harakatlanadigan holat uchun ishni aniqlaylik. Qiymati va yo'nalishi bo'yicha doimiy kuch qo'llaniladigan moddiy C nuqtasini ko'rib chiqaylik (134-rasm, a).

Muayyan t vaqt oralig'ida C nuqta s masofada to'g'ri chiziqli traektoriya bo'ylab C1 holatiga o'tdi.

Uning qo'llanilishi nuqtasining to'g'ri chiziqli harakati paytida o'zgarmas kuchning W ishi kuch modulining F marta masofa s va kuch yo'nalishi va harakat yo'nalishi orasidagi burchakning kosinus ko'paytmasiga teng, ya'ni.

Kuch yo'nalishi va harakat yo'nalishi o'rtasidagi burchak a 0 dan 180 ° gacha o'zgarishi mumkin. a uchun< 90° работа положительна, при α >90 ° salbiy, a = 90 ° da ish nolga teng.

Agar kuch harakat yo'nalishi bilan o'tkir burchak hosil qilsa, u harakatlantiruvchi kuch deb ataladi, kuchning ishi har doim ijobiy bo'ladi. Agar kuch va harakat yo'nalishlari orasidagi burchak o'tmas bo'lsa, kuch harakatga qarshilik ko'rsatadi, salbiy ishni bajaradi va qarshilik kuchi deb ataladi. Qarshilik kuchlariga har doim harakatga qarama-qarshi yo'nalishda yo'naltirilgan kesish, ishqalanish, havo qarshiligi va boshqalar kuchlari misol bo'ladi.

a = 0° bo'lganda, ya'ni kuch yo'nalishi tezlik yo'nalishiga to'g'ri kelganda, W = F s bo'ladi, chunki cos 0° = 1. F cos a ko'paytma kuchning yo'nalishga proyeksiyasidir. moddiy nuqtaning harakati. Shuning uchun kuchning ishini siljish s va kuchning proyeksiyasi va nuqtaning harakat yo'nalishining mahsuloti sifatida aniqlash mumkin.

33. Qattiq jismning inersiya kuchlari

Klassik mexanikada kuchlarning tasviri va ularning xossalari Nyuton qonunlariga asoslanadi va inertial sanoq sistemasi tushunchasi bilan uzviy bog‘liqdir.

Darhaqiqat, kuch deb ataladigan fizik miqdor Nyutonning ikkinchi qonuni tomonidan hisobga olinadi, qonunning o'zi esa faqat uchun tuzilgan. inertial tizimlar ma'lumotnoma. Shunga ko'ra, kuch tushunchasi dastlab faqat shunday ma'lumot doiralari uchun ta'riflangan bo'lib chiqadi.

Moddiy nuqtaning tezlanishi va massasini unga ta’sir etuvchi kuch bilan bog‘lovchi Nyutonning ikkinchi qonuni tenglamasi quyidagicha yoziladi.

Bu tenglamadan to'g'ridan-to'g'ri kelib chiqadiki, jismlarning tezlashishiga faqat kuchlar sabab bo'ladi va aksincha: jismga kompensatsiyalanmagan kuchlarning ta'siri, albatta, uning tezlashishiga sabab bo'ladi.

Nyutonning uchinchi qonuni ikkinchi qonunda kuchlar haqida aytilganlarni to'ldiradi va rivojlantiradi.

kuch - bu boshqa jismlarning berilgan moddiy tanasiga mexanik ta'sirining o'lchovidir

Nyutonning uchinchi qonuniga ko'ra, kuchlar faqat juft bo'lib mavjud bo'lishi mumkin va har bir bunday juftlikdagi kuchlarning tabiati bir xil.

jismga ta'sir etuvchi har qanday kuch boshqa jism shaklida kelib chiqish manbasiga ega. Boshqacha qilib aytganda, kuchlar, albatta, natijadir o'zaro ta'sirlar tel.

Mexanikada boshqa kuchlar hisobga olinmaydi yoki ishlatilmaydi. Mustaqil ravishda, o'zaro ta'sir qiluvchi jismlarsiz paydo bo'lgan kuchlarning mavjudligi mexanika tomonidan ruxsat etilmaydi.

Eyler va d'Alember inertsiya kuchlarining nomlari so'zni o'z ichiga olgan bo'lsa-da kuch, bu jismoniy miqdorlar mexanikada qabul qilingan ma'noda kuchlar emas.

34. Qattiq jismning tekis-parallel harakati haqida tushuncha

Qattiq jismning harakati tekis-parallel deyiladi, agar tananing barcha nuqtalari biron bir qo'zg'almas tekislikka (asosiy tekislikka) parallel tekisliklarda harakat qilsa. Qandaydir tana V tekis harakat qilsin, p - asosiy tekislik. Tekislik-parallel harakat va absolyut qattiq jismning xossalari ta'rifidan kelib chiqadiki, p tekislikka perpendikulyar bo'lgan har qanday AB to'g'ri chiziq kesmasini hosil qiladi. oldinga harakat. Ya'ni, AB segmentining barcha nuqtalarining traektoriyalari, tezligi va tezlanishlari bir xil bo'ladi. Shunday qilib, kesmaning har bir nuqtasi s tekisligi p tekislikka parallel bo'lgan harakati V jismning ushbu nuqtada kesmaga perpendikulyar bo'lgan segmentda yotgan barcha nuqtalarining harakatini aniqlaydi. Tekis-parallel harakatga misollar: g'ildirakning to'g'ri segment bo'ylab dumalab ketishi, chunki uning barcha nuqtalari g'ildirak o'qiga perpendikulyar tekislikka parallel tekisliklarda harakat qiladi; bunday harakatning alohida holati qattiq jismning sobit o'q atrofida aylanishidir, aslida aylanuvchi jismning barcha nuqtalari aylanish o'qiga perpendikulyar bo'lgan ba'zi bir qo'zg'almas tekislikka parallel tekisliklarda harakat qiladi.

35. Moddiy nuqtaning to‘g‘ri chiziqli va egri chiziqli harakatidagi inersiya kuchlari.

Harakatning o'zgarishiga nuqta qarshilik ko'rsatadigan kuchga moddiy nuqtaning inersiya kuchi deyiladi. Inersiya kuchi nuqta tezlanishiga teskari yo‘nalgan va massaning tezlanishni ko‘paytirishga teng.

To'g'ri chiziqda tezlanish yo'nalishi traektoriyaga to'g'ri keladi. Inertsiya kuchi tezlanishga teskari yo'nalishda yo'naltiriladi va uning son qiymati quyidagi formula bilan aniqlanadi:

Tezlashtirilgan harakatda tezlanish va tezlik yo'nalishlari mos keladi va inersiya kuchi harakatga qarama-qarshi yo'nalishda yo'naltiriladi. Sekin harakatda, tezlanish tezlikka qarama-qarshi yo'nalishda yo'naltirilganda, inersiya kuchi harakat yo'nalishi bo'yicha harakat qiladi.

Daegri chiziqli va notekisharakat tezlashuv normal holatga ajralishi mumkin a va tangens da komponentlar. Xuddi shunday, nuqtaning inertsiya kuchi ham ikkita komponentdan iborat: normal va tangensial.

Oddiy inersiya kuchining komponenti nuqta massasi va normal tezlanishning mahsulotiga teng va bu tezlanishga qarama-qarshi yo'naltirilgan:

Tangent inersiya kuchining komponenti nuqta massasi va tangensial tezlanishning mahsulotiga teng va bu tezlanishga qarama-qarshi yo'naltirilgan:

Bu aniq to'liq quvvat inersiya nuqtasi M normal va tangens komponentlarning geometrik yig'indisiga teng, ya'ni.

Tangensial va normal komponentlar o'zaro perpendikulyar ekanligini hisobga olsak, umumiy inersiya kuchi:

36. Murakkab harakatdagi nuqtaning tezliklari va tezlanishlarini qo‘shishga oid teoremalar

Tezlikni qo'shish teoremasi:

Mexanikada nuqtaning mutlaq tezligi uning nisbiy va translyatsiya tezligining vektor yig'indisiga teng:

Ruxsat etilgan sanoq sistemasiga nisbatan jismning tezligi bu jismning harakatlanuvchi sanoq sistemasiga nisbatan tezligining vektor yig‘indisiga va harakatlanuvchi ramka nuqtasining tezligiga (qattiq ramkaga nisbatan) teng. tanasi joylashgan.

murakkab harakatda nuqtaning mutlaq tezligi translatsiya va nisbiy tezliklarning geometrik yig'indisiga teng. Mutlaq tezlikning kattaligi qaerda aniqlanadi α vektorlar orasidagi burchak hisoblanadi va .

Tezlanishni qo'shish teoremasi ( KORIOLIS TEOREMASI)

acor = aper + dan + akor

Formula tezlashtirilgan qo'shilish bo'yicha quyidagi Koriolis teoremasini ifodalaydi

reniy: murakkab harakat uchun 1, nuqtaning tezlanishi geometrikga teng

uchta tezlanishning yig'indisi: nisbiy, tarjima va aylanish yoki

Koriolis.

acor = 2(ō × ovoz)

37. d'Alember printsipi

Moddiy nuqta uchun d'Alember printsipi: moddiy nuqta harakatining har bir daqiqasida faol kuchlar, bog'lanishlar reaktsiyalari va inersiya kuchi muvozanatli kuchlar tizimini tashkil qiladi.

d'Alember printsipi- mexanikada: dinamikaning asosiy tamoyillaridan biri, unga ko'ra, agar mexanik tizimning nuqtalariga ta'sir qiluvchi kuchlarga va o'rnatilgan bog'lanishlarning reaktsiyalariga inersiya kuchlari qo'shilsa, u holda kuchlarning muvozanatli tizimi paydo bo'ladi. olinadi.

Ushbu tamoyilga ko'ra, tizimning har bir i-nuqtasi uchun tenglik

bu nuqtaga ta'sir etuvchi faol kuch, nuqtaga o'rnatilgan bog'lanish reaktsiyasi, nuqta massasi va uning tezlanishining ko'paytmasiga son jihatdan teng bo'lgan va bu tezlanishga teskari yo'naltirilgan inersiya kuchi ().

Darhaqiqat, biz Nyutonning ikkinchi qonunida () ma atamasini o'ngdan chapga o'tkazish haqida gapiramiz () har bir ko'rib chiqilayotgan moddiy nuqtalar uchun alohida bajariladi va bu atama d'Alembert inertsiya kuchi tomonidan tanqid qilinadi.

D'Alembert printsipi dinamika muammolarini echishda statikaning oddiy usullarini qo'llash imkonini beradi, shuning uchun u muhandislik amaliyotida keng qo'llaniladi. kinetostatik usul. Ayniqsa, davom etayotgan harakat qonuni ma'lum bo'lgan yoki tegishli tenglamalar yechimidan topilgan hollarda cheklovlarning reaktsiyalarini aniqlash uchun foydalanish qulay.

Mexanikadagi eng muhim tushunchalardan biri ish kuchi .

Majburiy ish

Hammasi jismoniy jismlar atrofimizdagi dunyoda kuch bilan harakatga keltiriladi. Agar bir xil yoki qarama-qarshi yo'nalishda harakatlanayotgan jismga bir yoki bir nechta jismlarning kuch yoki bir nechta kuchlari ta'sir qilsa, ular shunday deyishadi. ish bajariladi .

Ya'ni, mexanik ish tanaga ta'sir qiluvchi kuch tomonidan amalga oshiriladi. Shunday qilib, elektrovozning tortish kuchi butun poezdni harakatga keltiradi va shu bilan hosil qiladi mexanik ish. Velosiped velosipedchining oyoqlari mushaklarining kuchi bilan harakatlanadi. Shuning uchun bu kuch mexanik ishlarni ham bajaradi.

Fizikada kuch ishi chaqirdi jismoniy miqdor, kuch moduli, kuch qo'llash nuqtasining siljish moduli va kuch va siljish vektorlari orasidagi burchakning kosinusiga teng.

A = F s cos (F, s) ,

qayerda F kuch moduli,

s- harakat moduli .

Kuch va siljish shamollari orasidagi burchak nolga teng bo'lmasa, ish har doim bajariladi. Agar kuch harakat yo'nalishiga teskari yo'nalishda harakat qilsa, ish miqdori manfiy bo'ladi.

Agar tanaga hech qanday kuch ta'sir qilmasa yoki qo'llaniladigan kuch va harakat yo'nalishi o'rtasidagi burchak 90 o (cos 90 o \u003d 0) bo'lsa, ish bajarilmaydi.

Agar ot aravani tortsa, bu ishni otning mushak kuchi yoki arava yo‘nalishiga yo‘naltirilgan tortish kuchi bajaradi. Va haydovchi aravaga bosadigan tortishish kuchi hech qanday ishlamaydi, chunki u harakat yo'nalishiga perpendikulyar pastga yo'naltirilgan.

Kuchning ishi skalyar kattalikdir.

SI ish birligi - joule. 1 joul - 1 nyuton kuchning 1 m masofada bajargan ishi, agar kuch va siljish yo'nalishi bir xil bo'lsa.

Agar tanaga yoki moddiy nuqtaga bir nechta kuchlar ta'sir etsa, ular natijaviy kuch tomonidan bajarilgan ish haqida gapiradilar.

Agar qo'llaniladigan kuch doimiy bo'lmasa, uning ishi integral sifatida hisoblanadi:

Quvvat

Tanani harakatga keltiruvchi kuch mexanik ishni bajaradi. Ammo bu ish qanday tez yoki sekin amalga oshirilganligi, ba'zan amalda bilish juda muhimdir. Xuddi shu ishni ichida bajarish mumkin boshqa vaqt. Katta elektr motor bajaradigan ishni kichik dvigatel bajarishi mumkin. Ammo buning uchun unga ancha ko'proq vaqt kerak bo'ladi.

Mexanikada ish tezligini tavsiflovchi miqdor mavjud. Bu qiymat deyiladi kuch.

Quvvat - ma'lum bir vaqt ichida bajarilgan ishning ushbu davr qiymatiga nisbati.

N= A /∆ t

Ta'rifi bo'yicha A = F s cos α , a s/∆ t = v , Binobarin

N= F v cos α = F v ,

qayerda F - kuch, v tezlik, α - kuch yo'nalishi va tezlik yo'nalishi orasidagi burchak.

Ya'ni kuch - kuch vektori va jismning tezlik vektorining skalyar mahsulotidir.

DA xalqaro tizim SI quvvati vattlarda (Vt) o'lchanadi.

1 vatt quvvati 1 soniyada (s) bajarilgan 1 joule (J) ning ishi.

Quvvatni ishni bajaradigan kuchni yoki bu ishning tezligini oshirish orqali oshirish mumkin.