Yo'qotmang. Obuna bo'ling va elektron pochtangizdagi maqolaga havolani oling.

Har kuni ishda yoki o'qishda raqamlar va raqamlar bilan o'zaro aloqada bo'lganimizda, ko'pchiligimiz juda qiziqarli qonun borligiga shubha qilmaymiz. katta raqamlar masalan, statistika, iqtisod va hatto psixologik va pedagogik tadqiqotlarda foydalaniladi. Bu ehtimollik nazariyasiga ishora qiladi va qat'iy taqsimotdan har qanday katta namunaning arifmetik o'rtacha qiymati ushbu taqsimotning matematik taxminiga yaqin ekanligini aytadi.

Ehtimol, bu qonunning mohiyatini tushunish oson emasligini, ayniqsa, matematikaga unchalik yaxshi munosabatda bo'lmaganlar uchun tushungandirsiz. Shunga asoslanib, biz bu haqda gaplashmoqchimiz oddiy til(Iloji boricha, albatta), har kim hech bo'lmaganda o'zi uchun uning nima ekanligini tushunishi uchun. Ushbu bilim sizga ba'zi matematik naqshlarni yaxshiroq tushunishga, bilimdon bo'lishga va ijobiy ta'sir o'tkazishga yordam beradi.

Katta sonlar qonuni tushunchalari va uning talqini

Ehtimollar nazariyasida katta sonlar qonunining yuqoridagi ta’rifiga qo‘shimcha ravishda uning iqtisodiy talqinini ham berishimiz mumkin. Bunday holda, ma'lum bir turdagi moliyaviy yo'qotishlarning chastotasini yuqori darajadagi aniqlik bilan bashorat qilish printsipi mavjud. yuqori daraja umuman bunday turdagi yo'qotishlar.

Bundan tashqari, xususiyatlarning yaqinlashish darajasiga qarab, biz katta sonlarning zaif va mustahkamlangan qonunlarini farqlashimiz mumkin. Zaiflar haqida gaplashamiz, yaqinlashish ehtimollikda mavjud bo'lganda va kuchaytirilganda - yaqinlashuv deyarli hamma narsada mavjud bo'lganda.

Agar biz buni biroz boshqacha talqin qilsak, shuni aytishimiz kerak: har doim shunday cheklangan miqdordagi sinovlarni topish mumkin, bu erda oldindan dasturlashtirilgan har qanday ehtimol birdan kam bo'lsa, ba'zi bir hodisaning nisbiy chastotasi sodir bo'lishining nisbiy chastotasi bilan juda kam farq qiladi. uning ehtimoli.

Demak, katta sonlar qonunining umumiy mohiyatini quyidagicha ifodalash mumkin: ko`p sonli bir xil va mustaqil tasodifiy omillarning kompleks ta`siri natijasi tasodifga bog`liq bo`lmagan shunday natija bo`ladi. Va bundan ham soddaroq tilda gapiradigan bo'lsak, katta sonlar qonunida, ommaviy hodisalarning miqdoriy qonunlari faqat ularning soni ko'p bo'lganda o'zini aniq namoyon qiladi (shuning uchun katta sonlar qonuni qonun deb ataladi).

Bundan xulosa qilishimiz mumkinki, qonunning mohiyati shundan iboratki, ommaviy kuzatish natijasida olingan raqamlarda oz miqdordagi faktlarda aniqlab bo'lmaydigan qandaydir to'g'rilik mavjud.

Katta sonlar qonunining mohiyati va unga misollar

Katta sonlar qonuni tasodifiy va zaruriyatning eng umumiy qonuniyatlarini ifodalaydi. Tasodifiy og'ishlar bir-birini "o'chirganda" bir xil tuzilma uchun aniqlangan o'rtacha ko'rsatkichlar tipik ko'rinishga ega bo'ladi. Ular muhim va doimiy faktlarning muayyan vaqt va makon sharoitlarida ishlashini aks ettiradi.

Katta sonlar qonuni bilan belgilangan qonuniyatlar ommaviy tendentsiyalarni ifodalagandagina kuchli bo'ladi va ular alohida holatlar uchun qonun bo'la olmaydi. Shunday qilib, printsip matematik statistika, unda bir qator tasodifiy omillarning murakkab harakati tasodifiy bo'lmagan natijaga olib kelishi mumkinligini aytadi. Va bu printsipning ishlashining eng yorqin misoli - bu tasodifiy hodisaning paydo bo'lish chastotasi va sinovlar soni ko'payganida uning ehtimoli yaqinlashishi.

Keling, odatiy tanga tashlashni eslaylik. Nazariy jihatdan, boshlar va quyruqlar bir xil ehtimollik bilan tushishi mumkin. Bu shuni anglatadiki, agar, masalan, tanga 10 marta tashlangan bo'lsa, ulardan 5 tasi yuqoriga, 5 tasi esa yuqoriga chiqishi kerak. Ammo hamma biladiki, bu deyarli hech qachon sodir bo'lmaydi, chunki bosh va quyruq chastotasining nisbati 4 dan 6 gacha, 9 dan 1 gacha, 2 dan 8 gacha va hokazo bo'lishi mumkin. Biroq, tanga otish sonining ko'payishi bilan, masalan, 100 tagacha, boshlar yoki dumlar tushishi ehtimoli 50% ga etadi. Agar nazariy jihatdan cheksiz miqdordagi bunday tajribalar o'tkazilsa, tanganing ikkala tomoniga tushishi ehtimoli har doim 50% ni tashkil qiladi.

Tanga qanday tushishiga juda ko'p tasodifiy omillar ta'sir qiladi. Bu tanganing kaftdagi holati va uloqtirish kuchi, yiqilish balandligi, tezligi va boshqalar. Ammo ko'plab tajribalar mavjud bo'lsa, omillar qanday ta'sir qilishidan qat'i nazar, har doim amaliy ehtimollik nazariy ehtimolga yaqin ekanligini ta'kidlash mumkin.

Va bu erda katta sonlar qonunining mohiyatini tushunishga yordam beradigan yana bir misol: biz ma'lum bir mintaqadagi odamlarning daromad darajasini baholashimiz kerak deylik. Agar 9 kishi 20 ming rubl, 1 kishi esa 500 ming rubl oladigan 10 ta kuzatuvni ko'rib chiqsak, arifmetik o'rtacha 68 ming rublni tashkil qiladi, bu, albatta, dargumon. Ammo 99 kishi 20 ming rubl va 1 kishi 500 ming rubl oladigan 100 ta kuzatuvni hisobga olsak, o'rtacha arifmetik qiymatni hisoblashda biz 24,8 ming rublni olamiz, bu allaqachon ishlarning haqiqiy holatiga yaqinroqdir. Kuzatishlar sonini ko'paytirish orqali biz o'rtacha qiymatni haqiqiy qiymatga moyil qilishga majbur qilamiz.

Aynan shuning uchun ham katta sonlar qonunini qo'llash uchun birinchi navbatda statistik materiallarni to'plash va o'rganish orqali to'g'ri natijalarga erishish kerak. katta raqam kuzatishlar. Shuning uchun ham bu qonundan yana statistikada yoki ijtimoiy iqtisodda foydalanish qulay.

Xulosa qilish

Ishlaydigan katta sonlar qonunining ahamiyatini hech qanday sohada ortiqcha baholab bo'lmaydi. ilmiy bilim, va ayniqsa uchun ilmiy ishlanmalar statistika nazariyasi va statistik bilimlar usullari sohasida. Qonunning harakati o'z ommaviy qonuniyatlari bilan o'rganilayotgan ob'ektlar uchun ham katta ahamiyatga ega. Statistik kuzatishning deyarli barcha usullari katta sonlar qonuni va matematik statistika tamoyiliga asoslanadi.

Ammo, fan va statistikani hisobga olmagan holda ham, biz ishonch bilan xulosa qilishimiz mumkinki, katta sonlar qonuni shunchaki ehtimollar nazariyasi sohasidagi hodisa emas, balki hayotimizda deyarli har kuni duch keladigan hodisadir.

Umid qilamizki, endi katta sonlar qonunining mohiyati siz uchun yanada oydinlashdi va siz buni boshqa birovga oson va sodda tushuntirib bera olasiz. Va agar matematika va ehtimollar nazariyasi mavzusi siz uchun printsipial jihatdan qiziq bo'lsa, biz va haqida o'qishni tavsiya qilamiz. Shuningdek, va bilan tanishing. Va, albatta, biznikiga e'tibor bering, chunki undan o'tganingizdan so'ng siz nafaqat yangi fikrlash usullarini o'zlashtirasiz, balki umuman kognitiv qobiliyatingizni, shu jumladan matematikani ham yaxshilaysiz.

KATTA RAQAMLAR QONUNI

umumiy printsip bo'lib, uning yordamida tasodifiy omillarning kombinatsiyasi ma'lum umumiy sharoitlarda tasodifdan deyarli mustaqil natijaga olib keladi. Tasodifiy hodisaning paydo bo'lish chastotasining sinovlar sonining ko'payishi bilan ehtimoli bilan yaqinlashishi (birinchi navbatda, qimor o'yinlarida qayd etilgan) ushbu printsipning ishlashining birinchi misoli bo'lishi mumkin.

17-18-asrlar oxirida. J. Bernulli mustaqil sinovlar ketma-ketligida, ularning har birida ma'lum bir A hodisaning sodir bo'lishi bir xil qiymatga ega bo'lgan munosabat to'g'ri ekanligini ko'rsatadigan teoremani isbotladi:

har qanday uchun - birinchi sinovlarda hodisaning sodir bo'lish soni, - sodir bo'lish chastotasi. Bu Bernulli teoremasi S. Puasson tomonidan A hodisasining yuzaga kelish ehtimoli sud soniga bog'liq bo'lishi mumkin bo'lgan mustaqil sud jarayonlari ketma-ketligi holatiga kengaytirildi. k. sinov uchun bu ehtimol teng bo'lsin va ruxsat bering

Keyin Puasson teoremasi Buni bildiradi

har qanday uchun Ushbu teoremaning birinchi qat'iyligi P.L.Chebishev (1846) tomonidan berilgan bo'lib, uning usuli Puasson usulidan butunlay farq qiladi va ma'lum ekstremal mulohazalarga asoslanadi; S. Puasson Gauss qonunidan foydalanishga asoslangan va o'sha paytda hali ham qat'iy tasdiqlanmagan ko'rsatilgan ehtimollik uchun taxminiy formuladan (2) olingan. S.Puason birinchi marta «katta sonlar qonuni» atamasini ham uchratgan, uni Bernulli teoremasini umumlashtirish deb atagan.

Agar shuni ta'kidlasak, Bernulli va Puasson teoremalarini tabiiy ravishda umumlashtirish yuzaga keladi tasodifiy o'zgaruvchilar summa sifatida ifodalanishi mumkin

mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar, bu erda A paydo bo'lsa A-m testi, va - aks holda. Shu bilan birga, matematik kutish (matematik kutishlarning o'rtacha arifmetik qiymatiga to'g'ri keladi) Bernulli ishi va Puasson ishi uchun p ga teng. Boshqacha qilib aytganda, ikkala holatda ham o'rtacha arifmetikning og'ishi hisobga olinadi X k ularning matematik o'rtacha arifmetik dan. umidlar.

P. L. Chebyshevning "O'rtacha qiymatlar bo'yicha" (1867) asarida mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar uchun munosabatlar aniqlangan.

(har qanday ) juda umumiy taxminlar ostida to'g'ri. P. L. Chebyshev matematika deb faraz qilgan. Kutishlar hammasi bir xil konstanta bilan chegaralanadi, garchi uning isbotidan dispersiyalarni chegaralanishini talab qilish kifoya ekani ayon bo‘ladi.

yoki hatto talablar

Shunday qilib, P. L. Chebyshev Bernulli teoremasini keng umumlashtirish imkoniyatini ko'rsatdi. A. A. Markov keyingi umumlashtirish imkoniyatini qayd etdi va B. h nomidan foydalanishni taklif qildi. Bernulli teoremasini umumlashtirishning butun majmuasiga [va, xususan, (3) ga]. Chebyshev usuli matematikaning umumiy xususiyatlarini aniq belgilashga asoslangan. taxminlar va deb atalmish foydalanish bo'yicha. Chebyshev tengsizliklari[ehtimollik uchun (3) u shaklning taxminini beradi

bu chegarani aniqroq chegara bilan almashtirish mumkin, albatta, yanada muhim cheklovlar bilan, rasmga qarang. Bernshteyn tengsizligi]. B.ning turli shakllarining keyingi dalillari h. ma'lum darajada ular Chebishev usulining rivojlanishidir. Tasodifiy o'zgaruvchilarning tegishli "kamaytirish" ni qo'llash (ularni yordamchi o'zgaruvchilar bilan almashtirish, ya'ni: , agar ba'zi konstantalar qaerda bo'lsa), A. A. Markov B. ch.ni kengaytirdi. atamalarning farqlari mavjud bo'lmagan holatlar uchun. Masalan, u (3) ba'zi konstantalar uchun if ga ega ekanligini ko'rsatdi va hamma va

Katta va xilma-xil materialda topilgan tasodifiy hodisalarning paydo bo'lish chastotalarini barqarorlashtirish fenomeni dastlab hech qanday asosga ega emas edi va faqat empirik fakt sifatida qabul qilindi. Bu sohadagi birinchi nazariy natija 1713 yilda nashr etilgan mashhur Bernulli teoremasi bo'lib, u katta sonlar qonunlariga asos solgan.

Bernulli teoremasi o'z mazmunida chegara teoremasi, ya'ni ko'p kuzatuvlar bilan ehtimollik parametrlari bilan nima sodir bo'lishini aytadigan asimptotik ma'no bayonotidir. Ushbu turdagi barcha zamonaviy ko'plab bayonotlarning asoschisi aynan Bernulli teoremasidir.

Bugungi kunda katta sonlarning matematik qonuni ba'zilarning aksi bo'lib tuyuladi umumiy mulk ko'plab haqiqiy jarayonlar.

Ushbu qonunni qo'llashning tugallanmagan potentsial imkoniyatlariga mos keladigan katta sonlar qonunini iloji boricha ko'proq qamrab olishni xohlab, asrimizning eng buyuk matematiklaridan biri A. N. Kolmogorov uning mohiyatini quyidagicha ifodalagan: katta sonlar qonuni. Bu "umumiy printsip bo'lib, unga ko'ra ko'p sonli tasodifiy omillarning ta'siri tasodifdan deyarli mustaqil natijaga olib keladi.

Shunday qilib, katta sonlar qonuni, go'yo ikki talqinga ega. Ulardan biri matematik bo'lib, muayyan matematik modellar, formulalar, nazariyalar bilan bog'liq, ikkinchisi esa umumiyroq bo'lib, bu doiradan tashqariga chiqadi. Ikkinchi talqin tashqi ko'rinishda bunday uzluksizlikka ega bo'lmagan ko'p sonli yashirin yoki ko'rinadigan ta'sir qiluvchi omillar fonida turli darajadagi yo'naltirilgan ta'sirda ko'pincha amaliyotda qayd etiladigan shakllanish hodisasi bilan bog'liq. Ikkinchi talqin bilan bog'liq misollar - erkin bozorda narx belgilash, muayyan masala bo'yicha jamoatchilik fikrini shakllantirish.

Katta sonlar qonunining bunday umumiy talqinini qayd etib, keling, ushbu qonunning maxsus matematik formulalariga murojaat qilaylik.

Yuqorida aytib o'tganimizdek, ehtimollik nazariyasi uchun birinchi va eng muhimi Bernulli teoremasidir. Atrofdagi dunyoning eng muhim qonuniyatlaridan birini aks ettiruvchi ushbu matematik faktning mazmuni quyidagilarga qisqartiriladi.

Bir-biriga bog'liq bo'lmagan (ya'ni, mustaqil) testlar ketma-ketligini ko'rib chiqing, ularning shartlari har doim sinovdan sinovgacha takrorlanadi. Har bir test natijasi bizni qiziqtirgan hodisaning ko'rinishi yoki ko'rinmasligidir. LEKIN.

Эту процедуру (схему Бернулли), очевидно, можно признать типичной для многих практических областей: «мальчик - девочка» в последовательности новорожденных, ежедневные метеорологические наблюдения («был дождь - не был»), контроль потока выпускаемых изделий («нормальное - дефектное») va hokazo.

Voqea sodir bo'lish chastotasi LEKIN da P sinovlar ( t A -

hodisalar chastotasi LEKIN ichida P testlar) o'sish bilan ega P uning qiymatini barqarorlashtirish tendentsiyasi, bu empirik haqiqatdir.

Bernulli teoremasi. Har qanday ixtiyoriy kichik musbat sonni tanlaymiz e. Keyin

Biz ta'kidlaymizki, matematik fakt Bernulli tomonidan aniqlangan matematik model(Bernulli sxemasida) chastota barqarorligining empirik tarzda o'rnatilgan muntazamligi bilan aralashmaslik kerak. Bernoulli faqat (9.1) formulaning bayonoti bilan kifoyalanmadi, balki amaliyot ehtiyojlarini hisobga olgan holda, u ushbu formulada mavjud bo'lgan tengsizlikni baholadi. Quyida ushbu talqinga qaytamiz.

Bernullining katta sonlar qonuni uni takomillashtirishga intilayotgan ko‘plab matematiklarning tadqiqot mavzusi bo‘ldi. Ana shunday takomillashtirishlardan biri ingliz matematigi Moivr tomonidan olingan va hozirda Moivr-Laplas teoremasi deb ataladi. Bernulli sxemasida normallashtirilgan miqdorlar ketma-ketligini ko'rib chiqing:

Moivr - Laplasning integral teoremasi. Istalgan ikkita raqamni tanlang X ( va x 2. Bu holda, x, x 7, keyin qachon P -» °°

Agar (9.3) formulaning o'ng tomonida o'zgaruvchi bo'lsa x x cheksizlikka moyil bo'lsa, u holda faqat x 2 ga bog'liq bo'lgan natija chegarasi (bu holda 2 indeksini olib tashlash mumkin) taqsimlash funktsiyasi bo'ladi, u deyiladi. standart normal taqsimot, yoki Gauss qonuni.

(9.3) formulaning o'ng tomoni y = ga teng F(x 2) - F(x x). F(x2)-> 1 da x 2-> °° va F(x,) -> x uchun 0, -> Yetarlicha kattalikni tanlab

X] > 0 va mutlaq qiymatda yetarlicha katta X] n tengsizlikni olamiz:

Formula (9.2) ni hisobga olgan holda biz amalda ishonchli baholarni olishimiz mumkin:

Agar y = 0,95 ning ishonchliligi (ya'ni, xatolik ehtimoli 0,05) kimdir uchun etarli bo'lmasa, siz uni xavfsiz o'ynashingiz va yuqorida aytib o'tilgan uchta sigma qoidasidan foydalanib, biroz kengroq ishonch oralig'ini yaratishingiz mumkin:

Bu interval juda yuqori ishonch darajasiga to'g'ri keladi y = 0,997 (jadvallarga qarang). normal taqsimot).

Tanga tashlash misolini ko'rib chiqing. Keling, tanga tashlaymiz n = 100 marta. Chastotasi shunday bo'lishi mumkinmi? R ehtimoldan juda farq qiladi R= 0,5 (tanganing simmetriyasini hisobga olgan holda), masalan, u nolga teng bo'ladimi? Buning uchun gerb bir marta ham tushmasligi kerak. Bunday hodisa nazariy jihatdan mumkin, ammo biz bunday ehtimolliklarni allaqachon hisoblab chiqdik, bu hodisa uchun u teng bo'ladi Bu qiymat

juda kichik, uning tartibi 30 kasrdan iborat raqam. Bunday ehtimolga ega bo'lgan hodisani deyarli imkonsiz deb hisoblash mumkin. Ko'p sonli tajribalar bilan chastotaning ehtimollikdan qanday og'ishlari amalda mumkin? Moivr-Laplas teoremasidan foydalanib, biz bu savolga quyidagicha javob beramiz: ehtimollik bilan da= 0,95 gerb chastotasi R ishonch oralig'iga mos keladi:

Agar 0,05 xato kichik bo'lmasa, tajribalar sonini ko'paytirish kerak (tanga tashlash). O'sish bilan P ishonch oralig'ining kengligi pasayadi (afsuski, biz xohlagancha tez emas, lekin teskari proportsional). -Jn). Masalan, qachon P= 10 000 biz buni olamiz R ishonch ehtimoli bilan ishonch oralig'ida yotadi da= 0,95: 0,5 ± 0,01.

Shunday qilib, biz chastotani ehtimollikka yaqinlashtirish masalasini miqdoriy jihatdan ko'rib chiqdik.

Endi uning chastotasidan hodisaning ehtimolini topamiz va bu yaqinlashishning xatosini baholaymiz.

Keling, ko'p sonli tajribalar qilaylik P(tanga tashladi), hodisaning chastotasini topdi LEKIN va uning ehtimolini baholamoqchi R.

Katta sonlar qonunidan P quyidagicha:

Keling, (9.7) taxminiy tenglikning amalda mumkin bo'lgan xatosini baholaylik. Buning uchun (9.5) tengsizlikdan quyidagi shaklda foydalanamiz:

Topish uchun R yoqilgan R(9.8) tengsizlikni yechish kerak, buning uchun uni kvadratga solish va mos keladiganini yechish kerak kvadrat tenglama. Natijada biz quyidagilarni olamiz:

qayerda

Taxminan taxmin qilish uchun R yoqilgan R(9.8) formulada bo'lishi mumkin. R o'ngda, bilan almashtiring R yoki (9.10), (9.11) formulalarda hisobga olinadi

Keyin biz olamiz:

Ichkariga ruxsat bering P= 400 ta tajriba chastota qiymatini oldi R= 0,25, keyin ishonch darajasida y = 0,95 topamiz:

Ammo, masalan, 0,01 dan ko'p bo'lmagan xato bilan, ehtimollikni aniqroq bilishimiz kerak bo'lsa-chi? Buning uchun tajribalar sonini ko'paytirish kerak.

(9.12) formulada ehtimolni qabul qilib R= 0.25, biz xato qiymatini tenglashtiramiz berilgan qiymat 0,01 va tenglamani oling P:

Ushbu tenglamani yechib, biz olamiz n~ 7500.

Keling, yana bir savolni ko'rib chiqaylik: tajribalarda olingan chastotaning ehtimollikdan og'ishini tasodifiy sabablar bilan izohlash mumkinmi yoki bu og'ish ehtimollik biz taxmin qilgandek emasligini ko'rsatadimi? Boshqacha qilib aytganda, tajriba qabul qilinganini tasdiqlaydi statistik gipoteza yoki aksincha, uni rad etishni talab qiladimi?

Misol uchun, tanga tashlaylik P= 800 marta, biz tepalik chastotasini olamiz R= 0,52. Biz tanga nosimmetrik emasligiga shubha qildik. Bu shubha asoslimi? Bu savolga javob berish uchun biz tanga nosimmetrik degan taxmindan kelib chiqamiz (p = 0,5). Ishonch oralig'ini topamiz (ishonch ehtimolligi bilan da= 0,95) gerbning paydo bo'lish chastotasi uchun. Agar tajribada olingan qiymat R= 0,52 bu intervalga to'g'ri keladi - hamma narsa normal, tanganing simmetriyasi haqidagi qabul qilingan faraz eksperimental ma'lumotlarga zid emas. Formula (9.12) uchun R= 0,5 0,5 ± 0,035 oralig'ini beradi; olingan qiymat p = 0,52 ushbu intervalga to'g'ri keladi, ya'ni tanga assimetriyaga shubhalarni "tozalash" kerak bo'ladi.

Tasodifiy hodisalarda kuzatilgan matematik kutishdan turli xil og'ishlar tasodifiy yoki "muhim" ekanligini aniqlash uchun shunga o'xshash usullardan foydalaniladi. Misol uchun, qadoqlangan tovarlarning bir nechta namunalarida tasodifiy kam vazn bormi yoki bu xaridorlarni muntazam ravishda aldashdan dalolat beradimi? Qabul qilingan bemorlarda tiklanish foizi tasodifan oshdi yangi dori, yoki bu preparatning ta'siri bilan bog'liqmi?

Oddiy qonun ehtimollar nazariyasi va uning amaliy qo'llanilishida ayniqsa muhim rol o'ynaydi. Yuqorida biz tasodifiy o'zgaruvchi - Bernulli sxemasida qandaydir hodisaning sodir bo'lish soni - qachon ekanligini ko'rdik. P-» °° normal qonunga tushadi. Biroq, ancha umumiy natija bor.

Markaziy chegara teoremasi. Tarqalish tartibi bo'yicha bir-biri bilan taqqoslanadigan ko'p sonli mustaqil (yoki zaif bog'liq) tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisi atamalarning taqsimlanish qonunlari qanday bo'lishidan qat'i nazar, normal qonun bo'yicha taqsimlanadi. Yuqoridagi bayonot markaziy chegara nazariyasining qo'pol sifatli formulasidir. Bu teorema bir-biridan tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisi hadlar sonining ko'payishi bilan "normallashishi" uchun qondirishi kerak bo'lgan sharoitlarda farq qiluvchi ko'plab shakllarga ega.

Oddiy taqsimotning zichligi Dx) formula bilan ifodalanadi:

qayerda a - kutilgan qiymat tasodifiy o'zgaruvchi X s= V7) - uning standart og'ishi.

X ning (x 1? x 2) oralig'iga tushish ehtimolini hisoblash uchun integraldan foydalaniladi:

Zichlikdagi (9.14) integralni (9.13) quyidagicha ifodalab bo‘lmaydi. elementar funktsiyalar("olinmagan"), keyin (9.14) hisoblash uchun ular standart normal taqsimotning integral taqsimot funksiyasi jadvallaridan foydalanadilar, qachonki a = 0, a = 1 (bunday jadvallar ehtimollar nazariyasi bo'yicha har qanday darslikda mavjud):

(10.15) tenglama yordamida (9.14) ehtimollik quyidagi formula bilan ifodalanadi:

Misol. Tasodifiy o'zgaruvchining bo'lish ehtimolini toping x, parametrlari bilan normal taqsimotga ega bo'lish a, a, uning matematik kutish modulidan 3a dan oshmaydi.

(9.16) formuladan va normal qonunning taqsimot funksiyasi jadvalidan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

Misol. 700 ta mustaqil tajribaning har birida bir voqea LEKIN doimiy ehtimollik bilan sodir bo'ladi R= 0,35. Voqea sodir bo'lish ehtimolini toping LEKIN sodir bo'ladi:

• 1) aniq 270 marta;
• 2) 270 dan kam va 230 martadan ortiq;
• 3) 270 martadan ortiq.

Matematik taxminni topish a = va boshqalar va standart og'ish:

tasodifiy o'zgaruvchi - hodisaning sodir bo'lish soni LEKIN:

Markazlashtirilgan va normallashtirilgan qiymatni topish X:

Oddiy taqsimotning zichlik jadvallariga ko'ra, biz topamiz f(x):

Keling, hozir topamiz R w (x,> 270) = P 700 (270 F(1,98) == 1 - 0,97615 = 0,02385.

Katta sonlar muammolarini o'rganishda jiddiy qadam 1867 yilda P. L. Chebyshev tomonidan qo'yilgan. U mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilardan matematik taxminlar va dispersiyalarning mavjudligidan tashqari hech narsa talab qilinmaydigan juda umumiy holatni ko'rib chiqdi.

Chebishev tengsizligi. Ixtiyoriy kichik musbat son e uchun quyidagi tengsizlik bajariladi:

Chebishev teoremasi. Agar a x x, x 2, ..., x n - juftlik mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar, ularning har biri matematik kutishga ega E(Xj) = ci va dispersiya D(x,) =) va dispersiyalar bir xil chegaralangan, ya'ni. 1,2 ..., keyin o'zboshimchalik bilan kichik musbat son uchun e munosabat bajariladi:

Natija. Agar a a,= aio, -o 2 , ya'ni= 1,2 ..., keyin

Vazifa. Hech bo'lmaganda ehtimollik bilan tangani necha marta tashlash kerak y - 0,997 bo'lsa, gerbning chastotasi (0,499; 0,501) oraliqda bo'lishini bahslash mumkinmi?

Aytaylik, tanga nosimmetrik, p - q - 0,5. Biz (9.19) formuladagi Chebishev teoremasini tasodifiy miqdorga qo'llaymiz X- gerbning paydo bo'lish chastotasi P tanga tashlash. Biz buni yuqorida ko'rsatdik X = X x + X 2 + ... +X„, qayerda X t - gerb tushib ketgan taqdirda 1 qiymatini va dumlari tushib ketgan taqdirda 0 qiymatini oladigan tasodifiy o'zgaruvchi. Shunday qilib:

Ehtimollik belgisi ostida ko'rsatilgan hodisaga qarama-qarshi hodisa uchun tengsizlikni (9.19) yozamiz:

Bizning holatda, [e \u003d 0.001, cj 2 \u003d /? -p)] t - bu mamlakatdagi gerblar soni P otish. Bu miqdorlarni oxirgi tengsizlikka almashtirib, masalaning shartiga ko‘ra, tengsizlik qanoatlantirilishi kerakligini hisobga olib, biz quyidagilarni olamiz:

Berilgan misol tasodifiy o'zgaruvchilarning ma'lum og'ishlari ehtimolini baholash uchun Chebishev tengsizligidan foydalanish imkoniyatini ko'rsatadi (shuningdek, ushbu ehtimolliklarni hisoblash bilan bog'liq bo'lgan misol kabi masalalar). Chebishev tengsizligining afzalligi shundaki, u tasodifiy miqdorlarning taqsimlanish qonunlarini bilishni talab qilmaydi. Albatta, agar bunday qonun ma'lum bo'lsa, Chebyshevning tengsizligi juda qo'pol baho beradi.

Xuddi shu misolni ko'rib chiqing, ammo tanga tashlash Bernulli sxemasining alohida holati ekanligidan foydalaning. Muvaffaqiyatlar soni (misolda - gerblar soni) binomial qonunga bo'ysunadi va katta P bu qonunni Moivre - Laplas integral teoremasi bilan matematik kutilgan normal qonun sifatida ifodalash mumkin. a = pr = n? 0,5 va standart og'ish bilan a = yfnpq- 25=0,5l/l. Tasodifiy o'zgaruvchi - gerb chastotasi - matematik kutish = 0,5 va standart og'ish

Keyin bizda:

Oxirgi tengsizlikdan biz quyidagilarni olamiz:

Oddiy taqsimot jadvallaridan biz quyidagilarni topamiz:

Ko'ramizki, oddiy yaqinlashish gerb ehtimolini baholashda berilgan xatolikni ta'minlaydigan tangalar sonini beradi, bu Chebishev tengsizligi yordamida olingan bahodan 37 baravar kichikdir (lekin Chebyshev tengsizligi buni amalga oshirishga imkon beradi. o'rganilayotgan tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonuni to'g'risida ma'lumotga ega bo'lmagan taqdirda ham shunga o'xshash hisoblar).

Endi (9.16) formula yordamida yechilgan amaliy masalani ko'rib chiqamiz.

Raqobat muammosi. Ikki raqobatchi temir yo'l kompaniyasining har birida Moskva va Sankt-Peterburg o'rtasida bittadan poyezd bor. Ushbu poezdlar taxminan bir xil tarzda jihozlangan, ular ham taxminan bir vaqtning o'zida jo'naydi va keladi. Keling, shunday da'vo qilaylik P= 1000 yo'lovchi mustaqil ravishda va tasodifiy ravishda o'zlari uchun poezdni tanlaydilar, shuning uchun yo'lovchilar tomonidan poezdni tanlashning matematik modeli sifatida biz Bernulli sxemasidan foydalanamiz. P sinovlar va muvaffaqiyat imkoniyatlari R= 0,5. Kompaniya bir-biriga qarama-qarshi bo'lgan ikkita shartni hisobga olgan holda poezdda qancha o'rindiq berish kerakligini hal qilishi kerak: bir tomondan, ular bo'sh o'rindiqlarga ega bo'lishni xohlamaydilar, boshqa tomondan, ular norozi ko'rinishni xohlamaydilar. o'rindiqlarning etishmasligi (keyingi safar ular raqobatdosh firmalarni afzal ko'radilar). Albatta, siz poezdda ta'minlay olasiz P= 1000 o'rindiq, lekin keyin albatta bo'sh o'rindiqlar bo'ladi. Tasodifiy o'zgaruvchi - poezddagi yo'lovchilar soni - De Moivre integral nazariyasidan foydalangan holda qabul qilingan matematik model doirasida - Laplas matematik kutish bilan normal qonunga bo'ysunadi. a = pr = n/2 va dispersiya a 2 = npq = p/4 ketma-ket. Poezdning ko'proq kelishi ehtimoli s yo'lovchilar nisbati bilan belgilanadi:

Xavf darajasini belgilang a dan ko'p bo'lish ehtimoli, ya'ni s yo'lovchilar:

Bu yerdan:

Agar a a- normal qonunning taqsimot funksiyasi jadvallarida topilgan oxirgi tenglamaning xavf ildizini olamiz:

Agar, masalan, P = 1000, a= 0,01 (bu xavf darajasi joylarning sonini bildiradi s 100 tadan 99 ta holatda etarli bo'ladi), keyin x a ~ 2.33 va s= 537 o'rin. Bundan tashqari, agar ikkala kompaniya ham bir xil xavf darajasini qabul qilsa a= 0,01, keyin ikkita poyezd jami 1074 o'ringa ega bo'ladi, ulardan 74 tasi bo'sh bo'ladi. Xuddi shunday, 514 o'rin barcha holatlarning 80 foizida va 1000 holatdan 999 tasida 549 o'rin etarli bo'lishini hisoblash mumkin.

Xuddi shunday mulohazalar boshqa raqobatbardosh xizmatlar muammolariga ham tegishli. Masalan, agar t kinoteatrlar ham xuddi shunday kurashmoqda P tomoshabinlar, buni qabul qilish kerak R= -. olamiz

bu o'rindiqlar soni s kinoda nisbati bilan aniqlanishi kerak:

Bo'sh o'rindiqlarning umumiy soni quyidagilarga teng:

Uchun a = 0,01, P= 1000 va t= 2, 3, 4, bu raqamning qiymatlari mos ravishda taxminan 74, 126, 147 ga teng.

Keling, yana bir misolni ko'rib chiqaylik. Poezd bo'lsin P - 100 vagon. Har bir vagonning og'irligi matematik taxmin bilan tasodifiy o'zgaruvchidir a - 65 t va o'rtacha kvadrat kutish o = 9 t.Lokomotiv poezdni og'irligi 6600 t dan oshmasa; aks holda, siz ikkinchi lokomotivni ulashingiz kerak. Buning kerak bo'lmasligi ehtimolini topishimiz kerak.

individual vagonlarning og'irligi: bir xil matematik kutishga ega a - 65 va bir xil farq d- o 2 \u003d 81. Matematik taxminlar qoidasiga ko'ra: E(x) - 100 * 65 = 6500. Dispersiyalarni qo'shish qoidasiga ko'ra: D(x) \u003d 100 x 81 \u003d 8100. Ildizni olib, biz standart og'ishni topamiz. Bir lokomotiv poezdni tortib olishi uchun poezdning og'irligi bo'lishi kerak X cheklovchi bo'lib chiqdi, ya'ni interval (0; 6600) chegarasiga tushdi. X tasodifiy o'zgaruvchisi - 100 ta a'zolar yig'indisi - normal taqsimlangan deb hisoblash mumkin. (9.16) formula bo'yicha biz quyidagilarni olamiz:

Bundan kelib chiqadiki, lokomotiv taxminan 0,864 ehtimollik bilan poezdni "boshqarib oladi". Keling, poezddagi vagonlar sonini ikkiga kamaytiraylik, ya'ni olib ketamiz P= 98. Endi lokomotivning poezdni "boshqarish" ehtimolini hisoblab, biz 0,99 tartib qiymatini olamiz, ya'ni deyarli ma'lum bir hodisa, garchi buning uchun faqat ikkita vagonni olib tashlash kerak edi.

Shunday qilib, agar biz ko'p sonli tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisi bilan ishlayotgan bo'lsak, biz normal qonundan foydalanishimiz mumkin. Tabiiyki, bu savol tug'iladi: yig'indining taqsimlanish qonuni allaqachon "normallashtirilgan" bo'lishi uchun qancha tasodifiy o'zgaruvchilar qo'shilishi kerak? Bu atamalarni taqsimlash qonunlari qanday ekanligiga bog'liq. Shunday murakkab qonunlar mavjudki, normalizatsiya faqat juda ko'p sonli atamalar bilan sodir bo'ladi. Ammo bu qonunlar matematiklar tomonidan ixtiro qilingan, tabiat esa, qoida tariqasida, bunday muammolarni tartibga solmaydi. Odatda amalda oddiy qonundan foydalanish uchun besh-olti atama kifoya qiladi.

Bir xil taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisining taqsimlanish qonunini "normallashtirish" tezligini (0, 1) intervalda bir xil taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar misolida ko'rsatish mumkin. Bunday taqsimotning egri chizig'i to'rtburchaklar shakliga ega, bu allaqachon oddiy qonunga o'xshamaydi. Shulardan ikkitasini qo'shamiz mustaqil o'zgaruvchilar- biz Simpson qonuni bo'yicha taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchini olamiz, grafik tasvir u teng yonli uchburchakka o'xshaydi. Bu ham oddiy qonunga o'xshamaydi, lekin yaxshiroq. Va agar siz uchta bir xil taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilarni qo'shsangiz, oddiy egri chiziqqa juda o'xshash parabolalarning uchta segmentidan iborat egri chiziqni olasiz. Agar siz oltita shunday tasodifiy o'zgaruvchilarni qo'shsangiz, siz odatdagidan farq qilmaydigan egri chiziqni olasiz. Bu oddiy taqsimlangan tasodifiy miqdorni olishning keng tarqalgan usulining asosi bo'lib, barcha zamonaviy kompyuterlar bir xil taqsimlangan (0, 1) tasodifiy sonlarning sensorlari bilan jihozlangan.

Buni tekshirishning amaliy usullaridan biri sifatida quyidagi usul tavsiya etiladi. Biz darajali hodisaning chastotasi uchun ishonch oralig'ini quramiz da Uch sigma qoidasiga ko'ra = 0,997:

va agar uning ikkala uchi (0, 1) segmentdan tashqariga chiqmasa, u holda normal qonundan foydalanish mumkin. Agar ishonch oralig'ining chegaralaridan birortasi segmentdan tashqarida bo'lsa (0, 1), u holda normal qonundan foydalanish mumkin emas. Biroq, ma'lum sharoitlarda, ba'zi tasodifiy hodisaning chastotasi uchun binomial qonun, agar u normalga moyil bo'lmasa, boshqa qonunga moyil bo'lishi mumkin.

Ko'pgina ilovalarda Bernulli sxemasi tasodifiy tajribaning matematik modeli sifatida qo'llaniladi, unda sinovlar soni P ajoyib, tasodifiy hodisa juda kam, ya'ni. R = va boshqalar kichik emas, lekin katta emas (O -5 - 20 oralig'ida o'zgarib turadi). Bunday holda, quyidagi munosabatlar mavjud:

Formula (9.20) binomial qonun uchun Puasson yaqinlashuvi deb ataladi, chunki uning o'ng tomonidagi ehtimollik taqsimoti Puasson qonuni deb ataladi. Puasson taqsimoti nodir hodisalar uchun ehtimollik taqsimoti deyiladi, chunki u chegaralar bajarilganda sodir bo'ladi: P -»°°, R-»0, lekin X = pr oo.

Misol. Tug'ilgan kunlar. Ehtimollik qanday R t (k) bu 500 kishidan iborat jamiyatda uchun Yangi yil kuni tug'ilgan odamlar? Agar ushbu 500 kishi tasodifiy tanlangan bo'lsa, u holda Bernulli sxemasi muvaffaqiyat ehtimoli bilan qo'llanilishi mumkin. P = 1/365. Keyin

Turli xil ehtimolliklarni hisoblash uchun quyidagi qiymatlarni bering: RU = 0,3484...; R 2 = 0,2388...; R 3 = 0,1089...; P 4 = 0,0372...; R 5 = 0,0101...; R 6= 0,0023... uchun Puasson formulasi bo'yicha mos keladigan taxminlar X= 500 1/365 = 1,37

quyidagi qiymatlarni bering: Ru = 0,3481...; R 2 = 0,2385...; R b = 0,1089; R 4 = 0,0373...; P 5 = 0,0102...; P 6 = 0,0023... Barcha xatolar faqat to'rtinchi kasrda.

Nodir hodisalarning Puasson qonunidan foydalanish mumkin bo'lgan holatlarga misollar keltiraylik.

Telefon stantsiyasida noto'g'ri ulanish sodir bo'lishi ehtimoldan yiroq emas. R, odatda R~ 0,005. Keyin Puasson formulasi berilgan uchun noto'g'ri ulanishlar ehtimolini topishga imkon beradi umumiy soni birikmalar n~ 1000 qachon X = pr =1000 0,005 = 5.

Bulochka pishirganda xamirga mayiz solinadi. Kutish kerakki, aralashtirish natijasida mayiz rulolarining chastotasi taxminan Puasson taqsimotiga mos keladi. P n (k, X), qayerda X- xamirdagi mayizning zichligi.

Radioaktiv modda n-zarrachalarni chiqaradi. Vaqt o'tishi bilan d-zarralar sonining yetib borishi hodisasi t berilgan makon maydoni, belgilangan qiymatni oladi uchun, Puasson qonuniga bo'ysunadi.

ta'sirida xromosomalari o'zgargan tirik hujayralar soni rentgen nurlari Puasson taqsimotiga amal qiladi.

Shunday qilib, katta sonlar qonunlari tasodifiy tajribaning elementar natijalarining noma'lum ehtimolini baholash bilan bog'liq bo'lgan matematik statistika muammosini hal qilishga imkon beradi. Ushbu bilimlar tufayli biz ehtimollar nazariyasi usullarini amaliy jihatdan mazmunli va foydali qilamiz. Katta sonlar qonunlari noma’lum elementar ehtimollar haqidagi ma’lumotlarni boshqa shaklda – statistik gipotezalarni tekshirish shaklida olish masalasini ham hal qilish imkonini beradi.

Statistik gipotezalarni tekshirish muammolarini echishning formulasi va ehtimol mexanizmini batafsil ko'rib chiqaylik.

Katta sonlar haqidagi so'zlar testlar soniga ishora qiladi - tasodifiy o'zgaruvchining ko'p sonli qiymatlari yoki ko'p sonli tasodifiy o'zgaruvchilarning yig'indisi ko'rib chiqiladi. Ushbu qonunning mohiyati quyidagicha: bitta tasodifiy o'zgaruvchining bitta tajribada qanday qiymat olishini oldindan aytish mumkin bo'lmasa-da, lekin ko'p sonli mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar ta'sirining umumiy natijasi o'zining tasodifiy xarakterini yo'qotadi va shunday bo'lishi mumkin. deyarli ishonchli bashorat qilish mumkin (ya'ni yuqori ehtimollik bilan). Misol uchun, tanganing qaysi tomoniga tushishini oldindan aytib bo'lmaydi. Biroq, agar siz 2 tonna tanga tashlasangiz, unda gerb ko'tarilgan holda tushgan tangalarning og'irligi 1 tonnani tashkil etishi haqida katta ishonch bilan bahslashish mumkin.

Avvalo, Chebishev tengsizligi katta sonlar qonuniga taalluqlidir, u alohida testda tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymatdan ma'lum bir qiymatdan oshmaydigan qiymatni qabul qilish ehtimolini baholaydi.

Chebishev tengsizligi. Mayli X ixtiyoriy tasodifiy o'zgaruvchidir, a=M(X) , a D(X) uning dispersiyasidir. Keyin

Misol. Mashinada ishlangan gilzaning diametrining nominal (ya'ni talab qilinadigan) qiymati 5 mm, va farq endi yo'q 0.01 (bu mashinaning aniqlik tolerantligi). Bitta tupni ishlab chiqarishda uning diametrining nominaldan og'ishi kamroq bo'lish ehtimolini hisoblang. 0,5 mm .

Yechim. r.v. X- ishlab chiqarilgan vtulkaning diametri. Shartga ko'ra, uning matematik kutilishi nominal diametrga teng (agar mashinani o'rnatishda tizimli nosozlik bo'lmasa): a=M(X)=5 , va farq D(X)≤0,01. Chebishev tengsizligini qo'llash e = 0,5, biz olamiz:

Shunday qilib, bunday og'ish ehtimoli juda yuqori va shuning uchun biz bir qismni bitta ishlab chiqarishda diametrning nominaldan og'ishi deyarli aniq emas degan xulosaga kelishimiz mumkin. 0,5 mm .

Asosan, standart og'ish σ xarakterlaydi o'rtacha tasodifiy o'zgaruvchining o'z markazidan chetlanishi (ya'ni, uning matematik kutilishidan). Chunki u o'rtacha og'ish, keyin sinov paytida katta og'ishlar (o ga urg'u) mumkin. Qanday katta og'ishlar amalda mumkin? Oddiy taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilarni o'rganishda biz "uch sigma" qoidasini oldik: normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchi X bitta testda dan amalda o'rtachadan chetga chiqmaydi 3s, qayerda s= s(X) r.v ning standart og'ishidir. X. Biz tengsizlikni olganimizdan shunday qoidani chiqardik

.

Keling, ehtimollikni taxmin qilaylik o'zboshimchalik bilan tasodifiy o'zgaruvchi X standart og'ishning uch barobaridan ko'p bo'lmagan o'rtacha qiymatdan farq qiladigan qiymatni qabul qilish. Chebishev tengsizligini qo'llash ε = 3s va shuni hisobga olgan holda D(X)=s 2 , biz olamiz:

.

Shunday qilib, umuman biz tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymatdan uchdan ko'p bo'lmagan standart og'ishlar soni bo'yicha chetga chiqish ehtimolini taxmin qilishimiz mumkin. 0.89 , normal taqsimot uchun esa ehtimollik bilan kafolatlanishi mumkin 0.997 .

Chebishev tengsizligi mustaqil bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar tizimiga umumlashtirilishi mumkin.

Chebishevning umumlashtirilgan tengsizligi. Agar mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar X 1 , X 2 , … , X n M(X i )= a va dispersiyalar D(X i )= D, keyin

Da n=1 bu tengsizlik yuqorida tuzilgan Chebishev tengsizligiga o'tadi.

Tegishli masalalarni yechish uchun mustaqil ahamiyatga ega bo'lgan Chebishev tengsizligi Chebishev teoremasi deb ataladigan narsani isbotlash uchun ishlatiladi. Biz birinchi navbatda bu teoremaning mohiyatini bayon qilamiz va keyin uning rasmiy formulasini beramiz.

Mayli X 1 , X 2 , … , X n- matematik taxminlarga ega bo'lgan ko'p sonli mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar M(X 1 )=a 1 , … , M(X n )=a n. Garchi ularning har biri, tajriba natijasida, o'rtacha qiymatdan (ya'ni, matematik kutishdan) uzoqroq qiymatni olishi mumkin bo'lsa-da, lekin tasodifiy o'zgaruvchi.
, ularning arifmetik o'rtacha qiymatiga teng, yuqori ehtimollik bilan belgilangan raqamga yaqin qiymatni oladi
(bu barcha matematik taxminlarning o'rtacha ko'rsatkichidir). Bu quyidagilarni anglatadi. Sinov natijasida mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar bo'lsin X 1 , X 2 , … , X n(ularning ko'pi bor!) shunga mos ravishda qiymatlarni oldi X 1 , X 2 , … , X n mos ravishda. Agar bu qiymatlarning o'zlari mos keladigan tasodifiy o'zgaruvchilarning o'rtacha qiymatlaridan uzoq bo'lishi mumkin bo'lsa, ularning o'rtacha qiymati
ga yaqin bo'lishi mumkin
. Shunday qilib, ko'p sonli tasodifiy o'zgaruvchilarning o'rtacha arifmetik qiymati allaqachon tasodifiy xarakterini yo'qotadi va katta aniqlik bilan bashorat qilinishi mumkin. Buni qiymatlarning tasodifiy og'ishlari bilan izohlash mumkin X i dan a i turli belgilarga ega bo'lishi mumkin va shuning uchun jami bu og'ishlar yuqori ehtimollik bilan qoplanadi.

Terema Chebysheva (katta sonlar qonuni Chebishev shaklida). Mayli X 1 , X 2 , … , X n … - dispersiyalari bir xil son bilan chegaralangan juftlik mustaqil tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi. Keyin, e sonini qancha kichik olsak ham, tengsizlik ehtimoli

soni bo'lsa o'zboshimchalik bilan birlikka yaqin bo'ladi n tasodifiy o'zgaruvchilar etarlicha katta bo'lishi uchun. Rasmiy ravishda, bu teorema shartlari ostida degan ma'noni anglatadi

Ushbu turdagi yaqinlashish ehtimollik bo'yicha yaqinlashuv deb ataladi va quyidagicha belgilanadi:

Shunday qilib, Chebishev teoremasida aytilishicha, agar mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar etarli darajada ko'p bo'lsa, unda bitta testda ularning arifmetik o'rtacha qiymati deyarli ularning matematik taxminlarining o'rtacha qiymatiga yaqin qiymatni oladi.

Ko'pincha, Chebyshev teoremasi tasodifiy o'zgaruvchilar bo'lgan vaziyatda qo'llaniladi X 1 , X 2 , … , X n … bir xil taqsimotga ega (ya'ni bir xil taqsimot qonuni yoki bir xil ehtimollik zichligi). Aslida, bu bir xil tasodifiy o'zgaruvchining ko'p sonli misollari.

Natija(umumiy Chebishev tengsizligidan). Agar mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar X 1 , X 2 , … , X n … matematik taxminlar bilan bir xil taqsimotga ega M(X i )= a va dispersiyalar D(X i )= D, keyin

, ya'ni.
.

Isbot chegaraga o'tish orqali umumlashtirilgan Chebishev tengsizligidan kelib chiqadi n→∞ .

Yana bir bor ta'kidlaymizki, yuqorida yozilgan tengliklar miqdorning qiymatini kafolatlamaydi
moyil bo'ladi a da n→∞. Bu qiymat hali ham tasodifiy o'zgaruvchi bo'lib, uning individual qiymatlari juda uzoq bo'lishi mumkin a. Ammo bunday bo'lish ehtimoli (uzoq a) ortib borayotgan qiymatlar n 0 ga intiladi.

Izoh. Natijaning xulosasi, shubhasiz, mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar umumiy holatda ham haqiqiydir. X 1 , X 2 , … , X n … turli taqsimotga ega, lekin bir xil matematik taxminlar (teng a) va agregatda cheklangan farqlar. Bu ma'lum miqdorni o'lchashning to'g'riligini taxmin qilish imkonini beradi, hatto bu o'lchovlar turli asboblar tomonidan amalga oshirilgan bo'lsa ham.

Keling, bu xulosaning miqdorlarni o'lchashda qo'llanilishini batafsil ko'rib chiqaylik. Keling, qandaydir qurilmadan foydalanaylik n bir xil miqdordagi o'lchovlar, ularning haqiqiy qiymati a va biz bilmaymiz. Bunday o'lchovlarning natijalari X 1 , X 2 , … , X n bir-biridan (va haqiqiy qiymatdan) sezilarli darajada farq qilishi mumkin a) turli tasodifiy omillar (bosim tushishi, harorat, tasodifiy tebranish va boshqalar) tufayli. R.v.ni ko'rib chiqing. X- miqdorni bir marta o'lchash uchun asboblarni o'qish, shuningdek, r.v. X 1 , X 2 , … , X n- birinchi, ikkinchi, ..., oxirgi o'lchovdagi asboblarni o'qish. Shunday qilib, miqdorlarning har biri X 1 , X 2 , … , X n r.v holatlaridan faqat bittasi mavjud. X, va shuning uchun ularning barchasi r.v. bilan bir xil taqsimotga ega. X. O'lchov natijalari bir-biridan mustaqil bo'lganligi sababli, r.v. X 1 , X 2 , … , X n mustaqil deb hisoblash mumkin. Agar qurilma tizimli xatoga yo'l qo'ymasa (masalan, shkalada nol "yiqilmagan", kamon cho'zilmagan va hokazo), unda biz matematik kutishni taxmin qilishimiz mumkin. M(X) = a, va shuning uchun M(X 1 ) = ... = M(X n ) = a. Shunday qilib, yuqoridagi xulosaning shartlari qondiriladi va shuning uchun miqdorning taxminiy qiymati sifatida a biz tasodifiy o'zgaruvchining "amalga oshirish" ni olishimiz mumkin
tajribamizda (bir qatordan iborat n o'lchovlar), ya'ni.

.

Ko'p sonli o'lchovlar bilan ushbu formuladan foydalangan holda hisoblashning yaxshi aniqligi amalda ishonchli. Bu amaliy printsipning mantiqiy asosi bo'lib, ko'p sonli o'lchovlar bilan ularning arifmetik o'rtacha qiymati o'lchangan miqdorning haqiqiy qiymatidan deyarli farq qilmaydi.

Matematik statistikada keng qo'llaniladigan "selektiv" usul katta sonlar qonuniga asoslanadi, bu tasodifiy o'zgaruvchining nisbatan kichik qiymatlari namunasidan ob'ektiv xususiyatlarini maqbul aniqlik bilan olish imkonini beradi. Ammo bu keyingi bo'limda muhokama qilinadi.

Misol. Ustida o'lchash moslamasi, bu tizimli buzilishlarni qilmaydi, ma'lum bir qiymat o'lchanadi a bir marta (qabul qilingan qiymat X 1 ), keyin yana 99 marta (qadrlar olingan X 2 , … , X 100 ). Haqiqiy o'lchov qiymati uchun a birinchi o'lchov natijasini oling
, va keyin barcha o'lchovlarning arifmetik o'rtacha qiymati
. Qurilmaning o'lchov aniqligi shundayki, o'lchovning standart og'ishi s 1 dan oshmaydi (chunki dispersiya D=σ 2 ham 1 dan oshmaydi). O'lchov usullarining har biri uchun o'lchov xatosi 2 dan oshmasligi ehtimolini hisoblang.

Yechim. r.v. X- bitta o'lchov uchun asboblarni o'qish. Keyin shart bilan M(X)=a. Berilgan savollarga javob berish uchun biz umumiy Chebishev tengsizligini qo'llaymiz

e uchun =2 uchun birinchi n=1 va keyin uchun n=100 . Birinchi holda, biz olamiz
, va ikkinchisida. Shunday qilib, ikkinchi holat berilgan o'lchov aniqligini amalda kafolatlaydi, birinchisi esa bu ma'noda jiddiy shubhalarni qoldiradi.

Bernulli sxemasida yuzaga keladigan tasodifiy o'zgaruvchilarga yuqoridagi gaplarni qo'llaymiz. Keling, ushbu sxemaning mohiyatini eslaylik. Ishlab chiqarilsin n mustaqil testlar, ularning har birida ba'zi hodisalar LEKIN bir xil ehtimollik bilan paydo bo'lishi mumkin R, a q=1–r(ma'nosi bo'yicha, bu hodisaning sodir bo'lishi emas, balki qarama-qarshi hodisaning ehtimoli LEKIN) . Keling, bir oz raqamni sarflaymiz n bunday testlar. Tasodifiy o'zgaruvchilarni ko'rib chiqing: X 1 - voqea sodir bo'lgan holatlar soni LEKIN ichida 1 test, ..., X n- voqea sodir bo'lgan holatlar soni LEKIN ichida n th test. Barcha tanishtirilgan r.v. qiymatlarni qabul qilishi mumkin 0 yoki 1 (voqea LEKIN testda paydo bo'lishi mumkin yoki yo'q) va qiymat 1 har bir sinovda ehtimollik bilan shartli ravishda qabul qilinadi p(hodisaning yuzaga kelish ehtimoli LEKIN har bir testda) va qiymat 0 ehtimollik bilan q= 1 – p. Shuning uchun bu miqdorlar bir xil taqsimot qonunlariga ega:

Shuning uchun bu miqdorlarning o'rtacha qiymatlari va ularning dispersiyasi ham bir xil: M(X 1 )=0 ∙ q+1 ∙ p= p, …, M(X n )= p ; D(X 1 )=(0 2 ∙ q+1 2 ∙ p)− p 2 = p∙(1− p)= p ∙ q, … , D(X n )= p ∙ q . Ushbu qiymatlarni umumlashtirilgan Chebishev tengsizligiga almashtirib, biz olamiz

.

Ko'rinib turibdiki, r.v. X=X 1 +…+X n hodisaning sodir bo'lish soni LEKIN hammasida n sinovlar (ular aytganidek - "muvaffaqiyatlar soni" n testlar). Kirilsin n sinov hodisasi LEKIN ichida paydo bo'ldi k ulardan. Keyin oldingi tengsizlikni quyidagicha yozish mumkin

.

Ammo kattaligi
, hodisaning sodir bo'lish sonining nisbatiga teng LEKIN ichida n mustaqil sinovlar, ilgari nisbiy hodisa darajasi deb nomlangan sinovlarning umumiy soniga LEKIN ichida n testlar. Shuning uchun tengsizlik mavjud

.

Hozir chegaraga o'tish n→∞, olamiz
, ya'ni.
(ehtimolga ko'ra). Bu Bernulli ko'rinishidagi katta sonlar qonunining mazmunidir. Bundan kelib chiqadiki, etarlicha ko'p miqdordagi sinovlar uchun n nisbiy chastotaning o'zboshimchalik bilan kichik og'ishlari
uning ehtimolidan kelib chiqqan hodisalar R deyarli aniq hodisalardir va katta og'ishlar deyarli mumkin emas. Nisbiy chastotalarning bunday barqarorligi to'g'risida olingan xulosa (biz avvalroq deb atagan edik eksperimental fakt) hodisaning nisbiy chastotasi tebranib turadigan raqam sifatida hodisa ehtimolining ilgari kiritilgan statistik ta'rifini asoslaydi.

Buni hisobga olgan holda ifoda p∙ q= p∙(1− p)= p− p 2 o'zgartirish oralig'idan oshmaydi
(buni ushbu segmentda ushbu funktsiyaning minimalini topish orqali tekshirish oson), yuqoridagi tengsizlikdan
buni olish oson

,

tegishli muammolarni hal qilishda qo'llaniladigan (ulardan biri quyida keltirilgan).

Misol. Tanga 1000 marta aylantirildi. Gerb paydo bo'lishining nisbiy chastotasining uning ehtimolidan chetlanishi 0,1 dan kam bo'lish ehtimolini hisoblang.

Yechim. Tengsizlikni qo'llash
da p= q=1/2 , n=1000 , e=0,1, olamiz.

Misol. Oldingi misol shartlariga ko'ra, sonning ehtimolini hisoblang k tushib qolgan gerblar oralig'ida bo'ladi 400 oldin 600 .

Yechim. Vaziyat 400< k<600 shuni anglatadi 400/1000< k/ n<600/1000 , ya'ni. 0.4< V n (A)<0.6 yoki
. Oldingi misoldan ko'rganimizdek, bunday hodisaning ehtimoli kamida 0.975 .

Misol. Ba'zi bir hodisaning ehtimolini hisoblash LEKIN 1000 ta tajriba o'tkazildi, unda tadbir o'tkazildi LEKIN 300 marta paydo bo'ldi. Nisbiy chastotaning (300/1000=0,3 ga teng) haqiqiy ehtimoldan farq qilish ehtimolini hisoblang. R 0,1 dan oshmasligi kerak.

Yechim. Yuqoridagi tengsizlikni qo'llash
n=1000, e=0,1 uchun ni olamiz.

Tasodifiy hodisalarni o'rganish amaliyoti shuni ko'rsatadiki, individual kuzatuvlar natijalari, hatto bir xil sharoitlarda olib borilganlar ham, juda katta farq qilishi mumkin bo'lsa-da, bir vaqtning o'zida etarlicha ko'p miqdordagi kuzatishlar uchun o'rtacha natijalar barqaror va zaif darajada bog'liqdir. individual kuzatishlar natijalari.

Tasodifiy hodisalarning bu ajoyib xususiyatining nazariy asoslanishi katta sonlar qonuni. "Katta sonlar qonuni" nomi ko'p sonli tasodifiy hodisalarning o'rtacha natijalarining barqarorligini o'rnatadigan va bu barqarorlik sababini tushuntiruvchi teoremalar guruhini birlashtiradi.

Katta sonlar qonunining eng oddiy shakli va tarixan bu qismning birinchi teoremasi Bernulli teoremasi agar barcha sinovlarda hodisaning ehtimoli bir xil bo'lsa, u holda sinovlar sonining ko'payishi bilan hodisaning chastotasi hodisaning ehtimoliga intiladi va tasodifiy bo'lishni to'xtatadi.

Puasson teoremasi shuni ko'rsatadiki, bir qator mustaqil sinovlarda hodisaning chastotasi uning ehtimolliklarining o'rtacha arifmetik qiymatiga intiladi va tasodifiy bo'lmaydi.

Ehtimollar nazariyasining chegaraviy teoremalari, teoremalari Moivre-Laplas hodisaning yuzaga kelish chastotasining barqarorligi xususiyatini tushuntiring. Bu xususiyat shundan iboratki, sinovlar sonining cheksiz ko'payishi bilan (agar barcha sinovlarda hodisaning ehtimoli bir xil bo'lsa) hodisaning sodir bo'lish sonining chegaraviy taqsimlanishi. normal taqsimot.

Markaziy chegara teoremasi keng tarqalgan foydalanishni tushuntiradi oddiy qonun tarqatish. Teorema shuni ko'rsatadiki, har doim chekli dispersiyaga ega bo'lgan ko'p sonli mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilarni qo'shish natijasida tasodifiy o'zgaruvchi hosil bo'lsa, bu tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni amalda bo'ladi. normal qonun bo'yicha.

Quyidagi teorema "deb nomlangan. Katta sonlar qonuni"Ma'lum, juda umumiy sharoitlarda, tasodifiy o'zgaruvchilar sonining ko'payishi bilan ularning arifmetik o'rtacha matematik taxminlarning arifmetik o'rtacha qiymatiga intiladi va tasodifiy bo'lishni to'xtatadi.

Lyapunov teoremasi keng tarqalganligini tushuntiradi oddiy qonun taqsimlanadi va uning shakllanish mexanizmini tushuntiradi. Teorema shuni ta'kidlashga imkon beradiki, har doim ko'p sonli mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilarni qo'shish natijasida tasodifiy o'zgaruvchi hosil bo'lganda, ularning dispersiyalari yig'indining dispersiyasiga nisbatan kichik bo'lsa, ushbu tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qonuni quyidagicha bo'ladi. amaliy bo'ling normal qonun bo'yicha. Va tasodifiy o'zgaruvchilar doimo cheksiz ko'p sabablar bilan hosil bo'lganligi sababli va ko'pincha ularning hech biri tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi bilan taqqoslanadigan dispersiyaga ega emasligi sababli, amaliyotda uchraydigan tasodifiy o'zgaruvchilarning aksariyati normal taqsimot qonuniga bo'ysunadi.

Katta sonlar qonunining sifat va miqdor bayonlari asoslanadi Chebishev tengsizligi. U tasodifiy o'zgaruvchining qiymatining matematik kutilganidan og'ishi ma'lum bir raqamdan kattaroq bo'lish ehtimolining yuqori chegarasini belgilaydi. Shunisi e'tiborga loyiqki, Chebishev tengsizligi hodisaning ehtimolini taxmin qiladi taqsimlanishi noma'lum tasodifiy o'zgaruvchi uchun faqat uning matematik kutilishi va dispersiyasi ma'lum.

Chebishev tengsizligi. Agar x tasodifiy o'zgaruvchisi dispersiyaga ega bo'lsa, u holda har qanday e > 0 uchun tengsizlik , qayerda M x va D x - tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi va dispersiyasi x .

Bernulli teoremasi. m n - n Bernoulli sinovidagi muvaffaqiyatlar soni va p - bitta sinovda muvaffaqiyat qozonish ehtimoli. Keyin har qanday e > 0 uchun bizda mavjud .

Markaziy chegara teoremasi. Agar x 1 , x 2 , …, x n , … tasodifiy oʻzgaruvchilar juftlikdan mustaqil, teng taqsimlangan va cheklangan dispersiyaga ega boʻlsa, n ® da bir xilda x (- ,) da boʻladi.