Murakkab funktsiyani differensiallash qoidasi bizni differensialning bitta ajoyib va ​​muhim xususiyatiga olib keladi.

Funktsiyalar shunday bo'lsinki, ulardan kompleks funksiya tuzilsin: . Agar hosilalar mavjud bo'lsa, u holda - V qoidaga ko'ra - hosila ham mavjud

Biroq, uning hosilasini (7) ifoda bilan almashtirib, t ning funksiyasi sifatida x ning differentsial mavjudligini ko'rib, biz nihoyat olamiz:

ya'ni, differensialning oldingi shakliga qaytaylik!

Shunday qilib, eski mustaqil o'zgaruvchi yangisi bilan almashtirilgan taqdirda ham differentsial shakli saqlanib qolishi mumkinligini ko'ramiz. Biz har doim y ning differentsialini (5) ko'rinishda yozishda erkinmiz, x mustaqil o'zgaruvchimi yoki yo'qmi; yagona farq shundaki, agar t mustaqil o'zgaruvchi sifatida tanlansa, u holda u ixtiyoriy o'sish emas, balki funktsiya sifatida differensial x ni bildiradi Bu xususiyat differentsial shaklining o'zgarmasligi deyiladi.

(5) formula to'g'ridan-to'g'ri hosilani differentsiallar bo'yicha ifodalovchi (6) formulani berganligi sababli, qanday mustaqil o'zgaruvchidan qat'i nazar (albatta, har ikkala holatda ham bir xil) oxirgi formula o'z kuchida qoladi.

Masalan, shunday bo'lsin

Endi biz o'rnatamiz Keyin bizda ham bo'ladi: Formulani tekshirish oson

yuqorida hisoblangan hosila uchun faqat boshqa ifodani beradi.

Bu holat, ayniqsa, y ning x ga bog'liqligi to'g'ridan-to'g'ri ko'rsatilmagan, lekin buning o'rniga ikkala o'zgaruvchining x va yning uchinchi, yordamchi, o'zgaruvchiga (parametr deb ataladigan) bog'liqligi berilgan hollarda foydalanish uchun qulaydir:

Bu funksiyalarning ikkalasi ham hosilalarga ega va ularning birinchisi uchun hosilasi bo‘lgan teskari funksiya mavjud deb faraz qilsak, u holda y ham x ning funksiyasi bo‘lib chiqishini ko‘rish oson:

buning uchun hosila ham mavjud. Ushbu lotinni hisoblash yuqoridagi qoidaga muvofiq amalga oshirilishi mumkin:

y ning x ga bevosita bog'liqligini tiklamasdan.

Misol uchun, agar hosila yuqorida qilinganidek, bog'liqlikni umuman ishlatmasdan aniqlanishi mumkin bo'lsa.

Agar x va y ni tekislikdagi nuqtaning to’g’ri burchakli koordinatalari deb hisoblasak, (8) tenglamalar t parametrining har bir qiymatini ma’lum nuqtaga beradi, bu nuqta t ning o’zgarishi bilan tekislikdagi egri chiziqni tasvirlaydi. (8) tenglamalar deyiladi parametrik tenglamalar bu egri chiziq.

Egri chiziqning parametrik spetsifikatsiyasi bo'lsa, formula (10) to'g'ridan-to'g'ri tenglamalardan (8) o'rnatishga imkon beradi. qiyalik(9) tenglama bo'yicha egri chiziqni belgilashga o'tmasdan tangens; aniq,

Izoh. Hosilni har qanday o‘zgaruvchiga nisbatan olingan differentsiallar ko‘rinishida ifodalash imkoniyati, xususan, formulalar

Leybnits yozuvida farqlash qoidalarini ifodalash teskari funktsiya va murakkab funktsiya oddiy algebraik identifikatsiyaga aylanadi (chunki bu erda barcha differentsiallarni bir xil o'zgaruvchiga nisbatan olish mumkin). Biroq, bu yuqoridagi formulalarning yangi hosilasini beradi deb o'ylamaslik kerak: birinchi navbatda, chapda hosilalarning mavjudligi bu erda isbotlanmagan, lekin asosiysi, biz mohiyatan differentsial shaklining o'zgarmasligidan foydalanganmiz. , buning o'zi V qoidasining natijasidir.

Bir nechta oʻzgaruvchilar funksiyasining toʻliq differentsial ifodasi u va v mustaqil oʻzgaruvchilar yoki boshqa mustaqil oʻzgaruvchilarning funksiyalari boʻladimi, bir xil boʻladi.

Isbot umumiy differensial formulaga asoslanadi

Q.E.D.

5.Funksiyaning umumiy hosilasi funktsiyaning traektoriya bo'yicha vaqt hosilasidir. Funktsiya shaklga ega bo'lsin va uning argumentlari vaqtga bog'liq bo'lsin: . Keyin , traektoriyani belgilovchi parametrlar qayerda. Funktsiyaning umumiy hosilasi (nuqtada ) bu holda qisman vaqt hosilasiga teng (mos nuqtada ) va quyidagi formula bo'yicha hisoblanishi mumkin:

qayerda - qisman hosilalar. Shuni ta'kidlash kerakki, belgilash shartli bo'lib, differentsiallarning bo'linishi bilan hech qanday aloqasi yo'q. Bundan tashqari, funktsiyaning to'liq hosilasi nafaqat funktsiyaning o'ziga, balki traektoriyaga ham bog'liq.

Masalan, funktsiyaning umumiy hosilasi:

Bu erda yo'q, chunki o'z-o'zidan ("aniq") ga bog'liq emas.

To'liq differentsial

To'liq differentsial

Bir nechta mustaqil o'zgaruvchilarning f (x, y, z, ...) funktsiyalari - ifoda

to'liq o'sishdan farq qiladigan holatda

Df = f(x + Dx, y + Dy, z + Dz,…) - f(x, y, z, …)

bilan solishtirganda cheksiz kichik qiymatga

Sirtga teguvchi tekislik

(X, Y, Z - tangens tekislikdagi nuqtaning joriy koordinatalari; - bu nuqtaning radius vektori; x, y, z - teginish nuqtasining koordinatalari (normal uchun mos ravishda); - koordinatali chiziqlarga teguvchi vektorlar, mos ravishda v = const;u = const; )

1.

2.

3.

Oddiy sirt

3.

4.

Differensial tushunchasi. Differensialning geometrik ma'nosi. Birinchi differentsial shaklining o'zgarmasligi.

Berilgan x nuqtada differensiallanuvchi y = f(x) funksiyani ko‘rib chiqaylik. Uning ortishi Dy sifatida ifodalanishi mumkin

D y \u003d f "(x) D x + a (D x) D x,

bu yerda birinchi had Dx ga nisbatan chiziqli, Dx = 0 nuqtadagi ikkinchi had Dx dan yuqori tartibli cheksiz kichik funktsiyadir. Agar f "(x) No 0 bo'lsa, u holda birinchi a'zo Dy o'sishning asosiy qismidir. O'sishning bu asosiy qismi chiziqli funksiya argument Dx va y = f(x) funksiyaning differensiali deyiladi. Agar f "(x) \u003d 0 bo'lsa, u holda funktsiyaning differentsiali ta'rifi bo'yicha nolga teng deb hisoblanadi.

Ta'rif 5 (differensial). y = f(x) funksiyaning differentsiali Dy o'sishning Dx qismiga nisbatan bosh chiziqli bo'lib, hosila va mustaqil o'zgaruvchining o'sish ko'paytmasiga teng.

E'tibor bering, mustaqil o'zgaruvchining differentsiali bu o'zgaruvchining o'sishiga teng dx = Dx. Shuning uchun differentsial formulasi odatda quyidagi shaklda yoziladi: dy \u003d f "(x) dx. (4)

Keling, nima ekanligini bilib olaylik geometrik ma'no differensial. y = f(x) funksiya grafigida ixtiyoriy M(x, y) nuqtani oling (21-rasm.). OX o‘qining musbat yo‘nalishi bilan f burchak hosil qiluvchi y = f(x) egri chizig‘iga M nuqtada teginish chizing, ya’ni f “(x) = tgf. To‘g‘ri burchakli MKN uchburchakdan.

KN \u003d MNtgf \u003d D xtg f \u003d f "(x) D x,

ya'ni dy = KN.

Demak, funktsiyaning differentsiali x ni Dx ga oshirilganda berilgan nuqtada y = f(x) funksiya grafigiga chizilgan tangens ordinatasidagi o'sishdir.

Differensialning hosila xossalariga o'xshash asosiy xossalarini qayd etamiz.

2. d(c u(x)) = c d u(x);

3. d(u(x) ± v(x)) = d u(x) ± d v(x);

4. d(u(x) v(x)) = v(x)d u(x) + u(x)d v(x);

5. d(u(x) / v(x)) = (v(x) d u(x) - u(x) d v(x)) / v2(x).

Differensialga ega bo'lgan, lekin hosila ega bo'lmagan yana bir xususiyatni ko'rsatamiz. y = f(u) funksiyani ko'rib chiqamiz, bu erda u = f (x), ya'ni y = f(f(x)) kompleks funksiyasini ko'rib chiqamiz. Agar f va f funksiyalarning har biri differensiallanadigan bo'lsa, (3) teoremaga ko'ra, birikma funksiyaning hosilasi y" = f"(u) u" ga teng bo'ladi.U holda funktsiyaning differentsiali

dy \u003d f "(x) dx \u003d f "(u) u" dx \u003d f "(u) du,

chunki u "dx = du. Ya'ni dy = f" (u) du. (5)

Oxirgi tenglik, agar x ning funksiyasi o‘rniga u o‘zgaruvchining funksiyasini ko‘rib chiqsak, differentsial formula o‘zgarmasligini bildiradi. Differensialning bu xossasi birinchi differensial shaklining o'zgarmasligi deyiladi.

Izoh. E'tibor bering, (4) formulada dx = Dx, formulada (5) du esa u funktsiya o'sishining faqat chiziqli qismidir.

Integral hisob - matematikaning integrallarni hisoblashning xossalari va usullarini va ularning qo'llanilishini o'rganadigan bo'limi. I. va. differensial hisob bilan chambarchas bog'liq va u bilan birga asosiy qismlardan birini tashkil qiladi

Funktsiyaning differentsialini quyidagicha yozish mumkinligini ko'rdik:
(1),

agar mustaqil oʻzgaruvchidir. Keling murakkab funksiya mavjud , ya'ni.
,
va shuning uchun
. Funksiyalarning hosilalari bo'lsa
va
u holda mavjud
, murakkab funksiyaning hosilasi sifatida. Differensial
yoki. Lekin
va shuning uchun biz yozishimiz mumkin
, ya'ni. ifodasini oling
(1) da bo'lgani kabi.

Xulosa:(1) formula qachon bo'lgani kabi to'g'ri mustaqil o'zgaruvchidir va qachon bo'lsa mustaqil o‘zgaruvchining funksiyasidir . Birinchi holda, ostida
mustaqil o'zgaruvchining differensialligi deb tushuniladi
, ikkinchisida - funksiyaning differentsiali (bu holda
, umuman aytganda). Bu shaklni saqlash xususiyati (1) deyiladi differensial shaklning o'zgarmasligi.

Differensial shaklining o'zgarmasligi murakkab funktsiyalarning differentsiallarini hisoblashda katta foyda beradi.

Masalan: hisoblash uchun
. Bog'liq yoki mustaqil o'zgaruvchi , yozishimiz mumkin. Agar a - funksiya, masalan
, keyin topamiz
va differentsial shaklining o'zgarmasligidan foydalanib, biz yozish huquqiga egamiz.

§o'n sakkiz. Yuqori tartibli hosilalar.

y \u003d  (x) funktsiyasi X oralig'ida differentsial bo'lsin, (ya'ni, bu oraliqning har bir nuqtasida y 1 \u003d  1 (x) chekli hosilaga ega). U holda  1 (x) X ning o'zida x ning funksiyasidir. Ma'lum bo'lishicha, ba'zi nuqtalarda yoki umuman x 1 (x) ning o'zi hosilaga ega, ya'ni. hosila (y 1) 1 \u003d ( 1 (x) 1) hosilasi mavjud. Bu holda ikkinchi hosila yoki ikkinchi tartibli hosila deyiladi. Ular y 11,  11 (x) belgilar bilan belgilanadi. ), d 2 y / dx 2. Agar kerak bo'lsa, hosila m.x 0 da ekanligini ta'kidlang, keyin yozing

y 11 / x \u003d x 0 yoki 11 (x 0) yoki d 2 y / dx 2 / x \u003d x 0

y 1 hosilasi birinchi tartibli hosila yoki birinchi hosila deb ataladi.

Demak, ikkinchi tartibli hosila funksiyaning birinchi tartibli hosilasidir.

Xuddi shunday, ikkinchi tartibli hosilaning hosilasi (u mavjud bo'lgan joyda) uchinchi tartibli hosila yoki uchinchi hosila deb ataladi.

(y 11) 1 \u003d y 111 \u003d 111 (x) \u003d d 3 y / dx 3 \u003d d 3  (x) / dx 3 ni belgilang

Umuman olganda, y \u003d  (x) funktsiyasining n-tartibining hosilasi ushbu funktsiya tartibining hosilasi (n-1) ning hosilasidir. (agar ular mavjud bo'lsa, albatta).

tayinlash

O'qing: y ning n-chi hosilasi,  (x) dan; d n y tomonidan d x n-da.

To'rtinchi, beshinchi va boshqalar. tartibni chiziqlar bilan ko'rsatish noqulay, shuning uchun ular raqamni qavs ichida yozadilar,  v (x) o'rniga  (5) (x) yozadilar.

Hosilning n-tartibi va funksiyaning n-darajasi chalkashmaslik uchun qavs ichida.

Birinchisidan yuqori tartibli hosilalar yuqori tartibli hosilalar deyiladi.

Ta'rifning o'zidan kelib chiqadiki, n-chi hosilani topish uchun 1-dan (n-1)gacha bo'lgan barcha oldingilarini ketma-ket topish kerak.

Misollar: 1) y \u003d x 5; y 1 \u003d 5x 4; y 11 \u003d 20x 3;

y 111 \u003d 60x 2; y (4) = 120x; y (5) =120; y (6) =0,…

2) y=e x; y 1 \u003d e x; y 11 \u003d e x;...;

3) y=sinx; y 1 = cosx; y 11 = -sinx; y 111 = -cosx; y (4) = sinx;…

E'tibor bering, ikkinchi hosila ma'lum bir mexanik ma'noga ega.

Agar yo'lning vaqtga nisbatan birinchi hosilasi bir tekis bo'lmagan to'g'ri chiziqli harakat tezligi bo'lsa.

V=ds/dt, bu erda S=f(t) - harakat tenglamasi, u holda V 1 =dV/dt= d 2 S/dt 2 - tezlikning o'zgarish tezligi, ya'ni. harakat tezlashishi:

a \u003d f 11 (t) \u003d dV / dt \u003d d 2 S / dt 2.

Demak, yo'lning vaqtga nisbatan ikkinchi hosilasi nuqta harakatining tezlashishi - bu ikkinchi hosilaning mexanik ma'nosi.

Bir qator hollarda, oraliq tartiblarni chetlab o'tib, istalgan tartibning hosilasi uchun ifoda yozish mumkin.

Misollar:

y=e x; (y) (n) = (e x) (n) = e x;

y=a x; y 1 \u003d a x lna; y 11 \u003d a x (lna) 2; y (n) = a x (lna) n;

y \u003d x a; y 1 \u003d ax a-1; y 11 =
; y (p) \u003d a (a-1) ... (a-n + 1) x a-n, bilan =n bizda bor

y (n) = (x n) (n) = n! n dan yuqori tartib hosilalari nolga teng.

y \u003d sinx; y 1 = cosx; y 11 = -sinx; y 111 = -cosx; y (4) = sinx;… va hokazo.

y 1 \u003d gunoh (x + /2); y 11 \u003d gunoh (x + 2 /2); y 111 \u003d gunoh (x + 3 /2); va hokazo, keyin y (n) \u003d (sinx) (n) \u003d sin (x + n) /2).

Buni ketma-ket farqlash va umumiy formulalar bilan aniqlash oson:

1) (CU) (n) = C (U) (n) ; 2) (U ± V) (n) = U (n) ± V (n)

Ikki funktsiya (U·V) ko'paytmasining n-chi hosilasi formulasi yanada murakkabroq (n) . U Leybnits formulasi deb ataladi.

Keling, uni olaylik

y \u003d U V; y 1 \u003d U 1 V + UV 1; y 11 \u003d U 11 V + U 1 V 1 + U 1 V 1 + UV 11 \u003d U 11 V + 2U 1 V 1 + UV 11;

y 111 \u003d U 111 V + U 11 V 1 + 2U 11 V 1 + 2U 1 V 11 + U 1 V 11 + UV 111 \u003d U 111 V + 3U 11 V 1 +3 U 1 V 11 + UV 11;

Xuddi shunday, biz ham olamiz

y (4) \u003d U (4) V + 4 U 111 V 1 +6 U 11 V 11 +4 U 1 V 111 + UV (4) va boshqalar.

Ko'rinib turibdiki, barcha formulalarning o'ng qismlari U+V, (U+V) 2, (U+V) 3 va hokazo binomial kuchlarining kengayishiga o'xshaydi. Faqat U va V ning vakolatlari o'rniga tegishli tartiblarning hosilalari mavjud. Olingan formulalarda U va V, U (0) va V (0) o'rniga yozsak, o'xshashlik ayniqsa to'liq bo'ladi, ya'ni. U va V funktsiyalarning 0-chi hosilalari (funksiyalarning o'zi).

Bu qonunni har qanday n holatiga kengaytirib, umumiy formulani olamiz

y(n) = (UV)(n) = U(n) V+ n/1! U (n-1) V 1 + n (n-1)/2! U (n-2) V (2) + n (n-1) (n-2)/3! U (n-3) V (3) +…+ n(n-1)…(n-k+1)/K! U (k) V (n-k) + ... + UV (n) - Leybnits formulasi.

Misol: toping (e x x) (n)

(e x) (n) \u003d e x, x 1 \u003d 1, x 11 \u003d 0 va x (n) \u003d 0, shuning uchun (e x x) (n) \u003d (e x) (n) x + n / 1 ! (e x) (n-1) x 1 \u003d e x x + ne x \u003d e x (x + n).

Funktsiya farqi

Funktsiya chaqiriladi bir nuqtada farqlanadi, to'plam uchun cheklov E, agar uning o'sishi D f(x 0) argumentning o'sishiga mos keladigan x, sifatida ifodalanishi mumkin

Δ f(x 0) = A(x 0)(x - x 0) + ω (x - x 0), (1)

qayerda ω (x - x 0) = haqida(x - x 0) da x → x 0 .

Displey, chaqirildi differensial funktsiyalari f nuqtada x 0 va qiymat A(x 0)h - differentsial qiymat ayni paytda.

Funktsiya differentsialining qiymati uchun f qabul qilingan belgi df yoki df(x 0) qaysi nuqtada hisoblanganligini bilmoqchi bo'lsangiz. Shunday qilib,

df(x 0) = A(x 0)h.

(1) ga bo'lish x - x 0 va maqsad x uchun x 0, olamiz A(x 0) = f"(x 0). Shuning uchun bizda bor

df(x 0) = f"(x 0)h. (2)

(1) va (2) ni solishtirsak, biz differentsialning qiymatini ko'ramiz df(x 0) (qachon f"(x 0) ≠ 0) funksiya o‘sishning asosiy qismidir f nuqtada x 0 , o'sishga nisbatan bir vaqtning o'zida chiziqli va bir hil h = x - x 0 .

Funksiyaning differentsiallik mezoni

Funktsiyani bajarish uchun f ma'lum bir nuqtada farqlanishi mumkin edi x 0 , bu nuqtada uning cheklangan hosilasi bo'lishi zarur va etarli.

Birinchi differentsial shaklining o'zgarmasligi

Agar a x mustaqil o'zgaruvchidir, demak dx = x - x 0 (belgilangan o'sish). Bu holatda bizda bor

df(x 0) = f"(x 0)dx. (3)

Agar a x = φ (t) differensiallanuvchi funksiya bo‘lsa, demak dx = φ" (t 0)dt. Binobarin,