Denklemi karşılayan x ve y değişkenlerinin tüm değer çiftlerini bulmak istediğinizi varsayalım.
xy - 6 = 0 ve y - x - 1 = 0 denklemi, yani bu denklemlerin çözüm kümelerinin kesişimini bulmak gerekir. Bu gibi durumlarda, xy - 6 \u003d 0 ve y - x - 1 \u003d 0 denklem sistemini çözmenin gerekli olduğunu söylüyorlar.

Kıvrımlı parantezler kullanarak bir denklem sistemi yazmak gelenekseldir. Örneğin, ele alınan denklem sistemi aşağıdaki gibi yazılabilir:

(xy - 6 = 0,
(y - x - 1 = 0.

Sistemin her denklemini gerçek bir eşitliğe dönüştüren bir çift değişken değerine, iki değişkenli bir denklem sisteminin çözümü denir.

Bir denklem sistemini çözmek, çözüm kümesini bulmak anlamına gelir.

Her denklemdeki katsayılardan en az birinin sıfır olmadığı iki değişkenli iki doğrusal denklem sistemlerini ele alalım.

Bu tür sistemlerin grafik çözümü, iki düz çizginin ortak noktalarının koordinatlarını bulmaya indirgenir.

Bildiğiniz gibi, bir düzlemdeki iki düz çizgi kesişebilir veya paralel olabilir. Paralellik durumunda, doğruların ortak noktası yoktur veya çakışır.

Bu vakaların her birini ele alalım.

örnek 1

Denklem sistemini çözelim:

(2x + y = -11,
(x - 2y = 8.

Çözüm.

(y \u003d -3x - 11,
(y \u003d 0,5x - 4.

Çizgilerin eğim katsayıları - sistemin denklemlerinin grafikleri farklıdır (-3 ve 0,5), bu da çizgilerin kesiştiği anlamına gelir.

Kavşak noktalarının koordinatları bu sistemin çözümü, tek çözüm.

Örnek 2

Denklem sistemini çözelim:

(3x - 2y = 12,
(6x - 4y = 11.

Çözüm.

Her y denklemini x cinsinden ifade edersek, sistemi elde ederiz:

(y \u003d 1.5x - 6,
(y \u003d 1.5x - 2.75.

y \u003d 1.5x - 6 ve y \u003d 1.5x - 2.75 çizgileri eşit eğimlere sahiptir, bu, bu çizgilerin paralel olduğu ve y \u003d 1.5x - 6 çizgisinin y eksenini (0; - 6) ve y \u003d 1.5x - 2.75 - noktasında (0; -2.75), bu nedenle, çizgilerin ortak noktaları yoktur. Bu nedenle denklem sisteminin çözümü yoktur.

Bu sistemin hiçbir çözümü olmadığı aşağıdaki gibi tartışılarak doğrulanabilir. İlk denklemin tüm terimlerini 2 ile çarparak, 6x - 4y = 24 denklemini elde ederiz.

Bu denklemi sistemin ikinci denklemi ile karşılaştırdığımızda, denklemlerin sol kısımlarının aynı olduğunu, dolayısıyla aynı x ve y değerleri için farklı değerler alamadıklarını görüyoruz (24 ve 11). Bu nedenle, sistem

(6x - 4y \u003d 24,
(6x - 4y = 11.

çözümü yok, yani sistemin çözümü yok

(3x - 2y = 12,
(6x - 4y = 11.

Örnek 3

Denklem sistemini çözelim:

(5x - 7y = 16,
(20x - 28y = 64.

Çözüm.

İkinci denklemin her bir terimini 4'e bölerek sistemi elde ederiz:

(5x - 7y = 16,
(5x - 7y = 16,

iki özdeş denklemden oluşur. Bu denklemlerin grafikleri çakışır, dolayısıyla grafikteki herhangi bir noktanın koordinatları sistemin denklemlerinin her birini tatmin edecek yani sistemin çözümü olacaktır. Bu, bu sistemin sonsuz sayıda çözümü olduğu anlamına gelir.

İki değişkenli iki lineer denklem sisteminin her denkleminde, değişkenin katsayılarından en az biri sıfıra eşit değilse, sistem tek karar veya sonsuz sayıda çözümü vardır.

blog.site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.

İle parametreli görevlerörneğin, doğrusal ve ikinci dereceden denklemlere çözüm aramayı içerir. Genel görünüm, parametrenin değerine bağlı olarak mevcut kök sayısı için denklem çalışması.

Ayrıntılı tanımlar vermeden aşağıdaki denklemleri örnek olarak düşünün:

y = kx, burada x, y değişkendir, k bir parametredir;

y = kx + b, burada x, y değişkenler, k ve b parametrelerdir;

ax 2 + bx + c = 0, burada x değişkenler, a, b ve c parametrelerdir.

Bir denklemi (eşitsizlik, sistem) bir parametre ile çözmek, kural olarak, sonsuz bir denklem setini (eşitsizlikler, sistemler) çözmek anlamına gelir.

Parametreli görevler şartlı olarak iki türe ayrılabilir:

a) koşul diyor ki: denklemi çözün (eşitsizlik, sistem) - bu, parametrenin tüm değerleri için tüm çözümleri bulun anlamına gelir. En az bir vaka keşfedilmemişse, böyle bir çözüm tatmin edici olarak kabul edilemez.

b) denklemin (eşitsizlik, sistem) belirli özelliklere sahip olduğu parametrenin olası değerlerini belirtmek gerekir. Örneğin, bir çözümü var, çözümü yok, aralığa ait çözümleri var vb. Bu tür görevlerde, parametrenin hangi değerinde gerekli koşulun karşılandığını açıkça belirtmek gerekir.

Bilinmeyen bir sabit sayı olan parametre, olduğu gibi özel bir ikiliğe sahiptir. Her şeyden önce, iddia edilen şöhretin parametrenin bir sayı olarak algılanması gerektiğini öne sürdüğü dikkate alınmalıdır. İkinci olarak, bir parametreyi işleme özgürlüğü onun bilinmeyeniyle sınırlıdır. Bu nedenle, örneğin, içinde parametre bulunan bir ifadeye bölme veya böyle bir ifadeden bir çift derecenin kökünü çıkarma işlemleri aşağıdakileri gerektirir: ön çalışmalar. Bu nedenle, parametrenin işlenmesinde dikkatli olunmalıdır.

Örneğin, iki sayı -6a ve 3a'yı karşılaştırmak için üç durumun dikkate alınması gerekir:

1) a negatif bir sayıysa -6a, 3a'dan büyük olacaktır;

2) a = 0 olduğu durumda -6a = 3a;

3) a pozitif bir sayı 0 ise -6a 3a'dan küçük olacaktır.

Karar cevap olacaktır.

kx = b denklemi verilsin. Bu denklem, bir değişkende sonsuz bir denklem kümesinin kısaltmasıdır.

Bu tür denklemleri çözerken, durumlar olabilir:

1. k herhangi biri olsun gerçek Numara sıfır olmayan ve b, R'den herhangi bir sayıdır, o zaman x = b/k.

2. k = 0 ve b ≠ 0 olsun, orijinal denklem 0 · x = b şeklini alacaktır. Açıkçası, bu denklemin bir çözümü yok.

3. k ve b sıfıra eşit sayılar olsun, o zaman 0 · x = 0 eşitliğine sahibiz. Çözümü herhangi bir gerçek sayıdır.

Bu tür denklemleri çözmek için algoritma:

1. Parametrenin "kontrol" değerlerini belirleyin.

2. İlk paragrafta belirlenen parametre değerleri ile x için orijinal denklemi çözün.

3. x için orijinal denklemi, ilk paragrafta seçilenlerden farklı parametre değerleriyle çözün.

4. Cevabı aşağıdaki forma yazabilirsiniz:

1) ... (parametre değeri) olduğunda, denklemin kökleri vardır ...;

2) ... (parametre değeri) olduğunda, denklemde kök yoktur.

örnek 1

Denklemi |6 – x| parametresiyle çözün = bir.

Çözüm.

Burada bir ≥ 0 olduğunu görmek kolaydır.

Modulo 6 – x = ±a kuralına göre x'i ifade ederiz:

Cevap: x = 6 ± a, burada a ≥ 0.

Örnek 2

a(x - 1) + 2(x - 1) = 0 denklemini x değişkenine göre çözün.

Çözüm.

Parantezleri açalım: ax - a + 2x - 2 \u003d 0

Denklemi standart biçimde yazalım: x(a + 2) = a + 2.

a + 2 ifadesi sıfır değilse, yani a ≠ -2 ise, x = (a + 2) / (a ​​​​+ 2) çözümüne sahibiz, yani. x = 1.

a + 2 sıfıra eşitse, yani. a \u003d -2, o zaman 0 x \u003d 0 doğru eşitliğine sahibiz, bu nedenle x herhangi bir gerçek sayıdır.

Cevap: ≠ -2 için x \u003d 1 ve a \u003d -2 için x € R.

Örnek 3

x/a + 1 = a + x denklemini x değişkenine göre çözün.

Çözüm.

Bir \u003d 0 ise, denklemi a + x \u003d a 2 + ax veya (a - 1) x \u003d -a (a - 1) biçimine dönüştürürüz. a = 1 için son denklem 0 · x = 0 biçimindedir, bu nedenle x herhangi bir sayıdır.

Eğer a ≠ 1 ise, son denklem x = -a şeklini alacaktır.

Bu çözüm koordinat satırında gösterilebilir. (Şek. 1)

Cevap: a = 0 için çözüm yoktur; x - a = 1'deki herhangi bir sayı; x \u003d -a ≠ 0 ve ≠ 1 ile.

Grafik yöntemi

Parametreli denklemleri çözmenin başka bir yolunu düşünün - grafik. Bu yöntem oldukça sık kullanılmaktadır.

Örnek 4

a parametresine bağlı olarak ||x| denklemi kaç kök yapar? – 2| = bir?

Çözüm.

Çözümler için grafik yöntemiçizim fonksiyonları y = ||x| – 2| ve y = bir (İncir. 2).

Çizim, y = a çizgisinin konumunun olası durumlarını ve her birindeki kök sayısını açıkça göstermektedir.

Cevap: eğer a ise denklemin kökü olmayacaktır.< 0; два корня будет в случае, если a >2 ve a = 0; a = 2 durumunda denklemin üç kökü olacaktır; dört kök - 0'da< a < 2.

Örnek 5

Bunun için 2|x| denklemi + |x – 1| = a'nın tek bir kökü var mı?

Çözüm.

y = 2|x| fonksiyonlarının grafiklerini çizelim. + |x – 1| ve y = a. y = 2|x| için + |x - 1|, modülleri boşluk yöntemiyle genişleterek şunları elde ederiz:

(-3x + 1, x'te< 0,

y = (x + 1, 0 ≤ x ≤ 1 için,

(3x – 1, x > 1 için.

Üzerinde Figür 3 Denklemin yalnızca a = 1 olduğunda benzersiz bir köke sahip olacağı açıkça görülmektedir.

Cevap: a=1.

Örnek 6

|x + 1| denkleminin çözüm sayısını belirleyin. + |x + 2| = a parametresine bağlı olarak a?

Çözüm.

y = |x + 1| fonksiyonunun grafiği + |x + 2| kırık bir çizgi olacak. Köşeleri (-2; 1) ve (-1; 1) noktalarında yer alacaktır. (resim 4).

Cevap: a parametresi birden küçükse, denklemin kökü olmayacaktır; a = 1 ise, denklemin çözümü [-2; -bir]; a parametresinin değerleri birden büyükse, denklemin iki kökü olacaktır.

Sormak istediğiniz bir şey var mı? Parametreli denklemleri nasıl çözeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için -.
İlk ders ücretsiz!

blog.site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.

eğer sistem

a 11 x 1 + bir 12 x 2 +... + bir 1n x n = b 1 ,

a 21 x 1 + 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 ,

bir m1 x 1 + bir m1 x 2 +... + bir mn x n = b m . (5.1)

tutarlı olduğu ortaya çıktı, yani, A sisteminin matrisleri ve genişletilmiş sistemin matrisi (bir serbest üye sütunu ile) A|b aynı sıraya sahiptir, o zaman iki olasılık görünebilir - a) r = n; b) r< n:

a) r = n ise, o zaman n bilinmeyenli n bağımsız denklemimiz var ve bu sistemin determinantı D sıfırdan farklı. Böyle bir sistem, elde edilen benzersiz bir çözüme sahiptir;

b) eğer r< n, то число независимых уравнений меньше числа неизвестных.

Genellikle serbest olarak adlandırılan x r+1 , x r+2 ,..., x n fazladan bilinmeyenleri sağ tarafa taşırız; lineer denklem sistemimiz şu şekilde olacaktır:

a 11 x 1 + bir 12 x 2 +... + bir 1r x r = b 1 - bir 1 , r+1 x r+1 -... - bir 1n x n,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2r x r = b 2 - a 2 , r+1 x r+1 -... - a 2n x n,

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

bir r1 x 1 + bir r2 x 2 +... + bir rr x r = b r - bir r , r+1 x r+1 -... - bir rn x n.

x 1 , x 2 ,..., x r için çözülebilir, çünkü bu sistemin determinantı (r. dereceden) sıfırdan farklıdır. Serbest bilinmeyenlere keyfi sayısal değerler vererek, x 1 , x 2 ,..., x r için karşılık gelen sayısal değerleri Cramer formülleriyle elde ederiz. Böylece, r için< n имеем бесчисленное множество решений.

Sistem (5.1) denir homojen, tüm b ben = 0 ise, yani şöyle görünür:

a 11 x 1 + bir 12 x 2 +... + bir 1n x n = 0, bir 21 x 1 + bir 22 x 2 +... + bir 2n x n = 0, (5.5) ... ... . .. ... ... ... bir m1 x 1 + bir m1 x 2 +... + bir mn x n = 0.

Kronecker-Capelli teoreminden, bir sıfır sütunu eklemek bir matrisin sırasını artıramayacağından, her zaman tutarlı olduğu sonucu çıkar. Bununla birlikte, bu doğrudan da görülebilir - sistem (5.5) kesinlikle sıfır veya önemsiz bir çözüme sahiptir x 1 = x 2 =... = x n = 0. Sistemin (5.5) matrisinin A matrisinin r sıralamasına sahip olmasına izin verin. r = n ise, sıfır çözüm sistemin (5.5) tek çözümü olacaktır; r'de< n система обладает решениями, отличными от нулевого, и для их разыскания применяют тот же прием, как и в случае произвольной системы уравнений. Всякий ненулевой вектор - столбец X= (x 1 , x 2 ,..., x n) T называется kendi vektörü doğrusal dönüşüm (Kare matris A ), eşitlik olacak şekilde bir λ sayısı varsa

λ sayısı denir lineer dönüşümün özdeğeri (matrisler A ), X vektörüne karşılık gelir. A matrisinin sırası n'dir. Matematiksel ekonomide, sözde üretken matrisler. A matrisinin, yalnızca ve yalnızca A matrisinin tüm öz değerlerinin mutlak değerde birden küçük olması durumunda üretken olduğu kanıtlanmıştır. A matrisinin özdeğerlerini bulmak için, AX = λX eşitliğini (A - λE)X = 0 biçiminde yeniden yazarız, burada E, n'inci sıranın kimlik matrisidir veya koordinat biçiminde:

(a 11 -λ)x 1 + bir 12 x 2 +... + bir 1n x n =0,

a 21 x 1 + (a 22 -λ)x 2 +... + a 2n x n = 0, (5.6)

... ... ... ... ... ... ... ... ... bir n1 x 1 + bir n2 x 2 +... + (a nn -λ)x n = 0 .

Lineer bir sistem var homojen denklemler, ancak ve ancak bu sistemin determinantı sıfıra eşitse sıfır olmayan çözümlere sahiptir, yani.

Bilinmeyen λ'ya göre n'inci dereceden bir denklem elde ettik. matris karakteristik denklemi A, polinom denir matrisin karakteristik polinomu A ve kökleri matrisin karakteristik sayıları veya özdeğerleri A. A öz matrislerini bulmak için vektör denklemi(A - λE)X = 0 veya karşılık gelen homojen denklemler sistemi (5.6) bulunan λ değerleri ile değiştirilmeli ve olağan şekilde çözülmelidir. Örnek 2.16. Bir denklem sistemini araştırın ve tutarlıysa çözün.

x 1 + x 2 - 2x 3 - x 4 + x 5 =1, 3x 1 - x 2 + x 3 + 4x 4 + 3x 5 =4, x 1 + 5x 2 - 9x 3 - 8x 4 + x 5 =0 .

Çözüm. A ve A|b matrislerinin basamaklarını, sistemi aynı anda kademeli bir forma indirgeyen temel dönüşümler yöntemiyle bulacağız:

Açıkçası, r(A) = r( A|b) = 2. Orijinal sistem, kademeli bir forma indirgenmiş aşağıdakine eşdeğerdir:

x 1 + x 2 - 2x 3 - x 4 + x 5 = 1, - 4x 2 + 7x 3 + 7x 4 = 1.

Bilinmeyen için determinant olduğundan x 1 ve x2 sıfırdan farklıdır, o zaman ana olanlar olarak alınabilirler ve sistem şu şekilde yeniden yazılabilir:

x 1 + x 2 = 2x 3 + x 4 - x 5 + 1, - 4x 2 = - 7x 3 - 7x 4 + 1,

Nerede x 2 \u003d 7/4 x 3 + 7/4 x 4 -1/4, x 1 \u003d 1/4 x 3 -3/4 x 4 - x 5 + 5/4 - bir sistemin genel çözümü sonsuz sayıda çözümü olan. Bilinmeyene bedava vermek x 3 , x 4 , x 5 belirli sayısal değerler, belirli çözümler elde edeceğiz. Örneğin, x 3 = x 4 = x 5 = 0 x 1 = 5/4, x 2 = - 1/4'te. C(5/4, - 1/4, 0, 0, 0) vektörü bu sistemin özel bir çözümüdür. Örnek 2.17. Denklem sistemini keşfedin ve parametrenin değerine bağlı olarak genel çözümü bulun. a.

2x 1 - x 2 + x 3 + x 4 = 1, x 1 + 2x 2 - x 3 + 4x 4 = 2, x 1 + 7x 2 - 4x 3 + 11x 4 = a.

Çözüm. Bu sistem matrise karşılık gelir . A~ var

bu nedenle, orijinal sistem şuna eşdeğerdir:

x 1 + 2x 2 - x 3 + 4x 4 = 2,

5x2 - 3x3 + 7x4 = a-2,

Bu, sistemin sadece a=5 için tutarlı olduğunu gösterir. Bu durumda genel çözüm şudur:

x 2 \u003d 3/5 + 3/5x 3 - 7/5x 4, x 1 \u003d 4/5 - 1/5x 3 - 6/5x 4.

Örnek 2.18. Vektörler sisteminin lineer bağımlı olup olmayacağını öğrenin:

a 1 =(1, 1, 4, 2),

a 2 = (1, -1, -2, 4),

a 3 = (0, 2, 6, -2),

a 4 =(-3, -1, 3, 4),

a 5 =(-1, 0, - 4, -7),

Çözüm. Böyle sayılar varsa, bir vektör sistemi doğrusal olarak bağımlıdır. x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , en az biri sıfırdan farklı olan
(bkz. madde 1, bölüm I) vektör eşitliğinin sahip olduğu:

x 1 a 1 + x2 a 2+x3 a 3 + x4 a 4+x5 a 5 = 0.

Koordinat notasyonunda, denklem sistemine eşdeğerdir:

x 1 + x 2 - 3x 4 - x 5 = 0, x 1 - x 2 + 2x 3 - x 4 = 0, 4x 1 - 2x 2 + 6x 3 +3x 4 - 4x 5 = 0, 2x 1 + 4x 2 - 2x 3 + 4x 4 - 7x 5 = 0.

Böylece lineer homojen denklemlerden oluşan bir sistemimiz var. Bilinmeyenleri ortadan kaldırarak çözüyoruz:

Sistem, 3'e eşit kademeli bir forma indirgenir; bu, homojen denklem sisteminin sıfırdan (r) farklı çözümlere sahip olduğu anlamına gelir.< n). Определитель при неизвестных x 1 , x 2 , x 4 sıfırdan farklıdır, bu nedenle ana olanlar olarak seçilebilirler ve sistem şu şekilde yeniden yazılabilir:

x 1 + x 2 - 3x 4 = x 5 , -2x 2 + 2x 4 = -2x 3 - x 5 , - 3x 4 = - x 5 .

Şunlara sahibiz: x 4 \u003d 1/3 x 5, x 2 \u003d 5/6x 5 + x 3, x 1 \u003d 7/6 x 5 -x 3. Sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır; ücretsiz bilinmeyenler ise x 3 ve x5 aynı anda sıfıra eşit değilse, ana bilinmeyenler de sıfırdan farklıdır. Bu nedenle, vektör denklemi

x 1 a 1 + x2 a 2+x3 a 3 + x4 a 4+x5 a 5 = 0

Teorem. Bir lineer denklem sistemi, yalnızca artırılmış matrisin sırası varsa tutarlıdır. rütbeye eşit sistemin matrisi.

Lineer denklem sistemleri

Ortak r(A)=r() uyumsuz r(A)≠r().

Bu nedenle, lineer denklem sistemlerinin ya sonsuz sayıda çözümü vardır ya da bir çözümü vardır ya da hiç çözümü yoktur.

İş bitimi -

Bu konu şunlara aittir:

Temel matris dönüşümleri. Cramer yöntemi. vektör tanımı

Bir permütasyonun iki elemanı, permütasyon notasyonunda daha büyük eleman daha küçük olandan önce geliyorsa, bir inversiyon oluşturur.. inversiyonların sayısı çift bir sayıdır ve buna göre tektir.

Bu konuyla ilgili ek materyale ihtiyacınız varsa veya aradığınızı bulamadıysanız, çalışma veritabanımızdaki aramayı kullanmanızı öneririz:

Alınan malzeme ile ne yapacağız:

Bu materyalin sizin için yararlı olduğu ortaya çıktıysa, sosyal ağlarda sayfanıza kaydedebilirsiniz:

cıvıldamak

Bu bölümdeki tüm konular:

Kronecker-Capelli teoremi
n bilinmeyenli bir lineer denklem sistemi düşünün: Bir matris ve bir artırılmış matris oluşturun

Homojen bir lineer denklem sistemi kavramı
Tüm serbest terimlerin 0'a eşit olduğu bir lineer denklem sistemi, yani. tür sistemine homojen denir

Homojen bir SLE çözümlerinin özelliği
Homojen bir denklem sistemine yönelik çözümlerin doğrusal bir kombinasyonu, bu sistemin kendisi için bir çözümdür. x=ve y=

Homojen ve homojen olmayan lineer denklem sistemlerinin çözümleri arasındaki bağlantı
Her iki sistemi de göz önünde bulundurun: I ve

Doğrusal bir uzayın tanımına aksiyomatik bir yaklaşım
Daha önce, n-boyutlu vektör uzayı kavramı, gerçek bir sayı ile toplama ve çarpma işlemlerinin tanıtıldığı, n-gerçek sayıların sıralı sistemlerinin bir koleksiyonu olarak tanıtılmıştı.

Aksiyomların sonuçları
1. Sıfır vektörünün tekliği 2. Zıt vektörün tekliği

Sonuç Kanıtı
1. Diyelim ki. -hükümsüz

Temel. Boyut. koordinatlar
Tanım 1. Bir lineer uzayın temeli L, iki koşulu karşılayan L'ye ait bir elemanlar sistemidir: 1) sistem

boyut: piksel

Sayfadan gösterim başlat:

Transcript

1 1 Denklemler sisteminin çözümlerinin sayısı Grafiksel dinamik yöntem Bir parametre içeren bir denklem sisteminin çözümlerinin sayısını bulmak için aşağıdaki numara yararlıdır: Parametrenin belirli bir sabit değeri için denklemlerin her birinin grafiklerini oluştururuz ve oluşturulan grafiklerin ortak noktalarının sayısını bulun.Her ortak nokta sistemin çözümlerinden biridir.Sonra parametreyi zihinsel olarak değiştiririz ve denklemin parametre ile grafiğinin nasıl dönüştürüldüğünü, grafiklerin ortak noktalarının nasıl olduğunu hayal ederiz. belirir ve kaybolur Böyle bir çalışma gelişmiş bir hayal gücü gerektirir. çözümlerin sayısı ikişer değişir ve böyle bir noktada, n'deki küçük bir değişiklikle çözüm sayısından bir farklıdır. parametre Biri a parametresine bağlı ve diğeri bağımlı olmayan bir denklem sisteminin çözümlerinin sayısını bulmanın gerekli olduğu problemleri düşünün x ve y sistemlerindeki değişkenler xi, yi, r sayılarını dikkate alıyoruz sabitler verilecek Her çözüm sırasında, her iki denklemin grafiklerini oluştururuz, parametreli denklemin grafiğinin parametrenin değeri değiştiğinde nasıl değiştiğini araştırırız Sonra çözüm sayısı hakkında bir sonuç çıkarırız (ortak noktalar) İnteraktif şekilde, parametresiz denklemin grafiği mavi ile gösterilir ve parametreli denklemin dinamik grafiği kırmızı ile gösterilir Konuyu incelemek için (görevler 1 7 ) InMA 11 dosyasını kullanın , 5 Parametreli sistem çözümlerinin sayısı Araştırma için (görev 8) GInMA dosyasını kullanın Parametreli sistem çözümlerinin sayısı (x x0) + (y y0) = r ; 1 Sistemin çözüm sayısını bulun (x x1) + y = a (x x0) + (y y 0) = r ; y = kx + a (x x0) + (y y0) = r sisteminin çözüm sayısını bulun; 3 y = ax + y1 (x x0) + (y y0) = r sisteminin çözüm sayısını bulun; 4 Sistemin çözüm sayısını bulun (x x1) + y = a (x x0) + y y0 = r ; 5 (x x0) + (y y0) = a (x x0) + (y y0) = r sisteminin çözüm sayısını bulun; 6 y = x a + y1 x x0 + y y0 = r sisteminin çözüm sayısını bulun; 7 (x x0) + (y y0) = a f (x, y) = 0 sisteminin çözüm sayısını bulun; g (x, y, a) = 0 8 Sistemin çözüm sayısını bulun VV Shelomovsky Tematik kümeler, cmdru/

2 1 Denklem grafikleri düzgün eğriler (x x0) + (y y0) = r ; 1 Görev Sisteme çözüm sayısını bulun (x x1) + y \u003d a Çözüm: İlk denklemin grafiği, O noktasında ortalanmış r yarıçaplı bir dairedir (x0; y0) İkinci denklemin grafiği bir A noktasında x ekseninde ortalanmış yarıçaplı a çemberi (x1 ; 0) Dairenin merkezi sabittir, yarıçap parametreyi belirler Parametrenin modülü arttığında daire “şişer” Özel değerler parametrenin değeri, kök sayısının değiştiği değerlerdir, yani ikinci grafiğin dairesinin birincinin dairesine değdiği parametrenin değerleridir Dairelerin modülüne dokunma koşulu dairelerin toplamı veya fark yarıçapı merkezden merkeze mesafeye eşittir: a ± r = AO a = ± AO ± r Araştırma: Değişkenlerin ve parametrenin değerini değiştirerek, çözümlerin sayısını bulun. Dairelerin ortak ekseni dikey olduğunda sistem Genel olarak Pisagor üçgenlerini kullanın Örneğin, x0 x1 = 3, y0 = ±4 modül ve parametrenin büyük değerleri için çözüm yoktur İki çakışmayan dairenin ikiden fazla ortak noktası olamayacağından, genel durumda çözüm sayısı ikiden fazla değildir Temas noktalarında , çözüm sayısı bire eşittir, parametrenin ara değerleri iki parametre için üç farklı nokta (x 1) + (y y0) = 9; (x x1) + y = a (x x0) + (y y0) = r denklem sisteminin çözümleridir; Görev y \u003d kx + a sistemine çözüm sayısını bulun Çözüm: İlk denklemin grafiği, O noktasında ortalanmış r yarıçaplı bir dairedir (x0; y0) İkinci denklemin grafiği bir paralel ailedir A (0; a) noktalarından geçen ve eğimi sabit olan doğrular Düz doğruların eğim açısının tanjantı k'ye eşittir Parametre arttıkça doğrular yukarı doğru hareket eder Özel parametre değerleri o değerlerdir kök sayısının değiştiği, yani düz çizgilerin daireye değdiği parametre değerleri Teğetlik koşulu, dairenin eğim açısının tanjantları ile düz çizgi cmdru/

3 3 Ortaya çıkan denklemi çözerek, iki temas noktasının koordinatlarını buluruz: kr x = x0 ± ; x0 x 1 + k = k k (y y0) + (y y0) = r r y y0 y = y0 1+ k : Değişkenlerin ve parametrenin değerini değiştirerek sistemin çözüm sayısını bulunuz. Çalışmaya doğrular x eksenine paralel olduğunda en basit k = 0 durumu ile başlayın. Parametrenin küçük ve büyük değerleri için çözüm yoktur Düz bir çizgi ve bir daire ikiden fazla ortak noktaya sahip olamayacağından, çözüm sayısı ikiden fazla değildir Teğete karşılık gelen parametre değerleri için, çözüm sayısı birdir, iki parametrenin ara değerleri için Yaratıcı görev Bu denklem sisteminin birden fazla çözümü olmadığı bilinmektedir Denklem sisteminin çözümüne sahip olduğu parametrenin değerini bulun: (x) + (y 3) = r ; y = x + bir (x x0) + (y y0) = r ; 3 Sistemin çözüm sayısını bulun y \u003d ax + y1 Çözüm: İlk denklemin grafiği, O noktasında ortalanmış r yarıçaplı bir dairedir (x0; y0) İkinci denklemin grafiği bir çizgi ailesidir A noktasından geçen (0; y1) doğrularının eğiminin tanjantı ( a) parametrenin değerini belirler Parametre arttıkça grafik ile apsisin pozitif yönü arasındaki açı artar. parametrenin değeri, kök sayısının değiştiği değerlerdir, yani çizgilerin daireye değdiği parametre değerleridir. A noktası (0; y1) dairenin içindeyse, olası herhangi bir düz çizgi daireyi iki noktada keser.Teğet koşulu, dairenin eğiminin ve düz çizginin tanjantlarını eşitleyerek bulunur.Sonuçtaki denklemi çözerek, iki teğet noktasının koordinatlarını buluruz: VV Shelomovsky

4 4 ar x = x0 ± ; x0 x 1 + a = a a (y y0) + (y y0) = r r y y0 y = y0 1+ a parametresinin tekil değerleri a = ± r y0 = y1, x0 r ise, o zaman tekil değerleri a = ± (y1 y 0) r r x0 parametresi x0 = ± r ise, daire r (y1 y 0) A(0; y1) noktasından geçen dikey çizgiye ve parametre değeri a = a = Diğer durumlarda x0 (y1 y 0) a= x0 (y 0 y1) ± r (x0 + (y 0 y1) r) r x0 Araştırma: Değişkenlerin ve parametrenin değerini değiştirerek, sistemin çözüm sayısını bularak başlamak istenir en basit durum y0 = y1, x0 ile etüt< r, когда точка А(0; у1) внутри окружности и число решений всегда равно двум Рассмотрите случай х0 = r, когда число решений легко найти (х0 = r =, y0 = 3, y1 =) Затем рассмотрите случаи, когда корень хорошо извлекается (например, х0 = 3, y0 = 4, r =, y1 =) Поскольку прямая и окружность могут иметь не более двух общих точек, число решений не более двух При значениях параметра, соответствующих касанию, число решений равно единице, при остальных значениях параметра нулю или двум (x + 3) + (y 5) = r ; при всех y = ax + 1 Творческое задание Известно, что система уравнений значениях параметра, кроме одного, имеет два решения Найдите то значение параметра, при котором система уравнений имеет единственное решение (x x0) + (y y0) = r ; 4 Задание Найдите число решений системы (x x1) + y = a Решение: В ходе решения строим графики каждого из уравнений и исследуем число общих точек построенных графиков График первого уравнения это пара окружностей одинакового радиуса r Центры окружностей O и Q имеют одинаковую ординату y0 и ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

5 5 apsis aynı modüle sahip ancak ±x0 işareti farklı Grafikler mavi ve mor olarak gösterilmiştir İkinci denklemin grafiği A(x1; 0) noktasında apsis ekseni merkezli bir yarıçaplı dairedir. parametre, kök sayısının değiştiği değerlerdir, yani, ikinci grafiğin dairesinin birincinin dairelerine değdiği parametrenin değerleri, Yarıçapların toplamına veya farkına dokunma koşulları dairelerin merkezden merkeze mesafesine eşittir: a ± r = AO, a ± r = AQ İnceleme: Değişkenlerin ve parametrenin değerini değiştirerek, sistem değerlerinin çözüm sayısını bulun. bir merkezden merkeze mesafe (örneğin, x0 = 6, y0 = 3, r = 3, x1 =) Tipik olarak küçük modül ve parametrenin büyük değerleri için çözüm yoktur.Temas noktalarında , kök sayısı tek, diğer noktalarda kök sayısı çift ( x 6) + (y y 0) = r; Yaratıcı görev (x x1) + y = a'daki denklem sisteminin, parametrenin belirli bir değeri için tam olarak iki çözümü olduğu bilinmektedir. + y y0 = r; 5 Sistemin çözüm sayısını bulun (x x0) + (y y0) = a Çözüm: Birinci denklemin grafiği y = y0'da buluşan bir çift parabolden oluşur Parabol denklemleri y = y0 ± (r ( x x0)) y = y0, yatay bir simetri eksenine sahiptirler. dikey eksen simetri x = x0 Simetri noktasının merkezi (x0, y0) İkinci grafik, merkezi parabollerin simetri merkezinde bulunan, yarıçapı a olan bir dairedir Parametrenin böyle bir değerinde kök sayısı değişir ikinci grafiğin dairesi parabollerin köşelerine değiyor Temas noktasında: x = x0, y = y0 ± r = y = y0 ± а, dolayısıyla, а = ± r bir değişken: (y y 0) = a (x x0) = (r (x x0)) Bu (x x 0) için ikinci dereceden bir denklemdir, diskriminant sıfır ise bir kökü vardır: VV Shelomovsky Tematik kümeler, cmdru/

6 6 D = (r 0,5) (r a) = 0, a = ± r 1 4 Daire ve parabolün birinci grafiğin kırılma noktalarında kesiştiği parametre değerinde kök sayısı değişir. is, y = y0'da Araştırma : Değişkenlerin ve parametrenin değerini değiştirerek sistemin çözüm sayısını bulunuz r = 1, 4 ve 9 değerlerini kullanın x0 ve y0 parametrelerinin sorunun cevabı Parametrenin küçük ve büyük değerleri için çözüm yoktur x x0 + y y0 = r; 6 Sistemin çözüm sayısını bulun (x x0) + (y y0) = a Çözüm: Birinci denklemin grafiği koordinat eksenlerine 45'lik bir açıyla eğimli bir karedir, köşegeninin yarısının uzunluğu Hangisi r İkinci grafik, merkezi karenin merkez simetrisinde bulunan a yarıçaplı bir dairedir Çemberin karenin köşelerinden geçtiği parametrenin değerinde kök sayısı değişir. durumda, y = y0, a = ±r Dairenin dahili olarak karenin kenarlarına değdiği parametre değerindeki kök sayısı değişir Bu değeri bulmak için, bir denklem sisteminden tek değişkenli bir denkleme geçiyoruz. : (y y 0) = a (x x0) = (r x x0) Bu x x 0 için ikinci dereceden bir denklemdir Diskriminant sıfır ise bir kökü vardır Bu durumda a = ± r Bu durumda dairenin yarıçapı önceki durumda yarıçap, sin 45 olarak: 1 VV Shelomovsky Tematik kümeler, cmdru/

7 7 (x x0) + (y y0) = r ; 7 Sistemin çözüm sayısını bulun y \u003d x a + y1 İlk denklemin grafiği O merkezli bir dairedir (x0; y0) İkinci denklemin grafiği ortak bir başlangıcı olan iki ışından oluşur - “kuş, kanatlar yukarı”, grafiğin üstü A noktasında bulunur (a; y1) İkinci grafiğin “kanadının” daireye veya grafiğin tepe noktasına değdiği parametrenin değerinde kök sayısı değişir bu kanat daireye r yk = y0 olacak şekilde (xk; yk) noktalarında temas eder yk = xk a + y1 a = xk yka + y1= x0 y0 + y1 ± r bir ışın yukarı çıkarsa, tepe koordinatının teğet nokta koordinatından büyük olmaması şartı eklenir, yani y1 yk y0 y1 ± r Benzer şekilde, teğetlik koşullarını “sol kanat” ile yazarız. Grafiğin şekli bir daire üzerindedir, bu durumda koordinatları daire denklemini sağlar: (a x0) + (y1 y0) = r lo sistemin çözümleri, yani grafiklerin ortak noktalarının sayısı Tekil noktalarda kök sayısı tek, diğer noktalarda kök sayısı çift (x) + (y y 0) = r, Yaratıcı görev y = x a + y1 için denklem sisteminin bazı değer parametrelerinin üç çözümü olduğu bilinmektedir. İki çözümün koordinatlarının f (x, y) = 0 ile çakıştığı biliniyorsa parametrenin bu değerini bulun; g (x, y, a) = 0 8 Sistemin çözüm sayısını bulun Fonksiyonları modele göre kendiniz ayarlayın ve çözüm sayısını keşfedin VV Shelomovsky Tematik kümeler, cmdru/

8 8 VV Shelomovsky Tematik setler, cmdru/

9 9 Ödevler С5 (Semyonov Yashchenko) Seçenek 1 Her biri için 4 x 1 x+ 3 a 3 eşitsizliğinin çözüm kümesi olan a'nın tüm değerlerini bulun 3 a 4 x Düşünme x b 1 dönüşümlerini gerçekleştirelim, 1 x b 1, 4 x 1 x+ 3 a x b 3=, b=3 a 3 a 4 x x (x) 0, (x +1) b 1 0 x 3a düzleminin sınır çizgileri: x = 0, x = , x= 3a, x=± 3 a= (x+ 1) 1 4 0 x ise b< 4x, b (x +1) 1 Так как 4x >(x +1) 1, o zaman b (x +1) 1 0 > x ise b > 4x, (x +1) 1 b 1 b için bir çözüm var Örneğin, x = 1 Eğer x > ise b > 4x, (x +1) 1 b 4x'ten beri< (x +1) 1, то (x +1) 1 b Значит, решения таковы Если 3а >8, o zaman x [ 3 a + 1 1.0] [, 3 a + 1 1] 0 ise< 3а < 8, то Если 3а = 0, то х [,0) (0, ] Если 1< 3а < 0, то х [ 3 a +1 1, 3 a+1 1] [ 0, ] Если 1 = 3а, то х 1 } Если 1 >3a, sonra x Çözüm 1 3a O zaman x = 1 eşitsizliği sağlıyor, 4 x 1 x+ 3 a 16+3 a 3 a 3 = 3 =, bir çelişki, bu sayı segmentin dışında 3 a 4 x 3 a+ 4 3 a +4 1 > 3а O halde x b 1, 4 x 1 x+3 a x b 3=, b=3 a< 1 3 a 4 x 1 x b 1, x (x) 0, (x +1) b 1 0 Числа из промежутка 0 х удовлетворяют обоим неравенствам Если x >, o zaman ilk eşitsizlik tatmin edici değil VV Shelomovsky Tematik kümeler, cmdru/

10 10 0 > x, o zaman b (x +1) 1 ise, ikinci eşitsizlik sağlanmaz Cevap: 1 > 3a Seçenek 3 Her biri için a +7 x x + x + denklemi olan a'nın tüm değerlerini bulun 5'in en az bir kökü vardır = a+ 3 x 4 a +1 Düşünme f (a, x)=a +7 x x + x +5 a 3 x 4 a+1 fonksiyonunun tekil noktası x + 1 = 0 Eğer x = 1 ise denklem a +10 a 1 a =0 Dört çözümünü bulmak kolaydır Orijinal fonksiyonun her zaman bundan büyük olduğunu kanıtlamak gerekir Çözüm f (a, x)=a + 7 olsun x x + x +5 a 3 x 4 a+1 Denklem f (a, x)=0 O halde f (a, 1)=a +10 a 1 a =0 Fark f (a, x) f (a, 1) =7 x +1 +5(x + x +5)+ 3 4 a 3 x 4 a+1 3(x a 4 a x 1) 0 Bu nedenle, f (a, x)=0 denkleminin yalnızca f ( a, 1) 0 f (a, 1)=0 denkleminin dört kökü vardır a 1= , a = , a 3= , a 4 = Fonksiyon f (a, 1) 0 (pozitif değil) a için Örneğin, eğer a = 10, yani x kökü) f (a, 1)>0 Kök yok Cevap: [ 5 15, 5+ 15] Seçenek 5 Her biri en az bir ur kökü olan a'nın tüm değerlerini bulun a +11 x+ +3 x + 4 x +13=5 a+ x a + f (a,)=a +9 5 a 4 a =0 fonksiyonunu ve f (a, x) f (a,) eşitsizliğini kullanın (x+ + a x a+) 0 Cevap: [ , ] Varyant 9 x + 4x 5 denkleminin kök sayısını bulun 3a = x + a birinin türevi aralıkta diğerinden büyüktür Değerlerin farkı ​​F(x) = g(x) denkleminin aralıkta tam olarak bir kökü vardır Çözüm F(x, a) = 3а + x + a, g(x) = x + 4x Denklem f(x, a) = g(x) VV Shelomovsky Tematik kümeler, cmdru/

11 11 g(x) fonksiyonunun tekil noktaları x = 1'de minimum ve x = 5'te maksimum ve x = Değerler g(1) = g(5) = 1, g() = 10 Fonksiyonun bir simetri ekseni x = 3'te Modülde daha büyük x değerleri için, ikinci dereceden g(x) fonksiyonu, doğrusal fonksiyondan daha büyüktür f(x, a) Fonksiyonun [5,1] aralığı dışındaki eğimi türev ile belirlenir (x + 4x 5)" = x > 1 için x x > 1 için g(x) fonksiyonu 6'dan büyük bir faktörle monoton olarak artar Simetri nedeniyle, g(x) fonksiyonu bir faktörle monoton olarak azalır x'te 6'dan büyük< 5 Наклон g(x) равен 1 только на промежутке (5, 1) При этом производная (x 4x + 5)" = x 4 = 1 Значит, в точке x = 5 наклон равен 1 Функция f(x, a) = 3а + x + a монотонно убывает с коэффициентом 1 при x + а < 0 и монотонно возрастает с коэффициентом 1 при x + а >0 F(a, a) = 3a, f(5, a) = 3a + 5 a, f(, a) = 3a + a, f(1, a) = 3a + 1 noktalarındaki değerler + a Grafikler f (x, a) ve g(x) eğimleri eşitse dokunur x = 5'te dokunma mümkündür Bu durumda, g(x) = 39/4 f(x, a) = 4a + x = 39/4, 4a = 49 /4, a = 49/16 f(x, a) = g(x) denkleminin köklerini analiz ederiz.<, f(5, a) = а +5 < 1, f(1, a) = а 1 < 5 f(x, a) < g(x), так как в промежутке 5 < x < 1 f(x, a) < 1 < g(x) Если x >1, g(x), f(x, a)'dan daha hızlı büyür, yani her yerde f(x, a)< g(x) Если x < 5, g(x) убывает быстрее, чем f(x, a), то есть всюду f(x, a) < g(x) Других корней нет Если a =, f(5, a) = 1, f(1, a) = 5 f(5,) = g(5) Один корень х = 5 Во всех других точках f(x, a) < g(x), как и в предыдущем случае Если < a < 0, f(5, a) = а +5 >1, f(1, a) = 4a + 1< 1f(, a) = а + < 10 При x >f(x, a)< g(x), корней нет При x < f(1,a) >1 x'de< 5 быстро убывающая g(x) пересекает медленно убывающую левую ветвь f(x,а), один корень При 5 < x < возрастающая g(x) пересекает убывающую f(x,а), один корень, всего корней два, один при x < 5, второй при 5 < x < Если a = 0, f(5, a) = 5, f(1, a) = 1 f(1, a) = g(1), один корень х = 1 Как и раньше, один корень при x < 5, один корень при 5 < x < Всего корней три Если 0 < a < 3, корней 4, два на левой ветке f(х, a) при x <, два на правой при x >Eğer a = 3, f(3, 3) = 8 = g(3), f(, 3) = 10 = g(), kökler 4, x'te f(x, a)'nın sol dalında bir iki< 5, один в вершине f(х, 3) при x = 3, один в вершине g(x) при x =, один при x >1 ise 3< a < 49/16, корней 4, один на левой ветке f(х, a) при x < 5, два на правой ветви g(x) при 3 < x <, один при x >1 a = 49/16 ise, x'de f(x, a)'nın sol dalında bir tane olmak üzere kök sayısı 3'tür.< 5, один в точке касания при x = 5, один при x >1 a > 49/16 ise, x'de f(x, a)'nın sol dalında bir olmak üzere kök sayısı< 5, один на правой при x >1 Cevap: a için kök yok< ; один корень при a =, два корня при < a < 0 или 49/16 < a, три корня при a = 0 или а = 49/16, четыре корня при 0 < a < 49/16 ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

12 1 Seçenek 10 Her biri için 4x 3x x + a = 9 x 3 denkleminin iki kökü olan a parametresinin tüm değerlerini bulun Çözüm Gösterim f(x, a) = 4x 3x x + a, g(x ) = 9 x 3 g(x) fonksiyonunun tekil noktası x = 3'tür.< 3 и монотонно возрастает с коэффициентом 9 при x >3 f(x, a) fonksiyonu 8, 6 veya 0 katsayıları ile parçalı lineerdir Bu nedenle, x'de azalmaz, büyüme hızı fonksiyonun sağ dalından 9 x 3 f(3, a) = a Bu ifadenin grafiği, köşeleri (1, 1), (3, 3), (6, 1) olan bir çoklu çizgidir. Fonksiyonun değerleri a (4, 18) için pozitiftir. ne bulundu Eğer f(3, a) ise< 0, уравнение не может иметь корней, так как g(x) >f(x, a) f(3, a) = 0 ise, denklemin tam olarak bir kökü vardır x = 3 Diğer x'ler için g(x) > f(x, a) f(3, a) > 0 ise, denklemin tam olarak iki kökü vardır, biri x için< 3, когда пересекаются убывающая ветвь g(x) и монотонно не убывающая f(x, a) Другой при x >3, hızla artan dalı g(x) yavaş artan dalı kestiğinde f(x, a) Cevap: a (4, 18) Seçenek 11 Her biri için herhangi bir değer için a parametresinin tüm değerlerini bulun b parametresinin en az bir denklem çözüm sistemine sahiptir (1+ 3 x)a +(b 4 b+5) y =, x y +(b) x y+ a + a=3 Düşünme Sistem şöyle görünür (1 + 3 x)a +(1+(b) ) y =, Uygun şekilde x y +(b) x y=4 (a+ 1) a (1+3 x) =1, Çözüm x = y = 0 ve x y =4 (a +1) karşılık gelen parametre değerleri a = 1 ve a = 3 tekil noktayı analiz edin b = Sonra (1+ 3 x)a +(1+(b)) y =, x y +(b) x y= 4 (a+ 1) Çözüm Sistemi Çözüm x = y = 0 a = 1 veya a = 3 için her zaman vardır şeklinde yazarız. b = ise sistem (1+ 3 x)a +1 y =, veya x y =4 (a+1) (1+3 x)a=1, x y =4 (a+1) Eğer a > 1 veya a ise< 3 система не имеет решений, так как их не имеет второе уравнение Если 1 < a < 3, из второго уравнения получим, что x >0, ilkinden a = 0 buluyoruz a = 0 Olsun O zaman ilk denklemden b = 4 için y = 0 elde ediyoruz Bu durumda ikinci denklemin çözümü yok Cevap: 1 veya 3 VV Shelomovsky Tematik küme, cmdru /

13 13 Seçenek 14 Her biri için x 6x a 4a = 0 denkleminin köklerinin fark modülünün aldığı parametrenin tüm değerlerini bulun en yüksek değerÇözüm Denklemi (x 3) = 1 (a) şeklinde yazalım. Çözümü = 0 sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının periyodikliğinden dolayı problem x=3± 1 (a) doğru parçası için çözülebilir. köklerin farkı a = Cevap: Seçenek 15 Her biri için (4 4 k) sin t =1 denkleminin [ 3 π ; 5 π ] cos t 4 sin t Çözüm Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının periyodikliğinden dolayı problem t [ π ; 15 π ], sonra elde edilen her çözümden 4π çıkarın Denklemi + 4 k sin t cos t \u003d 0 cos t 4 sin t Segmentinde t [ π ; 15 π] sinüs sıfırdan eksi bire monoton olarak azalır, kosinüs eksi birden sıfıra monoton olarak artar Payda 4tgt = 1'de kaybolur, yani sin t = 1 4'te, cos t = t = 15π eşittir 4k k 0 ise, pay pozitiftir ve denklemin kökü yoktur k > 0 ise, payın her iki değişken terimi de azalır, yani pay monoton olarak değişir. daha küçük değerler için pozitif k Pay sıfır ve payda sıfır değilse, yani 4k =+ 4 k sin t cos t + k durumunda denklemin bir kökü vardır Cevap: k [ 05,+)\1 + ) Seçenek 18 Her biri için denklem sistemi (x a 5) + (y 3 a +5) \u003d 16, (x a) + (y a + 1) \u003d 81 olan parametrenin tüm değerlerini bulun benzersiz bir çözüm Her denklemin bir daireyi tanımladığını düşünüyoruz Çözüm, dairelere dokunulduğunda benzersizdir Çözüm İlk denklem (a + 5, 3a 5) ve yarıçapı 4 olan bir daireyi tanımlar İkinci denklem daireseldir (a +, a 1) noktasında ortalanmış, yarıçapı 9 VV Shelomovsky Tematik kümeler, cmdru/

14 14 Daireler teğet ise sistemin benzersiz bir çözümü vardır. Bu durumda, merkezler arasındaki mesafe = 13 veya 0 4 = 5 Merkez mesafesinin karesi: ((a + 5) (a +)) + ( (3a 5) (a 1)) = a a + 5 Uzaklık 5 ise a = 0 veya a = 1 Uzaklık 13 ise a = 8 veya a = 9 Cevap: 8, 0, 1, 9 Seçenek 1 Her biri tam olarak iki negatif olmayan çözüm denklemine sahip olan parametrenin tüm değerlerini bulun 10 0.1 x a 5 x + a \u003d 004 x Çözüm 5 x a 5 x + a \u003d 5 x Belirtin t \ u003d 5x 1 Üstel fonksiyon 5x'in monotonluğundan dolayı, her kök t 1 tam olarak bir kök x 0 üretir Denklem t a t+ a t =0 formunu alır Eğer bir t ise, o zaman t + 3t + a = 0 1 t > a t/ ise, t t + 3a = 0 t/ > a, o zaman t 3t a = 0 t > 1 için, t 3t işlevi t = 15'te t = 1'den 5'e monoton olarak azalır ve sonra monoton olarak artar Böylece, 5 > a için iki kök vardır, daha küçük a için kök yoktur, büyük a için kök tam olarak birdir. n Cevap: 5 > a Seçenek Parametreye bağlı olarak sistemin çözüm sayısını bulun x (a+1) x+ a 3= y, y (a+1) y + a 3= x f(x)= y, f(y)= x veya f(f(х)) = x gibi f(x)= x çözümlerinden biri İkinci çözüm denklemleri çıkararak bulunur Çözüm İkinci denklemi şundan çıkarın ilk denklemi elde ederiz (x + y a)(x y) = 0 x = y olsun Birinci denklemde yerine koy, dönüştürelim (x a 1) = 4 + a Let x + y = a Birinci denklemde yerine koy, dönüştür: (x a) = 3 + a Eğer bir<, корней нет Если a =, то x = y = a + 1, единственное решение Если 15 >a >, yani bir çift çözüm x= y =a+ 1± 4+ a a = 15 ise, o zaman iki çözüm: x = y = a, x = y = a + Eğer 15< a то решения x= y =a+ 1± 4+ a, x=a± 3+ a, y= a x Ответ: a < нет решений, а = одно, 15 a >, iki çözüm, a > 15 dört çözüm VV Shelomovsky Tematik kümeler, cmdru/

15 15 Seçenek 4 Her biri için 7 x 6 +(4 a x)3 +6 x +8 a=4 x denkleminin kökü olmayan a'nın tüm değerlerini bulun 8a 4x = (4a x), 7x6 = düşünme (3x)3 Bu, denklemin aynı ifadelerin küplerinin toplamını ve toplamını içerdiği anlamına gelir Bu kullanılabilir Çözüm Denklemi (3 x)3 + (4 a x) 3+ (3 x + 4 a x)=0 Küplerin toplamını genişlet (3 x +4 a x) ( (3 x) 3 x (4 a x)+(4 a x) +)=0 İkinci faktör, It ile artan farkın eksik karesidir. pozitiftir Birinci faktördeki kareyi seçerek 1 1 3(x) + 4 a = Bu denklemin kökü yoktur, eğer 4 a > 0 ise a > 3 1 Cevap: 1a > 1 Seçenek 8 Değerleri bulun ​​a, her biri için x a x fonksiyonunun en büyük değeri birden az değildir Çözüm x a ise, f (x, a) = x a x fonksiyonu x = 0,5 için maksimum, maksimum 0,5 a< 0,5 наибольшее значение функции 0,5 а 1 при 075 а Если x < a, функция f(x,a) = a x x Она максимальна при x = 0,5, максимум равен a + 05 При a >0,5, 0,75 ile a + 0,5 1 fonksiyonunun en büyük değeridir. , x = 8y + b çift sayıda çözüme sahiptir Çözüm: Birinci denklemden y > 0 olduğu sonucu çıkar, ikinci denklem 8 formuna dönüştürülebilir: y=, x (b; +) y dahil: x b f ( x) = xa = 0; f `(x) = 4 x 3 + x b (x b)3 Ortaya çıkan denklemin her kökü, orijinal sistemin tam olarak bir çözümünü üretir< 0 функция f(x) монотонно возрастает от минус бесконечности до f(х1), уменьшается до f(х) и вновь монотонно возрастает при положительных иксах до плюс бесконечности Уравнение может иметь чётное число корней два только если корень совпадает с минимумом или максимумом функции, то есть в точке корня производная равна нулю, то есть f(х1) = g(х1) = 0 Исключая корень из уравнений, найдём: а = (4х1 + х14) Полученная функция имеет максимум при х1 = 1 (а = 3; b = 1,5), поэтому для любого a (0; 3) существуют х1, х х1 и b, при которых число корней равно два Однако при а = 3 х ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

16 16 \u003d x1, her iki kök de aynıdır ve f (x) \u003d 0 denkleminin yalnızca bir kökü vardır = x (x b) + 1 = 0 Son denklemin bir veya iki kökü olabilir ve yalnızca negatif x ile. Tematik kitler, cmdru/

Birleşik Durum Sınavı 013 için C5 tipi çözme görevleri örnekleri Setteki çizimlerin çoğu etkileşimlidir. Grafiklerin parametrelerini ve denklemlerini değiştirebilirsiniz. Etkileşimli dosyaların girilmesi üzerine tıklanarak yapılır.

Konu 41 "Parametreli görevler" Parametreli görevlerin ana formülasyonları: 1) Her biri belirli bir koşulu yerine getiren tüm parametre değerlerini bulun.) İle bir denklemi veya eşitsizliği çözün.

1 Fonksiyonlar, grafikleri ve ilgili ispatları İçindekiler 1 Kökler ve sayıları...1 1.1 Denklem kökleri...1 1.1.a Denklem kökleri...1 1. Kök sayısı... 1. Kök sayısı. .. 1.4 İşlevsellik

Görev 18 Görevleri değerlendirmek için kriterler 18 Kriterin içeriği Puanlar Makul bir şekilde doğru cevap alındı. 4 Doğru muhakeme yardımıyla, istenenden sonlu bir sayı ile farklı olan bir dizi a değeri elde edilir.

a x = b lineer denklemi şunları içerir: a 0 için benzersiz bir çözüm; a = 0, b = 0 için sonsuz bir çözüm kümesi; a = 0, b 0 için hiçbir çözümü yoktur. İkinci dereceden ax 2 + bx + c = 0 denkleminde şunlar bulunur: iki farklı

GRAFİK TÜRLERİ Formül: y = kx + b k doğrusunun eğimi anlamına gelir b doğrunun orijine göre kaç birim yukarı veya aşağı kaydırıldığını gösterir k pozitif ise, doğru artar ÖRNEKLER: y =

C5 Her a değeri için, sistemi çöz Sisteme bir çözüm veren çiftler koşulları sağlamalıdır.

Görev 23 314690. Kesişecek fonksiyonun bir grafiğini oluşturun - ve düz çizginin hangi değerler için üç noktada üçlü bir grafik olduğunu belirleyin. Fonksiyonun bir grafiğini oluşturalım (şekle bakın). Çizginin olduğu grafikten görülebilir

Parametreli problemler (grafik çözüm yöntemi) Giriş Parametreli problemlerin incelenmesinde grafiklerin kullanılması son derece etkilidir. Uygulama yöntemine bağlı olarak, iki ana yaklaşım vardır.

Öğrencileri profil düzeyinde matematikte Birleşik Devlet Sınavına hazırlama sistemi. (parametreli görevler) Teorik malzeme Tanım. Parametre, problemdeki değeri dikkate alınan bağımsız bir değişkendir.

Bağımsız karar için görevler. 6x fonksiyonunun tanım alanını bulun. Fonksiyon grafiğinin M (;) noktasından geçen teğetin x eksenine olan eğim açısının tanjantını bulun. Bir açının tanjantını bulun

Web Semineri 5 Konu: İnceleme Sınava hazırlanma (görev 8) Görev 8 Her biri için a a 0 denkleminin yedi veya sekiz çözümü olan a parametresinin tüm değerlerini bulun Let, sonra t t Başlangıç ​​denklemi

Bu doğru cevap olduğundan, sistem iki veya daha fazla koşulun yerine getirilmesini gerektirir ve biz bu değerleri arıyoruz. bilinmeyen değer Tüm koşulları aynı anda sağlayan eşitsizliklerin her birinin çözümünü gösterelim

Bölüm 8 Fonksiyonlar ve Grafikler Değişkenler ve aralarındaki bağımlılıklar. İki nicelik ve oranları sabitse doğrudan orantılı olarak adlandırılır, yani eğer =, değişimle değişmeyen sabit bir sayı nerede

Konu 36 "Fonksiyonların özellikleri" Keyfi bir fonksiyon grafiği örneğini kullanarak bir fonksiyonun özelliklerini analiz edeceğiz y = f (x): 1. Bir fonksiyonun alanı, değişkenin tüm değerlerinin kümesidir. karşılık gelen x

Genel bilgi Parametreli görevler C tipi görev modülüne sahip denklemler 5 1 Birleşik Devlet Sınavına Hazırlık Dikhtyar M.B. 1. x sayısının mutlak değeri veya modülü, x 0 ise, x sayısının kendisidir; x sayısı,

İrrasyonel eşitsizlikler Değişkenin kökün işareti altında yer aldığı eşitsizliklere irrasyonel denir.İrrasyonel eşitsizlikleri çözmenin ana yöntemi, orijinali azaltma yöntemidir.

Matematik ve Bilgisayar Bilimleri Bölümü Yüksek Matematik Unsurları Kullanarak okuyan orta mesleki eğitim öğrencileri için eğitim ve metodolojik kompleks uzak teknolojiler Modül Hesabı Derleyen:

Çeşitli problemlerde ikinci dereceden fonksiyon Dikhtyar MB Temel bilgiler İkinci dereceden fonksiyon (kare üç terimli) y ax bx c formunun bir fonksiyonudur, burada abc, verilen sayılar ve İkinci dereceden fonksiyonlar y

“Teğetsel Denklem” konulu görev sistemi y f () fonksiyonunun grafiğine çizilen teğetin eğiminin işaretini, apsisli noktalarda a, b, c a) b) Türevin hangi noktalarda olduğunu belirtin

MODÜLLERLE DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Gushchin DD www.mathnet.spb.ru 1 0. En basit denklemler. En basit (mutlaka basit olmayan) denklemler için, aşağıdakilerden biri tarafından çözülen denklemlere atıfta bulunacağız.

MODÜL “Süreklilik ve türev uygulamaları. Türevin fonksiyonların incelenmesine uygulanması. Süreklilik uygulaması. Aralık yöntemi. Grafiğe teğet. Lagrange formülü. 4. Türevin uygulanması

RE A L N O V A R I A N A E G E - 2001 P O M A T E M A T I C E SORUNUNUN ÇÖZÜMÜ Bölüm 1 A1. ifadesinin değerini bulunuz. 1. 15 2. 10 3. 5 4. Çözüm. Cevap: 1. A2. Ifadeyi basitleştir. bir.

Sınıf öğrencilerinin matematik kültürünün yeterliliğe dayalı bileşeninin oluşumu için metodoloji Matematikte eğitim modüllerini inceleme sistemi I. K. Sirotina, Bölüm Kıdemli Öğretim Üyesi Bilişim Teknolojileri

Cebir 0 sınıfı Konu Trigonometrik fonksiyonlar ve dönüşümler Temel kavramlar Z harfi tamsayılar kümesini belirtir: Z (0; ; ; ;) [- ; ] denir

111 Fonksiyonlar Temel seviye İçindekiler 11101 Koordinat sistemleri 1110 Fonksiyon konsepti 7 1110 Fonksiyon alanı 10 11104 Fonksiyon aralığı (set) 1 11105 Fonksiyon artırma ve azaltma

Bölüm TESTLER T-0 Bir fonksiyonun çizelgeye göre incelenmesi T-0 Rasyonel bir fonksiyonun grafiği ile formül arasındaki yazışmalar T-0 Bir grafiğin özelliklere göre oluşturulması T-04 Grafiğin paralel transferi T-05 Simetrik

Matematikte Birleşik Durum Sınavı, 7 yıllık demo Kısım A 6p p ifadesinin değerini p = Çözüm ile bulun Derecenin özelliğini kullanın: Ortaya çıkan ifadede değiştirin Doğru

Ders 8 Temel trigonometrik formüller (devamı) Trigonometrik fonksiyonlar Çarpım dönüşümü trigonometrik fonksiyonlar sinüs ve kosinüs çarpımını dönüştürmek için formülleri toplamak için

FONKSİYONLAR. Bir fonksiyon kavramı. Diyelim ki bir kişinin hızı 5 km/h. Seyahat süresini x saat ve kat edilen mesafeyi y km olarak alırsak, kat edilen yolun seyahat süresine bağımlılığı şu şekilde olabilir:

Sınav hakkında genel bilgiler Profil seviyesi Görev 0 Parametrelerle ilgili problemler İkinci dereceden denklemler ve kare üç terimli denklemler Dikhtyar MB Denklem f (a) x + g(a) x + ϕ (a) = 0, burada f (a) 0,

Birleşik Devlet Sınavı 2017 A.V.'den yaklaşık 18 ödev Şevkin, [e-posta korumalı] Açıklama: Makale, bir parametre ile bir dizi görevi çözmek için çeşitli yöntemleri analiz eder. Anahtar Kelimeler: denklem, eşitsizlik, parametre, fonksiyon,

İkinci mertebeden Daire Eğrileri Daire Elips Hiperbol Parabol Düzlemde dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sistemi verilsin. İkinci dereceden bir eğri, koordinatları tatmin edici bir nokta kümesidir.

Problem çözmede farklı yaklaşımlar C C C5 Birleşik Devlet Sınavı 9 yıllık Birleşik Devlet Sınavına Hazırlık (öğretmenler için ders materyali) Prokofiev AA [e-posta korumalı] Görevler C Örnek (C KULLANIN) y si (si) (7 y) denklem sistemini çözün

1 Bilet 9 10. Çözüm Bileti 9 1. Doğrusal bir f(x) fonksiyonu verilmiştir. y = x ve y = f(x) grafiklerinin kesişim noktaları arasındaki uzaklığın 10'a eşit olduğu ve grafiklerin kesişme noktaları arasındaki uzaklığın y = olduğu bilinmektedir.

Matematik ve Enformatik Bölümü Matematiksel Analiz Uzaktan teknoloji kullanımı ile eğitim gören HPE öğrencileri için eğitimsel ve metodolojik kompleks Modül 4 Türev Uygulamaları Derleyen: Doçent

Uçakta 5. ders. Tanım. Düzlemdeki herhangi bir düz çizgi birinci dereceden bir denklemle verilebilir ve A, B sabitleri aynı anda sıfıra eşit değildir. Bu birinci dereceden denkleme genel denklem denir.

8. Sınıf Kararları 017-018 Görev Görev 1 Denklemin köklerinin küplerinin toplamını bulun (x x 7) (x x) 0. Denklemi çözmek için değişkeni değiştirme yöntemini kullanırız. Y \u003d x + x 7'yi, ardından x + x \u003d (x

TÜREV FONKSİYONUNUN UYGULAMASI Tanjantın denklemi Aşağıdaki problemi göz önünde bulundurun: fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin denklemini bir noktada yazmak gerekir Türevin geometrik anlamına göre

FONKSİYON ARAŞTIRMASI Bir fonksiyonun artması ve azalması için yeterli koşullar: Türevlenebilir bir fonksiyonun türevi X aralığında pozitif ise, o zaman bu aralıkta artar.

Web Semineri 7 (6-7) Konu: Parametreleri KULLAN Profil Görev 8 Her biri için fonksiyon değerleri kümesi 5 5 5 olan tüm parametre değerlerini bulun Her biri için tüm parametre değerlerini bulun

5.0. 014 Harika iş. Parametreli denklemler ve denklem sistemleri. Bir deneyim Giriş sınavlarıüniversitelere göre parametreler içeren denklemlerin ve eşitsizliklerin çözümünün büyük zorluklara neden olduğunu göstermektedir.

Los Angeles Strauss, I.V. Barinova Birleşik Devlet Sınav Yönergelerinde bir parametre ile Görevler y=-x 0 -a- -a x -5 Ulyanovsk 05 Strauss L.A. Sınavda parametreli görevler [Metin]: yönergeler/ Los Angeles Strauss, I.V.

Anlatım 13 Konu: İkinci mertebeden eğriler Düzlemde ikinci mertebeden eğriler: elips, hiperbol, parabol. Geometrik özelliklerine göre ikinci dereceden eğrilerin denklemlerinin türetilmesi. Bir elips şeklinin incelenmesi,

Matematik 8. Sınıf 2 PROGRAM İÇERİĞİ Bölüm 1. Cebirsel kesirler (24 saat) Cebirsel kesirler kavramı. Cebirsel kesrin ana özelliği. Kesinti cebirsel kesirler. Toplama ve çıkarma

Konu 10 "Grafikler temel fonksiyonlar". bir. Doğrusal fonksiyon f(x) = kx + b. Grafik düz bir çizgidir. 1) Tanım alanı D(f) = R.) Değerlerin alanı E(f) = R. 3) x = k/b'de y = 0 fonksiyonunun sıfırları. 4) Aşırılıklar

P0 Türev Argümana bağlı olarak bir f () fonksiyonunu düşünün Bu fonksiyonun 0 noktasında ve komşularının bir kısmı, bu noktada sürekli ve komşuluğunda tanımlansın

Parametreli görevler (10-11. sınıflar) Parametreler aynı sayılardır, sadece önceden bilinmez 1 Doğrusal denklemler ve parametrelerle eşitsizlikler Doğrusal fonksiyon: - eğimli bir doğrunun denklemi

Seçenek Fonksiyonun tanım kümesini bulun: y + Verilen fonksiyonun tanım kümesi eşitsizlik tarafından belirlenir Ayrıca payda kaybolmamalı Paydanın köklerini bulun: Sonuçların birleştirilmesi

BİLET 15 Fiztekh 017. Biletler 15 16. Çözüm 1. Argümanın ardışık üç doğal değeri için ikinci dereceden f(x) fonksiyonunun sırasıyla 1, 1 ve 5 değerlerini aldığı bilinmektedir. en küçüğünü bul

Fonksiyonların grafiklerinin oluşturulması 1. Bir fonksiyonun grafiğini çizerken çalışmayı planlayın 1. Fonksiyonun tanım kümesini bulun. Bir fonksiyonun birden çok değerini dikkate almak genellikle yararlıdır. Bir işlevin özel özelliklerini keşfedin:

geometrik anlamda türev y=f(x) fonksiyonunun grafiğini ve P 0 (x 0 ; f(x 0)) noktasındaki tanjantı düşünün. Bulalım eğim bu noktada grafiğe teğet. Tanjantın eğim açısı Р 0

Türevin geometrik anlamı, tanjant 1. Şekil, y \u003d f (x) fonksiyonunun grafiğini ve ona apsis x 0 olan noktada teğetini gösterir. f fonksiyonunun türevinin değerini bulun ( x) x 0 noktasında. Değer

Eğitim ve Bilim Bakanlığı Rusya Federasyonu Moskova Fizik ve Teknoloji Enstitüsü ( Devlet Üniversitesi) Yazışmalar fizik ve teknik okul MATEMATİK Parametrelerle problem çözme (01 015)

ikinci dereceden denklemler ikinci dereceden denklemler Nispeten

Denklemler, eşitsizlikler, parametreli sistemler Görevlere verilen cevaplar bir kelime, bir cümle, bir sayı veya bir kelime dizisi, sayılardır. Cevabınızı boşluk, virgül veya diğer fazladan karakterler olmadan yazın.

PARAMETRELERLE GÖREV BÖLÜMÜ Açıklama Parametreli görevler geleneksel olarak zor görevler Birleşik Devlet Sınavının yapısında, başvuranın yalnızca çeşitli sorunları çözmek için tüm yöntem ve tekniklere hakim olmasını gerektirmeyen

Matematik. Ödevlerin toplanması (14 Nisan 01). - ile görevler. Problem 1. A parametresinin hangi değerleri için denklemin benzersiz bir çözümü var 4 + 1 = + a ax x x x a Problem. Hepsini geçerli bul

IV Yakovlev Matematikte İşlemler MathUs.ru Aralıklar yöntemi Aralıklar yöntemi, sözde rasyonel eşitsizlikleri çözmek için bir yöntemdir. Genel kavram rasyonel eşitsizliği daha sonra tartışacağız, ama şimdilik

Diferansiyel hesap Matematiksel analize giriş Dizi ve fonksiyon limiti. İçindeki belirsizliklerin açıklanması. Fonksiyon türevi. Farklılaşma kuralları. Türevin uygulanması

Kısım I (Seçenek 609) Kök işareti altındaki A Faktörü 8 q A) q 8) q 8) q 8) q 8 8 8 q q Doğru cevap) İfadenin değerini bulun),5) Doğru cevap) a = ile 9 a a)) 8 A günlük 8 Değeri bulun

Çözümler A Tüm bu sayıları sayı eksenine çizelim Hepsinin solunda bulunan ve en küçük olanı Bu sayı 4 Cevap : 5 A Eşitsizliği analiz edelim Sayı ekseninde aşağıdakileri sağlayan sayılar kümesi

6..N. Türev 6..H. Türev. İçindekiler 6.0.N. Türev Girişi.... 6..0.N. Türev karmaşık fonksiyon.... 5 6..0.N. Modüllü fonksiyonların türevleri.... 7 6..0.Н. Artan ve azalan