Karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralı bizi diferansiyelin dikkate değer ve önemli bir özelliğine götürecektir.

Fonksiyonlar öyle olsun ki, bunlardan karmaşık bir fonksiyon oluşturulsun: . Türevler varsa, o zaman - V kuralına göre - bir türev de vardır.

Bununla birlikte, türevini (7) ifadesiyle değiştirerek ve t'nin bir fonksiyonu olarak x'in bir diferansiyeli olduğunu fark ederek, sonunda şunu elde ederiz:

yani, diferansiyelin önceki formuna dönelim!

Böylece eski bağımsız değişken yenisi ile değiştirilse bile diferansiyelin formunun korunabileceğini görüyoruz. x bağımsız değişken olsun ya da olmasın, y'nin diferansiyelini (5) biçiminde yazmakta her zaman özgürüz; tek fark, eğer t bağımsız bir değişken olarak seçilirse, bu keyfi bir artış değil, bir diferansiyel x anlamına gelir. Bu özelliğe diferansiyelin formunun değişmezliği denir.

Formül (5), türevi diferansiyeller cinsinden ifade eden formül (6)'yı doğrudan verdiğinden, son formül, hangi bağımsız değişken (elbette her iki durumda da aynı) hesaplanırsa hesaplansın, geçerli kalır.

Örneğin, öyle olsun

Şimdi ayarladık O zaman ayrıca şunlara sahip olacağız: Formülün

yukarıda hesaplanan türev için sadece başka bir ifade verir.

Bu durum özellikle y'nin x'e bağımlılığının doğrudan belirtilmediği, bunun yerine hem x hem de y değişkenlerinin bazı üçüncü, yardımcı değişkenlere (parametre olarak adlandırılır) bağımlılığının verildiği durumlarda kullanım için uygundur:

Bu fonksiyonların her ikisinin de türevleri olduğunu ve birincisi için türevi olan bir ters fonksiyon olduğunu varsayarsak, o zaman y'nin de x'in bir fonksiyonu olduğu ortaya çıkar:

bunun da bir türevi var. Bu türevin hesaplanması yukarıdaki kurala göre yapılabilir:

y'nin x'e doğrudan bağımlılığını geri yüklemeden.

Örneğin, türev, yukarıda olduğu gibi, bağımlılık kullanılmadan tanımlanabiliyorsa.

X ve y'yi düzlemdeki bir noktanın dikdörtgen koordinatları olarak düşünürsek, o zaman denklemler (8) t parametresinin her değerini t'deki bir değişiklikle düzlemdeki bir eğriyi tanımlayan belirli bir noktaya atar. Denklemler (8) denir parametrik denklemler bu eğri.

Eğrinin parametrik bir spesifikasyonu durumunda, formül (10) doğrudan denklemlerden (8) kurmayı mümkün kılar. eğim denklem (9) ile eğriyi belirlemeye devam etmeden teğet; kesinlikle,

Yorum. Türevi, özellikle herhangi bir değişkene göre alınan diferansiyeller cinsinden ifade etme olasılığı, formüllerin

Farklılaşma kurallarını Leibniz gösteriminde ifade etme ters fonksiyon ve karmaşık bir fonksiyon, basit cebirsel özdeşlikler haline gelir (çünkü buradaki tüm diferansiyeller aynı değişkene göre alınabilir). Bununla birlikte, bunun yukarıdaki formüllerin yeni bir türevini verdiğini düşünmemek gerekir: her şeyden önce, soldaki türevlerin varlığı burada kanıtlanmadı, ancak asıl mesele şu ki, esasen diferansiyelin formunun değişmezliğini kullandık. , ki bu da V kuralının bir sonucudur.

Birkaç değişkenli bir fonksiyonun toplam diferansiyeli için ifade, u ve v bağımsız değişkenler veya diğer bağımsız değişkenlerin fonksiyonları olsun, aynıdır.

Kanıt, toplam diferansiyel formüle dayanmaktadır.

Q.E.D.

5.Bir fonksiyonun toplam türevi fonksiyonun yörünge boyunca zamana göre türevidir. Fonksiyonun forma sahip olmasına ve argümanlarının zamana bağlı olmasına izin verin: . Ardından, yörüngeyi tanımlayan parametreler nerede. Bu durumda fonksiyonun ( noktasında) toplam türevi, kısmi zaman türevine (karşılık gelen noktada) eşittir ve aşağıdaki formülle hesaplanabilir:

nerede - kısmi türevler. Tanımlamanın şartlı olduğu ve diferansiyellerin bölünmesi ile ilgisi olmadığı belirtilmelidir. Ayrıca, bir fonksiyonun toplam türevi sadece fonksiyonun kendisine değil, aynı zamanda yörüngeye de bağlıdır.

Örneğin, bir fonksiyonun toplam türevi:

Burada yoktur, çünkü kendi içinde (“açıkça”) bağlı değildir.

Tam diferansiyel

Tam diferansiyel

birkaç bağımsız değişkenin f (x, y, z, ...) fonksiyonları - ifade

tam artıştan farklı olması durumunda

Δf = f(x + Δx, y + Δy, z + Δz,…) - f(x, y, z, …)

kıyasla sonsuz küçük bir değere

Yüzeye teğet düzlem

(X, Y, Z - teğet düzlemdeki noktanın mevcut koordinatları; - bu noktanın yarıçap vektörü; x, y, z - teğet noktasının koordinatları (sırasıyla normal için); - koordinat çizgilerine teğet vektörler, sırasıyla v = const; u = const; )

1.

2.

3.

Yüzey normali

3.

4.

Diferansiyel kavramı. Diferansiyelin geometrik anlamı. Birinci diferansiyelin formunun değişmezliği.

Belirli bir x noktasında türevlenebilir bir y = f(x) fonksiyonu düşünün. Artışı Dy şu şekilde temsil edilebilir:

D y \u003d f "(x) D x + bir (D x) D x,

burada birinci terim Dx'e göre doğrusaldır ve Dx = 0 noktasındaki ikinci terim Dx'ten daha yüksek dereceden sonsuz küçük bir fonksiyondur. Eğer f "(x) No. 0 ise, o zaman ilk terim, Dy artışının ana kısmıdır. Artışın bu ana kısmı, doğrusal fonksiyon Dx argümanı ve y = f(x) fonksiyonunun diferansiyeli olarak adlandırılır. Eğer f "(x) \u003d 0 ise, fonksiyonun diferansiyeli tanım gereği sıfıra eşit olarak kabul edilir.

Tanım 5 (diferansiyel). y = f(x) fonksiyonunun diferansiyeli, türevin ürününe ve bağımsız değişkenin artışına eşit olan Dy artışının Dx kısmına göre ana doğrusaldır.

Bağımsız bir değişkenin diferansiyeli, bu değişkenin dx = Dx artışına eşit olduğuna dikkat edin. Bu nedenle, diferansiyel formülü genellikle aşağıdaki biçimde yazılır: dy \u003d f "(x) dx. (4)

Ne olduğunu öğrenelim geometrik anlam diferansiyel. y = f(x) fonksiyonunun grafiğinde keyfi bir M(x, y) noktası alın (Şek. 21.). OX ekseninin pozitif yönü ile bir f açısı oluşturan M noktasında y = f(x) eğrisine bir teğet çizin, yani f "(x) = tgf. MKN dik üçgeninden

KN \u003d MNtgf \u003d D xtg f \u003d f "(x) D x,

yani dy = KN.

Böylece, bir fonksiyonun diferansiyeli, x, Dx ile artırıldığında, verilen bir noktada y = f(x) fonksiyonunun grafiğine çizilen teğetin ordinatındaki artıştır.

Türevin özelliklerine benzer olan diferansiyelin ana özelliklerini not ediyoruz.

2. d(c u(x)) = c u(x);

3. d(u(x) ± v(x)) = d u(x) ± d v(x);

4. d(u(x) v(x)) = v(x)d u(x) + u(x)d v(x);

5. d(u(x) / v(x)) = (v(x) d u(x) - u(x) d v(x)) / v2(x).

Diferansiyelin sahip olduğu, ancak türevin sahip olmadığı bir özelliğe daha işaret edelim. y = f(u) fonksiyonunu düşünün, burada u = f (x), yani karmaşık y = f(f(x) fonksiyonunu düşünün). Eğer f ve f fonksiyonlarının her biri türevlenebilir ise, o zaman Teorem (3)'e göre bileşik fonksiyonun türevi y" = f"(u) u"'ye eşittir.

dy \u003d f "(x) dx \u003d f "(u) u" dx \u003d f "(u) du,

u "dx = du. Yani, dy = f" (u) du. (5)

Son eşitlik, x'in bir fonksiyonu yerine u değişkeninin bir fonksiyonunu düşünürsek, diferansiyel formülün değişmeyeceği anlamına gelir. Diferansiyelin bu özelliğine, birinci diferansiyelin formunun değişmezliği denir.

Yorum. Formül (4)'te dx = Dx iken, formül (5)'te du'nun u fonksiyonunun artışının yalnızca doğrusal kısmı olduğuna dikkat edin.

İntegral hesabı, integralleri hesaplamanın özelliklerini ve yöntemlerini ve uygulamalarını inceleyen bir matematik dalıdır. ben. ve. diferansiyel hesap ile yakından ilgilidir ve onunla birlikte ana bölümlerden birini oluşturur.

Bir fonksiyonun diferansiyelinin şu şekilde yazılabileceğini gördük:
(1),

eğer bağımsız bir değişkendir. şimdi izin ver karmaşık bir işlev var , yani
,
ve bu nedenle
. fonksiyonların türevleri ise
ve
var, o zaman
, karmaşık bir fonksiyonun türevi olarak. Diferansiyel
veya. Fakat
ve bu nedenle yazabiliriz
, yani için ifadeyi al
(1)'deki gibi.

Çözüm: formül (1) olduğu durumda olduğu gibi doğrudur bağımsız bir değişkendir ve bu durumda bağımsız değişkenin bir fonksiyonudur . Altındaki ilk durumda
bağımsız değişkenin diferansiyeli olarak anlaşılır
, ikincisinde - fonksiyonun diferansiyeli (bu durumda
, Genel konuşma). Bu şekil koruyucu özelliğe (1) denir diferansiyel form değişmezliği.

Diferansiyelin formunun değişmezliği, karmaşık fonksiyonların diferansiyellerini hesaplarken büyük faydalar sağlar.

Örneğin: hesaplanacak
. Bağımlı veya bağımsız değişken olup olmadığı , yazabiliriz. Eğer bir - fonksiyon, örneğin
, sonra buluruz
ve diferansiyelin formunun değişmezliğini kullanarak, yazma hakkımız var.

§onsekiz. Daha yüksek siparişlerin türevleri.

y \u003d  (x) işlevinin bazı X aralığında türevlenebilir olmasına izin verin (yani, bu aralığın her noktasında sonlu bir türev y 1 \u003d  1 (x) vardır). O halde  1 (x), X'in kendisinde x'in bir fonksiyonudur. Bazı noktalarda veya hepsinde x 1 (x)'in kendisinin bir türevi olduğu ortaya çıkabilir, yani. türevin bir türevi var (y 1) 1 \u003d ( 1 (x) 1. Bu durumda, ikinci türev veya ikinci dereceden türev olarak adlandırılırlar, y 11,  11 (x) sembolleri ile gösterilirler. ), d 2 y / dx 2. Gerekirse türevin m.x 0'da olduğunu vurgulayın, sonra yazın

y 11 / x \u003d x 0 veya 11 (x 0) veya d 2 y / dx 2 / x \u003d x 0

y1'in türevine birinci dereceden türev veya birinci türev denir.

Yani ikinci dereceden türev, bir fonksiyonun birinci dereceden türevinin türevidir.

Oldukça benzer şekilde, ikinci dereceden türevin türevi (varsa), üçüncü dereceden türev veya üçüncü türev olarak adlandırılır.

Belirleyin (y 11) 1 \u003d y 111 \u003d 111 (x) \u003d d 3 y / dx 3 \u003d d 3  (x) / dx 3

Genel olarak, y \u003d  (x) fonksiyonunun n-inci mertebesinin türevi, bu fonksiyonun mertebesinin türevinin (n-1) türevidir. (eğer varsa tabii).

atamak

Okuyun: y'nin n-inci türevi,  (x); n'de d y ile d x.

Dördüncü, beşinci vb. sırayı vuruşlarla belirtmek sakıncalıdır, bu nedenle sayıyı parantez içinde yazarlar,  v (x) yerine  (5) (x) yazarlar.

Türevin n'inci derecesini ve fonksiyonun n'inci derecesini karıştırmamak için parantez içinde.

Birinciden daha yüksek mertebeden türevlere daha yüksek mertebeden türevler denir.

Tanımın kendisinden, n'inci türevi bulmak için, 1'den (n-1)'e kadar olan tüm öncekileri art arda bulmanız gerektiği sonucu çıkar.

Örnekler: 1) y \u003d x 5; y 1 \u003d 5x 4; y 11 \u003d 20x 3;

y 111 \u003d 60x 2; y (4) = 120x; y(5)=120; y (6) =0,…

2) y=ex; y 1 \u003d e x; y 11 \u003d e x; ...;

3) y=sinx; y 1 = kosx; y11 = -sinx; y111 = -cosx; y (4) = günahh;…

İkinci türevin belirli bir mekanik anlamı olduğuna dikkat edin.

Yolun zamana göre birinci türevi düzgün olmayan doğrusal hareketin hızı ise

V=ds/dt, burada S=f(t) hareket denklemidir, o zaman V 1 =dV/dt= d 2 S/dt 2 hızın değişim oranıdır, yani. hareket ivmesi:

a \u003d f 11 (t) \u003d dV / dt \u003d d 2 S / dt 2.

Yani, yolun zamana göre ikinci türevi, noktanın hareketinin ivmesidir - bu, ikinci türevin mekanik anlamıdır.

Bazı durumlarda, ara sıraları atlayarak herhangi bir mertebenin türevi için bir ifade yazmak mümkündür.

Örnekler:

y=ex; (y) (n) = (e x) (n) = e x;

y=ax; y 1 \u003d bir x lna; y 11 \u003d bir x (lna) 2; y (n) = bir x (lna) n;

y \u003d x α; y 1 \u003d αx α-1; y11 =
; y (p) \u003d α (α-1) ... (α-n + 1) x α-n, ile =n var

y (n) = (x n) (n) = n! n'nin üzerindeki mertebeden türevlerin hepsi sıfırdır.

y \u003d sinx; y 1 = kosx; y11 = -sinx; y111 = -cosx; y (4) = sinх;… vb.

y 1 \u003d günah (x + /2); y 11 \u003d günah (x + 2 /2); y 111 \u003d günah (x + 3 /2); vb., sonra y (n) \u003d (sinx) (n) \u003d günah (x + n /2).

Ardışık farklılaşma ve genel formüllerle kurmak kolaydır:

1) (CU) (n) = C (U) (n) ; 2) (U ± V) (n) = U (n) ± V (n)

İki fonksiyonun (U·V) (n) çarpımının n'inci türevinin formülü daha karmaşıktır. Leibniz formülü denir.

onu alalım

y \u003d U V; y 1 \u003d U 1 V + UV 1; y 11 \u003d U 11 V + U 1 V 1 + U 1 V 1 + UV 11 \u003d U 11 V + 2U 1 V 1 + UV 11;

y 111 \u003d U 111 V + U 11 V 1 + 2U 11 V 1 + 2U 1 V 11 + U 1 V 11 + UV 111 \u003d U 111 V + 3U 11 V 1 +3 U 1 V 11 + UV 111;

Benzer şekilde, elde ederiz

y (4) \u003d U (4) V + 4 U 111 V 1 +6 U 11 V 11 +4 U 1 V 111 + UV (4), vb.

Tüm bu formüllerin sağ taraflarının U+V, (U+V) 2 , (U+V) 3 vb. binomlarının güçlerinin açılımına benzediğini görmek kolaydır. Sadece U ve V'nin kuvvetleri yerine karşılık gelen sıraların türevleri vardır. Benzerlik özellikle, ortaya çıkan formüllerde U ve V, U (0) ve V (0) yerine yazdığımız takdirde tamamlanacaktır, yani. U ve V fonksiyonlarının 0. türevleri (fonksiyonların kendileri).

Bu yasayı herhangi bir n durumuna genişleterek genel formülü elde ederiz.

y(n) = (UV)(n) = U(n) V+ n/1! U (n-1) V 1 + n(n-1)/2! U (n-2) V (2) + n(n-1)(n-2)/3! U (n-3) V (3) +…+ n(n-1)…(n-k+1)/K! U (k) V (n-k) + ... + UV (n) - Leibniz formülü.

Örnek: bul (e x x) (n)

(e x) (n) \u003d e x, x 1 \u003d 1, x 11 \u003d 0 ve x (n) \u003d 0, bu nedenle (e x x) (n) \u003d (e x) (n) x + n / 1 ! (e x) (n-1) x 1 \u003d e x x + ne x \u003d e x (x + n).

fonksiyon diferansiyeli

fonksiyon denir bir noktada türevlenebilir, set için sınırlama E, artışı Δ ise f(x 0) argümanın artışına karşılık gelir x, olarak temsil edilebilir

Δ f(x 0) = A(x 0)(x - x 0) + ω (x - x 0), (1)

nerede ω (x - x 0) = hakkında(x - x 0) x → x 0 .

Ekran, denilen diferansiyel fonksiyonlar f noktada x 0 ve değer A(x 0)h - diferansiyel değer bu noktada.

Fonksiyon diferansiyelinin değeri için f kabul edilen atama df veya df(x 0) hangi noktada hesaplandığını bilmek istiyorsanız. Böylece,

df(x 0) = A(x 0)h.

(1) ile bölme x - x 0 ve nişan alma x ile x 0, alıyoruz A(x 0) = f"(x 0). Bu nedenle

df(x 0) = f"(x 0)h. (2)

(1) ve (2)'yi karşılaştırdığımızda, diferansiyelin değerinin df(x 0) (ne zaman f"(x 0) ≠ 0) fonksiyon artışının ana kısmıdır f noktada x 0 , artışa göre aynı anda lineer ve homojen h = x - x 0 .

Fonksiyon türevlenebilirlik kriteri

Fonksiyon için f belirli bir noktada türevlenebilirdi x 0 , bu noktada sonlu bir türevinin olması gerekli ve yeterlidir.

Birinci diferansiyelin formunun değişmezliği

Eğer bir x bağımsız bir değişkendir, o zaman dx = x - x 0 (sabit artış). Bu durumda elimizde

df(x 0) = f"(x 0)dx. (3)

Eğer bir x = φ (t) türevlenebilir bir fonksiyon ise dx = φ" (t 0)dt. Sonuç olarak,