Türev alma kuralları TEOREM 1. Toplam, çarpım ve bölümün türevleri. f ve g fonksiyonları bir x noktasında türevlenebilirse, o zaman f + g, f g, f /g bu noktada türevlenebilir (eğer g(x) 0 ise) ve ayrıca y = f g olsun. 1) (f (x) + g (x)) "= f" (x) + g "(x); 2) (f (x) g (x))" = f "(x) g (x) + f(x)g "(x); Kanıt. 2 özelliğinin kanıtını sunuyoruz. f = f (x + x) – f(x) f (x + x) = f(x) + f ; g \u003d g (x + x) - g (x) g (x + x) \u003d g (x) + g. g "(x) f" (x) 0 at x 0 (Örtülü diferansiyel fonksiyon nedeniyle.)

TEOREM 2. Farklılaşma karmaşık fonksiyon y = f(u) fonksiyonu u 0, y 0 = f(u 0) noktasında türevlenebilir ve u = (x) fonksiyonu x 0, u 0 = (x 0) noktasında türevlenebilir olsun. Daha sonra karmaşık fonksiyon y \u003d f ((x)) x 0 ve f "((x 0)) \u003d f" (u 0) "(x 0) veya NOT noktasında türevlenebilir. Hesaplama kuralı karmaşık bir fonksiyonun türevi, herhangi bir sonlu sayıda fonksiyonun bileşimine uzanır. Örneğin: (f ((g (x))))" = f "((g (x))) "(g (x)) g " (x). Sonuç. f (x), x ve C \u003d const noktasında türevlenebilirse, o zaman (C f (x))" \u003d C f "(x); (f (x) / C) " \u003d f "(x) / C.

Örnek 1. y \u003d cosx, x R. (cosx) \u003d (sin (/ 2 - x)) \u003d cos (/ 2 - x) (/ 2 - x) \u003d - sinx. y = tgx, x /2 + k, k Z. Teorem 1 ve 2'yi kullanarak türevleri buluruz trigonometrik fonksiyonlar y = ctgx, x + k, kZ.

TEOREM 3. Ters fonksiyonun türevi. y \u003d f (x) segmentte sürekli ve kesinlikle monotonsa ve f "(x 0) türevine sahipse, bunun tersi x \u003d g (y) işlevi y 0 \u003d f noktasında türevlenebilir (x 0) ve g "( y 0) \u003d 1/ f "(x 0). x0x0 x 0 - x 0 + y0y0 x y x y \u003d f (x) x \u003d g (y) y şöyle olsun y 0 + y (,) x = g(y 0 + y) - g(y 0) Gösterin 0'ın varlığını kanıtlamak gerekir Kanıt f(x)'in kesinlikle . , = f(x 0 +) Sonra [,] üzerinde ters fonksiyon x = g(y) tanımlanır, sürekli ve kesin artan ve f(x 0) (,) y, o zaman x de olur, çünkü x = g(y), y 0'da süreklidir.

Örnek 2. Ters trigonometrik fonksiyonların türevlerini bulun

0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; dört). 5)(sin x) = cos x, xR; 6)(cos x) = - günah x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 " title="(!LANG: Türevler tablosu temel fonksiyonlar 1)(C)´= 0, C = sabit; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; dört). 5)(sin x) = cos x, xR; 6)(cos x) = - günah x, x R; 7)(tg x) = 1/ çünkü 2 "class="link_thumb"> 8 Temel fonksiyonların türevleri tablosu 1)(С)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; dört). 5)(sin x) = cos x, xR; 6)(cos x) = - günah x, x R; 7)(tg x) \u003d 1 / cos 2 x, x π / 2 + πn, n; 8) (ctg x) \u003d - 1 / günah 2 x, x πn, n; 9)10) 11)12) 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; dört). 5)(sin x) = cos x, xR; 6)(cos x) = - günah x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 "> 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R ; (e x)´ = e x, x R; 4) 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 x, x π / 2 + πn, n; 8) (ctg x) \u003d - 1 / sin 2 x, x πn, n; 9) 10) 11) 12) "\u003e 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; dört). 5)(sin x) = cos x, xR; 6)(cos x) = - günah x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 "title="(!LANG: Elementer fonksiyonların türevleri tablosu 1)(С)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; dört). 5)(sin x) = cos x, xR; 6)(cos x) = - günah x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2"> title="Temel fonksiyonların türevleri tablosu 1)(С)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; dört). 5)(sin x) = cos x, xR; 6)(cos x) = - günah x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2"> !}

n'inci dereceden TANIM'ın türevi. f(x) U(x 0)'da tanımlansın ve bu aralığın her noktasında bir f(x) türevi olsun. x 0 noktasında f(x)'in bir türevi varsa, o zaman bu noktada f(x) fonksiyonunun ikinci türevi denir ve gösterilir.Benzer şekilde, herhangi birinin f(n)(x) türevi de sıra n \u003d 1, 2, ... U'da (x 0) varsa f (n-1) (x) (bu durumda, sıfır dereceli türev, fonksiyonun kendisi anlamına gelir), o zaman n = 1, 2 , 3, .... X kümesinin her noktasında dahil n. mertebeye kadar türevleri olan bir fonksiyona X kümesinde n kere türevlenebilir denir.

f(x) ve g(x) fonksiyonlarının x noktasında n'inci dereceden türevleri olsun. O zaman А ve В sabit olan Аf(x) + Вg(x) fonksiyonunun da x noktasında bir türevi vardır ve (Аf(x) + Вg(x)) (n) = Аf (n) ( x) + Вg (n)(x). Herhangi bir mertebeden türevler hesaplanırken genellikle aşağıdaki temel formüller kullanılır. y=x; y (n) = (-1)… (- (n-1)) x - n. y = x -1, y = (-1)x -2, y = (-1)(-2) x -3 ... Özellikle, eğer = m N ise, o zaman y = a x ; y (n) = bir x (lna) n. y \u003d bir x lna, y \u003d bir x (lna) 2, y \u003d bir x (lna) 3, ... Özellikle, (e x) (n) \u003d e x. y "= ((x + a) - 1)" = - (x+a) - 2, y "" = 2 (x + a) - 3, y """ = (x + a) - 4, …

Y = ln(x+a); y (n) \u003d (-1) n-1 (n-1)! (x + a) -n. y \u003d (x + a) -1, y \u003d - (x + a) -2, y \u003d 2 (x + a) -3, y (4) \u003d - 2 3 (x + a) - 4, ... y = sinax; y (n) = α n günah(αx+n/2) y = α cos αx = α günah(αx+ /2), y = α 2 cos(αx+/2) = α 2 günah(αx+2 / 2) , y = α 3 cos(αx + 2/2) = α 3 sin(αx+3/2), … y = cos αx; y (n) = α n cos(αx+n/2) y = – α sin αx = α cos(αx+ /2), y = – α 2 sin(αx+/2) = α 2 cos(αx + 2 / 2), y = – α 3 sin(αx+2/2) = α 3 cos(αx + 3/2),...

İki fonksiyonun çarpımının N'inci türevi (Leibniz formülü) Bu formüle Leibniz formülü denir. f(x) ve g(x) fonksiyonlarının x noktasında n. mertebeden türevleri olsun şeklinde yazılabilir. Tümevarımla, (f(x) g(x)) (n) = ?
Örnek 5. y \u003d (x 2 + 3x + 5) günah x, y (13) \u003d? = günah(x +13π/2) (x 2 +3x+5) + 13 günah (x +12π/2) (2x+3) + 78 günah (x +11π/2) 2 = = cos x (x 2 +3x+5) + 13 günah x (2x+3) + 78 (- cos x) 2 = = (x 2 +3x -151) cos x + 13 (2x+3) günah x. Leibniz formülünü f (x) \u003d sin x, g (x) \u003d (x 2 + 3x + 5) koyarak uygularız. O zamanlar

Sunumların önizlemesini kullanmak için bir Google hesabı (hesap) oluşturun ve oturum açın: https://accounts.google.com

Slayt başlıkları:

Temel fonksiyonların türevleri. Tekrar dersinin genelleştirilmesi 11. Sınıf Kruglova A.N., matematik öğretmeni, 186 numaralı ortaokul

Ders hedefleri 1. Türev kavramını genelleştirin ve pekiştirin. 2. Bir fonksiyonun limiti ve sürekliliği kavramını, türev kavramını tekrarlayın. 3. Türev alma kurallarını, gücün türevlerini ve bazı temel fonksiyonları tekrarlayın. 4. Bu bilgiyi farklılaşmada uygulayın. 5. Bireysel bir çalışma modunun uygulanması.

Tarih referansı. "Fonksiyon" terimi ilk olarak 1692'de Alman matematikçi G. Leibniz tarafından kullanıldı. 1748'de L. Euler fonksiyonu tanımladı ve f(x) sembolünü tanıttı. 1834'te N.I. Lobachevsky, iki sayısal küme arasındaki yazışma fikrine dayanan bir fonksiyon tanımı verdi. 1837'de Alman matematikçi P. Dirichlet genelleştirilmiş bir fonksiyon kavramını formüle etti: “y, x'in her bir değeri belirli bir y değerine karşılık geliyorsa, segmentteki x değişkeninin bir fonksiyonudur ve bunun nasıl olduğu önemli değil. yazışma kurulur - bir formül, grafik, tablo veya sözlü açıklama ile ". Limitin ilk tanımı İngiliz matematikçi D. Vallis (1616-1703) tarafından yapılmıştır. İngiliz bilim adamı I. Newton'un (1643-1727) eserlerinde limitler yöntemi geliştirildi, ayrıca lim sembolünü tanıttı. Fransız bilim adamları P. Fermat (1601-1665) ve R. Descartes (1596-1650) tarafından diferansiyel hesabın gelişimine önemli bir katkı yapıldı. Newton, türev kavramına, mekanikteki anlık hızı bulma ile ilgili problemleri çözerek geldi. "Türev" terimi, 1800 yılında Fransız matematikçi L. Arbogast (1759-1803) tarafından tanıtıldı. y' ve f(x)' türevinin gösterimi Fransız matematikçi J. Lagrange (1736-1813) tarafından tanıtıldı. Diferansiyel hesap teorisinin temel bir yaklaşımı modern sunum Fransız matematikçi O. Cauchy'nin (1789-1857) çalışmalarına başladı.

İşlev sınırı. 1) y \u003d x + 1 2) x ² - x 1 için 1 x - 1 y \u003d 3 x \u003d 1 için 3) y \u003d (x ² - 1): (x - 1) fonksiyonlarının grafiklerini oluşturun: (x - 1) Soruları cevaplayın a) Fonksiyon grafikleri nedir? Düz çizgiler b) Grafikler koordinat eksenlerinde hangi noktalardan geçer? (0;1) ve (-1;0) c) Grafikler arasındaki fark nedir? "Zımbalı" bir noktaya (1; 2) sahip ikinci ve üçüncü grafikler, ancak x = 1 için ikinci grafikte fonksiyonun değeri 3'tür.

Fonksiyon grafikleri. y y y x x x 1 2 3

Çözüm Genel mülk 1'e yakın x değerleri için fonksiyonlar? Fonksiyonların her birinin değerleri 2'den biraz farklıdır. Bu nedenle, bu fonksiyonların her birinin x = 1 noktasında 2'ye eşit bir limiti vardır. Bu nasıl yazılır? Ancak, birinci fonksiyon için lim y(x) = y(1) = 2 İkinci fonksiyon lim y(x) ≠ y(1) için, üçüncü fonksiyon için y(1) mevcut değildir. Birinci fonksiyona sürekli, ikinci ve üçüncü fonksiyonlara x = 1 noktasında süreksiz denir. lim y(x) = 2 x 1

Türevin tanımı f (x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki türevi, h → 0 için f (x 0 + h) - f (x 0) h fark ilişkisinin limiti olarak adlandırılır: ƒ'(x 0 ) = lim Türev bulma işlemine türev alma denir. 0 saat

Gücün türevi ve bazı temel fonksiyonlar. (Sağdaki formüllerin devamını bulun) (x ⁿ) " = 1 2 3 4 5 6 () ' = 1 2 3 4 5 6 3. (ln x)' = 1 2 3 4 5 6 4. ( günah x) ' = 1 2 3 4 5 6 (cos x)' = 1 2 3 4 5 6 Devam = cos x = - sin x = = tg x = 1/x = nx ⁿˉ¹

Örnekleri çözün 1) (x ³)' = 2) (2 x)' = 3) ()' = 4) (lnx)' = 5) (-4 lnx)' = 6) (3)' = 7) ( 5 kosx)' = 8) (0,3 sinx)' = 3x ² 2 - 10 x ˉ ³ 1 / x - 4 / x 3 e - 5 sinx 0,3 kosx

Farklılaşma kuralları. Toplamın türevi (f(x) + g(x))' = f'(x) – g'(x) = f'(x) + g'(x) = f'(x) * g'( x ) Sabit faktör (cf(x))' = = c + f'(x) = f'(x) – c = cf'(x) Çarpımın türevi (f(x) g(x))' = f' (x) g(x) + f(x) g'(x) = f'(x) g'(x) = f'(x) g(x) g(x))' = f'( x)/g'(x) = (f'(x) g(x) - f(x) g'(x)) / g²(x) = f' (x) g(x) – f(x) g'(x) Derse devam edelim.

slayt 1

slayt 2

slayt 3

slayt 4

slayt 5

slayt 6

Slayt 7

Slayt 8

Slayt 9

slayt 10

slayt 11

slayt 12

slayt 13

TÜREV

MOU Srednesantimirskaya orta öğretim okulu

Bir matematik öğretmeni tarafından yapıldı

Singatullova G.Ş.

• Bir türevin tanımı.
• fiziksel anlam türev.
• .

• Temel farklılaşma kuralları.
• Karmaşık bir fonksiyonun türevi.
• Konu türevi ile ilgili problem çözme örnekleri.

türev tanımı

(a, b) aralığında bir fonksiyon y= olsun f(x). Bu aralıktan herhangi bir x 0 noktası alalım ve x 0 noktasındaki x argümanını, x 0 + ∆ x noktası bu aralığa ait olacak şekilde keyfi bir ∆ x artışına ayarlayalım. İşlev artırılacak

türev fonksiyonlar y= f(x) x \u003d x 0 noktasında, bu noktada ∆y fonksiyonunun artışının ∆x argümanının artışına oranının sınırı, argümanın artışı sıfıra eğilimli olduğundan çağrılır.

Türevin geometrik anlamı

fonksiyon y= olsun f(x)(a, b) aralığında tanımlanır. Daha sonra, MP sekantının eğiminin fonksiyonun grafiğine tanjantı.

 tanjant fonksiyonunun eğimidir f(x) noktasında (x 0 , f(x 0)).

Eğriler arasındaki açı, bir noktada bu eğrilere çizilen teğetler arasındaki açı olarak tanımlanabilir.

Bir eğriye teğet denklemi:

Türevin fiziksel anlamı 1. Bir malzeme parçacığının hareket hızını belirleme sorunu

Bir noktanın s= s(t) yasasına göre bir düz çizgi boyunca hareket etmesine izin verin, burada s kat edilen mesafedir, t zamandır ve noktanın t 0 andaki hızını bulmak gerekir.

t 0 zamanında, kat edilen mesafe s 0 = s(t 0) ve zamana (t 0 + ∆t) eşittir - yol s 0 + ∆s=s(t 0 + ∆t).

Ardından, ∆t aralığı boyunca ortalama hız,

∆t ne kadar küçükse, ortalama hız bir noktanın t 0 anındaki hareketini o kadar iyi karakterize eder. Bu nedenle, altında noktanın t anındaki hızı 0 t 0 ile t 0 +∆t aralığı için ortalama hızın limiti, ∆t⇾0 olduğunda, yani.

2. KİMYASALIN HIZI SORUNU REAKSİYONLAR

Bir maddenin kimyasal reaksiyona girmesine izin verin. Bu Q maddesinin miktarı, reaksiyon sırasında t süresine bağlı olarak değişir ve zamanın bir fonksiyonudur. Madde miktarının ∆t süresi boyunca ∆Q değişmesine izin verin, o zaman oran ifade edecektir. ortalama sürat Kimyasal reaksiyon zamanla ∆t ve bu oranın sınırı

Bir kimyasal reaksiyonun mevcut hızı

zaman

3. BİR GÖREV RADYOAKTİF BOZUNMA HIZININ BELİRLENMESİ

Eğer m, radyoaktif maddenin kütlesi ve t zaman ise, radyoaktif maddenin kütlesinin zamanla azalması şartıyla, t zamanında radyoaktif bozunma olgusu, m = m(t) fonksiyonu ile karakterize edilir.

Zaman içindeki ortalama bozunma oranı ∆t, oran ile ifade edilir.

ve t anındaki anlık bozunma hızı

Türevi hesaplamak için ALGORİTMA

y= f(x) fonksiyonunun türevi aşağıdaki gibi bulunabilir:

1. ∆x≠0'ı x argümanına artıralım ve y+∆y= f(x+∆x) fonksiyonunun toplam değerini bulalım.

2. ∆y= f(x+∆x) - f(x) fonksiyonunun artışını bulun.

3. Bir ilişki kurarız

4. Bu oranın ∆x⇾0, yani sınırını bulun.

(eğer bu sınır varsa).

Temel farklılaşma kuralları

İzin vermek u=u(x) ve v=v(x) - x noktasında türevlenebilir fonksiyonlar

1) (sen  v)  =u   v 

2) (uv)  =u  v+uv 

(cu)  = cu 

3) , eğer v  0

Bileşik fonksiyonun türevi

Teorem. Eğer fonksiyon bir x noktasında türevlenebilirse ve fonksiyon

ilgili noktada türevlenebilirse, karmaşık fonksiyon x noktasında türevlenebilir ve:

şunlar. karmaşık bir fonksiyonun türevi, fonksiyonun ara argümana göre türevinin, ara argümanın x'e göre türevinin ürününe eşittir.

Görev 1.

Görev 2 .

Görev 3 .

Görev 4 .

Görev 5 .

Görev 6 .

Görev 7 .

Görev 8 .