Özellikleri fiziksel bedenler ve nesneler tanımlanır fiziksel özellikler . Bu miktarlardan biri Elektrik alanı dır-dir tansiyon. Daha önce formüle edilen tanıma uygun olarak, elektrik alanında belirli bir noktada alanın yüklü cisimler üzerindeki kuvvet etkisini tanımlar. Alan homojen değilse, o zaman yoğunluk farklı noktalar alanlar farklıdır. Ve alanın özelliklerini birçok noktada tanımlayabilmek için çok sayıda yoğunluk değeri vermek gerekir. Bu, alan çalışmasını karmaşıklaştırır ve her özel durumda alan fikrinin insan hayal gücünde yaratılmasını engeller.

Elektrik alanının gücü, onun güç özelliğidir.

Elektrik alanının yapısını daha iyi temsil etmeye yardımcı olur grafik yöntemi. Grafik sunum yönteminin kalbinde elektrik alan yapıları deneylerde gözlemlenebilen gerçek fenomenleri yalanlar.

Pozitif yüklü bir topun elektrik alanına, yine pozitif yüklü bir maddenin küçük bir parçacığının girmesine izin verin. Bu parçacık serbestse ve yerçekimi alanının etkisi önemsiz ise, o zaman bir elektrik kuvvetinin etkisi altında toptan uzaklaşacaktır. Benzeri, yüklü bir topun sahasındaki herhangi bir noktada gözlemlenecektir (Şekil 4.20).

Bir elektrik alanındaki birçok pozitif yüklü parçacığın hareket yörüngelerini betimlemek ve onlara yön göstermek operasyon gücü, adında bir resim alıyoruz spektrum Bu alan.

Elektrik alanın spektrumunu oluşturan çizgilere denir. gerilim hatları elektrik alanı veya Güç hatları.

kavram alan çizgisi bilime ilk olarak M. Faraday tarafından deneysel araştırma sırasında kazanılan bilgiler temelinde tanıtıldı.

M. Faraday tarafından bilinen deneyler modern koşullarda gerçekleştirilebilir.

Üzerine kağıt şeritler yapıştırılmış metal bir iletken alıp elektrofor makinesinin iletkenine bağlayalım. Eyleme geçirirsek, karşılıklı itme nedeniyle tüm kağıt şeritleri farklı yönlerde ayrılacaktır (Şekil 4.21). Bu deneyin sonuçları (ve buna benzer diğerleri), tek bir yüklü cismin elektrik alanının spektrumunu oluşturmayı mümkün kılıyor. Şek. 4.22. Kuvvet çizgileri üzerindeki oklar, alanın belirli bir noktasında bulunan pozitif yüklü bir cisme etki edecek kuvvetin yönünü gösterir.

Bu nedenle, kuvvet çizgileri pozitif yüklü bir gövdeyi "terk eder" ve negatif yüklü bir gövdeye "girer" (Şekil 4.22). Vücudun yüzeyine dik olarak "çıktıkları" ve "girdikleri" unutulmamalıdır.

Elektrik alan şiddeti çizgileri, başladıkları noktalarda yüklü bir cismin yüzeyine diktir.siteden malzeme

Kağıt şeritli iki metal iletken alıp elektrofor makinesinin iletkenlerine bağlayalım. Elektrofor makinesini devreye alıyoruz ve kağıt şeritlerin birbirini çekmeye başlayacağını göreceğiz (Şekil 4.23). Buna göre, zıt yüklü iki cismin alanı, Şekil l'de gösterilen spektruma sahip olacaktır. 4.24.

Gerilim çizgilerinin eğrisel şekli, her bir cismin yanından pozitif yüklü bir parçacığa iki kuvvetin etki etmesi gerçeğiyle açıklanır. Alanın her noktasında bu kuvvetlerin sonucu, gerilim çizgilerine teğettir.

Pozitif yüklü bir nokta cismine etki eden kuvvetin yönünü herhangi bir noktada gösteren teğet doğrulara denir. Güç hatları.

İki yüklü cismin alanında farklı noktalara etki edecek kuvvetlerin yönleri Şekil 2'de gösterilmiştir. 4.25.

Gerilim çizgileri her zaman yüzeye dik olduğundan, çeşitli şekillerdeki cisimlerin alanlarının spektrumları farklı olacaktır (Şekil 4.26).

Bu sayfada, konularla ilgili materyaller:

• Spektrum el. çeşitli yüklü cisimlerin alanları

• Elektrik alanı soyut grafik görüntüsü

• Deneylerde elektrik alan çizgilerinin görüntüleri

• a b

  

  Elektrostatik alanın her noktasındaki yoğunluk vektörünü bilerek, bu alan kuvvet çizgileri (vektörün çizgileri) yardımıyla görselleştirilebilir. ). kuvvet hatları gerilimler çizilir, böylece her noktada onlara teğet, gerilim vektörünün yönü ile çakışır. (Şekil 1.4, a).

  Tek bir alana giren çizgilerin sayısı dS, onlara dik, vektörün modülüyle orantılı olarak çizilir. (Şekil 1.4, b).

  Kuvvet çizgilerine, vektörün yönü ile çakışan bir yön atanır. . Gerilim çizgilerinin dağılımının ortaya çıkan modeli, belirli bir elektrik alanının farklı noktalarındaki konfigürasyonunu yargılamayı mümkün kılar. Alan çizgileri başlar pozitif masraflar ve negatif ücretlerle sonlandırın. Şek. 1.5, nokta yüklerin gerilim çizgilerini gösterir (Şekil 1.5, a, b); iki zıt ücretli sistemler (Şekil 1.5, içinde) - homojen olmayan bir elektrostatik alan ve iki paralel zıt yüklü düzlem örneği (Şekil 1.5, G) düzgün bir elektrik alan örneğidir.

  1.5. Ücret dağılımı

  Bazı durumlarda, matematiksel hesaplamaları basitleştirmek için, ayrık nokta yüklerin gerçek dağılımını hayali bir sürekli dağılımla değiştirmek uygundur. Sürekli bir yük dağılımına geçişte, yük yoğunluğu kavramı kullanılır - doğrusal , yüzey  ve hacimsel , yani.

  
  (1.12)

  burada dq uzunluk elemanına göre dağıtılan yüktür
  
  , yüzey elemanı dS ve hacim elemanı dV.

  Bu dağılımlar dikkate alınarak formül (1.11) farklı bir biçimde yazılabilir. Örneğin, yük hacme dağılmışsa, o zaman q i yerine dq = dV kullanmanız ve toplam sembolünü bir integral ile değiştirmeniz gerekir, o zaman

  
  . (1.13)

  1.6. elektrik dipol

  Fizikte yüklerle ilgili olayları açıklamak için kavram kullanılır. elektrik dipol.

  Aralarındaki mesafe, uzayda incelenen noktalara olan mesafeden çok daha az olan, eşit büyüklükte iki zıt nokta yükü sistemine elektrik dipolü denir. Dipol tanımına göre, +q=q= q.

  

  Zıt yükleri (kutupları) birleştiren düz bir çizgiye dipol ekseni denir; 0 noktası - dipolün merkezi (Şekil 1.6). Elektrik dipol ile karakterize edilir dipol kol: vektör , negatif bir yükten pozitif bir yüke yönlendirilir. Bir dipolün temel özelliği, elektrik dipol momenti = q . (1.14)

  mutlak değere göre

  p = q . (1.15)

  SI'de, elektrik dipol momenti, metrenin (C) coulomb cinsinden ölçülür. m).

  Dipolün elektrik alanının potansiyelini ve gücünü bir nokta olarak kabul ederek hesaplayalım.  r.

  Bir yarıçap vektörü ile karakterize edilen keyfi bir noktada bir nokta yükler sistemi tarafından oluşturulan bir elektrik alanının potansiyeli şeklinde yazıyoruz:

  
  

  nerede r 1 r 2  r 2 , r 1  r 2  r =
  
  , çünkü  r;   yarıçap vektörleri arasındaki açı ve (Şekil 1.6) . Bunu akılda tutarak, alırız

  
  . (1.16)

  Potansiyel gradyanı yoğunlukla ilişkilendiren formülü kullanarak, dipolün elektrik alanının yarattığı yoğunluğu buluruz. Vektörü ayrıştıralım elektrik dipol alanını birbirine dik iki bileşene, yani
  
  (Şek. 1. 6).

  Bunlardan ilki, yarıçap vektörü ile karakterize edilen bir noktanın hareketi ile belirlenir. ( angle açısının sabit bir değeri için), yani, E  değerini r'ye göre türev alarak (1.81) buluruz, yani.

  
  . (1.17)

  İkinci bileşen,  açısındaki (sabit bir r için) bir değişiklikle ilişkili noktanın hareketi ile belirlenir, yani E 'yi 'ye göre (1.16) türevini alarak buluruz:
  
  , (1.18)

  nerede
  
  ,d = rd.

  Ortaya çıkan gerginlik E 2 \u003d E  2 + E  2 veya ikame sonrası
  
  . (1.19)

  Yorum:  = 90 o'da
  
  , (1.20)

  yani, dipolün (yani O) merkezinden geçen ve dipol eksenine dik olan düz bir çizgi üzerindeki bir noktadaki yoğunluk.

   = 0 olduğunda
  
  , (1.21)

  yani, dipol ekseni ile çakışan düz bir çizginin devamı üzerindeki bir noktada.

  (1.19), (1.20), (1.21) formüllerinin bir analizi, bir dipolün elektrik alan kuvvetinin mesafe ile r3 ile ters orantılı olarak azaldığını gösterir, yani. bir nokta yükünden daha hızlı (r2 ile ters orantılı).

  Daha fazla netlik için, elektrik alanı genellikle kuvvet çizgileri ve eş potansiyel yüzeyler kullanılarak tasvir edilir.

  kuvvet hatları – bunlar, geçtikleri her noktada elektrik alan şiddeti vektörü ile çakışan teğetler olan sürekli çizgilerdir (Şekil 1.5). Alan çizgilerinin yoğunluğu (birim alandan geçen alan çizgilerinin sayısı) elektrik alan şiddeti ile orantılıdır.

  Eş potansiyel yüzeyler (eş potansiyeller) – eşit potansiyele sahip yüzeyler. Bunlar, hareket ederken potansiyelin değişmediği yüzeylerdir (çizgilerdir). Aksi takdirde, eş potansiyel yüzeyin herhangi iki noktası arasındaki potansiyel fark sıfıra eşittir. Kuvvet çizgileri eş potansiyel yüzeylere diktir ve potansiyeldeki en keskin azalma yönünde yönlendirilir. Bu gerçek (1.10) denkleminden çıkar ve matematiksel analiz sırasında "Skaler ve vektör alanları" bölümünde kanıtlanmıştır.

  Örnek olarak, belirli bir mesafede oluşan bir elektrik alanı düşünün. bir nokta yükünden. (1.11,b)'ye göre, yoğunluk vektörü vektörün yönü ile çakışmaktadır. yük pozitif ise ve yük negatif ise ters. Sonuç olarak, kuvvet çizgileri yükten radyal olarak ayrılır (Şekil 1.6, a, b). Alan çizgilerinin yoğunluğu, yoğunluk gibi, uzaklığın karesiyle ters orantılıdır (
  
  ) şarj etmek. Bir nokta yükün elektrik alanının eş potansiyel yüzeyleri, yükün bulunduğu yerde merkezlenmiş kürelerdir.

  

  

  Şek. 1.7, mutlak değerde eşit, ancak işarette zıt iki nokta yükten oluşan bir sistemin elektrik alanını gösterir. Bu örneği kendi başlarına analiz etmeleri için okuyuculara bırakıyoruz. Yalnızca, kuvvet çizgilerinin her zaman pozitif yüklerle başlayıp negatif yüklerle sona erdiğini not ediyoruz. Bir nokta yükün elektrik alanı durumunda (Şekil 1.6, a, b), kuvvet çizgilerinin zıt işaretin çok uzak yüklerinde koptuğu varsayılır. Evrenin bir bütün olarak tarafsız olduğuna inanılıyor. Bu nedenle, eğer bir işaretin yükü varsa, o zaman bir yerde mutlak değerde ona eşit olan diğer işaretin yükü kesinlikle olacaktır.

  1.6. Boşlukta bir elektrik alanı için Gauss teoremi

  Elektrostatiğin ana görevi, uzayın her noktasında elektrik alanının gücünü ve potansiyelini bulma problemidir. Bölüm 1.4'te bir nokta yük alanı problemini çözdük ve ayrıca bir nokta yük sisteminin alanını ele aldık. Bu bölümde, daha karmaşık yüklü nesnelerin elektrik alanını hesaplamamızı sağlayan bir teorem üzerinde duracağız. Örneğin, yüklü bir uzun iplik (düz çizgi), yüklü bir düzlem, yüklü bir küre ve diğerleri. (1.12) ve (1.13) denklemlerini kullanarak uzaydaki her noktadaki elektrik alan şiddetini hesapladıktan sonra, her noktadaki potansiyel veya herhangi iki nokta arasındaki potansiyel farkı hesaplanabilir, yani. Elektrostatiğin temel problemini çözer.

  Matematiksel bir tanım için, yoğunluk vektörünün akışı veya elektrik alanının akışı kavramını tanıtıyoruz. Akı (F) vektörü düz bir kare yüzey boyunca elektrik alanı
  
  değer denir:

  
  , (1.16)

  

  nerede site içinde sabit olduğu varsayılan elektrik alan şiddetidir.
  
  ;
  
  vektörün yönü arasındaki açıdır ve birim normal vektör Siteye
  
  (Şek. 1.8). Formül (1.16) vektörlerin skaler çarpımı kavramı kullanılarak yazılabilir:

  
  . (1.15a)

  Yüzey olması durumunda düz değil, akışı hesaplamak için küçük parçalara bölünmesi gerekir
  
  , yaklaşık olarak düz olarak kabul edilebilir ve daha sonra yüzeyin her bir parçası için (1.16) veya (1.16, a) ifadesini yazın ve ekleyin. Yüzey ne zaman sınırda? S içok küçük (
  
  ), böyle bir toplam yüzey integrali olarak adlandırılır ve şu şekilde gösterilir:
  
  . Böylece elektrik alan şiddeti vektörünün keyfi bir yüzeyden akışı ifade ile tanımlanır:

  
  . (1.17)

  Örnek olarak, yarıçaplı bir küre düşünün , pozitif nokta yüküne odaklanmış , ve bu kürenin yüzeyinden geçen elektrik alan akısını belirleyin. Yükten çıkan kuvvet çizgileri (örneğin, Şekil 1.6, a) kürenin yüzeyine diktir ve kürenin her noktasında alan gücü modülü aynıdır.

  
  .

  küre alanı
  
  ,

  sonra
  
  
  
  
  
  .

  Değer
  
  ve kürenin yüzeyinden geçen elektrik alanının akışını temsil eder. Böylece, elde ederiz
  
  . Elektrik alan küresinin yüzeyinden geçen akının kürenin yarıçapına bağlı olmadığı, sadece yükün kendisine bağlı olduğu görülebilir. . Bu nedenle, bir dizi eş merkezli küre çizerseniz, elektrik alanının tüm bu kürelerden akışı aynı olacaktır. Açıktır ki, bu küreleri geçen kuvvet çizgilerinin sayısı da aynı olacaktır. Yükten çıkan kuvvet çizgilerinin sayısını elektrik alanının akışına eşit olarak almaya karar verdik:
  
  .

  Küre başka bir kapalı yüzeyle değiştirilirse, elektrik alanının akışı ve onu geçen kuvvet çizgilerinin sayısı değişmez. Ek olarak, elektrik alanının kapalı bir yüzeyden akışı ve dolayısıyla bu yüzeye giren kuvvet çizgilerinin sayısı eşittir.
  
  sadece bir nokta yükünün alanı için değil, aynı zamanda herhangi bir nokta yükü, özellikle de yüklü bir cisim tarafından oluşturulan alan için. sonra değer kapalı bir yüzey içinde yer alan tüm yüklerin cebirsel toplamı olarak düşünülmelidir. Bu, aşağıdaki gibi formüle edilen Gauss teoreminin özüdür:

  Elektrik alan şiddeti vektörünün keyfi bir şekilde akışıkapalı yüzey eşittir
  
  , nerede
  
   cebirsel ekli ücretlerin miktarıiçeri bu yüzey.

  Matematiksel olarak, teorem şu şekilde yazılabilir:

  
  . (1.18)

  Bazı yüzeylerde ise unutmayın S vektör sabit ve vektöre paralel , daha sonra böyle bir yüzeyden akış. İlk integrali dönüştürerek, önce vektörlerin ve paralel yani
  
  . Sonra değeri çıkardı kürenin herhangi bir noktasında sabit olması nedeniyle integralin işareti için . Spesifik problemleri çözmek için Gauss teoremini uygulayarak, yukarıda açıklanan koşulların sağlandığı bir yüzeyi keyfi bir kapalı yüzey olarak seçmeye çalışırlar.

  Gauss teoreminin uygulanmasına ilişkin birkaç örnek veriyoruz.

  Örnek 1.2. Düzgün yüklü sonsuz bir filamentin elektrik alan gücünü hesaplayın. Böyle bir alanda iki nokta arasındaki potansiyel farkı belirleyin.

  Çözüm.İpliğin pozitif yüklü olduğunu kesin olarak kabul edin. Sorunun simetrisi nedeniyle, kuvvet çizgilerinin, diş ekseninden radyal olarak ayrılan düz çizgiler olacağı söylenebilir (Şekil 1.9), yoğunluğu bazı yasalara göre dişten uzaklaştıkça azalır. Aynı yasaya göre, elektrik alanın büyüklüğü de azalacaktır. . Eş potansiyel yüzeyler, dişle çakışan bir eksene sahip silindirik yüzeyler olacaktır.

  İpliğin birim uzunluğu başına yük . Bu değere lineer yük yoğunluğu denir ve SI birimleri [C/m] olarak ölçülür. Alan gücünü hesaplamak için Gauss teoremini uygularız. Bunun için keyfi bir kapalı yüzey olarak yarıçaplı bir silindir seçin ve uzunluk , ekseni dişle çakışan (Şekil 1.9). Silindirin yüzey alanından geçen elektrik alan akısını hesaplayalım. Toplam akış, geçen akışın toplamıdır. yan yüzey silindir ve tabanlardan akış

  Yine de,
  
  , çünkü silindirin tabanları üzerinde herhangi bir noktada
  
  . Demek oluyor
  
  bu noktalarda. Yan yüzeyden akış
  
  . Gauss teoremi ile bu toplam akış şuna eşittir:
  
  . Böylece, aldık

  
  .

  Silindir içindeki yüklerin toplamı, doğrusal yük yoğunluğu cinsinden ifade edilir. :
  
  . Verilen
  
  , alırız

  
  ,

  
  , (1.19)

  şunlar. düzgün yüklü sonsuz bir filamentin elektrik alan çizgilerinin yoğunluğu ve yoğunluğu, mesafe ile ters orantılı olarak azalır (
  
  ).

  Mesafelerde bulunan noktalar arasındaki potansiyel farkı bulun ve dişten (yarıçaplı eş potansiyel silindirik yüzeylere ait) ve ). Bunu yapmak için, elektrik alan kuvveti ile potansiyel arasındaki bağlantıyı şu şekilde kullanırız (1.9, c):
  
  . (1.19) ifadesini dikkate alarak, ayrılabilir değişkenli bir diferansiyel denklem elde ederiz:

  
  
  
  
  
  
  
  

  
  
  
  
  
  .

  

  Örnek 1.3. Düzgün yüklü bir düzlemin elektrik alan şiddetini hesaplayın. Böyle bir alanda iki nokta arasındaki potansiyel farkı belirleyin.

  Çözüm. Düzgün yüklü bir düzlemin elektrik alanı, Şek. 1.10. Simetriden dolayı kuvvet çizgileri düzleme dik olmalıdır. Bu nedenle, doğrudan çizgi yoğunluğunun ve dolayısıyla elektrik alan gücünün düzlemden uzaklaştıkça değişmeyeceği sonucuna varabiliriz. Eş potansiyel yüzeyler, belirli bir yüklü düzleme paralel düzlemlerdir. Uçağın birim alanı başına yük olsun . Bu değer, yüzey yük yoğunluğu olarak adlandırılır ve [C/m 2 ] birimlerinde SI cinsinden ölçülür.

  Gauss teoremini uygulayalım. Bunun için keyfi bir kapalı yüzey olarak uzunluğu olan bir silindir seçin ekseni düzleme dik olan ve tabanlar ondan eşit uzaklıkta olan (Şekil 1.10). Toplam Elektrik Alan Akısı
  
  . Yan yüzeyden geçen akış sıfırdır. Bazların her birinden geçen akış,
  
  , bu yüzden
  
  . Gauss teoremine göre şunları elde ederiz:

  
  .

  Silindir içindeki yüklerin toplamı , yüzey yük yoğunluğunu buluyoruz :
  
  . Sonra nereden:

  
  . (1.20)

  Elde edilen formülden, düzgün yüklü bir düzlemin alan gücünün, yüklü düzleme olan mesafeye bağlı olmadığı, yani. uzayda herhangi bir noktada (bir yarım düzlemde) hem mutlak değerde hem de yönde aynıdır. Böyle bir alan denir homojen. kuvvet hatları tek tip alan paralel olarak yoğunlukları değişmez.

  Homojen bir alanın (eşpotansiyel düzlemlere ait) iki noktası arasındaki potansiyel farkı bulalım. ve yüklü düzleme göre bir yarım düzlemde uzanıyor (Şekil 1.10)). ekseni yönlendirelim dikey olarak yukarı doğru ise, gerilim vektörünün bu eksen üzerindeki izdüşümü, gerilim vektörünün modülüne eşittir.
  
  . Denklem (1.9) kullanıyoruz:

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  .

  sabit değer (alan homojendir) integral işaretinin altından alınabilir:
  
  . Entegrasyon, şunu elde ederiz: . Dolayısıyla homojen bir alanın potansiyeli doğrusal olarak koordinata bağlıdır.

  Elektrik alanının iki noktası arasındaki potansiyel fark, bu noktalar arasındaki voltajdır ( ). Eşpotansiyel düzlemler arasındaki mesafeyi gösterelim.
  
  . O zaman bunu düzgün bir elektrik alanında yazabiliriz:

  
  . (1.21)

  Formül (1.21) kullanılırken miktarın - 1 ve 2 noktaları arasındaki mesafe değil, bu noktaların ait olduğu eş potansiyel düzlemler arasındaki mesafe.

  Örnek 1.4. Yüzey yük yoğunlukları ile düzgün olarak yüklenmiş iki paralel düzlemin elektrik alan kuvvetini hesaplayın
  
  ve
  
  .

  Çözüm.Örnek 1.3'ün sonucunu ve süperpozisyon ilkesini kullanalım. Bu prensibe göre uzayda herhangi bir noktada oluşan elektrik alan
  
  , nerede ve - birinci ve ikinci düzlemlerin elektrik alan güçleri. Vektör düzlemleri arasındaki boşlukta ve bir yöne yönlendirilir, dolayısıyla ortaya çıkan alan kuvvetinin modülü. Vektörün dış uzayında ve farklı yönlere yönlendirilir, bu nedenle (Şekil 1.11). Böylece elektrik alanı sadece düzlemler arasındaki boşlukta bulunur. Homojendir, çünkü iki homojen alanın toplamıdır.

  Örnek 1.5. Düzgün yüklü bir kürenin elektrik alanının gücünü ve potansiyelini bulun. Kürenin toplam yükü , ve kürenin yarıçapı .

  Çözüm. Yük dağılımının simetrisinden dolayı, kuvvet çizgileri kürenin yarıçapları boyunca yönlendirilmelidir.

  Bir küre içinde bir bölge düşünün. keyfi bir yüzey olarak yarıçaplı bir küre seçin
  
  , merkezi yüklü kürenin merkeziyle çakışıyor. Daha sonra elektrik alanının küre içinden akışı S:
  
  . Küre içindeki yüklerin toplamı yarıçap sıfıra eşittir, çünkü tüm yükler yarıçaplı bir kürenin yüzeyinde bulunur
  
  . Sonra Gauss teoremi ile:
  
  . Çünkü
  
  , sonra
  
  . Bu nedenle, düzgün yüklü bir kürenin içinde alan yoktur.

  Kürenin dışında bir bölge düşünün. keyfi bir yüzey olarak yarıçaplı bir küre seçin
  
  , merkezi yüklü kürenin merkeziyle çakışıyor. Bir elektrik alanının bir küre içinden akışı :
  
  . Küre içindeki yüklerin toplamı, toplam yüke eşittir. yüklü yarıçap küresi . Sonra Gauss teoremi ile:
  
  . Verilen
  
  , şunu elde ederiz:

  
  .

  Elektrik alan potansiyelini hesaplayalım. Dış alandan başlamak daha uygundur
  
  , kürenin merkezinden sonsuz bir uzaklıkta bildiğimiz için potansiyelin sıfır olduğu varsayılır. (1.11, a) denklemini kullanarak ayrılabilir değişkenli bir diferansiyel denklem elde ederiz:

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  .

  Devamlı
  
  , Çünkü
  
  de
  
  . Böylece uzayda (
  
  ):
  
  .

  Yüklü bir kürenin yüzeyindeki noktalar (
  
  ) potansiyeline sahip olacak
  
  .

  Alanı göz önünde bulundurun
  
  . Bu bölgede
  
  , bu nedenle, (1.11, a) denkleminden şunu elde ederiz:
  
  
  
  
  
  . Fonksiyonun sürekliliği nedeniyle
  
  devamlı yüklü kürenin yüzeyindeki potansiyelin değerine eşit olmalıdır:
  
  . Yani kürenin içindeki tüm noktalarda potansiyel:
  
  .

  

  Böylece, kürenin dışında düzgün yüklü bir küre tarafından oluşturulan elektrik alanın gücünün ve potansiyelinin, kürenin yarattığı alanın gücüne ve potansiyeline eşit olduğunu elde ettik. nokta şarjı aynı beden , kürenin merkezine yerleştirilen kürenin yüküdür. İç uzayda alan yoktur ve potansiyel her noktada aynıdır. Yüklü bir kürenin elektrik alanı (alan çizgileri ve eşpotansiyel yüzeyler) Şek. 1.12. Kürenin pozitif yüklü olduğu varsayılır. Kürenin dışında, kuvvet çizgileri ve uzayda bir nokta yükünün kuvvet çizgileriyle tamamen aynı şekilde dağıtılır.

  

  Şek. 1.13 bağımlılık grafiklerini gösterir
  
  ve
  
  . İşlev
  
  süreklidir ve fonksiyon
  
  yüklü bir kürenin sınırından geçerken aniden değişir. atlama değeri
  
  . Gerçekten de, yüklü kürenin yakınında (
  
  ) uzayda alan gücü
  
  , içeride ise sıfıra eşittir.

  Sıçramanın büyüklüğü, küre üzerindeki yüzey yük yoğunluğu cinsinden ifade edilebilir:

  
  .

  unutmayın ki bu ortak mülk elektrostatik alan: yüklü bir yüzeyde, yoğunluğun normalin yönüne yansıması her zaman bir sıçrama yaşar
  
  yüzey şekli ne olursa olsun. Bu prensibi düzgün yüklü bir düzlemin alanı ve iki paralel yüklü düzlemin alanı için kontrol etmenizi öneririz (örnek 1.3, 1.4).

  Matematik açısından, yüklü yüzeyin noktalarındaki potansiyelin sürekliliği şu anlama gelir:
  
  . Fizik açısından, fonksiyonun sürekliliği
  
  aşağıdaki gibi açıklanabilir. Belirli bir bölgenin sınırındaki potansiyel bir sıçramaya (süreksizlik) sahip olacaksa, o zaman belirli bir yükün sonsuz küçük bir yer değiştirmesi ile Sınırın bir tarafında bulunan 1. noktadan, diğer tarafında bulunan 2. noktaya kadar, sonlu iş yapılacaktır.
  
  , nerede ve  sırasıyla 1 ve 2 noktalarının potansiyelleri ve değeri
  
  bölgenin sınırındaki potansiyel sıçramaya eşittir. Sonsuz küçük bir yer değiştirme üzerinde yapılan son iş, sonsuz büyük kuvvetlerin arayüze etki edeceği anlamına gelir ki bu imkansızdır.

  Elektrik alanın gücü, potansiyelin aksine, bölgenin sınırında çok keskin bir şekilde değişebilir (sıçramalar).

  Örnek 1.6.İki eşmerkezli yarıçap küresi ve (
  
  ) eşit büyüklükte ancak zıt işaret yükleriyle düzgün bir şekilde yüklenir
  
  ve
  
  (küresel kapasitör). Uzay boyunca elektrik alanın gücünü ve potansiyelini belirleyin.

  Çözüm. Bu problemin çözümü Gauss teoreminin uygulanmasıyla da başlayabilir. Ancak, bir önceki örneğin sonuçları ve süperpozisyon ilkesi (1.13, 1.14) kullanılarak cevap daha hızlı elde edilebilir.

  Uzayın dış noktalarında (
  
  ) elektrik alanı her iki kürenin yükleri tarafından oluşturulur. Birinci kürenin alan gücünün büyüklüğü
  
  ve yarıçaplar boyunca kürelerden yönlendirilir. İkinci kürenin alan kuvvetinin büyüklüğü aynıdır.
  
  , ama ters yönde. Bu nedenle, süperpozisyon ilkesine göre, uzayda tüm dış noktalarda elektrik alanı olmayacaktır.
  
  .

  Küreler arasındaki boşluğun noktalarını düşünün (
  
  ). Bu noktalar negatif yüklü bir kürenin içindedir, dolayısıyla bu alanda
  
  (bkz. örnek 1.5). Pozitif yüklü bir küre için bu noktalar dışsaldır, yani
  
  . Böylece, bu bölgedeki alan kuvvetinin büyüklüğü
  
  . Burada alan yalnızca daha küçük kürenin yükleri tarafından yaratılır.

  Son olarak, uzayın iç noktalarında (
  
  )
  
  ve
  
  , yani bu noktalarda elektrik alan yoktur.

  Benzer şekilde, süperpozisyon ilkesi potansiyellere uygulanabilir. Aşağıdaki sonuçlar elde edilir:

  
  :
  
  ;

  
  :
  
  ;

  
  :
  
  .

  Bu sonuçları bağımsız olarak elde etmenizi, ayrıca elektrik alanını şematik olarak göstermenizi ve grafikler oluşturmanızı öneririz.
  
  ve
  
  .