Bireysel kesirlerin nasıl toplanıp çarpılacağını öğrendiğimize göre artık daha karmaşık yapıları düşünebiliriz. Örneğin, bir problemde kesirlerin toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri gerçekleşirse ne olur?

Her şeyden önce, tüm kesirleri yanlış olanlara dönüştürmeniz gerekir. Ardından, gerekli işlemleri sırayla gerçekleştiririz - sıradan sayılarla aynı sırayla. Yani:

1. İlk olarak, üs alma yapılır - üs içeren tüm ifadelerden kurtulun;
2. Sonra - bölme ve çarpma;
3. Son adım toplama ve çıkarmadır.

Tabii ki, ifadede parantez varsa, eylemlerin sırası değişir - önce parantez içindeki her şey düşünülmelidir. Ve uygun olmayan kesirleri unutmayın: tüm parçayı yalnızca diğer tüm eylemler tamamlandığında seçmeniz gerekir.

İlk ifadedeki tüm kesirleri uygunsuz olanlara çevirelim ve ardından aşağıdaki işlemleri gerçekleştirelim:

Şimdi ikinci ifadenin değerini bulalım. Tamsayı kısmı olan hiçbir kesir yoktur, ancak parantezler vardır, bu yüzden önce toplamayı, sonra bölmeyi yaparız. 14 = 7 2 olduğuna dikkat edin. O zamanlar:

Son olarak, üçüncü örneği düşünün. Burada parantezler ve bir derece var - bunları ayrı ayrı saymak daha iyidir. 9 = 3 3 olduğu göz önüne alındığında, elimizde:

Son örneğe dikkat edin. Bir kesri bir kuvvete yükseltmek için, payı bu kuvvete ve paydayı ayrı ayrı yükseltmeniz gerekir.

Farklı karar verebilirsiniz. Derecenin tanımını hatırlarsak, problem kesirlerin olağan çarpımına indirgenecektir:

çok katlı kesirler

Şimdiye kadar, pay ve payda sıradan sayılar olduğunda, yalnızca "saf" kesirleri ele aldık. Bu, ilk derste verilen sayısal bir kesir tanımıyla tutarlıdır.

Ancak pay veya paydaya daha karmaşık bir nesne yerleştirilirse ne olur? Örneğin, başka bir sayısal kesir? Bu tür yapılar, özellikle uzun ifadelerle çalışırken oldukça sık görülür. Burada bir çift örnek var:

Çok katlı kesirlerle çalışmanın tek kuralı vardır: onlardan hemen kurtulmalısınız. Kesirli çubuğun standart bölme işlemi anlamına geldiğini hatırlarsanız, "ekstra" zeminleri kaldırmak oldukça basittir. Bu nedenle, herhangi bir kesir aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:

Bu gerçeği kullanarak ve prosedürü takip ederek, herhangi bir çok katlı kesri kolayca normal bir kısma indirebiliriz. Örneklere bir göz atın:

Bir görev. Çok öykülü kesirleri ortak olanlara dönüştürün:

Her durumda, bölme çizgisini bölme işaretiyle değiştirerek ana kesri yeniden yazarız. Ayrıca, herhangi bir tam sayının paydası 1 olan bir kesir olarak temsil edilebileceğini unutmayın. Yani, 12 = 12/1; 3 = 3/1. Alırız:

Son örnekte, kesirler son çarpmadan önce azaltıldı.

Çok katlı kesirlerle çalışmanın özellikleri

Çok katlı kesirlerde her zaman hatırlanması gereken bir incelik vardır, aksi takdirde tüm hesaplamalar doğru olsa bile yanlış cevap alabilirsiniz. Bir göz at:

1. Payda ayrı bir 7 sayısı vardır ve paydada - 12/5 kesri;
2. Pay 7/12 kesridir ve payda tek sayı 5'tir.

Yani, bir kayıt için tamamen farklı iki yorumumuz var. Sayarsanız, cevaplar da farklı olacaktır:

Kaydın her zaman açık bir şekilde okunmasını sağlamak için basit bir kural kullanın: ana kesrin bölme çizgisi iç içe çizgiden daha uzun olmalıdır. Tercihen birkaç kez.

Bu kuralı izlerseniz, yukarıdaki kesirler aşağıdaki gibi yazılmalıdır:

Evet, muhtemelen çirkin ve çok fazla yer kaplıyor. Ama doğru sayacaksın. Son olarak, çok seviyeli kesirlerin gerçekten meydana geldiği birkaç örnek:

Bir görev. İfade değerlerini bulun:

Öyleyse, ilk örnekle çalışalım. Tüm kesirleri uygunsuz kesirlere çevirelim ve ardından toplama ve bölme işlemlerini gerçekleştirelim:

Aynı işlemi ikinci örnek için de yapalım. Tüm kesirleri yanlışa çevirerek gerekli işlemleri yapınız. Okuyucuyu sıkmamak için bazı bariz hesaplamaları atlayacağım. Sahibiz:

Ana kesirlerin pay ve paydalarının toplam içermesi nedeniyle, çok katlı kesirler yazma kuralı otomatik olarak gözetilir. Ayrıca son örnekte bölme işlemini yapabilmek için kasten 46/1 sayısını kesir şeklinde bıraktık.

Ayrıca her iki örnekte de, kesirli çubuğun aslında parantezlerin yerini aldığını not ediyorum: her şeyden önce toplamı bulduk ve ancak o zaman - bölümü bulduk.

Birisi, ikinci örnekte uygunsuz kesirlere geçişin açıkça gereksiz olduğunu söyleyecektir. Belki de böyledir. Ancak bu şekilde kendimizi hatalara karşı güvence altına alırız, çünkü bir dahaki sefere örnek çok daha karmaşık olabilir. Hangisinin daha önemli olduğunu kendiniz seçin: hız veya güvenilirlik.

Bu makalenin malzemesi, kesirler içeren ifadelerin dönüşümüne genel bir bakıştır. Burada kesirli ifadelerin karakteristiği olan temel dönüşümleri ele alacağız.

Sayfa gezintisi.

Kesirli ifadeler ve kesirli ifadeler

Başlamak için, ne tür bir ifade dönüşümü ile uğraşacağımızı açıklayalım.

Makalenin başlığı açıklayıcı ifadeyi içeriyor " kesirli ifadeler". Yani, aşağıda, kaydında en az bir kesir bulunan sayısal ifadelerin ve değişkenlerle ifadelerin dönüşümü hakkında konuşacağız.

Makalenin yayınlanmasından hemen sonra, " Kesirlerin dönüşümü: genel bir görüş"Artık bireysel kesirlerle ilgilenmiyoruz. Böylece, toplamları, farklılıkları, ürünleri, kısmi ve daha fazlasını ele alacağız. karmaşık ifadeler yalnızca en az bir kesrin varlığıyla birleştirilen kökler, dereceler, logaritmalarla.

Ve hakkında konuşalım kesirli ifadeler. Bu, kesirli ifadelerle aynı şey değildir. Kesirli ifadeler - daha fazlası Genel kavram. Kesirli her ifade kesirli bir ifade değildir. Örneğin, ifade kesirli bir ifade değildir, bir kesir içermesine rağmen tamsayı rasyonel bir ifadedir. Bu yüzden, tam olarak emin olmadan kesirli bir ifadeye kesirli ifade demeyin.

Kesirli ifadelerin temel özdeş dönüşümleri

Örnek.

Ifadeyi basitleştir .

Çözüm.

Bu durumda ifadeyi verecek olan parantezleri açabilirsiniz. , benzer terimleri ve , -3 ve 3'ü içerir. İndirgenmelerinden sonra bir kesir elde ederiz.

Haydi göster kısa formçözüm girişleri:

Cevap:

.

Bireysel kesirler ile çalışma

Dönüştürmekten bahsettiğimiz ifadeler, diğer ifadelerden esas olarak kesirlerin varlığında farklılık gösterir. Ve kesirlerin varlığı, onlarla çalışmak için araçlar gerektirir. Bu paragrafta, bu ifadenin kaydında yer alan bireysel kesirlerin dönüşümünü ele alacağız ve sonraki paragrafta orijinal ifadeyi oluşturan kesirler ile işlemler yapmaya devam edeceğiz.

olan herhangi bir kesir ile ayrılmaz parça orijinal ifade, Kesir dönüştürme makalesinde özetlenen dönüştürmelerden herhangi birini gerçekleştirebilirsiniz. Yani, ayrı bir kesir alabilir, payı ve paydasıyla çalışabilir, azaltabilir, yeni bir paydaya getirebilirsiniz, vb. Bu dönüşümle, seçilen kesrin kendisine eşit bir kesirle değiştirileceği ve orijinal ifadenin de ona eşit bir ifadeyle değiştirileceği açıktır. Bir örneğe bakalım.

Örnek.

İfadeyi kesirle dönüştür daha basit bir forma.

Çözüm.

Bir kesir ile çalışarak dönüşüme başlayalım. Önce parantezleri açın ve kesrin payında benzer terimleri verin: . Şimdi, payda x ortak faktörünün parantez içine alınması ve ardından cebirsel kesrin indirgenmesi için yalvarır: . Sadece orijinal ifadede bir kesir yerine elde edilen sonucun yerini almak için kalır; .

Cevap:

.

Kesirlerle işlem yapma

İfadeleri kesirlerle dönüştürme işleminin bir kısmı genellikle kesirli eylemler. Eylemleri gerçekleştirmek için kabul edilen prosedüre uygun olarak gerçekleştirilirler. Herhangi bir sayı veya ifadenin her zaman paydası 1 olan bir kesir olarak temsil edilebileceğini de unutmamak gerekir.

Örnek.

Ifadeyi basitleştir .

Çözüm.

Soruna farklı açılardan yaklaşılabilir. İncelenen konu bağlamında kesirli işlemler yaparak gideceğiz. Kesirleri çarparak başlayalım:

Şimdi ürünü payda 1 olan bir kesir olarak yazıyoruz, ardından kesirleri çıkarıyoruz:

İstenirse ve gerekliyse, paydadaki mantıksızlıktan yine de kurtulabilirsiniz. , üzerinde dönüşümü bitirebilirsiniz.

Cevap:

Köklerin, kuvvetlerin, logaritmaların vb. özelliklerinin uygulanması.

Kesirli ifadeler sınıfı çok geniştir. Bu tür ifadeler, kesirlerin yanı sıra kökler, farklı üslü dereceler, modüller, logaritmalar, trigonometrik fonksiyonlar vb. içerebilir. Doğal olarak, dönüştürüldüğünde karşılık gelen özellikler uygulanır.

Kesirlere uygulanabilir, kesrin kökünün özelliğini, dereceye göre kesrin özelliğini, bölümün modülünün özelliğini ve farkın logaritmasının özelliğini vurgulamaya değer. .

Açıklık için birkaç örnek veriyoruz. Örneğin, ifadede Derecenin özelliklerine dayanarak, ilk kesri bir derece ile değiştirmek yararlı olabilir, bu da ifadeyi kare farkı olarak temsil etmemize izin verir. Logaritmik bir ifadeyi dönüştürürken Bir kesrin logaritmasını logaritma farkıyla değiştirmek mümkündür, bu da benzer terimleri getirmemize ve böylece ifadeyi basitleştirmemize izin verir: . Trigonometrik ifadeleri dönüştürmek, aynı açının sinüsünün kosinüsüne oranının bir teğet ile değiştirilmesini gerektirebilir. Uygun formülleri kullanarak yarım bir argümandan bütün bir argümana geçmek ve böylece kesir argümanından kurtulmak gerekebilir, örneğin, .

Köklerin, derecelerin vb. özelliklerinin uygulanması. ifadelerin dönüşümüne makalelerde daha ayrıntılı olarak yer verilmiştir:

• Köklerin özelliklerini kullanarak irrasyonel ifadelerin dönüştürülmesi,
• Kuvvet özelliklerini kullanarak ifadelerin dönüştürülmesi,
• Logaritma özelliklerini kullanarak logaritmik ifadeleri dönüştürme,
• Trigonometrik ifadeleri dönüştürme.

cebir dersinden Okul müfredatı Gelelim ayrıntılara. Bu yazıda, özel bir rasyonel ifade türünü ayrıntılı olarak inceleyeceğiz - rasyonel kesirler ve aynı zamanda hangi özelliğin aynı olduğunu analiz edin rasyonel kesirlerin dönüşümleri yer almak.

Aşağıda tanımladığımız anlamda rasyonel kesirlere bazı cebir ders kitaplarında cebirsel kesirler dendiğini hemen belirtelim. Yani, bu yazıda aynı şeyi rasyonel ve cebirsel kesirler altında anlayacağız.

Her zamanki gibi, bir tanım ve örneklerle başlıyoruz. Ardından, rasyonel bir kesri yeni bir paydaya getirmekten ve kesrin üyelerinin işaretlerini değiştirmekten bahsedelim. Bundan sonra, kesirlerin indirgemesinin nasıl yapıldığını analiz edeceğiz. Son olarak, rasyonel bir kesrin birkaç kesrin toplamı olarak temsili üzerinde duralım. Tüm bilgiler, çözümlerin ayrıntılı açıklamaları ile örneklerle sağlanacaktır.

Sayfa gezintisi.

Rasyonel kesirlerin tanımı ve örnekleri

8. sınıf cebir derslerinde rasyonel kesirler işlenir. Yu. N. Makarychev ve diğerleri tarafından 8. sınıflar için cebir ders kitabında verilen rasyonel bir kesir tanımını kullanacağız.

AT bu tanım rasyonel bir kesrin pay ve paydasındaki polinomların standart form polinomları olup olmadığı belirtilmemiştir. Bu nedenle, rasyonel kesirlerin hem standart hem de standart olmayan polinomları içerebileceğini varsayacağız.

Burda biraz var rasyonel kesir örnekleri. Yani, x/8 ve - rasyonel kesirler. ve kesirler ve rasyonel bir kesrin sağlam tanımına uymuyor, çünkü birincisinde pay bir polinom değil ve ikincisinde hem pay hem de payda polinom olmayan ifadeler içeriyor.

Rasyonel bir kesrin payını ve paydasını dönüştürme

Herhangi bir kesrin payı ve paydası kendi kendine yeterli matematiksel ifadelerdir, rasyonel kesirler söz konusu olduğunda polinomlardır, belirli bir durumda tek terimli ve sayılardır. Bu nedenle, herhangi bir ifadede olduğu gibi, rasyonel bir kesrin payı ve paydası ile özdeş dönüşümler gerçekleştirilebilir. Başka bir deyişle, rasyonel bir kesrin payındaki ifade, tıpkı payda gibi, kendisine eşit olan bir ifadeyle değiştirilebilir.

Rasyonel bir kesrin pay ve paydasında özdeş dönüşümler yapılabilir. Örneğin, payda, benzer terimleri gruplayabilir ve azaltabilirsiniz ve paydada, birkaç sayının çarpımı değeri ile değiştirilebilir. Rasyonel bir kesrin payı ve paydası polinom olduğu için, polinomların karakteristik dönüşümlerini onlarla, örneğin standart bir forma indirgeme veya bir ürün olarak temsil etme gibi gerçekleştirmek mümkündür.

Netlik için birkaç örneğin çözümlerini düşünün.

Örnek.

Rasyonel Kesri Dönüştür böylece pay, standart formun bir polinomudur ve payda, polinomların ürünüdür.

Çözüm.

Rasyonel kesirleri yeni bir paydaya indirgemek, esas olarak rasyonel kesirleri toplarken ve çıkarırken kullanılır.

Bir kesrin önündeki ve pay ve paydasındaki işaretleri değiştirme

Bir kesrin temel özelliği, kesrin terimlerinin işaretlerini değiştirmek için kullanılabilir. Aslında, rasyonel bir kesrin payını ve paydasını -1 ile çarpmak, işaretlerini değiştirmekle eşdeğerdir ve sonuç, verilen kesrin aynısına eşit bir kesirdir. Böyle bir dönüşüm, rasyonel kesirler ile çalışırken oldukça sık kullanılmalıdır.

Böylece, bir kesrin pay ve paydasının işaretlerini aynı anda değiştirirseniz, orijinaline eşit bir kesir elde edersiniz. Bu ifade eşitliğe karşılık gelir.

Bir örnek alalım. Rasyonel bir kesir, formun pay ve paydasının ters işaretleriyle özdeş olarak eşit bir kesir ile değiştirilebilir.

Kesirler ile, işaretin payda veya paydada değiştirildiği bir özdeş dönüşüm daha gerçekleştirilebilir. Uygun kuralın üzerinden geçelim. Bir kesrin işaretini pay veya payda işaretiyle değiştirirseniz, aslına eşit olan bir kesir elde edersiniz. Yazılı ifade eşitliklere karşılık gelir ve .

Bu eşitlikleri kanıtlamak zor değildir. İspat, sayıların çarpımının özelliklerine dayanmaktadır. Bunlardan ilkini ispatlayalım: . Benzer dönüşümlerin yardımıyla eşitlik de kanıtlanmıştır.

Örneğin, bir kesir bir ifade ile değiştirilebilir veya .

Bu alt bölümü sonuçlandırmak için, iki tane daha kullanışlı eşitlik ve . Yani, yalnızca payın veya yalnızca paydanın işaretini değiştirirseniz, kesrin işareti de değişecektir. Örneğin, ve .

Bir kesrin terimlerinin işaretini değiştirmeye izin veren dikkate alınan dönüşümler, kesirli rasyonel ifadeleri dönüştürürken sıklıkla kullanılır.

Rasyonel kesirlerin azaltılması

Rasyonel kesirlerin indirgenmesi olarak adlandırılan rasyonel kesirlerin aşağıdaki dönüşümü, bir kesrin aynı temel özelliğine dayanır. Bu dönüşüm, a , b ve c'nin bazı polinomlar olduğu ve b ve c'nin sıfır olmadığı eşitliğine karşılık gelir.

Yukarıdaki eşitlikten, rasyonel bir kesrin indirgenmesinin, pay ve paydasındaki ortak faktörden kurtulma anlamına geldiği açıktır.

Örnek.

Rasyonel kesri azaltın.

Çözüm.

Ortak faktör 2 hemen görülebilir, hadi azaltalım (yazarken, indirgemenin yapıldığı ortak faktörlerin üzerini çizmek uygundur). Sahibiz . x 2 \u003d x x ve y 7 \u003d y 3 y 4 olduğundan (gerekirse bakın), x'in, y 3 gibi, elde edilen kesrin payının ve paydasının ortak bir faktörü olduğu açıktır. Bu faktörlerle azaltalım: . Bu azalmayı tamamlar.

Yukarıda, rasyonel bir kesrin indirgenmesini sırayla gerçekleştirdik. Ve indirgemeyi tek adımda gerçekleştirmek, kesri hemen 2·x·y3 azaltarak yapmak mümkündü. Bu durumda, çözüm şöyle görünecektir: .

Cevap:

.

Rasyonel kesirleri azaltırken asıl sorun, pay ve paydanın ortak faktörünün her zaman görünür olmamasıdır. Ayrıca, her zaman mevcut değildir. Ortak bir çarpan bulmak veya var olmadığından emin olmak için rasyonel bir kesrin payını ve paydasını çarpanlara ayırmanız gerekir. Ortak çarpan yoksa, orijinal rasyonel kesrin indirgenmesine gerek yoktur, aksi takdirde indirgeme yapılır.

Rasyonel kesirleri azaltma sürecinde çeşitli nüanslar ortaya çıkabilir. Cebirsel kesirlerin indirgemesi makalesinde örnekler ve ayrıntılarla ana incelikler tartışılmaktadır.

Rasyonel kesirlerin azaltılması hakkındaki konuşmayı bitirirken, bu dönüşümün aynı olduğunu ve uygulanmasındaki ana zorluğun pay ve paydadaki polinomların çarpanlarına ayrılmasında yattığını not ediyoruz.

Kesirlerin toplamı olarak rasyonel bir kesrin temsili

Oldukça spesifik, ancak bazı durumlarda çok yararlı olan, rasyonel bir kesrin dönüşümüdür; bu dönüşüm, birkaç kesrin toplamı veya bir tamsayı ifadesi ile bir kesrin toplamı olarak temsil edilmesinden oluşur.

Payında bir polinomun bulunduğu, birkaç tek terimlinin toplamı olan rasyonel bir kesir, her zaman paylarında karşılık gelen tek terimli olan aynı paydalara sahip kesirlerin toplamı olarak yazılabilir. Örneğin, . Bu temsil, aynı paydalara sahip cebirsel kesirlerin toplama ve çıkarma kuralı ile açıklanır.

Genel olarak, herhangi bir rasyonel kesir, birçok farklı şekilde kesirlerin toplamı olarak temsil edilebilir. Örneğin, a/b fraksiyonu iki fraksiyonun toplamı olarak temsil edilebilir - keyfi bir c/d fraksiyonu ve a/b ve c/d fraksiyonları arasındaki farka eşit bir fraksiyon. Bu ifade doğrudur, çünkü eşitlik . Örneğin, rasyonel bir kesir, çeşitli şekillerde kesirlerin toplamı olarak temsil edilebilir: Orijinal kesri, bir tamsayı ifadesi ve bir kesrin toplamı olarak temsil ediyoruz. Payı paydaya göre bir sütuna böldükten sonra eşitliği elde ederiz. . Herhangi bir n tamsayı için n 3 +4 ifadesinin değeri bir tamsayıdır. Ve bir kesrin değeri, ancak ve ancak paydası 1, -1, 3 veya -3 ise bir tamsayıdır. Bu değerler sırasıyla n=3 , n=1 , n=5 ve n=−1 değerlerine karşılık gelmektedir.

Cevap:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Bibliyografya.

• Cebir: ders kitabı 8 hücre için. Genel Eğitim kurumlar / [Y. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - 16. baskı. - E. : Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Cebir. 7. sınıf. 14:00 Bölüm 1. Öğrenci ders kitabı Eğitim Kurumları/ A.G. Mordkovich. - 13. baskı, Rev. - E.: Mnemosyne, 2009. - 160 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Mordkovich A.G. Cebir. 8. sınıf. 2 de Bölüm 1. Eğitim kurumlarının öğrencileri için bir ders kitabı / A. G. Mordkovich. - 11. baskı, silindi. - E.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: hasta. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara başvuranlar için bir kılavuz): Proc. ödenek.- M.; Daha yüksek okul, 1984.-351 s., hasta.

VIII tipi okulda, öğrenciler aşağıdaki kesir dönüşümleriyle tanışırlar: bir kesrin daha büyük kesirlerde ifadesi (6. sınıf), yanlış bir kesrin tamsayı veya karışık sayı ile ifadesi (6. sınıf), kesirlerin eşit parçalarda ifadesi (7. sınıf), karışık bir sayının uygun olmayan bir kesir olarak ifadesi (7. sınıf).

Yanlış kesir ifadesiveya karışık sayı

I Bu materyalin çalışması görevle başlamalıdır: 2 dikilmiş daire alın ve her birini 4 eşit parçaya bölün, dördüncü parça sayısını sayın (Şek. 25). Ayrıca, bu miktarın bir kesir (t) olarak yazılması önerilir. Daha sonra dördüncü kısımlar birbirine eklenir ve öğrenciler bunun ortaya çıktığına ikna edilir.

1. daire. Sonuç olarak, -t= bir . Dört çeyreğe ekler - art arda daha fazla -t, ve öğrenciler şunu yazar: t=1, -7=1 6 2 7 3 8 9

Öğretmen, öğrencilerin dikkatini, dikkate alınan tüm durumlarda uygunsuz bir kesir aldıklarına ve dönüşüm sonucunda ya bir tamsayı ya da karışık bir sayı aldıklarına, yani yanlış bir kesri tam sayı olarak ifade ettiklerine çeker. veya karışık sayı. Ardından, öğrencilerin bu dönüşümün hangi aritmetik işlemin gerçekleştirilebileceğini bağımsız olarak belirlemesini sağlamak için çaba göstermeliyiz.Cevaba götüren canlı örnekler

dört 8 0 5 ,1 7 ,3 „ L

soru için: -2-=! ve t = 2, 4" = 1t ve t T " YV °D : ile

Yanlış bir kesri tamsayı veya karışık sayı olarak ifade etmek için, kesrin payını paydaya bölmeniz, bölümü tamsayı olarak yazmanız, kalanı paya yazmanız ve paydayı aynı bırakmanız gerekir. Kural hantal olduğundan, öğrencilerin ezberlemesi hiç gerekli değildir. Bu dönüşümü gerçekleştirirken eylemleri tutarlı bir şekilde anlatabilmelidirler.

Öğrencilere bir tamsayı veya karışık sayı ile uygun olmayan bir kesir ifadesini tanıtmadan önce, bir tamsayının kalanlı bir tamsayıya bölünmesini onlarla tekrarlamanız tavsiye edilir.

Öğrenciler için yeni bir dönüşümün konsolidasyonu, hayati ve pratik nitelikteki sorunların çözümü ile kolaylaştırılır, örneğin:

"Vazoda bir portakalın dörtte dokuzu var. Skol| Bu paylardan bütün portakallar eklenebilir mi? Kaç dörtte kaldı?"

“Kutu kapaklarının üretimi için, kartın her bir yaprağı

35, 16 eşit parçaya kesilir. Var -^. Kaç gol!

Kesilmiş karton mu? Bir kesimin kaç on altıda biri! sonraki parçadan mı? Vb.

Tamsayı ve karışık sayının ifadesiuygun olmayan kesir

Öğrencilerin bu yeni dönüşüme girişlerinden önce problem çözme gelmelidir, örneğin:

Boyları eşit, kare şeklinde 2 parça kumaş. > 4 eşit parçaya bölün. Her bir parçadan bir mendil dikildi. Kaç mendil aldın? Ben Kayıt: 2= - 1 4^-, 2= -% ]

şarap aldın mı Yaz: 1 * daire vardı, * daire oldu, yani

Bu nedenle, görsel ve pratik bir temele dayalı olarak, birkaç örnek ele alıyoruz. İncelenen örneklerde öğrencilerden orijinal sayıyı (karışık veya tam sayı) ve dönüşümden sonra çıkan sayıyı (yanlış kesir) karşılaştırmaları istenir.

Öğrencilere bir tam ve karışık sayıyı uygunsuz bir kesir olarak ifade etme kuralı hakkında bilgi vermek için, karışık sayı ile uygunsuz kesrin paydalarını karşılaştırmaya ve payın nasıl elde edildiğine dikkatlerini çekmek gerekir. örnek:

1 2"=?, 1 = 2", artı ^, toplam ^ 3 ^=?, 3=-^-, artı ^, toplam

-^- olacak. Sonuç olarak, kural formüle edilmiştir: böylece karışık bir sayı

yanlış bir kesir olarak ifade edildiğinde, paydayı bir tamsayı ile çarpmak, payı ürüne eklemek ve toplamı pay olarak yazmak ve paydayı değiştirmeden bırakmak gerekir.

İlk olarak, öğrencilere bir birimi uygun olmayan bir kesir, ardından paydası olan herhangi bir tam sayı ve ancak o zaman karışık bir sayı olarak ifade etme alıştırması yapmanız gerekir:

Bir kesrin temel özelliği 1

[bir kesrin artarken değişmezliği kavramı

Üyelerindeki 1 azalma, yani pay ve payda, VIII tipi okul öğrencileri tarafından büyük zorluklarla özümsenir. Bu kavram görsel ve didaktik materyal üzerinde tanıtılmalıdır,

Öğrencilerin sadece öğretmenin faaliyetlerini gözlemlemekle kalmayıp, aynı zamanda didaktik materyalle aktif olarak çalışmaları ve gözlemler ve pratik faaliyetler temelinde belirli sonuçlara, genellemelere varmaları neden önemlidir.

Örneğin öğretmen bir şalgamın tamamını alır, onu 2 eşit öceğe böler ve sorar:

yarısında? (2 yarım.) Şalgam * göster. Keselim (ayrı)

şalgamın yarısını 2 eşit parçaya daha bölün. Ne alacağız? -y. Hadi yaz:

tt \u003d - m - Bu kesirlerin pay ve paydalarını karşılaştıralım. Ne zaman

pay kaç kat arttı? Payda kaç kat arttı? Hem pay hem de payda kaç kez arttı? Fragman değişti mi? Neden değişmedi? Paylar nelerdi: daha büyük mü daha küçük mü? Sayı arttı mı azaldı mı

Daha sonra tüm öğrenciler daireyi 2 eşit parçaya böler, her yarım 2 daha eşit parçaya bölünür, her çeyrek daha fazla bölünür.

2 eşit parça vb. ve şunu yazın: "o ^ A ^ tg ^ tgg ve t - L- Sonra kesrin pay ve paydasının kaç kat arttığını, kesrin değişip değişmediğini belirlerler. Sonra bir doğru parçası çizerler. ve sırayla 3 , 6, 12 eşit parçaya bölün ve şunu yazın:

1 21 4 -^ ve -^, -^ ve -^ kesirlerini karşılaştırırken,

r kesrinin payı ve paydası aynı sayıda artar, kesir bundan değişmez.

Matematik öğrenme güçlüğü olan çocuklara yönelik seviye belirleme derslerinde öğrencilerden birkaç örnek düşündükten sonra “Pay verse kesir değişir mi?” sorusuna cevap vermeleri istenmelidir. Bu ders kitabında, bu materyali incelemek için bir metodoloji veren paragraflar,

yıldız (*) ile işaretlenmiştir.

Pay ve paydanın aynı sayıda azaltılması düşünüldüğünde benzer örnekler verilir (pay ve payda aynı sayıya bölünür). Örneğin, kr>"

( 4 \ 8 eşit parçaya bölünmüş, bir dairenin sekizde 4'ünü alın I -o-]

hisseleri büyüttükten sonra dördüncüyü alırlar, 2 tane olacak.

4 2 1 ikinciyi al. 1 olacak : ~. = -d--%- Takipçiyi karşılaştırın!

Bu kesirlerin payları ve paydaları, soruları yanıtlayarak: “İçinde<>pay ve payda kaç kez azalır? Fragman değişecek mi?

İyi bir fayda, 12, 6, 3 eşit parçaya bölünmüş şeritlerdir (Şekil 26).

H

12 6 3 Şek. 26

Bu genelleştirilmiş malzeme bilinmektedir okul kursu matematik. Burada kesirlere bakıyoruz. Genel görünüm sayılar, güçler, kökler, logaritmalar, trigonometrik işlevler veya diğer nesnelerle. Kesirlerin temel dönüşümleri, türlerine bakılmaksızın ele alınacaktır.

kesir nedir?

Birkaç tanım daha var.

tanım 2

A ve B'yi ayıran yatay eğik çizgiye kesir veya kesir denir. kesirli çizgi.

tanım 3

Bir kesrin çubuğunun üzerindeki ifadeye denir. pay ve altında - payda.

Adi kesirlerden genel kesirlere

Bir kesir ile tanışma, sıradan kesirler geçtiğinde 5. sınıfta gerçekleşir. Tanımdan, pay ve paydanın doğal sayılar olduğu görülebilir.

örnek 1

Örneğin 1/5 , 2/6 , 12/7 , 3/1 olarak yazılabilen 1 5 , 2 6 , 12 7 , 3 1 .

Sıradan kesirlerle işlemleri çalıştıktan sonra, paydasında bir doğal sayı olmayan, doğal sayılarla ifadeler olan kesirlerle ilgileniriz.

Örnek 2

Örneğin, 1 + 3 5 , 9 - 5 16 , 2 7 9 12 .

Harflerin veya gerçek ifadelerin olduğu kesirler ile uğraşırken, aşağıdaki gibi yazılır:

a + b c , a - b c , bir c b d .

Tanım 4

a c + b c = a + b c , a c - b c = a - b c , a b v d = a c b d adi kesirlerin toplama, çıkarma, çarpma kurallarını düzeltin

Hesaplamak için genellikle bir çeviriye gelmek gerekir karışık sayılar sıradan kesirlere dönüştürülür. Tamsayı kısmını a olarak belirttiğimizde, o zaman kesirli kısım b / c formuna sahiptir, a · c + b c formunun bir kesirini alırız, bu tür kesirlerin görünüşünün açık olduğu 2 · 11 + 3 11 , 5 · 2 + 1 2 vb.

Kesir çizgisi bölme işareti olarak kabul edilir. Bu nedenle, kayıt başka bir şekilde dönüştürülebilir:

1: a - (2 b + 1) \u003d 1 a - 2 b + 1, 5 - 1, 7 3: 2 3 - 4: 2 \u003d 5 - 1, 7 3 2 3 - 4: 2 , burada bölüm 4: 2 bir kesir ile değiştirilebilir, sonra formun bir ifadesini alırız

5 - 1 , 7 3 2 3 - 4 2

Rasyonel kesirli hesaplamalar matematikte özel bir yere sahiptir, çünkü pay ve payda sadece sayısal değerleri değil, polinomları da içerebilir.

Örnek 3

Örneğin, 1 x 2 + 1 , x y - 2 y 2 0 , 5 - 2 x + y 3 .

Rasyonel ifadeler, genel bir formun kesirleri olarak kabul edilir.

Örnek 4

Örneğin, x x + 1 4 x 2 x 2 - 1 2 x 3 + 3 , 1 + x 2 y (x - 2) 1 x + 3 x 1 + 2 - x 4 x 5 + 6x.

Köklerin incelenmesi, rasyonel üslü kuvvetler, logaritmalar, trigonometrik fonksiyonlar başvurularının formun belirli bölümlerinde göründüğünü söylüyor:

Örnek 5

bir n bn , 2 x + x 2 3 x 1 3 - 12 x , 2 x 2 + 3 3 x 2 + 3 , ln (x - 3) ln e 5 , cos 2 α - sin 2 α 1 - 1 cos 2 α .

Kesirler birleştirilebilir, yani x + 1 x 3 log 3 sin 2 x + 3, lg x + 2 lg x 2 - 2 x + 1 biçimindedir.

Kesir dönüştürme türleri

Bir dizi özdeş dönüşüm için birkaç tür dikkate alınır:

tanım 5

• pay ve payda ile çalışmaya özgü dönüşüm;
• kesirli bir ifadeden önce işaret değişikliği;
• ortak bir paydaya indirgeme ve kesir indirgeme;
• bir kesrin polinomların toplamı olarak temsili.

Pay ve Paydadaki İfadeleri Dönüştürme

Özdeş olarak eşit ifadelerle, elde edilen kesrin orijinaline özdeş olarak eşit olduğunu elde ederiz.

A / B formunun bir kesri verilirse, A ve B bazı ifadelerdir. Ardından, değiştirirken A 1 / B 1 formunun bir kısmını alırız. . A / A 1 = B / B 1 eşitliğini kanıtlamak gerekir ODZ'yi karşılayan herhangi bir değişken değeri için.

bizde var A ve 1 ve B ve B1özdeş olarak eşittir, o zaman değerleri de eşittir. Bunu takip eder, herhangi bir değer için A/B ve A1 / B1 kesirler eşit olacaktır.

Bu dönüştürme, pay ve paydayı ayrı ayrı dönüştürmeniz gerekirse, kesirlerle çalışmayı kolaylaştırır.

Örnek 6

Örneğin, 2 2 · 3 · 3'e çevirdiğimiz 2 / 18 formunun bir kısmını alalım. Bunu yapmak için paydayı basit faktörlere ayırırız. x 2 + x y x 2 + 2 x y + y 2 \u003d x x + y (x + y) 2 fraksiyonu, x 2 + x y biçiminde bir paya sahiptir, x (x + y) ile değiştirilmesi gerektiği anlamına gelir, ortak faktör x'in parantez içine alınmasıyla elde edilecektir. Belirli bir kesrin paydası x 2 + 2 x y + y 2 kısaltılmış çarpma formülü ile daraltın. O zaman, özdeş olarak eşit ifadesinin (x + y) 2 olduğunu elde ederiz.

Örnek 7

sin 2 3 φ - π + cos 2 3 φ - π φ φ 5 6 formunun bir kesri verilirse, basitleştirmek için, formüle göre payı 1 ile değiştirmek ve paydayı forma getirmek gerekir. φ 11 12. Sonra 1 φ 11 12'nin verilen kesre eşit olduğunu elde ederiz.

Bir kesrin önünde, payında, paydasında işaret değişikliği

Kesir dönüşümleri aynı zamanda kesrin önündeki işaretlerin değiştirilmesidir. Bazı kurallara bakalım:

Tanım 7

• payın işaretini değiştirirken, verilene eşit bir kesir elde ederiz ve kelimenin tam anlamıyla _ - A - B \u003d AB gibi görünür, burada A ve B bazı ifadelerdir;
• kesirden önceki ve paydan önceki işareti değiştirirken, - - A B = A B ;
• kesrin önündeki işareti ve paydasını değiştirirken, - A - B = A B elde ederiz.

Kanıt

Eksi işareti çoğu durumda işaretli bir faktör olarak kabul edilir - 1 ve eğik çizgi bölmedir. Buradan şunu elde ederiz - A - B = - 1 · A: - 1 · B . Faktörleri gruplandırırsak,

1 A: - 1 B = ((- 1) : (- 1) A: B = = 1 A: B = A: B = A B

İlk iddiayı kanıtladıktan sonra, gerisini haklı çıkarıyoruz. Alırız:

A B = (- 1) (((- 1) A) : B) = (- 1 - 1) A: B = = 1 (A: B) = A: B = A B - A - B = (- 1) (A: - 1 B) = ((- 1) : (- 1)) (A: B) == 1 (A: B) = A: B = A B

Örnekleri düşünün.

Örnek 8

3/7 kesrinin - 3 - 7, - - 3 7, - 3 - 7 biçimine dönüştürülmesi gerektiğinde, benzer şekilde - 1 + x - x 2 2 2 3 biçiminin bir kesri ile gerçekleştirilir. - ln (x 2 + 3) x + günah 2 x 3 x .

Dönüşümler aşağıdaki gibi gerçekleştirilir:

1) - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + günah 2 x 3 x = = - (- 1 + x - x 2) - 2 2 3 - ln x 2 + 3 x + günah 2 x 3 x = = 1 - x + x 2 - 2 2 3 + ln (x 2 + 3) x - s ben n 2 x 3 x 2) - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + günah 2 x 3 x = = - - (- 1 + x - x 2) 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + günah 2 x 3 x = = - 1 - x + x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + günah 2 x 3 x 3) - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + günah 2 x 3 x = = - - 1 + x - x 2 - 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + günah 2 x 3 x = = - - 1 + x - x 2 - 2 2 3 + ln (x 2 + 3) x - günah 2 x 3 x

Bir kesri yeni bir paydaya getirme

Sıradan kesirleri incelerken, pay ve paydayı aynı doğal sayı ile çarpmanıza, bölmenize izin veren kesirlerin temel özelliğine değindik. Bu, a · m b · m = a b ve a: m b: m = a b eşitliğinden görülebilir; burada a , b , m doğal sayılardır.

Bu eşitlik a , b , m değerleri ve b ≠ 0 ve m ≠ 0 hariç tüm a değerleri için geçerlidir. Yani, A / B fraksiyonunun, bazı ifadeler olan A ve C ile payı, 0'a eşit olmayan M ifadesi ile çarpılır veya bölünürse, o zaman aynı olan bir kesir elde ederiz. ilki. A · M B · M = A B ve A: M B: M = A B elde ederiz.

Bu, dönüşümlerin 2 dönüşüme dayandığını gösterir: ortak bir paydaya indirgeme, indirgeme.

Ortak paydaya indirgemede çarpma işlemi aynı sayı veya ifade, pay ve payda ile yapılır. Yani, aynı eşit dönüştürülmüş kesri çözmeye geçiyoruz.

Örnekleri düşünün.

Örnek 9

x + 1 0, 5 x 3 kesirini alır ve 2 ile çarparsak, yeni paydanın 2 x 0, 5 x 3 = x 3 olacağını ve ifadenin 2 x + 1 x şeklini alacağını alırız. 3.

Örnek 10

1 - x 2 x 2 3 1 + ln x kesirini 6 x 1 + ln x 3 biçimindeki başka bir paydaya indirgemek için, pay ve payda 3 x 1 3 (1 + ln x) 2 ile çarpılmalıdır. Sonuç olarak, 3 x 1 3 1 + ln x 2 1 - x 6 x (1 + ln x) 3 kesirini elde ederiz.

Paydadaki mantıksızlıktan kurtulmak gibi bir dönüşüm de uygulanabilir. Çözüm sürecini basitleştiren paydada bir kökün varlığını ortadan kaldırır.

kesir azaltma

Ana özellik bir dönüşüm, yani doğrudan indirgemesidir. Küçültüldüğünde basitleştirilmiş bir kesir elde ederiz. Bir örneğe bakalım:

Örnek 11

Veya x 3 x 3 x 2 (2 x 2 + 1 + 3) x 3 x 3 2 x 2 + 1 + 3 3 + 1 3 x formunun bir kesri, burada indirgeme x 3 , x 3 kullanılarak yapılır, 2 x 2 + 1 + 3 veya x 3 x 3 2 x 2 + 1 + 3 gibi bir ifade. Sonra x 2 3 + 1 3 x kesirini elde ederiz.

Kesir azaltma, ortak faktörler hemen görünür olduğunda basittir. Uygulamada, bu sık sık meydana gelmez, bu nedenle ilk önce bu tür ifadelerin bazı dönüşümlerini yapmak gerekir. Ortak bir faktör bulmanın gerekli olduğu durumlar vardır.

Eğer x 2 2 3 (1 - cos 2 x) 2 sin x 2 cos x 2 2 x 1 3 formunun bir kesri varsa, o zaman trigonometrik formülleri ve kuvvet özelliklerini uygulamak gerekir. kesri x 1 3 x 2 1 3 sin 2 x sin 2 x x 1 3 biçimine dönüştürün. Bu, onu x 1 3 · sin 2 x oranında azaltmayı mümkün kılacaktır.

Bir kesri toplam olarak temsil etmek

Pay, aşağıdaki gibi cebirsel bir ifade toplamına sahip olduğunda A 1 , A 2 , … , Bir n, ve payda gösterilir B, o zaman bu kesir olarak temsil edilebilir A 1 / B , A 2 / B , … , A n / B.

Tanım 8

Bunu yapmak için, bunu düzeltin A 1 + A 2 + . . . + A n B = A 1 B + A 2 B + . . . + A ve B .

Bu dönüşüm, aynı üslü kesirler eklemekten temel olarak farklıdır. Bir örnek düşünün.

Örnek 12

sin x - 3 x + 1 + 1 x 2 formunun bir kesri verildiğinde, kesirlerin cebirsel toplamı olarak temsil edeceğiz. Bunu yapmak için sin x x 2 - 3 x + 1 x 2 + 1 x 2 veya sin x - 3 x + 1 x 2 + 1 x 2 veya sin x x 2 + - 3 x + 1 + 1 x 2 olarak hayal edin.

A / B formuna sahip herhangi bir kesir, herhangi bir şekilde kesirlerin toplamı olarak temsil edilir. Paydaki A ifadesi, A + A 0 B - A 0 B'ye ulaşmayı mümkün kılacak herhangi bir sayı veya A 0 ifadesi ile azaltılabilir veya artırılabilir.

Bir kesrin en basitine ayrıştırılması, bir kesri toplama dönüştürmek için özel bir durumdur. Çoğu zaman entegrasyon için karmaşık hesaplamalarda kullanılır.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.