Bir matrisin rankı kavramıyla çalışmak için "Cebirsel tamamlayıcılar ve küçükler. Küçüklerin türleri ve cebirsel tamamlayıcılar" konusundan bilgilere ihtiyacımız var. Her şeyden önce, bu "matriks minör" terimiyle ilgilidir, çünkü bir matrisin sırasını tam olarak minörler aracılığıyla belirleyeceğiz.

matris sıralaması aralarında sıfıra eşit olmayan en az bir tane olan küçüklerinin maksimum sırasını adlandırın.

eşdeğer matrisler rankları birbirine eşit olan matrislerdir.

Daha detaylı anlatalım. İkinci dereceden küçükler arasında sıfırdan farklı en az bir tane olduğunu varsayalım. Ve sırası ikiden büyük olan tüm küçükler sıfıra eşittir. Sonuç: matrisin sırası 2'dir. Veya örneğin, onuncu sıranın küçükleri arasında sıfıra eşit olmayan en az bir tane vardır. Ve sırası 10'dan büyük olan tüm küçükler sıfıra eşittir. Sonuç: matrisin sırası 10'dur.

$A$ matrisinin rankı şu şekilde gösterilir: $\rang A$ veya $r(A)$. $O$ sıfır matrisinin rankı sıfıra eşittir, $\rang O=0$. Bir matris minör oluşturmak için satır ve sütunların üzerinin çizilmesi gerektiğini, ancak matrisin içerdiğinden daha fazla satır ve sütunun üzerini çizmenin imkansız olduğunu hatırlatmama izin verin. Örneğin, $F$ matrisinin boyutu $5\times 4$ ise (yani 5 satır ve 4 sütun içeriyorsa), bu durumda minörlerin maksimum sırası dörttür. Beş sütuna ihtiyaç duyacakları için (ve elimizde sadece 4 tane var) beşinci dereceden küçükler oluşturmak artık mümkün olmayacak. Bu, $F$ matrisinin rankının dörtten büyük olamayacağı anlamına gelir, yani. $\rang F≤4$.

Daha genel bir biçimde, yukarıdaki, matris $m$ satırları ve $n$ sütunları içeriyorsa, sıralamasının $m$ ve $n$ sayılarının en küçüğünü geçemeyeceği anlamına gelir, yani. $\rang A≤\min(m,n)$.

Prensip olarak, onu bulma yöntemi, rütbenin tanımından kaynaklanmaktadır. Tanım gereği bir matrisin sırasını bulma süreci şematik olarak aşağıdaki gibi gösterilebilir:

Bu diyagramı daha ayrıntılı olarak açıklayayım. En baştan akıl yürütmeye başlayalım, yani. $A$ matrisinin birinci dereceden küçükleri ile.

1. Tüm birinci dereceden küçükler (yani $A$ matrisinin elemanları) sıfıra eşitse, o zaman $\rang A=0$. Birinci dereceden küçükler arasında sıfıra eşit olmayan en az bir tane varsa, o zaman $\rang A≥ 1$. İkinci dereceden küçüklerin doğrulanmasına geçiyoruz.
2. Tüm ikinci dereceden küçükler sıfıra eşitse, o zaman $\rang A=1$. İkinci dereceden küçükler arasında sıfıra eşit olmayan en az bir tane varsa, o zaman $\rang A≥ 2$. Üçüncü dereceden küçüklerin doğrulanmasına geçiyoruz.
3. Tüm üçüncü dereceden küçükler sıfıra eşitse, o zaman $\rang A=2$. Üçüncü dereceden küçükler arasında sıfıra eşit olmayan en az bir tane varsa, o zaman $\rang A≥ 3$. Dördüncü dereceden küçükleri kontrol etmeye devam edelim.
4. Tüm dördüncü dereceden küçükler sıfıra eşitse, o zaman $\rang A=3$. Dördüncü dereceden en az bir sıfır olmayan minör varsa, o zaman $\rang A≥ 4$. Beşinci dereceden küçüklerin doğrulanmasına geçiyoruz, vb.

Bu sürecin sonunda bizi neler bekliyor? k. sıradaki küçükler arasında sıfırdan farklı en az bir tane olması ve (k + 1). sıradaki tüm küçüklerin sıfıra eşit olması mümkündür. Bu, k'nin, aralarında sıfıra eşit olmayan en az bir tane olan küçüklerin maksimum sırası olduğu anlamına gelir, yani. rütbe k'ye eşit olacaktır. Farklı bir durum olabilir: k. sıradaki küçükler arasında sıfıra eşit olmayan en az bir tane olacak ve (k + 1) sıradaki küçükler oluşturulamaz. Bu durumda matrisin rankı da k'ye eşittir. Kısaca söylemek gerekirse, son oluşan sıfır olmayan küçüklerin sırası ve matrisin sırasına eşit olacaktır.

Tanım gereği bir matrisin rankını bulma sürecinin açık bir şekilde gösterileceği örneklere geçelim. Bu konudaki örneklerde sadece rank tanımını kullanarak matrislerin rankını bulacağımızı bir kez daha vurguluyorum. Diğer yöntemler (sınırlı küçükler yöntemiyle bir matrisin rankının hesaplanması, elemanter dönüşümler yöntemiyle bir matrisin rankının hesaplanması) aşağıdaki konularda ele alınmaktadır.

Bu arada, 1 ve 2 numaralı örneklerde olduğu gibi, en küçük sıradaki küçüklerden rütbe bulma prosedürünü başlatmak hiç gerekli değildir. Daha yüksek dereceli küçüklere hemen gidebilirsiniz (3 numaralı örneğe bakın).

Örnek 1

$A=\left(\begin(array)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 matrisinin rankını bulun & 0 & 1 \end(dizi)\sağ)$.

Bu matrisin boyutu $3\x 5$, yani. üç satır ve beş sütun içerir. 3 ve 5 sayılarından 3 minimumdur, bu nedenle $A$ matrisinin rankı en fazla 3'tür, yani. $\rank A≤ 3$. Ve bu eşitsizlik açıktır, çünkü artık dördüncü mertebeden minörler oluşturamayız - 4 satıra ihtiyaçları var ve sadece 3'ümüz var. Doğrudan belirli bir matrisin rankını bulma sürecine geçelim.

Birinci dereceden küçükler arasında (yani $A$ matrisinin elemanları arasında) sıfır olmayanlar vardır. Örneğin, 5, -3, 2, 7. Genel olarak, sıfır olmayan öğelerin toplam sayısı ile ilgilenmiyoruz. En az bir sıfır olmayan öğe vardır - ve bu yeterlidir. Birinci dereceden küçükler arasında sıfır olmayan en az bir tane olduğundan, $\rang A≥ 1$ sonucuna varırız ve ikinci dereceden küçükleri kontrol etmeye devam ederiz.

İkinci dereceden küçükleri keşfetmeye başlayalım. Örneğin, #1, #2 satırları ve #1, #4 sütunlarının kesişiminde şu minörün öğeleri vardır: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end (dizi) \sağ| $. Bu determinant için ikinci sütunun tüm elemanları sıfıra eşittir, bu nedenle determinantın kendisi sıfıra eşittir, yani. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (determinantların özelliğinde #3 özelliğine bakın). Veya bu determinantı, ikinci ve üçüncü dereceden determinantları hesaplama bölümündeki formül No. 1'i kullanarak kolayca hesaplayabilirsiniz:

$$ \left|\begin(dizi)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(dizi) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

Kontrol ettiğimiz ikinci mertebeden ilk minör sıfıra eşit çıktı. Ne diyor? İkinci dereceden küçükleri daha fazla kontrol etme ihtiyacı hakkında. Ya hepsi sıfır olur (ve sonra sıra 1'e eşit olur) ya da aralarında sıfırdan farklı en az bir minör vardır. Öğeleri #1, #2 satırları ile #1 ve #5 sütunlarının kesişiminde bulunan ikinci dereceden bir minör yazarak daha iyi bir seçim yapmaya çalışalım: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(dizi)\sağ|$. İkinci mertebeden bu minörün değerini bulalım:

$$ \left|\begin(dizi)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(dizi) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

Bu minör sıfıra eşit değildir. Sonuç: İkinci dereceden küçükler arasında sıfır dışında en az bir tane var. Dolayısıyla $\rank A≥ 2$. Üçüncü dereceden küçüklerin çalışmasına devam etmek gerekir.

Üçüncü dereceden küçüklerin oluşumu için 2 numaralı sütunu veya 4 numaralı sütunu seçeceksek, bu tür küçükler sıfıra eşit olacaktır (çünkü sıfır sütun içereceklerdir). Öğeleri No. 1, No. 3, No. 5 sütunlarının ve 1, No. 2, No. 3 sıralarının kesişiminde bulunan üçüncü dereceden sadece bir küçük kontrol etmek için kalır. Bu minörü yazalım ve değerini bulalım:

$$ \left|\begin(dizi)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(dizi) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$

Yani, tüm üçüncü dereceden küçükler sıfıra eşittir. Derlediğimiz son sıfır olmayan minör ikinci derecedendi. Sonuç: aralarında sıfır dışında en az bir tane bulunan küçüklerin maksimum sırası 2'ye eşittir. Bu nedenle, $\rang A=2$.

Cevap: $\derece A=2$.

Örnek #2

$A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 matrisinin rankını bulun \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(dizi) \sağ)$.

Dördüncü dereceden bir kare matrisimiz var. Bu matrisin sıralamasının 4'ü geçmediğini hemen not ediyoruz, yani. $\rank A≤ 4$. Bir matrisin rankını bulmaya başlayalım.

Birinci dereceden küçükler arasında (yani $A$ matrisinin elemanları arasında) sıfıra eşit olmayan en az bir tane vardır, dolayısıyla $\rang A≥ 1$. İkinci dereceden küçüklerin doğrulanmasına geçiyoruz. Örneğin, 2 No'lu, 3 No'lu satırların ve 1 No'lu ve 2 No'lu sütunların kesişiminde, ikinci mertebenin şu minörünü alırız: $\left| \begin(dizi) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(dizi) \right|$. Hesaplayalım:

$$ \sol| \begin(dizi) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(dizi) \right|=0-10=-10. $$

İkinci dereceden küçükler arasında sıfıra eşit olmayan en az bir tane var, yani $\rang A≥ 2$.

Üçüncü dereceden küçüklere geçelim. Örneğin, öğeleri No. 1, No. 3, No. 4 ve 1, No. 2, No. 4 sütunlarının kesişiminde bulunan bir küçük bulalım:

$$ \sol | \begin(dizi) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(dizi) \right|=105-105=0. $$

Bu üçüncü dereceden minör sıfıra eşit olduğu için başka bir üçüncü dereceden minörün araştırılması gerekmektedir. Ya hepsi sıfıra eşit olacak (o zaman rütbe 2'ye eşit olacak) ya da aralarında sıfıra eşit olmayan en az bir tane olacak (o zaman dördüncü dereceden küçükleri incelemeye başlayacağız). Öğeleri No. 2, No. 3, No. 4 ve 2, No. 3, No. 4 sütunlarının kesişiminde bulunan üçüncü dereceden bir küçük düşünün:

$$ \sol| \begin(dizi) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(dizi) \right|=-28. $$

Üçüncü dereceden küçükler arasında en az bir sıfır olmayan küçük var, bu nedenle $\rang A≥ 3$. Dördüncü dereceden küçükleri kontrol etmeye devam edelim.

Dördüncü mertebeden herhangi bir minör $A$ matrisinin dört satırı ve dört sütununun kesişiminde bulunur. Başka bir deyişle, dördüncü dereceden küçük, $A$ matrisinin determinantıdır, çünkü bu matris sadece 4 satır ve 4 sütun içerir. Bu matrisin determinantı, "Determinantın sırasını azaltma. Determinantın bir satırda (sütun) ayrıştırılması" konusunun 2 numaralı örneğinde hesaplanmıştır, bu yüzden sadece bitmiş sonucu alalım:

$$ \sol| \begin(dizi) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end (dizi)\sağ|=86. $$

Yani dördüncü dereceden minör sıfıra eşit değildir. Artık beşinci dereceden küçükler oluşturamayız. Çözüm: en yüksek mertebe aralarında sıfır dışında en az bir tane bulunan küçükler 4'e eşittir. Sonuç: $\rang A=4$.

Cevap: $\derece A=4$.

Örnek 3

$A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 matrisinin rankını bulun \end( dizi)\sağ)$.

Bu matrisin 3 satır ve 4 sütun içerdiğine hemen dikkat edin, dolayısıyla $\rang A≤ 3$. Önceki örneklerde, en küçük (birinci) sıradaki küçükleri dikkate alarak rank bulma işlemine başladık. Burada, mümkün olan en yüksek düzeydeki küçükleri hemen kontrol etmeye çalışacağız. $A$ matrisi için bunlar üçüncü dereceden küçüklerdir. Öğeleri No. 1, No. 2, No. 3 satırların ve No. 2, No. 3, No. 4 sütunlarının kesişiminde bulunan üçüncü dereceden bir minör düşünün:

$$ \sol| \begin(dizi) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(dizi) \right|=-8-60-20=-88. $$

Bu nedenle, aralarında sıfıra eşit olmayan en az bir tane olan en yüksek küçükler sırası 3'tür. Bu nedenle, matrisin sırası 3'tür, yani. $\derece A=3$.

Cevap: $\derece A=3$.

Genel olarak, tanım gereği bir matrisin sırasını bulmak, genel durumda oldukça zaman alıcı bir iştir. Örneğin, nispeten küçük bir 5$\x4$ matrisinde 60 ikinci dereceden minör vardır. Ve 59'u sıfıra eşit olsa bile, 60. minör sıfır olmayabilir. Ardından, bu matrisin 40 parçası olan üçüncü dereceden küçükleri keşfetmeniz gerekiyor. Genellikle, küçükleri sınırlama yöntemi veya eşdeğer dönüşümler yöntemi gibi daha az hantal yöntemler kullanmaya çalışır.

Tanım. matris sıralaması vektör olarak kabul edilen maksimum lineer bağımsız satır sayısıdır.

Bir matrisin rankı üzerine Teorem 1. matris sıralaması bir matrisin sıfır olmayan bir minörünün maksimum mertebesidir.

Determinantlar dersinde minör kavramını zaten tartışmıştık ve şimdi bunu genelleştireceğiz. Matristeki bazı satırları ve bazı sütunları alalım ve bu "bir şey" matrisin satır ve sütun sayısından daha az olmalı ve satırlar ve sütunlar için bu "bir şey" aynı sayı olmalıdır. Sonra kaç satır ve kaç sütunun kesişiminde orijinal matrisimizden daha küçük bir matris olacak. Bahsedilen "bir şey" (satır ve sütun sayısı) k ile gösterilirse, bu matrisin determinantı k'inci dereceden küçük olacaktır.

Tanım. Küçük ( r+1-inci sıra, içinde seçilen minör r-inci sıra, verilen minör için bordür olarak adlandırılır.

En sık kullanılan iki yöntem bir matrisin rankını bulma. BT reşit olmayanları engelleme yolu ve temel dönüşümler yöntemi(Gauss yöntemiyle).

Küçükleri sınırlama yöntemi aşağıdaki teoremi kullanır.

Bir matrisin rankı üzerine Teorem 2. Matrisin elemanlarından bir minör oluşturmak mümkünse r sıfıra eşit olmayan inci sıra, matrisin sırası eşittir r.

Temel dönüşümler yöntemiyle aşağıdaki özellik kullanılır:

Temel dönüşümlerle orijinaline eşdeğer bir yamuk matris elde edilirse, o zaman bu matrisin rankı tamamen sıfırlardan oluşan satırlar dışındaki satır sayısıdır.

Küçükleri sınırlayarak bir matrisin sırasını bulma

Sınırlı bir çocuk, verilen küçük çocuğu içeriyorsa, verilen çocukla ilişkili olarak daha yüksek düzeyde bir çocuktur.

Örneğin, verilen matris

küçük bir tane alalım

kenar böyle küçük olacak:

Bir matrisin sırasını bulmak için algoritma sonraki.

1. Sıfıra eşit olmayan ikinci dereceden küçükleri buluyoruz. Tüm ikinci dereceden küçükler sıfıra eşitse, matrisin rankı bire eşit olacaktır ( r =1 ).

2. Sıfıra eşit olmayan en az bir ikinci dereceden küçük varsa, o zaman üçüncü dereceden küçükleri sınırlıyoruz. Tüm üçüncü dereceden sınırlayıcı küçükler sıfırsa, matrisin sırası iki ( r =2 ).

3. Üçüncü mertebeden sınırdaki küçüklerden en az biri sıfıra eşit değilse, onu çevreleyen küçükleri oluştururuz. Tüm sınırlayıcı dördüncü dereceden küçükler sıfırsa, matrisin sırası üçtür ( r =2 ).

4. Matrisin boyutu izin verdiği sürece devam edin.

örnek 1 Bir matrisin sırasını bulun

.

Çözüm. İkinci dereceden küçük .

Çerçeveleyelim. Sınırda dört küçük çocuk olacak:

,

,

Böylece, tüm sınırlayıcı üçüncü dereceden küçükler sıfıra eşittir, bu nedenle bu matrisin sırası iki ( r =2 ).

Örnek 2 Bir matrisin sırasını bulun

Çözüm. Bu matrisin sıralaması 1'dir, çünkü bu matrisin tüm ikinci dereceden küçükleri sıfıra eşittir (bunda, sonraki iki örnekte sınırdaki küçükler durumunda olduğu gibi, sevgili öğrenciler kendileri için doğrulamaya davet edilir, belki belirleyicileri hesaplama kurallarını kullanarak) ve birinci dereceden küçükler arasında , yani matrisin öğeleri arasında sıfıra eşit değildir.

Örnek 3 Bir matrisin sırasını bulun

Çözüm. Bu matrisin ikinci dereceden küçükleri ve bu matrisin tüm üçüncü dereceden küçükleri sıfırdır. Bu nedenle, bu matrisin rankı ikidir.

Örnek 4 Bir matrisin sırasını bulun

Çözüm. Bu matrisin rankı 3'tür çünkü bu matrisin tek üçüncü mertebeden minörü 3'tür.

Temel dönüşümler yöntemiyle bir matrisin sırasını bulma (Gauss yöntemiyle)

Halihazırda Örnek 1'de, bir matrisin sırasını küçüklerin sınırlanması yöntemiyle belirleme probleminin hesaplama gerektirdiği görülebilir. Büyük bir sayı belirleyiciler. Bununla birlikte, hesaplama miktarını en aza indirmenin bir yolu vardır. Bu yöntem, temel matris dönüşümlerinin kullanımına dayanır ve Gauss yöntemi olarak da adlandırılır.

Bir matrisin temel dönüşümleri aşağıdaki işlemler anlamına gelir:

1) matrisin herhangi bir satırının veya herhangi bir sütununun sıfırdan farklı bir sayı ile çarpımı;

2) matrisin herhangi bir satırının veya sütununun elemanlarına, aynı sayı ile çarpılarak başka bir satır veya sütunun karşılık gelen elemanlarının eklenmesi;

3) bir matrisin iki satırını veya sütununu değiştirmek;

4) "boş" satırların, yani tüm öğeleri sıfıra eşit olan satırların kaldırılması;

5) biri hariç tüm orantılı çizgilerin silinmesi.

Teorem. Temel dönüşüm matrisin sırasını değiştirmez. Başka bir deyişle, matristen temel dönüşümler kullanırsak A matrise git B, sonra .

A boyutunda bir matris düşünün.

bir=
İçinde k satır ve k sütun seçin (
).

Tanım 26:Küçük A matrisinin k. mertebesi, verilen matristen içindeki seçimle elde edilen kare matrisin determinantıdır.

k satır ve k sütun.

Tanım 27:rütbe matris, minörlerinin sıfırdan farklı mertebelerinin en büyüğü r(A) olarak adlandırılır.

Tanım 28: Sırası, rütbesi ile aynı olan küçüklere denir. temel küçük.

Beyan:

1. Sıra bir tamsayı olarak ifade edilir.(
)

2.r=0,
A sıfır olduğunda.

Matrislerin temel dönüşümleri.

Matrislerin temel dönüşümleri aşağıdakileri içerir:

1) matrisin herhangi bir satırının (sütununun) tüm elemanlarının aynı sayı ile çarpımı.

2) matrisin herhangi bir satırının (sütununun) elemanlarına, aynı sayı ile çarpılan başka bir satırın (sütun) karşılık gelen elemanlarının eklenmesi;

3) matrisin satırlarının (sütunlarının) permütasyonu;

4) sıfır satırının (sütun) atılması;

5) matris satırlarının karşılık gelen sütunlarla değiştirilmesi.

Tanım 29: Temel dönüşümler altında birbirinden elde edilen matrislere eşdeğer matrisler denir ve “~” ile gösterilir.

Eşdeğer matrislerin ana özelliği: Eşdeğer matrislerin rankları eşittir.

Örnek 18: r(A) hesaplayın,

Çözüm:İlk satırı adım adım (-4)(-2) ile çarpın

(-7) ve ardından sırasıyla ikinci, üçüncü ve dördüncü satırlara ekleyin.

~

ikinci ve dördüncü satırları değiştir
ikinci satırı (-2) ile çarpın ve dördüncü satıra ekleyin; ikinci ve üçüncü satırları ekleyin.

üçüncü ve dördüncü satırları ekleyin.

~
boş satırı at

~
r(A)=3
orijinal matris sıralaması

üçe eşittir.

Tanım 30: Ana köşegenin tüm elemanları varsa, A matrisine adım matrisi diyoruz. 0 ve ana köşegenin altındaki elemanlar sıfırdır.

Cümle:

1) adım matrisinin sırası, satır sayısına eşittir;

2) herhangi bir matris, temel dönüşümler kullanılarak kademeli bir forma indirgenebilir.

Örnek 19: matrisinin hangi değerlerinde
rankı bire eşit mi?

Çözüm:İkinci dereceden determinant sıfıra eşitse, yani sıra bire eşittir.

§6. Genel formun lineer denklem sistemleri.

görüntüleme sistemi
---(9) genel form sistemi olarak adlandırılır.

Tanım 31: Birinci sistemin her çözümü ikincinin bir çözümü ise ve bunun tersi ise iki sistemin eşdeğer (eşdeğer) olduğu söylenir.

Sistem (1)'de matris A=
sistemin ana matrisi olarak adlandırılacak ve =
genişletilmiş matris sistemi

Teorem. Kronecker-Cappelli

Sistemin (9) tutarlı olması için, sistemin ana matrisinin rankının genişletilmiş matrisin rankına eşit olması gerekli ve yeterlidir, yani r(A)=r( )

Teorem 1. Tutarlı bir sistemin matrisinin rankı bilinmeyenlerin sayısına eşitse, sistemin benzersiz bir çözümü vardır.

Teorem 2. Bir eklem sisteminin matrisinin rankı bilinmeyenlerin sayısından küçükse, sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır.

Keyfi bir lineer denklem sistemini çözme kuralı:

1) sistemin ana ve genişletilmiş matrislerinin sıralarını bulun. Eğer bir
, o zaman sistem tutarsız.

2) Eğer
=r, o zaman sistem tutarlıdır. r mertebesinden bazı temel minör bulun. Matrisin sıralamasının belirlendiği temel küçük diyeceğiz.

Katsayıları temel minörde yer alan bilinmeyenler ana (temel) olarak adlandırılır ve solda bırakılır, kalan bilinmeyenler ise serbest olarak adlandırılır ve denklemin sağ tarafına aktarılır.

3) Temel bilinmeyenlerin serbest olanlar cinsinden ifadelerini bulun. Sistemin genel çözümü elde edilir.

Örnek 20: Sistemi araştırın ve uyumluluğu durumunda benzersiz veya genel bir çözüm bulun

Çözüm: 1) T. Kronecker-Capelli'ye göre, sistemin genişletilmiş ve temel matrislerinin sıralarını buluyoruz:

~
~

~
~
ana matrisin sırası iki

2) artırılmış matrisin derecesini bulun
~
~
~

3) Çözüm:
=2, o zaman sistem tutarlıdır.

Fakat

sistem belirsizdir ve sonsuz sayıda çözümü vardır.

4) Temel bilinmeyenler ve , temel minöre ait oldukları için ve - ücretsiz bilinmeyen.

İzin vermek =c, burada c herhangi bir sayıdır.

5) Son matris sisteme karşılık gelir

6) Cevap:

7) Doğrulama: Tüm bilinmeyenlerin bulunduğu orijinal sistemin herhangi bir denkleminde bulunan değerleri yerine koyarız.

r sayısı, aşağıdaki durumlarda A matrisinin sırası olarak adlandırılır:
1) matris A, r mertebesinde sıfır olmayan bir minör içerir;
2) tüm küçükler (r + 1) ve varsa daha yüksek, sıfıra eşittir.
Aksi takdirde, bir matrisin sırası, sıfır olmayan bir minörün en yüksek mertebesidir.
Tanımlamalar: rangA , r A veya r .
Tanımdan, r'nin pozitif bir tam sayı olduğu sonucu çıkar. Boş bir matris için, sıra sıfır olarak kabul edilir.

Servis ataması. Çevrimiçi hesap makinesi bulmak için tasarlanmıştır matris sıralaması. Çözüm, Word ve Excel formatında kaydedilir. çözüm örneğine bakın.

Talimat. Matrisin boyutunu seçin, İleri'ye tıklayın.

Tanım . R dereceli bir matris verilsin. Sıfırdan farklı ve r mertebesine sahip herhangi bir minör matrise temel, bileşenlerinin satır ve sütunlarına ise temel satırlar ve sütunlar denir.
Bu tanıma göre, A matrisinin birkaç temel minörü olabilir.

E kimlik matrisinin rankı n'dir (satır sayısı).

Örnek 1 . İki matris verildiğinde, ve onların küçükleri , . Bunlardan hangisi esas alınabilir?
Çözüm. Minör M 1 = 0, bu nedenle matrislerin herhangi biri için bir temel olamaz. Minör M 2 =-9≠0 ve mertebe 2'ye sahip olduğundan, rankları 2'ye eşit olmak kaydıyla A veya / ve B'nin temel matrisleri olarak alınabilir. detB=0 olduğundan (iki orantılı sütunlu bir determinant olarak), o zaman rangB=2 ve M2, B matrisinin minör temeli olarak alınabilir. detA=-27≠ olduğu gerçeğinden dolayı, A matrisinin rankı 3'tür. 0 ve bu nedenle, bu matrisin temel minörünün sırası 3 olmalıdır, yani M 2, A matrisi için bir temel değildir. A matrisinin, A matrisinin determinantına eşit benzersiz bir minör temele sahip olduğuna dikkat edin.

Teorem (temel minör üzerinde). Bir matrisin herhangi bir satırı (sütun), temel satırlarının (sütunlarının) doğrusal bir birleşimidir.
Teoremden sonuçlar.

1. R dereceli bir matrisin herhangi bir (r+1) sütunu (satırı) doğrusal olarak bağımlıdır.
2. Bir matrisin sırası, satır (sütun) sayısından küçükse, satırları (sütunları) doğrusal olarak bağımlıdır. rangA, satır (sütun) sayısına eşitse, satırlar (sütunlar) doğrusal olarak bağımsızdır.
3. Bir A matrisinin determinantı, ancak ve ancak satırları (sütunları) doğrusal olarak bağımlıysa sıfıra eşittir.
4. Matrisin satırına (sütununa) sıfır dışında herhangi bir sayı ile çarpılan başka bir satır (sütun) eklenirse, matrisin rankı değişmez.
5. Diğer satırların (sütunların) doğrusal bir kombinasyonu olan matristeki bir satırın (sütun) üzerini çizerseniz, matrisin sırası değişmez.
6. Bir matrisin sırası, doğrusal olarak bağımsız satırlarının (sütunlarının) maksimum sayısına eşittir.
7. Maksimum lineer bağımsız satır sayısı, aşağıdakilerle aynıdır: azami sayı lineer bağımsız sütunlar.

Örnek 2. Bir matrisin sırasını bulun .
Çözüm. Bir matrisin rankının tanımına dayanarak, sıfırdan farklı olan en yüksek mertebeden bir minör arayacağız. İlk olarak, matrisi daha basit bir forma dönüştürüyoruz. Bunu yapmak için, matrisin ilk satırını (-2) ile çarpın ve ikinciye ekleyin, ardından (-1) ile çarpın ve üçüncüye ekleyin.

Bu makale bir matrisin rankı gibi bir kavramı ve gerekli ek kavramları tartışacaktır. Bir matrisin rankını bulmanın örneklerini ve kanıtlarını vereceğiz ve ayrıca size matris minörünün ne olduğunu ve neden bu kadar önemli olduğunu anlatacağız.

matris minör

Bir matrisin rankının ne olduğunu anlamak için, matris minör gibi bir kavramı anlamak gerekir.

tanım 1

Küçükkmertebe matrisi - önceden seçilmiş k-satırlarında ve k-sütunlarında bulunan, A matrisinin öğelerinin konumunu korurken, A matrisinin öğelerinden oluşan k × k sıralı bir kare matrisin determinantı.

Basitçe söylemek gerekirse, eğer A matrisinde (p-k) satırlarını ve (n-k) sütunlarını silersek ve kalan bu elemanlardan, A matrisinin elemanlarının düzenini koruyarak bir matris yaparsak, o zaman ortaya çıkan matrisin determinantı ​​A matrisinin k mertebesinden minör.

Örnekten, A matrisinin birinci dereceden küçüklerinin matris elemanlarının kendileri olduğu sonucu çıkar.

2. dereceden küçüklere birkaç örnek verebiliriz. İki satır ve iki sütun seçelim. Örneğin, 1. ve 2. satır, 3. ve 4. sütun.

Bu eleman seçimiyle, ikinci mertebenin minörü - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2 olacaktır.

A matrisinin başka bir 2. dereceden minörü 0 0 1 1 = 0

A matrisinin ikinci mertebeden küçüklerinin yapımının örneklerini verelim:

3. dereceden minör, A matrisinin üçüncü sütunu silinerek elde edilir:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

A matrisinin 3. dereceden minörünün nasıl elde edildiğini gösteren bir örnek:

Belirli bir matris için 3. dereceden daha yüksek minörler yoktur, çünkü

k ≤ m ben n (p , n) = m ben n (3 , 4) = 3

p×n düzeyindeki bir A matrisi için kaç k-inci dereceden minör vardır?

Küçüklerin sayısı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

C p k × C n k , g e C p k = p ! k! (p - k) ! ve Cnk = n! k! (n - k) ! - sırasıyla p'den k'ye, n'den k'ye kombinasyon sayısı.

A matrisinin minörlerinin ne olduğuna karar verdikten sonra, A matrisinin rankını belirlemeye geçebiliriz.

Matris sıralaması: bulma yöntemleri

matris sıralaması - sıfır dışında matrisin en yüksek mertebesi.

Tanım 1

Sıra (A), Rg(A), Rang(A).

Bir matrisin rankının ve bir matrisin minörünün tanımından, sıfır matrisinin rankının sıfıra eşit olduğu ve sıfır olmayan bir matrisin rankının sıfırdan farklı olduğu anlaşılır.

Tanıma göre bir matrisin sırasını bulma

Küçük numaralandırma yöntemi - bir matrisin sırasını belirlemeye dayalı bir yöntem.

Küçüklerin numaralandırılmasıyla eylemlerin algoritması :

A matrisinin sırasını bulmak gerekir. p× n. En az bir sıfır olmayan eleman varsa, matrisin sırası en az bire eşittir ( çünkü sıfıra eşit olmayan 1. dereceden bir minör).

Ardından 2. dereceden küçüklerin numaralandırılması gelir. Tüm 2. dereceden küçükler sıfıra eşitse, sıra bire eşittir. 2. dereceden en az bir sıfır olmayan küçük varsa, 3. dereceden küçüklerin sayımına gitmek gerekir ve bu durumda matrisin rankı en az iki olacaktır.

Aynısını 3. mertebenin rankı ile yapalım: matrisin tüm minörleri sıfıra eşitse, rank ikiye eşit olacaktır. En az bir sıfır olmayan üçüncü dereceden küçük varsa, matrisin sırası en az üçtür. Ve benzeri, benzetme yoluyla.

Örnek 2

Bir matrisin derecesini bulun:

A \u003d - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

Matris sıfır olmadığı için sıralaması en az bire eşittir.

2. derece minör - 1 1 2 2 = (- 1) × 2 - 1 × 2 = 4 sıfır değildir. Bu, A matrisinin rankının en az iki olduğu anlamına gelir.

3. sıradaki küçükleri sıralarız: C 3 3 × C 5 3 \u003d 1 5 ! 3! (5 - 3) ! = 10 adet.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (-1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (-1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

3. dereceden küçükler sıfırdır, bu nedenle matrisin sırası ikidir.

Cevap : Sıra (A) = 2.

Küçükleri saçaklama yöntemiyle bir matrisin sırasını bulma

Fringing Minör Yöntemi - daha az hesaplamalı çalışma ile sonuç almanızı sağlayan bir yöntem.

küçük saçak - minör M o k (k + 1) - A matrisinin k mertebesindeki minör M'yi sınırlayan A matrisinin ikinci mertebesi, eğer minör M o k'ye karşılık gelen matris minöre karşılık gelen matrisi "içerirse" M.

Basitçe söylemek gerekirse, kenarlı minör M'ye karşılık gelen matris, bir satır ve bir sütunun elemanları silinerek sınırlayıcı minör M o k'ye karşılık gelen matristen elde edilir.

Örnek 3

Bir matrisin derecesini bulun:

A = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

Sıralamayı bulmak için 2. dereceden küçük M = 2 - 1 4 1 alıyoruz

Sınırdaki tüm küçükleri yazıyoruz:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

Küçükleri sınırlama yöntemini doğrulamak için, formülasyonu bir kanıt temeli gerektirmeyen bir teorem sunuyoruz.

Teorem 1

Eğer p ile n mertebesine sahip bir A matrisinin k-inci mertebeden minörünü çevreleyen tüm minörler sıfıra eşitse, bu durumda A matrisinin (k + 1) mertebesinden tüm minörleri sıfıra eşittir.

Eylem algoritması :

Bir matrisin rankını bulmak için tüm minörlerin üzerinden geçmeniz gerekmez, sadece sınırlara bakın.

Sınırdaki küçükler sıfıra eşitse, matrisin sırası sıfırdır. Sıfıra eşit olmayan en az bir reşit olmayan varsa, o zaman sınırdaki küçükleri dikkate alırız.

Hepsi sıfırsa, Rank(A) ikidir. En az bir sıfırdan farklı sınırda küçük çocuk varsa, o zaman sınırındaki küçükleri dikkate almaya devam ederiz. Ve benzeri, benzer şekilde.

Örnek 4

Küçükleri saçaklama yöntemiyle bir matrisin sırasını bulun

A = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

Nasıl karar verilir?

A matrisinin a 11 elemanı sıfıra eşit olmadığından, 1. mertebenin minörünü alırız. Sıfırdan farklı bir sınırlayıcı minör aramaya başlayalım:

2 1 4 2 = 2 x 2 - 1 x 4 = 0 2 0 4 1 = 2 x 1 - 0 x 4 = 2

Sıfır 2 0 4 1'e eşit olmayan 2. dereceden bir sınırlayıcı minör bulduk.

Kenardaki küçükleri sıralayalım - (4 - 2) × (5 - 2) = 6 adet var).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

Cevap : Sıra(A) = 2.

Gauss yöntemiyle bir matrisin sırasını bulma (temel dönüşümleri kullanarak)

Temel dönüşümlerin ne olduğunu hatırlayın.

Temel dönüşümler:

• matrisin satırlarını (sütunlarını) yeniden düzenleyerek;
• matrisin herhangi bir satırının (sütununun) tüm öğelerini sıfırdan farklı rastgele bir sayı k ile çarparak;

matrisin başka bir satırına (sütununa) karşılık gelen herhangi bir satırın (sütun) elemanlarına ekleyerek, bunlar keyfi bir sayı k ile çarpılır.

tanım 5

Gauss yöntemini kullanarak bir matrisin sırasını bulma - matris denkliği teorisine dayalı bir yöntem: B matrisi, A matrisinden sonlu sayıda temel dönüşüm kullanılarak elde edilirse, Sıra(A) = Sıra(B).

Bu ifadenin geçerliliği, matrisin tanımından kaynaklanmaktadır:

• bir matrisin satırlarının veya sütunlarının permütasyonu durumunda, determinantı işaret değiştirir. Sıfıra eşitse, satırlara veya sütunlara izin verilirken sıfıra eşit kalır;
• matrisin herhangi bir satırının (sütununun) tüm elemanlarının sıfıra eşit olmayan keyfi bir k sayısı ile çarpılması durumunda, ortaya çıkan matrisin determinantı, çarpılan orijinal matrisin determinantına eşittir k ile;

matrisin belirli bir satırının veya sütununun öğelerine eklenmesi durumunda, k sayısıyla çarpılan başka bir satır veya sütunun karşılık gelen öğelerinin determinantını değiştirmez.

Temel dönüşümler yönteminin özü : sırası bulunacak olan matrisi, temel dönüşümleri kullanarak yamuk olana indirgeyin.

Ne için?

Bu tür matrislerin sıralamasını bulmak oldukça kolaydır. En az bir boş olmayan öğeye sahip satır sayısına eşittir. Ve elementer dönüşümler sırasında rank değişmediği için bu matrisin rankı olacaktır.

Bu süreci örneklendirelim:

• p ile n mertebesindeki A dikdörtgen matrisleri için, satır sayısı daha fazla sayı sütunlar:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n - 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 , Ra n k (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b k k + 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , Ra n k (A) = k

• Satır sayısı sütun sayısından az olan p ile n düzeyindeki A dikdörtgen matrisleri için:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 p b 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 p b 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b p p + 1 ⋯ b p n , Ra n k (A) = p

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b k k + 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

• için kare matrisler Ve n'ye n'ye göre sıralayın:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b n - 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 , Ra n k (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b k k + 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , Ra n k (A) = k , k< n

Örnek 5

Temel dönüşümleri kullanarak A matrisinin sırasını bulun:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

Nasıl karar verilir?

a 11 öğesi sıfır olmadığı için, A matrisinin ilk satırının öğelerini 1 a 11 \u003d 1 2 ile çarpmak gerekir:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

2. sıranın elemanlarına, (-3) ile çarpılan 1. sıranın karşılık gelen elemanlarını ekliyoruz. 3. satırın elemanlarına 1. satırın elemanlarını ekleriz, bunlar (-1) ile çarpılır:

~ A (1) \u003d 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ A (2) \u003d \u003d 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5 ) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

a 22 (2) öğesi sıfır değildir, bu nedenle A matrisinin 2. satırının öğelerini A (2) ile 1 a 22 (2) = - 2 3 ile çarparız:

A (3) \u003d 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ A (4) \u003d 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

• Ortaya çıkan matrisin 3. satırının öğelerine, 2. satırın karşılık gelen öğelerini ekliyoruz, bunlar 3 2 ;
• 4. sıranın elemanlarına - 2. sıranın elemanları, 9 2 ile çarpılır;
• 5. sıranın öğelerine - 2. sıranın 3 ile çarpılmış öğeleri 2 .

Tüm satır öğeleri sıfırdır. Böylece, temel dönüşümlerin yardımıyla, matrisi, Ra n k (A (4)) = 2 olduğu görülebileceği şekilde yamuk bir forma indirdik. Orijinal matrisin sıralamasının da ikiye eşit olduğunu takip eder.

Yorum

Temel dönüşümler yaparsanız, yaklaşık değerlere izin verilmez!

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.