Bir vektör olsun ( X , de , z ).

Bu vektörün eksenlere olan eğim açılarını gösterelim. Ooh ooh ve Öz sırasıyla harfler ,ve.üç sayı çünkü, çünkü ve çünkü aranan vektörün yön kosinüsleri. varsayarsak = (1; 0; 0 ) (9) dan elde ederiz

benzer şekilde

(11) - (13) formüllerinden aşağıdaki gibidir:

1) çünkü 2 + çünkü 2 + çünkü 2 = 1 ,

şunlar. sıfır olmayan herhangi bir vektörün kare yön kosinüslerinin toplamı bire eşittir;

şunlar.bu vektörün yön kosinüsleri, karşılık gelen izdüşümleriyle orantılıdır.

Not. (11)-(13) formüllerinden, herhangi bir birim vektörün sırasıyla koordinat eksenleri üzerindeki izdüşümlerinin, yön kosinüsleriyle çakıştığı ve dolayısıyla,

Örnek. Bir vektörün yön kosinüslerini bulun (1; 2; 2). (11)-(13) formüllerine göre

4. İki vektörün vektör çarpımı ve temel özellikleri.

Tanım. İki vektörün vektör çarpımıve modülü, vektörler üzerine inşa edilmiş ve ortak bir orijine indirgenmiş bir paralelkenarın alanına eşit olan ve çarpılan vektörlere dik olan (başka bir deyişle, paralelkenarın düzlemine dik olan) yeni bir vektör olarak adlandırılır. üzerine inşa edilmiştir) ve öyle bir yöne yönlendirilir ki, sonuçtaki vektörün çevresinden en kısa dönüş, vektörün sonundan bakıldığında saat yönünün tersine oluyor gibi görünür (Şekil 40).

Vektörler eşdoğrusal ise, o zaman onların vektör ürün sıfır vektörüne eşit kabul edilir. Bu tanımdan şu sonuç çıkar

|| = || || günah,

vektörler arasındaki açı nerede ve ( 0 ). Vektörlerin çapraz çarpımı ve sembolü ile gösterilir

x veya veya [,].

Vektör ürününün fiziksel anlamını bulalım. Vektör bir noktada uygulananı temsil ediyorsa Hanım silo ve vektör bir noktadan gidiyor Ö kesinlikle M, sonra vektör = nokta etrafındaki kuvvet momentini temsil eder Ö.

Çapraz ürün özellikleri

1 . Faktörler yeniden düzenlendiğinde, vektör çarpımı işaret değiştirir, yani.

x = -(x).

()x=x()=(x), skaler nerede.

3. Vektör ürünü dağıtım yasasına uyar, yani.

4. İki vektörün vektör çarpımı sıfır vektöre eşitse, o zaman çarpılan vektörlerden en az biri sıfır vektöre eşittir (önemsiz durum) veya aralarındaki açının sinüsü sıfıra eşittir, yani. vektörler doğrusaldır.

Geri, sıfır olmayan iki vektör eşdoğrusal ise, vektör çarpımı sıfır vektörüne eşittir.

Böylece , sıfır olmayan iki vektör u'nun eşdoğrusal olması için, çapraz çarpımlarının sıfır vektöre eşit olması gerekli ve yeterlidir.

Bundan özellikle, bir vektörün vektör ürününün ve kendisinin sıfır vektörüne eşit olduğu sonucu çıkar:

x =0

(X olarak da adlandırılır vektör kare vektör .

5. Üç vektörün karışık çarpımı ve temel özellikleri.

Üç vektör olsun ve . Vektörün vektörel olarak çarpıldığını ve elde edilen x vektörünün vektörle skaler olarak çarpıldığını ve böylece (x) sayısını belirlediğini hayal edin. denir veya karışık ürünüç vektör ve.

Kısaca, karışık ürün (x) veya () ile gösterilecektir.

Karışık ürünün geometrik anlamını bulalım. Ele alınan vektörler düzlemsel olmayan olsun. Vektörlerde ve kenarlarda olduğu gibi bir paralelyüz oluşturalım.

Çapraz ürün x, paralelkenarın alanına sayısal olarak eşit bir vektördür (=) OADB (inşa edilmiş paralel borunun tabanı), vektörler üzerine inşa edilmiş ve paralelkenar düzlemine dik yönlendirilmiştir (Şekil 41).

Skaler ürün (x)= vektörün modülü ile vektörün izdüşümünün çarpımıdır (bakınız madde 1, (2)).

İnşa edilen paralel borunun yüksekliği bu izdüşümün mutlak değeridir.

Bu nedenle ürün | | mutlak değerde, paralel borunun taban alanının ürününe ve yüksekliğine eşittir, yani vektörler üzerine inşa edilmiş bir paralel borunun hacmi ve.

Skaler ürünün paralelyüzün hacmini bazen pozitif, bazen de negatif işaretle verdiğine dikkat etmek önemlidir. Vektörler arasındaki açı keskin ise pozitif bir işaret elde edilir; olumsuz - eğer aptalsa. ve vektör arasındaki dar açı ile düzlemin aynı tarafında bulunur OADB , vektördür ve bu nedenle vektörün sonundan itibaren, k'den dönüş, vektörün sonundaki ile aynı şekilde görülecektir, yani. pozitif yönde (saat yönünün tersine).

Düzlemin diğer tarafında bulunan vektör arasında geniş bir açıda OADB vektörden ve dolayısıyla vektörün sonundan itibaren, k'den dönüş, negatif (saat yönünde) yönde görülecektir. Başka bir deyişle, vektörler ve ana Oxyz ile aynı isimde bir sistem oluşturuyorsa (karşılıklı olarak Ox, Oy, Oz eksenleriyle aynı şekilde bulunur) ürün pozitiftir ve vektörler bir sistem oluşturuyorsa negatiftir. ana ile aynı adı taşıyan.

Böylece, karışık ürün bir sayıdır,mutlak değeri paralel yüzün hacmini ifade eder,vektörler üzerine inşa edilmiş,kaburgalardaki gibi.

Çarpımın işareti, vektörler ana ile aynı ada sahip bir sistem oluşturuyorsa pozitif, aksi takdirde negatiftir.

Buradan, çarpanları hangi sırayla alırsak alalım, çarpım = (x)'in mutlak değerinin aynı kalacağı sonucu çıkar. İşarete gelince, bazı durumlarda olumlu, bazılarında olumsuz olacak; belirli bir sırayla alınan üç vektörümüzün ana ile aynı adı taşıyan bir sistem oluşturup oluşturmadığına bağlıdır. Koordinat eksenlerimizin, iç kısma bakarsanız saat yönünün tersine birbiri ardına takip edecek şekilde yerleştirildiğine dikkat edin (Şek. 42). Tura ikinci eksenden veya üçüncü eksenden başlarsak, aynı yönde yapıldığı sürece ardıllık düzeni bozulmaz, yani. saat yönünün tersine. Bu durumda, çarpanlar dairesel bir sırayla (döngüsel olarak) yeniden düzenlenir. Böylece, aşağıdaki özelliği elde ederiz:

Karışık ürün, faktörlerinin dairesel (döngüsel) bir permütasyonu ile değişmez. İki komşu faktöre izin vermek, ürünün işaretini değiştirir

= ==-()=-()=-().

Son olarak, geometrik anlam karışık ürün, aşağıdaki iddia hemen takip eder.

Vektörlerin benzerliği için gerekli ve yeterli bir koşul,,karışık ürünlerinin sıfıra eşitliği:

Def. 1.5.6. yön kosinüsleri vektör a Bu vektörün temel vektörlerle oluşturduğu açıların kosinüslerini sırasıyla, i , j , k .

Vektör yön kosinüsleri a = (X, de, z) aşağıdaki formüllerle bulunur:

Yönlü kosinüslerin karelerinin toplamı bire eşittir:

Vektör yön kosinüsleri a ortunun koordinatlarıdır: .

Temel vektörler olsun i , j , k ortak bir noktadan çekilmiş Ö. Ortların eksenlerin pozitif yönlerini belirlediğini varsayacağız. ey, kuruluş birimi, Öz. nokta toplama Ö (Menşei) ve bir ortonormal taban i , j , k aranan Uzayda kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi. İzin vermek ANCAK uzayda keyfi bir noktadır. Vektör a = AE= x i + y j + z k aranan yarıçap vektörü puan ANCAK, bu vektörün koordinatları ( x, y, z) nokta koordinatları olarak da adlandırılır. ANCAK(sembol: ANCAK(x, y, z)). koordinat eksenleri ey, kuruluş birimi, Öz sırasıyla eksen olarak da adlandırılır apsis, eksen koordine etmek, eksen başvurmak.

Vektör başlangıç ​​noktasının koordinatlarıyla verilirse AT 1 (x 1 , y 1 , z 1) ve bitiş noktası AT 2 (x 2 , y 2 , z 2), o zaman vektörün koordinatları, sonun ve başlangıcın koordinatları arasındaki farka eşittir: (çünkü ).

Düzlemde ve doğru üzerinde kartezyen dikdörtgen koordinat sistemleri karşılık gelen nicel (boyutlara göre) değişikliklerle tam olarak aynı şekilde tanımlanır.

Tipik görevlerin çözümü.

örnek 1 Bir vektörün uzunluk ve yön kosinüslerini bulun a = 6i – 2j -3k .

Çözüm. Vektör uzunluğu: . Yön kosinüsleri: .

Örnek 2 Vektör koordinatlarını bulun a , koordinat eksenleri eşit olarak oluşturma keskin köşeler, bu vektörün uzunluğu ise .

Çözüm. olduğundan, o zaman formül (1.6)'da yerine koyarsak, şunu elde ederiz: . Vektör a koordinat eksenleriyle keskin açılar oluşturur, bu nedenle orto . Bu nedenle, vektörün koordinatlarını buluruz. .

Örnek 3Üç düzlemsel olmayan vektör verilir e 1 = 2i – k , e 2 = 3i + 3j , e 3 = 2i + 3k . Ayrıştırma Vektör d = i + 5j - 2k temel e 1 , e 2 , e 3 .

Bir vektör verilsin. Birim vektör ile aynı yönde (vektör vektör ) şu formülle bulunur:

.

Eksene izin ver koordinat eksenleriyle açı oluşturur
.Eksenin yön kosinüsleri bu açıların kosinüsleri denir: eğer yön birim vektör tarafından verilen , sonra yön kosinüsleri koordinatları olarak hizmet eder, yani:

.

Yön kosinüsleri şu bağıntı ile ilişkilidir:

eğer yön keyfi bir vektör tarafından verilen , sonra bu vektörün birim vektörünü bulun ve birim vektörün ifadesi ile karşılaştırın. , almak:

skaler ürün

Nokta ürün
iki vektör ve aralarındaki açının kosinüsü ile uzunluklarının çarpımına eşit bir sayı denir:
.

Skaler çarpım aşağıdaki özelliklere sahiptir:

Sonuç olarak,
.

Skaler ürünün geometrik anlamı: vektör ve birim vektörün nokta çarpımı vektörün izdüşümüne eşit belirlenen yönde , yani
.

Skaler çarpım tanımından aşağıdaki ort çarpım tablosu gelir.
:

.

Vektörler koordinatlarıyla verilirse
ve
, yani
,
, daha sonra, bu vektörleri skaler olarak çarparak ve orts çarpım tablosunu kullanarak, skaler ürün için ifadeyi elde ederiz.
vektörlerin koordinatları aracılığıyla:

.

vektör ürün

Bir vektörün çapraz çarpımıvektör başına denilen vektör , uzunluğu ve yönü şartlara göre belirlenir:

Vektör ürünü aşağıdaki özelliklere sahiptir:

İlk üç özellikten, bir vektörler toplamının vektörler toplamı ile vektör çarpımının polinom çarpımı için olağan kurallara uyduğu sonucu çıkar. Sadece çarpanların sırasının değişmemesini sağlamak gerekir.

Temel birim vektörler aşağıdaki gibi çarpılır:

Eğer bir
ve
, daha sonra vektörlerin vektör ürününün özelliklerini dikkate alarak, vektör ürününün koordinatlarını hesaplamak için faktör vektörlerinin koordinatlarından bir kural türetebiliriz:

Yukarıda elde edilen ortların çarpma kurallarını dikkate alırsak, o zaman:

Bir matris determinantı kavramını tanıtırsak, iki vektörün vektör ürününün koordinatlarını hesaplamak için bir ifade yazmanın daha kompakt bir biçimi oluşturulabilir.

Vektörler olduğunda özel bir durum düşünün ve uçağa ait
, yani olarak temsil edilebilirler
ve
.

Vektörlerin koordinatları aşağıdaki gibi bir tablo şeklinde yazılırsa:
, o zaman onlardan ikinci dereceden bir kare matrisin oluştuğunu söyleyebiliriz, yani. boyut
, iki satır ve iki sütundan oluşur. Her biri Kare matris matrisin elemanlarından belirli kurallara göre hesaplanan ve determinant olarak adlandırılan bir sayı atanır. İkinci dereceden bir matrisin belirleyicisi, ana köşegen ve ikincil köşegen elemanlarının ürünleri arasındaki farka eşittir:

.

Bu durumda:

Determinantın mutlak değeri, vektörler üzerinde oluşturulan paralelkenarın alanına eşittir. ve yanlarda olduğu gibi.

Bu ifadeyi vektör ürün formülü (4.7) ile karşılaştırırsak, o zaman:

Bu ifade, birinci satırdan üçüncü dereceden bir matrisin determinantını hesaplamak için bir formüldür.

Böylece:

Üçüncü dereceden matris determinantı aşağıdaki gibi hesaplanır:

ve altı terimin cebirsel toplamıdır.

Üçüncü dereceden bir matrisin determinantını hesaplama formülü, kullanırsanız hatırlaması kolaydır. kuralsarrus, aşağıdaki gibi formüle edilir:

Her terim, matrisin farklı sütunlarında ve farklı satırlarında bulunan üç öğenin ürünüdür;

Artı işareti, bir kenarı ana köşegene paralel olan üçgenler oluşturan elemanların ürünlerine sahiptir;

Kenar köşegenine ait elemanların çarpımlarına ve kenar köşegenine paralel olan üçgenleri oluşturan elemanların iki çarpımına eksi işareti verilir.

TANIM

Vektör sıralı bir nokta çifti olarak adlandırılır ve (yani, bu çiftteki noktalardan hangisinin ilk olduğu tam olarak bilinir).

İlk nokta denir vektörün başlangıcı ve ikincisi onun son.

Bir vektörün başı ile sonu arasındaki uzaklığa denir. uzunluk veya vektör modülü.

Başı ve sonu aynı olan vektöre denir. sıfır ve ile gösterilir; uzunluğunun sıfır olduğu varsayılır. Aksi takdirde, vektörün uzunluğu pozitif ise buna denir. sıfır olmayan.

Yorum. Bir vektörün uzunluğu bire eşitse buna denir. ortom veya birim vektör ve belirtilmektedir.

ÖRNEK

Egzersiz yapmak	Vektör olup olmadığını kontrol edin bekar.
Çözüm	Verilen vektörün uzunluğunu hesaplayalım, kare koordinatlarının toplamının kareköküne eşittir: Vektörün uzunluğu bire eşit olduğu için vektör bir vektördür.
Cevap	Vektör tektir.

Sıfır olmayan bir vektör, yönlendirilmiş bir segment olarak da tanımlanabilir.

Yorum. Boş vektörün yönü tanımlı değil.

Vektör yön kosinüsleri

TANIM

yön kosinüsleri bazı vektörlere, vektörün koordinat eksenlerinin pozitif yönleriyle oluşturduğu açıların kosinüsleri denir.

Yorum. Bir vektörün yönü, yönü kosinüsleri tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir.

Bir vektörün yön kosinüslerini bulmak için vektörü normalleştirmek (yani vektörü uzunluğuna bölmek) gerekir:

Yorum. Birim vektörün koordinatları, yön kosinüslerine eşittir.

TEOREM

(Yön kosinüslerinin özelliği). Yönlü kosinüslerin karelerinin toplamı bire eşittir: