Doğrunun M1 (x1, y1, z1) noktasından geçmesine ve (m ,n, l) vektörüne paralel olmasına izin verin. Bu doğru için bir denklem yazalım.

Bu doğru üzerinde rastgele bir M (x, y, z) noktası alalım ve x, y, z arasındaki ilişkiyi bulalım. Bir vektör oluşturalım

Vektörler doğrusaldır.

- uzayda düz bir çizginin kanonik denklemi.

44 Düz bir çizginin parametrik denklemleri

Çünkü bu denklem doğru üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatları ile sağlanır, o zaman elde edilen denklem doğrunun parametrik bir denklemidir.

Bu vektör denklemi koordinat biçiminde gösterilebilir:

Bu sistemi dönüştürerek ve t parametresinin değerlerini eşitleyerek, uzayda düz bir çizginin kanonik denklemlerini elde ederiz:

Tanım. Düz çizginin yön kosinüsleri, vektörün formüllerle hesaplanabilen yön kosinüsleridir:

Buradan şunu elde ederiz: m: n: p = cosa: cosb: cosg.

m, n, p sayılarına doğrunun eğimi denir. Sıfır olmayan bir vektör olduğu için m, n ve p aynı anda sıfıra eşit olamaz, ancak bu sayılardan biri veya ikisi sıfıra eşit olabilir. Bu durumda, düz bir çizginin denkleminde karşılık gelen paylar sıfıra eşitlenmelidir.

45 Uzayda verilen iki farklı noktadan geçen doğrunun denklemi.

Analitik Geometri

Verilen iki noktadan geçen bir doğrunun denklemi.

Düzlemde M1(x1y1) ve M2(x2y2) verilsin. Bu iki noktadan geçen doğrunun kanonik denklemini M1M2 aldığımız yön vektörü S olarak oluşturalım.

troyka.

Bu, (x1 y1) ve (x2, y2) verilen iki noktadan geçen bir doğrunun denklemidir.

Şimdi uzayda düz doğru ve düzlemin denklemlerine dönelim.

3 boyutlu uzayda analitik geometri

İki boyutlu duruma benzer şekilde, x, y, z değişkenlerine göre birinci dereceden herhangi bir denklem, uzay xyz düzlemlerinde bir düzlemin denklemidir. M(x0,y0,z0) noktasından geçen ve normal N(A,B,C) A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) olan düzlemin kanonik denklemi =0 – bu denklem hangisidir?

x-x0, y-y0 ve z-z0 değerleri mevcut noktanın koordinatları ile sabit nokta arasındaki farklardır. Bu nedenle, a vektörü (x-x 0, y-y0, z-z0) açıklanan düzlemde uzanan bir vektördür ve N vektörü düzleme dik bir vektördür, yani birbirlerine diktirler.

O zaman onların skaler çarpımı sıfıra eşit olmalıdır.

(N,a)=0 koordinat formunda şöyle görünür:

A (x-x0)+B (y-y0)+C (z-z0)=0

Uzayda, vektörlerin sağ ve sol üçlüleri ayırt edilir. Eş düzlemli olmayan a, b, c vektörlerinin üçlüsü, ortak kökenlerinden, a, b, c vektörlerinin uçlarının belirtilen sırada geçişi saat yönünde gidiyor gibi görünüyorsa, sağ olarak adlandırılır. Aksi takdirde a,b,c kalır.

46 Uzayda doğrular arasındaki açı

Uzayda düz çizgiler arasındaki açı aşağıdakilerden herhangi biridir. bitişik köşeler verilere paralel rastgele bir noktadan çizilen iki düz çizgiden oluşur.

Uzayda iki doğru verilsin:

Açıkçası, çizgiler arasındaki φ açısı, yön vektörleri ve arasındaki açı olarak alınabilir. O zamandan beri, vektörler arasındaki açının kosinüsü formülüne göre elde ederiz.

İki çizginin paralellik ve diklik koşulları, yön vektörlerinin paralellik ve diklik koşullarına eşdeğerdir ve:

İki doğru, ancak ve ancak katsayıları orantılıysa paraleldir, yani. l1, l2'ye paraleldir, ancak ve ancak paralel ise .

İki doğru, ancak ve ancak karşılık gelen katsayıların çarpımlarının toplamı sıfıra eşitse diktir: .

l1 doğrusuna paralel М1(1;2;3) noktasından geçen doğrunun denklemlerini bulunuz:

İstenen l çizgisi l1'e paralel olduğundan, istenen l çizgisinin yön vektörü olarak, l1 çizgisinin yön vektörünü alabiliriz.

Düzlemde bir doğrunun denklemi konusunun alt konularından biri de bir düzlemde doğrunun parametrik denklemlerinin dikdörtgen koordinat sisteminde derlenmesi konusudur. Aşağıdaki makale, bilinen belirli veriler için bu tür denklemleri derleme ilkesini tartışmaktadır. Parametrik denklemlerden farklı formdaki denklemlere nasıl geçileceğini gösterelim; Tipik problemlerin çözümünü analiz edelim.

Belirli bir çizgi, o çizgiye ait bir nokta ve çizgi için bir yön vektörü belirtilerek tanımlanabilir.

Bize dikdörtgen bir koordinat sistemi verildiğini varsayalım O x y . Ayrıca, üzerinde yatan M 1 noktasını (x 1, y 1) ve verilen düz çizginin yön vektörünü gösteren a düz çizgisi verilmiştir. a → = (a x , a y) . Denklemleri kullanarak verilen çizginin bir tanımını veriyoruz.

Rasgele bir M (x, y) noktası kullanırız ve bir vektör elde ederiz. M1M →; koordinatlarını başlangıç ​​ve bitiş noktalarının koordinatlarından hesaplayın: M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) . Sonucu açıklayalım: doğru bir dizi M (x, y) tarafından verilir, M 1 (x 1, y 1) noktasından geçer ve bir yön vektörüne sahiptir. a → = (a x , a y) . Belirtilen küme, yalnızca M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) ve a → = (a x , a y) vektörleri eşdoğrusal olduğunda bir düz çizgi tanımlar.

Bu durumda M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) ve a → = (a x , a y) vektörleri için vektörlerin doğrusallığı için gerekli ve yeterli bir koşul vardır. denklem:

M 1 M → = λ · a → , burada λ bir gerçek sayıdır.

tanım 1

M 1 M → = λ · a → denklemine doğrunun vektör-parametrik denklemi denir.

Koordinat formunda şöyle görünür:

M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ bir x y - y 1 = λ bir y ⇔ x = x 1 + bir x λ y = y 1 + bir y λ

Ortaya çıkan x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ sisteminin denklemlerine dikdörtgen koordinat sistemindeki bir düzlemde düz bir çizginin parametrik denklemleri denir. İsmin özü şu şekildedir: doğrunun tüm noktalarının koordinatları, tüm gerçek değerler üzerinde yinelenirken x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ şeklindeki düzlemde parametrik denklemlerle belirlenebilir ​λ parametresinin

Yukarıdakilere göre, x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ düzlemindeki düz bir çizginin parametrik denklemleri, dikdörtgen bir koordinat sisteminde verilen düz bir çizgiyi belirler, M 1 noktasından geçer (x 1, y 1) ve bir kılavuz vektörüne sahiptir a → = (a x , a y) . Bu nedenle, doğrunun belirli bir noktasının koordinatları ve yönlendirici vektörünün koordinatları verilirse, verilen doğrunun parametrik denklemlerini hemen yazmak mümkündür.

örnek 1

Bir düzlem üzerindeki düz bir doğrunun, kendisine ait M 1 (2, 3) noktası ve yön vektörü verilmişse, dikdörtgen bir koordinat sisteminde parametrik denklemlerini oluşturmak gerekir. a → = (3 , 1) .

Çözüm

İlk verilere dayanarak şunları elde ederiz: x 1 \u003d 2, y 1 \u003d 3, a x \u003d 3, a y \u003d 1. Parametrik denklemler şöyle görünecektir:

x = x 1 + bir x λ y = y 1 + bir y λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + 1 λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Açıkça örnekleyelim:

Cevap: x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Şuna dikkat edilmelidir: eğer vektör a → = (a x , a y) a çizgisinin yönlendirici bir vektörü olarak hizmet eder ve M 1 (x 1, y 1) ve M 2 (x 2, y 2) noktaları bu çizgiye aittir, daha sonra formun parametrik denklemleri ayarlanarak belirlenebilir: x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ , ayrıca bu seçenek: x = x 2 + a x λ y = y 2 + a y λ .

Örneğin, bize düz bir doğrunun yönlendirici vektörü verilmiştir. a → \u003d (2, - 1) ve ayrıca bu satıra ait M 1 (1, - 2) ve M 2 (3, - 3) noktaları. Daha sonra düz çizgi parametrik denklemlerle belirlenir: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ veya x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ .

Ayrıca şu gerçeğe de dikkat edilmelidir: a → = (a x , a y) a düz çizgisinin yönlendirici vektörü ise, vektörlerden herhangi biri de onun yönlendirici vektörü olacaktır. μ a → = (μ a x , μ a y) , burada μ ϵ R , μ ≠ 0 .

Böylece, bir dikdörtgen koordinat sistemindeki bir düzlemdeki düz bir çizgi a, parametrik denklemlerle tanımlanabilir: x = x 1 + μ a x λ y = y 1 + μ a y λ, sıfırdan farklı herhangi bir μ değeri için.

a doğrusunun x = 3 + 2 λ y = - 2 - 5 λ parametrik denklemleriyle verildiğini varsayalım. O zamanlar a → = (2 , - 5) - bu çizginin yön vektörü. Ayrıca μ · a → = (μ · 2 , μ · - 5) = 2 μ , - 5 μ , μ ∈ R , μ ≠ 0 vektörlerinden herhangi biri verilen doğru için yön vektörü olacaktır. Açıklık için, belirli bir vektör düşünün - 2 · a → = (- 4 , 10) , μ = - 2 değerine karşılık gelir. Bu durumda, verilen düz çizgi, x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ parametrik denklemleriyle de belirlenebilir.

Düzlemdeki bir düz çizginin parametrik denklemlerinden belirli bir düz çizginin diğer denklemlerine geçiş ve bunun tersi

Bazı problemlerin çözümünde parametrik denklemlerin kullanılması en uygun seçenek değildir, o zaman düz bir çizginin parametrik denklemlerini farklı tipte bir düz çizginin denklemlerine çevirmek gerekli hale gelir. Nasıl yapacağımıza bir bakalım.

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ düz çizgisinin parametrik denklemleri x - x 1 a x = y - y 1 a y düzlemindeki düz çizginin kanonik denklemine karşılık gelecektir .

Parametrik denklemlerin her birini λ parametresine göre çözer, elde edilen eşitliklerin doğru kısımlarını eşitler ve verilen düz çizginin kanonik denklemini elde ederiz:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + bir y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y

Bu durumda, a x veya a y'nin sıfıra eşit olması utanç verici olmamalıdır.

Örnek 2

x = 3 y = - 2 - 4 · λ düz çizgisinin parametrik denklemlerinden kanonik denkleme geçişi gerçekleştirmek gerekir.

Çözüm

Verilen parametrik denklemleri aşağıdaki formda yazıyoruz: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ

λ parametresini denklemlerin her birinde ifade ederiz: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4

Denklem sisteminin doğru kısımlarını eşitliyoruz ve düzlemde bir düz çizginin gerekli kanonik denklemini elde ediyoruz:

x - 3 0 = y + 2 - 4

Cevap: x - 3 0 = y + 2 - 4

Düz doğrunun düzlemdeki parametrik denklemleri verilirken, A x + B y + C = 0 biçimindeki düz doğrunun denklemini yazmak gerektiğinde, önce aşağıdakileri yapmak gerekir. kanonik denkleme ve ardından düz çizginin genel denklemine geçiş. Tüm eylem sırasını yazalım:

x = x 1 + bir x λ y = y 1 + bir y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ ⇔ bir y (x - x 1) = bir x (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0

Örnek 3

Düz bir doğrunun genel denklemini, onu tanımlayan parametrik denklemler verilmişse yazmak gerekir: x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ

Çözüm

İlk olarak, kanonik denkleme geçiş yapalım:

x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3

Ortaya çıkan oran, eşitlikle aynıdır - 3 · (x + 1) = 2 · y. Parantezleri açalım ve düz çizginin genel denklemini alalım: - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0 .

Cevap: 3x + 2y + 3 = 0

Yukarıdaki eylem mantığını izleyerek, düz bir çizginin denklemini elde etmek için eğim faktörü, segmentlerdeki düz bir çizginin denklemi veya düz bir çizginin normal denklemi, düz bir çizginin genel denklemini elde etmek ve ondan başka bir geçiş yapmak için gereklidir.

Şimdi ters eylemi düşünün: bu düz çizginin denklemlerinin farklı bir formu için düz bir çizginin parametrik denklemlerini yazmak.

En kolay geçiş: kanonik denklemden parametrik denklemlere. Formun kanonik denklemi verilsin: x - x 1 a x = y - y 1 a y . Bu eşitliğin her bir ilişkisini λ parametresine eşit olarak alıyoruz:

x - x 1 bir x = y - y 1 bir y = λ ⇔ λ = x - x 1 bir x λ = y - y 1 bir y

x ve y değişkenleri için elde edilen denklemleri çözelim:

x = x 1 + bir x λ y = y 1 + bir y λ

Örnek 4

Düzlemdeki düz çizginin kanonik denklemi biliniyorsa, düz çizginin parametrik denklemlerini yazmak gerekir: x - 2 5 = y - 2 2

Çözüm

Bilinen denklemin kısımlarını λ parametresine eşitleyelim: x - 2 5 = y - 2 2 = λ . Elde edilen eşitlikten düz çizginin parametrik denklemlerini elde ederiz: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Cevap: x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Verilen bir doğrunun genel denkleminden, eğimli bir doğrunun denkleminden veya doğrunun segmentler halindeki bir denkleminden parametrik denklemlere geçiş yapmak gerektiğinde, orijinal denklemi aşağıdaki şekle getirmek gerekir. kanonik olanı ve ardından parametrik denklemlere geçişi yapın.

Örnek 5

Bu doğrunun bilinen genel denklemi ile doğrunun parametrik denklemlerini yazmak gerekir: 4 x - 3 y - 3 = 0 .

Çözüm

Verilen genel denklemi kanonik formun bir denklemine dönüştürüyoruz:

4 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

Eşitliğin her iki parçasını da λ parametresine eşitleriz ve düz çizginin gerekli parametrik denklemlerini elde ederiz:

x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Cevap: x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Düzlemdeki bir doğrunun parametrik denklemleriyle ilgili örnekler ve problemler

Dikdörtgen bir koordinat sistemindeki bir düzlemde düz bir çizginin parametrik denklemlerini kullanan en yaygın problem türlerini ele alalım.

1. Birinci tip problemlerde, parametrik denklemlerle tanımlanan düz bir çizgiye ait olsun ya da olmasın, noktaların koordinatları verilir.

Bu tür problemlerin çözümü aşağıdaki gerçeğe dayanmaktadır: bazı gerçek değerler için x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y λ parametrik denklemlerinden belirlenen sayılar (x, y), bir λ'nın koordinatlarıdır. Bu parametrik denklemleri açıklayan düz çizgiye ait nokta.

Örnek 6

λ = 3 için x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ parametrik denklemleriyle verilen bir doğru üzerinde bulunan bir noktanın koordinatlarını belirlemek gerekir .

Çözüm

Bilinen λ = 3 değerini verilen parametrik denklemlerde yerine koyarız ve gerekli koordinatları hesaplarız: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

Cevap: 1 1 2 , 5

Aşağıdaki problem de mümkündür: Dikdörtgen bir koordinat sisteminde bir düzlemde bir M 0 (x 0, y 0) noktası verilsin ve bu noktanın x = x parametrik denklemleri tarafından tanımlanan doğruya ait olup olmadığını belirlemek gerekir. 1 + bir x λ y = y 1 + bir y λ .

Böyle bir problemi çözmek için, verilen bir noktanın koordinatlarını düz bir çizginin bilinen parametrik denklemleriyle değiştirmek gerekir. Her iki parametrik denklemin de doğru olduğu λ = λ 0 parametresinin böyle bir değerinin mümkün olduğu belirlenirse, verilen nokta verilen doğruya aittir.

Örnek 7

M 0 (4, - 2) ve N 0 (- 2, 1) noktaları verilmiştir. Bunların x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ parametrik denklemleri ile tanımlanan düz çizgiye ait olup olmadığını belirlemek gerekir.

Çözüm

M 0 (4, - 2) noktasının koordinatlarını verilen parametrik denklemlerle değiştiririz:

4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

M 0 noktasının belirli bir doğruya ait olduğu sonucuna varıyoruz, çünkü λ = 2 değerine karşılık gelir.

2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4

N 0 noktasının karşılık geleceği böyle bir λ parametresinin olmadığı açıktır. Yani verilen doğru N 0 (- 2 , 1) noktasından geçmez.

Cevap: M 0 noktası belirli bir doğruya aittir; N 0 noktası verilen doğruya ait değil.

1. İkinci tip problemlerde, düz bir çizginin parametrik denklemlerini bir düzlem üzerinde dikdörtgen bir koordinat sisteminde oluşturmak gerekir. Böyle bir problemin en basit örneği (çizginin noktasının bilinen koordinatları ve yön vektörü ile) yukarıda ele alındı. Şimdi önce yön vektörünün koordinatlarını bulmanız ve ardından parametrik denklemleri yazmanız gereken örneklere bakalım.

M 1 1 2 , 2 3 noktası verilmiştir. Bu noktadan geçen düz bir çizginin ve paralel bir düz çizginin x 2 \u003d y - 3 - 1 parametrik denklemlerini oluşturmak gerekir.

Çözüm

Sorunun durumuna göre, denklemi öne geçmemiz gereken düz çizgi, x 2 \u003d y - 3 - 1 düz çizgisine paraleldir. Daha sonra, bir yön vektörü olarak, içinden geçen düz çizgi verilen nokta, şeklinde yazdığımız x 2 = y - 3 - 1 düz çizgisinin yön vektörünü kullanmak mümkündür: a → = (2 , - 1) . Artık istenen parametrik denklemleri oluşturmak için gerekli tüm veriler bilinmektedir:

x = x 1 + bir x λ y = y 1 + bir y λ ⇔ x = 1 2 + 2 λ y = 2 3 + (- 1) λ ⇔ x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ

Cevap: x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ .

Örnek 9

M 1 (0, - 7) noktası verilmiştir. Bu noktadan geçen bir doğrunun 3 x – 2 y – 5 = 0 doğrusuna dik olarak parametrik denklemlerini yazmak gerekir.

Çözüm

Denklemi oluşturulması gereken doğrunun yönlendirici vektörü olarak, doğrunun normal vektörü 3 x - 2 y - 5 = 0 alınabilir. Koordinatları (3 , - 2) 'dir. Düz çizginin gerekli parametrik denklemlerini yazıyoruz:

x = x 1 + bir x λ y = y 1 + bir y λ ⇔ x = 0 + 3 λ y = - 7 + (- 2) λ ⇔ x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

Cevap: x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

1. Üçüncü tip problemlerde, belirli bir düz çizginin parametrik denklemlerinden onu belirleyen diğer denklem türlerine geçiş yapmak gerekir. Çözüm benzer örnekler yukarıda düşündük, bir tane daha vereceğiz.

x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ . Bu doğrunun bazı normal vektörlerinin koordinatlarını bulmak gerekir.

Çözüm

Normal vektörün istenen koordinatlarını belirlemek için parametrik denklemlerden genel denkleme geçiş yapacağız:

x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0

x ve y değişkenlerinin katsayıları bize normal vektörün gerekli koordinatlarını verir. Böylece, x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ çizgisinin normal vektörü 1 , 3 4 koordinatlarına sahiptir.

Cevap: 1 , 3 4 .

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Düz çizginin kanonik denklemlerinde kesirlerin her birini bazı parametrelere eşitlemek t:

Parametre aracılığıyla düz çizginin her noktasının mevcut koordinatlarını ifade eden denklemler elde ederiz. t.

bu nedenle, düz çizginin parametrik denklemleri şu şekildedir:

Verilen iki noktadan geçen bir doğrunun denklemleri.

İki nokta M 1 olsun (x1,y1,z1) ve M2 (x2,y2,z2). Verilen iki noktadan geçen düz bir doğrunun denklemleri, bir düzlemde benzer bir denklemle aynı şekilde elde edilir. Bu nedenle, hemen bu denklemin şeklini veriyoruz.

İki düzlemin kesiştiği noktadaki düz çizgi. Uzayda bir doğrunun genel denklemi.

Paralel olmayan iki düzlemi ele alırsak, kesişimleri düz bir çizgi olacaktır.

normal vektörler ise ve doğrusal olmayan.

Aşağıda, örnekleri ele alırken, bu tür düz çizgi denklemlerini kanonik denklemlere dönüştürmenin bir yolunu göstereceğiz.

5.4 İki düz çizgi arasındaki açı. İki doğrunun paralellik ve diklik durumu.

Uzayda iki düz çizgi arasındaki açı, verilere paralel rastgele bir noktadan çizilen iki düz çizginin oluşturduğu açılardan herhangi biridir.

Kanonik denklemleri ile iki satır verilsin.

İki düz çizgi arasındaki açı için yön vektörleri arasındaki açıyı alacağız.

Ve

İki düz çizginin diklik koşulu, yön vektörlerinin diklik koşuluna ve yani, skaler ürünün sıfıra eşitliğine indirgenir: veya koordinat biçiminde: .

İki çizginin paralellik koşulu, yön vektörlerinin paralellik koşuluna indirgenir ve

5.5 karşılıklı düzenleme düz ve düzlem.

Doğrunun denklemleri verilsin:

ve uçaklar. Çizgi ile düzlem arasındaki açı, çizginin ve düzleme izdüşümü tarafından oluşturulan iki bitişik açıdan herhangi biri olacaktır (Şekil 5.5).

Şekil 5.5

Doğru düzleme dik ise, doğrunun yönlendirici vektörü ve düzleme normal vektör eşdoğrusaldır. Böylece, bir doğrunun ve bir düzlemin diklik koşulu, doğrusal vektörlerin durumuna indirgenir.

Düz bir çizgi ve bir düzlemin paralelliği durumunda, yukarıda belirtilen vektörleri karşılıklı olarak diktir. Bu nedenle, bir düz çizgi ve bir düzlemin paralellik koşulu, vektörlerin dikliği koşuluna indirgenir; şunlar. onların nokta çarpımı sıfır veya koordinat biçiminde: .

Aşağıda, Bölüm 5'in konusuyla ilgili problem çözme örnekleri verilmiştir.

Örnek 1:

A (1,2,4) noktasından geçen düzlem için denklem tarafından verilen doğruya dik olan bir denklem yazın:

Çözüm:

Verilen bir vektöre dik olarak verilen bir noktadan geçen bir düzlemin denklemini kullanırız.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Nokta olarak, koşulun içinden uçağın geçtiği A (1,2,4) noktasını alıyoruz.

Doğrunun kanonik denklemlerini bilerek, doğruya paralel olan vektörü biliyoruz.

Doğrunun istenen düzleme dik olması koşuluyla, yön vektörü düzlemin normal vektörü olarak alınabilir.

Böylece, düzlemin denklemini şu şekilde elde ederiz:

2(x-1)+1(y-2)+4(z-4)=0

2x+y+4z-16=0

2x+y+4z-20=0

Örnek 2:

Uçakta bulun 4x-7y+5z-20=0 OP'nin koordinat eksenleriyle eşit açı yaptığı bir P noktası.

Çözüm:

Şematik bir çizim yapalım. (Şekil 5.6)

de

Şekil 5.6

Boş noktanın Р koordinatları vardır. Vektör koordinat eksenleri ile aynı açıları yaptığı için bu vektörün yön kosinüsleri birbirine eşittir.

Vektörün izdüşümlerini bulalım:

o zaman bu vektörün yön kosinüsleri kolayca bulunur.

Yön kosinüslerinin eşitliğinden eşitlik şu şekildedir:

x p \u003d y p \u003d z p

P noktası düzlem üzerinde bulunduğundan, bu noktanın koordinatlarını düzlemin denkleminde yerine koymak onu bir özdeşliğe dönüştürür.

4x p -7x p +5x p -20=0

2x p \u003d 20

x p \u003d 10

Sırasıyla: y r=10; z p=10.

Böylece istenen P noktasının koordinatları P (10; 10; 10) olur.

Örnek 3:

A (2, -1, -2) ve B (8, -7.5) olmak üzere iki nokta verildi. AB doğru parçasına dik B noktasından geçen düzlemin denklemini bulunuz.

Çözüm:

Problemi çözmek için, verilen bir vektöre dik olarak verilen bir noktadan geçen bir düzlemin denklemini kullanırız.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Nokta olarak B (8, -7.5) noktasını ve düzleme dik bir vektör olarak vektörü kullanırız. Vektörün izdüşümlerini bulalım:

sonra düzlemin denklemini şu şekilde elde ederiz:

6(x-8)-6(y+7)+7(z-5)=0

6x-48-6y-42+7z-35=0

6x-6y+7z-35=0

6x-6y+7z-125=0

Örnek 4:

OY eksenine paralel ve K(1,-5,1) ve M(3,2,-2) noktalarından geçen bir düzlemin denklemini bulunuz.

Çözüm:

Düzlem OY eksenine paralel olduğu için düzlemin eksik denklemini kullanacağız.

Ax+Cz+D=0

K ve M noktalarının düzlemde olması nedeniyle iki koşul elde ederiz.

Bu koşullardan A ve C katsayılarını D cinsinden ifade edelim.

Bulunan katsayıları uçağın tamamlanmamış denklemine yerleştiririz:

olduğundan, o zaman D'yi azaltırız:

Örnek 5:

M(7,6,7), K(5,10,5), R(-1,8,9) üç noktasından geçen bir düzlemin denklemini bulunuz.

Çözüm:

Verilen 3 noktadan geçen bir düzlemin denklemini kullanalım.

koordinatları değiştirerek M, K, R noktaları birinci, ikinci ve üçüncü olarak şunu elde ederiz:

determinantı 1. çizgi boyunca genişletin.

Örnek 6:

M 1 (8, -3,1) noktalarından geçen düzlemin denklemini bulunuz; M 2 (4,7,2) ve düzleme dik 3x+5y-7z-21=0

Çözüm:

Şematik bir çizim yapalım (Şekil 5.7)

Şekil 5.7

Verilen P 2 düzlemini ve istenen P 2 düzlemini belirtiyoruz. Verilen bir P 1 düzleminin denkleminden, P 1 düzlemine dik vektörün izdüşümlerini belirleriz.

Vektör, paralel öteleme yoluyla P2 düzlemine hareket ettirilebilir, çünkü problemin durumuna göre, P2 düzlemi P1 düzlemine diktir, bu da vektörün P2 düzlemine paralel olduğu anlamına gelir. .

Р 2 düzleminde bulunan vektörün izdüşümlerini bulalım:

şimdi iki vektörümüz var ve R 2 düzleminde uzanıyoruz. açıkça vektör , vektörlerin vektör çarpımına eşittir ve R2 düzlemine dik olacaktır, çünkü bu düzlem R2 düzlemine diktir ve dolayısıyla normal vektörü R2 düzlemine diktir.

Vektörler ve projeksiyonları ile verilmiştir, bu nedenle:

Daha sonra, vektöre dik verilen bir noktadan geçen bir düzlemin denklemini kullanırız. Nokta olarak M 1 veya M 2 noktalarından herhangi birini alabilirsiniz, örneğin M 1 (8, -3.1); Р 2 düzlemine normal bir vektör olarak alıyoruz.

74(x-8)+25(y+3)+50(z-1)=0

3(x-8)+(y-3)+2(z-1)=0

3x-24+y+3+27-2=0

3x+y+2z-23=0

Örnek 7:

Düz bir çizgi, iki düzlemin kesişimi ile tanımlanır. Doğrunun kanonik denklemlerini bulun.

Çözüm:

şeklinde bir denklemimiz var:

bir nokta bulmak lazım x 0, y 0, z 0) içinden düz çizgi ve yön vektörünün geçtiği.

Koordinatlardan birini keyfi olarak seçiyoruz. Örneğin, z=1, sonra iki bilinmeyenli iki denklem sistemi elde ederiz:

Böylece istenen doğru (2,0,1) üzerinde uzanan bir nokta bulduk.

İstenen düz çizginin yönlendirici vektörü olarak, normal vektörler olan ve vektörlerinin çapraz çarpımını alıyoruz. , istenen çizgiye paralel anlamına gelir.

Böylece, doğrunun yön vektörü izdüşümlere sahiptir. Belirli bir vektöre paralel belirli bir noktadan geçen düz bir çizginin denklemini kullanarak:

Böylece istenen kanonik denklem şu şekildedir:

Örnek 8:

Bir doğrunun ve bir düzlemin kesişme noktasının koordinatlarını bulun 2x+3y+3z-8=0

Çözüm:

Verilen bir doğrunun denklemini parametrik biçimde yazalım.

x=3t-2; y=-t+2; z=2t-1

düz çizginin her noktası parametrenin tek bir değerine karşılık gelir t. Parametreyi bulmak için t doğrunun ve düzlemin kesişme noktasına karşılık gelen ifadeyi düzlemin denkleminde değiştiririz x, y, z parametre aracılığıyla t.

2(3t-2)+(-t+2)+3(2t-1)-8=0

6t-4-3t+6+6t-3-8=0

t=1

sonra istenen noktanın koordinatları

istenen kesişme noktasının (1;1;1) koordinatları vardır.

Örnek 9:

Paralel doğrulardan geçen bir düzlemin denklemini bulun.

Şematik bir çizim yapalım (Şekil 5.9)

Şekil 5.9

İtibaren verilen denklemler doğrular ve bu doğruların yön vektörlerinin izdüşümlerini belirler. P düzleminde yatan vektörün izdüşümlerini buluyoruz ve noktaları ve M 1 (1, -1,2) ve M 2 (0,1, -2) doğrularının kanonik denklemlerinden alıyoruz.

1. Düz bir çizginin parametrik denklemi

Düz bir doğru üzerinde bir M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) noktası ve üzerinde bir s = (l ,m ,n ) vektörü verilsin.

bu çizgi (veya ona paralel). s vektörü de denir kılavuz vektörü düz.

Bu koşullar, uzayda benzersiz bir şekilde düz bir çizgi tanımlar. onu bulalım

denklem. Doğru üzerinde rastgele bir M (x, y, z) noktası alın. Açıktır ki, vektörler

M 0 M (x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) ve s eşdoğrusaldır.

Bu nedenle, M 0 M = t s − düz bir çizginin vektör denklemidir.

Koordinat notasyonunda, son denklem aşağıdaki parametrik gösterime sahiptir.

verilene paralel ve bir noktadan geçen (düz çizgilerden birinin paralel ötelenmesini gerektirebilen) iki düz çizginin oluşturduğu iki açı.

Açılardan birinin, aralarındaki ϕ açısına eşit olduğu tanımdan çıkar.

Çizgiler s 1 s 2 l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0'a diktir.

4. Bir doğru ile bir düzlem arasındaki açı. Koşullar « » ve « » doğrudan ve

uçak

L doğrusu, kurallı denklemi x − l x 0 = y − m y 0 = z − n z 0 ile verilsin,

ve denkleme göre P düzlemi

Balta + By + Cz + D = 0.

Tanım. L çizgisi arasındaki açı

ve düzlem p denir keskin köşe L çizgisi ile düzleme izdüşümü arasında.

Tanımdan (ve şekilden) gerekli ϕ açısının ek (en fazla) olduğu sonucu çıkar. dik açı) normal vektörü n (A , B ,C ) ve arasındaki açıya

yön vektörü s (l ,m ,n ) .

(. dar açı elde etmek için alınır).

L Р ise, o zaman s n (s, n) = 0

Şimdi, bulunan "t"yi düz çizginin parametrik denklemlerinde yerine koyarsak, istenen kesişim noktasını bulacağız.

Matematiksel analizin temel işlemlerinden biri, derste çeşitli şekillerde gerçekleşen sınıra geçiş işlemidir. Sözde sayı dizisinin limiti kavramına dayalı olarak, limit işlemine geçişin en basit biçimiyle başlıyoruz. Bu, bir fonksiyonun limiti olan limit işlemine geçişin çok önemli başka bir formunun tanıtılmasını kolaylaştıracaktır. Aşağıda, sınıra geçiş yapıları, diferansiyel ve integral hesabının yapımında kullanılacaktır.



 Sonsuz küçük ve sonsuz büyük diziler

 Sonsuz büyük ve sonsuz küçük diziler arasındaki ilişki.

 Sonsuz küçük dizilerin en basit özellikleri

 Sıra sınırı.

 Yakınsak dizilerin özellikleri

 Yakınsak dizilerde aritmetik işlemler

 monoton diziler

 Cauchy Yakınsama Kriteri

 E sayısı ve ekonomik gösterimi.

 Ekonomik hesaplamalarda limitlerin uygulanması

§ 1. Sayısal diziler ve basit özellikler

1. Sayısal dizi kavramı. Dizilerde aritmetik işlemler

Sayı dizileri sonsuz sayı kümeleridir. Örnek diziler okuldan bilinmektedir:

1) sonsuz bir aritmetik ve geometrik ilerlemenin tüm üyelerinin dizisi;

2) düzenli çevre dizisi belirli bir daireye yazılan n-gonlar;

sayı dizisi olarak adlandırılacak (veya sadece bir dizi).

Ayrı sayılar x 3 , x 5 , x n, dizinin (1) öğeleri veya üyeleri olarak adlandırılacaktır. x n sembolüne bu dizinin ortak veya n'inci üyesi denir. Ortak terim x n'de n = 1, 2, … değerini vererek, sırasıyla birinci x 1 , ikinci x 2 vb. elde ederiz. üyeler.

Bir dizi, öğelerinden herhangi birini elde etmek için bir yöntem belirtilmişse, verilmiş olarak kabul edilir (bkz. Tanım). Genellikle bir dizi, dizinin ortak terimi için bir formülle verilir.

Gösterimi kısaltmak için, (1) dizisi bazen şu şekilde yazılır:

Ortak terimin yapısı (formülü) karmaşık olabilir. Örneğin,

Bazen dizi sözde tarafından verilir yinelenen formüller, yani Bilinen öncekilerden dizinin sonraki üyelerini bulmanızı sağlayan formüller.

Örnek (Fibonacci sayıları). x 1 = x 2 = 1 ve n = 3, 4, … için tekrarlayan formül x n = x n − 1 + x n − 2 verilsin. O zaman 1, 1 dizimiz var,

2, 3, 5, 8, ... (Fibonacci lakaplı Pisa'dan Leonardo'nun sayıları). Geometrik olarak, sayısal bir dizi sayısal bir dizi üzerinde gösterilebilir.

koordinatları karşılık gelen noktalara eşit olan bir dizi nokta şeklinde eksen

dizinin karşılık gelen üyeleri. Örneğin, ( x n ) = 1 n .

Ders № 8-9 Matematiksel analizin temelleri prof. Dymkov M.P. 66

( x n ) dizisiyle birlikte başka bir dizi ( y n ) düşünün: y 1 , y 2 , y ,n (2).

Tanım. Dizinin toplamı (fark, çarpım, bölüm)

( xn ) ve ( yn ) değerlerine üyeleri olan bir dizi ( zn ) denir.

Bir (xn) dizisinin ve bir c R sayısının çarpımı bir dizidir (cxn).

Tanım. ( xn ) dizisine sınırlı denir

yukarıdan (aşağıdan), eğer bu dizinin her elemanı xn eşit olmayanı sağlayacak şekilde bir M (m) gerçek sayısı varsa

xn ≤ M (xn ≥ m) . Bir dizi, m ≤ xn ≤ M'nin hem üstünde hem altında sınırlıysa sınırlı olarak adlandırılır. xn dizisi denir

pozitif A sayısı için (keyfi olarak büyük) ise sınırsızdır en azından var xn dizisinin bir elemanı

bu da xn > A eşitsizliğini verir.

( x n ) = ( 1n ) 0 ≤ x n ≤ 1.

( x n ) = ( n ) − aşağıdan 1 ile sınırlıdır, ancak sınırsızdır.

( x n ) = ( − n ) − yukarıdan sınırlandırılır (–1), fakat aynı zamanda sınırsızdır.

Tanım. ( x n ) dizisi denir sonsuz küçük,

herhangi bir pozitif gerçek sayı ε için (ne kadar küçük alınırsa alınsın) ε 'ye bağlı bir N sayısı varsa, (N = N (ε )) öyle ki tüm n ≥ N için x n eşitsizliği< ε .

Örnek. (xn) = 1n.

Tanım. ( xn ) dizisi denir Sonsuz acı-

eğer pozitif bir gerçek sayı A için (ne kadar büyük olursa olsun) bir N sayısı (N = N(A)) varsa, öyle ki tüm n ≥ N için

eşitsizliği xn > A elde edilir.

UÇAKLAR ARASI AÇI

Sırasıyla denklemlerle verilen iki α 1 ve α 2 düzlemini ele alalım:

Altında açı iki düzlem arasında, bu düzlemlerin oluşturduğu dihedral açılardan birini kastediyoruz. Normal vektörler ile a1 ve a2 düzlemleri arasındaki açının, belirtilen bitişik dihedral açılardan birine eşit olduğu veya . Bu yüzden . Çünkü ve , sonra

.

Örnek. Uçaklar arasındaki açıyı belirleyin x+2y-3z+4=0 ve 2 x+3y+z+8=0.

İki düzlemin paralellik durumu.

İki düzlem α 1 ve α 2, ancak ve ancak normal vektörleri paralelse ve paralelse paraleldir ve dolayısıyla .

Dolayısıyla, iki düzlem birbirine paraleldir, ancak ve ancak karşılık gelen koordinatlardaki katsayılar orantılıysa:

veya

Düzlemlerin diklik durumu.

İki düzlemin dik olduğu, ancak ve ancak normal vektörleri dik ise ve dolayısıyla veya .

Böylece, .

Örnekler.

DOĞRUDAN UZAYDA.

VEKTÖR DENKLEM DOĞRUDAN.

PARAMETRİK DENKLEMLER DOĞRUDAN

Düz bir çizginin uzaydaki konumu, sabit noktalarından herhangi biri belirlenerek tamamen belirlenir. M 1 ve bu doğruya paralel bir vektör.

Bir doğruya paralel olan vektöre denir. yol gösterici bu çizginin vektörü.

Öyleyse düz olsun ben bir noktadan geçer M 1 (x 1 , y 1 , z 1) vektöre paralel düz bir çizgi üzerinde uzanmak .

Keyfi bir nokta düşünün M(x,y,z) düz bir çizgide. Şekilden de anlaşılacağı .

Vektörler ve eşdoğrusaldır, yani böyle bir sayı vardır. t, ne , çarpan nerede t noktanın konumuna bağlı olarak herhangi bir sayısal değer alabilir M düz bir çizgide. faktör t parametre denir. Noktaların yarıçap vektörlerini belirtmek M 1 ve M sırasıyla ve aracılığıyla, elde ederiz. Bu denklem denir vektör düz çizgi denklemi. Her parametre değerinin t bir noktanın yarıçap vektörüne karşılık gelir M düz bir çizgide yatmak.

Bu denklemi koordinat formunda yazıyoruz. Dikkat edin, ve buradan

Ortaya çıkan denklemler denir parametrik düz çizgi denklemleri.

Parametreyi değiştirirken t koordinatlar değişir x, y ve z ve nokta M düz bir çizgide hareket eder.

KANONİK DENKLEMLER DOĞRUDAN

İzin vermek M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - düz bir çizgi üzerinde uzanan bir nokta ben, ve yön vektörüdür. Yine, düz bir çizgi üzerinde keyfi bir nokta alın M(x,y,z) ve vektörü düşünün.

Vektörlerin ve eşdoğrusal oldukları açıktır, bu nedenle ilgili koordinatları orantılı olmalıdır, dolayısıyla

– kanonik düz çizgi denklemleri.

Açıklama 1. Doğrunun kanonik denklemlerinin, parametreyi ortadan kaldırarak parametrik denklemlerden elde edilebileceğini unutmayın. t. Gerçekten de, elde ettiğimiz parametrik denklemlerden veya .

Örnek. Düz bir çizginin denklemini yazın parametrik bir şekilde.

belirtmek , buradan x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Açıklama 2.Çizginin koordinat eksenlerinden birine, örneğin eksene dik olmasına izin verin. Öküz. O zaman çizginin yön vektörü diktir Öküz, Sonuç olarak, m=0. Sonuç olarak, düz çizginin parametrik denklemleri şu şekli alır:

Parametrenin denklemlerden çıkarılması t, şeklinde düz çizginin denklemlerini elde ederiz.

Ancak, bu durumda da, düz çizginin kanonik denklemlerini formda resmi olarak yazmayı kabul ediyoruz. . Bu nedenle, kesirlerden birinin paydası sıfır ise, bu, doğrunun ilgili koordinat eksenine dik olduğu anlamına gelir.

Benzer şekilde, kanonik denklemler eksenlere dik düz bir çizgiye karşılık gelir Öküz ve Oy veya paralel eksen Öz.

Örnekler.

GENEL DENKLEMLER İKİ UÇAĞIN KESİNTİSİ DOĞRUSU OLARAK DOĞRUDAN BİR DOĞRU

Uzaydaki her düz çizgiden sonsuz sayıda düzlem geçer. Herhangi ikisi, kesişen, onu uzayda tanımlar. Bu nedenle, birlikte düşünülen bu tür iki düzlemin denklemleri bu doğrunun denklemleridir.

Genel olarak, genel denklemler tarafından verilen herhangi iki paralel olmayan düzlem

kesişim çizgilerini belirleyin. Bu denklemler denir genel denklemler dümdüz.

Örnekler.

Denklemlerle verilen düz bir çizgi oluşturun

Bir doğru oluşturmak için herhangi iki noktasından birini bulmak yeterlidir. En kolay yol, doğrunun koordinat düzlemleriyle kesişme noktalarını seçmektir. Örneğin, düzlemle kesişme noktası xOy varsayarak, düz bir çizginin denklemlerinden elde ederiz z= 0:

Bu sistemi çözerek, noktayı buluyoruz M 1 (1;2;0).

Benzer şekilde, varsayarsak y= 0, doğrunun düzlemle kesişme noktasını elde ederiz. xOz:

Düz bir çizginin genel denklemlerinden, kanonik veya parametrik denklemlerine geçilebilir. Bunu yapmak için bir nokta bulmalısın M 1 çizgi üzerinde ve çizginin yön vektörü.

nokta koordinatları M 1 koordinatlardan birine keyfi bir değer vererek bu denklem sisteminden elde ederiz. Yön vektörünü bulmak için, bu vektörün her iki normal vektöre de dik olması gerektiğine dikkat edin. ve . Bu nedenle, doğrunun yön vektörü için ben alabilirsin vektör ürün normal vektörler:

.

Örnek.Öncülük etmek genel denklemler dümdüz kanonik forma dönüştürülür.

Düz bir çizgi üzerinde bir nokta bulun. Bunu yapmak için, keyfi olarak koordinatlardan birini seçiyoruz, örneğin, y= 0 ve denklem sistemini çözün:

Çizgiyi tanımlayan düzlemlerin normal vektörlerinin koordinatları vardır. Bu nedenle, yön vektörü düz olacaktır.

. Sonuç olarak, ben: .

HAKLAR ARASINDAKİ AÇI

köşe uzaydaki düz çizgiler arasında, verilere paralel rastgele bir noktadan çizilen iki düz çizginin oluşturduğu bitişik açılardan herhangi birini arayacağız.

Uzayda iki doğru verilsin:

Açıkçası, çizgiler arasındaki φ açısı, yön vektörleri ile arasındaki açı olarak alınabilir. O zamandan beri, vektörler arasındaki açının kosinüs formülüne göre elde ederiz.