Matematik bilimden daha fazlasıdır bilimin dilidir.

Danimarkalı fizikçi ve halk figürü Niels Bohr

Logaritmik Denklemler

Tipik görevler arasında, giriş (rekabetçi) testlerinde sunulan, görevler, logaritmik denklemlerin çözümü ile ilgili. Bu tür problemleri başarılı bir şekilde çözmek için logaritmaların özelliklerini iyi bilmek ve uygulama becerisine sahip olmak gerekir.

Bu yazıda önce logaritmaların temel kavramlarını ve özelliklerini sunuyoruz., ve daha sonra logaritmik denklemleri çözme örnekleri dikkate alınır.

Temel kavramlar ve özellikler

Başlangıçta, logaritmaların temel özelliklerini sunuyoruz., kullanımı, nispeten karmaşık logaritmik denklemleri başarıyla çözmeyi sağlar.

Temel logaritmik kimlik şu şekilde yazılır:

, (1)

Logaritmaların en ünlü özellikleri aşağıdaki eşitlikleri içerir:

1. Eğer , , ve , o zaman , ,

2. Eğer , , ve , o zaman .

3. Eğer , ve , o zaman .

4. Eğer , , ve doğal sayı, sonra

5. Eğer , , ve doğal sayı, sonra

6. Eğer , ve , o zaman .

7. Eğer , , ve , o zaman .

Logaritmaların daha karmaşık özellikleri aşağıdaki ifadelerle formüle edilir:

8. Eğer , , ve , o zaman

9. Eğer , , ve , o zaman

10. Eğer , , ve , o zaman

Logaritmaların son iki özelliğinin kanıtı, yazarın "Lise Öğrencileri için Matematik: Okul Matematiğinin Ek Bölümleri" ders kitabında verilmiştir (M.: Lenand / URSS)., 2014).

Ayrıca not edilmelidir o işlev artıyor, eğer , ve azalan eğer .

Logaritmik denklemleri çözmek için problem örneklerini düşünün, artan karmaşıklık sırasına göre düzenlenmiştir.

Problem çözme örnekleri

örnek 1. denklemi çözün

. (2)

Çözüm.(2) denkleminden elde ederiz. Denklemi şu şekilde dönüştürelim: , veya .

Çünkü , o zaman denklem (2)'nin kökü.

Cevap: .

Örnek 2. denklemi çözün

Çözüm. Denklem (3), denklemlere eşdeğerdir

Veya .

Buradan alıyoruz.

Cevap: .

Örnek 3. denklemi çözün

Çözüm. Denklem (4), ne . Temel logaritmik kimliği kullanma (1), yazılabilir

veya .

koyarsak, sonra buradan ikinci dereceden denklemi elde ederiz, iki kökü olan ve . Bununla birlikte ve denklemin uygun bir kökü sadece . O zamandan beri veya .

Cevap: .

Örnek 4. denklemi çözün

Çözüm.Bir değişkenin geçerli aralığıdenklem (5)'te.

izin ver ve . fonksiyon beritanım alanında azalmakta, ve işlev tüm sayı ekseninde artar, sonra denklem birden fazla kök olamaz.

Seçim yaparak tek kökü buluyoruz.

Cevap: .

Örnek 5. denklemi çözün.

Çözüm. Denklemin her iki tarafı da 10 tabanına göre logaritma olarak alınırsa, o zaman

Veya .

İkinci dereceden denklemi çözerek , ve elde ederiz. Bu nedenle, burada ve .

Cevap: , .

Örnek 6. denklemi çözün

. (6)

Çözüm.(1) özdeşliğini kullanırız ve denklemi (6) aşağıdaki gibi dönüştürürüz:

Veya .

Cevap: , .

Örnek 7. denklemi çözün

. (7)

Çözüm.Özellik 9'u hesaba katarsak, . Bu bağlamda denklem (7) şu şekli alır:

Buradan veya elde ederiz.

Cevap: .

Örnek 8. denklemi çözün

. (8)

Çözüm.9 özelliğini kullanalım ve denklemi (8) eşdeğer biçimde yeniden yazalım..

o zaman belirlersek, sonra ikinci dereceden denklemi elde ederiz, nerede . denklemden berisadece bir pozitif kökü vardır, sonra veya . Bu ima eder.

Cevap: .

Örnek 9. denklemi çözün

. (9)

Çözüm. (9) denkleminden çıktığı için, sonra burada. 10 özelliğine göre, yazılabilir.

Bu bakımdan denklem (9) denklemlere eşdeğer olacaktır.

Veya .

Buradan denklemin (9) kökünü elde ederiz.

Örnek 10. denklemi çözün

. (10)

Çözüm. Denklem (10)'daki değişken için kabul edilebilir değerler aralığı . Özellik 4'e göre, burada

. (11)

, o zaman denklem (11) ikinci dereceden bir denklem şeklini alır, burada . İkinci dereceden denklemin kökleri ve'dir.

O zamandan beri ve . Buradan alırız ve .

Cevap: , .

Örnek 11. denklemi çözün

. (12)

Çözüm. belirtelim o zaman ve denklem (12) şeklini alır

Veya

. (13)

Denklemin (13) kökünün olduğunu görmek kolaydır. Bu denklemin başka kökü olmadığını gösterelim. Bunu yapmak için, her iki parçasını da böleriz ve eşdeğer denklem

. (14)

Fonksiyon tüm reel eksende azalıyor ve fonksiyon artıyor olduğundan, denklem (14) birden fazla köke sahip olamaz. Denklemler (13) ve (14) eşdeğer olduğundan, denklem (13) tek bir köke sahiptir.

O zamandan beri ve .

Cevap: .

Örnek 12. denklemi çözün

. (15)

Çözüm. ve belirtelim. Fonksiyon tanım alanında azaldığından ve herhangi bir değer için fonksiyon arttığından, denklemin Bode tek kökü olamaz. Doğrudan seçim ile denklemin (15) istenen kökünün .

Cevap: .

Örnek 13. denklemi çözün

. (16)

Çözüm. Logaritmaların özelliklerini kullanarak şunu elde ederiz:

O zamandan beri ve eşitsizliğimiz var

Ortaya çıkan eşitsizlik, denklem (16) ile yalnızca veya ise çakışır.

değer ikamesi(16) denklemine, ne onun köküdür.

Cevap: .

Örnek 14. denklemi çözün

. (17)

Çözüm. Buradan itibaren denklem (17) şeklini alır.

koyarsak, buradan denklemi elde ederiz.

, (18)

nerede . Denklem (18) şu anlama gelir: veya . olduğundan, denklemin bir uygun kökü vardır. Bununla birlikte .

Örnek 15. denklemi çözün

. (19)

Çözüm. Belirtiniz, daha sonra denklem (19) şeklini alır. Bu denklemin 3 tabanında logaritmasını alırsak,

Veya

Bundan bunu takip eder ve . O zamandan beri ve . Bu konuda ve

Cevap: , .

Örnek 16. denklemi çözün

. (20)

Çözüm. parametreyi tanıtalımve denklemi (20) parametreye göre ikinci dereceden bir denklem olarak yeniden yazın, yani

. (21)

(21) denkleminin kökleri

veya , . O zamandan beri denklemlerimiz var ve . Buradan alırız ve .

Cevap: , .

Örnek 17. denklemi çözün

. (22)

Çözüm. Denklem (22)'deki değişkenin tanım alanını oluşturmak için, üç eşitsizlik kümesini dikkate almak gerekir: , ve .

Özellik 2'yi uygulama, (22) denkleminden elde ederiz

Veya

. (23)

(23) denkleminde koyarsak, sonra denklemi elde ederiz

. (24)

Denklem (24) aşağıdaki gibi çözülecektir:

Veya

Buradan şu sonuç çıkar ve , yani, (24) denkleminin iki kökü vardır: ve .

O zamandan beri , veya .

Cevap: , .

Örnek 18. denklemi çözün

. (25)

Çözüm. Logaritmaların özelliklerini kullanarak denklem (25) aşağıdaki gibi dönüştürülür:

, , .

Buradan alıyoruz.

Örnek 19. denklemi çözün

. (26)

Çözüm. O zamandan beri .

Sonra, elimizde. Sonuç olarak , eşitlik (26) yalnızca şu durumlarda sağlanır:, denklemin her iki tarafı aynı anda 2'ye eşit olduğunda.

Böylece , denklem (26) denklem sistemine eşdeğerdir

Sistemin ikinci denkleminden elde ettiğimiz

Veya .

görmek kolay anlamı ne ayrıca sistemin ilk denklemini de sağlar.

Cevap: .

Logaritmik denklemleri çözme yöntemleri hakkında daha derin bir çalışma için bkz. öğretim yardımcılarıönerilen literatür listesinden.

1. Kushnir A.I. Okul matematiğinin başyapıtları (iki kitapta problemler ve çözümler). – Kiev: Astarte, kitap 1, 1995. - 576 s.

2. Teknik üniversitelere başvuranlar için matematik problemlerinin toplanması / Ed. Mİ. Scanavi. - M.: Dünya ve Eğitim, 2013. - 608 s.

3. Suprun V.P. Lise öğrencileri için matematik: ek bölümler Okul müfredatı. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 s.

4. Suprun V.P. Lise öğrencileri için matematik: artan karmaşıklık görevleri. - M.: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 200 s.

5. Suprun V.P. Lise öğrencileri için matematik: problem çözmek için standart olmayan yöntemler. - M.: KD "Librocom" / URSS, 2017. - 296 s.

Sormak istediğiniz bir şey var mı?

Bir öğretmenden yardım almak için - kaydolun.

site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Cebir 11. Sınıf

Konu: "Logaritmik denklemleri çözme yöntemleri"

Dersin Hedefleri:

eğitim: logaritmik denklemleri çözmenin farklı yolları hakkında bilgi oluşumu, bunları her özel durumda uygulama ve çözmek için herhangi bir yöntem seçme yeteneği;

geliştirme: gözlemleme, karşılaştırma, bilgiyi yeni bir durumda uygulama, kalıpları tanımlama, genelleme becerilerinin geliştirilmesi; karşılıklı kontrol ve kendi kendini kontrol etme becerilerinin oluşumu;

eğitim: eğitim çalışmalarına karşı sorumlu bir tutum eğitimi, dersteki materyalin dikkatli algılanması, kayıt tutmanın doğruluğu.

ders türü: yeni malzemeye alışma dersi.

"Gökbilimcinin işini kısaltarak logaritmaların icadı, ömrünü uzatmıştır."
Fransız matematikçi ve astronom P.S. Laplace

Dersler sırasında

I. Dersin hedefini belirleme

Logaritmanın çalışılan tanımı, logaritmanın özellikleri ve logaritmik fonksiyon, logaritmik denklemleri çözmemize izin verecektir. Tüm logaritmik denklemler, ne kadar karmaşık olursa olsun, aynı algoritmalar kullanılarak çözülür. Bu algoritmaları bugün derste ele alacağız. Birkaç tane var. Onlara hakim olursanız, logaritmalarla herhangi bir denklem her biriniz için uygun olacaktır.

Defterinize dersin konusunu yazın: "Logaritmik denklemleri çözme yöntemleri." Herkesi işbirliğine davet ediyorum.

II. Güncelleme temel bilgi

Dersin konusunu çalışmaya hazırlanalım. Her görevi çözüp cevabı yazarsınız, şartı yazamazsınız. Çiftler halinde çalışın.

1) Hangi x değerleri için işlev anlamlıdır:

(Her slayt için cevaplar kontrol edilir ve hatalar ayıklanır)

2) Fonksiyon grafikleri eşleşiyor mu?

3) Eşitlikleri logaritmik eşitlikler olarak yeniden yazın:

4) Sayıları 2 tabanına sahip logaritma olarak yazın:

5) Hesaplayın:

6) Bu eşitliklerdeki eksik unsurları geri yüklemeye veya tamamlamaya çalışın.

III. Yeni malzemeye giriş

Açıklama ekranda gösterilir:

"Denklem, tüm matematiksel susamların kilidini açan altın anahtardır."
Modern Polonyalı matematikçi S. Koval

Logaritmik bir denklemin tanımını formüle etmeye çalışın. (Logaritmanın işareti altında bilinmeyeni içeren bir denklem).

Düşünmek en basit logaritmik denklem:kayıtax = b(burada a>0, a ≠ 1). Pozitif sayılar kümesinde logaritmik fonksiyon arttığından (veya azaldığından) ve tüm gerçek değerleri aldığından, kök teoreminden, herhangi bir b için bu denklemin ve ayrıca yalnızca bir çözümü ve bir pozitif olanı olduğu sonucu çıkar.

Logaritmanın tanımını hatırlayın. (x sayısının a tabanına göre logaritması, x sayısını elde etmek için a tabanının yükseltilmesi gereken üsdür). Logaritmanın tanımından hemen çıkar ki aiçinde böyle bir çözümdür.

Başlığı yazın: Logaritmik denklemleri çözme yöntemleri

1. Logaritmanın tanımı gereği.

Formun basit denklemleri bu şekilde çözülür.

Düşünmek 514(bir): Denklemi çözün

Nasıl çözmeyi önerirsiniz? (logaritmanın tanımı gereği)

Çözüm. , Dolayısıyla 2x - 4 = 4; x = 4.

Bu görevde 2x - 4 > 0, > 0 olduğundan, yabancı kökler görünemez ve kontrol etmeye gerek yoktur. 2x - 4 > 0 koşulu bu görevde yazmak için gerekli değildir.

2. Güçlendirme(verilen ifadenin logaritmasından bu ifadenin kendisine geçiş).

Düşünmek 519(g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

Hangi özelliği fark ettiniz? (Tabanlar aynıdır ve iki ifadenin logaritmaları eşittir). Ne yapılabilir? (güçlendirmek).

Bu durumda, logaritma ifadelerinin pozitif olduğu tüm x arasında herhangi bir çözümün bulunduğu dikkate alınmalıdır.

Çözüm: ODZ:

X2+8>0 ekstra eşitsizlik

log5(x2+8) = log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)=log5(8x+8)

Orijinal denklemi güçlendirin

x2+8= 8x+8 denklemini elde ederiz

Çözüyoruz: x2-8x=0

Cevap: 0; sekiz

Genel olarak eşdeğer bir sisteme geçiş:

denklem

(Sistem gereksiz bir koşul içeriyor - eşitsizliklerden biri göz ardı edilebilir).

sınıfa soru: Bu üç çözümden en çok hangisini beğendiniz? (Yöntemlerin tartışılması).

Herhangi bir şekilde karar verme hakkına sahipsiniz.

3. Yeni bir değişkenin tanıtılması.

Düşünmek 520(g). .

Ne fark ettin? (Bu log3x için ikinci dereceden bir denklemdir) Herhangi bir öneriniz var mı? (Yeni değişken tanıtın)

Çözüm. ODZ: x > 0.

Let , o zaman denklem şu şekilde olacaktır:. Diskriminant D > 0. Vieta teoremine göre kökler:.

Değiştirmeye dönelim: veya .

En basit logaritmik denklemleri çözerek şunları elde ederiz:

Cevap: 27;

4. Denklemin her iki tarafının logaritması.

Denklemi çözün:.

Çözüm: ODZ: x>0, denklemin 10 tabanındaki her iki tarafının logaritmasını alın:

Derecenin logaritmasının özelliğini uygulayın:

(lgx + 3) lgx = 4

lgx = y olsun, sonra (y + 3)y = 4

, (D > 0) Vieta teoremine göre kökler: y1 = -4 ve y2 = 1.

Değiştirmeye geri dönelim, şunu elde ederiz: lgx = -4,; logx = 1, .

Cevap: 0.0001; on.

5. Bir tabana indirgeme.

523(c). Denklemi çözün:

Çözüm: ODZ: x>0. 3. üsse geçelim.

6. İşlevsel-grafiksel yöntem.

№ 509(d). Denklemi grafik olarak çözün: = 3 - x.

Nasıl çözmeyi önerirsiniz? (Y \u003d log2x ve y \u003d 3 - x iki fonksiyonunun grafiklerini noktalara göre oluşturun ve grafiklerin kesişme noktalarının apsisini arayın).

Çözümünüzü slaytta görün.

Plan yapmaktan kaçınmanın bir yolu var mı . aşağıdaki gibidir : fonksiyonlardan biri ise y = f(x) artar ve diğer y = g(x) X aralığında azalır, sonra denklem f(x)=g(x) X aralığında en fazla bir kökü vardır.

Bir kök varsa, o zaman tahmin edilebilir.

Bizim durumumuzda, işlev x>0 için artar ve y \u003d 3 - x işlevi, x>0 dahil olmak üzere tüm x değerleri için azalır, bu, denklemin birden fazla kökü olmadığı anlamına gelir. x = 2 için denklemin gerçek bir eşitliğe dönüştüğünü unutmayın, çünkü .

« Doğru kullanım yöntemler öğrenilebilir
sadece çeşitli örneklere uygulayarak.
Danimarkalı matematik tarihçisi G. G. Zeiten

benv. Ev ödevi

S. 39, örnek 3'ü düşünün, No. 514 (b), No. 529 (b), No. 520 (b), No. 523 (b)'yi çözün

V. Dersi özetlemek

Derste logaritmik denklemleri çözmek için hangi yöntemleri düşündük?

Sonraki derslerde daha karmaşık denklemlere bakacağız. Bunları çözmek için çalışılan yöntemler yararlıdır.

Son slayt gösteriliyor:

“Dünyadaki her şeyden daha fazla olan nedir?
Uzay.
En akıllısı nedir?
Zaman.
En zevkli olan nedir?
İstediğini elde et."
Thales

Herkesin istediğini elde etmesini istiyorum. İşbirliğiniz ve anlayışınız için teşekkür ederiz.

Bu makale, tek değişkenli logaritmik denklemleri çözme yöntemlerinin sistematik bir sunumunu içerir. Bu, öğretmene öncelikle didaktik anlamda yardımcı olacaktır: alıştırmaların seçimi, öğrencilerin yeteneklerini göz önünde bulundurarak bireysel görevler oluşturmanıza olanak tanır. Bu alıştırmalar bir genelleme dersi ve sınava hazırlanmak için kullanılabilir.
Kısa teorik bilgiler ve problem çözme, öğrencilerin bağımsız olarak logaritmik denklemleri çözme becerilerini ve yeteneklerini geliştirmelerini sağlar.

Logaritmik denklemlerin çözümü.

Logaritmik denklemler - işaretin altında bilinmeyeni içeren denklemler logaritma. Logaritmik denklemleri çözerken, teorik bilgiler sıklıkla kullanılır:

Genellikle logaritmik denklemlerin çözümü ODZ'nin tanımıyla başlar. Logaritmik denklemlerde, tüm logaritmaların tabanları eşit olacak şekilde dönüştürülmesi tavsiye edilir. Daha sonra denklemler ya yeni bir değişkenle gösterilen tek bir logaritma cinsinden ifade edilir ya da denklem potansiyelleştirme için uygun bir forma dönüştürülür.
Logaritmik ifadelerin dönüşümleri ODZ'nin daralmasına yol açmamalıdır, ancak uygulanan çözüm yöntemi ODZ'yi daraltıyorsa, bireysel sayıları dikkate almadan serbest bırakıyorsa, problemin sonunda bu sayılar orijinal denklemde ikame ile kontrol edilmelidir, çünkü ODZ'yi daraltırken, kök kaybı mümkündür.

1. formun denklemleri bilinmeyen bir sayıyı ve sayıyı içeren bir ifadedir.

1) logaritmanın tanımını kullanın: ;
2) için bir kontrol yapın veya geçerli değer aralığını bulun bilinmeyen numara ve karşılık gelen kökleri (çözümleri) seçin.
Eğer bir ) .

2. Çözümde logaritma özelliklerinin kullanıldığı logaritma ile ilgili birinci dereceden denklemler.

Bu denklemleri çözmek için ihtiyacınız olan:

1) logaritma özelliklerini kullanarak denklemi dönüştürün;
2) ortaya çıkan denklemi çözün;
3) bilinmeyen bir sayı için kabul edilebilir değer aralığını kontrol edin veya bulun ve bunlara karşılık gelen kökleri (çözümleri) seçin.
).

3. Logaritmaya göre ikinci ve daha yüksek derecenin denklemi.

Bu denklemleri çözmek için ihtiyacınız olan:

1. değişken değişikliği yapmak;
2. elde edilen denklemi çöz;
3. ters ikame yapmak;
4. elde edilen denklemi çöz;
5. bilinmeyen bir sayı için kabul edilebilir değer aralığını kontrol edin veya bulun ve bunlara karşılık gelen kökleri (çözümleri) seçin.

4. Bilinmeyeni tabanda ve üste içeren denklemler.

Bu denklemleri çözmek için ihtiyacınız olan:

1. denklemin logaritmasını alın;
2. elde edilen denklemi çöz;
3. bilinmeyen bir sayı için kabul edilebilir değer aralığını kontrol edin veya bulun ve karşılık gelenleri seçin
   kökler (çözümler).

5. Çözümü olmayan denklemler.

1. Bu tür denklemleri çözmek için ODZ denklemini bulmak gerekir.
2. Denklemin sol ve sağ taraflarını analiz edin.
3. Uygun sonuçlar çıkarın.

Orijinal denklem sisteme eşdeğerdir:

Denklemin çözümü olmadığını kanıtlayın.

ODZ denklemi x ≥ 0 eşitsizliği ile tanımlanır.

Pozitif bir sayı ile negatif olmayan bir sayının toplamı sıfıra eşit değildir, bu nedenle orijinal denklemin çözümü yoktur.

Cevap: Çözüm yok.

ODZ'ye yalnızca bir kök x \u003d 0 düşer.Cevap: 0.

Değiştirelim.

Bulunan kökler ODZ'ye aittir.

ODZ denklemi, tüm pozitif sayıların kümesidir.

Çünkü

Bu denklemler benzer şekilde çözülür:

Bağımsız çözüm için görevler:

Kullanılmış Kitaplar.

1. Bechetnov V.M. Matematik. Moskova Demiurge 1994
2. Borodulya İ.T. Üstel ve logaritmik fonksiyonlar. (görevler ve alıştırmalar). Moskova "Aydınlanma" 1984
3. Vavilov V.V., Melnikov I.I., Olehnik S.N., Pasichenko P.I. Matematikte görevler. Denklemler ve eşitsizlikler. Moskova "Bilim" 1987
4. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Cebirsel eğitmen. Moskova "Ileksa" 2007
5. Saakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Cebirde Problemler ve Analiz İlkeleri. Moskova "Aydınlanma" 2003

Bildiğiniz gibi, ifadeleri kuvvetlerle çarparken üsleri her zaman toplanır (a b * a c = a b + c). Bu matematiksel yasa Arşimet tarafından türetildi ve daha sonra 8. yüzyılda matematikçi Virasen bir tamsayı göstergeleri tablosu oluşturdu. Logaritmaların daha fazla keşfedilmesine hizmet eden onlardı. Bu işlevi kullanma örnekleri, hantal çarpmayı basit toplamaya basitleştirmenin gerekli olduğu hemen hemen her yerde bulunabilir. Bu makaleyi okumak için 10 dakika harcarsanız, size logaritmaların ne olduğunu ve onlarla nasıl çalışılacağını açıklayacağız. Basit ve erişilebilir bir dil.

matematikte tanım

Logaritma aşağıdaki formun bir ifadesidir: log a b=c, yani negatif olmayan herhangi bir sayının (yani herhangi bir pozitif) "b"nin "a" tabanına göre logaritması "c"nin kuvveti olarak kabul edilir. "a" tabanını yükseltmek için gerekli olan ", sonunda "b" değerini elde etmek için. Örnekler kullanarak logaritmayı inceleyelim, diyelim ki log 2 diye bir ifade var 8. Cevap nasıl bulunur? Çok basit, öyle bir derece bulmanız gerekiyor ki, 2'den gerekli dereceye 8 alacaksınız. Kafanızda bazı hesaplamalar yaptıktan sonra, 3 sayısını elde ediyoruz! Ve haklı olarak, çünkü 2 üzeri 3'ün kuvveti cevapta 8 sayısını verir.

Logaritma çeşitleri

Birçok öğrenci ve öğrenci için bu konu karmaşık ve anlaşılmaz görünüyor, ancak aslında logaritmalar o kadar korkutucu değil, asıl şey genel anlamlarını anlamak ve özelliklerini ve bazı kurallarını hatırlamaktır. Üç vardır belirli türler logaritmik ifadeler:

1. Doğal logaritma ln a, burada taban Euler sayısıdır (e = 2.7).
2. Tabanın 10 olduğu ondalık a.
3. Herhangi bir b sayısının a>1 tabanına göre logaritması.

Her biri, basitleştirme, azaltma ve ardından logaritmik teoremler kullanılarak bir logaritmaya indirgeme dahil olmak üzere standart bir şekilde çözülür. Logaritmaların doğru değerlerini elde etmek için, kararlarında özelliklerini ve eylem sırasını hatırlamak gerekir.

Kurallar ve bazı kısıtlamalar

Matematikte aksiyom olarak kabul edilen, yani tartışmaya açık olmayan ve doğru olan birkaç kural-sınırlama vardır. Örneğin, sayıları sıfıra bölmek imkansızdır ve negatif sayılardan çift derecenin kökünü çıkarmak da imkansızdır. Logaritmaların da kendi kuralları vardır, bunları takip ederek uzun ve geniş logaritmik ifadelerle bile nasıl çalışacağınızı kolayca öğrenebilirsiniz:

• "a" tabanı her zaman sıfırdan büyük olmalı ve aynı zamanda 1'e eşit olmamalıdır, aksi takdirde ifade anlamını kaybeder, çünkü "1" ve "0" herhangi bir dereceye kadar her zaman değerlerine eşittir;
• a > 0 ise, a b > 0 ise, "c"nin sıfırdan büyük olması gerektiği ortaya çıkar.

Logaritma nasıl çözülür?

Örneğin, 10 x \u003d 100 denkleminin cevabını bulmak için görev verildi. Çok kolay, böyle bir güç seçmeniz gerekiyor, 100'e ulaştığımız on numarayı yükseltiyorsunuz. Bu, elbette, 10'dur. 2 \u003d 100.

Şimdi bu ifadeyi logaritmik olarak gösterelim. Log 10 100 = 2 elde ederiz. Logaritmaları çözerken, tüm eylemler pratik olarak belirli bir sayıyı elde etmek için logaritmanın tabanının girilmesi gereken dereceyi bulmaya yakınsar.

Bilinmeyen bir derecenin değerini doğru bir şekilde belirlemek için, bir derece tablosuyla nasıl çalışılacağını öğrenmelisiniz. Şuna benziyor:

Gördüğünüz gibi, teknik bir zihniyetiniz ve çarpım tablosu bilginiz varsa, bazı üsler sezgisel olarak tahmin edilebilir. Ancak daha büyük değerler bir güç tablosu gerektirecektir. Karmaşık matematiksel konularda hiçbir şey anlamayanlar tarafından bile kullanılabilir. Sol sütun sayıları içerir (taban a), sayıların üst satırı, a sayısının yükseltildiği c kuvvetinin değeridir. Hücrelerdeki kesişimde, cevap olan sayıların değerleri belirlenir (a c =b). Örneğin, 10 numaralı ilk hücreyi alalım ve karesini alalım, iki hücremizin kesişme noktasında belirtilen 100 değerini alıyoruz. Her şey o kadar basit ve kolaydır ki en gerçek hümanist bile anlar!

Denklemler ve eşitsizlikler

Belli koşullar altında üssün logaritma olduğu ortaya çıktı. Bu nedenle, herhangi bir matematiksel sayısal ifade, logaritmik bir denklem olarak yazılabilir. Örneğin, 3 4 =81, 81'in 3 tabanına, yani dört (log 3 81 = 4) logaritması olarak yazılabilir. Negatif kuvvetler için kurallar aynıdır: 2 -5 = 1/32 logaritma olarak yazıyoruz, log 2 (1/32) = -5 elde ediyoruz. Matematiğin en büyüleyici bölümlerinden biri "logaritmalar" konusudur. Özelliklerini inceledikten hemen sonra denklemlerin örneklerini ve çözümlerini biraz daha aşağıda ele alacağız. Şimdi eşitsizliklerin nasıl göründüğüne ve bunları denklemlerden nasıl ayıracağımıza bakalım.

Aşağıdaki formun bir ifadesi verilmiştir: log 2 (x-1) > 3 - bu logaritmik eşitsizlik, bilinmeyen "x" değeri logaritmanın işaretinin altında olduğundan. Ve ayrıca ifadede iki miktar karşılaştırılır: iki tabandaki istenen sayının logaritması üç sayısından büyüktür.

Logaritmik denklemler ve eşitsizlikler arasındaki en önemli fark, logaritmalı denklemlerin (örneğin, 2 x = √9 logaritması) cevapta bir veya daha fazla belirli sayısal değeri ifade etmesidir, oysa eşitsizliği çözerken, her iki aralığın da kabul edilebilir değerler ve bu fonksiyonu kıran noktalar. Sonuç olarak, cevap, denklemin cevabındaki gibi basit bir bireysel sayılar kümesi değil, sürekli bir dizi veya sayı kümesidir.

Logaritmalarla ilgili temel teoremler

Logaritmanın değerlerini bulma konusundaki ilkel görevleri çözerken, özellikleri bilinmeyebilir. Ancak logaritmik denklemler veya eşitsizlikler söz konusu olduğunda, öncelikle logaritmanın tüm temel özelliklerini net bir şekilde anlamak ve pratikte uygulamak gerekir. Daha sonra denklem örnekleriyle tanışacağız, önce her bir özelliği daha ayrıntılı olarak analiz edelim.

1. Temel kimlik şöyle görünür: a logaB =B. Yalnızca a 0'dan büyükse, bire eşit değilse ve B sıfırdan büyükse geçerlidir.
2. Çarpımın logaritması aşağıdaki formülle gösterilebilir: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Bu durumda ön koşul: d, s 1 ve s 2 > 0; a≠1. Bu logaritma formülünü örneklerle ve bir çözümle ispatlayabilirsiniz. log a s 1 = f 1 ve log a s 2 = f 2 , sonra a f1 = s 1 , a f2 = s 2 olsun. s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (derece özellikleri) ) ve ayrıca tanım gereği: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log as s 2, ki bu kanıtlanacaktı.
3. Bölümün logaritması şöyle görünür: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log as s 2.
4. Bir formül biçimindeki teorem şu biçimi alır: log a q b n = n/q log a b.

Bu formüle "logaritmanın derecesinin özelliği" denir. Sıradan derecelerin özelliklerine benzer ve şaşırtıcı değildir, çünkü tüm matematik düzenli varsayımlara dayanır. Kanıta bakalım.

Günlüğe a b \u003d t bırakın, a t \u003d b çıkıyor. Her iki parçayı da m kuvvetine yükseltirseniz: a tn = b n ;

ancak a tn = (a q) nt/q = bn olduğundan, bu nedenle log a q b n = (n*t)/t, o zaman log a q b n = n/q log a b. Teorem kanıtlanmıştır.

Problem ve eşitsizlik örnekleri

Logaritma problemlerinin en yaygın türleri denklem ve eşitsizlik örnekleridir. Hemen hemen tüm problem kitaplarında bulunurlar ve ayrıca zorunlu kısım matematik sınavları. Bir üniversiteye girmek veya matematikte giriş sınavlarını geçmek için bu tür görevleri doğru bir şekilde nasıl çözeceğinizi bilmeniz gerekir.

Ne yazık ki, logaritmanın bilinmeyen değerini çözmek ve belirlemek için tek bir plan veya şema yoktur, ancak her matematiksel eşitsizliğe veya logaritmik denkleme belirli kurallar uygulanabilir. Her şeyden önce, ifadenin basitleştirilip sadeleştirilemeyeceğini öğrenmelisiniz. Genel görünüm. Özelliklerini doğru kullanırsanız, uzun logaritmik ifadeleri basitleştirebilirsiniz. Yakında onları tanıyalım.

Logaritmik denklemleri çözerken, önümüzde ne tür bir logaritmanın olduğunu belirlemek gerekir: bir ifade örneği, doğal bir logaritma veya ondalık bir ifade içerebilir.

İşte örnekler ln100, ln1026. Çözümleri, 10 tabanının sırasıyla 100 ve 1026'ya eşit olma derecesini belirlemeniz gerektiği gerçeğine dayanıyor. Çözümler için doğal logaritmalar logaritmik kimlikler veya özellikleri uygulanmalıdır. Çeşitli türlerde logaritmik problem çözme örneklerine bakalım.

Logaritma Formülleri Nasıl Kullanılır: Örnekler ve Çözümlerle

Öyleyse, logaritmalarda ana teoremleri kullanma örneklerine bakalım.

1. Ürünün logaritmasının özelliği, genişletmenin gerekli olduğu görevlerde kullanılabilir. büyük önem b sayıları daha basit çarpanlara dönüştürülür. Örneğin, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Cevap 9'dur.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - gördüğünüz gibi, logaritma derecesinin dördüncü özelliğini kullanarak, ilk bakışta karmaşık ve çözülemez bir ifadeyi çözmeyi başardık. Sadece tabanı çarpanlara ayırmak ve ardından üs değerlerini logaritmanın işaretinden çıkarmak gerekir.

Sınavdaki görevler

Logaritmalar genellikle Giriş sınavları, özellikle Birleşik Devlet Sınavında (tüm okul mezunları için devlet sınavı) logaritmik problemler çok. Genellikle bu görevler yalnızca A bölümünde mevcut değildir (en kolay test parçası sınavı), aynı zamanda C bölümünde de (en zor ve hacimli görevler). Sınav, "Doğal logaritmalar" konusu hakkında doğru ve mükemmel bir bilgi birikimi anlamına gelir.

Örnekler ve problem çözme, sınavın resmi sürümlerinden alınmıştır. Bu tür görevlerin nasıl çözüldüğünü görelim.

Verilen log 2 (2x-1) = 4. Çözüm:
ifadeyi biraz sadeleştirerek yeniden yazalım log 2 (2x-1) = 2 2 , logaritmanın tanımına göre 2x-1 = 2 4 , dolayısıyla 2x = 17; x = 8,5.

• Çözümün hantal ve kafa karıştırıcı olmaması için tüm logaritmalar en iyi şekilde aynı tabana indirgenir.
• Logaritmanın işareti altındaki tüm ifadeler pozitif olarak belirtilir, bu nedenle, logaritmanın işaretinin altındaki ve tabanı olarak ifadenin üssünün üssü çıkarıldığında, logaritmanın altında kalan ifade pozitif olmalıdır.

Temel özellikler.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

aynı gerekçe

log6 4 + log6 9.

Şimdi görevi biraz karmaşıklaştıralım.

Logaritma çözme örnekleri

Ya logaritmanın tabanında veya argümanında bir derece varsa? Daha sonra bu derecenin üssü aşağıdaki kurallara göre logaritmanın işaretinden çıkarılabilir:

Elbette, ODZ logaritması gözlemlenirse tüm bu kurallar anlamlıdır: a > 0, a ≠ 1, x >

Bir görev. İfadenin değerini bulun:

Yeni bir temele geçiş

Logaritma logaxı verilsin. O zaman, c > 0 ve c ≠ 1 olacak şekilde herhangi bir c sayısı için eşitlik doğrudur:

Bir görev. İfadenin değerini bulun:

Ayrıca bakınız:

Logaritmanın temel özellikleri

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Üs 2.718281828…. Üssü hatırlamak için kuralı inceleyebilirsiniz: üs 2.7 ve Leo Tolstoy'un doğum yılının iki katıdır.

Logaritmaların temel özellikleri

Bu kuralı bilerek, hem üssün tam değerini hem de Leo Tolstoy'un doğum tarihini bileceksiniz.

logaritma örnekleri

İfadelerin logaritmasını alın

örnek 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

3,5 özelliklerine göre hesaplıyoruz

2.

3.

Örnek 2 Eğer x'i bulun

Örnek 3. Logaritmaların değeri verilsin

Eğer log(x) hesaplayın

Logaritmaların temel özellikleri

Logaritmalar, herhangi bir sayı gibi, eklenebilir, çıkarılabilir ve mümkün olan her şekilde dönüştürülebilir. Ancak logaritmalar oldukça sıradan sayılar olmadığı için burada kurallar vardır. Temel özellikler.

Bu kurallar bilinmelidir - onlarsız hiçbir ciddi logaritmik problem çözülemez. Ayrıca, çok azı var - her şey bir günde öğrenilebilir. Öyleyse başlayalım.

Logaritmalarda toplama ve çıkarma

Aynı tabana sahip iki logaritma düşünün: logax ve logay. Sonra eklenebilir ve çıkarılabilirler ve:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Yani, logaritmaların toplamı, ürünün logaritmasına eşittir ve fark, bölümün logaritmasıdır. Lütfen dikkat: buradaki kilit nokta - aynı gerekçe. Bazlar farklıysa bu kurallar çalışmaz!

Bu formüller, bireysel bölümleri dikkate alınmadığında bile logaritmik ifadenin hesaplanmasına yardımcı olacaktır ("Logaritma nedir" dersine bakın). Örneklere bir göz atın ve bakın:

Logaritmaların tabanları aynı olduğu için toplam formülünü kullanırız:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Bir görev. Şu ifadenin değerini bulun: log2 48 − log2 3.

Bazlar aynı, fark formülünü kullanıyoruz:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Bir görev. Şu ifadenin değerini bulun: log3 135 − log3 5.

Yine, üsler aynıdır, yani elimizde:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Gördüğünüz gibi, orijinal ifadeler ayrı ayrı düşünülmeyen "kötü" logaritmalardan oluşuyor. Ancak dönüşümlerden sonra oldukça normal sayılar çıkıyor. Bu gerçeğe dayanarak, birçok sınav kağıtları. Evet, kontrol - tüm ciddiyetle benzer ifadeler (bazen - neredeyse hiç değişiklik olmadan) sınavda sunulur.

Üsün logaritmadan çıkarılması

Son kuralın ilk ikisini takip ettiğini görmek kolaydır. Ancak yine de hatırlamak daha iyidir - bazı durumlarda hesaplama miktarını önemli ölçüde azaltacaktır.

Tabii ki, ODZ logaritması gözlemlenirse tüm bu kurallar anlamlıdır: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ve bir şey daha: tüm formülleri yalnızca soldan sağa değil, aynı zamanda tam tersi de uygulamayı öğrenin, yani. logaritmanın işaretinden önceki sayıları logaritmanın kendisine girebilirsiniz. En sık ihtiyaç duyulan şey budur.

Bir görev. Şu ifadenin değerini bulun: log7 496.

İlk formüle göre argümandaki dereceden kurtulalım:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Bir görev. İfadenin değerini bulun:

Paydanın, tabanı ve argümanı tam güçler olan bir logaritma olduğuna dikkat edin: 16 = 24; 49 = 72. Şunlara sahibiz:

Son örneğin açıklığa kavuşturulması gerektiğini düşünüyorum. Logaritmalar nereye gitti? Son ana kadar sadece payda ile çalışıyoruz.

Logaritma formülleri. Logaritmalar çözüm örnekleridir.

Orada duran logaritmanın tabanını ve argümanını dereceler şeklinde sundular ve göstergeleri çıkardılar - “üç katlı” bir kesir aldılar.

Şimdi ana kesire bakalım. Pay ve payda aynı sayıya sahiptir: log2 7. Log2 7 ≠ 0 olduğundan, kesri azaltabiliriz - 2/4 paydada kalacaktır. Aritmetik kurallarına göre, dördü yapılan paya aktarılabilir. Sonuç cevaptır: 2.

Yeni bir temele geçiş

Logaritma toplama ve çıkarma kurallarından bahsetmişken, sadece aynı tabanlarla çalıştıklarını özellikle vurguladım. Ya temeller farklıysa? Ya aynı sayının tam güçleri değilse?

Yeni bir üsse geçiş için formüller kurtarmaya geliyor. Onları bir teorem şeklinde formüle ediyoruz:

Logaritma logaxı verilsin. O zaman, c > 0 ve c ≠ 1 olacak şekilde herhangi bir c sayısı için eşitlik doğrudur:

Özellikle, c = x koyarsak şunu elde ederiz:

İkinci formülden, logaritmanın tabanını ve argümanını değiştirmenin mümkün olduğu sonucu çıkar, ancak bu durumda tüm ifade “ters çevrilmiştir”, yani. logaritma paydadadır.

Bu formüller sıradan sayısal ifadelerde nadiren bulunur. Ne kadar uygun olduklarını ancak logaritmik denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken değerlendirmek mümkündür.

Ancak, yeni bir temele taşınmak dışında hiçbir şekilde çözülemeyecek görevler vardır. Bunlardan birkaçını ele alalım:

Bir görev. Şu ifadenin değerini bulun: log5 16 log2 25.

Her iki logaritmanın argümanlarının tam üsler olduğuna dikkat edin. Göstergeleri çıkaralım: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Şimdi ikinci logaritmayı çevirelim:

Çarpım, faktörlerin permütasyonundan değişmediği için, sakince dört ve ikiyi çarptık ve sonra logaritmaları bulduk.

Bir görev. Şu ifadenin değerini bulun: log9 100 lg 3.

İlk logaritmanın temeli ve argümanı tam güçlerdir. Bunu bir yere yazalım ve göstergelerden kurtulalım:

Şimdi yeni bir tabana geçerek ondalık logaritmadan kurtulalım:

Temel logaritmik kimlik

Çoğu zaman çözme sürecinde bir sayının belirli bir tabana göre logaritma olarak temsil edilmesi gerekir. Bu durumda, formüller bize yardımcı olacaktır:

İlk durumda, n sayısı bağımsız değişkende üs olur. n sayısı kesinlikle herhangi bir şey olabilir, çünkü bu sadece logaritmanın değeridir.

İkinci formül aslında başka sözcüklerle ifade edilmiş bir tanımdır. Şöyle denir:

Gerçekten de, b sayısı, bu derecedeki b sayısı a sayısını verecek şekilde yükseltilirse ne olur? Bu doğru: bu aynı sayı a. Bu paragrafı tekrar dikkatlice okuyun - birçok insan ona “takılır”.

Yeni temel dönüşüm formülleri gibi, temel logaritmik özdeşlik bazen olası tek çözümdür.

Bir görev. İfadenin değerini bulun:

log25 64 = log5 8 - sadece tabandan kareyi ve logaritmanın argümanını çıkardığına dikkat edin. Güçleri aynı tabanla çarpma kuralları göz önüne alındığında, şunu elde ederiz:

Eğer kimse bilmiyorsa, bu Birleşik Devlet Sınavından gerçek bir görevdi 🙂

Logaritmik birim ve logaritmik sıfır

Sonuç olarak, özellik olarak adlandırılması zor olan iki kimlik vereceğim - bunlar logaritmanın tanımının sonuçlarıdır. Sürekli olarak problemlerde bulunurlar ve şaşırtıcı bir şekilde "ileri" öğrenciler için bile problem yaratırlar.

1. loga = 1'dir. Bir kere ve her şey için hatırlayın: o bazın kendisinden herhangi bir a tabanının logaritması bire eşittir.
2. loga 1 = 0'dır. a tabanı herhangi bir şey olabilir, ancak argüman bir ise, logaritma sıfırdır! Çünkü a0 = 1, tanımın doğrudan bir sonucudur.

Tüm özellikleri bu. Bunları uygulamaya koyarak pratik yaptığınızdan emin olun! Hile sayfasını dersin başında indirin, yazdırın ve sorunları çözün.

Ayrıca bakınız:

b sayısının a tabanına göre logaritması ifadeyi gösterir. Logaritmayı hesaplamak, eşitliğin doğru olduğu böyle bir x () kuvveti bulmak anlamına gelir.

Logaritmanın temel özellikleri

Yukarıdaki özelliklerin bilinmesi gerekir, çünkü temelde, hemen hemen tüm problemler ve örnekler logaritmalara dayalı olarak çözülür. Kalan egzotik özellikler, bu formüllerle matematiksel işlemlerle elde edilebilir.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Logaritmaların (3.4) toplamı ve farkı için formüller hesaplanırken oldukça sık karşılaşılır. Gerisi biraz karmaşıktır, ancak bir dizi görevde karmaşık ifadeleri basitleştirmek ve değerlerini hesaplamak için vazgeçilmezdir.

Yaygın logaritma vakaları

Yaygın logaritmalardan bazıları, tabanın on, üstel veya ikili olduğu logaritmalardır.
On tabanlı logaritma genellikle on tabanlı logaritma olarak adlandırılır ve basitçe lg(x) ile gösterilir.

Esasların tutanakta yazılı olmadığı tutanaktan anlaşılmaktadır. Örneğin

Doğal logaritma, temeli üs olan logaritmadır (ln(x) ile gösterilir).

Üs 2.718281828…. Üssü hatırlamak için kuralı inceleyebilirsiniz: üs 2.7 ve Leo Tolstoy'un doğum yılının iki katıdır. Bu kuralı bilerek, hem üssün tam değerini hem de Leo Tolstoy'un doğum tarihini bileceksiniz.

Ve bir diğer önemli temel iki logaritma

Fonksiyonun logaritmasının türevi, değişkene bölünen bire eşittir.

İntegral veya ters türev logaritma, bağımlılık tarafından belirlenir.

Yukarıdaki materyal, logaritma ve logaritma ile ilgili geniş bir problem sınıfını çözmeniz için yeterlidir. Malzemeyi özümsemek için okul müfredatından ve üniversitelerden sadece birkaç yaygın örnek vereceğim.

logaritma örnekleri

İfadelerin logaritmasını alın

örnek 1
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

3,5 özelliklerine göre hesaplıyoruz

2.
Logaritmaların fark özelliği ile,

3.
3.5 özelliklerini kullanarak buluruz

görünüşe göre karmaşık ifade bir dizi kural kullanmak, forma basitleştirilmiştir

Logaritma Değerlerini Bulma

Örnek 2 Eğer x'i bulun

Çözüm. Hesaplama için, son terime kadar olan özellikler 5 ve 13'ü uygularız.

Kayda geç ve yas tut

Tabanlar eşit olduğundan, ifadeleri eşitleriz.

Logaritmalar. İlk seviye.

Logaritmaların değeri verilsin

Eğer log(x) hesaplayın

Çözüm: Terimlerin toplamından logaritmayı yazmak için değişkenin logaritmasını alın

Bu, logaritmalar ve özellikleri ile tanışmanın sadece başlangıcıdır. Hesaplamalar yapın, pratik becerilerinizi zenginleştirin - yakında logaritmik denklemleri çözmek için edindiğiniz bilgilere ihtiyacınız olacak. Bu tür denklemleri çözmenin temel yöntemlerini inceledikten sonra, eşit derecede önemli başka bir konu için bilginizi genişleteceğiz - logaritmik eşitsizlikler ...

Logaritmaların temel özellikleri

Logaritmalar, herhangi bir sayı gibi, eklenebilir, çıkarılabilir ve mümkün olan her şekilde dönüştürülebilir. Ancak logaritmalar oldukça sıradan sayılar olmadığı için burada kurallar vardır. Temel özellikler.

Bu kurallar bilinmelidir - onlarsız hiçbir ciddi logaritmik problem çözülemez. Ayrıca, çok azı var - her şey bir günde öğrenilebilir. Öyleyse başlayalım.

Logaritmalarda toplama ve çıkarma

Aynı tabana sahip iki logaritma düşünün: logax ve logay. Sonra eklenebilir ve çıkarılabilirler ve:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Yani, logaritmaların toplamı, ürünün logaritmasına eşittir ve fark, bölümün logaritmasıdır. Lütfen dikkat: buradaki kilit nokta - aynı gerekçe. Bazlar farklıysa bu kurallar çalışmaz!

Bu formüller, bireysel bölümleri dikkate alınmadığında bile logaritmik ifadenin hesaplanmasına yardımcı olacaktır ("Logaritma nedir" dersine bakın). Örneklere bir göz atın ve bakın:

Bir görev. İfadenin değerini bulun: log6 4 + log6 9.

Logaritmaların tabanları aynı olduğu için toplam formülünü kullanırız:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Bir görev. Şu ifadenin değerini bulun: log2 48 − log2 3.

Bazlar aynı, fark formülünü kullanıyoruz:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Bir görev. Şu ifadenin değerini bulun: log3 135 − log3 5.

Yine, üsler aynıdır, yani elimizde:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Gördüğünüz gibi, orijinal ifadeler ayrı ayrı düşünülmeyen "kötü" logaritmalardan oluşuyor. Ancak dönüşümlerden sonra oldukça normal sayılar çıkıyor. Birçok test bu gerçeğe dayanmaktadır. Evet, kontrol - tüm ciddiyetle benzer ifadeler (bazen - neredeyse hiç değişiklik olmadan) sınavda sunulur.

Üsün logaritmadan çıkarılması

Şimdi görevi biraz karmaşıklaştıralım. Ya logaritmanın tabanında veya argümanında bir derece varsa? Daha sonra bu derecenin üssü aşağıdaki kurallara göre logaritmanın işaretinden çıkarılabilir:

Son kuralın ilk ikisini takip ettiğini görmek kolaydır. Ancak yine de hatırlamak daha iyidir - bazı durumlarda hesaplama miktarını önemli ölçüde azaltacaktır.

Tabii ki, ODZ logaritması gözlemlenirse tüm bu kurallar anlamlıdır: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ve bir şey daha: tüm formülleri yalnızca soldan sağa değil, aynı zamanda tam tersi de uygulamayı öğrenin, yani. logaritmanın işaretinden önceki sayıları logaritmanın kendisine girebilirsiniz.

Logaritma nasıl çözülür

En sık ihtiyaç duyulan şey budur.

Bir görev. Şu ifadenin değerini bulun: log7 496.

İlk formüle göre argümandaki dereceden kurtulalım:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Bir görev. İfadenin değerini bulun:

Paydanın, tabanı ve argümanı tam güçler olan bir logaritma olduğuna dikkat edin: 16 = 24; 49 = 72. Şunlara sahibiz:

Son örneğin açıklığa kavuşturulması gerektiğini düşünüyorum. Logaritmalar nereye gitti? Son ana kadar sadece payda ile çalışıyoruz. Orada duran logaritmanın tabanını ve argümanını dereceler şeklinde sundular ve göstergeleri çıkardılar - “üç katlı” bir kesir aldılar.

Şimdi ana kesire bakalım. Pay ve payda aynı sayıya sahiptir: log2 7. Log2 7 ≠ 0 olduğundan, kesri azaltabiliriz - 2/4 paydada kalacaktır. Aritmetik kurallarına göre, dördü yapılan paya aktarılabilir. Sonuç cevaptır: 2.

Yeni bir temele geçiş

Logaritma toplama ve çıkarma kurallarından bahsetmişken, sadece aynı tabanlarla çalıştıklarını özellikle vurguladım. Ya temeller farklıysa? Ya aynı sayının tam güçleri değilse?

Yeni bir üsse geçiş için formüller kurtarmaya geliyor. Onları bir teorem şeklinde formüle ediyoruz:

Logaritma logaxı verilsin. O zaman, c > 0 ve c ≠ 1 olacak şekilde herhangi bir c sayısı için eşitlik doğrudur:

Özellikle, c = x koyarsak şunu elde ederiz:

İkinci formülden, logaritmanın tabanını ve argümanını değiştirmenin mümkün olduğu sonucu çıkar, ancak bu durumda tüm ifade “ters çevrilmiştir”, yani. logaritma paydadadır.

Bu formüller sıradan sayısal ifadelerde nadiren bulunur. Ne kadar uygun olduklarını ancak logaritmik denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken değerlendirmek mümkündür.

Ancak, yeni bir temele taşınmak dışında hiçbir şekilde çözülemeyecek görevler vardır. Bunlardan birkaçını ele alalım:

Bir görev. Şu ifadenin değerini bulun: log5 16 log2 25.

Her iki logaritmanın argümanlarının tam üsler olduğuna dikkat edin. Göstergeleri çıkaralım: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Şimdi ikinci logaritmayı çevirelim:

Çarpım, faktörlerin permütasyonundan değişmediği için, sakince dört ve ikiyi çarptık ve sonra logaritmaları bulduk.

Bir görev. Şu ifadenin değerini bulun: log9 100 lg 3.

İlk logaritmanın temeli ve argümanı tam güçlerdir. Bunu bir yere yazalım ve göstergelerden kurtulalım:

Şimdi yeni bir tabana geçerek ondalık logaritmadan kurtulalım:

Temel logaritmik kimlik

Çoğu zaman çözme sürecinde bir sayının belirli bir tabana göre logaritma olarak temsil edilmesi gerekir. Bu durumda, formüller bize yardımcı olacaktır:

İlk durumda, n sayısı bağımsız değişkende üs olur. n sayısı kesinlikle herhangi bir şey olabilir, çünkü bu sadece logaritmanın değeridir.

İkinci formül aslında başka sözcüklerle ifade edilmiş bir tanımdır. Şöyle denir:

Gerçekten de, b sayısı, bu derecedeki b sayısı a sayısını verecek şekilde yükseltilirse ne olur? Bu doğru: bu aynı sayı a. Bu paragrafı tekrar dikkatlice okuyun - birçok insan ona “takılır”.

Yeni temel dönüşüm formülleri gibi, temel logaritmik özdeşlik bazen olası tek çözümdür.

Bir görev. İfadenin değerini bulun:

log25 64 = log5 8 - sadece tabandan kareyi ve logaritmanın argümanını çıkardığına dikkat edin. Güçleri aynı tabanla çarpma kuralları göz önüne alındığında, şunu elde ederiz:

Eğer kimse bilmiyorsa, bu Birleşik Devlet Sınavından gerçek bir görevdi 🙂

Logaritmik birim ve logaritmik sıfır

Sonuç olarak, özellik olarak adlandırılması zor olan iki kimlik vereceğim - bunlar logaritmanın tanımının sonuçlarıdır. Sürekli olarak problemlerde bulunurlar ve şaşırtıcı bir şekilde "ileri" öğrenciler için bile problem yaratırlar.

1. loga = 1'dir. Bir kere ve her şey için hatırlayın: o bazın kendisinden herhangi bir a tabanının logaritması bire eşittir.
2. loga 1 = 0'dır. a tabanı herhangi bir şey olabilir, ancak argüman bir ise, logaritma sıfırdır! Çünkü a0 = 1, tanımın doğrudan bir sonucudur.

Tüm özellikleri bu. Bunları uygulamaya koyarak pratik yaptığınızdan emin olun! Hile sayfasını dersin başında indirin, yazdırın ve sorunları çözün.