özel türev fonksiyonlar z = f(x, y x değişkenine göre Bu fonksiyonun türevi y değişkeninin sabit bir değerinde çağrılır, gösterilir veya z "x.

özel türev fonksiyonlar z = f(x, y) y değişkenine göre y değişkeninin sabit bir değerinde y'ye göre türev denir; gösterilir veya z "y.

Birkaç değişkenli bir fonksiyonun bir değişkene göre kısmi türevi, diğer değişkenlerin sabit kabul edilmesi şartıyla, bu fonksiyonun karşılık gelen değişkene göre türevi olarak tanımlanır.

tam diferansiyel fonksiyon z = f(x, y) bir noktada M(X, y) ifadesi denir

,

Nerede ve M(x, y) noktasında hesaplanır ve dx = , dy = y.

örnek 1

Fonksiyonun toplam diferansiyelini hesaplayın.

z \u003d x 3 - 2x 2 y 2 + y 3 M noktasında (1; 2)

Çözüm:

1) Kısmi türevleri bulun:

2) M(1; 2) noktasındaki kısmi türevlerin değerini hesaplayın

() M \u003d 3 1 2 - 4 1 2 2 \u003d -13

() M \u003d - 4 1 2 2 + 3 2 2 \u003d 4

3) dz = - 13dx + 4dy

Otokontrol için sorular:

1. Ters türev neye denir? Bir antitürevin özelliklerini listeleyin.

2. Ne denir belirsiz integral?

3. Belirsiz integralin özelliklerini listeleyiniz.

4. Temel integrasyon formüllerini listeleyin.

5. Hangi entegrasyon yöntemlerini biliyorsunuz?

6. Newton-Leibniz formülünün özü nedir?

7. Belirli bir integralin tanımını verin.

8. Yerine koyma yöntemiyle belirli bir integrali hesaplamanın özü nedir?

9. Parçalarla belirli bir integrali hesaplama yönteminin özü nedir?

10. Hangi fonksiyona iki değişkenli fonksiyon denir? Nasıl belirlenir?

11. Hangi fonksiyona üç değişkenli fonksiyon denir?

12. Hangi kümeye bir fonksiyonun tanım kümesi denir?

13. Bir düzlemde kapalı bir D bölgesi hangi eşitsizliklerin yardımıyla tanımlanabilir?

14. z \u003d f (x, y) fonksiyonunun x değişkenine göre kısmi türevine ne denir? Nasıl belirlenir?

15. z \u003d f (x, y) fonksiyonunun y değişkenine göre kısmi türevine ne denir? Nasıl belirlenir?

16. Hangi ifadeye bir fonksiyonun toplam diferansiyeli denir?

Konu 1.2 Adi diferansiyel denklemler.

Diferansiyel denklemlere yol açan problemler. Ayrılabilir değişkenli diferansiyel denklemler. Genel ve özel çözümler. Birinci mertebeden homojen diferansiyel denklemler. Doğrusal homojen denklemler sabit katsayılı ikinci mertebe.

Pratik ders No. 7 "Genel ve özel çözümler bulma diferansiyel denklemler ayrılabilir değişkenlerle"*

Uygulamalı ders No. 8 "Doğrusal ve homojen diferansiyel denklemler"

Pratik ders No. 9 "2. mertebeden diferansiyel denklemlerin çözümü sabit katsayılar»*

L4, bölüm 15, s. 243 - 256

Yönergeler

Pratik çalışma №2

"Fonksiyon Farkı"

Dersin amacı: Belirli bir konuda örnekler ve problemler çözmeyi öğrenin.

Teori soruları (başlangıç ​​seviyesi):

1. Bir ekstremum için fonksiyonların çalışılması için türevlerin kullanımı.

2. Bir fonksiyonun diferansiyeli, geometrik ve fiziksel anlamı.

3. Tam diferansiyelçok değişkenli fonksiyonlar

4. Birçok değişkenin bir fonksiyonu olarak vücudun durumu.

5. Yaklaşık hesaplamalar.

6. Kısmi türevlerin ve toplam diferansiyelin bulunması.

7. Bu kavramların farmakokinetik, mikrobiyoloji vb. alanlarda kullanımına ilişkin örnekler.

(kendi kendine eğitim)

1. dersin konusuyla ilgili soruları yanıtlayın;

2. Örnekleri çözün.

Örnekler

Aşağıdaki fonksiyonların diferansiyellerini bulun:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	20)

Fonksiyonları incelemek için türevleri kullanma

[a, b] doğru parçasında y = f(x) fonksiyonunun artması koşulu

[a, b] doğru parçasında y=f(x) fonksiyonunun azalma koşulu

x= a'daki maksimum y=f(x) fonksiyonunun koşulu

f"(a)=0 ve f""(a)<0

x \u003d a için f "(a) \u003d 0 ve f "(a) \u003d 0 türevleri varsa, o zaman x \u003d a noktasının yakınında f "(x)'i araştırmak gerekir. Fonksiyon x \u003d a için y \u003d f (x) bir maksimuma sahiptir, eğer x \u003d noktasından geçerken ve f "(x) türevi, minimum olması durumunda işareti "+" dan "-" ye değiştirirse - "-" den "+" ya f "(x) x = a noktasından geçerken işaret değiştirmiyorsa, bu noktada fonksiyonun ekstremumu yoktur

Fonksiyon diferansiyeli.

Bağımsız bir değişkenin diferansiyeli, artışına eşittir:

Fonksiyon diferansiyeli y=f(x)

İki fonksiyonun toplamının (farkının) diferansiyel y=u±v

İki fonksiyonun çarpımının diferansiyel y=uv

İki fonksiyonun bölüm diferansiyeli y=u/v

dy=(vdu-udv)/v 2

İşlev artışı

Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) ≈ dy ≈ f "(x) Δx

burada Δx: argümanın artışıdır.

Fonksiyon değerinin yaklaşık hesaplanması:

f(x + Δx) ≈ f(x) + f "(x) Δx

Diferansiyelin yaklaşık hesaplamalarda uygulanması

Diferansiyel, dolaylı ölçümlerdeki mutlak ve bağıl hataları hesaplamak için kullanılır u \u003d f (x, y, z.). Ölçüm sonucunun mutlak hatası

du≈Δu≈|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…

Ölçüm sonucunun göreceli hatası

du/u≈Δu/u≈(|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…)/u

FONKSİYON FARKLI.

Fonksiyon artışının ana parçası olarak fonksiyon diferansiyeli ve. Bir fonksiyonun diferansiyeli kavramı, türev kavramıyla yakından ilişkilidir. fonksiyon olsun f(x) verilen değerler için sürekli X ve türevi var

D f/Dx = f¢(x) + a(Dx), fonksiyon artışı nereden Df = f¢(x)Dx + a(Dx)Dx, nerede a(Dx) ® 0 de Dx® 0. Sonsuz küçüklerin sırasını tanımlayalım f¢(x)Dx Dx.:

Bu nedenle sonsuz küçük f¢(x)Dx ve Dx aynı büyüklük sırasına sahip, yani f¢(x)Dx = O.

Sonsuz küçüklerin sırasını tanımlayalım a(Dx)Dx sonsuz küçüklükle ilgili Dx:

Bu nedenle sonsuz küçük a(Dx)Dx sonsuz küçüklükten daha yüksek bir küçüklük derecesine sahiptir Dx, yani a(Dx)Dx = o.

Böylece, sonsuz küçük bir artış Df türevlenebilir fonksiyon iki terim şeklinde temsil edilebilir: sonsuz küçük f¢(x)Dx ile aynı küçüklük düzeninde Dx ve sonsuz küçük a(Dx)Dx sonsuz küçüklüğe kıyasla daha yüksek küçüklük derecesi Dx. Bunun anlamı eşitlikte Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx de Dx® 0 ikinci terim, birinciden "daha hızlı" sıfır olma eğilimindedir, yani. a(Dx)Dx = o.

İlk dönem f¢(x)Dx, göre doğrusal Dx, aranan fonksiyon diferansiyeli f(x) noktada X ve belirtmek ölmek veya df("de game" veya "de ef" okuyun). Yani,

dy = df = f¢(x)Dx.

Diferansiyelin analitik anlamı bir fonksiyonun diferansiyelinin, fonksiyonun artışının ana parçası olduğu gerçeğinde yatmaktadır. Df, argümanın artışına göre doğrusal Dx. Bir fonksiyonun diferansiyeli, bir fonksiyonun artımından daha yüksek bir küçüklük derecesine sahip sonsuz küçük bir artıştan farklıdır. Dx. Yok canım, Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx veya Df = df + a(Dx)Dx . argüman diferansiyeli dx artışına eşit Dx: dx=Dx.

Örnek. Bir fonksiyonun diferansiyelinin değerini hesaplayın f(x) = x 3 + 2x, ne zaman X 1 ile 1.1 arasında değişir.

Çözüm. Bu fonksiyonun diferansiyeli için genel bir ifade bulalım:

değerleri değiştirme dx=Dx=1,1–1= 0,1 ve x=1 son formülde, diferansiyelin istenen değerini elde ederiz: df½ x=1; = 0,5.

KISMİ TÜREVLER VE DİFERANSİYELLER.

Birinci dereceden kısmi türevler. z = f(x,y) fonksiyonunun birinci mertebeden kısmi türevi ) argümanla X düşünülen noktada (x; y) limit denir

eğer varsa.

Bir fonksiyonun kısmi türevi z = f(x, y) argümanla X aşağıdaki sembollerden biri ile gösterilir:

Benzer şekilde, göre kısmi türev de formül ile gösterilir ve tanımlanır:

Kısmi türev, bir argümanın bir fonksiyonunun olağan türevi olduğundan, onu hesaplamak zor değildir. Bunu yapmak için, her durumda argümanlardan hangisinin "sabit sayı" olarak alındığını ve hangisinin "farklılaşma değişkeni" olarak hizmet ettiğini dikkate alarak, şimdiye kadar ele alınan tüm türevlendirme kurallarını kullanmanız gerekir.

Yorum.Örneğin, argümana göre kısmi türevi bulmak için x – df/dx fonksiyonun adi türevini bulmak yeterlidir. f(x,y), ikincisinin bir argümanın işlevi olduğunu varsayarsak X, a de- kalıcı; bulmak df/dy- tersine.

Örnek. Bir fonksiyonun kısmi türevlerinin değerlerini bulun f(x,y) = 2x2 + y2 noktada P(1;2).

Çözüm. sayma f(x,y) tek argüman işlevi X ve farklılaşma kurallarını kullanarak buluruz

Noktada P(1;2) türev değeri

f(x; y)'yi bir y argümanının fonksiyonu olarak düşünürsek, buluruz:

Noktada P(1;2) türev değeri

ÖĞRENCİNİN BAĞIMSIZ ÇALIŞMASI İÇİN GÖREV:

Aşağıdaki fonksiyonların diferansiyellerini bulun:

Aşağıdaki görevleri çözün:

1. Kenarı x = 10 cm olan bir karenin bir kenarı 0,01 cm küçülürse alanı ne kadar azalır?

2. Vücut hareketinin denklemi verilmiştir: y=t 3 /2+2t 2 , burada s metre cinsinden, t ise saniye cinsindendir. Hareketin başlangıcından itibaren t=1.92 s cinsinden cismin kapladığı s yolunu bulun.

EDEBİYAT

1. Lobotskaya N.L. Yüksek Matematiğin Temelleri - M.: "Yüksek Okul", 1978.C198-226.

2. Bailey N. Biyoloji ve tıpta matematik. Başına. İngilizceden. M.: Mir, 1970.

3. Remizov A.N., Isakova N.Kh., Maksina L.G. Tıbbi ve biyolojik fizikteki problemlerin toplanması - M.: "Lise", 1987. C16-20.

Argümanlarından yalnızca birini artırırken bir işlevi değiştirmeyi düşünün - x ben, ve diyelim.

Tanım 1.7.özel türev argümana göre fonksiyonlar x ben aranan .

Tanımlamalar: .

Böylece, birkaç değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevi aslında fonksiyonun türevi olarak tanımlanır. bir değişken - x ben. Bu nedenle, türevlerin tek değişkenli bir fonksiyon için kanıtlanan tüm özellikleri onun için geçerlidir.

Yorum. Kısmi türevlerin pratik hesaplamasında, türevin gerçekleştirildiği argümanın değişken olduğunu ve kalan argümanların sabit olduğunu varsayarak, bir değişkenli bir fonksiyonun türevini almak için genel kuralları kullanırız.

1. z= 2x² + 3 xy –12y² + 5 x – 4y +2,

2. z = xy ,

İki değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevlerinin geometrik yorumu.

Yüzey denklemini düşünün z = f(x,y) ve bir uçak çiz x = inşaat Düzlemin yüzeyle kesiştiği doğru üzerinde bir nokta seçelim. M (x, y). Argümanı ayarlarsanız de artış Δ de ve eğri üzerindeki T noktasını koordinatlarla ( x, y+Δ y, z+Δy z), daha sonra O ekseninin pozitif yönü ile MT sekantının oluşturduğu açının tanjantı de, eşit olacaktır. noktasındaki limite geçerek, kısmi türevin, teğetin oluşturduğu açının noktasında oluşan eğriye tanjantına eşit olduğunu elde ederiz. M O ekseninin pozitif yönü ile y. Buna göre kısmi türev, O ekseni ile açının tanjantına eşittir. X yüzey bölümünden kaynaklanan eğriye teğet z = f(x,y) uçak y= inşaat

Tanım 2.1. u = f(x, y, z) fonksiyonunun tam artışına denir

Tanım 2.2. (x 0, y 0, z 0) noktasında u \u003d f (x, y, z) fonksiyonunun artışı (2.3), (2.4) şeklinde gösterilebilirse, fonksiyona türevlenebilir denir Bu noktada ve ifadeye, artışın ana lineer kısmı veya söz konusu fonksiyonun toplam diferansiyeli denir.

Gösterim: du, df (x 0 , y 0 , z 0).

Tek değişkenli bir fonksiyon durumunda olduğu gibi, bağımsız değişkenlerin diferansiyelleri onların keyfi artışlarıdır, bu nedenle

Açıklama 1. Dolayısıyla, "fonksiyonun türevlenebilir" ifadesi, "fonksiyonun kısmi türevleri vardır" ifadesine eşdeğer değildir - türevlenebilirlik, söz konusu noktada bu türevlerin sürekliliğini de gerektirir.

4. Teğet düzlem ve yüzeye dik. Diferansiyelin geometrik anlamı.

fonksiyon olsun z = f(x, y) noktanın bir komşuluğunda türevlenebilir M (x 0, y 0). O zaman kısmi türevleri, yüzeyin kesişme çizgilerine teğetlerin eğimleridir. z = f(x, y) uçaklarla y = y 0 ve x = x 0, yüzeyin kendisine teğet olacak z = f(x, y). Bu doğrulardan geçen uçak için bir denklem yazalım. Teğetlerin yön vektörleri (1; 0; ) ve (0; 1; ) biçimindedir, dolayısıyla düzlemin normali onların vektör çarpımı olarak gösterilebilir: n = (- ,- , 1). Bu nedenle, düzlemin denklemi şu şekilde yazılabilir:

nerede z0 = .

Tanım 4.1. Denklem (4.1) ile tanımlanan düzlem denir teğet düzlem fonksiyonun grafiğine z = f(x, y) koordinatları olan noktada (x 0, y 0, z 0).

İki değişken durumunda formül (2.3)'ten, fonksiyonun artışının f noktanın yakınında Mşu şekilde temsil edilebilir:

Bu nedenle, fonksiyon grafiğinin uygulamaları ile teğet düzlem arasındaki fark, ρ, de ρ→ 0.

Bu durumda, fonksiyonun diferansiyeli fşuna benziyor:

hangi karşılık gelir fonksiyonun grafiğine teğet düzlemin uygulamasının artışı. Bu, diferansiyelin geometrik anlamıdır.

Tanım 4.2. Bir noktada teğet düzleme dik sıfır olmayan vektör M (x 0, y 0) yüzeyler z = f(x, y), denir normal o noktada yüzeye.

İncelenen yüzeye normal olarak, vektörü almak uygundur - n = { , ,-1}.

Fonksiyonun bazı (açık) etki alanlarında tanımlanmasına izin verin D puan
boyutlu uzay ve
bu alanda bir noktadır, yani.
D.

Bir fonksiyonun kısmi artışı Herhangi bir değişken için birçok değişken, diğer tüm değişkenlerin sabit değerlere sahip olduğunu varsayarak, bu değişkene bir artış verirsek fonksiyonun alacağı artış olarak adlandırılır.

Örneğin, bir fonksiyonun bir değişken üzerinde kısmi artışı olacak

Bağımsız değişkene göre kısmi türev noktada
fonksiyondan kısmi artış ilişkisinin limiti (varsa) denir.
artan fonksiyonlar
değişken çabalarken
sıfıra:

Kısmi türev, sembollerden biri ile gösterilir:

;
.

Yorum. dizin Aşağıda bu gösterimde türevin hangi değişkenlerden alındığı ve hangi noktada ilişkili olmadığı belirtilir.
bu türev hesaplanır.

Kısmi türevlerin hesaplanması, sıradan türevin hesaplanmasına kıyasla yeni bir şey değildir, yalnızca bir fonksiyonu herhangi bir değişkene göre türevini alırken, diğer tüm değişkenlerin sabit olarak alındığını hatırlamak gerekir. Bunu örneklerle gösterelim.

örnek 1Fonksiyonların Kısmi Türevlerini Bulun
.

Çözüm. Bir fonksiyonun kısmi türevi hesaplanırken
argümanla işlevi göz önünde bulundurun sadece bir değişkenin fonksiyonu olarak , yani buna inan sabit bir değeri vardır. sabit işlev
argümanın güç fonksiyonudur . Bir güç fonksiyonunun türevini alma formülüne göre şunları elde ederiz:

Benzer şekilde, kısmi türev hesaplanırken değerin sabit olduğunu varsayıyoruz ve işlevi göz önünde bulundurun
argümanın üstel bir işlevi olarak . Sonuç olarak şunları elde ederiz:

Örnek 2. Hkısmi türevleri bul ve fonksiyonlar
.

Çözüm. Kısmi türev hesaplanırken verilen fonksiyon bir değişkenin fonksiyonu olarak ele alacağız ve içeren ifadeler , sabit faktörler olacaktır, yani.
sabit bir faktör olarak hareket eder güç fonksiyonu ile (
). Bu ifadenin farklılaşması , şunu elde ederiz:

.

Şimdi, tam tersine, işlev bir değişkenin fonksiyonu olarak kabul edilir içeren ifadeler ise , katsayı olarak hareket et
(
).Farklılaştırma trigonometrik fonksiyonların farklılaşma kurallarına göre şunları elde ederiz:

Örnek 3 Bir Fonksiyonun Kısmi Türevlerini Hesaplayın
noktada
.

Çözüm.İlk önce bu fonksiyonun kısmi türevlerini keyfi bir noktada buluyoruz.
onun tanım alanı. Kısmi türev hesaplanırken buna inan
kalıcıdır.

tarafından ayırt edildiğinde kalıcı olacak
:

ve kısmi türevleri hesaplarken ve tarafından , benzer şekilde, sırasıyla sabit olacaktır,
ve
, yani:

Şimdi noktada bu türevlerin değerlerini hesaplıyoruz.
, değişkenlerin belirli değerlerini ifadelerine koyarak. Sonuç olarak şunları elde ederiz:

11. Bir fonksiyonun kısmi ve toplam diferansiyelleri

Şimdi özel bir artışa ise
bir değişkene göre sonlu artışlarla Lagrange teoremini uygulamak , o zaman sayma sürekli, aşağıdaki ilişkileri elde ederiz:

nerede
,
sonsuz küçük bir miktardır.

Bir Fonksiyonun Kısmi Diferansiyeli değişkene göre kısmi artışın ana doğrusal kısmı olarak adlandırılır
, bu değişkene göre kısmi türevin ürününe ve bu değişkenin artışına eşittir ve gösterilir

Açıktır ki, kısmi diferansiyel, kısmi artıştan sonsuz küçük bir yüksek mertebeden farklıdır.

Tam fonksiyon artışı birçok değişkene, tüm bağımsız değişkenlere bir artış verdiğimizde alacağı artış denir, yani.

herkes nerede
, bağlıdır ve onlarla birlikte sıfıra eğilimlidir.

Altında bağımsız değişkenlerin diferansiyelleri anlamına geldiği kabul edildi keyfi artışlar
ve onları etiketle
. Böylece kısmi diferansiyelin ifadesi şu şekli alacaktır:

Örneğin, kısmi diferansiyel üzerinde şöyle tanımlanır:

.

tam diferansiyel
çok değişkenli fonksiyonlara toplam artışın ana lineer kısmı denir.
eşittir, yani tüm kısmi diferansiyellerinin toplamı:

eğer fonksiyon
sürekli kısmi türevleri vardır

noktada
, sonra o belirli bir noktada türevlenebilir.

türevlenebilir bir fonksiyon için yeterince küçük
yaklaşık eşitlikler var

,

yaklaşık hesaplamalar için kullanılabilir.

Örnek 4Bir fonksiyonun tam diferansiyelini bulun
üç değişken
.

Çözüm. Her şeyden önce, kısmi türevleri buluyoruz:

Tüm değerler için sürekli olduklarını belirterek
, bulduk:

Birkaç değişkenli fonksiyonların diferansiyelleri için, diferansiyellerin özelliklerine ilişkin tüm teoremler doğrudur, bunlar tek değişkenli fonksiyonlar için ispatlanmıştır, örneğin: eğer ve değişkenlerin sürekli fonksiyonlarıdır
tüm değişkenlere göre sürekli kısmi türevleri olan ve ve keyfi sabitlerdir, o zaman:

(6)

Transcript

1 DERS N Toplam diferansiyel, kısmi türevler ve yüksek mertebeden diferansiyeller Toplam diferansiyel Kısmi diferansiyeller Yüksek mertebeden kısmi türevler Yüksek mertebeden diferansiyeller 4 Kompleks fonksiyonların türevleri 4 Toplam diferansiyel Kısmi diferansiyeller Bir fonksiyon z=f(,) türevlenebilir ise, toplamı diferansiyel dz eşittir dz= a +B () z z A=, B = olduğuna dikkat ederek, () formülünü aşağıdaki biçimde yazarız z z dz= + () Bir fonksiyon diferansiyeli kavramını bağımsız değişkenlere genişletiriz, ayarlayarak bağımsız değişkenlerin artışlarına eşit diferansiyelleri: d= ; d= Bundan sonra, fonksiyonun toplam diferansiyeli formülü z z dz= d + d () d + d n değişkenleri şeklinde olacaktır, sonra du= d (d =) = d z=f (,)d ifadesi olacaktır. (4) z=f(,) fonksiyonunun değişkene göre kısmi diferansiyeli olarak adlandırılır; d z=f (,)d (5) ifadesine z=f(,) fonksiyonunun değişkene göre kısmi diferansiyeli denir. (), (4) ve (5) formüllerinden, a fonksiyon kısmi diferansiyellerinin toplamıdır: dz=d z+d z artış z= z z + + α (,) + β (,) doğrusal kısmından farklıdır dz= z z + sadece son terimlerin toplamı ile α 0 ve 0'da lineer kısmın terimlerinden sonsuz küçük daha yüksek mertebeden + β Bu nedenle, dz 0 için, türevlenebilir fonksiyonun artışının lineer kısmına, fonksiyonun artışının ana kısmı ve yaklaşık formül z denir dz kullanılır, bu daha doğru olacaktır, argümanların artışlarının mutlak değeri ne kadar küçükse,97 Örnek Yaklaşık olarak arctg(),0 hesaplayın

2 Çözüm f(,)=arctg() fonksiyonunu düşünün f(x 0 + x, y 0 + y) f(x 0, y 0) + dz formülünü kullanarak, arctg(+) arctg() + [ elde ederiz. arctg() ] + [ arctg()] veya + + arctg() arctg() () + () Let =, =, sonra =-0.0, =0.0 Bu nedenle, (0.0 0.0 arctg) arctg( ) + (0.0) 0.0 = arctan 0.0 = + 0.0 + () + () π = 0.05 0.0 0.75 4 Yaklaşık z dz formülünün uygulanmasından kaynaklanan hatanın, M'nin olduğu = M (+) sayısını geçmediği gösterilebilir. argümanlar +'dan +'ya değiştiğinde ikinci kısmi türevlerin mutlak değerlerinin en büyük değeri f (,), f (,), f (,) (, z) bazı (açık) D alanındaki değişkenlerden birine göre kısmi türevine sahiptir, o zaman bulunan türev, kendisi z'nin bir fonksiyonu olarak, sırayla, bir noktada kısmi türevlere sahip olabilir (0, 0, z 0) aynı veya başka herhangi bir değişkene göre Orijinal fonksiyon u=f(, z) için, bu türevler ikinci dereceden kısmi türevler olacaktır. ep, in, o zaman z'ye göre türevi şu şekilde gösterilir: f (0, 0, z0) f (0, 0, z0) f (0, 0, z0) = ; = ; = veya u, u, uz z z Üçüncü, dördüncü ve benzeri mertebelerin türevleri benzer şekilde belirlenir.Çeşitli değişkenlere göre alınan yüksek mertebeden kısmi türevin örneğin, ; karışık kısmi türev olarak adlandırılır Örnek u= 4 z, sonra, u =4 z ; u = 4z; u z = 4 z; u = z u=64z; uzz = 4; u = z u = z u z = 4 z; uz =8z; uz =6 4 z; u z =6 4 z f(,) fonksiyonu bir (açık) D bölgesinde tanımlanır,) bu alanda ilk f ve f türevleri, ayrıca f ve f ikinci karışık türevleri ve son olarak,) bu son türevler vardır. f ve f, u'nun fonksiyonları olarak, D bölgesinin bir (0, 0) noktasında süreklidir. O halde bu noktada f (0, 0)=f (0, 0) İspat İfadeyi düşünün

3 f (0 +, 0 f (0 +, 0) f (0, 0 + f (0, 0) W=, burada, sıfırdan farklıdır, örneğin, pozitiftir ve dahası, D'nin içerdiği kadar küçüktür) tüm dikdörtgen [ 0, 0 +; 0, 0 +] 0 +) (, 0) ()= ve dolayısıyla sürekli Bu fonksiyonla f (0 +, 0 f (0 +, 0) f (0, 0 f () 0, 0) W='a eşit olan W ifadesi şu şekilde yeniden yazılabilir: ϕ (0 +) ϕ (0) W= yani: W=ϕ (0 + θ, 0 f (0 + θ, 0) (0 + θ)= (0<θ<) Пользуясь существованием второй производной f (,), снова применим формулу конечных приращений, на этот раз к функции от: f (0 +θ,) в промежутке [ 0, 0 +] Получим W=f (0 +θ, 0 +θ), (0<θ <) Но выражение W содержит и, с одной стороны, и и, с другой, одинаковым образом Поэтому, можно поменять их роли и, введя вспомогательную функцию: Ψ()= f (0 +,) f (0,), путем аналогичных рассуждений получить результат: W=f (0 +θ, 0 +θ) (0<θ, θ <) Из сопоставления () и (), находим f (0 +θ, 0 +θ)=f (0 +θ, 0 +θ) Устремив теперь и к нулю, перейдем в этом равенстве к пределу В силу ограниченности множителей θ, θ, θ, θ, аргументы и справа, и слева стремятся к 0, 0 А тогда, в силу (), получим: f (0, 0)=f (0, 0), что и требовалось доказать Таким образом, непрерывные смешанные производные f и f всегда равны Общая теорема о смешанных производных Пусть функция u=f(, n) от переменных определена в открытой n-мерной области D и имеет в этой области всевозможные частные производные до (n-)-го порядка включительно и смешанные производные n-го порядка, причем все эти производные непрерывны в D При этих условиях значение любой n-ой смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования Дифференциалы высших порядков Пусть в области D задана непрерывная функция u=f(, х), имеющая непрерывные частные производные первого порядка Тогда, du= d + d + + d

4 du'nun da bir fonksiyonu olduğunu görüyoruz, u için ikinci mertebeden sürekli kısmi türevlerin varlığını varsayarsak, o zaman du birinci mertebeden sürekli kısmi türevlere sahip olacaktır ve bu diferansiyelin toplam diferansiyelinden bahsedebiliriz. u'nun ikinci dereceden diferansiyel (veya ikinci diferansiyel) olarak adlandırılan , d(du); d u ile gösterilir d, d, d artışlarının sabit kabul edildiğini ve bir diferansiyelden diğerine geçerken aynı kaldığını vurgularız (ayrıca, d, d sıfır olacaktır) Yani, d u=d(du)=d (d + d + + d) = d() d + d() d + + d() d veya d u = (d + d + d + + d) d + + (d + d + = d + d + + d + dd + dd + + dd + + Benzer şekilde, üçüncü mertebeden diferansiyel d u tanımlanır, vb. Eğer u fonksiyonu, n'ye kadar ve n'ye kadar olan tüm mertebelerin sürekli kısmi türevlerine sahipse, o zaman n. diferansiyel garantilidir.Ama onlar için ifadeler gittikçe daha karmaşık hale gelir Notasyonu basitleştirebiliriz İlk diferansiyelin ifadesindeki "u harfini" çıkaralım O zaman notasyon sembolik olacaktır: du=(d + d + + d) u; d u=(d + d + + d) u; d n n u=(d + d + + d) u, bu şu şekilde anlaşılmalıdır: ilk olarak, parantez içindeki “polinom” resmi olarak bir kuvvete yükseltilir cebir kurallarına göre, sonuçta ortaya çıkan tüm terimler u ile “çarpılır” (bu, paylarda n'ye eklenir) , ve ancak bundan sonra tüm semboller türev ve diferansiyel olarak değerlerini döndürür u d) d u belirli bir aralıkta t değişkeni üzerinde: =ϕ(t), =ψ(t), z=λ(t) Ek olarak, t olarak (, z) noktaları D bölgesinin ötesine geçmez Değerleri ve z'yi u fonksiyonuna koyarsak, karmaşık bir fonksiyon elde ederiz: u=f(ϕ(t), ψ(t), λ(t)) u'nun sürekli kısmi türevleri u, u ve u z in ve z olduğunu ve t, t ve z t'nin var olduğunu varsayalım. , o zaman ve z sırasıyla artışlar alacak ve z, u fonksiyonu bir artış alacak u u fonksiyonunun artışını şu şekilde gösterelim: (sürekli kısmi türevlerin varlığını varsaydığımız için bu yapılabilir u, u ve u z) u=u +u +u z z+α +β +χ z, burada α, β, χ 0 at, z 0 Her ikisini de böleriz t üzerindeki eşitliğin bir parçası olarak, u z z = u + u + uz + α + β + χ t t t t t t t 4 elde ederiz

5 Şimdi t artımının sıfıra yaklaşmasına izin verelim: o zaman, z fonksiyonları z sürekli olduğundan (t, t, z t türevlerinin varlığını varsaydık) ve bu nedenle, α, β, χ olduğundan, z sıfıra eğilim gösterecektir. elde ettiğimiz limitte u t =u t +u t +u z z t () Yapılan varsayımlar altında, karmaşık fonksiyonun türevinin var olduğunu görüyoruz.Diferansiyel notasyonu kullanırsak, du d d dz () , z gibi çeşitli değişkenlerde t: =ϕ(t, v), =ψ(t, v), z=χ(t, v) f(, z) fonksiyonunun kısmi türevlerinin varlığı ve sürekliliğinin yanı sıra, biz burada z fonksiyonlarının t ve v'ye göre türevlerinin varlığını varsayalım Bu durum, daha önce ele alınandan önemli ölçüde farklı değildir, çünkü iki değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevini hesaplarken, değişkenlerden birini sabitleriz ve yalnızca bir değişkenli fonksiyon bırakılırsa, formül () aynı z olur ve () şu şekilde yeniden yazılmalıdır: = + + (a) t t t z t z = + + (b) v v v z v Örnek u= ; =ϕ(t)=t ; =ψ(t)=cos t u t = - t + ln t = - t- ln sint 5

Birkaç değişkenli fonksiyonlar Doğa bilimleri ve diğer disiplinlerin geometrisi ile ilgili birçok soruda, iki veya daha fazla değişkenli fonksiyonlarla ilgilenilmelidir.

13. Yüksek Mertebelerin Kısmi Türevleri D O üzerinde = olsun ve tanımlı olsun. ve fonksiyonlarına bir fonksiyonun birinci mertebeden kısmi türevleri veya bir fonksiyonun birinci kısmi türevleri de denir. ve genel olarak

Türevin Uygulama Tanımı Argümanın değerleri ve f) ve f) - ((f () fonksiyonunun karşılık gelen değerleri) Fark, argümanın artışı olarak adlandırılır ve fark, segmentteki fonksiyonun artışı,

Pratik alıştırma KARMAŞIK VE Örtülü FONKSİYONUN FARKLILIĞI Karmaşık bir fonksiyonun türevlenmesi Bir denklem tarafından verilen örtük bir fonksiyonun türevi Örtük ve parametrik olarak verilen sistemler

ÇOKLU DEĞİŞKENLERİN FONKSİYONLARI Bir bağımsız değişkenin işlevleri, doğada var olan tüm bağımlılıkları kapsamaz. Bu nedenle, iyi bilinen işlevsel bağımlılık kavramını genişletmek ve tanıtmak doğaldır.

6 Örtük işlevler 6.1 Tanımlar, arka plan

1. Temel kavramlar. Birkaç değişkenli fonksiyonlar. Tüm bu tanımlar ve elde edilen sonuçlardan dolayı, iki ve üç değişkenli fonksiyon örneklerini kullanarak birkaç değişkenin fonksiyonunu inceleyeceğiz.

2.2.7. Diferansiyelin yaklaşık hesaplamalara uygulanması. y = fonksiyonunun diferansiyeli x'e bağlıdır ve x artışının ana parçasıdır. Ayrıca şu formülü de kullanabilirsiniz: dy d Ardından mutlak hata:

Anlatım 9. Yüksek mertebeden türevler ve diferansiyeller, özellikleri. Fonksiyonun uç noktaları. Fermat ve Rolle teoremleri. y fonksiyonunun bir [b] aralığında türevlenebilir olmasına izin verin. Bu durumda türevi

5 F F F veya bu türevlerden en az birinin bulunmadığı noktaya yüzeyin tekil noktası denir.Böyle bir noktada yüzeyin teğet düzlemi olmayabilir Tanım Yüzeye normal

KESİN İNTEGRAL. İntegral Toplamlar ve Belirli İntegral [, b ] parçasında tanımlanmış bir y = f () fonksiyonu olsun, burada< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

BİRİNCİ DERECİN ADİ DİFERANSİYEL DENKLEMLERİ Temel kavramlar Diferansiyel denklem, bilinmeyen bir fonksiyonun türev veya diferansiyel işaretin altına girdiği bir denklemdir.

6. Bir fonksiyonun diferansiyel 1. Tanımı ve geometrik anlamı TANIM. Bir x 0 noktasında y = f(x) fonksiyonuna türevlenebilir denir, eğer bu noktadaki artışı doğrusal bir fonksiyonun toplamı olarak yazılabilirse

Dersler Bölüm Birkaç değişkenli fonksiyonlar Temel kavramlar Birkaç değişkenli bazı fonksiyonlar iyi bilinir Bazı örnekler verelim Bir üçgenin alanını hesaplamak için Heron formülü S bilinir

~ 1 ~ ÇOKLU DEĞİŞKENLERİN FONKSİYONU 3 İki değişkenli fonksiyon, tanım alanı, belirtme yolları ve geometrik anlam. Tanım: z f, iki değişkenli bir fonksiyon olarak adlandırılır, eğer her bir değer çifti,

Birinci mertebeden diferansiyel denklemlerin türevine göre çözümlenmesi Bir çözüm için varlık ve teklik teoremi Genel durumda, birinci mertebeden diferansiyel denklem F () şeklindedir.

Anlatım 3 Birkaç değişkenli bir fonksiyonun ekstremumu Birkaç değişkenli bir fonksiyon u = f (x, x) D alanında tanımlansın ve x (x, x) = noktası bu alana ait olsun Fonksiyon u = f ( x, x) vardır

Modül Konu Fonksiyon dizileri ve serileri Dizilerin ve serilerin düzgün yakınsaklığının özellikleri Kuvvet serileri Anlatım Fonksiyon dizilerinin ve serilerin tanımları Tekdüze

9 Türev ve diferansiyel 91 Problemleri çözmek için temel formüller ve tanımlar Tanım y f () fonksiyonu noktanın bazı f (Δ) f () Δy komşulukları üzerinde tanımlansın Δ Δ Δ için bağıntı limiti, eğer

1 Konu 1. Birinci mertebeden diferansiyel denklemler 1.0. Temel tanımlar ve teoremler Birinci mertebeden diferansiyel denklem: bağımsız değişken; y = y() istenen fonksiyondur; y = y () türevi.

Ders 8 Karmaşık bir fonksiyonun türevi t t t f karmaşık bir fonksiyon düşünün burada ϕ t t t t t t f t t t t t t t t t

MOSKOVA DEVLET TEKNİK SİVİL HAVACILIK ÜNİVERSİTESİ V.M. Lyubimov, E.A. Zhukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Shurinov

II DİFERANSİYEL DENKLEMLER Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler Tanım Bilinmeyen değişkenlerin ve fonksiyonlarının türev veya diferansiyel işareti altında olduğu ilişkilere denir.

6 Türev kavramına yol açan problemler Bir maddesel noktanın s f (t) yasasına göre bir yönde düz bir çizgide hareket etmesine izin verin, burada t zamandır ve s, t zamanındaki nokta tarafından kat edilen yoldur Belirli bir anı not edin

Anlatım 3. Belirsiz integral. Ters türev ve belirsiz integral Diferansiyel hesapta problem çözülür: belirli bir f () fonksiyonu için türevini (veya diferansiyelini) bulun. Integral hesabı

1 Anlatım 7 Yüksek mertebeden türevler ve diferansiyeller Özet: Türevlenebilir fonksiyon kavramı tanıtılır, birinci diferansiyelin geometrik yorumu verilir ve değişmezliği kanıtlanır

Birkaç bağımsız değişkenin işlevleri Bazı yasalara göre X kümesindeki her x öğesi için bir işlev kavramı y \u003d f (x) Y kümesinden her sayı çiftine y değişkeninin tek bir değeri ile ilişkilendirilir

VPBelkin tarafından derlenmiştir 1 Ders 1 Birkaç değişkenin işlevi 1 Temel kavramlar Bir değişkenin değişkenler 1'e bağımlılığı \u003d f (1, n), n, n bağımsız değişken 1'in bir işlevi olarak adlandırılır, n Aşağıda, ele alacağız

DİFERANSİYEL DENKLEMLER Genel kavramlar Diferansiyel denklemlerin mekanik, fizik, astronomi, teknoloji ve yüksek matematiğin diğer dallarında (örneğin,

I Birkaç değişkenli bir fonksiyonun tanımı Tanım alanı Birçok fenomeni incelerken, iki veya daha fazla bağımsız değişkenin fonksiyonları ile ilgilenmek gerekir.Örneğin, belirli bir anda vücut ısısı

Ders 8 Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange ve L'Hospital teoremleri

SA Lavrenchenko wwwlawrencenkoru Ders 4 Karmaşık fonksiyonların türevlenmesi Örtük türev alma Zincir kuralı olarak da adlandırılan tek değişkenli fonksiyonlar için türev alma kuralını hatırlayın (bkz.

Bölüm Bir ve birkaç değişkenli fonksiyonların diferansiyel hesabı Gerçek argüman fonksiyonu Gerçek sayılar Pozitif tam sayılara doğal sayılar denir Doğal sayılara ekleyin

Atölye: “Bir fonksiyonun türevlenebilirliği ve diferansiyeli” y f () fonksiyonunun bir noktada sonlu türevi varsa, fonksiyonun bu noktadaki artışı şu şekilde temsil edilebilir: y (,) f () () (), nerede

Ders 2. dereceden diferansiyel denklemler. 2. dereceden ana diferansiyel denklem türleri ve çözümleri Diferansiyel denklemler, matematikte en yaygın yöntemlerden biridir.

KONU 1 TÜREV FONKSİYON DİFERANSİYEL FONKSİYON PROGRAMI SORULAR: 11 Fonksiyonel bağlantı Fonksiyon limiti 1 Fonksiyon türevi 1 Türevin mekanik fiziksel ve geometrik anlamı 14 Temel

Mİ N İ STER S T O E D U R A O V A N A I A N A U K I R O S I O Y F E D E R A T I O N FEDERAL DEVLET ÖZERK EĞİTİM YÜKSEKÖĞRETİM KURULUŞU "Ulusal Araştırma

DİSİPLİN "Yüksek Matematik" dersi, dönem Yazışma formu çalışma KONU Matris Cebiri

V.V. Zhuk, A.M. Kamachkin Çok değişkenli fonksiyonların türevlenebilirliği. Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilirliği. Kısmi türevler cinsinden türevlenebilirlik için yeterli koşullar. karmaşık farklılaşma

Bölüm 4 Bir Fonksiyonun Limiti 4 1 BİR FONKSİYON LİMİTİ KAVRAMI Bu bölüm, bir fonksiyonun limiti kavramına odaklanır. Bir fonksiyonun sonsuzdaki limitinin ne olduğu ve sonra bir noktadaki limitin ne olduğu tanımlandı, limitler

DERSİ 23 KANONİK DÖNÜŞÜMLER. FAZ HACİMİN KORUMASI ÜZERİNE LIOUVILLE TEOREM. SERBEST DÖNÜŞÜM OLUŞTURMA FONKSİYONU Kanonik dönüşümleri incelemeye devam ediyoruz. Önce ana şeyi hatırlayalım

Matematik ve Enformatik Bölümü Matematiksel analiz Uzaktan teknoloji kullanımı ile eğitim gören HPE öğrencileri için eğitimsel ve metodolojik kompleks Modül 3 Birinin diferansiyel fonksiyonlarının hesabı

55, ρ n (,) ile karşılaştırıldığında daha yüksek bir küçüklük derecesine sahip sonsuz küçük bir değerdedir, burada ρ () + (), o zaman Peano biçiminde temsil edilebilir n R, ρ Örnek n için Taylor formülünü şu şekilde yazın

Konu Belirli integral Belirli integral Belirli integral kavramına yol açan problemler Eğrisel bir yamuğun alanını hesaplama sorunu Oxy koordinat sisteminde eğrisel bir yamuk verilir,

5 Kuvvet serileri 5 Kuvvet serileri: tanımı, yakınsaklık alanı (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) sayılara kuvvet serileri denir Sayılar

Sayısal dizi Sayısal dizi Opr Sayısal dizi, x doğal sayılar kümesinde tanımlanan sayısal bir işlevdir - x =, x =, x =, x = dizisinin ortak bir üyesi

Diferansiyel denklemler ders 4 Toplam diferansiyellerde denklemler. İntegral faktörü Öğretim Üyesi Anna Igorevna Sherstneva 9. Toplam diferansiyellerde denklemler d + d = 14 denklemine denklem denir

Metalurji Fakültesi Yüksek Matematik Bölümü

Matematiksel analiz Bölüm: Birkaç değişkenin fonksiyonu Konu: FNP'nin türevlenebilirliği (son. Kompleks FNP'nin kısmi türevleri ve diferansiyelleri. Örtük fonksiyonların türevlenmesi Öğretim Üyesi Rozhkova S.V.

(Fermat teoremi - Darboux teoremi - Rolle teoremi - Lagrange teoremi ortalama değer teoremi - ortalama değer teoreminin geometrik yorumu - Cauchy teoremi - sonlu artış formülü - L'Hopital kuralı

Bölüm 4 Diferansiyel hesabın temel teoremleri Belirsizliklerin gösterimi Diferansiyel hesabın temel teoremleri Fermat teoremi (Pierre Fermat (6-665) Fransız matematikçi) Eğer y f fonksiyonu

DERSİ 7 BİR DEĞİŞKENLİ BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYEL HESAPLANMASI 1 Bir fonksiyonun türevi kavramı

Belarus Cumhuriyeti Eğitim Bakanlığı Vitebsk Devlet Teknoloji Üniversitesi Konu. "Satırlar" Teorik ve Uygulamalı Matematik Bölümü. Doç. E.B. Dunina. Ana

Ders 3 Taylor ve Maclaurin serileri Kuvvet serilerinin uygulanması Fonksiyonların kuvvet serilerine genişletilmesi Taylor ve Maclaurin serileri Uygulamalar için, verilen bir fonksiyonu kuvvet serilerine, bu fonksiyonlara genişletebilmek önemlidir.

58 Belirli integral () fonksiyonu aralıkta verilsin.Bu gerekli olmasa da fonksiyonu sürekli olarak kabul edeceğiz.Şu koşulu sağlayan 3, n- aralığında rasgele sayılar seçiyoruz:

Yüksek mertebeden diferansiyel denklemler. Konev V.V. Ders özetleri. İçindekiler 1. Temel kavramlar 1 2. Mertebe indirgemeye izin veren denklemler 2 3. Daha yüksek mertebeden lineer diferansiyel denklemler

Anlatım 20 KARMAŞIK BİR FONKSİYONUN TÜREVİ ÜZERİNE TEOREM. y = f(u) ve u= u(x) olsun. x: y = f(u(x)) argümanına bağlı olarak bir y fonksiyonu elde ederiz. Son işleve, bir işlevin işlevi veya karmaşık bir işlev denir.

Bir örtük fonksiyonun türevi (,) = C (C = const) fonksiyonunu düşünün Bu denklem bir örtük fonksiyonu tanımlar () Diyelim ki bu denklemi çözdük ve açık bir ifade bulduk = () Şimdi yapabiliriz

Moskova Havacılık Enstitüsü (Ulusal Araştırma Üniversitesi) Yüksek Matematik Bölümü Limitler Türevler Çeşitli değişkenlerin fonksiyonları Kılavuzlar ve kontrol seçenekleri

LABORATUVAR ÇALIŞMASI 7 GENEL FONKSİYONLAR I. TEMEL KAVRAMLAR VE TEoremler D ile gerçek bir değişkenin tüm sonsuz türevlenebilir sonlu fonksiyonlarının kümesini gösteriniz. BT

Bölüm 3. Türev yardımıyla fonksiyonların incelenmesi 3.1. Ekstremler ve monotonluk I R aralığında tanımlanmış bir y = f () fonksiyonunu düşünün.

Moskova Devlet Teknik Üniversitesi, N.E. Bauman Temel Bilimler Fakültesi Matematiksel Modelleme Bölümü A.Н. kanatnikov,

RGR'nin konuyla ilgili yönergeleri ve çeşitleri Özel Tasarım öğrencileri için çeşitli değişkenlerin işlevi. Miktarların değerleri belirlenerek ve birbirinden bağımsız olarak miktar benzersiz olarak belirlenirse,

Moskova Devlet Teknik Üniversitesi, N.E. Bauman Temel Bilimler Fakültesi Matematiksel Modelleme Bölümü A.Н. Kanatnikov, A.P. Krişenko

YÜKSEK MATEMATİK DERSİNDE HESAPLAMA GÖREVLERİ İÇİN METODOLOJİK TALİMATLAR "ORDINRY DİFERANSİYEL DENKLEMLER SERİSİ ÇİFT ENTEGRALLER" BÖLÜM III TEMEL SERİSİ İçindekiler Seri Sayısal seriler Yakınsama ve diverjans

İşlev sınırı. Sayı Sıra Sınır Tanımı. Sonsuz bir sayısal dizi (ya da basitçe sayısal bir dizi), bir f f fonksiyonudur (, tüm

Anlatım 19 TÜREV VE UYGULAMALARI. TÜREVİN TANIMI. Bir aralıkta tanımlanmış bir y=f(x) fonksiyonumuz olsun. Bu aralıktaki x bağımsız değişkeninin her değeri için, y=f(x) işlevi

Birkaç değişkenli fonksiyonların diferansiyel hesabı Birkaç değişkenli fonksiyonlar Bir miktar, bir X kümesine ait her M n noktasına atanmışsa, n değişkenlerinin bir fonksiyonu olarak adlandırılır.

DERS N 7. Güç

Anlatım 3 Bir skaler denklemin çözümü için varlık ve teklik teoremi Problemin ifadesi Ana sonuç Cauchy problemini düşünün d f () d =, () =

Federal Eğitim Ajansı Moskova Devlet Jeodezi ve Haritacılık Üniversitesi (MIIGAiK) YÜKSEK MATEMATİK kursunda BAĞIMSIZ ÇALIŞMA İÇİN METODOLOJİK TALİMATLAR VE GÖREVLER