A boyutunda bir matris düşünün.

bir=
İçinde k satır ve k sütun seçin (
).

Tanım 26:Küçük A matrisinin k. mertebesine determinant denir Kare matris, içinde verilen seçimden kaynaklanır.

k satır ve k sütun.

Tanım 27:rütbe matris, minörlerinin sıfırdan farklı mertebelerinin en büyüğü r(A) olarak adlandırılır.

Tanım 28: Sırası, rütbesi ile aynı olan küçüklere denir. temel küçük.

Beyan:

1. Sıra bir tamsayı olarak ifade edilir.(
)

2.r=0,
A sıfır olduğunda.

Matrislerin temel dönüşümleri.

Matrislerin temel dönüşümleri aşağıdakileri içerir:

1) matrisin herhangi bir satırının (sütununun) tüm elemanlarının aynı sayı ile çarpımı.

2) matrisin herhangi bir satırının (sütununun) elemanlarına, aynı sayı ile çarpılan başka bir satırın (sütun) karşılık gelen elemanlarının eklenmesi;

3) matrisin satırlarının (sütunlarının) permütasyonu;

4) sıfır satırının (sütun) atılması;

5) matris satırlarının karşılık gelen sütunlarla değiştirilmesi.

Tanım 29: Temel dönüşümler altında birbirinden elde edilen matrislere eşdeğer matrisler denir ve “~” ile gösterilir.

Eşdeğer matrislerin ana özelliği: Eşdeğer matrislerin rankları eşittir.

Örnek 18: r(A) hesaplayın,

Çözüm:İlk satırı adım adım (-4)(-2) ile çarpın

(-7) ve ardından sırasıyla ikinci, üçüncü ve dördüncü satırlara ekleyin.

~

ikinci ve dördüncü satırları değiştir
ikinci satırı (-2) ile çarpın ve dördüncü satıra ekleyin; ikinci ve üçüncü satırları ekleyin.

üçüncü ve dördüncü satırları ekleyin.

~
boş satırı at

~
r(A)=3
orijinal matris sıralaması

üçe eşittir.

Tanım 30: Ana köşegenin tüm elemanları varsa, A matrisine adım matrisi diyoruz. 0 ve ana köşegenin altındaki elemanlar sıfırdır.

Cümle:

1) adım matrisinin sırası, satır sayısına eşittir;

2) herhangi bir matris, temel dönüşümler yardımıyla bir adım formuna indirgenebilir.

Örnek 19: matrisinin hangi değerlerinde
rankı bire eşit mi?

Çözüm:İkinci dereceden determinant sıfıra eşitse, yani sıra bire eşittir.

§6. Genel formun lineer denklem sistemleri.

görüntüleme sistemi
---(9) genel form sistemi olarak adlandırılır.

Tanım 31: Birinci sistemin her çözümü ikincinin bir çözümü ise ve bunun tersi ise iki sistemin eşdeğer (eşdeğer) olduğu söylenir.

Sistem (1)'de matris A=
sistemin ana matrisi olarak adlandırılacak ve =
genişletilmiş matris sistemi

Teorem. Kronecker-Cappelli

Sistemin (9) tutarlı olması için, sistemin ana matrisinin rankının genişletilmiş matrisin rankına eşit olması gerekli ve yeterlidir, yani r(A)=r( )

Teorem 1. Tutarlı bir sistemin matrisinin rankı bilinmeyenlerin sayısına eşitse, sistemin benzersiz bir çözümü vardır.

Teorem 2. Bir eklem sisteminin matrisinin rankı bilinmeyenlerin sayısından küçükse, sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır.

Keyfi bir lineer denklem sistemini çözme kuralı:

1) sistemin ana ve genişletilmiş matrislerinin sıralarını bulun. Eğer bir
, o zaman sistem tutarsız.

2) Eğer
=r, o zaman sistem tutarlıdır. r mertebesinden bazı temel minör bulun. Matrisin sıralamasının belirlendiği temel küçük diyeceğiz.

Katsayıları temel minörde yer alan bilinmeyenler ana (temel) olarak adlandırılır ve solda bırakılır, kalan bilinmeyenler ise serbest olarak adlandırılır ve denklemin sağ tarafına aktarılır.

3) Temel bilinmeyenlerin serbest olanlar cinsinden ifadelerini bulun. Sistemin genel çözümü elde edilir.

Örnek 20: Sistemi araştırın ve uyumluluğu durumunda benzersiz veya genel bir çözüm bulun

Çözüm: 1) T. Kronecker-Capelli'ye göre, sistemin genişletilmiş ve temel matrislerinin sıralarını buluyoruz:

~
~

~
~
ana matrisin sırası iki

2) artırılmış matrisin derecesini bulun
~
~
~

3) Çözüm:
=2, o zaman sistem tutarlıdır.

Fakat

sistem belirsizdir ve sonsuz sayıda çözümü vardır.

4) Temel bilinmeyenler ve , temel minöre ait oldukları için ve - ücretsiz bilinmeyen.

İzin vermek =c, burada c herhangi bir sayıdır.

5) Son matris sisteme karşılık gelir

6) Cevap:

7) Doğrulama: Tüm bilinmeyenlerin bulunduğu orijinal sistemin herhangi bir denkleminde bulunan değerleri yerine koyarız.

Bir matris verilsin:

.

Bu matriste seçin keyfi çizgiler ve keyfi sütunlar
. Daha sonra determinant matris elemanlarından oluşan inci mertebe
seçilen satırların ve sütunların kesişiminde bulunana küçük denir -inci sıra matrisi
.

Tanım 1.13. matris sıralaması
bu matrisin sıfır olmayan minörünün en büyük mertebesidir.

Bir matrisin derecesini hesaplamak için, en küçük mertebedeki tüm minörleri dikkate alınmalı ve bunlardan en az biri sıfır değilse, en yüksek mertebeden minörlerin değerlendirilmesine geçilmelidir. Bir matrisin sırasını belirlemeye yönelik bu yaklaşıma, sınırlayıcı yöntem (veya sınırlayıcı küçükler yöntemi) adı verilir.

Görev 1.4. Küçükleri sınırlandırma yöntemiyle, bir matrisin sırasını belirleyin
.

.

Birinci dereceden sınırlamayı düşünün, örneğin,
. Ardından, ikinci derecenin bazı sınırlarının dikkate alınmasına dönüyoruz.

Örneğin,
.

Son olarak üçüncü mertebenin bordürünü inceleyelim.

.

Böylece, en yüksek mertebe sıfır olmayan küçük 2, yani
.

Problem 1.4'ü çözerken, ikinci dereceden sınırdaki küçüklerin serisinin sıfır olmadığı fark edilebilir. Bu bağlamda, aşağıdaki kavram gerçekleşir.

Tanım 1.14. Bir matrisin temel minörü, sırası matrisin derecesine eşit olan sıfır olmayan herhangi bir minördür.

Teorem 1.2.(Temel minör teoremi). Temel satırlar (temel sütunlar) doğrusal olarak bağımsızdır.

Bir matrisin satırlarının (sütunlarının), ancak ve ancak bunlardan en az birinin diğerlerinin doğrusal bir kombinasyonu olarak temsil edilebilmesi durumunda doğrusal olarak bağımlı olduğuna dikkat edin.

Teorem 1.3. Lineer bağımsız matris satırlarının sayısı, lineer bağımsız matris sütunlarının sayısına ve matrisin rankına eşittir.

Teorem 1.4.(Determinantın sıfıra eşit olması için gerekli ve yeterli koşul). Determinant için -inci sıra sıfıra eşitse, satırlarının (sütunlarının) lineer bağımlı olması gerekli ve yeterlidir.

Tanımına göre bir matrisin derecesini hesaplamak çok zahmetlidir. Bu, özellikle yüksek dereceli matrisler için önemli hale gelir. Bu bağlamda, pratikte, bir matrisin sırası, 10.2 - 10.4 Teoremlerinin uygulanmasına ve ayrıca matris denkliği ve temel dönüşüm kavramlarının kullanımına dayalı olarak hesaplanır.

Tanım 1.15. iki matris
ve sıraları eşitse eşdeğer olarak adlandırılır, yani.
.

Eğer matrisler
ve eşdeğerdir, sonra not edin
 .

Teorem 1.5. Bir matrisin rankı, temel dönüşümlerden değişmez.

Matrisin temel dönüşümlerini arayacağız
matris üzerinde aşağıdaki eylemlerden herhangi biri:

Satırları sütunlarla ve sütunları karşılık gelen satırlarla değiştirmek;

Matris satırlarının permütasyonu;

Tüm öğeleri sıfıra eşit olan bir çizgiyi geçmek;

Herhangi bir dizgeyi sıfır olmayan bir sayı ile çarpmak;

Bir satırın elemanlarına başka bir satırın karşılık gelen elemanlarının aynı sayı ile çarpılması
.

Teoremin Sonuçları 1.5. matris ise
matristen elde edilen sonlu sayıda temel dönüşüm kullanarak, ardından matrisler
ve eşdeğerdir.

Bir matrisin rankı hesaplanırken, sonlu sayıda temel dönüşüm kullanılarak yamuk biçimine indirgenmelidir.

Tanım 1.16. Sıfırdan farklı en büyük düzenin sınır minöründe, köşegenlerin altındaki tüm öğeler kaybolduğunda, bir matrisin böyle bir temsil biçimine yamuk diyeceğiz. Örneğin:

.

Burada
, matris elemanları
sıfıra çevirin. O zaman böyle bir matrisin temsil şekli yamuk olacaktır.

Kural olarak, Gauss algoritması kullanılarak matrisler yamuk şekline indirgenir. Gauss algoritmasının fikri, matrisin ilk satırının öğelerini karşılık gelen faktörlerle çarparak, ilk sütunun tüm öğelerinin öğenin altında yer almasını sağlamalarıdır.
, sıfıra dönecekti. Ardından, ikinci sütunun öğelerini karşılık gelen çarpanlarla çarparak, ikinci sütunun tüm öğelerinin öğenin altında yer almasını sağlarız.
, sıfıra dönecekti. Daha da benzer şekilde devam edin.

Görev 1.5. Bir matrisin derecesini, onu yamuk biçimine indirgeyerek belirleyin.

.

Gauss algoritmasını uygulamanın rahatlığı için birinci ve üçüncü satırları değiştirebilirsiniz.








.

Açıkçası burada
. Ancak sonucu daha zarif bir forma getirmek için sütunlar üzerinde daha fazla dönüşüme devam edilebilir.










.

Bir matrisin rankı önemli bir sayısal karakteristik. Bir matrisin sırasını bulmayı gerektiren en tipik problem, bir lineer cebirsel denklem sisteminin uyumluluğunu kontrol etmektir. Bu yazıda, bir matrisin rankı kavramını vereceğiz ve onu bulma yöntemlerini ele alacağız. Malzemenin daha iyi özümsenmesi için birkaç örneğin çözümlerini ayrıntılı olarak analiz edeceğiz.

Sayfa gezintisi.

Bir matrisin rankının belirlenmesi ve gerekli ek kavramlar.

Bir matrisin rankının tanımını dile getirmeden önce, minör kavramının iyi anlaşılması gerekir ve bir matrisin minörlerini bulmak, determinantı hesaplama yeteneğini ifade eder. Bu nedenle, gerekirse, makalenin teorisini, matris determinantını bulma yöntemlerini, determinantın özelliklerini hatırlamanızı öneririz.

mertebeden bir A matrisi alın. k, m ve n sayılarının en küçüğünü geçmeyen bir doğal sayı olsun, yani, .

Tanım.

Küçük k. sıra A matrisi, önceden seçilmiş k satır ve k sütunda bulunan A matrisinin elemanlarından oluşan mertebeden kare matrisin determinantıdır ve A matrisinin elemanlarının konumu korunur.

Başka bir deyişle, A matrisindeki (p–k) satırları ve (n–k) sütunlarını siler ve kalan elemanlardan, A matrisinin elemanlarının düzenini koruyarak bir matris oluşturursak, elde edilen matrisin determinantı ​​A matrisinin k mertebesinden bir minör.

Bir örnek kullanarak bir matris minör tanımına bakalım.

matrisi düşünün .

Bu matrisin birkaç birinci dereceden küçüklerini yazalım. Örneğin, A matrisinin üçüncü satırını ve ikinci sütununu seçersek, seçimimiz birinci dereceden bir minöre karşılık gelir. . Başka bir deyişle, bu minörü elde etmek için, A matrisinden birinci ve ikinci satırların yanı sıra birinci, üçüncü ve dördüncü sütunların üzerini çizdik ve kalan elemandan determinantı oluşturduk. A matrisinin ilk satırını ve üçüncü sütununu seçersek, o zaman bir minör elde ederiz. .

Birinci dereceden küçükleri elde etme prosedürünü gösterelim
ve .

Böylece, bir matrisin birinci dereceden küçükleri, matris elemanlarının kendileridir.

İkinci dereceden birkaç küçük gösterelim. İki satır ve iki sütun seçin. Örneğin, birinci ve ikinci satırları ve üçüncü ve dördüncü sütunları alın. Bu seçimle, ikinci dereceden bir minörümüz var . Bu minör, A matrisinden üçüncü satır, birinci ve ikinci sütunlar silinerek de oluşturulabilir.

A matrisinin başka bir ikinci dereceden minörü .

Bu ikinci dereceden küçüklerin yapısını örnekleyelim.
ve .

A matrisinin üçüncü dereceden küçükleri benzer şekilde bulunabilir. A matrisinde sadece üç satır olduğu için hepsini seçiyoruz. Bu satırlar için ilk üç sütunu seçersek, üçüncü dereceden bir minör elde ederiz.

A matrisinin son sütunu silinerek de oluşturulabilir.

Başka bir üçüncü dereceden küçük

A matrisinin üçüncü sütunu silinerek elde edilir.

İşte bu üçüncü dereceden küçüklerin yapımını gösteren bir çizim
ve .

Belirli bir A matrisi için, üçüncüden daha yüksek mertebeden minörler yoktur, çünkü .

A mertebesinden matrisin kaç k-inci mertebeden küçükleri vardır?

k dereceli küçüklerin sayısı şu şekilde hesaplanabilir: ve - sırasıyla p'den k'ye ve n'den k'ye kombinasyon sayısı.

n üzerinde p dereceli A matrisinin k dereceli tüm küçükleri nasıl oluşturulur?

Bir dizi matris satır numarasına ve bir dizi sütun numarasına ihtiyacımız var. Her şeyi kaydetmek p elemanlarının k ile kombinasyonları(k dereceli bir minör oluşturulurken A matrisinin seçilen satırlarına karşılık geleceklerdir). Her satır numarası kombinasyonuna, k sütun numarasına göre n elemanın tüm kombinasyonlarını sırayla ekliyoruz. A matrisinin satır numaraları ve sütun numaralarının bu kombinasyonları, k düzeyindeki tüm minörlerin oluşturulmasına yardımcı olacaktır.

Bir örnek alalım.

Örnek.

Matrisin tüm ikinci dereceden küçüklerini bulun.

Çözüm.

Orijinal matrisin sırası 3'e 3 olduğundan, toplam ikinci dereceden küçükler olacaktır. .

A matrisinin 3 ila 2 satır numaralarının tüm kombinasyonlarını yazalım: 1, 2; 1, 3 ve 2, 3. 3'e 2 sütun numaralarının tüm kombinasyonları 1, 2'dir; 1, 3 ve 2, 3.

A matrisinin birinci ve ikinci satırlarını alın. Bu satırlar için birinci ve ikinci sütunları, birinci ve üçüncü sütunları, ikinci ve üçüncü sütunları seçerek sırasıyla küçükleri elde ederiz.

Benzer sütun seçeneklerine sahip birinci ve üçüncü satırlar için,

İkinci ve üçüncü satırlara birinci ve ikinci, birinci ve üçüncü, ikinci ve üçüncü sütunları eklemeye devam ediyor:

Böylece, A matrisinin ikinci mertebesinden dokuz minörün tümü bulunur.

Şimdi matrisin rankını belirlemeye geçebiliriz.

Tanım.

matris sıralaması sıfır olmayan matris minörünün en yüksek mertebesidir.

A matrisinin rankı Rank(A) olarak gösterilir. Rg(A) veya Rang(A) tanımlarını da görebilirsiniz.

Bir matrisin rankının ve bir matrisin minörünün tanımlarından, sıfır matrisinin rankının sıfıra eşit olduğu ve sıfır olmayan bir matrisin rankının en az bir olduğu sonucuna varabiliriz.

Tanıma göre bir matrisin rankını bulma.

Bu nedenle, bir matrisin rankını bulmanın ilk yöntemi şudur: küçük numaralandırma yöntemi. Bu yöntem matrisin rankının belirlenmesine dayanmaktadır.

A mertebesinden bir matrisin rankını bulalım.

Kısaca açıkla algoritma küçüklerin sayımı yöntemi ile bu sorunun çözümü.

Sıfır olmayan en az bir matris elemanı varsa, matrisin rankı en az bire eşittir (çünkü sıfıra eşit olmayan birinci dereceden bir minör vardır).

Ardından, ikinci dereceden küçükler üzerinde yineleniriz. Tüm ikinci dereceden küçükler sıfıra eşitse, matrisin sırası bire eşittir. En az bir sıfır olmayan ikinci dereceden küçük varsa, üçüncü dereceden küçüklerin numaralandırılmasına geçilir ve matrisin sırası en az ikiye eşittir.

Benzer şekilde, tüm üçüncü dereceden küçükler sıfırsa, matrisin sırası ikidir. En az bir sıfır olmayan üçüncü dereceden küçük varsa, matrisin sırası en az üçtür ve dördüncü dereceden küçüklerin sayımına geçiyoruz.

Bir matrisin rankının p ve n'nin en küçüğünü aşamayacağını unutmayın.

Örnek.

Bir matrisin sırasını bulun .

Çözüm.

Matris sıfır olmadığı için sıralaması birden az değildir.

İkinci dereceden küçük sıfırdan farklıdır, bu nedenle, A matrisinin rankı en az ikidir. Üçüncü dereceden küçüklerin sayımına geçiyoruz. Hepsi şeyler.

Tüm üçüncü dereceden küçükler sıfıra eşittir. Bu nedenle, matrisin sırası ikidir.

Cevap:

Sıra(A) = 2 .

Küçükleri saçaklama yöntemiyle bir matrisin rankını bulma.

Daha az hesaplama çalışmasıyla sonucu elde etmenizi sağlayan bir matrisin sırasını bulmak için başka yöntemler de vardır.

Bu yöntemlerden biri saçaklama minör yöntemi.

ilgilenelim sınırdaki küçük kavramı.

Minör M ok'a karşılık gelen matris, minör M ok'a karşılık gelen matrisi "içeriyorsa", matris A'nın (k+1)'inci mertebesindeki minör M ok'un, A matrisinin k mertebesindeki minör M'yi çevrelediği söylenir. M .

Başka bir deyişle, kenarlı minör M'ye karşılık gelen matris, bir satır ve bir sütunun elemanları silinerek sınırlayıcı minör M ok'a karşılık gelen matristen elde edilir.

Örneğin, matrisi düşünün ve ikinci dereceden bir minör alın. Sınırdaki tüm küçükleri yazalım:

Küçükleri sınırlama yöntemi aşağıdaki teorem ile doğrulanır (formülasyonunu kanıtsız sunuyoruz).

Teorem.

Eğer p ile n mertebesine sahip bir A matrisinin k-inci mertebeden minörünü çevreleyen tüm minörler sıfıra eşitse, bu durumda A matrisinin (k + 1) mertebesinden tüm minörleri sıfıra eşittir.

Bu nedenle, bir matrisin rankını bulmak için, yeterince bordering olan tüm minörleri numaralandırmak gerekli değildir. A mertebesinden matrisin k'inci mertebeden minörünü çevreleyen minörlerin sayısı formülle bulunur. . A matrisinin k-inci dereceden minörünü, A matrisinin (k+1)-inci dereceden minörlerinden daha fazla sınırlayan minör olmadığına dikkat edin. Bu nedenle, çoğu durumda, küçükleri sınırlama yöntemini kullanmak, tüm küçüklerin basitçe numaralandırılmasından daha karlıdır.

Küçükleri saçaklama yöntemiyle bir matrisin rankını bulmaya devam edelim. Kısaca açıkla algoritma Bu method.

A matrisi sıfır değilse, o zaman A matrisinin sıfırdan farklı herhangi bir öğesini birinci dereceden küçük olarak alırız. Sınırdaki küçükleri düşünüyoruz. Hepsi sıfıra eşitse, matrisin sırası bire eşittir. En az bir sıfır olmayan sınır çocuğu varsa (sıralaması ikiye eşittir), o zaman sınırdaki küçüklerin değerlendirilmesine geçiyoruz. Hepsi sıfırsa, Rank(A) = 2 . Sınırdaki en az bir çocuk sıfır değilse (sıralaması üçe eşittir), o zaman sınırdaki küçükleri dikkate alırız. Ve benzeri. Sonuç olarak, A matrisinin (k + 1). mertebesindeki tüm sınırlayıcı minörler sıfıra eşitse Rank(A) = k veya sıfır olmayan bir varsa Rank(A) = min(p, n) olur. minör sıradaki minör (min( p, n) – 1) .

Bir örnek kullanarak bir matrisin sırasını bulmak için küçükleri sınırlama yöntemini analiz edelim.

Örnek.

Bir matrisin sırasını bulun sınırlayıcı küçükler yöntemiyle.

Çözüm.

A matrisinin a 1 1 elemanı sıfır olmadığı için, onu birinci dereceden küçük olarak alıyoruz. Sıfırdan farklı bir sınırlayıcı minör aramaya başlayalım:

Sıfırdan farklı ikinci dereceden bir minör bulundu. Sınırındaki küçükleri (onların şeyler):

İkinci dereceden minörü çevreleyen tüm minörler sıfıra eşittir, bu nedenle A matrisinin rankı ikiye eşittir.

Cevap:

Sıra(A) = 2 .

Örnek.

Bir matrisin sırasını bulun sınırdaki küçüklerin yardımıyla.

Çözüm.

Birinci mertebeden sıfır olmayan bir minör olarak, A matrisinin a 1 1 = 1 öğesini alıyoruz. İkinci dereceden küçük saçak sıfıra eşit değildir. Bu reşit olmayan üçüncü dereceden bir reşit tarafından sınırlanmıştır
. Sıfıra eşit olmadığı ve onun için bir sınırlayıcı minör olmadığı için, A matrisinin rankı üçe eşittir.

Cevap:

Sıra(A) = 3 .

Matrisin temel dönüşümlerini kullanarak sıra bulma (Gauss yöntemiyle).

Bir matrisin rankını bulmanın başka bir yolunu düşünün.

Aşağıdaki matris dönüşümleri temel olarak adlandırılır:

• matrisin satırlarının (veya sütunlarının) permütasyonu;
• matrisin herhangi bir satırının (sütununun) tüm elemanlarının sıfırdan farklı rastgele bir k sayısı ile çarpımı;
• herhangi bir satırın (sütun) elemanlarına, matrisin başka bir satırının (sütununun) karşılık gelen elemanlarının eklenmesi, keyfi bir k sayısı ile çarpılır.

Matris B, matris A'ya eşdeğer olarak adlandırılır, B, A'dan sonlu sayıda temel dönüşüm yardımıyla elde edilirse. Matrislerin denkliği "~" sembolü ile gösterilir, yani A ~ B şeklinde yazılır.

Temel matris dönüşümlerini kullanarak bir matrisin sırasını bulmak şu ifadeye dayanır: B matrisi, A matrisinden sonlu sayıda temel dönüşüm kullanılarak elde edilirse, Sıra(A) = Sıra(B) .

Bu ifadenin geçerliliği, matris determinantının özelliklerinden kaynaklanmaktadır:

• Bir matrisin satırları (veya sütunları) değiştirildiğinde, determinantı işaret değiştirir. Sıfıra eşitse, satırlara (sütunlara) izin verilirken sıfıra eşit kalır.
• Matrisin herhangi bir satırının (sütununun) tüm öğelerini sıfırdan farklı bir k sayısıyla çarparken, ortaya çıkan matrisin determinantı, k ile çarpılan orijinal matrisin determinantına eşittir. Orijinal matrisin determinantı sıfıra eşitse, herhangi bir satır veya sütunun tüm öğelerini k sayısıyla çarptıktan sonra, ortaya çıkan matrisin determinantı da sıfıra eşit olacaktır.
• Matrisin belirli bir satırının (sütununun) öğelerine, matrisin başka bir satırının (sütununun) karşılık gelen öğelerinin belirli bir k sayısı ile çarpılması, determinantını değiştirmez.

Temel dönüşümler yönteminin özü rütbesini bulmamız gereken matrisi, temel dönüşümleri kullanarak bir yamuğa (belirli bir durumda, bir üst üçgen olana) getirmektir.

Bu ne için? Bu tür matrislerin rankını bulmak çok kolaydır. En az bir boş olmayan öğe içeren satır sayısına eşittir. Ve elementer dönüşümler sırasında matrisin rankı değişmediğinden, elde edilen değer orijinal matrisin rankı olacaktır.

Biri dönüşümlerden sonra elde edilmesi gereken matrislerin çizimlerini veriyoruz. Formları matrisin sırasına bağlıdır.

Bu çizimler, A matrisini dönüştüreceğimiz şablonlardır.

tarif edelim yöntem algoritması.

Sıfır olmayan bir A matrisinin sırasını bulmamız gerektiğini varsayalım (p, n'ye eşit olabilir).

Yani, . A matrisinin ilk satırının tüm öğelerini ile çarpalım. Bu durumda, eşdeğer bir matris elde ederiz, bunu A (1) :

Ortaya çıkan A (1) matrisinin ikinci satırının öğelerine, ilk satırın karşılık gelen öğelerini çarparak ekliyoruz. Üçüncü satırın öğelerine, ilk satırın karşılık gelen öğelerini çarparak ekleyin. Ve böylece p-th satırına kadar. Eşdeğer bir matris elde ederiz, bunu A (2) olarak ifade edin:

Ortaya çıkan matrisin ikinciden p-th'ye kadar olan satırlardaki tüm öğeleri sıfıra eşitse, bu matrisin sırası bire eşittir ve sonuç olarak orijinal matrisin sırası bire eşittir. .

İkinciden p-th'e kadar olan satırlarda en az bir sıfır olmayan eleman varsa, dönüşümleri gerçekleştirmeye devam ederiz. Ayrıca, tam olarak aynı şekilde hareket ederiz, ancak yalnızca Şekil (2)'de işaretlenmiş olan A matrisinin parçası ile.

ise, A (2) matrisinin satırlarını ve (veya) sütunlarını "yeni" öğe sıfır olmayacak şekilde yeniden düzenleriz.

Herhangi bir matris A emir m×n koleksiyon olarak görülebilir m satır vektörleri veya n sütun vektörleri.

rütbe matrisler A emir m×n maksimum lineer bağımsız sütun vektörleri veya satır vektörleri sayısıdır.

Matrisin rankı ise A eşittir r, sonra yazılır:

Bir matrisin rankını bulma

İzin vermek A keyfi sıra matrisi m× n. Bir matrisin rankını bulmak için A Gauss eleme yöntemini ona uygulayın.

Elemenin bir aşamasında, baştaki öğe sıfıra eşit olursa, bu dizgiyi, önde gelen öğenin sıfırdan farklı olduğu bir dizeyle değiştireceğimize dikkat edin. Böyle bir satır olmadığı ortaya çıkarsa, bir sonraki sütuna geçiyoruz vb.

Gauss eliminasyonunun ileri hareketinden sonra, ana köşegenin altındaki elemanları sıfıra eşit olan bir matris elde ederiz. Ayrıca boş satır vektörleri olabilir.

Sıfır olmayan satır vektörlerinin sayısı matrisin sırası olacaktır. A.

Tüm bunlara basit örneklerle bakalım.

örnek 1

İlk satırı 4 ile çarpıp ikinci satıra ekleyerek ve ilk satırı 2 ile çarparak üçüncü satıra ekleyerek:

İkinci satırı -1 ile çarpın ve üçüncü satıra ekleyin:

Sıfır olmayan iki satırımız var ve bu nedenle matrisin sırası 2'dir.

Örnek 2

Aşağıdaki matrisin rankını bulunuz:

İlk satırı -2 ile çarpın ve ikinci satıra ekleyin. Benzer şekilde, ilk sütunun üçüncü ve dördüncü satırlarının öğelerini sıfıra ayarlayın:

İkinci sütuna karşılık gelen satırları -1 sayısı ile çarparak ikinci sütunun üçüncü ve dördüncü satırlarının elemanlarını sıfırlayalım.

Her matriste iki sıra ilişkilendirilebilir: bir sıra sırası (satır sisteminin sırası) ve bir sütun sırası (sütun sisteminin sırası).

teorem

Bir matrisin satır sırası, sütun sıralamasına eşittir.

matris sıralaması

Tanım

matris sıralaması$A$, satır veya sütun sisteminin sıralamasıdır.

$\operatorname(rang) A$ ile gösterilir

Pratikte, bir matrisin rankını bulmak için aşağıdaki ifade kullanılır: Bir matrisin rankı, matris basamaklı bir forma indirgendikten sonra sıfır olmayan satırların sayısına eşittir.

Bir matrisin satırları (sütunları) üzerindeki temel dönüşümler, sırasını değiştirmez.

Bir adım matrisinin sırası, sıfır olmayan satırlarının sayısına eşittir.

Örnek

Egzersiz yapmak. Bir matrisin rankını bulun $ A=\left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & ( 7) \ \ (10) & (18) & (40) & (17) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(dizi)\sağ) $

Çözüm. Satırları üzerinde temel dönüşümler kullanarak $A$ matrisini bir adım biçimine indirgeriz. Bunu yapmak için önce ikinci ikisini üçüncü satırdan çıkarın:

$$ A \sim \left(\begin(dizi)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & (7) \\ (2) & (2) & (4) & (3) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(dizi)\sağ) $$

İkinci satırdan, 4 ile çarpılan dördüncü satırı çıkarırız; üçüncüden - dörtte ikiden:

$$ A \sim \left(\begin(dizi)(rrrr)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (-20) & (-50) & (-5 ) \\ (0) & (-12) & (-30) & (-3) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(dizi)\sağ) $$

İlk beşi ikinci satıra, üçte üçünü üçüncü satıra ekliyoruz:

$$ A \sim \left(\begin(dizi)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(dizi)\sağ) $$

Birinci ve ikinci satırları değiştirin:

$$ A \sim \left(\begin(dizi)(cccc)(0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(dizi)\sağ) $$

$$ A \sim \left(\begin(dizi)(cccc)(1) & (7) & (17) & (3) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) & (0)\end(dizi)\sağ) \Rightarrow \operatöradı(zil) A=2 $$

Cevap.$ \operatöradı(rütbe) A=2 $

Küçük kenarlık yöntemi

Bir matrisin sırasını bulmak için başka bir yöntem bu teoreme dayanmaktadır - küçük kenarlık yöntemi. Bu yöntemin özü, alt sıralardan başlayıp üst sıralara geçerek küçükleri bulmaktır. $n$-th sıra minör sıfır değilse ve tüm $n+1$-th minörler sıfıra eşitse, matrisin rankı $n$'a eşit olacaktır.

Örnek

Egzersiz yapmak. Bir matrisin rankını bulun $ A=\left(\begin(array)(rrrr)(1) & (2) & (-1) & (-2) \\ (2) & (4) & (3) & (0 ) \\ (-1) & (-2) & (6) & (6)\end(dizi)\right) $ minör kenarlık yöntemini kullanarak.

Çözüm. Minimum düzenin küçükleri, $A$ matrisinin elemanlarına eşit olan birinci dereceden küçüklerdir. Örneğin, minör $ M_(1)=1 \neq 0 $ 'ı düşünün. ilk satırda ve ilk sütunda bulunur. İkinci satır ve ikinci sütunla sınırlayarak küçük $ M_(2)^(1)=\left| \begin(dizi)(ll)(1) & (2) \\ (2) & (4)\end(dizi)\right|=0 $ ; ikinci mertebeden başka bir minör düşünün, bunun için minör $M_1$'ı ikinci satır ve üçüncü sütun yardımıyla sınırlıyoruz, sonra minör $ M_(2)^(2)=\left| \begin(array)(rr)(1) & (-1) \\ (2) & (3)\end(array)\right|=5 \neq 0 $ , yani matrisin rankı ​en az iki. Sonra, minör $ M_(2)^(2) $ 'ı çevreleyen üçüncü dereceden küçükleri ele alıyoruz. Bu tür iki küçük vardır: üçüncü satırın ikinci sütunla veya dördüncü sütunla birleşimi. Bu küçükleri hesaplıyoruz.