Bu makale konunun çalışmasına ayrılmıştır " Rasyonel sayılar Aşağıda rasyonel sayıların tanımları, örnekleri ve bir sayının rasyonel olup olmadığının nasıl belirleneceği anlatılmaktadır.

Rasyonel sayılar. Tanımlar

Rasyonel sayıların tanımını vermeden önce, diğer sayı kümelerinin neler olduğunu ve birbirleriyle nasıl ilişkili olduklarını hatırlayalım.

Doğal sayılar, karşıtları ve sıfır sayısı ile birlikte bir tamsayılar kümesi oluşturur. Sırayla, tamsayı kesirli sayılar kümesi, rasyonel sayılar kümesini oluşturur.

Tanım 1. Rasyonel sayılar

Rasyonel sayılar, pozitif bir ortak kesir a b , negatif bir ortak kesir a b veya sıfır sayısı olarak temsil edilebilen sayılardır.

Böylece, rasyonel sayıların bir takım özelliklerini bırakabiliriz:

1. Herhangi bir doğal sayı bir rasyonel sayıdır. Açıktır ki, her doğal sayı n, 1n kesri olarak temsil edilebilir.
2. 0 dahil herhangi bir tam sayı rasyonel bir sayıdır. Gerçekten de, herhangi bir pozitif tam sayı ve negatif tam sayı, sırasıyla pozitif veya negatif bir ortak kesir olarak kolayca temsil edilebilir. Örneğin, 15 = 15 1 , - 352 = - 352 1 .
3. Herhangi bir pozitif veya negatif ortak kesir a b bir rasyonel sayıdır. Bu, doğrudan yukarıdaki tanımdan kaynaklanmaktadır.
4. Hiç karışık numara rasyoneldir. Gerçekten de, sonuçta, karışık bir sayı sıradan bir uygunsuz kesir olarak temsil edilebilir.
5. Herhangi bir sonlu veya periyodik ondalık kesir, ortak bir kesir olarak temsil edilebilir. Bu nedenle, her periyodik veya sonlu ondalık rasyonel sayıdır.
6. Sonsuz ve yinelenmeyen ondalık sayılar rasyonel sayılar değildir. Sıradan kesirler şeklinde temsil edilemezler.

Rasyonel sayılara örnekler verelim. 5 , 105 , 358 , 1100055 sayıları doğal, pozitif ve tam sayılardır. Sonuçta bunlar rasyonel sayılar. - 2 , - 358 , - 936 sayıları negatif tam sayılardır ve tanımları gereği rasyoneldirler. 3 5 , 8 7 , - 35 8 ortak kesirler de rasyonel sayılara örnektir.

Rasyonel sayıların yukarıdaki tanımı daha kısa bir şekilde formüle edilebilir. Rasyonel sayı nedir sorusuna tekrar cevap verelim.

Tanım 2. Rasyonel sayılar

Rasyonel sayılar, ± z n kesri olarak temsil edilebilen sayılardır; burada z bir tam sayıdır, n ise bir doğal sayıdır.

Gösterilebilir ki bu tanım rasyonel sayıların önceki tanımına eşdeğerdir. Bunu yapmak için, bir kesrin çubuğunun bölme işaretiyle aynı olduğunu unutmayın. Tamsayıların bölünmesinin kurallarını ve özelliklerini dikkate alarak aşağıdaki adil eşitsizlikleri yazabiliriz:

0 n = 0 ÷ n = 0 ; - m n = (- m) ÷ n = - m n .

Böylece, biri şunları yazabilir:

z n = z n , p p ve z > 0 0 , p p ve z = 0 - z n , p p ve z< 0

Aslında bu kayıt kanıttır. İkinci tanıma göre rasyonel sayılara örnekler veriyoruz. - 3 , 0 , 5 , - 7 55 , 0 , 0125 ve - 1 3 5 sayılarını göz önünde bulundurun . Tüm bu sayılar rasyoneldir, çünkü bir tam sayı ve doğal payda ile kesir olarak yazılabilirler: - 3 1 , 0 1 , - 7 55 , 125 10000 , 8 5 .

Rasyonel sayıların tanımının bir eşdeğer biçimini daha sunuyoruz.

Tanım 3. Rasyonel sayılar

Rasyonel sayı, sonlu veya sonsuz periyodik ondalık kesir olarak yazılabilen bir sayıdır.

Bu tanım, doğrudan bu paragrafın ilk tanımından kaynaklanmaktadır.

Bu öğeyle ilgili bir özeti özetlemek ve formüle etmek için:

1. Pozitif ve negatif kesirli ve tam sayılar rasyonel sayılar kümesini oluşturur.
2. Her rasyonel sayı, payı bir tam sayı ve paydası doğal bir sayı olan bir kesir olarak temsil edilebilir.
3. Her rasyonel sayı, ondalık kesir olarak da temsil edilebilir: sonlu veya sonsuz periyodik.

Hangi sayı rasyoneldir?

Daha önce öğrendiğimiz gibi, herhangi bir doğal sayı, tamsayı, düzenli ve uygun olmayan adi kesir, periyodik ve son ondalık kesir rasyonel sayılardır. Bu bilgiyle donanmış olarak, bir sayının rasyonel olup olmadığını kolayca belirleyebilirsiniz.

Bununla birlikte, pratikte, genellikle sayılarla değil, kökleri, güçleri ve logaritmaları içeren sayısal ifadelerle uğraşmak gerekir. Bazı durumlarda, "Sayı rasyonel midir?" Sorusunun cevabı. bariz olmaktan uzaktır. Gelin bu sorunun nasıl cevaplanacağına bir göz atalım.

Bir sayı, yalnızca rasyonel sayılar ve bunlar arasında aritmetik işlemler içeren bir ifade olarak verilirse, ifadenin sonucu bir rasyonel sayıdır.

Örneğin, 2 · 3 1 8 - 0 , 25 0 , (3) ifadesinin değeri bir rasyonel sayıdır ve 18'e eşittir.

Böylece, karmaşık bir sayısal ifadeyi sadeleştirmek, onun verdiği sayının rasyonel olup olmadığını belirlemenizi sağlar.

Şimdi kökün işaretiyle ilgilenelim.

m sayısının n derecesinin kökü olarak verilen m n sayısının, yalnızca m bazı doğal sayıların n'inci kuvveti olduğunda rasyonel olduğu ortaya çıkıyor.

Bir örneğe bakalım. 2 sayısı rasyonel değildir. 9, 81 ise rasyonel sayılardır. 9 ve 81, sırasıyla 3 ve 9 sayılarının tam kareleridir. 199 , 28 , 15 1 sayıları rasyonel sayılar değildir, çünkü kök işaretinin altındaki sayılar herhangi bir doğal sayının tam karesi değildir.

Şimdi daha karmaşık bir vakayı ele alalım. 243 5 sayısı rasyonel midir? 3'ü beşinci kuvvete yükseltirseniz, 243 elde edersiniz, böylece orijinal ifade şu şekilde yeniden yazılabilir: 243 5 = 3 5 5 = 3 . Bu nedenle, bu sayı rasyoneldir. Şimdi 121 5 sayısını alalım. Bu sayı rasyonel değildir, çünkü beşinci kuvvete yükseltilmesi 121'i verecek bir doğal sayı yoktur.

Bir a sayısının b tabanına göre logaritmasının rasyonel sayı olup olmadığını bulmak için çelişki yöntemini uygulamak gerekir. Örneğin, log 2 5 sayısının rasyonel olup olmadığını bulalım. Bu sayının rasyonel olduğunu varsayalım. Eğer öyleyse, sıradan bir kesir log 2 5 = m n olarak yazılabilir. Logaritmanın özelliklerine ve derecenin özelliklerine göre, aşağıdaki eşitlikler doğrudur:

5 = 2 log 2 5 = 2 m n 5 n = 2 m

Açıkçası, son eşitlik imkansızdır, çünkü sol ve sağ taraflar sırasıyla tek ve çift sayıları içerir. Dolayısıyla yapılan varsayım yanlıştır ve log 2 5 sayısı rasyonel bir sayı değildir.

Sayıların rasyonelliğini ve mantıksızlığını belirlerken ani kararlar vermemek gerektiğini belirtmekte fayda var. Örneğin, irrasyonel sayıların bir çarpımının sonucu her zaman irrasyonel bir sayı değildir. Açıklayıcı bir örnek: 2 · 2 = 2 .

Ayrıca orada irrasyonel sayılar irrasyonel bir güce yükseltilmesi rasyonel bir sayı verir. 2 log 2 3 formunun bir üssünde, taban ve üs irrasyonel sayılardır. Ancak sayının kendisi rasyoneldir: 2 log 2 3 = 3 .

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Gerçek sayı kavramı: gerçek Numara- (gerçek sayı), negatif veya negatif olmayan herhangi bir sayı veya sıfır. Gerçek sayılar yardımıyla her bir fiziksel miktarın ölçümlerini ifade edin.

gerçek, veya gerçek Numara Geometriyi ölçme ihtiyacından doğdu ve fiziksel özellikler Barış. Ek olarak, kök çıkarma, logaritmayı hesaplama, cebirsel denklemleri çözme vb.

Saymanın gelişmesiyle doğal sayılar oluşmuş, bütünün parçalarını yönetme ihtiyacı ile rasyonel sayılar, daha sonra ölçümler için gerçek sayılar (gerçek) kullanılmıştır. sürekli miktarlar. Böylece, dikkate alınan sayı stokunun genişlemesi, rasyonel sayılara ek olarak, adı verilen diğer öğelerden oluşan gerçek sayılar kümesine yol açmıştır. irrasyonel sayılar.

Gerçek sayılar kümesi(belirtilen R) rasyonel ve irrasyonel sayıların bir araya getirilmiş kümeleridir.

Gerçek sayılar bölünürakılcı ve mantıksız.

Gerçek sayılar kümesi gösterilir ve genellikle gerçek veya sayı doğrusu. Gerçek sayılar basit nesnelerden oluşur: tüm ve rasyonel sayılar.

Oran olarak yazılabilen bir sayı, buradam bir tamsayıdır ve nbir doğal sayıdırrasyonel sayı.

Herhangi bir rasyonel sayı, kolayca sonlu bir kesir veya sonsuz bir periyodik ondalık kesir olarak temsil edilebilir.

Örnek,

sonsuz ondalık, ondalık noktadan sonra sonsuz sayıda basamağı olan bir ondalık kesirdir.

olduğu gibi temsil edilemeyen sayılar irrasyonel sayılar.

Örnek:

Herhangi bir irrasyonel sayıyı sonsuz periyodik olmayan ondalık kesir olarak temsil etmek kolaydır.

Örnek,

Rasyonel ve irrasyonel sayılar oluşturur gerçek sayılar kümesi. Tüm gerçek sayılar, koordinat doğrusu üzerinde bir noktaya karşılık gelir. sayı doğrusu.

Sayısal kümeler için aşağıdaki gösterim kullanılır:

• N- doğal sayılar kümesi;
• Z- tamsayılar kümesi;
• Q- rasyonel sayılar kümesi;
• R reel sayılar kümesidir.

Sonsuz ondalık kesirler teorisi.

Gerçek bir sayı olarak tanımlanır sonsuz ondalık, yani:

±a 0 ,a 1a 2 …a n …

burada ±, + veya - sembollerinden biridir, bir sayının işaretidir,

0 pozitif bir tamsayıdır,

a 1 ,a 2 ,…a n ,… bir ondalık basamak dizisidir, yani. sayısal bir kümenin elemanları {0,1,…9}.

Sonsuz bir ondalık kesir, aşağıdaki gibi rasyonel noktalar arasındaki sayı doğrusunda bulunan bir sayı olarak açıklanabilir:

±a 0 ,a 1a 2 …a n ve ±(a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n) hepsi için n=0,1,2,…

Gerçek sayıların sonsuz ondalık kesirler olarak karşılaştırılması, azar azar gerçekleşir. Örneğin, 2 pozitif sayı verildiğini varsayalım:

α =+a 0 ,a 1 a 2 …a n …

β =+b 0 ,b 1 b 2 …b n …

Eğer bir 0 0, sonra α<β ; eğer a0 >b0 sonra α>β . Ne zaman 0 = b 0 Bir sonraki seviye karşılaştırmasına geçelim. Vb. Ne zaman α≠β , sonra son miktar adımlar ilk rakamı karşılayacak n, öyle ki bir n ≠ bn. Eğer bir bir n n, sonra α<β ; eğer bir n > bn sonra α>β .

Ancak aynı zamanda, sayıya dikkat etmek sıkıcıdır. a 0 ,a 1 a 2 …a n (9)=a 0 ,a 1 a 2 …a n +10 −n . Bu nedenle, belirli bir basamaktan başlayarak karşılaştırılan sayılardan birinin kaydı, periyotta 9 olan periyodik bir ondalık kesir ise, o zaman periyotta sıfır olan eşdeğer bir kayıtla değiştirilmelidir.

Sonsuz ondalık kesirli aritmetik işlemler, rasyonel sayılarla karşılık gelen işlemlerin sürekli bir devamıdır. Örneğin, gerçek sayıların toplamı α ve β gerçek bir sayıdır α+β , aşağıdaki koşulları karşılayan:

∀ a′,a′′,b′,b′′∈ Q(a′⩽ α ⩽ a'')∧ (b'⩽ β ⩽ b'')⇒ (a′+b′⩽ α + β ⩽ a′′+b′′)

Benzer şekilde sonsuz ondalık kesirleri çarpma işlemini tanımlar.

Doğal sayılar pozitif tam sayılar olarak tanımlanır. Doğal sayılar, nesneleri saymak ve diğer birçok amaç için kullanılır. İşte sayılar:

Bu doğal bir sayı dizisidir.
Sıfır bir doğal sayı mıdır? Hayır sıfır bir doğal sayı değildir.
Kaç tane doğal sayı vardır? Sonsuz sayıda doğal sayı vardır.
En küçük doğal sayı kaçtır? Bir en küçük doğal sayıdır.
En büyük doğal sayı kaçtır? Belirtilemez, çünkü sonsuz sayıda doğal sayı vardır.

Doğal sayıların toplamı bir doğal sayıdır. Böylece, a ve b doğal sayılarının eklenmesi:

Doğal sayıların çarpımı bir doğal sayıdır. Böylece a ve b doğal sayılarının çarpımı:

c her zaman bir doğal sayıdır.

Doğal sayıların farkı Her zaman bir doğal sayı yoktur. Eksi, çıkarılandan büyükse, doğal sayıların farkı doğal sayıdır, aksi halde değildir.

Doğal sayıların bölümü Her zaman bir doğal sayı yoktur. a ve b doğal sayıları için

c bir doğal sayı olduğunda, a'nın b'ye tam olarak bölünebildiği anlamına gelir. Bu örnekte, a bölendir, b bölendir, c bölümdür.

Bir doğal sayının böleni, ilk sayının tam olarak bölünebildiği doğal sayıdır.

Her doğal sayı kendisine ve 1'e tam bölünür.

Basit doğal sayılar sadece 1'e ve kendilerine tam bölünür. Burada tamamen bölünmüş demek istiyoruz. Örnek, sayılar 2; 3; 5; 7 sadece 1'e ve kendisine tam bölünür. Bunlar basit doğal sayılardır.

Bir asal sayı olarak kabul edilmez.

Birden büyük ve asal olmayan sayılara bileşik sayılar denir. Bileşik sayılara örnekler:

Bir, bileşik sayı olarak kabul edilmez.

Doğal sayılar kümesi bir, asal sayı ve bileşik sayılardan oluşur.

Doğal sayılar kümesi Latince N harfi ile gösterilir.

Doğal sayıların toplama ve çarpma özellikleri:

eklemenin değişmeli özelliği

toplamanın birleştirici özelliği

(a + b) + c = a + (b + c);

çarpmanın değişmeli özelliği

çarpmanın birleştirici özelliği

(ab)c = a(bc);

çarpmanın dağılma özelliği

a (b + c) = ab + ac;

Tüm sayılar

Tam sayılar doğal sayılardır, sıfırdır ve doğal sayıların tersidir.

Doğal sayıların karşısındaki sayılar negatif tam sayılardır, örneğin:

1; -2; -3; -4;…

Tam sayılar kümesi Latince Z harfi ile gösterilir.

Rasyonel sayılar

Rasyonel sayılar tam sayılar ve kesirlerdir.

Herhangi bir rasyonel sayı, periyodik bir kesir olarak temsil edilebilir. Örnekler:

1,(0); 3,(6); 0,(0);…

Herhangi bir tamsayının, periyodu sıfır olan periyodik bir kesir olduğu örneklerden görülebilir.

Herhangi bir rasyonel sayı, m/n kesri olarak temsil edilebilir, burada m tamsayı,n doğal sayı. Önceki örnekteki 3,(6) sayısını böyle bir kesir olarak gösterelim:

Başka bir örnek: 9 rasyonel sayısı, 18/2 veya 36/4 gibi basit bir kesir olarak gösterilebilir.

Başka bir örnek: -9 rasyonel sayısı, -18/2 veya -72/8 gibi basit bir kesir olarak temsil edilebilir.

Bu makale hakkında temel bilgiler içerir gerçek sayılar. İlk olarak reel sayıların tanımı verilmiş ve örnekler verilmiştir. Daha sonra gerçek sayıların koordinat çizgisi üzerindeki konumu gösterilir. Ve sonuç olarak reel sayıların sayısal ifadeler şeklinde nasıl verildiği incelenmiştir.

Sayfa gezintisi.

Gerçek sayıların tanımı ve örnekleri

İfade olarak gerçek sayılar

Gerçek sayıların tanımından, gerçek sayıların şu şekilde olduğu açıktır:

• herhangi bir doğal sayı;
• herhangi bir tam sayı;
• herhangi bir sıradan kesir (hem pozitif hem de negatif);
• herhangi bir karışık sayı;
• herhangi bir ondalık kesir (pozitif, negatif, sonlu, sonsuz periyodik, sonsuz periyodik olmayan).

Ancak çoğu zaman gerçek sayılar formda görülebilir, vb. Ayrıca reel sayıların toplamı, farkı, çarpımı ve bölümü de reel sayılardır (bkz. gerçek sayılarla işlemler). Örneğin, bunlar gerçek sayılardır.

Ve daha ileri gidersek, o zaman aritmetik işaretler, kök işaretler, dereceler, logaritmik yardımıyla gerçek sayılardan, trigonometrik fonksiyonlar vb. değerleri de gerçek sayılar olacak her türlü sayısal ifade oluşturabilirsiniz. Örneğin, ifade değerleri ve gerçek sayılardır.

Bu makalenin sonunda, sayı kavramını genişletmede bir sonraki adımın gerçek sayılardan gerçek sayıya geçiş olduğunu belirtiyoruz. Karışık sayılar.

Bibliyografya.

• Vilenkin N.Ya. vb. Matematik. 6. sınıf: eğitim kurumları için ders kitabı.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Cebir: 8 hücre için ders kitabı. Eğitim Kurumları.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara başvuranlar için bir el kitabı).

Akıllı öğrenciler tarafından telif hakkı

Tüm hakları Saklıdır.
Telif hakkı yasasıyla korunmaktadır. Sitenin hiçbir bölümü, iç materyaller ve dış tasarım da dahil olmak üzere, telif hakkı sahibinin önceden yazılı izni olmaksızın herhangi bir biçimde çoğaltılamaz veya kullanılamaz.