Lineer cebirsel denklem sistemlerini çözmek, lineer cebirin ana problemlerinden biridir. Bu problem, bilimsel ve teknik problemlerin çözümünde büyük pratik öneme sahiptir, ayrıca hesaplamalı matematik, matematiksel fizik, deneysel çalışmaların sonuçlarının işlenmesi gibi birçok algoritmanın uygulanmasında yardımcıdır.

Lineer cebirsel denklemler sistemi formun denklem sistemi olarak adlandırılır: (1)

nerede – Bilinmeyen; - ücretsiz üyeler.

Denklem sistemini çözme(1) sisteme yerleştirilen herhangi bir sayı kümesini adlandırın (1) bilinmeyen yerine sistemin tüm denklemlerini gerçek sayısal eşitliklere dönüştürür.

Denklem sistemi denir bağlantı en az bir çözümü varsa ve uyumsuz eğer çözümleri yoksa.

Ortak denklem sistemi denir belirli tek bir çözümü varsa ve belirsiz en az iki farklı çözümü varsa.

İki denklem sistemi denir eşdeğer veya eşdeğer eğer aynı çözümlere sahiplerse.

Sistem (1) denir homojen serbest terimler sıfıra eşitse:

Homojen bir sistem her zaman tutarlıdır - bir çözümü vardır (belki de tek değil).

(1) sisteminde ise, o zaman sisteme sahibiz n lineer denklemlerİle birlikte n bilinmeyen: nerede – Bilinmeyen; bilinmeyenlerin katsayıları, - ücretsiz üyeler.

Doğrusal sistem tek bir çözümü olabilir, sonsuz sayıda çözümü olabilir veya hiçbiri olmayabilir.

İki bilinmeyenli iki lineer denklem sistemi düşünün

O zaman sistemin benzersiz bir çözümü varsa;

eğer öyleyse sistemin çözümü yok;

eğer öyleyse sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır.

Örnek. Sistemin bir çift sayı için benzersiz bir çözümü var

Sistemin sonsuz sayıda çözümü vardır. Örneğin, bu sistemin çözümleri sayı çiftleridir, vb.

Sistemin çözümü yoktur, çünkü iki sayının farkı iki farklı değer alamaz.

Tanım. İkinci dereceden belirleyici gibi bir ifade denir:

Determinantı D sembolü ile gösteriniz.

Sayılar a 11, …, a 22 belirleyici unsurlar olarak adlandırılır.

Elemanların oluşturduğu köşegen a 11 ; a 22 çağrı ana, elemanların oluşturduğu köşegen a 12 ; a 21 − yan.

Böylece, ikinci dereceden determinant, ana ve ikincil köşegenlerin elemanlarının ürünleri arasındaki farka eşittir.

Cevabın bir sayı olduğunu unutmayın.

Örnek. Belirleyicileri hesaplayalım:

İki bilinmeyenli iki lineer denklem sistemi düşünün: nerede X 1, X 2 – Bilinmeyen; a 11 , …, a 22 - bilinmeyenler için katsayılar, b 1 ,b 2 - ücretsiz üyeler.

İki bilinmeyenli iki denklemden oluşan bir sistemin benzersiz bir çözümü varsa, o zaman ikinci dereceden belirleyiciler kullanılarak bulunabilir.

Tanım. Bilinmeyenlerin katsayılarından oluşan determinant denir. sistem niteleyicisi: D=.

D determinantının sütunları sırasıyla katsayılardır. X 1 ve , X 2. iki tane tanıtalım ek belirleyiciler, sütunlardan birinin serbest üyelerden oluşan bir sütunla değiştirilmesiyle sistemin determinantından elde edilenler: D 1 = D 2 = .

Teorem 14(Kramer, n=2 durumu için). Sistemin determinantı D sıfırdan (D¹0) farklıysa, sistem aşağıdaki formüllerle bulunan benzersiz bir çözüme sahiptir:

Bu formüller denir Cramer formülleri.

Örnek. Sistemi Cramer kuralına göre çözüyoruz:

Çözüm. sayıları bulalım

Cevap.

Tanım. Üçüncü dereceden belirleyici gibi bir ifade denir:

Elementler a 11; a 22 ; a 33 - ana köşegeni oluşturun.

Sayılar a 13; a 22 ; a 31 - bir yan köşegen oluşturun.

Artı içeren giriş şunları içerir: ana köşegen üzerindeki elemanların çarpımı, kalan iki terim, tabanları ana köşegene paralel olan üçgenlerin köşelerinde bulunan elemanların çarpımıdır. Eksi olan terimler, ikincil köşegenle aynı şekilde oluşur.

Örnek. Belirleyicileri hesaplayalım:

Üç bilinmeyenli üç lineer denklem sistemi düşünün: nerede – Bilinmeyen; bilinmeyenlerin katsayıları, - ücretsiz üyeler.

Benzersiz bir çözüm durumunda, 3. dereceden determinantlar kullanılarak üç bilinmeyenli 3 lineer denklem sistemi çözülebilir.

D sisteminin determinantı şu şekildedir:

Üç ek belirleyici sunuyoruz:

Teorem 15(Kramer, n=3 durumu için). Sistemin determinantı D sıfır değilse, sistem Cramer formülleri kullanılarak bulunan benzersiz bir çözüme sahiptir:

Örnek. Sistemi Cramer kuralını kullanarak çözelim.

Çözüm. sayıları bulalım

Cramer'in formüllerini kullanalım ve orijinal sisteme bir çözüm bulalım:

Cevap.

Denklemlerin sayısı bilinmeyenlerin sayısına eşit olduğunda ve D sisteminin determinantı sıfırdan farklı olduğunda Cramer teoreminin uygulanabilir olduğuna dikkat edin.

Sistemin determinantı sıfıra eşitse, bu durumda sistemin ya hiç çözümü olmayabilir ya da sonsuz sayıda çözümü olabilir. Bu vakalar ayrı ayrı inceleniyor.

Sadece bir vakayı not ediyoruz. Sistemin determinantı sıfıra eşitse (D=0) ve ek determinantlardan en az biri sıfırdan farklıysa, sistemin çözümü yoktur, yani tutarsızdır.

Cramer teoremi sisteme genelleştirilebilir n lineer denklemler n bilinmeyen: nerede – Bilinmeyen; bilinmeyenlerin katsayıları, - ücretsiz üyeler.

Bilinmeyen bir lineer denklem sisteminin determinantı ise, sistemin tek çözümü Cramer formülleri kullanılarak bulunur:

Bilinmeyen için bir katsayılar sütunu içeriyorsa, D determinantından ek bir determinant elde edilir. x benücretsiz üyelerden oluşan bir sütunla değiştirin.

D, D 1 , … , D belirleyicilerinin n sipariş var n.

Lineer denklem sistemlerini çözmek için Gauss yöntemi

Lineer cebirsel denklem sistemlerini çözmek için en yaygın yöntemlerden biri bilinmeyenlerin ardışık eliminasyonu yöntemidir. −Gauss yöntemi. Bu method ikame yönteminin bir genellemesidir ve bir bilinmeyenli bir denklem kalana kadar bilinmeyenlerin art arda ortadan kaldırılmasından oluşur.

Yöntem, orijinal sisteme eşdeğer bir sistemin elde edilmesinin bir sonucu olarak, lineer denklem sisteminin bazı dönüşümlerine dayanmaktadır. Yöntemin algoritması iki aşamadan oluşmaktadır.

İlk aşama denir Düz bir çizgide Gauss yöntemi. Denklemlerden bilinmeyenlerin art arda çıkarılmasından oluşur. Bunun için ilk adımda sistemin ilk denklemi şuna bölünür (aksi takdirde sistemin denklemleri permüte edilir). Elde edilen indirgenmiş denklemin katsayıları gösterilir, katsayı ile çarpılır ve sistemin ikinci denkleminden çıkarılır, böylece ikinci denklemden çıkarılır (katsayı sıfırlanır).

Denklemlerin geri kalanı benzer şekilde ele alınır ve tüm denklemlerde, ikincisinden başlayarak, katsayıları yalnızca sıfır içeren yeni bir sistem elde edilir. Açıkçası, ortaya çıkan yeni sistem, orijinal sisteme eşdeğer olacaktır.

Yeni katsayılar, at , hepsi sıfıra eşit değilse, bunları üçüncü ve sonraki denklemlerden aynı şekilde eleyebiliriz. Aşağıdaki bilinmeyenler için bu işleme devam edilerek sistem üçgensel forma getirilir:

Burada semboller ve dönüşümler sonucunda değişen sayısal katsayıları ve serbest terimleri ifade etmektedir.

Sistemin son denkleminden tek yol belirlemek ve ardından art arda ikame ile - kalan bilinmeyenler.

Yorum. Bazen dönüşümler sonucunda herhangi bir denklemde tüm katsayılar ve sağ taraf sıfıra döner yani denklem 0=0 özdeşliğine dönüşür. Böyle bir denklemin sistemden çıkarılmasıyla denklem sayısı bilinmeyen sayısına göre azaltılır. Böyle bir sistemin benzersiz bir çözümü olamaz.

Gauss yöntemini uygulama sürecinde, herhangi bir denklem 0=1 biçiminde bir eşitliğe dönüşürse (bilinmeyenlerin katsayıları 0'a döner ve sağ taraf sıfır olmayan bir değer alır), o zaman orijinal sistemin hiçbir değeri yoktur. çözüm, çünkü böyle bir eşitlik bilinmeyen herhangi bir değer için yanlıştır.

Üç bilinmeyenli üç lineer denklem sistemi düşünün:

nerede – Bilinmeyen; bilinmeyenlerin katsayıları, - ücretsiz üyeler. , bulunan yerine

Çözüm. Gauss yöntemini bu sisteme uygulayarak elde ederiz.

Nereden Son eşitlik, bilinmeyenlerin herhangi bir değeri için yanlıştır, bu nedenle sistemin bir çözümü yoktur.

Cevap. Sistemin çözümü yok.

Daha önce ele alınan Cramer yönteminin, yalnızca denklem sayısının bilinmeyen sayısıyla çakıştığı ve sistemin determinantının sıfırdan farklı olması gerektiği sistemleri çözmek için kullanılabileceğini unutmayın. Gauss yöntemi daha evrenseldir ve herhangi bir sayıda denklemi olan sistemler için uygundur.

matris formu

Lineer denklem sistemi matris formunda şu şekilde temsil edilebilir:

veya, matris çarpım kuralına göre,

AX = B.

A matrisine bir serbest terimler sütunu eklenirse, A'ya artırılmış matris denir.

Çözüm Yöntemleri

Doğrudan (veya kesin) yöntemler, belirli sayıda adımda bir çözüm bulmanızı sağlar. Yinelemeli yöntemler, tekrarlayan bir işlemin kullanımına dayanır ve ardışık yaklaşımlar sonucunda bir çözüm elde etmenizi sağlar.

Doğrudan Yöntemler

• Süpürme yöntemi (üç köşeli matrisler için)
• Cholesky ayrıştırması veya yöntemi Karekök(pozitif tanımlı simetrik ve Hermit matrisleri için)

Yinelemeli Yöntemler

VBA'da bir lineer cebirsel denklem sistemini çözme

Option Explicit Sub rewenie() Dim i As Integer Dim j As Integer Dim r() As Double Dim p As Double Dim x() As Double Dim k As Integer Dim As Integer Dim b() As Double Dim dosyası As Integer Dim y () Double file = FreeFile Olarak "C:\data.txt" Aç Dosya Olarak Girmek İçin #file, n ReDim x(0 To n * n - 1 ) As Double ReDim y(0 To n - 1 ) As Double ReDim r(0 To n - 1 ) As Double For i = 0 To n - 1 For j = 0 To n - 1 #file, x(i * n + j) girin Sonraki j #file, y(i) Sonraki i Kapat #file For i = 0 To n - 1 p = x(i * n + i) For j = 1 To n - 1 x(i * n + j) = x(i * n + j) / p Sonraki j y (i) = y(i) / p j = i + 1 için n - 1 p = x(j * n + i) için k = i To n - 1 x(j * n + k) = x(j) * n + k) - x(i * n + k) * p Sonraki k y(j) = y(j) - y(i) * p Sonraki j Sonraki i "Üst üçgen matris i = n - 1 için 0 Adım -1 p = y(i) için j = i + 1 için n - 1 p = p - x(i * n + j) * r(j) Sonraki j r(i) = p / x(i * n + i) Sonraki i " Backtrack For i = 0 To n - 1 MsgBox r(i) Sonraki i "son alt

Ayrıca bakınız

Bağlantılar

Notlar

Wikimedia Vakfı. 2010 .

Diğer sözlüklerde "SLAU" nun ne olduğunu görün:

SLAU- lineer cebirsel denklemler sistemi ... Kısaltmalar ve kısaltmalar sözlüğü

Bu terimin başka anlamları vardır, bkz. Slough (anlamlar). Slough Engl'nin şehri ve üniter birimi. Slough Ülkesi ... Vikipedi

- (Slough) İngiltere'de, Büyük Londra'yı çevreleyen endüstriyel kuşağın bir parçası olan bir şehir, demiryolu Londra Bristol. 101.8 bin nüfuslu (1974). Makine mühendisliği, elektrik, elektronik, otomotiv ve kimya ... ... Büyük Sovyet Ansiklopedisi

yavaş- (Slough)Slough, güneydeki Berkshire'da bir sanayi ve ticaret şehri. İngiltere, Londra'nın batısında; 97.400 nüfuslu (1981); hafif sanayi dünya savaşları arasındaki dönemde gelişmeye başladı... Dünya ülkeleri. Sözlük

Slough: Slough, İngiltere'de, Berkshire SLAU ilçesinde bulunan bir şehirdir. Lineer cebirsel denklemler sistemi ... Wikipedia

Röslau Komünü Röslau arması ... Wikipedia

Bad Vöslau Şehri Bad Vöslau arması ... Wikipedia

SLAE'yi çözmek için projeksiyon yöntemleri, bilinmeyen bir vektörü belirli bir uzaya yansıtma probleminin başka bir uzaya göre optimal olarak çözüldüğü bir yinelemeli yöntemler sınıfıdır. İçindekiler 1 Sorun bildirimi ... Wikipedia

Bad Vöslau Şehri Bad Vöslau Ülke AvusturyaAvusturya ... Wikipedia

Temel çözümler sistemi (FSR), homojen bir denklem sisteminin doğrusal olarak bağımsız bir çözüm kümesidir. İçindekiler 1 Homojen sistemler 1.1 Örnek 2 Heterojen sistemler ... Wikipedia

Kitabın

• MatLab (+CD), Sizikov Valery Sergeevich ile görüntü rekonstrüksiyonu, spektroskopi ve tomografinin doğrudan ve ters problemleri. Kitap, aparatın kullanımını açıklar integral denklemler(SI), lineer cebirsel denklem sistemleri (SLAE) ve lineer-lineer olmayan denklem sistemleri (SLNU) ve ayrıca yazılım araçları ...

örnek 1. Sistemin genel bir çözümünü ve bazı özel çözümlerini bulun

Çözüm hesap makinesi ile yap. Genişletilmiş ve ana matrisleri yazıyoruz:

Noktalı çizgi, ana matris A'yı ayırır. Bilinmeyen sistemleri, sistemin denklemlerindeki terimlerin olası permütasyonlarını akılda tutarak yukarıdan yazarız. Genişletilmiş matrisin sırasını belirlerken, aynı anda ana matrisin sırasını buluruz. B matrisinde, birinci ve ikinci sütunlar orantılıdır. İki orantılı sütundan yalnızca biri temel minöre düşebilir, bu yüzden örneğin ilk sütunu zıt işaretli kesikli çizginin ötesine taşıyalım. Sistem için bu, terimlerin x 1'den denklemlerin sağ tarafına aktarılması anlamına gelir.

Matrisi üçgen bir forma getiriyoruz. Sadece satırlarla çalışacağız, çünkü sistem için bir matris satırını sıfır olmayan bir sayı ile çarpıp başka bir satıra eklemek, denklemi aynı sayı ile çarpıp başka bir denkleme eklemek anlamına gelir, bu da çözümü değiştirmez sistemin. İlk satırla çalışma: matrisin ilk satırını (-3) ile çarpın ve sırayla ikinci ve üçüncü satırlara ekleyin. Sonra ilk satırı (-2) ile çarpıyoruz ve dördüncü satıra ekliyoruz.

İkinci ve üçüncü satırlar orantılıdır, bu nedenle bunlardan biri, örneğin ikincisi çizilebilir. Bu, üçüncü denklemin bir sonucu olduğu için sistemin ikinci denkleminin silinmesine eşdeğerdir.

Şimdi ikinci satırla çalışıyoruz: (-1) ile çarpın ve üçüncüye ekleyin.

Noktalı bir çizgi ile daire içine alınmış küçük en yüksek mertebe(olası minörlerden) ve sıfırdan farklıdır (ana köşegen üzerindeki elemanların çarpımına eşittir) ve bu minör hem ana matrise hem de genişletilmiş matrise aittir, dolayısıyla rangA = rangB = 3 .
Küçük temeldir. Bilinmeyen x 2, x 3, x 4 için katsayıları içerir; bu, bilinmeyen x 2, x 3, x 4'ün bağımlı olduğu ve x 1, x 5'in serbest olduğu anlamına gelir.
Matrisi dönüştürüyoruz, sadece temel minör solda kalıyor (yukarıdaki çözüm algoritmasının 4. noktasına karşılık geliyor).

Bu matrisin katsayılarına sahip sistem, orijinal sisteme eşdeğerdir ve forma sahiptir.

Bilinmeyenlerin ortadan kaldırılması yöntemiyle şunları buluyoruz:
x 4 =3-4x 5 , x 3 =3-4x 5 -2x 4 =3-4x 5 -6+8x 5 =-3+4x 5
x 2 =x 3 +2x 4 -2+2x 1 +3x 5 = -3+4x 5 +6-8x 5 -2+2x 1 +3x 5 = 1+2x 1 -x 5
x 2, x 3, x 4 ile serbest x 1 ve x 5 arasındaki bağımlı değişkenleri ifade eden bağıntılarımız var, yani genel bir çözüm bulduk:

Serbest bilinmeyenlere keyfi değerler vererek, herhangi bir sayıda özel çözüm elde ederiz. İki özel çözüm bulalım:
1) x 1 = x 5 = 0, sonra x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3 olsun;
2) x 1 = 1, x 5 = -1, sonra x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7 koyun.
Böylece iki çözüm bulduk: (0.1, -3,3,0) - bir çözüm, (1.4, -7.7, -1) - başka bir çözüm.

Örnek 2. Uyumluluğu araştırın, sistemin genel ve bir özel çözümünü bulun

Çözüm. Birinci denklemde bir birim olacak şekilde birinci ve ikinci denklemleri yeniden düzenleyelim ve B matrisini yazalım.

İlk satırda çalışan dördüncü sütunda sıfırlar alıyoruz:

Şimdi ikinci satırı kullanarak üçüncü sütundaki sıfırları alın:

Üçüncü ve dördüncü satırlar orantılıdır, bu nedenle sıra değiştirilmeden bunlardan birinin üstü çizilebilir:
Üçüncü satırı (-2) ile çarpın ve dördüncüye ekleyin:

Ana ve genişletilmiş matrislerin ranklarının 4 olduğunu ve rankın bilinmeyenlerin sayısıyla çakıştığını görüyoruz, bu nedenle sistemin benzersiz bir çözümü var:
-x 1 \u003d -3 → x 1 \u003d 3; x 2 \u003d 3-x 1 → x 2 \u003d 0; x 3 \u003d 1-2x 1 → x 3 \u003d 5.
x 4 \u003d 10- 3x 1 - 3x 2 - 2x 3 \u003d 11.

Örnek 3. Sistemi uyumluluk açısından inceleyin ve varsa bir çözüm bulun.

Çözüm. Sistemin genişletilmiş matrisini oluşturuyoruz.

İlk iki denklemi, sol üst köşede 1 olacak şekilde yeniden düzenleyin:
İlk satırı (-1) ile çarparak üçüncüye ekliyoruz:

İkinci satırı (-2) ile çarpın ve üçüncüye ekleyin:

Ana matris, sıra bulunduğunda üstü çizilen sıfırlardan oluşan bir satır aldığından ve son satır genişletilmiş matriste kaldığından, yani r B > r A olduğundan sistem tutarsızdır.

Egzersiz yapmak. Araştırma bu sistem uyumluluk denklemleri ve matris hesabı yoluyla çözer.
Çözüm

Örnek. Bir lineer denklem sisteminin uyumluluğunu kanıtlayın ve bunu iki şekilde çözün: 1) Gauss yöntemi ile; 2) Cramer yöntemi. (cevabı şu şekilde girin: x1,x2,x3)
Çözüm :doc :doc :xls
Cevap: 2,-1,3.

Örnek. Bir lineer denklem sistemi verilmiştir. Uyumluluğunu kanıtlayın. Sistemin genel bir çözümünü ve bir özel çözümü bulun.
Çözüm
Cevap: x 3 \u003d - 1 + x 4 + x 5; x 2 \u003d 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

Egzersiz yapmak. Her sistem için genel ve özel çözümler bulun.
Çözüm. Bu sistemi Kronecker-Capelli teoremini kullanarak inceliyoruz.
Genişletilmiş ve ana matrisleri yazıyoruz:

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
x 1	x2	x 3	x4	x5

Burada A matrisi kalın yazı tipindedir.
Matrisi üçgen bir forma getiriyoruz. Sadece satırlarla çalışacağız, çünkü sistem için bir matris satırını sıfır olmayan bir sayı ile çarpıp başka bir satıra eklemek, denklemi aynı sayı ile çarpıp başka bir denkleme eklemek anlamına gelir, bu da çözümü değiştirmez sistemin.
1. satırı (3) ile çarpın. 2. satırı (-1) ile çarpın. 2. satırı 1. satıra ekleyelim:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

2. satırı (2) ile çarpın. 3. satırı (-3) ile çarpın. 3. satırı 2. satıra ekleyelim:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

2. satırı (-1) ile çarpın. 2. satırı 1. satıra ekleyelim:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Seçilen minör en yüksek mertebeye sahiptir (olası tüm minörler arasında) ve sıfır değildir (karşılıklı diyagonal üzerindeki elemanların çarpımına eşittir) ve bu minör hem ana matrise hem de genişletilmiş matrise aittir, dolayısıyla rang(A) ) = rang(B) = 3 Ana matrisin rankı rütbeye eşit uzatılır, sonra sistem işbirlikçidir.
Bu minör temeldir. Bilinmeyen x 1, x 2, x 3 için katsayıları içerir; bu, bilinmeyen x 1, x 2, x 3'ün bağımlı (temel) ve x 4, x 5'in serbest olduğu anlamına gelir.
Solda sadece temel minör bırakarak matrisi dönüştürüyoruz.

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
x 1	x2	x 3		x4	x5

Bu matrisin katsayılarına sahip sistem, orijinal sisteme eşdeğerdir ve şu şekildedir:
27x3=
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Bilinmeyenlerin ortadan kaldırılması yöntemiyle şunları buluyoruz:
x 1, x 2, x 3'ten serbest x 4, x 5'e kadar bağımlı değişkenleri ifade eden bağıntılarımız var, yani bulduk ortak karar:
x 3 = 0
x2 = 1 - 3x4 + 6x5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
belirsiz, çünkü birden fazla çözümü vardır.

Egzersiz yapmak. Denklem sistemini çözün.
Cevap:x 2 = 2 - 1,67x 3 + 0,67x 4
x 1 = 5 - 3.67x 3 + 0.67x 4
Serbest bilinmeyenlere keyfi değerler vererek, herhangi bir sayıda özel çözüm elde ederiz. sistem belirsiz

Okulda bile, her birimiz denklemleri ve elbette denklem sistemlerini inceledik. Ancak pek çok insan onları çözmenin birkaç yolu olduğunu bilmiyor. Bugün, ikiden fazla eşitlikten oluşan bir lineer cebirsel denklem sistemini çözmek için tüm yöntemleri ayrıntılı olarak analiz edeceğiz.

Hikaye

Bugün denklemleri ve sistemlerini çözme sanatının eski Babil ve Mısır'dan geldiği bilinmektedir. Bununla birlikte, her zamanki biçimindeki eşitlikler, 1556'da İngiliz matematikçi Record tarafından tanıtılan "=" eşittir işaretinin ortaya çıkmasından sonra ortaya çıktı. Bu arada, bu işaret bir sebepten dolayı seçildi: iki paralel eşit parça anlamına geliyor. Ve gerçek şu ki en iyi örnek eşitlik düşünülemez.

Bilinmeyenlerin ve derecelerin işaretlerinin modern harf gösterimlerinin kurucusu bir Fransız matematikçidir, ancak tanımları günümüzünkinden önemli ölçüde farklıdır. Örneğin, bir kare bilinmeyen tarih Q harfini (lat. "quadratus") ve küpü - C harfini (lat. "cubus") belirledi. Bu gösterimler şimdi garip görünüyor, ancak o zamanlar lineer cebirsel denklem sistemlerini yazmanın en anlaşılır yoluydu.

Bununla birlikte, o zamanki çözüm yöntemlerindeki bir dezavantaj, matematikçilerin yalnızca pozitif kökleri dikkate almalarıydı. Belki de bu, negatif değerlerin pratik bir kullanımının olmamasından kaynaklanmaktadır. Öyle ya da böyle, 16. yüzyılda negatif kökleri ilk düşünenler İtalyan matematikçiler Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano ve Rafael Bombelli'ydi. ANCAK modern görünüm, ana çözüm yöntemi (ayrımcı aracılığıyla), Descartes ve Newton'un çalışmaları sayesinde yalnızca 17. yüzyılda yaratıldı.

18. yüzyılın ortalarında, İsviçreli matematikçi Gabriel Cramer, lineer denklem sistemlerini çözmeyi kolaylaştırmanın yeni bir yolunu buldu. Bu yöntem daha sonra onun adını aldı ve bu güne kadar kullanıyoruz. Ancak Cramer'in yönteminden biraz sonra bahsedeceğiz, ancak şimdilik lineer denklemleri ve bunları sistemden ayrı çözme yöntemlerini tartışacağız.

Doğrusal denklemler

Doğrusal denklemler, değişken(ler) içeren en basit eşitliklerdir. Cebirsel olarak sınıflandırılırlar. içine yaz Genel görünüm yani: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... bir n * x n \u003d b. Sistemleri ve matrisleri daha fazla derlerken bu formda temsillerine ihtiyacımız olacak.

Lineer cebirsel denklem sistemleri

Bu terimin tanımı şu şekildedir: ortak özelliklere sahip bir denklemler kümesidir. bilinmeyen miktarlar ve genel çözüm. Kural olarak, okulda her şey iki hatta üç denklemli sistemlerle çözüldü. Ancak dört veya daha fazla bileşenli sistemler var. Önce bunları nasıl yazacağımızı bulalım, böylece daha sonra çözmek için uygun olur. İlk olarak, tüm değişkenler uygun indeks: 1,2,3 vb. ile x olarak yazılırsa, lineer cebirsel denklem sistemleri daha iyi görünecektir. İkinci olarak, tüm denklemler kanonik forma getirilmelidir: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n =b.

Tüm bu işlemlerden sonra lineer denklem sistemlerinin çözümünün nasıl bulunacağını konuşmaya başlayabiliriz. Matrisler bunun için çok faydalıdır.

matrisler

Bir matris, satırlar ve sütunlardan oluşan bir tablodur ve kesişimlerinde öğeleri bulunur. Bunlar belirli değerler veya değişkenler olabilir. Çoğu zaman, öğeleri belirtmek için alt simgeler altlarına yerleştirilir (örneğin, 11 veya 23). İlk dizin satır numarası ve ikincisi sütun numarası anlamına gelir. Matrislerde ve diğer herhangi bir matematiksel öğede çeşitli işlemler gerçekleştirebilirsiniz. Böylece şunları yapabilirsiniz:

2) Bir matrisi bir sayı veya vektörle çarpın.

3) Devir: matris satırlarını sütunlara ve sütunları satırlara dönüştürün.

4) Birinin satır sayısı diğerinin sütun sayısına eşitse matrisleri çarpın.

Tüm bu teknikleri ileride işimize yarayacakları için daha detaylı olarak ele alacağız. Matrisleri çıkarmak ve eklemek çok kolaydır. Aynı boyutta matrisler aldığımız için, bir tablonun her bir elemanı diğerinin her bir elemanına karşılık gelir. Böylece bu iki elemanı topluyoruz (çıkarıyoruz) (matrislerinde aynı yerde olmaları önemlidir). Bir matrisi bir sayı veya vektörle çarparken, matrisin her bir öğesini o sayı (veya vektör) ile çarpmanız yeterlidir. Transpozisyon çok ilginç bir süreç. Bazen onu görmek çok ilginç gerçek hayatörneğin, tabletinizin veya telefonunuzun yönünü değiştirdiğinizde. Masaüstündeki simgeler bir matristir ve konumu değiştirdiğinizde yer değiştirir ve genişler, ancak yüksekliği azalır.

Böyle bir süreci inceleyelim, bizim için faydalı olmayacak olsa da, yine de bilmek faydalı olacaktır. İki matrisi ancak bir tablodaki sütun sayısı diğerindeki satır sayısına eşitse çarpabilirsiniz. Şimdi bir matrisin bir satırının öğelerini ve diğerinin karşılık gelen sütununun öğelerini alalım. Bunları birbiriyle çarparız ve sonra toplarız (yani, örneğin, a 11 ve a 12 ile b 12 ve b 22 öğelerinin çarpımı şuna eşit olacaktır: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Böylece tablonun bir elemanı elde edilir ve benzer bir yöntemle doldurulur.

Şimdi lineer denklem sisteminin nasıl çözüldüğünü düşünmeye başlayabiliriz.

Gauss yöntemi

Bu konu okulda başlar. "İki doğrusal denklem sistemi" kavramını iyi biliyoruz ve bunları nasıl çözeceğimizi biliyoruz. Peki ya denklem sayısı ikiden fazlaysa? Bu bize yardımcı olacak

Tabii ki, sistemden bir matris çıkarırsanız, bu yöntemin kullanımı uygundur. Ama onu dönüştüremez ve saf haliyle çözemezsiniz.

Peki, lineer Gauss denklemleri sistemi bu yöntemle nasıl çözülür? Bu arada, bu yöntem onun adıyla anılsa da eski zamanlarda keşfedilmiştir. Gauss aşağıdakileri önerir: sonunda tüm kümeyi kademeli bir forma indirgemek için denklemlerle işlemler yapmak. Yani, ilk denklemden son denkleme doğru yukarıdan aşağıya (doğru yerleştirilmişse) bir bilinmeyenin azalması gerekir. Başka bir deyişle, diyelim ki üç denklem elde ettiğimizden emin olmalıyız: ilk - üç bilinmeyende, ikinci - iki, üçüncü - bir. Sonra son denklemden ilk bilinmeyeni buluruz, değerini ikinci veya birinci denklemde yerine koyarız ve sonra kalan iki değişkeni buluruz.

Cramer yöntemi

Bu yöntemde ustalaşmak için toplama, matris çıkarma becerilerinde ustalaşmak çok önemlidir ve ayrıca belirleyicileri bulabilmeniz gerekir. Bu nedenle, tüm bunları zayıf bir şekilde yaparsanız veya nasıl yapılacağını hiç bilmiyorsanız, öğrenmeniz ve pratik yapmanız gerekecektir.

Bu yöntemin özü nedir ve bir lineer Cramer denklemleri sistemi elde edilecek şekilde nasıl yapılır? Her şey çok basit. Bir lineer cebirsel denklemler sisteminin sayısal (neredeyse her zaman) katsayılarından bir matris oluşturmamız gerekir. Bunun için bilinmeyenlerin önündeki sayıları alıp sistemde yazıldığı sıraya göre tabloya koymamız yeterlidir. Sayının önünde bir "-" işareti varsa, negatif bir katsayı yazarız. Bu nedenle, ilk matrisi, eşittir işaretlerinden sonraki sayıları dahil etmeden, bilinmeyenlerin katsayılarından derledik (doğal olarak, denklem sadece sayı sağda olduğunda ve tüm bilinmeyenler ile kanonik forma indirgenmelidir). soldaki katsayılar). Ardından, her değişken için bir tane olmak üzere birkaç matris daha oluşturmanız gerekir. Bunu yapmak için, ilk matriste, sırayla, her sütunu, eşittir işaretinden sonra bir sayı sütunuyla katsayılarla değiştiririz. Böylece, birkaç matris elde ederiz ve sonra onların determinantlarını buluruz.

Belirleyicileri bulduktan sonra, mesele küçüktür. Bir başlangıç ​​matrisimiz var ve farklı değişkenlere karşılık gelen birkaç sonuç matrisi var. Sistemin çözümlerini elde etmek için, ortaya çıkan tablonun determinantını ilk tablonun determinantına böleriz. Ortaya çıkan sayı, değişkenlerden birinin değeridir. Benzer şekilde, tüm bilinmeyenleri buluruz.

Öbür metodlar

Lineer denklem sistemlerine çözüm elde etmek için birkaç yöntem daha vardır. Örneğin, sisteme çözüm bulmak için kullanılan Gauss-Jordan yöntemi olarak adlandırılan yöntem ikinci dereceden denklemler ve ayrıca matrislerin kullanımıyla da ilgilidir. Lineer cebirsel denklemler sistemini çözmek için bir Jacobi yöntemi de vardır. Bir bilgisayara adapte edilmesi en kolay olanıdır ve bilgisayar teknolojisinde kullanılır.

zor vakalar

Karmaşıklık genellikle denklem sayısı değişken sayısından az olduğunda ortaya çıkar. O zaman kesin olarak söyleyebiliriz ki, ya sistem tutarsızdır (yani kökleri yoktur) ya da çözümlerinin sayısı sonsuzdur. İkinci durumumuz varsa, lineer denklem sisteminin genel çözümünü yazmamız gerekir. En az bir değişken içerecektir.

Çözüm

İşte sona geliyoruz. Özetleyelim: Bir sistemin ve matrisin ne olduğunu analiz ettik, bir lineer denklem sistemine genel bir çözüm bulmayı öğrendik. Ayrıca diğer seçenekler de değerlendirildi. Bir lineer denklem sisteminin nasıl çözüldüğünü öğrendik: Gauss yöntemi ve Zor durumlar ve çözüm bulmanın diğer yolları hakkında konuştuk.

Aslında, bu konu çok daha kapsamlıdır ve daha iyi anlamak istiyorsanız, size daha özel literatür okumanızı tavsiye ederiz.

Bir lineer denklem sistemi, her biri k değişken içeren n lineer denklemin birleşimidir. Şu şekilde yazılır:

Birçoğu, ilk kez daha yüksek cebirle karşı karşıya kaldıklarında, yanlışlıkla denklem sayısının mutlaka değişken sayısıyla çakışması gerektiğine inanırlar. Okul cebirinde bu genellikle böyledir, ancak daha yüksek cebir için bu, genel olarak doğru değildir.

Bir denklem sisteminin çözümü, sistemin her bir denkleminin çözümü olan bir sayı dizisidir (k 1 , k 2 , ..., kn ), yani. bu denklemde x 1 , x 2 , ..., x n değişkenleri yerine ikame edildiğinde doğru sayısal eşitliği verir.

Buna göre, bir denklem sistemini çözmek, tüm çözümlerinin kümesini bulmak veya bu kümenin boş olduğunu kanıtlamak anlamına gelir. Denklem sayısı ve bilinmeyen sayısı aynı olmayabileceğinden, üç durum mümkündür:

1. Sistem tutarsız, yani. tüm çözümler kümesi boştur. Sistemin hangi yöntemle çözüleceğine bakılmaksızın kolayca tespit edilebilen oldukça nadir bir durum.
2. Sistem tutarlı ve tanımlanmış, yani. tam olarak bir çözümü var. Okuldan beri iyi bilinen klasik versiyon.
3. Sistem tutarlı ve tanımsızdır, yani. sonsuz sayıda çözümü vardır. Bu en zor seçenektir. "Sistemin sonsuz bir çözüm kümesi vardır" demek yeterli değildir - bu kümenin nasıl düzenlendiğini açıklamak gerekir.

x i değişkenine, sistemin yalnızca bir denkleminde ve 1 katsayısında yer alıyorsa izin verilir. Başka bir deyişle, geri kalan denklemlerde, x i değişkeninin katsayısı sıfıra eşit olmalıdır.

Her denklemde bir izin verilen değişken seçersek, tüm denklem sistemi için bir dizi izin verilen değişken elde ederiz. Bu formda yazılan sistemin kendisi de izinli olarak adlandırılacaktır. Genel olarak konuşursak, bir ve aynı başlangıç ​​sistemi farklı izin verilen sistemlere indirgenebilir, ancak bu bizi şimdi ilgilendirmiyor. İşte izin verilen sistem örnekleri:

Her iki sisteme de x 1 , x 3 ve x 4 değişkenlerine göre izin verilir. Ancak aynı başarı ile x 1 , x 3 ve x 5'e göre ikinci sisteme izin verildiği söylenebilir. En son denklemi x 5 = x 4 biçiminde yeniden yazmak yeterlidir.

Şimdi daha genel bir durum düşünün. Toplamda, r'sine izin verilen k değişkenimiz olduğunu varsayalım. O zaman iki durum mümkündür:

1. İzin verilen değişkenlerin sayısı r, toplam değişken sayısı k : r = k'ye eşittir. r = k izin verilen değişkenlerin olduğu bir k denklem sistemi elde ederiz. Böyle bir sistem işbirlikçi ve kesindir, çünkü x 1 \u003d b 1, x 2 \u003d b 2, ..., x k \u003d b k;
2. İzin verilen değişken sayısı r'den az toplam sayısı değişkenler k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Dolayısıyla yukarıdaki sistemlerde x 2 , x 5 , x 6 (birinci sistem için) ve x 2 , x 5 (ikinci sistem için) değişkenleri serbesttir. Serbest değişkenlerin olduğu durum, bir teorem olarak daha iyi formüle edilir:

Lütfen dikkat: Bu çok önemli bir nokta! Ortaya çıkan sistemi nasıl yazdığınıza bağlı olarak, aynı değişkene hem izin verilebilir hem de serbest bırakılabilir. Çoğu ileri düzey matematik öğretmeni, değişkenleri sözlük sırasına göre yazmayı önerir, yani. artan indeks Ancak, bu tavsiyeye kesinlikle uymak zorunda değilsiniz.

Teorem. n denklemli bir sistemde x 1 , x 2 , ..., x r değişkenlerine izin veriliyorsa ve x r + 1 , x r + 2 , ..., x k serbest ise, o zaman:

1. Serbest değişkenlerin (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k ) değerlerini ayarlarsak ve ardından x 1 , x 2 , değerlerini bulursak. .., x r , çözümlerden birini elde ederiz.
2. İki çözümdeki serbest değişkenlerin değerleri aynıysa, izin verilen değişkenlerin değerleri de aynıdır, yani. çözümler eşittir.

Bu teoremin anlamı nedir? İzin verilen denklem sisteminin tüm çözümlerini elde etmek için serbest değişkenleri ayırmak yeterlidir. Daha sonra serbest değişkenlere farklı değerler atayarak hazır çözümler elde edeceğiz. Hepsi bu - bu şekilde sistemin tüm çözümlerini elde edebilirsiniz. Başka çözümler yok.

Sonuç: izin verilen denklem sistemi her zaman tutarlıdır. İzin verilen sistemdeki denklem sayısı değişken sayısına eşitse sistem belirli, daha az ise belirsiz olacaktır.

Ve her şey yoluna girecek, ancak soru ortaya çıkıyor: çözülmüş olanı orijinal denklem sisteminden nasıl elde ederiz? Bunun için var