Uning yuz qirrasi cho'qqisining geometrik jismlarini ko'rsating. Oddiy ko'p yuzli. Eyler formulasining amal qilish doirasi

Uchburchak va ko'p burchakli burchaklar:
Uchburchak burchak - bu shakl
dan chiqadigan uchta nur bilan chegaralangan uchta tekislikdan hosil bo'lgan
bir nuqta va birida yolg'on emas
samolyotlar.
Kvartirani ko'rib chiqing
ko'pburchak va tashqaridagi nuqta
bu ko'pburchakning tekisligi.
Keling, shu nuqtadan nurlar chizamiz,
cho'qqilardan o'tish
poligon. Biz raqam olamiz
ko'p qirrali deb ataladi
burchak.

Uchburchak burchak kosmosning bir qismidir
umumiy bilan uchta tekis burchak bilan chegaralangan
sammit
va
juftlikda
umumiy
partiyalar,
emas
bir xil tekislikda yotish. Umumiy top Bular haqida
burchaklar
chaqirdi
sammit
uchburchak
burchak.
Burchaklarning yon tomonlari qirralar, tekis burchaklar deb ataladi
uchburchak burchakning tepasida joylashgan burchaklar deyiladi
yuzlar. Uchburchak burchakning uch juft yuzining har biri
ikki burchakli burchak hosil qiladi

Uchburchak burchakning asosiy xossalari
1. Uchburchak burchakning har bir tekislik burchagi yig'indisidan kichik
uning boshqa ikkita tekis burchagi.
+ > ; + > ; + >
a, b, g - tekis burchaklar,
A, B, C - tekisliklardan tuzilgan ikki burchakli burchaklar
burchaklar b va g, a va g, a va b.
2. Uchburchak burchakning tekis burchaklarining yig'indisi dan kichik
360 daraja
3. Birinchi kosinus teoremasi
uchburchak burchak uchun
4. Uchburchak burchak uchun ikkinchi kosinus teoremasi

,
5. Sinuslar teoremasi
Ichki qismi bo'lgan ko'p burchakli burchak
har birining tekisligining bir tomonida joylashgan
uning yuzlari qavariq ko'p yuzli deb ataladi
burchak. Aks holda, ko'p burchakli burchak
qavariq bo'lmagan deb ataladi.

Ko'pburchak - bu tana, sirt
chekli sondan iborat
tekis ko'pburchaklar.

Ko'p yuzli elementlar
Ko'pburchakning yuzlari
ko'pburchaklar
shakl.
Ko'pburchakning qirralari tomonlardir
poligonlar.
Ko'pburchakning uchlari
ko'pburchak uchlari.
Ko'pburchakning diagonali
2 cho'qqini bog'laydigan chiziq segmenti
bir xil yuzga tegishli emas.

Ko'p yuzli
qavariq
qavariq bo'lmagan

Ko'pburchak qavariq deb ataladi,
agar u bir tomonda bo'lsa
uning ustidagi har bir ko'pburchakning tekisligi
yuzalar.

Qavariq ko‘p yuzli burchaklar

Ko'p burchakli burchak qavariq bo'lsa, qavariq deyiladi
figura, ya'ni uning istalgan ikkita nuqtasi bilan birga u butunlay va ni o'z ichiga oladi
ularni bog'laydigan chiziq.
Rasmda misollar ko'rsatilgan
qavariq
va
qavariq bo'lmagan
ko'p burchakli burchaklar.
Teorema. Qavariq ko'p burchakli burchakning barcha tekis burchaklarining yig'indisi 360 ° dan kichik.

Qavariq politoplar

Burchakli ko'pburchak qavariq deb ataladi, agar u qavariq shakl bo'lsa,
ya'ni, uning istalgan ikkita nuqtasi bilan birga, u butunlay bog'lanishni o'z ichiga oladi
ularning segmenti.
Kub, parallelepiped, uchburchak prizma va piramida qavariqdir
ko'p yuzli.
Rasmda qavariq va qavariq bo'lmagan piramidaga misollar ko'rsatilgan.

MULK 1

Xossa 1. Qavariq ko'pburchakda barcha yuzlar
qavariq ko'pburchaklar.
Darhaqiqat, F ko'pburchakning qandaydir yuzi bo'lsin
M, va A, B nuqtalari yuzga tegishli F. Qavariqlik holatidan
ko'pburchak M, shundan kelib chiqadiki, AB segmenti butunlay o'z ichiga oladi
ko'pburchakda M. Bu segment tekislikda yotadi
ko'pburchak F bo'lsa, u butunlay bu erda bo'ladi
ko'pburchak, ya'ni F - qavariq ko'pburchak.

MULK 2

Xususiyat 2. Har qanday qavariq ko'pburchakdan iborat bo'lishi mumkin
umumiy cho'qqisi bo'lgan piramidalar, ularning asoslari sirt hosil qiladi
ko'pburchak.
Haqiqatan ham, M qavariq ko'pburchak bo'lsin. Keling, bir oz olaylik
M ko'pburchakning ichki S nuqtasi, ya'ni uning bo'lmagan nuqtasi
M ko'pburchakning hech qanday yuziga tegishli emas. S nuqtani bilan bog'laymiz
M ko'pburchakning uchlari segmentlar sifatida. E'tibor bering, konveks tufayli
ko'pburchak M, bu barcha segmentlar M o'z ichiga olgan. bilan piramidalar ko'rib chiqaylik
cho'qqisi S, uning asoslari ko'pburchakning yuzlari M. Bular
piramidalar butunlay M tarkibiga kiradi va ular birgalikda M ko'pburchakni hosil qiladi.

Oddiy ko'p yuzli

Agar ko'pburchakning yuzlari bo'lsa
bir va bilan muntazam ko'pburchaklar
tomonlarning bir xil soni va har bir tepada
ko'p yuzli bir xil sonni birlashtiradi
qirralari, keyin qavariq ko'pburchak
to'g'ri deb ataladi.

Ko'p yuzlilarning nomlari

dan kelgan Qadimgi Gretsiya,
ular yuzlar sonini ko'rsatadi:
"hedra" yuzi;
"tetra" 4;
"hexa" 6;
"okta" 8;
"ikosa" 20;
dodeka 12.

muntazam tetraedr

Guruch. bitta
To'rttadan iborat
teng qirrali
uchburchaklar. Har biri
uning tepasi
uchtadan yuqori
uchburchaklar.
Shuning uchun, summa
da tekis burchaklar
har bir uchi teng
180º.

Muntazam oktaedr
Guruch. 2
Sakkiztadan iborat
teng qirrali
uchburchaklar. Har biri
oktaedrning tepasi
tepasi hisoblanadi
to'rtta uchburchak.
Shuning uchun, summa
da tekis burchaklar
har bir uchi 240º.

Oddiy ikosaedr
Guruch. 3
Yigirmatadan iborat
teng qirrali
uchburchaklar. Har biri
ikosahedr cho'qqisi
eng yaxshi beshlikka kiradi
uchburchaklar.
Shuning uchun, summa
da tekis burchaklar
har bir uchi teng
300º.

Kub (olti burchakli)

Guruch.
4
Oltitadan iborat
kvadratlar. Har biri
kubning tepasi
uchta kvadratning tepasi.
Shuning uchun, summa
har biri uchun tekis burchaklar
yuqori 270º.

Oddiy dodekaedr
Guruch. 5
O'n ikkitadan iborat
to'g'ri
beshburchaklar. Har biri
dodekaedr cho'qqisi
uchning cho'qqisi hisoblanadi
to'g'ri
beshburchaklar.
Shuning uchun, summa
da tekis burchaklar
har bir uchi teng
324º.

1-jadval
To'g'ri
ko'pburchak
Raqam
yuzlar
cho'qqilari
qovurg'alar
Tetraedr
4
4
6
Kub
6
8
12
Oktaedr
8
6
12
Dodekaedr
12
20
30
ikosaedr
20
12
30

Eyler formulasi
Har qanday yuzlar va uchlari sonining yig'indisi
ko'pburchak
qirralarning soni plyus 2 ga teng.
G+W=R+2
Yuzlar soni va cho'qqilar soni minus raqam
qovurg'alar
har qanday ko'pburchakda 2 ga teng.
H+W R=2

2-jadval
Raqam
To'g'ri
ko'pburchak
Tetraedr
yuzlar va
cho'qqilari
(G+V)
qovurg'alar
(R)
4+4=8
6
"tetra" 4;
Kub
6 + 8 = 14
12
"hexa"
6;
Oktaedr
8 + 6 = 14
12
"okta"
Dodekaedr
12 + 20 = 32
30
dodeka"
12.
30
"ikosa"
20
ikosaedr
20 + 12 = 32
8

Muntazam ko'p yuzlilarning ikkitomonlamaligi

Oltitaedr (kub) va oktaedr shakllanadi
ikki juft ko'p yuzli. Raqam
bitta ko'pburchakning yuzlari soniga teng
ikkinchisining uchlari va aksincha.

Har qanday kubni oling va ko'pburchakni ko'rib chiqing
uning yuzlari markazlarida cho'qqilar. Qanday oson
oktaedr olishimizga ishonch hosil qiling.

Oktaedr yuzlarining markazlari kubning uchlari bo'lib xizmat qiladi.

Tabiatda, kimyoda va biologiyada ko'p yuzli
Bizga tanish bo'lgan ba'zi moddalarning kristallari muntazam ko'pburchaklar shaklida bo'ladi.
Kristal
pirit -
tabiiy
model
dodekaedr.
kristallar
pishirish
tuzlar o'tadi
kub shakli.
Monokristal
surma
Kristal
aluminosulfat
(prizma)
kaliy alum natriy - tetraedr.
shaklga ega
oktaedr.
Bir molekulada
metan bor
shakl
to'g'ri
tetraedr.
Ikosaedr biologlarning shakli bo'yicha bahslarida diqqat markazida bo'lgan
viruslar. Virus ilgari o'ylangandek, mukammal yumaloq bo'lishi mumkin emas. Kimga
uning shaklini o'rnatish uchun ular turli xil ko'pburchaklarni olib, ularga nur yo'naltirdilar
virusga atomlarning oqimi bilan bir xil burchaklarda. Ma'lum bo'lishicha, faqat bitta
ko'pburchak aynan bir xil soyani - ikosahedrni beradi.
Tuxumning bo'linishi jarayonida birinchi navbatda to'rtta hujayradan iborat tetraedr hosil bo'ladi, keyin
oktaedr, kub va nihoyat gastrulaning dodekaedr-ikosahedr tuzilishi. Va nihoyat,
Ehtimol, eng muhim narsa - hayotning genetik kodining DNK tuzilishi - ifodalaydi
aylanuvchi dodekaedrning to'rt o'lchovli supurishi (vaqt o'qi bo'ylab)!

San'atda ko'p yuzli
"Monna Liza portreti"
Chizma tarkibi oltinga asoslangan
qismlari bo'lgan uchburchaklar
muntazam yulduzli beshburchak.
gravyura "Melanxoliya"
Rasmning oldingi qismida
dodekaedr tasvirlangan.
"Oxirgi kechki ovqat"
Masih shogirdlari bilan tasvirlangan
ulkan shaffof dodekaedrning fonida.

Arxitekturada ko'p yuzli
Meva muzeylari
Yamanashidagi meva muzeyi yordami bilan yaratilgan
3D modellashtirish.
piramidalar
Iskandariya mayoqchasi
Spasskaya minorasi
Kreml.
Najotkor cherkovi bilan to'rt qavatli Spasskaya minorasi
Qo'lda yasalmagan - Qozon Kremliga asosiy kirish.
16-asrda Pskov me'morlari Ivan tomonidan qurilgan
Shiryayem va laqabli Postnik Yakovlev
"Barma". Minoraning to'rtta qavati
kub, ko'p yuzli va piramida.

Kub, shar, piramida, silindr, konus - geometrik jismlar. Ular orasida ko'pburchaklar mavjud. ko'pburchak sirti chekli sonli ko'pburchaklardan tashkil topgan geometrik jism deb ataladi. Ushbu ko'pburchaklarning har biri ko'pburchakning yuzi deb ataladi, bu ko'pburchaklarning tomonlari va uchlari mos ravishda ko'pburchakning qirralari va cho'qqilari deb ataladi.

Qo'shni yuzlar orasidagi dihedral burchaklar, ya'ni. umumiy tomoni - ko'pburchakning chetiga ega bo'lgan yuzlar ham ko'pburchakning dihedral onglari. Ko'pburchaklarning burchaklari - qavariq ko'pburchakning yuzlari ko'pburchakning tekis onglari. Yassi va ikki burchakli burchaklardan tashqari, qavariq ko'pburchak ham mavjud ko'p burchakli burchaklar. Bu burchaklar umumiy tepaga ega bo'lgan yuzlarni hosil qiladi.

Ko'pburchaklar orasida bor prizmalar va piramidalar.

Prizma - sirti ikkita teng ko'pburchak va asoslarning har biri bilan umumiy tomonlari bo'lgan parallelogrammalardan tashkil topgan ko'pburchakdir.

Ikki teng ko'pburchak deyiladi asoslar ggrzmg va parallelogrammalar - uning lateral yuzlar. Yon yuzlar hosil bo'ladi yon yuzasi prizmalar. Poydevorlarda yotmaydigan qirralar deyiladi yon qovurg'alar prizmalar.

Prizma deyiladi p-ko'mir, agar uning asoslari n-gon bo'lsa. Shaklda. 24.6 to'rtburchak prizmani ko'rsatadi ABCDA "B" C "D".

Prizma deyiladi To'g'riga, uning yon yuzlari to'rtburchaklar bo'lsa (24.7-rasm).

Prizma deyiladi to'g'ri , agar u to'g'ri bo'lsa va uning asoslari bo'lsa muntazam ko'pburchaklar.

To'rtburchak prizma deyiladi parallelepiped agar uning asoslari parallelogrammlar bo'lsa.

Parallelepiped deyiladi to'rtburchaklar, agar uning barcha yuzlari to'rtburchaklar bo'lsa.

Qutining diagonali qarama-qarshi cho'qqilarini bog'laydigan chiziq segmentidir. Parallelepipedning to'rtta diagonali bor.

Buni isbotladi parallelepipedning diagonallari bir nuqtada kesishadi va bu nuqtani ikkiga bo'ladi. To'g'ri burchakli parallelepipedning diagonallari teng.

Piramida- bu ko'pburchak bo'lib, uning yuzasi ko'pburchak - piramida asosi va umumiy uchi bo'lgan uchburchaklardan iborat bo'lib, ular piramidaning yon yuzlari deb ataladi. Bu uchburchaklarning umumiy uchi deyiladi sammit piramidalar, tepadan chiqadigan qirralar - yon qovurg'alar piramidalar.

Piramidaning tepasidan poydevorga tushirilgan perpendikulyar, shuningdek, bu perpendikulyarning uzunligi deyiladi. baland piramidalar.

Eng oddiy piramida uchburchak yoki tetraedr (24.8-rasm). Uchburchak piramidaning o'ziga xos xususiyati shundaki, har qanday yuzni asos sifatida ko'rib chiqish mumkin.

Piramida deyiladi to'g'ri, agar uning asosi muntazam ko'pburchak bo'lsa va barcha yon qirralari bir-biriga teng bo'lsa.

E'tibor bering, biz farqlashimiz kerak muntazam tetraedr(ya'ni, barcha qirralari bir-biriga teng bo'lgan tetraedr) va muntazam uchburchak piramida(uning poydevorida muntazam uchburchak yotadi va yon qirralari bir-biriga teng, lekin ularning uzunligi prizma asosi bo'lgan uchburchak tomonining uzunligidan farq qilishi mumkin).

Farqlash chiqib ketish va qavariq bo'lmagan ko'p yuzli. Qavariq geometrik jism tushunchasidan foydalansangiz, siz qavariq ko'pburchakni belgilashingiz mumkin: ko'pburchak deyiladi. qavariq. agar u konveks shakl bo'lsa, ya'ni. har qanday ikkita nuqta bilan birgalikda ularni bog'laydigan segmentni to'liq o'z ichiga oladi.

Qavariq ko'pburchakni boshqa yo'l bilan aniqlash mumkin: ko'pburchak deyiladi qavariq agar u har bir chegaralovchi ko'pburchakning bir tomonida butunlay yotsa.

Bu ta'riflar o'xshashdir. Biz bu faktning isbotini keltirmaymiz.

Hozirgacha ko'rib chiqilgan barcha ko'pburchaklar qavariq (kub, parallelepiped, prizma, piramida va boshqalar) edi. Shaklda ko'rsatilgan ko'pburchak. 24.9 qavariq emas.

Buni isbotladi qavariq ko'pburchakda barcha yuzlar qavariq ko'pburchaklardir.

Bir nechta qavariq ko'pburchaklarni ko'rib chiqing (24.1-jadval)

Ushbu jadvaldan ko'rib chiqilayotgan barcha qavariq ko'pburchaklar uchun B - P + tengligi kelib chiqadi G= 2. Ma'lum bo'ldiki, u har qanday qavariq ko'pburchak uchun ham amal qiladi. Bu xossa birinchi marta L. Eyler tomonidan isbotlangan va Eyler teoremasi deb nomlangan.

Qavariq ko'pburchak deyiladi to'g'ri agar uning yuzlari teng muntazam ko'pburchaklar bo'lsa va har bir tepada bir xil miqdordagi yuzlar yaqinlashsa.

Qavariq ko'pburchak burchak xususiyatidan foydalanib, buni isbotlash mumkin har xil turlari Beshtadan ortiq oddiy ko'pburchaklar mavjud emas.

Haqiqatan ham, agar fan va ko'pburchak muntazam uchburchaklar bo'lsa, ularning 3, 4 va 5 bir cho'qqisida birlashishi mumkin, chunki 60 "3"< 360°, 60° - 4 < 360°, 60° 5 < 360°, но 60° 6 = 360°.

Agar polifanning har bir uchida uchta muntazam uchburchaklar birlashsa, biz olamiz o'ng qo'l / tetraedr, Fechdan tarjimada "tetraedral" degan ma'noni anglatadi (24.10-rasm, a).

Agar ko'pburchakning har bir uchida to'rtta muntazam uchburchaklar yaqinlashsa, biz olamiz oktaedr(24.10-rasm, ichida). Uning yuzasi sakkizta muntazam uchburchakdan iborat.

Agar ko'pburchakning har bir uchida beshta muntazam uchburchaklar yaqinlashsa, biz olamiz ikosaedr(24.10-rasm, d). Uning yuzasi yigirmata muntazam uchburchakdan iborat.

Agar polifanning yuzlari kvadrat bo'lsa, ulardan faqat uchtasi bir cho'qqida birlashishi mumkin, chunki 90 ° 3< 360°, но 90° 4 = 360°. Этому условию удовлетворяет только куб. Куб имеет шесть фаней и поэтому называется также olti burchakli(24.10-rasm, b).

Agar polifanning yuzlari muntazam beshburchaklar bo'lsa, unda faqat phi ularning bir cho'qqisida birlashishi mumkin, chunki 108 ° 3< 360°, пятиугольники и в каждой вершине сходится три грани, называется dodekaedr(24.10-rasm, e). Uning yuzasi o'n ikkita muntazam beshburchakdan iborat.

Ko'pburchakning yuzlari olti burchakli yoki undan ko'p bo'lishi mumkin emas, chunki olti burchakli uchun ham 120 ° 3 = 360 °.

Uch o'lchovli Evklid fazosida aniq besh xil muntazam ko'p yuzli borligi geometriyada isbotlangan.

Ko'pburchakning modelini yaratish uchun siz uni yasashingiz kerak supurish(aniqrog'i, uning sirtining rivojlanishi).

Ko'pburchakning rivojlanishi - bu tekislikdagi rasm bo'lib, agar ko'pburchak yuzasi ba'zi qirralari bo'ylab kesilsa va bu sirtga kiritilgan barcha ko'pburchaklar bir tekislikda yotadigan qilib ochilsa olinadi.

E'tibor bering, biz qaysi qirralarni kesib olganimizga qarab, ko'pburchak turli xil rivojlanishlarga ega bo'lishi mumkin. 24.11-rasmda muntazam to'rtburchakli piramidaning, ya'ni poydevorida kvadrat yotadigan va barcha yon qirralari bir-biriga teng bo'lgan piramidaning turli xil ishlanmalari bo'lgan raqamlar ko'rsatilgan.

Tekislikdagi figura qavariq ko'pburchakning rivojlanishi bo'lishi uchun u ko'pburchakning xususiyatlari bilan bog'liq bir qator talablarni qondirishi kerak. Masalan, rasmdagi raqamlar. 24.12 oddiy to'rtburchaklar piramidaning skanerlari emas: rasmda ko'rsatilgan. 24.12, a, yuqorida M to'rtta yuz birlashadi, bu to'g'ri bo'lishi mumkin emas to'rtburchak piramida; va rasmda ko'rsatilgan rasmda. 24.12, b, yon qovurg'alar A B va Quyosh teng emas.

Umuman olganda, ko'pburchakning rivojlanishi uning sirtini nafaqat qirralarning bo'ylab kesish orqali olinishi mumkin. Bunday kubni supurishning namunasi rasmda ko'rsatilgan. 24.13. Shuning uchun ko'pburchakning ochilishini aniqroq tekis ko'pburchak sifatida belgilash mumkin, bu ko'pburchakning sirtini bir-biriga yopishmasdan yasash mumkin.

Inqilobning qattiq moddalari

Aylanish tanasi ba'zi bir figuraning (odatda tekis) to'g'ri chiziq atrofida aylanishi natijasida olingan tana deyiladi. Bu qator deyiladi aylanish o'qi.

Silindr- to'rtburchakning uning bir tomoni atrofida aylanishi natijasida olingan ego tanasi. Bunday holda, ko'rsatilgan tomon silindrning o'qi. Shaklda. 24.14 o'qi bo'lgan silindrni ko'rsatadi OO', to'rtburchakning aylanishi natijasida hosil bo'ladi AA "O" O to'g'ri chiziq atrofida OO". ball O va O" tsilindr asoslarining markazlaridir.

To'g'ri to'rtburchakni uning bir tomoni atrofida aylantirish natijasida olingan silindr deyiladi to'g'ridan-to'g'ri dumaloq silindr, chunki uning asoslari parallel tekisliklarda joylashgan ikkita teng doira bo'lib, aylanalarning markazlarini bog'laydigan segment bu tekisliklarga perpendikulyar bo'ladi. Tsilindrning lateral yuzasi silindrning o'qiga parallel bo'lgan to'rtburchakning yon tomoniga teng bo'lgan segmentlardan hosil bo'ladi.

Supurish to'g'ri dumaloq silindrning yon yuzasi, agar generatrix bo'ylab kesilgan bo'lsa, to'rtburchak bo'lib, uning bir tomoni generatrix uzunligiga, ikkinchisi esa asosning aylanasiga teng.

Konus- bu to'g'ri burchakli uchburchakning oyoqlardan biri atrofida aylanishi natijasida olingan tanadir.

Bunday holda, ko'rsatilgan oyoq harakatsiz va chaqiriladi konusning o'qi. Shaklda. 24.15 da to'g'ri burchakli SOA uchburchakning S0 oyog'i atrofida aylanishi natijasida olingan SO o'qi bo'lgan konus ko'rsatilgan. S nuqtasi deyiladi konusning yuqori qismi, OA uning asosining radiusidir.

To'g'ri burchakli uchburchakning oyoqlaridan biri atrofida aylanishi natijasida hosil bo'lgan konus deyiladi tekis dumaloq konus chunki uning asosi aylana bo'lib, tepasi bu doiraning markaziga proyeksiyalangan. Konusning lateral yuzasi uchburchakning gipotenuzasiga teng bo'lgan segmentlar tomonidan hosil bo'ladi, uning aylanish jarayonida konus hosil bo'ladi.

Agar konusning lateral yuzasi generatrix bo'ylab kesilgan bo'lsa, u holda uni tekislikka "ochish" mumkin. Supurish to'g'ri dumaloq konusning lateral yuzasi radiusi bo'lgan dumaloq sektordir, uzunligiga teng generatrix.

Tsilindr, konus yoki boshqa inqilob jismini aylanish o'qi bo'lgan tekislik bilan kesishganda, quyidagilar olinadi: eksenel qism. Tsilindrning eksenel qismi to'rtburchaklar, konusning eksenel qismi esa teng yonli uchburchakdir.

To'p- bu yarim doira a ning diametri atrofida aylanishi natijasida olingan tanadir. Shaklda. 24.16 diametr atrofida yarim doira aylantirish orqali olingan to'pni ko'rsatadi AA". Nuqta O chaqirdi to'pning markazi aylana radiusi esa sharning radiusidir.

Sharning yuzasi deyiladi shar. Sharni tekis qilib bo'lmaydi.

Sferaning tekislikdagi har qanday kesmasi aylana hisoblanadi. Agar tekislik to'pning markazidan o'tsa, to'pning kesimining radiusi eng katta bo'ladi. Shuning uchun, to'pning markazidan o'tadigan tekislik bilan kesma deyiladi katta doira to'pi, va uni chegaralovchi doira - katta doira.

SALOMATDAGI GEOMETRIK JismALARNING TASVIRI

Yassi shakllardan farqli o'laroq, geometrik jismlarni, masalan, qog'oz varag'ida aniq tasvirlab bo'lmaydi. Biroq, samolyotdagi chizmalar yordamida siz fazoviy raqamlarning aniq tasvirini olishingiz mumkin. Buning uchun bunday raqamlarni tekislikda tasvirlashning maxsus usullari qo'llaniladi. Ulardan biri parallel dizayn.

a tekislik va uni kesib o'tuvchi chiziq berilgan bo'lsin a. Fazoda chiziqqa tegishli bo'lmagan ixtiyoriy A" nuqtani olaylik a, va o'tib ketamiz X bevosita a", to'g'ri chiziqqa parallel a(24.17-rasm). To'g'riga a" tekislikni qaysidir nuqtada kesib o'tadi X", qaysi deyiladi X nuqtaning a tekislikka parallel proyeksiyasi.

Agar A nuqta chiziq ustida yotsa a, keyin parallel proyeksiya orqali X" chiziq joylashgan nuqtadir a samolyotni kesib o'tadi a.

Agar nuqta X a tekislikka, keyin nuqtaga tegishli X" nuqta bilan mos keladi x.

Shunday qilib, agar a tekislik va uni kesib o'tuvchi to'g'ri chiziq berilgan bo'lsa a. keyin har bir nuqta X fazoni bitta nuqta bilan bog'lash mumkin A" - nuqtaning parallel proyeksiyasi X a tekisligida (to'g'ri chiziqqa parallel loyihalashda a). samolyot a chaqirdi proyeksiya tekisligi. To'g'ridan-to'g'ri haqida a u hurlaydi, deyishadi dizayn yo'nalishi - ggri to'g'ridan-to'g'ri almashtirish a unga parallel ravishda dizaynning boshqa har qanday bevosita natijasi o'zgarmaydi. Barcha chiziqlar chiziqqa parallel a, dizaynning bir xil yo'nalishini o'rnating va to'g'ri chiziq bilan birga chaqiriladi a proyeksiyalovchi chiziqlar.

proyeksiya raqamlar F to'plam deb ataladi F' barcha panjara nuqtalarining proyeksiyasi. Har bir nuqta uchun xaritalash X raqamlar F"uning parallel proyeksiyasi nuqtadir X" raqamlar F", chaqirdi parallel dizayn raqamlar F(24.18-rasm).

Haqiqiy ob'ektning parallel proyeksiyasi - bu uning soyasining quyosh nurida tekis yuzaga tushishi, chunki quyosh nurlarini parallel deb hisoblash mumkin.

Parallel dizayn bir qator xususiyatlarga ega, ularni bilish geometrik jismlarni tekislikda tasvirlashda zarurdir. Keling, ularning dalillarini keltirmasdan, asosiylarini shakllantirishga harakat qilaylik.

24.1 teorema. Parallel muhandislikda loyiha yo'nalishiga parallel bo'lmagan to'g'ri chiziqlar va ular ustida joylashgan segmentlar uchun quyidagi xususiyatlar bajariladi:

1) to'g'ri chiziqning proyeksiyasi to'g'ri chiziq, segmentning proyeksiyasi esa segment;

2) parallel chiziqlarning proyeksiyalari parallel yoki mos keladi;

3) bir xil to'g'ri chiziqda yoki parallel chiziqlarda yotgan segmentlar proyeksiyalari uzunliklarining nisbati segmentlarning o'zlari uzunliklarining nisbatiga teng.

Bu teoremadan kelib chiqadi oqibati: parallel proyeksiyada segmentning o'rtasi uning proyeksiyasining o'rtasiga proyeksiyalanadi.

Geometrik jismlarni tekislikda tasvirlashda ushbu xususiyatlarning amalga oshirilishini kuzatish kerak. Aks holda, bu o'zboshimchalik bilan bo'lishi mumkin. Demak, parallel bo'lmagan segmentlar uzunliklarining burchaklari va nisbatlari o'zboshimchalik bilan o'zgarishi mumkin, ya'ni, masalan, parallel proyeksiyadagi uchburchak ixtiyoriy uchburchak bilan ifodalanadi. Ammo agar uchburchak teng yonli bo'lsa, u holda uning medianalarining proyeksiyalari uchburchak cho'qqisini qarama-qarshi tomonning o'rta nuqtasi bilan bog'lashi kerak.

Samolyotda fazoviy jismlarni tasvirlashda yana bir talabga rioya qilish kerak - ular haqida to'g'ri tasavvur yaratishga hissa qo'shish.

Masalan, asoslari kvadratlar bo'lgan qiya prizmani tasvirlaymiz.

Keling, avval prizmaning pastki poydevorini quramiz (siz yuqoridan boshlashingiz mumkin). Parallel loyihalash qoidalariga ko'ra, oggo ixtiyoriy ABCD parallelogrammasi bilan ifodalanadi (24.19-rasm, a). Prizma qirralari parallel boʻlganligi uchun qurilgan parallelogrammning choʻqqilaridan oʻtuvchi parallel chiziqlar quramiz va ularga uzunligi ixtiyoriy boʻlgan teng AA”, BB ', CC, DD” segmentlarni qoʻyamiz.A nuqtalarni tutashtirish. ", B", C", D ketma-ket ", biz prizmaning yuqori asosini tasvirlaydigan A "B" C "D" to'rtburchakni olamiz. Buni isbotlash oson. A B C D"- parallelogramma parallelogrammaga teng A B C D va shuning uchun bizda prizmaning tasviri bor, uning asoslari teng kvadratlar, qolgan yuzlari esa parallelogramlardir.

Agar asoslari kvadratlardan iborat bo'lgan to'g'ri prizmani tasvirlash kerak bo'lsa, unda siz ushbu prizmaning yon qirralari 1-rasmda bo'lgani kabi poydevorga perpendikulyar ekanligini ko'rsatishingiz mumkin. 24.19, b.

Bundan tashqari, rasmdagi rasm. 24.19, b uni muntazam prizmaning tasviri deb hisoblash mumkin, chunki uning asosi kvadrat - muntazam to'rtburchak, shuningdek to'rtburchak parallelepiped, chunki uning barcha yuzlari to'rtburchaklardir.

Keling, samolyotda piramidani qanday chizishni bilib olaylik.

Muntazam piramidani tasvirlash uchun avval asosda yotgan muntazam ko'pburchak chiziladi va uning markazi nuqtadir. O. Keyin vertikal chiziq chiziladi OS, piramidaning balandligini ifodalaydi. E'tibor bering, segmentning vertikalligi OS ko'proq vizual ravshanlikni ta'minlaydi. Va nihoyat, S nuqtasi asosning barcha uchlari bilan bog'langan.

Keling, masalan, asosi bo'lgan oddiy piramidani tasvirlaylik muntazam olti burchakli.

Oddiy olti burchakni parallel dizaynda to'g'ri tasvirlash uchun siz quyidagilarga e'tibor berishingiz kerak. ABCDEF muntazam olti burchakli bo'lsin. Keyin BCEF to'rtburchak (24.20-rasm) va shuning uchun parallel proyeksiya bilan u ixtiyoriy B "C" E "F" parallelogrammasi bilan ifodalanadi. AD diagonali ABCDEF ko'pburchakning markazi O nuqtadan o'tganligi sababli segmentlarga parallel. BC va EF va AO \u003d OD, keyin parallel dizayn bilan u ixtiyoriy A "D" segmenti bilan ifodalanadi. , nuqtadan o'tish O" parallel B"C" va E"F" va bundan tashqari, A "O" \u003d O "D".

Shunday qilib, olti burchakli piramidaning asosini qurish ketma-ketligi quyidagicha (24.21-rasm):

§ ixtiyoriy parallelogrammani tasvirlang B"C"E"F" va uning diagonallari; ularning kesishish nuqtasini belgilang O";

§ nuqta orqali O" parallel to‘g‘ri chiziq chizamiz V'S"(yoki E "F');

§ tuzilgan chiziqda ixtiyoriy nuqtani tanlang LEKIN" va nuqtani belgilang D" shu kabi Oh "D" = A "O" va nuqtani ulang LEKIN" nuqta bilan DA" va F", va nuqta D" - bilan nuqta FROM" va E".

Piramidaning qurilishini yakunlash uchun vertikal segment chiziladi OS(uning uzunligi o'zboshimchalik bilan tanlanadi) va S nuqtasini asosning barcha uchlari bilan bog'lang.

Parallel proyeksiyada to'p bir xil radiusli doira sifatida tasvirlangan. To'pning tasvirini ko'proq ko'rish uchun tekisligi proyeksiya tekisligiga perpendikulyar bo'lmagan qandaydir katta doiraning proyeksiyasi chiziladi. Bu proyeksiya ellips bo'ladi. To'pning markazi ushbu ellipsning markazida tasvirlangan bo'ladi (24.22-rasm). Endi siz mos keladigan qutblarni topishingiz mumkin N va S ularni tutashtiruvchi segment ekvator tekisligiga perpendikulyar bo'lishi sharti bilan. Buning uchun nuqta orqali O ga perpendikulyar chiziq chizamiz AB va C nuqtasini belgilang - bu chiziqning ellips bilan kesishishi; keyin C nuqta orqali ekvatorni ifodalovchi ellipsga teginish chizamiz. Masofa ekanligi isbotlangan SM to'pning markazidan har bir qutbgacha bo'lgan masofaga teng. Shuning uchun, segmentlarni bir chetga surib qo'ying ON va OS, teng SM, ustunlarni oling N va S.

Ellipsni qurish usullaridan birini ko'rib chiqing (u siqilish deb ataladigan tekislik konvertatsiyasiga asoslangan): ular diametrli doira quradilar va diametrga perpendikulyar akkordlar tortadilar (24.23-rasm). Har bir akkordning yarmi yarmiga bo'linadi va natijada olingan nuqtalar silliq egri chiziq bilan bog'lanadi. Bu egri chiziq ellips bo'lib, uning asosiy o'qi segmentdir AB, markaz esa nuqtadir O.

Bu texnikani tekislikda tekis dumaloq silindr (24.24-rasm) va tekis aylana konusni (24.25-rasm) chizishda foydalanish mumkin.

To'g'ri dumaloq konus quyidagicha tasvirlangan. Birinchidan, ellips quriladi - asos, keyin asosning markazi topiladi - nuqta O va perpendikulyar chiziq chizamiz OS, konusning balandligini ifodalaydi. S nuqtadan tangenslar ellipsga tortiladi (bu "ko'z bilan", o'lchagich yordamida amalga oshiriladi) va segmentlar tanlanadi. SC va SD bu chiziqlar S nuqtadan aloqa nuqtalarigacha C va D. E'tibor bering, segment CD konusning asosining diametriga mos kelmaydi.

Darsning maqsadi:

Muntazam ko‘pburchaklar tushunchasi bilan tanishtiring.
Muntazam ko'pburchak turlarini ko'rib chiqing.
Muammoni hal qilish.
Fanga qiziqish uyg'otish, geometrik jismlarda go'zallikni ko'rishga o'rgatish, fazoviy tasavvurni rivojlantirish.
Mavzulararo aloqalar.

Ko'rinish: jadvallar, modellar.

Darslar davomida

I. Tashkiliy moment. Dars mavzusini ma'lum qilish, dars maqsadlarini shakllantirish.

II. Yangi materialni o'rganish/

Maktab geometriyasida siz juda chiroyli material bilan uchrashuvni kutayotgan maxsus mavzular mavjud. Ushbu mavzular "muntazam ko'p yuzli" ni o'z ichiga oladi. Bu erda nafaqat noyob xususiyatlarga ega bo'lgan geometrik jismlarning ajoyib dunyosi, balki qiziqarli ilmiy farazlar ham ochiladi. Va keyin geometriya darsi odatiy maktab mavzusining kutilmagan tomonlarini o'rganishning bir turiga aylanadi.

Geometrik jismlarning hech biri oddiy ko'pburchaklar kabi mukammallik va go'zallikka ega emas. “Muntazam ko‘pburchaklar juda kam, – deb yozgan edi L.Kerroll, – ammo soni jihatidan juda kamtarona bo‘lgan bu otryad turli fanlarning eng tubiga kirib borishga muvaffaq bo‘ldi”.

Muntazam ko'pburchakning ta'rifi.

Ko'pburchak muntazam deyiladi, agar:

bu qavariq;
uning barcha yuzlari bir-biriga teng muntazam ko'pburchaklardir;
uning har bir uchida bir xil miqdordagi qirralar birlashadi;
uning barcha dihedral burchaklari teng.

Teorema: Muntazam koʻpburchaklarning besh xil (oʻxshashlikgacha) turlari mavjud: muntazam tetraedr, muntazam oltitaedr (kub), muntazam oktaedr, muntazam dodekaedr va muntazam ikosahedr.

1-jadval.Muntazam ko‘pburchaklarning ayrim xossalari quyidagi jadvalda keltirilgan.

Yuz turi	tepada tekis burchak	Cho'qqidagi ko'pburchak burchakning ko'rinishi	Tepadagi tekis burchaklar yig'indisi	DA	R	G	Ko'pburchakning nomi
to'g'ri uchburchak	60º	3 tomonlama	180º	4	6	4	muntazam tetraedr
to'g'ri uchburchak	60º	4 tomonlama	240º	6	12	8	Muntazam oktaedr
to'g'ri uchburchak	60º	5 tomonlama	300º	12	30	20	Oddiy ikosaedr
Kvadrat	90º	3 tomonlama	270º	8	12	6	Oddiy olti burchakli (kub)
to'g'ri uchburchak	108º	3 tomonlama	324º	20	30	12	Oddiy dodekaedr

Ko'pburchak turlarini ko'rib chiqing:

muntazam tetraedr

<Рис. 1>

Muntazam oktaedr

<Рис. 2>

Oddiy ikosaedr

<Рис. 3>

Oddiy olti burchakli (kub)

<Рис. 4>

Oddiy dodekaedr

<Рис. 5>

2-jadval. Muntazam ko‘pburchaklar hajmlarini topish formulalari.

Ko'pburchak turi	Ko'p yuzli hajm
muntazam tetraedr
Muntazam oktaedr
Oddiy ikosaedr
Oddiy olti burchakli (kub)
Oddiy dodekaedr

"Platonik qattiq jismlar".

Kub va oktaedr ikki tomonlama, ya'ni. Agar birining yuzlarining markazlari ikkinchisining uchi sifatida qabul qilinsa va aksincha, bir-biridan olinadi. Dodekaedr va ikosahedr ham xuddi shunday ikkilikdir. Tetraedr o'zi uchun ikkitadir. Muntazam dodekaedr kubdan uning yuzlarida "tomlar" qurish orqali olinadi (Evklid usuli), tetraedrning uchlari kubning chekka bo'ylab qo'shni bo'lmagan har qanday to'rtta cho'qqisidir. Kubdan boshqa barcha muntazam ko'pburchaklar shu tarzda olinadi. Faqat beshta haqiqatan ham muntazam ko'pburchaklar mavjudligining haqiqati hayratlanarli - axir, samolyotda cheksiz ko'p muntazam ko'pburchaklar mavjud!

Barcha muntazam polihedralar qadimgi Yunonistonda ma'lum bo'lgan va Evklidning mashhur tamoyillarining oxirgi, XII kitobi ularga bag'ishlangan. Ushbu ko'pburchaklar ko'pincha bir xil deb ataladi Platonik qattiq jismlar buyuk qadimgi yunon mutafakkiri Platon tomonidan berilgan dunyoning idealistik rasmida. Ulardan to'rttasi to'rt elementni ifodalagan: tetraedr-olov, kub-er, ikosahedr-suv va oktaedr-havo; beshinchi ko'pburchak, dodekaedr butun olamni ramziy qildi. Lotin tilida ular uni quinta essentia ("beshinchi mohiyat") deb atay boshladilar.

Ko'rinishidan, to'g'ri tetraedr, kub, oktaedrni topish qiyin emas edi, ayniqsa bu shakllar tabiiy kristallarga ega bo'lgani uchun, masalan: kub natriy xloridning monokristalidir (NaCl), oktaedr - kaliy alumining monokristalidir. ((KAlSO 4) 2 l2H 2 O). Qadimgi yunonlar dodekaedr shaklini pirit kristallarini (oltingugurtli pirit FeS) hisobga olgan holda olgan degan taxmin mavjud. Xuddi shu dodekaedrga ega bo'lgan holda, ikosahedrni qurish qiyin emas: uning uchlari dodekaedrning 12 ta yuzining markazlari bo'ladi.

Bu ajoyib jismlarni yana qayerda ko'rish mumkin?

Asrimiz boshidagi nemis biologi E.Gekkelning “Tabiatdagi shakllarning go‘zalligi” nomli juda chiroyli kitobida quyidagi satrlarni o‘qish mumkin: “Tabiat o‘z bag‘rida bitmas-tuganmas hayratlanarli mavjudotlarni oziqlantiradi. go'zallik va xilma-xillikda inson san'ati tomonidan yaratilgan barcha shakllardan ustundir. Bu kitobdagi tabiat ijodlari go'zal va simmetrikdir. Bu tabiiy uyg'unlikning ajralmas xususiyatidir. Ammo bu erda bir hujayrali organizmlar ko'rinadi - feodarii, ularning shakli ikosahedrni aniq uzatadi. Ushbu tabiiy geometriyaga nima sabab bo'ldi? Ehtimol, yuzlari bir xil bo'lgan barcha ko'pburchaklar tufayli, bu eng katta hajm va eng kichik sirt maydoniga ega bo'lgan ikosahedrdir. Bu geometrik xususiyat dengiz mikroorganizmiga suv ustunining bosimini engishga yordam beradi.

Shunisi qiziqki, aynan ikosahedr biologlarning viruslarning shakli haqidagi bahslarida diqqat markazida bo'lgan. Virus ilgari o'ylangandek, mukammal yumaloq bo'lishi mumkin emas. Uning shaklini o'rnatish uchun ular turli xil ko'pburchaklarni oldilar, ularga nurni virusga atomlar oqimi bilan bir xil burchak ostida yo'naltirdilar. Ma'lum bo'lishicha, yuqorida qayd etilgan xususiyatlar genetik ma'lumotni saqlashga imkon beradi. Oddiy ko'pburchaklar eng foydali raqamlardir. Va tabiat bundan foydalanadi. Muntazam ko'pburchaklar ba'zilarining kristall panjaralarining shaklini aniqlaydi kimyoviy moddalar. Keyingi vazifa bu fikrni tasvirlaydi.

Vazifa. CH 4 metan molekulasining modeli oddiy tetraedr shakliga ega bo'lib, to'rtta uchida vodorod atomlari va markazda uglerod atomi joylashgan. Ikki CH-bog' orasidagi bog'lanish burchagini aniqlang.

<Рис. 6>

Yechim. Muntazam tetraedrning oltita teng qirrasi bo'lganligi sababli, uning yuzlarining diagonallari oddiy tetraedrning qirralari bo'ladigan kubni tanlash mumkin. Kubning markazi ham tetraedrning markazidir, chunki tetraedrning to'rtta cho'qqisi ham kubning uchlari bo'lib, ular atrofida tasvirlangan shar bir tekislikda yotmaydigan to'rtta nuqta bilan noyob tarzda aniqlanadi.

AOC uchburchagi teng yon tomonli. Demak, a - kubning tomoni, d - tetraedrning yon yuzi yoki chetining diagonalining uzunligi. Demak, a = 54,73561 0 va j = 109,47 0

Vazifa. Bir uchli (D) kubda DA, DB va DC yuzlarining diagonallari chizilgan va ularning uchlari to'g'ri chiziqlar bilan tutashgan. Bu chiziqlardan o'tgan to'rtta tekislikdan hosil bo'lgan DABC politopi muntazam tetraedr ekanligini isbotlang.

<Рис. 7>

Vazifa. Kubning cheti a. Unga yozilgan muntazam oktaedrning sirtini hisoblang. Uning bir xil kubga chizilgan muntazam tetraedr yuzasiga munosabatini toping.

<Рис. 8>

Ko'pburchak tushunchasini umumlashtirish.

Ko'pburchak - bu chekli sonli tekis ko'pburchaklar yig'indisi, shuning uchun:

har qanday ko'pburchakning har bir tomoni bir vaqtning o'zida ikkinchisining tomoni (lekin bu tomon bo'ylab faqat bittasi (birinchisiga qo'shni deb ataladi));
ko'pburchakni tashkil etuvchi har qanday ko'pburchakdan unga qo'shnisiga o'tish orqali ularning istalganiga erishish mumkin, va bundan, o'z navbatida, unga qo'shniga va hokazo.

Bu ko'pburchaklar yuzlar deb ataladi, ularning tomonlari qirralar deb ataladi va ularning uchlari ko'pburchakning uchlaridir.

Ko'pburchakning quyidagi ta'rifi ko'pburchak qanday aniqlanganiga qarab boshqa ma'noga ega bo'ladi:

- agar ko'pburchak tekis yopiq siniq chiziqlar deb tushunilsa (ular o'zlarini kesishsa ham), u holda ular bu ta'rif ko'pburchak;

- agar ko‘pburchak deganda siniq chiziqlar bilan chegaralangan tekislikning bir qismi tushunilsa, bu nuqtai nazardan ko‘pburchak deganda ko‘pburchak bo‘laklardan tashkil topgan sirt tushuniladi. Agar bu sirt o'z-o'zidan kesishmasa, u qandaydir geometrik jismning to'liq yuzasi bo'lib, uni ko'pburchak deb ham ataladi. Bu erdan geometrik jismlar sifatida ko'pburchaklarda uchinchi nuqtai nazar paydo bo'ladi va bu jismlarda cheklangan miqdordagi tekis yuzlar bilan cheklangan "teshiklar" mavjudligiga ham ruxsat beriladi.

Ko'p yuzlilarning eng oddiy misollari prizmalar va piramidalardir.

Ko'pburchak deyiladi n- ko'mir piramida, agar uning yuzlaridan biri (tayanch) bo'lsa n- kvadrat, qolgan yuzlar esa asos tekisligida yotmaydigan umumiy uchli uchburchaklardir. Uchburchak piramidani tetraedr ham deyiladi.

Ko'pburchak deyiladi n-ko'mir prizmasi, agar uning ikkita yuzi (asoslari) teng bo'lsa n-gonlar (bir tekislikda yotmaydigan), bir-biridan parallel ko'chirish yo'li bilan olingan va qolgan yuzlar parallelogrammlar bo'lib, ularning qarama-qarshi tomonlari asoslarning mos tomonlari.

Nolinchi turdagi har qanday politop uchun Eyler xarakteristikasi (cho'qqilar soni minus qirralarning soni va yuzlar soni) ikkiga teng; ramziy ma'noda: V - P + G = 2 (Eyler teoremasi). Jinsning ko'pburchak uchun p B - R + G \u003d 2 - 2 munosabati p.

Qavariq ko'pburchak - bu uning har qanday yuzi tekisligining bir tomonida joylashgan ko'pburchak. Eng muhimlari quyidagi konveks polihedralardir:

<Рис. 9>

muntazam ko'pburchaklar (Aflotunning qattiq jismlari) - shunday qavariq ko'pburchaklar, ularning barcha yuzlari bir xil muntazam ko'pburchaklar va uchlaridagi barcha ko'pburchak burchaklar muntazam va tengdir.<Рис. 9, № 1-5>;
izogonlar va izogonlar - barcha ko'pburchak burchaklari teng (izogonlar) yoki barcha yuzlarga teng (izoedralar) bo'lgan qavariq ko'p yuzli; bundan tashqari, izogonning (izohedrning) tortishish markazi atrofida aylanishlar guruhi (ko'zgulari bilan) uning har qanday uchlarini (yuzlarini) boshqa har qanday cho'qqilariga (yuzlari) oladi. Shu tarzda olingan ko‘pyoqlamalar yarim muntazam ko‘pyoqlamalar (Arximed qattiq moddalari) deyiladi.<Рис. 9, № 10-25>;
parallelodrlar (qavariq) - ko'pburchaklar, jismlar deb hisoblanadilar, ularning parallel kesishishi orqali ular bir-biriga kirmasligi va o'zaro bo'shliq qoldirmasligi uchun butun cheksiz bo'shliqni to'ldirish mumkin, ya'ni. makon bo'linmasini hosil qildi<Рис. 9, № 26-30>;
Agar ko'pburchak deganda yassi yopiq siniq chiziqlar (ular o'z-o'zidan kesishgan bo'lsa ham) nazarda tutilgan bo'lsa, unda yana 4 ta qavariq bo'lmagan (yulduz shaklidagi) muntazam ko'pburchaklarni (Poinsot jismlarini) ko'rsatish mumkin. Ushbu ko'pburchaklarda yoki yuzlar bir-biri bilan kesishadi yoki yuzlar o'z-o'zidan kesishgan ko'pburchaklardir.<Рис. 9, № 6-9>.

III. Uyga vazifa.

IV. 279-son, 281-sonli masalalar yechish.

V. Xulosa qilish.

Foydalanilgan adabiyotlar roʻyxati:

“Matematik ensiklopediya”, tahririyati I. M. Vinogradova, nashriyot uyi " Sovet entsiklopediyasi”, Moskva, 1985. 4-jild, 552-553-betlar 3-jild, 708-711-betlar.
"Kichik matematik entsiklopediya", E. Frid, I. Pastor, I. Reyman va boshqalar Vengriya Fanlar Akademiyasi nashriyoti, Budapesht, 1976. Pp. 264–267.
“Oliy o‘quv yurtlariga abituriyentlar uchun matematikadan masalalar to‘plami” ikki kitobda, M.I. Scanavi, 2-kitob - Geometriya, nashriyot uyi " magistratura”, Moskva, 1998. bet. 45–50.
“Matematikadan amaliy darslar: Qo'llanma texnik maktablar uchun”, nashriyoti “Vysshaya Shkola”, Moskva, 1979. Pp. 388–395, 405-betlar.
"Matematikani takrorlash", 2-6 nashr, qo'shimcha, Universitetlarga abituriyentlar uchun darslik, "Vysshaya Shkola" nashriyoti, Moskva, 1974. Pp. 446–447.
Yosh matematikning entsiklopedik lug'ati, A. P. Savin,"Pedagogika" nashriyoti, Moskva, 1989. Pp. 197–199.
"Bolalar uchun entsiklopediya. T.P. Matematika”, bosh muharrir M. D. Aksenova; usul va javob. muharrir V. A. Volodin, Avanta + nashriyoti, Moskva, 2003. Pp. 338–340.
Geometriya, 10–11: Darslik ta'lim muassasalari/ L.S. Atanasyan, V.F.Butuzov, S.B.Kadomtsev va boshqalar - 10-nashr - M .: Ta'lim, 2001. Pp. 68–71.
“Kvant” No 9, 11 - 1983, No 12 - 1987, No 11, 12 - 1988, No 6, 7, 8 - 1989. SSSR Fanlar Akademiyasining fizika va matematika bo'yicha ommabop jurnali va SSSR Pedagogika fanlari akademiyasi. "Science" nashriyoti. Fizika-matematika adabiyotining asosiy nashri. Sahifa 5-9, 6-12, 7-9, 10, 4-8, 13, 16, 58.
Geometriyada murakkablik darajasini oshirish masalalarini hal qilish: 11-sinf - M .: ARKTI, 2002. Pp. 9, 19–20.

Maqolaning mazmuni

ko'p yuzli, har qanday ko‘pburchakning har bir tomoni aynan bitta boshqa ko‘pburchakning (qo‘shni ko‘pburchak deb ataladi) tomoni bo‘ladigan tarzda bog‘langan chekli sonli tekis ko‘pburchaklar yig‘indisi bilan chegaralangan fazo qismi va uning atrofida aynan bitta ko‘pburchaklar sikli mavjud. har bir tepalik. Bu ko‘pburchaklar yuzlar, yon tomonlari qirralar, uchlari esa ko‘pburchak cho‘qqilari deyiladi.

Shaklda. 1-rasmda bir nechta taniqli ko'pburchaklar keltirilgan. Birinchi ikkita misol R-ko'mir piramidalari, ya'ni. koʻpburchaklardan tashkil topgan R-gon, tayanch deb ataladi va R asosga ulashgan va umumiy cho'qqiga ega bo'lgan uchburchaklar (piramidaning tepasi deb ataladi). Da R = 3 (sm. guruch. bitta, a) piramidaning har qanday yuzi asos bo'lib xizmat qilishi mumkin. Piramida, uning asosi muntazam shaklga ega R-gon muntazam deyiladi R- ko'mir piramidasi. Shunday qilib, biz kvadrat, oddiy beshburchak va boshqalar haqida gapirishimiz mumkin. piramidalar. Shaklda. bitta, ichida, 1,G va 1, d ko'pburchaklarning ma'lum bir sinfiga misollar keltirilgan, ularning uchlari bir xil sonli nuqtalarning ikkita to'plamiga bo'linishi mumkin; bu to'plamlarning har birining nuqtalari cho'qqilardir R-gon va ikkalasining samolyotlari p-gonlar parallel. Agar bu ikki R-gonlar (asoslar) mos va shunday joylashganki, ularning uchlari bir xil R R-gon parallel to'g'ri chiziq bo'laklari bo'lsa, bunday ko'pburchak deyiladi R- ko'mir prizmasi. Ikki R-burchak prizmalari uchburchak prizma sifatida xizmat qilishi mumkin ( R= 3) rasmda. bitta, ichida va beshburchak prizma ( R= 5) rasmda. bitta, G. Agar asoslar birining uchlari shunday joylashgan bo'lsa R-gon boshqasining uchlari bilan bog'langan R-2 dan iborat zigzag siniq chiziqning gonogi R to'g'ri chiziq segmentlari, rasmda bo'lgani kabi. bitta, d, keyin bunday ko'pburchak deyiladi R-ko'mir antiprizmasi.

Ikki sababdan tashqari, R- uglerod prizmasi mavjud R yuzlar parallelogrammdir. Agar parallelogrammalar to'rtburchaklar shaklida bo'lsa, prizma to'g'ri chiziq deb ataladi va agar qo'shimcha ravishda asoslari muntazam bo'lsa. R-gons, u holda prizma to'g'ri chiziq deyiladi R- ko'mir prizmasi. R-ko'mir antiprizmasi (2 p+ 2) yuzlar: 2 R uchburchak yuzlar va ikkita p- ko'mir bazalari. Agar asoslar mos keladigan muntazam bo'lsa R-gonlar va ularning markazlarini tutashtiruvchi chiziq ularning tekisliklariga perpendikulyar bo'lsa, antiprizma muntazam chiziq deyiladi. R-ko'mir antiprizmasi.

Ko'pburchakning ta'rifida, umumiy cho'qqiga ega bo'lgan ikkita piramida kabi anomaliyalarni ko'rib chiqishdan istisno qilish uchun oxirgi shart qo'yilgan. Endi biz ruxsat etilgan ko'pburchaklar to'plamiga qo'shimcha cheklov kiritamiz, chunki rasmda bo'lgani kabi ikkita yuz kesishmasligi kerak. bitta, e. Ushbu talabni qondiradigan har qanday ko'pburchak fazoni ikki qismga ajratadi, ulardan biri cheklangan va "ichki" deb ataladi. Ikkinchisi, qolgan qismi tashqi deb ataladi.

Agar uning ikkita nuqtasini tutashtiruvchi to'g'ri chiziq bo'lagida tashqi fazoga tegishli nuqtalar bo'lmasa, ko'pburchak qavariq deyiladi. Shaklda ko'p yuzli. bitta, a, 1,b, 1,ichida va 1, d qavariq va shakldagi beshburchak prizma. bitta, G qavariq emas, chunki, masalan, segment PQ prizmaning tashqi fazosida joylashgan nuqtalarni o'z ichiga oladi.

Muntazam politoplar

Qavariq ko'pburchak quyidagi ikkita shartni qondirsa, muntazam deyiladi:

283(i) uning barcha yuzlari kongruent muntazam ko‘pburchaklar;

(ii) har bir cho'qqi bir xil sonli yuzlarga ulashgan.

Agar barcha qirralar to'g'ri bo'lsa R-gons va q ularning har bir cho'qqisiga tutashgan bo'lsa, bunday muntazam ko'pburchak (() bilan belgilanadi. p, q). Ushbu belgi geometriya va matematik tahlilda juda ko'p nafis natijalar bergan shveytsariyalik matematik L. Shlafli (1814-1895) tomonidan taklif qilingan.

Qavariq bo'lmagan ko'pburchaklar mavjud bo'lib, ularning yuzlari kesishadi va ularni "muntazam yulduzli ko'pburchaklar" deb atashadi. Biz bunday ko'pburchaklarni ko'rib chiqmaslikka kelishib olganimiz sababli, oddiy ko'pburchaklar deganda biz faqat qavariq muntazam ko'pburchakni tushunamiz.

Platonik qattiq jismlar.

Shaklda. 2 muntazam ko'pburchaklarni ko'rsatadi. Ulardan eng oddiyi oddiy tetraedr bo'lib, uning yuzlari to'rtta teng qirrali uchburchak va uchta yuzi har bir cho'qqiga tutashgan. Tetraedr belgiga (3, 3) mos keladi. Boshqa hech narsa emas maxsus holat uchburchak piramida. Muntazam ko'pburchaklarning eng mashhuri kub (ba'zan muntazam olti burchakli deb ham ataladi) - to'g'ri kvadrat prizma bo'lib, uning oltita yuzi ham kvadratdir. Har bir cho'qqiga qo'shni 3 ta kvadrat bo'lgani uchun kub (4, 3) bilan belgilanadi. Agar yuzlari teng qirrali uchburchaklar ko'rinishidagi ikkita mos kvadrat piramida asoslar bilan birlashtirilsa, u holda oddiy oktaedr deb ataladigan ko'pburchak olinadi. U sakkizta teng qirrali uchburchak bilan chegaralangan, har bir uchiga to'rtta uchburchak tutashgan va shuning uchun u (3, 4) yozuvga mos keladi. Muntazam oktaedrni to'g'ri muntazam uchburchak antiprizmaning alohida holi sifatida ham ko'rish mumkin. Endi yuzlari teng qirrali uchburchaklar shaklida bo'lgan to'g'ri muntazam beshburchak antiprizmani va asoslari antiprizma asosiga mos keladigan va yuzlari teng tomonli uchburchaklar shaklida bo'lgan ikkita muntazam beshburchakli piramidani ko'rib chiqaylik. Agar bu piramidalar asoslarini tekislab, antiprizmaga biriktirilsa, u holda yana bir muntazam poliedr olinadi. Uning yigirmata yuzi teng qirrali uchburchaklar shaklida boʻlib, har bir choʻqqiga besh yuzi tutashgan. Bunday ko'pburchak muntazam ikosahedr deyiladi va belgilanadi (3, 5). Yuqorida aytib o'tilgan to'rtta muntazam ko'pburchakdan tashqari yana bitta - o'n ikkita beshburchak yuz bilan chegaralangan muntazam dodekaedr; Uning har bir uchiga uchta yuz tutashadi, shuning uchun dodekaedr (5, 3) bilan belgilanadi.

Yuqorida sanab o'tilgan, ko'pincha "Aflotunning qattiq jismlari" deb ham ataladigan beshta muntazam polihedra ikki ming yildan ko'proq vaqt oldin antik davr matematiklari, mistiklari va faylasuflarining tasavvurini egallagan. Qadimgi yunonlar hatto tetraedr, kub, oktaedr va ikosahedr va to'rtta tabiiy printsip - olov, er, havo va suv o'rtasida mistik yozishmalarni o'rnatdilar. Beshinchi muntazam ko'p yuzli dodekaedrga kelsak, ular uni koinotning shakli deb hisoblashgan. Bu g‘oyalar nafaqat o‘tmish merosi. Va endi, ikki ming yillikdan so'ng, ko'pchilik ularning asosidagi estetik printsipni o'ziga jalb qiladi. Ular bugungi kungacha o'zlarining jozibadorligini yo'qotmaganliklarini ispan rassomi Salvador Dalining surati juda ishonchli tarzda tasdiqlaydi. Oxirgi kechki ovqat.

Qadimgi yunonlar, shuningdek, Platonik qattiq jismlarning ko'pgina geometrik xususiyatlarini o'rganishgan; ularning izlanishlari samarasini 13-kitobda topish mumkin Boshlangan Evklid. Platonik qattiq jismlar va tegishli raqamlarni o'rganish bugungi kungacha davom etmoqda. Va asosiy sabablar bo'lsa ham zamonaviy tadqiqotlar go'zallik va simmetriya xizmat qiladi, ular, ayniqsa, kristallografiyada qandaydir ilmiy ahamiyatga ega. Oddiy tuz, natriy tioantimonid va xrom alum kristallari tabiiy ravishda mos ravishda kub, tetraedr va oktaedr shaklida uchraydi. Ikosaedr va dodekaedr kristall shakllar orasida uchramaydi, lekin ular radiolariyaliklar deb nomlanuvchi mikroskopik dengiz organizmlari shakllari orasida kuzatilishi mumkin.

Muntazam ko'pburchaklar soni.

Platonik qattiq jismlardan tashqari boshqa muntazam koʻp yuzlilar ham bormi, degan savol tugʻilishi tabiiy. Quyidagi oddiy mulohazalardan ko'rinib turibdiki, javob yo'q bo'lishi kerak. ruxsat bering ( p, q) ixtiyoriy muntazam ko‘pburchakdir. Chunki uning yuzlari to'g'ri R-gonlar, ularning ichki burchaklari, ko'rsatish oson, tengdir (180 - 360 / R) yoki 180 (1 – 2/ R) daraja. Ko'p yuzli ( p, q) qavariq bo'lsa, uning har qanday uchiga ulashgan yuzlar bo'ylab barcha ichki burchaklar yig'indisi 360 darajadan kam bo'lishi kerak. Lekin har bir tepaga ulashgan q yuzlar, shuning uchun tengsizlik

Buni ko'rish oson p va q 2 dan katta bo'lishi kerak. (1) o'rniga R= 3, biz yagona haqiqiy qiymatlar ekanligini topamiz q bu holda 3, 4 va 5, ya'ni. politoplarni (3, 3), (3, 4) va (3, 5) olamiz. Da R= 4 yagona haqiqiy qiymatdir q 3 bo'ladi, ya'ni. ko'pburchak (4, 3), bilan R= 5 tengsizlik (1) ham faqat qanoatlantiradi q= 3, ya'ni. ko'pburchak (5, 3). Da p> 5 ruxsat etilgan qiymat q mavjud emas. Shuning uchun Platonning qattiq jismlaridan tashqari boshqa muntazam ko'pburchaklar yo'q.

Barcha beshta oddiy polihedra quyidagi jadvalda keltirilgan. Oxirgi uchta ustun ko'rsatadi N 0 - uchlari soni, N 1 - qirralarning soni va N 2 - har bir ko'pburchakning yuzlari soni.

Afsuski, ko'pgina geometriya darsliklarida berilgan muntazam ko'pburchakning ta'rifi to'liq emas. Keng tarqalgan xato shundaki, ta'rif faqat yuqoridagi (i) shartni bajarishni talab qiladi, lekin (ii) shartni o'tkazib yuboradi. Shu bilan birga, (ii) shart mutlaqo zarur bo'lib, uni (i) shartni qondiradigan, lekin (ii) shartni qoniqtirmaydigan qavariq ko'p yuzli ko'rib chiqish orqali tekshirish oson. Bunday turdagi eng oddiy misolni oddiy tetraedrning yuzini birinchisiga mos keladigan boshqa tetraedrning yuzi bilan aniqlash orqali qurish mumkin. Natijada, oltita yuzi bir-biriga mos keladigan teng qirrali uchburchaklar bo'lgan qavariq ko'pburchakni olamiz. Shu bilan birga, uchta yuz ba'zi bir cho'qqilarga, to'rtta boshqasiga ulashgan bo'lib, bu (ii) shartni buzadi.

BESH muntazam politop
Ism	Schlaflining kirishi	N 0 (cho'qqilar soni)	N 1 (qovurg'alar soni)	N 2 (yuzlar soni)
Tetraedr
Kub
Oktaedr
ikosaedr
Dodekaedr

Muntazam ko'p yuzlilarning xossalari.

Har qanday muntazam ko'pburchakning uchlari sharda yotadi (buning ajablanarli joyi yo'q, chunki har qanday muntazam ko'pburchakning uchlari aylanada yotadi). “Cheklangan soha” deb ataladigan bu sohadan tashqari yana ikkita muhim soha mavjud. Ulardan biri "o'rta shar" barcha qirralarning o'rta nuqtalaridan o'tadi, ikkinchisi esa "yozilgan shar" ularning markazlarida barcha yuzlarga tegadi. Uchala sharning ham umumiy markazi bor, u ko'pburchakning markazi deb ataladi.

Ikki tomonlama ko'p yuzli.

Oddiy ko'pburchakni ko'rib chiqing ( p, q) va uning median sferasi S. Har bir chekkaning o'rta nuqtasi sharga tegadi. Har bir qirrani chiziqqa perpendikulyar bo'lgan segment bilan almashtirish S xuddi shu nuqtada, biz olamiz N Politopning 1 qirrasi politopga ikkilangan ( p, q). Ikki tomonlama ko'pburchakning yuzlari muntazam ekanligini ko'rsatish oson q-gons va har bir cho'qqi qo'shni R yuzlar. Shuning uchun ko'pburchak ( p, q) muntazam ko'pburchak ikki tomonlama ( q, p). Politop (3, 3) boshqa politopga (3, 3) mos keladi (shuning uchun (3, 3) o'z-o'zidan ikkilamchi politop deb ataladi), politop (4, 3) politopga qo'sh. (3, 4), politop (5, 3) esa ko'pburchak (3, 5). Shaklda. 3 ta ko'p yuzli (4, 3) va (3, 4) bir-biriga duallik holatida ko'rsatilgan. Bundan tashqari, ko'pburchakning har bir cho'qqisi, har bir cheti va har bir yuzi ( p, q) qo‘sh politopning bir yuzi, bir cheti va bitta cho‘qqisiga mos keladi ( q, p). Shuning uchun, agar ( p, q) bor N 0 cho'qqi, N 1 qovurg'a va N 2 yuz, keyin ( q, p) bor N 2 ta tepalik, N 1 qovurg'a va N 0 yuz.

Har biridan beri N Muntazam ko'pburchakning 2 ta yuzi ( p, q) cheklangan R qirralarning va har bir chekka aniq ikki yuzlari uchun umumiy, keyin bor pN 2/2 qovurg'a, shuning uchun N 1 = pN 2/2. Ikki tomonlama ko'pburchak ( q, p) qirralari ham N 1 va N 0 qirralari, shuning uchun N 1 = qN 0/2. Shunday qilib, raqamlar N 0 , N 1 va N 2 har qanday oddiy ko'pburchak uchun ( p, q) munosabati bilan bog‘langan

Simmetriya.

Muntazam ko'pburchaklarga asosiy qiziqish katta raqam ularda simmetriyalar mavjud. Ko‘pburchakning simmetriyasi (yoki simmetriya o‘zgarishi) deganda uning harakatini tushunamiz. qattiq tana kosmosda (masalan, ma'lum bir to'g'ri chiziq atrofida aylanish, ma'lum bir tekislik haqida aks ettirish va boshqalar), bu ko'pburchakning uchlari, qirralari va yuzlari to'plamini o'zgarishsiz qoldiradi. Boshqacha qilib aytganda, simmetriya o'zgarishi ta'sirida cho'qqi, chekka yoki yuz o'zining dastlabki holatini saqlab qoladi yoki boshqa cho'qqi, boshqa chekka yoki boshqa yuzning dastlabki holatiga o'tkaziladi.

Barcha ko'pburchaklar uchun umumiy bo'lgan bitta simmetriya mavjud. Bu haqida har qanday nuqtani asl holatida qoldiradigan bir xil transformatsiya haqida. Biz to'g'ri chiziq holatida simmetriyaning unchalik ahamiyatsiz misoliga duch kelamiz R-ko'mir prizmasi. Mayli l- asoslar markazlarini tutashtiruvchi to'g'ri chiziq. o'girilmoq; ishni bajarmoq l 360/ burchakning istalgan butun soniga karrali R daraja - simmetriya. Keling, bundan keyin, p- ularga parallel asoslar orasidan o'rtada o'tadigan tekislik. Samolyot haqida fikr yuritish p(har qanday nuqtani tarjima qiladigan harakat P aynan P o , shunday p segmentni kesib o'tadi PP¢ to'g'ri burchak ostida va uni ikkiga bo'ladi) boshqa simmetriyadir. Tekislikka nisbatan aks ettirishni birlashtirish p to'g'ri chiziq atrofida burilish bilan l, biz yana bir simmetriya olamiz.

Ko'pburchakning har qanday simmetriyasini aks ettirish mahsuloti sifatida tasvirlash mumkin. Ko'pburchakning qattiq jism sifatidagi bir nechta harakatlarining mahsuloti bu erda ma'lum bir oldindan belgilangan tartibda individual harakatlarning bajarilishini anglatadi. Masalan, yuqorida aytib o'tilgan 360 aylanish R to'g'ri chiziq atrofida daraja l o'z ichiga olgan har qanday ikkita tekislikka nisbatan aks ettirish mahsulotidir l va bir-biriga nisbatan 180 / burchak hosil qiladi R daraja. Juft sonli ko'zgularning hosilasi bo'lgan simmetriya to'g'ridan-to'g'ri, aks holda teskari deyiladi. Shunday qilib, to'g'ri chiziq atrofidagi har qanday aylanish to'g'ridan-to'g'ri simmetriyadir. Har qanday aks ettirish teskari simmetriyadir.

Keling, tetraedrning simmetriyalarini batafsil ko'rib chiqaylik, ya'ni. muntazam ko'pburchak (3, 3). Tetraedrning istalgan tepasi va markazidan o'tadigan har qanday chiziq qarama-qarshi yuzning markazidan o'tadi. Bu chiziq atrofida 120 yoki 240 daraja aylanish tetraedrning simmetriyalaridan biridir. Tetraedrning 4 ta cho'qqisi (va 4 ta yuzi) bo'lgani uchun biz jami 8 ta to'g'ridan-to'g'ri simmetriyaga ega bo'lamiz. Tetraedr chetining markazi va o'rta nuqtasidan o'tadigan har qanday to'g'ri chiziq qarama-qarshi tomonning o'rta nuqtasidan o'tadi. Bunday to'g'ri chiziq atrofida 180 graduslik burilish (yarim burilish) ham simmetriya hisoblanadi. Tetraedrning 3 juft qirralari bo'lganligi sababli, biz yana 3 ta to'g'ridan-to'g'ri simmetriya olamiz. Binobarin, umumiy soni to'g'ridan-to'g'ri simmetriyalar, shu jumladan, identifikatsiyani o'zgartirish, 12 ga boradi. Boshqa to'g'ridan-to'g'ri simmetriyalar yo'qligini va 12 teskari simmetriya mavjudligini ko'rsatish mumkin. Shunday qilib, tetraedr jami 24 ta simmetriyaga imkon beradi. Aniqlik uchun oddiy tetraedrning karton modelini qurish va tetraedr haqiqatan ham 24 ta simmetriyaga ega ekanligiga ishonch hosil qilish foydalidir. Yupqa kartondan kesilishi mumkin bo'lgan va buklangandan so'ng ulardan beshta oddiy ko'pburchakni yopishtirish mumkin bo'lgan ishlanmalar rasmda ko'rsatilgan. to'rtta.

Qolgan muntazam ko'p yuzlilarning to'g'ridan-to'g'ri simmetriyalarini alohida emas, balki barchasi birgalikda tasvirlash mumkin. Keling, buni tushunishga rozi bo'laylik ( p, q) (3, 3) dan tashqari har qanday muntazam ko'pburchak. Markazdan o'tadigan to'g'ri chiziq ( p, q) va har qanday cho'qqi qarama-qarshi cho'qqidan o'tadi va har qanday aylanish 360/ ning butun soniga ko'payadi. q Bu chiziq atrofidagi darajalar simmetriyadir. Shuning uchun, har bir bunday chiziq uchun, shu jumladan, identifikatsiya o'zgarishi mavjud, ( q– 1) turli simmetriyalar. Har bir bunday chiziq ikkitasini bog'laydi N 0 cho'qqi; shuning uchun barcha to'g'ri chiziqlar - N 0 /2, bu beradi ( q – 1) > N 0/2 simmetriya. Bundan tashqari, ko'pburchakning markazidan o'tadigan chiziq ( p, q) va har qanday yuzning markazi qarama-qarshi yuzning markazidan o'tadi va bunday to'g'ri chiziq atrofida 360 / ga butun sonli aylanish R daraja - simmetriya. Chunki bunday satrlarning umumiy soni N 2/2, qaerda N 2 - ko'p yuzli yuzlar soni ( p, q), olamiz ( p – 1) N 2/2 xil simmetriyalar, shu jumladan identifikatsiyani o'zgartirish. Nihoyat, ko'pburchakning istalgan chetining markazi va o'rta nuqtasidan o'tadigan chiziq ( p, q) qarama-qarshi tomonning o'rta nuqtasidan o'tadi va simmetriya bu chiziq atrofida yarim burilishdir. Chunki bor N 1/2 shunday chiziqlar, qaerda N 1 - ko'pburchakning qirralari soni ( p, q), biz ko'proq narsani olamiz N 1/2 simmetriya. Bir xil o'zgarishlarni hisobga olgan holda, biz olamiz

to'g'ridan-to'g'ri simmetriyalar. Boshqa to'g'ridan-to'g'ri simmetriyalar yo'q va xuddi shunday ko'p teskari simmetriyalar mavjud.

Ko'pburchak (3, 3) uchun formula (3) olinmagan bo'lsa-da, u uchun ham to'g'ri ekanligini tekshirish oson. Demak, politop (3, 3) 12 ta toʻgʻridan-toʻgʻri simmetriyaga ega, koʻp yuzlilar (4, 3) va (3, 4) har biri 24 ta simmetriyaga, koʻp yuzli (5, 3) va (3, 5) esa 60 ta simmetriyaga ega. .

Abstrakt algebra bilan tanish bo'lgan o'quvchilar ko'p yuzli simmetriyalar ( p, q) yuqorida ta'riflangan "ko'paytirish" ga nisbatan guruh hosil qiling. Ushbu guruhda to'g'ridan-to'g'ri simmetriyalar indeks 2 ning kichik guruhini tashkil qiladi, teskari simmetriyalar esa guruh hosil qilmaydi, chunki ular yopish xususiyatini buzadi va identifikatsiyani o'z ichiga olmaydi (guruhning identifikator elementi). Odatda, to'g'ridan-to'g'ri simmetriyalar guruhi ko'pburchaklar guruhi deb ataladi va simmetriyalarning to'liq guruhi uning kengaytirilgan guruhi deb ataladi. Yuqorida ko'rib chiqilgan qo'sh politoplarning xususiyatlaridan ko'rinib turibdiki, har qanday muntazam politop va uning qo'sh politopi bir xil guruhga ega. Tetraedrlar guruhi tetraedr guruhi, kub va oktaedrlar guruhi oktaedr guruhi, dodekaedr va ikosadrlar guruhi esa ikosahedr guruhi deb ataladi. Ular muqobil guruhga izomorfdir LEKIN To'rtta belgidan 4 tasi, nosimmetrik guruh S To'rtta belgidan 4 tasi va o'zgaruvchan guruh LEKIN Beshta belgidan 5 tasi mos ravishda.

Eyler formulasi

Jadvalga qarab, tepaliklar soni o'rtasidagi qiziqarli munosabatni ko'rish mumkin N 0, qirralarning soni N 1 va yuzlar soni N 2 har qanday qavariq muntazam politop ( p, q). Bu nisbat haqida

Olingan ifodalarni (3) va (4) formulalarga almashtirib, ko'pburchakning to'g'ridan-to'g'ri simmetriyalari soni ( p, q) teng

Bu raqam ekvivalent shakllardan birida ham yozilishi mumkin: qN 0 , 2N 1 yoki pN 2 .

Eyler formulasining amal qilish doirasi.

Eyler formulasining ahamiyati shundan iboratki, u nafaqat Platonik qattiq jismlarga, balki sferaga gomeomorf boʻlgan har qanday koʻpburchaklarga ham tegishli ( sm. TOPOLOGIYA). Bu dalil quyidagicha isbotlangan.

Mayli P bilan sharga gomeomorf har qanday ko‘pburchakdir N 0 tepalik, N 1 qovurg'a va N 2 ta yuz; ruxsat bering c = N 0 – N 1 + N 2 - ko'pburchakning Eyler xarakteristikasi P. Buni isbotlash talab qilinadi c= 2. beri R sharga gomeomorf bo'lsa, biz bir yuzni olib tashlashimiz va qolgan qismini tekislikda qandaydir konfiguratsiyaga aylantirishimiz mumkin (masalan, 5-rasmda, a va 5, b oldingi tekisligi olib tashlangan prizmani ko'rasiz). "Teskari konfiguratsiya" nuqtalar va to'g'ri chiziq segmentlari tarmog'i bo'lib, ular mos ravishda "cho'qqilar" va "qirralar" deb ataladi, ularning uchlari qirralarning uchi bo'lib xizmat qiladi. Biz ko'rib chiqayotgan konfiguratsiyaning uchlari va qirralarini ko'pburchakning ko'chirilgan va deformatsiyalangan uchlari va qirralari deb hisoblaymiz. Shunday qilib, bu konfiguratsiya mavjud N 0 cho'qqi va N 1 qovurg'a. Dam olish N Ko'pburchakning 2 - 1 yuzlari deformatsiyalangan N 2 - 1 konfiguratsiya bilan aniqlangan tekislikda bir-birining ustiga tushmaydigan joylar. Keling, ushbu hududlarni konfiguratsiyaning "yuzlari" deb ataymiz. Konfiguratsiyaning uchlari, qirralari va yuzlari Eyler xarakteristikasini aniqlaydi, bu holda bu tengdir. c – 1.

Endi biz tekislashtiramiz, agar olib tashlangan yuz bo'lsa R-gon, keyin hammasi N 2 - 1 konfiguratsiya yuzlari ichki qismni to'ldiradi R-gon. Mayli LEKIN- ichkarida ba'zi bir tepalik R-gon. Faraz qilaylik, ichida LEKIN birlashish r qovurg'alar. Agar o'chirsangiz LEKIN va tamom r unda qirralarning birlashishi, keyin cho'qqilar soni 1 ga, qirralarning - tomonidan kamayadi r, yuzlar - ochiq r – 1 (sm. guruch. 5, b va 5, ichida). Yangi konfiguratsiya No 0 = N 0 - 1 uchlari, No 1 = N 1 – r qovurg'alar va No 2 = N 2 – 1 – (r– 1) yuzlar; Binobarin,

Shunday qilib, bitta ichki cho'qqi va unga yaqinlashuvchi qirralarni olib tashlash konfiguratsiyaning Eyler xarakteristikasini o'zgartirmaydi. Shuning uchun, barcha ichki burchaklarni va ularga yaqinlashadigan qirralarni olib tashlash orqali biz konfiguratsiyani qisqartiramiz. R-gon va uning ichki qismi (5-rasm, G). Lekin Eyler xarakteristikasi tengligicha qoladi c– 1 va konfiguratsiya mavjud bo'lgani uchun R cho'qqilar, R qirralar va 1 yuz, biz olamiz

Shunday qilib, c= 2, bu isbotlanishi kerak edi.

Bundan tashqari, agar politopning Eyler xarakteristikasi 2 bo'lsa, politop sferaga gomeomorf ekanligini isbotlash mumkin. Boshqacha qilib aytganda, politopning Eyler xarakteristikasi 2 bo'lgan taqdirdagina sharga gomeomorf ekanligini ko'rsatib, yuqoridagi natijani umumlashtirishimiz mumkin.

Umumlashtirilgan Eyler formulasi.

Umumlashtirilgan Eyler formulasi boshqa ko'pburchaklarni tasniflash uchun ishlatiladi. Agar ba'zi bir ko'pburchakning 16 ta cho'qqisi, 32 qirrasi va 16 yuzi bo'lsa, uning Eyler xarakteristikasi 16 - 32 + 16 = 0 ga teng bo'ladi. Bu bizga ushbu ko'pburchak torusga gomeomorf ko'pburchaklar sinfiga tegishli ekanligini ta'kidlash imkonini beradi. Bu sinfning o'ziga xos xususiyati nolga teng Eyler xarakteristikasidir. Umuman olganda, keling R- ko'pburchak bilan N 0 tepalik, N 1 qovurg'a va N 2 chekka. Berilgan ko'pburchak jins yuzasiga gomeomorf deyiladi n agar va faqat agar

Va nihoyat, shuni ta'kidlash kerakki, agar oldingi cheklov bo'shashsa, vaziyat ancha murakkablashadi, unga ko'ra ko'pburchakning ikkita yuzi kesishmasligi kerak. Masalan, Eyler xarakteristikasi bir xil bo'lgan ikkita gomeomorf bo'lmagan ko'pyoqlamaning mavjudligi ehtimoli paydo bo'ladi. Ular boshqa topologik xususiyatlar bilan ajralib turishi kerak.

Darsning maqsadi:

Muntazam ko‘pburchaklar tushunchasi bilan tanishtiring.
Muntazam ko'pburchak turlarini ko'rib chiqing.
Muammoni hal qilish.
Fanga qiziqish uyg'otish, geometrik jismlarda go'zallikni ko'rishga o'rgatish, fazoviy tasavvurni rivojlantirish.
Mavzulararo aloqalar.

Ko'rinish: jadvallar, modellar.

Darslar davomida

I. Tashkiliy moment. Dars mavzusini ma'lum qilish, dars maqsadlarini shakllantirish.

II. Yangi materialni o'rganish/

Muntazam ko'pburchakning ta'rifi.

Ko'pburchak muntazam deyiladi, agar:

bu qavariq;
uning barcha yuzlari bir-biriga teng muntazam ko'pburchaklardir;
uning har bir uchida bir xil miqdordagi qirralar birlashadi;
uning barcha dihedral burchaklari teng.

Teorema: Muntazam koʻpburchaklarning besh xil (oʻxshashlikgacha) turlari mavjud: muntazam tetraedr, muntazam oltitaedr (kub), muntazam oktaedr, muntazam dodekaedr va muntazam ikosahedr.

1-jadval.Muntazam ko‘pburchaklarning ayrim xossalari quyidagi jadvalda keltirilgan.

Yuz turi	tepada tekis burchak	Cho'qqidagi ko'pburchak burchakning ko'rinishi	Tepadagi tekis burchaklar yig'indisi	DA	R	G	Ko'pburchakning nomi
to'g'ri uchburchak	60º	3 tomonlama	180º	4	6	4	muntazam tetraedr
to'g'ri uchburchak	60º	4 tomonlama	240º	6	12	8	Muntazam oktaedr
to'g'ri uchburchak	60º	5 tomonlama	300º	12	30	20	Oddiy ikosaedr
Kvadrat	90º	3 tomonlama	270º	8	12	6	Oddiy olti burchakli (kub)
to'g'ri uchburchak	108º	3 tomonlama	324º	20	30	12	Oddiy dodekaedr

Ko'pburchak turlarini ko'rib chiqing:

muntazam tetraedr

<Рис. 1>

Muntazam oktaedr

<Рис. 2>

Oddiy ikosaedr

<Рис. 3>

Oddiy olti burchakli (kub)

<Рис. 4>

Oddiy dodekaedr

<Рис. 5>

2-jadval. Muntazam ko‘pburchaklar hajmlarini topish formulalari.

Ko'pburchak turi	Ko'p yuzli hajm
muntazam tetraedr
Muntazam oktaedr
Oddiy ikosaedr
Oddiy olti burchakli (kub)
Oddiy dodekaedr

"Platonik qattiq jismlar".

Bu ajoyib jismlarni yana qayerda ko'rish mumkin?

Shunisi qiziqki, aynan ikosahedr biologlarning viruslarning shakli haqidagi bahslarida diqqat markazida bo'lgan. Virus ilgari o'ylangandek, mukammal yumaloq bo'lishi mumkin emas. Uning shaklini o'rnatish uchun ular turli xil ko'pburchaklarni oldilar, ularga nurni virusga atomlar oqimi bilan bir xil burchak ostida yo'naltirdilar. Ma'lum bo'lishicha, yuqorida qayd etilgan xususiyatlar genetik ma'lumotni saqlashga imkon beradi. Oddiy ko'pburchaklar eng foydali raqamlardir. Va tabiat bundan foydalanadi. Muntazam polihedralar ba'zi kimyoviy moddalarning kristall panjaralari shaklini aniqlaydi. Keyingi vazifa bu fikrni tasvirlaydi.

<Рис. 6>

AOC uchburchagi teng yon tomonli. Demak, a - kubning tomoni, d - tetraedrning yon yuzi yoki chetining diagonalining uzunligi. Demak, a = 54,73561 0 va j = 109,47 0

<Рис. 7>

Vazifa. Kubning cheti a. Unga yozilgan muntazam oktaedrning sirtini hisoblang. Uning bir xil kubga chizilgan muntazam tetraedr yuzasiga munosabatini toping.

<Рис. 8>

Ko'pburchak tushunchasini umumlashtirish.

Ko'pburchak - bu chekli sonli tekis ko'pburchaklar yig'indisi, shuning uchun:

har qanday ko'pburchakning har bir tomoni bir vaqtning o'zida ikkinchisining tomoni (lekin bu tomon bo'ylab faqat bittasi (birinchisiga qo'shni deb ataladi));
ko'pburchakni tashkil etuvchi har qanday ko'pburchakdan unga qo'shnisiga o'tish orqali ularning istalganiga erishish mumkin, va bundan, o'z navbatida, unga qo'shniga va hokazo.

Bu ko'pburchaklar yuzlar deb ataladi, ularning tomonlari qirralar deb ataladi va ularning uchlari ko'pburchakning uchlaridir.

Ko'pburchakning quyidagi ta'rifi ko'pburchak qanday aniqlanganiga qarab boshqa ma'noga ega bo'ladi:

- agar ko'pburchak deganda tekis yopiq siniq chiziqlar tushunilsa (ular o'zlarini kesishsa ham), u holda ular ko'pburchakning ushbu ta'rifiga kelishadi;

Ko'p yuzlilarning eng oddiy misollari prizmalar va piramidalardir.

Qavariq ko'pburchak - bu uning har qanday yuzi tekisligining bir tomonida joylashgan ko'pburchak. Eng muhimlari quyidagi konveks polihedralardir:

<Рис. 9>

muntazam ko'pburchaklar (Aflotunning qattiq jismlari) - shunday qavariq ko'pburchaklar, ularning barcha yuzlari bir xil muntazam ko'pburchaklar va uchlaridagi barcha ko'pburchak burchaklar muntazam va tengdir.<Рис. 9, № 1-5>;
izogonlar va izogonlar - barcha ko'pburchak burchaklari teng (izogonlar) yoki barcha yuzlarga teng (izoedralar) bo'lgan qavariq ko'p yuzli; bundan tashqari, izogonning (izohedrning) tortishish markazi atrofida aylanishlar guruhi (ko'zgulari bilan) uning har qanday uchlarini (yuzlarini) boshqa har qanday cho'qqilariga (yuzlari) oladi. Shu tarzda olingan ko‘pyoqlamalar yarim muntazam ko‘pyoqlamalar (Arximed qattiq moddalari) deyiladi.<Рис. 9, № 10-25>;
parallelodrlar (qavariq) - ko'pburchaklar, jismlar deb hisoblanadilar, ularning parallel kesishishi orqali ular bir-biriga kirmasligi va o'zaro bo'shliq qoldirmasligi uchun butun cheksiz bo'shliqni to'ldirish mumkin, ya'ni. makon bo'linmasini hosil qildi<Рис. 9, № 26-30>;
Agar ko'pburchak deganda yassi yopiq siniq chiziqlar (ular o'z-o'zidan kesishgan bo'lsa ham) nazarda tutilgan bo'lsa, unda yana 4 ta qavariq bo'lmagan (yulduz shaklidagi) muntazam ko'pburchaklarni (Poinsot jismlarini) ko'rsatish mumkin. Ushbu ko'pburchaklarda yoki yuzlar bir-biri bilan kesishadi yoki yuzlar o'z-o'zidan kesishgan ko'pburchaklardir.<Рис. 9, № 6-9>.

III. Uyga vazifa.

IV. 279-son, 281-sonli masalalar yechish.

V. Xulosa qilish.

Foydalanilgan adabiyotlar roʻyxati:

“Matematik ensiklopediya”, tahririyati I. M. Vinogradova, nashriyoti «Sovet ensiklopediyasi», Moskva, 1985. 4-jild, 552-553-betlar 3-jild, 708-711-betlar.
"Kichik matematik entsiklopediya", E. Frid, I. Pastor, I. Reyman va boshqalar Vengriya Fanlar Akademiyasi nashriyoti, Budapesht, 1976. Pp. 264–267.
“Oliy o‘quv yurtlariga abituriyentlar uchun matematikadan masalalar to‘plami” ikki kitobda, M.I. Scanavi, 2-kitob - Geometriya, "Oliy maktab" nashriyoti, Moskva, 1998. Pp. 45–50.
"Matematikadan amaliy mashg'ulotlar: Texnik maktablar uchun darslik", "Vysshaya Shkola" nashriyoti, Moskva, 1979. Pp. 388–395, 405-betlar.
"Matematikani takrorlash", 2-6 nashr, qo'shimcha, Universitetlarga abituriyentlar uchun darslik, "Vysshaya Shkola" nashriyoti, Moskva, 1974. Pp. 446–447.
Yosh matematikning entsiklopedik lug'ati, A. P. Savin,"Pedagogika" nashriyoti, Moskva, 1989. Pp. 197–199.
"Bolalar uchun entsiklopediya. T.P. Matematika”, bosh muharrir M. D. Aksenova; usul va javob. muharrir V. A. Volodin, Avanta + nashriyoti, Moskva, 2003. Pp. 338–340.
Geometriya, 10-11: Ta’lim muassasalari uchun darslik / L.S. Atanasyan, V.F.Butuzov, S.B.Kadomtsev va boshqalar - 10-nashr - M .: Ta'lim, 2001. Pp. 68–71.
“Kvant” No 9, 11 - 1983, No 12 - 1987, No 11, 12 - 1988, No 6, 7, 8 - 1989. SSSR Fanlar Akademiyasining fizika va matematika bo'yicha ommabop jurnali va SSSR Pedagogika fanlari akademiyasi. "Science" nashriyoti. Fizika-matematika adabiyotining asosiy nashri. Sahifa 5-9, 6-12, 7-9, 10, 4-8, 13, 16, 58.
Geometriyada murakkablik darajasini oshirish masalalarini hal qilish: 11-sinf - M .: ARKTI, 2002. Pp. 9, 19–20.