vektor bo'lsin ( X , da , z ).

Ushbu vektorning o'qlarga moyillik burchaklarini belgilaymiz Ooh, ooh va Oz mos ravishda harflar ,va. uchta raqam cos, cos va cos chaqirdi vektorning yo'nalish kosinuslari. Taxmin qilib = (1; 0; 0 ) biz (9) dan olamiz

Xuddi shunday

(11) - (13) formulalardan quyidagicha:

1) cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1 ,

bular. har qanday nolga teng bo'lmagan vektorning kvadrat yo'nalish kosinuslari yig'indisi birga teng;

bular.bu vektorning yo'nalish kosinuslari uning mos keladigan proyeksiyalariga proportsionaldir.

Eslatma. (11)-(13) formulalardan ko'rinib turibdiki, har qanday birlik vektorning koordinata o'qlaridagi proyeksiyalari mos ravishda uning yo'nalishi kosinuslari bilan mos keladi va shuning uchun

Misol. Vektorning yo'nalish kosinuslarini toping (1; 2; 2). (11)-(13) formulalarga muvofiq bizda mavjud

4. Ikki vektorning vektor ko`paytmasi va uning asosiy xossalari.

Ta'rif. Ikki vektorning vektor mahsulotiva yangi vektor deyiladi, uning moduli vektorlar ustiga qurilgan va umumiy kelib chiqishiga qisqartirilgan parallelogrammning maydoniga teng va ko'paytiriladigan vektorlarga perpendikulyar (boshqacha aytganda, parallelogramm tekisligiga perpendikulyar). ularning ustiga qurilgan) va shunday yo'nalishga yo'naltirilganki, natijada paydo bo'lgan vektor atrofidan eng qisqa burilish vektorning oxiridan qaralganda soat miliga teskari yo'nalishda sodir bo'layotgandek ko'rinadi (40-rasm).

Agar vektorlar kollinear bo'lsa, ularning vektor mahsuloti nol vektorga teng deb hisoblanadi. Ushbu ta'rifdan kelib chiqadiki

|| = || || gunoh,

vektorlar orasidagi burchak qayerda va ( 0 ). Vektorlarning o'zaro ko'paytmasi va belgisi bilan belgilanadi

x yoki yoki [,].

Keling, vektor mahsulotining fizik ma'nosini bilib olaylik. Agar vektor bir nuqtada qo'llaniladigan narsani ifodalasa Xonim silos, va vektor bir nuqtadan ketadi O aynan M, keyin vektor = nuqtaga nisbatan kuch momentini ifodalaydi O.

O'zaro mahsulot xususiyatlari

1 . Faktorlar qayta tashkil etilganda vektor mahsuloti belgisini o'zgartiradi, ya'ni.

x = -(x).

()x=x()=(x), skaler qayerda.

3. Vektor mahsuloti taqsimot qonuniga bo'ysunadi, ya'ni.

4. Agar ikkita vektorning vektor ko'paytmasi nol vektorga teng bo'lsa, u holda ko'paytiriladigan vektorlarning kamida bittasi nol vektorga (trivial holat) teng bo'ladi yoki ular orasidagi burchakning sinusi nolga teng bo'ladi, ya'ni. vektorlar kollineardir.

Orqaga, agar ikkita nolga teng bo'lmagan vektor kollinear bo'lsa, ularning vektor mahsuloti nol vektorga teng.

Shunday qilib , nolga teng bo'lmagan ikkita u vektor kollinear bo'lishi uchun ularning o'zaro ko'paytmasi nol vektorga teng bo'lishi zarur va etarli.

Bundan, xususan, vektorning vektor mahsuloti va o'zi nol vektorga teng ekanligi kelib chiqadi:

x =0

(X ham chaqiriladi vektor kvadrat vektor .

5. Uch vektorning aralash mahsuloti va uning asosiy xossalari.

Uchta vektor bo'lsin va. Tasavvur qiling-a, vektor vektor ko'paytiriladi va hosil bo'lgan vektor x skalar ravishda vektorga ko'paytiriladi va shu bilan (x) son aniqlanadi. U yoki deyiladi aralash mahsulot uchta vektor va.

Qisqartirish uchun aralash mahsulot (x) yoki () bilan belgilanadi.

Keling, aralash mahsulotning geometrik ma'nosini bilib olaylik. Ko'rib chiqilayotgan vektorlar nomutanosib bo'lsin. Keling, vektorlar ustida ham, qirralarda ham parallelepiped quramiz.

X ko'paytma vektor (=) parallelogrammning maydoniga teng OADB (qurilgan parallelepipedning asosi), vektorlar ustiga qurilgan va parallelogramm tekisligiga perpendikulyar yo'naltirilgan (41-rasm).

Skayar ko'paytma (x)= vektor moduli va vektor proyeksiyasining ko'paytmasi (1, (2) bandga qarang).

Tuzilgan parallelepipedning balandligi bu proyeksiyaning mutlaq qiymati hisoblanadi.

Shuning uchun mahsulot | | mutlaq qiymatda parallelepiped asosining maydoni va uning balandligi ko'paytmasiga teng, ya'ni vektorlar ustiga qurilgan parallelepipedning hajmi va.

Shuni ta'kidlash kerakki, skalyar ko'paytma parallelepiped hajmini ba'zan ijobiy, ba'zan esa salbiy belgi bilan beradi. Vektorlar orasidagi burchak keskin bo'lsa, ijobiy belgi olinadi; salbiy - agar ahmoq bo'lsa. O'tkir burchak bilan vektor tekislikning bir tomonida joylashgan OADB , bu vektor va shuning uchun vektorning oxiridan boshlab, k dan aylanish vektorning oxiridan xuddi shunday ko'rinadi, ya'ni. ijobiy yo'nalishda (soat miliga teskari).

Samolyotning boshqa tomonida joylashgan vektor orasidagi o'tmas burchakda OADB vektorga qaraganda, va shuning uchun vektorning oxiridan k dan aylanish salbiy (soat yo'nalishi bo'yicha) yo'nalishda ko'rinadi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, agar vektorlar va asosiy Oxyz bilan bir xil nomdagi tizimni tashkil etsa (Ox, Oy, Oz o'qlari bilan bir xil tarzda o'zaro joylashsa) mahsulot ijobiy bo'ladi va vektorlar tizim hosil qilsa, bu manfiy hisoblanadi. asosiysi bilan bir xil nomdagi.

Shunday qilib, aralash mahsulot - bu raqam,mutlaq qiymati parallelepiped hajmini ifodalaydi,vektorlar asosida qurilgan,qovurg'alar kabi.

Agar ,, vektorlari asosiysi bilan bir xil nomli tizimni tashkil qilsa, mahsulotning belgisi ijobiy, aks holda manfiy bo'ladi.

Bundan kelib chiqadiki, ko'paytmaning mutlaq qiymati = (x) omillarni qanday tartibda olsak ham, o'zgarmaydi. Belgiga kelsak, u ba'zi hollarda ijobiy, boshqalarida salbiy bo'ladi; bu bizning uchta vektorimiz ma'lum bir tartibda olingan, asosiysi bilan bir xil nomdagi tizimni tashkil qiladimi yoki yo'qligiga bog'liq. E'tibor bering, bizning koordinata o'qlarimiz ichki qismga qarasangiz, ular soat miliga teskari yo'nalishda birin-ketin ergashadigan tarzda joylashgan (42-rasm). Ekskursiyani ikkinchi o'qdan yoki uchinchi o'qdan boshlasak, xuddi shu yo'nalishda amalga oshirilgan bo'lsa, ketma-ketlik tartibi buzilmaydi, ya'ni. soat miliga teskari. Bunday holda, ko'paytirgichlar aylana tartibida (tsiklik) qayta joylashtiriladi. Shunday qilib, biz quyidagi mulkni olamiz:

Aralash mahsulot uning omillarining dumaloq (tsiklik) almashinuvi bilan o'zgarmaydi. Ikki qo'shni omilni almashtirish mahsulot belgisini o'zgartiradi

= ==-()=-()=-().

Nihoyat, dan geometrik ma'no aralash mahsulot, quyidagi tasdiq darhol keladi.

Vektorlarni solishtirish uchun zarur va etarli shart,,ularning aralash mahsulotining nolga tengligi:

Def. 1.5.6. Yo'nalish kosinuslari vektor a keling, bu vektor mos ravishda bazis vektorlari bilan hosil qilgan burchaklarning kosinuslarini ataylik, i , j , k .

Vektor yo'nalishi kosinuslari a = (X, da, z) formulalar bilan topiladi:

Yo'nalish kosinuslari kvadratlarining yig'indisi bittaga teng:

Vektor yo'nalishi kosinuslari a uning orth koordinatalari: .

Bazis vektorlari bo'lsin i , j , k umumiy nuqtadan chizilgan O. Biz orts o'qlarning ijobiy yo'nalishlarini o'rnatgan deb taxmin qilamiz Oh, OU, Oz. nuqta yig'ish O (kelib chiqishi) va ortonormal asos i , j , k chaqirdi Kosmosdagi kartezian to'rtburchaklar koordinatalar tizimi. Mayli LEKIN fazodagi ixtiyoriy nuqtadir. Vektor a = O.A= x i + y j + z k chaqirdi radius vektori ball LEKIN, bu vektorning koordinatalari ( x, y, z) nuqta koordinatalari deb ham ataladi LEKIN(belgi: LEKIN(x, y, z)). Koordinata o'qlari Oh, OU, Oz mos ravishda eksa deb ham ataladi abscissa, eksa ordinata, eksa ariza berish.

Agar vektor uning boshlang'ich nuqtasi koordinatalari bilan berilgan bo'lsa DA 1 (x 1 , y 1 , z 1) va yakuniy nuqta DA 2 (x 2 , y 2 , z 2), u holda vektorning koordinatalari oxiri va boshi koordinatalari orasidagi farqga teng bo'ladi: (chunki ).

Tekislikdagi va chiziqdagi dekart to'rtburchaklar koordinata tizimlari mos keladigan miqdoriy (o'lchov bo'yicha) o'zgarishlar bilan aynan bir xil tarzda aniqlanadi.

Oddiy vazifalarni hal qilish.

1-misol Vektorning uzunligi va yo‘nalishi kosinuslarini toping a = 6i – 2j -3k .

Yechim. Vektor uzunligi: . Yo'nalish kosinuslari: .

2-misol Vektor koordinatalarini toping a , teng koordinata o'qlari bilan shakllantirish o'tkir burchaklar, agar bu vektor uzunligi bo'lsa.

Yechim. Chunki , keyin formulani (1.6) o'rniga qo'yib, olamiz . Vektor a koordinata o'qlari bilan o'tkir burchaklar hosil qiladi, shuning uchun orto . Shuning uchun vektorning koordinatalarini topamiz .

3-misol Uchta koplanar bo'lmagan vektor berilgan e 1 = 2i – k , e 2 = 3i + 3j , e 3 = 2i + 3k . Vektorni parchalash d = i + 5j - 2k asos e 1 , e 2 , e 3 .

vektor berilgan bo'lsin. Birlik vektor bilan bir xil yo'nalishda (vektor vektor ) formula bilan topiladi:

.

Eksa bo'lsin koordinata o'qlari bilan burchaklar hosil qiladi
.O'qning yo'nalish kosinuslari Bu burchaklarning kosinuslari deyiladi: Agar yo'nalish birlik vektor bilan berilgan , keyin yo'nalish kosinuslari uning koordinatalari bo'lib xizmat qiladi, ya'ni:

.

Yo'nalish kosinuslari quyidagilar bilan bog'liq:

Agar yo'nalish ixtiyoriy vektor tomonidan berilgan , keyin ushbu vektorning birlik vektorini toping va uni birlik vektor ifodasi bilan taqqoslang , olish:

Skalyar mahsulot

Nuqta mahsuloti
ikkita vektor va ularning uzunliklari orasidagi burchakning kosinusiga ko'paytmasiga teng son deyiladi:
.

Skayar mahsulot quyidagi xususiyatlarga ega:

Binobarin,
.

Skayar ko'paytmaning geometrik ma'nosi: vektor va birlik vektorning nuqta mahsuloti vektorning proyeksiyasiga teng belgilangan yo'nalishda , ya'ni.
.

Skayar ko'paytmaning ta'rifidan quyidagi ortslarni ko'paytirish jadvali keladi
:

.

Agar vektorlar ularning koordinatalari bilan berilgan bo'lsa
va
, ya'ni.
,
, keyin bu vektorlarni skalyarga ko'paytirib, ortsning ko'paytirish jadvalidan foydalanib, biz skalyar ko'paytmaning ifodasini olamiz.
vektorlarning koordinatalari orqali:

.

vektor mahsuloti

Vektorning o'zaro mahsulotivektor uchun vektor deb ataladi , uzunligi va yo'nalishi shartlar bilan belgilanadi:

Vektor mahsuloti quyidagi xususiyatlarga ega:

Birinchi uchta xususiyatdan kelib chiqadiki, vektorlar yig'indisini vektorlar yig'indisiga vektor ko'paytirish polinomni ko'paytirishning odatiy qoidalariga bo'ysunadi. Faqat ko'paytiruvchilarning tartibi o'zgarmasligini ta'minlash kerak.

Asosiy birlik vektorlari quyidagicha ko'paytiriladi:

Agar a
va
, keyin vektorlarning vektor ko'paytmasining xususiyatlarini hisobga olgan holda, vektor ko'paytmasining koordinatalarini omil vektorlari koordinatalaridan hisoblash qoidasini olishimiz mumkin:

Agar yuqorida olingan ortslarni ko'paytirish qoidalarini hisobga olsak, unda:

Agar matritsa determinanti tushunchasini kiritadigan bo'lsak, ikkita vektorning vektor mahsulotining koordinatalarini hisoblash uchun ifoda yozishning yanada ixcham shakli tuzilishi mumkin.

Vektorlar bo'lganda alohida holatni ko'rib chiqing va samolyotga tegishli
, ya'ni. sifatida ifodalanishi mumkin
va
.

Agar vektorlarning koordinatalari jadval shaklida quyidagicha yozilsa:
, u holda ulardan ikkinchi tartibli kvadrat matritsa hosil bo'ladi, deyishimiz mumkin, ya'ni. hajmi
, ikki qator va ikkita ustundan iborat. Har biri kvadrat matritsa ma'lum qoidalarga muvofiq matritsaning elementlaridan hisoblangan va aniqlovchi deb ataladigan raqam tayinlanadi. Ikkinchi tartibli matritsaning determinanti asosiy diagonal va ikkilamchi diagonal elementlarining mahsuloti o'rtasidagi farqga teng:

.

Unday bo `lsa:

Determinantning mutlaq qiymati vektorlar ustida qurilgan parallelogramm maydoniga teng va tomonlarda bo'lgani kabi.

Agar bu ifodani vektor mahsulot formulasi (4.7) bilan solishtirsak, u holda:

Bu ifoda birinchi qatordan uchinchi tartibli matritsaning determinantini hisoblash uchun formuladir.

Shunday qilib:

Uchinchi tartibli matritsa determinanti quyidagicha hisoblanadi:

va oltita hadning algebraik yig‘indisidir.

Uchinchi tartibli matritsaning determinantini hisoblash uchun formuladan foydalansangiz, eslab qolish oson qoidaSarrus, u quyidagicha tuzilgan:

Har bir atama matritsaning turli ustunlarida va turli qatorlarida joylashgan uchta elementning mahsulotidir;

Plyus belgisi asosiy diagonalga parallel bo'lgan uchburchaklar hosil qiluvchi elementlarning mahsulotlariga ega;

Minus belgisi yon diagonalga tegishli elementlarning ko'paytmalariga va yon diagonalga parallel bo'lgan uchburchaklar hosil qiluvchi elementlarning ikkita mahsulotiga beriladi.

TA'RIF

Vektor tartiblangan juft nuqtalar deb ataladi va (ya'ni, bu juftlikdagi nuqtalarning qaysi biri birinchi ekanligi aniq ma'lum).

Birinchi nuqta deyiladi vektorning boshlanishi, ikkinchisi esa uniki oxiri.

Vektorning boshi va oxiri orasidagi masofa deyiladi uzoq yoki vektor moduli.

Boshi va oxiri bir xil bo'lgan vektor deyiladi nol va bilan belgilanadi; uning uzunligi nolga teng deb hisoblanadi. Aks holda, vektorning uzunligi ijobiy bo'lsa, u chaqiriladi nolga teng bo'lmagan.

Izoh. Agar vektor uzunligi birga teng bo'lsa, u chaqiriladi ortom yoki birlik vektor va belgilanadi.

MISOL

Mashq qilish	Vektor mavjudligini tekshiring yagona.
Yechim	Berilgan vektorning uzunligini hisoblaymiz, u kvadrat koordinatalar yig'indisining kvadrat ildiziga teng: Vektorning uzunligi bir ga teng bo'lgani uchun vektor vektor hisoblanadi.
Javob	Vektor bitta.

Nolga teng bo'lmagan vektorni yo'naltirilgan segment sifatida ham aniqlash mumkin.

Izoh. Null vektorning yo'nalishi aniqlanmagan.

Vektor yo'nalishi kosinuslari

TA'RIF

Yo'nalish kosinuslari ba'zi vektorlar koordinata o'qlarining musbat yo'nalishlari bilan vektor hosil qiladigan burchaklarning kosinuslari deb ataladi.

Izoh. Vektorning yo'nalishi yagona yo'nalish kosinuslari bilan aniqlanadi.

Vektorning yo'nalish kosinuslarini topish uchun vektorni normallashtirish kerak (ya'ni vektorni uzunligiga bo'lish):

Izoh. Birlik vektorining koordinatalari uning yo'nalishi kosinuslariga teng.

TEOREMA

(Yo'nalish kosinuslarining xossasi). Yo'nalish kosinuslari kvadratlarining yig'indisi bittaga teng: