Korrelyatsiya koeffitsientlari

Hozirgacha biz faqat ikkita xususiyat o'rtasidagi statistik bog'liqlik mavjudligini aniqladik. Keyinchalik, biz ushbu qaramlikning kuchli yoki zaifligi, shuningdek, uning shakli va yo'nalishi haqida qanday xulosalar chiqarish mumkinligini aniqlashga harakat qilamiz. O'zgaruvchilar o'rtasidagi munosabatlarni miqdoriy baholash mezonlari korrelyatsiya koeffitsientlari yoki bog'lanish o'lchovlari deb ataladi. Ikki o'zgaruvchi, agar ular o'rtasida to'g'ridan-to'g'ri, bir tomonlama munosabatlar mavjud bo'lsa, ijobiy korrelyatsiya qilinadi. Bir yo'nalishli munosabatlarda bir o'zgaruvchining kichik qiymatlari boshqa o'zgaruvchining kichik qiymatlariga, katta qiymatlar esa kattalarga to'g'ri keladi. Ikki o'zgaruvchi, agar ular o'rtasida teskari munosabat mavjud bo'lsa, salbiy korrelyatsiya qilinadi. Ko'p yo'nalishli munosabat bilan bir o'zgaruvchining kichik qiymatlari boshqa o'zgaruvchining katta qiymatlariga mos keladi va aksincha. Korrelyatsiya koeffitsientlarining qiymatlari har doim -1 dan +1 gacha.

ga tegishli o'zgaruvchilar orasidagi korrelyatsiya koeffitsienti sifatida tartibli shkalasi qo'llaniladi Spearman koeffitsienti, va tegishli oʻzgaruvchilar uchun interval masshtab - Pearson korrelyatsiya koeffitsienti(ish lahzasi). Shuni ta'kidlash kerakki, har bir dixotom o'zgaruvchi, ya'ni nominal masshtabga tegishli va ikkita toifaga ega bo'lgan o'zgaruvchi sifatida qaralishi mumkin. tartibli.

Birinchidan, biz studium.sav faylidan jins va psixika o'zgaruvchilari o'rtasida korrelyatsiya mavjudligini tekshiramiz. Bunday holda, ikkilamchi o'zgaruvchi jinsiy aloqa tartibli deb hisoblash mumkin. Quyidagilarni bajaring:

Buyruqlar menyusidan Tahlil qilish (tahlil qilish) Ta'riflovchi statistik ma'lumotlar (Tasviriy statistik ma'lumotlar) O'zaro jadvallar... (Favqulodda vaziyatlar jadvallari) ni tanlang.

O'zgaruvchini ko'chirish jinsiy aloqa satrlar ro'yxatiga va o'zgaruvchiga psixika- ustunlar ro'yxatiga.

Tugmasini bosing Statistika... (Statistika). O'zaro jadvallar: Statistikalar dialog oynasida Korrelyatsiyalar katagiga belgi qo'ying. Davom etish tugmasi bilan tanlovingizni tasdiqlang.

Dialogda oʻzaro jadvallar Jadvallarni bostirish katagiga belgi qo'yish orqali jadvallarni ko'rsatishni to'xtating. OK tugmasini bosing.

Spearman va Pearson korrelyatsiya koeffitsientlari hisoblab chiqiladi va ularning ahamiyati tekshiriladi:

Simmetrik o'lchovlar

		qiymat	Asimpt. Std. Xato(a) (Asimptotik standart xato)	Taxminan T (b) (taxminan T)	Taxminan Sig. (taxminan ahamiyati)
Interval bo'yicha interval (Interval - interval)	Pearsonning R (R Pearson)	,441	,081	5,006	.000 (s)
Tartib bo'yicha tartib (tartib - tartib)	Spearman korrelyatsiyasi (Spearman korrelyatsiyasi)	,439	,083	4,987	.000 (s)
N amaldagi holatlar		106

Bu erda intervalli o'zgaruvchilar mavjud emasligi sababli, biz Spearman korrelyatsiya koeffitsientini ko'rib chiqamiz. Bu 0,439 va eng muhimi (p<0,001).

Korrelyatsiya koeffitsienti qiymatlarini og'zaki tavsiflash uchun quyidagi jadvaldan foydalaniladi:

Yuqoridagi jadval asosida quyidagi xulosalar chiqarish mumkin: Jins va psixika o'zgaruvchilari o'rtasida zaif korrelyatsiya mavjud (qaramlikning kuchliligi to'g'risida xulosa), o'zgaruvchilar ijobiy korrelyatsiya (qaramlik yo'nalishi to'g'risida xulosa).

Psixika o'zgaruvchisida kichikroq qiymatlar salbiy ruhiy holatga, kattaroq qiymatlar esa ijobiyga to'g'ri keladi. Jinsiy o'zgaruvchida, o'z navbatida, "1" qiymati ayol jinsiga va "2" - erkakka mos keladi.

Binobarin, bir yo‘nalishli munosabatni quyidagicha talqin qilish mumkin: talaba qizlar o‘zlarining ruhiy holatini erkak hamkasblariga qaraganda salbiyroq baholaydilar yoki so‘rov o‘tkazishda, katta ehtimol bilan, bunday baholashga rozi bo‘lishadi.Bunday talqinlarni tuzishda e’tiborga olish kerak. Ikki belgi o'rtasidagi bog'liqlik ularning funktsional yoki sababiy bog'liqligi bilan bir xil emasligini hisobga oling, bu haqda ko'proq ma'lumot olish uchun 15.3-bo'limga qarang.

Endi alter va semestr o'zgaruvchilari o'rtasidagi korrelyatsiyani tekshiramiz. Keling, yuqorida tavsiflangan usulni qo'llaymiz. Biz quyidagi koeffitsientlarni olamiz:

Simmetrik o'lchovlar

			Asimpt. Std. xato (a)
Interval bo'yicha interval
Ordinal tomonidan tartib	Spearman korrelyatsiyasi
N amaldagi holatlar

a. Nol gipotezani qabul qilmaslik (Null gipoteza qabul qilinmaydi).

e. Nol gipotezani qabul qilishda asimptotik standart xatolikdan foydalanish.

Bilan. Oddiy yaqinlashuvga asoslangan.

Alter va semestr metrik o'zgaruvchilar bo'lgani uchun biz Pearson koeffitsientini (mahsulot momentini) ko'rib chiqamiz. Bu 0,807. Alter va semestr o'zgaruvchilari o'rtasida kuchli korrelyatsiya mavjud. O'zgaruvchilar ijobiy bog'liqdir. Binobarin, katta yoshdagi talabalar yuqori kurslarda o'qiydilar, bu aslida kutilmagan xulosa emas.

Keling, sozial (ijtimoiy mavqeni baholash) va psixika o'zgaruvchilarini korrelyatsiya uchun tekshiramiz. Biz quyidagi koeffitsientlarni olamiz:

Simmetrik o'lchovlar

			Asimpt. Std. xato (a)
Interval bo'yicha interval
Ordinal tomonidan tartib	Spearman korrelyatsiyasi
N amaldagi holatlar

a. Nol gipotezani qabul qilmaslik (Null gipoteza qabul qilinmaydi).

b. Nol gipotezani qabul qilishda asimptotik standart xatolikdan foydalanish.

Bilan. Oddiy yaqinlashuvga asoslangan.

Bu holda biz Spearman korrelyatsiya koeffitsientini ko'rib chiqamiz; -0,703 ni tashkil qiladi. Sozial va psixika o'rtasida o'rtacha va kuchli korrelyatsiya mavjud (kesish 0,7). O'zgaruvchilar manfiy korrelyatsiyaga ega, ya'ni birinchi o'zgaruvchining qiymati qanchalik katta bo'lsa, ikkinchisining qiymati shunchalik past bo'ladi va aksincha. Sozial o'zgaruvchining kichik qiymatlari ijobiy holatni (1 = juda yaxshi, 2 = yaxshi) va katta ruhiy qiymatlar salbiy holatni tavsiflaydi (1 = o'ta beqaror, 2 = beqaror), shuning uchun psixologik qiyinchiliklar. asosan ijtimoiy muammolar bilan bog'liq.

Korrelyatsiya koeffitsienti - bu ikki o'zgaruvchi o'rtasidagi bog'lanish darajasi. Uning hisob-kitobi ikkita ma'lumot to'plami o'rtasida bog'liqlik bor-yo'qligi haqida fikr beradi. Regressiyadan farqli o'laroq, korrelyatsiya qiymatlarni bashorat qilishga imkon bermaydi. Biroq, koeffitsientni hisoblash dastlabki statistik tahlilning muhim bosqichidir. Masalan, to'g'ridan-to'g'ri xorijiy investitsiyalar darajasi va YaIM o'sishi o'rtasidagi korrelyatsiya koeffitsienti yuqori ekanligini aniqladik. Bu bizga farovonlikni ta’minlash uchun xorijlik tadbirkorlar uchun maxsus qulay iqlim yaratish zarurligi haqida tushuncha beradi. Birinchi qarashda unchalik aniq emas xulosa!

Korrelyatsiya va nedensellik

Ehtimol, bizning hayotimizda shunchalik mustahkam o'rnatilgan statistikaning biron bir sohasi yo'q. Korrelyatsiya koeffitsienti jamoatchilik bilimining barcha sohalarida qo'llaniladi. Uning asosiy xavfi shundaki, uning yuqori qadriyatlari ko'pincha odamlarni ishontirish va ularni ba'zi xulosalarga ishontirish uchun taxmin qilinadi. Biroq, aslida, kuchli korrelyatsiya miqdorlar o'rtasidagi sababiy bog'lanishni umuman ko'rsatmaydi.

Korrelyatsiya koeffitsienti: Pirson va Spirman formulasi

Ikki o'zgaruvchi o'rtasidagi munosabatni tavsiflovchi bir nechta asosiy ko'rsatkichlar mavjud. Tarixiy jihatdan birinchisi, Pearsonning chiziqli korrelyatsiya koeffitsienti. Bu maktabda o'tkaziladi. Fr.ning ishlari asosida K.Pirson va J. Yule tomonidan ishlab chiqilgan. Galton. Bu koeffitsient ratsional ravishda o'zgaruvchan ratsional sonlar orasidagi munosabatni ko'rish imkonini beradi. U har doim -1 dan katta va 1 dan kichik. Salbiy raqam teskari proportsional munosabatni bildiradi. Agar koeffitsient nolga teng bo'lsa, unda o'zgaruvchilar o'rtasida bog'liqlik yo'q. Ijobiy songa teng - o'rganilayotgan miqdorlar o'rtasida to'g'ridan-to'g'ri proportsional bog'liqlik mavjud. Spearmanning darajali korrelyatsiya koeffitsienti o'zgaruvchan qiymatlar ierarxiyasini qurish orqali hisob-kitoblarni soddalashtirishga imkon beradi.

O'zgaruvchilar o'rtasidagi munosabatlar

Korrelyatsiya ikkita savolga javob berishga yordam beradi. Birinchidan, o'zgaruvchilar orasidagi munosabatlar ijobiy yoki salbiy. Ikkinchidan, giyohvandlik qanchalik kuchli. Korrelyatsiya tahlili bu muhim ma'lumotlarni olish uchun kuchli vositadir. Uy xo'jaliklarining daromadlari va xarajatlari mutanosib ravishda ko'tarilib, kamayib borayotganini ko'rish oson. Bunday munosabatlar ijobiy deb hisoblanadi. Aksincha, mahsulot narxi ko'tarilsa, unga bo'lgan talab kamayadi. Bunday munosabatlar salbiy deb ataladi. Korrelyatsiya koeffitsientining qiymatlari -1 va 1 orasida. Nol o'rganilayotgan qiymatlar o'rtasida hech qanday bog'liqlik yo'qligini anglatadi. Ko'rsatkich ekstremal qiymatlarga qanchalik yaqin bo'lsa, munosabatlar kuchliroq (salbiy yoki ijobiy). Bog'liqlikning yo'qligi -0,1 dan 0,1 gacha bo'lgan koeffitsient bilan tasdiqlanadi. Shuni tushunish kerakki, bunday qiymat faqat chiziqli munosabatlarning yo'qligini ko'rsatadi.

Ilova xususiyatlari

Ikkala ko'rsatkichdan foydalanish muayyan taxminlarga bog'liq. Birinchidan, kuchli munosabatlarning mavjudligi bir qiymat boshqasini belgilaydigan haqiqatni aniqlamaydi. Ularning har birini belgilaydigan uchinchi miqdor bo'lishi mumkin. Ikkinchidan, yuqori Pearson korrelyatsiya koeffitsienti o'rganilayotgan o'zgaruvchilar o'rtasidagi sababiy bog'liqlikni ko'rsatmaydi. Uchinchidan, u faqat chiziqli munosabatlarni ko'rsatadi. Korrelyatsiyadan jins yoki sevimli rang kabi toifalar emas, balki mazmunli miqdoriy ma'lumotlarni (masalan, barometrik bosim, havo harorati) baholash uchun foydalanish mumkin.

Ko'p korrelyatsiya koeffitsienti

Pearson va Spearman ikki o'zgaruvchi o'rtasidagi munosabatni o'rgandilar. Ammo ularning uchtasi yoki undan ko'pi bo'lsa, nima qilish kerak. Bu erda ko'p korrelyatsiya koeffitsienti keladi. Masalan, yalpi milliy mahsulotga nafaqat to‘g‘ridan-to‘g‘ri xorijiy investitsiyalar, balki davlatning pul-kredit va soliq-byudjet siyosati, eksport darajasi ham ta’sir ko‘rsatadi. YaIMning o'sish sur'ati va hajmi bir qator omillarning o'zaro ta'siri natijasidir. Biroq shuni tushunish kerakki, ko'p korrelyatsiya modeli bir qator soddalashtirish va taxminlarga asoslangan. Birinchidan, miqdorlar orasidagi multikollinearlik chiqarib tashlanadi. Ikkinchidan, bog'liq o'zgaruvchi va unga ta'sir etuvchi o'zgaruvchilar o'rtasidagi bog'liqlik chiziqli deb taxmin qilinadi.

Korrelyatsiya va regressiya tahlilidan foydalanish sohalari

Miqdorlar orasidagi munosabatni topishning bu usuli statistikada keng qo'llaniladi. Ko'pincha uchta asosiy holatda qo'llaniladi:

1. Ikki o'zgaruvchining qiymatlari o'rtasidagi sabab-oqibat munosabatlarini tekshirish uchun. Natijada, tadqiqotchi chiziqli munosabatni topishga va miqdorlar orasidagi ushbu munosabatlarni tavsiflovchi formulani olishga umid qiladi. Ularning o'lchov birliklari boshqacha bo'lishi mumkin.
2. Qiymatlar orasidagi munosabatni tekshirish uchun. Bunday holda, hech kim qaysi o'zgaruvchiga bog'liqligini aniqlamaydi. Ma'lum bo'lishicha, ikkala miqdorning qiymati boshqa omilni aniqlaydi.
3. Tenglamani chiqarish uchun. Bunday holda, siz shunchaki raqamlarni unga almashtirishingiz va noma'lum o'zgaruvchining qiymatlarini bilib olishingiz mumkin.

Sabab-oqibat munosabatlarini qidirayotgan odam

Ong shunday tartibga solinganki, biz atrofda sodir bo'layotgan voqealarni aniq tushuntirishimiz kerak. Inson doimo o'zi yashayotgan dunyoning surati va olgan ma'lumotlari o'rtasidagi bog'liqlikni qidiradi. Ko'pincha miya tartibsizlikdan tartib yaratadi. U sabab-oqibat munosabatlari bo'lmagan joyda osongina ko'rishi mumkin. Olimlar ushbu tendentsiyani engib o'tishni o'rganishlari kerak. Ma'lumotlar o'rtasidagi munosabatlarni baholash qobiliyati akademik martaba uchun ob'ektiv muhimdir.

OAV tarafkashligi

Korrelyatsiya mavjudligini qanday qilib noto'g'ri talqin qilish mumkinligini ko'rib chiqing. Bir guruh yomon xulq-atvorli britaniyalik talabalardan ota-onalari sigaret chekadimi, deb so'rashdi. Keyin test gazetasida chop etildi. Natija ota-onalarning chekishlari va farzandlarining huquqbuzarliklari o‘rtasida kuchli bog‘liqlik borligini ko‘rsatdi. Ushbu tadqiqotni o'tkazgan professor hatto sigaret qutilariga bu haqda ogohlantirish qo'yishni taklif qildi. Biroq, bu xulosa bilan bir qator muammolar mavjud. Birinchidan, korrelyatsiya kattaliklarning qaysi biri mustaqil ekanligini bildirmaydi. Shu sababli, ota-onalarning zararli odatiga bolalarning itoatsizligi sabab bo'lgan deb taxmin qilish mumkin. Ikkinchidan, ikkala muammo ham uchinchi omil tufayli yuzaga kelmadi, deb aniq aytish mumkin emas. Masalan, kam ta'minlangan oilalar. Tadqiqotni o'tkazgan professorning dastlabki xulosalarining hissiy jihatini ta'kidlash kerak. U chekishning ashaddiy raqibi edi. Shuning uchun u o'z tadqiqoti natijalarini shunday talqin qilsa ajab emas.

xulosalar

Korrelyatsiyani ikki o'zgaruvchi o'rtasidagi sababiy bog'liqlik sifatida noto'g'ri talqin qilish sharmandali tadqiqot xatolariga olib kelishi mumkin. Muammo shundaki, u inson ongining o'zagida yotadi. Ko'pgina marketing fokuslari bu xususiyatga asoslanadi. Sabab va korrelyatsiya o'rtasidagi farqni tushunish kundalik hayotda ham, kasbiy karerangizda ham ma'lumotni oqilona tahlil qilish imkonini beradi.

Korrelyatsiya koeffitsienti+1 dan -1 gacha o'zgarishi mumkin bo'lgan qiymatdir. To'liq ijobiy korrelyatsiya bo'lsa, bu koeffitsient plyus 1 ga teng (ular aytadiki, bir o'zgaruvchining qiymati oshishi bilan boshqa o'zgaruvchining qiymati ortadi), va to'liq salbiy korrelyatsiya bilan - minus 1 (mulohaza bildiring. , ya'ni bir o'zgaruvchining qiymatlari ortishi bilan boshqasining qiymatlari pasayadi).

Misol 1:

Uyatchanlik va tushkunlikning qaramlik grafigi. Ko'rib turganingizdek, nuqtalar (mavzular) tasodifiy joylashgan emas, balki bir chiziq atrofida joylashgan va bu chiziqqa qarab, shuni aytishimiz mumkinki, odamda uyatchanlik qanchalik baland bo'lsa, shunchalik depressiv, ya'ni bu hodisalar. o‘zaro bog‘langan.

Ex 2: Uyatchanlik va xushmuomalalik uchun grafik. Ko‘ramizki, uyatchanlik kuchaygan sari xushmuomalalik pasayadi. Ularning korrelyatsiya koeffitsienti -0,43. Shunday qilib, 0 dan 1 gacha bo'lgan korrelyatsiya koeffitsienti to'g'ridan-to'g'ri proportsional munosabatni ko'rsatadi (qanchalik ko'p ... ko'proq ...), va -1 dan 0 gacha bo'lgan koeffitsient teskari proportsional munosabatni bildiradi (qanchalik ko'p ... shuncha kam . ..)

Agar korrelyatsiya koeffitsienti 0 bo'lsa, ikkala o'zgaruvchi ham bir-biridan butunlay mustaqildir.

korrelyatsiya- bu individual omillarning ta'siri faqat haqiqiy ma'lumotlarni ommaviy kuzatish tendentsiyasi (o'rtacha) sifatida namoyon bo'ladigan munosabatlardir. Korrelyatsiya bog'liqligiga misol qilib bank aktivlari hajmi va bank foydasi miqdori, mehnat unumdorligining o'sishi va xodimlarning ish staji o'rtasidagi bog'liqlikni keltirish mumkin.

Korrelyatsiyalarni ularning kuchiga ko'ra tasniflashning ikkita tizimi qo'llaniladi: umumiy va xususiy.

Korrelyatsiyalarning umumiy tasnifi: 1) kuchli yoki korrelyatsiya koeffitsienti r> 0,70 bilan yaqin; 2) 0,500,70 darajasida o'rtacha, va faqat yuqori darajadagi muhimlik korrelyatsiyasi emas.

Quyidagi jadvalda har xil turdagi masshtablar uchun korrelyatsiya koeffitsientlarining nomlari keltirilgan.

	Dichotomous shkala (1/0)	Darajali (tartib) shkalasi
Dichotomous shkala (1/0)	Pearsonning assotsiatsiya koeffitsienti, Pearsonning to'rt hujayrali konjugatsiya koeffitsienti.		Biserial korrelyatsiya
Darajali (tartib) shkalasi	Darajali-biserial korrelyatsiya.	Spearman yoki Kendall darajali korrelyatsiya koeffitsienti.
Intervalli va mutlaq shkala	Biserial korrelyatsiya	Intervalli shkalaning qiymatlari darajalarga aylantiriladi va daraja koeffitsienti qo'llaniladi	Pearson korrelyatsiya koeffitsienti (chiziqli korrelyatsiya koeffitsienti)

Da r=0 chiziqli korrelyatsiya mavjud emas. Bunda o'zgaruvchilarning guruh o'rtalari ularning umumiy o'rtachalari bilan mos keladi va regressiya chiziqlari koordinata o'qlariga parallel bo'ladi.

Tenglik r=0 faqat chiziqli korrelyatsiya bog'liqligi (korrelyatsiyasiz o'zgaruvchilar) yo'qligi haqida gapiradi, lekin umuman olganda korrelyatsiyaning yo'qligi va undan ham ko'proq statistik bog'liqlik haqida emas.

Ba'zida korrelyatsiya yo'qligi haqidagi xulosa kuchli bog'liqlik mavjudligidan muhimroqdir. Ikki o'zgaruvchining nol korrelyatsiyasi, agar biz o'lchovlar natijalariga ishonsak, bir o'zgaruvchining boshqasiga ta'siri yo'qligini ko'rsatishi mumkin.

SPSS da: 11.3.2 Korrelyatsiya koeffitsientlari

Hozirgacha biz faqat ikkita xususiyat o'rtasidagi statistik bog'liqlik mavjudligini aniqladik. Keyinchalik, biz ushbu qaramlikning kuchli yoki zaifligi, shuningdek uning shakli va yo'nalishi haqida qanday xulosalar chiqarish mumkinligini aniqlashga harakat qilamiz. O'zgaruvchilar o'rtasidagi munosabatlarni miqdoriy baholash mezonlari korrelyatsiya koeffitsientlari yoki bog'lanish o'lchovlari deb ataladi. Ikki o'zgaruvchi, agar ular o'rtasida to'g'ridan-to'g'ri, bir tomonlama munosabatlar mavjud bo'lsa, ijobiy korrelyatsiya qilinadi. Bir yo'nalishli munosabatlarda bir o'zgaruvchining kichik qiymatlari boshqa o'zgaruvchining kichik qiymatlariga, katta qiymatlar esa kattalarga to'g'ri keladi. Ikki o'zgaruvchi, agar ular o'rtasida teskari munosabat mavjud bo'lsa, salbiy korrelyatsiya qilinadi. Ko'p yo'nalishli munosabat bilan bir o'zgaruvchining kichik qiymatlari boshqa o'zgaruvchining katta qiymatlariga mos keladi va aksincha. Korrelyatsiya koeffitsientlarining qiymatlari har doim -1 dan +1 gacha.

Ordinal masshtabga mansub o'zgaruvchilar orasidagi korrelyatsiya koeffitsienti sifatida Spirmen koeffitsienti, intervalli shkalaga mansub o'zgaruvchilar uchun esa Pirson korrelyatsiya koeffitsienti (mahsulotlar momenti) qo'llaniladi. Bunda shuni ta'kidlash kerakki, har bir dixotom o'zgaruvchi, ya'ni nominal masshtabga mansub va ikki toifaga ega bo'lgan o'zgaruvchini tartibli deb hisoblash mumkin.

Birinchidan, biz studium.sav faylidan jins va psixika o'zgaruvchilari o'rtasida korrelyatsiya mavjudligini tekshiramiz. Bunda dixotomiyali o‘zgaruvchan jinsni tartibli o‘zgaruvchi deb hisoblash mumkinligini hisobga olamiz. Quyidagilarni bajaring:

Buyruqlar menyusidan Tahlil qilish (tahlil qilish) Ta'riflovchi statistik ma'lumotlar (Ta'riflovchi statistik ma'lumotlar) O'zaro jadvallar... (Favqulodda vaziyatlar jadvallari) ni tanlang.

· O‘zgaruvchan jinsni qatorlar ro‘yxatiga, o‘zgaruvchan psixikani esa ustunlar ro‘yxatiga o‘tkazing.

· Statistika... tugmasini bosing. O'zaro jadvallar: Statistikalar dialog oynasida Korrelyatsiyalar katagiga belgi qo'ying. Davom etish tugmasi bilan tanlovingizni tasdiqlang.

· Crosstabs dialog oynasida Jadvallarni to'xtatish katagiga belgi qo'yish orqali jadvallarni ko'rsatishni to'xtating. OK tugmasini bosing.

Spearman va Pearson korrelyatsiya koeffitsientlari hisoblab chiqiladi va ularning ahamiyati tekshiriladi:

/ SPSS 10

Vazifa raqami 10 Korrelyatsiya tahlili

Korrelyatsiya tushunchasi

Korrelyatsiya yoki korrelyatsiya koeffitsienti statistik ko'rsatkichdir ehtimollik miqdoriy shkala bo'yicha o'lchanadigan ikki o'zgaruvchi o'rtasidagi munosabatlar. Bir o'zgaruvchining har bir qiymati mos keladigan funktsional ulanishdan farqli o'laroq qat'iy belgilangan boshqa o'zgaruvchining qiymati, ehtimollik aloqasi bitta o'zgaruvchining har bir qiymati mos kelishi bilan tavsiflanadi qiymatlar to‘plami Boshqa o'zgaruvchi, ehtimollik munosabatlariga misol - bu odamlarning bo'yi va vazni o'rtasidagi munosabat. Turli xil vazndagi odamlar bir xil balandlikda va aksincha bo'lishi mumkinligi aniq.

Korrelyatsiya -1 va + 1 orasidagi qiymat bo'lib, r harfi bilan belgilanadi. Bundan tashqari, agar qiymat 1 ga yaqin bo'lsa, bu kuchli aloqa mavjudligini anglatadi va agar u 0 ga yaqin bo'lsa, zaifdir. Korrelyatsiya qiymati 0,2 dan kam bo'lsa, zaif korrelyatsiya, 0,5 dan yuqori - yuqori. Agar korrelyatsiya koeffitsienti manfiy bo'lsa, bu teskari munosabat mavjudligini anglatadi: bir o'zgaruvchining qiymati qanchalik yuqori bo'lsa, ikkinchisining qiymati past bo'ladi.

r koeffitsientining qabul qilingan qiymatlariga qarab, korrelyatsiyaning turli turlarini ajratish mumkin:

Kuchli ijobiy korrelyatsiya r=1 qiymati bilan aniqlanadi. "Qat'iy" atamasi bitta o'zgaruvchining qiymati boshqa o'zgaruvchining qiymatlari bilan yagona aniqlanishini anglatadi va " ijobiy" - bir o'zgaruvchining qiymati oshgani sayin boshqa o'zgaruvchining qiymati ham ortadi.

Qattiq korrelyatsiya matematik abstraksiya bo'lib, haqiqiy tadqiqotlarda deyarli hech qachon uchramaydi.

ijobiy korrelyatsiya 0 qiymatlariga mos keladi

Korrelyatsiya etishmasligi r=0 qiymati bilan aniqlanadi. Nolga teng korrelyatsiya koeffitsienti o'zgaruvchilar qiymatlari hech qanday tarzda bir-biriga bog'liq emasligini ko'rsatadi.

Korrelyatsiya etishmasligi H o : 0 r xy =0 aks ettirish sifatida shakllantirilgan null korrelyatsiya tahlilidagi gipotezalar.

salbiy korrelyatsiya: -1

Kuchli salbiy korrelyatsiya r= -1 qiymati bilan aniqlanadi. U qat'iy ijobiy korrelyatsiya kabi abstraktsiya bo'lib, amaliy tadqiqotlarda o'z ifodasini topmaydi.

1-jadval

Korrelyatsiya turlari va ularning ta'riflari

Korrelyatsiya koeffitsientini hisoblash usuli o'zgaruvchining qiymatlari o'lchanadigan shkala turiga bog'liq.

Korrelyatsiya koeffitsienti rPearson asosiy bo'lib, nominal va qisman tartiblangan intervalli shkalaga ega bo'lgan o'zgaruvchilar uchun ishlatilishi mumkin, bu qiymatlarning taqsimlanishi normalga mos keladi (mahsulot momentlarining korrelyatsiyasi). Pearson korrelyatsiya koeffitsienti g'ayritabiiy taqsimot holatlarida ham juda aniq natijalar beradi.

Oddiy bo'lmagan taqsimotlar uchun Spearman va Kendall darajali korrelyatsiya koeffitsientlaridan foydalanish afzalroqdir. Ular tartiblangan, chunki dastur korrelyatsiya qilingan o'zgaruvchilarni oldindan tartiblaydi.

SPSS dasturi r-Spearman korrelyatsiyasini quyidagicha hisoblaydi: birinchi navbatda o'zgaruvchilar darajalarga aylantiriladi, so'ngra darajalarga Pirson-formulasi qo'llaniladi.

M. Kendall tomonidan taklif qilingan korrelyatsiya aloqa yo'nalishini sub'ektlarni juftlikda solishtirish orqali hukm qilish mumkin degan fikrga asoslanadi. Agar bir juft sub'ekt uchun X ning o'zgarishi Y ning o'zgarishi yo'nalishi bo'yicha mos kelsa, bu ijobiy munosabatni ko'rsatadi. Agar u mos kelmasa, unda salbiy munosabatlar haqida. Ushbu koeffitsient asosan kichik namunalar bilan ishlaydigan psixologlar tomonidan qo'llaniladi. Sotsiologlar katta ma'lumotlar massivlari bilan ishlaganligi sababli, juftliklar bo'yicha saralash, namunadagi barcha sub'ektlar juftlarining nisbiy chastotalari va inversiyalaridagi farqni aniqlash qiyin. Eng keng tarqalgani koeffitsientdir. Pearson.

rPearson korrelyatsiya koeffitsienti asosiy bo'lgani uchun va miqdoriy shkala bo'yicha o'lchanadigan barcha o'zgaruvchilar uchun (shkala turiga va taqsimotdagi g'ayritabiiylik darajasiga qarab bir oz xatolik bilan) foydalanish mumkinligi sababli, biz undan foydalanish misollarini ko'rib chiqamiz va solishtiramiz. boshqa korrelyatsiya koeffitsientlari yordamida o'lchov natijalari bilan olingan natijalar.

Koeffitsientni hisoblash formulasi r- Pearson:

r xy = ∑ (Xi-Xav)∙(Yi-Yav) / (N-1)∙s x ∙s y ∙

Bu erda: Xi, Yi- Ikki o'zgaruvchining qiymatlari;

Xav, Yav - ikkita o'zgaruvchining o'rtacha qiymatlari;

s x , s y - standart og'ishlar,

N - kuzatishlar soni.

Juftlik korrelyatsiyalari

Masalan, biz an'anaviy qadriyatlarning turli xil turlari o'rtasidagi javoblar o'quvchilarning ideal ish joyi haqidagi g'oyalarida qanday bog'liqligini aniqlashni istaymiz (o'zgaruvchilar: a9.1, a9.3, a9.5, a9.7). , va keyin liberal qiymatlar nisbati haqida (a9 .2, a9.4, a9.6, a9.8). Bu o'zgaruvchilar 5 muddatli tartibli shkalalarda o'lchanadi.

Biz protseduradan foydalanamiz: "Tahlil",  "Korrelyatsiya",  "Juftlangan". Odatiy bo'lib, koeffitsient Pearson dialog oynasida o'rnatiladi. Biz koeffitsientdan foydalanamiz Pearson

Tekshirilgan o'zgaruvchilar tanlov oynasiga o'tkaziladi: a9.1, a9.3, a9.5, a9.7

OK tugmasini bosish orqali biz hisob-kitobni olamiz:

Korrelyatsiyalar

a9.1.t. Oila va shaxsiy hayot uchun etarli vaqtga ega bo'lish qanchalik muhim?	Pearson korrelyatsiyasi
	Qiymat (2 tomonlama)
a9.3.t. Ishingizni yo'qotishdan qo'rqmaslik qanchalik muhim?	Pearson korrelyatsiyasi
	Qiymat (2 tomonlama)
a9.5.t. U yoki bu qarorni qabul qilishda siz bilan maslahatlashadigan shunday xo'jayinning bo'lishi qanchalik muhim?	Pearson korrelyatsiyasi
	Qiymat (2 tomonlama)
a9.7.t. Yaxshi muvofiqlashtirilgan jamoada ishlash, o'zini uning bir qismi sifatida his qilish qanchalik muhim?	Pearson korrelyatsiyasi
	Qiymat (2 tomonlama)

** Korrelyatsiya 0,01 darajasida muhim (2 tomonlama).

Tuzilgan korrelyatsiya matritsasining miqdoriy qiymatlari jadvali

Qisman korrelyatsiyalar:

Birinchidan, keling, ushbu ikki o'zgaruvchi o'rtasida juftlik korrelyatsiyasini quramiz:

Korrelyatsiyalar
c8. O'zingizni yoningizda yashaydiganlar, qo'shnilar bilan yaqin his qiling	Pearson korrelyatsiyasi
	Qiymat (2 tomonlama)
c12. Ularning oilasiga yaqin bo'ling	Pearson korrelyatsiyasi
	Qiymat (2 tomonlama)
**. Korrelyatsiya 0,01 darajasida muhim (2 tomonlama).

Keyin qisman korrelyatsiyani qurish tartibidan foydalanamiz: “Tahlil”,  “Korrelyatsiya”,  “Qisman”.

Aytaylik, ko'rsatilgan o'zgaruvchilarga nisbatan "Ishingiz tartibini mustaqil ravishda aniqlash va o'zgartirish muhim" qiymati hal qiluvchi omil bo'ladi, uning ta'siri ostida ilgari aniqlangan munosabatlar yo'qoladi yoki ahamiyatsiz bo'lib chiqadi. .

Korrelyatsiyalar
Cheklangan o'zgaruvchilar			c8. O'zingizni yoningizda yashaydiganlar, qo'shnilar bilan yaqin his qiling	c12. Ularning oilasiga yaqin bo'ling
c16. Siz bilan bir xil boylikka ega bo'lgan odamlarga yaqin bo'ling	c8. O'zingizni yoningizda yashaydiganlar, qo'shnilar bilan yaqin his qiling	Korrelyatsiya
		Muhimligi (2 tomonlama)
	c12. Ularning oilasiga yaqin bo'ling	Korrelyatsiya
		Muhimligi (2 tomonlama)

Jadvaldan ko'rinib turibdiki, nazorat o'zgaruvchisi ta'siri ostida munosabatlar biroz kamaydi: 0,120 dan 0,102 gacha. u etarlicha yuqori bo'lib qolmoqda va buni rad etishga imkon beradi nol gipoteza.

Korrelyatsiya koeffitsienti

Korrelyatsiyaning zichligi va xarakterini aniqlashning eng aniq usuli korrelyatsiya koeffitsientini topishdir. Korrelyatsiya koeffitsienti quyidagi formula bo'yicha aniqlanadigan raqamdir:

bu yerda r xy korrelyatsiya koeffitsienti;

x i -birinchi xususiyatning qiymatlari;

i -ikkinchi xususiyatning qiymatlari;

Birinchi xususiyat qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymati

Ikkinchi xususiyat qiymatlarining o'rtacha arifmetik qiymati

Formuladan (32) foydalanish uchun biz korrelyatsiya koeffitsientining payini va maxrajini topish uchun raqamlarni tayyorlashda kerakli ketma-ketlikni ta'minlaydigan jadval tuzamiz.

Formuladan (32) ko'rinib turibdiki, harakatlar ketma-ketligi quyidagicha: biz x va y belgilarining arifmetik vositalarini topamiz, belgining qiymatlari va uning o'rtacha (x i) o'rtasidagi farqni topamiz. - ) va y i - ), keyin ularning ko’paytmasini topamiz (x i - ) ( y i - ) – ikkinchisining yig’indisi korrelyatsiya koeffitsientining numeratorini beradi. Uning maxrajini topish uchun (x i -) va (y i -) ayirmalarning kvadratiga aylanib, ularning yig‘indisini topib, ularning ko‘paytmasidan kvadrat ildizni ajratib olish kerak.

Shunday qilib, masalan, 31, (32) formulaga muvofiq korrelyatsiya koeffitsientini topish quyidagicha ifodalanishi mumkin (50-jadval).

Olingan korrelyatsiya koeffitsienti soni munosabatlarning mavjudligi, yaqinligi va xarakterini aniqlashga imkon beradi.

1. Agar korrelyatsiya koeffitsienti nolga teng bo'lsa, xususiyatlar o'rtasida bog'liqlik yo'q.

2. Agar korrelyatsiya koeffitsienti birga teng bo'lsa, xususiyatlar o'rtasidagi bog'liqlik shunchalik kattaki, u funktsionalga aylanadi.

3. Korrelyatsiya koeffitsientining mutlaq qiymati noldan birgacha bo'lgan intervaldan tashqariga chiqmaydi:

Bu ulanishning zichligiga e'tibor qaratishga imkon beradi: koeffitsient nolga qanchalik yaqin bo'lsa, aloqa qanchalik zaif bo'lsa va birlikka yaqinroq bo'lsa, ulanish yaqinroq bo'ladi.

4. Korrelyatsiya koeffitsientining “plyus” belgisi to‘g‘ridan-to‘g‘ri korrelyatsiyani, “minus” belgisi esa buning aksini bildiradi.

Jadval 50

x i	i	(x i - )	(y i - )	(x i - )(y i - )	(x i - )2	(y i - )2
14,00	12,10	-1,70	-2,30	+3,91	2,89	5,29
14,20	13,80	-1,50	-0,60	+0,90	2,25	0,36
14,90	14,20	-0,80	-0,20	+0,16	0,64	0,04
15,40	13,00	-0,30	-1,40	+0,42	0,09	1,96
16,00	14,60	+0,30	+0,20	+0,06	0,09	0,04
17,20	15,90	+1,50	+2,25	2,25
18,10	17,40	+2,40	+2,00	+4,80	5,76	4,00
109,80	101,00		12,50	13,97	13,94

Shunday qilib, 31-misolda hisoblangan korrelyatsiya koeffitsienti r xy = +0,9 ga teng. quyidagi xulosalar chiqarishga imkon beradi: o'rganilayotgan maktab o'quvchilarida o'ng va chap qo'llarning mushaklari kuchining kattaligi o'rtasida bog'liqlik mavjud (r xy \u003d + 0,9 koeffitsienti nolga teng emas), munosabatlar juda yaqin (koeffitsient r xy \u003d + 0,9) birlikka yaqin), korrelyatsiya to'g'ridan-to'g'ri (r xy = +0,9 koeffitsienti ijobiy), ya'ni qo'llardan birining mushaklari kuchayishi bilan ikkinchi qo'lning kuchi ortadi.

Korrelyatsiya koeffitsientini hisoblashda va uning xususiyatlaridan foydalanishda, xususiyatlar normal taqsimlanganda va ikkala xususiyatning katta miqdordagi qiymatlari o'rtasidagi bog'liqlik hisobga olinganda, xulosalar to'g'ri natijalar berishini hisobga olish kerak.

Ko'rib chiqilgan 31-misolda ikkala xususiyatning atigi 7 ta qiymati tahlil qilindi, bu, albatta, bunday tadqiqotlar uchun etarli emas. Bu erda yana bir bor eslatib o'tamizki, ushbu kitobdagi va xususan, ushbu bobdagi misollar har qanday ilmiy tajribalarning batafsil taqdimoti emas, balki tasvirlash usullari xarakteriga ega. Natijada, oz sonli xususiyat qiymatlari hisobga olinadi, o'lchovlar yaxlitlanadi - bularning barchasi usul g'oyasini noqulay hisob-kitoblar bilan yashirmaslik uchun amalga oshiriladi.

Ko'rib chiqilayotgan munosabatlarning mohiyatiga alohida e'tibor berilishi kerak. Agar xususiyatlar o'rtasidagi munosabatlarni tahlil qilish rasmiy ravishda amalga oshirilsa, korrelyatsiya koeffitsienti tadqiqotning to'g'ri natijalariga olib kela olmaydi. Keling, 31-misolga qaytaylik. Ikkala ko'rib chiqilgan belgi o'ng va chap qo'llarning mushaklari kuchining qiymatlari edi. Tasavvur qilaylik, 31-misoldagi x i xususiyat (14,0; 14,2; 14,9... ...18,1) orqali tasodifiy tutilgan baliq uzunligini santimetrda, y i (12,1 ; 13,8; 14,2 ... ...) xususiyati bilan tushunamiz. 17.4) - laboratoriyadagi asboblarning kilogrammdagi og'irligi. Korrelyatsiya koeffitsientini topish uchun hisob-kitoblar apparatidan rasmiy ravishda foydalangan va bu holda ham r xy =+0>9 ni olganimizdan so'ng, baliqning uzunligi va vazni o'rtasida to'g'ridan-to'g'ri tabiatdagi yaqin bog'liqlik bor degan xulosaga kelishimiz kerak edi. asboblar. Bunday xulosaning bema'niligi aniq.

Korrelyatsiya koeffitsientidan foydalanishga rasmiy yondashuvdan qochish uchun belgilar o'rtasidagi korrelyatsiya imkoniyatini aniqlash, ya'ni belgilarning organik birligini aniqlash uchun boshqa har qanday usuldan - matematik, mantiqiy, eksperimental, nazariy - foydalanish kerak. Shundan keyingina korrelyatsiya tahlilidan foydalanishni boshlash va munosabatlarning kattaligi va xarakterini aniqlash mumkin.

Matematik statistikada ham tushuncha mavjud ko'p korrelyatsiya- Uch yoki undan ortiq xususiyatlar o'rtasidagi munosabatlar. Bunday hollarda yuqorida tavsiflangan juft korrelyatsiya koeffitsientlaridan tashkil topgan ko'p korrelyatsiya koeffitsienti qo'llaniladi.

Masalan, uchta belgining korrelyatsiya koeffitsienti - x í, y í, z í - quyidagicha:

bu yerda R xyz -x i xususiyatning y i va z i xususiyatlariga qanday bog'liqligini ifodalovchi ko'p korrelyatsiya koeffitsienti;

r xy -x i va y i xususiyatlar orasidagi korrelyatsiya koeffitsienti;

r xz - Xi va Zi xususiyatlari o'rtasidagi korrelyatsiya koeffitsienti;

r yz - y i, z i xususiyatlar orasidagi korrelyatsiya koeffitsienti

Korrelyatsiya tahlili:

Korrelyatsiya tahlili

Korrelyatsiya- ikki yoki undan ortiq tasodifiy o'zgaruvchilarning statistik munosabati (yoki qabul qilinadigan aniqlik darajasida shunday deb hisoblanishi mumkin bo'lgan o'zgaruvchilar). Shu bilan birga, bu miqdorlarning bir yoki bir nechtasining o'zgarishi boshqa yoki boshqa miqdorlarning tizimli o'zgarishiga olib keladi. Korrelyatsiya koeffitsienti ikkita tasodifiy o'zgaruvchining korrelyatsiyasining matematik o'lchovi bo'lib xizmat qiladi.

Korrelyatsiya ijobiy va salbiy bo'lishi mumkin (shuningdek, statistik bog'liqlik bo'lmasligi ham mumkin - masalan, mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar uchun). salbiy korrelyatsiya - korrelyatsiya, bunda bir o'zgaruvchining ortishi boshqa o'zgaruvchining kamayishi bilan bog'liq, korrelyatsiya koeffitsienti esa manfiy. ijobiy korrelyatsiya - bir o'zgaruvchining ortishi boshqa o'zgaruvchining ortishi bilan bog'liq bo'lgan korrelyatsiya koeffitsienti ijobiy bo'lgan korrelyatsiya.

avtokorrelyatsiya - o'rtasidagi statistik bog'liqlik tasodifiy o'zgaruvchilar bir qatordan, lekin siljish bilan olingan, masalan, tasodifiy jarayon uchun - vaqtning o'zgarishi bilan.

O'zgaruvchilar orasidagi koeffitsientlarni (korrelyatsiyalarni) o'rganishdan iborat bo'lgan statistik ma'lumotlarni qayta ishlash usuli deyiladi. korrelyatsiya tahlili.

Korrelyatsiya koeffitsienti

Korrelyatsiya koeffitsienti yoki juft korrelyatsiya koeffitsienti ehtimollik nazariyasi va statistikada bu ikkita tasodifiy o'zgaruvchining o'zgarishi tabiatining ko'rsatkichidir. Korrelyatsiya koeffitsienti lotincha R harfi bilan belgilanadi va -1 dan +1 gacha bo'lgan qiymatlarni olishi mumkin. Agar modul qiymati 1 ga yaqin bo'lsa, bu kuchli ulanishning mavjudligini anglatadi (korrelyatsiya koeffitsienti birga teng bo'lsa, ular funktsional ulanish haqida gapirishadi), agar 0 ga yaqin bo'lsa, zaifdir.

Pearson korrelyatsiya koeffitsienti

Metrik miqdorlar uchun Pearson korrelyatsiya koeffitsienti qo'llaniladi, uning aniq formulasi Frensis Galton tomonidan kiritilgan:

Mayli X,Y- bir xil ehtimollik maydonida aniqlangan ikkita tasodifiy o'zgaruvchi. Keyin ularning korrelyatsiya koeffitsienti quyidagi formula bilan aniqlanadi:

,

Bu erda cov - kovariatsiya va D - dispersiya yoki ekvivalent,

,

bu erda belgi matematik kutishni bildiradi.

Bunday munosabatni grafik tasvirlash uchun ikkala o'zgaruvchiga mos keladigan o'qlari bo'lgan to'rtburchaklar koordinatalar tizimidan foydalanish mumkin. Har bir qiymat juftligi ma'lum bir belgi bilan belgilanadi. Bunday syujet "tarqalish uchastkasi" deb ataladi.

Korrelyatsiya koeffitsientini hisoblash usuli o'zgaruvchilar tegishli bo'lgan shkala turiga bog'liq. Shunday qilib, o'zgaruvchilarni intervalli va miqdoriy shkalalar bilan o'lchash uchun Pearson korrelyatsiya koeffitsientidan (mahsulot momentlarining korrelyatsiyasi) foydalanish kerak. Agar ikkita o'zgaruvchidan kamida bittasi tartibli shkalaga ega bo'lsa yoki normal taqsimlanmagan bo'lsa, Spearmanning darajali korrelyatsiyasi yoki Kendalning t (tau) dan foydalanish kerak. Ikki o'zgaruvchidan biri dixotomiyali bo'lsa, ikki qatorli nuqtali korrelyatsiya qo'llaniladi, agar ikkala o'zgaruvchi ikkilamchi bo'lsa, to'rt maydonli korrelyatsiya qo'llaniladi. Ikki dixotomiyali bo'lmagan o'zgaruvchilar orasidagi korrelyatsiya koeffitsientini hisoblash ular orasidagi munosabatlar chiziqli (bir yo'nalishli) bo'lsagina mantiqiy bo'ladi.

Kendell korrelyatsiya koeffitsienti

O'zaro tartibsizlikni o'lchash uchun ishlatiladi.

Spearman korrelyatsiya koeffitsienti

Korrelyatsiya koeffitsientining xossalari

• Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi:

agar kovariatsiyani ikkita tasodifiy o‘zgaruvchining skalyar ko‘paytmasi sifatida olsak, u holda tasodifiy miqdorning normasi ga teng bo‘ladi. , va Koshi-Bunyakovskiy tengsizligining oqibati: . , qayerda. Bundan tashqari, bu holda belgilar va k moslik: .

Korrelyatsiya tahlili

Korrelyatsiya tahlili- koeffitsientlarni o'rganishdan iborat bo'lgan statistik ma'lumotlarni qayta ishlash usuli ( korrelyatsiyalar) o'zgaruvchilar orasida. Bunday holda, bir juft yoki bir nechta juft xususiyatlar o'rtasidagi korrelyatsiya koeffitsientlari ular orasidagi statistik munosabatlarni o'rnatish uchun taqqoslanadi.

Maqsad korrelyatsiya tahlili - bir o'zgaruvchi haqida boshqa o'zgaruvchi yordamida ba'zi ma'lumotlarni taqdim etish. Maqsadga erishish mumkin bo'lgan hollarda biz o'zgaruvchilarni aytamiz o'zaro bog'lash. Eng umumiy shaklda, korrelyatsiya mavjudligi haqidagi gipotezani qabul qilish, A o'zgaruvchisi qiymatining o'zgarishi B qiymatining mutanosib o'zgarishi bilan bir vaqtda sodir bo'lishini anglatadi: agar ikkala o'zgaruvchi ham oshsa, u holda korrelyatsiya ijobiydir agar bir o'zgaruvchi ortib, ikkinchisi kamaysa, korrelyatsiya salbiy.

Korrelyatsiya miqdorlarning faqat chiziqli bog'liqligini aks ettiradi, lekin ularning funktsional bog'liqligini aks ettirmaydi. Masalan, qiymatlar orasidagi korrelyatsiya koeffitsientini hisoblasak A = sin(x) va B = cos(x), u holda u nolga yaqin bo'ladi, ya'ni miqdorlar o'rtasida bog'liqlik yo'q. Shu bilan birga, A va B miqdorlari qonunga muvofiq funktsional jihatdan aniq bog'liqdir sin 2(x) + cos 2(x) = 1.

Korrelyatsiya tahlilining cheklovlari

Ularning har biri uchun mos keladigan x va y korrelyatsiya koeffitsientlariga ega bo'lgan (x,y) juftliklarning taqsimot syujetlari. E'tibor bering, korrelyatsiya koeffitsienti chiziqli munosabatni (yuqori qator) aks ettiradi, lekin munosabatlar egri chizig'ini (o'rta qator) tasvirlamaydi va murakkab, chiziqli bo'lmagan munosabatlarni (pastki qator) tavsiflash uchun umuman mos kelmaydi.

1. Agar o'rganish uchun etarli miqdordagi holatlar mavjud bo'lsa, qo'llash mumkin: ma'lum turdagi korrelyatsiya koeffitsienti uchun u 25 dan 100 juft kuzatish oralig'ida.
2. Ikkinchi cheklash korrelyatsiya tahlilining gipotezasidan kelib chiqadi, bu o'z ichiga oladi o'zgaruvchilarning chiziqli bog'liqligi. Ko'pgina hollarda, agar bog'liqlik mavjudligi ishonchli ma'lum bo'lsa, korrelyatsiya tahlili shunchaki chiziqli bo'lmaganligi sababli (masalan, parabola sifatida ifodalangan) natija bermasligi mumkin.
3. O'z-o'zidan korrelyatsiya fakti o'zgaruvchilardan qaysi biri o'zgaruvchilardan oldin yoki o'zgarishlarni keltirib chiqarishi yoki o'zgaruvchilar odatda bir-biri bilan, masalan, uchinchi omilning ta'siri tufayli sababiy bog'liqligini tasdiqlash uchun asos bermaydi.

Qo'llash sohasi

Statistik ma'lumotlarni qayta ishlashning bu usuli iqtisodiyot va ijtimoiy fanlarda (xususan, psixologiya va sotsiologiyada) juda mashhur, garchi korrelyatsiya koeffitsientlarini qo'llash doirasi keng: sanoat mahsulotlari sifatini nazorat qilish, metallurgiya, qishloq xo'jaligi kimyosi, gidrobiologiya, biometrika, va boshqalar.

Usulning mashhurligi ikki nuqtaga bog'liq: korrelyatsiya koeffitsientlarini hisoblash nisbatan oson, ularni qo'llash maxsus matematik tayyorgarlikni talab qilmaydi. Koeffitsientni sharhlash qulayligi bilan birgalikda qo'llashning qulayligi uning statistik ma'lumotlarni tahlil qilish sohasida keng qo'llanilishiga olib keldi.

soxta korrelyatsiya

Korrelyatsiyani o'rganishning ko'pincha jozibali soddaligi tadqiqotchini juft belgilar o'rtasida sababiy bog'liqlik mavjudligi haqida noto'g'ri intuitiv xulosalar chiqarishga undaydi, korrelyatsiya koeffitsientlari esa faqat statistik munosabatlarni o'rnatadi.

Ijtimoiy fanlarning zamonaviy miqdoriy metodologiyasida, aslida, empirik usullar bilan kuzatilgan o'zgaruvchilar o'rtasida sabab-oqibat munosabatlarini o'rnatishga urinishlardan voz kechildi. Shuning uchun, ijtimoiy fanlar tadqiqotchilari o'zlari o'rganadigan o'zgaruvchilar o'rtasidagi munosabatlarni o'rnatish haqida gapirganda, umumiy nazariy taxmin yoki statistik bog'liqlik nazarda tutiladi.

Shuningdek qarang

• Avtokorrelyatsiya funksiyasi
• O'zaro korrelyatsiya funktsiyasi
• kovariatsiya
• Aniqlash koeffitsienti
• Regressiya tahlili

Wikimedia fondi. 2010 yil.

Bu erda x y , x , y - namunalarning o'rtacha qiymatlari; s(x), s(y) - standart og'ishlar.
Bundan tashqari, Pearsonning chiziqli juftlik korrelyatsiya koeffitsienti b regressiya koeffitsienti orqali aniqlash mumkin: , bu yerda s(x)=S(x), s(y)=S(y) standart og‘ishlar, b y=a+ regressiya tenglamasida x dan oldingi koeffitsientdir. bx.

Boshqa formula variantlari:
yoki

K xy - korrelyatsiya momenti (kovariatsiya koeffitsienti)

Chiziqli Pearson korrelyatsiya koeffitsientini topish uchun tanlab olingan x va y vositalarini va ularning standart og'ishlari s x = S(x), s y = S(y) ni topish kerak:

Chiziqli korrelyatsiya koeffitsienti ulanish mavjudligini ko'rsatadi va -1 dan +1 gacha qiymatlarni oladi (Chaddock shkalasiga qarang). Masalan, ikkita o'zgaruvchi o'rtasidagi chiziqli korrelyatsiyaning qattiqligini tahlil qilganda, -1 ga teng juft chiziqli korrelyatsiya koeffitsienti olingan. Bu o'zgaruvchilar o'rtasida aniq teskari chiziqli munosabat mavjudligini anglatadi.

Korrelyatsiya koeffitsientining qiymatini berilgan namunaviy vositalar yordamida yoki to'g'ridan-to'g'ri hisoblashingiz mumkin.

Xy#x #y #s x #s y " data-id="a;b;c;d;e" data-formul="(a-b*c)/(d*e)" data-r="r xy "> Qiymatingizni hisoblang

Korrelyatsiya koeffitsientining geometrik ma'nosi: r xy ikkita regressiya chizig'i: y(x) va x(y) qiyaligi qanchalik farq qilishini, x va y dagi og'ishlarni minimallashtirish natijalari qanchalik farq qilishini ko'rsatadi. Chiziqlar orasidagi burchak qanchalik katta bo'lsa, r xy shunchalik katta bo'ladi.
Korrelyatsiya koeffitsientining belgisi regressiya koeffitsientining belgisiga to'g'ri keladi va regressiya chizig'ining qiyaligini aniqlaydi, ya'ni. qaramlikning umumiy yo'nalishi (o'sish yoki pasayish). Korrelyatsiya koeffitsientining mutlaq qiymati nuqtalarning regressiya chizig'iga yaqinlik darajasi bilan aniqlanadi.

Korrelyatsiya koeffitsientining xossalari

1. |r xy | ≤ 1;
2. agar X va Y mustaqil bo'lsa, u holda r xy =0, buning aksi har doim ham to'g'ri emas;
3. agar |r xy |=1, u holda Y=aX+b, |r xy (X,aX+b)|=1, bunda a va b doimiy va ≠ 0;
4. |r xy (X,Y)|=|r xy (a 1 X+b 1 , a 2 X+b 2)|, bunda a 1 , a 2 , b 1 , b 2 doimiylardir.

Shuning uchun, uchun havola yo'nalishini tekshirish gipoteza testi Pearson korrelyatsiya koeffitsienti yordamida tanlanadi va ishonchliligi uchun keyingi test yordamida t-testi(quyidagi misolga qarang).

Oddiy vazifalar (shuningdek qarang: chiziqli bo'lmagan regressiya)

Oddiy vazifalar
Mehnat unumdorligi y ning ishlarni mexanizatsiyalash darajasiga bog'liqligi x (%) 14 ta sanoat korxonasi ma'lumotlari bo'yicha o'rganilgan. Statistik ma'lumotlar jadvalda keltirilgan.
Majburiy:
1) x dagi chiziqli regressiya y parametrlari uchun taxminlarni toping. Tarqalish grafigini tuzing va regressiya chizig'ini tarqalish chizig'ida tuzing.
2) a=0,05 ahamiyatlilik darajasida chiziqli regressiya va kuzatish natijalari o‘rtasidagi muvofiqlik gipotezasini sinab ko‘ring.
3) Ishonchliligi g=0,95 bilan chiziqli regressiya parametrlari uchun ishonch oraliqlarini toping.

Ushbu kalkulyatorda quyidagilar ham qo'llaniladi:
Ko'p regressiya tenglamasi

Misol. 1-ilovada keltirilgan va sizning tanlovingizga mos keladigan ma'lumotlarga asoslanib (2-jadval) sizga kerak bo'ladi:

1. Chiziqli juft korrelyatsiya koeffitsientini hisoblang va bir xususiyatning boshqasidan chiziqli juftlik regressiyasi tenglamasini tuzing. Sizning variantingizga mos keladigan belgilardan biri omil (x), ikkinchisi - samarali (y) rolini o'ynaydi. Iqtisodiy tahlil asosida belgilar orasidagi sabab-natija munosabatlarini o'rnatish. Tenglama parametrlarining ma’nosini tushuntiring.
2. Determinatsiyaning nazariy koeffitsientini va qoldiq (regressiya tenglamasi bilan izohlanmagan) dispersiyani aniqlang. Xulosa qiling.
3. Taxmin qilish statistik ahamiyatga ega Fisherning F-testi yordamida besh foiz darajasidagi regressiya tenglamalari. Xulosa qiling.
4. Atribut-natijaning kutilayotgan qiymatini prognozini x atribut-omilning bashorat qilingan qiymati bilan bajaring, bu o'rtacha x darajasining 105% ni tashkil qiladi. Prognoz xatosini va uning ishonch oralig'ini 0,95 ehtimollik bilan hisoblash orqali prognozning to'g'riligini baholang.

Yechim. Tenglama y = ax + b
O'rtacha



Dispersiya


standart og'ish



Y omil X xususiyati o'rtasidagi bog'liqlik kuchli va to'g'ridan-to'g'ri (Chaddock shkalasi bilan belgilanadi).
Regressiya tenglamasi

Regressiya koeffitsienti: k = a = 4,01
Aniqlash koeffitsienti
R 2 = 0,99 2 = 0,97, ya'ni. 97% hollarda x ning o'zgarishi y ning o'zgarishiga olib keladi. Boshqacha aytganda, regressiya tenglamasini tanlashning aniqligi yuqori. Qoldiq dispersiya: 3%.

x	y	x2	y2	x y	y(x)	(y i -y ) 2	(y-y(x)) 2	(x-x p) 2
1	107	1	11449	107	103.19	333.06	14.5	30.25
2	109	4	11881	218	107.2	264.06	3.23	20.25
3	110	9	12100	330	111.21	232.56	1.47	12.25
4	113	16	12769	452	115.22	150.06	4.95	6.25
5	120	25	14400	600	119.23	27.56	0.59	2.25
6	122	36	14884	732	123.24	10.56	1.55	0.25
7	123	49	15129	861	127.26	5.06	18.11	0.25
8	128	64	16384	1024	131.27	7.56	10.67	2.25
9	136	81	18496	1224	135.28	115.56	0.52	6.25
10	140	100	19600	1400	139.29	217.56	0.51	12.25
11	145	121	21025	1595	143.3	390.06	2.9	20.25
12	150	144	22500	1800	147.31	612.56	7.25	30.25
78	1503	650	190617	10343	1503	2366.25	66.23	143

Eslatma: y(x) qiymatlari regressiya tenglamasidan topiladi:
y(1) = 4,01*1 + 99,18 = 103,19
y (2) = 4,01*2 + 99,18 = 107,2
... ... ...

Korrelyatsiya koeffitsientining ahamiyati

Biz gipotezalarni ilgari suramiz:
H 0: r xy = 0, o'zgaruvchilar o'rtasida chiziqli bog'liqlik yo'q;
H 1: r xy ≠ 0, o'zgaruvchilar o'rtasida chiziqli munosabat mavjud;
Oddiy ikki o'lchovli tasodifiy miqdorning umumiy korrelyatsiya koeffitsienti H 1 ≠ 0 raqobatdosh gipoteza bilan nolga teng bo'lgan nol gipotezani ahamiyatlilik darajasida tekshirish uchun mezonning kuzatilgan qiymatini hisoblash kerak ( tasodifiy xatoning qiymati):

Talabalar jadvaliga ko'ra, biz t yorlig'ini topamiz (n-m-1; a / 2) = (10; 0,025) = 2,228
Tobs > t tab bo‘lgani uchun korrelyatsiya koeffitsienti 0 ga teng degan gipotezani rad etamiz. Boshqacha qilib aytganda, korrelyatsiya koeffitsienti statistik ahamiyatga ega.
Korrelyatsiya koeffitsienti uchun intervalli taxmin (ishonch oralig'i)


r - Dr ≤ r ≤ r + Dr
D r = ±t jadvali m r = ±2,228 0,0529 = 0,118
0,986 - 0,118 ≤ r ≤ 0,986 + 0,118
Korrelyatsiya koeffitsienti uchun ishonch oralig'i: 0,868 ≤ r ≤ 1

Regressiya koeffitsientlari baholarini aniqlashning to'g'riligini tahlil qilish





Sa =0,2152

Bog'liq o'zgaruvchi uchun ishonch oraliqlari

Keling, Y ning mumkin bo'lgan qiymatlarining 95% cheksiz vaqtga to'planadigan oraliq chegaralarini hisoblaylik. katta raqamlar kuzatishlar va X = 7
(122.4;132.11)
Koeffitsientlar haqidagi farazlarni tekshirish chiziqli tenglama regressiya

1) t-statistika




Regressiya koeffitsientining statistik ahamiyati tasdiqlangan
Regressiya tenglamasining koeffitsientlari uchun ishonch oralig'i
Keling, 95% ishonchliligi bilan quyidagi regressiya koeffitsientlarining ishonch intervallarini aniqlaylik:
(a - t a S a ; a + t a S a)
(3.6205;4.4005)
(b - t b S b ; b + t b S b)
(96.3117;102.0519)

Korrelyatsiya tahlilining maqsadi ba'zi bir real jarayonni tavsiflovchi tasodifiy o'zgaruvchilar (xususiyatlar) o'rtasidagi bog'liqlik kuchini baholashni aniqlashdir.
Korrelyatsiya tahlili muammolari:
a) Ikki yoki undan ortiq hodisalarning bog'lanish darajasini (qattiqlik, kuchlilik, zo'ravonlik, intensivlik) o'lchash.
b) hodisalar o'rtasidagi bog'liqlik darajasini o'lchash asosida hosil bo'lgan atributga eng muhim ta'sir ko'rsatadigan omillarni tanlash. Ushbu jihatdagi muhim omillar regressiya tahlilida qo'shimcha ravishda qo'llaniladi.
v) noma'lum sabab-oqibat munosabatlarini aniqlash.

O'zaro munosabatlarning namoyon bo'lish shakllari juda xilma-xildir. Ularning eng keng tarqalgan turlari sifatida funktsional (to'liq) va korrelyatsiya (to'liq bo'lmagan) bog'lanish.
korrelyatsiya Ommaviy kuzatishlar uchun o'rtacha, qaram o'zgaruvchining berilgan qiymatlari mustaqil o'zgaruvchining ma'lum bir ehtimollik qiymatlariga mos kelganda o'zini namoyon qiladi. Ulanish korrelyatsiya deb ataladi, agar omil atributining har bir qiymati aniq belgilangan tasodifiy bo'lmagan qiymatga mos kelsa samarali xususiyat.
Korrelyatsiya maydoni korrelyatsiya jadvalining vizual tasviri bo'lib xizmat qiladi. Bu grafik bo'lib, unda X qiymatlari abscissa o'qi bo'ylab, Y qiymatlari ordinata o'qi bo'ylab chizilgan va X va Y kombinatsiyalari nuqta bilan ko'rsatilgan. Ulanish mavjudligini uning joylashuvi bilan baholash mumkin. nuqtalar.
Qattiqlik ko'rsatkichlari hosil bo‘ladigan belgi o‘zgarishining belgi-omilning o‘zgarishiga bog‘liqligini tavsiflash imkonini beradi.
Siqilish darajasining yaxshiroq ko'rsatkichi korrelyatsiya hisoblanadi chiziqli korrelyatsiya koeffitsienti. Ushbu ko'rsatkichni hisoblashda nafaqat atributning individual qiymatlarining o'rtacha qiymatdan og'ishlari, balki ushbu og'ishlarning kattaligi ham hisobga olinadi.

Ushbu mavzuning asosiy masalalari - natijada olingan xususiyat va izohli o'zgaruvchi o'rtasidagi regressiya munosabati tenglamalari, regressiya modeli parametrlarini baholashning eng kichik kvadratchalar usuli, natijada olingan regressiya tenglamasining sifatini tahlil qilish, prognoz qilish uchun ishonch oraliqlarini yaratish. regressiya tenglamasi yordamida olingan xususiyatning qiymatlari.

2-misol

Oddiy tenglamalar tizimi.
a n + b∑x = ∑y
a∑x + b∑x 2 = ∑y x
Bizning ma'lumotlarimiz uchun tenglamalar tizimi shaklga ega
30a + 5763 b = 21460
5763 a + 1200261 b = 3800360
Birinchi tenglamadan biz ifodalaymiz a va ikkinchi tenglamaga almashtiring:
Biz b = -3,46, a = 1379,33 ni olamiz
Regressiya tenglamasi:
y = -3,46 x + 1379,33

2. Regressiya tenglamasining parametrlarini hisoblash.
Namuna vositalari.



Namuna farqlari:


standart og'ish


1.1. Korrelyatsiya koeffitsienti
kovariatsiya.

Biz aloqaning yaqinligi ko'rsatkichini hisoblaymiz. Bunday ko'rsatkich selektiv chiziqli korrelyatsiya koeffitsienti bo'lib, u quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

Chiziqli korrelyatsiya koeffitsienti -1 dan +1 gacha bo'lgan qiymatlarni oladi.
Xususiyatlar o'rtasidagi munosabatlar zaif yoki kuchli (yaqin) bo'lishi mumkin. Ularning mezonlari Chaddock shkalasi bo'yicha baholanadi:
0.1 < r xy < 0.3: слабая;
0.3 < r xy < 0.5: умеренная;
0.5 < r xy < 0.7: заметная;
0.7 < r xy < 0.9: высокая;
0.9 < r xy < 1: весьма высокая;
Bizning misolimizda Y xususiyat va X omil o'rtasidagi bog'liqlik yuqori va teskari.
Bundan tashqari, chiziqli juft korrelyatsiya koeffitsienti b regressiya koeffitsienti nuqtai nazaridan aniqlanishi mumkin:

1.2. Regressiya tenglamasi(regressiya tenglamasini baholash).

Chiziqli regressiya tenglamasi y = -3,46 x + 1379,33

Koeffitsient b = -3,46 samarali indikatorning o'rtacha o'zgarishini (y birliklarida) uning o'lchov birligi uchun x omil qiymatining oshishi yoki kamayishi bilan ko'rsatadi. DA bu misol 1 birlikka o'sishi bilan y o'rtacha -3,46 ga kamayadi.
a = 1379,33 koeffitsienti rasmiy ravishda y ning bashorat qilingan darajasini ko'rsatadi, lekin faqat x=0 namunaviy qiymatlarga yaqin bo'lsa.
Ammo agar x = 0 namunadagi x qiymatlaridan uzoq bo'lsa, so'zma-so'z talqin qilish noto'g'ri natijalarga olib kelishi mumkin va hatto regressiya chizig'i kuzatilgan namunaning qiymatlarini aniq tasvirlagan bo'lsa ham, bu ham shunday bo'lishiga kafolat yo'q. chapga yoki o'ngga ekstrapolyatsiya qilish holati.
X ning mos keladigan qiymatlarini regressiya tenglamasiga almashtirish orqali har bir kuzatish uchun y(x) samarali indikatorining moslashtirilgan (bashorat qilingan) qiymatlarini aniqlash mumkin.
Y va x o'rtasidagi bog'liqlik regressiya koeffitsienti b belgisini aniqlaydi (agar > 0 - to'g'ridan-to'g'ri bog'liqlik, aks holda - teskari). Bizning misolimizda munosabatlar teskari.
1.3. elastiklik koeffitsienti.
Effektiv atributga omillarning ta'sirini to'g'ridan-to'g'ri baholash uchun regressiya koeffitsientlaridan (b misolida) foydalanish maqsadga muvofiq emas, agar samarali ko'rsatkich y va omil atributi x o'lchov birliklarida farq bo'lsa.
Ushbu maqsadlar uchun elastiklik koeffitsientlari va beta koeffitsientlari hisoblanadi.
Elastiklikning o'rtacha koeffitsienti E natijaning agregatda o'rtacha necha foizga o'zgarishini ko'rsatadi da omilni o'zgartirganda uning o'rtacha qiymatidan x uning o'rtacha qiymatining 1%.
Elastiklik koeffitsienti quyidagi formula bo'yicha topiladi:


Elastiklik koeffitsienti 1 dan kichik. Shuning uchun agar X 1% ga o'zgartirilsa, Y 1% dan kam o'zgaradi. Boshqacha qilib aytganda, X ning Y ga ta'siri sezilarli emas.
Beta koeffitsienti faktor atributi doimiy darajada o'rnatilgan qolgan mustaqil o'zgaruvchilar qiymati bilan standart og'ish qiymatiga o'zgarganda, uning standart og'ish qiymatining qaysi qismi bilan samarali atributning qiymati o'rtacha o'zgarishini ko'rsatadi:

Bular. x ning standart og'ish S x qiymatiga oshishi Y ning o'rtacha qiymatini 0,74 standart og'ish S y ga pasayishiga olib keladi.
1.4. Taxminan xato.
Absolyut yaqinlashish xatosi yordamida regressiya tenglamasining sifatini baholaylik. O'rtacha taxminiy xato - bu hisoblangan qiymatlarning haqiqiy qiymatlardan o'rtacha og'ishi:


Xato 15% dan kam bo'lganligi sababli, bu tenglama regressiya sifatida ishlatilishi mumkin.
Dispersiya tahlili.
Dispersiyani tahlil qilish vazifasi qaram o'zgaruvchining dispersiyasini tahlil qilishdan iborat:
∑(y i - y cp) 2 = ∑(y(x) - y cp) 2 + ∑(y - y(x)) 2
qayerda
∑(y i - y cp) 2 - kvadrat og'ishlarning umumiy yig'indisi;
∑(y(x) - y cp) 2 - regressiya ("tushuntirilgan" yoki "faktorial") tufayli kvadrat og'ishlar yig'indisi;
∑(y - y(x)) 2 - kvadrat og'ishlarning qoldiq yig'indisi.
Nazariy korrelyatsiya nisbati chiziqli munosabatlar uchun korrelyatsiya koeffitsienti r xy ga teng.
Har qanday qaramlik shakli uchun ulanishning qattiqligi yordamida aniqlanadi ko'p korrelyatsiya koeffitsienti:

Bu koeffitsient universaldir, chunki u ulanishning zichligi va modelning aniqligini aks ettiradi va o'zgaruvchilar orasidagi bog'lanishning har qanday shakli uchun ham qo'llanilishi mumkin. Bir faktorli korrelyatsiya modelini qurishda ko'p korrelyatsiya koeffitsienti koeffitsientiga teng juft korrelyatsiya r xy.
1.6. Aniqlash koeffitsienti.
(Ko'p) korrelyatsiya koeffitsientining kvadrati determinatsiya koeffitsienti deb ataladi, bu omil atributining o'zgarishi bilan izohlangan natijaviy atributning o'zgarishining nisbatini ko'rsatadi.
Ko'pincha, determinatsiya koeffitsientini talqin qilgan holda, u foiz sifatida ifodalanadi.
R 2 \u003d -0,74 2 \u003d 0,5413
bular. 54,13% hollarda x ning o'zgarishi y ning o'zgarishiga olib keladi. Boshqacha qilib aytganda, regressiya tenglamasini tanlashning aniqligi o'rtacha. Y o'zgarishining qolgan 45,87% modelda hisobga olinmagan omillarga bog'liq.

Adabiyotlar ro'yxati

1. Ekonometriya: Darslik / Ed. I.I. Eliseeva. - M.: Moliya va statistika, 2001, s. 34...89.
2. Magnus Ya.R., Katyshev P.K., Peresetskiy A.A. Ekonometriya. Dastlabki kurs. Qo'llanma. - 2-nashr, Rev. – M.: Delo, 1998 y. 17...42.
3. Ekonometriya bo'yicha seminar: Proc. nafaqa / I.I. Eliseeva, S.V. Kurysheva, N.M. Gordeenko va boshqalar; Ed. I.I. Eliseeva. - M.: Moliya va statistika, 2001, s. 5...48.