Doira- berilgan nuqtadan ma'lum masofada joylashgan tekislikning barcha nuqtalaridan iborat geometrik figura.

Bu nuqta (O) deyiladi doira markazi.
Doira radiusi markazni aylananing nuqtasi bilan bog'laydigan chiziq segmenti. Barcha radiuslar bir xil uzunlikka ega (ta'rifi bo'yicha).
Akkord Doiradagi ikkita nuqtani bog'laydigan chiziq segmenti. Doira markazidan o'tuvchi akkord deyiladi diametri. Doira markazi har qanday diametrning o'rta nuqtasidir.
Doiradagi istalgan ikkita nuqta uni ikki qismga ajratadi. Ushbu qismlarning har biri deyiladi dumaloq yoy. Ark deyiladi yarim doira agar uning uchlarini bog'laydigan segment diametr bo'lsa.
Birlik yarim doira uzunligi bilan belgilanadi π .
Uchlari umumiy bo'lgan ikkita aylana yoyning daraja o'lchovlari yig'indisi 360º.
Tekislikning aylana bilan chegaralangan qismi deyiladi atrofida.
dumaloq sektor- aylananing yoy bilan chegaralangan qismi va yoyning uchlarini aylananing markazi bilan tutashtiruvchi ikkita radius. Sektorni chegaralovchi yoy deyiladi sektor yoyi.
Umumiy markazga ega bo'lgan ikkita doira deyiladi konsentrik.
To'g'ri burchak ostida kesishgan ikkita aylana deyiladi ortogonal.

To'g'ri chiziq va aylananing o'zaro joylashishi

1. Agar aylananing markazidan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa aylana radiusidan kichik bo'lsa ( d), u holda chiziq va aylana ikkita umumiy nuqtaga ega. Bunday holda, chiziq chaqiriladi sekant doiraga nisbatan.
2. Agar aylananing markazidan chiziqgacha bo'lgan masofa aylananing radiusiga teng bo'lsa, unda chiziq va aylana faqat bitta umumiy nuqtaga ega. Bunday chiziq deyiladi aylanaga teginish, va ularning umumiy nuqtasi deyiladi chiziq va aylana orasidagi aloqa nuqtasi.
3. Agar aylananing markazidan chiziqgacha bo'lgan masofa aylananing radiusidan katta bo'lsa, u holda chiziq va aylana umumiy nuqtalari yo'q
.

Markaziy va chizilgan burchaklar

Markaziy burchak aylananing markazidagi uchi bilan burchak.
Yozilgan burchak Choʻqqisi aylanada yotgan va tomonlari aylana bilan kesishgan burchak.

Chizilgan burchak teoremasi

Yozilgan burchak uni kesib o'tgan yoyning yarmi bilan o'lchanadi.

• Natija 1.
  Xuddi shu yoyga bo'ysunuvchi chizilgan burchaklar tengdir.


• Natija 2.
  Yarim doirani kesib o'tuvchi chizilgan burchak to'g'ri burchakdir.

Kesishuvchi akkordlar segmentlari hosilasi haqidagi teorema.

Agar aylananing ikkita akkordi kesishsa, u holda bir akkord segmentlarining ko'paytmasi ikkinchi akkord segmentlarining ko'paytmasiga teng bo'ladi.

Asosiy formulalar

• Atrof:

• Ark uzunligi:

• Diametri:

• Ark uzunligi:

• Doira maydoni:

• Doiraviy sektor maydoni:

Doira tenglamasi

• To'rtburchaklar koordinatalar tizimida radiusli aylana uchun tenglama r nuqtaga markazlashtirilgan C(x o; y o) quyidagi shaklga ega:

• Koordinata boshida markazlashgan r radiusli aylana tenglamasi:

Keling, avval aylana va aylana o'rtasidagi farqni tushunib olaylik. Bu farqni ko'rish uchun ikkala raqam nima ekanligini ko'rib chiqish kifoya. Bu bitta markaziy nuqtadan teng masofada joylashgan tekislikdagi cheksiz sonli nuqta. Ammo, agar doira ham ichki bo'shliqdan iborat bo'lsa, u aylanaga tegishli emas. Ma’lum bo‘lishicha, aylana ham uni chegaralab turuvchi aylana (o-aylana (g)lik), ham aylana ichidagi son-sanoqsiz nuqtalardir.

Doira ustida yotgan har qanday L nuqta uchun OL=R tengligi amal qiladi. (OL segmentining uzunligi aylana radiusiga teng).

Doiradagi ikkita nuqtani bog'laydigan chiziq segmenti akkord.

Aylana markazidan to'g'ridan-to'g'ri o'tadigan akkord diametri bu doira (D). Diametrni quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin: D=2R

Atrof formula bilan hisoblanadi: C=2\pi R

Doira maydoni: S=\pi R^(2)

aylana yoyi uning ikkita nuqtasi orasida joylashgan qismi deb ataladi. Bu ikki nuqta aylananing ikkita yoyini belgilaydi. CD akkord ikkita yoyni ajratadi: CMD va CLD. Xuddi shu akkordlar bir xil yoylarga bo'linadi.

Markaziy burchak ikki radius orasidagi burchakdir.

yoy uzunligi formuladan foydalanib topish mumkin:

1. Darajalardan foydalanish: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. Radian o'lchovidan foydalanish: CD = \alpha R

Akkordga perpendikulyar bo'lgan diametr akkord va uning yoylarini ikkiga bo'ladi.

Agar aylananing AB va CD akkordalari N nuqtada kesishsa, N nuqta bilan ajratilgan akkordlar segmentlarining ko'paytmalari bir-biriga teng bo'ladi.

AN\cdot NB = CN \cdot ND

Aylanaga teginish

Aylanaga teginish Aylana bilan bitta umumiy nuqtaga ega bo'lgan to'g'ri chiziqni chaqirish odatiy holdir.

Agar chiziqning ikkita umumiy nuqtasi bo'lsa, u deyiladi sekant.

Agar siz aloqa nuqtasida radius chizsangiz, u aylanaga teginishga perpendikulyar bo'ladi.

Keling, bu nuqtadan doiramizga ikkita teginish chizamiz. Ma’lum bo‘lishicha, tangenslarning segmentlari bir-biriga teng bo‘ladi va aylananing markazi bu nuqtada uchi bilan burchakning bissektrisasida joylashgan bo‘ladi.

AC=CB

Endi biz nuqtadan aylanaga tangens va sekant chizamiz. Biz tangens segment uzunligining kvadrati uning tashqi qismi bo'yicha butun sekant segmentining mahsulotiga teng bo'lishini olamiz.

AC^(2) = CD \cdot BC

Xulosa qilishimiz mumkin: birinchi sekantning butun son segmentining tashqi qismi bo'yicha ko'paytmasi ikkinchi qismning butun segmentining tashqi qismi bo'yicha ko'paytmasiga teng.

AC \cdot BC = EC \cdot DC

Aylanadagi burchaklar

Markaziy burchak va u tayangan yoyning daraja o'lchovlari tengdir.

\angle COD = \chashka CD = \alfa ^(\circ)

Yozilgan burchak uchi aylanada joylashgan va tomonlarida akkordlar mavjud burchak.

Yoyning o'lchamini bilib, uni hisoblashingiz mumkin, chunki u bu yoyning yarmiga teng.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Diametrga asoslanib, yozilgan burchak, tekis.

\ burchak CBD = \ burchak CED = \ burchak SAPR = 90 ^ (\ doira)

Xuddi shu yoyga tayangan yozma burchaklar bir xil.

Xuddi shu akkordga asoslangan chizilgan burchaklar bir xil yoki ularning yig'indisi 180 ^ (\circ) ga teng.

\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

Xuddi shu doirada bir xil burchakli va berilgan asosli uchburchaklarning uchlari joylashgan.

Aylana ichida cho'qqisi bo'lgan va ikkita akkord o'rtasida joylashgan burchak, berilgan va vertikal burchaklar ichidagi aylananing yoylarining burchak kattaliklari yig'indisining yarmiga tengdir.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \chap (\chashka DmC + \chashka AlB \o'ng)

Cho'qqisi aylanadan tashqarida bo'lgan va ikkita sekant orasida joylashgan burchak, burchak ichidagi aylananing yoylarining burchak kattaliklaridagi farqning yarmiga tengdir.

\ burchak M = \ burchak CBD - \ burchak ACB = \ frac (1) (2) \ chap (\ kubok DmC - \ kubok AlB \ o'ng)

Chizilgan doira

Chizilgan doira ko'pburchakning yon tomonlariga tegib turgan doiradir.

Ko'pburchak burchaklarining bissektrisalari kesishgan nuqtada uning markazi joylashgan.

Har bir ko'pburchakda aylana yozilmasligi mumkin.

Chizilgan doira bilan ko'pburchakning maydoni quyidagi formula bo'yicha topiladi:

S=pr,

p - ko'pburchakning yarim perimetri,

r - chizilgan aylana radiusi.

Bundan kelib chiqadiki, chizilgan doira radiusi:

r = \frac(S)(p)

Agar aylana qavariq to'rtburchak ichiga chizilgan bo'lsa, qarama-qarshi tomonlarning uzunliklari yig'indisi bir xil bo'ladi. Va aksincha: agar uning qarama-qarshi tomonlari uzunligi yig'indisi bir xil bo'lsa, aylana qavariq to'rtburchakda yozilgan.

AB+DC=AD+BC

Har qanday uchburchakda aylana chizish mumkin. Faqat bitta singl. Shaklning ichki burchaklarining bissektrisalari kesishgan nuqtada bu chizilgan doiraning markazi yotadi.

Chizilgan doira radiusi quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

r = \frac(S)(p) ,

Bu erda p = \ frac (a + b + c) (2)

Cheklangan doira

Agar ko'pburchakning har bir tepasidan aylana o'tsa, bunday aylana deyiladi ko'pburchak atrofida chegaralangan.

Cheklangan aylananing markazi bu rasmning tomonlari perpendikulyar bissektrisalarining kesishgan nuqtasida bo'ladi.

Radiusni ko'pburchakning istalgan 3 ta cho'qqisi bilan belgilangan uchburchak atrofida aylana radiusi sifatida hisoblash orqali topish mumkin.

Quyidagi shart mavjud: aylana to'rtburchak atrofida faqat uning qarama-qarshi burchaklarining yig'indisi 180^( \circ) ga teng bo'lsagina chegaralanishi mumkin.

\ burchak A + \ burchak C = \ burchak B + \ burchak D = 180^ (\doira)

Har qanday uchburchakning yonida aylana va bitta va faqat bittasini tasvirlash mumkin. Bunday aylana markazi uchburchak tomonlarining perpendikulyar bissektrisalari kesishgan nuqtada joylashgan bo'ladi.

Cheklangan doira radiusini quyidagi formulalar bilan hisoblash mumkin:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4S)

a, b, c - uchburchak tomonlarining uzunliklari,

S - uchburchakning maydoni.

Ptolemey teoremasi

Nihoyat, Ptolemey teoremasini ko'rib chiqing.

Ptolemey teoremasi diagonallarning ko'paytmasi chizilgan to'rtburchakning qarama-qarshi tomonlari ko'paytmalari yig'indisiga o'xshashligini aytadi.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Ushbu maqola muvaffaqiyat uchun zarur bo'lgan minimal doira ma'lumotlarini o'z ichiga oladi imtihondan o'tish matematika.

aylana berilgan nuqtadan bir xil masofada joylashgan nuqtalar to'plami deyiladi, bu aylananing markazi deb ataladi.

Doira ustida yotgan har qanday nuqta uchun tenglik saqlanib qoladi (Segmentning uzunligi aylananing radiusiga teng.

Doiradagi ikkita nuqtani bog'laydigan chiziq segmenti deyiladi akkord.

Doira markazidan o'tuvchi akkord deyiladi diametri doiralar () .

Atrof:

Doira maydoni:

Doira yoyi:

Doiraning ikkita nuqtasi orasiga o'ralgan qismi deyiladi yoy doiralar. Doiradagi ikkita nuqta ikkita yoyni aniqlaydi. Akkord ikkita yoyni ajratadi: va . Teng akkordlar teng yoylarni birga torting.

Ikki radius orasidagi burchak deyiladi markaziy burchak :

Yoy uzunligini topish uchun biz nisbatni hosil qilamiz:

a) burchak darajalarda berilgan:

b) burchak radianlarda berilgan:

Akkordga perpendikulyar diametr , bu akkordni va u ayiradigan yoylarni yarmiga ajratadi:

Agar a akkordlar va doiralar bir nuqtada kesishadi , u holda ular nuqta bilan bo'lingan akkordlar segmentlarining hosilalari bir-biriga teng bo'ladi:

Aylanaga teginish.

Aylana bilan bitta umumiy nuqtasi bo'lgan to'g'ri chiziq deyiladi tangens doiraga. Aylana bilan ikkita umumiy nuqtasi bo'lgan chiziq deyiladi sekant.

Aylanaga qaragan tangens nuqtaga chizilgan radiusga perpendikulyar.

Agar berilgan nuqtadan aylanaga ikkita tangens o'tkazilsa, u holda tangens segmentlari bir-biriga teng va aylananing markazi bu nuqtada uchi bilan burchakning bissektrisasida yotadi:

Agar berilgan nuqtadan aylanaga tangens va sekant chizilgan bo'lsa tangens segmenti uzunligining kvadrati butun sekant segmentining tashqi qismiga ko'paytmasiga teng :

Natija: bir sekantning butun segmentining tashqi qismi bo'yicha ko'paytmasi boshqa sekantning butun segmentining tashqi qismi bo'yicha ko'paytmasiga teng:

Aylanadagi burchaklar.

Markaziy burchakning daraja o'lchovi u tayangan yoyning daraja o'lchoviga teng:

Choʻqqisi aylana ustida joylashgan va tomonlarida akkordlar boʻlgan burchak deyiladi yozilgan burchak . Yozilgan burchak u kesib o'tgan yoyning yarmi bilan o'lchanadi:

∠∠

Diametrga asoslangan chizilgan burchak to'g'ri burchakdir:

∠∠∠

Xuddi shu yoyga bo'ysunuvchi chizilgan burchaklar :

Xuddi shu akkordga bo'ysunuvchi chizilgan burchaklar teng yoki ularning yig'indisi teng

∠∠

Bazasi berilgan va uchida teng burchakli uchburchaklarning uchlari bir xil doirada yotadi:

Ikki akkord orasidagi burchak (cho'qqisi doira ichidagi burchak) berilgan burchak ichida va vertikal burchak ichida o'ralgan aylananing yoylarining burchak kattaliklari yig'indisining yarmiga teng.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Ikki sekant orasidagi burchak (cho'qqisi aylanadan tashqarida bo'lgan burchak) burchak ichiga o'ralgan doira yoylarining burchak kattaliklarining yarim farqiga teng.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Chizilgan doira.

Doira deyiladi ko'pburchak shaklida yozilgan agar u yon tomonlariga tegsa. Chizilgan doira markazi ko'pburchakning burchak bissektrisalarining kesishish nuqtasida yotadi.

Har bir ko'pburchakni aylanaga yozib bo'lmaydi.

Doirani o'z ichiga olgan ko'pburchakning maydoni formuladan foydalanib topish mumkin

bu erda ko'pburchakning yarim perimetri, chizilgan doira radiusi.

Bu yerdan chizilgan doira radiusi teng

Agar aylana qavariq to'rtburchak ichiga chizilgan bo'lsa, qarama-qarshi tomonlarning uzunliklari yig'indisi . Aksincha, agar qavariq to'rtburchakda qarama-qarshi tomonlarning uzunliklari yig'indisi teng bo'lsa, to'rtburchakda aylana chizilgan bo'lishi mumkin:

Har qanday uchburchakni doira bilan yozish mumkin va faqat bitta. Chizilgan doira markazi uchburchakning ichki burchaklarining bissektrisalarining kesishish nuqtasida yotadi.

Chizilgan doira radiusi ga teng. Bu yerda

chegaralangan doira.

Doira deyiladi ko'pburchak atrofida chegaralangan agar u ko'pburchakning barcha uchlaridan o'tsa. Cheklangan aylananing markazi ko'pburchak tomonlarining perpendikulyar bissektrisalarining kesishgan nuqtasida yotadi. Radius berilgan ko'pburchakning istalgan uchta uchi bilan aniqlangan uchburchak atrofida aylana radiusi sifatida hisoblanadi:

Doira to'rtburchak atrofida chegaralanishi mumkin, agar uning qarama-qarshi burchaklarining yig'indisi teng bo'lsa. .

Har qanday uchburchakning yonida aylanani tasvirlash mumkin, bundan tashqari, faqat bitta. Uning markazi uchburchak tomonlarining perpendikulyar bissektrisalarining kesishish nuqtasida joylashgan:

Cheklangan doira radiusi formulalar bo'yicha hisoblanadi:

Uchburchak tomonlarining uzunligi qayerda, uning maydoni.

Ptolemey teoremasi

Chizilgan to'rtburchakda diagonallarning ko'paytmasi uning qarama-qarshi tomonlari ko'paytmalari yig'indisiga teng:

Leksiya: Doira va aylana

Doira yopiq egri chiziq bo'lib, uning barcha nuqtalari markazdan bir xil masofada joylashgan.

DA Kundalik hayot Siz aylanani bir necha marta ko'rgansiz. Bu soat va soniya qo'llari bilan tasvirlangan, bu gimnastika halqasi bo'lgan doira shaklidir.

Endi tasavvur qiling-a, siz qog'ozga doira chizib, uni bezashni xohladingiz.

Shunday qilib, doira bilan chegaralangan barcha bezatilgan makon doiradir.

Markaz aylananing barcha nuqtalaridan teng masofada joylashgan nuqtadir. Doira va aylana markazi O harfi bilan ko'rsatilgan.

Radius - markazdan aylanagacha bo'lgan masofa (R).

Diametr - aylananing (d) barcha nuqtalarini bog'laydigan markazdan o'tgan chiziq. Bundan tashqari, diametri ikki radiusga teng: d = 2R.

Akkord - aylananing istalgan ikkita nuqtasini bog'laydigan chiziq segmenti. Diametr - bu akkordning alohida holati.

Doira aylanasini topish uchun quyidagi formuladan foydalaning:

l=2 pR

E'tibor bering, aylana va maydon faqat berilgan doira radiusiga bog'liq.

Doira maydonini quyidagi formula yordamida topish mumkin:

S=pR 2.

Men sizning e'tiboringizni "Pi" raqamiga qaratmoqchiman. Bu qiymat faqat aylana yordamida topildi. Buning uchun uning uzunligi ikki radiusga bo'lingan va shu tariqa "Pi" raqami olingan.

Agar aylana ikkita radiusli ba'zi qismlarga bo'linsa, unda bunday qismlar sektorlar deb ataladi. Har bir sektor o'z daraja o'lchoviga ega - u tayanadigan yoyning daraja o'lchovi.

Yoy uzunligini topish uchun siz quyidagi formuladan foydalanishingiz kerak:

2. Radian o'lchovidan foydalanish:

Agar biror burchakning uchi aylananing markaziga tayanib, uning nurlari aylana bilan kesishsa, bunday burchak markaziy deyiladi.

Agar ikkita akkord bir nuqtada kesishsa, ularning segmentlari proportsionaldir:

Va doira - geometrik raqamlar, oʻzaro bogʻlangan. chegara poliliniyasi mavjud (egri chiziq) doira,

Ta'rif. Doira yopiq egri chiziq bo'lib, uning har bir nuqtasi aylananing markazi deb ataladigan nuqtadan teng masofada joylashgan.

Aylana qurish uchun ixtiyoriy O nuqta tanlanadi, aylananing markazi sifatida olinadi va sirkul yordamida yopiq chiziq chiziladi.

Agar aylana markazining O nuqtasi aylananing ixtiyoriy nuqtalari bilan bog'langan bo'lsa, unda barcha hosil bo'lgan segmentlar bir-biriga teng bo'ladi va bunday segmentlar radiuslar deb ataladi, lotincha kichik yoki qisqartiriladi. Bosh harf"er" ( r yoki R). Aylanada qancha nuqta bo'lsa, shuncha radius mavjud.

Doiraning ikkita nuqtasini tutashtiruvchi va uning markazidan o'tuvchi chiziq bo'lagi diametr deyiladi. Diametri ikkitadan iborat radiuslar bir xil to'g'ri chiziqda yotadi. Diametri lotincha kichik yoki katta "de" harfi bilan ko'rsatilgan ( d yoki D).

Qoida. Diametri doira uning ikkitasiga teng radiuslar.

d = 2r
D=2R

Atrof formula bo'yicha hisoblanadi va aylananing radiusiga (diametriga) bog'liq. Formulada aylananing aylanasi diametridan necha marta katta ekanligini ko'rsatadigan ¶ raqami mavjud. ¶ soni cheksiz sonli kasrlarga ega. Hisob-kitoblar uchun ¶ = 3.14 qabul qilinadi.

Doira aylanasi lotincha bosh harf "ce" bilan belgilanadi ( C). Doira atrofi uning diametriga proportsionaldir. Doira aylanasini uning radiusi va diametri bo'yicha hisoblash formulalari:

C = ¶d
C = 2r

• Misollar
• Berilgan: d = 100 sm.
• Atrofi: C=3,14*100sm=314sm
• Berilgan: d = 25 mm.
• Atrofi: C=2*3,14*25=157mm

Doira sekanti va aylana yoyi

Har qanday sekant (to'g'ri chiziq) aylanani ikki nuqtada kesib, uni ikkita yoyga ajratadi. Doira yoyining o'lchami markaz va sekant orasidagi masofaga bog'liq va sekantning aylana bilan kesishgan birinchi nuqtasidan ikkinchisiga qadar yopiq egri chiziq bo'ylab o'lchanadi.

yoylar doiralar bo'linadi sekant agar sekant diametriga to'g'ri kelmasa, katta va kichikga, agar sekant aylana diametri bo'ylab o'tsa, ikkita teng yoyga.

Agar sekant aylananing markazidan o'tsa, u holda uning doira bilan kesishgan nuqtalari orasida joylashgan segmenti aylananing diametri yoki aylananing eng katta akkordi hisoblanadi.

Sekant aylana markazidan qanchalik uzoqda joylashgan bo'lsa, aylananing kichik yoyining daraja o'lchovi shunchalik kichik bo'ladi va ko'proq - aylananing katta yoyi va sekant segmenti deyiladi. akkord, sekant aylana markazidan uzoqlashganda kamayadi.

Ta'rif. Aylana - aylana ichida joylashgan tekislikning bir qismi.

Doira markazi, radiusi, diametri bir vaqtning o'zida tegishli doiraning markazi, radiusi va diametri hisoblanadi.

Doira tekislikning bir qismi bo'lgani uchun uning parametrlaridan biri maydondir.

Qoida. Doira maydoni ( S) radius kvadratining ko'paytmasiga teng ( r2) ¶ raqamiga.

• Misollar
• Berilgan: r = 100 sm
• Doira maydoni:
• S \u003d 3,14 * 100 sm * 100 sm \u003d 31,400 sm 2 ≈ 3m 2
• Berilgan: d = 50 mm
• Doira maydoni:
• S \u003d ¼ * 3,14 * 50 mm * 50 mm \u003d 1 963 mm 2 ≈ 20 sm 2

Agar aylana bo'ylab ikkita radius chizilgan bo'lsa turli nuqtalar aylana, keyin aylananing ikki qismi hosil bo'ladi, ular chaqiriladi tarmoqlar. Agar akkord aylana bo'ylab chizilgan bo'lsa, u holda tekislikning yoy va akkord orasidagi qismi deyiladi. doira segmenti.