Sizning maxfiyligingiz biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik siyosatimizni o'qing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

• Saytda ariza topshirganingizda, biz turli xil ma'lumotlarni, jumladan ismingiz, telefon raqamingiz, elektron pochta manzilingiz va hokazolarni to'plashimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

• Biz to'playdigan shaxsiy ma'lumotlar bizga siz bilan bog'lanish va noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va bo'lajak voqealar haqida sizni xabardor qilish imkonini beradi.
• Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
• Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish maqsadida auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.
• Agar siz sovrinlar o'yiniga, tanlovga yoki shunga o'xshash rag'batga kirsangiz, biz bunday dasturlarni boshqarish uchun siz taqdim etgan ma'lumotlardan foydalanishimiz mumkin.

Uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Biz sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

• Zarur bo'lganda - qonun hujjatlariga muvofiq, sud tartibida, sud muhokamasida va/yoki jamoatchilikning so'rovlari yoki so'rovlari asosida. davlat organlari rossiya Federatsiyasi hududida - shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qiling. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat manfaatlari uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
• Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli uchinchi tomon merosxo'riga topshirishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Maxfiyligingizni kompaniya darajasida saqlash

Sizning shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik amaliyotlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy ravishda qo'llaymiz.

To'g'ridan-to'g'ri ( MN) aylana bilan faqat bitta umumiy nuqtaga ega ( A), deyiladi tangens doiraga.

Bu holda umumiy nuqta deyiladi teginish nuqtasi.

Mavjud bo'lish imkoniyati tangens, va bundan tashqari, har qanday nuqta orqali chizilgan doiralar, aloqa nuqtasi sifatida quyidagilar isbotlangan teorema.

Bu talab qilinsin doiralar markazlashtirilgan O tangens nuqta orqali A. Buning uchun, nuqtadan A, markazdan boshlab, tasvirlab bering yoy radius AO, va nuqtadan O, markaz sifatida biz bu yoyni nuqtalarda kesib o'tamiz B va FROM berilgan aylana diametriga teng kompas yechimi.

Keyin sarflagandan keyin akkordlar OB va OS, nuqtani ulang A nuqta bilan D va E bu akkordlar berilgan doirani kesishgan joyda. To'g'ridan-to'g'ri AD va AE - aylanaga teginish O. Darhaqiqat, qurilishdan ko'rinib turibdiki uchburchaklar AOB va AOC teng yon tomonlar(AO = AB = AC) asoslar bilan OB va OS, aylananing diametriga teng O.

Chunki OD va O.E radiuslar, demak D - o'rtada OB, a E- o'rtada OS, degan ma'noni anglatadi AD va AE - medianlar teng yonli uchburchaklar asoslariga chizilgan va shuning uchun bu asoslarga perpendikulyar. Agar to'g'ridan-to'g'ri DA va EA radiuslarga perpendikulyar OD va O.E, keyin ular tangenslar.

Natija.

Xuddi shu nuqtadan aylanaga chizilgan ikkita tangens teng va bu nuqtani markaz bilan bog'laydigan chiziq bilan teng burchaklarni hosil qiladi..

Shunday qilib AD=AE va ∠ OAD = ∠OAE chunki to'g'ri uchburchaklar AOD va AOE umumiylikka ega bo'lish gipotenuza AO va teng oyoqlar OD va O.E(radiusi sifatida) teng. E'tibor bering, bu erda "tangens" so'zi haqiqiy " tangens segmenti” berilgan nuqtadan aloqa nuqtasiga qadar.

Maqolada ta'riflar, hosilaning geometrik ma'nosi grafik belgilar bilan batafsil tushuntirilgan. Tangens chiziq tenglamasi misollar bilan ko'rib chiqiladi, 2-tartibli egri chiziqlarga teginish tenglamalari topiladi.

y \u003d k x + b to'g'ri chiziqning moyillik burchagi a burchak deb ataladi, u x o'qining musbat yo'nalishidan y \u003d k x + b to'g'ri chiziqqa musbat yo'nalishda o'lchanadi.

Rasmda ho'kiz yo'nalishi yashil o'q va yashil yoy bilan, moyillik burchagi esa qizil yoy bilan ko'rsatilgan. Moviy chiziq to'g'ri chiziqni anglatadi.

Ta'rif 2

y \u003d k x + b to'g'ri chiziqning qiyaligi k sonli koeffitsient deb ataladi.

Nishab to'g'ri chiziqning qiyaligiga teng, boshqacha aytganda k = t g a .

• To'g'ri chiziqning qiyaligi 0 ga teng, faqat o x parallel va qiyalik nolga teng bo'ladi, chunki nolning tangensi 0 ga teng. Demak, tenglamaning shakli y = b bo'ladi.
• Agar y = k x + b to'g'ri chiziqning og'ish burchagi keskin bo'lsa, u holda shartlar 0.< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение qiyalik k musbat son hisoblanadi, chunki tangens qiymati t g a > 0 shartni qanoatlantiradi va grafikda ortish bor.
• Agar a \u003d p 2 bo'lsa, chiziqning joylashishi x ga perpendikulyar bo'ladi. Tenglik x = c tengligi bilan belgilanadi, c qiymati haqiqiy sondir.
• Agar y = k x + b to'g'ri chiziqning qiyalik burchagi o'tmas bo'lsa, u p 2 shartlarga mos keladi.< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Sekant - f (x) funksiyaning 2 nuqtasidan o'tuvchi to'g'ri chiziq. Boshqacha qilib aytganda, sekant - bu grafikning istalgan ikkita nuqtasidan o'tadigan to'g'ri chiziq. berilgan funksiya.

Rasmda A B - sekant va f (x) - qora egri chiziq, a - qizil yoy bo'lib, sekantning moyillik burchagini ko'rsatadi.

To'g'ri chiziqning qiyaligi nishab burchagi tangensiga teng bo'lsa, A B C to'g'ri burchakli uchburchakdan olingan tangensni qo'shnisiga qarama-qarshi oyoqqa nisbatan topish mumkinligi aniq.

Ta'rif 4

Shaklning sekantini topish formulasini olamiz:

k = t g a = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A , bu erda A va B nuqtalarning abscissalari x A , x B va f (x A) , f (x) qiymatlari B) bu nuqtalardagi qiymatlar funksiyalari.

Shubhasiz, sekantning qiyaligi k \u003d f (x B) - f (x A) x B - x A yoki k \u003d f (x A) - f (x B) x A - x tengligi yordamida aniqlanadi. B va tenglama y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) shaklida yozilishi kerak yoki
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Sekant vizual ravishda grafikni 3 qismga ajratadi: A nuqtadan chapga, A dan B gacha, B dan o'ngga. Quyidagi rasmda bir xil deb hisoblangan uchta sekant borligi ko'rsatilgan, ya'ni ular shunga o'xshash tenglama yordamida o'rnating.

Ta'rifga ko'ra, bu holda chiziq va uning sekantlari mos kelishi aniq.

Sekant berilgan funksiya grafigini bir necha marta kesishi mumkin. Agar sekant uchun y \u003d 0 ko'rinishidagi tenglama mavjud bo'lsa, u holda sinusoid bilan kesishish nuqtalari soni cheksizdir.

Ta'rif 5

f (x) funksiya grafigiga x 0 nuqtadagi tangens; f (x 0) berilgan x 0 nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq deyiladi; f (x 0) , x 0 ga yaqin ko'p x qiymatlariga ega bo'lgan segment mavjudligi bilan.

1-misol

Keling, quyidagi misolni batafsil ko'rib chiqaylik. U holda y = x + 1 funksiya bilan berilgan chiziq (1 ; 2) koordinatalari bo'lgan nuqtada y = 2 x ga tangens deb hisoblanishini ko'rish mumkin. Aniqlik uchun qiymatlari (1; 2) ga yaqin bo'lgan grafiklarni ko'rib chiqish kerak. y = 2 x funksiya qora rang bilan belgilangan, ko'k chiziq tangens, qizil nuqta kesishish nuqtasidir.

Shubhasiz, y \u003d 2 x y \u003d x + 1 chizig'i bilan birlashadi.

Tangensni aniqlash uchun B nuqtasi A nuqtaga cheksiz yaqinlashganda, A B tangensining xatti-harakatini hisobga olish kerak.Tangensni aniqlik uchun biz rasmni keltiramiz.

Ko'k chiziq bilan ko'rsatilgan A B sekant tangensning o'zi holatiga moyil bo'ladi va sekantning moyillik burchagi a x tangensining o'zi qiyalik burchagiga yaqinlasha boshlaydi.

Ta'rif 6

A nuqtadagi y \u003d f (x) funktsiyasining grafigiga teginish - bu A ga moyil bo'lgan A B sekantining A ga moyilligi, ya'ni B → A.

Endi funksiyaning nuqtadagi hosilasining geometrik ma’nosini ko‘rib chiqishga o‘tamiz.

f (x) funktsiyasi uchun A B sekantini ko'rib chiqishga o'tamiz, bu erda A va B koordinatalari x 0, f (x 0) va x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) va ∆ bo'ladi. x argumentning o'sishi sifatida belgilanadi. Endi funksiya ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) ko'rinishini oladi. Aniqlik uchun misol sifatida rasmga olaylik.

Olingan to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqing A B C. Yechim uchun tangensning ta'rifidan foydalanamiz, ya'ni ∆ y ∆ x = t g a nisbatini olamiz. Tangens ta’rifidan kelib chiqadiki, lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g a x. Nuqtadagi hosila qoidasiga ko‘ra, x 0 nuqtadagi f (x) hosilasi funktsiya o‘sishini argument o‘sishga nisbatining chegarasi deyiladi, bunda ∆ x → 0 bo‘ladi. f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x sifatida belgilanadi.

Bundan kelib chiqadiki, f "(x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g a x = k x, bu erda k x tangensning qiyaligi sifatida belgilanadi.

Ya'ni, f ' (x) x 0 nuqtada mavjud bo'lishi mumkinligini olamiz va funksiyaning berilgan grafigiga teginish nuqtasida x 0 ga teng bo'lgani kabi, f 0 (x 0) , bu erda qiymat nuqtadagi tangensning qiyaligi x 0 nuqtadagi hosilaga teng. Keyin biz k x = f "(x 0) ni olamiz.

Funktsiyaning nuqtadagi hosilasining geometrik ma'nosi shundan iboratki, xuddi shu nuqtada grafaga teguvchining mavjudligi tushunchasi berilgan.

Tekislikdagi har qanday to'g'ri chiziq tenglamasini yozish uchun u o'tadigan nuqta bilan qiyalik bo'lishi kerak. Uning belgilanishi chorrahada x 0 sifatida qabul qilinadi.

x 0, f 0 (x 0) nuqtadagi y \u003d f (x) funktsiyasi grafigiga teginish tenglamasi y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x) ko'rinishini oladi. 0) .

Demak, f "(x 0) hosilasining yakuniy qiymati tangensning o'rnini, ya'ni vertikal ravishda lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ va lim x → x 0 shartida aniqlay oladi. - 0 f "(x ) = ∞ yoki umuman yo'qligi lim x → x 0 + 0 f "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f "(x) .

Tangensning joylashishi uning qiyaligi qiymatiga bog'liq k x \u003d f "(x 0). O x o'qiga parallel bo'lganda, biz k k \u003d 0 ni, o y ga parallel bo'lganda - k x \u003d ∞ va shaklni olamiz. tangens tenglamasining x \u003d x 0 qiymati k x > 0 bilan ortadi, k x ga kamayadi< 0 .

2-misol

y \u003d e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 funksiya grafigiga teginish tenglamasini koordinatalari (1; 3) bo'lgan nuqtada burchakni aniqlagan holda tuzing. moyillik.

Yechim

Taxminlarga ko'ra, funktsiya hamma uchun aniqlangan haqiqiy raqamlar. Biz (1 ; 3) shart bilan belgilangan koordinatalari bo'lgan nuqta aloqa nuqtasi ekanligini bilib olamiz, keyin x 0 = - 1 , f (x 0) = - 3 .

Qiymati - 1 bo'lgan nuqtada hosilani topish kerak. Biz buni tushunamiz

y "= e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" = = e x + 1 "+ x 3 3" - 6 - 3 3 x "- 17 - 3 3" = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Aloqa nuqtasidagi f ’ (x) qiymati nishabning tangensiga teng bo'lgan tangensning qiyaligidir.

U holda k x = t g a x = y "(x 0) = 3 3

Bundan kelib chiqadiki, a x = a r c t g 3 3 = p 6

Javob: tangens tenglama shaklini oladi

y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) y \u003d 3 3 (x + 1) - 3 y \u003d 3 3 x - 9 - 3 3

Aniqlik uchun biz grafik rasmda misol keltiramiz.

Asl funktsiya grafigi uchun qora rang ishlatiladi, ko'k rang teginish tasviri, qizil nuqta teginish nuqtasidir. O'ngdagi rasmda kattalashtirilgan ko'rinish ko'rsatilgan.

3-misol

Berilgan funksiya grafigiga teginish mavjudligini aniqlang
y = 3 x - 1 5 + 1 koordinatali nuqtada (1 ; 1) . Tenglama yozing va qiyalik burchagini aniqlang.

Yechim

Taxminlarga ko'ra, berilgan funktsiyaning sohasi barcha haqiqiy sonlar to'plamidir.

Keling, hosilani topishga o'tamiz

y "= 3 x - 1 5 + 1" = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Agar x 0 = 1 bo'lsa, f ' (x) aniqlanmagan, lekin chegaralar lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 shaklida yoziladi. 5 1 + 0 = + ∞ va lim x → 1 - 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (- 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ , bu da mavjud vertikal tangensni bildiradi. nuqta (1; 1) .

Javob: tenglama x \u003d 1 ko'rinishini oladi, bu erda moyillik burchagi p 2 ga teng bo'ladi.

Aniqlik uchun uning grafikasini chizamiz.

4-misol

y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 funksiya grafigining nuqtalarini toping, bunda

1. Tangens mavjud emas;
2. Tangens x ga parallel;
3. Tangens y = 8 5 x + 4 chiziqqa parallel.

Yechim

Ta'rif sohasiga e'tibor berish kerak. Taxminlarga ko'ra, funktsiya barcha haqiqiy sonlar to'plamida aniqlangan. Modulni kengaytiring va x ∈ - ∞ oraliqlari bilan tizimni yeching; 2 va [- 2; +∞). Biz buni tushunamiz

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176, x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

Funktsiyani farqlash kerak. Bizda shunday

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 " , x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3, x ∈ [ - 2 ; +∞)

Agar x = - 2 bo'lsa, unda hosila mavjud emas, chunki bu nuqtada bir tomonlama chegaralar teng emas:

lim x → - 2 - 0 y "(x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Funktsiyaning qiymatini x \u003d - 2 nuqtasida hisoblaymiz, bu erda biz buni olamiz

1. y (- 2) \u003d 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 \u003d - 2, ya'ni tangens nuqta (- 2; - 2) mavjud bo'lmaydi.
2. Nishab nolga teng bo'lganda tangens x ga parallel bo'ladi. Keyin k x \u003d t g a x \u003d f "(x 0). Ya'ni, funktsiyaning hosilasi uni nolga aylantirganda, bunday x ning qiymatlarini topish kerak. Ya'ni, qiymatlar f '(x) va teginish nuqtalari bo'ladi, bu erda tangens x ga parallel bo'ladi.

Qachon x ∈ - ∞ ; - 2, keyin - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 va x ∈ (- 2 ; + ∞) uchun 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 ni olamiz.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2; +∞

Funktsiyaning mos qiymatlarini hisoblaymiz

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Demak - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 85, 3; 4 3 funksiya grafigining kerakli nuqtalari hisoblanadi.

O'ylab ko'ring grafik tasvir yechimlar.

Qora chiziq funksiya grafigi, qizil nuqta teginish nuqtalari.

1. Chiziqlar parallel bo'lganda, qiyaliklar teng bo'ladi. Keyin funktsiya grafigining qiyalik 8 5 qiymatiga teng bo'ladigan nuqtalarini qidirish kerak. Buning uchun y "(x) = 8 5 ko'rinishdagi tenglamani yechish kerak. Keyin, agar x ∈ - ∞; - 2 bo'lsa, biz shuni olamiz - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5 va agar x ∈ ( - 2 ; + ∞) bo'lsa, u holda 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 .

Birinchi tenglamaning ildizlari yo'q, chunki diskriminant noldan kichikdir. Keling, buni yozaylik

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Boshqa tenglamaning ikkita haqiqiy ildizi bor

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2; +∞

Keling, funktsiyaning qiymatlarini topishga o'tamiz. Biz buni tushunamiz

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Qiymatli ballar - 1 ; 4 15, 5; 8 3 - tangenslar y = 8 5 x + 4 chiziqqa parallel bo'lgan nuqtalar.

Javob: qora chiziq - funksiya grafigi, qizil chiziq - grafik y \u003d 8 5 x + 4, ko'k chiziq - nuqtalardagi tangenslar - 1; 4 15, 5; 8 3 .

Berilgan funksiyalar uchun cheksiz sonli tangenslar mavjudligi mumkin.

5-misol

y = - 2 x + 1 2 chiziqqa perpendikulyar bo'lgan y = 3 cos 3 2 x - p 4 - 1 3 funksiyaning barcha mavjud tangenslari tenglamalarini yozing.

Yechim

Tangens tenglamasini tuzish uchun chiziqlarning perpendikulyarlik shartidan kelib chiqib, aloqa nuqtasining koeffitsienti va koordinatalarini topish kerak. Ta'rif shunday eshitiladi: to'g'ri chiziqlarga perpendikulyar bo'lgan qiyaliklarning ko'paytmasi - 1 ga teng, ya'ni u k x · k ⊥ = - 1 shaklida yoziladi. Shartdan biz qiyalik to'g'ri chiziqqa perpendikulyar va k ⊥ = - 2 ga teng, u holda k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 bo'ladi.

Endi biz teginish nuqtalarining koordinatalarini topishimiz kerak. Siz x topishingiz kerak, shundan so'ng uning berilgan funktsiya uchun qiymati. E'tibor bering, nuqtadagi hosilaning geometrik ma'nosidan
x 0 biz k x \u003d y "(x 0) ni olamiz. Ushbu tenglikdan biz teginish nuqtalari uchun x qiymatlarini topamiz.

Biz buni tushunamiz

y "(x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - p 4 - 1 3" = 3 - sin 3 2 x 0 - p 4 3 2 x 0 - p 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - p 4 3 2 \u003d - 9 2 sin 3 2 x 0 - p 4 ⇒ k x \u003d y "(x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - p 4 \u003d 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - 4 = - 1 9

Ushbu trigonometrik tenglama teginish nuqtalarining ordinatlarini hisoblash uchun ishlatiladi.

3 2 x 0 - p 4 = a r c sin - 1 9 + 2 p yoki 3 2 x 0 - p 4 = p - a r c sin - 1 9 + 2 p

3 2 x 0 - p 4 = - a r c sin 1 9 + 2 p yoki 3 2 x 0 - p 4 = p + a r c sin 1 9 + 2 p

x 0 = 2 3 p 4 - a r c sin 1 9 + 2 p yoki x 0 = 2 3 5 p 4 + a r c sin 1 9 + 2 pk, k ∈ Z

Z - butun sonlar to'plami.

X aloqa nuqtasi topildi. Endi siz y qiymatlarini qidirishga o'tishingiz kerak:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - p 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - p 4 - 1 3 yoki y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - p 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 yoki y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 yoki y 0 = - 4 5 + 1 3

Bu yerdan 2 3 p 4 - a r c sin 1 9 + 2 p ni olamiz; 4 5 - 1 3, 2 3 5 p 4 + a r c sin 1 9 + 2 p; - 4 5 + 1 3 teginish nuqtalari.

Javob: zarur tenglamalar quyidagicha yoziladi

y = 1 2 x - 2 3 p 4 - a r c sin 1 9 + 2 pk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 p 4 + a r c sin 1 9 + 2 p - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Vizual tasvirlash uchun koordinata chizig'idagi funksiya va tangensni ko'rib chiqing.

Rasmda funktsiyaning joylashuvi [ - 10 ; 10 ] , bu yerda qora chiziq funksiya grafigi, ko‘k chiziqlar y = - 2 x + 1 2 ko‘rinishdagi berilgan chiziqqa perpendikulyar bo‘lgan tangenslardir. Qizil nuqtalar teginish nuqtalari.

2-tartibli egri chiziqlarning kanonik tenglamalari bir qiymatli funksiyalar emas. Ular uchun tangens tenglamalari taniqli sxemalar bo'yicha tuzilgan.

Aylanaga teginish

Markazi x c e n t e r nuqtada joylashgan aylana o'rnatish uchun; y c e n t e r va radius R, x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 formulasidan foydalaniladi.

Bu tenglikni ikki funktsiyaning birlashuvi sifatida yozish mumkin:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Rasmda ko'rsatilganidek, birinchi funktsiya yuqorida, ikkinchisi esa pastda joylashgan.

x 0 nuqtada aylana tenglamasini tuzish; y 0 , yuqori yoki pastki yarim doira ichida joylashgan bo'lsa, siz y \u003d R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r yoki y \u003d - R 2 - x - x c e n ko'rinishidagi funktsiya grafigining tenglamasini topishingiz kerak. 2 + y c e n t e r belgilangan nuqtada.

x c e n t e r nuqtalarida bo'lganda; y c e n t e r + R va x c e n t e r; y c e n t e r - R tangenslari y = y c e n t e r + R va y = y c e n t e r - R tenglamalari va x c e n t e r + R nuqtalarda berilishi mumkin; y c e n t e r va
x c e n t e r - R ; y c e n t e r y ga yaqin parallel bo ladi, u holda x = x c e n t e r + R va x = x c e n t e r - R ko rinishdagi tenglamalarni olamiz.

Ellipsga teginish

Ellips markazlashganda x c e n t e r ; a va b yarim o'qlar bilan y c e n t e r bo'lsa, u holda x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 tenglamasi yordamida berilishi mumkin.

Ellips va aylana ikkita funktsiyani, ya'ni yuqori va pastki yarim ellipsni birlashtirib belgilanishi mumkin. Keyin biz buni olamiz

y = b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Agar tangenslar ellipsning uchlarida joylashgan bo'lsa, u holda ular taxminan x yoki taxminan y ga parallel bo'ladi. Aniqlik uchun quyidagi rasmni ko'rib chiqing.

6-misol

X qiymatlari x = 2 ga teng bo'lgan nuqtalarda x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 ellipsga teginish tenglamasini yozing.

Yechim

X = 2 qiymatiga mos keladigan teginish nuqtalarini topish kerak. Biz ellipsning mavjud tenglamasiga almashtirishni amalga oshiramiz va uni olamiz

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Keyin 2; 5 3 2 + 5 va 2; - 5 3 2 + 5 - yuqori va pastki yarim ellipsga tegishli teginish nuqtalari.

Ellipsning y ga nisbatan tenglamasini topish va yechishga o‘tamiz. Biz buni tushunamiz

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Ko'rinib turibdiki, yuqori yarim ellips y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, pastki qismi esa y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 ko'rinishdagi funksiya yordamida aniqlangan.

Nuqtadagi funksiya grafigiga teginish tenglamasini shakllantirish uchun standart algoritmni qo‘llaymiz. 2-nuqtadagi birinchi tangens uchun tenglamani yozamiz; 5 3 2 + 5 o'xshash bo'ladi

y "= 5 + 5 2 4 - x - 3 2" = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Biz nuqtadagi qiymat bilan ikkinchi tangens tenglamasini olamiz
2; - 5 3 2 + 5 bo'ladi

y "= 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Grafik jihatdan tangenslar quyidagicha belgilanadi:

Giperbolaga tegish

Giperbola x c e n t e r nuqtada markazga ega bo lganda; y c e n t e r va uchlari x c e n t e r + a ; y c e n t e r va x c e n t e r - a ; y c e n t e r, x - x c e n t e r 2 a 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 tengsizlik, agar cho'qqilari bilan x c e n t e r bo'lsa; y c e n t e r + b va x c e n t e r; y c e n t e r - b u holda x - x c e n t e r 2 a 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 tengsizlik bilan beriladi.

Giperbola shaklning ikkita birlashgan funksiyasi sifatida ifodalanishi mumkin

y = b a (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r yoki y = b a (x - x c e n t e r) 2 - y + y ) 2 + a 2 + y c e n t e r

Birinchi holda, tangenslar y ga parallel, ikkinchisida esa ular x ga parallel.

Bundan kelib chiqadiki, giperbolaga teguvchi tenglamani topish uchun teginish nuqtasi qaysi funktsiyaga tegishli ekanligini aniqlash kerak. Buni aniqlash uchun tenglamalarda almashtirishni amalga oshirish va ularning o'ziga xosligini tekshirish kerak.

7-misol

7 nuqtada x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 giperbolaga teguvchi tenglamani yozing; - 3 3 - 3.

Yechim

Giperbolani topish yechimi yozuvini 2 ta funksiya yordamida o'zgartirish kerak. Biz buni tushunamiz

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 yoki y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

7 koordinatali berilgan nuqta qaysi funktsiyaga tegishli ekanligini aniqlash kerak; - 3 3 - 3.

Shubhasiz, birinchi funktsiyani tekshirish uchun y (7) = 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 kerak bo'lsa, nuqta grafikga tegishli emas, chunki tenglik qanoatlanmaydi.

Ikkinchi funksiya uchun y (7) = - 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 ga ega bo‘lib, bu nuqta berilgan grafikga tegishli ekanligini bildiradi. Bu yerdan siz nishab koeffitsientini topishingiz kerak.

Biz buni tushunamiz

y "= - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3" = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y "(x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Javob: tangens tenglamani quyidagicha ifodalash mumkin

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

U quyidagicha tasvirlangan:

Parabolaga teginish

x 0, y (x 0) nuqtasida y \u003d a x 2 + b x + c parabolasiga teginish tenglamasini tuzish uchun siz standart algoritmdan foydalanishingiz kerak, keyin tenglama y \u003d y shaklini oladi. (x 0) x - x 0 + y ( x 0) Tepadagi bunday tangens x ga parallel.

x = a y 2 + b y + c parabolasi ikkita funktsiyaning birlashuvi sifatida aniqlanishi kerak. Shuning uchun y uchun tenglamani yechishimiz kerak. Biz buni tushunamiz

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Uning grafigini quyidagicha tuzamiz:

x 0 , y (x 0) nuqtaning funksiyaga tegishli ekanligini bilish uchun standart algoritmga ehtiyotkorlik bilan amal qiling. Bunday tangens parabolaga nisbatan y ga parallel bo'ladi.

8-misol

X - 2 y 2 - 5 y + 3 grafigiga teginish tenglamasini bizda 150 ° ga teng bo'lgan tangens qiyalik bo'lganda yozing.

Yechim

Yechimni parabolani ikkita funktsiya sifatida ifodalashdan boshlaymiz. Biz buni tushunamiz

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 (- 2) (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Nishabning qiymati bu funksiyaning x 0 nuqtasidagi hosilaning qiymatiga teng va qiyalik tangensiga teng.

Biz olamiz:

k x \u003d y "(x 0) \u003d t g a x \u003d t g 150 ° \u003d - 1 3

Bu yerdan teginish nuqtalari uchun x qiymatini aniqlaymiz.

Birinchi funksiya quyidagicha yoziladi

y "= 5 + 49 - 8 x - 4" = 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Shubhasiz, haqiqiy ildizlar yo'q, chunki biz salbiy qiymatga ega bo'ldik. Bunday funktsiya uchun 150 ° burchakka ega bo'lgan tangens yo'q degan xulosaga keldik.

Ikkinchi funktsiya quyidagicha yoziladi

y "= 5 - 49 - 8 x - 4" = - 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Bizda teginish nuqtalari bor - 23 4 ; - 5 + 3 4.

Javob: tangens tenglama shaklini oladi

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Keling, uni quyidagicha grafik bilan tuzamiz:

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Transektalar, tangenslar - bularning barchasini geometriya darslarida yuzlab marta eshitish mumkin edi. Ammo maktabni tugatish tugadi, yillar o'tadi va bu bilimlarning barchasi unutiladi. Nimani eslash kerak?

Mohiyat

"Doiraga teginish" atamasi, ehtimol, hamma uchun tanish. Ammo hamma uning ta'rifini tezda shakllantirishi dargumon. Shu bilan birga, tangens - aylana bilan bir tekislikda yotadigan shunday to'g'ri chiziq, uni faqat bitta nuqtada kesib o'tadi. Ularning xilma-xilligi juda katta bo'lishi mumkin, ammo ularning barchasi bir xil xususiyatlarga ega, ular quyida muhokama qilinadi. Siz taxmin qilganingizdek, aloqa nuqtasi aylana va chiziq kesishgan joydir. Har bir holatda, bu bitta, lekin agar ular ko'proq bo'lsa, u sekant bo'ladi.

Kashfiyot va o'rganish tarixi

Tangens tushunchasi antik davrda paydo bo'lgan. Bu toʻgʻri chiziqlarni dastlab aylanaga, soʻngra chizgʻich va sirkul yordamida ellips, parabola va giperbolalarga yasash geometriya rivojlanishining dastlabki bosqichlarida ham amalga oshirilgan. Albatta, tarix kashfiyotchining nomini saqlab qolmagan, ammo ma'lumki, o'sha paytda ham odamlar aylanaga tegishning xususiyatlarini yaxshi bilishgan.

Zamonaviy davrda ushbu hodisaga qiziqish yana kuchaydi - bu kontseptsiyani o'rganishning yangi bosqichi, yangi egri chiziqlarning ochilishi bilan birlashtirildi. Shunday qilib, Galiley sikloid tushunchasini kiritdi va Ferma va Dekart unga tangensni yaratdilar. Davralarga kelsak, bu hududda qadimiylar uchun hech qanday sir qolmagandek.

Xususiyatlari

Kesishish nuqtasiga chizilgan radius bo'ladi

aylanaga teguvchi asosiy, lekin yagona xususiyat emas. Yana bir muhim xususiyat allaqachon ikkita to'g'ri chiziqni o'z ichiga oladi. Shunday qilib, aylanadan tashqarida joylashgan bitta nuqta orqali ikkita tangens chizish mumkin, shu bilan birga ularning segmentlari teng bo'ladi. Ushbu mavzu bo'yicha yana bir teorema mavjud, ammo u kamdan-kam hollarda standart doirasida o'tkaziladi maktab kursi, garchi u ba'zi muammolarni hal qilish uchun juda qulay. Bu shunday eshitiladi. Aylanadan tashqarida joylashgan bir nuqtadan unga tangens va sekant tortiladi. AB, AC va AD segmentlari hosil bo'ladi. A - chiziqlarning kesishishi, B - aloqa nuqtasi, C va D - kesishmalar. Bunday holda, quyidagi tenglik o'rinli bo'ladi: aylanaga tegining uzunligi, kvadrat, AC va AD segmentlarining ko'paytmasiga teng bo'ladi.

Yuqoridagilarning muhim natijasi bor. Doiraning har bir nuqtasi uchun siz tangens qurishingiz mumkin, lekin faqat bitta. Buning isboti juda oddiy: nazariy jihatdan radiusdan unga perpendikulyar tushirsak, hosil bo'lgan uchburchak mavjud bo'lmasligini bilib olamiz. Va bu tangens noyob ekanligini anglatadi.

Bino

Geometriyadagi boshqa vazifalar qatorida, qoida tariqasida, maxsus toifa mavjud

talabalar va talabalar tomonidan ma'qullangan. Ushbu toifadagi vazifalarni hal qilish uchun sizga faqat kompas va o'lchagich kerak. Bu qurilish vazifalari. Tangensni yasash usullari ham mavjud.

Shunday qilib, doira va uning chegaralaridan tashqarida joylashgan nuqta berilgan. Va ular orqali tangens chizish kerak. Buni qanday qilish kerak? Avvalo, aylana markazi O va o'rtasida segmentni chizishingiz kerak berilgan nuqta. Keyin kompas yordamida uni yarmiga bo'ling. Buni amalga oshirish uchun siz radiusni o'rnatishingiz kerak - asl doira markazi va berilgan nuqta orasidagi masofaning yarmidan bir oz ko'proq. Shundan so'ng, siz ikkita kesishgan yoyni qurishingiz kerak. Bundan tashqari, kompasning radiusini o'zgartirish kerak emas va aylananing har bir qismining markazi mos ravishda boshlang'ich nuqta va O bo'ladi. Yoylarning kesishuvlari ulanishi kerak, bu esa segmentni yarmiga bo'ladi. Kompasda shu masofaga teng radiusni o'rnating. Keyinchalik, markazni kesishish nuqtasida bo'lgan holda, yana bir doira chizing. Unda boshlang'ich nuqta ham, O ham yotadi.Bu holda masalada berilgan aylana bilan yana ikkita kesishma bo'ladi. Ular dastlab berilgan nuqta uchun teginish nuqtalari bo'ladi.

Bu tug'ilishga olib kelgan aylanaga teginishlarning qurilishi edi

differensial hisob. Bu mavzudagi birinchi asar mashhur nemis matematigi Leybnits tomonidan nashr etilgan. U kasr va irratsional qiymatlardan qat'i nazar, maksimal, minimal va tangenslarni topish imkoniyatini ta'minladi. Xo'sh, endi u boshqa ko'plab hisob-kitoblar uchun ham qo'llaniladi.

Shuningdek, aylanaga tegish bilan bog'liq geometrik ma'no tangens. Uning nomi shu erdan kelib chiqqan. Lotin tilidan tarjima qilingan tangens "tangens" degan ma'noni anglatadi. Shunday qilib, bu tushuncha nafaqat geometriya va differentsial hisoblar, balki trigonometriya bilan ham bog'liq.

Ikki doira

Tangens har doim ham faqat bitta raqamga ta'sir qilmaydi. Agar bitta aylanaga juda ko'p to'g'ri chiziqlar chizish mumkin bo'lsa, nega aksincha emas? mumkin. Ammo bu holda vazifa juda murakkab, chunki ikkita aylanaga tegish hech qanday nuqtadan o'tolmaydi va bu barcha raqamlarning nisbiy pozitsiyasi juda katta bo'lishi mumkin.

boshqacha.

Turlari va navlari

Qachon gaplashamiz ikki doira va bir yoki bir nechta to'g'ri chiziqlar haqida, agar ular tangentlar ekanligi ma'lum bo'lsa ham, bu raqamlarning barchasi bir-biriga nisbatan qanday joylashganligi darhol aniq bo'lmaydi. Bunga asoslanib, bir nechta navlar mavjud. Shunday qilib, aylanalarda bitta yoki ikkita umumiy nuqta bo'lishi mumkin yoki umuman bo'lmasligi mumkin. Birinchi holda, ular kesishadi, ikkinchisida esa ular tegadi. Va bu erda ikkita nav mavjud. Agar bitta doira, xuddi ikkinchisiga o'rnatilgan bo'lsa, teginish ichki, agar bo'lmasa, tashqi deb ataladi. Raqamlarning nisbiy o'rnini nafaqat chizmaga asoslanib, balki ularning radiuslari yig'indisi va markazlari orasidagi masofa haqida ma'lumotga ega bo'lishingiz mumkin. Agar bu ikki miqdor teng bo'lsa, aylanalar tegadi. Agar birinchisi kattaroq bo'lsa, ular kesishadi va agar kamroq bo'lsa, unda umumiy nuqtalar yo'q.

To'g'ri chiziqlar bilan bir xil. Umumiy nuqtalari bo'lmagan har qanday ikkita doira uchun bitta mumkin

to'rtta tangens hosil qiling. Ulardan ikkitasi raqamlar o'rtasida kesishadi, ular ichki deb ataladi. Yana bir nechtasi tashqi.

Agar biz bitta umumiy nuqtaga ega bo'lgan doiralar haqida gapiradigan bo'lsak, unda vazifa juda soddalashtirilgan. Gap shundaki, bu holda har qanday o'zaro kelishuv uchun ular faqat bitta tangensga ega bo'ladi. Va u ularning kesishgan nuqtasidan o'tadi. Shunday qilib, qurilish qiyinchilik tug'dirmaydi.

Agar raqamlar ikkita kesishgan nuqtaga ega bo'lsa, u holda ular uchun aylanaga teguvchi to'g'ri chiziqni qurish mumkin, ikkalasi ham, ikkinchisi, lekin faqat tashqi. Ushbu muammoni hal qilish quyida muhokama qilinadigan narsaga o'xshaydi.

Muammoni hal qilish

Ikki doiraning ichki va tashqi tangenslari qurilishda unchalik oddiy emas, garchi bu muammoni hal qilish mumkin. Gap shundaki, buning uchun yordamchi raqam ishlatiladi, shuning uchun bu usulni o'zingiz o'ylab ko'ring

ancha muammoli. Shunday qilib, turli radiusli va markazlari O1 va O2 bo'lgan ikkita doira berilgan. Ular uchun siz ikki juft tangens qurishingiz kerak.

Avvalo, katta doiraning markaziga yaqin joyda siz yordamchini qurishingiz kerak. Bunday holda, ikkita dastlabki raqamning radiuslari orasidagi farq kompasda o'rnatilishi kerak. Yordamchi doiraga teglar kichikroq doira markazidan qurilgan. Shundan so'ng, O1 va O2 dan, bu chiziqlarga perpendikulyarlar dastlabki raqamlar bilan kesishmaguncha o'tkaziladi. Tangensning asosiy xususiyatidan kelib chiqqan holda, ikkala doiradagi kerakli nuqtalar topiladi. Muammo, hech bo'lmaganda, uning birinchi qismi hal qilindi.

Ichki tangenslarni qurish uchun amalda hal qilish kerak

shunga o'xshash vazifa. Shunga qaramay, sizga yordamchi shakl kerak bo'ladi, lekin bu safar uning radiusi bo'ladi summasiga teng boshlang'ich. Unga berilgan aylanalardan birining markazidan tangentlar quriladi. Yechimning keyingi yo'nalishini oldingi misoldan tushunish mumkin.

Aylanaga yoki hatto ikkita yoki undan ko'piga tegish unchalik qiyin ish emas. Albatta, matematiklar uzoq vaqtdan beri bunday muammolarni qo'lda hal qilishni to'xtatdilar va hisob-kitoblarni maxsus dasturlarga ishonadilar. Ammo endi buni o'zingiz qilishingiz shart emas deb o'ylamang, chunki kompyuter uchun vazifani to'g'ri shakllantirish uchun siz ko'p narsani qilishingiz va tushunishingiz kerak. Afsuski, bilimlarni nazorat qilishning test shakliga yakuniy o'tishdan so'ng, qurilish vazifalari talabalar uchun tobora ko'proq qiyinchiliklarga olib keladi, degan qo'rquvlar mavjud.

Ko'proq doiralar uchun umumiy tangenslarni topishga kelsak, bu har doim ham mumkin emas, hatto ular bir tekislikda yotsa ham. Ammo ba'zi hollarda bunday chiziqni topish mumkin.

Haqiqiy hayot misollari

Ikki doiraning umumiy tangensi amalda tez-tez uchrab turadi, garchi bu har doim ham sezilmaydi. Konveyerlar, blokli tizimlar, kasnak uzatish kamarlari, tikuv mashinasida ip tarangligi va hatto velosiped zanjiri - bularning barchasi hayotdan misollar. Shuning uchun geometrik muammolar faqat nazariy jihatdan qoladi deb o'ylamang: muhandislik, fizika, qurilish va boshqa ko'plab sohalarda ular amaliy qo'llanilishini topadilar.

Aylanaga teginish tushunchasi

Doira uchta mumkin o'zaro kelishuvlar to'g'ri chiziqqa nisbatan:

Agar aylananing markazidan chiziqgacha bo'lgan masofa radiusdan kichik bo'lsa, u holda chiziq doira bilan kesishgan ikkita nuqtaga ega.

Agar aylananing markazidan chiziqgacha bo'lgan masofa radiusga teng bo'lsa, u holda chiziq doira bilan kesishgan ikkita nuqtaga ega.

Agar aylananing markazidan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa radiusdan katta bo'lsa, to'g'ri chiziq doira bilan kesishgan ikkita nuqtaga ega.

Endi aylanaga tangens chiziq tushunchasini kiritamiz.

Ta'rif 1

Aylanaga teguvchi to'g'ri chiziq bo'lib, u bilan bir kesishish nuqtasi bo'ladi.

Aylana va tangensning umumiy nuqtasi teginish nuqtasi deb ataladi (1-rasm).

1-rasm. Aylanaga teginish

Aylanaga teguvchi tushunchaga oid teoremalar

Teorema 1

Tangens xossa teoremasi: Aylanaga tegish nuqtaga chizilgan radiusga perpendikulyar.

Isbot.

Markazi $O$ bo'lgan doirani ko'rib chiqing. $A$ nuqtada $a$ tangensini chizamiz. $OA=r$ (2-rasm).

$a\bot r$ ekanligini isbotlaylik

Teoremani “ziddiyat bilan” usuli bilan isbotlaymiz. $a$ tangensi aylana radiusiga perpendikulyar emas deb faraz qilaylik.

2-rasm. 1-teoremaning tasviri

Ya'ni, $OA$ tangensga qiya. $a$ chiziqqa perpendikulyar har doim bir xil chiziqqa qiyaligidan kichik bo'lgani uchun aylananing markazidan chiziqgacha bo'lgan masofa radiusdan kichik bo'ladi. Ma'lumki, bu holda chiziq doira bilan kesishgan ikkita nuqtaga ega. Bu tangens ta'rifiga zid keladi.

Demak, tangens aylana radiusiga perpendikulyar.

Teorema isbotlangan.

Teorema 2

Tangens xossa teoremasiga qarama-qarshi: Agar aylana radiusining uchidan oʻtuvchi chiziq radiusga perpendikulyar boʻlsa, bu chiziq shu aylanaga teginishdir.

Isbot.

Masalaning shartiga ko'ra, bizda radius aylananing markazidan berilgan chiziqqa chizilgan perpendikulyardir. Shuning uchun aylananing markazidan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa radius uzunligiga teng. Ma'lumki, bu holda aylananing bu chiziq bilan faqat bitta kesishish nuqtasi mavjud. 1-ta'rifga ko'ra, berilgan chiziq aylanaga teginish ekanligini tushunamiz.

Teorema isbotlangan.

Teorema 3

Bir nuqtadan chizilgan aylanaga teguvchi segmentlar teng bo'lib, shu nuqtadan o'tuvchi chiziq va aylananing markazi bilan teng burchak hosil qiladi.

Isbot.

$O$ nuqtada markazlashtirilgan aylana berilsin. $A$ nuqtadan (barcha doiralarda joylashgan) ikki xil tangens chiziladi. Tegishli nuqtadan $B$ va $C$ mos ravishda (3-rasm).

$\angle BAO=\angle CAO$ ekanligini va $AB=AC$ ekanligini isbotlaylik.

3-rasm. 3-teoremaning tasviri

1-teorema bo'yicha bizda:

Demak, $ABO$ va $ACO$ uchburchaklari toʻgʻri burchakli uchburchaklardir. $OB=OC=r$ va gipotenuza $OA$ umumiy boʻlganligi uchun bu uchburchaklar gipotenuza va oyogʻida tengdir.

Demak, $\angle BAO=\angle CAO$ va $AB=AC$ ni olamiz.

Teorema isbotlangan.

Aylanaga teginish tushunchasi bo'yicha topshiriq misoli

1-misol

Markazi $O$ va radiusi $r=3\ sm$ boʻlgan aylana berilgan. $AC$ tangensi $C$ tangens nuqtasiga ega. $AO=4\sm$. $AC$ toping.

Yechim.

Birinchidan, rasmdagi hamma narsani tasvirlaymiz (4-rasm).

4-rasm

$AC$ tangens va $OC$ radius boʻlgani uchun 1-teorema boʻyicha biz $\angle ACO=(90)^(()^\circ )$ olamiz. Ma'lum bo'lishicha, $ACO$ uchburchak to'rtburchaklar shaklida bo'lib, Pifagor teoremasiga ko'ra bizda:

\[(AC)^2=(AO)^2+r^2\] \[(AC)^2=16+9\] \[(AC)^2=25\] \