Konceptet bazë të analizës së korrelacionit dhe regresionit

Duke eksploruar natyrën, shoqërinë, ekonominë, është e nevojshme të merren parasysh marrëdhëniet e proceseve dhe fenomeneve të vëzhguara. Në këtë rast, plotësia e përshkrimit përcaktohet në një mënyrë ose në një tjetër. karakteristikat sasiore marrëdhëniet shkakësore ndërmjet tyre. Vlerësimi i më domethënësve prej tyre, si dhe ndikimi i disa faktorëve në të tjerët, është një nga detyrat kryesore të statistikave.

Format e manifestimit të marrëdhënieve janë shumë të ndryshme. Si dy llojet më të zakonshme alokojnë funksionale(i plotë) dhe korrelacioni lidhje (e paplotë). Në rastin e parë, vlera e atributit të faktorit korrespondon rreptësisht me një ose më shumë vlera të funksionit. Shumë shpesh, lidhja funksionale manifestohet në fizikë, kimi. Në ekonomi, një shembull është marrëdhënia proporcionale e drejtpërdrejtë midis produktivitetit të punës dhe rritjes së prodhimit.

Korrelacioni (i cili quhet edhe i paplotë, ose statistikor) shfaqet mesatarisht, për vëzhgimet masive, kur vlerat e dhëna të ndryshores së varur korrespondojnë me një numër të caktuar vlerash të mundshme të ndryshores së pavarur. Shpjegimi për këtë është kompleksiteti i marrëdhënieve ndërmjet faktorëve të analizuar, ndërveprimi i të cilëve ndikohet nga variabla të rastësishëm të pa llogaritur. Prandaj, marrëdhënia midis shenjave manifestohet vetëm mesatarisht, në masën e rasteve. Me një korrelacion, çdo vlerë e argumentit korrespondon me vlerat e shpërndara rastësisht të funksionit në një interval të caktuar.

Për shembull, një rritje e argumentit do të sjellë vetëm një rritje ose ulje mesatare (në varësi të drejtimit) të funksionit, ndërsa vlerat specifike për njësitë individuale të vëzhgimit do të ndryshojnë nga mesatarja. Këto varësi janë të kudondodhura. Për shembull, në bujqësi, kjo mund të jetë lidhja midis rendimentit dhe sasisë së plehut të aplikuar. Natyrisht, këta të fundit janë të përfshirë në formimin e të korrave. Por për çdo fushë specifike, parcelë, e njëjta sasi e plehrave të aplikuar do të shkaktojë një rritje të ndryshme të rendimentit, pasi ka një sërë faktorësh të tjerë (moti, kushtet e tokës, etj.) në bashkëveprim që formojnë rezultati përfundimtar. Sidoqoftë, mesatarisht, vërehet një marrëdhënie e tillë - një rritje në masën e plehrave të aplikuara çon në një rritje të rendimentit.

Në drejtim të komunikimit, ka drejt, kur ndryshorja e varur rritet me rritjen e tiparit të faktorit, dhe anasjelltas, në të cilën rritja e kësaj të fundit shoqërohet me ulje të funksionit. Marrëdhënie të tilla mund të quhen gjithashtu pozitive dhe negative, përkatësisht.

Përsa i përket formës së tyre analitike të komunikimit, ekzistojnë lineare dhe jolineare. Në rastin e parë, mesatarisht, shfaqen marrëdhënie lineare midis shenjave. Shprehet marrëdhënia jolineare funksion jolinear, dhe variablat janë të lidhur me njëri-tjetrin mesatarisht në mënyrë jolineare.

Ekziston një karakteristikë më e rëndësishme e lidhjeve nga pikëpamja e faktorëve ndërveprues. Nëse karakterizohet një marrëdhënie midis dy karakteristikave, atëherë quhet Dhomë Avulli. Nëse studiohen më shumë se dy variabla − të shumëfishta.

Karakteristikat e mësipërme të klasifikimit gjenden më shpesh në Analiza statistikore. Por përveç sa më sipër, ka edhe direkt, indirekt dhe i rremë lidhjet. Në fakt, thelbi i secilit prej tyre është i qartë nga emri. Në rastin e parë, faktorët ndërveprojnë drejtpërdrejt me njëri-tjetrin. Një marrëdhënie indirekte karakterizohet nga pjesëmarrja e një variabli të tretë, i cili ndërmjetëson marrëdhënien midis tipareve të studiuara. Një lidhje e rreme është një lidhje e krijuar zyrtarisht dhe, si rregull, e konfirmuar vetëm nga vlerësimet sasiore. Nuk ka bazë cilësore ose është e pakuptimtë.

Ato ndryshojnë në forcë i dobët dhe të fortë lidhjet. Kjo karakteristikë formale shprehet me vlera specifike dhe interpretohet në përputhje me kriteret e pranuara përgjithësisht për fuqinë e lidhjes për tregues të veçantë.

Në shumicën pamje e përgjithshme Detyra e statistikave në fushën e studimit të marrëdhënieve është të përcaktojë sasinë e pranisë dhe drejtimit të tyre, si dhe të karakterizojë forcën dhe formën e ndikimit të disa faktorëve mbi të tjerët. Për ta zgjidhur atë, përdoren dy grupe metodash, njëra prej të cilave përfshin metoda analiza e korrelacionit dhe tjetra është analiza e regresionit. Në të njëjtën kohë, një numër studiuesish i kombinojnë këto metoda në një analizë korrelacioni-regresioni, e cila ka disa arsye: prania e një sërë procedurash të zakonshme llogaritëse, komplementariteti në interpretimin e rezultateve, etj.

Prandaj, në këtë kontekst, mund të flasim për analizën e korrelacionit në kuptimin e gjerë - kur marrëdhënia karakterizohet në mënyrë gjithëpërfshirëse. Në të njëjtën kohë, ekzistojnë analiza e korrelacionit në kuptimin e ngushtë - kur studiohet forca e lidhjes - dhe analiza e regresionit, gjatë së cilës vlerësohet forma e saj dhe ndikimi i disa faktorëve në të tjerët.

Detyrat e duhura analiza e korrelacionit reduktohen në matjen e afërsisë së lidhjes ndërmjet veçorive të ndryshme, duke përcaktuar të panjohurën shkakësore dhe vlerësimi i faktorëve që kanë ndikimin më të madh në atributin që rezulton.

Detyrat analiza e regresionit shtrihen në fushën e vendosjes së formës së varësisë, përcaktimit të funksionit të regresionit, duke përdorur një ekuacion për të vlerësuar vlerat e panjohura të ndryshores së varur.

Zgjidhja e këtyre problemeve bazohet në teknika, algoritme, indikatorë të përshtatshëm, përdorimi i të cilave jep arsye për të folur për një studim statistikor të marrëdhënieve.

Duhet theksuar se metodat tradicionale korrelacionet dhe regresionet janë të përfaqësuara gjerësisht në lloje të ndryshme të paketave softuerike statistikore për kompjuterë. E vetmja gjë që i mbetet studiuesit është të përgatisë siç duhet informacionin, të zgjedhë një paketë softuerike që plotëson kërkesat e analizës dhe të jetë gati për të interpretuar rezultatet. Ka shumë algoritme për llogaritjen e parametrave të komunikimit, dhe për momentin vështirë se është e këshillueshme që të kryhet një lloj analize kaq komplekse me dorë. Procedurat llogaritëse janë me interes të pavarur, por njohja e parimeve të studimit të marrëdhënieve, mundësive dhe kufizimeve të metodave të caktuara të interpretimit të rezultateve është një parakusht për hulumtim.

Metodat për vlerësimin e ngushtësisë së lidhjes ndahen në korrelacion (parametrik) dhe joparametrik. Metodat parametrike bazohen në përdorimin, si rregull, të vlerësimeve shpërndarje normale dhe përdoren në rastet kur popullsia në studim përbëhet nga sasi që i binden ligjit të shpërndarjes normale. Në praktikë, ky pozicion më së shpeshti merret apriori. Në fakt, këto metoda janë parametrike dhe zakonisht quhen metoda korrelacioni.

Metodat joparametrike nuk vendosin kufizime në ligjin e shpërndarjes së sasive të studiuara. Avantazhi i tyre është edhe thjeshtësia e llogaritjeve.

1. 
   Llojet dhe format e marrëdhënieve të korrelacionit ndërmjet dukurive

Para se të vazhdohet me studimin e marrëdhënies midis fenomeneve, është e nevojshme të zbulohet lloji i marrëdhënies midis faktorit dhe veçorive rezultante. Në statistikë, dallohen një marrëdhënie funksionale dhe varësia stokastike.funksionale quaj një lidhje të tillë në të cilën një vlerë e caktuar atributi faktor korrespondon vetëm me një vlerë të atributit rezultant. Nëse një varësi shkakësore nuk shfaqet në çdo rast individual, por në përgjithësi, mesatarisht, me një numër të madh vëzhgimesh, atëherë një varësi e tillë quhetstokastike . Një rast i veçantë i një lidhjeje stokastike ështëkorrelacioni një lidhje në të cilën ndryshimi në vlerën mesatare të atributit efektiv është për shkak të ndryshimit të shenjave të faktorit.

Në varësi të drejtimit të veprimit, dallohet një lidhjetë drejtpërdrejta dhe të kundërta . Me një lidhje të drejtpërdrejtë, drejtimi i ndryshimit në atributin që rezulton përkon me drejtimin e faktorit-atribut, d.m.th. me një rritje të atributit të faktorit, rritet edhe ai rezultant dhe anasjelltas.

Sipas shprehjes (formës) analitike lidhjet mund të jenëdrejtvizor dhe lakor. Me një marrëdhënie lineare me një rritje të vlerës së atributit të faktorit, ka një rritje ose ulje të vazhdueshme të vlerave të atributit efektiv. Matematikisht, një marrëdhënie e tillë përfaqësohet nga ekuacioni i një drejtëze y \u003d a o +a 1 x, dhe grafikisht - një vijë e drejtë.

Me një marrëdhënie lakor me një rritje të vlerës së atributit të faktorit, rritja (ose ulja) e atributit efektiv ndodh në mënyrë të pabarabartë ose drejtimi i tij ndryshon. Gjeometrikisht, lidhjet e tilla përfaqësohen me vija të lakuara (hiperbola, parabola, etj.).

Një tjetër karakteristikë e rëndësishme e marrëdhënieve është përsa i përket faktorëve ndërveprues. Nëse karakterizohet një marrëdhënie midis dy veçorive, atëherë quhet Dhomë Avulli. Nëse më shumë se dy variabla janë duke u studiuar - të shumëfishta.

Marrëdhëniet midis dukurive të vendosura në bazë të analizave teorike mund të studiohen, maten dhe kuantifikohen duke përdorur metoda të ndryshme statistikore. Metodat e bilancit dhe të indeksit përdoren për të studiuar marrëdhëniet funksionale. Për të studiuar korrelacionet midis veçorive atributive - metoda e kontingjentit të ndërsjellë, për veçori të ndryshme sasiore - metoda e serive paralele, metoda grafike, metoda e grupimeve analitike, analiza e korrelacionit dhe regresionit.

2. Korrelacioni i çiftit dhe regresioni i çiftit

Në formën më të përgjithshme, detyra e statistikave në fushën e studimit të marrëdhënieve është të përcaktojë sasinë e pranisë dhe drejtimit të tyre, si dhe të karakterizojë forcën dhe formën e ndikimit të disa faktorëve mbi të tjerët. Detyrat e vetë analizës së korrelacionit reduktohen në matjen e afërsisë së marrëdhënies midis veçorive të ndryshme, përcaktimin e marrëdhënieve të panjohura shkakësore dhe vlerësimin e faktorëve që kanë ndikimin më të madh në tiparin që rezulton. Detyrat e analizës së regresionit qëndrojnë në fushën e përcaktimit të formës së varësisë, përcaktimit të funksionit të regresionit, duke përdorur një ekuacion për të vlerësuar vlerat e panjohura të ndryshores së varur.

Regresioni i çiftëzuar karakterizon marrëdhënien midis dy veçorive: rezultante dhe faktoriale. Marrëdhënia analitike midis tyre përshkruhet nga ekuacionet:

Drejt në X = a rreth + a 1 X

Hiperbolat

Parabolat
etj.

Ju mund të përcaktoni llojin e ekuacionit duke shqyrtuar varësinë grafikisht. Sidoqoftë, ka indikacione më të përgjithshme që lejojnë njeriun të zbulojë ekuacionin e komunikimit pa iu drejtuar imazh grafik, nëse shenjat efektive dhe faktorët rriten në mënyrë të barabartë, afërsisht në një progresion aritmetik, atëherë kjo tregon se marrëdhënia ndërmjet tyre është lineare, dhe me reagime - hiperbolike. Nëse shenja e faktorit rritet në progresionin aritmetik, dhe shenja rezultante rritet shumë më shpejt, atëherë përdoret regresioni parabolik ose i fuqisë.

Vlerësimi i parametrave të ekuacioneve të regresionit kryhet me metodën e katrorëve më të vegjël. Thelbi i kësaj metode është gjetja e parametrave të modelit, në të cilin shuma e devijimeve në katror të vlerave empirike të veçorisë që rezulton nga ato teorike minimizohet.

Sistemet e ekuacioneve normale për gjetjen e parametrave të regresionit kanë formën:

Për varësia lineare

Hiperbolat

Parabolat

Parametri ao në ekuacionet e regresionit - konstante dhe, zakonisht nuk ka kuptim ekonomik. Parametrat e tjerë në x quhen koeficientë regresioni, të cilët tregojnë se sa njësi ndryshojnë mesatarisht y kur x ndryshon me një njësi.

Në mënyrë sasiore, varësia e ndryshimit të vlerës teorike të y x nga ndryshimi në x, e cila shprehet me koeficientët e regresionit, shpesh është më e përshtatshme për t'u shprehur në terma relativë. Për ta bërë këtë, llogaritni koeficientin e elasticitetit (E). Karakterizon me sa përqind rritet në x kur x rritet me një përqind dhe llogaritet me formulën:

Për të përcaktuar ngushtësinë e lidhjes me një formë lineare, përdoret gjerësisht koeficienti linear i korrelacionit:

,

Ku n është numri i vëzhgimeve.

Koeficienti i korrelacionit merr vlera në rangun nga -1 në +1. Në përgjithësi pranohet se nëse r0.3, atëherë lidhja është e dobët; në r=(0.3-0.7) - mesatare; në r> 0.7 - i fortë, ose afër. Kur r= 1 - lidhja është funksionale.

Në rastin e një marrëdhënieje lineare dhe jolineare midis dy veçorive, i ashtuquajturi raporti i korrelacionit ose indeksi i korrelacionit () përdoret për të matur afërsinë e marrëdhënies. Indeksi i korrelacionit bazohet në krahasimin e diferencës midis dy variancave
dhe . - dispersion, i cili mat devijimet e vlerave aktuale (empirike) (y) nga ato teorike (y x), dhe karakterizon variacionin e mbetur për shkak të faktorëve të tjerë, Dispersion mat ndryshimin për shkak të faktorit x.

Indeksi i korrelacionit varion nga 0 në 1 dhe është i përshtatshëm për matjen e afërsisë së lidhjes në çdo formë. Për më tepër, duke rreshtuar vlerat e y në lidhje me funksione të ndryshme, është e mundur, nga madhësia e variancës që karakterizon variacionin e mbetur
për të gjykuar se cili funksion e përafron më mirë linjën empirike të komunikimit.

3. Regresioni i shumëfishtë dhe korrelacioni

Studimi i marrëdhënies midis dy ose më shumë veçorive të lidhura quhet regresion i shumëfishtë (multifaktorial). Kur studiohen varësitë duke përdorur metoda të shumëfishta regresioni, problemi formulohet në të njëjtën mënyrë si kur përdoret regresioni i çiftuar, d.m.th. kërkohet të përcaktohet shprehja analitike e marrëdhënies ndërmjet veçorisë rezultuese dhe veçorive të faktorit.

Shumica problem i vështirë paraqitet zgjedhja e formës së komunikimit. Vështirësia qëndron në faktin se nga një grup i pafund funksionesh kërkohet të gjendet një që do të shprehë marrëdhëniet reale midis treguesve dhe faktorëve të studiuar më mirë se të tjerët. Zgjedhja e llojit të funksionit mund të bazohet në njohuritë teorike për fenomenin në studim ose në përvojën e studimeve të mëparshme të ngjashme. Forma e komunikimit mund të përcaktohet me numërimin e funksioneve tipe te ndryshme. Por në shumicën e rasteve praktike, çdo funksion i shumë variablave mund të reduktohet në formë lineare, d.m.th. ekuacioni i regresionit të shumëfishtë mund të ndërtohet në formë lineare:

Secili koeficient i këtij ekuacioni tregon shkallën e ndikimit të faktorit përkatës në treguesin e analizuar në një pozicion fiks (në nivelin mesatar) të faktorëve të tjerë: me një ndryshim në secilin faktor me një, treguesi ndryshon me koeficientin përkatës të regresionit. .

Në rast të pamjaftueshmërisë ekuacioni linear Regresioni i shumëfishtë rekomandohet për të rritur rendin e ekuacionit.

Problemi i zgjedhjes së veçorive të faktorëve për ndërtimin e modeleve të marrëdhënieve mund të zgjidhet në bazë të metodave statistikore heuristike ose multivariate të analizës.

Parametrat e ekuacionit mund të përcaktohen me metodën grafike, metodën e katrorëve më të vegjël, etj. Për shembull, për regresionin linear me dy faktorë duke përdorur metodën e katrorëve më të vegjël, është e nevojshme të zgjidhet sistemi i mëposhtëm i ekuacioneve normale:

Me ndihmën e analizës së korrelacionit shumëvariak, gjenden lloje të ndryshme karakteristikash të afërsisë së marrëdhënies midis treguesit të studiuar dhe faktorëve: koeficientët e çiftuar, të pjesshëm dhe të shumëfishtë të korrelacionit, koeficienti i shumëfishtë i përcaktimit.

Për të studiuar afërsinë e marrëdhënies midis dy variablave në shqyrtim (pa marrë parasysh ndërveprimin e tyre me variablat e tjerë), ne përdorim koeficientët e korrelacionit të çiftëzuar. Metodologjia për llogaritjen e koeficientëve të tillë është e ngjashme me koeficientin linear të korrelacionit.

^ Koeficientët e korrelacionit të pjesshëm karakterizojnë shkallën e ndikimit të njërit prej argumenteve në funksion, me kusht që variablat e mbetura të pavarura të jenë të fiksuara në një nivel konstant. Në varësi të numrit të variablave, ndikimi i të cilëve përjashtohet, ato mund të jenë të rendit të parë (nëse përjashtohet ndikimi i një ndryshore), të rendit të dytë (nëse përjashtohet ndikimi i dy variablave), etj. Për shembull, koeficienti i korrelacionit të pjesshëm i rendit të parë midis shenjave y dhe x 1, kur ndikimi i x 2 është i përjashtuar, llogaritet me formulën:

Ku r - koeficientët e korrelacionit të çiftëzuar midis veçorive përkatëse.

Një tregues i afërsisë së lidhjes së krijuar midis karakteristikave efektive dhe dy ose më shumë faktorëve është koeficienti kumulativ i korrelacionit të shumëfishtë. Në rastin e një marrëdhënie lineare me dy faktorë, ajo mund të llogaritet duke përdorur formulën:

Vlera e R 2 quhet koeficienti kumulativ i përcaktimit të shumëfishtë. Ai tregon se cila pjesë e variacionit të treguesit të studiuar shpjegohet me ndikimin e faktorëve të përfshirë në ekuacionin e regresionit të shumëfishtë.

Vlerat e R dhe R 2 janë midis 0 dhe 1.

Për të përcaktuar se cili nga faktorët ka ndikimin më të madh në treguesin në studim, llogariten koeficientët e pjesshëm të elasticitetit (E i), me ndihmën e të cilëve eliminohet diferenca në njësitë matëse. Ato llogariten sipas formulës:

4. Metodat joparametrike për vlerësimin e lidhjes

Metodat e analizës së korrelacionit dhe variancës mund të zbatohen kur të gjitha karakteristikat në studim janë sasiore. Ndërkohë, në praktikën statistikore duhet të përballemi me problematikën e matjes së marrëdhënies ndërmjet veçorive cilësore.

Për të përcaktuar afërsinë e lidhjes midis dy veçorive cilësore, secila prej të cilave përbëhet vetëm nga dy grupe, përdoren koeficientët e asociacionit dhe kontingjentit. Gjatë studimit të lidhjes, materiali numerik vendoset në formën e tabelave të kontigjencës:

Tabela I

Tabela për llogaritjen e koeficientëve dhe kontingjentit të shoqërimit

Koeficientët përcaktohen nga formula:

shoqatat

kontingjentet

Koeficienti i kontigjencës është gjithmonë më i vogël se koeficienti i asociimit. Lidhja konsiderohet e konfirmuar nëse K a  0.5 ose K k  0.3.

Kur secila prej veçorive cilësore përbëhet nga më shumë se dy grupe, atëherë për të përcaktuar afërsinë e lidhjes, është e mundur të përdoret koeficienti i ndërsjellë i kontingjentit të Pearson (C) dhe Chuprov (K):

ku  2 - një tregues i kontingjentit rrënjë-mesatar-katror, ​​i përcaktuar duke zbritur një nga shuma e raporteve të katrorëve të frekuencave të secilës qelizë të tabelës me produktin e frekuencave të kolonës dhe rreshtit përkatës;

K është numri i grupeve për secilën nga shenjat.

Vlera e koeficientëve C dhe K varion nga 0 në 1. Koeficienti Chuprov zakonisht jep një vlerësim më të kujdesshëm të marrëdhënies.

^ TEMA 8. TREGUESIT STATISTIKOR TE PRODUKTEVE,

FORCA PUNËTORE DHE EFIÇENCA

PRODHIMI

I. Kontabiliteti statistikor i prodhimit industrial

^ Në prodhim industrisë të kuptojnë rezultatin e drejtpërdrejtë të dobishëm të veprimtarive industriale dhe prodhuese të ndërmarrjeve, të shprehur ose në formën e produkteve ose në formën e punimeve dhe shërbimeve të natyrës industriale.

Për të pasqyruar saktë përbërjen dhe vëllimin e produkteve industriale të prodhuara në çdo periudhë, është e nevojshme të bëhet dallimi midis fazave të gatishmërisë së tij. Pasi objekti i punës ka hyrë në fazën e parë të përpunimit të tij dhe është aplikuar puna e gjallë në të, formohet shkalla fillestare e gatishmërisë së produktit - prodhim i papërfunduar. Një objekt pune që ka kaluar të gjitha operacionet e nevojshme në procesin e përpunimit brenda një punishteje të caktuar, por që i nënshtrohet përpunimit të mëvonshëm në punishte të tjera, quhet produkt gjysëm i gatshëm. Një produkt që përfundon plotësisht nga përpunimi brenda një ndërmarrje të caktuar - produkt i gatshëm.

Rezultati i veprimtarisë së ndërmarrjes mund të marrë formën e një vlere të re konsumatore, të jetë rezultat i shndërrimit të objektit të punës në një formë të re produkti, dhe rezultati i veprimtarisë mund të jetë rivendosja e sendit të krijuar më parë. humbet plotësisht ose pjesërisht për shkak të konsumimit të vlerës konsumatore (riparim). Kjo formë e rezultatit të veprimtarisë së një ndërmarrje industriale quhet punime industriale.

Për të siguruar llogaritjen e saktë të produkteve, është e nevojshme të keni një nomenklaturë dhe njësi matëse të vendosura fort. Kontabiliteti mund të kryhet në matës natyrorë, me kusht natyror dhe me kosto.

Në teorinë dhe praktikën e planifikimit, kontabilitetit dhe statistikave në faza të ndryshme të procesit të prodhimit, përdoren një sërë treguesish të ndërlidhur të vëllimit të prodhimit industrial në terma monetarë.

Vlera e totalit të prodhimit të prodhuar për periudhë të caktuar thirren të gjitha repartet e prodhimit industrial të ndërmarrjes qarkullimi bruto i prodhimit. Pjesë e qarkullimit bruto është i ashtuquajturi qarkullimi i brendshëm- është vlera e produkteve të prodhuara nga disa dhe të konsumuara nga dyqane të tjera të ndërmarrjes gjatë së njëjtës periudhë.

Një tregues që karakterizon rezultatin e përgjithshëm të aktiviteteve industriale dhe prodhuese të një ndërmarrje për një periudhë të caktuar në terma monetarë quhet prodhimi bruto sipas metodës së fabrikës.

Vlera e prodhimit bruto të një ndërmarrje industriale mund të përcaktohet në dy mënyra. Së pari, duke përjashtuar koston e qarkullimit brenda fabrikës nga vlera e xhiros bruto. Së dyti, me përmbledhje të drejtpërdrejtë të kostos së produkteve të gatshme të prodhuara (minus ato të shpenzuara në të njëjtën periudhë për nevoja industriale dhe prodhuese), produktet gjysëm të gatshme të lëshuara në anë dhe punët industriale të kryera me porosi nga jashtë, si dhe koston e ndryshimi i bilancit të produkteve gjysëm të gatshme dhe punës në vazhdim.

Rezultati përfundimtar i aktiviteteve industriale dhe prodhuese, i përgatitur plotësisht në periudhën raportuese për lëshimin në anën, karakterizon treguesin e vëllimit produkte të tregtueshme. Vlera e prodhimit të tregtueshëm mund të përcaktohet duke përmbledhur elementët përbërës të tij ose duke zbritur nga vlera e prodhimit bruto vlerën e elementeve të tij të brendshëm.

^ Produktet e shitura përfaqëson produktet e dërguara të paguara në këtë periudhë. Në të njëjtën kohë, produktet me pagesë mund të dërgohen si në këtë ashtu edhe në periudhat e mëparshme.

2. Klasifikimi i fuqisë punëtore sipas aktivitetit ekonomik

Dhe statusi në punësim

^ Popullsi ekonomikisht aktive (forca e punës) është pjesa e popullsisë që siguron furnizimin e punës për prodhimin e mallrave dhe shërbimeve. Shkalla e popullsisë ekonomikisht aktive është përqindja e popullsisë ekonomikisht aktive në popullsinë e përgjithshme.

te i zënë përfshin persona të të dy gjinive të moshës 16 vjeç e lart, si dhe persona moshat më të reja të cilët gjatë periudhës në shqyrtim kanë qenë të punësuar, kanë munguar përkohësisht nga puna për arsye të lejuara nga legjislacioni i punës ose kanë kryer punë pa pagesë në një ndërmarrje familjare.

Të papunët përfshijnë persona të moshës 16 vjeç e lart, të cilët gjatë periudhës në shqyrtim nuk kanë pasur një punë (profesion fitimprurës), kanë qenë në kërkim të punës ose kanë qenë të gatshëm për të filluar punën. Kur flitet për të papunët, të tre këto kritere duhet të plotësohen njëkohësisht.

^ Shkalla e papunësisë është përqindja e të papunëve në popullsinë ekonomikisht aktive.

Popullsi ekonomikisht joaktive popullsia që nuk është pjesë e fuqisë punëtore. Kjo pjesë e popullsisë përfaqësohet nga kategoritë e mëposhtme:

A) nxënësit dhe studentët, dëgjuesit dhe kadetët që ndjekin institucionet arsimore gjatë ditës;

b) personat që marrin pensione;

c) personat që merren me mirëmbajtjen e shtëpisë, kujdesin për fëmijët, të sëmurët etj.;

D) njerëzit që janë të dëshpëruar për të gjetur një punë;

E) persona të tjerë që nuk kanë nevojë të punojnë, pavarësisht nga burimi i të ardhurave.

Klasifikimi sipas statusit në punësim përfshin ndarjen e popullsisë ekonomikisht aktive në të punësuar; personat e vetëpunësuar dhe punëdhënësit. Punonjësit, nga ana tjetër, ndahen në dy nëngrupe - popullata civile dhe ushtarake, si dhe kohëzgjatja e punësimit për punëtorët e përhershëm, të përkohshëm, sezonalë, si dhe punëtorët e punësuar për punë të rastësishme.

3. Treguesit e punësimit dhe punësimit të popullsisë

Me lindjen e tregut të punës në raportimet statistikore u shfaqën informacione për të papunët, numri i të cilëve mund të karakterizohet si me tregues absolut ashtu edhe me relativë.

Numri absolut i të papunëve jepet si tregues momental në fillim të çdo muaji. Dinamika vërehet brenda ciklit mujor: sa të papunë çregjistrohen, punësohen, lëshohen për pension të parakohshëm, dërgohen në formim profesional, punësohen pas përfundimit të formimit profesional.

Përbërja cilësore e të papunëve karakterizohet nga gjinia, niveli i arsimimit, vendbanimi.

Treguesit relativë përfshijnë përqindjen e të papunëve në numrin e përgjithshëm të qytetarëve të papunë të aftë për punë të regjistruar në shërbimin e punësimit dhe përqindjen e atyre që marrin përfitime papunësie.

Në praktikën botërore, shkalla e papunësisë llogaritet me formulën:

Për të matur punësimin e popullsisë, statistikat përdorin tregues të veçantë, absolut dhe relativ. Treguesit absolutë përfshijnë numrin e njerëzve të punësuar në ekonominë kombëtare; shpërndarja e punonjësve sipas sferave dhe sektorëve të ekonomisë, gjinisë, moshës, nivelit të arsimimit; numri i personave në moshë pune të punësuar në ekonominë kombëtare etj.

Treguesit relativ përfshijnë: shkalla e punësimit të popullsisë:

-

Shkalla e punësimit të burimeve të punës

Shkalla e punësimit të popullsisë në moshë pune

Shkalla e punësimit të popullsisë së aftë për punë në moshë pune

Ku S z.n.- numri i të punësuarve;

S - popullsia totale;

TR- numri i burimeve të punës;

S TV - popullsia në moshë pune;

S TNTV - numri i popullsisë së aftë për punë në moshë pune.

4. Bilanci i burimeve të punës

Sistemi i balancave të burimeve të punës është një seri tabelash të ndërlidhura që karakterizojnë proceset e riprodhimit dhe përdorimit të burimeve të punës të vendit dhe territoreve të tij individuale në kushte specifike të zhvillimit shoqëror.

Bilanci i burimeve të punës për vitin është përpiluar në punonjës mesatarë vjetorë dhe është i detajuar. Ai përmban grupimet më të rëndësishme të burimeve të punës sipas sferave të prodhimit dhe sektorëve të ekonomisë.

Treguesi kryesor i pjesës burimore të bilancit është popullsia në moshë pune. Kufijtë e moshës së punës rregullohen me legjislacionin e punës. Në Rusi, popullsia në moshë pune përfshin gra të moshës 16-54 vjeç dhe burra të moshës 16-59 vjeç. Por duke qenë se në fuqinë punëtore përfshihet vetëm popullsia e aftë për punë, popullsia në moshë pune duhet të reduktohet me numrin e personave me aftësi të kufizuara që nuk punojnë të grupeve I dhe II të moshës së punës dhe numrit të pensionistëve që nuk punojnë. mosha që përfiton pension pleqërie me kushte preferenciale. Fuqia e punës përfshin personat në moshë pensioni që vazhdojnë të punojnë.

Duke marrë parasysh faktin se në përcaktimin e numrit të të papunëve, në përbërjen e të papunëve përfshihen edhe pensionistët që janë në kërkim të punës dhe të gatshëm për të filluar punë, kjo kategori personash përfshihet edhe në përbërjen e fuqisë punëtore. Në përbërjen e fuqisë punëtore bëjnë pjesë edhe personat nën 16 vjeç të punësuar në ekonomi.

Pjesa e shpenzimeve të bilanceve parashikon shpërndarjen e burimeve të punës sipas llojeve të punësimit dhe sektorëve të ekonomisë. Mundësitë analitike të bilancit të burimeve të punës po zgjerohen si rezultat i shpërndarjes së punonjësve midis ndërmarrjeve të formave të ndryshme të pronësisë dhe atyre të punësuar në sferën e sipërmarrjes private.

5. Treguesit e përdorimit të kohës së punës,

Fondet e kohës së punës

Duke punuar koha është një pjesë e kohës kalendarike të shpenzuar për prodhimin e produkteve ose për kryerjen e një lloji të caktuar pune. Në praktikën statistikore, dita e njeriut dhe ora e punës shërbejnë si njësi për përdorimin e kohës së punës.

Shpenzuar Një ditë njeriu konsiderohet për një punonjës një ditë të tillë kur ai u shfaq dhe filloi punën, pavarësisht nga kohëzgjatja e saj, përfshirë. ditët e shpenzuara në udhëtime pune.

Llogaritja e kohës së punës në ditë pune nuk lejon zbulimin e humbjes së kohës së punës brenda një dite pune, prandaj regjistrohet edhe në orë pune. Punuar në orë pune numëroni orën e punës aktuale të një personi.

Sipas llogaritjes së kohës së punës në ditë njeriu, përcaktohen fondet e kohës së punës. Ka kalendar, personel dhe fonde maksimale të mundshme kohore. fondi kalendarik përbëhet nga numri i person-ditëve të paraqitjeve dhe mungesave. Nëse i heqim numrin e ditëve të mungesës së personit në pushime dhe fundjavë, marrim fondi i personelit, dhe duke përjashtuar numrin e ditëve njerëzore të pushimit vjetor të paguar - fondi maksimal i mundshëm Koha e punes.

Shkalla e përdorimit të një ose një tjetër fondi të kohës së punës përcaktohet duke përdorur koeficientët e përcaktuar nga raporti i numrit të ditëve të punës të njeriut me fondin përkatës.

Sipas llogaritjes së kohës së punës në ditë pune dhe orë pune, llogariten treguesit e mëposhtëm të përdorimit të kohës së punës: - kohëzgjatja mesatare aktuale e ditës së punës:

Numri mesatar i ditëve të punës për një punëtor të listuar;

• 
  numri mesatar i orëve të punës për punonjës të listuar.

6. Treguesit kryesorë dhe metodat e llogaritjes

produktiviteti i punës

Produktiviteti i punës nënkupton frytshmërinë, produktivitetin e veprimtarive të njerëzve. Në praktikën ekonomike, niveli i produktivitetit të punës karakterizohet nëpërmjet treguesve të prodhimit dhe intensitetit të punës. prodhimi (W) produkte për njësi të kohës matet me raportin e vëllimit të prodhimit (q) dhe kostos (T) të kohës së punës: W \u003d q: T. Treguesi i anasjelltë është mundimi: t=T:q.

Sistemi i treguesve statistikorë të produktivitetit të punës përcaktohet nga njësia e matjes së vëllimit të produkteve të prodhuara. Prandaj, metodat natyrore, me kusht natyrore, të punës dhe kostos përdoren për të matur nivelin dhe dinamikën e produktivitetit të punës.

Në varësi të mënyrës se si maten kostot e punës, ekzistojnë prodhimi mesatar për orë (W r), mesatar ditor (W g) dhe prodhimi mesatar mujor (W). Ato fitohen duke pjesëtuar vëllimin e produkteve të prodhuara, përkatësisht, me numrin e orëve të punës të punuara gjatë një periudhe të caktuar kohore; numrin e ditëve të punës të të gjithë punëtorëve të ndërmarrjes; numri mesatar i punëtorëve (të punësuarve).

Ekziston një lidhje midis treguesve të prodhimit mesatar orar të punëtorëve dhe treguesve të përdorimit të tyre të kohës së punës:

Për të marrë një ide të prodhimit mesatar mujor (tremujore, vjetore) të një punonjësi të personelit industrial dhe prodhues, duhet të futet një faktor tjetër - pjesa e punëtorëve në numrin mesatar të punonjësve të PPP (d p) . Pastaj:

W=W r TDd p .

Bazuar në këtë varësi, një analizë e faktorëve të produktivitetit të punës kryhet me metodën e indeksit.

Produktiviteti i punës studiohet në nivele të ndryshme - nga produktiviteti individual i punës deri te produktiviteti i punës sociale në ekonominë kombëtare të të gjithë vendit në tërësi:

Dinamika e produktivitetit të punës, në varësi të metodës së matjes së nivelit të saj, analizohet duke përdorur indekset statistikore: natyrore (I), puna (2, 3) dhe kostoja. (4):


Për të analizuar ndryshimin në prodhimin mesatar nën ndikimin e një numri faktorësh, përdoret një sistem indeksesh të vlerave mesatare, në të cilin prodhimi është vlera e indeksuar, dhe pesha në kostot totale të punës është pesha.

7. Treguesit e kostos së produktit

^ Kostoja e prodhimit -të shprehura në terma monetarë, kostot e ndërmarrjeve për prodhimin dhe shitjen e produkteve. atënjë nga treguesit më përgjithësues që karakterizon efikasitetin e ndërmarrjes.

Në praktikën e planifikimit, kontabilitetit dhe statistikave, dallohen dy lloje kryesore të kostove të prodhimit:prodhimit , duke mbuluar vetëm kostot që lidhen me procesin e prodhimit dhei plotë , duke përfshirë koston e prodhimit dhe kostot që lidhen me ruajtjen dhe tregtimin e produkteve.

Sipas përmbajtjes ekonomike, kostot e prodhimit ndahen në ato që lidhen me përdorimin e punës së gjallë, mjetet e punës dhe objektet e punës dhe merren parasysh veçmas për këta elementë ekonomikë.

Sipas natyrës së lidhjes me procesin e prodhimit dallohenkryesore kostot që lidhen drejtpërdrejt me procesin e prodhimit, dhefaturat lidhur me procesin e organizimit dhe menaxhimit të prodhimit. Zakonisht quhen shpenzimet kryesorevariablave , d.m.th. duke ndryshuar në raport me rritjen e prodhimit, faturat -me kusht të përhershëm .

Për të studiuar koston e prodhimit, përdoren metodat kryesore statistikore: grupimet, vlerat mesatare dhe relative, grafike, indeksi, si dhe metoda e krahasimit.

Grupimet më të rëndësishme në studimin e kostos janë:

I) grupimi i kostove të prodhimit sipas elementeve ekonomike (Çfarë shpenzohet për prodhimin e produkteve?);

2) grupimi i kostove të prodhimit sipas zërave të kostos (ku shpenzohet?);

3) grupimi sipas kostove që zënë pjesën më të madhe në kostot totale (punë intensive, materiale intensive, energji intensive, kapitale);

4) sipas llojeve të kostove të prodhimit (teknologjike, prodhuese, punëtori, komplete);

5) grupimi në varësi të mënyrës së atribuimit të kostove me çmimin e kostos (indirekt dhe direkt);

6) grupimi sipas vëllimit të prodhimit (proporcional, joproporcional).

Metoda e vlerave mesatare dhe relative përdoret në llogaritjen e niveleve të kostos mesatare për produktet homogjene, në studimin e strukturës dhe dinamikës së kostos.

Metoda grafike ju lejon të vizualizoni strukturën e kostos, ndryshimet që ndodhin në të, si dhe dinamikën e përbërësve të saj.

Metoda e indeksit është e nevojshme për një përshkrim të përmbledhur të dinamikës së kostos së produkteve të krahasueshme dhe të të gjitha produkteve tregtare, për të studiuar dinamikën dhe për të identifikuar ndikimin e faktorëve individualë në të.

8. Analiza e strukturës dhe dinamikës së kostove të prodhimit

Analiza e kostove të prodhimit kryhet duke krahasuar gravitet specifik kostot aktuale për elementet me të dhëna të planifikuara ose me të dhëna për periudhën e mëparshme (raportuese). Kur analizoni kostot e prodhimit sipas elementeve, duhet të kihet parasysh se treguesit për periudhën e mëparshme merren pa rillogaritje për vëllimin dhe gamën e produkteve të prodhuara në të vërtetë në periudhën raportuese me çmimet aktuale.

Duke pasur të dhëna për koston për njësi të produktit për periudhën e mëparshme (Z 0), sipas llogaritjeve të planifikuara (Z pl) dhe për periudhën raportuese (Z 1), mund të japim karakteristikat e përgjithshme shkalla e përmbushjes së detyrës së planifikuar për të ulur koston dhe dinamikën e saj, si dhe për të përcaktuar sasinë absolute të kursimeve ose shpenzimeve të tepërta si rezultat i ndryshimeve në kosto.

Në këtë rast, indekset individuale të kostos do të përcaktohen:

Indeksi i planifikuar i punës

Indeksi i dinamikës së kostos

Indekset e dhëna janë të ndërlidhura:

Shuma totale e kursimeve (shpenzimeve të tepërta) nga një ndryshim në koston e produktit përcaktohet nga formula
.

Duke zbritur kursimet e planifikuara nga kursimet aktuale, marrim kursimet e planifikuara më sipër (mbishpenzimet):

Kur studiohet dinamika e çmimit të kostos për një grup ndërmarrjesh që prodhojnë produkte të të njëjtit lloj, përdoren indekset e përbërjes së ndryshueshme, përbërjes konstante dhe ndryshimeve strukturore.

Në fabrikat që prodhojnë tipe te ndryshme Produktet dhe produktet e krahasueshme mbizotërojnë në totalin e prodhimit, janë llogaritur treguesit e uljes së kostos së produkteve të tregtueshme të krahasueshme. Produktet e krahasueshme përfshijnë produktet që janë prodhuar në periudhat raportuese dhe ato të mëparshme. Në këtë rast, përdoren tre indekset e mëposhtme:

Indeksi i planifikuar i punës

Planifikoni indeksin e ekzekutimit të detyrës

Indeksi i ndryshimit aktual në koston e produkteve të krahasueshme tregtare

Dallimi midis numëruesit dhe emëruesit të këtyre indekseve karakterizon ndryshimet përkatëse në koston e produkteve të tregtueshme të krahasueshme në terma absolutë.

9. Statistikat e veprimtarisë financiare të ndërmarrjes.

Treguesit e fitimit dhe rentabilitetit

Lënda e studimit të statistikave të financave të ndërmarrjeve është përshkrimi sasior i marrëdhënieve të tyre financiare dhe monetare, duke marrë parasysh veçoritë e tyre cilësore, për shkak të formimit, shpërndarjes dhe përdorimit të burimeve financiare, përmbushjes së detyrimeve të subjekteve ekonomike ndaj njëri-tjetrit, sistemin financiar e bankar dhe shtetin.

Rezultati final financiar i ndërmarrjes është fitimi (humbja) e bilancit. Fitimi i bilancit është shuma e fitimit nga shitja e produkteve (punëve, shërbimeve), fitimit (ose humbjes) nga shitjet e tjera, të ardhurat dhe shpenzimet nga operacionet jo-shitëse.

^ Fitimi nga shitjet produkteve përkufizohet si diferenca ndërmjet të ardhurave nga shitja e produkteve me çmimet e shitjes me shumicë të ndërmarrjes (pa TVSH) dhe kostos së plotë të saj.

^ Të ardhurat neto është fitimi i mbetur në dispozicion të ndërmarrjes. Përkufizohet si diferenca midis fitimit të bilancit të tatueshëm dhe vlerës së taksave, duke marrë parasysh përfitimet.

Treguesit e fitimit karakterizojnë efikasitetin absolut aktivitet ekonomik ndërmarrjeve. Krahas këtij vlerësimi absolut llogariten edhe treguesit relativë të efiçencës ekonomike - tregues të përfitueshmërisë. Në varësi të treguesve që përdoren në llogaritjet, ekzistojnë disa tregues të përfitimit. Numëruesi i tyre është zakonisht një nga tre vlerat: fitimi nga shitjet (PR), fitimi i bilancit (PB) ose fitimi neto (NP). Në emërues - një nga treguesit e mëposhtëm: kostoja e prodhimit të produkteve të shitura (Z etj ), asetet e prodhimit
, të ardhurat bruto, kapitali neto, etj.

Të dallojë:

Rentabiliteti i bilancit të prodhimit (gjithsej)

Rentabiliteti i produkteve të shitura

Rentabiliteti i produktit

Dhe lloje të tjera të saj.

Në procesin e analizimit të ndikimit të faktorëve të ndryshëm në fitimin nga shitja e produkteve, i cili ka peshën më të madhe në strukturën e fitimit të bilancit, llogaritjet bëhen sipas formulave të mëposhtme.

1) Ndikimi i ndryshimeve të çmimeve (tarifat):

2) Ndikimi i ndryshimeve në koston e mallrave të shitura:

3) Ndikimi i ndryshimeve në vëllimin e shitjeve të produkteve:

4) Ndikimi i ndryshimeve në strukturën e produkteve të shitura:

ku PR' - fitimi aktual i periudhës raportuese me çmimet dhe koston e periudhës së mëparshme.

Ndikimi i faktorëve të ndryshëm në ndryshimin e përfitimit të prodhimit sipas metodës së analizës së indeksit faktorial kryhet sipas modelit të mëposhtëm:

Ku një \u003d IIB: ПР - koeficienti i ndryshimit në fitimin e bilancit;

b \u003d PR: Z pr - përfitimi i produkteve të shitura;

në \u003d W pr : - raporti i qarkullimit, i llogaritur në bazë të kostos totale të mallrave të shitura;

r =
- pjesa e kapitalit qarkullues në koston totale të aktiveve të prodhimit.

^ TEMA 9. VLERËSIMI STATISTIK I EKONOMIKE

ZHVILLIMI I VENDIT

1. Statistikat e pasurisë kombëtare dhe pronës kombëtare

pasuri kombëtare- ky është një grup burimesh materiale, produkte të akumuluara të punës së kaluar dhe burimeve natyrore të marra parasysh dhe të përfshira në qarkullimin ekonomik, që shoqëria ka në një moment të caktuar kohor.

Statistikat kombëtare të pasurisë zgjidhin probleme që lidhen me zhvillimin e një sistemi treguesish dhe justifikimin e metodologjisë për llogaritjen e tyre, si dhe detyrat e organizimit praktik. vëzhgimi statistikor dhe përpunimin e informacionit të marrë.

Sistemi i treguesve të statistikave të pasurisë kombëtare i përdorur në analizë përfshin karakteristikat kryesore të mëposhtme:

1) prania (vëllimi) dhe struktura e pasurisë;

2) riprodhimi i pjesëve më të rëndësishme të tij;

3) dinamika e të gjithë pasurisë dhe elementeve të saj përbërëse;

4) shpërndarja e pasurisë në territorin e vendit;

5) mbrojtje burime natyrore dhe rimbushjen e tyre.

Duke përdorur këtë sistem, është e mundur të karakterizohen ndryshimet në vëllimin dhe përbërjen e të gjithë pasurisë nga këndvështrime të ndryshme duke ndërtuar grupime të përshtatshme, seri dinamikash, duke llogaritur indekset dhe duke hartuar një bilanc të pasurisë kombëtare dhe pjesëve të saj individuale.

Statistikat e pasurisë kombëtare në tërësi janë ndërtuar si një statistikë pasuria e grumbulluar dhe statistikat e burimeve natyrore. Pasuria e grumbulluar është në formën e një grupi të mirash materiale për qëllime dhe përdorime të ndryshme.

Grupimi i elementeve të pasurisë përdoret gjerësisht sipas karakteristikave të qarkullimit të tyre (aktive fikse prodhimi, aktive prodhimi qarkullues etj.) dhe sipas përbërjes materiale natyrore të tyre, në varësi të rolit që luajnë ose mund të luajnë në procesin e riprodhimi. Me interes të veçantë është shpërndarja e pasurisë sipas formave të pronësisë dhe grupeve shoqërore të popullsisë, sipas rajonet ekonomike dhe territore, si dhe sipas degëve të prodhimit material dhe sferës joprodhuese.

Me kalimin në sistemin e llogarive kombëtare, ai merr një rëndësi të veçantë metoda e inventarit të përhershëm. Avantazhi i kësaj metode është se ajo është krijuar për të vlerësuar vlerën e pasurisë reale.

2. Treguesit e statistikave të mjeteve fikse të prodhimit

^ Asetet fikse marrin pjesë në mënyrë të përsëritur në procesin e prodhimit dhe transferojnë vlerën e tyre në produktin e përfunduar në pjesë në formë amortizimi.

Detyrat më të rëndësishme të studimit statistikor të aktiveve fikse janë:

1) vendosja e disponueshmërisë dhe studimi i përbërjes së mjeteve fikse;

2) studimi i gjendjes, lëvizjes dhe përdorimit të mjeteve fikse të prodhimit;

3) studimi i armatimit të punës nga mjetet kryesore të prodhimit.

Prania e të dy aktiveve fikse në tërësi dhe llojeve të tyre individuale mund të karakterizohet nga tregues momentalë dhe mesatarë. Gjatë studimit të përbërjes së aktiveve fikse, përdoren lloje të ndryshme të grupimeve të tyre. Kjo është kryesisht ndarja e tyre në prodhim dhe joprodhues, sipas industrisë Ekonomia kombëtare, si dhe sipas klasifikimit të tyre të zakonshëm të specieve.

Për të analizuar dinamikën dhe strukturën e aktiveve fikse, për të zhvilluar bilancet e tyre dhe për të përcaktuar efektivitetin, është e nevojshme të bëhet dallimi midis llojeve të vlerësimit të aktiveve fikse (e plotë fillestare, vlera e mbetur, zëvendësimi i plotë, restaurimi, duke marrë parasysh amortizimin).

Pamja më e plotë e disponueshmërisë dhe dinamikës së aseteve fikse jepet nga bilanci i mjeteve fikse. Një bilanc i tillë, së bashku me të dhënat për disponueshmërinë e aktiveve fikse në fillim dhe në fund të periudhës raportuese, përmban të dhëna për marrjen e tyre nga burime të ndryshme dhe për asgjësimin e tyre për arsye të ndryshme. Ai mund të përpilohet si për të gjitha aktivet fikse, ashtu edhe për llojet e tyre individuale, qoftë me koston e plotë fillestare, qoftë me atë të mbetur. Bilancet përpilohen për ndërmarrjet, industritë dhe ekonominë kombëtare në tërësi.

Për të karakterizuar intensitetin e lëvizjes së aktiveve fikse, llogariten treguesit e mëposhtëm:

1) Koeficienti i përgjithshëm i arkëtimit tregon pjesën e të gjitha të pranuarve (P) në periudhën raportuese të aktiveve fikse në vëllimin e tyre total në fund të kësaj periudhe:

2) Koeficienti i daljes në pension të aktiveve fikse, i barabartë me raportin e vlerës së të gjitha aktiveve fikse të tërhequra për një periudhë të caktuar (B) me vlerën e aktiveve fikse në fillim të kësaj periudhe.

3) Koeficienti i amortizimit të aktiveve fikse llogaritet në një datë të caktuar si përqindje e raportit të shumës së amortizimit të aktiveve fikse (I) me koston totale të tyre.

4) Koeficienti i dobisë së aktiveve fikse, i përcaktuar si diferenca ndërmjet 100% dhe koeficientit të amortizimit.

Treguesi i përgjithshëm i përdorimit të aktiveve fikse të prodhimit është kthimi i aktiveve - raporti i vëllimit të produkteve të prodhuara në një periudhë të caktuar (O) me vlerën mesatare të aktiveve fikse të prodhimit gjatë kësaj periudhe: FD = 0 / F.

Për të përcaktuar sasinë e prodhimit në nivel të ndërmarrjeve dhe industrive individuale, përdoret vëllimi i tij dhe për ekonominë kombëtare në tërësi, të ardhurat kombëtare ose produkti i përgjithshëm shoqëror.

Së bashku me produktivitetin e kapitalit, përdoret treguesi i tij i kundërt - intensiteti i kapitalit: FE \u003d F / 0.

Raporti kapital-punë ka një ndikim të madh në vlerën e produktivitetit të kapitalit dhe intensitetin e kapitalit: FV \u003d F / T

Ku T është numri i punëtorëve ose punonjësve.

Raporti aksion-punë mund të përcaktohet si një tregues momental (në një datë të caktuar) ose si një tregues intervali (për një periudhë të caktuar).

Raporti kapital-punë dhe produktiviteti i kapitalit janë të ndërlidhura përmes treguesit të produktivitetit të punës, të përcaktuar me formulën PT \u003d 0 / T. Kjo varësi ka formën: PT = FO FV.

Efekti i përmirësimit të përdorimit të aseteve fikse mund të përcaktohet nga të ndryshme metodat statistikore, dhe mbi të gjitha indeksin.

Kur analizohet dinamika e treguesve mesatarë të përdorimit të aktiveve fikse për një grup ndërmarrjesh, vlerat e tyre varen jo vetëm nga treguesit përkatës në secilën ndërmarrje, por edhe nga ndryshimet në strukturë. Sistemi i indekseve për përcaktimin e ndikimit të zhvendosjeve strukturore në produktivitetin e kapitalit për një grup ndërmarrjesh është si më poshtë:

Indeksi i produktivitetit të kapitalit të përbërjes së ndryshueshme

personelit të përhershëm

ndryshimet strukturore

Ku dF është pjesa e vlerës së aktiveve fikse të ndërmarrjes së i-të në vlerën totale të tyre për grupin e ndërmarrjeve.

Përcaktimi i ndikimit të ndryshimeve në produktivitetin e kapitalit dhe vlerës së aktiveve fikse në ndryshimin e vëllimit të prodhimit me metodën e indeksit kryhet sipas modelit strukturor të mëposhtëm: 0= FD F, d.m.th.

Si rezultat Si rezultat

Ndryshimi në prodhim = ndryshim + ndryshim në sasi

Kthimi në asetet e aseteve fikse

Në terma relative:


Në terma absolutë:

Nga kompania

Sipas grupit të ndërmarrjeve

Në mënyrë të ngjashme, metoda e indeksit përcakton ndikimin e ndryshimeve në treguesit e tjerë të përdorimit të aktiveve fikse, për shembull, ndikimi i shkallës së përdorimit të aktiveve fikse në nevojën totale të tyre përcaktohet sipas varësisë strukturore të mëposhtme: F = FU 0.

3. Treguesit e vëllimit, strukturës dhe përdorimit të rezervave

vlerat materiale

Në literaturën statistikoreburimet më shpesh nënkuptohen vlerat materiale, duke përfshirë lëndët e para, materialet, karburantet, produktet gjysëm të gatshme të përdorura për të përmbushur nevojat e prodhimit dhe operacional dhe ndërtimin e kapitalit.

Stoqet pasuri materiale matur si në terma absolutë ashtu edhe në ditë të konsumit mesatar ditor. Shuma e rezervave llogaritet në terma monetarë ose në natyrë në përputhje me klasifikimin e pranuar. Prania e rezervave në terma monetarë karakterizohet nga tregues momentalë dhe mesatarë.

^ Stoqet mesatare mund të përcaktohet me formulat e mesatares aritmetike (e thjeshtë ose e peshuar) ose mesatares kronologjike.Furnizimi i ndërmarrjes me rezerva në ditë llogaritet duke pjesëtuar madhësinë e stoqeve të aseteve materiale me konsumin mesatar ditor të këtij lloji të stokut.

Struktura e burimeve materiale karakterizohet nga vlerat relative të pjesës së secilit lloj rezervash në përputhje me klasifikimin e vendosur.

Për të karakterizuar efikasitetin e përdorimit të burimeve në nivel të ekonomisë kombëtare, treguesi përgjithësues është intensiteti material i të ardhurave kombëtare, duke reflektuar shumën e kostove materiale të shpenzuara për prodhimin e një rubla të të ardhurave kombëtare (produkti kombëtar bruto), dhe për sektorët individualë të sektorit të prodhimit - për një rubla të prodhimit bruto ose të tregtueshëm.

Indekset specifike të konsumit na lejojnë të konkludojmë se çfarë ndryshimesh kanë ndodhur në konsumin specifik gjatë periudhës raportuese krahasuar me bazën ose normën.

Për të karakterizuar përdorimin lloje te ndryshme materialet për prodhimin e disa llojeve të produkteve, përdoret një indeks i përbërë i kostove për njësi:

Ku m 0 dhe m 1 janë kostot specifike të këtij lloji të materialit për prodhimin e secilit lloj produkti në periudhat bazë dhe raportuese.

Diferenca ndërmjet numëruesit dhe emëruesit të këtij indeksi tregon kursime (tejkalime) në kostot materiale (në terma monetarë) vetëm për shkak të ndryshimeve në kostot për njësi.

Për të karakterizuar përdorimin e inventarit, përdoren treguesit e mëposhtëm:

Raporti i qarkullimit (norma e qarkullimit)

K rreth \u003d R: Z

• 
  koha mesatare e kthimit në ditë

• 
  koeficienti i fiksimit K i mbyllur = 3: Р

R - shitjet e produkteve ose shërbimeve; 3 - vëllimi i stoqeve.

Treguesit e qarkullimit për një grup ndërmarrjesh përfaqësojnë vlerën mesatare të treguesve të ngjashëm për ndërmarrjet individuale. Në të njëjtën kohë, llogariten K rreth dhe K mbyllur

Kapitulli 8

8.1. Llojet dhe format e dukurive shoqërore

lidhjet mes tyre

Studim statistikor ndërlidhjet vijnë nga supozimi i një lidhjeje dhe ndërveprimi universal të dukurive të jetës shoqërore. Ndërlidhja dhe ndërvarësia vërehet kur merret parasysh performanca e çdo ndërmarrje. Për shembull, një rritje në produktivitetin e punës sjell një ulje të kostos për njësi të prodhimit. Ato dukuri shoqërore (ose veçoritë e tyre individuale) që ndikojnë te të tjerët dhe shkaktojnë ndryshimet e tyre quhen faktoriale. Ato dukuri shoqërore (ose veçoritë e tyre individuale) që ndryshojnë nën ndikimin e atyre faktoriale quhen produktive (produktiviteti i punës është faktorial, dhe kostoja e prodhimit është një tregues produktiv).

Sipas natyrës së varësisë së dukurive, dallohen lidhjet funksionale (të plota) dhe korrelative (të paplota) ndërmjet tyre. Një marrëdhënie quhet funksionale, për të cilën çdo vlerë e treguesit të faktorit korrespondon me një vlerë të mirëpërcaktuar të treguesit efektiv. Varësitë funksionale përdoren gjerësisht në shkencat ekzakte. Përsa i përket fenomeneve shoqërore, ato formohen nën ndikimin e shumë faktorëve, të cilët, nga ana tjetër, ndërveprojnë me njëri-tjetrin. Për më tepër, dihet saktësisht se në çfarë mase secili prej tyre ndikon në madhësinë e fenomenit. Marrëdhënie të tilla quhen korrelacione. Në korrelacionet ndërmjet shkakut dhe pasojës, nuk ka korrespondencë të plotë, por vërehet vetëm një marrëdhënie e njohur. Në këtë rast, çdo vlerë e treguesit të faktorit korrespondon me një numër vlerash të atributit efektiv. Sidoqoftë, dhe kjo është shumë e rëndësishme, me ndryshimin e vlerave të atributit të faktorit, vlera mesatare e atributit efektiv ndryshon.

Marrëdhëniet midis fenomeneve mund të klasifikohen sipas kritereve të tjera:

• Në drejtim (i drejtpërdrejtë, i kundërt).
• Me shprehje analitike (lineare, jolineare).
• Sipas afërsisë së lidhjes ose shkallës së përafrimit të saj me atë funksionale (të fortë, të dobët).

Lidhja e dy shenjave quhet korrelacion çift, ndikimi i disa shenjave të faktorëve në shenjën efektive quhet korrelacion i shumëfishtë.

8.2. Metodat për studimin e marrëdhënieve midis dukurive dhe veçorive që i karakterizojnë ato

Studimi i marrëdhënieve është detyra më e rëndësishme njohëse e statistikave, të cilën e zgjidh me ndihmën e metodave speciale. Përveç grupimeve analitike, këto metoda përfshijnë: metodën e përputhjes së serive paralele, metodën e balancës dhe metodat e bazuara në dispozitat dhe teoremat. statistika matematikore(korrelacion, faktor, dispersion).

Thelbi i metodës së krahasimit të rreshtave paralele është që përmbledhjet dhe përpunimi i materialit që rezultojnë të renditen në rreshta paralelë ose në bazë të hapësirës ose në bazë të kohës. Një studim i përbashkët i kësaj lloj serie bën të mundur gjurmimin e raportit dhe drejtimit të ndryshimeve në veçoritë e krahasuara të fenomenit në studim. Një kusht i rëndësishëm për marrjen e rezultateve të besueshme të përdorimit të kësaj metode është zbulimi paraprak i një marrëdhënieje shkakësore midis veçorive të studiuara.

Thelbi i metodës së bilancit është të karakterizojë burimet e fenomenit në studim dhe shpërndarjen e tyre. Bilanci më i thjeshtë është bilanci i burimeve materiale në ndërmarrje, përkatësisht: bilanci në fillim të periudhës së analizuar + të ardhurat = shpenzimet + bilanci në fund të periudhës së analizuar. Është e qartë se meqenëse marrja dhe konsumimi i burimeve materiale duhet të jetë në një korrespondencë të caktuar (për shembull, në barazi), duhet të ruhet një proporcionalitet i caktuar midis pjesëve (elementeve) të djathtë dhe të majtë të ekuilibrit të mësipërm. Karakteristika e këtij proporcionaliteti duhet gjetur si rezultat i konstruksioneve të bilancit. Mundësitë në karakterizimin e marrëdhënieve dhe proporcioneve zgjerohen ndjeshëm nëse të ardhurat në bilanc ndahen sipas burimeve (furnizuesit), dhe shpenzimet ndahen sipas destinacioneve (blerësit). Në këtë rast, bilanci do të tregojë marrëdhënien jo vetëm ndërmjet të ardhurave, shpenzimeve dhe bilancit brenda ndërmarrjes, por edhe ndërmjet kësaj ndërmarrje dhe ndërmarrjeve të tjera, disa prej të cilave e furnizojnë atë me burime materiale, ndërsa të tjerat konsumojnë produktet e saj. Duke përdorur metodën e bilancit, ju mund të studioni qarkullimin e jo vetëm burimeve materiale, por edhe të punës, parave të gatshme, aktiveve fikse.

Në lidhje me tiparet e treguara të varësive të korrelacionit, metodat për studimin e marrëdhënieve bazuar në dispozitat e statistikave matematikore përballen me dy detyra:

një). zbulojnë këtë varësi nga materiali aktual dhe vendosin shprehjen analitike të lidhjes;

2). matni forcën e lidhjes.

Për të zgjidhur detyrën e parë, është e nevojshme të zgjidhni tregues faktorialë dhe efektivë, të mblidhni materialin përkatës faktik dhe ta përpunoni atë duke përdorur konstruksione grafike.

Detyra e dytë zgjidhet duke llogaritur koeficientët e korrelacionit, parametrat e regresionit.

Ne do të demonstrojmë metodën e analizës së korrelacionit duke përdorur shembullin e vendosjes së afërsisë së marrëdhënies midis treguesve të fuqisë elektrike të punës dhe produktivitetit të punës, nëse disponohet materiali i mëposhtëm faktik:

Tani, për të zgjidhur problemin e parë, mbetet të përcaktojmë se cili nga dy treguesit e analizuar është faktorial (X), dhe cili është efektiv (Y), dhe më pas të paraqesim grafikisht marrëdhënien ndërmjet tyre. Është e qartë se nga dy treguesit e analizuar, fuqia elektrike e punës është një faktor, dhe produktiviteti i saj është një tregues rezultati. Prandaj, në sistemin e koordinatave drejtkëndore, vlerat e së parës do të vizatohen përgjatë boshtit të abshisës, dhe vlerat e të dytit përgjatë boshtit të ordinatave (shih Fig. 3).

Oriz. 3 Vlerat e faktorëve dhe treguesve të performancës

Siç shihet nga fig. 3, vlerat e treguesit efektiv nuk janë të vendosura përgjatë një linje të drejtë që lidh vlerat e tij ekstreme, por në formën e një "reje", të zgjatur përgjatë kësaj vije të drejtë. Ekzistojnë teknika të veçanta që ju lejojnë të gjeni llojin e shprehjes analitike të lidhjes (vijë e drejtë, hiperbolë, parabolë, etj.) që përputhet më mirë me varësinë funksionale. Forma më e thjeshtë e varësisë së korrelacionit shprehet me ekuacionin y=a+bx, ku, në lidhje me shembullin që po shqyrtojmë, y është shkalla e rritjes së produktivitetit të punës; х koeficienti i rritjes së fuqisë elektrike; dhe b parametrat e ekuacionit.

Matja e ngushtësisë së marrëdhënies (përcaktimi i vlerave a, b) midis dy treguesve (x, y) të lidhur me një marrëdhënie lineare është e mundur si rezultat i zgjidhjes së sistemit të mëposhtëm të ekuacioneve:

ku n është numri i vëzhgimeve (në rastin tonë n=7).

Për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve, ne do të ndërtojmë një tabelë në të cilën, së bashku me të dhënat fillestare, do të vendosim rezultatet e të gjitha llogaritjeve të nevojshme të ndërmjetme, përkatësisht:

Atëherë sistemi i ekuacioneve me dy të panjohura (a, c) merr formën:

dhe zgjidhja e tij lejon të përcaktohet vlera e tyre specifike: a = -0.45;

c = 1,542. Prandaj, y = 1,542x 0,45. Duke zëvendësuar vlerat specifike të x në këtë ekuacion (i ashtuquajturi ekuacion i regresionit), marrim vlerën e llogaritur të funksionit - :

Duke krahasuar vlerat e "y" dhe "" shohim se ato janë afër, por nuk përkojnë me njëra-tjetrën. Kjo do të thotë se norma e rritjes së produktivitetit të punës ndikohet jo vetëm nga ritmi i rritjes së furnizimit me energji elektrike, por edhe nga faktorë të tjerë që nuk janë marrë parasysh. Një karakteristikë sasiore e ngushtësisë së marrëdhënies midis çiftit të treguesve në studim është koeficienti i korrelacionit midis tyre r, vlerat e të cilit ndryshojnë nga

(1) deri në (+1) dhe sa më i madh në vlerë absolute, aq më pak ndikimi shtrembërues i faktorëve të pa llogaritur.

Studimi i varësisë statistikore të tiparit efektiv nga disa tipare faktorësh sugjeron se më i rëndësishmi prej tyre do të zgjidhet si ky i fundit. Prezantimi një numër i madh faktorët e ndërlikojnë zgjidhjen e problemit. Reduktimi i tyre i konceptuar keq çon në faktin se ekuacioni nuk do të riprodhojë fenomenin në studim. Është e pamundur të futet në ekuacion një faktor që është në një marrëdhënie funksionale ose afër funksionale me njëri-tjetrin. Kur futen në ekuacion, vërehet dukuria e kolinearitetit (nëse ka dy faktorë) ose e shumëkolinearitetit (nëse ka më shumë se dy faktorë). Identifikimi i dukurive të mësipërme kryhet duke llogaritur koeficientët e korrelacionit midis faktorëve. Nëse vlera e koeficientëve të korrelacionit ndërmjet faktorëve është më e madhe ose e barabartë me 0.8, atëherë në hulumtimet e mëtejshme një nga këta faktorë hidhet poshtë. Kjo procedurë nuk do të jetë e nevojshme kur përdorni analizën e faktorëve. Analiza e faktorëve ndryshon në atë që, pa u mbështetur në një listë të paracaktuar faktorësh, ndihmon për të identifikuar më të rëndësishmit prej tyre. Për shembull, një ekonomist vëzhgon drejtpërdrejt shumë tregues të ndryshëm të kontabilitetit statistikor të aktiviteteve të një ndërmarrje për të identifikuar modelet që ndikojnë në rritjen e produktivitetit të punës (niveli arsimor i punëtorëve, raporti i ndërrimit të pajisjeve, fuqia e punës, mosha e pajisjeve, etj.). Në një mënyrë apo tjetër, të gjithë faktorët e pasqyruar nga këta tregues ndikojnë në produktivitetin e punës. Në të njëjtën kohë, shumë prej tyre janë të ndërlidhura, duke reflektuar në thelb të njëjtat dukuri nga anë të ndryshme. Duke përdorur teknikat e analizës së faktorëve të këtyre marrëdhënieve, është e mundur të zbulohet se, në fakt, vetëm disa faktorë përgjithësues (për shembull, madhësia e ndërmarrjes, niveli i organizimit të punës, natyra e produkteve) që nuk janë drejtpërdrejt të vërejtura në studim, kanë një ndikim vendimtar në rritjen e produktivitetit të punës. Prandaj, sfida është të zbulohen faktorë të fshehtë përgjithësues. Faktorët e identifikuar bëjnë të mundur ndërtimin e një ekuacioni të regresionit të shumëfishtë me një numër relativisht të vogël koeficientësh.

Analiza e variancës është krijuar për të zbuluar ndikimin e faktorëve individualë në rezultatin e eksperimentit. Thelbi i kësaj metode është se tërësia e vëzhgimeve grupohet sipas një kriteri faktori, duke gjetur mesataren e rezultatit dhe variancën për secilin grup. Më pas përcaktoni shpërndarjen totale dhe llogarisni se cila pjesë e saj varet nga kushtet e zakonshme për të gjitha grupet, çfarë nga faktori në studim dhe çfarë nga shkaqe të rastësishme. Dhe së fundi, me ndihmën e një kriteri të veçantë, ata përcaktojnë se sa të rëndësishme janë ndryshimet midis grupeve të vëzhgimeve dhe, për rrjedhojë, nëse ndikimi i disa faktorëve mund të konsiderohet i prekshëm. Në thelb, analiza e variancës shërben si një hap paraprak në analizën e regresionit të të dhënave statistikore, e cila bën të mundur veçimin e një numri relativisht të vogël, por të mjaftueshëm për qëllimet e studimit, të parametrave të regresionit.

Lista bibliografike

Shoqërore - statistikat ekonomike: punëtori / ed. V.N. Salina, E.P. Shpakovskaya. M.: Financa dhe statistika, 2006.

Llojet e dukurive shoqërore dhe format e lidhjeve ndërmjet tyre. Metodat për studimin e marrëdhënieve midis dukurive dhe veçorive që i karakterizojnë ato.

Ne kemi bazën më të madhe të informacionit në RuNet, kështu që gjithmonë mund të gjeni pyetje të ngjashme

1.8.1. Studimi statistikor i marrëdhënieve, klasifikimi i tyre.

1.8.2. Detyrat e studimit të marrëdhënieve.

1.8.3. Koncepti i analizës së korrelacionit-regresionit, kushtet për zbatimin e tij.

1.8.4. Treguesit e ngushtësisë së lidhjes, koeficienti i korrelacionit linear.

1.8.5. Masat për vlerësimin e ngushtësisë së lidhjes për veçoritë atributive.

1.8.1. Studimi statistikor i marrëdhënieve, klasifikimi i tyre

Studimi statistikor i marrëdhënieve është një nga seksionet më të rëndësishme të statistikave. Studimi i marrëdhënieve të ndërsjella midis fenomeneve të ndryshme të jetës shoqërore bën të mundur parashikimin e zhvillimit të proceseve të varura nga të tjerët dhe, në fund të fundit, ndikimin mbi to. Kështu, studimi i lidhjeve mundëson kalimin nga shpjegimi i fakteve në ndryshimin e fakteve.

Një marrëdhënie është një ndryshim i përbashkët i koordinuar i dy ose më shumë veçorive.

Prania e një marrëdhënieje midis fenomeneve, proceseve të ndryshme shprehet në një ndryshim reciprokisht të qëndrueshëm në të dhënat statistikore që përshkruajnë këto procese.

Për shembull, përvoja e punës është një nga faktorët në rritjen e produktivitetit të punës. Prandaj, një rritje e përvojës, si rregull, çon në një rritje të prodhimit. Të dhënat statistikore pasqyrojnë qëndrueshmërinë e ndryshimit në të dy treguesit.

E gjithë shumëllojshmëria e marrëdhënieve zakonisht klasifikohet sipas kritereve të ndryshme: Forma e manifestimit:

marrëdhëniet shkak-pasojë- në rastin kur është e mundur të veçohet një shkak dhe pasojë nga dy shenja ndërvepruese, një faktor shenjë (X) dhe rezultati i shenjës ( X).

Për shembull, marrëdhënia midis vëllimit të prodhimit dhe kostos së një njësie të prodhimit manifestohet si më poshtë: me një rritje të vëllimit të prodhimit, kostoja e një njësie të prodhimit zvogëlohet. Këtu, vëllimi i prodhimit është një faktor shenjë, dhe çmimi i kostos është një shenjë e rezultatit.

Lidhjet e pajtueshmërisë - në rastin kur nuk është e mundur të veçohen shkaku dhe efekti, veçanërisht, të dyja shenjat që ndryshojnë vazhdimisht janë pasoja të shenjës së tretë. Mekanizmi i komunikimit:

funksionale;

Stokastik (statistikor).

Në varësi funksionale mes dukurive kuptohet një lidhje e tillë, e cila për çdo rast mund të shprehet plotësisht me një formulë të rreptë matematikore. Me një varësi funksionale, çdo vlerë e një sasie korrespondon me një ose më shumë vlera, por të përcaktuara mirë të një sasie tjetër. Për shembull, marrëdhënia midis anës dhe sipërfaqes së një katrori (S = a 2), koha dhe rruga kur lëvizni me një shpejtësi konstante ( S = vt) dhe sasi të ngjashme, që gjenden shpesh në gjeometri, mekanikë. Dukuritë masive shoqërore karakterizohen nga varësi të një lloji tjetër, që lindin si rezultat i ndërveprimit të shumë shkaqeve dhe kushteve dhe të ndërlikuara nga veprimi i rastësisë objektive dhe gabimeve vëzhguese. Është e pamundur të shprehen varësi të tilla duke përdorur formula të qarta dhe të sakta të përshtatshme për të përshkruar çdo rast individual.

Në lidhje statistikore vlera të ndryshme të një ndryshoreje korrespondojnë me shpërndarje të ndryshme të vlerave të një ndryshoreje tjetër.

Korrelacioni është një rast i veçantë i lidhjes statistikore.

Varësia e korrelacionit- marrëdhënia midis shenjave, që konsiston në faktin se vlera mesatare vlerat e një atributi variojnë në varësi të ndryshimit të një atributi tjetër (për shembull, marrëdhënia midis rezultatit dhe kohëzgjatjes së shërbimit, midis numrit të dënimeve të një krimineli dhe kohës kur ai ishte i lirë midis tyre, etj.). Këtu, ndryshe nga varësia funksionale, në raste individuale, gjatë përcaktimit të vlerës së një atributi, mund të ketë vlera të ndryshme të tjetrit, domethënë nuk është aspak e nevojshme që marrëdhënia e zbuluar të konfirmohet në secilën prej tyre. rast specifik.

Për shembull, një ndryshim në stafin mësimor drejt rritjes së numrit

mësuesit që kanë shkallë përfundimisht çon në një përmirësim të cilësisë së arsimit. Por kjo nuk do të thotë se çdo i diplomuar do të ketë një grup më të madh njohurish sesa një i diplomuar institucion arsimor duke pasur një staf mësimor “më të dobët”.

Rrjedhimisht, në analizën statistikore, korrelacionet nuk shfaqen midis çdo çifti të dhënash të krahasuara, por midis ndryshimeve në serinë e shpërndarjes të një grupi vlerash përkatëse.

Përveç faktit se varësia e korrelacionit nuk ka natyrë funksionale, duhet të merren parasysh dy nga veçoritë e saj:

Përfundimi mund të nxirret vetëm në bazë të një analize mjaft të madhe agregate, të cilat lejojnë ndërtimin e serive statistikore relativisht të gjata;
- është e dëshirueshme që numri i vëzhgimeve të jetë së paku 5-6 herë më shumë numër faktorët.

Analiza e korrelacionit ka kuptim vetëm në ato raste kur mundësia e një marrëdhënieje shkakësore midis veçorive të analizuara vërtetohet teorikisht të paktën në nivelin e një hipoteze përmbajtësore.

Nëse, me një ndryshim në vlerën e një veçorie, vlera mesatare e një veçorie tjetër nuk ndryshon në mënyrë të rregullt, por e tjera karakteristikë statistikore(për shembull, treguesit e variacionit), atëherë marrëdhënia nuk është korrelative, por është statistikore.

Në rastin e një marrëdhënie statistikore, supozohet se të dy tiparet kanë një ndryshim të rastësishëm të vlerave individuale në lidhje me vlerën mesatare, domethënë secila prej veçorive merr disa vlerat e rastësishme. Në rast se njëra nga shenjat ka një ndryshim të tillë dhe vlerat e tjetrës përcaktohen në mënyrë rigoroze, atëherë njëri flet për regresioni, por jo për lidhjen statistikore. Në analizën e serive kohore, është e mundur të matet regresioni i niveleve të serive (që kanë luhatje të rastësishme) në numrin e viteve. Për shembull, dinamika e prodhimit. Por, është e pamundur të flitet për korrelacionin (marrëdhënien) ndërmjet prodhimit dhe kohës dhe të vlerësohet ngushtësia e marrëdhënies ndërmjet tyre.

Drejtimi i komunikimit:

E kundërta.

Në rast se me një rritje të faktorit të shenjës, rezultati i shenjës rritet, ata flasin korrelacion i drejtpërdrejtë. Për shembull, sa më i lartë të jetë niveli i alkoolizimit të shoqërisë, aq më i lartë është krimi, dhe krimi është specifik (“i dehur”). Nëse, me një rritje të shkakut të shenjës, rezultati i shenjës zvogëlohet, ata flasin për korrelacion i anasjelltë. Për shembull, sa më i lartë të jetë kontrolli social në një shoqëri, aq më i ulët është shkalla e krimit.

Forma e Kontaktit:

Drejtvizore;

Curvilinear.

Mund të jenë të dyja lidhjet përpara dhe prapa i drejtpërdrejtë dhe lakuar. Matematikisht, marrëdhëniet lineare mund të përshkruhen duke përdorur ekuacionin e një vije të drejtë:

y \u003d një + in,

ku në- shenjë-rezultati; X- faktori i shenjës.

Lidhjet curvilineare janë të një natyre të ndryshme. Një rritje në vlerën e një atributi të faktorit ka një efekt të pabarabartë në vlerën e atributit që rezulton.

Për shembull, lidhja e krimeve me moshën e autorëve. Fillimisht, aktiviteti kriminal i individëve rritet në përpjesëtim të drejtë me rritjen e moshës (deri në afërsisht 30 vjeç), dhe më pas fillon të bjerë. Matematikisht, lidhje të tilla përshkruhen duke përdorur kthesa (hiperbola, parabola).

Korrelacionet e vijës së drejtë mund të jenë njëfaktorale kur lidhja ndërmjet një faktori tipar dhe një tipar-pasojë është duke u hetuar. (korrelacion çift). Ato mund të jenë multifaktoriale kur studiohet ndikimi i shumë shenjave-faktorëve ndërveprues në shenjë-pasojë. (korrelacion i shumëfishtë).

8.1. Konceptet bazë të analizës së korrelacionit dhe regresionit

Duke eksploruar natyrën, shoqërinë, ekonominë, është e nevojshme të merren parasysh marrëdhëniet e proceseve dhe fenomeneve të vëzhguara. Në të njëjtën kohë, plotësia e përshkrimit përcaktohet disi nga karakteristikat sasiore të marrëdhënieve shkak-pasojë midis tyre. Vlerësimi i më domethënësve prej tyre, si dhe ndikimi i disa faktorëve në të tjerët, është një nga detyrat kryesore të statistikave.

Format e manifestimit të marrëdhënieve janë shumë të ndryshme. Si dy llojet më të zakonshme alokojnë funksionale(i plotë) dhe korrelacioni lidhje (e paplotë). Në rastin e parë, vlera e atributit të faktorit korrespondon rreptësisht me një ose më shumë vlera të funksionit. Shumë shpesh, lidhja funksionale manifestohet në fizikë, kimi. Në ekonomi, një shembull është marrëdhënia proporcionale e drejtpërdrejtë midis produktivitetit të punës dhe rritjes së prodhimit.

Korrelacioni (i cili quhet edhe i paplotë, ose statistikor) shfaqet mesatarisht, për vëzhgimet masive, kur vlerat e dhëna të ndryshores së varur korrespondojnë me një numër të caktuar vlerash të mundshme të ndryshores së pavarur. Shpjegimi për këtë është kompleksiteti i marrëdhënieve ndërmjet faktorëve të analizuar, ndërveprimi i të cilëve ndikohet nga variabla të rastësishëm të pa llogaritur. Prandaj, marrëdhënia midis shenjave manifestohet vetëm mesatarisht, në masën e rasteve. Me një korrelacion, çdo vlerë e argumentit korrespondon me vlerat e shpërndara rastësisht të funksionit në një interval të caktuar.

Për shembull, një rritje e argumentit do të sjellë vetëm një rritje ose ulje mesatare (në varësi të drejtimit) të funksionit, ndërsa vlerat specifike për njësitë individuale të vëzhgimit do të ndryshojnë nga mesatarja. Këto varësi janë të kudondodhura. Për shembull, në bujqësi, kjo mund të jetë lidhja midis rendimentit dhe sasisë së plehut të aplikuar. Natyrisht, këta të fundit janë të përfshirë në formimin e të korrave. Por për çdo fushë specifike, parcelë, sasia e njëjtë e plehrave të aplikuara do të shkaktojë një rritje të ndryshme të rendimentit, pasi ekzistojnë një sërë faktorësh të tjerë (moti, kushtet e tokës, etj.) në bashkëveprim që formojnë rezultatin përfundimtar. Sidoqoftë, mesatarisht, vërehet një marrëdhënie e tillë - një rritje në masën e plehrave të aplikuara çon në një rritje të rendimentit.

Në drejtim të komunikimit, ka drejt, kur ndryshorja e varur rritet me rritjen e tiparit të faktorit, dhe anasjelltas, në të cilën rritja e kësaj të fundit shoqërohet me ulje të funksionit. Marrëdhënie të tilla mund të quhen gjithashtu pozitive dhe negative, përkatësisht.

Përsa i përket formës së tyre analitike të komunikimit, ekzistojnë lineare dhe jolineare. Në rastin e parë, mesatarisht, shfaqen marrëdhënie lineare midis shenjave. Një marrëdhënie jolineare shprehet me një funksion jolinear dhe variablat janë të ndërlidhura mesatarisht në mënyrë jolineare.

Ekziston një karakteristikë më e rëndësishme e lidhjeve nga pikëpamja e faktorëve ndërveprues. Nëse karakterizohet një marrëdhënie midis dy karakteristikave, atëherë quhet Dhomë Avulli. Nëse studiohen më shumë se dy variabla − të shumëfishta.

Tiparet e mësipërme të klasifikimit gjenden më shpesh në analizat statistikore. Por përveç sa më sipër, ka edhe direkt, indirekt dhe i rremë lidhjet. Në fakt, thelbi i secilit prej tyre është i qartë nga emri. Në rastin e parë, faktorët ndërveprojnë drejtpërdrejt me njëri-tjetrin. Një marrëdhënie indirekte karakterizohet nga pjesëmarrja e një variabli të tretë, i cili ndërmjetëson marrëdhënien midis tipareve të studiuara. Një lidhje e rreme është një lidhje e krijuar zyrtarisht dhe, si rregull, e konfirmuar vetëm nga vlerësimet sasiore. Nuk ka bazë cilësore ose është e pakuptimtë.

Ato ndryshojnë në forcë i dobët dhe të fortë lidhjet. Kjo karakteristikë formale shprehet me vlera specifike dhe interpretohet në përputhje me kriteret e pranuara përgjithësisht për fuqinë e lidhjes për tregues të veçantë.

Në formën më të përgjithshme, detyra e statistikave në fushën e studimit të marrëdhënieve është të përcaktojë sasinë e pranisë dhe drejtimit të tyre, si dhe të karakterizojë forcën dhe formën e ndikimit të disa faktorëve mbi të tjerët. Për ta zgjidhur atë, përdoren dy grupe metodash, njëra prej të cilave përfshin metodat e analizës së korrelacionit, dhe tjetra - analizën e regresionit. Në të njëjtën kohë, një numër studiuesish i kombinojnë këto metoda në një analizë korrelacioni-regresioni, e cila ka disa arsye: prania e një sërë procedurash të zakonshme llogaritëse, komplementariteti në interpretimin e rezultateve, etj.

Prandaj, në këtë kontekst, mund të flasim për analizën e korrelacionit në kuptimin e gjerë - kur marrëdhënia karakterizohet në mënyrë gjithëpërfshirëse. Në të njëjtën kohë, ekzistojnë analiza e korrelacionit në kuptimin e ngushtë - kur studiohet forca e lidhjes - dhe analiza e regresionit, gjatë së cilës vlerësohet forma e saj dhe ndikimi i disa faktorëve në të tjerët.

Detyrat e duhura analiza e korrelacionit reduktohen në matjen e afërsisë së marrëdhënies midis veçorive të ndryshme, identifikimin e marrëdhënieve të panjohura shkakësore dhe vlerësimin e faktorëve që kanë ndikimin më të madh në tiparin që rezulton.

Detyrat analiza e regresionit shtrihen në fushën e vendosjes së formës së varësisë, përcaktimit të funksionit të regresionit, duke përdorur një ekuacion për të vlerësuar vlerat e panjohura të ndryshores së varur.

Zgjidhja e këtyre problemeve bazohet në teknika, algoritme, indikatorë të përshtatshëm, përdorimi i të cilave jep arsye për të folur për një studim statistikor të marrëdhënieve.

Duhet të theksohet se metodat tradicionale të korrelacionit dhe regresionit janë të përfaqësuara gjerësisht në paketa të ndryshme softuerike statistikore për kompjuterë. E vetmja gjë që i mbetet studiuesit është të përgatisë siç duhet informacionin, të zgjedhë një paketë softuerike që plotëson kërkesat e analizës dhe të jetë gati për të interpretuar rezultatet. Ka shumë algoritme për llogaritjen e parametrave të komunikimit, dhe për momentin vështirë se është e këshillueshme që të kryhet një lloj analize kaq komplekse me dorë. Procedurat llogaritëse janë me interes të pavarur, por njohja e parimeve të studimit të marrëdhënieve, mundësive dhe kufizimeve të metodave të caktuara të interpretimit të rezultateve është një parakusht për hulumtim.

Metodat për vlerësimin e ngushtësisë së lidhjes ndahen në korrelacion (parametrik) dhe joparametrik. Metodat parametrike bazohen në përdorimin, si rregull, të vlerësimeve të shpërndarjes normale dhe përdoren në rastet kur popullsia në studim përbëhet nga sasi që i binden ligjit të shpërndarjes normale. Në praktikë, ky pozicion më së shpeshti merret apriori. Në fakt, këto metoda janë parametrike dhe zakonisht quhen metoda korrelacioni.

Metodat joparametrike nuk vendosin kufizime në ligjin e shpërndarjes së sasive të studiuara. Avantazhi i tyre është edhe thjeshtësia e llogaritjeve.

8.2. Korrelacioni çift dhe regresioni linear i çiftit

Teknika më e thjeshtë për të identifikuar një marrëdhënie midis dy veçorive është ndërtimi tabela e korrelacionit:

Grupimi bazohet në dy tipare të studiuara në marrëdhënie - X dhe Y. Frekuencat f ij tregojnë numrin e kombinimeve përkatëse të X dhe Y. Nëse f ij janë renditur në mënyrë të rastësishme në tabelë, mund të flasim për mungesën e një marrëdhënieje midis variablat. Në rastin e formimit të ndonjë kombinimi karakteristik f ij, lejohet të pohohet një lidhje midis X dhe Y. Në këtë rast, nëse f ij përqendrohet pranë njërës prej dy diagonaleve, ekziston një marrëdhënie lineare e drejtpërdrejtë ose e kundërt.

Një paraqitje vizuale e tabelës së korrelacionit është fushë korrelacioni.Është një grafik ku vlerat X janë paraqitur në boshtin e abshisës, vlerat Y janë paraqitur përgjatë boshtit të ordinatave dhe kombinimi i X dhe Y tregohet me pika. Nga vendndodhja e pikave, përqendrimi i tyre në një drejtim të caktuar, mund të gjykohet prania e një lidhjeje.

Në rezultatet e tabelës së korrelacionit për rreshtat dhe kolonat, jepen dy shpërndarje - njëra për X, tjetra për Y. Le të llogarisim për çdo X i vlerën mesatare të Y, d.m.th. , si

Sekuenca e pikave (X i, ) jep një grafik që ilustron varësinë e vlerës mesatare të tiparit efektiv Y nga faktori X, - linja e regresionit empirik, duke treguar se si Y ndryshon ndërsa X ndryshon.

Në thelb, si tabela e korrelacionit, ashtu edhe fusha e korrelacionit, dhe linja e regresionit empirik tashmë e karakterizojnë marrëdhënien paraprakisht, kur veçoritë faktoriale dhe rezultuese janë përzgjedhur dhe kërkohet të formulohen supozime për formën dhe drejtimin e marrëdhënies. Në të njëjtën kohë, një vlerësim sasior i afërsisë së lidhjes kërkon llogaritje shtesë.

Në praktikë, për të përcaktuar ngushtësinë e lidhjes, lineare koeficienti i korrelacionit. Nganjëherë referohet thjesht si koeficienti i korrelacionit. Nëse jepen vlerat e variablave X dhe Y, atëherë llogaritet me formulë

Ju mund të përdorni formula të tjera, por rezultati duhet të jetë i njëjtë për të gjitha opsionet e llogaritjes.

Koeficienti i korrelacionit merr vlera në rangun nga -1 në + 1. Në përgjithësi pranohet se nëse |r| < 0,30, то связь слабая; при |r| = (0,3÷0,7) – mesatare; në |r| > 0,70 - i fortë, ose i ngushtë. Kur |r| = 1 - lidhje funksionale. Nëse r merr një vlerë afër 0, atëherë kjo jep bazë për të folur për mungesën e një marrëdhënie lineare midis Y dhe X. Megjithatë, në këtë rast, një ndërveprim jolinear është i mundur. e cila kërkon verifikim shtesë dhe matës të tjerë të diskutuar më poshtë.

Për të karakterizuar ndikimin e ndryshimeve në X në ndryshimin në Y, përdoren metodat e analizës së regresionit. Në rastin e një varësie lineare të çiftuar, ndërtohet një model regresioni

ku n – numri i vëzhgimeve;
a 0 , a 1 – parametrat e panjohur të ekuacionit;
e i është gabimi i ndryshores së rastësishme Y.

Ekuacioni i regresionit shkruhet si

ku Y itheor është vlera e llogaritur e barazuar e tiparit efektiv pas zëvendësimit në ekuacionin X.

Parametrat a 0 dhe a 1 vlerësohen duke përdorur procedura, më e përdorura prej të cilave është metoda me katrorin më të vogël. Thelbi i saj qëndron në faktin se vlerësimet më të mira për ag dhe a merren kur

ato. shuma e devijimeve në katror të vlerave empirike të ndryshores së varur nga ato të llogaritura duke përdorur ekuacionin e regresionit duhet të jetë minimale. Shuma e devijimeve në katror është funksion i parametrave a 0 dhe a 1 . Minimizimi i tij kryhet duke zgjidhur sistemin e ekuacioneve

Ju mund të përdorni formula të tjera që rrjedhin nga metoda e katrorëve më të vegjël, për shembull:

Aparati i regresionit linear është mjaft i zhvilluar dhe, si rregull, është i disponueshëm në një grup programesh standarde për vlerësimin e marrëdhënieve për një kompjuter. Kuptimi i parametrave është i rëndësishëm: dhe 1 është një koeficient regresioni që karakterizon efektin që një ndryshim në X ka në Y. Tregon sa njësi Y do të ndryshojë mesatarisht kur X ndryshon me një njësi. Nëse a është më e madhe se 0, atëherë vërehet një marrëdhënie pozitive. Nëse a ka një vlerë negative, atëherë një rritje në X me një sjell një ulje të Y mesatarisht me një 1. Parametri a 1 ka dimensionin e raportit Y me X.

Parametri a 0 është një vlerë konstante në ekuacionin e regresionit. Sipas mendimit tonë, nuk ka asnjë kuptim ekonomik, por në disa raste interpretohet si vlera fillestare e W.

Për shembull, sipas të dhënave për koston e pajisjeve X dhe produktivitetin e punës Y, metoda e katrorëve më të vegjël mori ekuacionin

Y \u003d -12,14 + 2,08X.

Koeficienti a do të thotë një rritje në koston e pajisjeve me 1 milion rubla. çon mesatarisht në një rritje të produktivitetit të punës me 2.08 mijë rubla.

Vlera e funksionit Y \u003d a 0 + a 1 X quhet vlera e llogaritur dhe formohet në grafik linja e regresionit teorik.

Kuptimi i regresionit teorik është se ai është një vlerësim i vlerës mesatare të ndryshores Y për një vlerë të dhënë të X.

Korrelacioni në çift ose regresioni në çift mund të mendohet si rast i veçantë duke pasqyruar marrëdhënien e disa ndryshoreve të varura, nga njëra anë, dhe një prej shumë variablave të pavarur, nga ana tjetër. Kur kërkohet të karakterizohet marrëdhënia e të gjithë grupit të specifikuar të variablave të pavarur me atributin rezultant, flitet për korrelacion i shumëfishtë ose regresioni i shumëfishtë.

8.3. Vlerësimi i rëndësisë së parametrave të marrëdhënies

Pasi të keni marrë vlerësimet e korrelacionit dhe regresionit, është e nevojshme t'i kontrolloni ato për pajtueshmërinë me parametrat e vërtetë të marrëdhënies.

Programet kompjuterike ekzistuese përfshijnë, si rregull, disa nga kriteret më të zakonshme. Për të vlerësuar rëndësinë e koeficientit të korrelacionit të çiftit, llogaritet gabimi standard i koeficientit të korrelacionit:

Si përafrim i parë, është e nevojshme që . Rëndësia e r xy kontrollohet duke e krahasuar atë me , dhe fitohet

ku t kalc është e ashtuquajtura vlera e llogaritur e kriterit t.

Nëse t calc është më e madhe se vlera teorike (tabelore) e testit t Studentit (t tabl) për një nivel të caktuar probabiliteti dhe (n-2) shkallë lirie, atëherë mund të argumentohet se r xy është domethënës.

Në mënyrë të ngjashme, bazuar në formulat përkatëse, llogariten gabimet standarde të parametrave të ekuacionit të regresionit dhe më pas testet t për secilin parametër. Është e rëndësishme të kontrolloni përsëri që kushti t kalc > t tab. Përndryshe, nuk ka asnjë arsye për t'i besuar vlerësimit të parametrit të marrë.

Përfundimi në lidhje me zgjedhjen e saktë të llojit të marrëdhënies dhe karakteristikën e rëndësisë së të gjithë ekuacionit të regresionit merret duke përdorur kriterin F, duke llogaritur vlerën e llogaritur të tij:

ku n është numri i vëzhgimeve;
m është numri i parametrave të ekuacionit të regresionit.

F calc duhet gjithashtu të jetë më i madh se teoria F në v 1 = (m-1) dhe v 2 = (n-m) shkallë lirie. Përndryshe, forma e ekuacionit, lista e variablave, etj., duhet të rishikohet.

8.4. Metodat joparametrike për vlerësimin e marrëdhënieve

Metodat e analizës së korrelacionit dhe variancës nuk janë universale: ato mund të zbatohen nëse të gjitha karakteristikat në studim janë sasiore. Kur përdorni këto metoda, është e pamundur të bëhet pa llogaritur parametrat kryesorë të shpërndarjes (mesatarja, variancat), kështu që ato quhen metodat parametrike.

Ndërkohë, në praktikën statistikore, duhet të trajtohet problemi i matjes së marrëdhënieve midis veçorive cilësore, për të cilat metodat parametrike të analizës në formën e tyre të zakonshme nuk janë të zbatueshme. Shkenca statistikore ka zhvilluar metoda që mund të përdoren për të matur marrëdhënien midis dukurive pa përdorur vlerat sasiore të atributit, dhe rrjedhimisht parametrat e shpërndarjes. Metoda të tilla quhen joparametrike.

Nëse po studiohet marrëdhënia e dy veçorive cilësore, atëherë shpërndarja kombinuese e njësive të popullsisë përdoret në formën e të ashtuquajturës. tabelat e ndërlidhjes.

Le të shqyrtojmë metodën e analizës së tabelave të kontigjencës së ndërsjellë në një shembull specifik të lëvizshmërisë sociale si një proces i tejkalimit të izolimit të grupeve të caktuara shoqërore dhe profesionale të popullsisë. Më poshtë janë të dhënat për shpërndarjen e maturantëve sipas fushave të punësimit me ndarjen e grupeve të ngjashme sociale të prindërve të tyre.

Shpërndarja e frekuencave në rreshtat dhe kolonat e tabelës së ndërlidhjes bën të mundur identifikimin e modeleve kryesore të lëvizshmërisë sociale: 42,9% e fëmijëve të prindërve në grupin 1 (“Industria dhe ndërtimi”) janë të punësuar në fushën e puna intelektuale (39 nga 91); 38.9% e fëmijëve. prindërit e të cilëve punojnë në bujqësi, punojnë në industri (34 nga 88) etj.

Mund të vërehet edhe një trashëgimi e qartë në transferimin e profesioneve. Kështu, nga ata që erdhën në bujqësi, 29 persona, ose 64.4%, janë fëmijë të punëtorëve të bujqësisë; më shumë se 50% në fushën e punës intelektuale kanë prindër të të njëjtit grup social etj.

Sidoqoftë, është e rëndësishme të merrni një tregues përgjithësues që karakterizon afërsinë e marrëdhënies midis veçorive dhe ju lejon të krahasoni manifestimin e marrëdhënies në popullata të ndryshme. Për këtë qëllim, për shembull, koeficientët e konjugacionit Pearson (C) dhe Chuprov (C):

ku f 2 është indeksi i kontingjentit rrënjë-mesatar-katror, ​​i përcaktuar duke zbritur një nga shuma e raporteve të katrorëve të frekuencave të secilës qelizë të tabelës së korrelacionit me produktin e frekuencave të kolonës dhe rreshtit përkatës:

K 1 dhe K 2 - numri i grupeve për secilën nga shenjat. Vlera e koeficientit të kontingjentit të ndërsjellë, duke reflektuar afërsinë e marrëdhënies midis veçorive cilësore, luhatet brenda intervalit të zakonshëm për këta tregues nga 0 në 1.

Në studimet socio-ekonomike, shpesh ka situata kur një veçori nuk shprehet në mënyrë sasiore, por mund të renditen njësitë e popullsisë. Renditja e tillë e njësive të popullsisë sipas vlerës së atributit quhet renditjen. Shembuj mund të jenë renditja e studentëve (nxënësve) sipas aftësive të tyre, çdo grup njerëzish sipas nivelit të arsimimit, profesionit, aftësisë për të qenë krijues etj.

Gjatë renditjes, caktohet secila njësi e popullsisë gradë, ato. numër serik. Nëse vlera e atributit është e njëjtë për njësi të ndryshme, atyre u caktohet një numër serial mesatar i kombinuar. Për shembull, nëse njësitë e 5-ta dhe të 6-ta të popullsisë kanë të njëjtat vlera të veçorive, të dyja do të marrin një gradë të barabartë me (5 + 6) / 2 = 5.5.

Marrëdhënia midis veçorive të renditura matet duke përdorur koeficientët e korrelacionit të renditjes Spearman (r) dhe Kendall (t). Këto metoda janë të zbatueshme jo vetëm për treguesit cilësorë, por edhe sasiorë, veçanërisht me një popullsi të vogël, pasi metodat joparametrike të korrelacionit të renditjes nuk shoqërohen me asnjë kufizim në natyrën e shpërndarjes së një veçorie.