Supozoni se doni të gjeni të gjitha çiftet e vlerave të ndryshoreve x dhe y që plotësojnë ekuacionin
xy - 6 = 0 dhe ekuacioni y - x - 1 = 0, domethënë është e nevojshme të gjendet kryqëzimi i grupeve të zgjidhjeve të këtyre ekuacioneve. Në raste të tilla, ata thonë se është e nevojshme të zgjidhet sistemi i ekuacioneve xy - 6 \u003d 0 dhe y - x - 1 \u003d 0.

Është zakon të shkruhet një sistem ekuacionesh duke përdorur kllapa kaçurrelë. Për shembull, sistemi i ekuacioneve në shqyrtim mund të shkruhet si më poshtë:

(xy - 6 = 0,
(y - x - 1 = 0.

Një çift vlerash variablash që e kthen çdo ekuacion të sistemit në një barazi të vërtetë quhet zgjidhje e një sistemi ekuacionesh me dy ndryshore.

Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh nënkupton gjetjen e grupit të zgjidhjeve të tij.

Le të shqyrtojmë sistemet e dy ekuacioneve lineare me dy ndryshore, në të cilat të paktën një nga koeficientët në secilin ekuacion është i ndryshëm nga zero.

Zgjidhja grafike e sistemeve të këtij lloji reduktohet në gjetjen e koordinatave të pikave të përbashkëta të dy drejtëzave.

Siç e dini, dy vija të drejta në një aeroplan mund të jenë të kryqëzuara ose paralele. Në rastin e paralelizmit, vijat ose nuk kanë pika të përbashkëta ose përkojnë.

Le të shqyrtojmë secilin prej këtyre rasteve.

Shembulli 1

Le të zgjidhim sistemin e ekuacioneve:

(2x + y = -11,
(x - 2y = 8.

Zgjidhje.

(y \u003d -3x - 11,
(y \u003d 0,5x - 4.

Koeficientët e pjerrësisë së vijave - grafikët e ekuacioneve të sistemit janë të ndryshëm (-3 dhe 0,5), që do të thotë se vijat ndërpriten.

Koordinatat e pikës së kryqëzimit të tyre janë zgjidhja e këtij sistemi, e vetmja zgjidhje.

Shembulli 2

Le të zgjidhim sistemin e ekuacioneve:

(3x - 2y = 12,
(6x - 4y = 11.

Zgjidhje.

Duke u shprehur nga çdo ekuacion y në terma x, marrim sistemin:

(y \u003d 1,5x - 6,
(y \u003d 1,5x - 2,75.

Linjat y \u003d 1.5x - 6 dhe y \u003d 1.5x - 2.75 kanë pjerrësi të barabarta, që do të thotë se këto linja janë paralele, dhe vija y \u003d 1.5x - 6 kryqëzon boshtin y në pikën (0; - 6), dhe rreshti y \u003d 1.5x - 2.75 - në pikën (0; -2.75), prandaj, linjat nuk kanë pika të përbashkëta. Prandaj, sistemi i ekuacioneve nuk ka zgjidhje.

Fakti që ky sistem nuk ka zgjidhje mund të vërtetohet duke argumentuar si më poshtë. Duke shumëzuar të gjithë termat e ekuacionit të parë me 2, marrim ekuacionin 6x - 4y = 24.

Duke e krahasuar këtë ekuacion me ekuacionin e dytë të sistemit, shohim se pjesët e majta të ekuacioneve janë të njëjta, prandaj, për të njëjtat vlera të x dhe y, ato nuk mund të marrin vlera të ndryshme (24 dhe 11). Prandaj, sistemi

(6x - 4vj \u003d 24,
(6x - 4y = 11.

nuk ka zgjidhje, që do të thotë se sistemi nuk ka zgjidhje

(3x - 2y = 12,
(6x - 4y = 11.

Shembulli 3

Le të zgjidhim sistemin e ekuacioneve:

(5x - 7y = 16,
(20x - 28y = 64.

Zgjidhje.

Duke pjesëtuar çdo term të ekuacionit të dytë me 4, marrim sistemin:

(5x - 7y = 16,
(5x - 7y = 16,

i përbërë nga dy ekuacione identike. Grafikët e këtyre ekuacioneve përkojnë, kështu që koordinatat e çdo pike në grafik do të kënaqin secilin prej ekuacioneve të sistemit, domethënë do të jenë zgjidhja e sistemit. Kjo do të thotë se ky sistem ka një numër të pafund zgjidhjesh.

Nëse në çdo ekuacion të një sistemi prej dy ekuacionesh lineare me dy ndryshore, të paktën njëri nga koeficientët e ndryshores nuk është i barabartë me zero, atëherë sistemi ose ka vetëm vendim ose ka pafundësisht shumë zgjidhje.

blog.site, me kopjim të plotë ose të pjesshëm të materialit, kërkohet një lidhje me burimin.

te detyrat me parametër përfshijnë, për shembull, kërkimin e zgjidhjeve për ekuacionet lineare dhe kuadratike në pamje e përgjithshme, studimi i ekuacionit për numrin e rrënjëve të disponueshme në varësi të vlerës së parametrit.

Pa dhënë përkufizime të hollësishme, merrni parasysh ekuacionet e mëposhtme si shembuj:

y = kx, ku x, y janë variabla, k është një parametër;

y = kx + b, ku x, y janë variabla, k dhe b janë parametra;

ax 2 + bx + c = 0, ku x janë variabla, a, b dhe c janë parametra.

Të zgjidhësh një ekuacion (pabarazi, sistem) me një parametër do të thotë, si rregull, të zgjidhësh një grup të pafund ekuacionesh (pabarazi, sisteme).

Detyrat me një parametër mund të ndahen me kusht në dy lloje:

a) kushti thotë: zgjidhni ekuacionin (pabarazinë, sistemin) - kjo do të thotë, për të gjitha vlerat e parametrit, gjeni të gjitha zgjidhjet. Nëse të paktën një rast mbetet i paeksploruar, një zgjidhje e tillë nuk mund të konsiderohet e kënaqshme.

b) kërkohet të tregohen vlerat e mundshme të parametrit për të cilin ekuacioni (pabarazia, sistemi) ka veti të caktuara. Për shembull, ka një zgjidhje, nuk ka zgjidhje, ka zgjidhje që i përkasin intervalit, etj. Në detyra të tilla, është e nevojshme të tregohet qartë se në cilën vlerë të parametrit plotësohet kushti i kërkuar.

Parametri, duke qenë një numër fiks i panjohur, ka, si të thuash, një dualitet të veçantë. Para së gjithash, duhet të merret parasysh se fama e supozuar sugjeron që parametri duhet të perceptohet si një numër. Së dyti, liria për të trajtuar një parametër është e kufizuar nga e panjohura e tij. Kështu, për shembull, operacionet e pjesëtimit me një shprehje në të cilën ka një parametër ose nxjerrja e rrënjës së një shkalle çift nga një shprehje e tillë kërkojnë studimet paraprake. Prandaj, duhet pasur kujdes në trajtimin e parametrit.

Për shembull, për të krahasuar dy numra -6a dhe 3a, duhet të merren parasysh tre raste:

1) -6a do të jetë më e madhe se 3a nëse a është një numër negativ;

2) -6a = 3a në rastin kur a = 0;

3) -6a do të jetë më pak se 3a nëse a është një numër pozitiv 0.

Vendimi do të jetë përgjigja.

Le të jepet ekuacioni kx = b. Ky ekuacion është stenografi për një grup të pafund ekuacionesh në një ndryshore.

Kur zgjidhen ekuacione të tilla, mund të ketë raste:

1. Le të jetë k ndonjë numër real jozero dhe b është çdo numër nga R, atëherë x = b/k.

2. Le të jetë k = 0 dhe b ≠ 0, ekuacioni origjinal do të marrë formën 0 · x = b. Natyrisht, ky ekuacion nuk ka zgjidhje.

3. Le të jenë k dhe b numra të barabartë me zero, atëherë kemi barazinë 0 · x = 0. Zgjidhja e tij është çdo numër real.

Algoritmi për zgjidhjen e këtij lloj ekuacioni:

1. Përcaktoni vlerat e "kontrollit" të parametrit.

2. Zgjidheni ekuacionin origjinal për x me vlerat e parametrit që u përcaktuan në paragrafin e parë.

3. Zgjidheni ekuacionin origjinal për x me vlerat e parametrave që ndryshojnë nga ato të zgjedhura në paragrafin e parë.

4. Përgjigjen mund ta shkruani në formën e mëposhtme:

1) kur ... (vlera e parametrit), ekuacioni ka rrënjë ...;

2) kur ... (vlera e parametrit), nuk ka rrënjë në ekuacion.

Shembulli 1

Zgjidheni ekuacionin me parametrin |6 – x| = a.

Zgjidhje.

Është e lehtë të shihet se këtu një ≥ 0.

Sipas rregullit të modulit 6 – x = ±a, shprehim x:

Përgjigje: x = 6 ± a, ku a ≥ 0.

Shembulli 2

Zgjidheni ekuacionin a(x - 1) + 2(x - 1) = 0 në lidhje me ndryshoren x.

Zgjidhje.

Le të hapim kllapat: sëpatë - a + 2x - 2 \u003d 0

Le ta shkruajmë ekuacionin në formë standarde: x(a + 2) = a + 2.

Nëse shprehja a + 2 nuk është zero, d.m.th. nëse a ≠ -2, kemi zgjidhjen x = (a + 2) / (a ​​+ 2), d.m.th. x = 1.

Nëse a + 2 është e barabartë me zero, d.m.th. a \u003d -2, atëherë kemi barazinë e saktë 0 x \u003d 0, prandaj x është çdo numër real.

Përgjigje: x \u003d 1 për një ≠ -2 dhe x € R për një \u003d -2.

Shembulli 3

Zgjidheni ekuacionin x/a + 1 = a + x në lidhje me ndryshoren x.

Zgjidhje.

Nëse a \u003d 0, atëherë e transformojmë ekuacionin në formën a + x \u003d a 2 + sëpatë ose (a - 1) x \u003d -a (a - 1). Ekuacioni i fundit për a = 1 ka formën 0 · x = 0, pra, x është çdo numër.

Nëse a ≠ 1, atëherë ekuacioni i fundit do të marrë formën x = -a.

Kjo zgjidhje mund të ilustrohet në vijën e koordinatave (Fig. 1)

Përgjigje: nuk ka zgjidhje për a = 0; x - çdo numër në a = 1; x \u003d -a me një ≠ 0 dhe a ≠ 1.

Metoda grafike

Konsideroni një mënyrë tjetër për të zgjidhur ekuacionet me një parametër - grafik. Kjo metodë përdoret mjaft shpesh.

Shembulli 4

Sa rrënjë, në varësi të parametrit a, ka ekuacioni ||x| – 2| = a?

Zgjidhje.

Për zgjidhje metodë grafike vizatimi i funksioneve y = ||x| – 2| dhe y = a (Fig. 2).

Vizatimi tregon qartë rastet e mundshme të vendndodhjes së drejtëzës y = a dhe numrin e rrënjëve në secilën prej tyre.

Përgjigje: ekuacioni nuk do të ketë rrënjë nëse a< 0; два корня будет в случае, если a >2 dhe a = 0; ekuacioni do të ketë tre rrënjë në rastin a = 2; katër rrënjë - në 0< a < 2.

Shembulli 5

Për të cilin a është ekuacioni 2|x| + |x – 1| = a ka një rrënjë të vetme?

Zgjidhje.

Le të vizatojmë grafikët e funksioneve y = 2|x| + |x – 1| dhe y = a. Për y = 2|x| + |x - 1|, duke zgjeruar modulet me metodën e hendekut, marrim:

(-3x + 1, në x< 0,

y = (x + 1, për 0 ≤ x ≤ 1,

(3x – 1, për x > 1.

Në Figura 3 shihet qartë se ekuacioni do të ketë një rrënjë unike vetëm kur a = 1.

Përgjigje: a = 1.

Shembulli 6

Përcaktoni numrin e zgjidhjeve të ekuacionit |x + 1| + |x + 2| = a në varësi të parametrit a?

Zgjidhje.

Grafiku i funksionit y = |x + 1| + |x + 2| do të jetë një vijë e thyer. Kulmet e tij do të vendosen në pikat (-2; 1) dhe (-1; 1) (foto 4).

Përgjigje: nëse parametri a është më i vogël se një, atëherë ekuacioni nuk do të ketë rrënjë; nëse a = 1, atëherë zgjidhja e ekuacionit është një grup i pafund numrash nga intervali [-2; -një]; nëse vlerat e parametrit a janë më të mëdha se një, atëherë ekuacioni do të ketë dy rrënjë.

A keni ndonjë pyetje? Nuk dini si të zgjidhni ekuacionet me një parametër?
Për të marrë ndihmë nga një mësues -.
Mësimi i parë është falas!

blog.site, me kopjim të plotë ose të pjesshëm të materialit, kërkohet një lidhje me burimin.

Nëse sistemi

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2,

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m . (5.1)

rezultoi të jetë konsistente, d.m.th. matricat e sistemit A dhe matrica e sistemit të zgjeruar (me një kolonë termash të lirë) A|b kanë të njëjtën rang, atëherë mund të shfaqen dy mundësi - a) r = n; b) r< n:

a) nëse r = n, atëherë kemi n ekuacione të pavarura me n të panjohura, dhe përcaktorja D e këtij sistemi është e ndryshme nga zero. Një sistem i tillë ka një zgjidhje unike të përftuar nga ;

b) nëse r< n, то число независимых уравнений меньше числа неизвестных.

Të panjohurat shtesë x r+1 , x r+2 ,..., x n , të cilat zakonisht quhen të lira, i zhvendosim në anën e djathtë; sistemi ynë i ekuacioneve lineare do të marrë formën:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1r x r = b 1 - a 1, r+1 x r+1 -... - a 1n x n,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2r x r = b 2 - a 2, r+1 x r+1 -... - a 2n x n,

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

a r1 x 1 + a r2 x 2 +... + a rr x r = b r - a r , r+1 x r+1 -... - a rn x n.

Mund të zgjidhet për x 1 , x 2 ,..., x r , pasi përcaktorja e këtij sistemi (rendi rth) është jozero. Duke u dhënë vlera numerike arbitrare të panjohurave të lira, ne marrim, me formulat e Cramer-it, vlerat numerike përkatëse për x 1, x 2,..., x r. Kështu, për r< n имеем бесчисленное множество решений.

Sistemi (5.1) quhet homogjene, nëse të gjitha b i = 0, d.m.th. duket si:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = 0, a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = 0, (5.5) ... ... . .. ... ... ... a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = 0.

Nga teorema Kronecker-Capelli rrjedh se ajo është gjithmonë e qëndrueshme, pasi shtimi i një kolone me zero nuk mund të rrisë gradën e një matrice. Kjo, megjithatë, mund të shihet edhe drejtpërdrejt - sistemi (5.5) sigurisht që ka një zgjidhje zero, ose të parëndësishme, x 1 = x 2 =... = x n = 0. Le të ketë matricën A të sistemit (5.5) renditjen r. Nëse r = n, atëherë zgjidhja zero do të jetë e vetmja zgjidhje e sistemit (5.5); në r< n система обладает решениями, отличными от нулевого, и для их разыскания применяют тот же прием, как и в случае произвольной системы уравнений. Всякий ненулевой вектор - столбец X= (x 1 , x 2 ,..., x n) T называется vektorin e vet transformim linear (matricë katrore A ), nëse ka një numër λ i tillë që barazia

Numri λ quhet eigenvlera e transformimit linear (matricat A ), që i përgjigjet vektorit X. Matrica A ka rend n. Në ekonominë matematikore, të ashtuquajturat matricat prodhuese. Është vërtetuar se matrica A është produktive nëse dhe vetëm nëse të gjitha eigenvlerat e matricës A janë më të vogla se një në vlerë absolute. Për të gjetur eigenvlerat e matricës A, ne rishkruajmë barazinë AX = λX në formën (A - λE)X = 0, ku E është matrica e identitetit të rendit të n-të ose në formën e koordinatave:

(a 11 -λ)x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n =0,

a 21 x 1 + (a 22 -λ)x 2 +... + a 2n x n = 0, (5.6)

... ... ... ... ... ... ... ... ... a n1 x 1 + a n2 x 2 +... + (a nn -λ)x n = 0 .

Mori një sistem linear ekuacionet homogjene, i cili ka zgjidhje jozero nëse dhe vetëm nëse përcaktorja e këtij sistemi është e barabartë me zero, d.m.th.

Ne morëm një ekuacion të shkallës së n-të në lidhje me të panjohurën λ, i cili quhet ekuacioni karakteristik i matricës A, polinomi quhet polinomi karakteristik i matricës A, dhe rrënjët e saj janë numrat karakteristikë, ose eigenvlerat, të matricës A. Për të gjetur eigenmatricat A në ekuacioni vektorial(A - λE)X = 0 ose sistemi përkatës i ekuacioneve homogjene (5.6) duhet të zëvendësohet me vlerat e gjetura të λ dhe të zgjidhet në mënyrën e zakonshme. Shembulli 2.16. Hetoni një sistem ekuacionesh dhe zgjidhni nëse është i qëndrueshëm.

x 1 + x 2 - 2x 3 - x 4 + x 5 =1, 3x 1 - x 2 + x 3 + 4x 4 + 3x 5 =4, x 1 + 5x 2 - 9x 3 - 8x 4 + x 5 =0 .

Zgjidhje. Ne do të gjejmë radhët e matricave A dhe A|b me metodën e transformimeve elementare, duke e reduktuar njëkohësisht sistemin në një formë hap pas hapi:

Natyrisht, r(A) = r( A|b) = 2. Sistemi origjinal është i barabartë me sa vijon reduktuar në një formë shkallëzore:

x 1 + x 2 - 2x 3 - x 4 + x 5 = 1, - 4x 2 + 7x 3 + 7x 4 = 1.

Që nga përcaktorja për të panjohurën x 1 dhe x2është i ndryshëm nga zero, atëherë ato mund të merren si kryesore dhe sistemi mund të rishkruhet në formën:

x 1 + x 2 = 2x 3 + x 4 - x 5 + 1, - 4x 2 = - 7x 3 - 7x 4 + 1,

Nga rrjedh x 2 \u003d 7/4 x 3 + 7/4 x 4 -1/4, x 1 \u003d 1/4 x 3 -3/4 x 4 - x 5 + 5/4 - zgjidhja e përgjithshme e një sistemi që ka një numër të pafund zgjidhjesh. Duke i dhënë falas të panjohurës x 3, x 4, x 5 vlerat numerike specifike, do të marrim zgjidhje të veçanta. Për shembull, në x 3 = x 4 = x 5 = 0 x 1 = 5/4, x 2 = - 1/4. Vektori C(5/4, - 1/4, 0, 0, 0) është një zgjidhje e veçantë e këtij sistemi. Shembulli 2.17. Eksploroni sistemin e ekuacioneve dhe gjeni zgjidhjen e përgjithshme në varësi të vlerës së parametrit a.

2x 1 - x 2 + x 3 + x 4 = 1, x 1 + 2x 2 - x 3 + 4x 4 = 2, x 1 + 7x 2 - 4x 3 + 11x 4 = a.

Zgjidhje. Ky sistem korrespondon me matricën . Kemi A~

Prandaj, sistemi origjinal është i barabartë me:

x 1 + 2x 2 - x 3 + 4x 4 = 2,

5x2 - 3x3 + 7x4 = a-2,

Kjo tregon se sistemi është konsistent vetëm për a=5. Zgjidhja e përgjithshme në këtë rast është:

x 2 \u003d 3/5 + 3/5x 3 - 7/5x 4, x 1 \u003d 4/5 - 1/5x 3 - 6/5x 4.

Shembull 2.18. Zbuloni nëse sistemi i vektorëve do të jetë i varur në mënyrë lineare:

a 1 =(1, 1, 4, 2),

a 2 = (1, -1, -2, 4),

a 3 = (0, 2, 6, -2),

a 4 =(-3, -1, 3, 4),

a 5 =(-1, 0, - 4, -7),

Zgjidhje. Një sistem vektorësh është i varur në mënyrë lineare nëse ka numra të tillë x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , prej të cilave të paktën një është i ndryshëm nga zero
(shih pikën 1, seksioni I) që barazia e vektorit vlen:

x 1 a 1 + x2 a 2+x3 a 3 + x4 a 4+x5 a 5 = 0.

Në shënimin koordinativ, është ekuivalent me sistemin e ekuacioneve:

x 1 + x 2 - 3x 4 - x 5 = 0, x 1 - x 2 + 2x 3 - x 4 = 0, 4x 1 - 2x 2 + 6x 3 +3x 4 - 4x 5 = 0, 2x 1 + 4x 2 - 2x 3 + 4x 4 - 7x 5 = 0.

Pra, kemi marrë një sistem ekuacionesh lineare homogjene. Ne e zgjidhim atë duke eliminuar të panjohurat:

Sistemi reduktohet në një formë shkallëzore, e barabartë me 3, që do të thotë se sistemi homogjen i ekuacioneve ka zgjidhje që janë të ndryshme nga zero (r< n). Определитель при неизвестных x 1, x 2, x 4është i ndryshëm nga zero, kështu që ato mund të zgjidhen si kryesore dhe sistemi mund të rishkruhet në formën:

x 1 + x 2 - 3x 4 = x 5, -2x 2 + 2x 4 = -2x 3 - x 5, - 3x 4 = - x 5.

Ne kemi: x 4 \u003d 1/3 x 5, x 2 \u003d 5/6x 5 + x 3, x 1 \u003d 7/6 x 5 -x 3. Sistemi ka një numër të pafund zgjidhjesh; nëse të panjohurat e lira x 3 dhe x5 nuk janë të barabarta me zero në të njëjtën kohë, atëherë të panjohurat kryesore janë gjithashtu të ndryshme nga zero. Prandaj, ekuacioni i vektorit

x 1 a 1 + x2 a 2+x3 a 3 + x4 a 4+x5 a 5 = 0

Teorema. Një sistem ekuacionesh lineare është konsistent vetëm nëse rangu i matricës së shtuar e barabartë me gradën matricën e sistemit.

Sistemet e ekuacioneve lineare

Bashkim r(A)=r() i papajtueshëm r(A)≠r().

Kështu, sistemet e ekuacioneve lineare kanë ose një numër të pafund zgjidhjesh, ose një zgjidhje, ose nuk kanë fare zgjidhje.

Fundi i punës -

Kjo temë i përket:

Transformimet elementare të matricës. Metoda e Cramer-it. Përkufizimi i vektorit

Dy elemente të një ndërrimi formojnë një përmbysje nëse elementi më i madh i paraprin më të voglit në shënimin e ndërrimit.. ka n permutacione të ndryshme të shkallës së nëntë nga n numra. Le ta vërtetojmë këtë.. ndërrimi quhet edhe nëse numri i përgjithshëm i përmbysjeve është një numër çift dhe, në përputhje me rrethanat, tek nëse..

Nëse keni nevojë për materiale shtesë për këtë temë, ose nuk keni gjetur atë që po kërkoni, ju rekomandojmë të përdorni kërkimin në bazën e të dhënave tona të veprave:

Çfarë do të bëjmë me materialin e marrë:

Nëse ky material doli të jetë i dobishëm për ju, mund ta ruani në faqen tuaj në rrjetet sociale:

cicëroj

Të gjitha temat në këtë seksion:

Teorema Kronecker-Capelli
Konsideroni një sistem ekuacionesh lineare me n të panjohura: Krijoni një matricë dhe një matricë të shtuar

Koncepti i një sistemi homogjen ekuacionesh lineare
Një sistem ekuacionesh lineare në të cilin të gjithë termat e lirë janë të barabartë me 0, d.m.th. sistemi i specieve quhet homogjen

Vetia e tretësirave të një SLE homogjene
Një kombinim linear i zgjidhjeve për një sistem homogjen ekuacionesh është në vetvete një zgjidhje për këtë sistem. x=dhe y=

Lidhja ndërmjet zgjidhjeve të sistemeve homogjene dhe johomogjene të ekuacioneve lineare
Konsideroni të dy sistemet: I dhe

Një qasje aksiomatike për përcaktimin e një hapësire lineare
Më parë, koncepti i një hapësire vektoriale n-dimensionale u prezantua si një koleksion sistemesh të renditura të numrave n-realë, për të cilët u prezantuan operacionet e mbledhjes dhe shumëzimit me një numër real.

Pasojat nga aksiomat
1. Unike e vektorit zero 2. Unike e vektorit te kundert

Prova e Pasojave
1. Supozoni se. -i pavlefshëm

Baza. Dimensioni. Koordinatat
Përkufizimi 1. Baza e një hapësire lineare L është një sistem elementësh që i përkasin L që plotëson dy kushte: 1) sistemi

Madhësia: px

Filloni përshtypjen nga faqja:

transkript

1 1 Numri i zgjidhjeve të sistemit të ekuacioneve Metoda dinamike grafike Për të gjetur numrin e zgjidhjeve të një sistemi ekuacionesh që përmban një parametër, është i dobishëm truku i mëposhtëm: Ndërtojmë grafikët e secilit prej ekuacioneve për një vlerë të caktuar fikse të parametrit dhe gjeni numrin e pikave te perbashketa te grafikeve te ndertuara.Çdo pike e perbashket eshte nje nga zgjidhjet e sistemit.Pastaj ndryshojme me mendje parametrin dhe imagjinojme sesi transformohet grafiku i ekuacionit me parametrin,si pikat e perbashketa te grafikeve shfaqen dhe zhduken Një studim i tillë kërkon një imagjinatë të zhvilluar Për të trajnuar imagjinatën, merrni parasysh një sërë detyrash tipike që prekin njëra-tjetrën ose pika e këndit të njërit prej grafikëve bie në një grafik tjetër Si rregull, kur kaloni nëpër një pikë njëjës, numri i zgjidhjeve ndryshon me dy, dhe në një pikë të tillë vetë ai ndryshon me një nga numri i zgjidhjeve me një ndryshim të vogël në n Parametri Konsideroni problemet në të cilat kërkohet të gjendet numri i zgjidhjeve të një sistemi ekuacionesh, njëra prej të cilave varet nga parametri a dhe tjetra nuk varet Variablat në sistemet x dhe y Ne konsiderojmë numrat xi, yi, r të jepen konstante Gjatë secilës zgjidhje, ndërtojmë grafikët e të dy ekuacioneve Hulumtojmë se si ndryshon grafiku i ekuacionit me një parametër kur ndryshon vlera e parametrit Më pas nxjerrim një përfundim për numrin e zgjidhjeve (pikat e përbashkëta i grafikëve të ndërtuar) Në figurën ndërvepruese me ngjyrë blu paraqitet grafiku i ekuacionit pa parametër dhe me të kuqe grafiku dinamik i ekuacionit me parametër Për të studiuar temën (detyrat 1 7 ) përdorni skedarin InMA 11. , 5 Numri i zgjidhjeve të sistemit me parametër Për kërkimin (detyra 8) përdorni skedarin GInMA Numri i zgjidhjeve të sistemit me parametrin (x x0) + (y y0) = r ; 1 Gjeni numrin e zgjidhjeve të sistemit (x x1) + y = a (x x0) + (y y 0) = r ; Gjeni numrin e zgjidhjeve të sistemit y = kx + a (x x0) + (y y0) = r ; 3 Gjeni numrin e zgjidhjeve të sistemit y = ax + y1 (x x0) + (y y0) = r ; 4 Gjeni numrin e zgjidhjeve të sistemit (x x1) + y = a (x x0) + y y0 = r ; 5 Gjeni numrin e zgjidhjeve të sistemit (x x0) + (y y0) = a (x x0) + (y y0) = r ; 6 Gjeni numrin e zgjidhjeve të sistemit y = x a + y1 x x0 + y y0 = r; 7 Gjeni numrin e zgjidhjeve të sistemit (x x0) + (y y0) = a f (x, y) = 0; g (x, y, a) = 0 8 Gjeni numrin e zgjidhjeve të sistemit VV Shelomovsky Bashkësi tematike, cmdru/

2 1 Grafikët e ekuacioneve kurba të lëmuara (x x0) + (y y0) = r ; 1 Detyrë Gjeni numrin e zgjidhjeve të sistemit (x x1) + y \u003d një Zgjidhje: Grafiku i ekuacionit të parë është një rreth me rreze r me qendër në pikën O (x0; y0) Grafiku i ekuacionit të dytë është një rreth me rreze a i përqendruar në boshtin x në pikën A (x1 ; 0) Qendra e rrethit është e fiksuar, rrezja përcakton parametrin Kur moduli i parametrit rritet, rrethi "fryhet" Vlerat e veçanta të parametrit janë ato vlera në të cilat ndryshon numri i rrënjëve, domethënë vlerat e parametrit në të cilin rrethi i grafikut të dytë prek rrethin e të parit Kushti që rrathët të prekin modulin e shumës ose rrezeve të diferencës së rrathëve është e barabartë me distancën nga qendra në qendër: a ± r = AO a = ± AO ± r Hetimi: Duke ndryshuar vlerën e ndryshoreve dhe parametrit, gjeni numrin e zgjidhjeve për sistemi kur boshti i përbashkët i rrathëve është vertikal Në përgjithësi, përdorni trekëndëshat e Pitagorës Për shembull, x0 x1 = 3, y0 = ±4 moduli, dhe për vlera të mëdha të parametrit, nuk ka zgjidhje Meqenëse dy rrathë që nuk përputhen mund të kenë jo më shumë se dy pika të përbashkëta, numri i zgjidhjeve në rastin e përgjithshëm nuk është më shumë se dy në pikat e kontaktit , numri i zgjidhjeve është i barabartë me një, me vlera të ndërmjetme të parametrit dy parametri për të cilin tre pika të ndryshme (x 1) + (y y0) = 9; janë zgjidhje të sistemit të ekuacioneve (x x1) + y = a (x x0) + (y y0) = r ; Detyrë Gjeni numrin e zgjidhjeve të sistemit y \u003d kx + a Zgjidhje: Grafiku i ekuacionit të parë është një rreth me rreze r me qendër në pikën O (x0; y0) Grafiku i ekuacionit të dytë është një familje paralele vijat që kalojnë nëpër pikat A (0; a) dhe kanë një pjerrësi konstante Tangjentja e këndit të prirjes së vijave të drejta është e barabartë me k Me rritjen e parametrit, vijat e drejta lëvizin lart Vlerat e veçanta të parametrave janë ato vlera. në të cilën ndryshon numri i rrënjëve, domethënë vlerat e parametrave në të cilat vijat e drejta prekin rrethin Gjendja e tangjences gjendet duke barazuar tangjentet e këndit të prirjes së rrethit dhe vijës së drejtë cmdru/

3 3 Duke zgjidhur ekuacionin që rezulton, gjejmë koordinatat e dy pikave të prekjes: kr x = x0 ± ; x0 x 1 + k = k k (y y0) + (y y0) = r r y y0 y = y0 1+ k : Duke ndryshuar vlerën e variablave dhe parametrit, gjeni numrin e zgjidhjeve të sistemit.Është e dëshirueshme që të filloni studimin me rastin më të thjeshtë k = 0, kur drejtëzat janë paralele me boshtin x. Më pas merrni parasysh rastet kur nxirret rrënja (për shembull, k = 3), kushtojini vëmendje rastit popullor k = 1. Për vlerat e vogla dhe të mëdha të parametrit nuk ka zgjidhje Meqenëse një vijë e drejtë dhe një rreth mund të kenë jo më shumë se dy pika të përbashkëta, numri i zgjidhjeve nuk është më shumë se dy Për vlerat e parametrave që korrespondojnë me tangjencën, numri i zgjidhjeve është një, për vlerat e ndërmjetme të parametrit dy Detyrë krijuese Dihet se ky sistem ekuacionesh nuk ka më shumë se një zgjidhje Gjeni vlerën e parametrit për të cilin sistemi i ekuacioneve ka zgjidhje: (x) + (y 3) = r; y = x + a (x x0) + (y y0) = r ; 3 Gjeni numrin e zgjidhjeve të sistemit y \u003d ax + y1 Zgjidhja: Grafiku i ekuacionit të parë është një rreth me rreze r me qendër në pikën O (x0; y0) Grafiku i ekuacionit të dytë është një familje rreshtash duke kaluar nëpër pikën A (0; y1) Tangjentja e pjerrësisë së vijave (a) përcakton vlerën e parametrit Ndërsa parametri rritet, këndi midis grafikut dhe drejtimit pozitiv të abshisës rritet. Vlera të veçanta të parametrit janë ato vlera në të cilat ndryshon numri i rrënjëve, domethënë vlerat e parametrave në të cilat vijat prekin rrethin Nëse pika A (0; y1) është brenda rrethit, atëherë çdo vijë e drejtë e mundshme e pret rrethin ne dy pika.Kushti i tangjences gjendet duke barazuar tangjentet e prirjes se rrethit dhe drejtes.Duke zgjidhur ekuacionin qe rezulton gjejme koordinatat e dy pikave tangjente: VV Shelomovsky

4 4 ar x = x0 ± ; x0 x 1 + a = a a (y y0) + (y y0) = r r y y0 y = y0 1+ a vlerat njëjës të parametrit a = ± r Nëse y0 = y1, x0 r, atëherë vlerat njëjës të parametri a = ± (y1 y 0) r r x0 Nëse x0 = ± r, atëherë rrethi prek vijën vertikale që kalon nëpër pikën r (y1 y 0) A(0; y1) dhe vlerën e parametrit a = Në raste të tjera x0 (y1 y 0) a= x0 (y 0 y1) ± r (x0 + (y 0 y1) r) r x0 Hulumtimi: Ndryshimi i vlerës së variablave dhe parametrit, gjetja e numrit të zgjidhjeve të sistemit Është e dëshirueshme të fillohet studimi me rastin më të thjeshtë y0 = y1, x0< r, когда точка А(0; у1) внутри окружности и число решений всегда равно двум Рассмотрите случай х0 = r, когда число решений легко найти (х0 = r =, y0 = 3, y1 =) Затем рассмотрите случаи, когда корень хорошо извлекается (например, х0 = 3, y0 = 4, r =, y1 =) Поскольку прямая и окружность могут иметь не более двух общих точек, число решений не более двух При значениях параметра, соответствующих касанию, число решений равно единице, при остальных значениях параметра нулю или двум (x + 3) + (y 5) = r ; при всех y = ax + 1 Творческое задание Известно, что система уравнений значениях параметра, кроме одного, имеет два решения Найдите то значение параметра, при котором система уравнений имеет единственное решение (x x0) + (y y0) = r ; 4 Задание Найдите число решений системы (x x1) + y = a Решение: В ходе решения строим графики каждого из уравнений и исследуем число общих точек построенных графиков График первого уравнения это пара окружностей одинакового радиуса r Центры окружностей O и Q имеют одинаковую ординату y0 и ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

5 5 abshisa me të njëjtin modul por të ndryshme në shenjë ±x0 Grafikët janë paraqitur në ngjyrë blu dhe vjollcë. parametri janë ato vlera në të cilat ndryshon numri i rrënjëve, domethënë vlerat e parametrit në të cilin rrethi i grafikut të dytë prek rrathët e të parit. Kushtet për prekjen e shumës ose ndryshimit të rrezeve i rrathëve është i barabartë me distancën qendër në qendër: a ± r = AO, a ± r = AQ Hetimi: Duke ndryshuar vlerën e variablave dhe parametrit, gjeni numrin e zgjidhjeve për vlerat e sistemit për një distancë nga qendra në qendër (për shembull, x0 = 6, y0 = 3, r = 3, x1 =) Në mënyrë tipike, për modul të vogël dhe vlera të mëdha të parametrit, nuk ka zgjidhje. Në pikat e kontaktit , numri i rrënjëve është tek, në pikat e tjera numri i rrënjëve është çift ( x 6) + (y y 0) = r; Detyrë krijuese Dihet se sistemi i ekuacioneve për (x x1) + y = a ka saktësisht dy zgjidhje për një vlerë të caktuar të parametrit. Në këtë vlerë të parametrit, grafikët prekin Gjeni këtë vlerë të parametrit (x x0 ) + y y0 = r; 5 Gjeni numrin e zgjidhjeve të sistemit (x x0) + (y y0) = a Zgjidhje: Grafiku i ekuacionit të parë përbëhet nga një çift parabolash që takohen në y = y0 Ekuacionet e parabolave ​​y = y0 ± (r ( x x0)) Ata kanë një bosht simetrie horizontale y = y0, boshti vertikal i simetrisë x = x0 Qendra e pikës së simetrisë (x0, y0) Grafiku i dytë është një rreth me rreze a, qendra e të cilit ndodhet në qendër të simetrisë së parabolave ​​Numri i rrënjëve ndryshon në një vlerë të tillë të parametrit. se rrethi i grafikut të dytë prek kulmet e parabolave ​​Në pikën e kontaktit: x = x0, y = y0 ± r = y = y0 ± а, pra, а = ± r një ndryshore: (y y 0) = a (x x0) = (r (x x0)) Ky është një ekuacion kuadratik për (x x 0) Ai ka një rrënjë nëse diskriminuesi është zero: VV Shelomovsky Bashkësi tematike, cmdru/

6 6 D = (r 0,5) (r a) = 0, a = ± r 1 4 Numri i rrënjëve ndryshon në një vlerë të tillë të parametrit në të cilin rrethi dhe parabola kryqëzohen në pikat e ndërprerjes së grafikut të parë, që është, në y = y0 Hulumtim : Duke ndryshuar vlerën e variablave dhe parametrit, gjeni numrin e zgjidhjeve të sistemit Përdorni vlerat r = 1, 4 dhe 9 Vini re se parametrat x0 dhe y0 nuk ndikojnë në përgjigja e problemit Për vlerat e vogla dhe të mëdha të parametrit, nuk ka zgjidhje x x0 + y y0 = r; 6 Gjeni numrin e zgjidhjeve të sistemit (x x0) + (y y0) = a Zgjidhje: Grafiku i ekuacionit të parë është një katror i prirur në një kënd prej 45 ndaj boshteve të koordinatave, gjatësia e gjysmës së diagonales së që është r Grafiku i dytë është një rreth me rreze a, qendra e të cilit ndodhet në qendër simetria e katrorit Numri i rrënjëve ndryshon në vlerën e parametrit në të cilin rrethi kalon nëpër kulmet e katrorit Në këtë rasti, y = y0, a = ±r Numri i rrënjëve ndryshon në vlerën e parametrit në të cilin rrethi prek nga brenda anët e katrorit Për të gjetur këtë vlerë, kalojmë nga një sistem ekuacionesh në një ekuacion me një ndryshore. : (y y 0) = a (x x0) = (r x x0) Ky është një ekuacion kuadratik për x x 0 Ai ka një rrënjë nëse diskriminuesi është zero Në këtë rast a = ± r Rrezja e rrethit në këtë rast i referohet rrezja në rastin e mëparshëm, si mëkat 45: 1 VV Shelomovsky Komplete tematike, cmdru/

7 7 (x x0) + (y y0) = r ; 7 Gjeni numrin e zgjidhjeve të sistemit y \u003d x a + y1 Grafiku i ekuacionit të parë është një rreth me qendër O (x0; y0) Grafiku i ekuacionit të dytë përbëhet nga dy rreze me një fillim të përbashkët - "zog, krahët lart", pjesa e sipërme e grafikut ndodhet në pikën A (a; y1) Numri i rrënjëve ndryshon në vlerën e parametrit në të cilin "krahu" i grafikut të dytë prek rrethin ose shtrihet kulmi i grafikut. në këtë rreth, ky krah prek rrethin në pikat (xk; yk) ashtu që r yk = y0 Kushti i tangjences yk = xk a + y1 a = xk yka + y1= x0 y0 + y1 ± r Meqenëse "krahu" është një rreze që shkon lart , shtohet kushti që ordinata e kulmit të mos jetë më e madhe se ordinata e pikës tangjente, pra y1 yk y0 y1 ± r Në mënyrë të ngjashme, shkruajmë kushtet për tangjencën me "krahun e majtë" Nëse kulmi i grafikut shtrihet në një rreth, atëherë koordinatat e tij plotësojnë ekuacionin e rrethit: (a x0) + (y1 y0) = r lo zgjidhjet e sistemit, pra numri i pikave të përbashkëta të grafikëve Në pikat njëjës, numri i rrënjëve është tek, në pikat e tjera numri i rrënjëve është çift (x) + (y y 0) = r, Detyrë krijuese Dihet se sistemi i ekuacioneve për y = x a + y1, disa parametra vlerash kanë tre zgjidhje Gjeni këtë vlerë të parametrit nëse dihet se ordinatat e dy zgjidhjeve përkojnë f (x, y) = 0; g (x, y, a) = 0 8 Gjeni numrin e zgjidhjeve të sistemit Vendosni vetë funksionet sipas modelit dhe eksploroni numrin e zgjidhjeve VV Shelomovsky Bashkësi tematike, cmdru/

8 8 VV Shelomovsky Komplete tematike, cmdru/

9 9 Detyra С5 (Semyonov Yashchenko) Opsioni 1 Gjeni të gjitha vlerat e a, për secilën prej të cilave grupi i zgjidhjeve të pabarazisë 4 x 1 x+ 3 a 3 është segmenti 3 a 4 x Të menduarit Le të bëjmë transformime x b 1, 1 x b 1, 4 x 1 x+ 3 a x b 3=, b=3 a 3 a 4 x x (x) 0, (x +1) b 1 0 Vijat kufitare të planit x 3a janë: x = 0, x = , x= 3a, x=± 3 a a= (x+ 1) 1 4 Nëse 0 x, atëherë b< 4x, b (x +1) 1 Так как 4x >(x +1) 1, atëherë b (x +1) 1 Nëse 0 > x atëherë b > 4x, (x +1) 1 b Ekziston një zgjidhje për 1 b Për shembull, x = 1 Nëse x > atëherë b > 4x, (x +1) 1 b Që 4x< (x +1) 1, то (x +1) 1 b Значит, решения таковы Если 3а >8, atëherë x [ 3 a + 1 1.0] [, 3 a + 1 1] Nëse 0< 3а < 8, то Если 3а = 0, то х [,0) (0, ] Если 1< 3а < 0, то х [ 3 a +1 1, 3 a+1 1] [ 0, ] Если 1 = 3а, то х 1 } Если 1 >3a, atëherë x Zgjidhje Le të jetë 1 3a Atëherë x = 1 plotëson pabarazinë, 4 x 1 x+ 3 a 16+3 a 3 a 3 = 3 =, një kontradiktë, ky numër është jashtë segmentit 3 a 4 x 3 a+ 4 3 a +4 Le të jetë 1 > 3a Pastaj x b 1, 4 x 1 x+3 a x b 3=, b=3 a< 1 3 a 4 x 1 x b 1, x (x) 0, (x +1) b 1 0 Числа из промежутка 0 х удовлетворяют обоим неравенствам Если x >, atëherë pabarazia e parë nuk është e kënaqur VV Shelomovsky Komplete tematike, cmdru/

10 10 Nëse 0 > x, atëherë b (x +1) 1, pabarazia e dytë nuk plotësohet Përgjigja: 1 > 3a Opsioni 3 Gjeni të gjitha vlerat e a, për secilën prej të cilave ekuacioni a +7 x x + x + 5 ka të paktën një rrënjë = a+ 3 x 4 a +1 Të menduarit Le të f (a, x)=a +7 x x + x +5 a 3 x 4 a+1 pikë njëjës e funksionit x + 1 = 0 Nëse x = 1, atëherë ekuacioni është a +10 a 1 a =0 Është e lehtë të gjenden katër zgjidhjet e tij Është e nevojshme të vërtetohet se funksioni origjinal është gjithmonë më i madh se ky Zgjidhje Le të jetë f (a, x)=a + 7 x x + x +5 a 3 x 4 a+1 Ekuacioni f (a, x)=0 Pastaj f (a, 1)=a +10 a 1 a =0 Diferenca f (a, x) f (a, 1) =7 x +1 +5(x + x +5)+ 3 4 a 3 x 4 a+1 3(x a 4 a x 1) 0 Prandaj, ekuacioni f (a, x)=0 ka rrënjë vetëm nëse f ( a, 1) 0 Ekuacioni f (a, 1)=0 ka katër rrënjë a 1= , a = , a 3= , a 4 = Funksioni f (a, 1) 0 (jo pozitiv) për një Për shembull, nëse a = 10, pra rrënja x) f (a, 1)>0 pa rrënjë Përgjigje: [ 5 15, 5+ 15] Opsioni 5 Gjeni të gjitha vlerat e a, secila prej të cilave ka të paktën një rrënjë ur ekuacioni a +11 x+ +3 x + 4 x +13=5 a+ x a + Përdor funksionin f (a,)=a +9 5 a 4 a =0 dhe pabarazinë f (a, x) f (a,) (x+ + a x a+) 0 Përgjigje: [ , ] Varianti 9 Gjeni numrin e rrënjëve të ekuacionit x + 4x 5 3a = x + a derivati ​​i njërit është më i madh në interval se tjetri Le të jetë ndryshimi i vlerave Nga funksionet në skajin e majtë kanë një shenjë, në skajin e djathtë tjetrin. Atëherë ekuacioni f(x) = g(x) ka saktësisht një rrënjë në intervalin Zgjidhje Shënoni f(x, a) = 3а + x + a, g(x) = x + 4x Ekuacioni f(x, a) = g(x) VV Shelomovsky Bashkësi tematike, cmdru/

11 11 Pikat singulare të funksionit g(x) janë minimale në x = 1 dhe x = 5 dhe maksimumi në x = Vlerat g(1) = g(5) = 1, g() = 10 Funksioni ka një boshti i simetrisë x = 3 At Për vlerat x më të mëdha në modul, funksioni kuadratik g(x) është më i madh se funksioni linear f(x, a) Pjerrësia e funksionit jashtë intervalit [5,1] është i përcaktuar nga derivati ​​(x + 4x 5)" = x për x > 1 Funksioni g(x) për x > 1 rritet në mënyrë monotonike me një faktor më të madh se 6 Për shkak të simetrisë, funksioni g(x) zvogëlohet në mënyrë monotonike me një faktor. më e madhe se 6 në x< 5 Наклон g(x) равен 1 только на промежутке (5, 1) При этом производная (x 4x + 5)" = x 4 = 1 Значит, в точке x = 5 наклон равен 1 Функция f(x, a) = 3а + x + a монотонно убывает с коэффициентом 1 при x + а < 0 и монотонно возрастает с коэффициентом 1 при x + а >0 Vlerat në një numër pikash f(a, a) = 3a, f(5, a) = 3a + 5 a, f(, a) = 3a + a, f(1, a) = 3a + 1 + a Vizatimet f (x, a) dhe g(x) preken nëse pjerrësia e tyre është e barabartë. Prekja është e mundur në x = 5 Në këtë rast, g(x) = 39/4 f(x, a) = 4a + x = 39/4, 4a = 49 /4, a = 49/16 Ne analizojmë rrënjët e ekuacionit f(x, a) = g(x) Nëse a<, f(5, a) = а +5 < 1, f(1, a) = а 1 < 5 f(x, a) < g(x), так как в промежутке 5 < x < 1 f(x, a) < 1 < g(x) Если x >1, g(x) rritet më shpejt se f(x, a), domethënë kudo f(x, a)< g(x) Если x < 5, g(x) убывает быстрее, чем f(x, a), то есть всюду f(x, a) < g(x) Других корней нет Если a =, f(5, a) = 1, f(1, a) = 5 f(5,) = g(5) Один корень х = 5 Во всех других точках f(x, a) < g(x), как и в предыдущем случае Если < a < 0, f(5, a) = а +5 >1, f(1, a) = 4a + 1< 1f(, a) = а + < 10 При x >f(x, a)< g(x), корней нет При x < f(1,a) >1 Në x< 5 быстро убывающая g(x) пересекает медленно убывающую левую ветвь f(x,а), один корень При 5 < x < возрастающая g(x) пересекает убывающую f(x,а), один корень, всего корней два, один при x < 5, второй при 5 < x < Если a = 0, f(5, a) = 5, f(1, a) = 1 f(1, a) = g(1), один корень х = 1 Как и раньше, один корень при x < 5, один корень при 5 < x < Всего корней три Если 0 < a < 3, корней 4, два на левой ветке f(х, a) при x <, два на правой при x >Nëse a = 3, f(3, 3) = 8 = g(3), f(, 3) = 10 = g(), rrënjët 4, një dy në degën e majtë të f(x, a) në x< 5, один в вершине f(х, 3) при x = 3, один в вершине g(x) при x =, один при x >1 Nëse 3< a < 49/16, корней 4, один на левой ветке f(х, a) при x < 5, два на правой ветви g(x) при 3 < x <, один при x >1 Nëse a = 49/16, atëherë numri i rrënjëve është 3, një në degën e majtë të f(x, a) në x< 5, один в точке касания при x = 5, один при x >1 Nëse a > 49/16, atëherë numri i rrënjëve, një në degën e majtë të f(x, a) në x< 5, один на правой при x >1 Përgjigje: nuk ka rrënjë për a< ; один корень при a =, два корня при < a < 0 или 49/16 < a, три корня при a = 0 или а = 49/16, четыре корня при 0 < a < 49/16 ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

12 1 Opsioni 10 Gjeni të gjitha vlerat e parametrit a, për secilën prej të cilave ekuacioni 4x 3x x + a = 9 x 3 ka dy rrënjë Zgjidhje Shënoni f(x, a) = 4x 3x x + a, g(x ) = 9 x 3 Pika njëjës e funksionit g(x) është x = 3 Funksioni zvogëlohet në mënyrë monotonike me një faktor 9 si x< 3 и монотонно возрастает с коэффициентом 9 при x >3 Funksioni f(x, a) është linear pjesë-pjesë me koeficientët 8, 6, ose 0 Prandaj, ai nuk zvogëlohet në x, shpejtësia e tij e rritjes është më e vogël se ajo e degës së djathtë të funksionit 9 x 3 f(3, a) = një Grafik i kësaj shprehja është një polivijë me kulme (1, 1), (3, 3), (6, 1) Vlerat e funksionit janë pozitive për një (4, 18) Kjo rrjedh nga çfarë u gjet nëse f(3, a)< 0, уравнение не может иметь корней, так как g(x) >f(x, a) Nëse f(3, a) = 0, ekuacioni ka saktësisht një rrënjë x = 3 Për x-të e tjerë g(x) > f(x, a) Nëse f(3, a) > 0, ekuacioni ka saktësisht dy rrënjë, një për x< 3, когда пересекаются убывающая ветвь g(x) и монотонно не убывающая f(x, a) Другой при x >3, kur dega me rritje të shpejtë g(x) kryqëzon degën me rritje të ngadaltë f(x, a) Përgjigje: a (4, 18) Opsioni 11 Gjeni të gjitha vlerat e parametrit a, për secilën prej të cilave, për çdo vlerë të parametrit b, ka të paktën një sistem zgjidhjesh ekuacionesh (1+ 3 x)a +(b 4 b+5) y =, x y +(b) x y+ a + a=3 Të menduarit Sistemi duket si (1 + 3 x)a +(1+(b) ) y =, Përshtatshëm x y +(b) x y=4 (a+ 1) a (1+3 x) =1, Zgjidhja x = y = 0 dhe x y =4 (a +1) shihen vlerat përkatëse të parametrave a = 1 dhe a = 3 analizojnë pikën njëjës b = Pastaj (1+ 3 x)a +(1+(b)) y =, x y +(b) x y= 4 (a+ 1) Zgjidhje Ne e shkruajmë sistemin si Zgjidhja x = y = 0 ekziston gjithmonë për a = 1 ose a = 3 Nëse b =, atëherë sistemi ka formën (1+ 3 x)a +1 y =, ose x y =4 (a +1) (1+3 x)a=1, x y =4 (a +1) Nëse a > 1 ose a< 3 система не имеет решений, так как их не имеет второе уравнение Если 1 < a < 3, из второго уравнения получим, что x >0, nga e para gjejmë a = 0 Le të a = 0 Pastaj për b = 4 nga ekuacioni i parë marrim se y = 0 Në këtë rast, ekuacioni i dytë nuk ka zgjidhje Përgjigje: 1 ose 3 VV Shelomovsky Komplete tematike, cmdru /

13 13 Opsioni 14 Gjeni të gjitha vlerat e parametrit, për secilën prej të cilave merr moduli i ndryshimit të rrënjëve të ekuacionit x 6x a 4a = 0 vlerën më të lartë Zgjidhje Le të shkruajmë ekuacionin në formën (x 3) = 1 (a) Zgjidhja e tij = 0 për shkak të periodicitetit të funksioneve të sinusit dhe kosinusit, problema mund të zgjidhet për segmentin x=3± 1 (a) Më i madhi diferenca e rrënjëve është e barabartë me a = Përgjigje: Opsioni 15 Gjeni të gjitha vlerat e parametrit, për secilën prej të cilave ekuacioni (4 4 k) sin t =1 ka të paktën një zgjidhje në segmentin [ 3 π ; 5 π ] cos t 4 sin t Zgjidhje Për shkak të periodicitetit të funksioneve të sinusit dhe kosinusit, problemi mund të zgjidhet për segmentin t [π ; 15 π ], pastaj nga secila zgjidhje e përftuar zbres 4π. Shndërroje ekuacionin në formën + 4 k sin t cos t \u003d 0 cos t 4 sin t Në segmentin t [ π ; 15 π] sinusi zvogëlohet në mënyrë monotonike nga zero në minus një, kosinusi rritet në mënyrë monotonike nga minus një në zero Emëruesi zhduket në 4tgt = 1, domethënë në sin t = 1 4, cos t = t = 15π është e barabartë me 4k Nëse k 0, numëruesi është pozitiv dhe ekuacioni nuk ka rrënjë Nëse k > 0, të dy termat e ndryshueshëm të numëruesit zvogëlohen, domethënë, numëruesi ndryshon në mënyrë monotonike Pra, numëruesi merr një vlerë zero saktësisht një herë, nëse k 05 dhe është pozitiv për vlera më të vogla k Ekuacioni ka rrënjë nëse numëruesi është zero dhe emëruesi nuk është zero, pra në rastin e 4k =+ 4 k sin t cos t + k Përgjigje: k [ 05,+)\1 + ) Opsioni 18 nga i cili sistemi i ekuacioneve (x a 5) + (y 3 a +5) \u003d 16, (x a) + (y a + 1) \u003d 81 ka një zgjidhje unike Ne mendojmë se çdo ekuacion përshkruan një rreth zgjidhja është unike në rastin e prekjes së rrathëve Zgjidhja Ekuacioni i parë përcakton një rreth me qendër në (a + 5, 3a 5) dhe rreze 4 Ekuacioni i dytë është rrethor e përqendruar në pikën (a +, a 1) me një rreze prej 9 grupesh tematike VV Shelomovsky, cmdru/

14 14 Sistemi ka një zgjidhje unike nëse rrathët janë tangjente Në këtë rast, distanca midis qendrave është = 13 ose 0 4 = 5 Katrori i distancës së qendrës: ((a + 5) (a +)) + ( (3a 5) (a 1)) = a a + 5 Nëse distanca është 5, atëherë a = 0 ose a = 1 Nëse distanca është 13, atëherë a = 8 ose a = 9 Përgjigje: 8, 0, 1, 9 Opsioni 1 Gjeni të gjitha vlerat e parametrit, secila prej të cilave ka saktësisht dy zgjidhje jo negative ekuacionin 10 0.1 x a 5 x + a \u003d 004 x Zgjidhja Ne kryejmë transformime 5 x a 5 x + a \u003d 5 x Shënoni t \ u003d 5x 1 Për shkak të monotonitetit të funksionit eksponencial 5x, çdo rrënjë t 1 gjeneron saktësisht një rrënjë x 0 Ekuacioni merr formën t a t+ a t =0 Nëse a t, atëherë t + 3t + a = 0 nuk ka rrënjë më të mëdha se 1 Nëse t > a t/, atëherë t t + 3a = 0 t/ > a, atëherë t 3t a = 0 Për t > 1, funksioni t 3t zvogëlohet në mënyrë monotonike nga t = 1 në 5 në t = 15 dhe pastaj rritet monotonisht Prandaj, për 5 > a ka dy rrënjë, për a më të vogël nuk ka rrënjë, për a të madhe rrënja është saktësisht një n Përgjigje: 5 > a Opsion Gjeni, në varësi të parametrit, numrin e zgjidhjeve të sistemit x (a+1) x+ a 3= y, y (a+1) y + a 3= x Ne mendojmë se sistemi duket si f(x)= y, f(y)= x, ose f(f(х)) = x Njëra nga zgjidhjet f(x)= x Zgjidhja e dytë gjendet duke zbritur ekuacionet Zgjidhja Zbrit ekuacionin e dytë nga ekuacioni i parë Marrim (x + y a)(x y) = 0 Le të zëvendësojmë x = y në ekuacionin e parë, transformojmë Marrim (x a 1) = 4 + a Le të x + y = një Zëvendësim në ekuacionin e parë, transformo: (x a) = 3 + a Nëse a<, корней нет Если a =, то x = y = a + 1, единственное решение Если 15 >a >, pra, një çift zgjidhjesh x= y =a+ 1± 4+ a Nëse a = 15, atëherë dy zgjidhje: x = y = a, x = y = a + Nëse 15< a то решения x= y =a+ 1± 4+ a, x=a± 3+ a, y= a x Ответ: a < нет решений, а = одно, 15 a >, dy zgjidhje, a > 15 katër zgjidhje VV Shelomovsky Komplete tematike, cmdru/

15 15 Opsioni 4 Gjeni të gjitha vlerat e a, për secilën prej të cilave ekuacioni 7 x 6 +(4 a x)3 +6 x +8 a=4 x nuk ka rrënjë Duke menduar 8a 4x = (4a x), 7x6 = (3x)3 Kjo do të thotë se ekuacioni përfshin shumën dhe shumën e kubeve të të njëjtave shprehje.Kjo mund të përdoret Zgjidhje Le ta transformojmë ekuacionin në formën (3 x)3 +(4 a x)3+ (3 x + 4 a x)=0 Zgjero shumën e kubeve (3 x +4 a x) ( (3 x) 3 x (4 a x) + (4 a x) +)=0 Faktori i dytë është katrori jo i plotë i diferencës i rritur me Është pozitiv.. Duke zgjedhur katrorin në faktorin e parë, marrim 1 1 3(x) + 4 a = Ky ekuacion nuk ka rrënjë, nëse 4 a > 0, a > 3 1 Përgjigje: 1a > 1 Opsioni 8 Gjeni vlerat a, për secilën prej të cilave vlera më e madhe e funksionit x a x nuk është më pak se një Zgjidhje Nëse x a, funksioni f (x, a) \u003d x a x Është maksimumi për x = 0,5, maksimumi është 0,5 a Në një< 0,5 наибольшее значение функции 0,5 а 1 при 075 а Если x < a, функция f(x,a) = a x x Она максимальна при x = 0,5, максимум равен a + 05 При a >0,5 është vlera më e madhe e funksionit a + 0,5 1 me 0,75 Përgjigje: a 0,75 ose 075 a a, x = 8y + b ka numër çift zgjidhjesh Zgjidhje: Nga ekuacioni i parë del se y > 0, i dyti ekuacioni mund të shndërrohet 8 në formën: y=, x (b; +) Duke përfshirë y: x b f (x) = x a = 0; f `(x) = 4 x 3 + x b (x b)3 Çdo rrënjë e ekuacionit të marrë gjeneron saktësisht një zgjidhje të sistemit origjinal< 0 функция f(x) монотонно возрастает от минус бесконечности до f(х1), уменьшается до f(х) и вновь монотонно возрастает при положительных иксах до плюс бесконечности Уравнение может иметь чётное число корней два только если корень совпадает с минимумом или максимумом функции, то есть в точке корня производная равна нулю, то есть f(х1) = g(х1) = 0 Исключая корень из уравнений, найдём: а = (4х1 + х14) Полученная функция имеет максимум при х1 = 1 (а = 3; b = 1,5), поэтому для любого a (0; 3) существуют х1, х х1 и b, при которых число корней равно два Однако при а = 3 х ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

16 16 \u003d x1, të dy rrënjët janë të njëjta dhe ekuacioni f (x) \u003d 0 ka vetëm një rrënjë = x (x b) + 1 = 0 Ekuacioni i fundit mund të ketë një ose dy rrënjë, dhe vetëm me x negativ. Komplete tematike, cmdru/

Shembuj të zgjidhjes së detyrave të tipit C5 për Provimin e Bashkuar të Shtetit 013 Shumica e vizatimeve në grup janë ndërvepruese. Ju mund të ndryshoni parametrat dhe ekuacionet e grafikëve. Futja e skedarëve ndërveprues bëhet duke klikuar mbi

Tema 41 "Detyrat me një parametër" Formulimet kryesore të detyrave me një parametër: 1) Gjeni të gjitha vlerat e parametrave, secila prej të cilave plotëson një kusht të caktuar.) Zgjidh një ekuacion ose pabarazi me

1 Funksionet, grafikët e tyre dhe vërtetimet përkatëse Tabela e përmbajtjes 1 Rrënjët dhe numri i tyre...1 1.1 Rrënjët e ekuacionit...1 1.1.a Rrënjët e ekuacionit...1 1. Numri i rrënjëve... 1. Numri i rrënjëve. .. 1.4 Funksionaliteti

Detyra 18 Kriteret e vlerësimit të detyrave 18 Përmbajtja e kriterit Pikët Në mënyrë të arsyeshme mori përgjigjen e saktë. 4 Me ndihmën e arsyetimit të saktë, merret një grup vlerash të a, i cili ndryshon nga ai i dëshiruar me një numër të fundëm

Ekuacioni linear a x = b ka: një zgjidhje unike, për një 0; një grup i pafund zgjidhjesh, për a = 0, b = 0; nuk ka zgjidhje, për a = 0, b 0. Ekuacioni kuadratik ax 2 + bx + c = 0 ka: dy të ndryshme

LLOJET E GRAFIKËVE Formula: y = kx + b k do të thotë pjerrësia e vijës b tregon se sa njësi është zhvendosur vija lart ose poshtë në lidhje me origjinën Nëse k është pozitive, vija rritet SHEMBUJ: y =

C5 Për çdo vlerë të a, zgjidhni sistemin Çiftet që i japin zgjidhje sistemit duhet të plotësojnë kushtet Nga ekuacioni i dytë i sistemit që gjejmë Mbetet të theksohet se atëherë Ekuacioni nën kushte dhe ka në,

Detyra 23 314690. Ndërtoni një grafik të funksionit që do të kryqëzohet në - dhe përcaktoni në cilat vlera vija e drejtë është një grafik i trefishtë në tre pika. Le të ndërtojmë një grafik të funksionit (shih figurën). Nga grafiku shihet se linja

Problemet me një parametër (metoda grafike e zgjidhjes) Hyrje Përdorimi i grafikëve në studimin e problemeve me parametra është jashtëzakonisht efektiv. Në varësi të metodës së aplikimit të tyre, ekzistojnë dy qasje kryesore.

Sistemi i përgatitjes së studentëve për Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë të nivelit të profilit. (detyrat me parametër) Materiali teorik Përkufizim. Një parametër është një ndryshore e pavarur vlera e së cilës në problem merret parasysh

Detyrat për vendim të pavarur. Gjeni domenin e funksionit 6x. Gjeni tangjenten e këndit të prirjes me boshtin x të tangjentes që kalon në pikën M (;) të grafikut të funksionit. Gjeni tangjenten e një këndi

Webinar 5 Tema: Rishikim Përgatitja për Provimin e Bashkuar të Shtetit (detyra 8) Detyra 8 Gjeni të gjitha vlerat e parametrit a, për secilën prej të cilave ekuacioni a a 0 ka shtatë ose tetë zgjidhje Let, pastaj t t Ekuacioni fillestar

Meqenëse kjo është përgjigja e saktë, sistemi kërkon plotësimin e dy ose më shumë kushteve dhe ne jemi duke kërkuar për ato vlera vlerë e panjohur të cilat plotësojnë të gjitha kushtet përnjëherë. Le të përshkruajmë zgjidhjen e secilës prej pabarazive

Kapitulli 8 Funksionet dhe grafikët Variablat dhe varësitë ndërmjet tyre. Dy madhësi dhe quhen drejtpërdrejt proporcionale nëse raporti i tyre është konstant, d.m.th nëse =, ku është një numër konstant që nuk ndryshon me ndryshimin

Tema 36 "Vetitë e funksioneve" Ne do të analizojmë vetitë e një funksioni duke përdorur shembullin e grafikut të një funksioni arbitrar y = f (x): 1. Fusha e një funksioni është bashkësia e të gjitha vlerave të ndryshores. x që kanë përkatëse

Informacion i pergjithshem Detyrat me parametra Ekuacione me një modul detyre të tipit C 5 1 Përgatitja për Provimin e Bashkuar të Shtetit Dikhtyar M.B. 1. Vlera absolute, ose moduli i numrit x, është vetë numri x, nëse x 0; numri x,

Pabarazitë irracionale Pabarazitë në të cilat ndryshorja gjendet nën shenjën e rrënjës quhen iracionale.Metoda kryesore për zgjidhjen e pabarazive irracionale është metoda e zvogëlimit të origjinalit.

Departamenti i Matematikës dhe Informatikës Elemente të Matematikës së Lartë teknologjitë në distancë Llogaritja e modulit Përpiluar nga:

Funksioni kuadratik në probleme të ndryshme Dikhtyar MB Informacion bazë Funksioni kuadratik (trinomi katror) është një funksion i formës y ax bx c, ku abc, numrat e dhënë dhe funksionet kuadratike y

Sistemi i detyrave me temën “Ekuacioni tangjencial” Përcaktoni shenjën e pjerrësisë së tangjentes së tërhequr në grafikun e funksionit y f (), në pikat me abshisa a, b, c a) b) Tregoni pikat në të cilat derivati

EKUACIONET DHE PABARAZIZIMET ME MODULET Gushchin DD www.mathnet.spb.ru 1 0. Ekuacionet më të thjeshta. Ekuacioneve më të thjeshta (jo domosdoshmërisht të thjeshta), do t'u referohemi ekuacioneve të zgjidhura nga një nga sa vijon

MODULI “Zbatimi i vazhdimësisë dhe derivatit. Zbatimi i derivatit në studimin e funksioneve. Zbatimi i vazhdimësisë.. Metoda e intervaleve.. Tangjentja e grafikut. Formula e Lagranzhit. 4. Zbatimi i derivatit

ZGJIDHJA E PROBLEMIT TË R E A L N O V A R I A N T A E G E - 2001 P O M A T E M A T I K E Pjesa 1 A1. Gjeni vlerën e shprehjes. 1. 15 2. 10 3. 5 4. Zgjidhje. Përgjigje: 1. A2. Thjeshtoni shprehjen. një.

Metodologjia e formimit të komponentit të bazuar në kompetenca të kulturës matematikore të nxënësve të klasës Sistemi i studimit të moduleve arsimore në matematikë I. K. Sirotina, Pedagoge e Lartë e Departamentit teknologjitë e informacionit

Algjebër klasë 0 Tema Funksionet trigonometrike dhe shndërrimet Koncepte themelore Shkronja Z tregon bashkësinë e numrave të plotë: Z (0; ; ; ;) Harku i numrit a që i përket intervalit [- ; ], quhet

111 Funksionet Niveli bazë Tabela e përmbajtjes 11101 Sistemet e koordinatave 1110 Koncepti i funksionit 7 1110 Funksioni Funksioni 10 11104 Gama e funksionit (bashkësia) 1 11105 Rritja dhe zvogëlimi i funksionit

TESTET e kapitullit T-0 Hetimi i një funksioni sipas skemës T-0 Përputhja midis grafikut të një funksioni racional dhe formulës T-0 Ndërtimi i një grafiku sipas vetive T-04 Transferimi paralel i grafikut T-05 Simetrike

Provimi i unifikuar i shtetit në matematikë, demo 7 vjeçare Pjesa A Gjeni vlerën e shprehjes 6p p me p = Zgjidhje Përdorni vetinë e shkallës: Zëvendësoni në shprehjen që rezulton Saktë

Mësimi 8 Formulat bazë trigonometrike (vazhdim) Funksionet trigonometrike Transformimi i produktit funksionet trigonometrike për të përmbledhur Formulat për konvertimin e prodhimit të sinusit dhe kosinusit

FUNKSIONE. Koncepti i një funksioni. Le të themi se shpejtësia e një personi është 5 km/h. Nëse e marrim kohën e udhëtimit si x orë, dhe distancën e përshkuar si y km, atëherë varësia e distancës së përshkuar nga koha e udhëtimit mund të jetë

Informacione të përgjithshme rreth provimit Niveli i profilit Detyra 0 Probleme me parametrat Ekuacionet kuadratike dhe ekuacionet me një trinom katror Dikhtyar MB Ekuacioni f (a) x + g(a) x + ϕ (a) = 0, ku f (a) 0, është

Rreth detyrave 18 nga Provimi i Unifikuar i Shtetit 2017 A.V. Shevkin, [email i mbrojtur] Shënim: Artikulli analizon metoda të ndryshme për zgjidhjen e një numri detyrash me një parametër. Fjalë kyçe: ekuacion, pabarazi, parametër, funksion,

Kurbat e rendit të dytë Rrethi elipsë Hiperbola Parabola Le të jepet një sistem koordinativ kartezian drejtkëndor në rrafsh. Një kurbë e rendit të dytë është një grup pikash, koordinatat e të cilave plotësojnë

Qasje të ndryshme për zgjidhjen e problemeve C C C5 Provimi i Unifikuar Shtetëror 9-vjeçar Përgatitja për Provimin e Unifikuar të Shtetit (material për një leksion për mësuesit) Prokofiev AA [email i mbrojtur] Detyrat C Shembull (Përdor C) Zgjidh sistemin e ekuacioneve y si (si) (7 y)

1 Bileta 9 10. Zgjidhje Bileta 9 1. Është dhënë një funksion linear f(x). Dihet se distanca midis pikave të kryqëzimit të grafikëve y = x dhe y = f(x) është e barabartë me 10, dhe distanca midis pikave të kryqëzimit të grafikëve y =

Departamenti i Matematikës dhe Informatikës Analiza Matematikore Kompleksi arsimor dhe metodologjik për studentët e HPE që studiojnë me përdorimin e teknologjive në distancë Moduli 4 Aplikimet e derivatit Përpiluar nga: Profesor i Asociuar

Leksioni 5 në aeroplan. Përkufizimi. Çdo drejtëz në një rrafsh mund të jepet nga një ekuacion i rendit të parë, dhe konstantet A, B nuk janë të barabarta me zero në të njëjtën kohë. Ky ekuacion i rendit të parë quhet ekuacion i përgjithshëm.

Vendimet e klasës 8 017-018 Detyra Detyra 1 Gjeni shumën e kubeve të rrënjëve të ekuacionit (x x 7) (x x) 0. Për të zgjidhur ekuacionin, përdorim metodën e ndryshimit të ndryshores. Shënoni y \u003d x + x 7, pastaj x + x \u003d (x

ZBATIMI I FUNKSIONIT DERIVATIV Ekuacioni i tangjentes Konsideroni problemin e meposhtem: kerkohet te shkruhet ekuacioni i tangjentes l te vizatuar ne grafikun e funksionit ne nje pike Sipas kuptimit gjeometrik te derivatit.

HULUMTIMI I FUNKSIONIVE Kushtet e mjaftueshme për rritjen dhe pakësimin e një funksioni: Nëse derivati ​​i një funksioni të diferencueshëm është pozitiv brenda një intervali X, atëherë ai rritet në këtë interval nëse

Webinar 7 (6-7) Tema: PËRDORNI parametrat Profili Detyra 8 Gjeni të gjitha vlerat e parametrave, për secilën prej të cilave grupi i vlerave të funksionit 5 5 5 përmban një segment Gjeni të gjitha vlerat e parametrave, për secilin

5.0. 014 Punë e bukur. Ekuacionet dhe sistemet e ekuacioneve me parametra. Një eksperiencë provimet pranuese tek universitetet tregon se zgjidhja e ekuacioneve dhe inekuacioneve që përmbajnë parametra shkakton vështirësi të mëdha

L.A. Strauss, I.V. Barinova Detyrat me një parametër në Udhëzimet e Unifikuar të Provimit të Shtetit y=-x 0 -a- -a x -5 Ulyanovsk 05 Strauss L.A. Detyrat me një parametër në provim [Tekst]: udhëzime/ L.A. Strauss, I.V.

Leksioni 13 Tema: Kurbat e rendit të dytë Kurbat e rendit të dytë në rrafsh: elips, hiperbolë, parabolë. Nxjerrja e ekuacioneve të kurbave të rendit të dytë në bazë të vetive gjeometrike të tyre. Studimi i formës së një elipsi,

Matematika klasa 8 2 PËRMBAJTJA PROGRAMORE Pjesa 1. Thyesat algjebrike (24 orë) Koncepti i thyesave algjebrike. Vetia kryesore e një thyese algjebrike. Reduktimi thyesat algjebrike. Mbledhja dhe zbritja

Tema 10 “Grafika funksionet elementare". një. Funksioni linear f(x) = kx + b. Grafiku është një vijë e drejtë. 1) Domeni i përkufizimit D(f) = R.) Domeni i vlerave E(f) = R. 3) Zerot e funksionit y = 0 për x = k/b. 4) Ekstreme

Derivati ​​P0 Konsideroni një funksion f () në varësi të argumentit Le të përcaktohet ky funksion në pikën 0 dhe disa nga fqinjësia e tij, i vazhdueshëm në këtë pikë dhe në fqinjësinë e tij.

Detyrat me parametra (klasat 10-11) Parametrat janë të njëjtët numra, thjesht nuk dihen paraprakisht 1 Ekuacionet lineare dhe inekuacionet me parametra Funksioni linear: - ekuacioni i drejtëzës me pjerrësi

Opsioni Gjeni domenin e funksionit: y + Domeni i funksionit të dhënë përcaktohet nga pabarazia Përveç kësaj, emëruesi nuk duhet të zhduket Gjeni rrënjët e emëruesit: Kombinimi i rezultateve

TICKET 15 Fiztekh 017. Biletat 15 16. Zgjidhja 1. Dihet se për tre vlera natyrore të njëpasnjëshme të argumentit, funksioni kuadratik f(x) merr respektivisht vlerat 1, 1 dhe 5. Gjeni më të voglin

Ndërtimi i grafikëve të funksioneve 1. Plani për studimin e një funksioni gjatë vizatimit të grafikut 1. Gjeni domenin e funksionit. Shpesh është e dobishme të merren parasysh vlera të shumta të një funksioni. Eksploroni vetitë e veçanta të një funksioni:

kuptimi gjeometrik derivati ​​Shqyrtoni grafikun e funksionit y=f(x) dhe tangjenten në pikën P 0 (x 0 ; f(x 0)). Le të gjejmë shpat tangjente me grafikun në atë pikë. Këndi i prirjes së tangjentes Р 0

Kuptimi gjeometrik i derivatit, tangjente 1. Figura tregon grafikun e funksionit y \u003d f (x) dhe tangjenten me të në pikën me abshisën x 0. Gjeni vlerën e derivatit të funksionit f ( x) në pikën x 0. Vlera

Ministria e Arsimit dhe Shkencës Federata Ruse Instituti i Fizikës dhe Teknologjisë në Moskë ( Universiteti Shtetëror) Shkolla fizike dhe teknike me korrespondencë MATEMATIKA Zgjidhja e problemave me parametra (01 015

EKUACIONET KUADRATIKE ekuacionet kuadratike relativisht

Ekuacionet, pabarazitë, sistemet me një parametër Përgjigjet e detyrave janë një fjalë, një frazë, një numër ose një sekuencë fjalësh, numra. Shkruani përgjigjen tuaj pa hapësira, presje ose karaktere të tjera shtesë.

SEKSIONI DETYRAVE ME PARAMETRA Koment Detyrat me parametra janë tradicionalisht detyra të vështira në strukturën e Provimit të Unifikuar të Shtetit, duke i kërkuar aplikantit jo vetëm të zotërojë të gjitha metodat dhe teknikat për zgjidhjen e ndryshme

Matematika. Mbledhja e detyrave (14 prill 01). Detyrat me -. Problemi 1. Për cilat vlera të parametrit a ekuacioni ka një zgjidhje unike 4 + 1 = + një sëpatë x x x një problem. Gjej të gjitha të vlefshme

IV Yakovlev Procedura në matematikë MathUs.ru Metoda e intervaleve Metoda e intervaleve është një metodë për zgjidhjen e të ashtuquajturave pabarazi racionale. Koncepti i përgjithshëm pabarazia racionale do të diskutojmë më vonë, por tani për tani

Llogaritja diferenciale Hyrje në analizën matematikore Kufiri i renditjes dhe funksionit. Zbulimi i pasigurive brenda. Derivati ​​i funksionit. Rregullat e diferencimit. Zbatimi i derivatit

Pjesa I (Opsioni 609) Një faktor nën shenjën e rrënjës 8 q A) q 8) q 8) q 8) q 8 8 8 q q Përgjigja e saktë) Gjeni vlerën e shprehjes),5) Përgjigja e saktë) 9 me a = a)) 8 A log 8 Gjeni vlerën

Zgjidhje A Le t'i vizatojmë të gjithë këta numra në boshtin e numrave.Ai që ndodhet në të majtë të të gjithëve dhe është më i vogli Ky numër është 4 Përgjigje: 5 A Të analizojmë pabarazinë Në boshtin e numrave, bashkësia e numrave që kënaq

6..N. Derivati ​​6..H. Derivat. Përmbajtja 6..0.N. Hyrje derivative.... 6..0.N. Derivat funksion kompleks.... 5 6..0.N. Derivatet e funksioneve me module.... 7 6..0.Н. Ngjitje dhe zbritje