Në shumë probleme që lidhen me ndryshore të rastësishme të shpërndara normalisht, është e nevojshme të përcaktohet probabiliteti që një ndryshore e rastësishme, duke iu bindur ligjit normal me parametra, të bjerë në intervalin nga deri në. Për të llogaritur këtë probabilitet, ne përdorim formulën e përgjithshme

ku është funksioni i shpërndarjes së sasisë .

Le të gjejmë funksionin e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të shpërndarë sipas ligjit normal me parametra. Dendësia e shpërndarjes së vlerës është:

. (6.3.2)

Nga këtu gjejmë funksionin e shpërndarjes

. (6.3.3)

Le të bëjmë ndryshimin e ndryshores në integral (6.3.3)

dhe silleni në formën:

(6.3.4)

Integrali (6.3.4) nuk shprehet në terma të funksionet elementare, por mund të llogaritet përmes një funksioni të veçantë që shpreh një integral të caktuar të shprehjes ose (i ashtuquajturi integral i probabilitetit), për të cilin përpilohen tabela. Ka shumë lloje të funksioneve të tilla, për shembull:

;

etj. Cili nga këto funksione të përdoret është çështje shije. Ne do të zgjedhim si një funksion të tillë

. (6.3.5)

Është e lehtë të shihet se ky funksion nuk është gjë tjetër veçse funksioni i shpërndarjes për një ndryshore të rastësishme të shpërndarë normalisht me parametra.

Ne pranojmë ta quajmë funksionin funksion normal të shpërndarjes. Shtojca (Tabela 1) tregon tabelat e vlerave të funksionit.

Le të shprehim funksionin e shpërndarjes (6.3.3) të sasisë me parametra dhe në funksion të funksionit të shpërndarjes normale. Natyrisht,

. (6.3.6)

Tani le të gjejmë probabilitetin e goditjes së një ndryshoreje të rastësishme në segmentin nga në . Sipas formulës (6.3.1)

Kështu, ne kemi shprehur probabilitetin që një ndryshore e rastësishme, e shpërndarë sipas ligjit normal me çdo parametër, të bjerë në grafik për sa i përket funksionit të shpërndarjes standarde, që korrespondon me ligjin normal më të thjeshtë me parametrat 0.1. Vini re se argumentet e funksionit në formulën (6.3.7) kanë një kuptim shumë të thjeshtë: ka një distancë nga fundi i djathtë i seksionit deri në qendrën e dispersionit, e shprehur në devijime standarde; - e njëjta distancë për skajin e majtë të seksionit, dhe kjo distancë konsiderohet pozitive nëse fundi ndodhet në të djathtë të qendrës së shpërndarjes, dhe negative nëse në të majtë.

Ashtu si çdo funksion i shpërndarjes, funksioni ka vetitë e mëposhtme:

3. - funksion jozagonës.

Përveç kësaj, nga simetria e shpërndarjes normale me parametra rreth origjinës, rezulton se

Duke përdorur këtë pronë, në fakt, do të ishte e mundur të kufizoheshin tabelat e funksionit vetëm në vlerat pozitive të argumentit, por për të shmangur një operacion të panevojshëm (zbritja nga një), Tabela 1 e shtojcës rendit vlerat si për argumentet pozitive ashtu edhe për ato negative.

Në praktikë, shpesh haset problemi i llogaritjes së probabilitetit që një ndryshore e rastësishme e shpërndarë normalisht të bjerë në një zonë që është simetrike me qendrën e shpërndarjes. Konsideroni një seksion të tillë të gjatësisë (Fig. 6.3.1). Le të llogarisim probabilitetin për të goditur këtë faqe duke përdorur formulën (6.3.7):

Duke marrë parasysh vetinë (6.3.8) të funksionit dhe duke i dhënë anës së majtë të formulës (6.3.9) një formë më kompakte, marrim një formulë për probabilitetin që një ndryshore e rastësishme e shpërndarë sipas ligjit normal të bjerë në një seksioni simetrik në lidhje me qendrën e shpërndarjes:

. (6.3.10)

Le të zgjidhim problemin e mëposhtëm. Le të lëmë mënjanë segmentet e njëpasnjëshme të gjatësisë nga qendra e shpërndarjes (Fig. 6.3.2) dhe të llogarisim probabilitetin që një ndryshore e rastësishme të bjerë në secilën prej tyre. Meqenëse kurba e ligjit normal është simetrike, mjafton që segmente të tilla të shtyhen vetëm në një drejtim.

Sipas formulës (6.3.7) gjejmë:

(6.3.11)

Siç shihet nga këto të dhëna, probabilitetet e goditjes së secilit prej segmenteve të mëposhtëm (i pesti, i gjashti etj.) me saktësi 0,001 janë të barabarta me zero.

Duke rrumbullakosur probabilitetet e goditjes së segmenteve në 0.01 (deri në 1%), marrim tre numra që janë të lehtë për t'u mbajtur mend:

0,34; 0,14; 0,02.

Shuma e këtyre tre vlerave është 0.5. Kjo do të thotë që për një ndryshore të rastësishme të shpërndarë normalisht, të gjitha dispersionet (deri në fraksionet e përqindjes) përshtaten në seksionin .

Kjo lejon, duke ditur devijimin standard dhe pritshmërinë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme, të tregojë afërsisht gamën e vlerave praktikisht të mundshme të saj. Një metodë e tillë për vlerësimin e gamës së vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme është e njohur në statistika matematikore quhet rregulli i tre sigmave. Rregulli i tre sigmës nënkupton gjithashtu një metodë të përafërt për përcaktimin e devijimit standard të një ndryshoreje të rastësishme: ata marrin devijimin maksimal praktikisht të mundshëm nga mesatarja dhe e ndajnë atë me tre. Sigurisht, kjo metodë e përafërt mund të rekomandohet vetëm nëse nuk ka mënyra të tjera, më të sakta për të përcaktuar .

Shembull 1. Një ndryshore e rastësishme , e shpërndarë sipas ligjit normal, është një gabim në matjen e një distance të caktuar. Gjatë matjes, lejohet një gabim sistematik në drejtim të mbivlerësimit me 1.2 (m); devijimi standard i gabimit të matjes është 0.8 (m). Gjeni probabilitetin që devijimi i vlerës së matur nga vlera e vërtetë të mos kalojë 1,6 (m) në vlerë absolute.

Zgjidhje. Gabimi i matjes është një ndryshore e rastësishme që i bindet ligjit normal me parametra dhe . Duhet të gjejmë probabilitetin që kjo sasi të bjerë në intervalin nga deri në . Me formulën (6.3.7) kemi:

Duke përdorur tabelat e funksioneve (Shtojca, Tabela 1), gjejmë:

; ,

Shembulli 2. Gjeni të njëjtin probabilitet si në shembullin e mëparshëm, por me kusht që të mos ketë gabim sistematik.

Zgjidhje. Me formulën (6.3.10), duke supozuar , gjejmë:

.

Shembulli 3. Në një objektiv që duket si një shirit (rrugë pa pagesë), gjerësia e të cilit është 20 m, gjuajtja kryhet në një drejtim pingul me autostradën. Synimi kryhet përgjatë vijës qendrore të autostradës. Devijimi standard në drejtimin e qitjes është i barabartë me m. Ka një gabim sistematik në drejtimin e qitjes: ndarja është 3 m. Gjeni probabilitetin për të goditur autostradën me një goditje.

Ndryshore e rastësishme quhet një ndryshore e cila, si rezultat i çdo testi, merr një vlerë të panjohur më parë, në varësi të shkaqeve të rastësishme. Variablat e rastësishëm shënohen me shkronja të mëdha latine: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Sipas llojit të tyre, variablat e rastësishëm mund të jenë diskrete dhe të vazhdueshme.

Ndryshore diskrete e rastësishme- kjo është një ndryshore kaq e rastësishme, vlerat e së cilës nuk mund të jenë më shumë se të numërueshme, domethënë të fundme ose të numërueshme. Numërueshmëria do të thotë që vlerat e një ndryshoreje të rastësishme mund të numërohen.

Shembulli 1 . Le të japim shembuj të ndryshoreve të rastësishme diskrete:

a) numri i goditjeve në objektiv me $n$ goditje, këtu vlerat e mundshme janë $0,\ 1, \ \dots,\ n$.

b) numri i stemave që kanë rënë gjatë hedhjes së një monedhe, këtu vlerat e mundshme janë $0,\ 1,\ \pika,\ n$.

c) numrin e anijeve që mbërritën në bord (një grup vlerash të numërueshme).

d) numrin e thirrjeve që mbërrijnë në central (një grup vlerash të numërueshme).

1. Ligji i shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Një ndryshore diskrete e rastësishme $X$ mund të marrë vlerat $x_1,\dots,\ x_n$ me probabilitete $p\left(x_1\djathtas),\ \dots,\ p\left(x_n\djathtas)$. Korrespondenca midis këtyre vlerave dhe probabiliteteve të tyre quhet ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete. Si rregull, kjo korrespondencë specifikohet duke përdorur një tabelë, në rreshtin e parë të së cilës tregohen vlerat e $x_1,\dots,\ x_n$, dhe në rreshtin e dytë probabilitetet që korrespondojnë me këto vlera janë $ p_1,\pika,\ p_n$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \pika & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\fund (arresë)$

Shembulli 2 . Lëreni variablin e rastësishëm $X$ të jetë numri i pikëve të hedhura kur hidhet një za. Një variabël i tillë i rastësishëm $X$ mund të marrë vlerat e mëposhtme $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5, \ 6$. Probabilitetet e të gjitha këtyre vlerave janë të barabarta me 1/6$. Pastaj ligji i shpërndarjes së probabilitetit për ndryshoren e rastësishme $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\fund (arresë)$

Koment. Meqenëse ngjarjet $1,\ 2, \ \dots,\ 6$ formojnë një grup të plotë ngjarjesh në ligjin e shpërndarjes së ndryshores diskrete të rastësishme $X$, shuma e probabiliteteve duhet të jetë e barabartë me një, d.m.th. $\sum( p_i)=1$.

2. Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme specifikon vlerën "qendrore" të tij. Për një ndryshore diskrete të rastësishme, pritshmëria matematikore llogaritet si shuma e produkteve të vlerave $x_1,\pika ,\ x_n$ dhe probabiliteteve $p_1,\dots,\ p_n$ që korrespondojnë me këto vlera, d.m.th.: $M\majtas(X\djathtas)=\shuma ^n_(i=1)(p_ix_i)$. Në literaturën angleze, përdoret një shënim tjetër $E\left(X\right)$.

Vetitë pritje matematikore $M\majtas(X\djathtas)$:

1. $M\left(X\djathtas)$ është midis më të voglës dhe vlerat më të larta ndryshore e rastësishme $X$.
2. Pritja matematikore e një konstante është e barabartë me vetë konstanten, d.m.th. $M\majtas(C\djathtas)=C$.
3. Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e pritjes: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Pritshmëria matematikore e shumës së variablave të rastit është e barabartë me shumën e pritjeve të tyre matematikore: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\djathtas)+M\left(Y\djathtas)$.
5. Pritshmëria matematikore e prodhimit të ndryshoreve të rastësishme të pavarura është e barabartë me produktin e pritjeve të tyre matematikore: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Shembulli 3 . Le të gjejmë pritshmërinë matematikore të ndryshores së rastësishme $X$ nga shembulli $2$.

$$M\majtas(X\djathtas)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\mbi (6))+2\cdot ((1)\mbi (6) )+3\cdot ((1)\mbi (6))+4\cdot ((1)\mbi (6))+5\cdot ((1)\mbi (6)) +6\cdot ((1 )\mbi (6))=3.5.$$

Mund të vërejmë se $M\left(X\right)$ është midis vlerave më të vogla ($1$) dhe më të mëdha ($6$) të ndryshores së rastësishme $X$.

Shembulli 4 . Dihet se pritshmëria matematikore e ndryshores së rastësishme $X$ është e barabartë me $M\left(X\right)=2$. Gjeni pritshmërinë matematikore të ndryshores së rastësishme $3X+5$.

Duke përdorur veçoritë e mësipërme, marrim $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\djathtas)+M\left(5\djathtas)=3M\majtas(X\djathtas)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

Shembulli 5 . Dihet se pritshmëria matematikore e ndryshores së rastësishme $X$ është e barabartë me $M\left(X\right)=4$. Gjeni pritshmërinë matematikore të ndryshores së rastësishme $2X-9$.

Duke përdorur veçoritë e mësipërme, marrim $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\djathtas)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Vlerat e mundshme të ndryshoreve të rastësishme me pritshmëri të barabarta matematikore mund të shpërndahen ndryshe rreth vlerave mesatare të tyre. Për shembull, në dy grupet e nxënësve GPA për provimin në teorinë e probabilitetit doli të jetë i barabartë me 4, por në një grup të gjithë rezultuan studentë të mirë, dhe në grupin tjetër - vetëm tre dhe studentë të shkëlqyer. Prandaj, ekziston nevoja për një karakteristikë të tillë numerike të një ndryshoreje të rastësishme, e cila do të tregonte përhapjen e vlerave të një ndryshoreje të rastësishme rreth pritshmërisë së saj matematikore. Kjo karakteristikë është dispersioni.

Shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme diskrete$X$ është:

$$D\majtas(X\djathtas)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\djathtas)\djathtas))^2).\ $$

Në literaturën angleze përdoret shënimi $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Shumë shpesh varianca $D\left(X\right)$ llogaritet me formulën $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ majtas(X \djathtas)\djathtas))^2$.

Vetitë e dispersionit$D\majtas(X\djathtas)$:

1. Dispersioni është gjithmonë më i madh ose i barabartë me zero, d.m.th. $D\majtas(X\djathtas)\ge 0$.
2. Shpërndarja nga një konstante është e barabartë me zero, d.m.th. $D\majtas(C\djathtas)=0$.
3. Faktori konstant mund të nxirret nga shenja e dispersionit, me kusht që të jetë në katror, ​​d.m.th. $D\left(CX\djathtas)=C^2D\majtas(X\djathtas)$.
4. Varianca e shumës së variablave të rastësishme të pavarura është e barabartë me shumën e variancave të tyre, d.m.th. $D\majtas(X+Y\djathtas)=D\majtas(X\djathtas)+D\majtas(Y\djathtas)$.
5. Varianca e diferencës së variablave të rastësishme të pavarura është e barabartë me shumën e variancave të tyre, d.m.th. $D\majtas(X-Y\djathtas)=D\majtas(X\djathtas)+D\majtas(Y\djathtas)$.

Shembulli 6 . Le të llogarisim variancën e ndryshores së rastësishme $X$ nga shembulli $2$.

$$D\majtas(X\djathtas)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\djathtas)\djathtas))^2)=((1)\mbi (6))\cdot (\majtas(1-3,5\djathtas))^2+((1)\mbi (6))\cdot (\majtas(2-3,5\djathtas))^2+ \pika +((1)\mbi (6))\cdot (\majtas(6-3,5\djathtas))^2=((35)\mbi (12))\afërsisht 2,92.$$

Shembulli 7 . Dihet se varianca e ndryshores së rastësishme $X$ është e barabartë me $D\left(X\right)=2$. Gjeni variancën e ndryshores së rastësishme $4X+1$.

Duke përdorur vetitë e mësipërme, gjejmë $D\left(4X+1\djathtas)=D\majtas(4X\djathtas)+D\left(1\djathtas)=4^2D\majtas(X\djathtas)+0= 16D\ majtas(X\djathtas)=16\cdot 2=32$.

Shembulli 8 . Dihet se varianca e $X$ është e barabartë me $D\left(X\right)=3$. Gjeni variancën e ndryshores së rastësishme $3-2X$.

Duke përdorur vetitë e mësipërme, gjejmë $D\left(3-2X\right)=D\left(3\djathtas)+D\left(2X\djathtas)=0+2^2D\left(X\djathtas)= 4D\ majtas(X\djathtas)=4\cdot 3=12$.

4. Funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Metoda e paraqitjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete në formën e një serie shpërndarjeje nuk është e vetmja, dhe më e rëndësishmja, nuk është universale, pasi një ndryshore e rastësishme e vazhdueshme nuk mund të specifikohet duke përdorur një seri shpërndarjeje. Ekziston një mënyrë tjetër për të paraqitur një ndryshore të rastësishme - funksioni i shpërndarjes.

funksioni i shpërndarjes ndryshorja e rastësishme $X$ është një funksion $F\left(x\right)$, i cili përcakton probabilitetin që ndryshorja e rastësishme $X$ të marrë një vlerë më të vogël se një vlerë fikse $x$, d.m.th. $F\left(x\ djathtas)$ )=P\majtas(X< x\right)$

Karakteristikat e funksionit të shpërndarjes:

1. $0\le F\majtas(x\djathtas)\le 1$.
2. Probabiliteti që ndryshorja e rastësishme $X$ të marrë vlera nga intervali $\left(\alpha ;\ \beta \djathtas)$ është e barabartë me diferencën midis vlerave të funksionit të shpërndarjes në skajet e këtij intervali : $P\majtas(\alfa< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\djathtas)$ - jo në rënie.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty) F\left(x \djathtas)=1\ )$.

Shembulli 9 . Le të gjejmë funksionin e shpërndarjes $F\left(x\right)$ për ligjin e shpërndarjes së ndryshores diskrete të rastësishme $X$ nga shembulli $2$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\fund (arresë)$

Nëse $x\le 1$, atëherë padyshim $F\left(x\right)=0$ (duke përfshirë $x=1$ $F\left(1\djathtas)=P\majtas(X< 1\right)=0$).

Nëse $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Nëse 2 dollarë< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Nëse 3 dollarë< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Nëse 4 dollarë< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Nëse 5 dollarë< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Nëse $x > 6$ atëherë $F\majtas(x\djathtas)=P\majtas(X=1\djathtas)+P\majtas(X=2\djathtas)+P\majtas(X=3\djathtas) + P\majtas(X=4\djathtas)+P\majtas(X=5\djathtas)+P\majtas(X=6\djathtas)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.

Pra, $F(x)=\majtas\(\fillimi(matrica)
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6, në \ 1< x\le 2,\\
1/3, \ në \ 2< x\le 3,\\
1/2, në \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ në\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ në \ 4< x\le 5,\\
1,\ për \ x > 6.
\end (matricë)\djathtas.$

Ligji normal i shpërndarjes së probabilitetit

Pa ekzagjerim, mund të quhet një ligj filozofik. Duke vëzhguar objekte dhe procese të ndryshme të botës përreth nesh, shpesh hasim në faktin se diçka nuk mjafton dhe se ekziston një normë:


Këtu është një pamje themelore funksionet e densitetit Shpërndarja normale e probabilitetit, dhe ju mirëpres në këtë mësim më interesant.

Çfarë shembujsh mund të jepen? Ata janë thjesht errësirë. Kjo është, për shembull, lartësia, pesha e njerëzve (dhe jo vetëm), e tyre forca fizike, kapaciteti mendor etj. Ka një "masë" (në një mënyrë ose në një tjetër) dhe ka devijime në të dy drejtimet.

Këto janë karakteristika të ndryshme të objekteve të pajetë (të njëjtat dimensione, peshë). Kjo është një kohëzgjatje e rastësishme e proceseve, për shembull, koha e një gare prej njëqind metrash ose shndërrimi i rrëshirës në qelibar. Nga fizika, molekulat e ajrit erdhën në mendje: midis tyre ka të ngadalta, ka të shpejta, por shumica e tyre lëvizin me shpejtësi "standarde".

Tjetra, ne devijojmë nga qendra me një devijim standard tjetër dhe llogarisim lartësinë:

Shënimi i pikave në vizatim (ngjyrë jeshile) dhe ne shohim se kjo është mjaft e mjaftueshme.

Në fazën përfundimtare, ne vizatojmë me kujdes një grafik dhe veçanërisht me kujdes pasqyrojnë atë konveksitet / konkavitet! Epo, me siguri e keni kuptuar shumë kohë më parë se boshti i abshisave është asimptotë horizontale, dhe është absolutisht e pamundur të "ngjitet" për të!

Me dizajnin elektronik të zgjidhjes, grafiku është i lehtë për t'u ndërtuar në Excel, dhe papritur për veten time, madje regjistrova një video të shkurtër për këtë temë. Por së pari, le të flasim se si ndryshon forma e kurbës normale në varësi të vlerave të dhe .

Kur rritet ose zvogëlohet "a" (me "sigma" të pandryshuar) grafiku ruan formën e tij dhe lëviz djathtas / majtas përkatësisht. Kështu, për shembull, kur funksioni merr formën dhe grafiku ynë "lëviz" 3 njësi në të majtë - saktësisht në origjinë:


Një sasi e shpërndarë normalisht me pritshmëri matematikore zero mori një emër krejtësisht natyror - të përqendruar; funksioni i densitetit të tij – madje, dhe grafiku është simetrik rreth boshtit y.

Në rast të një ndryshimi në "sigma" (me konstante "a"), grafiku “mbetet në vend”, por ndryshon formë. Kur zmadhohet, ai bëhet më i ulët dhe i zgjatur, si një oktapod që shtrin tentakulat e tij. Dhe anasjelltas, kur zvogëlohet grafiku bëhet më i ngushtë dhe më i gjatë- rezulton "oktapod i habitur". Po, në zvogëlohet"sigma" dy herë: grafiku i mëparshëm ngushtohet dhe shtrihet dy herë:

Gjithçka është në përputhje të plotë me shndërrimet gjeometrike të grafikëve.

Shpërndarja normale me vlerë njësi "sigma" quhet normalizuar, dhe nëse është gjithashtu të përqendruar(rasti ynë), atëherë quhet një shpërndarje e tillë standarde. Ai ka një funksion edhe më të thjeshtë të densitetit, i cili tashmë është hasur në teorema lokale e Laplasit: . Shpërndarja standarde ka gjetur zbatim të gjerë në praktikë, dhe shumë shpejt do ta kuptojmë më në fund qëllimin e saj.

Tani le të shohim një film:

Po, shumë e drejtë - disi në mënyrë të pamerituar kemi mbetur në hije funksioni i shpërndarjes së probabilitetit. Ne e kujtojmë atë përkufizim:
- probabiliteti që një variabël e rastësishme të marrë një vlerë MË MË TË MËKËTË se ndryshorja, e cila "drejton" të gjitha vlerat reale deri në "plus" pafundësi.

Brenda integralit, zakonisht përdoret një shkronjë e ndryshme në mënyrë që të mos ketë "mbivendosje" me shënimin, sepse këtu çdo vlerë caktohet integral jo i duhur , e cila është e barabartë me disa numri nga intervali.

Pothuajse të gjitha vlerat nuk mund të llogariten me saktësi, por siç e kemi parë sapo, me fuqinë moderne kompjuterike, kjo nuk është e vështirë. Pra, për funksionin të shpërndarjes standarde, funksioni përkatës excel përmban përgjithësisht një argument:

=NORMSDIST(z)

Një, dy - dhe keni mbaruar:

Vizatimi tregon qartë zbatimin e të gjithëve vetitë e funksionit të shpërndarjes, dhe nga nuancat teknike këtu duhet t'i kushtoni vëmendje asimptota horizontale dhe një pikë përkuljeje.

Tani le të kujtojmë një nga detyrat kryesore të temës, domethënë, të zbulojmë se si të gjejmë - probabilitetin që një ndryshore normale e rastësishme do të marrë një vlerë nga intervali. Gjeometrikisht, kjo probabilitet është e barabartë me zonë ndërmjet lakores normale dhe boshtit x në seksionin përkatës:

por çdo herë bluajeni një vlerë të përafërt është e paarsyeshme, dhe për këtë arsye është më racionale të përdoret formulë "e lehtë".:
.

! gjithashtu kujton , çfarë

Këtu mund të përdorni përsëri Excel, por ka disa "por" domethënëse: së pari, nuk është gjithmonë pranë, dhe së dyti, vlerat "të gatshme", ka shumë të ngjarë, do të ngrenë pyetje nga mësuesi. Pse?

Unë kam folur vazhdimisht për këtë më parë: në një kohë (dhe jo shumë kohë më parë) një kalkulator i zakonshëm ishte një luks, dhe mënyra "manuale" e zgjidhjes së problemit në shqyrtim ruhet ende në literaturën arsimore. Thelbi i saj është që standardizoj vlerat "alfa" dhe "beta", domethënë, zvogëlojnë zgjidhjen në shpërndarjen standarde:

shënim : funksioni është i lehtë për t'u marrë nga rasti i përgjithshëmduke përdorur një lineare zëvendësimet. Pastaj dhe:

dhe nga zëvendësimi thjesht ndjek formulën kalimi nga vlerat e një shpërndarje arbitrare në vlerat përkatëse të shpërndarjes standarde.

Pse është e nevojshme kjo? Fakti është se vlerat u llogaritën me përpikëri nga paraardhësit tanë dhe u përmblodhën në një tabelë të veçantë, e cila gjendet në shumë libra në terver. Por edhe më e zakonshme është tabela e vlerave, të cilën e kemi trajtuar tashmë Teorema integrale e Laplasit:

Nëse kemi në dispozicion një tabelë vlerash të funksionit Laplace , pastaj zgjidhim përmes tij:

Vlerat thyesore tradicionalisht rrumbullakosen në 4 shifra dhjetore, siç bëhet në tabelën standarde. Dhe për kontroll Pika 5 faqosje.

Ju kujtoj se , dhe për të shmangur konfuzionin të jetë gjithmonë në kontroll, tabela e ÇFARË funksionon para syve tuaj.

Përgjigju kërkohet të jepet si përqindje, kështu që probabiliteti i llogaritur duhet të shumëzohet me 100 dhe të japë rezultatin me një koment kuptimplotë:

- me një fluturim nga 5 në 70 m, afërsisht 15.87% e predhave do të bien

Ne stërvitemi vetë:

Shembulli 3

Diametri i kushinetave të prodhuara në fabrikë është një variabël i rastësishëm i shpërndarë normalisht me një pritje prej 1,5 cm dhe një devijim standard prej 0,04 cm. Gjeni probabilitetin që madhësia e një kushinete të marrë rastësisht të variojë nga 1,4 në 1,6 cm.

Në zgjidhjen e mostrës dhe më poshtë, unë do të përdor funksionin Laplace si opsionin më të zakonshëm. Nga rruga, vini re se sipas formulimit, këtu mund të përfshini skajet e intervalit në konsideratë. Megjithatë, kjo nuk është kritike.

Dhe tashmë në këtë shembull u takuam një rast të veçantë– kur intervali është simetrik në lidhje me pritshmërinë matematikore. Në një situatë të tillë, mund të shkruhet në formën dhe, duke përdorur çuditshmërinë e funksionit Laplace, të thjeshtoni formulën e punës:

Parametri delta quhet devijimi nga pritshmëria matematikore, dhe pabarazia e dyfishtë mund të “paketohet” duke përdorur modul:

është probabiliteti që vlera e një ndryshoreje të rastësishme të devijojë nga pritshmëria matematikore me më pak se .

Epo, zgjidhja që përshtatet në një rresht :)
është probabiliteti që diametri i një kushinete të marrë në mënyrë të rastësishme të ndryshojë nga 1,5 cm jo më shumë se 0,1 cm.

Rezultati i kësaj detyre doli të ishte afër unitetit, por unë do të doja edhe më shumë besueshmëri - domethënë, të zbuloja kufijtë në të cilët është diametri pothuajse të gjithë kushinetat. A ka ndonjë kriter për këtë? Ekziston! Pyetjes i përgjigjen të ashtuquajturit

rregulli tre sigma

Thelbi i saj është se praktikisht i besueshëm është fakti që një ndryshore e rastësishme e shpërndarë normalisht do të marrë një vlerë nga intervali .

Në të vërtetë, probabiliteti i devijimit nga pritshmëria është më pak se:
ose 99.73%

Për sa i përket kushinetave, këto janë 9973 copë me diametër 1.38 deri në 1.62 cm dhe vetëm 27 kopje "nën standarde".

AT hulumtim praktik Rregulli tre sigma zakonisht zbatohet në të kundërt: nëse statistikisht konstatoi se pothuajse të gjitha vlerat variabli i rastësishëm në studim përshtaten në një interval prej 6 devijimesh standarde, atëherë ka arsye të mira për të besuar se kjo vlerë shpërndahet sipas ligjit normal. Verifikimi kryhet duke përdorur teorinë hipoteza statistikore.

Ne vazhdojmë të zgjidhim detyrat e ashpra sovjetike:

Shembulli 4

Vlera e rastësishme e gabimit të peshimit shpërndahet sipas ligjit normal me pritshmëri matematikore zero dhe një devijim standard prej 3 gram. Gjeni probabilitetin që peshimi tjetër të kryhet me një gabim jo më shumë se 5 gram në vlerë absolute.

Zgjidhje shume e thjeshte. Me kusht, dhe ne e vërejmë menjëherë se në peshimin tjetër (diçka ose dikush) ne do të marrim pothuajse 100% rezultatin me një saktësi prej 9 gram. Por në problem ka një devijim më të ngushtë dhe sipas formulës :

- probabiliteti që peshimi tjetër të kryhet me një gabim jo më shumë se 5 gram.

Përgjigju:

Një problem i zgjidhur është thelbësisht i ndryshëm nga një problem në dukje i ngjashëm. Shembulli 3 mësim rreth shpërndarje uniforme. Pati një gabim rrumbullakimi rezultatet e matjeve, këtu po flasim për gabimin e rastësishëm të vetë matjeve. Gabime të tilla lindin për shkak të karakteristikave teknike të vetë pajisjes. (sfera e gabimeve të lejuara, si rregull, tregohet në pasaportën e tij), dhe gjithashtu për fajin e eksperimentuesit - kur, për shembull, "me sy" marrim lexime nga shigjeta e të njëjtave peshore.

Ndër të tjera ka edhe të ashtuquajturat sistematike gabimet e matjes. Është tashmë jo të rastësishme gabime që ndodhin për shkak të konfigurimit ose funksionimit të gabuar të pajisjes. Kështu, për shembull, peshoret e parregulluara të dyshemesë mund të "shtojnë" vazhdimisht një kilogram, dhe shitësi sistematikisht nënpeshon blerësit. Ose jo në mënyrë sistematike, sepse ju mund të shkurtoni. Sidoqoftë, në çdo rast, një gabim i tillë nuk do të jetë i rastësishëm dhe pritshmëria e tij është e ndryshme nga zero.

…Unë po zhvilloj urgjentisht një kurs trajnimi për shitje =)

Le ta zgjidhim problemin vetë:

Shembulli 5

Diametri i rulit është një ndryshore e rastësishme e shpërndarë normalisht, devijimi standard i tij është mm. Gjeni gjatësinë e intervalit, simetrik në lidhje me pritjen matematikore, në të cilën gjatësia e diametrit të rruazës do të bjerë me probabilitet.

Artikulli 5* paraqitjen e dizajnit te ndihmosh. Ju lutemi vini re se pritshmëria matematikore nuk dihet këtu, por kjo nuk ndërhyn aspak në zgjidhjen e problemit.

Dhe detyrë provimi, të cilin e rekomandoj fuqimisht për të konsoliduar materialin:

Shembulli 6

Një ndryshore e rastësishme e shpërndarë normalisht jepet nga parametrat e saj (pritshmëria matematikore) dhe (devijimi standard). Kërkohet:

a) shkruani densitetin e probabilitetit dhe përshkruani skematikisht grafikun e tij;
b) gjeni probabilitetin që do të marrë një vlerë nga intervali ;
c) gjeni probabilitetin që moduli të devijojë nga jo më shumë se ;
d) duke zbatuar rregullin e "tre sigma", gjeni vlerat e ndryshores së rastësishme.

Probleme të tilla ofrohen kudo, dhe gjatë viteve të praktikës kam mundur të zgjidh qindra e qindra prej tyre. Sigurohuni që të praktikoni vizatimin me dorë dhe përdorimin e fletëllogaritjeve të letrës ;)

Epo, unë do të analizoj një shembull të kompleksitetit të shtuar:

Shembulli 7

Dendësia e shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të rastësishme ka formën . Gjeni, pritshmëria matematikore, varianca, funksioni i shpërndarjes, dendësia e grafikut dhe funksionet e shpërndarjes, gjeni.

Zgjidhje: para së gjithash, le t'i kushtojmë vëmendje që kushti të mos thotë asgjë për natyrën e ndryshores së rastit. Në vetvete, prania e ekspozuesit nuk do të thotë asgjë: mund të jetë, për shembull, demonstrative ose në përgjithësi arbitrare shpërndarja e vazhdueshme. Dhe për këtë arsye, "normaliteti" i shpërndarjes ende duhet të vërtetohet:

Që nga funksioni përcaktuar në ndonjë vlerë reale dhe mund të reduktohet në formë , atëherë ndryshorja e rastësishme shpërndahet sipas ligjit normal.

Ne paraqesim. Për këtë zgjidhni një katror të plotë dhe të organizojnë fraksion trekatëshe:


Sigurohuni që të kryeni një kontroll, duke e kthyer treguesin në formën e tij origjinale:

që është ajo që ne donim të shihnim.

Në këtë mënyrë:
- në rregulli i pushtetit"duke hequr". Dhe këtu mund të shkruajmë menjëherë të dukshmen karakteristikat numerike:

Tani le të gjejmë vlerën e parametrit. Meqenëse shumëzuesi i shpërndarjes normale ka formën dhe , atëherë:
, nga i cili shprehemi dhe zëvendësojmë në funksionin tonë:
, pas së cilës do të kalojmë edhe një herë rekordin me sytë tanë dhe do të sigurohemi që funksioni që rezulton të ketë formën .

Le të grafikojmë densitetin:

dhe grafiku i funksionit të shpërndarjes :

Nëse nuk ka Excel dhe madje edhe një kalkulator të rregullt, atëherë grafiku i fundit ndërtohet lehtësisht me dorë! Në pikën, funksioni i shpërndarjes merr vlerën dhe këtu është

Kapitulli 1. Ndryshore diskrete e rastësishme

§ 1. Koncepti i një ndryshoreje të rastësishme.

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Përkufizimi : E rastësishme është një sasi që, si rezultat i testit, merr vetëm një vlerë nga një grup i mundshëm vlerash, të panjohur paraprakisht dhe në varësi të shkaqeve të rastësishme.

Ekzistojnë dy lloje të variablave të rastësishëm: diskrete dhe të vazhdueshme.

Përkufizimi : Thirret ndryshorja e rastësishme X diskrete (i ndërprerë) nëse grupi i vlerave të tij është i fundëm ose i pafund, por i numërueshëm.

Me fjalë të tjera, vlerat e mundshme të një ndryshoreje të rastësishme diskrete mund të rinumërohen.

Ju mund të përshkruani një ndryshore të rastësishme duke përdorur ligjin e saj të shpërndarjes.

Përkufizimi : Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete quhet korrespondenca midis vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme dhe probabiliteteve të tyre.

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje diskrete të rastësishme X mund të jepet në formën e një tabele, në rreshtin e parë të së cilës tregohen të gjitha vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme në rend rritës, dhe në rreshtin e dytë probabilitetet përkatëse të këtyre vlerat, d.m.th.

ku р1+ р2+…+ рn=1

Një tabelë e tillë quhet një seri shpërndarjeje të një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Nëse grupi i vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme është i pafund, atëherë seria р1+ р2+…+ рn+… konvergjon dhe shuma e saj është e barabartë me 1.

Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje diskrete të rastësishme X mund të përshkruhet grafikisht, për të cilën është ndërtuar një vijë poligonale në një sistem koordinativ drejtkëndor, duke lidhur pikat e njëpasnjëshme me koordinatat (xi;pi), i=1,2,…n. Vija që rezulton quhet poligonin e shpërndarjes (Fig. 1).

Kimi organike "href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark"> e kimise organike jane perkatesisht 0.7 dhe 0.8. Hartoni ligjin e shperndarjes se ndryshores se rastit X - numri i provimeve qe studenti do kalojnë.

Zgjidhje. Si rezultat i provimit, ndryshorja e rastësishme e konsideruar X mund të marrë një nga vlerat e mëposhtme: x1=0, x2=1, x3=2.

Le të gjejmë probabilitetin e këtyre vlerave. Shënoni ngjarjet:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">

Pra, ligji i shpërndarjes së ndryshores së rastësishme X jepet nga tabela:

Kontrolli: 0,6+0,38+0,56=1.

§ 2. Funksioni i shpërndarjes

Një përshkrim i plotë i një ndryshoreje të rastësishme jepet gjithashtu nga funksioni i shpërndarjes.

Përkufizimi: Funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje diskrete të rastësishme X thirret funksioni F(x), i cili përcakton për secilën vlerë x probabilitetin që ndryshorja e rastësishme X të marrë një vlerë më të vogël se x:

F(x)=P(X<х)

Gjeometrikisht, funksioni i shpërndarjes interpretohet si probabiliteti që ndryshorja e rastësishme X të marrë vlerën që përshkruhet në rreshtin numerik nga një pikë në të majtë të pikës x.

1)0≤F(x)≤1;

2) F(x) është një funksion jo-zvogëlues në (-∞;+∞);

3) F(x) - e vazhdueshme nga e majta në pikat x= xi (i=1,2,…n) dhe e vazhdueshme në të gjitha pikat e tjera;

4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,

F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.

Nëse ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje diskrete të rastësishme X jepet në formën e një tabele:

atëherë funksioni i shpërndarjes F(x) përcaktohet nga formula:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">

0 për x≤ x1,

p1 në x1< х≤ x2,

F(x)= p1 + p2 në x2< х≤ х3

1 për x> xn.

Grafiku i tij është paraqitur në Fig. 2:

§ 3. Karakteristikat numerike të një ndryshoreje të rastësishme diskrete.

Pritja matematikore është një nga karakteristikat e rëndësishme numerike.

Përkufizimi: Pritshmëria matematikore M(X) Ndryshorja diskrete e rastësishme X është shuma e produkteve të të gjitha vlerave të saj dhe probabiliteteve të tyre përkatëse:

M(X) = ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn

Pritshmëria matematikore shërben si karakteristikë e vlerës mesatare të një ndryshoreje të rastësishme.

Vetitë e pritjes matematikore:

1)M(C)=C, ku C është një vlerë konstante;

2) M (C X) \u003d C M (X),

3)M(X±Y)=M(X)±M(Y);

4)M(X Y)=M(X) M(Y), ku X, Y janë variabla të rastësishme të pavarura;

5)M(X±C)=M(X)±C, ku C është një vlerë konstante;

Për të karakterizuar shkallën e shpërndarjes së vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme diskrete rreth vlerës mesatare të saj, përdoret varianca.

Përkufizimi: dispersion D ( X ) Variabli i rastësishëm X është pritshmëria matematikore e devijimit në katror të ndryshores së rastësishme nga pritshmëria e saj matematikore:

Karakteristikat e shpërndarjes:

1)D(C)=0, ku C është një vlerë konstante;

2)D(X)>0, ku X është një ndryshore e rastësishme;

3)D(C X)=C2 D(X), ku C është një vlerë konstante;

4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), ku X, Y janë variabla të rastësishme të pavarura;

Për të llogaritur variancën, shpesh është e përshtatshme të përdoret formula:

D(X)=M(X2)-(M(X))2,

ku М(Х)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn

Varianca D(X) ka dimensionin e katrorit të një ndryshoreje të rastësishme, e cila nuk është gjithmonë e përshtatshme. Prandaj, vlera √D(X) përdoret gjithashtu si një tregues i shpërndarjes së vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme.

Përkufizimi: Devijimi standard σ(X) ndryshorja e rastësishme X quhet rrënja katrore e variancës:

Detyra numër 2. Ndryshorja diskrete e rastësishme X jepet nga ligji i shpërndarjes:

Gjeni P2, funksionin e shpërndarjes F(x) dhe vizatoni grafikun e tij, si dhe M(X), D(X), σ(X).

Zgjidhja: Meqenëse shuma e probabiliteteve të vlerave të mundshme të ndryshores së rastësishme X është e barabartë me 1, atëherë

Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1

Gjeni funksionin e shpërndarjes F(x)=P(X

Gjeometrikisht, kjo barazi mund të interpretohet si më poshtë: F(x) është probabiliteti që një ndryshore e rastësishme të marrë vlerën që përshkruhet në boshtin real nga një pikë në të majtë të x.

Nëse x≤-1, atëherë F(x)=0, pasi nuk ka asnjë vlerë të vetme të kësaj ndryshoreje të rastësishme në (-∞;x);

Nëse -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1;

Nëse 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток

(-∞;х) bien dy vlera x1=-1 dhe x2=0;

Nëse 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;

Nëse 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2;

Nëse x>3, atëherë F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0.1 +0.1 +0,3+0,2+0,3=1, pasi katër vlera x1=-1, x2=0,x3=1,x4=2 bien në intervalin (-∞;x) dhe x5=3.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 për x≤-1,

0.1 në -1<х≤0,

0.2 në 0<х≤1,

F(x)= 0,5 në 1<х≤2,

0.7 në 2<х≤3,

1 për x>3

Le të paraqesim funksionin F(x) grafikisht (Fig. 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845.

§ 4. Ligji i shpërndarjes binomiale

ndryshore diskrete e rastësishme, ligji i Poisson-it.

Përkufizimi: Binom quhet ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje diskrete të rastësishme X - numri i shfaqjeve të ngjarjes A në n prova të pavarura të përsëritura, në secilën prej të cilave ngjarja A mund të ndodhë me probabilitet p ose të mos ndodhë me probabilitet q = 1-p. Atëherë Р(Х=m)-probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes A saktësisht m herë në n prova llogaritet me formulën e Bernulit:

P(X=m)=Сmnpmqn-m

Pritshmëria matematikore, varianca dhe devijimi standard i një ndryshoreje të rastësishme X, të shpërndarë sipas një ligji binar, gjenden, përkatësisht, nga formulat:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Probabiliteti i ngjarjes A - "të marrësh pesë" në çdo test është i njëjtë dhe i barabartë me 1/6, dmth P(A)=p=1/6, pastaj P(A)=1-p=q=5/6, ku

- "pikat nuk janë pesë."

Ndryshorja e rastësishme X mund të marrë vlerat: 0;1;2;3.

Ne gjejmë probabilitetin e secilës prej vlerave të mundshme të X duke përdorur formulën Bernoulli:

P(X=0)=P3(0)=C03p0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216;

P(X=1)=P3(1)=C13p1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216;

P(X=2)=P3(2)=C23p2q=3(1/6)2(5/6)1=15/216;

P(X=3)=P3(3)=C33p3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216.

Se. ligji i shpërndarjes së ndryshores së rastësishme X ka formën:

Kontrolli: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.

Le të gjejmë karakteristikat numerike të ndryshores së rastësishme X:

M(X)=np=3 (1/6)=1/2,

D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12,

Detyra numër 4. Pjesë vulash automatike të makinës. Probabiliteti që një pjesë e prodhuar të jetë me defekt është 0.002. Gjeni probabilitetin që midis 1000 pjesëve të zgjedhura të ketë:

a) 5 me defekt;

b) të paktën njëri është me defekt.

Zgjidhja: Numri n=1000 është i madh, probabiliteti i prodhimit të një pjese me defekt p=0.002 është i vogël dhe ngjarjet në shqyrtim (pjesa rezulton me defekt) janë të pavarura, kështu që ndodh formula Poisson:

Рn(m)= e- λ λm

Le të gjejmë λ=np=1000 0,002=2.

a) Gjeni probabilitetin që do të ketë 5 pjesë me defekt (m=5):

P1000(5)= e-2 25 = 32 0,13534 = 0,0361

b) Gjeni probabilitetin që të ketë të paktën një pjesë të dëmtuar.

Ngjarja A - "të paktën një nga pjesët e zgjedhura është me defekt" është e kundërta e ngjarjes - "të gjitha pjesët e zgjedhura nuk janë me defekt". Prandaj, P (A) \u003d 1-P (). Prandaj probabiliteti i dëshiruar është i barabartë me: Р(А)=1-Р1000(0)=1- e-2 20 \u003d 1-e-2 \u003d 1-0,13534≈0,865.

Detyrat për punë të pavarur.

1.1

1.2. Ndryshorja e rastësishme e shpërndarë X jepet nga ligji i shpërndarjes:

Gjeni p4, funksionin e shpërndarjes F(X) dhe vizatoni grafikun e tij, si dhe M(X), D(X), σ(X).

1.3. Në kuti ka 9 stilolapsa me majë, 2 prej të cilëve nuk shkruajnë më. Në mënyrë të rastësishme, merrni 3 stilolapsa me majë. Ndryshorja e rastësishme X - numri i stilolapsave me majë të ndjeshme midis atyre që janë marrë. Hartoni ligjin e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme.

1.4. Në raftin e bibliotekës janë vendosur 6 tekste shkollore, 4 prej tyre janë të lidhura. Bibliotekarja merr rastësisht 4 tekste shkollore. Ndryshorja e rastësishme X është numri i teksteve të lidhura midis atyre të marra. Hartoni ligjin e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme.

1.5. Bileta ka dy detyra. Probabiliteti për të zgjidhur saktë problemin e parë është 0.9, i dyti është 0.7. Ndryshorja e rastësishme X është numri i problemeve të zgjidhura saktë në biletë. Hartoni një ligj të shpërndarjes, llogaritni pritshmërinë matematikore dhe variancën e kësaj ndryshoreje të rastësishme dhe gjeni gjithashtu funksionin e shpërndarjes F (x) dhe ndërtoni grafikun e tij.

1.6. Tre gjuajtës qëllojnë në një objektiv. Probabiliteti për të goditur objektivin me një goditje për gjuajtësin e parë është 0.5, për të dytin - 0.8, për të tretën - 0.7. Ndryshorja e rastësishme X është numri i goditjeve në objektiv nëse gjuajtësit bëjnë nga një gjuajtje secili. Gjeni ligjin e shpërndarjes, M(X),D(X).

1.7. Një basketbollist e hedh topin në kosh me një probabilitet për të goditur në çdo gjuajtje 0.8. Për çdo goditje ai merr 10 pikë dhe në rast gabimi nuk i jepen pikë. Hartoni ligjin e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme X-numri i pikëve të marra nga një basketbollist për 3 gjuajtje. Gjeni M(X),D(X) dhe gjithashtu probabilitetin që ai të marrë më shumë se 10 pikë.

1.8. Shkronjat janë shkruar në letra, vetëm 5 zanore dhe 3 bashkëtingëllore. 3 letra zgjidhen në mënyrë të rastësishme dhe çdo herë që letra e marrë kthehet mbrapsht. Ndryshorja e rastësishme X është numri i zanoreve midis atyre të marra. Hartoni një ligj të shpërndarjes dhe gjeni M(X),D(X),σ(X).

1.9. Mesatarisht, nën 60% të kontratave, kompania e sigurimit paguan shumat e sigurimit në lidhje me ndodhjen e një ngjarje të siguruar. Hartoni një ligj të shpërndarjes për një variabël të rastësishëm X - numri i kontratave për të cilat shuma e siguruar është paguar midis katër kontratave të zgjedhura rastësisht. Gjeni karakteristikat numerike të kësaj sasie.

1.10. Stacioni i radios në intervale të caktuara dërgon shenja thirrjesh (jo më shumë se katër) derisa të vendoset komunikimi i dyanshëm. Probabiliteti për të marrë një përgjigje për një shenjë thirrjeje është 0.3. Variabli i rastësishëm X-numri i shenjave të dërguara. Hartoni ligjin e shpërndarjes dhe gjeni F(x).

1.11. Ka 3 çelësa, nga të cilët vetëm njëri i përshtatet kyçit. Hartoni një ligj të shpërndarjes për variablin e rastësishëm X-numri i përpjekjeve për të hapur bllokimin, nëse çelësi i provuar nuk merr pjesë në përpjekjet e mëvonshme. Gjeni M(X),D(X).

1.12. Janë kryer teste sekuenciale të pavarura të tre pajisjeve për besueshmërinë. Çdo pajisje pasuese testohet vetëm nëse e mëparshmja doli e besueshme. Probabiliteti i kalimit të testit për çdo instrument është 0.9. Përpiloni ligjin e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme X-numri i pajisjeve të testuara.

1.13 Variabla e rastësishme diskrete X ka tre vlera të mundshme: x1=1, x2, x3 dhe x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины.

1.14. Blloku i pajisjes elektronike përmban 100 elementë identikë. Probabiliteti i dështimit të secilit element gjatë kohës T është i barabartë me 0.002. Elementet funksionojnë në mënyrë të pavarur. Gjeni probabilitetin që jo më shumë se dy elementë të dështojnë në kohën T.

1.15. Teksti shkollor u botua në 50.000 kopje. Probabiliteti që teksti të jetë i lidhur gabimisht është 0,0002. Gjeni probabilitetin që qarkullimi të përmbajë:

a) katër libra me defekt,

b) më pak se dy libra me të meta.

1 .16. Numri i thirrjeve që vijnë në PBX çdo minutë shpërndahet sipas ligjit Poisson me parametrin λ=1.5. Gjeni probabilitetin që në një minutë të ketë:

a) dy thirrje;

b) të paktën një telefonatë.

1.17.

Gjeni M(Z),D(Z) nëse Z=3X+Y.

1.18. Janë dhënë ligjet e shpërndarjes së dy ndryshoreve të rastësishme të pavarura:

Gjeni M(Z),D(Z) nëse Z=X+2Y.

Përgjigjet:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1. p3=0.4; 0 për x≤-2,

0.3 në -2<х≤0,

F(x)= 0,5 në 0<х≤2,

0.9 në 2<х≤5,

1 për x>5

1.2. p4=0.1; 0 për x≤-1,

0.3 në -1<х≤0,

0.4 në 0<х≤1,

F(x)= 0,6 në 1<х≤2,

0.7 në 2<х≤3,

1 për x>3

M(X)=1; D(X)=2,6; σ(X) ≈1.612.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 për x≤0,

0.03 në 0<х≤1,

F(x)= 0,37 në 1<х≤2,

1 për x>2

M(X)=2; D(X)=0,62

M(X)=2.4; D(X)=0.48, P(X>10)=0.896

1. 8 .

M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(Х) ≈

M(X)=2.4; D(X)=0,96

https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.

M(X)=2; D(X)=2/3

1.14. 1,22e-0,2≈0,999

1.15. a) 0,0189; b) 0,00049

1.16. a) 0,0702; b) 0,77687

1.17. 3,8; 14,2

1.18. 11,2; 4.

Kapitulli 2 Ndryshore e vazhdueshme e rastësishme

Përkufizimi: E vazhdueshme emërtoni vlerën, të gjitha vlerat e mundshme të së cilës plotësojnë plotësisht intervalin e fundëm ose të pafundëm të boshtit numerik.

Natyrisht, numri i vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme është i pafund.

Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme mund të specifikohet duke përdorur një funksion shpërndarjeje.

Përkufizimi: F funksioni i shpërndarjes ndryshorja e vazhdueshme e rastësishme X është funksioni F(x), i cili përcakton për secilën vlerë xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13">R

Funksioni i shpërndarjes nganjëherë quhet funksioni i shpërndarjes kumulative.

Karakteristikat e funksionit të shpërndarjes:

1)1≤F(x)≤1

2) Për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme, funksioni i shpërndarjes është i vazhdueshëm në çdo pikë dhe i diferencueshëm kudo, përveç ndoshta në pika individuale.

3) Probabiliteti për të goditur një ndryshore të rastësishme X në një nga intervalet (a; b), [a; b), [a; b], është e barabartë me diferencën midis vlerave të funksionit F (x) në pikat a dhe b, d.m.th. P(a<Х

4) Probabiliteti që një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X të marrë një vlerë të vetme është 0.

5) F(-∞)=0, F(+∞)=1

Specifikimi i një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme duke përdorur një funksion shpërndarjeje nuk është i vetmi. Le të prezantojmë konceptin e densitetit të shpërndarjes së probabilitetit (densiteti i shpërndarjes).

Përkufizimi : Dendësia e probabilitetit f ( x ) ndryshorja e vazhdueshme e rastësishme X është derivati ​​i funksionit të saj të shpërndarjes, d.m.th.

Dendësia e shpërndarjes së probabilitetit nganjëherë quhet funksioni i shpërndarjes diferenciale ose ligji i shpërndarjes diferenciale.

Grafiku i densitetit të shpërndarjes së probabilitetit f(x) quhet kurba e shpërndarjes së probabilitetit .

Karakteristikat e densitetit të probabilitetit:

1) f(x) ≥0, kur xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" lartësi ="62 src="> 0 për x≤2,

f(x)= c(x-2) në 2<х≤6,

0 për x>6.

Gjeni: a) vlerën e c; b) funksionin e shpërndarjes F(x) dhe të ndërtojmë grafikun e tij; c) Р(3≤х<5)

Zgjidhja:

+ ∞

a) Gjeni vlerën e c-së nga kushti i normalizimit: ∫ f(x)dx=1.

Prandaj, -∞

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 x

nëse 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))=

1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2;

Gif" width="14" height="62"> 0 për x≤2,

F (x) \u003d (x-2) 2/16 në 2<х≤6,

1 për x>6.

Grafiku i funksionit F(x) është paraqitur në figurën 3

https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 për x≤0,

F (x) \u003d (3 arctg x) / π në 0<х≤√3,

1 për x>√3.

Gjeni funksionin e shpërndarjes diferenciale f(x)

Zgjidhja: Meqenëse f (x) \u003d F '(x), atëherë

https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" height="24">

Të gjitha vetitë e pritjes dhe shpërndarjes matematikore të konsideruara më herët për variablat e rastësishme të shpërndara janë gjithashtu të vlefshme për ato të vazhdueshme.

Detyra numër 3. Ndryshorja e rastësishme X jepet nga funksioni diferencial f(x):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2

X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞

D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 +x3/9 -

- (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38">

P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х =

4/6-1/6+1-2/3=5/6.

Detyrat për zgjidhje të pavarur.

2.1. Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X jepet nga një funksion shpërndarjeje:

0 për x≤0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 për x≤ π/6,

F(х)= - cos 3x në π/6<х≤ π/3,

1 për x> π/3.

Gjeni funksionin e shpërndarjes diferenciale f(x) dhe gjithashtu

Р(2π /9<Х< π /2).

2.3.

0 për x≤2,

f(x)= me x në 2<х≤4,

0 për x>4.

2.4. Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X jepet nga dendësia e shpërndarjes:

0 për x≤0,

f(х)= с √х në 0<х≤1,

0 për x>1.

Gjeni: a) numrin c; b) M(X), D(X).

2.5.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> për x,

0 në x.

Gjeni: a) F(x) dhe vizatoni grafikun e tij; b) M(X),D(X), σ(X); c) probabiliteti që në katër prova të pavarura vlera X të marrë saktësisht 2 herë vlerën që i përket intervalit (1; 4).

2.6. Dendësia e shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të vazhdueshme të rastësishme X është dhënë:

f (x) \u003d 2 (x-2) për x,

0 në x.

Gjeni: a) F(x) dhe vizatoni grafikun e tij; b) M(X),D(X), σ(X); c) probabilitetin që në tre prova të pavarura vlera X të marrë saktësisht 2 herë vlerën që i përket intervalit .

2.7. Funksioni f(x) jepet si:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2].

2.8. Funksioni f(x) jepet si:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /katër; π /4].

Gjeni: a) vlerën e konstantës c, në të cilën funksioni do të jetë dendësia e probabilitetit të disa ndryshoreve të rastësishme X; b) funksioni i shpërndarjes F(x).

2.9. Ndryshorja e rastësishme Х, e përqendruar në intervalin (3;7), jepet nga funksioni i shpërndarjes F(х)= . Gjeni probabilitetin që

Ndryshorja e rastësishme X do të marrë vlerën: a) më pak se 5, b) jo më pak se 7.

2.10. Ndryshorja e rastësishme X, e përqendruar në intervalin (-1; 4),

dhënë nga funksioni i shpërndarjes F(x)= . Gjeni probabilitetin që

Ndryshorja e rastësishme X do të marrë vlerën: a) më pak se 2, b) jo më pak se 4.

2.11.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">.

Gjeni: a) numrin c; b) M(X); c) probabiliteti P(X > M(X)).

2.12. Ndryshorja e rastësishme jepet nga funksioni i shpërndarjes diferenciale:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> .

Gjeni: a) M(X); b) probabiliteti Р(Х≤М(Х))

2.13. Shpërndarja e kohës jepet nga densiteti i probabilitetit:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> për x ≥0.

Vërtetoni se f(x) është me të vërtetë një shpërndarje e densitetit probabiliteti.

2.14. Dendësia e shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të vazhdueshme të rastësishme X është dhënë:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src="> (fig.4) (fig.5)

2.16. Ndryshorja e rastësishme X shpërndahet sipas ligjit të “trekëndëshit kënddrejtë” në intervalin (0; 4) (Fig. 5). Gjeni një shprehje analitike për densitetin e probabilitetit f(x) në të gjithë boshtin real.

Përgjigjet

0 për x≤0,

f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 për x≤ π/6,

F(x)= 3sin 3x në π/6<х≤ π/3,

0 për x> π/3. Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X ka një ligj të njëtrajtshëm shpërndarjeje në një interval të caktuar (a; b), të cilit i përkasin të gjitha vlerat e mundshme të X, nëse densiteti i shpërndarjes së probabilitetit f(x) është konstant në këtë interval dhe është i barabartë me 0. jashtë saj, d.m.th.

0 për x≤a,

f(x)= për a<х

0 për x≥b.

Grafiku i funksionit f(x) është paraqitur në fig. një

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 për x≤a,

F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(Х)=.

Detyra numër 1. Ndryshorja e rastësishme X shpërndahet në mënyrë uniforme në segment. Gjej:

a) dendësia e shpërndarjes së probabilitetit f(x) dhe të ndërtohet grafiku i saj;

b) funksionin e shpërndarjes F(x) dhe të ndërtojmë grafikun e tij;

c) M(X),D(X), σ(X).

Zgjidhja: Duke përdorur formulat e diskutuara më sipër, me a=3, b=7, gjejmë:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> në 3≤х≤7,

0 për x>7

Le të ndërtojmë grafikun e tij (Fig. 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 për x≤3,

F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">fig.4

D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 për x<0,

f(х)= ле-λх në х≥0.

Funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme X, i shpërndarë sipas një ligji eksponencial, jepet me formulën:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">Fig..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ(X)=

Kështu, pritshmëria matematikore dhe devijimi standard i shpërndarjes eksponenciale janë të barabarta me njëra-tjetrën.

Probabiliteti që X të bjerë në intervalin (a;b) llogaritet me formulën:

Р(a<Х

Detyra numër 2. Koha mesatare e përdorimit të pajisjes është 100 orë. Duke supozuar se koha e funksionimit të pajisjes ka një ligj të shpërndarjes eksponenciale, gjeni:

a) dendësia e shpërndarjes së probabilitetit;

b) funksionin e shpërndarjes;

c) probabiliteti që koha e funksionimit pa dështim të pajisjes të kalojë 120 orë.

Zgjidhja: Sipas kushtit, shpërndarja matematikore M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 për x<0,

a) f(x)= 0,01e -0,01x për x≥0.

b) F(x)= 0 për x<0,

1-e -0,01x në x≥0.

c) Ne gjejmë probabilitetin e dëshiruar duke përdorur funksionin e shpërndarjes:

P(X>120)=1-F(120)=1-(1-e-1.2)=e-1.2≈0.3.

§ 3.Ligji i shpërndarjes normale

Përkufizimi: Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X ka ligji normal i shpërndarjes (ligji Gaussian), nëse dendësia e shpërndarjes së tij ka formën:

,

ku m=M(X), σ2=D(X), σ>0.

Kurba e shpërndarjes normale quhet kurba normale ose gausiane (fig.7)

Kurba normale është simetrike në lidhje me drejtëzën x=m, ka një maksimum në x=a të barabartë me .

Funksioni i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme X, i shpërndarë sipas ligjit normal, shprehet përmes funksionit Laplace Ф (х) sipas formulës:

,

ku është funksioni Laplace.

Koment: Funksioni Ф(х) është tek (Ф(-х)=-Ф(х)), përveç kësaj, nëse x>5, mund të konsiderojmë Ф(х) ≈1/2.

Grafiku i funksionit të shpërndarjes F(x) është paraqitur në fig. tetë

https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33">

Probabiliteti që vlera absolute e devijimit të jetë më e vogël se një numër pozitiv δ llogaritet me formulën:

Në veçanti, për m=0 barazia është e vërtetë:

"Rregulli i tre sigmave"

Nëse një ndryshore e rastësishme X ka një ligj të shpërndarjes normale me parametrat m dhe σ, atëherë është praktikisht e sigurt që vlera e saj qëndron në intervalin (a-3σ; a+3σ), sepse

https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a)

b) Le të përdorim formulën:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src=">

Sipas tabelës së vlerave të funksionit Ф(х) gjejmë Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413.

Pra, probabiliteti i dëshiruar është:

P (28

Detyrat për punë të pavarur

3.1. Ndryshorja e rastësishme X shpërndahet në mënyrë uniforme në intervalin (-3;5). Gjej:

b) funksioni i shpërndarjes F(x);

c) karakteristikat numerike;

d) probabiliteti P(4<х<6).

3.2. Ndryshorja e rastësishme X shpërndahet në mënyrë uniforme në segment. Gjej:

a) dendësia e shpërndarjes f(x);

b) funksioni i shpërndarjes F(x);

c) karakteristikat numerike;

d) probabiliteti Р(3≤х≤6).

3.3. Në autostradë është vendosur një semafor automatik, në të cilin drita jeshile ndizet për 2 minuta për automjetet, e verdhë për 3 sekonda dhe e kuqe për 30 sekonda, etj. Makina kalon përgjatë autostradës në një kohë të rastësishme. Gjeni probabilitetin që makina të kalojë në semafor pa u ndalur.

3.4. Trenat e metrosë qarkullojnë rregullisht në intervale prej 2 minutash. Pasagjeri hyn në platformë në një kohë të rastësishme. Sa është probabiliteti që pasagjerit t'i duhet të presë më shumë se 50 sekonda për trenin? Gjeni pritshmërinë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme X - koha e pritjes së trenit.

3.5. Gjeni variancën dhe devijimin standard të shpërndarjes eksponenciale të dhënë nga funksioni i shpërndarjes:

F(x)= 0 në x<0,

1-e-8x për x≥0.

3.6. Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X jepet nga densiteti i shpërndarjes së probabilitetit:

f(x)=0 në x<0,

0,7 e-0,7x në x≥0.

a) Emërtoni ligjin e shpërndarjes së ndryshores së rastit të konsideruar.

b) Gjeni funksionin e shpërndarjes F(X) dhe karakteristikat numerike të ndryshores së rastësishme X.

3.7. Ndryshorja e rastësishme X shpërndahet sipas një ligji eksponencial, të dhënë nga densiteti i shpërndarjes së probabilitetit:

f(x)=0 në x<0,

0,4 e-0,4 x në x≥0.

Gjeni probabilitetin që, si rezultat i testit, X të marrë një vlerë nga intervali (2.5; 5).

3.8. Një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme X shpërndahet sipas ligjit eksponencial të dhënë nga funksioni i shpërndarjes:

F(x)= 0 në x<0,

1-0,6x në x≥0

Gjeni probabilitetin që, si rezultat i testit, X të marrë një vlerë nga intervali .

3.9. Pritshmëria matematikore dhe devijimi standard i një ndryshoreje të rastësishme të shpërndarë normalisht janë përkatësisht 8 dhe 2. Gjeni:

a) dendësia e shpërndarjes f(x);

b) probabilitetin që, si rezultat i testit, X të marrë një vlerë nga intervali (10;14).

3.10. Ndryshorja e rastësishme X zakonisht shpërndahet me mesataren 3.5 dhe variancën 0.04. Gjej:

a) dendësia e shpërndarjes f(x);

b) probabilitetin që, si rezultat i testit, X të marrë një vlerë nga intervali .

3.11. Ndryshorja e rastësishme X zakonisht shpërndahet me M(X)=0 dhe D(X)=1. Cila nga ngjarjet: |X|≤0.6 ose |X|≥0.6 ka një probabilitet më të lartë?

3.12. Variabla e rastësishme X zakonisht shpërndahet me M(X)=0 dhe D(X)=1. Nga cili interval (-0.5;-0.1) ose (1;2) në një provë do të marrë një vlerë me një probabilitet më të lartë. ?

3.13. Çmimi aktual për aksion mund të modelohet duke përdorur një shpërndarje normale me M(X)=10den. njësive dhe σ (X)=0,3 den. njësive Gjej:

a) probabiliteti që çmimi aktual i aksionit të jetë prej 9,8 den. njësive deri në 10,4 den. njësi;

b) duke përdorur "rregullin e tre sigmave" për të gjetur kufijtë në të cilët do të jetë çmimi aktual i aksionit.

3.14. Substanca peshohet pa gabime sistematike. Gabimet e rastësishme të peshimit i nënshtrohen ligjit normal me raportin rrënjë-mesatar-katror σ=5r. Gjeni probabilitetin që në katër eksperimente të pavarura gabimi në tre peshime të mos ndodhë në vlerën absolute 3r.

3.15. Ndryshorja e rastësishme X zakonisht shpërndahet me M(X)=12.6. Probabiliteti që një ndryshore e rastësishme të bjerë në intervalin (11.4;13.8) është 0.6826. Gjeni devijimin standard σ.

3.16. Ndryshorja e rastësishme X zakonisht shpërndahet me M(X)=12 dhe D(X)=36. Gjeni intervalin në të cilin, me një probabilitet prej 0,9973, ndryshorja e rastësishme X bie si rezultat i testit.

3.17. Një pjesë e prodhuar nga një makinë automatike konsiderohet e dëmtuar nëse devijimi X i parametrit të tij të kontrolluar nga vlera nominale kalon 2 njësi të modulit të matjes. Supozohet se ndryshorja e rastësishme X është e shpërndarë normalisht me M(X)=0 dhe σ(X)=0.7. Sa përqind e pjesëve me defekt nxjerr makina?

3.18. Parametri i detajeve X zakonisht shpërndahet me një pritje matematikore prej 2 të barabartë me vlerën nominale dhe një devijim standard prej 0.014. Gjeni probabilitetin që devijimi i X nga moduli i vlerës nominale të mos kalojë 1% të vlerës nominale.

Përgjigjet

https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src=">

b) 0 për x≤-3,

F(x)=majtas">

3.10. a)f(x)= ,

b) Р(3,1≤Х≤3,7) ≈0,8185.

3.11. |x|≥0.6.

3.12. (-0,5;-0,1).

3.13. a) Р(9,8≤Х≤10,4) ≈0,6562.

3.14. 0,111.

3.15. σ=1.2.

3.16. (-6;30).

3.17. 0,4%.

1.2.4. Variablat e rastësishëm dhe shpërndarjet e tyre

Shpërndarjet e variablave të rastësishëm dhe funksionet e shpërndarjes. Shpërndarja e një ndryshoreje të rastësishme numerike është një funksion që përcakton në mënyrë unike probabilitetin që një ndryshore e rastësishme të marrë një vlerë të caktuar ose t'i përkasë një intervali të caktuar.

E para është nëse ndryshorja e rastësishme merr një numër të kufizuar vlerash. Pastaj shpërndarja jepet nga funksioni P (X = x), duke dhënë çdo vlerë të mundshme X ndryshore e rastësishme X gjasat që X = x.

E dyta është nëse ndryshorja e rastësishme merr pafundësisht shumë vlera. Kjo është e mundur vetëm kur hapësira e probabilitetit në të cilën përcaktohet ndryshorja e rastësishme përbëhet nga një numër i pafund ngjarjesh elementare. Pastaj shpërndarja jepet nga bashkësia e probabiliteteve P(a < X për të gjitha çiftet e numrave a, b sikurse a . Shpërndarja mund të specifikohet duke përdorur të ashtuquajturat. funksioni i shpërndarjes F(x) = P(X duke përcaktuar për të gjitha reale X probabiliteti që ndryshorja e rastësishme X merr vlera më të vogla se X. Është e qartë se