Në kursin e matematikës së klasës së 7-të, ata së pari takohen me ekuacionet me dy ndryshore, por ato studiohen vetëm në kuadrin e sistemeve të ekuacioneve me dy të panjohura. Kjo është arsyeja pse një sërë problemesh bien jashtë syve, në të cilat vendosen kushte të caktuara në koeficientët e ekuacionit që i kufizojnë ato. Përveç kësaj, metodat për zgjidhjen e problemeve si "Zgjidhja e një ekuacioni në numra natyrorë ose me numra të plotë" gjithashtu injorohen, megjithëse në PËRDORNI materiale dhe me radhë provimet pranuese Problemet e këtij lloji po bëhen gjithnjë e më të zakonshme.

Cili ekuacion do të quhet ekuacion me dy ndryshore?

Kështu, për shembull, ekuacionet 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, ose xy = 12 janë ekuacione me dy ndryshore.

Konsideroni ekuacionin 2x - y = 1. Ai kthehet në një barazi të vërtetë në x = 2 dhe y = 3, kështu që ky çift vlerash të ndryshueshme është zgjidhja e ekuacionit në shqyrtim.

Kështu, zgjidhja e çdo ekuacioni me dy ndryshore është bashkësia e çifteve të renditura (x; y), vlerat e variablave që ky ekuacion i kthen në një barazi të vërtetë numerike.

Një ekuacion me dy të panjohura mund të:

a) kanë një zgjidhje. Për shembull, ekuacioni x 2 + 5y 2 = 0 ka vetëm vendim (0; 0);

b) kanë zgjidhje të shumta. Për shembull, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 ka 4 zgjidhje: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

në) nuk ka zgjidhje. Për shembull, ekuacioni x 2 + y 2 + 1 = 0 nuk ka zgjidhje;

G) kanë pafundësisht shumë zgjidhje. Për shembull, x + y = 3. Zgjidhjet e këtij ekuacioni do të jenë numra, shuma e të cilëve është 3. Bashkësia e zgjidhjeve të këtij ekuacioni mund të shkruhet si (k; 3 - k), ku k është çdo numër real.

Metodat kryesore për zgjidhjen e ekuacioneve me dy variabla janë metodat e bazuara në faktorizimin e shprehjeve, duke theksuar katrorin e plotë, duke përdorur vetitë ekuacioni kuadratik, shprehje të kufizuara, metoda vlerësimi. Ekuacioni, si rregull, shndërrohet në një formë nga e cila mund të merret një sistem për gjetjen e të panjohurave.

Faktorizimi

Shembulli 1

Zgjidheni ekuacionin: xy - 2 = 2x - y.

Zgjidhje.

Ne grupojmë termat për qëllimin e faktorizimit:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. Hiq faktorin e përbashkët nga çdo kllapë:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 2) = 0. Kemi:

y = 2, x është çdo numër real ose x = -1, y është çdo numër real.

Në këtë mënyrë, përgjigja janë të gjitha çiftet e formës (x; 2), x € R dhe (-1; y), y € R.

Barazi me zero të numrave jonegativë

Shembulli 2

Zgjidheni ekuacionin: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Zgjidhje.

Grupimi:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Çdo kllapa tani mund të shembet duke përdorur formulën e diferencës katrore.

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.

Shuma e dy shprehjeve jo negative është zero vetëm nëse 3x - 2 = 0 dhe 2y - 3 = 0.

Pra x = 2/3 dhe y = 3/2.

Përgjigje: (2/3; 3/2).

Metoda e vlerësimit

Shembulli 3

Zgjidheni ekuacionin: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.

Zgjidhje.

Në çdo kllapa, zgjidhni katrorin e plotë:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Vlerësimi kuptimi i shprehjeve në kllapa.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 dhe (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, atëherë ana e majtë e ekuacionit është gjithmonë të paktën 2. Barazia është e mundur nëse:

(x + 1) 2 + 1 = 1 dhe (y - 2) 2 + 2 = 2, pra x = -1, y = 2.

Përgjigje: (-1; 2).

Le të njihemi me një metodë tjetër për zgjidhjen e ekuacioneve me dy ndryshore të shkallës së dytë. Kjo metodë është që ekuacioni konsiderohet si katror në lidhje me disa ndryshore.

Shembulli 4

Zgjidheni ekuacionin: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.

Zgjidhje.

E zgjidhim ekuacionin si kuadratik në lidhje me x. Le të gjejmë diskriminuesin:

D = 36 - 4(y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4(√y - 2) 2 . Ekuacioni do të ketë një zgjidhje vetëm nëse D = 0, domethënë nëse y = 4. Ne e zëvendësojmë vlerën e y në ekuacionin origjinal dhe gjejmë se x = 3.

Përgjigje: (3; 4).

Shpesh në ekuacionet me dy të panjohura tregojnë kufizimet në variabla.

Shembulli 5

Zgjidheni ekuacionin në numra të plotë: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Zgjidhje.

Le ta rishkruajmë ekuacionin në formën x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Ana e djathtë e ekuacionit që rezulton, kur ndahet me 5, jep një mbetje prej 2. Prandaj, x 2 nuk pjesëtohet me 5. Por katrori i një numri që nuk pjesëtohet me 5 jep një mbetje prej 1 ose 4. Kështu barazia është e pamundur dhe nuk ka zgjidhje.

Përgjigje: pa rrënjë.

Shembulli 6

Zgjidheni ekuacionin: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.

Zgjidhje.

Le të zgjedhim katrorët e plotë në çdo kllapa:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Ana e majtë e ekuacionit është gjithmonë më e madhe ose e barabartë me 3. Barazia është e mundur nëse |x| – 2 = 0 dhe y + 3 = 0. Kështu, x = ± 2, y = -3.

Përgjigje: (2; -3) dhe (-2; -3).

Shembulli 7

Për çdo çift numrash të plotë negativ (x; y) që plotëson ekuacionin
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, llogaritni shumën (x + y). Përgjigjuni sasisë më të vogël.

Zgjidhje.

Zgjidhni katrorët e plotë:

(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Meqenëse x dhe y janë numra të plotë, edhe katrorët e tyre janë numra të plotë. Shuma e katrorëve të dy numrave të plotë, të barabartë me 37, marrim nëse shtojmë 1 + 36. Prandaj:

(x - y) 2 = 36 dhe (y + 2) 2 = 1

(x - y) 2 = 1 dhe (y + 2) 2 = 36.

Duke zgjidhur këto sisteme dhe duke marrë parasysh se x dhe y janë negative, gjejmë zgjidhje: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Përgjigje: -17.

Mos u dëshpëroni nëse keni vështirësi në zgjidhjen e ekuacioneve me dy të panjohura. Me pak praktikë, do të mund të zotëroni çdo ekuacion.

A keni ndonjë pyetje? Nuk dini si të zgjidhni ekuacionet me dy ndryshore?
Për të marrë ndihmën e një tutori - regjistrohuni.
Mësimi i parë është falas!

faqe, me kopjim të plotë ose të pjesshëm të materialit, kërkohet një lidhje me burimin.

Teksti i veprës vendoset pa imazhe dhe formula.
Versioni i plotë puna është e disponueshme në skedën "Skedarët e punës" në formatin PDF

Objekti i studimit.

Hulumtimi ka të bëjë me një nga degët më interesante të teorisë së numrave - zgjidhjen e ekuacioneve në numra të plotë.

Lënda e studimit.

Zgjidhja në numra të plotë të ekuacioneve algjebrike me koeficientë të plotë në më shumë se një të panjohur është një nga problemet më të vështira dhe më të lashta matematikore dhe nuk është paraqitur në thellësi të mjaftueshme në kursi shkollor matematikë. Në punën time, unë do të paraqes një analizë mjaft të plotë të ekuacioneve në numra të plotë, një klasifikim të këtyre ekuacioneve sipas metodave për zgjidhjen e tyre, një përshkrim të algoritmeve për zgjidhjen e tyre, si dhe shembuj praktikë të aplikimit të secilës metodë për zgjidhja e ekuacioneve në numra të plotë.

Synimi.

Mësoni si të zgjidhni ekuacionet në numra të plotë.

Detyrat:

Studimi i literaturës arsimore dhe referencës;

Mblidhni material teorik për mënyrën e zgjidhjes së ekuacioneve;

Të analizojë algoritme për zgjidhjen e ekuacioneve të këtij lloji;

Përshkruani zgjidhjet;

Shqyrtoni shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve duke përdorur këto metoda.

Hipoteza:

Përballë ekuacioneve në numra të plotë në detyrat e Olimpiadës, supozova se vështirësitë në zgjidhjen e tyre janë për faktin se jo të gjitha mënyrat për t'i zgjidhur ato janë të njohura për mua.

Rëndësia:

Gjatë zgjidhjes së varianteve të përafërta të detyrave USE, vura re se shpesh ka detyra për zgjidhjen e ekuacioneve të shkallës së parë dhe të dytë në numra të plotë. Përveç kësaj, detyrat e Olimpiadës nivele të ndryshme përmbajnë gjithashtu ekuacione në numra të plotë ose probleme që zgjidhen duke përdorur aftësitë për të zgjidhur ekuacionet në numra të plotë. Rëndësia e të diturit se si të zgjidhen ekuacionet në numra të plotë përcakton rëndësinë e kërkimit tim.

Metodat e kërkimit

Analiza teorike dhe përgjithësimi i informacionit literaturë shkencore rreth ekuacioneve në numra të plotë.

Klasifikimi i ekuacioneve në numra të plotë sipas metodave të zgjidhjes së tyre.

Analiza dhe përgjithësimi i metodave për zgjidhjen e ekuacioneve në numra të plotë.

Rezultatet e hulumtimit

Punimi përshkruan metodat për zgjidhjen e ekuacioneve, shqyrton materialin teorik të teoremës së Fermatit, teoremës së Pitagorës, algoritmit të Euklidit, paraqet shembuj të zgjidhjes së problemeve dhe ekuacioneve të niveleve të ndryshme të kompleksitetit.

2.Historia e ekuacioneve në numra të plotë

Diofanti - shkencëtar - algjebrist Greqia e lashte, sipas disa burimeve, ai jetoi deri në vitin 364 pas Krishtit. e. Ai u specializua në zgjidhjen e problemeve në numra të plotë. Prandaj emri i ekuacioneve diofantine. Më i famshmi, i zgjidhur nga Diofanti, është problemi i "zbërthimit në dy katrorë". Ekuivalenti i saj është teorema e njohur e Pitagorës. Jeta dhe vepra e Diofantit vazhdoi në Aleksandri, ai mblodhi dhe zgjidhi probleme të njohura dhe shpiku probleme të reja. Më vonë ai i kombinoi ato në një vepër të madhe të quajtur Aritmetika. Nga trembëdhjetë librat që përbënin Aritmetikën, vetëm gjashtë mbijetuan deri në Mesjetë dhe u bënë burim frymëzimi për matematikanët e Rilindjes.Aritmetika e Diofantit është një koleksion problemesh, secila përfshin një zgjidhje dhe shpjegimin e nevojshëm. Koleksioni përfshin një sërë problemesh dhe zgjidhja e tyre shpesh është shumë e zgjuar. Diofanti është i interesuar vetëm për zgjidhjet me numra të plotë dhe racionalë. Zgjidhjet irracionale i quan “të pamundura” dhe zgjedh me kujdes koeficientët në mënyrë që të fitohen zgjidhjet e dëshiruara pozitive, racionale.

Teorema e Fermatit përdoret për zgjidhjen e ekuacioneve në numra të plotë. Historia e vërtetimit të së cilës është mjaft interesante. Shumë matematikanë të shquar punuan në një vërtetim të plotë të Teoremës së Madhe, dhe këto përpjekje çuan në shumë rezultate në teorinë moderne të numrave. Besohet se teorema është në vendin e parë për sa i përket numrit të provave të pasakta.

Matematikani i shquar francez Pierre Fermat deklaroi se ekuacioni për një numër të plotë n ≥ 3 nuk ka zgjidhje në numrat e plotë pozitivë x, y, z (xyz = 0 përjashtohet nga pozitiviteti i x, y, z. Për rastin n = 3, kjo teoremë u provua në shekullin X e vërtetuar nga matematikani i Azisë Qendrore al-Khojandi, por prova e tij nuk është ruajtur. Disi më vonë, vetë Fermat publikoi një provë të një rasti të veçantë për n = 4.

Euler në 1770 provoi teoremën për rastin n = 3, Dirichlet dhe Lezhandre në 1825 për n = 5, Lame për n = 7. Kummer tregoi se teorema është e vërtetë për të gjithë n të thjeshtë më pak se 100, me përjashtim të mundshëm të 37 , 59, 67.

Në vitet 1980 kishte qasje e re për zgjidhjen e problemit. Nga hamendja e Mordell-it, e vërtetuar nga Faltings në 1983, rrjedh se ekuacioni

për n > 3 mund të ketë vetëm një numër të fundëm zgjidhjesh të dyfishta.

Hapi i fundit por më i rëndësishëm në vërtetimin e teoremës u ndërmor në shtator 1994 nga Wiles. Prova e tij prej 130 faqesh u botua në Annals of Mathematics. Prova bazohet në supozimin e matematikanit gjerman Gerhard Frey se teorema e fundit e Fermatit është pasojë e hipotezës Taniyama-Shimura (ky supozim u vërtetua nga Ken Ribet me pjesëmarrjen e J.-P. Serra). Wiles botoi të parën versioni i provës së tij në 1993 (pas 7 vitesh punë të palodhur), por shpejt u zbulua një hendek serioz në të; me ndihmën e Richard Lawrence Taylor, hendeku u mbyll shpejt. Versioni përfundimtar u botua në 1995. 15 Mars 2016 Andrew Wiles merr çmimin Abel. Aktualisht, primi është 6 milion korona norvegjeze, domethënë afërsisht 50 milion rubla. Sipas Wiles, çmimi erdhi si një "surprizë e plotë" për të.

3.Ekuacionet lineare në numra të plotë

Ekuacionet lineare janë më të thjeshtat nga të gjitha ekuacionet diofantine.

Një ekuacion i formës ax=b, ku a dhe b janë disa numra dhe x është një ndryshore e panjohur, quhet ekuacion linear me një të panjohur. Këtu kërkohet të gjenden vetëm zgjidhje me numra të plotë të ekuacionit. Mund të shihet se nëse a ≠ 0, atëherë ekuacioni do të ketë një zgjidhje numër të plotë vetëm nëse b është plotësisht i pjesëtueshëm me a dhe kjo zgjidhje x \u003d b / f. Nëse a=0, atëherë ekuacioni do të ketë një zgjidhje të plotë kur b=0 dhe në këtë rast x është çdo numër.

sepse Atëherë 12 pjesëtohet në mënyrë të barabartë me 4

Sepse a=o dhe b=0, atëherë x është çdo numër

Sepse 7 as nuk pjesëtohet me 10, atëherë nuk ka zgjidhje.

4. Mënyra për të numëruar opsionet.

Në metodën e numërimit të opsioneve, është e nevojshme të merren parasysh shenjat e pjesëtueshmërisë së numrave, të merren parasysh të gjitha opsionet e mundshme barazia e numërimit të fundëm. Kjo metodë mund të përdoret për të zgjidhur këto probleme:

№1 Gjeni bashkësinë e të gjithë çifteve të numrave natyrorë që janë zgjidhje e ekuacionit 49x+69y=602

Ne shprehemi nga ekuacioni x =,

Sepse x dhe y janë numra natyrorë, atëherë x = ≥ 1, shumëzojeni të gjithë ekuacionin me 49 për të hequr qafe emëruesin:

Zhvendosni 602 në anën e majtë:

51y ≤ 553, shprehni y, y= 10

Një numërim i plotë i opsioneve tregon se zgjidhjet natyrore të ekuacionit janë x=5, y=7.

Përgjigje: (5,7).-

№2 Zgjidheni problemin

Nga numrat 2, 4, 7 duhet bërë një numër treshifror, në të cilin asnjë numër i vetëm nuk mund të përsëritet më shumë se dy herë.

Le të gjejmë numrin e të gjithë numrave treshifrorë që fillojnë me numrin 2: (224, 242, 227, 272, 247, 274, 244, 277) - janë 8 prej tyre.

Në mënyrë të ngjashme, ne gjejmë të gjithë numrat treshifrorë që fillojnë me numrat 4 dhe 7: (442, 424, 422, 447, 474, 427, 472, 477).

(772, 774, 727, 747, 722, 744, 724, 742) - ata janë gjithashtu 8 numra secili. Ka vetëm 24 numra.

Përgjigje: 24.

5. Thyesa e vazhduar dhe algoritmi i Euklidit

Një thyesë e vazhdueshme është një shprehje e një thyese të zakonshme në formë

ku q 1 është një numër i plotë, dhe q 2 , … ,qn janë numra natyrorë. Një shprehje e tillë quhet thyesë e vazhdueshme (e fundme e vazhdueshme). Ka thyesa të fundme dhe të pafundme të vazhdueshme.

Për numrat racionalë thyesa e vazhdueshme ka pamje fundore. Për më tepër, sekuenca a i është pikërisht sekuenca e herësve që përftohet duke aplikuar algoritmin Euklidian në numëruesin dhe emëruesin e një thyese.

Zgjidhja e ekuacioneve me thyesa të vazhdueshme, unë përpilova një algoritëm të përgjithshëm veprimesh për këtë metodë të zgjidhjes së ekuacioneve në numra të plotë.

Algoritmi

1) Përpiloni raportin e koeficientëve për të panjohurat në formën e një thyese

2) Shndërroni shprehjen në thyesë jo të duhur

3) Zgjidhni pjesën e plotë të një thyese të papërshtatshme

4) Zëvendësoni një thyesë të duhur me një thyesë të barabartë

5) Bëni 3.4 me thyesën e gabuar të marrë në emërues

6) Përsëriteni 5 deri në rezultatin përfundimtar

7) Në shprehjen që rezulton, hidhni lidhjen e fundit të thyesës së vazhdueshme, kthejeni thyesën e re të vazhdueshme që rezulton në një të thjeshtë dhe zbrisni atë nga thyesa origjinale.

Shembull#1 Zgjidh ekuacionin 127x- 52y+ 1 = 0 në numra të plotë

Le të transformojmë raportin e koeficientëve në të panjohurat.

Para së gjithash, ne zgjedhim pjesën e plotë të fraksionit të papërshtatshëm; = 2 +

Zëvendësoni një thyesë të duhur me një thyesë të barabartë.

Ku = 2+

Le të bëjmë të njëjtat shndërrime me thyesën e gabuar të marrë në emërues.

Tani thyesa origjinale do të marrë formën: Duke përsëritur të njëjtin arsyetim për thyesën, marrim

Ne morëm një shprehje të quajtur thyesa përfundimtare e vazhduar ose e vazhduar. Pasi të kemi hedhur poshtë lidhjen e fundit të kësaj thyese të vazhdueshme - një të pestën, ne e kthejmë thyesën e re të vazhdueshme që rezulton në një të thjeshtë dhe e zbresim atë nga fraksioni origjinal:

Le ta sjellim shprehjen që rezulton në një emërues të përbashkët dhe ta hedhim poshtë.

Nga 127∙9-52∙22+1=0. Nga krahasimi i barazisë së fituar me ekuacionin 127x- 52y+1 = 0, rezulton se atëherë x= 9, y= 22 është zgjidhje e ekuacionit fillestar dhe sipas teoremës, të gjitha zgjidhjet e tij do të përmbahen në progresionet x. = 9+ 52t, y= 22+ 127t , ku t=(0; ±1; ±2....).

Për të vërtetuar këtë supozim, do të na duhen disa veti të thyesave të vazhdueshme.

Konsideroni një fraksion të pakalueshëm. Shënoni me q 1 herësin dhe me r 2 pjesën e mbetur të pjesëtimit të a me b. Pastaj marrim:

Atëherë b=q 2 r 2 +r 3,

I ngjashëm

r 2 \u003d q 3 r 3 + r 4, ;

r 3 \u003d q 4 r 4 + r 5,;

………………………………..

Madhësitë q 1 , q 2 ,… quhen herës jo të plotë. Procesi i mësipërm i formimit të herësit jo të plotë quhet Algoritmi i Euklidit. Mbetjet nga pjesëtimi r 2 , r 3 ,…plotësojnë pabarazitë

ato. formojnë një seri numrash jonegativë në rënie.

Shembulli #2 Zgjidheni ekuacionin 170x+190y=3000 në numra të plotë

Pas zvogëlimit me 10, ekuacioni duket si ky,

Për të gjetur një zgjidhje të veçantë, ne përdorim zgjerimin e një thyese në një fraksion të vazhdueshëm

Duke e shembur fraksionin e parafundit të përshtatshëm për të në një të zakonshme

Një zgjidhje e veçantë e këtij ekuacioni ka formën

X 0 \u003d (-1) 4300 ∙ 9 \u003d 2700, y 0 \u003d (-1) 5300 ∙ 8 \u003d -2400,

dhe e përgjithshme jepet me formulë

x=2700-19k, y=-2400+17k.

prej nga fitojmë kushtin në parametrin k

Ato. k=142, x=2, y=14. .

6. Metoda e faktorizimit

Metoda e numërimit të opsioneve është një mënyrë e papërshtatshme, pasi ka raste kur është e pamundur të gjenden zgjidhje të plota me numërim, pasi ka një numër të pafund të zgjidhjeve të tilla. Metoda e faktorizimit është një teknikë shumë interesante dhe gjendet si në matematikën elementare ashtu edhe në matematikën e lartë.

Thelbi konsiston në transformimin identik. Kuptimi i çdo transformimi identik është të shkruani një shprehje në një formë të ndryshme duke ruajtur thelbin e saj. Konsideroni shembuj të aplikimit të kësaj metode.

№1 Zgjidheni ekuacionin në numra të plotë y 3 - x 3 = 91.

Duke përdorur formulat e shkurtuara të shumëzimit, ne zbërthejmë anën e djathtë të ekuacionit në faktorë:

(y - x) (y 2 + xy + x 2) = 91

Ne shkruajmë të gjithë pjesëtuesit e numrit 91: ± 1; ± 7; ± 13; ±91

Vini re se për çdo numër të plotë x dhe y numri

y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 - 2|y||x| + x 2 = (|y| - |x|) 2 ≥ 0,

prandaj, të dy faktorët në anën e majtë të ekuacionit duhet të jenë pozitivë. Atëherë ekuacioni origjinal është i barabartë me grupin e sistemeve të ekuacioneve:

Pasi të kemi zgjidhur sistemet, ne zgjedhim ato rrënjë që janë numra të plotë.

Marrim zgjidhje të ekuacionit origjinal: (5; 6), (-6; -5); (-3; 4), (-4; 3).

Përgjigje: (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

№2 Gjeni të gjitha çiftet e numrave natyrorë që plotësojnë ekuacionin x 2 -y 2 = 69

Faktorizojmë anën e majtë të ekuacionit dhe e shkruajmë ekuacionin si

Sepse pjesëtuesit e numrit 69 janë numrat 1, 3, 23 dhe 69, atëherë 69 mund të merret në dy mënyra: 69=1 69 dhe 69=3 23. Duke marrë parasysh se x-y > 0, marrim dy sisteme ekuacionesh, duke i zgjidhur të cilat mund të gjejmë numrat e dëshiruar:

Pasi kemi shprehur një ndryshore dhe duke e zëvendësuar me ekuacionin e dytë, gjejmë rrënjët e ekuacioneve.Sistemi i parë ka zgjidhje x=35;y=34 , dhe sistemi i dytë ka zgjidhje x=13, y=10.

Përgjigje: (35; 34), (13; 10).

№3 Zgjidheni ekuacionin x + y \u003d xy në numra të plotë:

E shkruajmë ekuacionin në formë

Le të faktorizojmë anën e majtë të ekuacionit. Marr

Prodhimi i dy numrave të plotë mund të jetë i barabartë me 1 vetëm në dy raste: nëse të dy janë të barabartë me 1 ose -1. Ne marrim dy sisteme:

Sistemi i parë ka zgjidhje x=2, y=2, dhe sistemi i dytë ka zgjidhje x=0, y=0. Përgjigje: (2; 2), (0; 0).

№4 Vërtetoni se ekuacioni (x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 = 30 nuk ka zgjidhje në numra të plotë.

Faktorizojmë anën e majtë të ekuacionit dhe ndajmë të dyja anët e ekuacionit me 3, si rezultat marrim ekuacionin:

(x - y) (y - z) (z - x) = 10

Pjesëtuesit e 10 janë numrat ±1, ±2, ±5, ±10. Vini re gjithashtu se shuma e faktorëve në anën e majtë të ekuacionit është 0. Është e lehtë të kontrollohet se shuma e çdo tre numrash nga bashkësia e pjesëtuesve të numrit 10, që japin 10 në produkt, nuk do të jetë e barabartë. 0. Prandaj, ekuacioni origjinal nuk ka zgjidhje në numra të plotë.

7. Metoda e mbetjeve

Detyra kryesore e metodës është të gjejë pjesën e mbetur të ndarjes së të dy pjesëve të ekuacionit me një numër të plotë, bazuar në rezultatet e marra. Shpesh informacioni i marrë zvogëlon mundësitë e grupeve të zgjidhjeve të ekuacionit. Konsideroni shembuj:

№1 Vërtetoni se ekuacioni x 2 = 3y + 2 nuk ka zgjidhje në numra të plotë.

Dëshmi.

Konsideroni rastin kur x, y ∈ N. Konsideroni mbetjet e të dyja anëve të pjesëtuara me 3. Ana e djathtë e ekuacionit jep një mbetje prej 2 kur pjesëtohet me 3 për çdo vlerë të y. Ana e majtë, e cila është katrori i një numri natyror, kur pjesëtohet me 3, gjithmonë jep një mbetje prej 0 ose 1. Bazuar në këtë, arrijmë në përfundimin se nuk ka zgjidhje për këtë ekuacion në numrat natyrorë.

Shqyrtoni rastin kur njëri nga numrat është i barabartë me 0. Atëherë, padyshim, nuk ka zgjidhje në numra të plotë.

Rasti kur y është një numër i plotë negativ nuk ka zgjidhje, sepse ana e djathtë do të jetë negative dhe ana e majtë pozitive.

Rasti kur x është numër i plotë negativ gjithashtu nuk ka zgjidhje, sepse bie në një nga rastet e shqyrtuara më parë për faktin se (-x) 2 = (x) 2 .

Rezulton se ekuacioni i treguar nuk ka zgjidhje në numra të plotë, gjë që kërkohej të vërtetohej.

№2 Zgjidh në numra të plotë 3 X = 1 + y 2 .

Nuk është e vështirë të shihet se (0; 0) është zgjidhja e këtij ekuacioni. Mbetet të vërtetohet se ekuacioni nuk ka rrënjë të tjera numër të plotë.

Konsideroni rastet:

1) Nëse x∈N, y∈N, atëherë Z pjesëtohet me tre pa mbetje, dhe 1 + y 2 kur pjesëtohet me 3 jep

pjesa e mbetur është ose 1 ose 2. Prandaj, barazia për numrat e plotë pozitivë

vlerat e x, y është e pamundur.

2) Nëse x është një numër i plotë negativ, y∈Z , atëherë 0< 3 х < 1, а 1 + y 2 ≥ 0 и

barazia është gjithashtu e pamundur. Prandaj, (0; 0) është e vetmja

Përgjigje: (0; 0).

№3 Zgjidheni ekuacionin 2x 2 -2xy+9x+y=2 në numra të plotë:

Le të shprehim nga ekuacioni të panjohurën që hyn në të vetëm në shkallën e parë, pra variablin y:

2x 2 + 9x-2 = 2xy-y, prej nga

Ne zgjedhim pjesën e plotë të thyesës duke përdorur rregullin e pjesëtimit të një polinomi me një "kënd" polinom. Ne marrim:

Natyrisht, një ndryshim 2x-1 mund të marrë vetëm vlerat -3, -1, 1 dhe 3.

Mbetet të numërojmë këto katër raste, si rezultat i të cilave marrim zgjidhje: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

Përgjigje: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3)

8. Një shembull i zgjidhjes së ekuacioneve me dy ndryshore në numra të plotë si katrorë në lidhje me një nga variablat

№1 Zgjidheni ekuacionin 5x në numra të plotë 2 +5v 2 + 8xy+2y-2x +2=0

Ky ekuacion mund të zgjidhet me metodën e faktorizimit, megjithatë, kjo metodë, siç zbatohet në këtë ekuacion, është mjaft e mundimshme. Le të shqyrtojmë një mënyrë më racionale.

E shkruajmë ekuacionin në formën e një kuadrati në lidhje me ndryshoren x:

5x 2 +(8y-2)x+5y 2 +2y+2=0

Ne gjejmë rrënjët e saj.

Ky ekuacion ka një zgjidhje nëse dhe vetëm nëse diskriminuesi

i këtij ekuacioni është i barabartë me zero, d.m.th. - 9(y+1) 2 =0, pra y= - 1.

Nëse y=-1, atëherë x=1.

Përgjigje: (1; - 1).

9. Një shembull i zgjidhjes së problemave duke përdorur ekuacione në numra të plotë.

№ 1. Zgjidhe ekuacionin me numra natyrorë : ku n>m

Le ta shprehim variablin n në terma të ndryshores m:

Le të gjejmë pjesëtuesit e numrit 625: ky është 1; 5; 25; 125; 625

1) nëse m-25 =1, atëherë m=26, n=25+625=650

2) m-25 =5, pastaj m=30, n=150

3) m-25 =25, pastaj m=50, n=50

4) m-25 =125, pastaj m=150, n=30

5) m-25 =625, pastaj m=650, n=26

Përgjigje: m=150, n=30

№ 2. Zgjidhe ekuacionin me numra natyrorë: mn +25 = 4m

Zgjidhje: mn +25 = 4m

1) shprehni variablin 4m në terma n:

2) gjeni pjesëtuesit natyrorë të numrit 25: kjo është 1; 5; 25

nëse 4-n=1, atëherë n=3, m=25

4-n=5, pastaj n=-1, m=5; 4-n =25, pastaj n=-21, m=1 (rrënjët e huaja)

Përgjigje: (25;3)

Përveç detyrave për zgjidhjen e ekuacionit në numra të plotë, ekzistojnë detyra për të vërtetuar faktin se ekuacioni nuk ka rrënjë të plota.

Kur zgjidhni probleme të tilla, është e nevojshme të mbani mend vetitë e mëposhtme të pjesëtueshmërisë:

1) Nëse n Z; n pjesëtohet me 2, pastaj n = 2k, k ∈ Z.

2) Nëse n ∈ Z; n nuk pjesëtohet me 2, atëherë n = 2k+1, k ∈ Z.

3) Nëse n ∈ Z; n pjesëtohet me 3, pastaj n = 3k, k ∈ Z.

4) Nëse n ∈ Z; n nuk pjesëtohet me 3, atëherë n = 3k±1, k ∈ Z.

5) Nëse n ∈ Z; n nuk pjesëtohet me 4, atëherë n = 4k+1; n = 4k+2; n = 4k+3. k ∈ Z.

6) Nëse n ∈ Z; n(n+1) pjesëtohet me 2, pastaj n (n+1)(n+2) pjesëtohet me 2;3;6.

7) n; n+1 janë të dyfishta.

№3 Vërtetoni se ekuacioni x 2 - 3y = 17 nuk ka zgjidhje me numra të plotë.

Dëshmi:

Le të jetë x; y - zgjidhjet e ekuacionit

x 2 \u003d 3 (y + 6) -1 y ∈ Z atëherë y+6 ∈ Z , pra 3(y+6) plotpjesëtohet me 3, pra 3(y+6)-1 nuk pjesëtohet me 3, pra x 2 nuk pjesëtohet me 3, pra x nuk është plotpjesëtohet me 3, pra x = 3k±1, k ∈ Z.

Zëvendësoni këtë në ekuacionin origjinal.

Kemi një kontradiktë. Kjo do të thotë se ekuacioni nuk ka zgjidhje të tëra, gjë që kërkohej të vërtetohej.

10.Formula e kulmit

Formula e Pick u zbulua nga matematikani austriak Georg Pick në 1899. Formula lidhet me ekuacionet në numra të plotë në atë që vetëm nyjet me numra të plotë merren nga shumëkëndëshat, si dhe numrat e plotë në ekuacione.

Duke përdorur këtë formulë, mund të gjeni sipërfaqen e një figure të ndërtuar në një fletë në një qelizë (trekëndësh, katror, ​​trapezoid, drejtkëndësh, shumëkëndësh).

Në këtë formulë, do të gjejmë pika të plota brenda poligonit dhe në kufirin e tij.

Në detyrat që do të jenë në provim, ka një grup të tërë detyrash në të cilat jepet një shumëkëndësh i ndërtuar në një fletë në një qelizë dhe ka një pyetje për gjetjen e zonës. Shkalla e qelizave është një centimetër katror.

Shembulli #1

M - numri i nyjeve në kufirin e trekëndëshit (në anët dhe kulmet)

N është numri i nyjeve brenda trekëndëshit.

*Me “nyje” nënkuptojmë kryqëzimin e vijave. Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit:

Vini re nyjet:

M = 15 (treguar me të kuqe)

N = 34 (shënuar me blu)

Shembulli #2

Gjeni sipërfaqen e shumëkëndëshit: Vini re nyjet:

M = 14 (treguar me të kuqe)

N = 43 (shënuar me blu)

12. Metoda e zbritjes

Një nga metodat për zgjidhjen e ekuacioneve në numra të plotë - metoda e zbritjes - bazohet në teoremën e Fermatit.

Metoda e zbritjes është një metodë që konsiston në ndërtimin e një zgjidhjeje në një sekuencë të pafund zgjidhjesh me z pozitiv pafundësisht në rënie.

Ne do të shqyrtojmë algoritmin e kësaj metode duke përdorur shembullin e zgjidhjes së një ekuacioni specifik.

Shembulli 1. Zgjidheni ekuacionin në numra të plotë 5x + 8y = 39.

1) Le të zgjedhim të panjohurën që ka koeficientin më të vogël (në rastin tonë, është x) dhe ta shprehim atë me një të panjohur tjetër:

2) Zgjidhni pjesën e plotë: Natyrisht, x do të jetë numër i plotë nëse shprehja rezulton të jetë numër i plotë, i cili, nga ana tjetër, do të ndodhë kur numri 4 - 3y pjesëtohet me 5 pa mbetje.

3) Le të prezantojmë një variabël shtesë z si më poshtë: 4 -3y = 5z. Si rezultat, marrim një ekuacion të të njëjtit lloj si ai origjinal, por me koeficientë më të vegjël.

4) Ne e zgjidhim atë tashmë në lidhje me ndryshoren y, duke argumentuar saktësisht njësoj si në paragrafët 1, 2: Duke zgjedhur pjesën e plotë, marrim:

5) Duke argumentuar në mënyrë të ngjashme me atë të mëparshme, ne prezantojmë një ndryshore të re u: 3u = 1 - 2z.

6) Shprehni të panjohurën me koeficientin më të vogël, në këtë rast ndryshoren z: . Duke kërkuar që ai të jetë një numër i plotë, marrim: 1 - u = 2v, prej nga u = 1 - 2v. Nuk ka më thyesa, zbritja ka mbaruar (vazhdojmë procesin derisa të mos ketë mbetur asnjë thyesë në shprehjen për variablin tjetër).

7) Tani ju duhet të "shkoni lart". Shprehni përmes ndryshores v fillimisht z, pastaj y dhe më pas x:

8) Formulat x = 3+8v dhe y = 3 - 5v, ku v është një numër i plotë arbitrar, paraqesin zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit origjinal në numra të plotë.

Kështu, metoda e zbritjes përfshin fillimisht shprehjen sekuenciale të një ndryshoreje përmes një tjetre, derisa të mos mbeten fraksione në paraqitjen e ndryshores, dhe më pas, "ngjitja" sekuenciale përgjatë zinxhirit të barazive për të marrë një zgjidhje të përgjithshme të ekuacionit.

12.Përfundim

Si rezultat i studimit, u konfirmua hipoteza se vështirësitë në zgjidhjen e ekuacioneve në numra të plotë janë për faktin se jo të gjitha metodat e zgjidhjes së tyre ishin të njohura për mua. Gjatë hulumtimit, arrita të gjej dhe të përshkruaj mënyra pak të njohura për zgjidhjen e ekuacioneve në numra të plotë, t'i ilustroj ato me shembuj. Rezultatet e hulumtimit tim mund të jenë të dobishme për të gjithë studentët e interesuar në matematikë.

13. Bibliografi

Burimet e librit:

1. N. Ya. Vilenkin et al., Algjebra dhe analiza matematikore / Klasa 10, Klasa 11 / / M., “Prosveshchenie”, 1998;

2. A. F. Ivanov etj., Matematikë. Materiale edukative dhe trajnimi për përgatitjen për provimin // Voronezh, GOUVPO VSTU, 2007

3. A. O. Gel’fond, Matematika, teoria e numrave// Zgjidhja e ekuacioneve në numra të plotë// Shtëpia e Librit LIBROCOM

Burimet e internetit:

4. Opsionet Demo kontrolloni materialet matëse të provimit të unifikuar të shtetit në matematikë http://fipi.ru/

5. Shembuj të zgjidhjeve të ekuacioneve në numra të plotë http://reshuege.ru

6. Shembuj të zgjidhjeve të ekuacioneve në numra të plotë http://mat-ege.ru

7. Historia e Ekuacioneve Diofantine http://www.goldenmuseum.com/1612Hilbert_rus.html

8. Historia e Diofantit http://nenuda.ru/%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F- % D1%81-%D0%B4%D0%B2%D1%83%D0%BC%D1%8F-%D0%BD%D0%B5%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5 % D1%81%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%BC%D0%B8-%D0%B2-%D1%86%D0%B5%D0%BB%D1%8B%D1%85 - %D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0%D1%85.htm

9. Historia e Ekuacioneve Diofantinehttp://dok.opredelim.com/docs/index-1732.html

10. Historia e Diofantit http://www.studfiles.ru/preview/4518769/

1.3 Mënyrat për të zgjidhur ekuacionet

Kur zgjidhim ekuacione në numra të plotë dhe natyror, mund të dallojmë me kusht metodat e mëposhtme:

1. Një mënyrë për të numëruar opsionet.

2. Algoritmi i Euklidit.

3. Thyesat e vazhdueshme.

4. Mënyra e faktorizimit.

5. Zgjidhja e ekuacioneve në numra të plotë si katrorë në lidhje me disa ndryshore.

6. Metoda e mbetjeve.

7. Metoda e zbritjes së pafundme.

Kapitulli 2

1. Shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve.

2.1 Algoritmi i Euklidit.

Detyra 1 . Zgjidheni ekuacionin në numra të plotë 407 X – 2816y = 33.

Le të përdorim algoritmin e përpiluar.

1. Duke përdorur algoritmin e Euklidit, gjejmë pjesëtuesin më të madh të përbashkët të numrave 407 dhe 2816:

2816 = 407 6 + 374;

407 = 374 1 + 33;

374 = 33 11 + 11;

Prandaj (407.2816) = 11, me 33 të pjesëtueshëm me 11

2. Ndani të dyja anët e ekuacionit origjinal me 11 për të marrë ekuacionin 37 X – 256y= 3, dhe (37, 256) = 1

3. Duke përdorur algoritmin Euklidian, gjejmë një paraqitje lineare të numrit 1 përmes numrave 37 dhe 256.

256 = 37 6 + 34;

Le të shprehim 1 nga barazia e fundit, pastaj duke u ngjitur radhazi barazive do të shprehim 3; 34 dhe zëvendësoni shprehjet që rezultojnë në shprehjen për 1.

1 = 34 – 3 11 = 34 – (37 – 34 1) 11 = 34 12 – 37 11 = (256 – 37 6) 12 – 37 11 =

– 83 37 – 256 (–12)

Kështu, 37 (- 83) - 256 (-12) = 1, pra çifti i numrave x 0= – 83 dhe në 0= – 12 është zgjidhja e ekuacionit 37 X – 256y = 3.

4. Shkruani formulën e përgjithshme për zgjidhjet e ekuacionit origjinal

ku t- çdo numër i plotë.

2.2 Mënyra për të numëruar opsionet.

Detyra 2. Lepujt dhe fazanët ulen në një kafaz, ata kanë gjithsej 18 këmbë. Zbuloni sa prej tyre dhe të tjerëve janë në qeli?

Zgjidhja: Përpilohet një ekuacion me dy ndryshore të panjohura, në të cilat x është numri i lepujve, y është numri i fazanëve:

4x + 2y = 18, ose 2x + y = 9.

shprehin në përmes X : y \u003d 9 - 2x.

Kështu, problemi ka katër zgjidhje.

Përgjigje: (1; 7), (2; 5), (3; 3), (4; 1).

2.3 Metoda e faktorizimit.

Numërimi i opsioneve gjatë gjetjes së zgjidhjeve natyrore të një ekuacioni me dy ndryshore rezulton të jetë shumë i mundimshëm. Gjithashtu, nëse ekuacioni ka e tërë zgjidhjet, është e pamundur t'i numërojmë ato, pasi ka një numër të pafund të zgjidhjeve të tilla. Prandaj, ne do të tregojmë një mashtrim tjetër - metoda e faktorizimit.

Detyra 3. Zgjidheni ekuacionin në numra të plotëy 3 - x 3 = 91.

Zgjidhje. 1) Duke përdorur formulat e shkurtuara të shumëzimit, ne zbërthejmë anën e djathtë të ekuacionit në faktorë:

(y - x)(y 2 + xy + x 2) = 91……………………….(1)

2) Shkruani të gjithë pjesëtuesit e numrit 91: ± 1; ± 7; ± 13; ±91

3) Ne kryejmë kërkime. Vini re se për çdo numër të plotë x dhe y numri

y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 - 2|y||x| + x 2 = (|y| - |x|) 2 ≥ 0,

prandaj, të dy faktorët në anën e majtë të ekuacionit duhet të jenë pozitivë. Atëherë ekuacioni (1) është i barabartë me një grup sistemesh ekuacionesh:

4) Pasi kemi zgjidhur sistemet, marrim: sistemi i parë ka zgjidhje (5; 6), (-6; -5); e treta (-3; 4), (-4; 3); zgjidhjet e dyta dhe të katërta në numra të plotë nuk kanë.

Përgjigje: ekuacioni (1) ka katër zgjidhje (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

Detyra 4. Gjeni të gjitha çiftet e numrave natyrorë që plotësojnë ekuacionin

Zgjidhje. Faktorizojmë anën e majtë të ekuacionit dhe e shkruajmë ekuacionin si

Sepse pjesëtuesit e numrit 69 janë numrat 1, 3, 23 dhe 69, atëherë 69 mund të merret në dy mënyra: 69=1 69 dhe 69=3 23. Duke pasur parasysh se

Sistemi i parë ka një zgjidhje

Përgjigje:

Detyra 5. Zgjidheni ekuacionin në numra të plotë:

Zgjidhje. E shkruajmë ekuacionin në formë

Le të faktorizojmë anën e majtë të ekuacionit. Marr

Prodhimi i dy numrave të plotë mund të jetë i barabartë me 1 vetëm në dy raste: nëse të dy janë të barabartë me 1 ose -1. Ne marrim dy sisteme:

Sistemi i parë ka zgjidhjen x=2, y=2, dhe sistemi i dytë ka zgjidhjen x=0, y=0.

Përgjigje:

Detyra 6. Zgjidheni ekuacionin në numra të plotë

Zgjidhje. Këtë ekuacion e shkruajmë në formë

Ne zbërthejmë anën e majtë të ekuacionit në faktorë me metodën e grupimit, marrim

Prodhimi i dy numrave të plotë mund të jetë i barabartë me 7 në rastet e mëposhtme:

7=1 7=7 1=-1 (-7)=-7 (-1) Kështu, marrim katër sisteme:

Zgjidhja e sistemit të parë është një çift numrash x = - 5, y = - 6. Duke zgjidhur sistemin e dytë, marrim x = 13, y = 6. Për sistemin e tretë, zgjidhja janë numrat x = 5, y = 6. Sistemi i katërt ka një zgjidhje x = - 13, y = - 6.

Detyra 7. Vërtetoni se ekuacioni ( x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 = 30 jo

Videoja e fundit iu kushtua ekuacioneve lineare që përmbajnë dy ndryshore. Kemi shqyrtuar vetitë kryesore të shprehjeve të tilla, mundësitë e transformimit dhe zgjidhjes së tyre, si dhe shfaqja grafik varësitë midis dy variablave.

Dihet se shumica dërrmuese e këtyre ekuacioneve kanë një grup përgjigjesh, të përfaqësuara gjithmonë nga një palë numrash. Ky çift ka vlera x dhe y. Konsideroni variantet e mundshme të rrënjëve të ekuacionit të formës së mëposhtme:

Natyrisht, çifti (4, 6) mund të jenë rrënjët e këtij ekuacioni:

Ose thyesat 1/5 dhe 1/3:

5(1/5) - 3(1/3) = 2

Në të dyja rastet, fitohet barazia e saktë, që do të thotë se të dy palët e rrënjëve janë të pranueshme si zgjidhje e ekuacionit të paraqitur. Por në të njëjtën kohë, një palë është thyesa, dhe e dyta përfaqësohet nga numra të plotë. Rrënjët e ekuacioneve me dy ndryshore që kanë vlera në numra të plotë quhen numra të plotë.
Shumë shpesh në matematikë ka probleme që kërkojnë zgjidhje me numra të plotë të ekuacioneve të tilla. Nga ana tjetër, disa variacione si:

nuk kanë një të tërë zgjidhje numerike përgjithësisht. Meqenëse për çdo vlerë të plotë të x dhe y, ju merrni një numër të plotë shprehje e përgjithshme ana e majtë (2x + 3y), e cila nuk mund të jetë e barabartë me një fraksion në asnjë mënyrë - domethënë, parimi i ruajtjes së barazisë do të shkelet.
Shqyrtoni zgjidhjet e mundshme të ekuacionit:

Le ta përkthejmë atë në një formë varësie duke përdorur transferimin përmes shenjës së barabartë dhe transformimeve identike:

Është mjaft e qartë se barazia e formës ruhet:

Ku n është çdo numër natyror, i cili mund të jetë një numër i plotë në vlerë. Kjo do të thotë, ekuacioni 7x - y \u003d -1 ka një grup zgjidhjesh me numra të plotë. Le të kontrollojmë çdo numër të plotë si x:

x = -3; y = -26

Ne tashmë e dimë formulën e përgjithshme abstrakte për përcaktimin e çdo ekuacioni linear me dy ndryshore:

Aty ku x dhe y janë variabla, a dhe b janë koeficientë të ndryshoreve dhe c është një term i lirë. Çdo ekuacion i ngjashëm me shprehjet lineare me x dhe y mund të reduktohet në një formë të tillë abstrakte me transformime ekuivalente. Studim i detajuar formulë e përgjithshme e bën të lehtë identifikimin e disa modeleve për sa i përket pranisë së zgjidhjeve me numra të plotë. Pra, nëse jepet një ekuacion i formës:

Në të cilat termi i lirë është një thyesë, atëherë rrënjët e ekuacionit nuk mund të jenë shprehje numerike integrale. Shuma ose ndryshimi i dy numrave të plotë, sipas ligjit të algjebrës elementare, nuk mund të jetë i barabartë me një shprehje thyesore.

Për shkak të numrit të madh zgjidhjet e mundshme, rrënjët e ekuacioneve me dy ndryshore ndonjëherë marrin formën jo të një çifti numrash individualë, por të një çifti dy formulash individuale - për x dhe për y. Për shembull, le të zgjidhim ekuacionin:

Për ta bërë këtë, ne duhet të bëjmë një sërë transformimesh. Le ta ndajmë monomin 20x në shumën identike 18x + 2x:

20x = 18x + 2x

18x + 2x + 3y = 10

Grupimojmë monomë që kanë koeficientë të shumtë numerik. Vlen të theksohet se ndryshorja x duhet të ndahet në një shumë në mënyrë që x të fitohet me një koeficient sa më të madh dhe një shumëfish të koeficientit numerik të ndryshores y. Meqenëse në shembullin tonë në y ka një trefish, atëherë ne thyejmë x me koeficientin maksimal të lejuar, shumëfish të tre. Pas grupimit, ne nxjerrim faktorin e përbashkët të shumëfishtë:

18x + 2x + 3y = 10

18x + 3y + 2x = 10

3(6x + y) + 2x = 10

Le të jetë shprehja në kllapa (6x + y) e barabartë me disa ndryshore c, atëherë:

3(6x + y) + 2x = 10

E ndajmë vlerën e ndryshores c sipas të njëjtit parim siç ndajmë koeficientin për x. Në këtë rast, duhet të zgjedhim një numër të caktuar që do të jetë shumëfish i dy (vlera në 2x), por jo më shumë se tre. Natyrisht do të jetë kështu:

2s + s + 2x = 10

Ne bëjmë të njëjtat ndryshime:

2s + s + 2x = 10

2(c + x) + c = 10

Le të shënojmë përmbajtjen e kllapave si n, pastaj:

2(c + x) + c = 10

Ne e zëvendësojmë barazinë që rezulton në vend të:

3(10 - 2n) + 2x = 10

Dhe ne zgjidhim ekuacionin që rezulton për ndryshoren x:

3(10 - 2n) + 2x = 10

30 - 6n + 2x = 10

2x \u003d 10 + 6n - 30

Është e përshtatshme të shkruhet:

6x + y \u003d n - x

Ne zëvendësojmë formulën që dimë për x për të llogaritur y:

6x + y \u003d n - x

6(- 10 + 3n) + y = n - (- 10 + 3n)

60 + 18n + y = n + 10 - 3n

y \u003d n + 10 - 3n + 60 - 18n

Rrënjët e ekuacionit 20x + 3y = 10 janë dy shprehje të formës:

Ku n është çdo numër i plotë - 0, 1, 2, etj. Kështu, për të përshkruar të gjithë shumëllojshmërinë e zgjidhjeve të mundshme të numrave të plotë, mënyra më e lehtë është të llogaritni disa formula për llogaritjen e shpejtë të x dhe y. Duke zëvendësuar çdo shprehje n në këto formula, mund të merrni lehtësisht çiftin e dëshiruar të numrave.