Tema e mësimit: "Perpendikulariteti i vijave dhe planeve në hapësirë"

GBPOU KK STTT

Mësues matematike

IVANKOVA NADEZHDA PETROVNA

Në klasë do të bëjmë...

Gjej...

pyetja 1. Cilat drejtëza në hapësirë ​​quhen pingule?

Drejtëzat në hapësirë ​​quhen pingul nëse këndi ndërmjet tyre është 90 0

a

b

A

α

Pyetja 2.

Formuloni një lemë për pingulitetin e dy drejtëzave paralele me një të tretën

a

b

Me

M

A

C

α

Pyetja 3 .

Cila drejtëzë quhet pingul me rrafshin?

Pyetja 4. Formuloni një shenjë të pingulitetit të një drejtëze dhe një rrafshi.

a

Jepet: a r, a q

Vërtetoni: a α

A

l

P

q

P

fq

m

α

L

B

Pyetja 5 .

Çfarë është distanca

pikë në aeroplan?

Distanca nga një pikë në një plan është gjatësia e pingules nga një pikë e caktuar në një plan

A

a

b

AT

α

Pyetja 6 .

Sa është distanca ndërmjet vijës dhe

një rrafsh paralel me të?

a

b

Me

α

Pyetja 7 .

Sa është distanca ndërmjet

plane paralele?

A

për të

Pyetje 8 .

Cilat drejtëza quhen të kryqëzuara?

b

α

a



Përgjigje: Vijat kryqëzuese janë vija që nuk shtrihen në të njëjtin rrafsh.

Pyetja 9. Si të matni distancën midis vijave të kryqëzuara?

Largësia është e barabartë me distancën nga çdo pikë e njërës prej këtyre drejtëzave në rrafshin që kalon nga vija e dytë, paralel me të parën.

Largësia ndërmjet dy vijave të kryqëzuara është e barabartë me distancën ndërmjet dy rrafsheve paralele që përmbajnë këto drejtëza.

Distanca midis dy vijave të kryqëzuara është e barabartë me gjatësinë e pingules së tyre të përbashkët (ka vetëm një segment të tillë).

Vërtetoni teoremën e tre pingulave

AN - pingul me rrafshin

AB - i zhdrejtë

VH - projeksioni i AB në një aeroplan

Nëse një BH, atëherë një AB

a

Vërtetoni një teoremë të kundërt me teoremën e tre pingulave

α

A nuk shtrihet në aeroplan

Dhe D është pingul me rrafshin α

AB - i zhdrejtë

B D është projeksioni i AB në rrafshin α

Nëse një AB, atëherë një B D

a

α

Jepet: MS ┴ ABC

Gjeni: AC

ABCD është një romb.

Vërtetoni: MO ┴ ABC

Jepet: DA ┴ ABC

Jepet: ABCD - paralelogram, MB ┴ ABC

Vërtetoni: ABCD është një drejtkëndësh

a

Pyetja 10:

Si quhet këndi ndërmjet drejtëzës dhe rrafshit?

Përcaktoni një kënd dihedral.

Si matet këndi dihedral?

a

Pyetja 11 : Si quhen aeroplanët

pingul?

Pyetja 12 : Formuloni dhe vërtetoni shenjën

pinguliteti i dy planeve.

α

Pyetja 13: Çfarë paralelepiped

quhet drejtkëndëshe?

Pyetja 14: Listoni vetitë e një drejtkëndëshi

paralelipiped.

Pyetja 15:

Formuloni dhe

vërtetojnë teoremën diagonale

drejtkëndëshe

paralelipiped.

Zgjidhe problemin:

Jepet: ABC D - drejtkëndësh,

MV ⊥ (ABC).

Provoni: (AMV) ⊥ (MVS)

në piramidë DABC dihen gjatësitë e skajeve: AB=AC= DB=DC =10, BC= DA =12. gjeni distancën midis vijave DA dhe VS.

trekëndëshat bdc dhe ABC izosceles

D M – lartësia ∆ bdc , D M - mesatarja,

JAM – mesatarja ∆ AB C → JAM - lartësia.

∆ POR para Krishtit = ∆ bdc në tre anët D M = JAM → ∆ AMD izosceles

MK - mesatarja dhe lartësia.

ZNJ ⊥ AMD → ZNJ ⊥ MK,

pas Krishtit ⊥ MK , MK është pingulja e përbashkët e drejtëzave prerëse

pas Krishtit dhe dielli

∆ AVM drejtkëndëshe, AB=10,

VM=6, AM=8.

∆ AKK drejtkëndëshe, AM=8,

AK=6 , MK=2 √ 7.

Zgjidheni problemin (sipas figurës):

a

Le të vizatojmë BE ⊥ AC, CE = EA, meqenëse ΔABC është dykëndësh dhe lartësia është gjithashtu një mesatare.

atëherë nga teorema 3 pingule DE ⊥ AC.

A është e vërtetë deklarata?

Drejt aështë pingul me rrafshin α, dhe drejtëzën b

jo pingul me këtë rrafsh. A munden ata

drejt a dhe b të jetë paralel?

b ?

a



A është e vërtetë deklarata?

Drejtëza a është paralele me rrafshin α, dhe drejtëza b

pingul me këtë rrafsh. A ekziston

një drejtëz pingul me drejtëzat a dhe b?

b

a

α

A është e vërtetë deklarata?

Të gjitha drejtëzat pingul me një plan të caktuar

dhe prerja e drejtëzës së dhënë shtrihen në të njëjtën

aeroplanët.

a

b

Me

d

α

A është e vërtetë deklarata?

A është e mundur të vizatohen tre

aeroplanë, secili prej të cilëve dy janë reciprokisht

pingul?

BURIMET:

Libër mësuesi Gjeometria klasa 10 AtanasyanL.S. etj M.: Iluminizmi. 2001

http://5terka.com/node/7155

http://vremyazabav.ru/zanimatelno/rebusi/rebusi-slova/82-rebusi-po-matematike.html

Për të përdorur pamjen paraprake të prezantimeve, krijoni një llogari (llogari) Google dhe regjistrohuni: https://accounts.google.com

Titrat e rrëshqitjeve:

Perpendikulariteti i drejtëzave dhe planeve

Drejtëza pingule në hapësirë ​​Dy drejtëza quhen pingul nëse këndi ndërmjet tyre është 90 o a b c a  b c  b α

Lema Nëse njëra nga dy drejtëzat paralele është pingul me drejtëzën e tretë, atëherë drejtëza tjetër është gjithashtu pingul me këtë drejtëz. A C a α M b c Jepet: a || b, a  c Vërtetoni: b  c Vërtetim:

Një drejtëz quhet pingul me një rrafsh nëse është pingul me çdo drejtëz që shtrihet në këtë rrafsh α a a  α

Teorema 1 Nëse njëra nga dy drejtëzat paralele është pingul me një rrafsh, atëherë drejtëza tjetër është gjithashtu pingul me këtë rrafsh. α x Jepet: a || a 1; a  α Vërtetoni: a 1  α Vërtetim: a a 1

Teorema 2 α Vërtetoni: a || b Vërtetim: a Nëse dy drejtëza janë pingul me një rrafsh, atëherë ato janë paralele. β b 1 Jepet: a  α ; b  α b M c

Shenja e pingulitetit të një drejtëze dhe një rrafshi Nëse një drejtëz është pingul me dy drejtëza të kryqëzuara që shtrihen në një rrafsh, atëherë ajo është pingul me këtë rrafsh. α q Vërtetoni: a  α Vërtetim: a p m O Jepet: a  p ; a  q p  α ; q  α p ∩ q = O

α q l m O a p B P Q Vërtetim: L a) rasti i veçantë A

α q a p m O Vërtetim: a) rasti i përgjithshëm a 1

Teorema 4 Në çdo pikë të hapësirës kalon një drejtëz pingul me rrafshin e dhënë, dhe për më tepër, vetëm një. α a β М b с Vërtetoni: 1) ∃ с, с  α , М  с; 2) me - ! Vërtetim: Jepet: α ; M  α

Detyra Gjeni: MD A B D M Zgjidhje: Jepet:  ABC ; MBBC; MBBA; MB = BD = a Vërtetoni: М B  BD C a a

Problemi 128 Vërtetoni: O M  (ABC) Jepet: ABCD është paralelogram; AC ∩ BD = O ; M  (ABC); MA = MC, MB = MD A B D C O M Dëshmi:

Detyra 12 2 Gjeni: AD; BD; AK; B.K. A B D C O K Zgjidhje: Jepen:  ABC – r/s; O - qendër  ABC CD  (ABC); OK || CD A B = 16  3 , OK = 12; CD = 16 12 16

pingul dhe i zhdrejtë M A B N α MN  α A  α B  α

Teorema mbi tre pingulet Një vijë e drejtë e tërhequr në një rrafsh përmes bazës së një drejtëze të pjerrët pingul me projeksionin e saj në këtë rrafsh është pingul me vetë vijën e pjerrët. A N M α β a Jepet: a  α , AN  α , AM është i zhdrejtë, a  NM, M  a Vërtetoni: a  AM Vërtetim:

Teorema e kundërt me teoremën e tre pingulave Një vijë e drejtë e tërhequr në një rrafsh përmes bazës së një pingule të pjerrët me të është gjithashtu pingul me projeksionin e saj. A N M α β a Jepet: a  α , AN  α , AM është i zhdrejtë, a  AM, M  a Vërtetoni: a  HM Vërtetim:

Këndi ndërmjet drejtëzës dhe rrafshit A N α β a O φ (a; α) =  AON = φ

Me temën: zhvillime metodologjike, prezantime dhe shënime

Prezantimi me temën “Perpendikulariteti i drejtëzës dhe rrafshit” korrespondon me materialin teorik të studiuar në këtë seksion të gjeometrisë së ngurtë....

Prezantohet zhvillimi i orës së mësimit në klasën 10, në gjeometri për materialet mësimore: Gjeometria për klasat 10-11, autorët L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev dhe të tjerët Ky është një mësim për të mësuar materiale të reja duke përdorur ...

Seksionet: Matematika

Objektivat e mësimit:

• të identifikojë nivelin e zotërimit të një kompleksi njohurish dhe aftësish për të zgjidhur problemet në një temë të caktuar,
• zhvillojnë imagjinatën hapësinore, të menduarit logjik, vëmendjen dhe kujtesën,
• edukojnë aktivitetin, aftësinë për të dëgjuar.

Pajisjet e mësimit:

• tekst shkollor L.S. Atanasyan dhe të tjerë "Gjeometria 10-11";
• fletore pune;
• Kompjuter personal;
• projektor multimedial;
• tabela interaktive;
• prezantimi i autorit i përgatitur duke përdorur Microsoft Power Point ( Shtojca 1 )

Struktura e mësimit:

1. Koha e organizimit.
2. Përditësimi i njohurive të nxënësve për temën.
3. Konsolidimi i njohurive të fituara më parë dhe zhvillimi i aftësive dhe aftësive për të zbatuar këto njohuri në zgjidhjen e problemeve.
4. Duke përmbledhur mësimin.
5. Detyre shtepie.

GJATË KLASËVE

1. Momenti organizativ i orës së mësimit: përshëndetje, kontrollim i gatishmërisë për mësim.

2. Përditësimi i njohurive të marra nga nxënësit në mësimin e mëparshëm:

- koncepti i drejtëzave pingule në hapësirë;
- pinguliteti i drejtëzës dhe rrafshit;
– vetitë e drejtëzave paralele pingul me rrafshin.

Për të përditësuar njohuritë njëri nxënës shkon në dërrasën e zezë dhe shënon zgjidhjen e problemit nr. 119a), nxënësi i dytë është vërtetimi i teoremës në drejtëzat paralele pingul me rrafshin.

Ndërsa ata janë duke u përgatitur, një sondazh frontal i klasës:

Cili është pozicioni relativ i dy drejtëzave në hapësirë?
- Në çfarë diapazoni matet këndi ndërmjet drejtëzave në hapësirë?
Cilat drejtëza në hapësirë ​​quhen pingule?
- Formuloni një lemë rreth dy drejtëzave paralele pingul me të tretën.
– Vendosni rendin e saktë të veprimeve në vërtetimin e lemës.

Pas ekzekutimit të vërtetimit online.

Mësues: Përcaktoni pingulitetin e drejtëzës dhe rrafshit.

Mësues: Formuloni teoremën e anasjelltë.

Kontrollimi i saktësisë së zgjidhjes së problemit të shtëpisë nr.119a (duke përdorur barazinë e trekëndëshave).

3. Zhvillimi i aftësive dhe aftësive për të zbatuar njohuritë teorike në zgjidhjen e problemeve

1) Ushtrime me gojë.

№1 Drejtëza AB është pingul me rrafshin, pikat M dhe K i përkasin këtij rrafshi. Vërtetoni se drejtëza AB është pingul me drejtëzën MK.

2) Ushtrime me shkrim .

№2 Në katrorin ABCD, t.O është pika e prerjes së diagonaleve të tij. MO e drejtpërdrejtë është pingul me rrafshin e katrorit. Vërtetoni se MA = MB = MC = MD.

№3 Brinja AB e paralelogramit ABCD është pingul me rrafshin. Gjeni BD nëse AC = 10 cm.

4. Kontrollimi i asimilimit të njohurive të marra gjatë testit

5. Përmbledhja e mësimit

Shkruani një detyrë shtëpie: pikat 15-16, nr. 118 nr. 120

Prezantimi "Vijat pingule në hapësirë" është një mjet vizual për demonstrimin e materialit edukativ gjatë studimit të temës me të njëjtin emër në shkollë. Është e vështirë të përfaqësosh figurat në hapësirë ​​duke përdorur një dërrasë të zezë ose mjete të tjera standarde të mësuesit. Prezantimi është një nga format më të preferuara të demonstrimit të materialit vizual, ku kërkohet të përshkruhen trupat në hapësirë. Gjatë krijimit të një prezantimi, animacioni, përfaqësimi me ngjyra i figurave mund të përdoret. Gjithashtu, prezantimi i animuar kontribuon në një kuptim më të thellë të proceseve dhe transformimeve të demonstruara, përqendron vëmendjen e studentëve në lëndën që studiohet.

Gjatë prezantimit nxënësit marrin një ide për drejtëzat që janë pingule në hapësirë, formulohet dhe vërtetohet një lemë e rëndësishme për pingulitetin e drejtëzës me të dy drejtëzat paralele kur njëra prej tyre është pingule dhe zgjidhja e problemit duke përdorur materialin e studiuar. është përshkruar. Me ndihmën e prezantimit, mësuesi e ka më të lehtë të formojë aftësinë e nxënësve për zgjidhjen e problemeve gjeometrike, për të dhënë një ide për vetitë e atyre në hapësirë. Materiali i demonstruar gjatë prezantimit është më i lehtë për t'u kuptuar dhe mbajtur mend.

Prezantimi fillon me një kujtesë se çfarë këndi mund të formohet midis dy vijave të drejta të vendosura në një plan dhe që kryqëzohen me njëra-tjetrën. Figura tregon një rrafsh të caktuar mbi të cilin ndërtohen drejtëzat a dhe b. Kur këto drejtëza kryqëzohen, formohet një kënd α. Vlera e këndit mund të jetë nga 0° deri në 90°. Këndet vertikale të formuara nga kryqëzimi i vijave janë të barabarta, dhe këndi ngjitur përcaktohet me formulën 180°-α. Këto janë njohuri teorike që studenti duhet të mbajë mend përpara se të studiojë vetitë e drejtëzave pingul me hapësirën. Në rrëshqitjen tjetër, për të demonstruar më mirë pozicionin e ndërsjellë të vijave në hapësirë, paraqitet një paralelipiped drejtkëndor ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, në të cilin skajet AA 1 dhe AB janë pingul. Formulohet përkufizimi i vijave pingule, të cilat quhen të tilla nëse këndi midis tyre është 90 °. Vihet re gjithashtu se në një paralelipiped drejtkëndor, drejtëzat D 1 C 1 dhe DD 1 do të jenë gjithashtu pingul me njëra-tjetrën. Kujtojmë gjithashtu shënimin e pingulitetit të drejtëzave D 1 C 1 ┴ DD 1 . Më pas, shënohen çifte vijash në paralelipiped, të cilat do të jenë paralele dhe pingule me njëra-tjetrën. Vihet re se AA 1 ┴ AD, DD 1 ┴ AD do të jenë pingul, dhe AA 1 dhe DD 1 janë paralele.

Është paraqitur lema e mëposhtme, e cila thotë se nëse njëra nga drejtëzat paralele është pingul me ndonjë drejtëz të tretë, atëherë edhe drejtëza e dytë paralele do të jetë pingul me të. Theksohet formulimi i lemës për memorizimin në kornizë dhe me ndihmën e ngjyrës. Prova e lemës është demonstruar. Figura tregon dy drejtëza paralele a dhe b, si dhe një drejtëzë c, e cila dihet se është pingul me a. është e nevojshme të vërtetohet se b dhe c janë gjithashtu pingul. Për të vërtetuar këtë pohim, ndërtohet një pikë shtesë M, e cila nuk i përket as a-së, as b-së. Në këtë pikë vizatohet një drejtëz MA, paralele me a. MS kryhet gjithashtu, paralelisht me. Perpendikulariteti i a në c do të thotë se ∠AMS=90°. Nga paralelizmi i a dhe b, si dhe paralelizmi i a me MA, vijon paralelizmi i bto MA. Meqenëse b është paralel me MA, dhe c është paralel me MC, dhe këndi ∠AMC=90°, atëherë b është pingul me c. Pohimi është vërtetuar.

Sllajdi i fundit paraqet një përshkrim të zgjidhjes së problemit në të cilin kërkohet të vërtetohet pingulja e skajit të tetraedrit AM dhe drejtëzës PQ. Në problem, jepet një katërkëndor MABC, në të cilin AM është pingul me BC. Në buzën AB është shënuar një pikë P. Dihet se AP/AB=2/3. Kurse në buzë Ac shënohet pika Q e cila e ndan skajin në raportin AQ/QC=2/1. Nga relacioni AQ/QC=2/1 rrjedh relacioni Δ/AC=2/3. Nga AQ/AC e gjetur, relacioni i njohur АР/АВ dhe fakti që këndi ∠А është i përbashkët, del se trekëndëshat ΔARQ dhe ΔABS janë të ngjashëm. Njëkohësisht nga barazia e këndeve ∠ARQ=∠ABS, ∠AQP=∠ABC drejtëzat PQ dhe BC janë paralele. Duke ditur që brinjët Am dhe BC janë pingule dhe PQ është paralele me BC, duke përdorur lemën e njohur, mund të pohojmë se AM është pingul me PQ. Problemi u zgjidh.

Prezantimi "Vijat pingule në hapësirë" do ta ndihmojë mësuesin në zhvillimin e një ore mësimore të gjeometrisë në shkollë. Gjithashtu, materiali vizual është i dobishëm për një mësues që kryen trajnime nga distanca. Prezantimi mund t'i rekomandohet një studenti që studion në mënyrë të pavarur lëndën ose kërkon materiale shtesë për një kuptim më të thellë.