mos humbisni. Abonohuni dhe merrni një lidhje për artikullin në emailin tuaj.

Duke ndërvepruar çdo ditë në punë ose studim me numra dhe numra, shumë prej nesh as nuk dyshojnë se ekziston një ligj shumë interesant. numra të mëdhenj përdoret, për shembull, në statistika, ekonomi, madje edhe kërkime psikologjike dhe pedagogjike. Ai i referohet teorisë së probabilitetit dhe thotë se mesatarja aritmetike e çdo kampioni të madh nga një shpërndarje fikse është afër pritshmërisë matematikore të kësaj shpërndarjeje.

Ju ndoshta keni vënë re se nuk është e lehtë të kuptosh thelbin e këtij ligji, veçanërisht për ata që nuk janë veçanërisht miqësorë me matematikën. Bazuar në këtë, ne do të donim të flasim për të gjuhë e thjeshtë(për aq sa është e mundur, sigurisht), në mënyrë që të gjithë të paktën të kuptojnë përafërsisht vetë se çfarë është. Kjo njohuri do t'ju ndihmojë të kuptoni më mirë disa modele matematikore, të bëheni më erudit dhe të ndikoni pozitivisht.

Konceptet e ligjit të numrave të mëdhenj dhe interpretimi i tij

Përveç përkufizimit të mësipërm të ligjit të numrave të mëdhenj në teorinë e probabilitetit, mund të japim interpretimin ekonomik të tij. Në këtë rast, është parimi që shpeshtësia e një lloji të caktuar të humbjes financiare mund të parashikohet me një shkallë të lartë sigurie kur ka nivel të lartë humbjet e llojeve të tilla në përgjithësi.

Përveç kësaj, në varësi të nivelit të konvergjencës së veçorive, mund të dallojmë ligjet e dobëta dhe të forcuara të numrave të mëdhenj. Për të dobëtit po flasim, kur konvergjenca ekziston në probabilitet, dhe rreth e zgjeruar - kur konvergjenca ekziston pothuajse në çdo gjë.

Nëse e interpretojmë pak më ndryshe, atëherë duhet të themi këtë: është gjithmonë e mundur të gjendet një numër kaq i kufizuar provash, ku, me çdo probabilitet të para-programuar më pak se një, frekuenca relative e shfaqjes së ndonjë ngjarjeje do të ndryshojë shumë. pak nga probabiliteti i tij.

Kështu, thelbi i përgjithshëm i ligjit të numrave të mëdhenj mund të shprehet si vijon: rezultati i veprimit kompleks të një numri të madh faktorësh të rastit identikë dhe të pavarur do të jetë një rezultat i tillë që nuk varet nga rastësia. Dhe duke folur në një gjuhë edhe më të thjeshtë, atëherë në ligjin e numrave të mëdhenj, ligjet sasiore të dukurive masive do të shfaqen qartë vetëm kur të ketë një numër të madh të tyre (prandaj ligji i numrave të mëdhenj quhet ligj).

Nga kjo mund të konkludojmë se thelbi i ligjit është se në numrat që përftohen me vëzhgim masiv, ka njëfarë korrektësie, e cila është e pamundur të zbulohet në një numër të vogël faktesh.

Thelbi i ligjit të numrave të mëdhenj dhe shembujt e tij

Ligji i numrave të mëdhenj shpreh modelet më të përgjithshme të rastësisë dhe të domosdoshmes. Kur devijimet e rastësishme “shuarin” njëra-tjetrën, mesataret e përcaktuara për të njëjtën strukturë marrin formën e atyre tipike. Ato pasqyrojnë funksionimin e fakteve thelbësore dhe të përhershme në kushtet specifike të kohës dhe vendit.

Rregullsitë e përcaktuara nga ligji i numrave të mëdhenj janë të forta vetëm kur përfaqësojnë tendenca masive dhe nuk mund të jenë ligje për raste individuale. Kështu, parimi statistika matematikore, i cili thotë se veprimi kompleks i një numri faktorësh të rastësishëm mund të shkaktojë një rezultat jo të rastësishëm. Dhe shembulli më i mrekullueshëm i funksionimit të këtij parimi është konvergjenca e shpeshtësisë së shfaqjes së një ngjarjeje të rastësishme dhe probabiliteti i saj kur rritet numri i provave.

Le të kujtojmë hedhjen e zakonshme të monedhës. Teorikisht, kokat dhe bishtat mund të bien me të njëjtën probabilitet. Kjo do të thotë që nëse, për shembull, një monedhë hidhet 10 herë, 5 prej tyre duhet të dalin lart dhe 5 duhet të dalin lart. Por të gjithë e dinë që kjo pothuajse nuk ndodh kurrë, sepse raporti i frekuencës së kokave dhe bishtave mund të jetë 4 me 6, dhe 9 me 1, dhe 2 me 8, etj. Sidoqoftë, me një rritje të numrit të hedhjeve të monedhave, për shembull, deri në 100, probabiliteti që kokat ose bishtat të bien arrin 50%. Nëse, teorikisht, kryhen një numër i pafund eksperimentesh të tilla, probabiliteti që një monedhë të bjerë nga të dyja anët do të priret gjithmonë në 50%.

Se si saktësisht do të bjerë monedha ndikohet nga një numër i madh faktorësh të rastësishëm. Ky është pozicioni i monedhës në pëllëmbën e dorës, forca me të cilën bëhet hedhja, lartësia e rënies dhe shpejtësia e saj, etj. Por nëse ka shumë eksperimente, pavarësisht se si veprojnë faktorët, gjithmonë mund të argumentohet se probabiliteti praktik është afër probabilitetit teorik.

Dhe këtu është një shembull tjetër që do të ndihmojë për të kuptuar thelbin e ligjit të numrave të mëdhenj: supozoni se duhet të vlerësojmë nivelin e të ardhurave të njerëzve në një rajon të caktuar. Nëse marrim parasysh 10 vëzhgime, ku 9 persona marrin 20 mijë rubla, dhe 1 person - 500 mijë rubla, mesatarja aritmetike do të jetë 68 mijë rubla, gjë që, natyrisht, nuk ka gjasa. Por nëse marrim parasysh 100 vëzhgime, ku 99 persona marrin 20 mijë rubla, dhe 1 person - 500 mijë rubla, atëherë kur llogaritim mesataren aritmetike, marrim 24.8 mijë rubla, që tashmë është më afër gjendjes reale të punëve. Duke rritur numrin e vëzhgimeve, ne do të detyrojmë vlerën mesatare të priret në vlerën e vërtetë.

Është për këtë arsye që për të zbatuar ligjin e numrave të mëdhenj, fillimisht është e nevojshme të mblidhen materiale statistikore për të marrë rezultate të vërteta duke studiuar numër i madh vëzhgimet. Kjo është arsyeja pse është e përshtatshme të përdoret ky ligj, përsëri, në statistika ose ekonomi sociale.

Duke përmbledhur

Rëndësia e funksionimit të ligjit të numrave të mëdhenj nuk mund të mbivlerësohet në asnjë fushë. njohuritë shkencore, dhe veçanërisht për zhvillimet shkencore në fushën e teorisë së statistikave dhe metodave të njohurive statistikore. Veprimi i ligjit ka rëndësi të madhe edhe për vetë objektet në studim me rregullsitë e tyre masive. Pothuajse të gjitha metodat e vëzhgimit statistikor bazohen në ligjin e numrave të mëdhenj dhe në parimin e statistikave matematikore.

Por, edhe pa marrë parasysh shkencën dhe statistikën si të tilla, mund të konkludojmë me siguri se ligji i numrave të mëdhenj nuk është thjesht një fenomen nga fusha e teorisë së probabilitetit, por një fenomen që e hasim pothuajse çdo ditë në jetën tonë.

Shpresojmë që tani thelbi i ligjit të numrave të mëdhenj është bërë më i qartë për ju, dhe ju mund ta shpjegoni atë me lehtësi dhe thjesht dikujt tjetër. Dhe nëse tema e matematikës dhe teorisë së probabilitetit është interesante për ju në parim, atëherë ju rekomandojmë të lexoni rreth dhe. Gjithashtu njihuni me dhe. Dhe, sigurisht, kushtojini vëmendje tonës, sepse pasi ta kaloni atë, jo vetëm që do të zotëroni teknika të reja të të menduarit, por gjithashtu do të përmirësoni aftësitë tuaja njohëse në përgjithësi, përfshirë ato matematikore.

LIGJI I NUMRAVE TË MADHË

një parim i përgjithshëm, në bazë të të cilit kombinimi i faktorëve të rastësishëm çon, në disa kushte shumë të përgjithshme, në një rezultat pothuajse të pavarur nga rastësia. Konvergjenca e frekuencës së shfaqjes së një ngjarjeje të rastësishme me probabilitetin e saj me një rritje të numrit të provave (e shënuar së pari, me sa duket, në lojërat e fatit) mund të shërbejë si shembulli i parë i funksionimit të këtij parimi.

Në kapërcyellin e shekujve 17 dhe 18. J. Bernoulli vërtetoi një teoremë duke thënë se në një sekuencë provash të pavarura, në secilën prej të cilave ndodhja e një ngjarjeje të caktuar A ka të njëjtën vlerë, relacioni është i vërtetë:

për çdo - numri i dukurive të ngjarjes në provat e para, - frekuenca e dukurive. Kjo Teorema e Bernulit u zgjerua nga S. Poisson në rastin e një sekuence provash të pavarura, ku probabiliteti i ndodhjes së një ngjarje A mund të varet nga numri i provës. Le të jetë e barabartë kjo probabilitet për provën k-të dhe le

Pastaj Teorema Poisson Shtetet që

për çdo Rigoroziteti i parë i kësaj teoreme është dhënë nga PL Chebyshev (1846), metoda e të cilit është krejtësisht e ndryshme nga metoda e Poisson-it dhe bazohet në disa konsiderata ekstreme; S. Poisson nxori (2) nga një formulë e përafërt për probabilitetin e specifikuar, bazuar në përdorimin e ligjit të Gausit dhe në atë kohë ende i pa vërtetuar rreptësisht. S. Poisson gjithashtu hasi për herë të parë termin "ligji i numrave të mëdhenj", të cilin ai e quajti përgjithësimin e tij të teoremës së Bernulit.

Një përgjithësim i mëtejshëm natyror i teoremave të Bernulit dhe Poisson-it lind nëse vërejmë se variablat e rastësishëm mund të paraqitet si një shumë

variablat e pavarura të rastësishme, ku nëse A shfaqet në Testi A-m, dhe - ndryshe. Në të njëjtën kohë, matematikore pritshmëria (që përkon me mesataren aritmetike të pritjeve matematikore) është e barabartë me p për rastin Bernoulli dhe për rastin Poisson. Me fjalë të tjera, në të dyja rastet, merret parasysh devijimi i mesatares aritmetike X k nga mesatarja aritmetike e matematikës së tyre. pritjet.

Në veprën e P. L. Chebyshev "Për vlerat mesatare" (1867), u vërtetua se për variablat e pavarur të rastësishëm relacioni

(për çdo ) është e vërtetë sipas supozimeve shumë të përgjithshme. P. L. Chebyshev supozoi se matematika. pritjet kufizohen të gjitha nga e njëjta konstante, megjithëse është e qartë nga prova e tij se mjafton të kërkohet që variancat të kufizohen

apo edhe kërkesa

Kështu, P. L. Chebyshev tregoi mundësinë e një përgjithësimi të gjerë të teoremës së Bernulit. A. A. Markov vuri në dukje mundësinë e përgjithësimeve të mëtejshme dhe sugjeroi përdorimin e emrit B. h. për të gjithë grupin e përgjithësimeve të teoremës së Bernulit [dhe, në veçanti, në (3)]. Metoda e Chebyshev bazohet në përcaktimin e saktë të vetive të përgjithshme të matematikës. pritjet dhe mbi përdorimin e të ashtuquajturit. pabarazitë e Chebyshev[për probabilitetin (3) jep një vlerësim të formës

ky kufi mund të zëvendësohet nga një më i saktë, natyrisht, me kufizime më të rëndësishme, shih Fig. pabarazia e Bernsteinit]. Dëshmitë e mëvonshme të formave të ndryshme të B. h. në një farë mase, ato janë një zhvillim i metodës Chebyshev. Duke aplikuar "reduktimin" e duhur të variablave të rastit (duke i zëvendësuar ato me ndryshore ndihmëse, përkatësisht: , nëse ku janë disa konstante), A. A. Markov zgjeroi B. ch. për rastet kur variancat e termave nuk ekzistojnë. Për shembull, ai tregoi se (3) vlen nëse për disa konstante dhe të gjithë dhe

Dukuria e stabilizimit të frekuencave të shfaqjes së ngjarjeve të rastësishme, e zbuluar në një material të madh dhe të larmishëm, në fillim nuk kishte asnjë justifikim dhe u perceptua si një fakt thjesht empirik. Rezultati i parë teorik në këtë fushë ishte teorema e famshme e Bernulit e botuar në 1713, e cila hodhi themelet për ligjet e numrave të mëdhenj.

Teorema e Bernulit në përmbajtjen e saj është një teoremë kufitare, d.m.th., një deklaratë e kuptimit asimptotik, duke thënë se çfarë do të ndodhë me parametrat probabilistë me një numër të madh vëzhgimesh. Paraardhësi i të gjitha pohimeve të shumta moderne të këtij lloji është pikërisht teorema e Bernulit.

Sot duket se ligji matematikor i numrave të mëdhenj është një pasqyrim i disave pronë e përbashkët shumë procese reale.

Duke pasur dëshirën për t'i dhënë ligjit të numrave të mëdhenj sa më shumë shtrirje që të jetë e mundur, që korrespondon me mundësitë e mundshme jo të shterura për zbatimin e këtij ligji, një nga matematikanët më të mëdhenj të shekullit tonë A. N. Kolmogorov formuloi thelbin e tij si më poshtë: ligji i numrave të mëdhenj është “një parim i përgjithshëm, në bazë të të cilit kumulativi veprimi i një numri të madh faktorësh të rastësishëm çon në një rezultat pothuajse të pavarur nga rastësia.

Kështu, ligji i numrave të mëdhenj ka, si të thuash, dy interpretime. Njëra është matematikore, e lidhur me modele, formulime, teori specifike matematikore dhe e dyta është më e përgjithshme, duke shkuar përtej këtij kuadri. Interpretimi i dytë shoqërohet me fenomenin e formimit, shpesh të vërejtur në praktikë, të një veprimi të drejtuar në një shkallë ose në një tjetër në sfondin e një numri të madh faktorësh veprues të fshehur ose të dukshëm që nuk kanë një vazhdimësi të tillë nga jashtë. Shembuj që lidhen me interpretimin e dytë janë çmimi në tregun e lirë, formimi i opinionit publik për një çështje të caktuar.

Pasi kemi vënë re këtë interpretim të përgjithshëm të ligjit të numrave të mëdhenj, le t'i drejtohemi formulimeve specifike matematikore të këtij ligji.

Siç thamë më lart, e para dhe në thelb më e rëndësishmja për teorinë e probabilitetit është teorema e Bernulit. Përmbajtja e këtij fakti matematikor, i cili pasqyron një nga rregullsitë më të rëndësishme të botës përreth, reduktohet në vijim.

Konsideroni një sekuencë testesh të palidhura (d.m.th., të pavarura), kushtet për të cilat riprodhohen pa ndryshim nga testi në test. Rezultati i çdo testi është shfaqja ose mosparaqitja e ngjarjes me interes për ne. POR.

Kjo procedurë (skema Bernoulli) padyshim mund të konsiderohet tipike për shumë fusha praktike: "djalë - vajzë" në sekuencën e të porsalindurve, vëzhgimet e përditshme meteorologjike ("binte shi - nuk ishte"), kontrolli i fluksit të produkteve të prodhuara (" normal - i dëmtuar") etj.

Frekuenca e ndodhjes së ngjarjes POR në P prova ( t A -

frekuenca e ngjarjeve POR në P teste) ka me rritjen P tendenca për të stabilizuar vlerën e saj, ky është një fakt empirik.

Teorema e Bernulit. Le të zgjedhim çdo numër pozitiv arbitrarisht të vogël e. Pastaj

Theksojmë se fakti matematik i vendosur nga Bernoulli në një të caktuar modeli matematik(në skemën Bernoulli) nuk duhet të ngatërrohet me rregullsinë e vendosur në mënyrë empirike të stabilitetit të frekuencës. Bernoulli nuk u mjaftua vetëm me deklaratën e formulës (9.1), por, duke marrë parasysh nevojat e praktikës, ai dha një vlerësim të pabarazisë së pranishme në këtë formulë. Ne do t'i kthehemi këtij interpretimi më poshtë.

Ligji i numrave të mëdhenj i Bernulit ka qenë objekt i kërkimit nga një numër i madh matematikanësh që kanë kërkuar ta përsosin atë. Një përpunim i tillë u mor nga matematikani anglez Moivre dhe aktualisht quhet teorema Moivre-Laplace. Në skemën Bernoulli, merrni parasysh sekuencën e sasive të normalizuara:

Teorema integrale e Moivre - Laplace. Zgjidhni çdo dy numra X ( dhe x 2 . Në këtë rast, x, x 7, atëherë kur P -» °°

Nëse në anën e djathtë të formulës (9.3) ndryshorja x x priren në pafundësi, atëherë kufiri që rezulton, i cili varet vetëm nga x 2 (në këtë rast, indeksi 2 mund të hiqet), do të jetë një funksion shpërndarjeje, quhet shpërndarje normale standarde, ose Ligji i Gausit.

Ana e djathtë e formulës (9.3) është e barabartë me y = F(x 2) - F(x x). F(x2)-> 1 në x 2-> °° dhe F(x,) -> 0 për x, -> Duke zgjedhur një mjaftueshëm të madhe

X] > 0 dhe mjaftueshëm i madh në vlerë absolute X] n marrim pabarazinë:

Duke marrë parasysh formulën (9.2), ne mund të nxjerrim vlerësime praktikisht të besueshme:

Nëse besueshmëria e y = 0.95 (d.m.th., probabiliteti i gabimit prej 0.05) mund t'i duket i pamjaftueshëm dikujt, mund ta luani mirë dhe të ndërtoni një interval besimi pak më të gjerë duke përdorur rregullin tre sigma të përmendur më sipër:

Ky interval korrespondon me një nivel shumë të lartë besimi y = 0,997 (shih tabelat shpërndarje normale).

Merrni shembullin e hedhjes së një monedhe. Le të hedhim një monedhë n = 100 herë. A mund të ndodhë që frekuenca R do të jetë shumë i ndryshëm nga probabiliteti R= 0,5 (duke supozuar simetrinë e monedhës), për shembull, a do të jetë e barabartë me zero? Për ta bërë këtë, është e nevojshme që stema të mos bjerë as edhe një herë. Një ngjarje e tillë është teorikisht e mundur, por ne kemi llogaritur tashmë probabilitete të tilla, për këtë ngjarje do të jetë e barabartë me Kjo vlerë

është jashtëzakonisht i vogël, rendi i tij është një numër me 30 shifra dhjetore. Një ngjarje me një probabilitet të tillë mund të konsiderohet praktikisht e pamundur. Cilat devijime të frekuencës nga probabiliteti me një numër të madh eksperimentesh janë praktikisht të mundshme? Duke përdorur teoremën Moivre-Laplace, kësaj pyetjeje i përgjigjemi si më poshtë: me probabilitet në= 0,95 frekuencë stema R përshtatet në intervalin e besimit:

Nëse gabimi 0.05 duket jo i vogël, është e nevojshme të rritet numri i eksperimenteve (hedhja e një monedhe). Me një rritje P gjerësia e intervalit të besimit zvogëlohet (për fat të keq, jo aq shpejt sa do të donim, por në përpjesëtim të zhdrejtë me -Gjoni). Për shembull, kur P= 10 000 e marrim atë R qëndron në intervalin e besimit me probabilitetin e besimit në= 0,95: 0,5 ± 0,01.

Kështu, ne kemi trajtuar në mënyrë sasiore çështjen e përafrimit të frekuencës me probabilitetin.

Tani le të gjejmë probabilitetin e një ngjarjeje nga frekuenca e saj dhe të vlerësojmë gabimin e këtij përafrimi.

Le të bëjmë një numër të madh eksperimentesh P(hodhi një monedhë), gjeti shpeshtësinë e ngjarjes POR dhe duan të vlerësojnë probabilitetin e saj R.

Nga ligji i numrave të mëdhenj P vijon se:

Le të vlerësojmë tani gabimin praktikisht të mundshëm të barazisë së përafërt (9.7). Për ta bërë këtë, ne përdorim pabarazinë (9.5) në formën:

Për gjetjen R në Rështë e nevojshme të zgjidhet pabarazia (9.8), për këtë është e nevojshme të vendoset në katror dhe të zgjidhet përkatësia ekuacioni kuadratik. Si rezultat, marrim:

ku

Për një vlerësim të përafërt R në R mund të jetë në formulën (9.8) R në të djathtë, zëvendësojeni me R ose në formulat (9.10), (9.11) konsideroni se

Pastaj marrim:

Lere brenda P= 400 eksperimente morën vlerën e frekuencës R= 0.25, atëherë në nivelin e besimit y = 0.95 gjejmë:

Por, çka nëse duhet të dimë probabilitetin më saktë, me një gabim, të themi, jo më shumë se 0.01? Për ta bërë këtë, ju duhet të rrisni numrin e eksperimenteve.

Duke supozuar në formulën (9.12) probabilitetin R= 0.25, ne barazojmë vlerën e gabimit vlerën e dhënë 0.01 dhe merrni ekuacionin për P:

Duke zgjidhur këtë ekuacion, marrim n~ 7500.

Le të shqyrtojmë tani një pyetje tjetër: a mund të shpjegohet devijimi i frekuencës nga probabiliteti i marrë në eksperimente me shkaqe të rastësishme, apo ky devijim tregon se probabiliteti nuk është ai që supozuam se ishte? Me fjalë të tjera, përvoja konfirmon të pranuarin hipoteza statistikore apo, përkundrazi, kërkon që ajo të refuzohet?

Le të hedhim, për shembull, një monedhë P= 800 herë, marrim frekuencën e kreshtës R= 0,52. Dyshuam se monedha nuk ishte simetrike. A është i justifikuar ky dyshim? Për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje, ne do të vazhdojmë nga supozimi se monedha është simetrike (p = 0.5). Le të gjejmë intervalin e besimit (me probabilitetin e besimit në= 0,95) për frekuencën e paraqitjes së stemës. Nëse vlera e fituar në eksperiment R= 0,52 përshtatet në këtë interval - gjithçka është normale, hipoteza e pranuar për simetrinë e monedhës nuk bie në kundërshtim me të dhënat eksperimentale. Formula (9.12) për R= 0,5 jep një interval prej 0,5 ± 0,035; vlerën e marrë p = 0.52 përshtatet në këtë interval, që do të thotë se monedha do të duhet të "pastrohet" nga dyshimet për asimetri.

Metoda të ngjashme përdoren për të gjykuar nëse devijimet e ndryshme nga pritshmëria matematikore e vërejtur në fenomene të rastësishme janë të rastësishme apo "të rëndësishme". Për shembull, a kishte një nënpeshë aksidentale në disa mostra të mallrave të paketuara, apo tregon një mashtrim sistematik të blerësve? Rastësisht u rrit përqindja e rikuperimeve te pacientët që përdorën ilaç i ri, apo ka lidhje me veprimin e barit?

Ligji normal luan një rol veçanërisht të rëndësishëm në teorinë e probabilitetit dhe aplikimet e saj praktike. Ne kemi parë tashmë më lart se një ndryshore e rastësishme - numri i dukurive të disa ngjarjeve në skemën e Bernoulli - kur P-» °° reduktohet në ligjin normal. Megjithatë, ka një rezultat shumë më të përgjithshëm.

Teorema e kufirit qendror. Shuma e një numri të madh të ndryshoreve të rastësishme të pavarura (ose pak të varura) të krahasueshme me njëri-tjetrin në rendin e shpërndarjes së tyre shpërndahet sipas ligjit normal, pavarësisht se cilat ishin ligjet e shpërndarjes së termave. Deklarata e mësipërme është një formulim i përafërt cilësor i teorisë së kufirit qendror. Kjo teoremë ka shumë forma që ndryshojnë nga njëra-tjetra në kushtet që duhet të plotësojnë variablat e rastësishëm në mënyrë që shuma e tyre të "normalizohet" me një rritje të numrit të termave.

Dendësia e shpërndarjes normale Dx) shprehet me formulën:

ku a - vlera e pritur ndryshore e rastësishme X s= V7) është devijimi standard i tij.

Për të llogaritur probabilitetin që x të bjerë brenda intervalit (x 1? x 2), përdoret integrali:

Meqenëse integrali (9.14) me dendësi (9.13) nuk mund të shprehet në terma të funksionet elementare(“nuk është marrë”), atëherë për të llogaritur (9.14) përdorin tabelat e funksionit të shpërndarjes integrale të shpërndarjes normale standarde, kur a = 0, a = 1 (tabela të tilla janë të disponueshme në çdo libër shkollor mbi teorinë e probabilitetit):

Probabiliteti (9.14) duke përdorur ekuacionin (10.15) shprehet me formulën:

Shembull. Gjeni probabilitetin që ndryshorja e rastit x, duke pasur një shpërndarje normale me parametra a, a, devijojnë nga moduli i pritshmërisë së tij matematikore jo më shumë se 3a.

Duke përdorur formulën (9.16) dhe tabelën e funksionit të shpërndarjes së ligjit normal, marrim:

Shembull. Në secilën nga 700 përvojat e pavarura, një ngjarje POR ndodh me probabilitet konstant R= 0,35. Gjeni probabilitetin që ngjarja POR do të ndodhë:

• 1) saktësisht 270 herë;
• 2) më pak se 270 dhe më shumë se 230 herë;
• 3) më shumë se 270 herë.

Gjetja e pritshmërisë matematikore a = etj dhe devijimi standard:

ndryshore e rastësishme - numri i dukurive të ngjarjes POR:

Gjetja e vlerës së përqendruar dhe të normalizuar X:

Sipas tabelave të densitetit të shpërndarjes normale, gjejmë f(x):

Le të gjejmë tani R w (x,> 270) = P 700 (270 F(1,98) == 1 - 0,97615 = 0,02385.

Një hap serioz në studimin e problemeve të një numri të madh u bë në 1867 nga P. L. Chebyshev. Ai konsideroi një rast shumë të përgjithshëm, kur asgjë nuk kërkohet nga variablat e pavarur të rastësishëm, përveç ekzistencës së pritjeve dhe variancave matematikore.

Pabarazia e Chebyshev. Për një numër pozitiv arbitrarisht të vogël e, vlen pabarazia e mëposhtme:

Teorema e Chebyshev. Nese nje x x, x 2, ..., x n - variabla të rastësishme të pavarura në çift, secila prej të cilave ka një pritje matematikore E(Xj) = ci dhe dispersion D(x,) =), dhe variancat janë të kufizuara në mënyrë uniforme, d.m.th. 1,2 ..., pastaj për një numër pozitiv arbitrarisht të vogël e marrëdhënia është përmbushur:

Pasoja. Nese nje a,= aio, -o 2, i= 1,2 ..., atëherë

Një detyrë. Sa herë duhet të hidhet një monedhë në mënyrë që të paktën me probabilitet y - 0,997, a mund të argumentohet se frekuenca e stemës do të ishte në intervalin (0,499; 0,501)?

Supozoni se monedha është simetrike, p - q - 0.5. Zbatojmë teoremën e Chebyshev në formulën (9.19) për ndryshoren e rastësishme X- frekuenca e paraqitjes së stemës në P hedhja e monedhës. Këtë e kemi treguar tashmë më lart X = X x + X 2 + ... +Х, ku X t - një ndryshore e rastësishme që merr vlerën 1 nëse stema bie dhe vlerën 0 nëse bishtat bien. Kështu që:

Ne shkruajmë pabarazinë (9.19) për një ngjarje të kundërt me ngjarjen e treguar nën shenjën e probabilitetit:

Në rastin tonë, [e \u003d 0,001, cj 2 \u003d /? -p)] t është numri i stemave në P duke hedhur. Duke i zëvendësuar këto sasi në pabarazinë e fundit dhe duke marrë parasysh që, sipas kushtit të problemit, pabarazia duhet të plotësohet, marrim:

Shembulli i dhënë ilustron mundësinë e përdorimit të pabarazisë së Chebyshev për vlerësimin e probabiliteteve të devijimeve të caktuara të variablave të rastësishëm (si dhe probleme si ky shembull në lidhje me llogaritjen e këtyre probabiliteteve). Avantazhi i pabarazisë së Chebyshev është se nuk kërkon njohuri të ligjeve të shpërndarjes së ndryshoreve të rastit. Sigurisht, nëse dihet një ligj i tillë, atëherë pabarazia e Chebyshev jep vlerësime shumë të përafërta.

Konsideroni të njëjtin shembull, por duke përdorur faktin se hedhja e monedhës është një rast i veçantë i skemës Bernoulli. Numri i sukseseve (në shembull - numri i stemave) i bindet ligjit binomial, dhe me një P ky ligj mund të përfaqësohet nga teorema integrale e Moivre - Laplace si një ligj normal me pritshmëri matematikore. a = pr = n? 0,5 dhe me devijim standard a = yfnpq- 25=0,5l/l. Variabli i rastësishëm - frekuenca e stemës - ka një pritje matematikore = 0.5 dhe një devijim standard

Atëherë kemi:

Nga pabarazia e fundit marrim:

Nga tabelat e shpërndarjes normale gjejmë:

Ne shohim se përafrimi normal jep numrin e hedhjeve të monedhës, i cili jep një gabim të dhënë në vlerësimin e probabilitetit të stemës, i cili është 37 herë më i vogël se vlerësimi i marrë duke përdorur pabarazinë Chebyshev (por pabarazia Chebyshev bën të mundur kryejmë llogaritje të ngjashme edhe në rastin kur nuk kemi informacion mbi ligjin e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme në studim).

Le të shqyrtojmë tani një problem të aplikuar të zgjidhur me ndihmën e formulës (9.16).

Problemi i konkurrencës. Dy kompani konkurruese hekurudhore kanë secila nga një tren që qarkullon midis Moskës dhe Shën Petersburgut. Këta trena janë të pajisur afërsisht në të njëjtën mënyrë, ata gjithashtu nisen dhe mbërrijnë afërsisht në të njëjtën kohë. Le të pretendojmë se P= 1000 pasagjerë zgjedhin në mënyrë të pavarur dhe rastësisht një tren për veten e tyre, prandaj, si model matematikor për zgjedhjen e një treni nga pasagjerët, ne përdorim skemën Bernoulli me P provat dhe shanset për sukses R= 0,5. Kompania duhet të vendosë se sa vende do të sigurojë në tren, duke marrë parasysh dy kushte reciproke kontradiktore: nga njëra anë, nuk duan të kenë vende bosh, nga ana tjetër, nuk duan të duken të pakënaqur me mungesa e vendeve (herën tjetër do të preferojnë firmat konkurrente). Sigurisht, ju mund të siguroni në tren P= 1000 vende, por atëherë sigurisht që do të ketë vende bosh. Variabli i rastësishëm - numri i pasagjerëve në tren - brenda kornizës së modelit matematik të pranuar duke përdorur teorinë integrale të Moivre - Laplace i bindet ligjit normal me pritshmërinë matematikore. a = pr = n/2 dhe dispersion a 2 = npq = p/4 në mënyrë sekuenciale. Probabiliteti që treni do të vijë në më shumë se s pasagjerët përcaktohet nga raporti:

Vendosni nivelin e rrezikut a, pra probabiliteti që më shumë se s pasagjerët:

Nga këtu:

Nese nje a- rrënja e rrezikut të ekuacionit të fundit, e cila gjendet në tabelat e funksionit të shpërndarjes së ligjit normal, marrim:

Nëse, për shembull, P = 1000, a= 0.01 (ky nivel rreziku do të thotë se numri i vendeve s do të jetë e mjaftueshme në 99 raste nga 100), atëherë x a ~ 2.33 dhe s= 537 vende. Për më tepër, nëse të dyja kompanitë pranojnë të njëjtat nivele rreziku a= 0.01, atëherë dy trenat do të kenë gjithsej 1074 vende, 74 prej të cilave do të jenë bosh. Në mënyrë të ngjashme, mund të llogaritet se 514 vende do të ishin të mjaftueshme në 80% të të gjitha rasteve dhe 549 vende në 999 nga 1000 raste.

Konsiderata të ngjashme vlejnë për probleme të tjera konkurruese të shërbimit. Për shembull, nëse t kinematë konkurrojnë për të njëjtën gjë P spektatorë, duhet pranuar R= -. marrim

se numri i vendeve s në kinema duhet të përcaktohet nga raporti:

Numri i përgjithshëm i vendeve bosh është i barabartë me:

Për a = 0,01, P= 1000 dhe t= 2, 3, 4 vlerat e këtij numri janë afërsisht të barabarta me 74, 126, 147, përkatësisht.

Le të shqyrtojmë një shembull më shumë. Le të jetë treni P - 100 vagona. Pesha e çdo vagoni është një ndryshore e rastësishme me pritshmëri matematikore a - 65 ton dhe pritshmëria mesatare katrore o = 9 ton Një lokomotivë mund të mbajë një tren nëse pesha e tij nuk i kalon 6600 tonë; përndryshe, ju duhet të lidhni lokomotivën e dytë. Ne duhet të gjejmë probabilitetin që kjo të mos jetë e nevojshme.

peshat e vagonëve individualë: duke pasur të njëjtën pritshmëri matematikore a - 65 dhe e njëjta variancë d- o 2 \u003d 81. Sipas rregullit të pritjeve matematikore: E(x) - 100 * 65 = 6500. Sipas rregullit të mbledhjes së variancave: D(x) \u003d 100 x 81 \u003d 8100. Duke marrë rrënjën, gjejmë devijimin standard. Në mënyrë që një lokomotivë të jetë në gjendje të tërheqë një tren, është e nevojshme që pesha e trenit X doli të ishte kufizuese, d.m.th., ra brenda kufijve të intervalit (0; 6600). Ndryshorja e rastësishme x - shuma e 100 termave - mund të konsiderohet e shpërndarë normalisht. Me formulën (9.16) marrim:

Nga kjo rrjedh se lokomotiva do të "trajtojë" trenin me probabilitet afërsisht 0,864. Tani le të zvogëlojmë numrin e makinave në tren me dy, d.m.th., marrim P= 98. Duke llogaritur tani probabilitetin që lokomotiva të "trajtojë" trenin, marrim një vlerë të rendit prej 0,99, d.m.th., një ngjarje pothuajse e sigurt, megjithëse për këtë duheshin hequr vetëm dy makina.

Pra, nëse kemi të bëjmë me shuma të një numri të madh të ndryshoreve të rastit, atëherë mund të përdorim ligjin normal. Natyrisht, kjo ngre pyetjen: sa variabla të rastësishëm duhet të shtohen në mënyrë që ligji i shpërndarjes së shumës tashmë të "normalizohet"? Varet se cilat janë ligjet e shpërndarjes së termave. Ka ligje kaq të ndërlikuara që normalizimi ndodh vetëm me një numër shumë të madh termash. Por këto ligje janë shpikur nga matematikanët, ndërsa natyra, si rregull, në mënyrë specifike nuk rregullon telashe të tilla. Zakonisht në praktikë, që të mund të përdoret ligji normal, mjaftojnë pesë ose gjashtë terma.

Shpejtësia me të cilën "normalizohet" ligji i shpërndarjes së shumës së variablave të rastësishëm të shpërndarë në mënyrë identike mund të ilustrohet me shembullin e ndryshoreve të rastësishme me një shpërndarje uniforme në intervalin (0, 1). Kurba e një shpërndarjeje të tillë ka formën e një drejtkëndëshi, i cili tashmë është ndryshe nga ligji normal. Le të shtojmë dy nga këto sasi të pavarura- marrim një variabël të rastësishëm të shpërndarë sipas të ashtuquajturit ligji i Simpsonit, imazh grafik i cili duket si një trekëndësh dykëndësh. Nuk duket as një ligj normal, por është më mirë. Dhe nëse shtoni tre ndryshore të tilla të rastësishme të shpërndara në mënyrë uniforme, ju merrni një kurbë të përbërë nga tre segmente parabolash, shumë të ngjashme me një kurbë normale. Nëse shtoni gjashtë ndryshore të tilla të rastësishme, ju merrni një kurbë që nuk ndryshon nga ajo normale. Kjo është baza e metodës së përdorur gjerësisht për marrjen e një ndryshoreje të rastësishme të shpërndarë normalisht, ndërsa të gjithë kompjuterët modernë janë të pajisur me sensorë të numrave të rastësishëm të shpërndarë në mënyrë uniforme (0, 1).

Metoda e mëposhtme rekomandohet si një mënyrë praktike për ta kontrolluar këtë. Ne ndërtojmë një interval besimi për frekuencën e një ngjarjeje me një nivel në= 0,997 sipas rregullit tre sigma:

dhe nëse të dy skajet e tij nuk shkojnë përtej segmentit (0, 1), atëherë mund të përdoret ligji normal. Nëse ndonjë nga kufijtë e intervalit të besimit është jashtë segmentit (0, 1), atëherë ligji normal nuk mund të përdoret. Megjithatë, në kushte të caktuara, ligji binom për frekuencën e ndonjë ngjarjeje të rastësishme, nëse nuk priret drejt asaj normale, mund të priret në një ligj tjetër.

Në shumë aplikime, skema e Bernoulli përdoret si një model matematikor i një eksperimenti të rastësishëm, në të cilin numri i provave P i madh, ngjarje e rastësishme mjaft rrallë, d.m.th. R = etj jo i vogël, por jo i madh (luhatet në intervalin O -5 - 20). Në këtë rast, lidhja e mëposhtme vlen:

Formula (9.20) quhet përafrim Poisson për ligjin binomial, pasi shpërndarja e probabilitetit në anën e djathtë të saj quhet ligji i Poisson-it. Shpërndarja Poisson thuhet se është një shpërndarje probabiliteti për ngjarje të rralla, pasi ndodh kur plotësohen kufijtë: P -»°°, R-»0, por X = pr oo.

Shembull. Ditëlindjet. Sa është probabiliteti R t (k) që në një shoqëri prej 500 vetësh te personat e lindur në ditën e Vitit të Ri? Nëse këta 500 persona zgjidhen në mënyrë të rastësishme, atëherë skema Bernoulli mund të zbatohet me një probabilitet suksesi. P = 1/365. Pastaj

Llogaritjet e probabilitetit për të ndryshme te jepni vlerat e mëposhtme: RU = 0,3484...; R 2 = 0,2388...; R 3 = 0,1089...; P 4 = 0,0372...; R 5 = 0,0101...; R 6= 0,0023... Përafrimet përkatëse sipas formulës Poisson për X= 500 1/365 = 1,37

jepni vlerat e mëposhtme: Ru = 0,3481...; R 2 = 0,2385...; Р b = 0,1089; R 4 = 0,0373...; P 5 = 0,0102...; P 6 = 0,0023... Të gjitha gabimet janë vetëm në numrin e katërt dhjetor.

Le të japim shembuj të situatave ku mund të përdoret ligji i Poisson-it për ngjarjet e rralla.

Në centralin telefonik, nuk ka gjasa të ndodhë një lidhje e gabuar. R, zakonisht R~ 0,005. Pastaj formula Poisson ju lejon të gjeni probabilitetin e lidhjeve të pasakta për një të dhënë numri total lidhjet n~ 1000 kur X = pr =1000 0,005 = 5.

Gjatë pjekjes së simiteve, në brumë vendoset rrush i thatë. Duhet të pritet që për shkak të trazimit, frekuenca e rrotullave të rrushit do të ndjekë afërsisht shpërndarjen Poisson P n (k, X), ku X- dendësia e rrushit të thatë në brumë.

Një substancë radioaktive lëshon n-grimca. Ngjarja që numri i grimcave d që arrin me kalimin e kohës t një zonë e caktuar e hapësirës, ​​merr një vlerë fikse te, i bindet ligjit të Poisson-it.

Numri i qelizave të gjalla me kromozome të ndryshuara nën ndikimin e rrezet x ndjek një shpërndarje Poisson.

Pra, ligjet e numrave të mëdhenj bëjnë të mundur zgjidhjen e problemit të statistikave matematikore të lidhura me vlerësimin e probabiliteteve të panjohura të rezultateve elementare të një eksperimenti të rastësishëm. Falë kësaj njohurie, ne i bëjmë metodat e teorisë së probabilitetit praktikisht kuptimplotë dhe të dobishme. Ligjet e numrave të mëdhenj gjithashtu bëjnë të mundur zgjidhjen e problemit të marrjes së informacionit për probabilitete elementare të panjohura në një formë tjetër - formën e testimit të hipotezave statistikore.

Le të shqyrtojmë më në detaje formulimin dhe mekanizmin probabilistik për zgjidhjen e problemeve të testimit të hipotezave statistikore.

Fjalët për numra të mëdhenj i referohen numrit të testeve - merren parasysh një numër i madh vlerash të një ndryshoreje të rastësishme ose veprimi kumulativ i një numri të madh variablash të rastësishëm. Thelbi i këtij ligji është si vijon: megjithëse është e pamundur të parashikohet se çfarë vlere do të marrë një ndryshore e vetme e rastësishme në një eksperiment të vetëm, megjithatë, rezultati i përgjithshëm i veprimit të një numri të madh të ndryshoreve të rastësishme të pavarura humbet karakterin e tij të rastësishëm dhe mund të të parashikohen pothuajse në mënyrë të besueshme (d.m.th. me probabilitet të lartë). Për shembull, është e pamundur të parashikohet se në cilën anë do të bjerë një monedhë. Sidoqoftë, nëse hidhni 2 ton monedha, atëherë me siguri të madhe mund të argumentohet se pesha e monedhave që ranë me stemën lart është 1 ton.

Para së gjithash, e ashtuquajtura pabarazi Chebyshev i referohet ligjit të numrave të mëdhenj, i cili vlerëson në një test të veçantë probabilitetin e pranimit të një vlere nga një ndryshore e rastësishme që devijon nga vlera mesatare jo më shumë se një vlerë e caktuar.

Pabarazia e Chebyshev. Le Xështë një ndryshore arbitrare e rastësishme, a=M(X) , a D(X) është shpërndarja e saj. Pastaj

Shembull. Vlera nominale (d.m.th. e kërkuar) e diametrit të mëngës së përpunuar në makinë është 5 mm, dhe varianca nuk është më 0.01 (kjo është toleranca e saktësisë së makinës). Vlerësoni probabilitetin që në prodhimin e një tufe, devijimi i diametrit të tij nga nominali do të jetë më i vogël se 0.5 mm .

Zgjidhje. Le të r.v. X- diametri i tufave të prodhuara. Sipas kushtit, pritshmëria e tij matematikore është e barabartë me diametrin nominal (nëse nuk ka dështim sistematik në vendosjen e makinës): a=M(X)=5 , dhe variancën D(X)≤0.01. Zbatimi i pabarazisë Chebyshev për ε = 0,5, marrim:

Kështu, probabiliteti i një devijimi të tillë është mjaft i lartë, dhe për këtë arsye mund të konkludojmë se në rastin e një prodhimi të vetëm të një pjese, devijimi i diametrit nga ai nominal pothuajse me siguri nuk do të kalojë 0.5 mm .

Në thelb, devijimi standard σ karakterizon mesatare devijimi i një ndryshoreje të rastësishme nga qendra e saj (d.m.th. nga pritshmëria e saj matematikore). Sepse ajo mesatare devijimi, atëherë gjatë testimit janë të mundshme devijime të mëdha (theksi në o). Sa devijime të mëdha janë praktikisht të mundshme? Kur studiojmë variabla të rastësishme të shpërndara normalisht, kemi nxjerrë rregullin "tre sigma": një ndryshore e rastësishme e shpërndarë normalisht X në një test të vetëm praktikisht nuk devijon nga mesatarja e tij më shumë se 3σ, ku σ= σ(X)është devijimi standard i r.v. X. Një rregull të tillë e kemi nxjerrë nga fakti që kemi marrë pabarazinë

.

Le të vlerësojmë tani probabilitetin për arbitrare ndryshore e rastësishme X pranoni një vlerë që ndryshon nga mesatarja jo më shumë se trefishi i devijimit standard. Zbatimi i pabarazisë Chebyshev për ε = 3σ dhe duke pasur parasysh se D(X)=σ 2 , marrim:

.

Në këtë mënyrë, në përgjithësi ne mund të vlerësojmë probabilitetin që një ndryshore e rastësishme të devijojë nga mesatarja e saj me jo më shumë se tre devijime standarde sipas numrit 0.89 , ndërsa për një shpërndarje normale mund të garantohet me probabilitet 0.997 .

Pabarazia e Chebyshev mund të përgjithësohet në një sistem variablash të rastësishëm të pavarur të shpërndarë në mënyrë identike.

Pabarazia e përgjithësuar e Chebyshev. Nëse variabla të rastësishme të pavarura X 1 , X 2 , …, X n M(X i )= a dhe dispersionet D(X i )= D, pastaj

Në n=1 kjo pabarazi kalon në pabarazinë Chebyshev të formuluar më sipër.

Pabarazia Chebyshev, e cila ka një rëndësi të pavarur për zgjidhjen e problemeve përkatëse, përdoret për të vërtetuar të ashtuquajturën teoremë Chebyshev. Fillimisht përshkruajmë thelbin e kësaj teoreme dhe më pas japim formulimin e saj formal.

Le X 1 , X 2 , …, X n– një numër i madh variablash të rastësishëm të pavarur me pritshmëri matematikore M(X 1 )=a 1 , … , M(X n )=a n. Megjithëse secila prej tyre, si rezultat i eksperimentit, mund të marrë një vlerë larg mesatares së saj (d.m.th., pritshmëria matematikore), megjithatë, një ndryshore e rastësishme
, e barabartë me mesataren e tyre aritmetike, me një probabilitet të lartë do të marrë një vlerë afër një numri fiks
(kjo është mesatarja e të gjitha pritjeve matematikore). Kjo do të thotë në vijim. Lërini, si rezultat i testit, variabla të rastësishme të pavarura X 1 , X 2 , …, X n(ka shumë prej tyre!) i kanë marrë vlerat në përputhje me rrethanat X 1 , X 2 , …, X n përkatësisht. Atëherë nëse vetë këto vlera mund të rezultojnë të jenë larg vlerave mesatare të variablave të rastit përkatës, vlera mesatare e tyre
ka gjasa të jetë afër
. Kështu, mesatarja aritmetike e një numri të madh të ndryshoreve të rastit tashmë e humb karakterin e saj të rastësishëm dhe mund të parashikohet me saktësi të madhe. Kjo mund të shpjegohet me faktin se devijimet e rastësishme të vlerave X i nga a i mund të jenë të shenjave të ndryshme, prandaj në total këto devijime kompensohen me një probabilitet të lartë.

Terema Chebysheva (ligji i numrave të mëdhenj në formën e Chebyshev). Le X 1 , X 2 , …, X n … është një sekuencë e variablave të rastësishme të pavarura në çift, variancat e të cilave janë të kufizuara në të njëjtin numër. Atëherë, sado i vogël të marrim numrin ε, probabiliteti i pabarazisë

do të jetë arbitrarisht afër unitetit nëse numri n variablat e rastësishëm për të marrë mjaft të mëdha. Formalisht, kjo do të thotë se në kushtet e teoremës

Ky lloj konvergjence quhet konvergjencë në probabilitet dhe shënohet me:

Kështu, teorema e Chebyshev thotë se nëse ka një numër mjaft të madh të ndryshoreve të rastësishme të pavarura, atëherë mesatarja e tyre aritmetike në një test të vetëm pothuajse me siguri do të marrë një vlerë afër mesatares së pritjeve të tyre matematikore.

Më shpesh, teorema Chebyshev zbatohet në një situatë ku ndryshoret e rastësishme X 1 , X 2 , …, X n … kanë të njëjtën shpërndarje (d.m.th. të njëjtin ligj të shpërndarjes ose të njëjtën densitet probabiliteti). Në fakt, ky është vetëm një numër i madh i rasteve të së njëjtës ndryshore të rastësishme.

Pasoja(i pabarazisë së përgjithësuar të Chebyshev). Nëse variabla të rastësishme të pavarura X 1 , X 2 , …, X n … kanë të njëjtën shpërndarje me pritshmëritë matematikore M(X i )= a dhe dispersionet D(X i )= D, pastaj

, d.m.th.
.

Prova rrjedh nga pabarazia e përgjithësuar e Chebyshev duke kaluar në kufirin si n→∞ .

Vëmë re edhe një herë se barazitë e shkruara më sipër nuk garantojnë vlerën e sasisë
tenton të a në n→∞. Kjo vlerë është ende një ndryshore e rastësishme, dhe vlerat e saj individuale mund të jenë mjaft larg a. Por probabiliteti i një të tillë (larg nga a) vlerat me rritje n tenton në 0.

Koment. Përfundimi i konkluzionit është padyshim i vlefshëm edhe në rastin më të përgjithshëm kur variablat e pavarur të rastit X 1 , X 2 , …, X n … kanë një shpërndarje të ndryshme, por të njëjtat pritshmëri matematikore (të barabarta a) dhe variancat e kufizuara në agregat. Kjo bën të mundur parashikimin e saktësisë së matjes së një sasie të caktuar, edhe nëse këto matje bëhen nga instrumente të ndryshme.

Le të shqyrtojmë më në detaje zbatimin e kësaj konkluzion në matjen e sasive. Le të përdorim një pajisje n matje të së njëjtës sasi, vlera e vërtetë e së cilës është a dhe ne nuk e dimë. Rezultatet e matjeve të tilla X 1 , X 2 , …, X n mund të ndryshojnë ndjeshëm nga njëri-tjetri (dhe nga vlera e vërtetë a) për shkak të faktorëve të ndryshëm të rastësishëm (rënie të presionit, temperatura, dridhje të rastësishme, etj.). Merrni parasysh r.v. X- lexim instrumenti për një matje të vetme të një sasie, si dhe një grup r.v. X 1 , X 2 , …, X n- leximi i instrumentit në matjen e parë, të dytë, ..., të fundit. Kështu, secila nga sasitë X 1 , X 2 , …, X n ekziston vetëm një nga rastet e r.v. X, dhe për këtë arsye të gjithë kanë të njëjtën shpërndarje si r.v. X. Meqenëse rezultatet e matjes janë të pavarura nga njëra-tjetra, r.v. X 1 , X 2 , …, X n mund të konsiderohet i pavarur. Nëse pajisja nuk jep një gabim sistematik (për shembull, zeroja nuk "rrëzohet" në shkallë, susta nuk shtrihet, etj.), atëherë mund të supozojmë se pritshmëria matematikore M(X) = a, dhe për këtë arsye M(X 1 ) = ... = M(X n ) = a. Kështu, kushtet e konkluzionit të mësipërm plotësohen, dhe për rrjedhojë, si një vlerë e përafërt e sasisë a mund të marrim “zbatimin” e një ndryshoreje të rastësishme
në eksperimentin tonë (i përbërë nga një seri prej n matjet), d.m.th.

.

Me një numër të madh matjesh, saktësia e mirë e llogaritjes duke përdorur këtë formulë është praktikisht e besueshme. Kjo është arsyeja për parimin praktik që, me një numër të madh matjesh, mesatarja aritmetike e tyre praktikisht nuk ndryshon shumë nga vlera e vërtetë e sasisë së matur.

Metoda e "kampionimit", e cila përdoret gjerësisht në statistikat matematikore, bazohet në ligjin e numrave të mëdhenj, i cili lejon marrjen e karakteristikave të tij objektive me saktësi të pranueshme nga një mostër relativisht e vogël e vlerave të një ndryshoreje të rastësishme. Por kjo do të diskutohet në pjesën tjetër.

Shembull. Në pajisje matëse, e cila nuk bën shtrembërime sistematike, matet një vlerë e caktuar a një herë (vlera e marrë X 1 ), dhe pastaj 99 herë të tjera (vlerat e marra X 2 , …, X 100 ). Për vlerën e vërtetë të matjes a së pari merrni rezultatin e matjes së parë
, dhe pastaj mesatarja aritmetike e të gjitha matjeve
. Saktësia e matjes së pajisjes është e tillë që devijimi standard i matjes σ nuk është më shumë se 1 (sepse dispersioni D=σ 2 gjithashtu nuk kalon 1). Për secilën nga metodat e matjes, vlerësoni probabilitetin që gabimi i matjes të mos kalojë 2.

Zgjidhje. Le të r.v. X- leximi i instrumentit për një matje të vetme. Pastaj me kusht M(X)=a. Për t'iu përgjigjur pyetjeve të parashtruara, ne zbatojmë pabarazinë e përgjithësuar Chebyshev

për ε =2 së pari për n=1 dhe më pas për n=100 . Në rastin e parë, marrim
, dhe në të dytën. Kështu, rasti i dytë praktikisht garanton saktësinë e dhënë të matjes, ndërsa i pari lë dyshime serioze në këtë kuptim.

Le të zbatojmë pohimet e mësipërme për ndryshoret e rastësishme që dalin në skemën Bernoulli. Le të kujtojmë thelbin e kësaj skeme. Le të prodhohet n teste të pavarura, në secilën prej të cilave disa ngjarje POR mund të shfaqet me të njëjtën probabilitet R, a q=1–r(në kuptimin, kjo është probabiliteti i ngjarjes së kundërt - jo ndodhja e një ngjarjeje POR) . Le të shpenzojmë një numër n teste të tilla. Merrni parasysh variablat e rastësishëm: X 1 – numri i dukurive të ngjarjes POR në 1 testi, ..., X n– numri i dukurive të ngjarjes POR në n th testi. Të gjitha të prezantuara r.v. mund të marrë vlera 0 ose 1 (ngjarje POR mund të shfaqet në test ose jo), dhe vlera 1 pranohet me kusht në çdo gjykim me një probabilitet fq(probabiliteti i ndodhjes së një ngjarjeje POR në çdo test) dhe vlerën 0 me probabilitet q= 1 – fq. Prandaj, këto sasi kanë të njëjtat ligje të shpërndarjes:

Prandaj, vlerat mesatare të këtyre sasive dhe shpërndarjet e tyre janë gjithashtu të njëjta: M(X 1 )=0 ∙ q+1 ∙ p= p, …, M(X n )= fq ; D(X 1 )=(0 2 ∙ q+1 2 ∙ fq)− fq 2 = fq∙(1− fq)= fq ∙ q,…, D(X n )= fq ∙ q . Duke i zëvendësuar këto vlera në pabarazinë e përgjithësuar Chebyshev, marrim

.

Është e qartë se r.v. X=X 1 +…+X nështë numri i dukurive të ngjarjes POR ne te gjithe n provat (siç thonë ata - "numri i sukseseve" në n teste). Lëreni në n ngjarje testuese POR u shfaq në k prej tyre. Atëherë pabarazia e mëparshme mund të shkruhet si

.

Por madhësia
, e barabartë me raportin e numrit të dukurive të ngjarjes POR në n prova të pavarura, në numrin total të provave, të quajtura më parë norma relative e ngjarjeve POR në n testet. Prandaj, ekziston një pabarazi

.

Duke kaluar tani në kufirin në n→∞, marrim
, d.m.th.
(sipas probabilitetit). Kjo është përmbajtja e ligjit të numrave të mëdhenj në formën e Bernulit. Nga kjo rezulton se për një numër mjaft të madh provash n devijime të vogla arbitrare të frekuencës relative
ngjarje nga probabiliteti i saj R janë pothuajse ngjarje të sigurta, dhe devijimet e mëdha janë pothuajse të pamundura. Konkluzioni që rezulton në lidhje me një stabilitet të tillë të frekuencave relative (të cilin e kemi përmendur më parë si eksperimentale fakt) justifikon përkufizimin statistikor të paraqitur më parë të probabilitetit të një ngjarjeje si një numër rreth të cilit luhatet frekuenca relative e një ngjarjeje.

Duke pasur parasysh se shprehja fq∙ q= fq∙(1− fq)= fq− fq 2 nuk kalon në intervalin e ndryshimit
(është e lehtë ta verifikosh këtë duke gjetur minimumin e këtij funksioni në këtë segment), nga pabarazia e mësipërme
lehtë për ta marrë atë

,

që përdoret në zgjidhjen e problemeve përkatëse (njëra prej tyre do të jepet më poshtë).

Shembull. Monedha u rrotullua 1000 herë. Vlerësoni probabilitetin që devijimi i frekuencës relative të paraqitjes së stemës nga probabiliteti i saj të jetë më i vogël se 0.1.

Zgjidhje. Zbatimi i pabarazisë
në fq= q=1/2 , n=1000 , ε=0.1, marrim .

Shembull. Vlerësoni probabilitetin që, në kushtet e shembullit të mëparshëm, numri k e stemave të rrëzuara do të jetë në rangun e 400 përpara 600 .

Zgjidhje. gjendja 400< k<600 do të thotë se 400/1000< k/ n<600/1000 , d.m.th. 0.4< W n (A)<0.6 ose
. Siç e kemi parë vetëm nga shembulli i mëparshëm, probabiliteti i një ngjarjeje të tillë është të paktën 0.975 .

Shembull. Për të llogaritur probabilitetin e ndonjë ngjarjeje POR Janë kryer 1000 eksperimente, në të cilat ngjarja POR u shfaq 300 herë. Vlerësoni probabilitetin që frekuenca relative (e barabartë me 300/1000=0.3) është e ndryshme nga probabiliteti i vërtetë R jo më larg se 0.1.

Zgjidhje. Zbatimi i pabarazisë së mësipërme
për n=1000, ε=0.1 , marrim .

Praktika e studimit të fenomeneve të rastësishme tregon se megjithëse rezultatet e vëzhgimeve individuale, edhe ato të kryera në të njëjtat kushte, mund të ndryshojnë shumë, në të njëjtën kohë, rezultatet mesatare për një numër mjaft të madh vëzhgimesh janë të qëndrueshme dhe varen dobët nga rezultatet e vëzhgimeve individuale.

Arsyetimi teorik për këtë veti të jashtëzakonshme të dukurive të rastit është ligji i numrave të mëdhenj. Emri "ligji i numrave të mëdhenj" kombinon një grup teoremash që përcaktojnë qëndrueshmërinë e rezultateve mesatare të një numri të madh fenomenesh të rastësishme dhe shpjegojnë arsyen e këtij stabiliteti.

Forma më e thjeshtë e ligjit të numrave të mëdhenj dhe historikisht teorema e parë e këtij seksioni është Teorema e Bernulit duke deklaruar se nëse probabiliteti i një ngjarjeje është i njëjtë në të gjitha provat, atëherë me rritjen e numrit të provave, frekuenca e ngjarjes priret në probabilitetin e ngjarjes dhe pushon së qeni e rastësishme.

Teorema e Poisson-it thotë se frekuenca e një ngjarjeje në një seri provash të pavarura priret te mesatarja aritmetike e probabiliteteve të saj dhe pushon së qeni e rastësishme.

Teoremat kufitare të teorisë së probabilitetit, teorema Moivre-Laplace të shpjegojë natyrën e qëndrueshmërisë së shpeshtësisë së shfaqjes së një ngjarjeje. Kjo natyrë konsiston në faktin se shpërndarja kufizuese e numrit të ndodhive të një ngjarjeje me një rritje të pakufizuar të numrit të provave (nëse probabiliteti i një ngjarjeje në të gjitha provat është i njëjtë) është shpërndarje normale.

Teorema e kufirit qendror shpjegon përdorimin e gjerë ligj normal shpërndarja. Teorema thotë se sa herë që formohet një ndryshore e rastësishme si rezultat i shtimit të një numri të madh të ndryshoreve të rastësishme të pavarura me varianca të fundme, ligji i shpërndarjes së kësaj ndryshoreje të rastësishme rezulton të jetë praktikisht normale me ligj.

Teorema më poshtë, e titulluar " Ligji i numrave të mëdhenj" pohon se në kushte të caktuara, mjaft të përgjithshme, me një rritje të numrit të variablave të rastësishëm, mesatarja aritmetike e tyre priret në mesataren aritmetike të pritjeve matematikore dhe pushon së qeni i rastësishëm.

Teorema e Lyapunov shpjegon përhapjen ligj normal shpërndarjen dhe shpjegon mekanizmin e formimit të tij. Teorema na lejon të pohojmë se sa herë që formohet një ndryshore e rastësishme si rezultat i shtimit të një numri të madh variablash të rastësishëm të pavarur, variancat e të cilave janë të vogla në krahasim me variancën e shumës, ligji i shpërndarjes së kësaj ndryshoreje të rastësishme rezulton të jetë të jetë praktikisht normale me ligj. Dhe duke qenë se variablat e rastësishëm gjenerohen gjithmonë nga një numër i pafund shkaqesh, dhe më shpesh asnjëri prej tyre nuk ka një variancë të krahasueshme me variancën e vetë variablit të rastësishëm, shumica e ndryshoreve të rastësishme që hasen në praktikë i nënshtrohen ligjit të shpërndarjes normale.

Pohimet cilësore dhe sasiore të ligjit të numrave të mëdhenj bazohen në Pabarazia e Chebyshev. Ai përcakton kufirin e sipërm të probabilitetit që devijimi i vlerës së një ndryshoreje të rastësishme nga pritshmëria e tij matematikore të jetë më i madh se një numër i caktuar. Çuditërisht, pabarazia Chebyshev jep një vlerësim të probabilitetit të ngjarjes për një ndryshore të rastësishme shpërndarja e së cilës është e panjohur, dihen vetëm pritshmëria dhe varianca e saj matematikore.

Pabarazia e Chebyshev. Nëse një ndryshore e rastësishme x ka një variancë, atëherë për çdo e > 0 pabarazia , ku M x dhe D x - pritshmëria matematikore dhe varianca e ndryshores së rastësishme x.

Teorema e Bernulit. Le të jetë m n numri i sukseseve në n prova Bernoulli dhe p probabiliteti i suksesit në një provë të vetme. Pastaj për çdo e > 0 kemi .

Teorema e kufirit qendror. Nëse variablat e rastësishëm x 1 , x 2 , …, x n , … janë të pavarura në çift, të shpërndara në mënyrë të barabartë dhe kanë variancë të fundme, atëherë në n ® në mënyrë të njëtrajtshme në x (- ,)