(Kushtojini vëmendje seksionit shtesë të datës 06/04/2017 në fund të artikullit.)

Kontabilitet dhe kontroll! Ata mbi 40 vjeç duhet ta mbajnë mend mirë këtë slogan nga epoka e ndërtimit të socializmit dhe komunizmit në vendin tonë.

Por pa kontabilitet të vendosur mirë, është e pamundur funksionimi efektiv as i vendit, as i rajonit, as i ndërmarrjes, as i familjes në çdo formacion social-ekonomik të shoqërisë! Për përgatitjen e parashikimeve dhe planeve për aktivitet dhe zhvillim nevojiten të dhëna fillestare. Ku t'i çoni ato? Vetem nje të besueshme burimi është juaja të dhëna kontabël statistikore të periudhave kohore të mëparshme.

Për të marrë parasysh rezultatet e aktiviteteve të tyre, për të mbledhur dhe regjistruar informacione, për të përpunuar dhe analizuar të dhëna, për të zbatuar rezultatet e analizës për të marrë vendimet e duhura në të ardhmen, sipas mendimit tim, çdo person i arsyeshëm duhet. Nuk është gjë tjetër veçse akumulim dhe përdorim racional e tij përvojë jetësore. Nëse nuk mbani një regjistrim të të dhënave të rëndësishme, atëherë ju periudhë të caktuar ju do t'i harroni ato me kohë dhe, duke filluar të merreni përsëri me këto çështje, do të bëni përsëri të njëjtat gabime që keni bërë kur u morët për herë të parë me këtë.

“Më kujtohet që 5 vite më parë bënim deri në 1000 copë produkte të tilla në muaj dhe tani mezi mbledhim edhe 700!” Ne hapim statistikat dhe shohim që 5 vite më parë nuk janë bërë as 500 copë ...

“Sa kushton një kilometër i makinës suaj, duke marrë parasysh të gjitha kosto?" Ne hapim statistika - 6 rubla / km. Një udhëtim në punë - 107 rubla. Më e lirë se një taksi (180 rubla) më shumë se një herë e gjysmë. Dhe kishte raste kur një taksi ishte më e lirë ...

"Sa kohë duhet për të fabrikuar strukturat metalike për një kullë komunikimi këndore 50 m të lartë?" Ne hapim statistikat - dhe në 5 minuta përgjigjja është gati ...

"Sa do të kushtojë për të rinovuar një dhomë në një apartament?" Ne ngremë rekorde të vjetra, bëjmë një rregullim për inflacionin gjatë viteve të kaluara, marrim parasysh që herën e fundit kemi blerë materiale 10% më lirë se çmimi i tregut dhe - ne tashmë e dimë koston e vlerësuar ...

Mbajtja e të dhënave tuaja veprimtari profesionale, do të jeni gjithmonë gati për t'iu përgjigjur pyetjes së shefit: "Kur!!!???". Mbajtja e të dhënave shtëpiake e bën më të lehtë planifikimin për blerje të mëdha, pushime dhe shpenzime të tjera në të ardhmen duke ndërmarrë veprimet e duhura për të fituar para shtesë ose për të zvogëluar shpenzimet jo thelbësore sot.

Në këtë artikull, unë do të përdor një shembull të thjeshtë për të treguar se si të dhënat e mbledhura statistikore mund të përpunohen në Excel për përdorim të mëtejshëm në parashikimin e periudhave të ardhshme.

Përafrimi në Excel i të dhënave statistikore nga një funksion analitik.

Vendi i prodhimit prodhon konstruksione metalike nga llamarina dhe produkte të profilit. Vendi funksionon në mënyrë të qëndrueshme, porositë janë të të njëjtit lloj, numri i punëtorëve luhatet pak. Ka të dhëna për prodhimin e produkteve për 12 muajt e mëparshëm dhe për sasinë e metalit të mbështjellë të përpunuar gjatë këtyre periudhave kohore sipas grupeve: fletë, trarë I, kanale, kënde, tuba të rrumbullakët, seksione drejtkëndëshe, produkte të mbështjellë të rrumbullakët. Pas një analize paraprake të të dhënave fillestare, u ngrit një supozim se prodhimi total mujor i strukturave metalike varet ndjeshëm nga numri i këndeve në porosi. Le ta kontrollojmë këtë supozim.

Para së gjithash, disa fjalë për përafrimin. Ne do të kërkojmë një ligj - një funksion analitik, domethënë një funksion dhënë nga ekuacioni, i cili më mirë se të tjerët përshkruan varësinë e prodhimit total të strukturave metalike nga numri i shufrave këndore në porositë e përfunduara. Ky është përafrimi, dhe ekuacioni i gjetur quhet funksioni i përafërt për funksionin origjinal, i dhënë në formën e një tabele.

1. Ne aktivizojmë Excel dhe vendosim një tabelë me të dhëna statistikore në fletë.

2. Tjetra, ne ndërtojmë dhe formatojmë një komplot shpërndarjeje, në të cilën vendosim vlerat e argumentit përgjatë boshtit X - numrin e qosheve të përpunuara në ton. Në boshtin Y, ne paraqesim vlerat e funksionit origjinal - prodhimi total i strukturave metalike në muaj, të dhëna nga tabela.

3. "Rri" miun mbi ndonjë nga pikat në grafik dhe kliko me të djathtën për të thirrur menunë e kontekstit (siç thotë një nga miqtë e mi të mirë, kur punoni në një program të panjohur, kur nuk dini çfarë të bëni, apo jo -klikoni më shpesh ...). Në menunë rënëse, zgjidhni "Shto linjën e trendit ...".

4. Në dritaren "Trend line" që shfaqet, në skedën "Type", zgjidhni "Linear".

6. Një vijë e drejtë u shfaq në grafik, duke përafruar varësinë tonë tabelare.

Përveç vetë linjës, ne shohim ekuacionin e kësaj linje dhe, më e rëndësishmja, shohim vlerën e parametrit R 2 - madhësinë e besueshmërisë së përafrimit! Sa më afër të jetë vlera e tij me 1, aq më saktë funksioni i zgjedhur përafron të dhënat tabelare!

7. Ne ndërtojmë linjat e tendencës duke përdorur përafrime fuqie, logaritmike, eksponenciale dhe polinomiale në të njëjtën mënyrë siç ndërtuam një linjë trendi linear.

Polinomi i shkallës së dytë më të mirë nga të gjithë funksionet e përzgjedhura përafron të dhënat tona, ai ka koeficientin maksimal të besueshmërisë R 2 .

Sidoqoftë, dua t'ju paralajmëroj! Nëse merrni polinome të shkallëve më të larta, ndoshta do të merrni rezultate edhe më të mira, por kthesat do të duken të ndërlikuara…. Është e rëndësishme të kuptojmë këtu se ne po kërkojmë një funksion që ka kuptimi fizik. Çfarë do të thotë kjo? Kjo do të thotë se ne kemi nevojë për një funksion përafrues që do të japë rezultate adekuate jo vetëm brenda intervalit të konsideruar të vlerave X, por edhe përtej tij, domethënë do t'i përgjigjet pyetjes: "Sa do të jetë prodhimi i strukturave metalike nëse numri i qoshet e përpunuara në muaj është më pak se 45 dhe më shumë se 168 tonë! Prandaj, nuk ju rekomandoj të rrëmbeheni me polinome të shkallës së lartë, dhe zgjidhni me kujdes një parabolë (polinom të shkallës së dytë)!

Pra, ne duhet të zgjedhim një funksion që jo vetëm që interpolon të dhënat tabelare mirë brenda intervalit të vlerave X=45…168, por gjithashtu lejon ekstrapolim adekuat jashtë këtij diapazoni. Unë zgjedh në këtë rast një funksion logaritmik, megjithëse ju mund të zgjidhni një funksion linear, si më të thjeshtë. Në shembullin në shqyrtim, kur zgjidhni një përafrim linear në excel, gabimet do të jenë më të mëdha se kur zgjidhni një logaritmik, por jo shumë.

8. Ne heqim të gjitha linjat e tendencës nga fusha e grafikut, përveç funksionit logaritmik. Për ta bërë këtë, klikoni me të djathtën mbi linjat e panevojshme dhe zgjidhni "Pastro" në menunë e kontekstit që lëshohet.

9. Së fundi, ne shtojmë shirita gabimi në pikat e të dhënave tabelare. Për ta bërë këtë, klikoni me të djathtën në cilëndo nga pikat në grafik dhe zgjidhni "Format of data series ..." në menunë e kontekstit dhe konfiguroni të dhënat në skedën "Y-errors" siç tregohet në figurën më poshtë.

10. Pastaj klikojmë me të djathtën në ndonjë nga rreshtat e diapazonit të gabimeve, zgjedhim "Formati i shiritave të gabimit ..." në menunë e kontekstit dhe në dritaren "Formati i shiritave të gabimit" në skedën "Shiko", rregullojmë ngjyrën dhe trashësinë. të linjave.

Çdo objekt tjetër grafiku formatohet në të njëjtën mënyrë.shkëlqejnë!

Rezultati përfundimtar i grafikut është paraqitur në pamjen e mëposhtme të ekranit.

Rezultatet.

Rezultati i të gjitha veprimeve të mëparshme ishte formula rezultuese për funksionin e përafërt y=-172.01*ln (x)+1188.2. Duke e ditur atë, dhe numrin e qosheve në grupin mujor të punimeve, është e mundur me një shkallë të lartë probabiliteti (± 4% - shih shiritat e gabimit) të parashikohet prodhimi total i strukturave metalike për muajin! Për shembull, nëse ka 140 ton kënde në planin mujor, atëherë prodhimi total, duke qenë të gjitha gjërat e tjera të barabarta, ka shumë të ngjarë të jetë 338 ± 14 ton.

Për të rritur besueshmërinë e përafrimit, duhet të ketë shumë të dhëna statistikore. Dymbëdhjetë palë vlerash nuk mjaftojnë.

Nga praktika do të them se gjetja e një funksioni të përafërt me një koeficient besueshmërie R 2 >0.87 duhet të konsiderohet një rezultat i mirë. Rezultat i shkëlqyeshëm - në R 2 > 0,94.

Në praktikë, mund të jetë e vështirë të veçosh një faktor përcaktues më të rëndësishëm (në shembullin tonë, masa e qosheve të ricikluara në një muaj), por nëse provoni, gjithmonë mund ta gjeni në çdo detyrë specifike! Natyrisht, prodhimi total në muaj varet vërtet nga qindra faktorë, të cilët kërkojnë të merren parasysh inputet e rëndësishme të punës nga përcaktuesit e tarifave dhe specialistë të tjerë. Vetëm rezultati do të jetë ende i përafërt! Pra, a ia vlen të përballosh koston kur ka modelim matematikor shumë më të lirë!

Në këtë artikull, unë kam prekur vetëm majën e ajsbergut të quajtur mbledhja, përpunimi dhe përdorimi praktik i të dhënave statistikore. Pavarësisht nëse kam pasur sukses apo jo, unë ngjall interesin tuaj për këtë temë, shpresoj të mësoj nga komentet dhe vlerësimi i artikullit në motorët e kërkimit.

Çështja e prekur e përafrimit të funksionit të një ndryshoreje ka një zbatim të gjerë praktik në sfera të ndryshme të jetës. Por zgjidhja e problemit të përafrimit të funksionit ka një aplikim shumë më të madh disa të pavarura variablat…. Lexoni për këtë dhe më shumë në postimet e mëposhtme në blog.

Abonohu te njoftimet e artikujve në dritaren e vendosur në fund të çdo artikulli ose në dritaren në krye të faqes.

Mos harro konfirmoj abonimi duke klikuar në lidhje në një letër që do t'ju vijë në postën e specifikuar (mund të vijë në një dosje « Të bllokuara » )!!!

Unë do t'i lexoj komentet tuaja me interes, të dashur lexues! Shkruaj!

P.S. (04.06.2017)

Zëvendësimi i bukur shumë i saktë i të dhënave tabelare me një ekuacion të thjeshtë.

Ju nuk jeni të kënaqur me saktësinë e përafrimit të marrë (R 2<0,95) или вид и набор функций, предлагаемые MS Excel?

A nuk janë të këndshme për syrin dimensionet e shprehjes dhe forma e vijës së polinomit të përafërt të shkallës së lartë?

Referojuni faqes " " për një rezultat më të saktë dhe më kompakt të përshtatjes së të dhënave tuaja tabelare dhe për të mësuar një teknikë të thjeshtë për zgjidhjen e problemeve të përafrimit me saktësi të lartë me një funksion të një ndryshoreje.

Gjatë përdorimit të algoritmit të propozuar të veprimeve, u gjet një funksion shumë kompakt që siguron saktësinë më të lartë të përafrimit: R 2 =0,9963!!!

Përafrimi i funksionit jolinear

x 0 /12 /6 /4 /3 5/12 /2

y 0,5 0,483 0,433 0,354 0,25 0,129 0

Meqenëse intervali i ndarjes së funksionit është i barabartë, ne llogarisim koeficientët e mëposhtëm të pjerrësisë së seksioneve përkatëse të funksionit që përafrohen:

1. Blloqe ndërtimi për formimin e segmenteve të funksionit të përafrimit

Formimi i funksionit të kohës

Ndrysho intervalin:

Koha e rifillimit ciklik: T = 1s

Tani le të modelojmë funksionin:

Përafrim

Figura 3.1 - Skema për zgjidhjen e ekuacionit

Figura 3.2 - Bllok diagrami i formimit të një funksioni jolinear

Kështu, ana e majtë e ekuacionit formohet automatikisht. Në këtë rast, me kusht konsiderohet se derivati ​​më i lartë x// njihet, pasi anëtarët e anës së djathtë të ekuacionit janë të njohur dhe mund të lidhen me hyrjet Y1 (Figura 3.1). Përforcuesi operacional U3 vepron si një inverter i sinjalit +x. Për të simuluar x//, është e nevojshme të futet në qark një përforcues tjetër nënpërmbledhës, në hyrjet e të cilit është e nevojshme të aplikohen sinjale që simulojnë anën e djathtë të ekuacionit (3.2).

Shkallët e të gjitha variablave llogariten, duke marrë parasysh që vlera maksimale e ndryshores së makinës pas vlerës absolute është 10 V:

Mx = 10 / xmax; Mx/ = 10 / x/max; Mx// = 10 / x //max;

Im = 10 / ymax. (3.3)

Shkalla kohore është Mt = T / tmax = 1, pasi simulimi i problemit kryhet në kohë reale.

Koeficientët e transmetimit llogariten për çdo hyrje të amplifikatorëve integrues.

Për amplifikatorin U1, koeficientët e transferimit janë prapa formulave:

K11 = Mx/b/(MyMt); K12 = Mx/ a2 / (MxMt);

K13 = Mx/ a1 / (MxMt). (3.4)

Për amplifikatorin U2:

K21 = Mx/ / (Mx/ Mt), (3,5)

dhe për amplifikatorin U3:

K31 = 1. (3.6)

Sforcimet e kushteve fillestare llogariten duke përdorur formulat:

ux/ (0) = Mx/ x/ (0) (-1); ux(0)= Mxx(0) (+1). (3.7)

Ana e djathtë e ekuacionit (3.2) përfaqësohet nga një funksion jolinear, i cili jepet me përafrim linear. Në këtë rast, është e nevojshme të kontrollohet që gabimi i përafrimit të mos e kalojë vlerën e specifikuar. Blloku i formimit të një funksioni jolinear është paraqitur në figurën 3.2.

Përshkrimi i diagramit të qarkut

Njësia e gjenerimit të funksionit të kohës (F) është bërë në formën e një (për të formuar t) ose dy amplifikatorë integrues të lidhur në seri (për të formuar t2) me kushte fillestare zero.

Në këtë rast, kur sinjali U aplikohet në hyrjen e integratorit të parë, në daljen e tij marrim:

u1(t)= - K11 = - K11Et. (3.8)

Duke vendosur K11E=1, kemi u1(t)= t.

Në daljen e integratorit të dytë marrim:

u2(t)= K21 = K11K21Et2 / 2 (3.9)

Duke vendosur K11K21E/2 = 1, kemi u2(t)= t2.

Blloqet për formimin e segmenteve të funksionit të përafërt zbatohen në formën e blloqeve të diodave të funksioneve jolineare (DBNF), vlera hyrëse për të cilën është një funksion i kohës t ose t2. Procedura për llogaritjen dhe ndërtimin e DBNF është dhënë në.

Mbledhja (SAD) e segmenteve të funksionit të përafërt zbatohet si një përforcues përfundimtar diferencial.

Kushtet fillestare për integruesit e qarkut të modelimit futen duke përdorur një nyje me një strukturë të ndryshueshme (Figura 3.3). Kjo skemë mund të funksionojë në dy mënyra:

a) integrimi - kur çelësi K është në pozicionin 1. Në këtë rast, sinjali fillestar i qarkut përshkruhet me saktësi të mjaftueshme nga ekuacioni i një integruesi ideal:

u1(t)= - (1 / RC) . (3.10)

Kjo mënyrë përdoret kur modeloni një detyrë. Për të kontrolluar korrektësinë e zgjedhjes së parametrave R dhe C të integratorit, kontrolloni vlerën e tensionit fillestar të integratorit në funksion të kohës dhe kohën e dobishme të integrimit brenda gabimit të lejuar?

Vlera e tensionit fillestar të integratorit

U(t)= - KYE (1 - e - T / [(Ky+1)RC) (3.11)

gjatë kohës së simulimit T kur integrohet sinjali hyrës E duke përdorur një përforcues operacional me një fitim Ky pa një lak reagimi, nuk duhet të kalojë vlerën e ndryshores së makinës (10 V).

Koha e integrimit

Ti \u003d 2RC (Ku + 1)? Uadd (3.12)

për parametrat e qarkut të zgjedhur nuk duhet të jetë më pak se koha e simulimit T.

b) vendosja e kushteve fillestare zbatohet kur tasti K vendoset në pozicionin 2. Ky modalitet përdoret gjatë përgatitjes së qarkut të modelimit për procesin e zgjidhjes. Në këtë rast, sinjali fillestar i qarkut përshkruhet nga ekuacioni:

u0(t)= - (R2 /R1) E (3.13)

ku u0(t) është vlera e kushteve fillestare.

Për të zvogëluar kohën e formimit të kushteve fillestare dhe për të siguruar funksionim të besueshëm, parametrat e qarkut duhet të plotësojnë kushtin: R1C1 = R2C.

Ndërtoni një skemë të plotë të llogaritjes. Në këtë rast, duhet të përdoren konventat e dhëna në nënseksionin 3.1.

Duke përdorur kapacitetin e të dhënave hyrëse dhe burimore, ndërtoni diagramet skematike të blloqeve B1 dhe B2 dhe lidhini ato me bllokun e PC.

Le të merret, si rezultat i matjeve gjatë eksperimentit, një caktim tabelor i disa funksioneve f (x), duke shprehur lidhjen midis dy parametrave gjeografikë:

Sigurisht, është e mundur të gjendet një formulë që shpreh këtë varësi në mënyrë analitike duke aplikuar metodën e interpolimit. Sidoqoftë, koincidenca e vlerave të specifikimit të përftuar analitik të funksionit në nyjet e interpolimit me të dhënat empirike të disponueshme shpesh nuk nënkupton koincidencën e sjelljes së funksioneve origjinale dhe interpoluese gjatë gjithë intervalit të vëzhgimit. Për më tepër, varësia tabelare e treguesve gjeografikë merret gjithmonë si rezultat i matjeve nga instrumente të ndryshme që kanë një gabim të caktuar dhe jo gjithmonë mjaft të vogël në matje. Kërkesa që vlerat e funksioneve të përafrimit dhe të përafrimit në nyjet të përkojnë saktësisht është edhe më e pajustifikuar nëse vlerat e funksionit f (x), të marra si rezultat i matjeve janë vetë të përafërta.

Detyra e përafrimit të një funksioni të një ndryshoreje që në fillim merr domosdoshmërisht natyrën e sjelljes së funksionit origjinal gjatë gjithë intervalit të vëzhgimit. Formulimi i detyrës është si më poshtë. Funksioni y= f(x) dhënë nga tabela (1). Është e nevojshme të gjendet një funksion i një lloji të caktuar:

që është në pika x 1, x 2, …, x n merr vlera sa më afër tabelës y 1, y 2, …, y n.

Në praktikë, lloji i funksionit të përafërt përcaktohet më shpesh duke krahasuar llojin e grafikut të përafërt të funksionit. y= f(x) me grafikët e funksioneve të njohura për studiuesin, të dhëna analitike (më shpesh funksionet elementare të thjeshta në formë). Gjegjësisht, sipas tabelës (1), ndërtohet një parcelë shpërndarjeje f (x), atëherë vizatohet një kurbë e lëmuar, që pasqyron sa më mirë natyrën e vendndodhjes së pikave. Sipas lakores së përftuar, forma e funksionit të përafrimit vendoset në nivel cilësor.

Merrni parasysh figurën 6.

Figura 6 tregon tre situata:

• Në grafikun (a) marrëdhënia X dhe në afër lineare; vija e drejtë këtu është afër pikave të vëzhgimit dhe këto të fundit devijojnë prej saj vetëm si rezultat i ndikimeve relativisht të vogla të rastësishme.
• Në grafikun (b) lidhja reale ndërmjet vlerave X dhe në përshkruhet nga një funksion jolinear, dhe pavarësisht nga vija e drejtë që vizatojmë, devijimi i pikave të vëzhgimit nga ai do të jetë i rëndësishëm dhe jo i rastësishëm. Në të njëjtën kohë, dega e vizatuar e parabolës pasqyron mjaft mirë natyrën e marrëdhënies midis sasive.
• Në grafikun (c), ekziston një marrëdhënie e qartë midis variablave X dhe në i zhdukur; sido që të zgjedhim formulën e relacionit, rezultatet e parametrizimit të saj do të jenë të pasuksesshme këtu. Në veçanti, të dy linjat e zgjedhura janë po aq të këqija për të nxjerrë përfundime në lidhje me vlerat e pritshme të ndryshores në sipas vlerave të ndryshueshme X.

Duhet të theksohet se një varësi e rreptë funksionale për tabelën e të dhënave fillestare vërehet rrallë, sepse secila nga sasitë që marrin pjesë në të mund të varet nga shumë faktorë të rastësishëm. Megjithatë, formula (2) (quhet formula empirike ose ekuacioni i regresionit në në X) është interesante sepse ju lejon të gjeni vlerat e funksionit f për vlerat jo të tabelës X, duke “zbutur” rezultatet e matjeve të sasisë në, d.m.th. gjatë gjithë intervalit të ndryshimit X. Arsyetimi për një qasje të tillë përcaktohet përfundimisht nga dobia praktike e formulës që rezulton.

Përmes "resë" ekzistuese të pikave, gjithmonë mund të përpiqeni të vizatoni një vijë të llojit të vendosur, e cila është më e mira në një kuptim të caktuar midis të gjitha linjave të këtij lloji, domethënë "më e afërta" me pikat e vëzhgimit në to. tërësia. Për ta bërë këtë, së pari përcaktojmë konceptin e afërsisë së një linje me një grup të caktuar pikash në aeroplan. Masat e një afrimi të tillë mund të jenë të ndryshme. Megjithatë, çdo masë e arsyeshme duhet padyshim të jetë e lidhur me distancën nga pikat e vëzhgimit në vijën në fjalë (e dhënë nga ekuacioni y=F(x)).

Le të supozojmë se funksioni i përafërt F(x) në pika x 1, x 2, ..., x nçështje y 1 , y 2 , ..., y n. Shpesh, minimumi i shumës së diferencave në katror të vëzhgimeve të ndryshores së varur përdoret si kriter afërsie. y i dhe vlerat teorike të llogaritura nga ekuacioni i regresionit y i. Këtu konsiderohet se y i dhe x i janë të njohura të dhëna vëzhgimi, dhe F- ekuacioni i vijës së regresionit me parametra të panjohur (formula për llogaritjen e tyre do të jepen më poshtë). Metoda e vlerësimit të parametrave të funksionit të përafërt, e cila minimizon shumën e devijimeve në katror të vëzhgimeve të ndryshores së varur nga vlerat e funksionit të dëshiruar, quhet më së paku katrore (LSM) ose Metoda më e vogël e katrorit (LS).

Pra, problemi i përafrimit të funksionit f tani mund të formulohet si më poshtë: për funksionin f të dhëna nga tabela (1), gjeni funksionin F të një forme të caktuar në mënyrë që shuma e katrorëve Ф të jetë më e vogla.

Konsideroni një metodë për gjetjen e një funksioni të përafërt në pamje e përgjithshme në shembullin e një funksioni të përafërt me tre parametra:

(3)

Le F(x i, a, b, c) = y i, i=1, 2, ..., n. Shuma e diferencave në katror të vlerave përkatëse f dhe F do të duket si:

Kjo shumë është një funksion i F (a, b, c) tre variabla (parametra a, b dhe c). Problemi është të gjesh minimumin e tij. Ne përdorim kushtin e nevojshëm ekstrem:

Marrim një sistem për përcaktimin e parametrave të panjohur a, b, c.

(5)

Duke zgjidhur këtë sistem prej tre ekuacionesh me tre të panjohura në lidhje me parametrat a, b, c, marrim formën specifike të funksionit të dëshiruar F(x, a, b, c). Siç mund të shihet nga shembulli i konsideruar, një ndryshim në numrin e parametrave nuk do të çojë në një shtrembërim të thelbit të vetë qasjes, por do të shprehet vetëm në një ndryshim në numrin e ekuacioneve në sistemin (5).

Është e natyrshme të pritet që vlerat e gjetura të funksionojnë F(x, a, b, c) në pika x 1, x 2, ..., x n, do të ndryshojnë nga vlerat e tabelës y 1, y 2, ..., y n. Vlerat e ndryshimit y i -F(x i,a, b, c)=e i (i=1, 2, ..., n) quhen devijime të vlerës së matur y nga ato të llogaritura me formulën (3). Për formulën empirike të gjetur (2), në përputhje me tabelën origjinale (1), mund të gjendet

shuma e devijimeve në katror , e cila, në përputhje me metodën e katrorëve më të vegjël, për një lloj të caktuar funksioni përafrues (dhe vlerat e gjetura të parametrave) duhet të jetë më e vogla. Nga dy përafrime të ndryshme të të njëjtit funksion tabele, duke ndjekur metodën e katrorëve më të vegjël, më e mira duhet të konsiderohet ajo për të cilën shuma (4) ka vlerën më të vogël.

Në praktikën eksperimentale, si funksione përafruese, në varësi të natyrës së grafikut të shpërndarjes f Shpesh përdoren funksione përafruese me dy parametra:

Natyrisht, kur vendoset forma e funksionit të përafërt, problemi reduktohet vetëm në gjetjen e vlerave të parametrave.

Le të shqyrtojmë varësitë empirike më të zakonshme në kërkimin praktik.

3.3.1. Funksioni linear (regresioni linear). Pika e fillimit për analizën e varësisë është zakonisht vlerësimi i varësisë lineare të variablave. Sidoqoftë, duhet të kihet parasysh se vija e drejtë "më e mirë" sipas metodës së katrorëve më të vegjël ekziston gjithmonë, por edhe më e mira nuk është gjithmonë mjaft e mirë. Nëse në realitet varësia y=f(x)është kuadratik, atëherë asnjë funksion linear nuk mund ta përshkruajë atë në mënyrë adekuate, megjithëse midis të gjitha funksioneve të tilla ekziston domosdoshmërisht ai "më i miri". Nëse sasitë X dhe në nuk ka lidhje fare, ne gjithashtu mund të gjejmë gjithmonë funksionin linear "më të mirë". y=sëpatë+b për një grup të caktuar vëzhgimesh, por në këtë rast, vlera specifike a dhe b përcaktohen vetëm nga devijimet e rastësishme të variablave dhe vetë do të ndryshojnë shumë për mostra të ndryshme nga e njëjta popullatë e përgjithshme.

Le të shqyrtojmë tani problemin e vlerësimit të koeficientëve të regresionit linear në mënyrë më formale. Le të supozojmë se marrëdhënia ndërmjet x dhe yështë linear dhe funksioni i dëshiruar i përafërt do të kërkohet në formën:

Le të gjejmë derivatet e pjesshme në lidhje me parametrat:

Le t'i zëvendësojmë marrëdhëniet e marra në sistemin e formës (5):

ose, duke pjesëtuar çdo ekuacion me n:

Le të prezantojmë shënimin:

(7)

Atëherë sistemi përfundimtar do të duket si ky:

(8)

Koeficientët e këtij sistemi M x, M y, M xy, M x 2 janë numra që në çdo problem specifik të përafrimit mund të llogariten lehtësisht duke përdorur formulat (7), ku x i, y i- vlerat nga tabela (1). Duke zgjidhur sistemin (8), marrim vlerat e parametrave a dhe b, dhe, rrjedhimisht, forma specifike e funksionit linear (6).

Një kusht i domosdoshëm për zgjedhjen e një funksioni linear si formula e dëshiruar empirike është raporti:

3.3.2. Funksioni kuadratik (regresioni kuadratik). Ne do të kërkojmë një funksion të përafërt në formën e një trinomi katror:

Gjejmë derivate të pjesshme:

Le të hartojmë një sistem të formës (5):

Pas shndërrimeve të thjeshta, fitohet një sistem prej tre ekuacionesh lineare me tre të panjohura a, b, c. Koeficientët e sistemit, si në rastin e një funksioni linear, shprehen vetëm përmes të dhënave të njohura nga tabela (1):

(10)

Këtu përdoret shënimi (7), si dhe

Zgjidhja e sistemit (10) jep vlerën e parametrave a, b dhe Me për funksionin e përafërt (9).

Regresioni kuadratik zbatohet nëse të gjitha shprehjet e formës y 2 -2y 1 + y 0 , y 3 -2 y 2 + y 1 , y 4 -2 y 3 + y 2 etj. pak të ndryshëm nga njëri-tjetri.

3.3.3. Funksioni i fuqisë (regresioni gjeometrik) Tani le të gjejmë funksionin e përafërt në formën:

(11)

Duke supozuar se në tabelën origjinale (1) vlerat e argumentit dhe vlera e funksionit janë pozitive, marrim logaritmin e barazisë (11) me kushtin a>0:

Që nga funksioni Fështë një përafrim për funksionin f, funksion lnF do të jetë i përafërt për funksionin lnf. Le të prezantojmë një ndryshore të re u=lnx; atëherë, siç vijon nga (12), lnF do të jetë një funksion i u: Ф(u).

Shënoni

Tani barazia (12) merr formën:

ato. problemi u reduktua në gjetjen e një funksioni të përafërt në formën e një funksioni linear. Në praktikë, për të gjetur funksionin e dëshiruar përafrues në formën e një funksioni fuqie (sipas supozimeve të bëra më lart), është e nevojshme të bëni sa më poshtë:

1. sipas kësaj tabele (1), krijoni një tabelë të re duke marrë logaritmin e vlerave x dhe y në tabelën origjinale;

2. sipas tabelës së re gjeni parametrat POR dhe AT funksioni përafrues i formës (14);

3. Duke përdorur shënimin (13), gjeni vlerat e parametrave a dhe m dhe zëvendësojini ato në shprehje (11).

Një kusht i domosdoshëm për zgjedhjen e një funksioni fuqie si formula e dëshiruar empirike është raporti:

3.3.4. Funksioni eksponencial . Le të jetë tabela origjinale (1) e tillë që këshillohet të kërkoni funksionin e përafërt në formën e një funksioni eksponencial:

Le të marrim logaritmin e barazisë (15):

(16)

Pasi kemi miratuar shënimin (13), ne rishkruajmë (16) në formën:

(17)

Kështu, për të gjetur funksionin e përafërt në formën (15), është e nevojshme të merret logaritmi i vlerave të funksionit në tabelën origjinale (1) dhe, duke i konsideruar ato së bashku me vlerat fillestare të argumentit, të ndërtohen një funksion përafrues i formës (17) për tabelën e re. Pas kësaj, në përputhje me shënimin (13), mbetet për të marrë vlerat e parametrave të dëshiruar a dhe b dhe zëvendësojini ato në formulën (15).

Një kusht i domosdoshëm për zgjedhjen e një funksioni eksponencial si formula e dëshiruar empirike është raporti:

.

3.3.5. Funksioni linear thyesor. Ne do të kërkojmë një funksion të përafërt në formën:

(18)

Barazia (18) mund të rishkruhet si më poshtë:

Nga barazia e fundit rrjedh se për të gjetur vlerat e parametrave a dhe b sipas tabelës së dhënë (1), është e nevojshme të përpilohet një tabelë e re, në të cilën vlerat e argumentit mbeten të njëjta, dhe vlerat e funksionit zëvendësohen me reciproke, pas së cilës, për tabelën që rezulton, të gjeni një funksioni i përafërt i formës sëpatë+b. Vlerat e parametrave të gjetura a dhe b zëvendësoni në formulën (18).

Një kusht i domosdoshëm për zgjedhjen e një funksioni linear-fraksional si formula e dëshiruar empirike është relacioni:

.

3.3.6. Funksioni logaritmik. Le të duket funksioni i përafërt si ky:

Është e lehtë të shihet se për të kaluar në një funksion linear, mjafton të bëhet zëvendësimi lnx=u. Nga kjo rezulton se për të gjetur vlerat a dhe bështë e nevojshme të merret logaritmi i vlerave të argumentit në tabelën origjinale (1) dhe, duke marrë parasysh vlerat e marra në lidhje me vlerat origjinale të funksionit, të gjeni një funksion të përafërt në formën e një lineare për tabelën e re të përftuar në këtë mënyrë. Shanset a dhe b të funksionit të gjetur, zëvendësojeni me formulën (19).

Një kusht i domosdoshëm për zgjedhjen e një funksioni logaritmik si formula e dëshiruar empirike është raporti:

.

3.3.7. Hiperbola. Nëse grafiku i shpërndarjes, i ndërtuar sipas tabelës (1), jep një degë të hiperbolës, funksioni i përafërt mund të kërkohet në formë.

Ndër metodat e ndryshme të parashikimit, është e pamundur të mos veçohet përafrimi. Me ndihmën e tij, ju mund të bëni llogaritjet e përafërta dhe të llogaritni treguesit e planifikuar duke zëvendësuar objektet origjinale me ato më të thjeshta. Në Excel ekziston edhe mundësia e përdorimit të kësaj metode për parashikim dhe analizë. Le të shohim se si mund të zbatohet kjo metodë në programin e specifikuar me mjete të integruara.

Emri i kësaj metode vjen nga fjalë latine proxima - “më i afërt” Është përafrimi duke thjeshtuar dhe zbutur treguesit e njohur, duke i renditur në një trend që është baza e tij. Por këtë metodë mund të përdoret jo vetëm për parashikimin, por edhe për studimin e rezultateve ekzistuese. Në fund të fundit, përafrimi është, në fakt, një thjeshtim i të dhënave fillestare, dhe versioni i thjeshtuar është më i lehtë për t'u studiuar.

Mjeti kryesor me të cilin kryhet zbutja në Excel është ndërtimi i një linje trendi. Përfundimi është se në bazë të treguesve ekzistues, grafiku i funksionit për periudhat e ardhshme është duke u plotësuar. Qëllimi kryesor i linjës së trendit, siç mund ta merrni me mend, është të bëni parashikime ose të identifikoni një prirje të përgjithshme.

Por mund të ndërtohet duke përdorur një nga pesë llojet e përafrimit:

• Linear;
• eksponenciale;
• logaritmike;
• polinom;
• Fuqia.

Le të shqyrtojmë secilën prej opsioneve në më shumë detaje veç e veç.

Metoda 1: Zbutja lineare

Para së gjithash, le të shqyrtojmë versionin më të thjeshtë të përafrimit, përkatësisht duke përdorur një funksion linear. Ne do të ndalemi në të më në detaje, pasi do të theksojmë pikat e përgjithshme karakteristike të metodave të tjera, përkatësisht, vizatimin dhe disa nuanca të tjera, në të cilat nuk do të ndalemi kur shqyrtojmë opsionet pasuese.

Fillimisht, le të ndërtojmë një grafik, në bazë të të cilit do të kryejmë procedurën e zbutjes. Për të ndërtuar një grafik, le të marrim një tabelë në të cilën kostoja e një njësie të prodhimit të prodhuar nga ndërmarrja dhe fitimi përkatës në një periudhë të caktuar tregohen në baza mujore. Funksioni grafik, që do të ndërtojmë, do të shfaqë varësinë e rritjes së fitimit nga ulja e kostos së prodhimit.

Zbutja e përdorur në këtë rast përshkruhet me formulën e mëposhtme:

Në rastin tonë të veçantë, formula merr formën e mëposhtme:

y=-0,1156x+72,255

Vlera e besueshmërisë së përafrimit është e barabartë me 0,9418 , i cili është një rezultat mjaft i pranueshëm që karakterizon zbutjen si të besueshme.

Metoda 2: Përafrimi eksponencial

Tani le të shohim llojin eksponencial të përafrimit në Excel.

Forma e përgjithshme e funksionit zbutës është si më poshtë:

ku eështë baza logaritmi natyror.

Në rastin tonë të veçantë, formula mori formën e mëposhtme:

y=6282.7*e^(-0.012*x)

Metoda 3: zbutja logaritmike

Tani është radha të shqyrtojmë metodën e përafrimit logaritmik.

Në përgjithësi, formula e zbutjes duket si kjo:

ku lnështë logaritmi natyror. Prandaj emri i metodës.

Në rastin tonë, formula merr formën e mëposhtme:

y=-62,81ln(x)+404,96

Metoda 4: Zbutja polinomiale

Ka ardhur koha për të shqyrtuar metodën e zbutjes së polinomit.

Formula që përshkruan këtë lloj zbutjeje ka marrë formën e mëposhtme:

y=8E-08x^6-0.0003x^5+0.3725x^4-269.33x^3+109525x^2-2E+07x+2E+09

Metoda 5: zbutja e fuqisë

Si përfundim, merrni parasysh metodën e përafrimit të fuqisë në Excel.

Kjo metodë përdoret në mënyrë efektive në rastet e ndryshimit intensiv të të dhënave të funksionit. Është e rëndësishme të theksohet se ky opsion është i zbatueshëm vetëm nëse funksioni dhe argumenti nuk marrin vlera negative ose zero.

Formula e përgjithshme që përshkruan këtë metodë është si më poshtë:

Në rastin tonë të veçantë, duket kështu:

y = 6E+18x^(-6,512)

Siç mund ta shihni, kur përdornim të dhëna specifike që përdorëm për shembull, metoda e përafrimit të polinomit me një polinom të shkallës së gjashtë tregoi nivelin më të lartë të besueshmërisë ( 0,9844 ), niveli më i ulët i besimit në metodë lineare (0,9418 ). Por kjo nuk do të thotë aspak se e njëjta prirje do të jetë kur përdoren shembuj të tjerë. Jo, niveli i efikasitetit të metodave të mësipërme mund të ndryshojë ndjeshëm, në varësi të llojit specifik të funksionit për të cilin do të ndërtohet linja e trendit. Prandaj, nëse metoda e zgjedhur është më e efektshmja për këtë funksion, kjo nuk do të thotë aspak se do të jetë optimale edhe në një situatë tjetër.

Nëse nuk mund të përcaktoni menjëherë, bazuar në rekomandimet e mësipërme, se cili lloj përafrimi është i përshtatshëm posaçërisht për rastin tuaj, atëherë ka kuptim të provoni të gjitha metodat. Pas vizatimit të linjës së trendit dhe shikimit të nivelit të saj të besimit, mund të zgjidhni opsionin më të mirë.

Shpesh është e nevojshme të kemi shprehje analitike për karakteristikat e rrymës-tensionit të elementeve jolinearë. Këto shprehje mund të përfaqësojnë vetëm përafërsisht CVC, pasi ligjet fizike që rregullojnë marrëdhënien midis tensioneve dhe rrymave në pajisjet jolineare nuk shprehen në mënyrë analitike.

Detyra e një paraqitjeje të përafërt analitike të një funksioni të dhënë grafikisht ose me një tabelë vlerash, brenda kufijve të caktuar të ndryshimit të argumentit të tij (ndryshore e pavarur) quhet përafrim. Në këtë rast, së pari, zgjidhet funksioni përafrues, d.m.th., funksioni me të cilin përafërsisht paraqitet varësia e dhënë dhe, së dyti, zgjedhja e kriterit për vlerësimin e "afërsisë" së kësaj varësie dhe funksionit të përafrimit. atë.

Si funksione përafruese, më së shpeshti përdoren polinomet algjebrike, disa funksione racionale thyesore, eksponenciale dhe transcendentale, ose një grup funksionesh lineare (segmente të drejtëza).

Supozojmë se CVC e një elementi jolinear i= argëtim (u) të dhëna grafike, pra të përcaktuara në çdo pikë të intervalit Umin≤dhe≤U max, dhe është një funksion i vazhdueshëm me vlerë të vetme të ndryshores dhe. Atëherë problemi i paraqitjes analitike të karakteristikës së tensionit të rrymës mund të konsiderohet si një problem përafrimi funksioni i dhënëξ(х) nga funksioni i përafërt i zgjedhur f(x).

Mbi afërsinë e përafrimit f(x) dhe e përafërt ξ( X) funksionet ose, me fjalë të tjera, gabimi i përafrimit, zakonisht gjykohet nga vlera më e madhe absolute e diferencës midis këtyre funksioneve në intervalin e përafrimit a≤ X≤ b, dmth në madhësi

∆=maks.│ f(x)- ξ( x)│

Shpesh, kriteri i afërsisë zgjidhet si vlera mesatare katrore e diferencës midis funksioneve të specifikuara në intervalin e përafrimit.

Ndonjëherë, nën afërsinë e dy funksioneve f( x) dhe ξ( x) kuptojnë rastësinë në pikë e dhënë

x= Ho vetë funksionet dhe P+ 1 prej derivateve të tyre.

Mënyra më e zakonshme për të përafruar një funksion analitik me një të dhënë është interpolimi(metoda e pikave të zgjedhura) kur funksionet f( x) dhe ξ( x) në pikat e zgjedhura (në të këqijat e interpolimit) X k , k= 0, 1, 2, ..., P.

Gabimi i përafrimit mund të arrihet sa më i vogël, aq më i madh është numri i parametrave të ndryshueshëm të përfshirë në funksionin e përafrimit, d.m.th., për shembull, sa më e lartë të jetë shkalla e polinomit të përafërt ose sa më i madh të jetë numri i segmenteve të linjës që përmban funksionin e përafërt linear të thyer. . Në të njëjtën kohë, natyrisht, vëllimi i llogaritjeve rritet, si në zgjidhjen e problemit të përafrimit ashtu edhe në analizën pasuese të qarkut jolinear. Thjeshtësia e kësaj analize, së bashku me veçoritë e funksionit të përafërt brenda intervalit të përafrimit, është një nga kriteret më të rëndësishme gjatë zgjedhjes së llojit të funksionit të përafrimit.

Në problemet e përafrimit të karakteristikave të tensionit aktual të pajisjeve elektronike dhe gjysmëpërçuese, zakonisht nuk është e nevojshme të përpiqemi për saktësi të lartë të riprodhimit të tyre për shkak të një përhapjeje të konsiderueshme në karakteristikat e pajisjes nga mostra në mostër dhe një ndikim të rëndësishëm të faktorëve destabilizues mbi to. , për shembull, temperatura në pajisjet gjysmëpërçuese. Në shumicën e rasteve, mjafton të riprodhohet "korrekt" karakteri mesatar i përgjithshëm i varësisë i= f(u) brenda intervalit të tij të punës. Për të mundësuar llogaritjen analitike të qarqeve me elementë jolinearë, është e nevojshme të kemi shprehje matematikore për karakteristikat e elementeve. Vetë këto karakteristika janë zakonisht eksperimentale, d.m.th. të marra si rezultat i matjeve të elementeve përkatës, dhe më pas formohen të dhënat referuese (tipike) mbi këtë bazë. Procedura e përshkrimit matematik të disa funksioneve të dhëna në matematikë quhet përafrim i këtij funksioni. Ekzistojnë një sërë llojesh të përafrimit: sipas pikave të zgjedhura, nga Taylor, nga Chebyshev, etj. Në fund të fundit, është e nevojshme të merret një shprehje matematikore që, me disa kërkesa të dhëna, plotëson funksionin fillestar të përafrimit.

Konsideroni mënyra më e thjeshtë: metoda e pikave ose nyjeve të zgjedhura të interpolimit polinomial të fuqisë.

Është e nevojshme të përcaktohen koeficientët e polinomit. Për këtë, zgjidhni (n+1) pikat në një funksion të caktuar dhe një sistem ekuacionesh përpilohet:

Nga ky sistem gjenden koeficientët a 0 , a 1 , a 2 , …, a n.

Në pikat e zgjedhura, funksioni i përafërt do të përkojë me atë origjinal, në pikat e tjera do të ndryshojë (fuqishëm ose jo - varet nga polinomi i fuqisë).

Ju mund të përdorni një polinom eksponencial:

Metoda e dytë: Metoda e përafrimit të Taylor . Në këtë rast, zgjidhet një pikë ku funksioni origjinal do të përkojë me atë të përafërt, por vendoset një kusht shtesë që edhe derivatet të përkojnë në këtë pikë.

Përafrimi i Butterworth: zgjidhet polinomi më i thjeshtë:

Në këtë rast, ju mund të përcaktoni devijimin maksimal ε në skajet e gamës.

Përafrimi sipas Chebyshev: është një ligj fuqie, vendos një përputhje në disa pika dhe minimizon devijimin maksimal të funksionit të përafërt nga ai origjinal. Në teorinë e përafrimit të funksioneve, vërtetohet se devijimi më i madh absolut i polinomit f(x) shkallë P nga funksion të vazhdueshëm ξ( X) do të jetë minimalisht e mundur nëse në intervalin e përafrimit a≤ X≤ b ndryshim

f( x) - ξ( X) jo më pak se n + 2 herë merr maksimumin e saj të alternuar të njëpasnjëshëm të kufirit f(x) - ξ( X) = L > 0 dhe më i vogli f(x) - ξ( X) = -L vlerat (kriteri i Chebyshev).

Në shumë probleme të aplikuara, përdoret përafrimi polinomial me kriterin e afërsisë rrënjë-mesatare-katrore, kur parametrat e funksionit të përafrimit f(x) zgjidhen nga kushti i minimizimit në intervalin e përafrimit a≤ X≤ b devijimi i funksionit në katror f(x) të një funksioni të dhënë të vazhdueshëm ξ( X), d.m.th., nga kushti:

Λ= 1/b-a∫ a [ f(x)- ξ( x)] 2 dx= min. (7)

Në përputhje me rregullat për gjetjen e ekstremeve, zgjidhja e problemit reduktohet në zgjidhjen e një sistemi ekuacionesh lineare, i cili formohet si rezultat i barazimit me zero të derivateve të parë të pjesshëm të funksionit. Λ për secilin nga koeficientët e kërkuar një k polinomi i përafërt f(x), pra ekuacionet

dΛ ∕da 0=0; dΛ ∕da 1=0; dΛ ∕da 2=0, . . . , dΛ ∕da n=0. (8)

Është vërtetuar se ky sistem ekuacionesh ka edhe një zgjidhje unike. Në rastet më të thjeshta, ai gjendet në mënyrë analitike, dhe në rastin e përgjithshëm, numerikisht.

Chebyshev vendosi që barazia e mëposhtme duhet të jetë për devijimet maksimale:

Në praktikën inxhinierike, të ashtuquajturat përafrim linear pjesë-pjesëështë një përshkrim i një lakore të dhënë sipas segmenteve të drejtëzave.

Brenda secilit prej seksioneve të linearizuara të karakteristikës së tensionit aktual, të gjitha metodat e analizimit të lëkundjeve në linjë qarqet elektrike. Është e qartë se se më shumë seksionet e linearizuara, ndahet karakteristika e dhënë rrymë-tension, aq më saktë mund të përafrohet dhe aq më e madhe është sasia e llogaritjeve gjatë analizës së lëkundjeve në qark.

Në shumë probleme të aplikuara të analizës së lëkundjeve në qarqet rezistente jolineare, karakteristika e përafërt e rrymës-tensionit në intervalin e përafrimit përfaqësohet me saktësi të mjaftueshme nga dy ose tre segmente të drejtëzave.

Një përafrim i tillë i karakteristikave të tensionit të rrymës në shumicën e rasteve jep rezultate mjaft të kënaqshme të analizës së lëkundjeve në një qark rezistent jolinear me efekte të madhësisë "të vogla" në elementin jolinear, d.m.th., kur vlerat e menjëhershme të rrymat në elementin jolinear ndryshojnë brenda kufijve maksimalë të lejuar nga I= 0 deri I = Unë maksimum