Potansiyel farkın mesafeye bağımlılığı. Potansiyel fark, elektrik alanındaki yük enerjisi. Potansiyel

Bir önceki paragrafta, ana özelliği tartıştık. Elektrik alanı- onun gerginliği. Tanımdan da anlaşılacağı gibi, bu bir güç özelliğidir ve dolayısıyla bir vektördür. Bazı durumlarda, skaler özellikler daha uygundur; elektrostatik alan– potansiyel fark ve potansiyel. Bu durumda, bir elektrostatik alandaki bir yüke etki eden kuvvetlerin önemli bir temel özelliğine - muhafazakarlıklarına - güveneceğiz.

Çalışmaları vücudun yörüngesinin şekline bağlı olmayan kuvvetlerin muhafazakar olarak adlandırıldığını hatırlayın. Bu tür kuvvetlerin işi, yalnızca yer değiştirmenin ilk ve son noktalarının koordinatları tarafından belirlenir. Rastgele bir yükler sistemi tarafından oluşturulan elektrostatik alanın güç özelliklerinin özelliklerine ilişkin bilgimize dayanarak, bir yük herhangi iki noktası arasında hareket ettiğinde işin eşitliğinin ayrıntılı bir kanıtını yapmak mümkün olacaktır. Ancak, mekanik bölümünde kanıtladığımız “merkezi kuvvetlerin muhafazakarlığı” teoremini hatırlatarak bu prosedürü biraz kısaltacağız.

Sabit bir nokta yükü, "merkezi kuvvetler alanının" kaynağıdır - bu doğrudan elektrostatik temel yasasının - Coulomb yasasının formülasyonundan gelir. Elektrik alanlarının süperpozisyonu ilkesinden, herhangi bir sistemin alanında bir test yükü hareket ettiğinde yapılan iş ortaya çıkar. dayanma ücretler, ücretlerin her birinin alanındaki işin cebirsel toplamıdır. Bu, bu tür kuvvetlerin alanının (“Coulomb kuvvetleri” *) aynı zamanda muhafazakar kuvvetlerin alanı olduğu anlamına gelir. Kanıtlanması gereken buydu.

Böylece, elektrostatik alan kuvvetlerinin **) bir nokta (deneme) yükünün iki nokta arasındaki hareketi üzerindeki çalışması bu alanı karakterize eder. Ama aynı zamanda test yükünün büyüklüğüne de bağlıdır. q 0 . Bu, deneyimle kanıtlanmıştır, ancak "Coulomb" kuvvetleri hakkındaki bilgimize dayanarak bu da anlaşılabilir. Yükle orantılı oldukları için q 1®2 yörüngesinin her noktasında 0 (Coulomb yasasına göre) ve iş kuvvetle orantılıdır. Alanı ve yalnızca alanı karakterize etmek için işi test ücretinin değerine bölebilirsiniz. Olan şey "potansiyel fark" tır. İşte bu önemli kavramın bir tanımı:

(ODA .) Potansiyel fark elektrostatik alan noktaları 1 ve 2 arasında denir davranış iş test yükünü noktadan hareket ettirerek alanlar 1kesinlikle 2bu ücretin değerine :

. (3.1)

SI sisteminde potansiyel farkın birimine 1 volt (1 V = 1 J/C) denir. Potansiyel farkı bir şekilde nasıl belirleyeceğimizi öğrenirsek j 1 –j 2 Durağan yükler sisteminin alanı için (teorik veya deneysel olarak), bu, alanın işini herhangi birini hareket ettirerek bulmamızı sağlayacaktır. nokta atışışarj q bu alanda:

. (3.2)

Yani potansiyel fark enerji karakteristiği elektrik alanı, çünkü doğrudan iş kavramıyla ilgilidir.

Mekanikte, korunumlu kuvvetler için "potansiyel enerji" kavramını tanıttık (şimdi "koruma kuvvetlerinin alanları" diyoruz). Aynı zamanda, aşağıdaki ilke tarafından yönlendirildik: “alan kuvvetlerinin işi, kayıplara eşittir. potansiyel enerji". Bu ilkeyi analitik bir gösterimde resmileştiriyoruz:

Burada U 1 ve U 2, sırasıyla sistemin "başlangıç" ("1") ve "son" ("2") durumlarındaki potansiyel enerjidir. Tartışılan durumda, sabit yükler sisteminin alanları enerjidir. nokta şarjı q"1" konumunda (koordinatlarla ( x 1 ,y 1 ,z 1)) ve "2" konumu (koordinatlarla ( x 2 ,y 2 ,z 2)) elektrostatik alan. Şunlar. bu alandaki yükün potansiyel enerjisi, alan noktalarının koordinatlarının skaler bir fonksiyonudur U = U( x,y,z) (veya ). (3.2) ve (3.3) karşılaştırıldığında, potansiyel farkın alan noktalarının koordinatlarının başka bir skaler fonksiyonunun değerlerindeki fark olduğunu varsaymanın uygun olduğunu görüyoruz. j(x,y,z). U( fonksiyonu ile ilgilidir. x,y,z) (potansiyel enerji) basit bir bağıntı ile: U( x,y,z) = q× j(x,y,z). Ya da çünkü

alanın belirli bir noktasında "birim pozitif yükün potansiyel enerjisine sayısal olarak eşit" olduğu söylenir. Ve bu değer denir j elektrostatik alanın belirli bir noktasının "potansiyel"i.

En önemli şey, belirli bir ücret sisteminin alanı için bu işlevi nasıl bulacağınızdır? Prosedür nedir?

Öncelikle normalizasyon koşulları üzerinde anlaşmamız gerekiyor*): Bir nokta seçmemiz gerekiyor R 0, burada test yükü potansiyelinin sıfıra eşit olduğu varsayılacaktır. Çoğu zaman, böyle bir nokta, alanın olmadığı yerde "sonsuz" uzaktan seçilir **). Bunu yapmak için, alanın "belirli" çalışmasını bulmanız gerekir - yani. Alandaki belirli bir noktadan aktarılan test yükü miktarıyla (veya sıklıkla söylendiği gibi "bir birim pozitif yükü hareket ettirerek") ilgili çalışma. R(x,y,z) normalleşme noktasına R 0 . Analitik formda, bu tanım potansiyeli aşağıdaki gibi yazılabilir:

(Def. ) j P(x,y,z) = . (3.5)

Tarafımızdan yeni tanıtılan değerleri - potansiyel farkı ve potansiyeli, daha önce nasıl hesaplanacağını öğrendiğimiz güç karakteristiği ile ifade etmek mümkün mü? verilen konum uzayda ücretler? Evet, kesinlikle yapabilirsiniz. Bize iyi anlaşılan bir eşitlikler zinciri yazalım:

Son denklemi tekrar yazalım

. (3.6)

Bilinen bir gerilim fonksiyonu kullanarak potansiyel bir fark aramak için bir "tarif" verir. Benzer şekilde potansiyel için:

Ve son olarak, alanın keyfi bir noktasının potansiyeli için R koordinatlarla ( x,y,z):

. (3.7)

· Noktasal yükün alan potansiyeli

Potansiyeli hesaplama prosedürüne dayanarak, bir nokta yük alanı durumu için bir ifade elde ederiz. Bu, uzayda keyfi olarak yerleştirilmiş bir yükler sisteminin alan potansiyelinin daha ileri hesaplamaları için çok önemlidir.

2. Yörünge seçimi. Keyfi bir noktaya izin ver R(x,y,z) bir mesafede r kaynak ücretinden. Sonuç, yörüngenin şekline bağlı olmadığından, formun (3.7) eğrisel integralini hesaplamak için alan çizgisi boyunca alanın belirli bir noktasından radyal olarak yönlendirilmiş en basit düz çizgiyi seçiyoruz ve “sonsuza gidiyor”.

3. Hesaplama. Potansiyelin tanımına uygun olarak, bir nokta yükü tarafından oluşturulan alanın "özgül" çalışmasını hesaplıyoruz. q seçilen yörünge boyunca test yükünün transferinde. Aşağıdaki eşitlikler zincirinin oldukça "şeffaf" göründüğünü umuyoruz. Ancak yine de buna minimal bir yorum yapacağız. Her şeyden önce, yükten radyal olarak yönlendirilen bir ışın şeklinde bir yörünge seçimimizden dolayı şunu belirtebiliriz: E l ve dl(keyfi eğri " L") değişmek Er ve doktor(kutup ekseni " r"). Ayrıca, vektör radyal olarak yönlendirildiğinden, yörünge boyunca herhangi bir küçük yer değiştirme için, stres vektörünün izdüşümü basitçe bu vektörün modülüne eşittir. E(r). Sonuç olarak, hesaplamamızda da önemli bir adım atabiliriz - eğrisel integralden olağan kesin olana geçiş yapmak için:

.*)

Şimdi, bir nokta yükünün (3.5) alan kuvvetinin modülü için ifadeyi değiştirdikten sonra, sadece matematiksel bir “rutin” ile kalıyoruz:

Geçirgenliği olan bir gaz veya sıvı homojen dielektrik ortamın olası mevcudiyetini ekleyerek sonucu tekrar yazalım. e nokta yükünü çevreleyen tüm alanı dolduran:

. (3.8)

Bir noktasal yükün alan potansiyeli, gördüğümüz gibi, 1/ kanununa göre mesafe ile azalır. r.

· eş potansiyel yüzeyler

tartışırken güç özellikleri elektrostatik alan, konseptin verimliliğine ikna olduk kuvvet hatları(gerginlik hatları). Alanın enerji özelliği - potansiyel - için, ek bir açıklayıcı özellik - bir "eş potansiyel yüzeyler" sistemi eklemek de yararlıdır. Adından da anlaşılacağı gibi (“eşit”, “eşit” anlamına gelir) bunlar, bir yükü hareket ettirirken alan kuvvetlerinin iş yapma yeteneğini karakterize eden sabit potansiyele sahip yüzeylerdir. Bu tür yüzeyler boyunca, açıkçası, hiçbir iş yapılmaz. Eşpotansiyel yüzeylerin yoğunluğunun (yoğunluğunun) maksimum olduğu yönlerde maksimumdur. Bu yerlerde alan gücü de maksimumdur. Kuvvet çizgilerinin ve eşpotansiyel yüzeylerin kesişme noktalarında karşılıklı yöneliminin ne olduğunu anlamak kolaydır: karşılıklı olarak diktirler. Sonuçta, eş potansiyel yüzey boyunca herhangi bir küçük yer değiştirme için temel iş sıfıra eşittir ve bu yalnızca stres vektörünün teğet bileşeni sıfıra eşitse, yani. kesinlikle yüzeye normal boyunca yönlendirilir. Aşağıda, bu kelimelere karşılık gelen bir zincir veriyoruz, umarız, oldukça açık eşitlikler:

Şekil ile birlikte 3. ... aslında önceden formüle edilmiş ifadeyi kanıtlıyorlar: kuvvet çizgileri çapraz (veya "geliyor...") dik açılarda eş potansiyel yüzeyler !

Bize zaten iyi bilinen bir elektrostatik alanın en basit durumlarından bazıları için eş potansiyel yüzeylerin (ve kuvvet çizgilerinin de) bir resmini verelim: a) bir nokta yükünün alanı; b) nokta yüklerin karşısında mutlak değerde iki özdeş alan; içinde) iki zıt yüklü düzlem-paralel büyük (aralarındaki mesafeye kıyasla) plakalar arasındaki alan - bkz. şek. 3.1.

Şimdi küresel (nokta) bir yüke dönelim. Yukarıda, küre üzerinde düzgün olarak dağılmış bir yükün yarattığı elektrik alanının kuvveti gösterilmiştir. Q, kürenin yarıçapına bağlı değildir. Biraz uzakta olduğunu hayal et r kürenin merkezinden bir test yükü q. Yükün bulunduğu noktadaki alan şiddeti,

Şekil, nokta yükler arasındaki elektrostatik etkileşimin gücünün aralarındaki mesafeye bağımlılığının bir grafiğini göstermektedir. Test yükünü hareket ettirirken elektrik alanın işini bulmak için q belli bir mesafeden r bir mesafeye kadar R, bu aralığı noktalara bölün r 1 , r 2 ,..., rP eşit bölümlere ayrılır. Bir yüke etki eden ortalama kuvvet q aralığında [ rr 1 ] eşittir

Bu kuvvetin bu alandaki işi:

Diğer tüm bölümler için iş için benzer ifadeler elde edilecektir. Yani tam iş:

Zıt işaretli özdeş terimler yok edilir ve sonunda şunu elde ederiz:

şarjdaki alanın işidir

- potansiyel fark

Şimdi, alan noktasının sonsuza göre potansiyelini bulmak için, R sonsuza kadar ve sonunda şunu elde ederiz:

Bu nedenle, bir nokta yükün alan potansiyeli, yüke olan mesafeyle ters orantılıdır.

24. Bir yük sistemi alanındaki bir yükün potansiyel enerjisi. Potansiyeller için süperpozisyon ilkesi. Potansiyeller için süperpozisyon ilkesi

Herhangi bir keyfi karmaşık elektrostatik alan, nokta yük alanlarının bir üst üste binmesi olarak temsil edilebilir. Seçilen noktadaki bu tür alanların her biri belirli bir potansiyele sahiptir. Potansiyel skaler bir büyüklük olduğundan, tüm nokta yüklerin alanının sonuçta ortaya çıkan potansiyeli, bireysel yük alanlarının 1, 2, 3, ... potansiyellerinin cebirsel toplamıdır: = 1 + 2 + 3 + .. Bu bağıntı, elektrik alanlarının süperpozisyonu ilkesinin doğrudan bir sonucudur.

Elektrik alanındaki bir yükün potansiyel enerjisi. Vücutların yerçekimi etkileşimini ve yüklerin elektrostatik etkileşimini karşılaştırmaya devam edelim. vücut kütlesi m Dünya'nın yerçekimi alanında potansiyel enerjiye sahiptir. Yerçekimi işi, zıt işaretle alındığında potansiyel enerjideki değişime eşittir:

bir=-(W p2 - B p1) = mgh.

(Burada ve aşağıda enerjiyi harfle göstereceğiz W.) Tıpkı bir kütle kütlesi gibi m yerçekimi alanında vücudun kütlesiyle orantılı bir potansiyel enerjiye sahiptir, elektrostatik alandaki bir elektrik yükünün potansiyel enerjisi vardır W p , şarjla orantılı q. Elektrostatik alan kuvvetlerinin işi ANCAK zıt işaretle alınan elektrik alanındaki yükün potansiyel enerjisindeki değişime eşittir:

bir=-(W p2 - B p1) . (40.1)

25. Potansiyel fark. eş potansiyel yüzeyler

eş potansiyel yüzey- her noktası aynı potansiyele sahip olan bir yüzey.

İş ve potansiyeller arasındaki bağlantıdan aşağıdaki gibi:

Yük eşpotansiyel yüzeyler boyunca aktarıldığında, elektrik alan hiçbir iş yapmaz.

Sıfır olmayan bir kuvvetle çalışmak, yalnızca kuvvet vektörü yer değiştirme vektörüne dik ise sıfırdır. Bundan, gerilim çizgilerinin eş potansiyel yüzeylere dik olduğu sonucu çıkar. Eşpotansiyel yüzeylere örnek olarak noktasal yük alanı için küreler ve homojen alanlar için paralel düzlemler verilebilir (Şekil 3).

Potansiyel fark (voltaj) iki nokta arasında, yükü başlangıç noktasından son noktaya bu yükün modülüne taşırken alan çalışmasının oranına eşittir: sen\u003d φ 1 - φ 2 \u003d -Δφ \u003d A / q, A \u003d - (W p2 - W p1) \u003d -q (φ 2 - φ 1) \u003d -qΔφ

Potansiyel fark volt cinsinden ölçülür (V = J / C) Elektrostatik alanın gücü ile potansiyel fark arasındaki ilişki: E x = Δφ / Δ x Elektrostatik alanın gücü, azalan potansiyel yönünde yönlendirilir. Volt bölü metre cinsinden ölçülür (V/m)

§ 15. POTANSİYEL. ELEKTRİK ŞARJLARI SİSTEMİNİN ENERJİSİ. YÜKÜ ALANDA HAREKET ETME ÇALIŞMASI

Temel Formüller

 Bir elektrik alanın potansiyeli, içine yerleştirilen bir nokta pozitif yükün potansiyel enerjisinin oranına eşit bir değerdir. verilen nokta alanlar, bu ücrete;

=P/ Q,

veya elektrik alan potansiyeli, alanın belirli bir noktasından bir nokta pozitif yükü hareket ettirmek için alan kuvvetlerinin işinin bu yüke oranına eşit bir niceliktir:

=A/ Q.

Sonsuzdaki elektrik alanının potansiyeli koşullu olarak sıfıra eşit alınır.

Bir elektrik alanında bir yük hareket ettiğinde yapılan işin A vs dış kuvvetler işe mutlak değerde eşittir A s.p. alan gücü ve işareti karşısındadır:

A vs = – A s.p. .

 Noktasal bir yükün yarattığı elektrik alan potansiyeli Q mesafede r suçlamadan

 Metalin oluşturduğu elektrik alan potansiyeli, yük taşımak Q yarıçaplı küre R, kürenin merkezinden uzakta:

kürenin içinde ( r<R)

;

bir kürenin yüzeyinde ( r=R)

;

kapsam dışında (r> R)

.

Yüklü bir kürenin potansiyeli için verilen tüm formüllerde , küreyi çevreleyen homojen bir sonsuz dielektrikin geçirgenliğidir.

 Sistemin oluşturduğu elektrik alan potansiyeli P Elektrik alanlarının üst üste gelme ilkesine göre belirli bir noktada nokta yükler, potansiyellerin cebirsel toplamına eşittir  1 , 2 , ... , n, bireysel puan ücretleri tarafından oluşturulan Q 1 ,Q 2 , ...,Q n :

 Enerji W bir nokta ücret sisteminin etkileşimleri Q 1 ,Q 2 , ...,Q n birbirlerine göre sonsuza kadar kaldırıldığında bu yük sisteminin yapabileceği iş tarafından belirlenir ve formülle ifade edilir.

nerede  i- herkes tarafından yaratılan alanın potansiyeli P-Ücretin bulunduğu noktada 1 ücret (1'inci hariç) Q i .

 Potansiyel, elektrik alanın gücü ile bağıntı yoluyla ilişkilidir.

E= -grad.

Küresel simetriye sahip bir elektrik alanı durumunda, bu ilişki aşağıdaki formülle ifade edilir:

veya skaler biçimde

ve durumda tek tip alan, yani, her noktadaki yoğunluğu hem mutlak değerde hem de yönde aynı olan bir alan,

E=( 1 – 2 ,)/d,

nerede  1 ve  2 - iki eş potansiyel yüzeyin noktalarının potansiyelleri; d - elektrik alan çizgisi boyunca bu yüzeyler arasındaki mesafe.

 Noktasal bir yükü hareket ettirirken elektrik alanının yaptığı iş Q potansiyel  ile alanın bir noktasından 1 , potansiyeli olan bir başkasına  2 ,

A=Q( 1 - 2 ), veya

,

nerede E ben - gerilim vektörü projeksiyonu E hareket yönüne; dl - hareket.

Homojen bir alan durumunda, son formül şu şekli alır:

A= QElco'lar ,

nerede ben- yer değiştirme;  - vektör yönleri arasındaki açı E ve yer değiştirme ben.

Problem çözme örnekleri

örnek 1 pozitif masraflar Q 1 \u003d 3 μC ve Q 2 \u003d 20 nC bir mesafeden vakumda r 1 =1.5 m aralıklı. Bir iş tanımlayın A suçlamaları bir mesafeye yaklaştırmak için yapılması gereken r 2 =1 m.

Çözüm. Diyelim ki ilk şarj Q 1 sabit kalır ve diğer Q 2 dış kuvvetlerin etkisi altında, yükün yarattığı alanda hareket eder Q 1 ona uzaktan yaklaşmak r 1 =t,5 m'ye kadar r 2 =1 m .

İş ANCAK" yükü hareket ettirmek için dış kuvvet Q potansiyel  ile alanın bir noktasından 1 potansiyeli olan bir başkasına 2 , mutlak değerde eşit ve iş işaretinin tersi ANCAK yükün aynı noktalar arasındaki hareketi için alan kuvvetleri:

Bir "= -A.

İş ANCAK yük yer değiştirmesindeki alan kuvvetleri A=Q( 1 - 2 ). sonra çalış ANCAK" dış kuvvetler şu şekilde yazılabilir

A" = –Q( 1 - 2 )=Q( 2 - 1 ). (1)

Yolun başlangıç ve bitiş noktalarının potansiyelleri formüllerle ifade edilir.

;

.

 yerine geçen ifadeler 1 ve  2 (1) formülüne ve bu durumda transfer edilen ücretin dikkate alınması Q=Q 2 , alırız

. (2)

1/(4 olduğu düşünüldüğünde 0 )=910 9 m/F, daha sonra niceliklerin değerlerini formül (2)'ye yerleştirip hesapladıktan sonra,

A"=180 µJ.

Örnek 2İş bul ANCAKücret transfer alanları Q=10 nC noktadan 1 kesinlikle 2 (Şekil 15.1), yüzey yoğunluğu  \u003d 0,4 μC / m olan iki zıt yüklü arasında yer alır 2 sonsuz paralel düzlemler, mesafe ben aralarında 3 cm'dir.

R

çözüm. Sorunu çözmenin iki yolu vardır.

1. yol. Alanın işi, Q yükünü noktadan hareket ettirmeye zorlar. 1 potansiyeli olan alanlar 1 kesinlikle 2 potansiyeli olan alanlar 2 formülle bul

A=Q( 1 - 2 ). (1)

Noktalardaki potansiyelleri belirlemek için 1 ve 2 Bu noktalardan geçen eşpotansiyel I ve II yüzeylerini çizelim. Düzgün yüklü iki sonsuz paralel düzlem arasındaki alan tekdüze olduğundan, bu yüzeyler düzlem olacaktır. Böyle bir alan için bağıntı

 1 - 2 =El, (2)

nerede E - alan kuvveti; ben - eş potansiyel yüzeyler arasındaki mesafe.

Paralel sonsuz zıt yüklü düzlemler arasındaki alan kuvveti E=/ 0 . Bu ifadenin yerine E formül (2)'ye ve ardından  ifadesine 1 - 2 (1) formülüne, elde ederiz

A= Q( /  0 ) ben.

2. yol. Alan düzgün olduğundan, yüke etki eden kuvvet Q, hareket ettikçe sabittir. Bu nedenle, yükü noktadan hareket ettirme işi 1 kesinlikle 2 formül kullanılarak hesaplanabilir

A=F  r cos, (3)

nerede F - bir yüke etki eden kuvvet r- şarj transfer modülü Q bir noktadan 1 kesinlikle 2;  yer değiştirme ve kuvvet yönleri arasındaki açıdır . Fakat F= QE= Q( /  0 ). Bu ifadenin yerine F eşitliğine (3), ayrıca  rçünkü = ben, alırız

A=Q(/ 0 )ben. (4)

Böylece, her iki çözüm de aynı sonuca yol açar.

(4) numaralı ifadenin yerine niceliklerin değeri Q, , 0 ve ben, bulmak

A\u003d 13,6 μJ.

Örnek 3 Yarıçaplı bir daire yayı boyunca bükülmüş ince bir iplik üzerinde R, doğrusal yoğunluk=10 nC/m olan düzgün dağılmış yük. gerilimi tanımla E ve böyle bir p tarafından yaratılan elektrik alanın  potansiyeli

bir noktada dağıtılmış yük Ö, yayın eğrilik merkezi ile çakışıyor. Uzunluk ben iplik çevrenin 1/3'ü kadardır ve 15 cm'ye eşittir.

Çözüm. Koordinat eksenlerini, koordinatların orijini yayın eğrilik merkezi ve eksen ile çakışacak şekilde seçiyoruz. de arkın uçlarına göre simetrik olarak yerleştirildi (Şekil 15.2). Dişte d uzunluğunda bir eleman seçin ben. ücretli Q=d ben, seçilen alanda bulunan bir nokta olarak kabul edilebilir.

noktasındaki elektrik alanın gücünü belirleyelim. Ö. Bunu yapmak için önce d gerilimini buluruz. E d yükü tarafından oluşturulan alan Q:

nerede r-d öğesinden uzağa yönlendirilmiş yarıçap-vektör ben gerilimin hesaplandığı noktaya kadar. d vektörünü ifade ediyoruz E projeksiyon yoluyla dE x c ve dE y koordinat ekseninde:

nerede i ve j- birim yön vektörleri (ortlar).

tansiyon E entegrasyon ile bul:

Entegrasyon uzunluk yayı boyunca gerçekleştirilir ben. Simetri nedeniyle, integral sıfıra eşittir. O zamanlar

, (1)

nerede

. Çünkü r=R= sabit ve d ben=R d. sonra

Bulunan ifadeyi değiştirin dE y(1)'de ve arkın eksene göre simetrik konumunu dikkate alarak kuruluş birimi, integrasyon limitlerini 0'dan /3'e alıyoruz ve sonucu ikiye katlıyoruz;

Bu limitleri yerine koymak ve ifade etmek R arkın uzunluğu boyunca (3 ben= 2 r), alırız

Bu formül, vektörün E eksenin pozitif yönü ile çakışıyor kuruluş birimi ve değeri yerine ben son formüle ve hesaplamaları yaparak buluyoruz

E\u003d 2.18 kV / m.

noktasındaki elektrik alan potansiyelini belirleyelim. Ö. Önce d nokta yükü tarafından yaratılan d potansiyelini bulalım. Q noktada Ö:

değiştirelim rüzerinde R ve entegrasyonu gerçekleştirin:

.Çünkü ben=2  R/3, sonra

=/(6 0 ).

Bu formüle göre hesaplamalar yaptıktan sonra elde ederiz.

Örnek4 . Elektrik alanı, yarıçaplı uzun bir silindir tarafından oluşturulur. R= 1 cm , lineer yoğunluk=20 nC/m ile eşit olarak yüklenir. Mesafelerde bulunan bu alanın iki noktasının potansiyel farkını belirleyin a 1 =0.5 cm ve a 2 \u003d orta kısmında silindirin yüzeyinden 2 cm.

Çözüm. Potansiyel farkı belirlemek için alan kuvveti ile potansiyeldeki değişim arasındaki ilişkiyi kullanırız. E= -grad. Silindirin alanı olan eksenel simetriye sahip bir alan için bu bağıntı şu şekilde yazılabilir:

E= -( d/d r) , veya d= - E d r.

Son ifadeyi entegre ederek, ile ayrılan iki noktanın potansiyel farkını buluruz. r 1 ve r 2 silindirin ekseninden;

. (1)

Silindir uzun olduğundan ve noktalar orta kısmına yakın alındığından, alan kuvveti formül kullanılarak ifade edilebilir.

. Bu ifadenin yerine E(1) eşitliğine, elde ederiz

(2)

miktarlar beri r 2 ve r 1 formülü oran olarak girin, sonra herhangi biri ile ifade edilebilirler, ancak yalnızca aynı birimlerde:

r 1 =R+a 1 = 1,5 cm; r 2 =R+a 2 =3cm .

Büyüklük değerlerinin değiştirilmesi , 0 ,r 1 ve r 2 (2) formülüne ve hesaplamaya, buluruz

 1 - 2 =250 V

Örnek 5 Elektrik alanı, uzunluğu boyunca eşit olarak dağılmış =0.1 μC/m yükü taşıyan ince bir çubuk tarafından oluşturulur. Çubuğun uçlarından uzaktaki bir noktada alanın potansiyelini  belirleyin, uzunluğa eşit kamış.

Çözüm.Çubuktaki yük nokta yük olarak kabul edilemez, bu nedenle potansiyeli hesaplamak için formülü doğrudan uygulayın.

, (1)

sadece puan ücretleri için geçerlidir, bu imkansızdır. Ama çubuğu temel d segmentlerine ayırırsak ben, ardından ücretd ben her birinin üzerinde bulunan bir nokta olarak kabul edilebilir ve daha sonra formül (1) geçerli olacaktır. Bu formülü uygulayarak elde ederiz.

, (2)

nerede r - potansiyelin belirlendiği noktanın çubuk elemana olan uzaklığı.

Şek. 15.3 d ben=(r d/cos). Bu ifadenin yerine d ben formül (2)'de buluruz

.

Elde edilen ifadeyi  sınırları içinde entegre etme 1 evet 2 , çubuğa dağıtılan tüm yükün yarattığı potansiyeli elde ederiz:

.

AT nokta simetri kuvveti ANCAK sahip olduğumuz çubuğun uçlarına göre  2 = 1 ve bu nedenle

.

Sonuç olarak,

.Çünkü

(bkz. Tablo 2), ardından

.

İntegrasyon limitlerini yerine koyarsak,

Bu formüle göre hesaplamalar yaptıktan sonra buluyoruz.

Örnek 6 Hızı v=1.8310 6 m/s olan bir elektron, alan kuvveti vektörünün tersi yönde düzgün bir elektrik alana doğru uçtu. Hangi potansiyel fark sen bir elektronun enerjiye sahip olması için geçmesi gerekir E i\u003d 13,6 eV *? (Böyle bir enerjiye sahip olan bir elektron, bir hidrojen atomuyla çarpıştığında onu iyonize edebilir. 13.6 eV'lik enerjiye hidrojenin iyonlaşma enerjisi denir.)

Çözüm. Elektron böyle bir potansiyel farkı geçmelidir. sen, böylece elde edilen enerji W kinetik enerji ile kombine T Elektronun alana girmeden önce sahip olduğu, iyonlaşma enerjisine eşit bir enerjiye denk geliyordu. E i , yani W+ T= E i . Bu formülde ifade W= AB ve T=(m v 2 /2), alırız AB+(m v 2 /2)=E i. Buradan

.

___________________

* Elektron-volt (eV) - bir elektronun yüküne eşit bir yüke sahip, 1 V'luk bir potansiyel farktan geçen bir parçacığın elde ettiği enerji. Bu sistemik olmayan enerji birimi şu anda fizikte kullanım için onaylanmıştır.

SI birimlerinde hesaplamalar yapalım:

U=4,15 AT.

Örnek 7 Başlangıç hızını belirle υ 0 yeterince konumlanmış protonların yaklaşımı uzun mesafe minimum mesafe ise birbirinden r yakınlaşabilecekleri min , 10-11 cm'dir.

Çözüm: İki proton arasında itici kuvvetler vardır ve bunun sonucunda protonların hareketi yavaş olacaktır. Bu nedenle, sorun şu şekilde çözülebilir: atalet sistemi koordinatlar (iki protonun kütle merkezi ile ilişkili) ve atalet dışı (hızlı hareket eden protonlardan biriyle ilişkili). İkinci durumda, Newton yasaları geçerli değildir. Sistemin ivmesinin değişken olacağı gerçeğinden dolayı d'Alembert ilkesinin uygulanması zordur. Bu nedenle, sorunu eylemsiz bir referans çerçevesinde ele almak uygundur.

Koordinatların başlangıç noktasını iki protonun kütle merkezine yerleştirelim. Özdeş parçacıklarla uğraştığımız için kütle merkezi, parçacıkları birleştiren parçayı ikiye bölen noktada olacaktır. Kütle merkezine göre, parçacıklar herhangi bir zamanda aynı modülo hızlarına sahip olacaklardır. Parçacıklar birbirinden yeterince büyük bir mesafede olduğunda, hız υ 1 her parçacık yarısına eşittir υ 0 , yani υ 1 =υ 0 /2.

Sorunu çözmek için, toplam mekanik enerjiye göre enerjinin korunumu yasasını uygularız. E izole sistem sabittir, yani.

E=T+ P ,

nerede T- kütle merkezine göre her iki protonun kinetik enerjilerinin toplamı; P, yükler sisteminin potansiyel enerjisidir.

Hareketin ilk P 1 ve son P 2 anlarındaki potansiyel enerjiyi ifade ediyoruz.

İlk anda, problemin durumuna göre, protonlar çok uzaktaydı, dolayısıyla potansiyel enerji ihmal edilebilir (P 1 =0). Bu nedenle, ilk an için toplam enerji kinetik enerjiye eşit olacak T 1 protonlar, yani

E=T ben . (1)

Son anda, protonlar mümkün olduğunca yaklaştıklarında hız ve kinetik enerji sıfıra eşittir ve toplam enerji potansiyel enerji P 2'ye eşit olacaktır, yani.

E= P2 . (2)

(1) ve (2) eşitliklerinin doğru kısımlarını eşitleyerek,

T1 \u003d P2. (3)

Kinetik enerji, protonların kinetik enerjilerinin toplamına eşittir:

(4)

İki yükten oluşan bir sistemin potansiyel enerjisi Q 1 ve Q 2 vakumda formül ile belirlenir

, nerede r- yükler arasındaki mesafe. Bu formülü kullanarak elde ederiz

(5)

(4) ve (5) eşitlikleri dikkate alındığında, formül (3) şu şekli alır:

nerede

Elde edilen formüle göre hesaplamalar yaptıktan sonra buluyoruz. υ 0 =2,35 mm/sn

Örnek 8 Başlangıç hızı olmayan bir elektron potansiyel farkı geçmiştir. sen 0 =10 kV ve potansiyel bir farkla yüklü düz bir kapasitörün plakaları arasındaki boşluğa uçtu sen l \u003d 100 V, hat boyunca AB, plakalara paralel (Şekil 15.4). Mesafe d plakalar arası 2 cm Uzunluk ben Elektron uçuş yönünde 1 kapasitör plakası 20 cm'ye eşittir. Mesafeyi belirle Güneş ekranda R, kondansatörden uzak ben 2 \u003d 1 m.

Çözüm Kondansatör içindeki bir elektronun hareketi iki hareketten oluşur: 1) hat boyunca atalet tarafından AB sabit bir hızda υ 0 , potansiyel bir farkın etkisi altında elde edilen sen 0 , elektronun kapasitöre geçtiği; 2) kapasitörün sabit bir alan kuvvetinin etkisi altında pozitif yüklü bir plakaya dikey yönde düzgün bir şekilde hızlandırılmış hareket. Kondansatörden ayrıldıktan sonra elektron bir hızla düzgün bir şekilde hareket edecektir. υ, hangi noktada vardı M kondenserden çıkış sırasında.

Şek. 15.4 istenilen mesafenin || BC|=h 1 +h 2 , nereden h 1 - kondansatörde hareket ederken elektronun dikey yönde hareket edeceği mesafe; h 2 - kapasitörden çıkışta ilk hız yönünde hareket eden elektronun düşeceği ekrandaki D noktası arasındaki mesafe υ 0 ve elektronun gerçekten çarptığı C noktası.

Ayrı ifade h 1 ve h 2 . Düzgün hızlandırılmış hareketin yol uzunluğu formülünü kullanarak,

. (1)

nerede a- kapasitör alanının etkisi altında elektron tarafından alınan ivme; t- bir kapasitör içindeki bir elektronun uçuş süresi.

Newton'un ikinci yasasına göre a=F/m, nerede F- alanın elektrona etki ettiği kuvvet; t- onun kütlesi. Sırasıyla, F=eE=eU 1 /d, nerede e- elektron yükü; sen 1 - kapasitör plakaları arasındaki potansiyel fark; d- aralarındaki mesafe. Düzgün hareket yolu formülünden kapasitörün içindeki bir elektronun uçuş süresini buluyoruz.

, nerede

nerede ben 1 elektron uçuş yönünde kapasitörün uzunluğudur. Elektronu hareket ettirirken alan tarafından yapılan işin ve onun tarafından elde edilen kinetik enerjinin eşitliği koşulundan hız ifadesini buluyoruz:

. Buradan

(2)

Formül (1)'de değerleri art arda değiştirme a,F, t ve υ 0 2 karşılık gelen ifadelerden elde ederiz

Kesim uzunluğu h 2 üçgenlerin benzerliğinden bulmak MDC ve vektör:

(3)

nerede υ 1 - bir noktada dikey yönde elektron hızı M;ben 2 - kapasitörden ekrana olan mesafe.

Hız υ 1 formülle buluyoruz υ 1 =te, ifadeleri dikkate alındığında bir, F ve t formu alacak

ifadenin değiştirilmesi υ 1'i formül (3)'e, elde ederiz

, veya değiştirerek υ 0 2 formül (3) ile buluruz

Sonunda gerekli mesafe için | M.Ö| sahip olacak

|M.Ö|=

Miktarların değerlerini değiştirme sen 1 ,sen 0 ,d,ben 1 ve ben 2'deki son ifadeye giriyoruz ve hesaplamalar yapıyoruz | M.Ö|=5.5 cm.

Görevler

Nokta yüklerin potansiyel enerjisi ve alan potansiyeli

15.1. nokta şarjı Q Alanda belirli bir noktada bulunan \u003d 10 nC, potansiyel bir enerjiye sahiptir P \u003d 10 μJ. Bu alan noktasının φ potansiyelini bulun.

5.2. Yük taşırken S=20 nC alanın iki noktası arasında dış kuvvetler tarafından iş yapılmıştır A=4µJ. Bir iş tanımlayın A 1 alan kuvvetleri ve alanın bu noktalarının potansiyellerinin farkı Δφ.

15.3. Elektrik alanı bir nokta pozitif yük tarafından oluşturulur. Q 1 \u003d 6nC. pozitif yük Q 2 noktadan transfer edilir ANCAK Bu alan bir noktaya AT(Şek. 15.5). Aşağıdaki durumda, aktarılan yükün birimi başına ΔP potansiyel enerjisindeki değişim nedir? r 1 =20 cm ve r 2 \u003d 50 cm?

15.4. Noktasal bir yükün yarattığı elektrik alanı Q l \u003d 50 nC. Potansiyel kavramını kullanmadan, işi hesaplayın ANCAK içinde

bir nokta yükünü hareket ettirmek için dış kuvvetler Q 2 = -2 nC noktasından İTİBAREN kesinlikle AT

(Şekil 15.6), eğer r 1 =10 santimetre, r 2 \u003d 20 cm Ayrıca, ücret sisteminin potansiyel enerjisinin ΔP değişimini de belirleyin.

15.5. Alan bir nokta yükü tarafından oluşturulur Q=1 nC. Yükten uzak bir noktada alanın potansiyelini φ belirleyin r=20 cm.

15.6. Yüklerden uzak bir noktadaki elektrik alanın potansiyelini φ belirleyin. Q 1 = -0.2 µC ve Q 2 =0,5 μC, sırasıyla r 1 =15 kitle iletişim araçları r 2 \u003d 25 cm Ayrıca, bir çözümün mümkün olduğu yükler arasındaki minimum ve maksimum mesafeleri de belirleyin.

15.7. Ücretler Q 1 \u003d 1 μC ve Q 2 = -1 μC uzaklıkta d\u003d 10 cm Gerginliği belirleyin E ve uzak bir noktada alanın φ potansiyeli r= İlk yükten 10 cm uzakta ve ilk yükten geçen doğrultuya dik bir çizgi üzerinde uzanıyor. Q 1 ila Q 2 .

15.8. İki nokta yükten oluşan bir sistemin potansiyel enerjisini P hesaplayın Q 1 =100 nC ve Q 2 =10 uzaktan nC d=10 cm aralıklı.

15.9. Üç nokta yüklerden oluşan bir sistemin potansiyel enerjisini P bulun. Q 1 \u003d 10 nC, Q 2 =20 nCl ve Q 3 \u003d -30 nC, yan uzunluğu olan bir eşkenar üçgenin köşelerinde bulunur a=10 cm.

15.10. Dört özdeş noktasal yükten oluşan bir sistemin potansiyel enerjisi P nedir? Q\u003d 10 nC, kenar uzunluğu olan bir karenin köşelerinde bulunur a\u003d 10 cm? .

15.11. Kenar uzunluğu olan bir karenin köşelerinde bulunan dört nokta yükten oluşan bir sistemin potansiyel enerjisini P belirleyin. a\u003d 10 cm Yükler modülde aynıdır Q=10 nC, ancak ikisi negatif. Ücretlerin düzenlenmesiyle ilgili iki olası durumu düşünün.

15.12 . Alan iki nokta yükü tarafından oluşturulur + 2Q ve -Q, uzaktan d=12 cm aralıklı. Potansiyeli sıfır olan düzlemdeki noktaların yerini belirleyin (sıfır potansiyel doğrusu için denklemi yazın).

5.13. Sistem üç şarjdan oluşur - ikisi aynı boyutta Q 1 = |Q 2 |=1 μC ve zıt işaret ve yük S=20 nC, sistemin diğer iki yükü arasında ortada 1 noktasında bulunur (Şekil 15.7). Yük aktarımı sırasında sistemin potansiyel enerjisindeki ΔP değişimini belirleyin Q 1. noktadan 2. noktaya. Bu noktalar negatif yükten çıkarılır. Q mesafe başına 1 bir= 0,2 m.

Doğrusal olarak dağıtılmış yükler alanının potansiyeli

15.14. Yarıçaplı ince bir halka boyunca R= 10 cm doğrusal yoğunluğu τ= 10 nC/m olan düzgün dağılmış yük. Halkanın ekseni üzerinde uzanan bir noktada φ potansiyelini belirleyiniz. bir= merkezden 5 cm.

15.15. İnce bir düz iletkenin bir parçası üzerinde, bir doğrusal yoğunluk τ=10 nC/m olan bir yük düzgün bir şekilde dağılmıştır. İletken ekseninde bulunan ve segmentin en yakın ucundan bu segmentin uzunluğuna eşit bir mesafe uzakta bulunan bir noktada bu yükün oluşturduğu φ potansiyelini hesaplayın.

Ders 6. Elektrik alan potansiyeli. 2 Numaralı Test

Potansiyel, elektrostatiğin en karmaşık kavramlarından biridir. Öğrenciler bir elektrostatik alanın potansiyelinin tanımını öğrenirler, sayısız problemi çözerler, ancak potansiyel duygusuna sahip değildirler, teori ile gerçeklik arasında ilişki kurmakta zorlanırlar. Bu nedenle potansiyel kavramının oluşmasında eğitim deneyinin rolü çok yüksektir. Bir yandan potansiyel hakkında soyut teorik fikirleri gösterecek, diğer yandan potansiyel kavramını ortaya koymak için deneyin tam geçerliliğini gösterecek deneylere ihtiyacımız var. Bu deneylerde nicel sonuçların özel doğruluğu için çabalamak yararlı olmaktan çok zararlıdır.

6.1. Elektrostatik alanın potansiyeli

İletken gövdeyi yalıtkan bir desteğe sabitleyelim ve şarj edelim. Uzun yalıtımlı bir ipe hafif iletken bir top asıyoruz ve ona vücut yükü ile aynı adı taşıyan bir test yükü veriyoruz. Top vücuttan sekecek ve pozisyonun dışına çıkacak 1 pozisyona hareket edecek 2. Topun yerçekimi alanındaki yüksekliği arttığı için h Dünya ile etkileşiminin potansiyel enerjisi şu şekilde artmıştır: mgh. Bu, yüklü cismin elektrik alanının test yükü üzerinde bir miktar iş yaptığı anlamına gelir.

Deneyi tekrarlayalım, ancak ilk anda, test topunu sadece bırakmakla kalmayıp, ona biraz kinetik enerji vererek keyfi bir yöne itelim. Aynı zamanda, konumundan hareket ettiğini görüyoruz. 1 karmaşık bir yörünge boyunca, top sonunda pozisyonda duracaktır. 2 . İlk anda topa bilgi verildi kinetik enerji, açıkçası, topun hareketi sırasında sürtünme kuvvetlerinin üstesinden gelmek için harcandı ve elektrik alanı, ilk durumda olduğu gibi top üzerinde aynı işi yaptı. Gerçekten de, yüklü cismi çıkarırsak, test topunun aynı itmesi, pozisyondan 2 pozisyonuna geri döner 1 .

Bu nedenle deney, elektrik alanının yük üzerindeki çalışmasının, yükün yörüngesine bağlı olmadığını, sadece ilk ve son noktalarının konumları tarafından belirlendiğini öne sürüyor. Başka bir deyişle, kapalı bir yörüngede elektrostatik alanın işi her zaman sıfırdır. Bu özelliğe sahip alanlara denir potansiyel.

6.2. Merkezi alanın potansiyeli

Deneyimler, yüklü bir iletken top tarafından oluşturulan elektrostatik bir alanda, test yüküne etki eden kuvvetin her zaman yüklü topun merkezinden yönlendirildiğini, artan mesafe ile monoton olarak azaldığını ve eşit mesafelerde aynı değerlere sahip olduğunu göstermektedir. ondan. Böyle bir alan denir merkezi. Şekli kullanarak, merkezi alanın potansiyel olduğunu doğrulamak kolaydır.

6.3. Elektrostatik alanda potansiyel yük enerjisi

Elektrostatik alan gibi yerçekimi alanı potansiyeldir. Ek olarak, evrensel yerçekimi yasasının matematiksel gösterimi, Coulomb yasasının gösterimi ile örtüşmektedir. Bu nedenle, bir elektrostatik alanı incelerken, yerçekimi ve elektrostatik alanlar arasındaki analojiye güvenmek mantıklıdır.

Dünya yüzeyine yakın küçük bir alanda, yerçekimi alanı tek tip olarak kabul edilebilir (Şek. a).

Bu alanda m kütleli bir cisim, büyüklüğü ve yönü sabit olan bir kuvvete maruz kalıyor. f= t g. Kendi haline bırakılan bir vücut yerinden düşerse 1 pozisyona 2 , o zaman yerçekimi kuvveti iş yapar A = fs = mg = mg (h 1 – h 2).

Aynı şeyi farklı söyleyebiliriz. Vücut pozisyonundayken 1 Dünya-vücut sistemi potansiyel enerjiye sahipti (yani iş yapabilme yeteneği) W 1 = mgh bir . Vücut pozisyonundayken 2 , söz konusu sistem potansiyel enerjiye sahip olmaya başladı W 2 = mgh 2. Bu durumda yapılan iş, sistemin son ve başlangıç durumlarındaki potansiyel enerjileri arasındaki farka eşittir, zıt işaretle alınır: ANCAK = – (W 2 – W 1).

Şimdi hatırladığımız gibi, yerçekimi gibi potansiyel olan elektrik alanına dönelim. Yerçekimi olmadığını ve Dünya yüzeyinin yerine (kesinlik için) negatif yüklü düz bir iletken levha olduğunu hayal edin (Şek. b). Koordinat eksenini girin Y ve plakanın üzerine pozitif bir yük yerleştirin q. Yükün kendisi olmadığı için, levhanın üzerinde elektrik yükü taşıyan belirli bir kütleye sahip bir cisim olduğu açıktır. Ancak, yerçekimi alanının olmadığını düşündüğümüzden, yüklü cismin kütlesini hesaba katmayacağız.

Yani, pozitif bir yük için q Negatif yüklü düzlemin yanından, çekim kuvveti f = q E , nerede E elektrik alanın gücüdür. Elektrik alanı düzgün olduğundan, yükün tüm noktalarında aynı kuvvet etki eder. Yük pozisyondan hareket ederse 1 pozisyona 2 , o zaman elektrostatik kuvvet üzerinde çalışır ANCAK = fs = qE'ler = qE(y 1 – y 2).

Aynı şeyi başka bir deyişle ifade edebiliriz. Hamile 1 Elektrostatik alandaki bir yükün potansiyel enerjisi vardır. W 1 = qEy 1 ve konumunda 2 - potansiyel enerji W 2 = qEy 2. Yük pozisyondan geçtiğinde 1 pozisyona 2 yüklü düzlemin elektrik alanı üzerinde iş yaptı ANCAK = –(W 2 – W 1).

Potansiyel enerjinin sadece bir terime kadar tanımlandığını hatırlayın: eğer potansiyel enerjinin sıfır değeri eksende başka bir yerde seçilirse Y, o zaman temelde hiçbir şey değişmeyecek.

6.4. Homojen bir elektrostatik alan potansiyeli

Bir elektrostatik alandaki bir yükün potansiyel enerjisi, bu yükün değerine bölünürse, alanın kendisinin enerji özelliğini elde ederiz. potansiyel:

SI sistemindeki potansiyel şu şekilde ifade edilir: volt: 1 V = 1 J / 1 C.

Düzgün bir elektrik alanında ise eksen Y gerilim vektörüne paralel gönder E , o zaman alanın keyfi bir noktasının potansiyeli, noktanın koordinatıyla orantılı olacaktır: dahası, orantı katsayısı elektrik alanının gücüdür.

6.5. Potansiyel fark

Potansiyel enerji ve potansiyel, sıfır değerlerinin seçimine bağlı olarak yalnızca keyfi bir sabite kadar belirlenir. Bununla birlikte, alanın iki noktasındaki potansiyel enerjilerin farkı ile belirlendiğinden, alanın çalışması çok kesin bir anlama sahiptir:

ANCAK = –(W 2 – W 1) = –( 2 q – 1 q) = q( 1 – 2).

Bir elektrik yükünü alanın iki noktası arasında hareket ettirme işi, yükün çarpımına ve başlangıç ve bitiş noktalarının potansiyel farkına eşittir. Potansiyel fark da denir Gerilim.

İki nokta arasındaki voltaj, yükü başlangıç noktasından son noktaya taşırken bu yüke alan çalışmasının oranına eşittir:

Gerilim, potansiyel gibi ifade edilir volt cinsinden.

6.6. Potansiyel fark ve gerilim

Düzgün bir elektrik alanında, kuvvet azalan potansiyel yönünde yönlendirilir ve formüle göre = evet, potansiyel fark sen = 1 – 2 = E(de 1 – y 2). Noktaların koordinatlarındaki farkı gösteren de 1 – y 2 = d, alırız sen = Ed.

Bir deneyde, gücü doğrudan ölçmek yerine, potansiyel farkı belirlemek ve ardından aşağıdaki formülü kullanarak güç modülünü hesaplamak daha kolaydır.

nerede d vektör yönünde yakın aralıklı olan iki alan noktası arasındaki mesafedir. E . Aynı zamanda, gerilim birimi olarak kolye başına bir Newton değil, metre başına bir volt kullanılır:

6.7. İsteğe bağlı bir elektrostatik alanın potansiyeli

Deneyimler, bir yükü sonsuzdan alanın belirli bir noktasına taşımak için yapılan işin bu yükün değerine oranının değişmeden kaldığını göstermektedir: = ANCAK/q. Bu ilişki denir elektrostatik alanın belirli bir noktasının potansiyeli sonsuzdaki potansiyeli sıfıra eşit alarak.

6.8. Potansiyeller için süperpozisyon ilkesi

6.9. Noktasal yükün alan potansiyeli

Şekil, nokta yükler arasındaki elektrostatik etkileşimin gücünün aralarındaki mesafeye bağımlılığının bir grafiğini göstermektedir. Test yükünü hareket ettirirken elektrik alanın işini bulmak için q belli bir mesafeden r bir mesafeye kadar R, bu aralığı noktalara bölün r 1 , r 2 ,..., r p eşit bölümlere ayrılır. Bir yüke etki eden ortalama kuvvet q aralığında [ rr 1 ] eşittir

Bu kuvvetin bu alandaki işi:

Diğer tüm bölümler için iş için benzer ifadeler elde edilecektir. Yani tam iş:

Zıt işaretli özdeş terimler yok edilir ve sonunda şunu elde ederiz:

şarjdaki alanın işidir

- potansiyel fark

Şimdi, alan noktasının sonsuza göre potansiyelini bulmak için, R sonsuza kadar ve sonunda şunu elde ederiz:

Bu nedenle, bir nokta yükün alan potansiyeli, yüke olan mesafeyle ters orantılıdır.

6.10. eş potansiyel yüzeyler

Elektrik alan potansiyelinin her noktada aynı değerde olduğu yüzeye ne denir? eş potansiyel.Şekilde gösterildiği gibi, bir iplik üzerinde asılı bir test yükü ile yüklü bir topun alanının eş potansiyel yüzeylerini göstermek zor değildir.

İkinci şekilde, iki zıt yükün elektrostatik alanı, kuvvet (katı) ve eşpotansiyel (kesikli) çizgilerle temsil edilmektedir.

Araştırma 6.1. Potansiyel fark

Egzersiz yapmak. Potansiyel fark veya voltaj kavramını tanıtan basit bir deney geliştirin.

Yürütme seçeneği.İki metal diski yalıtkan desteklerin üzerine yaklaşık 10 cm mesafede paralel olarak yerleştirin.Diskleri eşit büyüklükte ve işarette zıt yüklerle şarj edin. Elektrostatik dinamometrenin topunu bir şarjla şarj edin, örneğin, q= 5 nC (çalışma 3.6'ya bakınız) ve bunu diskler arasındaki alana girin. Bu durumda dinamometre iğnesi topa etki eden kuvvetin belirli bir değerini gösterecektir. Dinamometrenin parametrelerini bilerek, kuvvet modülünün değerini hesaplayın (bkz. çalışma 3.6). Örneğin, deneylerimizden birinde dinamometre iğnesi değeri gösterdi. X\u003d 2 cm, bu nedenle, formüle göre kuvvet modülü f = bin= 17 10 –5 N.

Dinamometreyi hareket ettirerek, yüklü diskler arasındaki alanın tüm noktalarında aynı kuvvetin test yüküne etki ettiğini gösterin. Dinamometreyi, deneme yükünün yolu geçmesi için hareket ettirerek s\u003d Üzerine etki eden kuvvet yönünde 5 cm, öğrencilere sorun: elektrik alanı yük üzerinde ne iş yapar? Alanın şarj modülü üzerindeki çalışmasının eşit olduğu konusunda bir anlayışa ulaşın

ANCAK = fs= 8,5 10 -6 J, (6.3)

ayrıca, yük alan kuvveti yönünde hareket ederse pozitif, ters yönde ise negatiftir. Dinamometre topunun ilk ve son konumları arasındaki potansiyel farkı hesaplayın: sen = ANCAK/q\u003d 1.7 10 3 V.

Bir yandan plakalar arasındaki elektrik alan şiddeti:

Öte yandan, formül (6.1)'e göre, d=s:

Bu nedenle, deneyim, elektrik alanının gücünün, elbette aynı sonuçlara yol açan iki şekilde belirlenebileceğini göstermektedir.

Çalışma 6.2. Elektrometrenin voltaj kalibrasyonu

Egzersiz yapmak. Gösteri işaretçi elektrometrenin voltajı ölçebileceğini göstermek için bir deney tasarlayın.

Yürütme seçeneği. Deney düzeneği şekilde şematik olarak gösterilmiştir. Bir elektrostatik dinamometre kullanarak, düzgün bir elektrik alanının gücünü belirleyin ve formülü kullanın. U = Ed iletken plakalar arasındaki potansiyel farkı hesaplayın. Bu adımları tekrarlayarak, bir elektrostatik voltmetre elde etmek için elektrometreyi voltaj için kalibre edin.

Çalışma 6.3. Küresel bir yükün alan potansiyeli

Egzersiz yapmak. Test yükünü, yüklü küre tarafından oluşturulan alanda bir noktaya sonsuzdan hareket ettirmek için elektrostatik alana karşı yapılması gereken işi deneysel olarak belirleyin.

Yürütme seçeneği. Yalıtım direğine alüminyum folyoya sarılmış bir strafor topu takın. Piezoelektrik veya başka bir kaynaktan şarj edin (bkz. madde 1.10) ve aynı şarjla elektrostatik dinamometrenin çubuğuna bir test topu yükleyin. Elektrostatik dinamometre yükler arasındaki elektrostatik etkileşim kuvvetlerini kaydetmiyorsa, test yükü araştırılandan sonsuz derecede uzaktır. Deneyde, elektrostatik dinamometreyi sabit bırakmak ve incelenen yükü hareket ettirmek uygundur.

Yalıtım standındaki yüklü topu kademeli olarak elektrostatik dinamometre topuna yaklaştırın. Tablonun ilk satırına mesafe değerlerini yazın r yükler arasında, ikinci satırda - elektrostatik etkileşim kuvvetinin karşılık gelen değerleri. Dinamometre ölçeğinin kalibre edildiği mesafeyi santimetre olarak ve kuvveti geleneksel birimlerde ifade etmek uygundur. Elde edilen verilere dayanarak, kuvvetin mesafeye bağımlılığının bir grafiğini oluşturun. Çalışma 3.5'te zaten benzer bir grafik oluşturdunuz.

Şimdi yükü sonsuzdan alandaki belirli bir noktaya taşımanın işin bağımlılığını bulun. Deneyde, bir yükün diğerinden nispeten küçük bir mesafede, yüklerin etkileşim kuvvetinin neredeyse sıfıra eşit olduğuna dikkat edin.

Yükler arasındaki mesafedeki tüm değişiklik aralığını eşit bölümlere, örneğin her biri 1 cm'ye bölün, deneysel verileri işlemeye grafiğin sonundan başlamak daha uygundur. 16 ila 12 cm arasındaki alanda, kuvvetin ortalama değeri f cf 0.13 arb'dir. birimler, yani temel iş ANCAK bu alanda 0,52 arb'ye eşittir. birimler 12 ila 10 cm arasındaki alanda, benzer şekilde tartışarak, 0,56 geleneksel birimlik bir temel iş elde ederiz. birimler Ayrıca, 1 cm uzunluğunda bölümler almak uygundur, her birinde kuvvetin ortalama değerini bulun ve bölümün uzunluğu ile çarpın. Elde edilen saha çalışması değerleri A tüm alanlarda, tablonun dördüncü satırına girin.

işi öğrenmek için ANCAK yükü sonsuzdan belirli bir mesafeye taşırken elektrik alanı tarafından yapılan, ilgili temel işi toplayın ve elde edilen değerleri tablonun beşinci satırına yazın. Son satıra 1/ değerlerini yazın r, yükler arasındaki mesafenin karşılıklı.

Elektrik alanın işini mesafenin tersi üzerine çizin ve düz bir çizgi elde ettiğinizden emin olun (sağdaki şekil).

Bu nedenle, deneyim, bir yük sonsuzdan alanın belirli bir noktasına hareket ettiğinde bir elektrik alanının işinin, bu noktadan alanı oluşturan yüke olan mesafeyle ters orantılı olduğunu göstermektedir.

Çalışma 6.4. Yüksek voltaj kaynağı

Bilgi. Okul fizik deneyi için endüstri şu anda mükemmel yüksek voltajlı voltaj kaynakları üretiyor. Aralarındaki potansiyel farkı 0 ila 25 kV arasında sürekli olarak ayarlanabilen iki çıkış terminaline veya iki yüksek voltajlı elektrota sahiptirler. Cihazda yerleşik olarak bulunan işaretçi veya dijital voltaj ölçer, kaynağın kutupları arasındaki potansiyel farkı belirlemenizi sağlar. Bu tür cihazlar, elektrostatikte eğitim deneyi seviyesini arttırır.

Egzersiz yapmak. Bir nokta yük için formül (6.2)'ye göre deneysel olarak belirlenen yüklü bir topun potansiyelinin, bu topa yüksek voltajlı bir güç kaynağı tarafından verilen potansiyele eşit olduğunu gösteren bir eğitici eğitici deney tasarlayın.

Yürütme seçeneği. Bir test bilyesi ile bir elektrostatik dinamometreden ve bir yalıtım sehpası üzerinde bir iletken bilyeden oluşan deney düzeneğini yeniden monte edin (bkz. çalışmalar 3.4 ve 6.3). Kurulumun tüm elemanlarının parametrelerini ölçün.

Kesinlik için, deneylerden birinde, parametreleri çalışma 3.4'te belirtilen bir elektrostatik dinamometre kullandığımızı belirtiyoruz: a= 5 10 –3 m, b= 55 10 -3 m, İle birlikte= 100 10 -3 m, t= 0.94 10 -3 kg ve toplar aynıydı ve yarıçapı vardı R= 7,5 10 -3 m Bu dinamometre için kalibrasyon faktörü K keyfi kuvvet birimlerini Newton'a dönüştüren , formülle verilir (Çalışma 3.6'ya bakınız).

Sonsuzdan alanın belirli bir noktasına bir test yükünü taşımak için çalışma programı, s'deki şekilde gösterilmiştir. 31. Bu grafikte geleneksel iş birimlerinden joule'ye geçmek için formüle göre gereklidir. A = f evlenmek r santimetre cinsinden mesafe değerlerini metreye, kuvvet değerlerini arb'ye çevirin. birimler (cm) arb'ye dönüştürün. birimler (m) ve ile çarp K. Böylece: A(J) = 10 -4 KA(arb. birimler).

Karşılıklı mesafeye karşılık karşılık gelen çalışma grafiği aşağıda gösterilmiştir. Ekstrapolasyon yapmak R\u003d 7,5 mm, test yükünü sonsuzdan yüklü topun yüzeyine taşıma işinin olduğunu bulduk ANCAK\u003d 57 10 -4 K \u003d 4.8 10 -5 J. Topların ücretleri aynı olduğundan ve q\u003d 6.6 10 -9 C (çalışma 3.6'ya bakın), ardından istenen potansiyel \u003d ANCAK/q= 7300 V.

Yüksek voltaj kaynağını açın ve üzerindeki çıkış voltajını regülatör ile ayarlayın, örneğin, sen= 15 kV. Elektrotlardan biri ile iletken toplara tek tek dokunun ve kaynağı kapatın. Bu durumda, topların her biri Dünya'ya göre = 7,5 kV'luk bir potansiyel kazanır. Coulomb yöntemiyle (araştırma 3.6) topların yüklerini belirlemek için deneyi tekrarlayın ve 7 nC'ye yakın bir değer elde edin.

Böylece deneyde topların yükleri birbirinden bağımsız iki şekilde belirlenir. İlk yöntem, potansiyel belirlemenin doğrudan kullanımına dayanır, ikincisi, belirli bir potansiyelin yüksek voltajlı bir kaynak kullanarak toplara iletilmesine ve daha sonra Coulomb yasası kullanılarak yüklerinin ölçülmesine dayanır. Aynı zamanda, aynı sonuçlar elde edildi.

Tabii ki, okul çocuklarının hiçbiri modern araçların fiziksel niceliklerin değerlerini doğru bir şekilde ölçtüğünden şüphe duymaz. Ancak şimdi, en basit fenomende çalıştıkları niceliklerin tam olarak doğru bir şekilde ölçüldüğüne ikna oldular. Fiziğin temelleri ile modern teknoloji arasında güçlü bir bağ kurulmuş ve okul bilgisi ile gerçek hayat arasındaki boşluk ortadan kaldırılmıştır.

Öz kontrol için sorular ve görevler

1. Elektrostatik alanın potansiyel olduğu deneysel olarak nasıl kanıtlanır?

2. Yerçekimi ve elektrostatik alanlar arasındaki analojinin özü nedir?

3. Elektrostatik alanın şiddeti ile potansiyel farkı arasındaki ilişki nedir?

4. Potansiyeller için süperpozisyon ilkesinin geçerliliğini doğrudan doğrulayan bir deney önerin.

5. İntegral hesabı kullanarak bir noktasal yükün alan potansiyelini hesaplayın. Formül türetmenizi derste verilen temel türetme ile karşılaştırın.

6. İki iletken disk arasındaki potansiyel farkı belirlemek için yapılan bir deneyde (araştırma 6.1), gerilim ölçeri, test bilyesi bir diskten diğerine tüm mesafeyi kat edecek şekilde hareket ettirmenin neden imkansız olduğunu öğrenin.

7. Elektrometreyi voltaj için kalibre ettikten sonra (araştırma 6.2), sonucu, elektrometrenin pasaport verilerinde verilen cihazın voltaj duyarlılığı değerleriyle karşılaştırın.

9. Öğrencilerin zihninde, elektrostatik çalışma kapsamında tanıtılan elektrik alan potansiyeli kavramının kullanılan ile tam olarak örtüştüğüne dair makul bir kanaat oluşturmak için ayrıntılı bir metodoloji geliştirin. modern bilim ve Teknoloji.

Edebiyat

Butikov E.I., Kondratiev A.Ş. Fizik: Proc. ödenek: 3 kitapta. Kitap. 2. Elektrodinamik. Optik. – M.: Fizmatlit, 2004.

Voskanyan A.G.., Marlensky A.D., Shibaev A.F. Kantitatif ölçümlere dayalı Coulomb yasasının gösterimi: In Sat. "Elektrodinamikte öğretim deneyi", cilt. 7. - M.: Okul-Basın, 1996.

Kasyanov V.A. Fizik-10. – M.: Bustard, 2003.

Myakishev G.Ya., Sinyakov A.Z.., Slobodskov B.A.. Fizik: Elektrodinamik. 10-11 hücre: Proc. ang için. fizik çalışması. – M.: Bustard, 2002.

Genel fizik sınıfları için eğitim ekipmanları Eğitim Kurumları: Ed. G.G. Nikiforova. – M.: Bustard, 2005.

Konu 3. ELEKTROstatik ALANIN POTANSİYELİ VE İŞİ. GÜÇ İLE POTANSİYEL İLİŞKİSİ

3.4. Bir elektrik alanında dipol

3.5. Bir elektrostatik alanın gücü ve potansiyeli arasındaki ilişki

3.6. Alan çizgileri ve eş potansiyel yüzeyler

3.7. Fark hesaplamaen basit elektrostatik alanların alan gücüne göre potansiyeller

3.1. Elektrostatik alan kuvvetlerinin işi

Başka bir durağan noktasal yükün alanında bulunan bir nokta yüke etki eden kuvvet merkezidir. Uzayda herhangi bir noktada bir yüke etki eden kuvvetin yönü, alanı oluşturan yükün merkezinden geçer ve kuvvetin değeri sadece bu yüke olan uzaklığa bağlıdır.

gözlem noktasına kadar. (Örneğin, yerçekimi alanı, merkezi kuvvetlerin alanıdır).

E
Pirinç. 3.1
Bir cisim, uzayın her noktasında doğal olarak noktadan noktaya değişen bir kuvvetle diğer cisimlerin etkisine maruz kalacak şekilde yerleştirilirse, bu cismin kuvvetler alanında olduğu söylenir. Merkezi kuvvetler alanı potansiyeldir. Elektrik alanının potansiyel olduğundan emin olalım. Sabit bir nokta yükünün alan kuvvetleri tarafından yapılan işi hesaplayın q bu alanda hareket eden bir nokta yükü üzerinde (Şekil 3.1). Temel yolda çalışın

eşittir:

veya

Çünkü

. Buradan 1-2 yolunda

(1)

Görüldüğü gibi, işin elektrik alanında yükün hareket ettiği yola bağlı değildir. q" , ancak bu yükün yalnızca ilk ve son konumlarına bağlıdır ( r 1 ve r 2). Bu nedenle yüke etki eden kuvvetler q" sabit bir yük alanında q, muhafazakar ve bu kuvvetlerin alanı potansiyel. Bu sonuç, herhangi bir sabit ücret sistemi alanına kolayca genişletilebilir, çünkü kuvvet bir nokta yükü üzerinde hareket etmek q"Böyle bir alanda, şeklinde süperpozisyon ilkesi ile temsil edilebilir.

, nerede - vadesi gelen zorlama i- alan yaratan sistemin yükü. Bu durumda iş, bireysel kuvvetler tarafından yapılan işin cebirsel toplamına eşittir:

. Bu ifadenin sağ tarafında yer alan terimlerin her biri yoldan bağımsızdır. Bu nedenle yola ve işe bağlı değildir ANCAK.

Kapalı bir yol üzerindeki potansiyel kuvvetlerin işinin sıfır olduğu mekanikten bilinmektedir. Alan kuvvetlerinin yük üzerinde yaptığı iş q" kapalı bir döngüden geçerken, şu şekilde temsil edilebilir:

, nerede –vektör projeksiyonu temel yer değiştirme yönüne, bu nedenle:

(2)

Bu ilişki herhangi bir kapalı döngü için geçerli olmalıdır. Unutulmamalıdır ki (21) sadece bir elektrostatik alan için geçerlidir. Hareketli yüklerin alanı (yani zamanla değişen alan) potansiyel değildir. Sonuç olarak, koşul (21) bunun için sağlanmamaktadır.

Formun ifadesi

vektörün dolaşımı denir bu kontur boyunca. Böylece, Bir elektrostatik alanın özelliği, herhangi bir kapalı devre boyunca yoğunluk vektörünün dolaşımının sıfır olmasıdır.

3.2. Elektrostatik alan vektörü sirkülasyon teoremi

Böylece, vektörün dolaşımının olduğunu iddia ediyoruz. herhangi bir elektrostatik alanda sıfırdır, yani. . Bu ifadeye vektör sirkülasyon teoremi denir.

Bir yükün, belirli bir alanda yoğunlukla kapalı bir 1a2b1 yolu boyunca hareket etmesine izin verin. Teoremi kanıtlamak için, rastgele bir kapalı yolu 1a2 ve 2b1 olmak üzere iki kısma ayırıyoruz (şekle bakınız). Yükü taşımak için bir iş bulalım q 1 noktasından 2 noktasına kadar. Belirli bir alandaki iş yolun şekline bağlı olmadığından, yükü 1a2 yolu boyunca hareket ettirme işi, yükü 1b2 yolu boyunca hareket ettirme işine eşittir veya

Şekil 3.2

Yukarıdakilerden şunu çıkar:

(Modulo integralleri eşittir, ancak işaretler zıttır). Ardından kapalı bir yolda çalışın:

(3)

veya

(4)

Bu özelliklere sahip bir alana denir potansiyel . Herhangi bir elektrostatik alan potansiyeldir.

Dolaşım teoremi, pratikte hesaplamalara başvurmadan bir dizi önemli sonuç çıkarmamızı sağlar. Bu sonucu doğrulayan iki basit örneği ele alalım.

Vektörün sirkülasyonunu belirten Stokes teoremini kullanıyoruz. keyfi bir kontur boyunca L bu vektörün rotorunun bu kontur tarafından kapsanan herhangi bir yüzeyden akışına eşittir, yani.

. Elektrostatik alan durumunda,

, bu nedenle, yüzey formunun keyfi olması nedeniyle, elde ederiz

. Bu nedenle, elektrostatik alanın potansiyel doğasından şu sonuç çıkar: elektrostatik alan girdap değilse . (5)

3.3. Elektrostatik alanın potansiyel enerjisi ve potansiyeli

Potansiyel kuvvetler alanında bulunan bir cisim, alanın kuvvetleri tarafından yapılan iş nedeniyle potansiyel enerjiye sahiptir. Bu nedenle iş, yükün sahip olduğu potansiyel enerjilerin değerlerindeki fark olarak temsil edilebilir. q" şarj alanının 1 ve 2 noktalarında q

Ayrıca gösterilebilir ki, çünkü

,

Dolayısıyla, yük alanındaki yükün potansiyel enerjisi için q elde ederiz:

(6)

Anlam const(6)'da genellikle yük kaldırıldığında q" sonsuzluğa (

) potansiyel enerji yok olur. Bu koşul altında, ortaya çıkıyor ki

(7)

Varsayıyoruz q" deneme ücreti. O zaman test yükünün sahip olduğu potansiyel enerji sadece değerine bağlı değildir. değil, aynı zamanda değerde q ve r, alanı tanımlar. Bu nedenle, bu enerji alanı tanımlamak için kullanılabilir, tıpkı bir test yüküne etki eden kuvvetin bu amaç için kullanılması gibi.

Çeşitli test ücretleri

,

alanın aynı noktasında farklı enerjilere sahip olacak

,

vb. Ancak, tutum

tüm masraflar için aynı olacaktır. Değer

(8)

aranan potansiyel belirli bir noktadaki alan ve elektrik alanlarını tanımlamak için alan kuvveti ile birlikte kullanılır.

(8)'den aşağıdaki gibi potansiyel, alandaki belirli bir noktada birim pozitif yükün sahip olduğu potansiyel enerjiye sayısal olarak eşittir.

İçin böylece potansiyel alan aldığımız nokta ücreti aşağıdaki ifade:

(9)

Alan bir nokta ücret sistemi tarafından oluşturulmuşsa q 1 , q 2 , …, q n, sırasıyla mesafelerde bulunan r 1 , r 2 ,…, r n yükün bulunduğu alanın noktasına , daha sonra bu alanın kuvvetleri tarafından yük üzerinde yapılan iş , ayrı ayrı yüklerin her biri nedeniyle kuvvetlerin işinin cebirsel toplamına eşit olacaktır:

Fakat eserlerin her biri eşittir:

Neresi

şarj mesafesi yükün ilk konumuna,

Yükten yükün son konumuna kadar olan mesafe.

Sonuç olarak:

Bu ifadenin bağıntı ile karşılaştırılması

, yük sistemi alanındaki yükün potansiyel enerjisi için bir ifade elde ederiz:

, (10)

. (11).

Sonuç olarak, yükler sistemi tarafından oluşturulan alanın potansiyeli, her bir yükün ayrı ayrı oluşturduğu potansiyellerin cebirsel toplamına eşittir.

ilişkiden

bundan sonra ücret , alanın potansiyeli olan noktasında bulunan , potansiyel enerjisi vardır

. Bu nedenle, alan kuvvetlerinin yük üzerindeki işi, potansiyel fark cinsinden ifade edilebilir:

Yani yük üzerinde yapılan iş alan kuvvetleri, yükün çarpımına ve başlangıç ve son noktalardaki potansiyel farka eşittir. Potansiyelli bir noktadan gelen yük sonsuza kadar çıkarılırsa (potansiyelin koşula göre sıfıra eşit olduğu yerde), alan kuvvetlerinin işi eşit olacaktır.

veya

,

T. e, sayısal olarak potansiyel eşittir iş Bir birim pozitif yükü alanın belirli bir noktasından sonsuza kadar uzaklaştırdığında alan kuvvetleri tarafından gerçekleştirilen veya bir birim pozitif yükü yerden sonsuza kadar hareket ettirmek için elektrik alan kuvvetlerine karşı yapılması gereken iş. alanın belirli bir noktasına sonsuz.

Potansiyel birim, alanın böyle bir noktasında potansiyel olarak alınmalıdır, sonsuzdan eşit iş yapmak için gerekli olan yükü hareket ettirmek için.

1 Joule (“Ci” birimleri sistemi)

Buradan

.

3.4. Bir elektrostatik alanda dipol

E elektrik dipol ikisinin birleşimi denir eşit ücretler birbirinden uzakta bulunan zıt işaret ben dipol alanının belirlendiği noktalara olan uzaklıklarına göre küçüktür.

Yükün ürünü ve yükler arasındaki mesafe p=ql aranan dipol momenti . Dipolün tam bir tanımı için, dipol ekseninin uzaydaki yönünü de belirtmek gerekir. Buna göre dipol momenti bir vektör olarak düşünülmelidir. . Bu vektöre bir yön atanmıştır. negatif yükten pozitife(şek.3.3). Yarıçapı girerseniz - vektör - q+ q, o zaman dipol momenti şu şekilde temsil edilebilir:

. (13)

Bir dipol düzgün bir elektrik alanına yerleştirilirse, dipolü oluşturan yükler q ve + q eşit büyüklükte fakat zıt yönlü kuvvetler tarafından etki edilen ve (Şek. 14). Bu kuvvetler, kolu eşit olan bir çift kuvvet oluşturur.

, yani alana göre dipolün oryantasyonuna bağlıdır. Kuvvetlerin her birinin modülü qE. Omuzla çarparak, dipole etki eden bir çift kuvvetin momentinin değerini elde ederiz:

Neresi R– elektrik momenti dipol.

AT vektör formu:

. (15)

An

dipolü döndürme eğilimindedir, böylece momenti alan yönünde ayarlayın.

Vektörler arasındaki açıyı artırmak ve üzerinde dα dipole etki eden kuvvetlere karşı iş yapılmalıdır:

Bu iş potansiyel enerjiyi artırmaya gider. W bir elektrik alanında bir dipole sahip olan , yani:

(16)

Entegrasyon (16), bir elektrik alanındaki bir dipolün potansiyel enerjisinin ifadesini verir:

varsayarsak const=0 , alırız

AT seçerek const=0 , dipol alan yönüne dik olarak ayarlandığında dipolün enerjisinin sıfır olacağını varsayıyoruz. En küçük enerji değeri ( -pe), dipol alan yönünde yönlendirildiğinde elde edilir, en büyüğü eşittir pE, vektörün ters yönüne yönlendirildiğinde .

Homojen olmayan bir alanda, dipolün yüklerine etki eden kuvvetler aynı değildir. Küçük kuvvet dipolleri için f 1 ve f 2 yaklaşık olarak eşdoğrusal olarak kabul edilebilir. Alanın yönünde en hızlı şekilde değiştiğini varsayalım. X, yön ile çakışan dipolün bulunduğu yerde (Şekil 3.5). pozitif yük dipol yönde negatife göre kaydırılır X miktara göre

. Bu nedenle, yüklerin yerleştirildiği noktalarda alan şiddeti Δ kadar farklıdır. E. kuvvetlerin toplamından beri

ve

veya , (19)

, sonra

, (20)

Neresi

elektrik alan şiddeti vektörünün gradyanıdır. Böylece homojen olmayan bir elektrik alanında, dönme momentine ek olarak bir kuvvet vardır. f, etkisi altında dipol ya daha güçlü bir alanın (α 0) bölgesine çekilecek ya da bunun dışına itilecek (α> 90 0).

Kuvvet ifadesi (18)'den elde edilebilir. f= –

.

3.5. Elektrostatik alan kuvveti ve potansiyel arasındaki ilişki

Elektrik alan şiddeti - büyüklük, sayısal olarak güce eşitücrete göre hareket etmek. Potansiyel yükün potansiyel enerjisine sayısal olarak eşit bir değerdir. Bu nedenle, potansiyel enerji ve kuvvet arasındaki ilişkiye benzer şekilde, bu miktarlar arasında bir ilişki olmalıdır (yani.

). Alan kuvvetlerinin yol parçası üzerindeki yük üzerindeki işi şu şekilde temsil edilebilir:

, ve bu durumda ortaya çıkacak olan yükün potansiyel enerjisindeki azalma: . eşitlik nereden

bulduk:

veya

, (21)

nereden keyfi olarak seçilen yön.

,

,

, (22)

Neresi

koordinat eksenlerinin ortları, yani birim vektörler. bileşenleri ile vektör

, nerede

koordinatların skaler fonksiyonu

aranan gradyan fonksiyonları ve sembolü ile gösterilir

(veya

, nerede nabla operatörüdür). Yani potansiyel gradyan:

(24)

Ve (23) ve (24)'den şu sonuç çıkar:

(25)

Gradyan, değeri uzayda bir noktadan diğerine değişen bir miktarın en hızlı değişiminin yönünü gösteren bir vektör olduğundan, potansiyelin gradyanı (nerede r-yarıçap-vektör), potansiyeldeki en hızlı artış yönünde yönlendirilmiş, bu yönde birim uzunluk başına değişim oranına sayısal olarak eşit bir vektördür.

Çünkü

bir vektör miktarı ise modülü şu şekilde ifade edilir:

, (26)

Tıpkı bir vektörün modülü gibi :

(27)

“–” işareti (25), gerilimin azalan potansiyel yönünde yönlendirildiğini gösterir. Formül (25), bilinen değerlerden her noktada alan gücünü bulmanızı veya ters problemi çözmenizi, yani her noktada verilen değerlerden alanın iki keyfi noktası arasındaki potansiyel farkı bulmanızı sağlar.

3.6. eş potansiyel yüzeyler

Elektrostatik alanın potansiyeli, noktadan noktaya değişen bir fonksiyondur. Bununla birlikte, herhangi bir gerçek durumda, potansiyelleri aynı olan bir dizi noktayı ayırmak mümkündür.

G Sabit potansiyelli noktaların geometrik yerine eşit potansiyelli yüzey veya eşpotansiyelli yüzey denir.

Düzgün yüklü sonsuz bir düzlem alın (Şekil 3.6). Böyle bir düzlem tarafından oluşturulan alan homojendir ve gerilim çizgileri düzleme diktir. Bir yükü belirli bir noktadan hareket ettirme işinin AT 1 başka bir noktaya AT 2 nokta ile yüklü yüzeyden aynı uzaklıkta bulunan AT 1 sıfıra eşittir. Gerçekten de, bazı yükleri hareket ettirirken q Düz bir çizgide AT 1 AT 2 alan tarafından yüke etki eden kuvvet her zaman yer değiştirmeye dik olacaktır ve bu nedenle işi sıfırdır. Ancak bu çalışma şu şekilde temsil edilebilir:

, (28)

G de ve

sırasıyla, noktaların potansiyelleridir AT 1 ve AT 2 . Bu nedenle, çünkü bir = 0, sonra =, yani, yüklü düzlemden eşit uzaklıktaki noktaların potansiyelleri aynıdır. Böylece, eşit potansiyele sahip yüzeyler (eş potansiyel yüzeyler) yüklü düzleme paralel düzlemlerdir. Uçak pozitif yüklüyse, yüklü düzlemden uzaklaştıkça potansiyelin değeri azalır. Eşit potansiyele sahip yüzeylerin, yüklü düzlemin her iki tarafında simetrik olarak yer aldığı açıktır.

Bir nokta yükün alanının eş potansiyel yüzeyleri, yarıçaplı kürelerdir. r merkezi bir nokta yükünün merkezinde olan, yani.

(Şekil 3.7). Şek. 3.6 ve şek. 3.7 yoğunluk vektörü eş potansiyel yüzeylere diktir.

Şiddet vektörünün eş potansiyel yüzeye dik olduğunu gösterelim. Yolun küçük bir bölümünde eşit potansiyele sahip bir yüzey üzerinde bir yükü hareket ettirme işini düşünün ∆ S (Şekil 3.7). Aynı zamanda iş elektrik kuvveti

bu yolda olacak:

α, kuvvetin yönü arasındaki açıdır f ve yer değiştirme ∆ S. Öte yandan, bu iş, hareketli yükün değeri ile yükün ilk ve son konumlarındaki potansiyel farkın ürünü olarak ifade edilebilir, yani.

.

Hareket eş potansiyel yüzey boyunca ilerlediğinden, potansiyel fark

ve

, veya cosα = 0, yani α = 90 0 yani kuvvet yönü ile yer değiştirme arasındaki açı ∆ S 90 0'a eşittir. Ama , yani yön ve maç, yani arasındaki açı ve ∆ S, α=90 0 yani elektrostatik alan vektörünün yönü her zaman eş potansiyel yüzeye diktir.

Yüklü bir cismin etrafına istediğiniz kadar eş potansiyel yüzey çizebilirsiniz. Eş potansiyel yüzeylerin yoğunluğuna göre, değer yargılanabilir. ancak, iki bitişik eş potansiyel yüzey arasındaki potansiyel farkın sabit bir değere eşit olması şartıyla.

Formül, potansiyel ile kuvvet arasındaki ilişkiyi ifade eder ve her noktadaki alan kuvvetini bulmak için bilinen φ değerlerinin kullanılmasına izin verir. Ters problemi çözmek de mümkündür, yani. alanın her noktasında bilinen değerlere göre potansiyel farkı bulun alanın iki keyfi noktası arasında. Bunu yapmak için, alan kuvvetlerinin yük üzerinde yaptığı iş gerçeğini kullanırız. q 1. noktadan 2. noktaya taşırken şu şekilde hesaplanabilir:

Öte yandan, çalışma şu şekilde temsil edilebilir:

, sonra

İntegral nokta 1 ve nokta 2'yi birleştiren herhangi bir çizgi boyunca alınabilir, çünkü alan kuvvetlerinin işi yola bağlı değildir.

Kapalı bir döngüden geçerken

elde ederiz:

şunlar. yoğunluk vektörünün dolaşımıyla ilgili iyi bilinen teoreme geldi: elektrostatik alan kuvveti vektörünün herhangi bir kapalı döngü boyunca dolaşımı sıfıra eşittir.

Bu özelliğe sahip bir alana potansiyel denir.

Vektörün dolaşımının kaybolmasından, elektrostatik alan çizgilerinin kapatılamayacağı sonucu çıkar.:pozitif suçlamalarla başlarlar(kökenler )ve üzerinde negatif masraflar dışarı koşmak(kanalizasyon )ya da sonsuza git.

Gauss teoremini ve elektrostatik alan kuvveti vektörünün vakumda dolaşımına ilişkin teoremi genelleştirelim. beri, bir

, sonra

. Çünkü

(

Laplace operatörüdür), o zaman potansiyel φ için ifadeyi elde ederiz.

veya

, denir Poisson denklemi.

Bu denklem, bilinen yük dağılımına göre

ve değerleri belirlemek için potansiyel φ için verilen sınır koşulu

alanın tüm noktalarında ve ardından gerilimi bulmak için formülü kullanarak

alanlar, yani doğrudan elektrostatik problemini çözer.

3.7. En basit elektrostatik alanların alan gücünden potansiyel farkın hesaplanması

Yoğunluk ve potansiyel arasında kurulan bağlantı, bilinen alan gücünü kullanarak, bu alanın keyfi iki noktası arasındaki potansiyel farkı bulmayı sağlar.

Bazı yüklü cisimler tarafından oluşturulan alanın noktaları arasındaki potansiyel farkı hesaplamanın birkaç örneğini ele alalım.

1. Düzgün yüklü sonsuz bir düzlemin alanı

Ostrogradsky-Gauss teoremi kullanılarak bulunan düzgün yüklü sonsuz bir düzlemin alanı, formülle belirlenir.

, burada σ yüzey yük yoğunluğudur. Mesafelerde uzanan noktalar arasındaki potansiyel fark x 1 ve x 2 uçaktan, eşittir

.

d E \u003d 0, plakalar arasında logaritmik bir yasaya göre potansiyel azalır ve ikinci plaka (silindirlerin dışında) elektrik alanını eler ve φ ve E sıfıra eşittir.
Şekil 3.10
Şek. 3.10 gerilimin bağımlılığını gösterir E ve kapasite itibaren r.
4. Düzgün yüklü küresel bir yüzeyin alanı
Ostrogradsky-Gauss teoremini uygulama örneklerini göz önünde bulundurarak, kürenin alan gücünün aşağıdaki formülle belirlendiğini bulduk:

(Şekil 3.11). Dan beri

, sonra

Şekil 3.11
. kabul ederse r 1 = r , a r 2 =∞, daha sonra küresel yüzeyin dışındaki potansiyel ifade ile belirlenir), formül ile belirlenir
noktasında sıfır potansiyel seviyesini seçerek r 2 =∞ Yüklü topun içindeki herhangi bir noktanın potansiyeli aşağıdaki gibi bulunabilir:

. Entegrasyondan sonra,

.

Şekil 3.12
Hesaba katıldığında

, sonra

( 38 )
Elde edilen ilişkilerden aşağıdakileri yapabiliriz. sonuçlar .
- Gauss teoremini kullanarak, çeşitli yüklü yüzeylerden E ve φ'yi hesaplamak nispeten kolaydır.
- Vakumdaki alan gücü, yüklü bir yüzeyden geçerken aniden değişir.
- Alan potansiyeli - her zaman sürekli fonksiyon koordinatlar.
sınav soruları
1. Bir elektrostatik alanın potansiyel olduğunu nasıl gösterebilirim?
2. potansiyel nedir?
3. Gerilim vektörünün dolaşımına ne denir?
4. Gerilim ve potansiyel arasındaki ilişki nedir? Eşpotansiyel yüzeylerin resminden alan çizgilerinin resmi nasıl çizilir?
5. Bir yükü eş potansiyel bir yüzey boyunca hareket ettirmek için yapılan iş nedir?
6. En basit elektrostatik alanların potansiyel farkını hesaplamaya örnekler verin.
7. Bir dipol harici bir elektrostatik alanda nasıl davranır?