Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bu nedenle, bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik politikamızı okuyun ve herhangi bir sorunuz olursa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize ilişkin bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir başvuru yaptığınızda, adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, sizinle iletişim kurmamıza ve benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler hakkında sizi bilgilendirmemize olanak tanır.
• Zaman zaman, size önemli bildirimler ve mesajlar göndermek için kişisel bilgilerinizi kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri iyileştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili önerilerde bulunmak için denetimler, veri analizleri ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi dahili amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir teşvike girerseniz, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Üçüncü şahıslara açıklama

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara ifşa etmiyoruz.

İstisnalar:

• Gerekirse - hukuka, yargı düzenine, yasal işlemlere ve/veya kamudan gelen talep veya taleplere dayalı olarak Devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu yararı amaçları için bu tür bir açıklamanın gerekli veya uygun olduğunu belirlersek de sizinle ilgili bilgileri ifşa edebiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda, topladığımız kişisel bilgileri ilgili üçüncü taraf halefine aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, değişiklik ve imhadan korumak için - idari, teknik ve fiziksel dahil olmak üzere - önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinizi korumak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için, çalışanlarımıza gizlilik ve güvenlik uygulamalarını iletiriz ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uygularız.

Doğrudan ( MN) daire ile tek ortak noktası olan ( A), denir teğet çembere.

Bu durumda ortak noktaya denir temas noktası.

Var olma olasılığı teğet, ve dahası, herhangi bir noktadan çizilmiş çevreler, bir temas noktası olarak, aşağıdakilerle kanıtlanmıştır: teorem.

Bunun zorunlu olmasına izin ver çevreler merkezli Ö teğet bir noktadan A. Bunun için noktadan A, merkezden olduğu gibi, tarif et yay yarıçap AO, ve noktadan Ö, merkez olarak bu yayı noktalarda kesiyoruz B ve İTİBAREN verilen dairenin çapına eşit pusula çözümü.

harcadıktan sonra akorlar OB ve işletim sistemi, noktayı birleştir A noktalarla D ve E bu akorların verilen daireyi kestiği yer. doğrudan AD ve AE - çembere teğet Ö. Nitekim, inşaattan açıkça anlaşılmaktadır ki, üçgenler AOB ve AOC ikizkenar(AO = AB = AC) bazlar ile OB ve işletim sistemi, dairenin çapına eşit Ö.

Çünkü OD ve OE yarıçaplar, o zaman D - orta OB, a E- orta işletim sistemi, anlamına geliyor AD ve AE - medyanlar ikizkenar üçgenlerin tabanlarına çizilir ve bu nedenle bu tabanlara diktir. doğrudan ise DA ve EA yarıçaplara dik OD ve OE, o zaman onlar teğetler.

Sonuçlar.

Çembere aynı noktadan çizilen iki teğet eşittir ve bu noktayı merkeze bağlayan doğru ile eşit açılar oluşturur..

Yani AD=AE ve ∠ OAD = ∠OAEçünkü dik üçgenler AOD ve AOE ortak bir şeye sahip olmak hipotenüs AO ve eşit bacaklar OD ve OE(yarıçap olarak) eşittir. Burada "tanjant" kelimesinin gerçek " teğet segmenti” verilen noktadan temas noktasına kadar.

Makale, tanımların ayrıntılı bir açıklamasını, türevin geometrik anlamını grafik gösterimle verir. Teğet doğrusunun denklemi örneklerle ele alınacak, 2. mertebeden eğrilere teğet denklemleri bulunacaktır.

Düz çizgi y \u003d k x + b'nin eğim açısına, x ekseninin pozitif yönünden pozitif yönde düz çizgi y \u003d k x + b'ye ölçülen α açısı denir.

Şekilde, öküz yönü yeşil bir ok ve yeşil bir yay ile ve eğim açısı kırmızı bir yay ile gösterilmiştir. Mavi çizgi düz bir çizgiyi ifade eder.

tanım 2

Düz çizgi y \u003d k x + b'nin eğimine k sayısal katsayısı denir.

Eğim, doğrunun eğimine eşittir, diğer bir deyişle k = t g α .

• Düz çizginin eğimi yalnızca o x paralel olduğunda ve eğim sıfıra eşit olduğunda 0'dır, çünkü sıfırın tanjantı 0'dır. Yani denklemin şekli y = b olacaktır.
• y = k x + b doğrusunun eğim açısı keskin ise, o zaman 0 koşulu< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение eğim k pozitif bir sayı olarak kabul edilir, çünkü teğetin değeri t g α > 0 koşulunu karşılar ve grafikte bir artış vardır.
• α \u003d π 2 ise, çizginin konumu x'e diktir. Eşitlik, c'nin gerçek bir sayı olduğu x = c eşitliği ile belirlenir.
• y = k x + b düz çizgisinin eğim açısı geniş ise, π 2 koşullarına karşılık gelir.< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Kesen, f(x) fonksiyonunun 2 noktasından geçen düz bir çizgidir. Başka bir deyişle, kesen, grafikteki herhangi iki noktadan geçen düz bir çizgidir. verilen fonksiyon.

Şekil, A B'nin bir sekant olduğunu ve f (x)'in siyah bir eğri olduğunu, α'nın kırmızı bir yay olduğunu ve sekantın eğim açısını gösterdiğini göstermektedir.

Düz bir çizginin eğimi, eğim açısının tanjantına eşit olduğunda, A B C dik üçgeninden gelen tanjantın, bitişik olanın karşı bacağına göre bulunabileceği açıktır.

Tanım 4

Formun sekantını bulmak için formülü alıyoruz:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A , burada A ve B noktalarının apsisi x A , x B ve f (x A) , f (x B) bu noktalardaki değerler fonksiyonlarıdır.

Açıkçası, sekantın eğimi, k \u003d f (x B) - f (x A) x B - x A veya k \u003d f (x A) - f (x B) x A - x eşitliği kullanılarak tanımlanır. B ve denklem şu şekilde yazılmalıdır: y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) veya
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Kesen grafiği görsel olarak 3 parçaya böler: A noktasının solunda, A'dan B'ye, B'nin sağına. benzer bir denklem kullanarak ayarlayın.

Tanım olarak, bu durumda doğrunun ve sekantının çakıştığı açıktır.

Bir sekant, belirli bir fonksiyonun grafiğini birden çok kez kesebilir. Sekant için y \u003d 0 biçiminde bir denklem varsa, sinüzoid ile kesişme noktalarının sayısı sonsuzdur.

tanım 5

f (x) fonksiyonunun grafiğine x 0 noktasında teğet; f (x 0) verilen bir x 0 noktasından geçen doğru olarak adlandırılır; f(x 0) , x 0'a yakın birçok x değerine sahip bir segmentin varlığı ile.

örnek 1

Aşağıdaki örneğe daha yakından bakalım. Daha sonra, y = x + 1 fonksiyonunun verdiği doğrunun, (1 ; 2) koordinatlarına sahip noktada y = 2 x'e teğet olduğu kabul edilir. Netlik için, (1; 2)'ye yakın değerlere sahip grafikleri dikkate almak gerekir. y = 2 x işlevi siyahla işaretlenmiştir, mavi çizgi teğettir, kırmızı nokta kesişme noktasıdır.

Açıkçası, y \u003d 2 x, y \u003d x + 1 satırıyla birleşir.

Teğeti belirlemek için, B noktası A noktasına sonsuzca yaklaşırken A B teğetinin davranışını göz önünde bulundurun.Açıklık olması için bir şekil sunuyoruz.

Mavi çizgi ile gösterilen AB sekantı, teğetin kendisinin konumuna eğilimlidir ve sekantın α eğim açısı, tanjantın kendisinin αx eğim açısına yönelmeye başlayacaktır.

tanım 6

A noktasındaki y \u003d f (x) fonksiyonunun grafiğine teğet, A B sekantının B'deki A'ya, yani B → A'ya yönelen sınırlayıcı konumudur.

Şimdi bir noktada bir fonksiyonun türevinin geometrik anlamının değerlendirilmesine dönüyoruz.

f (x) fonksiyonu için A B sekantını ele alalım, burada A ve B koordinatları x 0, f (x 0) ve x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) ve ∆ x argümanın bir artışı olarak gösterilir. Şimdi fonksiyon ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) şeklini alacaktır. Netlik için, örnek olarak bir resim çekelim.

Ortaya çıkan A B C dik üçgenini düşünün. Çözüm için tanjant tanımını kullanırız, yani ∆ y ∆ x = t g α oranını elde ederiz. Bir tanjant tanımından lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x çıkar. Bir noktada türev kuralına göre, x 0 noktasındaki f (x) türevine, fonksiyonun artışının argümanın artışına oranının limiti denir, burada ∆ x → 0, o zaman f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x olarak gösterilir.

Buradan f "(x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x çıkar, burada k x teğetin eğimi olarak gösterilir.

Yani, f ' (x)'in x 0 noktasında var olabileceğini ve x 0 , f 0 (x 0)'a eşit temas noktasında fonksiyonun verilen grafiğine teğet olduğu gibi, burada değerin noktasındaki teğetin eğiminin x 0 noktasındaki türevine eşittir. Sonra k x = f "(x 0) elde ederiz.

Bir fonksiyonun bir noktada türevinin geometrik anlamı, grafiğe aynı noktada bir teğetin varlığı kavramının verilmiş olmasıdır.

Düzlemdeki herhangi bir doğrunun denklemini yazmak için, geçtiği nokta ile bir eğimi olması gerekir. Tanımı kavşakta x 0 olarak alınır.

x 0, f 0 (x 0) noktasında y \u003d f (x) fonksiyonunun grafiğine teğet denklemi y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x) şeklini alır 0) .

Bu, f "(x 0) türevinin son değerinin tanjantın konumunu belirleyebileceği anlamına gelir, yani lim x → x 0 + 0 f" (x) = ∞ ve lim x → x 0 koşulu altında dikey olarak - 0 f "(x ) = ∞ veya lim x → x 0 + 0 f "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f "(x) koşulunda hiç yokluk.

Teğetin konumu, eğiminin değerine bağlıdır k x \u003d f "(x 0). X eksenine paralel olduğunda, yaklaşık y - k x \u003d ∞'ye paralel olduğunda k k \u003d 0'ı alırız ve teğet denkleminin formu x \u003d x 0 k x > 0 ile artar, k x olarak azalır< 0 .

Örnek 2

Teğet denklemini, y \u003d e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 fonksiyonunun grafiğine koordinatları (1; 3) olan bir noktada açının tanımıyla derleyin. eğim.

Çözüm

Varsayım olarak, fonksiyonun herkes için tanımlı olduğunu varsayıyoruz. gerçek sayılar. (1 ; 3) koşuluyla belirtilen koordinatlara sahip noktanın temas noktası olduğunu, o zaman x 0 = - 1 , f (x 0) = - 3 .

- 1 değerindeki noktada türevi bulmak gerekir. anladık

y "= e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3" = = e x + 1 "+ x 3 3" - 6 - 3 3 x "- 17 - 3 3" = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) = y" (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Temas noktasındaki f’ (x) değeri, eğimin tanjantına eşit olan teğetin eğimidir.

O zaman k x = t g α x = y "(x 0) = 3 3

α x = a r c t g 3 3 = π 6

Cevap: tanjant denklemi şeklini alır

y \u003d f "(x 0) x - x 0 + f (x 0) y \u003d 3 3 (x + 1) - 3 y \u003d 3 3 x - 9 - 3 3

Netlik için, grafik bir örnekte bir örnek veriyoruz.

Siyah renk orijinal fonksiyon grafiği için kullanılır, mavi renk teğet görüntüdür, kırmızı nokta temas noktasıdır. Sağdaki şekil büyütülmüş bir görünümü gösterir.

Örnek 3

Verilen bir fonksiyonun grafiğine bir teğetin varlığını bulun
y = 3 x - 1 5+1 koordinatlı noktada (1 ; 1) . Bir denklem yazın ve eğim açısını belirleyin.

Çözüm

Varsayım olarak, verilen fonksiyonun tanım kümesinin tüm gerçek sayıların kümesi olduğunu elde ederiz.

Türevini bulmaya devam edelim

y "= 3 x - 1 5 + 1" = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

x 0 = 1 ise f ' (x) tanımlanmaz ancak limitler lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 şeklinde yazılır. 5 1 + 0 = + ∞ ve lim x → 1 - 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (- 0) 4 5 = 3 5 1 + 0 = + ∞ nokta (1 ; 1) .

Cevap: denklem, eğim açısının π 2'ye eşit olacağı x \u003d 1 şeklini alacaktır.

Netlik için grafiğini çizelim.

Örnek 4

y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 fonksiyon grafiğinin noktalarını bulun, burada

1. Teğet mevcut değil;
2. Tanjant, x'e paraleldir;
3. Tanjant, y = 8 5 x + 4 doğrusuna paraleldir.

Çözüm

Tanım alanına dikkat etmek gerekir. Varsayımla, fonksiyonun tüm gerçek sayılar kümesinde tanımlandığını görüyoruz. Modülü genişletin ve sistemi x ∈ - ∞ aralığında çözün; 2 ve [ - 2 ; +∞) . anladık

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12, x ∈ [ - 2; +∞)

Fonksiyonun farklılaştırılması gerekir. bizde var

y" = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176" , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12" , x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

x = - 2 olduğunda, o noktada tek taraflı limitler eşit olmadığı için türev mevcut değildir:

lim x → - 2 - 0 y "(x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Fonksiyonun değerini x \u003d - 2 noktasında hesaplıyoruz, bunu elde ediyoruz

1. y (- 2) \u003d 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 \u003d - 2, yani teğet (- 2; - 2) noktası olmayacak.
2. Eğim sıfır olduğunda tanjant x'e paraleldir. Sonra k x \u003d t g α x \u003d f "(x 0). Yani, fonksiyonun türevi onu sıfıra çevirdiğinde bu tür x'lerin değerlerini bulmak gerekir. Yani, değerler \u200b\u200bf '(x) ve teğetin x hakkında paralel olduğu temas noktaları olacaktır.

x ∈ - ∞ olduğunda; - 2 , sonra - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 ve x ∈ (- 2 ; + ∞) için 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 elde ederiz.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Fonksiyonun karşılık gelen değerlerini hesaplıyoruz

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Dolayısıyla - 5; 8 5 , - 4 ; 4 3 , 1 ; 85, 3; 4 3 fonksiyonun grafiğinin istenen noktaları olarak kabul edilir.

Düşünmek grafik görüntüçözümler.

Siyah çizgi fonksiyonun grafiği, kırmızı noktalar temas noktalarıdır.

1. Doğrular paralel olduğunda eğimler eşittir. Ardından, eğimin 8 5 değerine eşit olacağı fonksiyonun grafiğinin noktalarını aramak gerekir. Bunu yapmak için, y "(x) = 8 5 biçimindeki bir denklemi çözmeniz gerekir. O zaman, eğer x ∈ - ∞; - 2 ise, - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 elde ederiz. 5 ve x ∈ ( - 2 ; + ∞) ise 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 .

Diskriminant sıfırdan küçük olduğu için ilk denklemin kökü yoktur. bunu yazalım

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Başka bir denklemin iki gerçek kökü vardır, o zaman

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2; +∞

Gelelim fonksiyonun değerlerini bulmaya. anladık

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Değerleri olan puanlar - 1 ; 4 15, 5; 8 3 teğetlerin y = 8 5 x + 4 doğrusuna paralel olduğu noktalardır.

Cevap: siyah çizgi - fonksiyonun grafiği, kırmızı çizgi - grafik y \u003d 8 5 x + 4, mavi çizgi - noktalarda teğetler - 1; 4 15, 5; 8 3 .

Verilen fonksiyonlar için sonsuz sayıda teğetin varlığı mümkündür.

Örnek 5

y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 fonksiyonunun y = - 2 x + 1 2 doğrusuna dik olan tüm mevcut tanjantlarının denklemlerini yazın.

Çözüm

Teğet denklemini derlemek için, çizgilerin diklik durumuna göre teğet noktasının katsayısını ve koordinatlarını bulmak gerekir. Tanım şöyledir: düz çizgilere dik olan eğimlerin çarpımı - 1'e eşittir, yani k x · k ⊥ = - 1 olarak yazılır. Eğimin düz çizgiye dik olması ve k ⊥ = - 2'ye eşit olması koşulundan, o zaman k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 .

Şimdi temas noktalarının koordinatlarını bulmamız gerekiyor. Belirli bir işlev için değeri olan x'i bulmanız gerekir. Noktadaki türevin geometrik anlamından not edin.
x 0 k x \u003d y "(x 0) . Bu eşitlikten, temas noktaları için x değerlerini buluyoruz.

anladık

y "(x 0) = 3 çünkü 3 2 x 0 - π 4 - 1 3" = 3 - günah 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 günah 3 2 x 0 - π 4 3 2 \u003d - 9 2 günah 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x \u003d y "(x 0) ⇔ - 9 2 günah 3 2 x 0 - π 4 \u003d 1 2 ⇒ günah 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Bu trigonometrik denklem, temas noktalarının koordinatlarını hesaplamak için kullanılacaktır.

3 2 x 0 - π 4 = a r c günah - 1 9 + 2 πk veya 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c günah - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk veya 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk veya x 0 = 2 3 5 π 4 + a rc sin 1 9 + 2 πk, k ∈ Z

Z tamsayılar kümesidir.

x temas noktası bulundu. Şimdi y değerlerini aramaya gitmeniz gerekiyor:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - günah 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 veya y 0 = 3 - 1 - günah 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 veya y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 veya y 0 = - 4 5 + 1 3

Buradan 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk elde ederiz; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 temas noktalarıdır.

Cevap: gerekli denklemler şu şekilde yazılacaktır:

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Görsel bir temsil için, koordinat doğrusu üzerindeki fonksiyonu ve tanjantı göz önünde bulundurun.

Şekil, işlevin konumunun [ - 10 ; 10] , siyah çizgi fonksiyonun grafiğidir, mavi çizgiler y = - 2 x + 1 2 formunun verilen çizgisine dik olan teğetlerdir. Kırmızı noktalar temas noktalarıdır.

2. mertebeden eğrilerin kanonik denklemleri tek değerli fonksiyonlar değildir. Onlar için teğet denklemler iyi bilinen şemalara göre derlenir.

daireye teğet

x c e n t e r noktasında ortalanmış bir daire ayarlamak için; y c e n t e r ve yarıçap R, x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 formülü kullanılır.

Bu eşitlik iki fonksiyonun birleşimi olarak yazılabilir:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Şekilde görüldüğü gibi birinci fonksiyon üstte, ikinci fonksiyon alttadır.

x 0 noktasında bir daire denklemi oluşturmak için; y 0 , üst veya alt yarım dairede bulunan, y \u003d R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r veya y \u003d - R 2 - x - x c e n t e r fonksiyonunun grafiğinin denklemini bulmalısınız. 2 + y c e n t e r belirtilen noktada.

x c e n t e r noktalarında; y c e n t er + R ve x c ​​e n t er ; y c e n t e r - R tanjantları, y = y c e n t e r + R ve y = y c e n t e r - R denklemleriyle ve x c ​​e n t e r + R noktalarında verilebilir; y c e n t e r ve
x c e n t e r - R ; y c e n t er y etrafında paralel olacak, o zaman x = x c e n t e r + R ve x = x c e n t e r - R şeklinde denklemler elde edeceğiz.

Elips için teğet

Elips x c e n t e r'de ortalandığında; y c e n t er yarı eksenleri a ve b ile, o zaman x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 denklemi kullanılarak verilebilir.

Bir elips ve bir daire, iki fonksiyon, yani üst ve alt yarı elips birleştirilerek gösterilebilir. O zaman bunu alırız

y = b a 2 - (x - x c e n t er) 2 + y c e n t e r y = - b a 2 - (x - x c e n t er) 2 + y c e n t e r

Teğetler elipsin köşelerinde bulunuyorsa, x veya y civarında paraleldirler. Netlik için aşağıdaki şekli göz önünde bulundurun.

Örnek 6

x değerleri x = 2 olan noktalarda x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 elipsine teğetin denklemini yazın.

Çözüm

x = 2 değerine karşılık gelen temas noktalarını bulmak gerekir. Elipsin mevcut denkleminde bir ikame yaparız ve bunu elde ederiz.

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Sonra 2 ; 5 3 2 + 5 ve 2 ; - 5 3 2 + 5, üst ve alt yarım elipse ait olan teğet noktalardır.

Bir elipsin denklemini y'ye göre bulmaya ve çözmeye geçelim. anladık

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Üst yarı elipsin y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 ve alttaki y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 biçimindeki bir fonksiyon kullanılarak belirlendiği açıktır.

Bir noktadaki bir fonksiyonun grafiğine teğet denklemini formüle etmek için standart algoritmayı uygularız. 2 noktasındaki ilk tanjant denklemini yazıyoruz; 5 3 2 + 5 gibi görünecek

y "= 5 + 5 2 4 - x - 3 2" = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

noktasındaki değerle ikinci teğetin denklemini elde ederiz.
2; - 5 3 2 + 5 olur

y "= 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2" = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Grafiksel olarak, teğetler aşağıdaki gibi gösterilir:

hiperbole teğet

Hiperbolün x c e n t e r noktasında bir merkezi olduğunda; y c e n t er ve köşeler x c e n t e r + α ; y c e n t er ve x c ​​e n t e r - α ; y c e n t e r , x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 eşitsizliği, x c e n t e r köşeleriyle verilir; y c e n t e r + b ve x c ​​e n t e r ; y c e n t e r - b daha sonra x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 eşitsizliği ile verilir.

Bir hiperbol, formun iki birleşik işlevi olarak temsil edilebilir.

y = b bir (x - x c e n t e r) 2 - bir 2 + y c e n t e r y = - b bir (x - x c e n t er) 2 - bir 2 + y c e n t e r veya y = b bir (x - x c e n) (x - x c e n) 2 + ) 2 + bir 2 + y c e n t e r

İlk durumda, teğetlerin y'ye paralel olduğunu ve ikinci durumda x'e paralel olduklarını gördük.

Bir hiperbolün teğet denklemini bulmak için, teğet noktasının hangi fonksiyona ait olduğunu bulmak gerekir. Bunu belirlemek için denklemlerde bir ikame yapmak ve özdeşlik açısından kontrol etmek gerekir.

Örnek 7

7. noktada x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 hiperbolüne teğetin denklemini yazın; - 3 3 - 3 .

Çözüm

2 fonksiyon kullanarak hiperbol bulma çözümünün kaydını dönüştürmek gerekir. anladık

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 veya y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Koordinatları 7 olan verilen noktanın hangi fonksiyona ait olduğunu bulmak gerekir; - 3 3 - 3 .

Açıkçası, ilk fonksiyonu kontrol etmek için gereklidir y (7) = 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , bu durumda nokta grafiğe ait değildir, eşitlik sağlanmadığı için

İkinci fonksiyon için y (7) = - 3 2 (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , bu noktanın verilen grafiğe ait olduğu anlamına gelir. Buradan eğim katsayısını bulmalısınız.

anladık

y "= - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3" = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y "(x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Cevap: tanjant denklemi şu şekilde temsil edilebilir:

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Aşağıdaki gibi görselleştirilir:

parabole teğet

x 0, y (x 0) noktasında teğetin denklemini y \u003d a x 2 + b x + c parabolüne oluşturmak için standart algoritmayı kullanmalısınız, sonra denklem y \u003d y " (x 0) x - x 0 + y ( x 0) Köşedeki böyle bir teğet x'e paraleldir.

x = a y 2 + b y + c parabolü, iki fonksiyonun birleşimi olarak tanımlanmalıdır. Bu nedenle, y denklemini çözmemiz gerekiyor. anladık

x = bir y 2 + b y + c ⇔ bir y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 bir y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

grafiğini şöyle çizelim:

Bir x 0 , y (x 0) noktasının bir fonksiyona ait olup olmadığını öğrenmek için standart algoritmayı nazikçe izleyin. Böyle bir teğet, parabole göre y'ye paralel olacaktır.

Örnek 8

Teğet eğimi 150 ° olduğunda x - 2 y 2 - 5 y + 3 grafiğine teğetin denklemini yazın.

Çözüm

Çözüme, parabolü iki fonksiyon olarak temsil ederek başlıyoruz. anladık

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 (- 2) (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Eğimin değeri, bu fonksiyonun x 0 noktasındaki türevinin değerine ve eğimin tanjantına eşittir.

Alırız:

k x \u003d y "(x 0) \u003d t g α x \u003d t g 150 ° \u003d - 1 3

Buradan temas noktaları için x değerini belirliyoruz.

İlk fonksiyon olarak yazılacaktır

y "= 5 + 49 - 8 x - 4" = 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Açıkçası, negatif bir değer elde ettiğimiz için gerçek kökler yok. Böyle bir fonksiyon için 150 ° açıya sahip bir teğet olmadığı sonucuna varıyoruz.

İkinci fonksiyon olarak yazılacaktır

y "= 5 - 49 - 8 x - 4" = - 1 49 - 8 x ⇒ y "(x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Temas noktalarına sahibiz - 23 4 ; - 5 + 3 4 .

Cevap: tanjant denklemi şeklini alır

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Şu şekilde grafiğini çizelim:

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Kesitler, teğetler - tüm bunlar geometri derslerinde yüzlerce kez duyulabilirdi. Ancak okuldan mezuniyet biter, yıllar geçer ve tüm bu bilgiler unutulur. Ne hatırlanmalıdır?

Öz

"Bir daireye teğet" terimi muhtemelen herkese tanıdık geliyor. Ancak herkesin tanımını hızlı bir şekilde formüle etmesi pek olası değildir. Bu arada, bir teğet, aynı düzlemde uzanan ve onu yalnızca bir noktada kesen bir daire ile düz bir çizgidir. Bunların çok çeşitli olabilir, ancak hepsi aşağıda tartışılacak olan aynı özelliklere sahiptir. Tahmin edebileceğiniz gibi, temas noktası daire ve çizginin kesiştiği yerdir. Her durumda, birdir, ancak daha fazlası varsa, o zaman bir sekant olacaktır.

Keşif ve çalışma tarihi

Teğet kavramı antik çağda ortaya çıktı. Bu düz çizgilerin, önce bir daireye, sonra bir cetvel ve bir pergel yardımıyla elipslere, parabollere ve hiperbollere yapımı, geometrinin gelişiminin ilk aşamalarında bile gerçekleştirildi. Tabii ki, tarih keşfedenin adını korumadı, ancak o zaman bile insanların bir daireye teğetin özelliklerinin oldukça farkında olduğu açıktır.

Modern zamanlarda, bu fenomene olan ilgi yeniden alevlendi - yeni eğrilerin keşfi ile birlikte bu kavramın yeni bir inceleme turu başladı. Böylece Galileo bir sikloid kavramını tanıttı ve Fermat ve Descartes ona bir teğet oluşturdu. Çemberlere gelince, bu alanda eskiler için hiçbir sır kalmamış gibi görünüyor.

Özellikleri

Kesişme noktasına çizilen yarıçap,

ana, ancak bir daireye teğetin sahip olduğu tek özellik değil. Bir diğer önemli özellik ise halihazırda iki düz çizgi içeriyor. Böylece, çemberin dışında kalan bir noktadan iki teğet çizilebilir ve bölümleri eşit olacaktır. Bu konuyla ilgili başka bir teorem daha vardır, ancak nadiren standart çerçevesinde geçilir. okul kursu, bazı sorunları çözmek için son derece uygun olmasına rağmen. Kulağa böyle geliyor. Çemberin dışında bulunan bir noktadan, ona bir teğet ve bir sekant çizilir. AB, AC ve AD segmentleri oluşturulur. A, çizgilerin kesişimi, B temas noktası, C ve D kesişme noktalarıdır. Bu durumda, aşağıdaki eşitlik geçerli olacaktır: Çembere teğetin uzunluğu, karesi, AC ve AD doğru parçalarının çarpımına eşit olacaktır.

Yukarıdakilerin önemli bir sonucu vardır. Çemberin her noktası için bir teğet oluşturabilirsiniz, ancak yalnızca bir tane. Bunun kanıtı oldukça basittir: Teorik olarak yarıçaptan onun üzerine bir dik açı bırakarak, oluşan üçgenin var olamayacağını öğreniriz. Bu da teğetin benzersiz olduğu anlamına gelir.

Bina

Geometrideki diğer görevler arasında, kural olarak değil, özel bir kategori vardır.

öğrenciler ve öğrenciler tarafından tercih edilmektedir. Bu kategorideki görevleri çözmek için sadece bir pusulaya ve bir cetvele ihtiyacınız var. Bunlar inşaat işleridir. Bir teğet oluşturmak için de yöntemler vardır.

Böylece, bir daire ve sınırlarının dışında kalan bir nokta verildi. Ve içlerinden bir teğet çizmek gerekiyor. Nasıl yapılır? Her şeyden önce, O çemberinin merkezi ile O çemberi arasına bir doğru parçası çizmeniz gerekir. verilen nokta. Ardından, bir pusula kullanarak ikiye bölün. Bunu yapmak için, yarıçapı ayarlamanız gerekir - orijinal dairenin merkezi ile verilen nokta arasındaki mesafenin yarısından biraz fazla. Bundan sonra, kesişen iki yay oluşturmanız gerekir. Ayrıca, pusulanın yarıçapının değiştirilmesine gerek yoktur ve dairenin her bir parçasının merkezi sırasıyla başlangıç ​​noktası ve O olacaktır. Yayların kesişme noktaları, segmenti ikiye bölecek şekilde bağlanmalıdır. Pusulada bu mesafeye eşit bir yarıçap ayarlayın. Ardından, merkez kesişme noktasında olacak şekilde başka bir daire çizin. Hem başlangıç ​​noktası hem de O üzerinde duracaktır.Bu durumda problemde verilen daire ile iki kesişme daha olacaktır. Bunlar, başlangıçta verilen nokta için temas noktaları olacaktır.

Doğuma yol açan daireye teğetlerin inşasıydı.

diferansiyel hesap. Bu konudaki ilk çalışma ünlü Alman matematikçi Leibniz tarafından yayınlandı. Kesirli ve irrasyonel değerlerden bağımsız olarak maksimum, minimum ve teğet bulma imkanı sağladı. Eh, şimdi diğer birçok hesaplama için de kullanılıyor.

Ayrıca çemberin tanjantı da geometrik anlamda teğet. Adı da buradan geliyor. Latince'den tercüme edilen tangens, "tanjant" anlamına gelir. Böylece, bu kavram sadece geometri ve diferansiyel hesap ile değil, aynı zamanda trigonometri ile de bağlantılıdır.

iki daire

Bir teğet her zaman sadece bir rakamı etkilemez. Bir daireye çok sayıda düz çizgi çizilebiliyorsa, neden tam tersi olmasın? Olabilmek. Ancak bu durumda görev ciddi şekilde karmaşıktır, çünkü iki dairenin teğeti hiçbir noktadan geçemez ve tüm bu şekillerin göreceli konumu çok olabilir.

farklı.

Çeşitleri ve çeşitleri

Ne zaman Konuşuyoruz yaklaşık iki daire ve bir veya daha fazla düz çizgi, o zaman bunların teğet olduğu bilinse bile, tüm bu şekillerin birbirine göre nasıl yerleştirildiği hemen netleşmez. Buna dayanarak, birkaç çeşit var. Yani çemberlerin bir veya iki ortak noktası olabilir veya hiç olmayabilir. İlk durumda kesişecekler ve ikincisinde dokunacaklar. Ve burada iki çeşit var. Bir daire olduğu gibi ikinciye gömülüyse, dokunmaya dahili, değilse harici denir. Şekillerin göreceli konumlarını sadece çizime göre değil, aynı zamanda yarıçaplarının toplamı ve merkezleri arasındaki mesafe hakkında da bilgi sahibi olarak anlayabilirsiniz. Bu iki miktar eşitse, daireler birbirine dokunur. Birincisi daha büyükse kesişirler ve daha azsa ortak noktaları yoktur.

Düz çizgilerle aynı. Ortak noktaları olmayan herhangi iki çember için,

dört teğet oluşturun. İkisi rakamlar arasında kesişecek, bunlara iç denir. Birkaç kişi daha harici.

Bir ortak noktası olan dairelerden bahsediyorsak, görev büyük ölçüde basitleştirilmiştir. Gerçek şu ki, bu durumda herhangi bir karşılıklı düzenleme için yalnızca bir teğete sahip olacaklardır. Ve onların kesiştiği noktadan geçecek. Bu yüzden inşaat zorluğuna neden olmaz.

Şekillerin iki kesişme noktası varsa, onlar için hem bir hem de ikinci daireye teğet, ancak yalnızca dış olan düz bir çizgi oluşturulabilir. Bu sorunun çözümü, aşağıda tartışılacak olana benzer.

Problem çözme

Bu problem çözülebilse de, iki daireye hem iç hem de dış teğetlerin yapımı o kadar basit değildir. Gerçek şu ki, bunun için yardımcı bir figür kullanılıyor, bu yüzden bu yöntemi kendiniz düşünün.

oldukça sorunlu. Böylece, O1 ve O2 merkezleri ve yarıçapları farklı olan iki daire verilmiştir. Onlar için iki çift teğet oluşturmanız gerekir.

Her şeyden önce, daha büyük dairenin merkezine yakın bir yerde yardımcı bir tane oluşturmanız gerekir. Bu durumda, ilk iki rakamın yarıçapları arasındaki fark pusula üzerinde belirlenmelidir. Yardımcı daireye teğetler, daha küçük dairenin merkezinden oluşturulur. Bundan sonra, O1 ve O2'den, orijinal şekillerle kesişene kadar bu doğrulara dikler çizilir. Teğetin ana özelliğinden aşağıdaki gibi, her iki çember üzerinde de istenilen noktalar bulunur. Sorun çözüldü, en azından ilk kısmı.

İç teğetleri oluşturmak için pratik olarak çözmek gerekir.

benzer bir görev. Yine yardımcı bir şekle ihtiyacınız olacak, ancak bu sefer yarıçapı toplamına eşittir ilk. Teğetler, verilen çevrelerden birinin merkezinden ona inşa edilir. Çözümün daha sonraki seyri, önceki örnekten anlaşılabilir.

Bir daireye teğet, hatta iki veya daha fazla o kadar zor bir iş değil. Tabii ki, matematikçiler bu tür sorunları manuel olarak çözmeyi çoktan bıraktılar ve hesaplamaları özel programlara emanet ettiler. Ancak şimdi bunu kendiniz yapmanın gerekli olmadığını düşünmeyin, çünkü bir bilgisayar için bir görevi doğru bir şekilde formüle etmek için çok şey yapmanız ve anlamanız gerekir. Ne yazık ki, bilgi kontrolünün test formuna son geçişten sonra, inşaat görevlerinin öğrenciler için giderek daha fazla zorluğa neden olacağına dair korkular var.

Daha fazla daire için ortak teğet bulmaya gelince, aynı düzlemde olsalar bile bu her zaman mümkün değildir. Ancak bazı durumlarda böyle bir çizgi bulmak mümkündür.

Gerçek hayattan örnekler

Pratikte iki çembere ortak bir teğet ile karşılaşılır, ancak bu her zaman fark edilmez. Konveyörler, blok sistemleri, kasnak iletim kayışları, bir dikiş makinesindeki iplik gerginliği ve hatta sadece bir bisiklet zinciri - bunların hepsi hayattan örnekler. Bu yüzden geometrik problemlerin sadece teoride kaldığını düşünmeyin: mühendislik, fizik, inşaat ve diğer birçok alanda pratik uygulama bulurlar.

Bir daireye teğet kavramı

Çemberin üç olasılığı vardır karşılıklı düzenlemeler düz bir çizgiye göre:

Dairenin merkezinden çizgiye olan mesafe yarıçaptan daha azsa, çizginin daireyle iki kesişme noktası vardır.

Dairenin merkezinden çizgiye olan mesafe yarıçapa eşitse, çizginin daireyle iki kesişme noktası vardır.

Dairenin merkezinden düz çizgiye olan mesafe yarıçaptan büyükse, düz çizginin daire ile iki kesişme noktası vardır.

Şimdi bir çembere teğet çizgi kavramını tanıtıyoruz.

tanım 1

Bir daireye teğet, kendisiyle bir kesişme noktası olan düz bir çizgidir.

Çemberin ve teğetin ortak noktasına teğet noktası denir (Şekil 1).

Şekil 1. Bir daireye teğet

Çembere teğet kavramı ile ilgili teoremler

Teorem 1

Teğet özellik teoremi: Çemberin teğeti, teğet noktasına çizilen yarıçapa diktir.

Kanıt.

$O$ merkezli bir daire düşünün. $A$ noktasında $a$ tanjantını çizelim. $OA=r$ (Şekil 2).

$a\bot r$ olduğunu kanıtlayalım

Teoremi "çelişkiyle" yöntemiyle kanıtlayacağız. $a$ tanjantının çemberin yarıçapına dik olmadığını varsayalım.

Şekil 2. Teorem 1'in Çizimi

Yani, $OA$ bir teğete eğiktir. $a$ doğrusuna dik olan her zaman aynı doğrunun eğiminden küçük olduğundan, dairenin merkezinden doğruya olan uzaklık yarıçaptan küçüktür. Bildiğimiz gibi, bu durumda doğrunun çemberle iki kesişme noktası vardır. Hangi bir teğet tanımıyla çelişir.

Bu nedenle, teğet dairenin yarıçapına diktir.

Teorem kanıtlanmıştır.

Teorem 2

Tanjant özellik teoreminin tersi: Bir dairenin yarıçapının ucundan geçen doğru yarıçapa dik ise bu doğru bu daireye teğettir.

Kanıt.

Problemin durumuna göre yarıçap, çemberin merkezinden verilen doğruya çizilen bir diktir. Bu nedenle, dairenin merkezinden düz çizgiye olan mesafe, yarıçapın uzunluğuna eşittir. Bildiğimiz gibi, bu durumda dairenin bu doğru ile sadece bir kesişme noktası vardır. Tanım 1'e göre, verilen doğrunun çembere teğet olduğunu anlarız.

Teorem kanıtlanmıştır.

Teorem 3

Çembere bir noktadan çizilen teğetlerin parçaları eşittir ve bu noktadan geçen doğru ile çemberin merkezinden geçen doğruya eşit açı yapar.

Kanıt.

$O$ merkezli bir çember olsun. $A$ noktasından (tüm çemberler üzerinde yer alan) iki farklı teğet çizilir. Sırasıyla $B$ ve $C$ temas noktasından (Şekil 3).

$\angle BAO=\angle CAO$ ve $AB=AC$ olduğunu kanıtlayalım.

Şekil 3. Teorem 3'ün Çizimi

Teorem 1'e göre, elimizde:

Bu nedenle, $ABO$ ve $ACO$ üçgenleri dik üçgenlerdir. $OB=OC=r$ ve hipotenüs $OA$ ortak olduğundan, bu üçgenler hipotenüs ve bacakta eşittir.

Böylece $\angle BAO=\angle CAO$ ve $AB=AC$ elde ederiz.

Teorem kanıtlanmıştır.

Bir daireye teğet kavramı üzerine bir görev örneği

örnek 1

$O$ merkezli ve $r=3\ cm$ yarıçaplı bir daire verildi. $AC$ tanjantının $C$ teğet noktası vardır. $AO=4\cm$. $AC$ bulun.

Çözüm.

İlk olarak, şekildeki her şeyi gösterelim (Şekil 4).

Şekil 4

$AC$ bir tanjant ve $OC$ bir yarıçap olduğundan, Teorem 1'e göre $\angle ACO=(90)^(()^\circ )$ elde ederiz. $ACO$ üçgeninin dikdörtgen olduğu ortaya çıktı, bu da Pisagor teoremine göre şu anlama gelir:

\[(AC)^2=(AO)^2+r^2\] \[(AC)^2=16+9\] \[(AC)^2=25\] \