2. Elektrik alanı. Elektrik alanı nokta şarjı. Güç hatları.

Modern kavramlara göre, elektrik yükleri doğrudan birbirine etki etmez. Her yüklü cisim çevreleyen alanda yaratır Elektrik alanı . Bu alanın diğer yüklü cisimler üzerinde kuvvet etkisi vardır. Ana mülk Elektrik alanı- belirli bir kuvvetle elektrik yükleri üzerinde hareket. Bu nedenle, yüklü cisimlerin etkileşimi, birbirleri üzerindeki doğrudan etkileriyle değil, yüklü cisimleri çevreleyen elektrik alanları aracılığıyla gerçekleştirilir.

Yüklü bir cismi çevreleyen elektrik alanı, sözde kullanılarak araştırılabilir. deneme ücreti - incelenen yüklerin gözle görülür bir yeniden dağılımını sağlamayan küçük bir nokta yükü.

Elektrik alanını ölçmek için, güç karakteristik elektrik alan şiddeti .

Elektrik alan kuvveti, uzayda belirli bir noktaya yerleştirilen pozitif bir test yüküne alanın etki ettiği kuvvetin bu yükün büyüklüğüne oranına eşit fiziksel bir nicelik olarak adlandırılır:

Elektrik alan şiddeti vektörel bir fiziksel niceliktir. Uzaydaki her noktada vektörün yönü, pozitif test yüküne etki eden kuvvetin yönü ile çakışır.

Sabit ve zamanla değişmeyen yüklerin elektrik alanına denir. elektrostatik . Çoğu durumda, kısaca, bu alan genel terim - elektrik alanı ile gösterilir.

Birkaç yüklü cisim tarafından oluşturulan bir elektrik alanı bir test yükü kullanılarak araştırılırsa, ortaya çıkan kuvvet, her bir yüklü cisimden ayrı ayrı test yüküne etki eden kuvvetlerin geometrik toplamına eşit olur. Sonuç olarak, uzayda belirli bir noktada yükler sistemi tarafından oluşturulan elektrik alanının gücü, aynı noktada ayrı ayrı yükler tarafından oluşturulan elektrik alanlarının kuvvetlerinin vektör toplamına eşittir:

Bu alana denir Coulomb . Coulomb alanında vektörün yönü yükün işaretine bağlıdır. Q: eğer Q> 0 ise, vektör, eğer varsa, yükün yarıçapı boyunca yönlendirilir. Q < 0, то вектор направлен к заряду.

Elektrik alanının görsel bir temsili için şunu kullanın: kuvvet hatları . Bu çizgiler, her noktadaki vektörün yönü, teğetin yönü ile çakışacak şekilde çizilir. alan çizgisi(Şekil 1.2.1). Kuvvet çizgilerini kullanarak bir elektrik alanını tasvir ederken, yoğunlukları alan kuvveti vektörünün modülüyle orantılı olmalıdır.

Pozitif ve negatif noktasal yüklerin Coulomb alanlarının kuvvet çizgileri, Şek. 1.2.2. Herhangi bir yük sistemi tarafından yaratılan elektrostatik alan, Şekil 2'de gösterilen nokta yüklerin Coulomb alanlarının bir süperpozisyonu olarak temsil edilebildiğinden. 1.2.2 alanlar, herhangi bir elektrostatik alanın temel yapısal birimleri ("tuğlalar") olarak kabul edilebilir.

Bir nokta yükünün Coulomb alanı Q vektör biçiminde yazmak uygundur. Bunu yapmak için, yükten bir yarıçap vektörü çizmeniz gerekir. Q gözlem noktasına. sonra Q> 0 vektör paraleldir ve ne zaman Q < 0 вектор антипараллелен Следовательно, можно записать:

nerede r yarıçap vektörünün modülüdür.

Şekil l'deki alanların süperpozisyonu ilkesinin uygulanmasına bir örnek olarak. 1.2.3. alan çizgilerinin bir resmi gösterilir elektrik dipol - farklı işaretlere sahip iki özdeş modül yükü sistemleri q ve - q biraz uzakta bulunan ben.

Bir elektrik dipolünün önemli bir özelliği, sözde dipol momenti

negatif bir yükten pozitif bir yüke yönlendirilen bir vektör olduğunda, Dipol modülü birçok molekülün elektriksel bir modeli olarak hizmet edebilir.

Örneğin, nötr bir su molekülü (H 2 O) bir elektrik dipol momentine sahiptir, çünkü iki hidrojen atomunun merkezleri, oksijen atomunun merkezi ile aynı düz çizgide değil, 105 ° 'lik bir açıda bulunur (Şek. 1.2.4). Bir su molekülünün dipol momenti p= 6.2 10 -30 Cm.

3. Elektrostatik Gauss teoremi. Belirli bir durum için Gauss teoreminin ispatı (bir noktasal yük bir yarıçap küresinin içine yerleştirilmiştir) R). Gauss teoreminin genelleştirilmesiN nokta ücretleri. Gauss teoreminin sürekli dağıtılmış bir yük durumuna genelleştirilmesi. Diferansiyel formda Gauss teoremi.

Vektörün akışını bulalımE küresel bir yüzey aracılığıylaS, merkezinde bir nokta yükü olanq.

Bu durumda, beri talimatlar E ve n küresel yüzeyin tüm noktalarında çakışır.

Bir nokta yükünün alan gücünü hesaba katmak ve kürenin yüzey alanının elde ettiğimiz gerçeği

Yükün işaretine bağlı olarak cebirsel bir miktar. Örneğin, ne zaman q<0 линии E yüke doğru yönlendirilir ve dışa doğru normalin yönünün tersine n. Bu nedenle, bu durumda akış negatiftir.<0 .

Kapalı yüzeyin şarjın etrafında olmasına izin verin q keyfi bir şekle sahiptir. Yüzeyin aynı sayıda çizgiyle kesiştiği açıktır. E, yüzey hangisi S. Bu nedenle, vektörün akışı E keyfi bir yüzey aracılığıyla da elde edilen formül tarafından belirlenir.

Yük kapalı yüzeyin dışındaysa, o zaman, açık bir şekilde, kapalı alana ne kadar çok çizgi girerse, aynı sayı onu terk edecektir. Sonuç olarak, vektör akışı E sıfıra eşit olacaktır.

Elektrik alanı bir nokta yük sistemi tarafından yaratılıyorsa sonra süperpozisyon ilkesine göre,

Özel bir durumun kanıtı:

Gauss teoremi iddialar:

Elektrostatik alan kuvveti vektör akısı keyfi bir kapalı yüzey aracılığıyla, bu yüzeyin içinde bulunan yüklerin cebirsel toplamının, elektrik sabiti ε ile bölünmesine eşittir. 0 .

nerede R kürenin yarıçapıdır. Küresel bir yüzeyden geçen akış Φ, ürüne eşit olacaktır. E kürenin alanına 4π R 2. Sonuç olarak,

Şimdi nokta yükünü keyfi bir kapalı yüzeyle çevreleyelim. S ve yardımcı bir yarıçap küresi düşünün R 0 (Şekil 1.3.3).

Küçük bir koni düşünün katı açı ΔΩ üstte. Bu koni, küre üzerinde küçük bir alan Δ ayırıyor S 0 ve yüzeyde S– platform Δ S. Bu alanlardan geçen ΔΦ 0 ve ΔΦ temel akışları aynıdır. Yok canım,

burada Δ S" = Δ S cos α, yarıçaplı bir kürenin yüzeyinde katı açısı ΔΩ olan bir koni tarafından tanımlanan alandır n.

beri Bu nedenle, yükü çevreleyen rastgele bir yüzeyden bir nokta yükünün elektrik alanının toplam akışının, yardımcı kürenin yüzeyinden geçen Φ 0 akışına eşit olduğu sonucu çıkar:

Benzer şekilde gösterilebilir ki eğer kapalı bir yüzey S bir nokta ücretini kapsamaz q, sonra akış Φ = 0. Böyle bir durum Şekil 1'de gösterilmektedir. 1.3.2. Bir noktasal yükün elektrik alanının tüm kuvvet çizgileri kapalı bir yüzeye nüfuz eder. S vasıtasıyla. iç yüzey S hiçbir suçlama yoktur, bu nedenle bu bölgede kuvvet çizgileri kırılmaz ve kaynaklanmaz.

Gauss teoreminin keyfi bir yük dağılımı durumuna genelleştirilmesi, süperpozisyon ilkesinden kaynaklanmaktadır. Herhangi bir yük dağılımının alanı, nokta yüklerin elektrik alanlarının vektör toplamı olarak temsil edilebilir. Rasgele kapalı bir yüzey boyunca bir yük sisteminin akışı Φ S akışlardan oluşacaktır Φ i bireysel yüklerin elektrik alanları. eğer ücret q i yüzeyin içindeydi S, o zaman akışa bir katkı yapar, eğer bu yük yüzeyin dışındaysa, elektrik alanının akışa katkısı sıfıra eşit olacaktır.

Böylece Gauss teoremi ispatlanmış olur.

Herhangi bir sayıda ücret için

Son adım basittir. Süperpozisyon ilkesinin uygulanmasından oluşur.

Her nokta yük için, onun ürettiği alan (başka hiçbir yük olmadığında) yüzey boyunca Gauss teoremini karşılayan bir akı yaratırsa (yani, yüzey içindeki her yük için ve yüzey dışındaki her yük için 0) , sonra toplam alandan gelen akı

diğerlerinin yokluğunda her bir yükün yarattığı akışların toplamına eşittir, basitçe eşittir

toplamın yalnızca yüzey içindeki yüklerin üzerinde olduğu yerde (dışarıdakilerin her biri 0'a katkıda bulunur).

Teorem kanıtlanmıştır.

ELEKTRİKSEL ÖNLEME

Temel Formüller

 Elektrik alan şiddeti

E=F/Q,

nerede F bir nokta pozitif yüke etki eden kuvvettir Q alanda verilen noktaya yerleştirilir.

 Bir nokta yüküne etki eden kuvvet Q, bir elektrik alana yerleştirilmiş,

F=QE.

E Elektrik alanı:

a) keyfi bir yüzeyden S homojen olmayan bir alana yerleştirilmiş,

veya

,

 yoğunluk vektörü arasındaki açıdır E ve normal n bir yüzey elemanına; d S- yüzey elemanı alanı; E n- normal üzerinde gerilim vektörünün izdüşümü;

b) düzgün bir elektrik alanına yerleştirilmiş düz bir yüzeyden,

F E =ESçünkü.

 Gerilim vektör akışı E kapalı bir yüzeyden

,

entegrasyonun tüm yüzey üzerinde gerçekleştirildiği yer.

 Ostrogradsky-Gauss teoremi. Gerilim Vektör Akışı Eücretleri çevreleyen herhangi bir kapalı yüzey yoluyla Q ben , Q 2 , . . ., Q n ,

,

nerede - kapalı bir yüzeyin içine alınmış yüklerin cebirsel toplamı; P -ücretlerin sayısı.

 Noktasal bir yükün oluşturduğu elektrik alanın şiddeti Q mesafede r suçlamadan

.

Yarıçaplı bir metal kürenin yarattığı elektrik alanın gücü R, yük taşımak Q,mesafede r kürenin merkezinden:

a) kürenin içinde (r<.R)

b) bir kürenin yüzeyinde (r=R)

;

c) kürenin dışında (r>R)

.

 Elektrik alanlarının süperpozisyon (süperpozisyon) ilkesi, yoğunluğun buna göre E iki (veya daha fazla) nokta yükü tarafından oluşturulan sonuçtaki alanın büyüklüğü, eklenen alanların kuvvetlerinin vektör (geometrik) toplamına eşittir:

E=E 1 +E 2 +...+E n .

Kuvvetli iki elektrik alanı olması durumunda E 1 ve E 2 kuvvet vektörü modülü

 vektörler arasındaki açıdır E 1 ve E 2 .

 Belirli bir mesafede sonsuz uzunlukta, düzgün yüklü bir iplik (veya silindir) tarafından oluşturulan alanın yoğunluğu r kendi ekseninden

, burada  doğrusal yük yoğunluğudur.

Doğrusal yük yoğunluğu, diş boyunca dağıtılan yükün dişin (silindir) uzunluğuna oranına eşit bir değerdir:

 Sonsuz düzgün yüklü bir düzlemin oluşturduğu alanın yoğunluğu,

burada  yüzey yük yoğunluğudur.

Yüzey yük yoğunluğu, yüzey üzerine dağıtılan yükün bu yüzeyin alanına oranına eşit bir değerdir:

.

 Aynı yüzey yük yoğunluğu modülüne sahip, eşit ve zıt yüklü iki paralel, sonsuz düzlem tarafından oluşturulan alanın yoğunluğu (düz bir kapasitörün alanı)

.

Yukarıdaki formül, düz bir kapasitörün plakaları (orta kısmında) arasındaki alan şiddetini hesaplamak için, yalnızca plakalar arasındaki mesafenin kapasitör plakalarının doğrusal boyutlarından çok daha az olması durumunda geçerlidir.

 Elektriksel yer değiştirme D gerilim ile ilişkili E elektrik alan oranı

D= 0 E.

Bu ilişki sadece izotropik dielektrikler için geçerlidir.

 Elektrik yer değiştirme vektörünün akışı, elektrik alan şiddeti vektörünün akışına benzer şekilde ifade edilir:

a) Düzgün bir alan olması durumunda, düz bir yüzeyden geçen akış

;

b) homojen olmayan bir alan ve keyfi bir yüzey durumunda

,

nerede D n - vektör projeksiyonu D alanı d'ye eşit olan yüzey elemanının normal yönüne S.

 Ostrogradsky-Gauss teoremi. Yükleri çevreleyen herhangi bir kapalı yüzey boyunca elektrik yer değiştirme vektörü akısı Q 1 ,Q 2 , ...,Q n ,

,

nerede P- kapalı bir yüzeyin içine yerleştirilmiş yüklerin sayısı (kendi işaretiyle).

 Elektrik alan şiddeti vektörünün dolaşımı, kapalı bir döngü boyunca tek nokta pozitif yükü hareket ettirme işine sayısal olarak eşit bir değerdir. Dolaşım kapalı döngü integrali ile ifade edilir.

,nerede E ben - yoğunluk vektörünün E konturun belirli bir noktasındaki izdüşümü, aynı noktadaki kontura teğet yönünde.

Elektrostatik alan durumunda, yoğunluk vektörünün sirkülasyonu sıfırdır:

.

Problem çözme örnekleri

P

örnek 1. Elektrik alanı iki nokta yük tarafından oluşturulur: Q 1 =30nC ve Q 2 = –10 nC. Mesafe d yükler arasındaki mesafe 20 cm'dir Uzakta bulunan bir noktadaki elektrik alan şiddetini belirleyin r 1 = 15cm birinciden ve belli bir mesafeden r 2 = ikinci yüklerden 10 cm.

Çözüm. Elektrik alanlarının süperpozisyonu ilkesine göre, uzayda başka yüklerin varlığından bağımsız olarak her yük bir alan oluşturur. Bu nedenle gerilim E istenen noktadaki elektrik alanı, kuvvetlerin vektör toplamı olarak bulunabilir. E 1 ve E 2 her bir ücret tarafından ayrı ayrı oluşturulan alanlar: E=E 1 +E 2 .

Birinci ve ikinci yüklerin vakumda yarattığı elektrik alanının güçleri sırasıyla şuna eşittir:

(1)

Vektör E 1 (Şekil 14.1) şarjdan alan çizgisi boyunca yönlendirilir Q 1 , şarj olduğundan beri Q 1 >0;vektör E 2 ayrıca kuvvet çizgisi boyunca yönlendirilir, ancak yüke doğru Q 2 ,çünkü Q 2 <0.

vektör modülü E kosinüs kanunu ile bulun:

 açısı, kenarları olan bir üçgenden bulunabilir r 1 , r 2 ve d:

.

Bu durumda, hantal girişlerden kaçınmak için cos değerini ayrı ayrı hesaplarız.Bu formülü kullanarak buluruz.

İfadeleri Değiştirme E 1 ve E 2 ve formül (1) ile eşitlik (2) içine ve ortak faktör 1/(4) çıkarılarak 0 ) kök işareti için

.

 değerlerinin değiştirilmesi ,  0 , Q 1 , Q 2 , r 1 -,r 2 ve  son formülde ve hesaplamaları yaparken buluruz

Örnek 2 Elektrik alanı, yüzey yük yoğunlukları  olan iki paralel sonsuz yüklü düzlem tarafından oluşturulur. 1 \u003d 0,4 μC / m 2 ve 2 \u003d 0.1 μC / m2. Bu yüklü düzlemlerin oluşturduğu elektrik alanının gücünü belirleyin.

R

çözüm. Süperpozisyon ilkesine göre, her bir yüklü düzlem tarafından ayrı ayrı oluşturulan alanlar, başka bir yüklü düzlemin varlığından bağımsız olarak, her yüklü düzlem bir elektrik alanı yaratarak birbiri üzerine bindirilir (Şekil 14.2).

Birinci ve ikinci düzlemler tarafından oluşturulan homojen elektrik alanlarının güçleri sırasıyla şuna eşittir:

;

.

Uçaklar tüm uzayı üç bölgeye ayırır: I, II ve III. Şekilden de anlaşılacağı gibi, birinci ve üçüncü bölgelerde, her iki alanın elektrik kuvvet çizgileri aynı yöne yönlendirilir ve sonuç olarak toplam alanların kuvvetleri E (BEN) ve E(III) Birinci ve üçüncü bölgelerdeki birbirine ve birinci ve ikinci düzlemlerin oluşturduğu alan kuvvetlerinin toplamına eşittir: E (BEN) = E(III) = E 1 +E 2 , veya

E (BEN) = E (III) =

.

İkinci bölgede (düzlemler arasında), alanların elektrik kuvvet çizgileri zıt yönlere yönlendirilir ve dolayısıyla alan şiddeti E (II) birinci ve ikinci düzlemler tarafından oluşturulan alan güçlerindeki farka eşittir: E (II) =|E 1 -E 2 | , veya

.

Verileri değiştirerek ve hesaplamaları yaparak,

E (BEN) =E (III) =28,3 kV/m=17 kV/m.

Toplam alanın kuvvet çizgilerinin dağılımının resmi, Şek. 14.3.

Örnek 3. Düz bir hava kondansatörünün plakalarında bir şarj var Q=10nC. Meydan S kapasitörün her bir plakası 100 cm'ye eşittir 2 Kuvveti belirleyin F, hangi plakalar çekilir. Plakalar arasındaki alanın düzgün olduğu varsayılır.

Çözüm.Şarj Q bir plaka, kapasitörün diğer plakasının yükü tarafından oluşturulan alandadır. Bu nedenle, ilk yüke bir kuvvet etki eder (Şekil 14.4)

F=E 1 Q,(1)

nerede E 1 - bir plakanın yükünün yarattığı alanın gücü. Fakat

burada  plakanın yüzey yük yoğunluğudur.

Formül (1) için ifadeyi dikkate alarak E 1 formu alacak

F=Q 2 /(2 0 S).

Miktarların değerlerini değiştirme Q, 0 ve S bu formüle ve hesaplamaları yaparak,

F\u003d 565 μN.

Örnek 4 Elektrik alanı, yüzey yoğunluğu  ile yüklü sonsuz bir düzlem tarafından yaratılır. = 400 nC/m 2 ve lineer yoğunluk =100 nC/m ile yüklenmiş sonsuz düz iplik. Mesafede r\u003d İplikten 10 cm uzaklıkta bir nokta yükü var Q=10 nC. Yük ve iplik, yüklü düzleme paralel aynı düzlemde bulunuyorsa, yüke etki eden kuvveti, yönünü belirleyin.

Çözüm. Bir alana yerleştirilen bir yüke etki eden kuvvet

F=EQ, (1)

nerede E -Q.

Gerginliği tanımlayalım E problemin durumuna göre sonsuz yüklü bir düzlem ve sonsuz yüklü bir iplik tarafından yaratılan alan. Sonsuz yüklü bir düzlem tarafından oluşturulan alan tekdüzedir ve herhangi bir noktada yoğunluğu

. (2)

Sonsuz yüklü bir çizgi tarafından oluşturulan alan düzgün değildir. Yoğunluğu mesafeye bağlıdır ve formülle belirlenir.

. (3)

Elektrik alanlarının süperpozisyonu ilkesine göre, yükün bulunduğu noktadaki alan şiddeti Q, yoğunlukların vektör toplamına eşittir E 1 ve E 2 (Şekil 14.5): E=E 1 +E 2 .Çünkü vektörler E 1 ve E 2 karşılıklı olarak dik, o zaman

.

İfadeleri Değiştirme E 1 ve E 2 (2) ve (3) formüllerini bu eşitlikte elde ederiz

,

veya

.

Şimdi gücü bulalım F, ifadenin yerine geçen, yüke göre hareket eden E formül (1) içine:

. (4)

Miktarların değerlerini değiştirme Q, 0 ,,,ve r(4) formülüne ve hesaplamalar yaparak buluruz

F\u003d 289 μN.

Kuvvet yönü F, pozitif bir yük üzerinde hareket etmek Q, yoğunluk vektörünün yönü ile çakışır E alanlar. yön aynı vektör E yüklü düzleme  açısı ile verilir. Şek. 14.5 bunu takip eder

, nerede

.

 değerlerini yerine koyarak, r,vebu ifadede ve hesaplamada,

Örnek 5 nokta şarjı Q\u003d 25nC, yarıçaplı düz sonsuz bir silindir tarafından oluşturulan sıfırda R= 1 cm, yüzey yoğunluğu  = 2 μC / m2 ile eşit olarak yüklenmiştir. Silindirin ekseninden belirli bir uzaklıkta bulunan bir yüke etkiyen kuvveti belirleyiniz. r=10 cm.

Çözüm. Yüke etki eden kuvvet Q, sahada bulunan,

F=QE,(1)

nerede E - yükün bulunduğu noktadaki alan gücü Q.

Bilindiği gibi, sonsuz uzunlukta düzgün yüklü bir silindirin alan kuvveti

E=/(2 0 r), (2)

burada  lineer yük yoğunluğudur.

Lineer yoğunluğu  yüzey yoğunluğu  cinsinden ifade ederiz. Bunu yapmak için, uzunluğu olan bir silindir elemanı seçin ben ve üzerindeki ücreti ifade edin Q 1 iki yol:

Q 1 =  S= 2  Rl ve Q 1 = ben.

Bu eşitliklerin doğru kısımlarını eşitleyerek  elde ederiz. ben=2 Rl . kısalttıktan sonra ben bul=2 R . Bunu akılda tutarak formül (2) şu şekli alır: E=R /( 0 r). Bu ifadenin yerine E(1) formülüne, istenen kuvveti buluruz:

F=Q R/( 0 r).(3)

Çünkü R ve r formüle oran olarak dahil edilirlerse, herhangi biri ile ifade edilebilirler, ancak yalnızca aynı birimlerde ifade edilebilirler.

Formül (3)'ü kullanarak hesaplamalar yaptıktan sonra,

F\u003d 2510 -9 210 -6 10 -2 / (8.8510 -12 1010 -2)H==56510 -6 H=565μH.

Kuvvet yönü F gerilim vektörünün yönü ile çakışır E, ve ikincisi, simetri nedeniyle (silindir sonsuz uzunluktadır) silindire dik olarak yönlendirilir.

Örnek 6 Elektrik alanı, lineer yoğunluk =30 nC/m ile eşit olarak yüklenmiş, sonsuz uzunlukta ince bir iplik tarafından yaratılır. Mesafede a\u003d İplikten 20 cm yarıçaplı düz yuvarlak bir alan var r\u003d 1 cm Düzlemi, alanın ortasından geçen gerilim çizgisi ile  \u003d 30 ° açı yapıyorsa, gerilim vektörünün bu alandan akışını belirleyin.

Çözüm. Yüklü bir filament tarafından sonsuz olarak eşit olarak oluşturulan alan homojen değildir. Bu durumda yoğunluk vektörü akısı, integral ile ifade edilir.

, (1)

nerede E n - vektör projeksiyonu E Normal n sitenin yüzeyine dS. Entegrasyon, gerilim çizgileriyle delinmiş sitenin tüm yüzeyi üzerinde gerçekleştirilir.

P

projeksiyon E P gerilim vektörü, Şekil 1'den görülebileceği gibi eşittir. 14.6,

E P =Eçünkü ,

 vektörün yönü ile normal arasındaki açıdır. n. Bunu akılda tutarak, formül (1) şu şekli alır:

.

Alan yüzeyinin boyutları dişe olan mesafeye göre küçük olduğundan (r<Eçok az. site içinde mutlak değer ve yönde değişiklik gösterir, bu da integral işaretinin altındaki değerleri değiştirmenize olanak tanır E ve cos ortalama değerleri<E> ve ve onları integral işaretinden çıkarın:

Entegre ederek ve değiştirerek<E> ve yaklaşık değerleri E A ve çünkü  A , sitenin orta noktası için hesaplandığında, elde ederiz

F E =E Açünkü  A S= r 2 E Açünkü A . (2)

tansiyon E A formülle hesaplanır E A=/(2 0 a). İtibaren

pilav. 14.6 çünkü takip ediyor  A=cos(/2 -  )=sin.

ifade verildiğinde E A ve çünkü  A eşitlik (2.) şeklini alır

.

Verileri son formüle yerleştirip hesaplamaları yaparak buluyoruz.

F E=424 mV.m.

Örnek7 . Yarıçaplı iki eş merkezli iletken küre R 1 =6cm ve R 2 = 10 cm sırasıyla ücretleri taşır Q 1 \u003d lnKl ve Q 2 =–0.5 nC. Gerginliği bulun E mesafelerde kürelerin merkezinden ayrılan noktalarda alanlar r 1 =5cm, r 2 =9 cm r 3 =15cm. Grafiği Oluştur E(r).

R

çözüm. Elektrik alan şiddetini bulmak istediğiniz noktaların üç alanda bulunduğunu unutmayın (Şekil 14.7): alan I ( r<R 1 ), bölge II( R 1 <r 2 <R 2 ), bölge III ( r 3 >R 2 ).

1. Gerginliği belirlemek için E 1 I alanında küresel bir yüzey çizin S 1 yarıçap r 1 ve Ostrogradsky-Gauss teoremini kullanın. I bölgesinde hiçbir yük olmadığından, belirtilen teoreme göre eşitliği elde ederiz.

, (1)

nerede E n elektrik alan kuvvetinin normal bileşenidir.

Simetri nedeniyle, normal bileşen E n kürenin tüm noktaları için gerilimin kendisine eşit ve sabit olmalıdır, yani. tr=E 1 = const.Bu nedenle, integral işaretinden çıkarılabilir. Eşitlik (1) formunu alır

.

Bir kürenin alanı sıfır olmadığından, o zaman

E 1 =0,

yani, koşulu karşılayan tüm noktalarda alan gücü r 1 <.R 1 , sıfıra eşit olacaktır.

2. Bölge II'de yarıçaplı küresel bir yüzey çiziyoruz r 2 .Bu yüzeyin içinde bir yük olduğundan Q 1 , o zaman bunun için Ostrogradsky-Gauss teoremine göre eşitliği yazabiliriz

. (2)

Çünkü E n =E 2 = const, sonra simetri koşulları ima eder

, veya ES 2 =Q 1 / 0 ,

E 2 =Q 1 /( 0 S 2 ).

Burada kürenin alanı ifadesini değiştirerek elde ederiz.

E 2 =Q/(4

). (3)

3. Bölge III'te yarıçaplı küresel bir yüzey çiziyoruz r 3 . Bu yüzey toplam şarjı kapsar Q 1 +Q 2 . Bu nedenle, bunun için Ostrogradsky-Gauss teoremi temelinde yazılan denklem forma sahip olacaktır.

.

Dolayısıyla, ilk iki durumda uygulanan hükümleri kullanarak,

(3) ve (4) numaralı eşitliklerin doğru kısımlarının elektrik alan şiddeti birimini verdiğinden emin olalım;

Tüm miktarları SI birimlerinde ifade ederiz ( Q 1 \u003d 10 -9 C, Q 2 = –0.510 -9 C, r 1 =0.09m, r 2 =15m , l/(4 0 )=910 9 m/F) ve hesaplamaları yapın:

4. Bir grafik oluşturalım E(r).AT alan ben ( r 1 1 ) tansiyon E=0. Alan II'de (R 1 r<.R 2 ) tansiyon E 2 (r) yasaya göre değişir l/r 2 .Puan r=R 1 tansiyon E 2 (R 1 )=S 1 /(4 0 R )=2500 V/m noktasında r=R 1 (r eğilimi R 1 ayrıldı) E 2 (R 2 )=S 1 /(4 0 R )=900V/m. Alan III'te( r>R 2 )E 3 (r) yasaya göre değişir 1/ r 2 , ve noktada r=R 2 (r eğilimi R 2 sağda) E 3 (R 2 ) =(Q 1 –|Q 2 |)/(4 0 R )=450 V/m. Yani fonksiyon E(r) noktalarda r=R 1 ve r=R 2 bir mola yaşıyor. bağımlılık grafiği E(r) Şek. 14.8.

Görevler

Nokta yüklerin alan gücü

14.1. gerilimi tanımla E bir nokta yükü tarafından üretilen elektrik alanı Q=10 nC mesafede r\u003d ondan 10 cm. Dielektrik - yağ.

14.2. Mesafe d iki nokta yükü arasında Q 1 =+8 nC ve Q 2 \u003d -5.3 nC 40 cm'ye eşittir Yoğunluğu hesaplayın E yüklerin ortasında bir noktada alan. İkinci yük pozitif ise yoğunluk nedir?

14.3. Q 1 =10nC ve Q 2 = –20 nC, belli bir mesafede bulunur d=20cm aralık. gerilimi tanımla E tarafından ilk şarjdan uzak bir noktada alan r 1 =30cm ve saniyeden r 2 =50 cm.

14.4. Mesafe d iki nokta pozitif yük arasında Q 1 =9Q ve Q 2 \u003d Q 8 cm'dir İlk yükten hangi mesafede r yoğunluğun olduğu nokta Eşarj alanı sıfır mı? İkinci yük negatif olsaydı bu nokta nerede olurdu?

14.5. İki nokta ücretleri Q 1 =2Q ve Q 2 = –Q uzaktalar d birbirinden. Bu yüklerden geçen düz bir çizgi üzerindeki bir noktanın konumunu, yoğunluğunu bulun. E sıfıra eşit olan alanlar,

14.6. İki nokta yükün yarattığı elektrik alanı Q 1 =40nC ve Q 2 = –10 nC, belli bir mesafede bulunur d=10 cm aralıklı. gerilimi tanımla E tarafından ilk şarjdan uzak bir noktada alan r 1 \u003d 12 cm ve saniyeden r 2 =6 cm.

Halka ve küre üzerine dağılan yükün alan şiddeti

14.7. Yarıçaplı ince bir halka R\u003d 8 cm, doğrusal yoğunluk  \u003d 10 nC/m ile eşit olarak dağılmış bir yük taşır. gerginlik nedir E halkanın tüm noktalarından eşit uzaklıkta bir noktada elektrik alanı r\u003d 10 cm?

14.8. Yarım küre, yüzey yoğunluğu =1,nC/m 2 olan düzgün dağılmış bir yük taşır. Gerginliği bulun E yarım kürenin geometrik merkezindeki elektrik alanı.

14.9. Yarıçaplı metal bir küre üzerinde R\u003d 10 cm bir ücrettir Q\u003d lnKl. gerilimi tanımla E aşağıdaki noktalarda elektrik alanı: 1) belli bir mesafede r 1 = kürenin merkezinden 8 cm; 2) yüzeyinde; 3) uzaktan r 2 = kürenin merkezinden 15 cm. Plot bağımlılık grafiği E itibaren r.

14.10. Yarıçaplı iki eş merkezli metalik yüklü küre R 1 =6cm ve R 2 \u003d sırasıyla 10 cm taşıma ücreti Q 1 =1 nC ve Q 2 = – 0,5 nC. Gerginliği bulun E nokta alanları. mesafelerde kürelerin merkezinden aralıklı r 1 =5 cm, r 2 =9 cm, r 3 \u003d 15 cm Arsa bağımlılığı E(r).

Yüklü hat alan gücü

14.11. Çok uzun ince düz bir tel, tüm uzunluğu boyunca eşit olarak dağılmış bir yük taşır. Yoğunluk varsa, yükün doğrusal yoğunluğunu  hesaplayın E uzaktaki alanlar a\u003d Telden ortasına doğru 0,5 m, 200 V / m'dir.

14.12. Mesafe d birbirine paralel iki uzun ince tel arasındaki mesafe 16 cm'dir.Teller lineer yoğunlukta ||=^150 olan zıt yükler ile düzgün olarak yüklenmiştir. µC/m. gerginlik nedir E uzak bir noktada alanlar r\u003d hem birinci hem de ikinci telden 10 cm?

14.13. Düz metal çubuk çapı d=5cm ve uzun ben\u003d 4 m, yüzeyinde eşit olarak dağılmış bir yük taşır Q=500nC. gerilimi tanımla Eçubuğun ortasının karşısındaki bir noktada belli bir mesafedeki alan a=1 cm yüzeyinden.

14.14. Yarıçaplı sonsuz uzun ince duvarlı metal boru R\u003d 2 cm, yüzeye eşit olarak dağılmış bir yük taşır ( \u003d 1 nC / m 2). gerilimi tanımla E mesafelerde boru ekseninden ayrılan noktalarda alanlar r 1 = lcm, r 2 \u003d 3 cm Arsa bağımlılığı E(r).

14.15. Yarıçaplı iki uzun ince duvarlı koaksiyel boru R 1 =2cm ve R 2 \u003d 4 cm, doğrusal yoğunluklarla uzunluk boyunca eşit olarak dağılmış yükler taşır  1 \u003d ln C / m ve  2 = -0.5 nC/m. Tüpler arasındaki boşluk ebonit ile doldurulur. gerilimi tanımla E mesafelerde bulunan noktalardaki alanlar r 1 \u003d 1 cm, r 2 =3cm, r 3 \u003d tüplerin ekseninden 5 cm; Plot bağımlılık grafiği E itibaren r.