Bunun yardımıyla cevrimici hesap makinesi içinden geçen bir düzlemin denklemini bulun başına verilen nokta ve verilen düzleme paraleldir. Açıklamaları ile ayrıntılı bir çözüm verilmiştir. Uçağın denklemini bulmak için noktanın koordinatlarını ve düzlemin denkleminin katsayılarını hücrelere girin ve "Çöz" butonuna tıklayın.

×

Uyarı

Tüm hücreler temizlensin mi?

Kapat Temizle

Veri girişi talimatı. Sayılar tam sayılar (örnekler: 487, 5, -7623, vb.), ondalık sayılar (örn. 67., 102.54 vb.) veya kesirler olarak girilir. Kesir, a ve b (b>0) tamsayı veya ondalık sayılar olmak üzere a/b biçiminde yazılmalıdır. Örnekler 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, vb.

Belirli bir noktadan geçen ve belirli bir düzleme paralel olan bir düzlemin denklemi - teori, örnekler ve çözümler

Bir puan verilmesine izin ver M 0 (x 0 , y 0 , z 0) ve düzlem denklemi

Tüm paralel düzlemlerin eşdoğrusal normal vektörleri vardır. Bu nedenle (1) noktasından geçen paralel bir düzlem oluşturmak M 0 (x 0 , y 0 , z 0) istediğiniz düzlemin normal vektörü olarak almanız gerekir, normal vektör n=(A, B, C) düzlem (1). Sonra, böyle bir değer bulmanız gerekiyor D, hangi noktada M 0 (x 0 , y 0 , z 0) düzlem denklemini (1) sağladı:

ikame değeri D(3)'ten (1)'e, şunu elde ederiz:

Denklem (5), noktadan geçen bir düzlemin denklemidir. M 0 (x 0 , y 0 , z 0) ve düzleme (1) paralel.

Bir noktadan geçen düzlemin denklemini bulun M 0 (1, -6, 2) ve düzleme paralel:

Nokta koordinatlarını değiştirme M 0 ve (3)'teki normal vektörün koordinatlarını alırız.

ders 5

1. Bir noktadan geçen bir düzlem için bir denklem yazın M 0 (1, -2, 5) düzlem 7'ye paralel x-y-2z-1=0.

Çözüm. ile belirtmek R verilen uçak, izin ver R 0 noktasından geçen istenen paralel düzlemdir. M 0 (1, -2, 5).

Normal (dik) vektörü düşünün uçak R. Normal vektörün koordinatları,  düzleminin denklemindeki değişkenlerin katsayılarıdır.
.

çünkü uçaklar R ve R 0 paralel, sonra vektör düzleme dik R 0 , yani düzlemin normal vektörüdür R 0 .

Bir noktadan geçen bir düzlemin denklemi M 0 (x 0 , y 0 , z 0) normal
:

İkame nokta koordinatları M 0 ve normal vektörler (1) denklemine:

Parantezleri genişleterek, düzlemin genel denklemini elde ederiz (son cevap):

2. Bir noktadan geçen doğrunun kanonik ve parametrik denklemlerini oluşturun M 0 (-2, 3, 0) çizgiye paralel
.

Çözüm. ile belirtmek L verilen satır, izin ver L 0 noktasından geçen istenen paralel çizgidir. M 0 (-2,3,0).

Kılavuz vektör dümdüz L(bu doğruya sıfır olmayan bir vektör paralel) ayrıca doğruya paraleldir. L 0 . Bu nedenle, vektör çizginin yön vektörüdür L 0 .

Kılavuz vektör koordinatları verilen doğrunun kanonik denklemlerinde karşılık gelen paydalara eşittir

.

Uzayda bir noktadan geçen doğrunun kanonik denklemleri M 0 (x 0 , y 0 , z {ben, m, n}

. (2)

İkame nokta koordinatları M 0 ve yön vektörü (2) denklemine girin ve düz çizginin kanonik denklemlerini elde edin:

.

parametrik denklemler uzayda bir noktadan geçen doğru M 0 (x 0 , y 0 , z 0) sıfır olmayan bir vektöre paralel {ben, m, n), forma sahip olun:

(3)

İkame nokta koordinatları M 0 ve yön vektörü (3) denklemlerine dönüştürün ve düz çizginin parametrik denklemlerini elde edin:

3. Bir nokta bulun
, noktaya simetrik
, şuna göre: a) doğrudan
b) uçaklar

Çözüm. a) Dik düzlemin denklemini oluşturun P bir noktayı yansıtmak
bu satıra:

Bulmak
verilen düz çizginin ve çıkıntı yapan düzlemin diklik koşulunu kullanırız. Yön vektörü düz
düzleme dik  vektörü
normal vektör
düzleme  Verilen bir doğruya dik olan bir düzlemin denklemi şu şekildedir veya

projeksiyonu bulalım R puan M dümdüz. Nokta R doğrunun ve düzlemin kesişme noktasıdır, yani. koordinatları hem düz bir çizginin denklemlerini hem de bir düzlemin denklemini aynı anda sağlamalıdır. Sistemi çözelim:

.

Bunu çözmek için düz bir çizginin denklemini parametrik biçimde yazıyoruz:

ifadeleri yerine koyma
düzlem denkleminde şunu elde ederiz:

Buradan Bulunan koordinatları buluyoruz - bunlar ortadaki koordinatlardır. R bir noktayı birleştiren doğru parçası
ve ona simetrik bir nokta

AT okul kursu geometri, bir teorem formüle edildi.

Bir doğru parçasının orta noktaları, uçlarının karşılık gelen koordinatlarının toplamının yarısıdır.

Bir noktanın koordinatlarını bulma
segmentin ortasının koordinatları için formüllerden:

Alırız: Yani
.

Çözüm. b) Bir noktaya simetrik bir nokta bulmak için
bu düzleme göre P, noktadan dikeyi bırak
bu uçağa. Bir yön vektörü ile düz bir çizginin denklemini oluşturun
noktadan geçmek
:

Bir doğrunun ve bir düzlemin dikliği, doğrunun yön vektörünün düzleme dik olduğu anlamına gelir 
. Sonra noktayı yansıtan düz çizginin denklemi
belirli bir düzlemde, şu şekle sahiptir:

Denklemleri birlikte çözerek
ve
projeksiyonu bul R puan
uçağa. Bunu yapmak için, düz çizginin denklemlerini parametrik bir biçimde yeniden yazıyoruz:

Bu değerleri değiştir
düzlemin denklemine: a) maddesine benzer şekilde, segmentin ortasının koordinatları için formülleri kullanarak simetrik noktanın koordinatlarını buluruz
:

Şunlar.
.

4. a) düz bir çizgiden geçen bir düzlem için bir denklem yazın
vektöre paralel
; b) kesişen iki çizgi boyunca
ve
(önceden kesiştiklerini kanıtlayan); c) iki paralel çizgi boyunca
ve
; d) düz bir çizgi boyunca
ve nokta
.

Çözüm. a) Verilen doğru istenilen düzlemde olduğu ve istenilen düzlem vektöre paralel olduğu için , o zaman düzlemin normal vektörü, çizginin yönlendirici vektörüne dik olacaktır.
ve vektör .

Bu nedenle, düzlemin normal bir vektörü olarak, vektörlerin çapraz çarpımı seçilebilir. ve :

Uçağın normal vektörünün koordinatlarını alıyoruz
.

Çizgi üzerinde bir nokta bulalım. Düz çizginin kanonik denklemlerindeki oranları sıfıra eşitlemek:

,

bulmak
,
,
. Belirli bir doğru bir noktadan geçer
, bu nedenle, uçak aynı zamanda noktadan geçer
. Vektöre dik verilen bir noktadan geçen bir düzlemin denklemini kullanma , düzlemin denklemini elde ederiz , veya , veya nihayet,
.

Çözüm. b) Uzayda iki doğru kesişebilir, kesişebilir veya paralel olabilir. Verilen düz çizgiler

ve
(4)

yön vektörleri olduğu için paralel değildir
ve
doğrusal değil:
.

Çizgilerin kesişip kesişmediği nasıl kontrol edilir? 3 bilinmeyenli 4 denklemin (4) sistemini çözmek mümkündür. Sistemin benzersiz bir çözümü varsa, çizgilerin kesişme noktasının koordinatlarını alırız. Bununla birlikte, sorunumuzu çözmek için - her iki çizginin de uzandığı bir düzlem inşa etmek için kesişme noktalarına gerek yoktur. Bu nedenle, kesişme noktası bulunmadan uzayda paralel olmayan iki doğrunun kesişim koşulunu formüle etmek mümkündür.

Paralel olmayan iki doğru kesişirse, yön vektörleri
,
ve çizgiler üzerinde uzanan noktaları birleştirmek
ve
vektör aynı düzlemdedir, yani eş düzlemli  karışık ürün bu vektörlerin sıfırdır:

. (5)

Doğruların kanonik denklemlerindeki oranları sıfıra (veya 1'e veya herhangi bir sayıya) eşitleriz.

ve
,

ve doğrulardaki noktaların koordinatlarını bulun. İlk çizgi noktadan geçer
ve noktadan geçen ikinci düz çizgi
. Bu çizgilerin yön vektörleri sırasıyla eşittir
ve
. alırız

Eşitlik (5) sağlanır, bu nedenle verilen doğrular kesişir. Bu, bu iki çizgiden geçen tek bir düzlem olduğu anlamına gelir.

Sorunun ikinci kısmına geçelim - düzlemin denklemini çizelim.

Düzlemin normal bir vektörü olarak, yön vektörlerinin çapraz çarpımını seçebilirsiniz. ve :

Düzlem normal vektör koordinatları
.

direk olduğunu gördük
geçer
dolayısıyla istenilen düzlem de bu noktadan geçer. Düzlemin denklemini elde ederiz veya
veya nihayet,
.

c) Çizgilerden beri
ve
paraleldir, o zaman yön vektörlerinin vektör ürünü normal bir vektör olarak seçilemez, sıfır vektörüne eşit olacaktır.

Noktaların koordinatlarını belirleyin
ve
bu çizgilerin geçtiği yer. İzin vermek
ve
, sonra
,
. Vektörün koordinatlarını hesaplayalım. Vektör
istenen düzlemde yer alır ve vektörle doğrusal değildir , sonra normal vektörü olarak bir vektörün çapraz çarpımını seçebilirsiniz
ve ilk satırın yön vektörü
:

Yani,
.

Uçak düz bir çizgiden geçer
, bu yüzden noktadan geçer
. Düzlemin denklemini elde ederiz: , veya .

d) Doğrunun kanonik denklemlerindeki oranların sıfıra eşitlenmesi
, bulduk
,
,
. Bu nedenle, çizgi noktadan geçer
.

Vektörün koordinatlarını hesaplayalım. Vektör
normal vektörü olarak istenen düzleme aittir düz çizginin yönlendirici vektörünün vektör ürününü seçin
ve vektör
:

O zaman düzlem denklemi şu şekildedir: , veya .

Bu makale, verilen bir doğru ve belirli bir noktadan geçen bir düzlemin denklemini derleme problemini çözmek için gerekli bilgileri içermektedir. Bu sorunu çözdükten sonra Genel görünüm verilen bir doğru ve bir noktadan geçen bir düzlemin denklemini oluşturmak için ayrıntılı örnekler vereceğiz.

Sayfa gezintisi.

Verilen bir doğru ve verilen bir noktadan geçen bir düzlemin denklemini bulma.

Oxyz üç boyutlu uzayda sabitlensin, bir a doğrusu ve a doğrusu üzerinde yer almayan bir nokta verilsin. Kendimize bir görev belirleyelim: a doğrusu ve M3 noktasından geçen düzlemin denklemini elde etmek.

Önce denklemini yazmak istediğimiz tek bir düzlem olduğunu gösterelim.

İki aksiyomu hatırlayın:

• uzayın tek bir doğru üzerinde yer almayan üç farklı noktasından tek bir düzlem geçer;
• bir doğrunun iki farklı noktası belirli bir düzlemde bulunuyorsa, bu doğrunun tüm noktaları o düzlemdedir.

Bu ifadelerden, bir doğru ve üzerinde olmayan bir nokta boyunca bir düzlem çizilebileceği sonucu çıkar. Böylece, kurduğumuz problemde, a doğrusu ve M3 noktasından tek bir düzlem geçiyor ve bu düzlemin denklemini yazmamız gerekiyor.

Şimdi verilen a doğrusu ve noktasından geçen düzlemin denklemini bulmaya başlayalım.

a doğrusu üzerinde bulunan iki farklı M 1 ve M 2 noktasının koordinatları belirtilerek verilmişse, görevimiz verilen üç M 1 , M 2 ve M 3 noktasından geçen düzlemin denklemini bulmaktır.

Eğer a doğrusu farklı verilmişse, önce a doğrusu üzerinde bulunan M 1 ve M 2 noktalarının koordinatlarını bulmalı ve bundan sonra M 1, M 2 ve M 1 ve M 2 noktalarından geçen düzlemin denklemini yazmalıyız. A doğrusu ve M3 noktasından geçen düzlemin istenen denklemi olacak olan M3 .

Belirli bir a doğrusu üzerinde uzanan iki farklı M 1 ve M 2 noktasının koordinatlarını nasıl bulacağımızı bulalım.

Uzaydaki bir dikdörtgen koordinat sisteminde, herhangi bir düz çizgi, uzaydaki düz bir çizginin bazı denklemlerine karşılık gelir. Problem durumunda a doğrusunu belirleme yönteminin, form uzayında doğrunun parametrik denklemlerini elde etmemize izin verdiğini varsayıyoruz. . O zaman bir noktamız olduğunu varsayarsak , çizgide yatan a . Parametreye sıfır olmayan bir gerçek değer vererek, a çizgisinin parametrik denklemlerinden, yine a çizgisi üzerinde bulunan ve M1 noktasından farklı olan M2 noktasının koordinatlarını hesaplayabiliriz.

Bundan sonra sadece üç farklı noktadan geçen ve bir doğru üzerinde yatmayan düzlemin denklemini , şeklinde yazmamız yeterli olacaktır. .

Böylece, verilen bir a doğrusundan ve verilen bir M3 noktasından geçen ve a doğrusu üzerinde yer almayan bir düzlemin denklemini elde ettik.

Verilen bir noktadan ve bir doğrudan geçen bir düzlemin denklemini derleme örnekleri.

Belirli bir çizgiden ve belirli bir noktadan geçen bir düzlemin denklemini bulmak için düşünülen yöntemi analiz edeceğimiz birkaç örneğin çözümlerini gösterelim.

En basit durumla başlayalım.

Örnek.

Çözüm.

Örneğin, Ox koordinat çizgisi üzerinde iki farklı nokta alın ve .

Şimdi M 1, M 2 ve M 3 noktasından geçen bir düzlemin denklemini elde ederiz:

Bu denklem, verilen Ox doğrusundan geçen düzlemin istenen genel denklemidir ve .

Cevap:

.

Düzlemin verilen bir noktadan ve verilen bir doğrudan geçtiği biliniyorsa ve düzlemin denklemini parçalar halinde veya düzlemin normal denklemini yazmak istiyorsanız, önce genel denklemi elde etmelisiniz. verilen uçak, ve ondan gerekli formun düzleminin denklemine gidin.

Örnek.

Düz bir çizgiden geçen bir düzlem için normal denklemi yazın. ve nokta .

Çözüm.

İlk olarak, verilen bir düzlem için genel denklemi yazıyoruz. Bunu yapmak için, düz bir çizgi üzerinde uzanan iki farklı noktanın koordinatlarını buluyoruz. . Bu çizginin parametrik denklemleri şu şekildedir: . M 1 noktasının değere ve M 2 - noktasına karşılık gelmesine izin verin. M 1 ve M 2 noktalarının koordinatlarını hesaplıyoruz:

Şimdi bir noktadan geçen bir doğrunun genel denklemini yazabiliriz. ve doğrudan :

Elde edilen denklemin her iki bölümünü normalleştirme faktörü ile çarparak, düzlem denkleminin gerekli formunu elde etmek için kalır. .

Cevap:

.

Dolayısıyla, belirli bir noktadan ve belirli bir doğrudan geçen bir düzlemin denklemini bulmak, belirli bir doğru üzerinde bulunan iki farklı noktanın koordinatlarını bulmaya dayanır. Bu genellikle bu tür sorunları çözmedeki ana zorluktur. Sonuç olarak, kesişen iki düzlemin denklemleri ile belirlenen belirli bir noktadan geçen bir düzlemin denklemini derleme örneğinin çözümünü analiz edeceğiz.

Örnek.

Dikdörtgen bir koordinat sisteminde Oxyz bir nokta ve iki düzlemin kesişim çizgisi olan a çizgisi verilir. ve . a doğrusu ve M3 noktasından geçen düzlemin denklemini yazınız.

Uzayda aynı düz çizgi üzerinde yer almayan üç nokta tek bir düzlem tanımlar. Verilen üç noktadan geçen bir düzlem için bir denklem yazın M 1 (X 1 ; de 1 ; z 1), M 2 (X 2 ; de 2 ; z 2), M 3 (X 3 ; de 3 ; z 3). Uçakta keyfi bir nokta alın M(X; de; z) ve vektörleri oluştur = ( x - x 1 ; de– de 1 ; z-z 1), = (X 2 - X 1 ; de 2 – de 1 ; z 2 -z 1), = (X 3 - X 1 ; de 3 – de 1 ; z 3 -z bir). Bu vektörler aynı düzlemdedir, dolayısıyla eş düzlemlidirler. Üç vektörün (karışık çarpımları sıfıra eşittir) denklik koşulunu kullanarak, ∙ ∙ = 0, yani elde ederiz.

= 0. (3.5)

Denklem (3.5) denir verilen üç noktadan geçen bir düzlemin denklemi.

karşılıklı düzenleme uzayda uçaklar

düzlemler arasındaki açı

İki uçak verilsin

ANCAK 1 X + AT 1 de + İTİBAREN 1 z + D 1 = 0,

ANCAK 2 X + AT 2 de + İTİBAREN 2 z + D 2 = 0.

Başına düzlemler arasındaki açı onlara dik olan herhangi iki vektör arasındaki φ açısını alıyoruz (bu, birbirini π'ye kadar tamamlayan, dar ve geniş iki açı verir). Düzlemlerin normal vektörleri = ( ANCAK 1 , AT 1 , İTİBAREN 1) ve = ( ANCAK 2 , AT 2 , İTİBAREN 2) onlara dik, sonra

çünkü = .

İki düzlemin diklik durumu

İki düzlem dik ise, bu düzlemlerin normal vektörleri de diktir ve bunların skaler çarpımı sıfıra eşittir: ∙ = 0. Dolayısıyla, iki düzlemin dikliği için koşul şudur:

ANCAK 1 ANCAK 2 + AT 1 AT 2 + İTİBAREN 1 İTİBAREN 2 = 0.

İki düzlemin paralellik durumu

Düzlemler paralel ise, normal vektörleri de paralel olacaktır. O zaman normal vektörlerin benzer isimli koordinatları orantılıdır. Bu nedenle, paralel düzlemler için koşul

= = .

Noktadan uzaklıkM 0 (x 0 , y 0 , z 0) uçağa kadar ey + Wu + Сz + D = 0.

M noktasından uzaklık 0 (x 0 , y 0 , z 0) uçağa Ah + Wu + Сz + D= 0, bu noktadan düzleme çizilen dikmenin uzunluğudur ve formülle bulunur.

d= .

örnek 1 R(– 1, 2, 7) vektörü = (3, – 1, 2)'ye diktir.

Çözüm

(3.1) denklemine göre

3(x + 1) – (y - 2) + 2(z- 7) = 0,

3X – de + 2z – 9 = 0.

Örnek 2 Bir noktadan geçen bir düzlem için bir denklem yazın M(2; – 3; – 7) düzlem 2'ye paralel X – 6de – 3z + 5 = 0.

Çözüm

Vektör = (2; - 6; - 3) düzleme dik aynı zamanda paralel düzleme de diktir. Böylece istenilen düzlem noktadan geçer M(2; – 3; – 7) vektöre dik = (2; – 6; – 3). (3.1) formülü ile düzlemin denklemini bulalım:

2(X - 2) – 6(+ 3) – 3(z + 7) = 0,

2X – 6de – 3z – 43 = 0.

Örnek 3 Noktalardan geçen bir düzlemin denklemini bulun M 1 (2; 3; – 1) ve M 2 (1; 5; 3) düzlem 3'e dik X – de + 3z + 15 = 0.

Çözüm

Vektör = (3; - 1; 3) verilen düzleme dik, istenilen düzleme paralel olacaktır. Yani uçak noktalardan geçer M 1 ve M 2 vektöre paralel.

İzin vermek M(x; y; z) düzlemin keyfi bir noktası, ardından vektörler = ( X – 2; de – 3; z+ 1), = (– 1; 2; 4), = (3; – 1; 3) eş düzlemlidir, dolayısıyla bunların karışık çarpımı sıfıra eşittir:

= 0.

İlk satırın öğelerini genişleterek determinantı hesaplayın:

(X – 2) – (de – 3) + (z + 1) = 0,

10(X - 2) – (– 15)(y - 3) + (– 5)(z + 1) = 0,

2(X - 2) + 3(y - 3) – (z + 1) = 0,

2 kere + 3de – z– 14 = 0 – düzlem denklemi.

Örnek 4 2 düzlemlerine dik orijinden geçen bir düzlem için bir denklem yazın X – de + 5z+ 3 = 0 ve X + 3de – z – 7 = 0.

Çözüm

Gerekli düzlemin normal vektörü olsun. Koşul olarak, düzlem bu düzlemlere diktir, dolayısıyla ve , burada = (2; – 1; 5), = (1; 3; – 1). Yani bir vektör olarak vektörlerin çarpımını alabilirsiniz ve , yani = × .

= = – 14 + 7 + 7 .

Vektörün koordinatlarını orijinden geçen düzlemin denklemine koyma ey + Wu + Сz= 0, alırız

– 14X + 7de + 7z = 0,

2X – de – z = 0.

Kendi kendine muayene için sorular

1 Düzlemin genel denklemini yazın.

2 Nedir geometrik anlamda katsayılar X, y, z içinde genel denklem yüzeyleri?

3 noktasından geçen düzlemin denklemini yazınız. M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) vektöre dik = ( ANCAK; AT; İTİBAREN).

4 Düzlemin denklemini eksenler boyunca parçalar halinde yazın ve içerdiği parametrelerin geometrik anlamını belirtin.

5 Noktalardan geçen düzlemin denklemini yazın M 1 (X 1 ; de 1 ; z 1), M 2 (X 2 ; de 2 ; z 2), M 3 (X 3 ; de 3 ; z 3).

6 İki düzlem arasındaki açıyı bulmak için formülü yazın.

7 İki düzlemin paralellik koşullarını yazınız.

8 İki düzlemin diklik durumunu yazınız.

9 Bir noktadan bir düzleme olan uzaklığın hesaplandığı formülü yazın.

Bağımsız çözüm için görevler

1 Bir noktadan geçen bir düzlem için bir denklem yazın M(2; – 1; 1) vektöre dik = (1; – 2; 3). ( Cevap: X – 2de + 3z – 7 = 0)

2 Nokta R(1; - 2; - 2) orijinden düzleme çizilen dikmenin tabanıdır. Bu düzlem için bir denklem yazın. ( Cevap: X – 2de – 2z – 9 = 0)

3 iki puan verildi M 1 (2; – 1; 3) ve M 2 (– 1; 2; 4). Bir noktadan geçen bir düzlem için bir denklem yazın M 1 vektöre diktir. ( Cevap: 3X – 3de – z – 6 = 0)

4 Üç noktadan geçen bir düzlem için bir denklem yazın M 1 (3; – 1; 2), M 2 (4; – 1; – 1), M 3 (2; 0; 2). (Cevap: 3X + 3de + z – 8 = 0)

5 M 1 (3; – 1; 2) ve M 2 (2; 1; 3) vektörüne paralel = (3; - 1; 4). ( Cevap: 9X + 7de – 5z – 10 = 0)

6 Bir noktadan geçen bir düzlem için bir denklem yazın M 1 (2; 3; – 4) vektörlerine paralel = (3; 1; – 1) ve = (1; – 2; 1). ( Cevap: X + de + 7z + 14 = 0)

7 Bir noktadan geçen bir düzlem için bir denklem yazın M(1; – 1; 1) düzlem 2'ye dik X – de + z– 1 = 0 ve X + 2de – z + 1 = 0. (Cevap: X – 3de – 5z + 1 = 0)

8 Noktalardan geçen bir düzlem için bir denklem yazın M 1 (1; 0; 1) ve M 2 (1; 2; – 3) düzleme dik X – de + z – 1 = 0. (Cevap: X + 2de + z – 2 = 0)

9 4 düzlem arasındaki açıyı bulun X – 5de + 3z– 1 = 0 ve X – 4de – z + 9 = 0. (Cevap: φ = arccos0.7)

10 Noktadan uzaklığı bulun M(2; – 1; – 1) düzlem 16'ya kadar X – 12de + 15z – 4 = 0. (Cevap: d = 1)

11 Üç düzlemin kesişme noktasını bulun 5 X + 8de – z – 7 = 0, X + 2de + 3z – 1 = 0, 2X – 3de + 2z – 9 = 0. (Cevap: (3; – 1; 0))

12 Noktalardan geçen bir düzlem için bir denklem yazın M 1 (1; – 2; 6) ve M 2 (5; - 4; 2) ve eksenlerde eşit parçalar keser ey ve kuruluş birimi. (Cevap: 4X + 4de + z – 2 = 0)

13 Uçaklar arasındaki mesafeyi bulun X + 2de – 2z+ 2 = 0 ve 3 X + 6de – 6z – 4 = 0. (Cevap: d = )

Uzayda bir Q düzlemi düşünün, konumu tamamen bu düzleme dik bir N vektörü ve Q düzleminde yer alan sabit bir nokta belirlenerek belirlenir. Q düzlemine dik olan N vektörüne bu düzlemin normal vektörü denir. Normal N vektörünün izdüşümlerini A, B ve C ile gösterirsek, o zaman

Verilen noktadan geçen ve verilen normal vektöre sahip Q düzleminin denklemini türetelim. Bunu yapmak için, bir noktayı Q düzleminin keyfi bir noktasına bağlayan bir vektör düşünün (Şekil 81).

M noktasının Q düzlemindeki herhangi bir konumu için, MXM vektörü Q düzleminin N normal vektörüne diktir. Bu nedenle, skaler çarpım Skaler çarpımı izdüşümler cinsinden yazalım. , ve vektör , o zaman

ve dolayısıyla

Q düzleminin herhangi bir noktasının koordinatlarının (4) denklemini sağladığını gösterdik. Q düzleminde yer almayan noktaların koordinatlarının bu denklemi sağlamadığını görmek kolaydır (ikinci durumda, ). Böylece Q düzleminin gerekli denklemini elde etmiş olduk. Denklem (4) verilen noktadan geçen düzlemin denklemi olarak adlandırılır. Mevcut koordinatlara göre birinci derecedendir.

Böylece, herhangi bir düzlemin, mevcut koordinatlara göre birinci dereceden bir denkleme karşılık geldiğini gösterdik.

Örnek 1. Vektöre dik bir noktadan geçen bir düzlemin denklemini yazın.

Çözüm. Burada . Formül (4)'e dayanarak, şunu elde ederiz:

veya sadeleştirmeden sonra,

(4) numaralı denklemin A, B ve C katsayılarına farklı değerler vererek noktasından geçen herhangi bir düzlemin denklemini elde edebiliriz. Belirli bir noktadan geçen düzlemler kümesine bir grup düzlem denir. A, B ve C katsayılarının herhangi bir değer alabildiği Denklem (4), bir düzlem demetinin denklemi olarak adlandırılır.

Örnek 2. Üç noktadan geçen bir düzlem için bir denklem yazın (Şekil 82).

Çözüm. Bir noktadan geçen bir grup düzlem için denklemi yazalım.