Verilen noktadan düzleme olan mesafe. Bir nokta ile bir düzlem, bir çizgi ile bir düzlem arasındaki, düzlemler ile eğri çizgiler arasındaki mesafeyi belirleme. Bir noktadan düzleme olan mesafe

Paralellik ve diklik koşulları

1°. İki uçak için benzerlik koşulu

İki düzlem verilsin:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, n 1 = {A 1 ; B 1 ; C 1 } ≠ 0 ;(1)

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, n 2 = {A 2 ; B 2 ; C 2 } ≠ 0 .(2)

Ne zaman eş düzlemlidirler (yani paralel veya aynı)? Açıktır ki, bu ancak ve ancak onların normal vektörleri eşdoğrusal ise olacaktır. Uyumluluk kriterini uygulayarak elde ederiz.

Öneri 1.İki düzlem, ancak ve ancak normal vektörlerinin çapraz çarpımı sıfır vektörüne eşitse eş düzlemlidir:

[n 1 , n 2 ] = 0 .

2°. İki düzlemin çakışma durumu

Öneri 2. Düzlemler (1) ve (2), ancak ve ancak katsayılarının dördü de orantılıysa, yani öyle bir λ sayısı varsa çakışır.

A 2 = λ A 1 , B 2 = λ B 1 , C 2 = λ C 1 , D 2 = λ D 1 . (3)

Kanıt. Koşullar (3) sağlansın. Daha sonra ikinci düzlemin denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir:

λ A 1 x + λ B 1 y + λ C 1 z + λ D 1 = 0.

λ ≠ 0, aksi takdirde A 2 = B 2 = C 2 = D 2 = 0, bu koşulla çelişiyor n 2 ≠ 0 . Bu nedenle, son denklem denklem (1)'e eşdeğerdir, bu da iki düzlemin aynı olduğu anlamına gelir.

Şimdi, tam tersine, verilen düzlemlerin çakıştığı biliniyor. O zaman normal vektörleri eşdoğrusaldır, yani öyle bir λ sayısı vardır ki

A 2 = λ A 1 , B 2 = λ B 1 , C 2 = λ C 1 .

Denklem (2) şimdi şu şekilde yeniden yazılabilir:

λ A 1 x + λ B 1 y + λ C 1 z + D 2 = 0.

(1) denklemini λ ile çarparsak eşdeğer denklem birinci düzlem (çünkü λ ≠ 0):

λ A 1 x + λ B 1 y + λ C 1 z + λ D 1 = 0.

biraz puan al x 0 , y 0 , z 0) birinci (ve dolayısıyla ikinci) düzlemden ve koordinatlarını son iki denklemde yerine koyun; doğru eşitlikleri elde ederiz:

λ A 1 x 0 + λ B 1 y 0 + λ C 1 z 0 + D 2 = 0 ;

λ A 1 x 0 + λ B 1 y 0 + λ C 1 z 0 + λ D 1 = 0.

Yukarıdan alttan çıkarırsak, D 2 - λ D 1 = 0, yani D 2 = λ D 1, QED.

3°. İki düzlemin diklik durumu

Açıkçası, bunun için normal vektörlerin dik olması gerekli ve yeterlidir.

Öneri 3.İki düzlem diktir, ancak ve ancak normal vektörlerin nokta çarpımı sıfır ise:

(n 1 , n 2) = 0 .

düzlem denklemi verilsin

balta + İle + cz + D = 0, n = {A; B; C} ≠ 0 ,

ve nokta M 0 = (x 0 , y 0 , z 0). Bir noktadan bir düzleme olan uzaklık formülünü elde ederiz:

Keyfi bir nokta alın Q = (x 1 , y 1 , z 1) verilen düzlemde uzanmak. Koordinatları düzlem denklemini sağlar:

balta 1 + İle 1 + cz 1 + D = 0.

Şimdi, istenen mesafenin d vektör projeksiyonunun mutlak değerine eşittir vektörün yönüne n (burada projeksiyonu şu şekilde alıyoruz: Sayısal değer, bir vektör olarak değil). Ardından, projeksiyonu hesaplamak için formülü uygulayın:

Benzer bir formül mesafe için de geçerlidir. d noktadan M 0 = (x 0 , y 0) genel denklem tarafından verilen düz çizgiye düzlem balta + İle + C = 0.

BİR NOKTADA UÇAĞA UZAKLIĞI BULMAK İÇİN MATEMATİKTE BİRLEŞTİRİLMİŞ DURUM SINAVININ C2 GÖREVLERİ

Kulikova Anastasia Yurievna

5. sınıf öğrencisi, Matematik Bölümü. Analiz, Cebir ve Geometri EI KFU, Rusya Federasyonu, Tataristan Cumhuriyeti, Elabuga

Ganeeva Aigul Rifovna

bilimsel süpervizör, Ph.D. ped. Bilimler, Doçent, EI KFU, Rusya Federasyonu, Tataristan Cumhuriyeti, Elabuga

AT atamaları KULLAN matematikte son yıllar bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi hesaplamak için problemler var. Bu makalede, bir problem örneğini kullanarak, bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi bulmak için çeşitli yöntemler ele alınmaktadır. Çeşitli sorunları çözmek için en uygun yöntemi kullanabilirsiniz. Sorunu bir yöntemle çözdükten sonra, başka bir yöntem sonucun doğruluğunu kontrol edebilir.

Tanım. Bir noktadan, bu noktayı içermeyen bir düzleme olan uzaklık, bu noktadan verilen düzleme bırakılan dikin doğru parçasının uzunluğudur.

Bir görev. Dan küboid ANCAKBİTİBARENDA 1 B 1 C 1 D 1 kenarlı AB=2, M.Ö=4, AA 1=6. Bir noktadan uzaklığı bulun D uçağa kadar ACD 1 .

1 yol. kullanma tanım. r( D, ACD 1) bir noktadan D uçağa kadar ACD 1 (Şek. 1).

Şekil 1. Birinci yol

hadi harcayalım D.H.⊥AC, bu nedenle, teorem tarafından üç dik D 1 H⊥AC ve (DD 1 H)⊥AC. hadi harcayalım doğrudan DT dik D 1 H. Düz DT uçakta yatıyor DD 1 H, Sonuç olarak DT⊥AC. Sonuç olarak, DT⊥ACD 1.

ANCAKDC hipotenüsü bul AC ve yükseklik D.H.

Bir dik üçgenden D 1 D.H. hipotenüsü bul D 1 H ve yükseklik DT

Cevap: .

2 yol.Hacim yöntemi (yardımcı piramit kullanımı). Bu tür bir problem, piramidin yüksekliğinin bir noktadan bir düzleme istenen mesafe olduğu bir piramidin yüksekliğini hesaplama problemine indirgenebilir. Bu yüksekliğin istenen mesafe olduğunu kanıtlayın; bu piramidin hacmini iki şekilde bulunuz ve bu yüksekliği ifade ediniz.

Dikkat edin Bu method belirli bir noktadan belirli bir düzleme dik oluşturmaya gerek yoktur.

Küboid, tüm yüzleri dikdörtgen olan bir küboiddir.

AB=CD=2, M.Ö=AD=4, AA 1 =6.

İstenilen mesafe yükseklik olacaktır h piramitler AKD 1 D, yukarıdan düştü D yerde AKD 1 (Şek. 2).

Piramidin hacmini hesaplayın AKD 1 D iki yol.

Hesaplarken, ilk olarak, ∆'yi temel alırız. AKD 1 , o zaman

Hesaplarken, ikinci şekilde, ∆'yi temel alırız. AKD, sonra

Son iki eşitliğin sağ tarafını eşitlersek,

Şekil 2. İkinci yol

Sağ üçgenlerden ACD, EKLE 1 , CDD 1 Pisagor teoremini kullanarak hipotenüsleri bulun

AKD

Bir üçgenin alanını hesaplayın ACD 1 Heron formülünü kullanarak

Cevap: .

3 yol. koordinat yöntemi.

Bir puan verilmesine izin ver M(x 0 ,y 0 ,z 0) ve düzlem α , denklem tarafından verilen balta+ile+cz+d=0 dikdörtgen Kartezyen koordinatlarda. Noktadan uzaklık M düzleme α aşağıdaki formülle hesaplanabilir:

Bir koordinat sistemini tanıtalım (Şekil 3). noktada orijin AT;

Düz AB- eksen X, dümdüz Güneş- eksen y, dümdüz BB 1 - eksen z.

Şekil 3. Üçüncü yol

B(0,0,0), ANCAK(2,0,0), İTİBAREN(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).

İzin vermek ax+ile+ cz+ d=0 – düzlem denklemi AKD bir . İçine noktaların koordinatlarını koyarak A, C, D 1 elde ederiz:

düzlem denklemi AKD 1 formu alacak

Cevap: .

4 yol. vektör yöntemi.

Temeli tanıtıyoruz (Şekil 4) , .

Şekil 4. Dördüncü yol

Bu makale, bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi belirlemekten bahsediyor. üç boyutlu uzayda belirli bir noktadan uzaklığı bulmamızı sağlayacak koordinat yöntemini analiz edelim. Birleştirmek için birkaç görevin örneklerini düşünün.

Bir noktadan bir düzleme olan mesafe, bir noktadan bir noktaya olan bilinen bir mesafe vasıtasıyla bulunur; burada bunlardan biri verilir ve diğeri belirli bir düzleme izdüşümdür.

Uzayda χ düzlemli bir M1 noktası verildiğinde, bu noktadan düzleme dik bir doğru çizilebilir. H 1, kesişme noktalarının ortak noktasıdır. Buradan, M 1 H 1 doğru parçasının, M 1 noktasından χ düzlemine çizilen bir dik olduğunu elde ederiz, burada H 1 noktası dikin tabanıdır.

tanım 1

Belirli bir noktadan belirli bir düzleme çizilen dikeyin tabanına belirli bir noktadan olan mesafeye denir.

Tanım farklı formülasyonlarda yazılabilir.

tanım 2

Noktadan düzleme uzaklık Belirli bir noktadan belirli bir düzleme çizilen dikeyin uzunluğu olarak adlandırılır.

M1 noktasından χ düzlemine olan mesafe şu şekilde tanımlanır: M1 noktasından χ düzlemine olan mesafe, verilen bir noktadan düzlemdeki herhangi bir noktaya kadar olan en küçük olacaktır. H 2 noktası χ düzleminde bulunuyorsa ve H 2 noktasına eşit değilse, M 2 H 1 H 2 biçiminde bir dik üçgen elde ederiz. , bir ayağın olduğu dikdörtgen olan M 2 H 1, M 2 H 2 - hipotenüs. Dolayısıyla, bu M 1 H 1 anlamına gelir< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 M1 noktasından χ düzlemine çizilen eğimli kabul edilir. Belirli bir noktadan bir düzleme çizilen dikin, bir noktadan belirli bir düzleme çizilen eğik olandan daha küçük olduğunu biliyoruz. Bu durumu aşağıdaki şekilde düşünün.

Bir noktadan düzleme olan mesafe - teori, örnekler, çözümler

Çözümleri bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi içermesi gereken bir dizi geometrik problem vardır. Bunu tespit etmenin yolları farklı olabilir. Çözmek için Pisagor teoremini veya üçgenlerin benzerliğini kullanın. Koşullara göre, üç boyutlu uzayın dikdörtgen bir koordinat sisteminde verilen bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi hesaplamak gerektiğinde, koordinat yöntemini kullanarak çözerler. Bu paragraf bu yöntemle ilgilidir.

Problemin durumuna göre, χ düzlemi ile M 1 (x 1, y 1, z 1) koordinatlarına sahip üç boyutlu uzayda bir nokta var, M 1'den uzaklığı belirlemek gerekiyor uçak χ. Çözmek için çeşitli çözümler kullanılır.

İlk yol

Bu yöntem, M1 noktasından χ düzlemine dikin tabanı olan H1 noktasının koordinatlarını kullanarak bir noktanın bir düzleme olan uzaklığını bulmaya dayanır. Ardından, M 1 ve H 1 arasındaki mesafeyi hesaplamanız gerekir.

Problemi ikinci şekilde çözmek için verilen bir düzlemin normal denklemi kullanılır.

İkinci yol

Koşul olarak, H 1'in M 1 noktasından χ düzlemine indirilen dikeyin tabanı olduğuna sahibiz. Sonra H 1 noktasının koordinatlarını (x 2, y 2, z 2) belirliyoruz. M 1'den χ düzlemine istenen mesafe, M 1 H 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 formülüyle bulunur, burada M 1 (x 1, y 1 , z 1) ve H1 (x 2 , y 2 , z 2) . Çözmek için H 1 noktasının koordinatlarını bilmeniz gerekir.

H 1, χ düzleminin, χ düzlemine dik olan M1 noktasından geçen a çizgisiyle kesişme noktasıdır. Bundan, belirli bir noktadan belirli bir düzleme dik geçen düz bir çizginin denklemini formüle etmenin gerekli olduğu sonucu çıkar. O zaman H1 noktasının koordinatlarını belirleyebiliriz. Doğrunun ve düzlemin kesişme noktasının koordinatlarını hesaplamak gerekir.

M 1 (x 1, y 1, z 1) koordinatlarına sahip bir noktadan χ düzlemine olan mesafeyi bulmak için algoritma:

tanım 3

M 1 noktasından geçen ve aynı anda a düz çizgisinin denklemini oluşturun
χ düzlemine dik;
noktalar olan H 1 noktasının koordinatlarını (x 2, y 2, z 2) bulun ve hesaplayın
a çizgisinin χ düzlemi ile kesişimi;
M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2 formülünü kullanarak M 1 ile χ arasındaki mesafeyi hesaplayın.

Üçüncü yol

Verilen bir O x y z dikdörtgen koordinat sisteminde bir χ düzlemi vardır, o zaman cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p = 0 biçimindeki düzlemin normal bir denklemini elde ederiz. Buradan, M 1 (x 1 , y 1 , z 1) noktası ile M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos formülüyle hesaplanan χ düzlemine çizilen M 1 H 1 mesafesini elde ederiz. y z-p. Bu formül, teorem sayesinde kurulduğu için geçerlidir.

teorem

Üç boyutlu uzayda bir M 1 (x 1 , y 1 , z 1) noktası verilirse, cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 biçimindeki χ düzleminin normal denklemine sahip olur, daha sonra noktadan M 1 H 1 düzlemine olan mesafeyi hesaplamak, M 1 H 1 = cos α · x + cos β · y + cos γ · z - p formülünden türetilir, çünkü x = x 1 , y = y 1 , z = z1 .

Kanıt

Teoremin ispatı, bir noktadan bir çizgiye olan mesafeyi bulmaya indirgenir. Buradan, M1'den χ düzlemine olan mesafenin, M1 yarıçap vektörünün sayısal izdüşümü ile orijinden χ düzlemine olan mesafe arasındaki farkın modülü olduğunu elde ederiz. Sonra M 1 H 1 = n p n → O M → - p ifadesini elde ederiz. χ düzleminin normal vektörü n → = cos α , cos β , cos γ şeklindedir ve uzunluğu bire eşittir, n p n → O M → O M → = (x 1 , y 1 vektörünün sayısal izdüşümüdür) , z 1) vektörü tarafından belirlenen yönde n → .

Skaler vektörleri hesaplamak için formülü uygulayalım. Sonra n → , O M → = n → n p n → O M → = 1 n p n → O M → = n p n → O M → biçiminde bir vektör bulmak için bir ifade elde ederiz, çünkü n → = cos α , cos β , cos γ z ve O M → = (x 1 , y 1 , z 1) . Notasyonun koordinat formu n →, O M → = cos α x 1 + cos β y 1 + cos γ z 1, ardından M 1 H 1 = n p n → O M → - p = cos α x 1 + cos şeklinde olacaktır. β · y 1 + cos γ · z 1 - p . Teorem kanıtlanmıştır.

Buradan, M 1 (x 1, y 1, z 1) noktasından χ düzlemine olan mesafenin, düzlemin normal denkleminin sol tarafına ikame edilerek hesaplandığını elde ederiz. cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 yerine x, y, z koordinatları x 1 , y 1 ve z1 M1 noktası ile ilgili olarak, elde edilen değerin mutlak değeri alınır.

Koordinatları olan bir noktadan belirli bir düzleme olan mesafeyi bulma örneklerini düşünün.

örnek 1

M 1 (5 , - 3 , 10) koordinatlarına sahip noktadan 2 x - y + 5 z - 3 = 0 düzlemine olan mesafeyi hesaplayın.

Çözüm

Problemi iki şekilde çözelim.

İlk yöntem, a çizgisinin yön vektörünü hesaplayarak başlayacaktır. Koşul olarak, verilen 2 x - y + 5 z - 3 = 0 denkleminin bir genel düzlem denklemi olduğunu ve n → = (2 , - 1 , 5) verilen düzlemin normal vektörü olduğunu elde ederiz. Verilen düzleme dik olan düz çizgi a için yönlendirici bir vektör olarak kullanılır. Yazılmalı kanonik denklem 2 , - 1 , 5 koordinatlarına sahip bir yön vektörü ile M 1 (5 , - 3 , 10) içinden geçen uzayda düz bir çizgi.

Denklem x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 gibi görünecektir.

Kavşak noktaları tanımlanmalıdır. Bunu yapmak için, kanonikten kesişen iki çizginin denklemlerine geçiş için denklemleri yavaşça bir sistemde birleştirin. Bu noktayı H 1 olarak alalım. anladık

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 (x - 5) = 2 (y + 3) 5 (x - 5) = 2 (z - 10) 5 ( y + 3) = - 1 (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

O zaman sistemi etkinleştirmeniz gerekir

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Sistemi Gauss'a göre çözme kuralına dönelim:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0 , y = - 1 10 10 + 2 z = - 1 , x = - 1 - 2 y = 1

H 1 (1, - 1, 0) elde ederiz.

Belirli bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi hesaplıyoruz. M 1 (5, - 3, 10) ve H 1 (1, - 1, 0) noktalarını alıyoruz ve

M 1 H 1 \u003d (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 \u003d 2 30

İkinci çözüm, önce verilen 2 x - y + 5 z - 3 = 0 denklemini normal forma getirmektir. Normalleştirme faktörünü belirliyoruz ve 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30 elde ediyoruz. Buradan 2 30 · x - 1 30 · y + 5 30 · z - 3 30 = 0 düzleminin denklemini elde ederiz. Denklemin sol tarafı, x \u003d 5, y \u003d - 3, z \u003d 10 değiştirilerek hesaplanır ve M 1 (5, - 3, 10) ile 2 x - y + arasındaki mesafeyi almanız gerekir. 5 z - 3 = 0 modül. Şu ifadeyi alıyoruz:

M 1 H 1 \u003d 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 \u003d 60 30 \u003d 2 30

Cevap: 2 30 .

χ düzlemi, düzlemi belirtmek için kesit yöntemlerinin yöntemlerinden biri tarafından belirtildiğinde, önce χ düzleminin denklemini elde etmeniz ve herhangi bir yöntemi kullanarak gerekli mesafeyi hesaplamanız gerekir.

Örnek 2

M 1 (5 , - 3 , 10) , A (0 , 2 , 1) , B (2 , 6 , 1) , C (4 , 0 , - 1) koordinatlarına sahip noktalar üç boyutlu uzayda ayarlanır. M 1 ile A B C düzlemi arasındaki mesafeyi hesaplayın.

Çözüm

Öncelikle verilen üç noktadan geçen düzlemin denklemini M 1 (5, - 3, 10) , A (0 , 2 , 1) , B (2 , 6 , 1) , C ( 4 , 0 , - bir) .

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ x y - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8x + 4y - 20z + 12 = 0 ⇔ 2x - y + 5z - 3 = 0

Bu, sorunun öncekine benzer bir çözümü olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla, M1 noktasından A B C düzlemine olan uzaklık 2 30'dur.

Cevap: 2 30 .

Bir düzlemdeki belirli bir noktadan veya paralel oldukları bir düzleme olan mesafeyi bulmak, M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 - p formülünü uygulayarak daha uygundur. . Buradan, düzlemlerin normal denklemlerinin birkaç adımda elde edildiğini anlıyoruz.

Örnek 3

M 1 (- 3 , 2 , - 7) koordinatlarına sahip belirli bir noktadan O x y z koordinat düzlemine ve düzleme olan uzaklığı bulun, denklem tarafından verilen 2y - 5 = 0 .

Çözüm

O y z koordinat düzlemi, x = 0 biçimindeki bir denkleme karşılık gelir. O y z düzlemi için normaldir. Bu nedenle, x \u003d - 3 değerlerini ifadenin sol tarafına yerleştirmek ve M 1 (- 3, 2, - 7) koordinatlarına sahip noktadan düzleme olan uzaklığın mutlak değerini almak gerekir. . - 3 = 3'e eşit bir değer elde ederiz.

Dönüşümden sonra, 2 y - 5 = 0 düzleminin normal denklemi y - 5 2 = 0 şeklini alacaktır. Daha sonra M 1 (- 3 , 2 , - 7) koordinatlarına sahip noktadan 2 y - 5 = 0 düzlemine olan gerekli mesafeyi bulabilirsiniz. Değiştirerek ve hesaplayarak 2 - 5 2 = 5 2 - 2 elde ederiz.

Cevap: M 1 (-3 , 2 , - 7) ile O y z arasındaki istenen mesafe 3 , 2 y - 5 = 0 için 5 2 - 2 değeri vardır .

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Uzaydaki düzlem 3x-4y+2z+5=0 denklemi ile verilir, ondan M(3;-2;6) noktasına olan uzaklığı bulun.
Verilen:
$$ x_0 = 3, \dörtlü y_0 = -2, \dörtlü z_0 = 6 $$

$$ A = 3, \dört B = -4, \dört C = 2, \dört D = 5 $$
Çözüm:
Problemi çözmek için, bir noktadan bir düzleme olan, bu noktadan düzleme bırakılan dikmenin uzunluğuna eşit olan mesafeyi bulmak için formülü kullanırız:

$$ p = (| A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D|) \over \sqrt((A^2 + B^2 + C^2)) $$

burada A, B, C, D, düzlem denkleminin katsayılarıdır ve x0, y0, z0 nokta koordinatlarıdır.

Bir ikame yapalım:

$$ \frac(|3 \cdot 3 + (-4) \cdot (-2)+2 \cdot 6 + 5 |)( \sqrt((3^2 + (-4)^2 + 2^2) ) ) = \frac(|9+8+12+5|)(\sqrt((9+16+4))) =6.314$$ (doğrusal birimler)
Cevap:
Kenarı 1 cm olan bir ABCDA1B1C1D1 küpü verildiğinde A1 noktasından B, D ve C1 noktaları tarafından tanımlanan düzleme olan mesafeyi hesaplayın.
Çözüm:
Problemi çözmek için koordinat yöntemini uyguluyoruz. Koordinat sisteminin orijini A noktasında bulunur. x ekseni AD kenarıyla, y ekseni AB kenarıyla, z ekseni AA1 kenarıyla uyumludur.

Daha sonra A1 (0;0;1) noktası, B (0; 1; 0), D (1; 0; 0), C1(1; 1; 1) noktalarının koordinatları. Noktaların her birinin koordinatlarını A·x+B·y+C·z+D=0 düzlemi için genel denkleme koyarak, katsayılarını ve denklemini bulduğumuz çözerek üç denklemlik bir sistem elde ederiz. düzlem x+y-z-1=0.

$$ p = \frac( |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| )( \sqrt((A^2 + B^2 + C^2)) ) $$, ikame :

$$ p = \frac( |1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1 - 1| )( \sqrt((1+1+1)) ) = 1.155 cm$$
Cevap:
$$ R = 1.155 cm $$
M (2; 4; -7) noktasının XOY düzlemine olan mesafesini bulun.
Çözüm:
XOY düzlem denklemi özel durum, denklemi z=0'dır. Formülü uygulayalım:

$$ p = \frac( | A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| )( (A^2 + B^2 + C^2) ) $$ , burada A=0, B =0, С=1, D=0, x0=2, y0=4, z0=-7.

Bir ikame yapalım:

$$ p = \frac( |0 \cdot 2 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot (-7)) + 0| )( \sqrt((0^2 + 0^2 + 1^2)) ) = 7$$
Cevap:
Düzlem, A1 (0;2;1), B1(2;6;1), C1(4;0;-1) dikdörtgen sisteminde koordinatları olan üç noktadan oluşan bir çerçeve tarafından belirlenir. M (5; -3; 10) koordinatlarına sahip bir noktanın ondan ne kadar uzakta olduğunu belirleyin.
Çözüm:
Bir noktadan bir düzleme olan mesafeyi belirlemek için formülü kullanırız.

$$ p= \frac( |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| )( sqrt( (A^2 + B^2 + C^2) ) ) $$

Bunu kullanmak için, A1, B1 ve C1 noktaları tarafından tanımlanan düzlemin denklemini türetmek gerekir. Genel form bu denklemin A·x+B·y+C·z+D=0. Düzlemin denklemini türetme yöntemlerinden birini (koordinat noktaları veya determinantı olan bir denklem sistemi) kullanarak, düzlemin denklemini buluruz, $$2x-y+5z-3=0$$ elde ederiz.

Denklemin elde edilen katsayılarını ve noktanın koordinatlarını formülde değiştiririz:

$$ p = \frac( |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| )( \sqrt( (A^2 + B^2 + C^2) ) ) = \frac( | 2 \cdot 5 - (-3) + 5 \cdot 10 - 3|)( \sqrt( (2^2 + (-1)^2 + 5^2) ) ) = $10.95
Cevap:
4x-6y-4z+7=0 düzleminden O koordinat sisteminin orijine olan uzaklığı bulun.
Verilen:
$$ x_0 = 0, \quad y_0 = 0, \quad z_0 = 0 $$

$$ A = 4, \dört B = -6, \dört C = -4, \dört D = 7 $$
Çözüm:
O(0;0;0) koordinat sisteminin orijin koordinatları. Formülü kullanalım:

$$ p= \frac( |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| )( sqrt( (A^2 + B^2 + C^2) ) ) $$ Uçak için $$4 x-6y-4z+7=0$$,

$$ A=4, $$
$$ B=-6, $$
$$ C=-4, $$
$$ D=7. $$

Değerleri değiştirin:

$$ p = \frac( |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| )( \sqrt( (A^2 + B^2 + C^2) ) ) = \frac( | 4 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 7|)( \sqrt( (4^2 + (-6)^2 + (-4)^2) ) ) = 0.85 $$
Cevap:

Bir uçak olsun . Normalini çizelim
orijinden O. Let
normalin oluşturduğu açılardır koordinat eksenleri ile.
. İzin vermek normal segmentin uzunluğu
uçağı geçmeden önce. Normalin yön kosinüslerinin bilindiğini varsayarsak , düzlemin denklemini türetiyoruz .

İzin vermek
) düzlemin keyfi bir noktasıdır. Birim normal vektörün koordinatları vardır. Vektörün izdüşümünü bulalım
Normal.

noktadan beri M o zaman uçağa ait

Bu, verilen bir düzlem için denklemdir. normal .

Noktadan düzleme uzaklık

Uçak verilsin ,M*
- uzayda bir nokta d uçaktan uzaklığıdır.

Tanım. sapma puan M* uçaktan sayı denir ( + d), eğer M* normal noktaların pozitif yönünün bulunduğu düzlemin diğer tarafında yer alır. , ve sayı (- d) nokta uçağın diğer tarafında bulunuyorsa:

teorem. Uçağa izin ver birim normal normal denklem tarafından verilen:

İzin vermek M*
– uzayın noktası Sapma t. M* düzlemden ifadesi ile verilir

Kanıt. projeksiyon
* normali belirtmek Q. Nokta Sapması M* uçaktan

Kural. Bulmak sapma t. M* düzlemden, düzlemin normal denkleminde t koordinatlarını değiştirmeniz gerekir. M* . Bir noktadan bir düzleme olan uzaklık, .

Düzlemin genel denkleminin normal forma indirgenmesi

Aynı düzlem iki denklemle verilsin:

Genel Denklem,

normal denklem.

Her iki denklem de aynı düzlemi tanımladığından katsayıları orantılıdır:

İlk üç eşitliğin karesini alırız ve şunu ekleriz:

Buradan buluyoruz normalleştirici faktör:

. (10)

Düzlemin genel denklemini normalleştirme faktörü ile çarparak düzlemin normal denklemini elde ederiz:

"Uçak" konusundaki görev örnekleri.

örnek 1 Düzlemin denklemini oluşturun Belirli bir noktadan geçen
(2,1,-1) ve düzleme paralel.

Çözüm. normalden uçağa :
. Düzlemler paralel olduğu için normal ayrıca istenen düzlemin normalidir . Belirli bir noktadan (3) geçen bir düzlemin denklemini kullanarak, düzlem için elde ederiz. denklem:

Cevap:

Örnek 2 Orijinden düzleme düşen dikeyin tabanı , bir nokta
. Düzlemin denklemini bulun .

Çözüm. Vektör
uçak için normal . Nokta M 0 uçağa aittir. Belirli bir noktadan geçen bir düzlemin denklemini kullanabilirsiniz (3):

Cevap:

Örnek 3 Uçak Yap noktalardan geçmek

ve düzleme dik :.

Bu nedenle, bir nokta için M (x, y, z) uçağa ait , üç vektörün olması gerekir
eş düzlemli idi:

=0.

Determinantı açmak ve ortaya çıkan ifadeyi genel denklem (1) formuna getirmek için kalır.

Örnek 4 Uçak genel denklem tarafından verilen:

Nokta sapmasını bulun
belirli bir uçaktan

Çözüm. Düzlemin denklemini normal forma getiriyoruz.

Ortaya çıkan normal denklemde noktanın koordinatlarını değiştirin M*.

Cevap:
.

Örnek 5 Segmentin düzlemle kesişip kesişmediği.

Çözüm. Kesmek AB düzlemi geçti, sapmalar ve uçaktan farklı işaretlere sahip olmalıdır:

Örnek 6Üç düzlemin bir noktada kesişimi.

sistem vardır tek karar bu nedenle, üç düzlemin bir ortak noktası vardır.

Örnek 7 Verilen iki düzlemin oluşturduğu bir dihedral açının açıortaylarını bulma.

İzin vermek ve - bir noktanın sapması
birinci ve ikinci uçaklardan.

Bisektör düzlemlerinden birinde (koordinatların kökeninin bulunduğu açıya karşılık gelir), bu sapmalar büyüklük ve işaret bakımından eşittir ve diğerinde büyüklük olarak eşittir ve işaret olarak zıttır.

Bu, birinci bisektörel düzlemin denklemidir.

Bu, ikinci bisektörel düzlemin denklemidir.

Örnek 8İki Veri Noktasının Konumunu Bulma ve bu düzlemler tarafından oluşturulan dihedral açılara göre.