rasgele değerler

Örnek 2.1. rastgele değer X dağıtım fonksiyonu tarafından verilen

Test sonucunda çıkma olasılığını bulunuz. X(2.5; 3.6) arasında değerler alacaktır.

Çözüm: X(2.5; 3.6) aralığında iki şekilde belirlenebilir:

Örnek 2.2. Parametrelerin hangi değerlerinde ANCAK ve AT işlev F(x) = A + Ol - x rastgele bir değişkenin negatif olmayan değerleri için bir dağılım işlevi olabilir X.

Çözüm: Rastgele değişkenin tüm olası değerleri X aralığına aittir, o zaman fonksiyonun bir dağılım fonksiyonu olması için X, mülk şunları içermelidir:

.

Cevap: .

Örnek 2.3. Rastgele değişken X, dağıtım işlevi tarafından verilir

Dört bağımsız denemenin sonucunda, değerin olma olasılığını bulun. X tam olarak 3 kez (0.25; 0.75) aralığına ait bir değer alacaktır.

Çözüm: Bir değere ulaşma olasılığı X(0.25; 0.75) aralığında aşağıdaki formülle buluruz:

Örnek 2.4. Bir atışta topun sepete çarpma olasılığı 0,3'tür. Üç atışta isabet sayısının dağılım yasasını çizin.

Çözüm: rastgele değer X- üç atışla sepetteki vuruş sayısı - 0, 1, 2, 3 değerlerini alabilir. X

X:

Örnek 2.5.İki atıcı hedefe bir atış yapar. İlk atıcı tarafından vurma olasılığı 0,5, ikincisi - 0,4. Hedefteki isabet sayısının dağılım yasasını yazın.

Çözüm: Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasasını bulun X- hedefteki isabet sayısı. Olay birinci atıcı tarafından hedefe isabet etsin ve - ikinci atıcı tarafından vurulsun ve - sırasıyla onların ıskalamasına.

SV'nin olasılık dağılımı yasasını oluşturalım X:

Örnek 2.6. 3 eleman birbirinden bağımsız olarak test edilir. Süre (saat olarak) çalışma süresi elemanların dağılım yoğunluğu fonksiyonları vardır: ilk olarak: F 1 (t) =1-e- 0,1 t, Ikinci için: F 2 (t) = 1-e- 0,2 t, üçüncüsü için: F 3 (t) =1-e- 0,3 t. 0 ile 5 saat arasındaki zaman aralığında sadece bir elemanın başarısız olma olasılığını bulun; yalnızca iki öğe başarısız olur; üç öğe de başarısız olur.

Çözüm: Olasılıkları üreten fonksiyonun tanımını kullanalım:

Bir olayın meydana gelme olasılığının ilkinde bağımsız denemelerde bulunma olasılığı ANCAK eşittir , ikinci, vb. olay ANCAK tam olarak bir kez göründüğünde, üreten fonksiyonun 'nin kuvvetlerinin genişlemesindeki at katsayısına eşittir. 0 ile 5 saat arasındaki zaman aralığında birinci, ikinci ve üçüncü elemanın sırasıyla arıza ve arıza olmama olasılıklarını bulalım:

Bir üreten fonksiyon oluşturalım:

katsayısı, olayın olma olasılığına eşittir. ANCAK tam olarak üç kez görünecek, yani her üç öğenin de başarısız olma olasılığı; katsayısı, tam olarak iki elemanın başarısız olma olasılığına eşittir; katsayısı, yalnızca bir elemanın başarısız olma olasılığına eşittir.

Örnek 2.7. Verilen bir olasılık yoğunluğu f(x) rastgele değişken X:

F(x) dağılım fonksiyonunu bulun.

Çözüm: Formülü kullanıyoruz:

.

Böylece, dağıtım fonksiyonu şu şekildedir:

Örnek 2.8. Cihaz, birbirinden bağımsız çalışan üç elemandan oluşur. Bir deneyde her bir elemanın başarısız olma olasılığı 0,1'dir. Bir deneyde başarısız olan öğelerin sayısının dağılım yasasını derleyin.

Çözüm: rastgele değer X- bir deneyde başarısız olan eleman sayısı - şu değerleri alabilir: 0, 1, 2, 3. Olasılıklar X bu değerleri alırsak, Bernoulli formülüyle buluruz:

Böylece, rastgele bir değişkenin olasılık dağılımının aşağıdaki yasasını elde ederiz. X:

Örnek 2.9. 6 parçanın çoğunda 4 standart parça vardır. 3 madde rastgele seçilmiştir. Seçilenler arasında standart parça sayısının dağılım yasasını hazırlayın.

Çözüm: rastgele değer X- seçilenler arasından standart parça sayısı - 1, 2, 3 değerlerini alabilir ve hipergeometrik bir dağılıma sahiptir. Olasılıklar X

nerede -- partideki parça sayısı;

-- partideki standart parça sayısı;

– seçilen parça sayısı;

-- seçilenler arasından standart parçaların sayısı.

.

.

.

Örnek 2.10. Rastgele değişken bir dağılım yoğunluğuna sahiptir

nerede ve bilinmemektedir, ancak , a ve . Bul ve .

Çözüm: Bu durumda rastgele değer X[ aralığında üçgensel bir dağılıma (Simpson dağılımı) sahiptir. bir, b]. sayısal özellikler X:

Sonuç olarak, . karar vermek bu sistem, iki çift değer elde ederiz: . Çünkü, sorunun durumuna göre, sonunda elimizde: .

Cevap: .

Örnek 2.11. Ortalama olarak, sözleşmelerin %10'u için sigorta şirketi, sigortalı bir olayın meydana gelmesiyle bağlantılı olarak sigortalı tutarları öder. Hesaplamak beklenen değer ve rastgele seçilen dört sözleşme arasında bu tür sözleşmelerin sayısındaki varyans.

Çözüm: Matematiksel beklenti ve varyans aşağıdaki formüller kullanılarak bulunabilir:

.

SV'nin olası değerleri (sigortalı bir olayın meydana geldiği sözleşme sayısı (dört üzerinden): 0, 1, 2, 3, 4.

Bernoulli formülünü, sigortalı meblağların ödendiği farklı sayıda sözleşmenin (dört üzerinden) olasılıklarını hesaplamak için kullanıyoruz:

.

CV'nin dağıtım serisi (sigortalı bir olayın meydana geldiği sözleşmelerin sayısı) şu şekildedir:

	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Cevap: , .

Örnek 2.12. Beş gülden ikisi beyazdır. Aynı anda alınan iki gül arasındaki beyaz güllerin sayısını ifade eden rastgele bir değişken için bir dağılım kanunu yazın.

Çözüm:İki gül örneğinde beyaz gül olmayabilir veya bir veya iki beyaz gül olabilir. Bu nedenle, rastgele değişken X 0, 1, 2 değerleri alabilir. X bu değerleri alırsak, şu formülle buluruz:

nerede -- gül sayısı;

-- beyaz gül sayısı;

– aynı anda alınan güllerin sayısı;

-- alınanlar arasında beyaz güllerin sayısı.

.

.

.

O zaman rastgele bir değişkenin dağılım yasası aşağıdaki gibi olacaktır:

Örnek 2.13. Birleştirilmiş 15 üniteden 6'sının ek yağlamaya ihtiyacı vardır. Toplam sayıdan rasgele seçilen beş birim arasından ek yağlamaya ihtiyaç duyan birimlerin sayısının dağılım yasasını çıkarın.

Çözüm: rastgele değer X- seçilen beş ünite arasından ek yağlamaya ihtiyaç duyan ünite sayısı - 0, 1, 2, 3, 4, 5 değerlerini alabilir ve hipergeometrik bir dağılıma sahiptir. Olasılıklar X bu değerleri alırsak, şu formülle buluruz:

nerede -- monte edilen birimlerin sayısı;

-- ek yağlama gerektiren ünite sayısı;

– seçilen agregaların sayısı;

-- seçilenler arasında ek yağlamaya ihtiyaç duyan ünite sayısı.

.

.

.

.

.

.

O zaman rastgele bir değişkenin dağılım yasası aşağıdaki gibi olacaktır:

Örnek 2.14. Onarım için alınan 10 saatten 7'sinin mekanizmanın genel temizliğine ihtiyacı var. Saatler onarım türüne göre sıralanmaz. Temizlenmesi gereken bir saat bulmak isteyen usta, onları tek tek inceler ve böyle bir saat bulduktan sonra daha fazla izlemeyi bırakır. İzlenen saat sayısının matematiksel beklentisini ve varyansını bulun.

Çözüm: rastgele değer X- seçilen beş ünite arasından ek yağlamaya ihtiyaç duyan ünite sayısı - aşağıdaki değerleri alabilir: 1, 2, 3, 4. Olasılıklar X bu değerleri alırsak, şu formülle buluruz:

.

.

.

.

O zaman rastgele bir değişkenin dağılım yasası aşağıdaki gibi olacaktır:

şimdi hesaplayalım sayısal özellikler değerler:

Cevap: , .

Örnek 2.15. Abone, ihtiyacı olan telefon numarasının son hanesini unutmuştur ancak bunun tek olduğunu hatırlar. Son rakamı rastgele çevirirse ve gelecekte çevrilen rakamı çevirmezse, istenen numaraya ulaşmadan önce yaptığı arama sayısının matematiksel beklentisini ve varyansını bulun.

Çözüm: Rastgele değişken değerler alabilir: . Abone gelecekte aranan numarayı çevirmediği için bu değerlerin olasılıkları eşittir.

Rastgele bir değişkenin dağılım serisini oluşturalım:

	0,2

Çevirme girişimi sayısının matematiksel beklentisini ve varyansını hesaplayalım:

Cevap: , .

Örnek 2.16. Serinin her bir cihazı için güvenilirlik testleri sırasında arıza olasılığı şuna eşittir: p. Test edildiyse başarısız olan cihaz sayısının matematiksel beklentisini belirleyin N aletler.

Çözüm: Ayrık rasgele değişken X, arızalı cihazların sayısıdır. N her birinde başarısızlık olasılığının eşit olduğu bağımsız testler p, binom yasasına göre dağıtılır. Binom dağılımının matematiksel beklentisi, deneme sayısı ile bir denemede bir olayın meydana gelme olasılığının çarpımına eşittir:

Örnek 2.17. Ayrık rassal değişken X 3 olası değer alır: olasılıkla; olasılıklı ve olasılıklı. M( X) = 8.

Çözüm: Matematiksel beklenti tanımlarını ve ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasasını kullanıyoruz:

Bulduk: .

Örnek 2.18. Teknik kontrol departmanı, ürünlerin standart olup olmadığını kontrol eder. Maddenin standart olma olasılığı 0.9'dur. Her parti 5 ürün içerir. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini bulun X- 50 parti doğrulamaya tabi ise, her biri tam olarak 4 standart ürün içeren parti sayısı.

Çözüm: Bu durumda, yapılan tüm deneyler bağımsızdır ve her partinin tam olarak 4 standart ürün içerme olasılığı aynıdır, bu nedenle matematiksel beklenti aşağıdaki formülle belirlenebilir:

,

parti sayısı nerede;

Bir partinin tam olarak 4 standart öğe içerme olasılığı.

Bernoulli formülünü kullanarak olasılığı buluyoruz:

Cevap: .

Örnek 2.19. Rastgele bir değişkenin varyansını bulun X- olayın meydana gelme sayısı A iki bağımsız denemede, bu denemelerde bir olayın meydana gelme olasılıkları aynı ise ve biliniyorsa, M(X) = 0,9.

Çözüm: Problem iki şekilde çözülebilir.

1) Olası CB değerleri X: 0, 1, 2. Bernoulli formülünü kullanarak bu olayların olasılıklarını belirleriz:

, , .

Daha sonra dağıtım yasası Xşuna benziyor:

Matematiksel beklenti tanımından, olasılığı belirleriz:

SW'nin varyansını bulalım X:

.

2) Formülü kullanabilirsiniz:

.

Cevap: .

Örnek 2.20. Normal dağılım gösteren bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi ve standart sapması X sırasıyla 20 ve 5'tir.Test sonucunda X(15; 25) aralığındaki değeri alacaktır.

Çözüm: Normal bir rastgele değişkene çarpma olasılığı X bölümünden - Laplace fonksiyonu cinsinden ifade edilir:

Örnek 2.21. Verilen bir fonksiyon:

parametrenin hangi değerinde C bu fonksiyon, bazı sürekli rastgele değişkenlerin dağılım yoğunluğudur. X? Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini ve varyansını bulun X.

Çözüm: Bir fonksiyonun bazı rasgele değişkenlerin dağılım yoğunluğu olması için, negatif olmaması ve şu özelliği sağlaması gerekir:

.

Sonuç olarak:

Aşağıdaki formülü kullanarak matematiksel beklentiyi hesaplayın:

.

Aşağıdaki formülü kullanarak varyansı hesaplayın:

T p. Bu rastgele değişkenin matematiksel beklentisini ve varyansını bulmak gerekir.

Çözüm: Ayrık bir rastgele değişken X'in dağılım yasası - her birinde bir olayın meydana gelme olasılığı olan bağımsız denemelerde bir olayın meydana gelme sayısı binom olarak adlandırılır. Binom dağılımının matematiksel beklentisi, deneme sayısı ile bir denemede A olayının meydana gelme olasılığının çarpımına eşittir:

.

Örnek 2.25. Hedefe üç bağımsız atış yapılır. Her atışta isabet olasılığı 0.25'tir. Üç atışla isabet sayısının standart sapmasını belirleyin.

Çözüm:Üç bağımsız deneme yapıldığından ve her denemede A olayının (isabet) meydana gelme olasılığı aynı olduğundan, ayrık rastgele değişken X'in - hedefteki isabet sayısı - binom değerine göre dağıtıldığını varsayacağız. yasa.

Binom dağılımının varyansı, deneme sayısı ile bir denemede bir olayın meydana gelme ve olmama olasılıklarının çarpımına eşittir:

Örnek 2.26. 10 dakikada sigorta şirketini ziyaret eden ortalama müşteri sayısı üçtür. Önümüzdeki 5 dakika içinde en az bir müşterinin gelme olasılığını bulun.

5 dakikada gelen ortalama müşteri sayısı: . .

Örnek 2.29.İşlemci kuyruğundaki bir uygulamanın bekleme süresi, ortalama değeri 20 saniye olan bir üstel dağılım yasasına uyar. Bir sonraki (keyfi) isteğin işlemciyi 35 saniyeden fazla bekleme olasılığını bulun.

Çözüm: Bu örnekte, beklenti , ve başarısızlık oranı .

O zaman istenen olasılık:

Örnek 2.30. 15 kişilik bir grup, her birinde 20 sıra 10'ar koltuk bulunan bir salonda toplantı yapıyor. Her öğrenci rastgele bir şekilde salonda yer alır. Yedinci sırada en fazla üç kişinin olmaması olasılığı nedir?

Çözüm:

Örnek 2.31.

O halde olasılığın klasik tanımına göre:

nerede -- partideki parça sayısı;

-- partideki standart olmayan parça sayısı;

– seçilen parça sayısı;

-- seçilenler arasında standart olmayan parçaların sayısı.

O zaman rastgele değişkenin dağılım yasası aşağıdaki gibi olacaktır.

Bilindiği gibi, rastgele değişken duruma göre belirli değerler alabilen değişken denir. Rastgele değişkenler, Latin alfabesinin (X, Y, Z) büyük harfleriyle gösterilir ve değerleri, karşılık gelen küçük harflerle (x, y, z) gösterilir. Rastgele değişkenler süreksiz (ayrık) ve sürekli olarak ikiye ayrılır.

Ayrık rassal değişken belirli sıfır olmayan olasılıklarla yalnızca sonlu veya sonsuz (sayılabilir) bir değerler kümesi alan rastgele değişken olarak adlandırılır.

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası rastgele bir değişkenin değerlerini karşılık gelen olasılıklarıyla birleştiren bir fonksiyondur. Dağıtım yasası aşağıdaki yollardan biriyle belirlenebilir.

1 . Dağıtım yasası tablo ile verilebilir:

burada λ>0, k = 0, 1, 2, … .

içinde) kullanarak dağıtım fonksiyonu F(x) her x değeri için, X rastgele değişkeninin x'ten küçük bir değer alma olasılığını belirleyen, yani. F(x) = P(X< x).

F(x) fonksiyonunun özellikleri

3 . Dağıtım yasası grafiksel olarak ayarlanabilir – dağıtım poligonu (poligon) (bkz. problem 3).

Bazı sorunları çözmek için dağıtım yasasını bilmenin gerekli olmadığını unutmayın. Bazı durumlarda dağıtım kanununun en önemli özelliklerini yansıtan bir veya birden fazla sayıyı bilmek yeterlidir. Rastgele bir değişkenin "ortalama değeri" anlamına gelen bir sayı veya bir rastgele değişkenin ortalama değerinden sapmasının ortalama boyutunu gösteren bir sayı olabilir. Bu tür sayılara rastgele bir değişkenin sayısal özellikleri denir.

Ayrık bir rastgele değişkenin temel sayısal özellikleri :

• matematiksel beklenti (ortalama değer) ayrık bir rastgele değişkenin M(X)=Σ x ben p ben.
  Binom dağılımı için M(X)=np, Poisson dağılımı için M(X)=λ
• Dağılım Ayrık rassal değişken D(X)=M2 veya D(X) = M(X 2) − 2. X–M(X) farkına rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinden sapması denir.
  Binom dağılımı için D(X)=npq, Poisson dağılımı için D(X)=λ
• Standart sapma (standart sapma) σ(X)=√D(X).

"Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası" konusundaki problem çözme örnekleri

Görev 1.

1000 piyango bileti verildi: 5 tanesi 500 ruble, 10 - 100 ruble, 20 - 50 ruble, 50 - 10 ruble kazanıyor. Rastgele değişken X'in olasılık dağılımı yasasını belirleyin - bilet başına kazanç.

Çözüm. Sorunun durumuna göre, X rastgele değişkeninin aşağıdaki değerleri mümkündür: 0, 10, 50, 100 ve 500.

Kazanmayan bilet sayısı 1000 - (5+10+20+50) = 915, sonra P(X=0) = 915/1000 = 0.915.

Benzer şekilde, diğer tüm olasılıkları buluruz: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01 , P(X) =500) = 5/1000=0,005. Ortaya çıkan yasayı bir tablo şeklinde sunuyoruz:

X'in matematiksel beklentisini bulun: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5

Görev 3.

Cihaz, birbirinden bağımsız çalışan üç elemandan oluşur. Bir deneyde her bir elemanın başarısız olma olasılığı 0,1'dir. Bir deneyde başarısız olan öğelerin sayısı için bir dağıtım yasası hazırlayın, bir dağıtım poligonu oluşturun. F(x) dağılım fonksiyonunu bulun ve çizin. Kesikli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini, varyansını ve standart sapmasını bulun.

Çözüm. 1. Kesikli rasgele değişken X=(bir deneydeki başarısız eleman sayısı) aşağıdaki olası değerlere sahiptir: x 1 =0 (cihazın hiçbir elemanı arızalı), x 2 =1 (bir eleman arızalı), x 3 =2 ( iki öğe başarısız oldu ) ve x 4 \u003d 3 (üç öğe başarısız oldu).

Elemanların arızaları birbirinden bağımsızdır, her elemanın arızalanma olasılıkları birbirine eşittir, bu nedenle uygulanabilir. Bernoulli'nin formülü . n=3, p=0,1, q=1-p=0,9 koşuluna göre, değerlerin olasılıklarını belirleriz:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0.9 3 \u003d 0.729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0.1 * 0.9 2 \u003d 0.243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0.1 2 * 0.9 \u003d 0.027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0.1 3 \u003d 0.001;
Kontrol edin: ∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1.

Böylece, istenen binom dağılım yasası X şu şekildedir:

Apsis ekseninde, olası değerleri x i ve ordinat ekseninde karşılık gelen olasılıkları р i çiziyoruz. M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001) noktalarını oluşturalım. Bu noktaları doğru parçalarıyla birleştirerek istenen dağıtım poligonunu elde ederiz.

3. F(x) = P(X) dağıtım fonksiyonunu bulun

x ≤ 0 için F(x) = P(X'e sahibiz<0) = 0;
0 için< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1 için< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2 için< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x > 3 için F(x) = 1 olacaktır, çünkü olay kesindir.

F(x) fonksiyonunun grafiği

4. X binom dağılımı için:
- matematiksel beklenti М(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- dağılım D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- standart sapma σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52.

1. Egzersiz. Sürekli bir rasgele değişken X'in dağılım yoğunluğu şu şekildedir:
Bulmak:
a) parametre A ;
b) dağıtım fonksiyonu F(x) ;
c) aralıkta rastgele bir X değişkenine çarpma olasılığı;
d) matematiksel beklenti MX ve varyans DX .
f(x) ve F(x) fonksiyonlarını çizin.

Görev 2. İntegral fonksiyonu tarafından verilen rasgele değişken X'in varyansını bulun.

Görev 3. Bir dağılım fonksiyonu verilen bir rasgele değişken X'in matematiksel beklentisini bulun.

Görev 4. Bazı rastgele değişkenlerin olasılık yoğunluğu şu şekilde verilir: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
A katsayısı , dağılım fonksiyonu F(x) , matematiksel beklenti ve varyansın yanı sıra rastgele bir değişkenin aralıkta bir değer alma olasılığını bulun. f(x) ve F(x) grafiklerini çizin.

Bir görev. Bazı sürekli rasgele değişkenlerin dağılım fonksiyonu şu şekilde verilir:

a ve b parametrelerini belirleyin, f(x) olasılık yoğunluğu, matematiksel beklenti ve varyansın yanı sıra rastgele değişkenin aralıkta bir değer alma olasılığının ifadesini bulun. f(x) ve F(x) grafiklerini çizin.

Dağılım fonksiyonunun bir türevi olarak dağılım yoğunluğu fonksiyonunu bulalım.
F'=f(x)=a
a parametresini bulacağımızı bilerek:

veya 3a=1, buradan a = 1/3
b parametresini aşağıdaki özelliklerden buluruz:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 olduğundan b = -1/3
Bu nedenle, dağılım fonksiyonu şudur: F(x) = (x-1)/3

Beklenen değer.


Dağılım.

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Rastgele bir değişkenin aralıkta bir değer alma olasılığını bulun
P(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3

Örnek 1. Sürekli bir rasgele değişken X'in olasılık dağılım yoğunluğu f(x) verilir. Gerekli:

1. A katsayısını belirleyin.
2. F(x) dağıtım fonksiyonunu bulun.
3. F(x) ve f(x)'i şematik olarak çizin.
4. X'in matematiksel beklentisini ve varyansını bulun.
5. X'in (2;3) aralığından bir değer alma olasılığını bulun.

f(x) = A*sqrt(x), 1 ≤ x ≤ 4.
Çözüm:

Rastgele değişken X, dağılım yoğunluğu f(x) tarafından verilir:

A parametresini şu koşuldan bulun:



veya
14/3*A-1=0
Neresi,
A = 3 / 14

Dağılım işlevi formülle bulunabilir.

………………………………………………………

An - rastgele bir değişken X, An değerini almıştır.

Açıkçası, A1 A2 olaylarının toplamı, . , An belirli bir olaydır, çünkü rastgele değişken mutlaka x1, x2, xn değerlerinden en az birini alır.

Bu nedenle, P (A1 È A2 È . È An) = 1.

Ek olarak, A1, A2, ., An olayları uyumsuzdur, çünkü tek bir deneydeki rastgele bir değişken x1, x2, ., xn değerlerinden yalnızca birini alabilir. Uyumsuz olaylar için toplama teoremi ile elde ederiz

P(A1)+P(A2)+ .+P(An)=1,

yani p1+p2+ . +pn = 1 veya kısaca,

Bu nedenle, X rastgele değişkeninin dağılım yasasını veren Tablo 1'in ikinci satırında yer alan tüm sayıların toplamı bire eşit olmalıdır.

ÖRNEK 1. Rastgele değişken X, bir zar atıldığında atılan puanların sayısı olsun. Dağıtım yasasını bulun (bir tablo şeklinde).

Rastgele değişken X değerleri alır

x1=1, x2=2, … , x6=6

olasılıklarla

p1= p2 = … = p6 =

Dağıtım yasası tablo tarafından verilmektedir:

Tablo 2

ÖRNEK 2. Binom dağılımı. Rastgele bir X değişkeni düşünün - her birinde A'nın p olasılığı ile gerçekleştiği bir dizi bağımsız deneyde A olayının oluşum sayısı.

Rastgele değişken X açıkça aşağıdaki değerlerden birini alabilir:

0, 1, 2, ., k, ., n.

Rastgele değişken X'in k'ye eşit bir değer alacağı gerçeğinden oluşan bir olayın olasılığı, Bernoulli formülü ile belirlenir:

Рn(k)= burada q=1- р.

Böyle bir rastgele değişken dağılımına binom dağılımı veya Bernoulli dağılımı denir. Bernoulli dağılımı tamamen iki parametre ile belirlenir: tüm denemelerin sayısı n ve olayın her bir denemede meydana gelme olasılığı p.

Binom dağılımının koşulu şu şekildedir:

Bu eşitliğin geçerliliğini kanıtlamak için özdeşlikte yeterlidir.

(q+px)n=

x=1 koyun.

ÖRNEK 3. Poisson Dağılımı. Bu, formun olasılık dağılımının adıdır:

P(k)= .

Tek bir (pozitif) parametre a ile belirlenir. ξ, Poisson dağılımına sahip bir rastgele değişken ise, karşılık gelen a - parametresi bu rastgele değişkenin ortalama değeridir:

a=Mξ=, burada M matematiksel beklentidir.

Rastgele değişken:

ÖRNEK 4.üstel dağılım.

Eğer zaman rastgele bir değişken ise, onu τ ile gösterelim, öyle ki

nerede 0<λ=const, t ³ 0, причем, если t=0, то P(t)=0.

Rastgele değişken t'nin ortalama değeri:

Dağılım yoğunluğu şu şekildedir:

4) Normal dağılım

Bağımsız, özdeş dağılımlı rastgele değişkenler olsun ve Terimler yeterince küçükse ve n sayısı yeterince büyükse, - n à ∞ için rastgele değişken Мξ'nin matematiksel beklentisi ve Dξ=M(ξ–Мξ)2'ye eşit olan Dξ varyansı, Мξ~ şeklindedir. а, Dξ~σ2, o zaman

- normal veya gauss dağılımı

.

5) Geometrik dağılım. ξ, ilk "başarıdan" önceki deneme sayısını göstersin. Her testin bir birim zaman sürdüğünü varsayarsak, o zaman ξ'yi ilk "başarıya" kadar bekleme süresi olarak kabul edebiliriz. Dağıtım şöyle görünür:

Р(k)=p(1-p)k, (k=0, 1, 2) p>0

6) Hipergeometrik dağılım.

Aralarında n - "özel nesneler" olan N - nesneler vardır. Tüm nesneler arasından k nesneleri rastgele seçilir. Seçilen nesneler arasında r - "özel nesneler"e eşit olma olasılığını bulun. Dağıtım şöyle görünür:

7) Paskal dağılımı.

x, rth "başarı"nın gelmesinden önceki toplam "başarısızlık" sayısı olsun. Dağıtım şöyle görünür:

Dağıtım işlevi şu şekildedir:

Eşit olasılıklı bir dağılım, rastgele değişken x'in aynı olasılıkla aralıktaki herhangi bir değeri alabileceği anlamına gelir. Bu durumda dağılım yoğunluğu şu şekilde hesaplanır:

Dağılım yoğunluğu ve dağılım fonksiyonu grafikleri aşağıda sunulmuştur.

"Beyaz gürültü" kavramını açıklamadan önce bir takım tanımları vermek gerekir.

Rastgele bir işlev, bağımsız değişkenin her sabit değeri için rastgele bir değişken olan rastgele olmayan bir t bağımsız değişkeninin bir işlevidir. Örneğin, U bir rastgele değişken ise, X(t)=t2U işlevi rastgeledir.

Rastgele bir işlevin bölümü, rastgele işlevin bağımsız değişkeninin sabit bir değerine karşılık gelen rastgele bir değişkendir. Bu nedenle, bir rastgele fonksiyon, t parametresine bağlı olarak bir dizi rastgele değişken (X(t)) olarak düşünülebilir.

dağıtım yoğunluğu olasılıklar X işlevi çağır f(x) dağılım fonksiyonunun ilk türevidir F(x):

Rastgele bir değişkenin olasılık dağılım yoğunluğu kavramı X ayrı bir miktar için geçerli değildir.

olasılık yoğunluğu f(x) diferansiyel dağılım fonksiyonu olarak adlandırılır:

Mülkiyet 1. Dağılım yoğunluğu negatif olmayan bir değerdir:

Mülkiyet 2.İle aralığındaki dağılım yoğunluğunun uygun olmayan integrali bire eşittir:

Örnek 1.25. Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu verildiğinde X:

f(x).

Çözüm: Dağılım yoğunluğu, dağılım fonksiyonunun birinci türevine eşittir:

1. Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu verildiğinde X:

Dağılım yoğunluğunu bulun.

2. Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu verilir X:

Dağıtım yoğunluğunu bulun f(x).

1.3. Sürekli rastgeleliğin sayısal özellikleri

miktarları

Beklenen değer sürekli rastgele değişken X olası değerleri tüm eksene ait olan ey, eşitlik ile belirlenir:

İntegralin mutlak yakınsak olduğu varsayılır.

a,b), sonra:

f(x) rastgele değişkenin dağılım yoğunluğudur.

Dağılım sürekli rastgele değişken X olası değerleri tüm eksene ait olan eşitlikle belirlenir:

Özel durum. Rastgele değişkenin değerleri aralığa aitse ( a,b), sonra:

olasılık X aralığına ait değerleri alacaktır ( a,b), eşitlik ile belirlenir:

.

Örnek 1.26. Sürekli rastgele değişken X

Rastgele bir değişkene çarpmanın matematiksel beklentisini, varyansını ve olasılığını bulun X(0; 0.7) aralığında.

Çözüm: Rastgele değişken (0,1) aralığına dağıtılır. Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım yoğunluğunu tanımlayalım X:

a) Matematiksel beklenti :

b) Dağılım

içinde)

Bağımsız çalışma için görevler:

1. Rastgele değişken X dağıtım fonksiyonu tarafından verilen:

M(x);

b) dispersiyon D(x);

X(2,3) aralığına girin.

2. Rastgele değer X

Bul: a) matematiksel beklenti M(x);

b) dispersiyon D(x);

c) rastgele bir değişkene çarpma olasılığını belirlemek X aralıkta (1; 1.5).

3. Rastgele değer X integral dağılım fonksiyonu tarafından verilir:

Bul: a) matematiksel beklenti M(x);

b) dispersiyon D(x);

c) rastgele bir değişkene çarpma olasılığını belirlemek X aralığında.

1.4. Sürekli bir rastgele değişkenin dağılım yasaları

1.4.1. Üniforma dağıtımı

Sürekli rastgele değişken X aralığında düzgün bir dağılıma sahiptir [ a,b], bu segmentte rastgele bir değişkenin olasılık dağılımının yoğunluğu sabitse ve dışında sıfıra eşitse, yani:

Pirinç. dört.

; ; .

Örnek 1.27. Bir güzergahın otobüsü 5 dakikalık aralıklarla düzgün hareket eder. Düzgün dağılmış bir rastgele değişken olma olasılığını bulun. X– Otobüs bekleme süresi 3 dakikadan az olacaktır.

Çözüm: rastgele değer X- aralık boyunca eşit olarak dağıtılır .

Olasılık Yoğunluğu: .

Bekleme süresinin 3 dakikayı geçmemesi için yolcunun bir önceki otobüsün hareketinden sonra 2 ila 5 dakika içerisinde otobüs durağına gelmesi, yani. rastgele değer X(2;5) aralığı içinde olmalıdır. O. istenen olasılık:

Bağımsız çalışma için görevler:

1. a) rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini bulun X(2; 8) aralığında eşit olarak dağıtılır;

b) rastgele bir değişkenin varyansını ve standart sapmasını bulun X,(2;8) aralığında eşit olarak dağılmıştır.

2. Elektrikli saatin yelkovanı her dakikanın sonunda zıplar. Belirli bir anda saatin gerçek zamandan en fazla 20 saniye farklı olan zamanı gösterme olasılığını bulun.

1.4.2. Üstel (üssel) dağılım

Sürekli rastgele değişken X olasılık yoğunluğu şu şekildeyse üstel olarak dağıtılır:

üstel dağılımın parametresi nerede.

Böylece

Pirinç. 5.

Sayısal özellikler:

Örnek 1.28. rastgele değer X- ampulün çalışma süresi - üstel bir dağılıma sahiptir. Ortalama lamba ömrü 400 saat ise lambanın en az 600 saat dayanma olasılığını belirleyin.

Çözüm: Problemin durumuna göre, rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi X 400 saate eşittir, yani:

;

İstenen olasılık, nerede

Nihayet:

Bağımsız çalışma için görevler:

1. Parametre ise, üstel yasanın yoğunluk ve dağılım fonksiyonunu yazın.

2. Rastgele değer X

Bir miktarın matematiksel beklentisini ve varyansını bulun X.

3. Rastgele değer X olasılık dağılım fonksiyonu tarafından verilen:

Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini ve standart sapmasını bulun.

1.4.3. Normal dağılım

normal sürekli bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı olarak adlandırılır X yoğunluğu şu şekildedir:

nerede a– matematiksel beklenti, – standart sapma X.

olasılık X aralığına ait bir değer alacaktır:

, nerede

Laplace fonksiyonudur.

sahip bir dağıtım; , yani olasılık yoğunluğu ile standart denir.

Pirinç. 6.

Sapmanın mutlak değerinin pozitif bir sayıdan küçük olma olasılığı:

.

Özellikle, ne zaman bir= 0 eşitlik doğrudur:

Örnek 1.29. rastgele değer X normal olarak dağılmıştır. Standart sapma . Rastgele bir değişkenin mutlak değerdeki matematiksel beklentisinden sapmasının 0,3'ten küçük olma olasılığını bulun.

Çözüm: .

Bağımsız çalışma için görevler:

1. Rastgele bir değişkenin normal dağılımının olasılık yoğunluğunu yazın X, bilerek M(x)= 3, D(x)= 16.

2. Normal dağılım gösteren bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi ve standart sapması X sırasıyla 20 ve 5'tir.Test sonucunda X(15;20) aralığındaki değeri alacaktır.

3. Rastgele ölçüm hataları, standart sapma mm ve matematiksel beklenti ile normal yasaya tabidir. bir= 0. 3 bağımsız ölçümden en az birinin hatasının mutlak değerde 4 mm'yi geçmeme olasılığını bulun.

4. Bazı maddeler sistematik hatalar olmadan tartılır. Rastgele tartım hataları, standart sapma r ile normal yasaya tabidir.Tartmanın mutlak değerde 10 g'ı aşmayan bir hata ile gerçekleştirilme olasılığını bulun.