Aytaylik, siz x va y o'zgaruvchilarning tenglamani qanoatlantiradigan barcha juft qiymatlarini topmoqchisiz.
xy - 6 = 0 va y - x - 1 = 0 tenglama, ya'ni bu tenglamalar yechimlari to'plamlarining kesishishini topish kerak. Bunday hollarda ular xy - 6 \u003d 0 va y - x - 1 \u003d 0 tenglamalar tizimini echish kerakligini aytishadi.

Jingalak qavslar yordamida tenglamalar tizimini yozish odatiy holdir. Masalan, ko'rib chiqilayotgan tenglamalar tizimini quyidagicha yozish mumkin:

(xy - 6 = 0,
(y - x - 1 = 0.

Tizimning har bir tenglamasini haqiqiy tenglikka aylantiradigan o'zgaruvchilarning juft qiymatlari ikkita o'zgaruvchili tenglamalar tizimining yechimi deb ataladi.

Tenglamalar sistemasini yechish deganda uning yechimlari to‘plamini topish tushuniladi.

Keling, har bir tenglamadagi koeffitsientlardan kamida bittasi noldan farq qiladigan ikkita o'zgaruvchiga ega ikkita chiziqli tenglamalar tizimini ko'rib chiqaylik.

Ushbu turdagi tizimlarning grafik yechimi ikkita to'g'ri chiziqning umumiy nuqtalarining koordinatalarini topishga qisqartiriladi.

Ma'lumki, tekislikdagi ikkita to'g'ri chiziq kesishishi yoki parallel bo'lishi mumkin. Parallellik holatida chiziqlar umumiy nuqtalarga ega emas yoki mos keladi.

Keling, ushbu holatlarning har birini ko'rib chiqaylik.

1-misol

Keling, tenglamalar tizimini yechamiz:

(2x + y = -11,
(x - 2y = 8.

Yechim.

(y \u003d -3x - 11,
(y \u003d 0,5x - 4.

Chiziqlarning qiyalik koeffitsientlari - tizim tenglamalarining grafiklari har xil (-3 va 0,5), ya'ni chiziqlar kesishadi.

Ularning kesishish nuqtasining koordinatalari bu sistemaning yechimi, yagona yechimidir.

2-misol

Keling, tenglamalar tizimini yechamiz:

(3x - 2y = 12,
(6x - 4y = 11.

Yechim.

Har bir y tenglamadan x ko'rinishida ifodalab, tizimni olamiz:

(y \u003d 1,5x - 6,
(y \u003d 1,5x - 2,75.

Y \u003d 1,5x - 6 va y \u003d 1,5x - 2,75 chiziqlari teng qiyaliklarga ega, ya'ni bu chiziqlar parallel va y \u003d 1,5x - 6 chizig'i y o'qini (0; -) nuqtada kesib o'tadi. 6) va y \u003d 1,5x - 2,75 - nuqtada (0; -2,75), shuning uchun chiziqlar umumiy nuqtalarga ega emas. Demak, tenglamalar sistemasi yechimga ega emas.

Ushbu tizimning yechimlari yo'qligini quyidagi tarzda bahslash orqali tekshirish mumkin. Birinchi tenglamaning barcha shartlarini 2 ga ko'paytirsak, 6x - 4y = 24 tenglamani olamiz.

Ushbu tenglamani tizimning ikkinchi tenglamasi bilan solishtirsak, biz tenglamalarning chap qismlari bir xil ekanligini ko'ramiz, shuning uchun x va y ning bir xil qiymatlari uchun ular turli qiymatlarni ololmaydilar (24 va 11). Shuning uchun, tizim

(6x - 4y \u003d 24,
(6x - 4y = 11.

yechimlari yo‘q, ya’ni tizimning yechimlari yo‘q

(3x - 2y = 12,
(6x - 4y = 11.

3-misol

Keling, tenglamalar tizimini yechamiz:

(5x - 7y = 16,
(20x - 28y = 64.

Yechim.

Ikkinchi tenglamaning har bir a'zosini 4 ga bo'lib, biz tizimni olamiz:

(5x - 7y = 16,
(5x - 7y = 16,

ikkita bir xil tenglamadan iborat. Bu tenglamalarning grafiklari bir-biriga mos keladi, shuning uchun grafikdagi istalgan nuqtaning koordinatalari sistemaning har bir tenglamasini qanoatlantiradi, ya’ni ular sistemaning yechimi bo‘ladi. Bu shuni anglatadiki, bu tizim cheksiz ko'p echimlarga ega.

Agar ikkita o'zgaruvchiga ega ikkita chiziqli tenglamalar tizimining har bir tenglamasida o'zgaruvchining koeffitsientlaridan kamida bittasi nolga teng bo'lmasa, u holda tizim yoki yagona qaror yoki cheksiz ko'p echimlarga ega.

blog.site, materialni to'liq yoki qisman nusxalash bilan, manbaga havola kerak.

Kimga parametrli vazifalar masalan, chiziqli va kvadrat tenglamalar yechimlarini izlashni o'z ichiga oladi umumiy ko'rinish, parametr qiymatiga qarab mavjud bo'lgan ildizlar soni uchun tenglamani o'rganish.

Batafsil ta'riflar bermasdan, quyidagi tenglamalarni misol sifatida ko'rib chiqing:

y = kx, bu erda x, y - o'zgaruvchilar, k - parametr;

y = kx + b, bu erda x, y - o'zgaruvchilar, k va b - parametrlar;

ax 2 + bx + c = 0, bu erda x - o'zgaruvchilar, a, b va c - parametrlar.

Parametrli tenglamani (tengsizlik, tizim) yechish, qoida tariqasida, cheksiz tenglamalar majmuasini (tengsizliklar, tizimlar) yechish demakdir.

Parametrli vazifalarni shartli ravishda ikki turga bo'lish mumkin:

a) shart shunday deydi: tenglamani yeching (tengsizlik, tizim) - bu parametrning barcha qiymatlari uchun barcha echimlarni toping. Agar kamida bitta holat o'rganilmagan bo'lsa, bunday yechimni qoniqarli deb hisoblash mumkin emas.

b) tenglama (tengsizlik, tizim) ma'lum xususiyatlarga ega bo'lgan parametrning mumkin bo'lgan qiymatlarini ko'rsatish talab qilinadi. Masalan, uning bitta yechimi bor, yechimlari yo'q, oraliqga tegishli yechimlari bor va hokazo.Bunday topshiriqlarda parametrning qaysi qiymatida talab qilingan shart qanoatlantirilishini aniq ko'rsatish kerak.

Parametr noma'lum sobit raqam bo'lib, go'yo o'ziga xos ikkilikka ega. Avvalo, shuni hisobga olish kerakki, da'vo qilingan shon-sharaf parametrni raqam sifatida qabul qilish kerakligini ko'rsatadi. Ikkinchidan, parametrni boshqarish erkinligi uning noma'lumligi bilan cheklangan. Shunday qilib, masalan, parametr mavjud bo'lgan ifodaga bo'lish yoki bunday ifodadan juft ildiz olish operatsiyalari dastlabki tadqiqotlar. Shuning uchun, parametr bilan ishlashda ehtiyot bo'lish kerak.

Masalan, ikkita -6a va 3a raqamlarini solishtirish uchun uchta holatni ko'rib chiqish kerak:

1) a manfiy son bo'lsa -6a 3a dan katta bo'ladi;

2) a = 0 bo'lgan holatda -6a = 3a;

3) -6a 3a dan kichik bo'ladi, agar a musbat son 0 bo'lsa.

Qaror javob bo'ladi.

kx = b tenglama berilgan bo'lsin. Bu tenglama bitta o'zgaruvchidagi cheksiz tenglamalar to'plamining qisqartmasi.

Bunday tenglamalarni echishda quyidagi holatlar bo'lishi mumkin:

1. k har qanday bo‘lsin haqiqiy raqam nolga teng bo'lmagan va b R dan istalgan raqam, keyin x = b/k.

2. k = 0 va b ≠ 0 bo'lsin, dastlabki tenglama 0 · x = b ko'rinishini oladi. Shubhasiz, bu tenglama hech qanday yechimga ega emas.

3. k va b nolga teng sonlar bo'lsin, u holda 0 · x = 0 tengligiga ega bo'lamiz. Uning yechimi har qanday haqiqiy sondir.

Ushbu turdagi tenglamalarni echish algoritmi:

1. Parametrning "nazorat" qiymatlarini aniqlang.

2. Birinchi xatboshida aniqlangan parametr qiymatlari bilan x uchun dastlabki tenglamani yeching.

3. Birinchi xatboshida tanlanganlardan farq qiluvchi parametr qiymatlari bilan x uchun dastlabki tenglamani yeching.

4. Javobni quyidagi shaklda yozishingiz mumkin:

1) qachon ... (parametr qiymati), tenglama ildizlarga ega ...;

2) qachon ... (parametr qiymati), tenglamada ildiz yo'q.

1-misol

|6 – x| parametrli tenglamani yeching = a.

Yechim.

Bu erda ≥ 0 ekanligini ko'rish oson.

6-modul qoidasi - x = ±a, biz x ni ifodalaymiz:

Javob: x = 6 ± a, bu erda a ≥ 0.

2-misol

x o'zgaruvchiga nisbatan a(x - 1) + 2(x - 1) = 0 tenglamani yeching.

Yechim.

Qavslarni ochamiz: ax - a + 2x - 2 \u003d 0

Tenglamani standart shaklda yozamiz: x(a + 2) = a + 2.

Agar a + 2 ifodasi nolga teng bo'lmasa, ya'ni a ≠ -2 bo'lsa, bizda x = (a + 2) / (a ​​+ 2) yechim mavjud, ya'ni. x = 1.

Agar a + 2 nolga teng bo'lsa, ya'ni. a \u003d -2, keyin bizda 0 x \u003d 0 to'g'ri tenglik bor, shuning uchun x har qanday haqiqiy sondir.

Javob: ≠ -2 uchun x \u003d 1 va \u003d -2 uchun x € R.

3-misol

x o'zgaruvchiga nisbatan x/a + 1 = a + x tenglamani yeching.

Yechim.

Agar a \u003d 0 bo'lsa, biz tenglamani a + x \u003d a 2 + ax yoki (a - 1) x \u003d -a (a - 1) ko'rinishiga aylantiramiz. a = 1 uchun oxirgi tenglama 0 · x = 0 ko'rinishga ega, shuning uchun x har qanday sondir.

Agar a ≠ 1 bo'lsa, oxirgi tenglama x = -a ko'rinishini oladi.

Ushbu yechimni koordinata chizig'ida tasvirlash mumkin (1-rasm)

Javob: a = 0 uchun yechimlar mavjud emas; x - a = 1 da istalgan son; x \u003d -a ≠ 0 va ≠ 1 bilan.

Grafik usul

Parametrli tenglamalarni echishning yana bir usulini ko'rib chiqing - grafik. Bu usul juda tez-tez ishlatiladi.

4-misol

||x| tenglama a parametriga qarab nechta ildiz hosil qiladi – 2| = a?

Yechim.

Yechimlar uchun grafik usuli y = ||x| funksiyalarini chizamiz – 2| va y = a (2-rasm).

Chizmada y = a chizig'ining joylashishi va ularning har biridagi ildizlar sonining mumkin bo'lgan holatlari aniq ko'rsatilgan.

Javob: a bo'lsa, tenglamaning ildizlari bo'lmaydi< 0; два корня будет в случае, если a >2 va a = 0; a = 2 holatda tenglama uchta ildizga ega bo'ladi; to'rtta ildiz - 0 da< a < 2.

5-misol

Buning uchun a tenglama 2|x| + |x – 1| = a bitta ildizga egami?

Yechim.

y = 2|x| funksiyalarning grafiklarini chizamiz + |x – 1| va y = a. y = 2|x| uchun + |x - 1|, modullarni bo'shliq usuli bilan kengaytirib, biz quyidagilarni olamiz:

(-3x + 1, x da< 0,

y = (x + 1, 0 ≤ x ≤ 1 uchun,

(3x – 1, x > 1 uchun.

Ustida 3-rasm a = 1 bo'lgandagina tenglama yagona ildizga ega bo'lishi aniq ko'rinib turibdi.

Javob: a = 1.

6-misol

|x + 1| tenglamaning yechimlari sonini aniqlang + |x + 2| = a parametriga qarab a?

Yechim.

y = |x + 1| funksiyaning grafigi + |x + 2| singan chiziq bo'ladi. Uning uchlari (-2; 1) va (-1; 1) nuqtalarda joylashgan bo'ladi. (4-rasm).

Javob: agar a parametr birdan kichik bo'lsa, tenglamaning ildizlari bo'lmaydi; agar a = 1 bo'lsa, u holda tenglamaning yechimi [-2] segmentidagi cheksiz sonlar to'plamidir; -bir]; agar a parametrining qiymatlari birdan katta bo'lsa, tenglama ikkita ildizga ega bo'ladi.

Savollaringiz bormi? Parametrli tenglamalarni echishni bilmayapsizmi?
Repetitordan yordam olish uchun -.
Birinchi dars bepul!

blog.site, materialni to'liq yoki qisman nusxalash bilan, manbaga havola kerak.

Agar tizim

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2,

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m. (5.1)

izchil bo'lib chiqdi, ya'ni A sistemaning matritsalari va kengaytirilgan tizim matritsasi (erkin shartlar ustuni bilan) A|b bir xil darajaga ega, keyin ikkita imkoniyat paydo bo'lishi mumkin - a) r = n; b) r< n:

a) agar r = n bo'lsa, bizda n ta noma'lumli n ta mustaqil tenglama mavjud va bu tizimning D determinanti noldan farq qiladi. Bunday tizim dan olingan yagona yechimga ega;

b) agar r< n, то число независимых уравнений меньше числа неизвестных.

Odatda erkin deb ataladigan qo'shimcha noma'lumlar x r+1 , x r+2 ,..., x n ni o'ng tomonga o'tkazamiz; Bizning chiziqli tenglamalar tizimimiz quyidagi shaklni oladi:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1r x r = b 1 - a 1 , r+1 x r+1 -... - a 1n x n,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2r x r = b 2 - a 2 , r+1 x r+1 -... - a 2n x n,

... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

a r1 x 1 + a r2 x 2 +... + a rr x r = b r - a r , r+1 x r+1 -... - a rn x n.

Uni x 1, x 2,..., x r uchun yechish mumkin, chunki bu sistemaning determinanti (r-tartib) nolga teng emas. Erkin noma'lumlarga o'zboshimchalik bilan raqamli qiymatlarni berib, biz Kramer formulalari bo'yicha x 1 , x 2 ,..., x r uchun mos keladigan raqamli qiymatlarni olamiz. Shunday qilib, r uchun< n имеем бесчисленное множество решений.

Tizim (5.1) chaqiriladi bir hil, agar hammasi b i = 0 bo'lsa, ya'ni quyidagicha ko'rinadi:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = 0, a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = 0, (5.5) ... ... . .. ... ... ... a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = 0.

Kroneker-Kapelli teoremasidan kelib chiqadiki, u har doim izchil bo'ladi, chunki nol ustunini qo'shish matritsaning darajasini oshira olmaydi. Biroq, buni to'g'ridan-to'g'ri ham ko'rish mumkin - sistema (5.5) albatta nolga yoki ahamiyatsiz yechimga ega x 1 = x 2 =... = x n = 0. (5.5) tizimning A matritsasi r darajali bo'lsin. Agar r = n bo'lsa, u holda nol yechim (5.5) sistemaning yagona yechimi bo'ladi; da r< n система обладает решениями, отличными от нулевого, и для их разыскания применяют тот же прием, как и в случае произвольной системы уравнений. Всякий ненулевой вектор - столбец X= (x 1 , x 2 ,..., x n) T называется o'z vektori chiziqli transformatsiya (kvadrat matritsa A ), tenglikka teng bo'ladigan l soni bo'lsa

l raqami chaqiriladi chiziqli konvertatsiyaning xos qiymati (matritsalar A ), X vektorga mos keladi. A matritsa n tartibli. Matematik iqtisodda, deb atalmish mahsuldor matritsalar. A matritsaning barcha xos qiymatlari mutlaq qiymatda bittadan kichik bo'lgandagina va faqat A matritsasi unumli ekanligi isbotlangan. A matritsaning xos qiymatlarini topish uchun AX = lX tengligini (A - lE)X = 0 ko'rinishida qayta yozamiz, bu erda E - n-tartibdagi identifikatsiya matritsasi yoki koordinata ko'rinishida:

(a 11 -l)x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n =0,

a 21 x 1 + (a 22 -l)x 2 +... + a 2n x n = 0, (5.6)

... ... ... ... ... ... ... ... ... a n1 x 1 + a n2 x 2 +... + (a nn -l)x n = 0 .

Chiziqli tizimga ega bo'ldi bir jinsli tenglamalar, agar bu tizimning determinanti nolga teng bo'lsa va faqat nolga teng bo'lmagan echimlarga ega bo'ladi, ya'ni.

deb ataladigan noma'lum l ga nisbatan n-darajali tenglamani oldik matritsa xarakteristikasi tenglamasi A, ko'phad deyiladi matritsaning xarakterli polinomi A va uning ildizlari matritsaning xarakterli raqamlari yoki xos qiymatlari A. A xosmatritsalarini topish uchun vektor tenglamasi(A - lE)X = 0 yoki mos keladigan bir hil tenglamalar tizimi (5.6) l ning topilgan qiymatlari bilan almashtirilishi va odatdagi usulda echilishi kerak. 2.16-misol. Tenglamalar tizimini tadqiq qiling va agar u mos kelsa, uni yeching.

x 1 + x 2 - 2x 3 - x 4 + x 5 =1, 3x 1 - x 2 + x 3 + 4x 4 + 3x 5 =4, x 1 + 5x 2 - 9x 3 - 8x 4 + x 5 =0 .

Yechim. A va A|b matritsalarining darajalarini elementar o'zgartirishlar usuli bilan topamiz, bir vaqtning o'zida tizimni bosqichma-bosqich shaklga keltiramiz:

Shubhasiz, r(A) = r( A|b) = 2. Dastlabki sistema bosqichli shaklga tushirilgan quyidagiga ekvivalentdir:

x 1 + x 2 - 2x 3 - x 4 + x 5 = 1, - 4x 2 + 7x 3 + 7x 4 = 1.

Noma'lum uchun determinant beri x 1 va x2 noldan farq qiladi, keyin ularni asosiy sifatida qabul qilish va tizimni quyidagi shaklda qayta yozish mumkin:

x 1 + x 2 = 2x 3 + x 4 - x 5 + 1, - 4x 2 = - 7x 3 - 7x 4 + 1,

X 2 \u003d 7/4 x 3 + 7/4 x 4 -1/4, x 1 \u003d 1/4 x 3 -3/4 x 4 - x 5 + 5/4 - tizimning umumiy yechimi cheksiz ko'p echimlarga ega. Noma'lumlarga bepul berish x 3 , x 4 , x 5 maxsus raqamli qiymatlar, biz maxsus echimlarni olamiz. Masalan, x 3 = x 4 = x 5 = 0 x 1 = 5/4, x 2 = - 1/4 da. C(5/4, - 1/4, 0, 0, 0) vektori bu sistemaning alohida yechimidir. 2.17-misol. Tenglamalar tizimini o'rganing va parametr qiymatiga qarab umumiy yechimni toping a.

2x 1 - x 2 + x 3 + x 4 = 1, x 1 + 2x 2 - x 3 + 4x 4 = 2, x 1 + 7x 2 - 4x 3 + 11x 4 = a.

Yechim. Ushbu tizim matritsaga mos keladi . Bizda A~ bor

shuning uchun asl tizim quyidagilarga teng:

x 1 + 2x 2 - x 3 + 4x 4 = 2,

5x2 - 3x3 + 7x4 = a-2,

Bu tizim faqat a=5 uchun izchil ekanligini ko'rsatadi. Bu holatda umumiy yechim:

x 2 \u003d 3/5 + 3/5x 3 - 7/5x 4, x 1 \u003d 4/5 - 1/5x 3 - 6/5x 4.

Misol 2.18. Vektorlar sistemasi chiziqli bog'liq bo'lishini aniqlang:

a 1 =(1, 1, 4, 2),

a 2 = (1, -1, -2, 4),

a 3 = (0, 2, 6, -2),

a 4 =(-3, -1, 3, 4),

a 5 =(-1, 0, - 4, -7),

Yechim. Vektorlar tizimi, agar shunday raqamlar mavjud bo'lsa, chiziqli bog'liqdir x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , ulardan kamida bittasi noldan farq qiladi
(1-band, I bo'limga qarang) vektor tengligi amal qiladi:

x 1 a 1 + x2 a 2+x3 a 3 + x4 a 4+x5 a 5 = 0.

Koordinata yozuvida u tenglamalar tizimiga ekvivalentdir:

x 1 + x 2 - 3x 4 - x 5 = 0, x 1 - x 2 + 2x 3 - x 4 = 0, 4x 1 - 2x 2 + 6x 3 +3x 4 - 4x 5 = 0, 2x 1 + 4x 2 - 2x 3 + 4x 4 - 7x 5 = 0.

Shunday qilib, biz chiziqli bir hil tenglamalar tizimini oldik. Biz buni noma'lumlarni yo'q qilish orqali hal qilamiz:

Tizim 3 ga teng bosqichli shaklga keltiriladi, ya'ni bir hil tenglamalar tizimi noldan (r) farqli echimlarga ega.< n). Определитель при неизвестных x 1 , x 2 , x 4 noldan farq qiladi, shuning uchun ular asosiy sifatida tanlanishi va tizimni quyidagi shaklda qayta yozish mumkin:

x 1 + x 2 - 3x 4 = x 5, -2x 2 + 2x 4 = -2x 3 - x 5, - 3x 4 = - x 5.

Bizda: x 4 \u003d 1/3 x 5, x 2 \u003d 5/6x 5 + x 3, x 1 \u003d 7/6 x 5 -x 3. Tizim cheksiz ko'p echimlarga ega; bepul noma'lum bo'lsa x 3 va x5 bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lmasa, asosiy noma'lumlar ham noldan farq qiladi. Shuning uchun vektor tenglama

x 1 a 1 + x2 a 2+x3 a 3 + x4 a 4+x5 a 5 = 0

Teorema. Chiziqli tenglamalar tizimi faqat kengaytirilgan matritsaning darajasi bo'lsa, izchil bo'ladi darajaga teng tizim matritsasi.

Chiziqli tenglamalar sistemalari

Birgalikda r(A)=r() mos kelmaydigan r(A)≠r().

Demak, chiziqli tenglamalar sistemasi yo cheksiz sonli yechimga, yoki bitta yechimga ega yoki umuman yechimga ega emas.

Ishning oxiri -

Ushbu mavzu quyidagilarga tegishli:

Elementar matritsa transformatsiyalari. Kramer usuli. Vektor ta'rifi

O'rin almashtirishning ikkita elementi inversiyani hosil qiladi, agar katta element o'rin almashish belgisida kichikroqdan oldin bo'lsa.. n ta sondan n-darajali n ta xil almashtirish mavjud.Buni isbotlaylik.. umumiy bo'lsa ham almashtirish deyiladi. inversiyalar soni juft son va shunga mos ravishda toq bo'lsa..

Agar sizga ushbu mavzu bo'yicha qo'shimcha material kerak bo'lsa yoki siz qidirayotgan narsangizni topa olmagan bo'lsangiz, bizning ishlar ma'lumotlar bazasida qidiruvdan foydalanishni tavsiya etamiz:

Qabul qilingan material bilan nima qilamiz:

Agar ushbu material siz uchun foydali bo'lib chiqsa, uni ijtimoiy tarmoqlardagi sahifangizga saqlashingiz mumkin:

tvit

Ushbu bo'limdagi barcha mavzular:

Kroneker-Kapelli teoremasi
n ta noma’lumli chiziqli tenglamalar tizimini ko‘rib chiqing: Matritsa va kengaytirilgan matritsa tuzing.

Chiziqli tenglamalarning bir jinsli sistemasi haqida tushuncha
Barcha erkin shartlar 0 ga teng bo'lgan chiziqli tenglamalar tizimi, ya'ni. turlar tizimi bir jinsli deyiladi

Bir hil SLE eritmalarining xossalari
Bir jinsli tenglamalar sistemasi yechimlarining chiziqli birikmasi bu sistemaning yechimi hisoblanadi. x=va y=

Bir jinsli va bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemalarining yechimlari orasidagi bog`lanish
Ikkala tizimni ham ko'rib chiqing: I va

Chiziqli fazoni aniqlashga aksiomatik yondashuv
Ilgari n-o‘lchovli vektor fazo tushunchasi n-haqiqiy sonlarning tartiblangan tizimlari yig‘indisi sifatida kiritilgan bo‘lib, ular uchun haqiqiy songa qo‘shish va ko‘paytirish amallari kiritilgan.

Aksiomalardan olingan natijalar
1. Nol vektorning yagonaligi 2. Qarama-qarshi vektorning yagonaligi

Natijalar isboti
1. Faraz qilaylik. - null

Asos. Hajmi. Koordinatalar
Ta'rif 1. L chiziqli fazoning asosi L ga tegishli bo'lgan ikkita shartni qanoatlantiradigan elementlar tizimidir: 1) sistema.

Hajmi: px

Taassurotni quyidagi sahifadan boshlang:

transkript

1 1 Tenglamalar sistemasi yechimlari soni Grafik dinamik usul Parametrni o’z ichiga olgan tenglamalar sistemasi yechimlari sonini topish uchun quyidagi usul qo’llaniladi.Parametrning ma’lum qat’iy belgilangan qiymati uchun har bir tenglamaning grafiklarini tuzamiz. va tuzilgan grafiklarning umumiy nuqtalari sonini toping.Har bir umumiy nuqta tizimning yechimlaridan biridir.Keyin, biz parametrni aqliy ravishda oʻzgartiramiz va parametrli tenglama grafigi qanday oʻzgartirilishini, umumiy nuqtalar qanday oʻzgarishini tasavvur qilamiz. grafiklar paydo bo'ladi va yo'qoladi.Bunday tadqiqot rivojlangan tasavvurni talab qiladi.Tasavvurni o'rgatish uchun biz bir qator tipik vazifalarni ko'rib chiqamiz.Biz yechimlar soni o'zgargan qiymatlarni maxsus parametr qiymatlari deb ataymiz.Bir-biriga teginish yoki grafiklardan birining burchak nuqtasi boshqa grafga to'g'ri keladi, qoida tariqasida, bir nuqtadan o'tayotganda, echimlar soni ikkiga o'zgaradi va bunday nuqtaning o'zida u kichik o'zgarishlarga ega bo'lgan yechimlar sonidan bittaga farq qiladi. kichik mehmonxona parametr Tenglamalar sistemasi yechimlari sonini topish talab qilinadigan masalalarni ko'rib chiqing, ulardan biri a parametrga bog'liq, ikkinchisi esa bog'liq emas. X va y tizimlaridagi o'zgaruvchilar X, yi, r sonlarini ko'rib chiqamiz. doimiylar berilishi kerak Har bir yechim jarayonida biz ikkala tenglamaning grafiklarini tuzamiz , parametr qiymati o'zgarganda parametrli tenglama grafigi qanday o'zgarishini tekshiramiz Keyin yechimlar soni (umumiy nuqtalar) haqida xulosa chiqaramiz. tuzilgan grafiklar) Interfaol rasmda parametrsiz tenglama grafigi ko'k rangda, parametrli tenglamaning dinamik grafigi esa qizil rangda ko'rsatilgan ) InMA 11 faylidan foydalaning, 5 Parametrli tizim echimlari soni Tadqiqot uchun (8-topshiriq) GInMA faylidan foydalaning Parametrli tizim echimlari soni (x x0) + (y y0) = r ; 1 (x x1) + y = a (x x0) + (y y 0) = r sistemaning yechimlari sonini toping; y = kx + a (x x0) + (y y0) = r sistemaning yechimlari sonini toping; 3 y = ax + y1 (x x0) + (y y0) = r sistemaning yechimlari sonini toping; 4 (x x1) + y = a (x x0) + y y0 = r sistemaning yechimlari sonini toping; 5 (x x0) + (y y0) = a (x x0) + (y y0) = r sistemaning yechimlari sonini toping; 6 y = x a + y1 x x0 + y y0 = r sistemaning yechimlari sonini toping; 7 (x x0) + (y y0) = a f (x, y) = 0 sistemaning yechimlari sonini toping; g (x, y, a) = 0 8 V. V. Shelomovskiy sistemasi yechimlari sonini toping Tematik to`plamlar, cmdru/

2 1 Tenglamalar grafiklari silliq egri chiziqlar (x x0) + (y y0) = r ; 1-topshiriq (x x1) + y \u003d a tizim yechimlari sonini toping Yechim: Birinchi tenglamaning grafigi markazi O nuqtada joylashgan r radiusli doira (x0; y0) Ikkinchi tenglamaning grafigi a. A nuqtada x o'qi ustida markazlashtirilgan a radiusli doira (x1 ; 0) Doira markazi o'zgarmas, radius parametrni aniqlaydi Parametr moduli oshganda, doira "shishib ketadi" Maxsus qiymatlar Parametrning o'sha qiymatlari ildizlar soni o'zgaradi, ya'ni ikkinchi grafik doirasi birinchisining doirasiga tegadigan parametr qiymatlari Doiralarning modulga tegishi sharti. aylanalarning yig‘indisi yoki ayirma radiusi markazdan markazga masofaga teng: a ± r = AO a = ± AO ± r Tekshirish: O‘zgaruvchilar qiymatini va parametrni o‘zgartirib, yechimlar sonini toping. aylanalarning umumiy o'qi vertikal bo'lganda tizim Umuman olganda, Pifagor uchburchagidan foydalaning Masalan, x0 x1 = 3, y0 = ±4 modul va parametrning katta qiymatlari uchun echimlar yo'q Ikki tasodifiy bo'lmagan doiralar ikkitadan ko'p bo'lmagan umumiy nuqtaga ega bo'lishi mumkinligi sababli, umumiy holatda echimlar soni ikkitadan ko'p emas Aloqa nuqtalarida, yechimlar soni bitta, parametrning oraliq qiymatlari ikkita parametr bo'lib, ular uchun uchta turli nuqta (x 1) + (y y0) = 9; tenglamalar sistemasi yechimlari (x x1) + y = a (x x0) + (y y0) = r ; Topshiriq y \u003d kx + a sistemaning yechimlari sonini toping Yechim: Birinchi tenglamaning grafigi markazi O nuqtada joylashgan r radiusli aylana (x0; y0) Ikkinchi tenglamaning grafigi parallellar oilasidir. A (0; a) nuqtalardan o'tuvchi va doimiy qiyalikga ega bo'lgan chiziqlar to'g'ri chiziqlar qiyaligining tangensi k ga teng Parametr ortishi bilan to'g'ri chiziqlar yuqoriga qarab harakatlanadi Maxsus parametr qiymatlari bu qiymatlardir. qaysi ildizlar soni o'zgaradi, ya'ni to'g'ri chiziqlar aylanaga tegadigan parametr qiymatlari. Teglik sharti aylananing qiyalik burchagi tangenslarini tenglashtirish yo'li bilan topiladi cmdru/

3 3 Hosil bo'lgan tenglamani yechib, ikkita teginish nuqtasining koordinatalarini topamiz: kr x = x0 ± ; x0 x 1 + k = k k (y y0) + (y y0) = r r y y0 y = y0 1+ k : O‘zgaruvchilar qiymatini va parametrni o‘zgartirib, sistemaning yechimlari sonini toping. Chiziqlar x o'qiga parallel bo'lgan eng oddiy holat k = 0 bilan o'rganishni boshlang.Keyin ildiz ajratib olingan holatlarni ko'rib chiqing (masalan, k = 3), mashhur k = 1 holatiga e'tibor bering. Parametrning kichik va katta qiymatlari uchun yechimlar yo'q To'g'ri chiziq va aylana ikkitadan ko'p bo'lmagan umumiy nuqtaga ega bo'lishi mumkinligi sababli, yechimlar soni ikkitadan ko'p emas.Tangensga mos keladigan parametr qiymatlari uchun , yechimlar soni bittaga teng; parametrning oraliq qiymatlari uchun ikkita.Ijodiy vazifa Ma'lumki, bu tenglamalar tizimi bittadan ortiq yechimga ega emas. yechim: (x) + (y 3) = r ; y = x + a (x x0) + (y y0) = r ; 3 y \u003d ax + y1 sistemaning yechimlari sonini toping Yechish: Birinchi tenglamaning grafigi markazi O nuqtada joylashgan r radiusli doira (x0; y0) Ikkinchi tenglamaning grafigi chiziqlar turkumidir. A nuqtadan o'tuvchi (0; y1) chiziqlar qiyaligi tangensi (a) parametr qiymatini aniqlaydi Parametr ortishi bilan grafik va abscissaning musbat yo'nalishi orasidagi burchak oshadi. Maxsus qiymatlar Parametrning ildizlar soni o'zgaradigan qiymatlar, ya'ni chiziqlar aylanaga tegadigan parametr qiymatlari Agar A (0; y1) nuqtasi aylana ichida bo'lsa, har qanday mumkin bo'ladi. to'g'ri chiziq aylanani ikki nuqtada kesib o'tadi.Tangens sharti aylana va to'g'ri chiziqning qiyaligi tangenslarini tenglashtirish yo'li bilan topiladi.Hosil bo'lgan tenglamani yechib, ikkita teginish nuqtaning koordinatalarini topamiz: V.V.Shelomovskiy.

4 4 ar x = x0 ± ; x0 x 1 + a = a a (y y0) + (y y0) = r r y y0 y = y0 1+ a = ± r parametrining yagona qiymatlari Agar y0 = y1, x0 r bo'lsa, u holda ning yagona qiymatlari parametr a = ± (y1 y 0) r r x0 Agar x0 = ± r bo'lsa, aylana r (y1 y 0) A(0; y1) nuqtadan o'tuvchi vertikal chiziqqa tegadi va parametr qiymati a = Boshqa hollarda x0 (y1 y 0) a= x0 (y 0 y1) ± r (x0 + (y 0 y1) r) r x0 Tadqiqot: O‘zgaruvchilar va parametr qiymatini o‘zgartirish, tizim yechimlari sonini topish Boshlash maqsadga muvofiqdir. eng oddiy holat bilan tadqiqot y0 = y1, x0< r, когда точка А(0; у1) внутри окружности и число решений всегда равно двум Рассмотрите случай х0 = r, когда число решений легко найти (х0 = r =, y0 = 3, y1 =) Затем рассмотрите случаи, когда корень хорошо извлекается (например, х0 = 3, y0 = 4, r =, y1 =) Поскольку прямая и окружность могут иметь не более двух общих точек, число решений не более двух При значениях параметра, соответствующих касанию, число решений равно единице, при остальных значениях параметра нулю или двум (x + 3) + (y 5) = r ; при всех y = ax + 1 Творческое задание Известно, что система уравнений значениях параметра, кроме одного, имеет два решения Найдите то значение параметра, при котором система уравнений имеет единственное решение (x x0) + (y y0) = r ; 4 Задание Найдите число решений системы (x x1) + y = a Решение: В ходе решения строим графики каждого из уравнений и исследуем число общих точек построенных графиков График первого уравнения это пара окружностей одинакового радиуса r Центры окружностей O и Q имеют одинаковую ординату y0 и ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

5 5 ta bir xil modulli, lekin ishorasi ±x0 bo‘yicha har xil bo‘lgan abscissalar Grafiklar ko‘k va binafsha rangda ko‘rsatilgan. Ikkinchi tenglamaning grafigi A(x1; 0) nuqtada abscissa o‘qi markazida joylashgan a radiusli doiradir. Parametr - bu ildizlar soni o'zgargan qiymatlar, ya'ni ikkinchi grafik doirasi birinchisining doiralariga tegadigan parametr qiymatlari. Radiuslarning yig'indisi yoki farqiga tegish shartlari. doiralar markazdan markazga masofaga teng: a ± r = AO, a ± r = AQ Tekshiruv: o'zgaruvchilar qiymatini va parametrni o'zgartirib, bitta uchun tizim qiymatlariga yechimlar sonini toping. markazdan markazga masofa (masalan, x0 = 6, y0 = 3, r = 3, x1 =) Odatda, kichik modul va parametrning katta qiymatlari uchun hech qanday yechim yo'q.Aloqa nuqtalarida, ildizlar soni toq, boshqa nuqtalarda ildizlar soni juft ( x 6) + (y y 0) = r; Ijodiy vazifa Ma'lumki, (x x1) + y = a da tenglamalar tizimi parametrning ma'lum bir qiymati uchun aniq ikkita echimga ega Parametrning ushbu qiymatida grafiklar (x x0) parametrining ushbu qiymatini toping ga teging + y y0 = r; 5 (x x0) + (y y0) = a sistemaning yechimlari sonini toping Yechish: Birinchi tenglamaning grafigi y = y0 da uchrashadigan bir juft paraboladan iborat y = y0 ± (r ( ) parabola tenglamalari. x x0)) Ular gorizontal simmetriya o'qiga ega y = y0, vertikal o'q simmetriyaning x = x0 Simmetriya nuqtasi markazi (x0, y0) Ikkinchi grafik radiusi a bo'lgan aylana bo'lib, uning markazi parabolalarning simmetriya markazida joylashgan Parametrning bunday qiymatida ildizlar soni o'zgaradi. ikkinchi grafikning aylanasi parabola cho'qqilariga tegishi Aloqa nuqtasida: x = x0, y = y0 ± r = y = y0 ± a, demak, a = ± r bitta o'zgaruvchi: (y y 0) = a (x x0) = (r (x x0)) Bu (x x 0) uchun kvadrat tenglama, agar diskriminant nolga teng bo'lsa, u bitta ildizga ega: VV Shelomovskiy Tematik to'plamlar, cmdru/

6 6 D = (r 0,5) (r a) = 0, a = ± r 1 4 Aylana va parabola birinchi grafikning uzilish nuqtalarida kesishadigan parametrning shunday qiymatida ildizlar soni o‘zgaradi. bo'ladi, y = y0 da Tadqiqot : O'zgaruvchilarning qiymatini va parametrni o'zgartirib, tizim echimlari sonini toping r = 1, 4 va 9 qiymatlaridan foydalaning x0 va y0 parametrlari ta'sir qilmaydi. muammoning javobi Parametrning kichik va katta qiymatlari uchun x x0 + y y0 = r yechimlari mavjud emas; 6 (x x0) + (y y0) = a sistemaning yechimlar sonini toping Yechish: Birinchi tenglamaning grafigi koordinata o’qlariga 45 burchak ostida qiya bo’lgan kvadrat, diagonalining yarmi uzunligi. qaysi r bo'ladi Ikkinchi grafik a radiusli aylana bo'lib, uning markazi kvadratning markaziy simmetriyasida joylashgan Aylana kvadratning uchlari orqali o'tadigan parametr qiymatida ildizlar soni o'zgaradi. hol, y = y0, a = ±r Aylana kvadrat tomonlariga ichki tegib turgan parametr qiymatida ildizlar soni o‘zgaradi Bu qiymatni topish uchun tenglamalar sistemasidan bir o‘zgaruvchili tenglamaga o‘tamiz. : (y y 0) = a (x x0) = (r x x0) Bu x x 0 uchun kvadrat tenglama, agar diskriminant nolga teng bo'lsa, u bitta ildizga ega bo'ladi Bu holda a = ± r Bu holda aylananing radiusi quyidagilarga ishora qiladi. oldingi holatda radius, sin 45 sifatida: 1 VV Shelomovskiy Tematik to'plamlar, cmdru/

7 7 (x x0) + (y y0) = r ; 7 y = x a + y1 sistemaning yechimlari sonini toping Birinchi tenglamaning grafigi markazi O(x0; y0) bo‘lgan aylana bo‘lib, ikkinchi tenglamaning grafigi umumiy boshli ikkita nurdan iborat, bu “ qush, qanotlari yuqoriga”, grafikning yuqori qismi A nuqtada joylashgan (a; y1) Ildizlar soni ikkinchi grafikning “qanoti” aylana yoki tepaga tegib turgan parametr qiymatida oʻzgaradi. grafik shu aylana ustida yotadi.bu qanot aylanaga (xk; yk) nuqtalarda shunday tegadiki, r yk = y0 teginish sharti yk = xk a + y1 a = xk yka + y1= x0 y0 + y1 ± r " qanot" yuqoriga ko'tarilayotgan nur bo'lib, cho'qqi ordinatasi tangens nuqta ordinatasidan katta bo'lmasligi sharti qo'shiladi, ya'ni y1 yk y0 y1 ± r Xuddi shunday, "chap qanot" bilan teginish shartlarini yozamiz. Agar grafaning tepasi aylana ustida yotsa, uning koordinatalari aylana tenglamasini qanoatlantiradi: (a x0) + (y1 y0) = r. lo sistemaning yechimlari, ya'ni grafiklarning umumiy nuqtalari soni Birlik nuqtalarda ildizlar soni toq, boshqa nuqtalarda esa ildizlar soni juft (x) + (y y 0) = r, Ijodiy vazifa. Ma'lumki, y = x a + y1 uchun tenglamalar sistemasi, ba'zi qiymatli parametr uchta yechimga ega. Agar ikkita yechimning ordinatalari f (x, y) = 0 ga to'g'ri kelishi ma'lum bo'lsa, parametrning ushbu qiymatini toping; g (x, y, a) = 0 8 Tizimning yechimlar sonini toping Model bo'yicha funksiyalarni o'zingiz belgilang va yechimlar sonini o'rganing V. V. Shelomovskiy Tematik to'plamlar, cmdru/

8 8 V. V. Shelomovskiy Tematik to'plamlar, cmdru/

9 9 Topshiriqlar S5 (Semyonov Yashchenko) 1-variant a ning barcha qiymatlarini toping, ularning har biri uchun 4 x 1 x+ 3 a 3 tengsizlik yechimlari toʻplami 3 a 4 x oʻylab koʻring, x b 1 oʻzgarishlarni amalga oshiramiz, 1 x b 1, 4 x 1 x+ 3 a x b 3=, b=3 a 3 a 4 x x (x) 0, (x +1) b 1 0 x 3a tekislikning chegara chiziqlari: x = 0, x = , x= 3a, x=± 3 a a= (x+ 1) 1 4 Agar 0 x boʻlsa, b.< 4x, b (x +1) 1 Так как 4x >(x +1) 1, keyin b (x +1) 1 Agar 0 > x bo'lsa, b > 4x, (x +1) 1 b 1 b uchun yechim bor Masalan, x = 1 Agar x > keyin b > 4x, (x +1) 1 b 4x dan beri< (x +1) 1, то (x +1) 1 b Значит, решения таковы Если 3а >8, keyin x [ 3 a + 1 1.0] [, 3 a + 1 1] Agar 0 boʻlsa< 3а < 8, то Если 3а = 0, то х [,0) (0, ] Если 1< 3а < 0, то х [ 3 a +1 1, 3 a+1 1] [ 0, ] Если 1 = 3а, то х 1 } Если 1 >3a, keyin x Yechish 1 3a bo‘lsin, keyin x = 1 tengsizlikni qanoatlantirsin, 4 x 1 x+ 3 a 16+3 a 3 a 3 = 3 =, ziddiyat, bu son 3 a 4 x 3 a+ 4 3 segmentdan tashqarida. a +4 1 > 3a bo‘lsin, u holda x b 1, 4 x 1 x+3 a x b 3=, b=3 a< 1 3 a 4 x 1 x b 1, x (x) 0, (x +1) b 1 0 Числа из промежутка 0 х удовлетворяют обоим неравенствам Если x >, keyin birinchi tengsizlik qanoatlanmaydi VV Shelomovskiy Tematik to'plamlar, cmdru/

10 10 Agar 0 > x bo'lsa, b (x +1) 1 bo'lsa, ikkinchi tengsizlik bajarilmaydi Javob: 1 > 3a 3-variant a ning barcha qiymatlarini toping, ularning har biri uchun a +7 x x + x + tenglamasi. 5 kamida bitta ildizga ega = a+ 3 x 4 a +1 Fikrlash f (a, x)=a +7 x x + x +5 a 3 x 4 a+1 funksiyaning birlik nuqtasi x + 1 = 0 Agar x bo'lsa = 1, u holda tenglama a +10 a 1 a =0 Uning to'rtta yechimini topish oson. Asl funktsiya har doim bu bittadan katta ekanligini isbotlash kerak Yechish f (a, x)=a + 7 bo'lsin. x x + x +5 a 3 x 4 a+1 Tenglama f (a, x)=0 U holda f (a, 1)=a +10 a 1 a =0 Farq f (a, x) f (a, 1) =7 x +1 +5(x + x +5)+ 3 4 a 3 x 4 a+1 3(x a 4 a x 1) 0 Demak, f (a, x)=0 tenglama faqat f ( bo'lsa) ildizlarga ega. a, 1) 0 f (a, 1)=0 tenglamaning to‘rtta ildizi bor a 1= , a = , a 3= , a 4 = a uchun funktsiya f (a, 1) 0 (musbat emas) Masalan, agar a = 10, ya'ni ildiz x) f (a, 1)>0 Ildiz yo'q Javob: [ 5 15, 5+ 15] 5-variant a ning barcha qiymatlarini toping, ularning har biri kamida bitta ur ildiziga ega. tenglama a +11 x+ +3 x + 4 x +13=5 a+ x a + f (a,)=a +9 5 a 4 a =0 va f (a, x) f (a,) tengsizlikdan foydalaning. (x+ + a x a+) 0 Javob: [ , ] Variant 9 x + 4x 5 3a = x + a tenglamaning ildizlari sonini toping Birining hosilasi oraliqda ikkinchisidan kattaroq qiymatlar ayirmasi boʻlsin ​chap uchidagi funksiyalarning bir belgisi, o‘ng uchi ikkinchisi bo‘ladi. Keyin f(x) = g(x) tenglama oraliqda aynan bitta ildizga ega Yechish f(x, a) = 3a + x + ni belgilang. a, g(x) = x + 4x tenglama f(x, a) = g(x) V. V. Shelomovskiy Tematik to`plamlar, cmdru/

11 11 g(x) funksiyaning yagona nuqtalari x = 1 va x = 5 da minimal va x = qiymatida maksimal bo'ladi g(1) = g(5) = 1, g() = 10 Funktsiyaning simmetriya o'qi x = 3 At Modul bo'yicha x kattaroq qiymatlar uchun kvadrat funktsiya g(x) chiziqli f(x, a) funktsiyadan kattaroqdir [5,1] oraliqdan tashqari funktsiyaning qiyaligi. hosilasi bilan aniqlanadi (x + 4x 5)" = x x > 1 uchun g(x) funksiyasi 6 dan katta koeffitsient bilan monoton ravishda ortadi Simmetriya tufayli g(x) funksiya koeffitsient bilan monoton ravishda kamayadi. x da 6 dan katta< 5 Наклон g(x) равен 1 только на промежутке (5, 1) При этом производная (x 4x + 5)" = x 4 = 1 Значит, в точке x = 5 наклон равен 1 Функция f(x, a) = 3а + x + a монотонно убывает с коэффициентом 1 при x + а < 0 и монотонно возрастает с коэффициентом 1 при x + а >0 Bir qator nuqtalardagi qiymatlar f(a, a) = 3a, f(5, a) = 3a + 5 a, f(, a) = 3a + a, f(1, a) = 3a + 1 + a f (x, a) va g(x) chizmalar, agar ularning qiyaliklari teng bo'lsa, teginish x = 5 da teginish mumkin Bu holda, g(x) = 39/4 f(x, a) = 4a + x = 39/4, 4a = 49 /4, a = 49/16 f(x, a) = g(x) tenglamaning ildizlarini tahlil qilamiz.<, f(5, a) = а +5 < 1, f(1, a) = а 1 < 5 f(x, a) < g(x), так как в промежутке 5 < x < 1 f(x, a) < 1 < g(x) Если x >1, g(x) f(x, a) dan tezroq o'sadi, ya'ni hamma joyda f(x, a)< g(x) Если x < 5, g(x) убывает быстрее, чем f(x, a), то есть всюду f(x, a) < g(x) Других корней нет Если a =, f(5, a) = 1, f(1, a) = 5 f(5,) = g(5) Один корень х = 5 Во всех других точках f(x, a) < g(x), как и в предыдущем случае Если < a < 0, f(5, a) = а +5 >1, f(1, a) = 4a + 1< 1f(, a) = а + < 10 При x >f(x, a)< g(x), корней нет При x < f(1,a) >1 da x< 5 быстро убывающая g(x) пересекает медленно убывающую левую ветвь f(x,а), один корень При 5 < x < возрастающая g(x) пересекает убывающую f(x,а), один корень, всего корней два, один при x < 5, второй при 5 < x < Если a = 0, f(5, a) = 5, f(1, a) = 1 f(1, a) = g(1), один корень х = 1 Как и раньше, один корень при x < 5, один корень при 5 < x < Всего корней три Если 0 < a < 3, корней 4, два на левой ветке f(х, a) при x <, два на правой при x >Agar a = 3 bo'lsa, f(3, 3) = 8 = g(3), f(, 3) = 10 = g(), ildizlar 4, f(x, a) ning x da chap shoxida bitta ikkita.< 5, один в вершине f(х, 3) при x = 3, один в вершине g(x) при x =, один при x >1 Agar 3< a < 49/16, корней 4, один на левой ветке f(х, a) при x < 5, два на правой ветви g(x) при 3 < x <, один при x >1 Agar a = 49/16 bo'lsa, u holda ildizlar soni 3 ta, f(x, a) ning x da chap shoxida bittasi.< 5, один в точке касания при x = 5, один при x >1 Agar a > 49/16 bo'lsa, u holda f(x, a) ning chap novdasidagi ildizlar soni x da.< 5, один на правой при x >1 Javob: a uchun ildiz yo'q< ; один корень при a =, два корня при < a < 0 или 49/16 < a, три корня при a = 0 или а = 49/16, четыре корня при 0 < a < 49/16 ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

12 1 10-variant a parametrining barcha qiymatlarini toping, ularning har biri uchun 4x 3x x + a = 9 x 3 tenglama ikkita ildizga ega Yechish f(x, a) = 4x 3x x + a, g(x) ni belgilang. ) = 9 x 3 g(x) funksiyaning singulyar nuqtasi x = 3 funktsiya x sifatida monoton 9 marta kamayadi.< 3 и монотонно возрастает с коэффициентом 9 при x >3 f(x, a) funksiya koeffitsientlari 8, 6 yoki 0 boʻlgan qismli chiziqli boʻlib, shuning uchun u x da kamaymaydi, uning oʻsish tezligi 9 x 3 f(3, a) = a Bu ifodaning grafigi (1, 1), (3, 3), (6, 1) cho'qqilari bo'lgan ko'p chiziqdir) funktsiyaning qiymatlari a (4, 18) uchun ijobiydir. nima topildi, agar f(3, a)< 0, уравнение не может иметь корней, так как g(x) >f(x, a) Agar f(3, a) = 0 bo'lsa, tenglama aynan bitta ildizga ega bo'ladi x = 3 Boshqa x ning g(x) > f(x, a) uchun f(3, a) > 0, tenglamaning ikkita ildizi bor, biri x uchun< 3, когда пересекаются убывающая ветвь g(x) и монотонно не убывающая f(x, a) Другой при x >3, tez ortib boruvchi g(x) novdasi sekin o'sib boruvchi f(x, a) shoxini kesib o'tganda Javob: a (4, 18) 11-variant a parametrining barcha qiymatlarini toping, ularning har biri uchun istalgan qiymat uchun. b parametrining kamida bitta yechimi tenglamalar tizimiga ega (1+ 3 x)a +(b 4 b+5) y =, x y +(b) x y+ a + a=3 Fikrlash Tizim (1) ga o‘xshaydi. + 3 x)a +(1+(b) ) y =, Qulay x y +(b) x y=4 (a+ 1) a (1+3 x) =1, Yechim x = y = 0 va x y =4 (a +1) mos keladigan parametr qiymatlari ko'rinadi a = 1 va a = 3 singulyar nuqtani tahlil qiling b = Keyin (1+ 3 x)a +(1+(b)) y =, x y +(b) x y= 4 (a+ 1) Yechim sistemani shunday yozamiz Yechim x = y = 0 har doim a = 1 yoki a = 3 uchun mavjud bo‘lsa, b = bo‘lsa, sistema (1+ 3 x)a +1 y = ko‘rinishga ega bo‘ladi yoki x y =4 (a +1) (1+3 x)a=1, x y =4 (a +1) Agar a > 1 yoki a< 3 система не имеет решений, так как их не имеет второе уравнение Если 1 < a < 3, из второго уравнения получим, что x >0, birinchisidan a = 0 bo'lsin, a = 0 bo'lsin, keyin b = 4 uchun birinchi tenglamadan y = 0 ekanligini olamiz Bu holda ikkinchi tenglamaning yechimi yo'q Javob: 1 yoki 3 VV Shelomovskiy Tematik to'plamlar, cmdru /

13 13 14-variant parametrning barcha qiymatlarini toping, ularning har biri uchun x 6x a 4a = 0 tenglamaning ildizlari ayirmasining moduli qabul qilinadi. eng yuqori qiymat Yechish Tenglamani (x 3) = 1 (a) ko'rinishda yozamiz. Uning yechimi = 0 sinus va kosinus funksiyalarining davriyligi tufayli, masalani x=3± 1 (a) segmenti uchun yechish mumkin. ildizlarning farqi a = Javob: 15-variant parametrning barcha qiymatlarini toping, ularning har biri uchun (4 4 k) sin t =1 tenglama [ 3 p oraliqda kamida bitta yechimga ega; 5 p ] cos t 4 sin t Yechish Sinus va kosinus funksiyalarining davriyligi tufayli masalani t [ p oraliqda yechish mumkin; 15 p ], keyin olingan har bir yechimdan 4p ayiriladi Tenglamani + 4 k sin t cos t \u003d 0 cos t 4 sin t ko rinishga keltiring t segmentida [ p ; 15 p] sinus monoton noldan minus birgacha kamayadi, kosinus monoton ravishda minus birdan nolga oshadi Mahrama 4tgt = 1 da yo‘qoladi, ya’ni sin t = 1 4 da cos t = t = 15p 4k ga teng. Agar k 0 bo'lsa, ayiruvchi musbat va tenglamaning ildizlari yo'q Agar k > 0 bo'lsa, payning ikkala o'zgaruvchi hadi ham kamayadi, ya'ni hisoblagich monoton ravishda o'zgaradi Demak, pay bir marta nol qiymatini oladi, agar k 05 bo'lsa va bo'lsa. kichikroq qiymatlar uchun musbat k Agar pay nolga teng bo'lsa va maxraj nolga teng bo'lmasa, ya'ni 4k =+ 4 k sin t cos t + k bo'lsa, tenglama ildizga ega bo'ladi. Javob: k [ 05,+)\1 + ) 18-variant, undan (x a 5) + (y 3 a +5) \u003d 16, (x a) + (y a + 1) \u003d 81 tenglamalar tizimi o'ziga xos yechimga ega Fikrlash Har bir tenglama aylanani tasvirlaydi Yechim tangens doiralar misolida yagonadir Yechish Birinchi tenglama markazi (a + 5, 3a 5) va radiusi 4 da joylashgan aylanani belgilaydi Ikkinchi tenglama aylanadir. radiusi 9 V. V. V. Shelomovskiy bo'lgan (a +, a 1) nuqtada markazlashtirilgan Tematik to'plamlar, cmdru/

14 14 Agar aylanalar tangens bo'lsa, tizimning yagona yechimi bor Bu holda markazlar orasidagi masofa = 13 yoki 0 4 = 5 Markaz masofasining kvadrati: ((a + 5) (a +)) + ( (3a 5) (a 1)) = a a + 5 Agar masofa 5 bo'lsa, a = 0 yoki a = 1 Agar masofa 13 bo'lsa, a = 8 yoki a = 9 Javob: 8, 0, 1, 9 1-variant Parametrning barcha qiymatlarini toping, ularning har birida aniq ikkita manfiy bo'lmagan yechim tenglamasi 10 0,1 x a 5 x + a \u003d 004 x Yechim Biz o'zgartirishlarni bajaramiz 5 x a 5 x + a \u003d 5 x Belgilang t \ u003d 5x 1 5x ko‘rsatkichli funksiyaning monotonligi tufayli har bir ildiz t 1 aynan bitta x 0 ildiz hosil qiladi Tenglama t a t+ a t =0 ko‘rinishini oladi. 1 Agar t > a t/ bo‘lsa, t t + 3a = 0 t/ > a bo‘lsa, u holda t 3t a = 0 t > 1 uchun t 3t funksiyasi t = 1 dan t = 15 da 5 gacha monoton ravishda kamayadi va keyin monoton ravishda ortadi. Demak, 5 > a uchun ikkita ildiz bor, kichik a uchun ildiz yo'q, katta a uchun esa aynan bitta. n Javob: 5 > a Variant Parametrga qarab sistemaning yechimlar sonini toping x (a+1) x+ a 3= y, y (a+1) y + a 3= x Biz o‘ylaymizki, tizim ko‘rinadi. f(x)= y, f(y)= x yoki f(f(x)) = x Yechimlardan biri f(x)= x Ikkinchi yechim tenglamalarni ayirish orqali topiladi Yechish Ikkinchi tenglamani dan ayirish. birinchi tenglamani olamiz (x + y a)(x y) = 0 Birinchi tenglamada x = y o'rniga qo'ying, o'zgartiring Biz (x a 1) = 4 + a ni olamiz x + y = a Birinchi tenglamada o'rniga qo'ying, o'zgartiring: (x a) = 3 + a Agar a<, корней нет Если a =, то x = y = a + 1, единственное решение Если 15 >a >, ya'ni yechimlar juftligi x= y =a+ 1± 4+ a Agar a = 15 bo'lsa, ikkita yechim: x = y = a, x = y = a + 15 bo'lsa.< a то решения x= y =a+ 1± 4+ a, x=a± 3+ a, y= a x Ответ: a < нет решений, а = одно, 15 a >, ikkita yechim, a > 15 toʻrtta yechim VV Shelomovskiy Tematik toʻplamlar, cmdru/

15 15 4-variant a ning barcha qiymatlarini toping, ularning har biri uchun 7 x 6 +(4 a x)3 +6 x +8 a=4 x tenglamaning ildizlari yo'q Fikrlash 8a 4x = (4a x), 7x6 = (3x)3 Demak, tenglama bir xil ifodalar kublarining yig‘indisi va yig‘indisini o‘z ichiga oladi.Bundan foydalanish mumkin Yechish Tenglamani (3 x)3 +(4 a x)3+ (3 x) ko‘rinishga o‘tkazamiz. + 4 a x)=0 Kublar yig'indisini kengaytiring (3 x +4 a x) ( (3 x) 3 x (4 a x)+(4 a x) +)=0 Ikkinchi omil - bu farqning to'liq bo'lmagan kvadrati Bu musbat.Birinchi koeffitsientdagi kvadratni tanlab, 1 1 3(x) + 4 a = Bu tenglamaning ildizlari yo'q, agar 4 a > 0 bo'lsa, a > 3 1 Javob: 1a > 1 8-variantni toping. a qiymatlari, ularning har biri uchun x a x funksiyaning eng katta qiymati bittadan kam emas Yechim Agar x a, f (x, a) \u003d x a x funksiyasi x = 0,5 uchun maksimal, maksimal 0,5 a. A da< 0,5 наибольшее значение функции 0,5 а 1 при 075 а Если x < a, функция f(x,a) = a x x Она максимальна при x = 0,5, максимум равен a + 05 При a >0,5 funksiyaning eng katta qiymati a + 0,5 1 bilan 0,75 Javob: a 0,75 yoki 075 a a, x = 8y + b ning yechimlari juft bo‘ladi Yechish: Birinchi tenglamadan y > 0, ikkinchisi tenglamani 8 ko'rinishga o'tkazish mumkin: y=, x (b; +) Shu jumladan y: x b f (x) = x a = 0; f `(x) = 4 x 3 + x b (x b)3 Olingan tenglamaning har bir ildizi dastlabki tizimning aynan bitta yechimini hosil qiladi.< 0 функция f(x) монотонно возрастает от минус бесконечности до f(х1), уменьшается до f(х) и вновь монотонно возрастает при положительных иксах до плюс бесконечности Уравнение может иметь чётное число корней два только если корень совпадает с минимумом или максимумом функции, то есть в точке корня производная равна нулю, то есть f(х1) = g(х1) = 0 Исключая корень из уравнений, найдём: а = (4х1 + х14) Полученная функция имеет максимум при х1 = 1 (а = 3; b = 1,5), поэтому для любого a (0; 3) существуют х1, х х1 и b, при которых число корней равно два Однако при а = 3 х ВВ Шеломовский Тематические комплекты, cmdru/

16 16 \u003d x1, ikkala ildiz ham bir xil va f (x) \u003d 0 tenglama faqat bitta ildizga ega = x (x b) + 1 = 0 Oxirgi tenglama bir yoki ikkita ildizga ega bo'lishi mumkin va faqat manfiy x bilan. Tematik to'plamlar, cmdru/

Yagona davlat imtihoni uchun C5 tipidagi vazifalarni hal qilish misollari 013 To'plamdagi chizmalarning aksariyati interaktivdir. Grafiklarning parametrlari va tenglamalarini o'zgartirishingiz mumkin. Interaktiv fayllarni kiritish tugmani bosish orqali amalga oshiriladi

41-mavzu “Parametrli topshiriqlar” Parametrli topshiriqlarning asosiy formulalari: 1) Har biri ma’lum shartni qanoatlantiradigan barcha parametr qiymatlarini toping.) Tenglama yoki tengsizlikni yeching.

1 Funksiyalar, ularning grafiklari va tegishli isbotlari Mundarija 1 Ildizlar va ularning soni...1 1.1 Tenglama ildizlari...1 1.1.a Tenglama ildizlari...1 1. Ildizlar soni... 1. Ildizlar soni. .. 1.4 Funktsionallik

18-topshiriq Topshiriqlarni baholash mezonlari 18-Mezon mazmuni Ballar To‘g‘ri javobni asosli ravishda oldi. 4 To'g'ri mulohazalar yordamida kerakli qiymatdan chekli son bilan farq qiluvchi a qiymatlari to'plami olinadi.

a x = b chiziqli tenglamada quyidagilar mavjud: yagona yechim, a 0 uchun; cheksiz yechimlar to'plami, a = 0, b = 0 uchun; a = 0, b 0 uchun yechimlari yo'q. ax 2 + bx + c = 0 kvadrat tenglamada quyidagilar mavjud: ikki xil

GRAFIKLAR TURLARI Formula: y = kx + b k chiziqning qiyaligini bildiradi b chiziq koordinata boshiga nisbatan necha birlik yuqoriga yoki pastga siljiganligini ko'rsatadi Agar k musbat bo'lsa, chiziq ortadi. MASALLAR: y =

C5 a ning har bir qiymati uchun tizimni yeching. Tizimga yechim beradigan juftliklar shartlarni qondirishi kerak. Tizimning ikkinchi tenglamasidan biz topamiz.

23-topshiriq 314690. - da kesishadigan funksiya grafigini tuzing va to'g'ri chiziq qaysi qiymatlarda uch nuqtada uchlik grafik ekanligini aniqlang. Funksiya grafigini tuzamiz (rasmga qarang). Grafikdan ko'rinib turibdiki, chiziq

Parametrli masalalar (echishning grafik usuli) Kirish Parametrli masalalarni o'rganishda grafiklardan foydalanish nihoyatda samaralidir. Ularni qo'llash usuliga qarab, ikkita asosiy yondashuv mavjud.

Talabalarni profil darajasidagi matematikadan yagona davlat imtihoniga tayyorlash tizimi. (parametrli topshiriqlar) Nazariy material Ta'rif. Parametr muammodagi qiymati hisobga olinadigan mustaqil o'zgaruvchidir

Mustaqil qaror qabul qilish uchun vazifalar. 6x funksiyaning sohasini toping. Funksiya grafigining M (;) nuqtasidan o‘tuvchi tangensning x o‘qiga moyillik burchagi tangensini toping. Burchakning tangensini toping

Vebinar 5 Mavzu: Tekshirish Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik (8-topshiriq) 8-topshiriq a parametrining barcha qiymatlarini toping, ularning har biri uchun a a 0 tenglamasi yetti yoki sakkizta yechimga ega bo'lsin, keyin t t Boshlang'ich tenglama

Bu to'g'ri javob bo'lgani uchun tizim ikki yoki undan ortiq shartlarning bajarilishini talab qiladi va biz bu qiymatlarni qidiramiz noma'lum qiymat birdaniga barcha shartlarni qanoatlantiradigan tengsizliklarning har birining yechimini tasvirlaylik

8-bob Funksiyalar va grafiklar O'zgaruvchilar va ular orasidagi bog'liqliklar. Ikki miqdor va agar ularning nisbati doimiy bo'lsa, to'g'ridan-to'g'ri proportsional deyiladi, ya'ni = bo'lsa, bu erda o'zgarish bilan o'zgarmaydigan doimiy son.

36-mavzu “Funksiyalarning xossalari” Ixtiyoriy funksiya y = f (x) grafigiga misol yordamida funksiya xossalarini tahlil qilamiz: 1. Funksiya sohasi o‘zgaruvchining barcha qiymatlari to‘plamidir. mos keladigan x

Umumiy ma'lumot Parametrli vazifalar C tipidagi vazifa moduli bilan tenglamalar 5 1 Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik Dixtyar M.B. 1. X sonining mutlaq qiymati yoki moduli x sonining o'zi, agar x 0 bo'lsa; x raqami,

Irratsional tengsizliklar O'zgaruvchi ildiz belgisi ostida joylashgan tengsizliklar irratsional deb ataladi.Irratsional tengsizliklarni yechishning asosiy usuli asl tengsizlikni kamaytirish usulidir.

Matematika va informatika kafedrasi Oliy matematika elementlari masofaviy texnologiyalar Modul hisobi tuzilgan:

Turli masalalarda kvadratik funksiya Dixtyar MB Asosiy ma'lumotlar Kvadrat funksiya (kvadrat uch a'zo) y ax bx c ko'rinishdagi funksiya bo'lib, bu erda abc, berilgan sonlar va Kvadrat funksiyalar y.

“Tangensial tenglama” mavzusidagi topshiriqlar tizimi y f funksiya grafigiga chizilgan tangens qiyaligining belgisini aniqlang a, b, c a) abscissalar bo’lgan nuqtalarda b) hosila bo’lgan nuqtalarni ko’rsating.

MODULLAR BILAN TENGLAMALAR VA TENGSIZLIKLAR Gushchin DD www.mathnet.spb.ru 1 0. Eng oddiy tenglamalar. Eng oddiy (oddiy emas) tenglamalar uchun biz quyidagi tenglamalardan biri bilan yechilgan tenglamalarga murojaat qilamiz.

MODUL “Uzluksizlik va hosilalarni qo‘llash. Hosilini funksiyalarni o‘rganishda qo‘llash. Uzluksizlikning qo'llanilishi.. Intervallar usuli.. Grafikga tangens. Lagrange formulasi. 4. Hosilning qo‘llanilishi

R E A L N O V A R I A N T A E G E ECHIMI - 2001 P O M A T E M A T I K E 1-qism A1. Ifodaning qiymatini toping. 1. 15 2. 10 3. 5 4. Yechish. Javob: 1. A2. Ifodani soddalashtiring. bitta.

Sinf o‘quvchilarining matematik madaniyatining kompetensiyaga asoslangan komponentini shakllantirish metodikasi Matematika fanidan o‘quv modullarini o‘rganish tizimi I. K. Sirotina, kafedra katta o‘qituvchisi. axborot texnologiyalari

Algebra 0 sinf Mavzu Trigonometrik funksiyalar va o zgarishlar Tayanch tushunchalar Z harfi butun sonlar to plamini bildiradi: Z (0; ; ; ;) a sonining [- oraliqga tegishli yoysi; ], deyiladi

111 Funktsiyalar Asosiy daraja Mundarija 11101 Koordinata tizimlari 1110 Funksiya tushunchasi 7 1110 Funksiya sohasi 10 11104 Funksiya qiymatlari sohasi (to'plami) 1 11105 O'sish va kamaytirish funksiyasi

Bob TESTLAR T-0 Grafik bo'yicha funktsiyani tekshirish T-0 Ratsional funktsiya grafigi va formula T-0 o'rtasidagi muvofiqlik Grafikni xossalari bo'yicha qurish T-04 Grafikni parallel uzatish T-05 Simmetrik

Matematikadan Yagona davlat imtihoni, 7 yillik demo A qism 6p p ifoda qiymatini p bilan toping = Yechish Darajaning xususiyatidan foydalaning: Hosil boʻlgan ifodani oʻrniga qoʻying Toʻgʻri

8-dars Asosiy trigonometrik formulalar (davomi) Trigonometrik funktsiyalar Mahsulotni o'zgartirish trigonometrik funktsiyalar sinus va kosinus ko'paytmasini aylantirish uchun formulalarni yig'ish

FUNKSIYALAR. Funksiya tushunchasi. Aytaylik, odamning tezligi 5 km/soat. Agar sayohat vaqtini x soat, bosib o'tgan masofani y km deb olsak, bosib o'tgan masofaning sayohat vaqtiga bog'liqligi quyidagicha bo'lishi mumkin.

Imtihon haqida umumiy ma'lumot Profil darajasi 0-topshiriq Parametrli masalalar Kvadrat tenglamalar va kvadrat trinomli tenglamalar Dixtyar MB tenglama f (a) x + g(a) x + s (a) = 0, bunda f (a) 0,

2017 yil Yagona davlat imtihonining 18-topshiriqlari atrofida A.V. Shevkin, [elektron pochta himoyalangan] Izoh: Maqolada parametr bilan bir qator vazifalarni hal qilishning turli usullari tahlil qilinadi. Kalit so‘zlar: tenglama, tengsizlik, parametr, funksiya,

Ikkinchi tartibli egri chiziqlar Doira ellips giperbola Parabola To'g'ri to'rtburchak dekart koordinatalar tizimi tekislikda berilgan bo'lsin. Ikkinchi tartibli egri chiziq koordinatalarini qanoatlantiradigan nuqtalar to'plamidir

Muammolarni hal qilishda turli yondashuvlar C C C5 Yagona davlat imtihoni 9 yillik Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik (o'qituvchilar uchun ma'ruza uchun material) Prokofyev AA. [elektron pochta himoyalangan] Topshiriqlar C Misol (FOYDALANISH C) y si (si) tenglamalar tizimini yeching (7 y)

1-bilet 9 10. Yechimlar 9-bilet 1. f(x) chiziqli funksiya berilgan. Ma'lumki, y = x va y = f(x) grafiklarning kesishish nuqtalari orasidagi masofa 10 ga teng, y = grafiklarning kesishish nuqtalari orasidagi masofa.

Matematika va informatika kafedrasi Matematik tahlil Masofaviy texnologiyalardan foydalangan holda tahsil olayotgan HPE talabalari uchun o‘quv-uslubiy majmua 4-modul Hosila qo‘llanilishi Tuzuvchi: dotsent

Samolyotda 5-ma'ruza. Ta'rif. Tekislikdagi har qanday to'g'ri chiziq birinchi tartibli tenglama bilan berilishi mumkin va A, B konstantalari bir vaqtning o'zida nolga teng emas. Bu birinchi tartibli tenglama umumiy tenglama deyiladi.

8-sinf Qarorlari 017-018 Topshiriq 1-topshiriq (x x 7) (x x) tenglamaning ildizlari kublari yig’indisini toping 0. Tenglamani yechish uchun o’zgaruvchini o’zgartirish usulidan foydalanamiz. y \u003d x + x 7, keyin x + x \u003d (x) ni belgilang

HOSILA FUNKSIYANING QO'LLANISHI Tangens tenglamasi Quyidagi masalani ko'rib chiqaylik: funktsiya grafigiga bir nuqtada chizilgan tangens l tenglamasini hosilaning geometrik ma'nosiga ko'ra yozish kerak.

FUNKSIYALARNING TADQIQATI Funksiyaning ortishi va kamayishi uchun yetarli shartlar: Differensiallanuvchi funksiyaning hosilasi qaysidir X oraliq ichida musbat bo‘lsa, u holda bu oraliqda ortadi.

Veb-seminar 7 (6-7) Mavzu: Parametrlardan FOYDALANISH Profil Vazifa 8 Barcha parametr qiymatlarini toping, ularning har biri uchun 5 5 5 funktsiya qiymatlari to'plami segmentni o'z ichiga oladi, har biri uchun barcha parametr qiymatlarini toping.

5.0. 014 Ajoyib ish. Parametrli tenglamalar va tenglamalar tizimi. Tajriba kirish imtihonlari universitetlarga parametrlarni o'z ichiga olgan tenglamalar va tengsizliklarni echish katta qiyinchiliklar tug'dirishini ko'rsatadi.

L.A. Strauss, I.V. Barinova Yagona davlat imtihon yo'riqnomasida parametr bilan vazifalar y=-x 0 -a- -a x -5 Ulyanovsk 05 Strauss L.A. Imtihondagi parametrli vazifalar [Matn]: ko'rsatmalar/ L.A. Strauss, I.V.

13-ma'ruza Mavzu: Ikkinchi tartibli egri chiziqlar Tekislikdagi ikkinchi tartibli egri chiziqlar: ellips, giperbola, parabola. Geometrik xossalari asosida ikkinchi tartibli egri chiziq tenglamalarini chiqarish. Ellips shaklini o'rganish,

Matematika 8-sinf 2 DASTUR MAZMUNI 1-bo'lim. Algebraik kasrlar (24 soat) Algebraik kasrlar haqida tushuncha. Algebraik kasrning asosiy xossasi. Kamaytirish algebraik kasrlar. Qo‘shish va ayirish

10-mavzu “Grafika elementar funktsiyalar". bitta. Chiziqli funksiya f(x) = kx + b. Grafik to'g'ri chiziqdir. 1) Aniqlash sohasi D(f) = R.) E(f) = R qiymatlar sohasi. 3) x = k/b uchun y = 0 funksiyaning nollari. 4) ekstremal

P0 hosilasi Argumentga qarab ba'zi f () funktsiyasini ko'rib chiqing. Bu funktsiya 0 nuqtada va uning qo'shnisining ba'zi qismida, shu nuqtada va uning qo'shnisida uzluksiz aniqlansin.

Parametrli vazifalar (10-11-sinflar) Parametrlar bir xil raqamlar, faqat oldindan ma'lum emas 1 Chiziqli tenglamalar va parametrli tengsizliklar Chiziqli funksiya: - qiyalikli to‘g‘ri chiziq tenglamasi.

Variant Funksiyaning aniqlanish sohasini toping: y + Berilgan funksiyaning aniqlanish sohasi tengsizlik bilan aniqlanadi Bundan tashqari, maxraj yoʻqolib ketmasligi kerak Mahramaning ildizlarini toping: Natijalarni birlashtirish.

15-BILET Fiztex 017. 15-chipta 16. Yechim 1. Ma’lumki, argumentning ketma-ket uchta natural qiymatlari uchun f(x) kvadrat funksiyasi mos ravishda 1, 1 va 5 qiymatlarini oladi. Eng kichigini toping

Funksiyalar grafiklarini qurish 1. Grafikni tuzishda funktsiyani o'rganish rejasi 1. Funksiyaning sohasini toping. Ko'pincha funktsiyaning bir nechta qiymatlarini hisobga olish foydalidir. Funktsiyaning maxsus xususiyatlarini o'rganing:

geometrik ma'no hosila y=f(x) funksiya grafigini va P 0 (x 0 ; f(x 0)) nuqtadagi tangensni ko'rib chiqaylik. Keling, topamiz qiyalik o'sha nuqtadagi grafikga teginish. Tangensning qiyalik burchagi R 0

Hosilning geometrik ma'nosi, tangens 1. Rasmda y \u003d f (x) funksiyaning grafigi va abscissa x 0 nuqtasida unga tegish ko'rsatilgan. f funktsiyaning hosilasi qiymatini toping ( x) nuqtada x 0. Qiymat

Ta'lim va fan vazirligi Rossiya Federatsiyasi Moskva fizika-texnika instituti ( Davlat universiteti) Sirtqi fizika-texnika maktabi MATEMATIKA Parametrli masalalar yechish (01 015)

KVADRATIK TENGLAMALAR kvadrat tenglamalar nisbatan

Parametrli tenglamalar, tengsizliklar, tizimlar Vazifalarga javoblar so'z, ibora, raqam yoki so'zlar, raqamlar ketma-ketligidir. Javobingizni boʻsh joy, vergul yoki boshqa qoʻshimcha belgilarsiz yozing.

PARAMETRLAR BILAN VAZIFA BO'limi Sharh Parametrli topshiriqlar an'anaviy hisoblanadi qiyin vazifalar Yagona davlat imtihonining tuzilishida talabnoma beruvchidan nafaqat turli xil muammolarni hal qilishning barcha usullari va usullarini o'zlashtirishni talab qiladi.

Matematika. Topshiriqlar to'plami (14, 01 aprel). - bilan vazifalar. Muammo 1. a parametrining qaysi qiymatlari uchun tenglama yagona yechimga ega 4 + 1 = + a ax x x x a Masala. Hammasini to'g'ri deb toping

IV Yakovlev Matematikadan materiallar MathUs.ru Interval usuli Interval usuli - ratsional tengsizliklar deb ataladigan narsalarni yechish usuli. Umumiy tushuncha ratsional tengsizlikni keyinroq muhokama qilamiz, lekin hozircha

Differensial hisoblash Matematik analizga kirish Ketma-ketlik va funksiya chegarasi. Ichidagi noaniqliklarni oshkor qilish. Funktsiya hosilasi. Farqlash qoidalari. Tsiklning qo'llanilishi

I qism (609-variant) A Ildiz belgisi ostidagi omil 8 q A) q 8) q 8) q 8) q 8 8 8 q q To‘g‘ri javob) Ifodaning qiymatini toping),5) To‘g‘ri javob) 9 a = bilan a a)) 8 A log 8 Qiymatni toping

Yechimlar A Bu raqamlarning hammasini son o‘qiga chizamiz.Hammasining chap tomonida joylashgan va eng kichiki Bu son 4 ga teng Javob: 5 A Tengsizlikni tahlil qilamiz Sonlar o‘qida qanoatlantiruvchi sonlar to‘plami.

6..N. Hosil 6..H. Hosil. Mundarija 6..0.N. Hosila Kirish.... 6..0.N. Hosil murakkab funktsiya.... 5 6..0.N. Funksiyalarning modulli hosilalari.... 7 6..0.N. Ko'tarilish va tushish