Endi biz alohida kasrlarni qo'shish va ko'paytirishni o'rganganimizdan so'ng, yanada murakkab tuzilmalarni ko'rib chiqishimiz mumkin. Masalan, kasrlarni qo'shish, ayirish va ko'paytirish bitta masalada sodir bo'lsa-chi?

Avvalo, barcha kasrlarni noto'g'ri bo'lganlarga aylantirishingiz kerak. Keyin biz kerakli harakatlarni ketma-ket bajaramiz - oddiy raqamlar bilan bir xil tartibda. Aynan:

1. Birinchidan, eksponentsiya bajariladi - ko'rsatkichlar bo'lgan barcha ifodalardan xalos bo'ling;
2. Keyin - bo'linish va ko'paytirish;
3. Oxirgi bosqich - qo'shish va ayirish.

Albatta, agar iborada qavslar mavjud bo'lsa, harakatlar tartibi o'zgaradi - birinchi navbatda qavs ichidagi hamma narsani ko'rib chiqish kerak. Va noto'g'ri kasrlar haqida unutmang: siz boshqa barcha harakatlar allaqachon tugallangandan keyingina butun qismni tanlashingiz kerak.

Keling, birinchi ifodadagi barcha kasrlarni noto'g'ri bo'lganlarga aylantiramiz va keyin quyidagi amallarni bajaramiz:

Endi ikkinchi ifodaning qiymatini topamiz. Butun qismli kasrlar yo'q, lekin qavslar mavjud, shuning uchun biz birinchi navbatda qo'shishni amalga oshiramiz va shundan keyingina bo'linadi. E'tibor bering, 14 = 7 2. Keyin:

Nihoyat, uchinchi misolni ko'rib chiqing. Bu erda qavslar va daraja bor - ularni alohida hisoblash yaxshiroqdir. 9 = 3 3 ekanligini hisobga olsak, bizda:

Oxirgi misolga e'tibor bering. Kasrni darajaga ko'tarish uchun siz hisoblagichni ushbu darajaga va maxrajni alohida ko'tarishingiz kerak.

Siz boshqacha qaror qilishingiz mumkin. Agar daraja ta'rifini eslasak, muammo odatdagi kasrlarni ko'paytirishga qisqartiriladi:

Ko'p qavatli fraktsiyalar

Hozirgacha biz faqat "sof" kasrlarni ko'rib chiqdik, bunda pay va maxraj oddiy sonlardir. Bu birinchi darsda berilgan sonli kasrning ta'rifiga mos keladi.

Ammo hisoblagich yoki maxrajga murakkabroq ob'ekt qo'yilsa-chi? Masalan, boshqa raqamli kasr? Bunday konstruktsiyalar juda tez-tez uchraydi, ayniqsa uzun iboralar bilan ishlashda. Mana bir nechta misollar:

Ko'p qavatli fraktsiyalar bilan ishlash uchun faqat bitta qoida mavjud: siz darhol ulardan xalos bo'lishingiz kerak. "Qo'shimcha" qavatlarni olib tashlash juda oddiy, agar esda tutsangiz, kasr paneli standart bo'linish operatsiyasini anglatadi. Shuning uchun har qanday kasrni quyidagicha qayta yozish mumkin:

Ushbu faktdan foydalanib va ​​protseduraga rioya qilgan holda, biz har qanday ko'p qavatli fraktsiyani oddiy qismga osongina kamaytirishimiz mumkin. Misollarni ko'rib chiqing:

Vazifa. Ko'p qavatli kasrlarni oddiy kasrlarga aylantiring:

Har bir holatda, biz asosiy kasrni qayta yozamiz, bo'linish chizig'ini bo'linish belgisi bilan almashtiramiz. Shuni ham yodda tutingki, har qanday butun sonni maxraji 1 bo'lgan kasr sifatida ko'rsatish mumkin. Ya'ni, 12 = 12/1; 3 = 3/1. Biz olamiz:

Oxirgi misolda, kasrlar oxirgi ko'paytirishdan oldin qisqartirildi.

Ko'p qavatli fraktsiyalar bilan ishlashning o'ziga xos xususiyatlari

Ko'p qavatli fraktsiyalarda har doim eslab qolishi kerak bo'lgan bir noziklik bor, aks holda siz barcha hisob-kitoblar to'g'ri bo'lsa ham, noto'g'ri javob olishingiz mumkin. Qarab qo'ymoq:

1. Numeratorda alohida raqam 7, maxrajda esa - kasr 12/5;
2. Numerator 7/12 kasr, maxraj esa yagona raqam 5.

Shunday qilib, bitta rekord uchun biz ikkita butunlay boshqacha talqin oldik. Agar hisoblasangiz, javoblar ham boshqacha bo'ladi:

Yozuv har doim bir ma'noda o'qilishini ta'minlash uchun oddiy qoidadan foydalaning: asosiy kasrning bo'linuvchi chizig'i ichki chiziqdan uzunroq bo'lishi kerak. Tercihen bir necha marta.

Agar siz ushbu qoidaga amal qilsangiz, yuqoridagi kasrlar quyidagicha yozilishi kerak:

Ha, ehtimol u xunuk va juda ko'p joy egallaydi. Lekin siz to'g'ri hisoblaysiz. Va nihoyat, ko'p darajali kasrlar haqiqatan ham sodir bo'ladigan bir nechta misollar:

Vazifa. Ifoda qiymatlarini toping:

Shunday qilib, keling, birinchi misol bilan ishlaylik. Keling, barcha kasrlarni noto'g'ri bo'lganlarga aylantiramiz va keyin qo'shish va bo'lish amallarini bajaramiz:

Ikkinchi misol bilan ham xuddi shunday qilaylik. Barcha kasrlarni noto'g'riga aylantiring va kerakli amallarni bajaring. O'quvchini zeriktirmaslik uchun men ba'zi aniq hisob-kitoblarni o'tkazib yuboraman. Bizda ... bor:

Bosh kasrlarning ayiruvchisi va maxrajida yig‘indi bo‘lganligi sababli, ko‘p qavatli kasrlarni yozish qoidasi avtomatik tarzda bajariladi. Bundan tashqari, oxirgi misolda, bo'linishni bajarish uchun ataylab 46/1 raqamini kasr shaklida qoldirdik.

Shuni ham ta'kidlaymanki, ikkala misolda ham kasr satri qavslar o'rnini egallaydi: birinchi navbatda, biz yig'indini topdik va shundan keyingina - qism.

Kimdir ikkinchi misolda noto'g'ri kasrlarga o'tish aniq ortiqcha bo'lganligini aytadi. Balki shundaydir. Ammo bu bilan biz o'zimizni xatolardan sug'urta qilamiz, chunki keyingi safar misol ancha murakkab bo'lib chiqishi mumkin. O'zingiz uchun muhimroq narsani tanlang: tezlik yoki ishonchlilik.

Ushbu maqolaning materiali kasrlarni o'z ichiga olgan iboralarni o'zgartirishga umumiy nuqtai nazardir. Bu erda biz kasrli ifodalarga xos bo'lgan asosiy o'zgarishlarni ko'rib chiqamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Kasrli ifodalar va kasrli ifodalar

Boshlash uchun, keling, qanday ifoda konvertatsiyasi bilan shug'ullanmoqchi ekanligimizni aniqlaylik.

Maqolaning sarlavhasida o'z-o'zidan tushunarli ibora mavjud " kasrli ifodalar". Ya'ni, quyida biz sonli ifodalarni va o'zgaruvchili ifodalarni o'zgartirish haqida gapiramiz, ularning yozuvida kamida bitta kasr mavjud.

Darhol ta'kidlaymizki, maqola nashr etilgandan so'ng " Kasrlarni o'zgartirish: umumiy ko'rinish"Bizni endi alohida kasrlar qiziqtirmaydi. Shunday qilib, keyinchalik biz summalar, farqlar, mahsulotlar, qisman va boshqalarni ko'rib chiqamiz murakkab ifodalar faqat kamida bitta kasr mavjudligi bilan birlashtirilgan ildizlar, darajalar, logarifmlar bilan.

Va keling, bu haqda gaplashaylik kasrli ifodalar. Bu kasrli ifodalar bilan bir xil emas. Kasrli ifodalar - ko'proq umumiy tushuncha. Kasrli har bir ifoda kasrli ifoda emas. Masalan, ifoda kasrli ifoda emas, garchi u kasrni o'z ichiga olsa ham, u butun sonli ratsional ifodadir. Shunday ekan, kasrli ibora borligiga to‘liq ishonchingiz komil bo‘lmay turib, uni kasrli ifoda demang.

Kasrli ifodalarni asosiy bir xil o'zgartirishlar

Misol.

Ifodani soddalashtiring .

Yechim.

Bunday holda siz qavslarni ochishingiz mumkin, bu ifodani beradi , unda va kabi shartlar, shuningdek, -3 va 3 mavjud. Ularni qisqartirgandan so'ng, biz kasrni olamiz.

Keling, ko'rsataylik qisqa shakl Yechim yozuvlari:

Javob:

.

Alohida kasrlar bilan ishlash

O‘zgartirish haqida gapirayotgan iboralar boshqa iboralardan asosan kasrlar mavjudligi bilan farqlanadi. Va kasrlarning mavjudligi ular bilan ishlash uchun vositalarni talab qiladi. Ushbu paragrafda biz ushbu ifoda yozuviga kiritilgan alohida kasrlarni o'zgartirishni muhokama qilamiz va keyingi xatboshida biz asl ifodani tashkil etuvchi kasrlar bilan amallarni bajarishga kirishamiz.

Har qanday kasr bilan ajralmas qismi original ifoda bo'lsa, siz Fraktsiyani aylantirish maqolasida ko'rsatilgan har qanday konvertatsiyani amalga oshirishingiz mumkin. Ya'ni, siz alohida kasrni olishingiz, uning soni va maxraji bilan ishlashingiz, uni kamaytirishingiz, yangi maxrajga olib kelishingiz va hokazo. Ko'rinib turibdiki, bu o'zgartirish bilan tanlangan kasr unga bir xil teng kasr bilan almashtiriladi va dastlabki ifoda o'rniga unga teng bo'lgan ifoda qo'yiladi. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.

Misol.

Kasr bilan ifodani aylantirish oddiyroq shaklga.

Yechim.

Transformatsiyani kasr bilan ishlashdan boshlaylik. Birinchidan, qavslarni oching va kasrning soniga o'xshash shartlarni bering: . Endi hisoblagichdagi umumiy koeffitsient x ni qavsga qo'yish va algebraik kasrni keyinchalik kamaytirishni iltimos qiladi: . Asl ifodadagi kasr o'rniga olingan natijani almashtirishgina qoladi, bu esa beradi .

Javob:

.

Kasrlar bilan amallarni bajarish

Kasrlar bilan ifodalarni aylantirish jarayonining bir qismi ko'pincha amalga oshiriladi kasrlar bilan amallar. Ular harakatlarni amalga oshirishning qabul qilingan tartibiga muvofiq amalga oshiriladi. Shuni ham yodda tutish kerakki, har qanday raqam yoki ifoda har doim maxraji 1 bo'lgan kasr sifatida ifodalanishi mumkin.

Misol.

Ifodani soddalashtiring .

Yechim.

Muammoga turli tomonlardan yondashish mumkin. Ko'rib chiqilayotgan mavzu doirasida biz kasrlar bilan amallarni bajarish orqali boramiz. Keling, kasrlarni ko'paytirishdan boshlaylik:

Endi biz hosilani maxraji 1 bo'lgan kasr sifatida yozamiz, shundan so'ng kasrlarni ayiramiz:

Agar xohlasa va kerak bo'lsa, denominatordagi mantiqsizlikdan qutulish mumkin , unda siz o'zgartirishni tugatishingiz mumkin.

Javob:

Ildizlar, darajalar, logarifmlar va boshqalarning xossalarini qo'llash.

Kasrli iboralar sinfi juda keng. Bunday iboralar, kasrlarning o'zidan tashqari, ildizlarni, turli darajali darajalarni, modullarni, logarifmlarni, trigonometrik funktsiyalarni va boshqalarni o'z ichiga olishi mumkin. Tabiiyki, ular aylantirilganda, tegishli xususiyatlar qo'llaniladi.

Kasrlarga nisbatan qo'llaniladigan kasr ildizining xossasini, kasrning darajaga bo'lgan xususiyatini, qism modulining xususiyatini va farqning logarifmi xususiyatini ajratib ko'rsatish kerak. .

Aniqlik uchun biz bir nechta misollarni keltiramiz. Masalan, ifodada Darajaning xususiyatlaridan kelib chiqib, birinchi kasrni daraja bilan almashtirish foydali bo'lishi mumkin, bu esa keyinchalik ifodani kvadrat farq sifatida ko'rsatishga imkon beradi. Logarifmik ifodani o'zgartirganda kasrning logarifmini logarifmlar ayirmasi bilan almashtirish mumkin, bu bizga o'xshash atamalarni keltirish va shu bilan ifodani soddalashtirish imkonini beradi: . Trigonometrik ifodalarni o'zgartirish uchun sinusning bir xil burchakdagi kosinusga nisbatini tangens bilan almashtirish kerak bo'lishi mumkin. Tegishli formulalar yordamida yarim argumentdan butun argumentga o'tish kerak bo'lishi mumkin va shu bilan kasr argumentidan xalos bo'lish kerak, masalan: .

Ildizlarning, darajalarning va boshqalarning xususiyatlarini qo'llash. iboralarning o'zgarishi maqolalarda batafsil yoritilgan:

• Ildiz xossalari yordamida irratsional ifodalarni o'zgartirish;
• Quvvatlarning xususiyatlaridan foydalangan holda ifodalarni o'zgartirish,
• Logarifmlarning xossalaridan foydalangan holda logarifmik ifodalarni aylantirish,
• Trigonometrik ifodalarni konvertatsiya qilish.

Algebra kursidan maktab o'quv dasturi Keling, aniqliklarga o'taylik. Ushbu maqolada biz ratsional ifodalarning maxsus turini batafsil o'rganamiz - ratsional kasrlar, shuningdek, qanday xarakteristikani bir xil ekanligini tahlil qiling ratsional kasrlarni o'zgartirish sodir bo'ladi.

Biz darhol ta'kidlaymizki, biz quyida belgilagan ma'nodagi ratsional kasrlar ba'zi algebra darsliklarida algebraik kasrlar deb ataladi. Ya'ni, ushbu maqolada biz ratsional va algebraik kasrlar ostida bir xil narsani tushunamiz.

Odatdagidek, biz ta'rif va misollar bilan boshlaymiz. Keyinchalik, ratsional kasrni yangi maxrajga keltirish va kasr a'zolarining belgilarini o'zgartirish haqida gapiraylik. Shundan so'ng biz kasrlarni qisqartirish qanday amalga oshirilishini tahlil qilamiz. Nihoyat, ratsional kasrni bir necha kasrlar yig‘indisi sifatida tasvirlash haqida to‘xtalib o‘tamiz. Barcha ma'lumotlar yechimlarning batafsil tavsifi bilan misollar bilan ta'minlanadi.

Sahifani navigatsiya qilish.

Ratsional kasrlarning ta'rifi va misollari

Ratsional kasrlar 8-sinfda algebra darslarida o‘rganiladi. Yu.N.Makarychev va boshqalarning 8-sinflar uchun algebra darsligida berilgan ratsional kasr ta’rifidan foydalanamiz.

DA bu ta'rif ratsional kasrning pay va maxrajidagi ko‘phadlar standart ko‘rinishdagi ko‘phad bo‘lishi kerakmi yoki yo‘qmi, aniqlanmagan. Shuning uchun biz ratsional kasrlar standart va nostandart ko'phadlarni o'z ichiga olishi mumkin deb faraz qilamiz.

Mana bir nechtasi ratsional kasrlarga misollar. Shunday qilib, x/8 va - ratsional kasrlar. Va kasrlar va ratsional kasrning tovushli ta'rifiga to'g'ri kelmaydi, chunki ularning birinchisida ayiruvchi ko'phad emas, ikkinchisida esa ayiruvchi ham, maxraji ham ko'phad bo'lmagan ifodalarni o'z ichiga oladi.

Ratsional kasrning ayiruvchi va maxrajini aylantirish

Har qanday kasrning soni va maxraji o'z-o'zidan etarli bo'lgan matematik ifodalar bo'lib, ratsional kasrlarda ular ko'phadlar, muayyan holatda ular monomlar va sonlardir. Shuning uchun, har qanday ifodada bo'lgani kabi, ratsional kasrning soni va maxraji bilan bir xil o'zgarishlarni amalga oshirish mumkin. Boshqacha qilib aytganda, ratsional kasrning numeratoridagi ifodani xuddi maxraj kabi unga teng bo'lgan ifoda bilan almashtirish mumkin.

Ratsional kasrning hisoblagichi va maxrajida bir xil o'zgartirishlar amalga oshirilishi mumkin. Masalan, hisoblagichda o'xshash atamalarni guruhlash va kamaytirish mumkin, maxrajda esa bir nechta sonlarning ko'paytmasini uning qiymati bilan almashtirish mumkin. Ratsional kasrning soni va maxraji ko'phadlar bo'lganligi sababli, ular yordamida ko'phadlarga xos bo'lgan o'zgarishlarni amalga oshirish mumkin, masalan, standart shaklga qisqartirish yoki mahsulot sifatida tasvirlash.

Aniqlik uchun bir nechta misollarning echimlarini ko'rib chiqing.

Misol.

Ratsional kasrni aylantirish shunday qilib, ayiruvchi standart shakldagi ko'phad, maxraj esa ko'phadlarning ko'paytmasi bo'ladi.

Yechim.

Ratsional kasrlarni yangi maxrajga keltirish asosan ratsional kasrlarni qo'shish va ayirishda qo'llaniladi.

Kasr oldida, shuningdek, uning soni va maxrajidagi belgilarni o'zgartirish

Kasrning asosiy xususiyatidan kasrning hadlari belgilarini o'zgartirish uchun foydalanish mumkin. Darhaqiqat, ratsional kasrning soni va maxrajini -1 ga ko'paytirish ularning belgilarini o'zgartirishga teng bo'ladi va natijada berilgan bilan bir xil bo'lgan kasr hosil bo'ladi. Ratsional kasrlar bilan ishlashda bunday o'zgartirish juda tez-tez ishlatilishi kerak.

Shunday qilib, agar siz bir vaqtning o'zida kasrning numeratori va maxraji belgilarini o'zgartirsangiz, siz asl kasrga teng kasr olasiz. Ushbu bayonot tenglikka mos keladi.

Keling, bir misol keltiraylik. Ratsional kasrni shaklning hisoblagichi va maxrajining belgilari teskari bo'lgan bir xil teng kasr bilan almashtirish mumkin.

Kasrlar bilan yana bir o'xshash o'zgartirishni amalga oshirish mumkin, bunda belgi numeratorda yoki maxrajda o'zgartiriladi. Keling, tegishli qoidani ko'rib chiqaylik. Agar siz kasrning ishorasini pay yoki maxraj belgisi bilan almashtirsangiz, siz asl qismga bir xil teng bo'lgan kasr olasiz. Yozma bayonot tengliklarga mos keladi va .

Bu tengliklarni isbotlash qiyin emas. Isbot raqamlarni ko'paytirish xususiyatlariga asoslanadi. Ulardan birinchisini isbotlaylik: . Shunga o'xshash o'zgarishlar yordamida tenglik ham isbotlanadi.

Masalan, kasrni ifoda yoki ifoda bilan almashtirish mumkin.

Ushbu kichik bo'limni yakunlash uchun biz yana ikkita foydali tenglikni taqdim etamiz va . Ya'ni, agar siz faqat sanoqchi yoki faqat maxraj belgisini o'zgartirsangiz, kasr o'z belgisini o'zgartiradi. Masalan, va .

Kasr hadlarining belgisini o'zgartirishga imkon beruvchi ko'rib chiqilayotgan o'zgarishlar ko'pincha kasrli ratsional ifodalarni o'zgartirishda qo'llaniladi.

Ratsional kasrlarni qisqartirish

Ratsional kasrlarning qisqarishi deb ataladigan ratsional kasrlarning keyingi o'zgarishi kasrning bir xil asosiy xususiyatiga asoslanadi. Bu o'zgartirish tenglikka mos keladi, bu erda a , b va c ba'zi ko'phadlar, b va c esa nolga teng emas.

Yuqoridagi tenglikdan ma'lum bo'ladiki, ratsional kasrni qisqartirish uning soni va maxrajidagi umumiy omildan xalos bo'lishni nazarda tutadi.

Misol.

Ratsional kasrni kamaytiring.

Yechim.

Umumiy omil 2 darhol ko'rinadi, keling, uni kamaytiramiz (yozayotganda, qisqartirish amalga oshiriladigan umumiy omillarni kesib tashlash qulay). Bizda ... bor . X 2 \u003d x x va y 7 \u003d y 3 y 4 (agar kerak bo'lsa, qarang) bo'lgani uchun, x y 3 kabi hosil bo'lgan kasrning hisoblagichi va maxrajining umumiy omili ekanligi aniq. Keling, ushbu omillar bilan kamaytiraylik: . Bu qisqartirishni yakunlaydi.

Yuqorida biz ratsional kasrning qisqarishini ketma-ket bajardik. Va kasrni darhol 2·x·y 3 ga qisqartirib, bir bosqichda qisqartirishni amalga oshirish mumkin edi. Bunday holda, yechim quyidagicha ko'rinadi: .

Javob:

.

Ratsional kasrlarni kamaytirishda asosiy muammo shundaki, hisoblagich va maxrajning umumiy omili har doim ham ko'rinmaydi. Bundan tashqari, u har doim ham mavjud emas. Umumiy koeffitsientni topish yoki uning yo'qligiga ishonch hosil qilish uchun ratsional kasrning soni va maxrajini koeffitsientlarga ajratish kerak. Agar umumiy omil bo'lmasa, asl ratsional kasrni kamaytirish kerak emas, aks holda qisqartirish amalga oshiriladi.

Ratsional fraktsiyalarni kamaytirish jarayonida turli xil nuanslar paydo bo'lishi mumkin. Misollar va tafsilotlar bilan asosiy nozikliklar "Algebraik kasrlarni kamaytirish" maqolasida muhokama qilinadi.

Ratsional kasrlarning qisqarishi haqidagi suhbatni yakunlab, shuni ta'kidlaymizki, bu transformatsiya bir xil bo'lib, uni amalga oshirishdagi asosiy qiyinchilik hisoblagich va maxrajdagi ko'phadlarni faktorizatsiya qilishdadir.

Ratsional kasrni kasrlar yig'indisi sifatida ko'rsatish

Bir necha kasrlar yig'indisi yoki butun son ifodasi va kasr yig'indisi sifatida ifodalanishidan iborat bo'lgan ratsional kasrni o'zgartirish juda aniq, lekin ba'zi hollarda juda foydali.

Numeratorida bir nechta monomiylar yig'indisi bo'lgan ko'phad mavjud bo'lgan ratsional kasrni har doim bir xil maxrajli kasrlar yig'indisi sifatida yozish mumkin, ularning sonida mos monomlar mavjud. Masalan, . Bu tasvirlash bir xil maxrajli algebraik kasrlarni qo'shish va ayirish qoidasi bilan izohlanadi.

Umuman olganda, har qanday ratsional kasrni har xil usullarda kasrlar yig'indisi sifatida ifodalash mumkin. Misol uchun, a/b kasr ikki kasr yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin - ixtiyoriy kasr c/d va a/b va c/d kasrlar orasidagi farqga teng kasr. Bu bayonot to'g'ri, chunki tenglik . Masalan, ratsional kasrni kasrlar yig'indisi sifatida turli usullar bilan ifodalash mumkin: Biz asl kasrni butun son ifodasi va kasrning yig'indisi sifatida ifodalaymiz. Numeratorni maxrajga ustunga bo'lgach, biz tenglikni olamiz . Har qanday n butun son uchun n 3 +4 ifodaning qiymati butun sondir. Kasrning qiymati esa, agar uning maxraji 1, -1, 3 yoki -3 bo'lsa, butun son bo'ladi. Bu qiymatlar mos ravishda n=3, n=1, n=5 va n=−1 qiymatlariga mos keladi.

Javob:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Adabiyotlar ro'yxati.

• Algebra: darslik 8 hujayra uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M. : Ta'lim, 2008. - 271 p. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 7-sinf. 14:00 1-qism. Talabalar uchun darslik ta'lim muassasalari/ A. G. Mordkovich. - 13-nashr, Rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 b.: kasal. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 8-sinf. 14:00 da 1-qism. Ta'lim muassasalari talabalari uchun darslik / A. G. Mordkovich. - 11-nashr, o'chirilgan. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 b.: kasal. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (texnika maktablariga abituriyentlar uchun qo'llanma): Proc. nafaqa.- M.; Yuqori maktab, 1984.-351 b., kasal.

VIII tip maktabda o‘quvchilar kasrlarni quyidagi o‘zgartirishlar bilan tanishadilar: kasrni katta kasrlarda ifodalash (6-sinf), noo‘rin kasrni butun yoki aralash son bilan ifodalash (6-sinf), kasrlarni teng qismlarda ifodalash. (7-sinf), aralash sonni noo`rin kasr shaklida ifodalash (7-sinf).

Noto'g'ri kasr ifodasiyoki aralash raqam

I Ushbu materialni o'rganish vazifa bilan boshlanishi kerak: 2 ta tikilgan aylana oling va ularning har birini 4 ta teng qismga bo'ling, to'rtinchi qismlarning sonini hisoblang (25-rasm). Keyinchalik, bu miqdorni kasr sifatida yozish taklif etiladi (t) Keyin to'rtinchi qismlar bir-biriga qo'shiladi va talabalar buning aniqligiga ishonch hosil qilishadi.

1-doira. Binobarin, -t= bitta. To'rt chorakka qo'shiladi - ketma-ket ko'proq -t, va talabalar yozadilar: t=1, -7=1 6 2 7 3 8 9

O'qituvchi o'quvchilarning e'tiborini ko'rib chiqilgan barcha holatlarda ular noto'g'ri kasr olganliklariga va o'zgartirish natijasida ular butun son yoki aralash sonni olganliklariga, ya'ni ular noto'g'ri kasrni butun son sifatida ifodalaganliklariga qaratadi. yoki aralash raqam. Keyinchalik, bu o'zgartirish qanday arifmetik amalni bajarish mumkinligini talabalar mustaqil ravishda aniqlashlariga intilishimiz kerak.Javobga olib keladigan yorqin misollar.

to'rtta. 8 0 5 .1 7 .3 „ L

Savolga quyidagilar kiradi: -2-=! va t = 2, 4" = 1t va t T " YV °D : uchun

Noto'g'ri kasrni butun son yoki aralash son sifatida ifodalash uchun kasrning ayiruvchisini maxrajga bo'lish, qismni butun son sifatida yozish, qolgan qismini raqamga yozish va maxrajni bir xil qoldirish kerak. Qoida og'ir bo'lgani uchun talabalar uni yodlashlari shart emas. Ular ushbu transformatsiyani amalga oshirishda harakatlar haqida doimiy ravishda aytib berishlari kerak.

O‘quvchilarni noto‘g‘ri kasrni butun yoki aralash son bilan ifodalash bilan tanishtirishdan oldin, ular bilan butun sonni qoldiq bilan butun songa bo‘lishni takrorlash tavsiya etiladi.

Talabalar uchun yangi o'zgarishlarni mustahkamlash hayotiy va amaliy xarakterdagi muammolarni hal qilish orqali yordam beradi, masalan:

“Vazada apelsinning to‘rtdan to‘qqiz qismi bor. Skol| Ushbu aktsiyalardan butun apelsin qo'shilishi mumkinmi? To'rtdan nechtasi qoladi?"

“Qutilar uchun qopqoqlar ishlab chiqarish uchun kartaning har bir varag'i

35 16 ta teng qismga bo'linadi. Tushundim -^. Qancha gol!

Karton varaqlarini kesib tashlaysizmi? Qancha o'n olti kesma! keyingi qismdan? Va hokazo.

Butun va aralash sonning ifodasinoto'g'ri kasr

Talabalarni ushbu yangi transformatsiya bilan tanishtirishdan oldin muammolarni hal qilish kerak, masalan:

“Uzunligi teng, kvadrat shakliga ega 2 dona mato. > 4 ta teng qismga bo'ling. Har bir bunday qismdan ro'molcha tikilgan. Qancha ro'mol oldingiz? I Yozuv: 2= - 1 4^-, 2= -% ]

vino oldingizmi? Yozing: 1 * doiralar bor edi, u * doiralarga aylandi, bu degani

Shunday qilib, vizual va amaliy asosga asoslanib, biz bir qator misollarni ko'rib chiqamiz. Ko'rib chiqilayotgan misollarda talabalardan asl sonni (aralash yoki butun son) va konvertatsiyadan keyin paydo bo'lgan sonni (noto'g'ri kasr) solishtirish so'raladi.

O‘quvchilarni butun va aralash sonni noto‘g‘ri kasr sifatida ifodalash qoidasi bilan tanishtirish uchun ularning e’tiborini aralash son va noto‘g‘ri kasrning maxrajlarini solishtirishga, shuningdek, hisoblagich qanday olinishiga qaratish kerak. misol:

1 2"=?, 1 = 2", ortiqcha ^, jami ^ 3 ^=?, 3=-^-, ortiqcha ^, jami

-^- bo'ladi. Natijada, qoida shakllantiriladi: aralash raqam

noto'g'ri kasr sifatida ifodalanganda, maxrajni butun songa ko'paytirish, ko'paytmaga sonni qo'shish va yig'indini ayiruvchi sifatida yozish va maxrajni o'zgarishsiz qoldirish kerak.

Birinchidan, siz o'quvchilarni birlikni noto'g'ri kasr sifatida, so'ngra maxrajli boshqa butun sonni va shundan keyingina aralash sonni ifodalashda mashq qilishingiz kerak:

Kasrning asosiy xossasi 1

[kasrning ortish paytidagi o'zgarmasligi tushunchasi

Uning a'zolarining 1 kamayishi, ya'ni son va maxraj VIII tip maktab o'quvchilari tomonidan katta qiyinchilik bilan o'zlashtiriladi. Ushbu tushuncha vizual va didaktik materialga kiritilishi kerak,

Talabalarning nafaqat o’qituvchi faoliyatini kuzatish, balki didaktik material bilan faol ishlash, kuzatishlar va amaliy faoliyatlar asosida ma’lum xulosalar, umumlashmalarga kelishlari nima uchun muhim.

Masalan, o'qituvchi butun sholg'omni olib, uni ikkita teng qasosga bo'ladi va so'raydi: "Butun sholg'omni bo'lishda nima oldingiz?

yarmida? (2 yarmi.) * sholg'omni ko'rsating. Keling, kesib tashlaymiz (alohida)

sholg'omning yarmini yana 2 ta teng qismga bo'ling. Biz nima olamiz? -y. Keling, yozamiz:

tt \u003d - m - Keling, ushbu kasrlarning numeratorlari va maxrajlarini taqqoslaylik. Qaysi vaqtda

numerator marta ko'paydi? Maxraj necha marta oshdi? Ayirgich ham, maxraj ham necha marta oshdi? Kasr o'zgarganmi? Nega u o'zgarmadi? Aktsiyalar qanday edi: katta yoki kichikroqmi? Raqam ko'payganmi yoki kamayganmi

Keyin barcha o'quvchilar aylanani 2 ta teng qismga bo'lishadi, har bir yarmi yana 2 ta teng qismga bo'linadi, har chorak yana bo'linadi.

2 ta teng bo'lak va hokazolarni yozing va yozing: "o ^ A ^ tg ^ tgg va t - L- Keyin ular kasrning soni va maxraji necha marta ko'payganligini, kasr o'zgarganmi yoki yo'qligini aniqlaydilar. Keyin ular segmentni chizadilar. va uni ketma-ket 3, 6, 12 teng qismlarga bo'ling va yozing:

1 21 4 -^ va -^, -^ va -^ kasrlarni solishtirganda shundayligi aniqlanadi.

r kasrning soni va maxraji bir xil songa ortadi, kasr bundan o'zgarmaydi.

Bir qator misollarni ko'rib chiqqandan so'ng, o'quvchilardan matematikani o'rganishda qiyinchiliklarga duch kelgan bolalar uchun tekislash darslarida: "Agar hisob bo'lsa, kasr o'zgaradimi?" Degan savolga javob berishni so'rash kerak. Ushbu darslikda ushbu materialni o'rganish metodologiyasini beradigan paragraflar,

yulduzcha (*) bilan belgilangan.

Shu kabi misollar ayiruvchi va maxrajni bir xil songa kamaytirishni ko'rib chiqishda keltiriladi (hisoblagich va maxraj bir xil songa bo'linadi). Masalan, cr>"

( 4 \ 8 ta teng qismga bo'lingan, aylananing sakkizdan 4 qismini oling I -o-]

aktsiyalarni kattalashtirgandan so'ng, ular to'rtinchisini oladilar, ulardan 2 tasi bo'ladi.

4 2 1 ikkinchisini oling. 1 bo'ladi : ~th = -d--%- Izohlovchini solishtiring!

savollarga javob berib, bu kasrlarning sonlari va maxrajlari: “In<>pay va maxraj necha marta kamayadi? Kasr o'zgaradimi?

Yaxshi foyda 12, 6, 3 teng qismga bo'lingan chiziqlar (26-rasm).

H

12 6 3 rasm. 26

Ushbu umumlashtirilgan material ma'lum maktab kursi matematika. Bu erda biz kasrlarni ko'rib chiqamiz. umumiy ko'rinish raqamlar, darajalar, ildizlar, logarifmlar, trigonometrik funktsiyalar yoki boshqa ob'ektlar bilan. Kasrlarning asosiy o'zgarishlari, ularning turidan qat'i nazar, ko'rib chiqiladi.

Kasr nima?

Yana bir nechta ta'riflar mavjud.

Ta'rif 2

A va B ni ajratib turuvchi gorizontal chiziq kasr yoki deyiladi kasr chizig'i.

Ta'rif 3

Kasr satri ustidagi ifoda deyiladi hisoblagich va ostida - maxraj.

Oddiy kasrlardan umumiy kasrlargacha

Kasr bilan tanishish 5-sinfda oddiy kasrlar o'tganda sodir bo'ladi. Ta'rifdan ko'rinib turibdiki, ayiruvchi va maxraj natural sonlardir.

1-misol

Masalan, 1/5, 2/6, 12/7, 3/1 sifatida yozilishi mumkin bo'lgan 1 5, 2 6, 12 7, 3 1.

Oddiy kasrlar bilan amallarni o'rgangach, biz maxrajida bitta natural songa ega bo'lmagan kasrlar bilan, balki natural sonli ifodalar bilan shug'ullanamiz.

2-misol

Masalan, 1 + 3 5 , 9 - 5 16 , 2 7 9 12 .

Harflar yoki harflar bilan ifodalangan kasrlar bilan ishlaganimizda, u quyidagicha yoziladi:

a + b c, a - b c, a c b d.

Ta'rif 4

Oddiy kasrlarni qo'shish, ayirish, ko'paytirish qoidalarini aniqlang a c + b c = a + b c , a c - b c = a - b c , a b v d = a c b d

Hisoblash uchun ko'pincha tarjimaga kelish kerak aralash raqamlar oddiy kasrlarga. Butun qismni a deb belgilaganimizda, kasr qismi b / c ko'rinishga ega bo'ladi, biz a · c + b c ko'rinishidagi kasrni olamiz, undan bunday kasrlarning ko'rinishi aniq bo'ladi 2 · 11 + 3 11 , 5 · 2 + 1 2 va boshqalar.

Kasr chizig'i bo'linish belgisi sifatida qabul qilinadi. Shunday qilib, yozuv boshqa yo'l bilan o'zgartirilishi mumkin:

1: a - (2 b + 1) \u003d 1 a - 2 b + 1, 5 - 1, 7 3: 2 3 - 4: 2 \u003d 5 - 1, 7 3 2 3 - 4: 2, bu erda 4-qism: 2 kasr bilan almashtirilishi mumkin, keyin biz shaklning ifodasini olamiz

5 - 1 , 7 3 2 3 - 4 2

Ratsional kasrlar bilan hisob-kitoblar matematikada alohida o'rin tutadi, chunki numerator va maxraj nafaqat sonli qiymatlarni, balki polinomlarni ham o'z ichiga olishi mumkin.

3-misol

Masalan, 1 x 2 + 1 , x y - 2 y 2 0 , 5 - 2 x + y 3 .

Ratsional ifodalar umumiy shaklning kasrlari sifatida qaraladi.

4-misol

Masalan, x x + 1 4 x 2 x 2 - 1 2 x 3 + 3 , 1 + x 2 y (x - 2) 1 x + 3 x 1 + 2 - x 4 x 5 + 6x.

Ildizlarni o'rganish, ratsional darajali darajalar, logarifmlar, trigonometrik funktsiyalar ularning qo'llanilishi shaklning berilgan kasrlarida paydo bo'lishini aytadi:

5-misol

a n b n, 2 x + x 2 3 x 1 3 - 12 x, 2 x 2 + 3 3 x 2 + 3, ln (x - 3) ln e 5, cos 2 a - sin 2 a 1 - 1 cos 2 a.

Kasrlar birlashtirilishi mumkin, ya'ni x + 1 x 3 log 3 sin 2 x + 3, lg x + 2 lg x 2 - 2 x + 1 ko'rinishga ega.

Kasr ayirboshlash turlari

Bir qator bir xil o'zgarishlar uchun bir nechta turlar ko'rib chiqiladi:

Ta'rif 5

• hisob va maxraj bilan ishlashga xos transformatsiya;
• kasr ifodasidan oldin belgi o'zgarishi;
• umumiy maxrajga keltirish va kasrni qisqartirish;
• kasrni ko'phadlar yig'indisi sifatida ko'rsatish.

Numerator va maxrajdagi ifodalarni aylantirish

Xuddi shunday teng iboralar bilan biz hosil bo'lgan kasr asl qismga bir xil darajada teng bo'ladi.

Agar A / B shaklining bir qismi berilgan bo'lsa, u holda A va B ba'zi ifodalardir. Keyin, almashtirishda biz A 1 / B 1 shaklining bir qismini olamiz . A / A 1 = B / B 1 tengligini isbotlash kerak ODZni qanoatlantiradigan o'zgaruvchilarning har qanday qiymati uchun.

Bizda shunday A va A 1 va B va B1 bir xil darajada teng bo'lsa, ularning qiymatlari ham teng bo'ladi. Bundan kelib chiqadiki, har qanday qiymat uchun A/B va A 1 / B 1 kasrlar teng bo'ladi.

Ushbu konvertatsiya, agar siz hisoblagich va maxrajni alohida o'zgartirishingiz kerak bo'lsa, kasrlar bilan ishlashni osonlashtiradi.

6-misol

Masalan, 2/18 shaklining bir qismini olaylik, biz uni 2 2 · 3 · 3 ga aylantiramiz. Buning uchun maxrajni oddiy omillarga ajratamiz. x 2 + x y x 2 + 2 x y + y 2 \u003d x x + y (x + y) 2 kasrda x 2 + x y ko'rinishdagi hisoblagich mavjud, bu x (x + y) bilan almashtirish kerakligini anglatadi. umumiy koeffitsient x qavs orqali olinadi. Berilgan kasrning maxraji x 2 + 2 x y + y 2 qisqartirilgan ko'paytirish formulasi bilan yiqilib. Keyin uning bir xil teng ifodasi (x + y) 2 ekanligini olamiz.

7-misol

Agar sin 2 3 ph - p + cos 2 3 ph - p ph ph 5 6 ko‘rinishdagi kasr berilgan bo‘lsa, soddalashtirish uchun formula bo‘yicha payni 1 ga almashtirib, maxrajni ko‘rinishga keltirish kerak. ph 11 12. Keyin 1 ph 11 12 berilgan kasrga teng ekanligini olamiz.

Kasr oldidagi belgining o'zgarishi, uning soni, maxraji

Kasr konvertatsiyalari ham kasr oldidagi belgilarni almashtirishdir. Keling, ba'zi qoidalarni ko'rib chiqaylik:

Ta'rif 7

• numeratorning belgisini o'zgartirganda, biz berilgan kasrga teng bo'lgan kasrni olamiz va u tom ma'noda _ - A - B \u003d A B ga o'xshaydi, bu erda A va B ba'zi ifodalardir;
• kasr oldidan va hisoblagichdan oldingi belgini o'zgartirganda, biz buni olamiz - - A B = A B ;
• kasr va uning maxraji oldidagi belgini almashtirganda, biz buni olamiz - A - B = A B.

Isbot

Minus belgisi ko'p hollarda imzolangan omil sifatida ko'rib chiqiladi - 1 va chiziq bo'linish. Bu yerdan biz shuni olamiz - A - B = - 1 · A: - 1 · B. Faktorlarni guruhlash, bizda shunday bor

1 A: - 1 B = ((- 1) : (- 1) A: B = = 1 A: B = A: B = A B

Birinchi fikrni isbotlagandan so'ng, qolganlarini oqlaymiz. Biz olamiz:

A B = (- 1) (((- 1) A) : B) = (- 1 - 1) A: B = = 1 (A: B) = A: B = A B - A - B = (- 1) (A: - 1 B) = ((- 1) : (- 1)) (A: B) == 1 (A: B) = A: B = A B

Misollarni ko'rib chiqing.

8-misol

3/7 kasrni - 3 - 7, - - 3 7, - 3 - 7 ko'rinishga aylantirish zarur bo'lganda, u xuddi shunday - 1 + x - x 2 2 2 3 ko'rinishdagi kasr bilan bajariladi. - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x .

Transformatsiyalar quyidagicha amalga oshiriladi:

1) - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - (- 1 + x - x 2) - 2 2 3 - ln x 2 + 3 x + sin 2 x 3 x = = 1 - x + x 2 - 2 2 3 + ln (x 2 + 3) x - s i n 2 x 3 x 2) - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2) + 3) x + sin 2 x 3 x = = - - (- 1 + x - x 2) 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - 1 - x + x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x 3) - 1 + x - x 2 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - - 1 + x - x 2 - 2 2 3 - ln (x 2 + 3) x + sin 2 x 3 x = = - - 1 + x - x 2 - 2 2 3 + ln (x 2 + 3) x - sin 2 x 3 x

Kasrni yangi maxrajga keltirish

Oddiy kasrlarni o'rganayotganda biz kasrlarning asosiy xususiyatiga to'xtalib o'tdik, bu sizga ko'paytirish, pay va maxrajni bir xil natural songa bo'lish imkonini beradi. Buni a · m b · m = a b va a: m b: m = a b tengligidan ko'rish mumkin, bu erda a , b , m natural sonlar.

Bu tenglik a , b , m qiymatlari va b ≠ 0 va m ≠ 0 dan tashqari barcha a qiymatlari uchun amal qiladi. Ya'ni, agar ba'zi ifodalar bo'lgan A va C bo'lgan A / B kasrning soni 0 ga teng bo'lmagan M ifodaga ko'paytirilsa yoki bo'linsa, biz teng bo'lgan kasrni olamiz. boshlang'ich. Biz A · M B · M = A B va A: M B: M = A B ekanligini olamiz.

Bu shuni ko'rsatadiki, transformatsiyalar 2 ta transformatsiyaga asoslanadi: umumiy maxrajga qisqartirish, qisqartirish.

Umumiy maxrajga keltirishda ko‘paytirish bir xil son yoki ifoda, ayiruvchi va maxraj yordamida bajariladi. Ya'ni, biz bir xil teng aylantirilgan kasrni echishga o'tamiz.

Misollarni ko'rib chiqing.

9-misol

Agar x + 1 0, 5 x 3 kasrni olib, 2 ga ko'paytirsak, yangi maxraj 2 x 0, 5 x 3 = x 3 bo'lishini va ifoda 2 x + 1 x ko'rinishini olishini olamiz. 3.

10-misol

1 - x 2 x 2 3 1 + ln x kasrni 6 x 1 + ln x 3 ko'rinishdagi boshqa maxrajga kamaytirish uchun pay va maxrajni 3 x 1 3 (1 + ln x) 2 ga ko'paytirish kerak. Natijada 3 x 1 3 1 + ln x 2 1 - x 6 x (1 + ln x) 3 kasrni olamiz.

Denominatordagi irratsionallikdan xalos bo'lish kabi transformatsiya ham qo'llaniladi. Bu maxrajdagi ildiz mavjudligini yo'q qiladi, bu esa yechim jarayonini soddalashtiradi.

Fraksiyani kamaytirish

Asosiy xususiyat - bu transformatsiya, ya'ni uning to'g'ridan-to'g'ri qisqarishi. Kamaytirilganda biz soddalashtirilgan kasrni olamiz. Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

11-misol

Yoki x 3 x 3 x 2 (2 x 2 + 1 + 3) x 3 x 3 2 x 2 + 1 + 3 3 + 1 3 x ko'rinishdagi kasr, bu erda qisqartirish x 3 , x 3 yordamida amalga oshiriladi, 2 x 2 + 1 + 3 yoki x 3 x 3 2 x 2 + 1 + 3 kabi ifoda. Keyin x 2 3 + 1 3 x kasrni olamiz

Umumiy omillar darhol ko'rinadigan bo'lsa, kasrni kamaytirish oddiy. Amalda, bu tez-tez sodir bo'lmaydi, shuning uchun birinchi navbatda bunday turdagi iboralarni o'zgartirishni amalga oshirish kerak. Umumiy omilni topish kerak bo'lgan holatlar mavjud.

Agar x 2 2 3 (1 - cos 2 x) 2 sin x 2 cos x 2 2 x 1 3 ko'rinishdagi kasr bo'lsa, u holda trigonometrik formulalar va darajalar xossalarini qo'llash kerak bo'ladi. kasrni x 1 3 x 2 1 3 sin 2 x sin 2 x x 1 3 ko'rinishga aylantiring. Bu uni x 1 3 · sin 2 x ga kamaytirish imkonini beradi.

Kasrni yig'indi sifatida ifodalash

Numerator kabi ifodalarning algebraik yig'indisiga ega bo'lganda A 1 , A 2 , … , A n, va maxraj belgisi belgilanadi B, u holda bu kasr sifatida ifodalanishi mumkin A 1 / B, A 2 / B, …, A n / B.

Ta'rif 8

Buning uchun A 1 + A 2 + ni tuzating. . . + A n B = A 1 B + A 2 B +. . . + A n B.

Bu o'zgartirish ko'rsatkichlari bir xil bo'lgan kasrlarni qo'shishdan tubdan farq qiladi. Bir misolni ko'rib chiqing.

12-misol

Sin x - 3 x + 1 + 1 x 2 shaklining bir qismi berilgan, biz uni kasrlarning algebraik yig'indisi sifatida ifodalaymiz. Buning uchun sin x x 2 - 3 x + 1 x 2 + 1 x 2 yoki sin x - 3 x + 1 x 2 + 1 x 2 yoki sin x x 2 + - 3 x + 1 + 1 x 2 deb tasavvur qiling.

A / B shakliga ega bo'lgan har qanday kasr har qanday tarzda kasrlar yig'indisi sifatida ifodalanadi. Numeratordagi A ifodasi har qanday son yoki A 0 ifodasi bilan kamayishi yoki ko'paytirilishi mumkin, bu A + A 0 B - A 0 B ga erishish imkonini beradi.

Kasrning eng oddiyga parchalanishi kasrni yig'indiga aylantirish uchun maxsus holatdir. Ko'pincha u integratsiya uchun murakkab hisob-kitoblarda qo'llaniladi.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing