Bitta o'zgaruvchiga ega chiziqli tenglama umumiy shaklga ega
ax + b = 0.
Bu erda x - o'zgaruvchi, a va b - koeffitsientlar. Boshqacha qilib aytganda, a "noma'lum koeffitsient" deb ataladi, b - "erkin muddat".

Koeffitsientlar ba'zi sonlar bo'lib, tenglamani yechish ax + b = 0 ifodasi to'g'ri bo'lgan x qiymatini topishni anglatadi. Misol uchun, bizda 3x - 6 \u003d 0 chiziqli tenglama mavjud. Uni yechish 3x - 6 0 ga teng bo'lishi uchun x nimaga teng bo'lishi kerakligini topishni anglatadi. O'zgartirishlarni amalga oshirib, biz quyidagilarni olamiz:
3x=6
x=2

Shunday qilib, 3x - 6 = 0 ifodasi x = 2 uchun to'g'ri bo'ladi:
3 * 2 – 6 = 0
2 hisoblanadi bu tenglamaning ildizi. Tenglamani yechsangiz, uning ildizlarini topasiz.

a va b koeffitsientlari har qanday raqamlar bo'lishi mumkin, ammo bitta o'zgaruvchiga ega chiziqli tenglamaning bir nechta ildizlari mavjud bo'lganda bunday qiymatlar mavjud.

Agar a = 0 bo'lsa, ax + b = 0 b = 0 ga aylanadi. Bu erda x "yo'q qilingan". b = 0 ifodaning o'zi faqat b ni bilish 0 bo'lsagina to'g'ri bo'lishi mumkin. Ya'ni 0*x + 3 = 0 tenglama noto'g'ri, chunki 3 = 0 noto'g'ri fikrdir. Biroq, 0*x + 0 = 0 to'g'ri ifodadir. Bu erdan xulosa qilinadi, agar a \u003d 0 va b ≠ 0 bo'lsa, bitta o'zgaruvchiga ega chiziqli tenglama umuman ildizga ega emas, lekin agar a \u003d 0 va b \u003d 0 bo'lsa, unda tenglama cheksiz miqdordagi ildizlarga ega.

Agar b \u003d 0 va a ≠ 0 bo'lsa, u holda tenglama ax \u003d 0 ko'rinishini oladi. Agar a ≠ 0 bo'lsa, lekin ko'paytirish natijasi 0 bo'lsa, x \u003d 0 bo'lishi aniq. bu tenglamaning ildizi 0 ga teng.

Agar a ham, b ham nolga teng bo'lmasa, ax + b = 0 tenglamasi ko'rinishga o'tkaziladi.
x \u003d -b / a.
Bu holda x qiymati a va b qiymatlariga bog'liq bo'ladi. Biroq, bu yagona bo'ladi. Ya'ni, bir xil koeffitsientlar uchun ikki yoki undan ortiq turli xil x qiymatlarini olish mumkin emas. Masalan,
-8,5x - 17 = 0
x = 17 / -8,5
x = -2
17 ni -8,5 ga bo'lish orqali -2 dan boshqa raqamni olish mumkin emas.

Shunday tenglamalar borki, ular bir qarashda bitta o‘zgaruvchili chiziqli tenglamaning umumiy shakliga o‘xshamaydi, lekin unga osonlik bilan aylantiriladi. Masalan,
-4,8 + 1,3x = 1,5x + 12

Agar biz hamma narsani chap tomonga siljitsak, o'ng tomonda 0 qoladi:
–4,8 + 1,3x – 1,5x – 12 = 0

Endi tenglama standart shaklga tushirildi va siz uni hal qilishingiz mumkin:
x = 16,8 / 0,2
x=84

Tenglamalar. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, barcha tenglamalarni yechish shu o'zgarishlardan boshlanadi. Qaror qabul qilganda chiziqli tenglamalar, u (yechim) bir xil o'zgarishlar bo'yicha va yakuniy javob bilan tugaydi.

Noma'lum o'zgaruvchi uchun nolga teng bo'lmagan koeffitsient holati.

ax+b=0, a ≠ 0

X bilan a'zolarni bir tomonga, raqamlarni esa boshqa tomonga o'tkazamiz. Esda tutingki, atamalarni tenglamaning qarama-qarshi tomoniga o'tkazishda siz belgini o'zgartirishingiz kerak:

ax:(a)=-b:(a)

Biz kamaytiramiz a da X va biz olamiz:

x=-b:(a)

Bu javob. Agar raqam borligini tekshirmoqchi bo'lsangiz -b:(a) tenglamamizning ildizi, keyin biz uni almashtirishimiz kerak boshlang'ich tenglama o'rniga X bu bir xil raqam:

a(-b:(a))+b=0 ( bular. 0=0)

Chunki demak, bu tenglik haqiqatdir -b:(a) haqiqat esa tenglamaning ildizidir.

Javob: x=-b:(a), a ≠ 0.

Birinchi misol:

5x+2=7x-6

Biz shartlarni bir tomonga o'tkazamiz X, va raqamning boshqa tomonida:

5x-7x=-6-2

-2x:(-2)=-8:(-2)

Noma'lum koeffitsient bilan ular uni qisqartirdilar va javob oldilar:

Bu javob. Agar siz 4 raqami haqiqatan ham tenglamamizning ildizi ekanligini tekshirishingiz kerak bo'lsa, biz ushbu raqamni asl tenglamadagi x o'rniga almashtiramiz:

5*4+2=7*4-6 ( bular. 22=22)

Chunki bu tenglik to'g'ri, u holda 4 tenglamaning ildizi bo'ladi.

Ikkinchi misol:

Tenglamani yeching:

5x+14=x-49

Noma'lumlarni va raqamlarni turli yo'nalishlarga o'tkazish orqali biz quyidagilarga erishdik:

Tenglama qismlarini at koeffitsientiga ajratamiz x(4-da) va oling:

Uchinchi misol:

Tenglamani yeching:

Birinchidan, barcha shartlarni ko'paytirish orqali noma'lum koeffitsientidagi irratsionallikdan xalos bo'lamiz:

Ushbu shakl soddalashtirilgan deb hisoblanadi, chunki son maxrajdagi sonning ildiziga ega. Numerator va maxrajni bir xil raqamga ko'paytirish orqali javobni soddalashtirishimiz kerak, bizda shunday bo'ladi:

Yechimlarning yo'qligi.

Tenglamani yeching:

2x+3=2x+7

Barcha uchun x bizning tenglamamiz haqiqiy tenglikka aylanmaydi. Ya'ni, bizning tenglamaning ildizi yo'q.

Javob: Hech qanday yechim yo'q.

Maxsus holat - cheksiz sonli echimlar.

Tenglamani yeching:

2x+3=2x+3

X va raqamlarni turli yo'nalishlarga o'tkazsak va shunga o'xshash shartlarni keltirsak, biz tenglamani olamiz:

Bu erda ham ikkala qismni 0 ga bo'lish mumkin emas, chunki bu taqiqlangan. Biroq, o'rniga qo'yish X har qanday raqam, biz to'g'ri tenglikni olamiz. Ya'ni, har bir raqam bunday tenglamaning yechimidir. Shunday qilib, cheksiz ko'p echimlar mavjud.

Javob: cheksiz miqdordagi echimlar.

Ikki to'liq shaklning tengligi holati.

ax+b=cx+d

ax-cx=d-b

(a-c)x=d-b

x=(d-b):(a-c)

Javob: x=(d-b):(a-c), agar d≠b va a≠c, aks holda cheksiz ko'p echimlar mavjud, lekin agar a=c, a d≠b, keyin hech qanday yechim yo'q.

Chiziqli tenglama algebraik tenglamadir. Bu tenglamada uni tashkil etuvchi polinomlarning umumiy darajasi birga teng.

Chiziqli tenglamalar quyidagi shaklda keltirilgan:

Umumiy shaklda: a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n + b = 0

Kanonik shaklda: a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + a n x n = b.

Bitta o'zgaruvchili chiziqli tenglama.

1-o'zgaruvchiga ega chiziqli tenglama quyidagi ko'rinishga keltiriladi:

bolta+ b=0.

Masalan:

2x + 7 = 0. Qayerda a=2, b=7;

0,1x - 2,3 = 0. Qayerda a=0,1, b=-2,3;

12x + 1/2 = 0. Qayerda a=12, b=1/2.

Ildizlarning soni quyidagilarga bog'liq a va b:

Qachon a= b=0 , demak, tenglamaning cheksiz sonli yechimlari bor, chunki.

Qachon a=0 , b≠ 0 , demak, tenglamaning ildizlari yo'q, chunki.

Qachon a ≠ 0 , shuning uchun tenglama faqat bitta ildizga ega.

Ikki o'zgaruvchili chiziqli tenglama.

O'zgaruvchili tenglama x turdagi tenglikdir A(x)=B(x), qayerda A(x) va B(x)- dan iboralar x. To'plamni almashtirganda T qiymatlar x tenglamaga biz haqiqiy sonli tenglikni olamiz, bu deyiladi ko'p haqiqatlar bu tenglama yoki yechim berilgan tenglama , va o'zgaruvchining barcha bunday qiymatlari tenglamaning ildizlari.

2 ta oʻzgaruvchining chiziqli tenglamalari quyidagi shaklda keltirilgan:

Umumiy shaklda: ax + by + c = 0,

Kanonik shaklda: ax + by = -c,

shaklida chiziqli funksiya: y = kx + m, qayerda .

Ushbu tenglamaning yechimi yoki ildizlari o'zgaruvchilar qiymatlari juftligidir (x;y), bu esa uni o'ziga xoslikka aylantiradi. 2 ta o'zgaruvchiga ega chiziqli tenglamada bu yechimlarning cheksiz soni (ildizlari) mavjud. Bu tenglamaning geometrik modeli (grafigi) to'g'ri chiziqdir y=kx+m.

Agar tenglamada x kvadrat bo'lsa, unda bunday tenglama deyiladi

Chiziqli tenglama - ko'phadlarning to'liq darajasi birga teng bo'lgan algebraik tenglama. Chiziqli tenglamalarni yechish - qism maktab o'quv dasturi, va eng qiyin emas. Biroq, ba'zilari bu mavzuni o'tishda hali ham qiyinchiliklarga duch kelishmoqda. Umid qilamizki, ushbu materialni o'qib chiqqach, siz uchun barcha qiyinchiliklar o'tmishda qoladi. Keling, buni aniqlaylik. chiziqli tenglamalarni yechish usullari.

Umumiy shakl

Chiziqli tenglama quyidagicha ifodalanadi:

• ax + b = 0, bu erda a va b har qanday sonlar.

a va b har qanday raqam bo'lishi mumkin bo'lsa ham, ularning qiymatlari tenglamaning echimlari soniga ta'sir qiladi. Yechimning bir nechta maxsus holatlari mavjud:

• Agar a=b=0 boʻlsa, tenglama cheksiz sonli yechimga ega;
• Agar a=0, b≠0 bo'lsa, tenglamaning yechimi yo'q;
• Agar a≠0, b=0 bo'lsa, tenglamaning yechimi bor: x = 0.

Ikkala raqam ham nolga teng bo'lmagan qiymatlarga ega bo'lsa, hosil qilish uchun tenglamani yechish kerak. yakuniy ifoda o'zgaruvchi uchun.

Qanday qaror qilish kerak?

Chiziqli tenglamani yechish o‘zgaruvchining nimaga tengligini topishni bildiradi. Buni qanday qilish kerak? Ha, bu juda oddiy - oddiy algebraik amallardan foydalanish va uzatish qoidalariga rioya qilish. Agar tenglama sizning oldingizda umumiy shaklda paydo bo'lgan bo'lsa, sizga omad kulib boqdi, sizga kerak bo'lgan narsa:

1. b ni tenglamaning o'ng tomoniga o'tkazing, ishorani o'zgartirishni unutmang (ko'chirish qoidasi!), Shunday qilib, ax + b = 0 ko'rinishidagi ifodadan ax = -b ko'rinishining ifodasi olinishi kerak.
2. Qoidani qo'llang: omillardan birini (x - bizning holatlarimizda) topish uchun siz mahsulotni (bizning holatimizda -b) boshqa omilga (bizning holatimizda a -) bo'lishingiz kerak. Shunday qilib, shaklning ifodasini olish kerak: x \u003d -b / a.

Hammasi shu - yechim topildi!

Endi aniq bir misolni ko'rib chiqamiz:

1. 2x + 4 = 0 - bu holda 4 bo'lgan b ni o'ngga siljiting
2. 2x = -4 - b ni a ga bo'ling (minus belgisini unutmang)
3. x=-4/2=-2

Ana xolos! Bizning yechimimiz: x = -2.

Ko'rib turganingizdek, bitta o'zgaruvchiga ega chiziqli tenglamaning yechimini topish juda oddiy, ammo agar biz tenglamani umumiy shaklda uchratish nasib qilsa, hamma narsa juda oddiy. Ko'pgina hollarda, yuqorida tavsiflangan ikki bosqichda tenglamani echishdan oldin, mavjud ifodani ham qisqartirish kerak. umumiy ko'rinish. Biroq, bu ham qiyin vazifa emas. Keling, ba'zi maxsus holatlarni misollar bilan ko'rib chiqaylik.

Maxsus holatlarni hal qilish

Birinchidan, biz maqolaning boshida tasvirlab bergan holatlarni ko'rib chiqamiz va cheksiz ko'p echimga ega bo'lish nimani anglatishini tushuntiramiz.

• Agar a=b=0 bo'lsa, tenglama quyidagicha bo'ladi: 0x + 0 = 0. Birinchi qadamni bajarib, biz quyidagilarga erishamiz: 0x = 0. Bu bema'nilik nimani anglatadi, deb hayqirasiz! Axir, qaysi raqamni nolga ko'paytirmang, siz doimo nolga erishasiz! To'g'ri! Shuning uchun ular tenglamaning cheksiz ko'p echimlari borligini aytishadi - qaysi raqamni qabul qilsangiz, tenglik to'g'ri bo'ladi, 0x \u003d 0 yoki 0 \u003d 0.
• Agar a=0, b≠0 bo'lsa, tenglama quyidagicha bo'ladi: 0x + 3 = 0. Birinchi qadamni bajaramiz, biz 0x = -3 ni olamiz. Yana bema'nilik! Bu tenglik hech qachon haqiqiy bo'lmasligi aniq! Shuning uchun ular tenglamaning yechimlari yo'q, deyishadi.
• Agar a≠0, b=0 bo'lsa, tenglama quyidagicha bo'ladi: 3x + 0 = 0. Birinchi qadamni qo'yib, biz quyidagilarga erishamiz: 3x = 0. Yechim nima? Bu oson, x = 0.

Tarjimadagi qiyinchiliklar

Ta'riflangan alohida holatlar chiziqli tenglamalar bizni ajablantiradigan hamma narsa emas. Ba'zida tenglamani birinchi qarashda aniqlash qiyin. Misol keltiramiz:

• 12x - 14 = 2x + 6

Bu chiziqli tenglamami? Lekin o'ng tarafdagi nol haqida nima deyish mumkin? Biz xulosa chiqarishga shoshilmaymiz, harakat qilamiz - tenglamamizning barcha tarkibiy qismlarini chap tomonga o'tkazamiz. Biz olamiz:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

Endi “like”dan “like”ni ayirib, biz quyidagilarni olamiz:

• 10x - 20 = 0

O'rgandingizmi? Eng chiziqli tenglama! Kimning yechimi: x = 20/10 = 2.

Agar bizda bu misol bo'lsa nima bo'ladi:

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1 - 3x/4)

Ha, bu ham chiziqli tenglama, faqat ko'proq o'zgarishlar qilish kerak. Avval qavslarni kengaytiramiz:

1. (12(x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4(x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - endi uzatishni bajaring:
4. 25x - 4 = 0 - allaqachon ma'lum bo'lgan sxema bo'yicha yechim topish qoladi:
5. 25x=4
6. x = 4/25 = 0,16

Ko'rib turganingizdek, hamma narsa hal qilindi, asosiysi tashvishlanish emas, balki harakat qilishdir. Esingizda bo'lsin, agar sizning tenglamangiz faqat birinchi darajali o'zgaruvchilar va raqamlarni o'z ichiga olgan bo'lsa, bu chiziqli tenglama bo'lib, u dastlab qanday ko'rinishidan qat'i nazar, umumiy shaklga keltirilishi va echilishi mumkin. Umid qilamizki, hamma narsa siz uchun ishlaydi! Omad!

Tenglamalar tizimlari iqtisodiy sanoatda keng qo'llaniladi matematik modellashtirish turli jarayonlar. Masalan, ishlab chiqarishni boshqarish va rejalashtirish, logistika yo'nalishlari (transport muammosi) yoki jihozlarni joylashtirish muammolarini hal qilishda.

Tenglama sistemalari faqat matematika sohasida emas, balki fizika, kimyo va biologiyada ham aholi sonini topish masalalarini yechishda qo'llaniladi.

Chiziqli tenglamalar tizimi - umumiy yechim topish zarur bo'lgan bir nechta o'zgaruvchiga ega bo'lgan ikki yoki undan ortiq tenglamalar uchun atama. Barcha tenglamalar haqiqiy tenglikka aylanadigan yoki ketma-ketlik mavjud emasligini isbotlaydigan raqamlarning bunday ketma-ketligi.

Chiziqli tenglama

ax+by=c ko’rinishdagi tenglamalar chiziqli deyiladi. X, y belgilari - noma'lumlar, ularning qiymati topilishi kerak, b, a - o'zgaruvchilarning koeffitsientlari, c - tenglamaning erkin hadi.
Tenglamani uning grafigini tuzish orqali yechish to‘g‘ri chiziqqa o‘xshaydi, uning barcha nuqtalari ko‘phadning yechimi hisoblanadi.

Chiziqli tenglamalar sistemalarining turlari

Eng oddiylari ikkita X va Y o'zgaruvchili chiziqli tenglamalar tizimlariga misollardir.

F1(x, y) = 0 va F2(x, y) = 0, bu erda F1,2 funksiyalar va (x, y) funksiya o'zgaruvchilari.

Tenglamalar sistemasini yeching - bu tizim haqiqiy tenglikka aylanadigan qiymatlarni (x, y) topishni yoki x va y ning mos qiymatlari yo'qligini aniqlashni anglatadi.

Nuqta koordinatalari sifatida yozilgan juft qiymatlar (x, y) chiziqli tenglamalar tizimining yechimi deb ataladi.

Agar tizimlar bitta umumiy yechimga ega bo'lsa yoki yechim bo'lmasa, ular ekvivalent deb ataladi.

Chiziqli tenglamalarning bir jinsli sistemalari o'ng tomoni nolga teng bo'lgan tizimlardir. Agar "teng" belgisidan keyin o'ng qism qiymatga ega bo'lsa yoki funktsiya bilan ifodalangan bo'lsa, bunday tizim bir hil emas.

O'zgaruvchilar soni ikkitadan ko'p bo'lishi mumkin, keyin uchta yoki undan ko'p o'zgaruvchiga ega chiziqli tenglamalar tizimining misoli haqida gapirishimiz kerak.

Tizimlar bilan duch kelgan maktab o'quvchilari tenglamalar soni noma'lumlar soniga to'g'ri kelishi kerak deb o'ylashadi, ammo bu unday emas. Tizimdagi tenglamalar soni o'zgaruvchilarga bog'liq emas, ularning soni ixtiyoriy ravishda ko'p bo'lishi mumkin.

Tenglamalar sistemalarini yechishning oddiy va murakkab usullari

Bunday tizimlarni yechishning umumiy analitik usuli mavjud emas, barcha usullar sonli yechimlarga asoslanadi. DA maktab kursi Matematika almashtirish, algebraik qo'shish, almashtirish kabi usullarni, shuningdek, grafik va matritsa usulini, Gauss usuli bilan hal qilishni batafsil tavsiflaydi.

Yechish usullarini o'rgatishdagi asosiy vazifa tizimni to'g'ri tahlil qilishni va har bir misol uchun optimal echim algoritmini topishni o'rgatishdir. Asosiysi, har bir usul uchun qoidalar va harakatlar tizimini yodlash emas, balki ma'lum bir usulni qo'llash tamoyillarini tushunishdir.

Umumta’lim maktabi dasturining 7-sinfi chiziqli tenglamalar sistemasi misollarini yechish juda oddiy va juda batafsil tushuntirilgan. Matematika bo'yicha har qanday darslikda ushbu bo'limga etarlicha e'tibor beriladi. Chiziqli tenglamalar sistemasiga misollarni Gauss va Kramer usulida yechish oliy o‘quv yurtlarining birinchi kurslarida batafsil o‘rganiladi.

Tizimlarni almashtirish usuli bilan yechish

O'zgartirish usulining harakatlari bir o'zgaruvchining qiymatini ikkinchisi orqali ifodalashga qaratilgan. Ifoda qolgan tenglamaga almashtiriladi, so'ngra u bitta o'zgaruvchan shaklga keltiriladi. Harakat tizimdagi noma'lumlar soniga qarab takrorlanadi

7-sinf chiziqli tenglamalar tizimiga almashtirish usuli bilan misol keltiramiz:

Misoldan ko'rinib turibdiki, x o'zgaruvchisi F(X) = 7 + Y orqali ifodalangan. Natijada X o'rniga tizimning 2- tenglamasiga almashtirilgan ifoda 2-tenglamada bitta Y o'zgaruvchisini olishga yordam berdi. . Yechim bu misol qiyinchilik tug'dirmaydi va Y qiymatini olish imkonini beradi.Oxirgi bosqich - olingan qiymatlarni tekshirish.

Chiziqli tenglamalar sistemasiga misolni almashtirish usuli bilan yechish har doim ham mumkin emas. Tenglamalar murakkab bo'lishi mumkin va o'zgaruvchini ikkinchi noma'lum nuqtai nazardan ifodalash keyingi hisob-kitoblar uchun juda og'ir bo'ladi. Tizimda 3 dan ortiq noma'lum bo'lsa, almashtirish echimi ham amaliy bo'lmaydi.

Chiziqli bir hil bo'lmagan tenglamalar sistemasiga misol yechimi:

Algebraik qo‘shish yordamida yechim

Qo'shish usuli bo'yicha tizimlarning yechimini izlashda tenglamalarni har xil sonlarga qo'shish va ko'paytirish amalga oshiriladi. Matematik operatsiyalarning yakuniy maqsadi bitta o'zgaruvchiga ega bo'lgan tenglamadir.

Ilovalar uchun bu usul bu amaliyot va kuzatishni talab qiladi. O'zgaruvchilar soni 3 yoki undan ko'p bo'lgan qo'shish usuli yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yechish oson emas. Tenglamalar kasrlar va o'nlik sonlarni o'z ichiga olgan bo'lsa, algebraik qo'shish foydali bo'ladi.

Yechim harakati algoritmi:

1. Tenglamaning ikkala tomonini bir necha raqamga ko'paytiring. Arifmetik operatsiya natijasida o'zgaruvchining koeffitsientlaridan biri 1 ga teng bo'lishi kerak.
2. Hosil boʻlgan iborani termin boʻyicha qoʻshing va nomaʼlumlardan birini toping.
3. Qolgan o'zgaruvchini topish uchun olingan qiymatni tizimning 2-tenglamasiga almashtiring.

Yangi o'zgaruvchini kiritish orqali hal qilish usuli

Agar tizim ikkitadan ko'p bo'lmagan tenglamalar uchun yechim topishi kerak bo'lsa, yangi o'zgaruvchini kiritish mumkin, noma'lumlar soni ham ikkitadan ko'p bo'lmasligi kerak.

Usul yangi o'zgaruvchini kiritish orqali tenglamalardan birini soddalashtirish uchun ishlatiladi. Yangi tenglama kiritilgan noma'lumga nisbatan yechiladi va olingan qiymatdan asl o'zgaruvchini aniqlash uchun foydalaniladi.

Misoldan ko'rinib turibdiki, yangi t o'zgaruvchisini kiritish orqali sistemaning 1-tenglamasini standart kvadrat trinomialga qisqartirish mumkin edi. Ko'phadni diskriminantni topib yechishingiz mumkin.

Taniqli formuladan foydalanib, diskriminantning qiymatini topish kerak: D = b2 - 4*a*c, bu erda D - kerakli diskriminant, b, a, c - ko'phadning ko'paytmalari. DA berilgan misol a=1, b=16, c=39, demak D=100. Agar diskriminant noldan katta bo'lsa, u holda ikkita yechim mavjud: t = -b±√D / 2*a, agar diskriminant noldan kichik bo'lsa, u holda faqat bitta yechim mavjud: x= -b / 2*a.

Olingan tizimlar uchun yechim qo'shish usuli bilan topiladi.

Tizimlarni hal qilish uchun vizual usul

3 ta tenglamali tizimlar uchun javob beradi. Usul tizimga kiritilgan har bir tenglamaning grafiklarini koordinata o'qi bo'yicha chizishdan iborat. Egri chiziqlarning kesishish nuqtalarining koordinatalari tizimning umumiy yechimi bo'ladi.

Grafik usul bir qator nuanslarga ega. Chiziqli tenglamalar tizimini vizual tarzda echishning bir nechta misollarini ko'rib chiqing.

Misoldan ko'rinib turibdiki, har bir satr uchun ikkita nuqta qurilgan, x o'zgaruvchisining qiymatlari o'zboshimchalik bilan tanlangan: 0 va 3. X qiymatlari asosida y uchun qiymatlar topildi: 3 va 0. Koordinatalari (0, 3) va (3, 0) bo'lgan nuqtalar grafikda belgilangan va chiziq bilan bog'langan.

Ikkinchi tenglama uchun qadamlar takrorlanishi kerak. Chiziqlarning kesishish nuqtasi tizimning yechimidir.

Quyidagi misolni topish kerak grafik yechim chiziqli tenglamalar sistemalari: 0,5x-y+2=0 va 0,5x-y-1=0.

Misoldan ko'rinib turibdiki, tizim hech qanday yechimga ega emas, chunki grafiklar parallel va butun uzunligi bo'ylab kesishmaydi.

2 va 3-misollardagi tizimlar bir-biriga o'xshash, ammo qurilishdan keyin ularning echimlari boshqacha ekanligi ayon bo'ladi. Shuni esda tutish kerakki, tizimda yechim bor yoki yo'qligini aytish har doim ham mumkin emas, har doim grafik yaratish kerak.

Matritsa va uning turlari

Matritsalar chiziqli tenglamalar tizimini qisqacha yozish uchun ishlatiladi. Matritsa - bu raqamlar bilan to'ldirilgan maxsus jadval turi. n*m n - satr va m - ustunga ega.

Ustunlar va satrlar soni teng bo'lganda matritsa kvadrat bo'ladi. Matritsa-vektor - cheksiz mumkin bo'lgan qatorlar soniga ega bo'lgan bir ustunli matritsa. Diagonallardan biri va boshqa nol elementlari bo'ylab birliklari bo'lgan matritsaga identifikatsiya deyiladi.

Teskari matritsa shunday matritsa bo'lib, unga ko'paytirilganda asl birlik birlikka aylanadi, bunday matritsa faqat asl kvadrat uchun mavjud bo'ladi.

Tenglamalar tizimini matritsaga aylantirish qoidalari

Tenglamalar tizimlariga kelsak, tenglamalarning koeffitsientlari va erkin a'zolari matritsaning raqamlari sifatida yoziladi, bitta tenglama matritsaning bir qatoridir.

Agar satrning kamida bitta elementi nolga teng bo'lmasa, matritsa qatori nolga teng bo'lmagan deb ataladi. Shuning uchun, agar tenglamalarning birortasida o'zgaruvchilar soni farq qiladigan bo'lsa, unda etishmayotgan noma'lum o'rniga nol kiritish kerak.

Matritsaning ustunlari o'zgaruvchilarga qat'iy mos kelishi kerak. Bu shuni anglatadiki, x o'zgaruvchining koeffitsientlari faqat bitta ustunda yozilishi mumkin, masalan, birinchi, noma'lum y koeffitsienti - faqat ikkinchisida.

Matritsani ko'paytirishda barcha matritsa elementlari ketma-ket songa ko'paytiriladi.

Teskari matritsani topish variantlari

Teskari matritsani topish formulasi juda oddiy: K -1 = 1 / |K|, bu erda K -1 teskari matritsa va |K| - matritsa determinanti. |K| nolga teng bo'lmasligi kerak, u holda tizim yechimga ega.

Determinant ikki-ikki matritsa uchun osongina hisoblab chiqiladi, faqat elementlarni diagonal ravishda bir-biriga ko'paytirish kerak. “Uchdan uch” varianti uchun |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c formulasi mavjud. 3 + a 3 b 2 c 1. Siz formuladan foydalanishingiz mumkin yoki elementlarning ustun va satr raqamlari mahsulotda takrorlanmasligi uchun har bir satr va har bir ustundan bitta elementni olishingiz kerakligini eslashingiz mumkin.

Chiziqli tenglamalar sistemasiga misollarni matritsa usulida yechish

Yechimni topishning matritsa usuli ko'p sonli o'zgaruvchilar va tenglamalarga ega tizimlarni echishda noqulay yozuvlarni kamaytirishga imkon beradi.

Misolda, a nm - tenglamalarning koeffitsientlari, matritsa - vektor x n - o'zgaruvchilar, b n - erkin shartlar.

Tizimlarni Gauss usulida yechish

Oliy matematikada Gauss usuli Kramer usuli bilan birgalikda oʻrganiladi va tizimlar yechimini topish jarayoni Gauss-Kramer yechish usuli deb ataladi. Ushbu usullar topish uchun ishlatiladi tizim o'zgaruvchilari juda ko'p chiziqli tenglamalar bilan.

Gauss usuli almashtirish va algebraik qo‘shish yechimlariga juda o‘xshash, lekin tizimliroqdir. Maktab kursida 3 va 4 tenglamalar sistemalari uchun Gauss yechimidan foydalaniladi. Usulning maqsadi tizimni teskari trapezoid shakliga keltirishdir. Algebraik o'zgartirishlar va almashtirishlar orqali bitta o'zgaruvchining qiymati tizim tenglamalaridan birida topiladi. Ikkinchi tenglama 2 ta noma'lum, 3 va 4 esa mos ravishda 3 va 4 o'zgaruvchiga ega bo'lgan ifodadir.

Tizimni tavsiflangan shaklga keltirgandan so'ng, keyingi yechim ma'lum o'zgaruvchilarni tizim tenglamalariga ketma-ket almashtirishga tushiriladi.

7-sinf uchun maktab darsliklarida Gauss yechimining namunasi quyidagicha tasvirlangan:

Misoldan ko'rinib turibdiki, (3) bosqichda ikkita tenglama 3x 3 -2x 4 =11 va 3x 3 +2x 4 =7 olingan. Har qanday tenglamaning yechimi x n o'zgaruvchilardan birini topishga imkon beradi.

Matnda tilga olingan 5-teoremada aytilishicha, agar tizim tenglamalaridan biri ekvivalent bilan almashtirilsa, natijada hosil bo'lgan tizim ham asl tenglamaga teng bo'ladi.

Gauss usulini talabalar tushunishi qiyin o'rta maktab, lekin dasturga kiritilgan bolalarning zukkoligini rivojlantirishning eng qiziqarli usullaridan biri chuqur o'rganish matematika va fizika darslarida.

Hisob-kitoblarni yozib olish qulayligi uchun quyidagilarni qilish odatiy holdir:

Tenglama koeffitsientlari va erkin atamalar matritsa shaklida yoziladi, bu erda matritsaning har bir qatori tizim tenglamalaridan biriga mos keladi. tenglamaning chap tomonini o'ng tomondan ajratadi. Rim raqamlari tizimdagi tenglamalar sonini bildiradi.

Birinchidan, ular ishlash uchun matritsani, so'ngra qatorlardan biri bilan amalga oshirilgan barcha harakatlarni yozadilar. Olingan matritsa "o'q" belgisidan keyin yoziladi va kerakli ishlarni bajarishda davom etadi algebraik harakatlar natijaga erishilgunga qadar.

Natijada, diagonallardan biri 1 bo'lgan va boshqa barcha koeffitsientlar nolga teng bo'lgan matritsa olinishi kerak, ya'ni matritsa bitta shaklga tushiriladi. Tenglamaning ikkala tomonining raqamlari bilan hisob-kitoblarni amalga oshirishni unutmasligimiz kerak.

Ushbu belgi unchalik qiyin emas va ko'plab noma'lum narsalarni sanab, chalg'itmaslikka imkon beradi.

Yechimning har qanday usulini bepul qo'llash ehtiyotkorlik va ma'lum tajribani talab qiladi. Barcha usullar qo'llanilmaydi. Yechimlarni topishning ba'zi usullari inson faoliyatining ma'lum bir sohasida afzalroq, boshqalari esa o'rganish uchun mavjud.