O'lchamdagi A matritsasini ko'rib chiqing.

A=
Undagi k qator va k ustunni tanlang (
).

Ta'rif 26:Kichik A matritsaning k-tartibi determinant deb ataladi kvadrat matritsa, undagi berilgan tanlov natijasida.

k qator va k ustun.

Ta'rif 27:daraja matritsa o'z kichiklarining nolga teng bo'lmagan tartiblarining eng kattasi deb ataladi, r (A).

Ta'rif 28: Tartibi darajasi bilan bir xil bo'lgan voyaga etmagan bola deyiladi asosiy kichik.

Bayonot:

1. Darajali butun son sifatida ifodalanadi.(
)

2.r=0,
A nolga teng bo'lganda.

Matritsalarning elementar transformatsiyalari.

Matritsalarning elementar o'zgarishlariga quyidagilar kiradi:

1) matritsaning istalgan satrining (ustunining) barcha elementlarini bir xil songa ko'paytirish.

2) matritsaning istalgan qatori (ustunlari) elementlariga boshqa qatorning (ustunning) mos keladigan elementlarini bir xil songa ko'paytirish;

3) matritsa satrlarini (ustunlarini) almashtirish;

4) nol qatorni (ustunni) tashlash;

5) matritsa qatorlarini mos ustunlar bilan almashtirish.

Ta'rif 29: Elementar o'zgarishlarda bir-biridan olingan matritsalar ekvivalent matritsalar deyiladi va "~" bilan belgilanadi.

Ekvivalent matritsalarning asosiy xossalari: Ekvivalent matritsalarning darajalari teng.

18-misol: r(A) ni hisoblang,

Yechim: Birinchi qatorni bosqichma-bosqich (-4)(-2) ga ko'paytiring

(-7) va keyin mos ravishda ikkinchi, uchinchi va to'rtinchi qatorlarga qo'shing.

~

ikkinchi va to'rtinchi qatorlarni almashtiring
ikkinchi qatorni (-2) ga ko'paytiring va to'rtinchi qatorga qo'shing; ikkinchi va uchinchi qatorlarni qo'shing.

uchinchi va to'rtinchi qatorlarni qo'shing.

~
null qatorni olib tashlang

~
r(A)=3
asl matritsaning darajasi

uchga teng.

Ta'rif 30: Agar asosiy diagonalning barcha elementlari bo'lsa, biz A matritsasini qadam matritsasi deb ataymiz 0 va asosiy diagonal ostidagi elementlar nolga teng.

Gap:

1) bosqichli matritsaning darajasi uning qatorlari soniga teng;

2) har qanday matritsani elementar transformatsiyalar yordamida bosqichli shaklga keltirish mumkin.

19-misol: matritsaning qanday qiymatlarida
darajasi birga tengmi?

Yechim: Ikkinchi tartibli determinant nolga teng bo'lsa, daraja birga teng bo'ladi, ya'ni.

§6. Umumiy shakldagi chiziqli tenglamalar sistemalari.

ko'rish tizimi
---(9) umumiy shakl sistemasi deyiladi.

Ta'rif 31: Ikki tizim ekvivalent (ekvivalent) deyiladi, agar birinchi tizimning har bir yechimi ikkinchisining yechimi bo'lsa va aksincha.

(1) sistemada A= matritsa
sistemaning asosiy matritsasi deb ataladi va =
kengaytirilgan matritsa tizimi

Teorema. Kroneker-Kapelli

(9) sistema izchil bo'lishi uchun tizimning bosh matritsasining darajasi kengaytirilgan matritsaning darajasiga teng bo'lishi zarur va yetarli, ya'ni r(A)=r( )

Teorema 1. Agar izchil tizim matritsasining darajasi noma'lumlar soniga teng bo'lsa, u holda tizim yagona yechimga ega bo'ladi.

Teorema 2. Agar qo'shma tizim matritsasining darajasi noma'lumlar sonidan kichik bo'lsa, u holda tizim cheksiz sonli echimlarga ega.

Ixtiyoriy chiziqli tenglamalar tizimini yechish qoidasi:

1) tizimning asosiy va kengaytirilgan matritsalarining darajalarini toping. Agar a
, keyin tizim mos kelmaydi.

2) Agar
=r, u holda tizim izchil bo'ladi. r tartibidagi asosiy minorni toping. Biz asosiy minorni chaqiramiz, uning asosida matritsaning darajasi aniqlangan.

Koeffitsientlari asosiy minorga kiritilgan noma'lumlar asosiy (asosiy) va chapda chap deb ataladi, qolgan noma'lumlar esa erkin deyiladi va tenglamaning o'ng tomoniga o'tkaziladi.

3) Bosh noma’lumlarning erkinlari bo‘yicha ifodalarini toping. Tizimning umumiy yechimi olinadi.

20-misol: Tizimni o'rganing va agar u mos kelsa, yagona yoki umumiy yechim toping

Yechim: 1) T.Kroneker-Kapelli bo'yicha tizimning kengaytirilgan va asosiy matritsalarining darajalarini topamiz:

~
~

~
~
asosiy matritsaning darajasi ikkitadir

2) kengaytirilgan matritsaning darajasini toping
~
~
~

3) Xulosa:
=2, keyin tizim izchil bo'ladi.

Lekin

sistema noaniq va cheksiz ko'p echimlarga ega.

4) Asosiy noma'lumlar va , chunki ular asosiy minorga tegishli va - bepul noma'lum.

Mayli =c, bu erda c - istalgan son.

5) Oxirgi matritsa tizimga mos keladi

6) Javob:

7) Tekshirish: barcha noma'lumlar mavjud bo'lgan dastlabki tizimning har qanday tenglamalarida biz topilgan qiymatlarni almashtiramiz.

Bir necha matritsa berilsin:

.

Ushbu matritsada tanlang ixtiyoriy chiziqlar va ixtiyoriy ustunlar
. Keyin determinant matritsa elementlaridan tashkil topgan th tartib
tanlangan satr va ustunlar kesishmasida joylashgan minor deyiladi - tartibli matritsa
.

Ta'rif 1.13. Matritsa darajasi
bu matritsaning nolga teng bo'lmagan minorining eng katta tartibidir.

Matritsaning darajasini hisoblash uchun uning eng kichik tartibdagi barcha kichiklarini hisobga olish kerak va agar ulardan kamida bittasi nolga teng bo'lmasa, eng yuqori darajadagi voyaga etmaganlarni ko'rib chiqishga o'tish kerak. Matritsaning darajasini aniqlashning bunday yondashuvi chegaralash usuli (yoki chegaralovchi voyaga etmaganlar usuli) deb ataladi.

Vazifa 1.4. Voyaga etmaganlarni chegaralash usuli bilan matritsaning darajasini aniqlang
.

.

Birinchi darajali chegarani ko'rib chiqing, masalan,
. Keyin biz ikkinchi darajali chegaralarni ko'rib chiqishga o'tamiz.

Masalan,
.

Nihoyat, uchinchi tartib chegarasini tahlil qilaylik.

.

Shunday qilib, eng yuqori tartib nolga teng bo'lmagan minor 2 ga teng, shuning uchun
.

1.4-masalani yechishda ikkinchi tartibli chegaradosh voyaga etmaganlar qatori nolga teng emasligini ko'rish mumkin. Shu munosabat bilan quyidagi tushuncha yuzaga keladi.

Ta'rif 1.14. Matritsaning asosiy minori bu matritsa darajasiga teng bo'lgan har qanday nolga teng bo'lmagan minordir.

1.2 teorema.(Asosiy minor teorema). Asosiy satrlar (asosiy ustunlar) chiziqli mustaqildir.

E'tibor bering, matritsaning satrlari (ustunlari) chiziqli bog'liq bo'ladi, agar ulardan kamida bittasi boshqalarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin bo'lsa.

1.3 teorema. Chiziqli mustaqil matritsa qatorlari soni chiziqli mustaqil matritsa ustunlari soniga teng va matritsaning darajasiga teng.

1.4 teorema.(Aniqlovchining nolga teng bo'lishi uchun zarur va etarli shart). Aniqlovchi uchun -chi tartib nolga teng bo'lsa, uning satrlari (ustunlari) chiziqli bog'liq bo'lishi zarur va etarli.

Matritsaning ta'rifi asosida uning darajasini hisoblash juda og'ir. Bu yuqori tartibli matritsalar uchun ayniqsa muhimdir. Shu munosabat bilan, amalda matritsaning darajasi 10.2 - 10.4 teoremalarini qo'llash, shuningdek matritsa ekvivalentligi va elementar o'zgarishlar tushunchalarini qo'llash asosida hisoblanadi.

Ta'rif 1.15. Ikki matritsa
va agar ularning darajalari teng bo'lsa, ekvivalent deb ataladi, ya'ni.
.

Agar matritsalar
va teng, keyin belgilang
 .

1.5 teorema. Matritsaning darajasi elementar transformatsiyalardan o'zgarmaydi.

Biz matritsaning elementar o'zgarishlarini chaqiramiz
matritsadagi quyidagi amallardan biri:

Qatorlarni ustunlar va ustunlarni mos keladigan qatorlar bilan almashtirish;

Matritsa qatorlarini almashtirish;

Barcha elementlari nolga teng bo'lgan chiziqni kesib o'tish;

Har qanday qatorni nolga teng bo'lmagan songa ko'paytirish;

Bir qatorning elementlariga boshqa qatorning mos keladigan elementlarini bir xil raqamga ko'paytirish
.

1.5-teoremaning xulosasi. Agar matritsa
matritsadan olingan chekli sonli elementar o'zgartirishlar, so'ngra matritsalar yordamida
va ekvivalentdir.

Matritsaning darajasini hisoblashda uni chekli sonli elementar transformatsiyalar yordamida trapezoidal shaklga keltirish kerak.

Ta'rif 1.16. Biz matritsani tasvirlashning bunday shaklini trapezoid deb ataymiz, eng katta nolga teng bo'lmagan tartibli chegaradosh minorda diagonaldan pastdagi barcha elementlar yo'qoladi. Masalan:

.

Bu yerda
, matritsa elementlari
nolga aylantiring. Keyin bunday matritsaning tasvirlanish shakli trapezoidal bo'ladi.

Qoida tariqasida, matritsalar Gauss algoritmi yordamida trapezoidal shaklga keltiriladi. Gauss algoritmining g'oyasi shundan iboratki, matritsaning birinchi qatori elementlarini mos keladigan omillarga ko'paytirish orqali ular birinchi ustunning barcha elementlari element ostida joylashganligiga erishadilar.
, nolga aylanadi. Keyin, ikkinchi ustunning elementlarini mos keladigan ko'paytirgichlarga ko'paytirsak, ikkinchi ustunning barcha elementlari element ostida joylashganligiga erishamiz.
, nolga aylanadi. Keyinchalik xuddi shunday davom eting.

1.5-topshiriq. Matritsani trapezoidal shaklga keltirish orqali uning darajasini aniqlang.

.

Gauss algoritmini qo'llash qulayligi uchun siz birinchi va uchinchi qatorlarni almashtirishingiz mumkin.








.

Shu yerda
. Biroq, natijani yanada oqlangan shaklga keltirish uchun ustunlar ustidagi keyingi o'zgarishlarni davom ettirish mumkin.










.

Matritsaning darajasi muhim ahamiyatga ega raqamli xarakteristikasi. Matritsaning darajasini topishni talab qiladigan eng xarakterli muammo chiziqli algebraik tenglamalar tizimining mosligini tekshirishdir. Ushbu maqolada biz matritsaning darajasi tushunchasini beramiz va uni topish usullarini ko'rib chiqamiz. Materialni yaxshiroq o'zlashtirish uchun biz bir nechta misollarning echimlarini batafsil tahlil qilamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Matritsaning darajasi va zarur qo'shimcha tushunchalarni aniqlash.

Matritsa darajasining ta'rifini aytishdan oldin, minor tushunchasini yaxshi tushunish kerak va matritsaning kichiklarini topish determinantni hisoblash qobiliyatini nazarda tutadi. Shuning uchun, agar kerak bo'lsa, maqolaning nazariyasini, matritsa determinantini topish usullarini, determinantning xususiyatlarini eslashni tavsiya qilamiz.

Tartibdagi A matritsasini oling. K m va n sonlarning eng kichigidan oshmaydigan qandaydir natural son bo‘lsin, ya’ni, .

Ta'rif.

Kichik k-chi tartib A matritsa tartibli kvadrat matritsaning determinanti bo'lib, A matritsaning oldindan tanlangan k qator va k ustundagi elementlaridan tashkil topgan va A matritsa elementlarining joylashuvi saqlanib qoladi.

Boshqacha qilib aytganda, agar A matritsadagi (p–k) satrlarni va (n–k) ustunlarni oʻchirib tashlasak va qolgan elementlardan A matritsa elementlarining joylashuvini saqlagan holda matritsa hosil qilsak, natijada olingan matritsaning determinanti ​A matritsaning k tartibli minori.

Keling, misol yordamida minor matritsaning ta'rifini ko'rib chiqaylik.

Matritsani ko'rib chiqing .

Keling, ushbu matritsaning bir nechta birinchi darajali kichiklarini yozamiz. Misol uchun, agar biz A matritsasining uchinchi qatori va ikkinchi ustunini tanlasak, unda bizning tanlovimiz birinchi darajali minorga mos keladi. . Boshqacha qilib aytganda, bu minorni olish uchun biz A matritsadan birinchi va ikkinchi qatorlarni, shuningdek, birinchi, uchinchi va to'rtinchi ustunlarni kesib tashladik va qolgan elementdan determinantni tuzdik. Agar biz A matritsaning birinchi qatorini va uchinchi ustunini tanlasak, u holda biz minorni olamiz .

Keling, ko'rib chiqilayotgan birinchi darajali voyaga etmaganlarni olish tartibini ko'rsatamiz
va .

Shunday qilib, matritsaning birinchi darajali minorlari matritsa elementlarining o'zidir.

Keling, ikkinchi darajali bir nechta voyaga etmaganlarni ko'rsatamiz. Ikki qator va ikkita ustunni tanlang. Masalan, birinchi va ikkinchi qatorlarni, uchinchi va to'rtinchi ustunlarni oling. Ushbu tanlov bilan bizda ikkinchi darajali kichik bola bor . Bu minorni A matritsasidan uchinchi qator, birinchi va ikkinchi ustunlarni oʻchirish orqali ham hosil qilish mumkin.

A matritsaning yana bir ikkinchi darajali minoridir.

Keling, ushbu ikkinchi darajali voyaga etmaganlarning qurilishini ko'rsatamiz
va .

Xuddi shunday A matritsaning uchinchi tartibli minorlarini ham topish mumkin. A matritsasida faqat uchta qator bo'lgani uchun biz ularning barchasini tanlaymiz. Agar biz ushbu qatorlar uchun dastlabki uchta ustunni tanlasak, unda uchinchi tartibning kichik qismini olamiz

U A matritsaning oxirgi ustunini o'chirish orqali ham tuzilishi mumkin.

Yana bir uchinchi darajali kichik

A matritsasining uchinchi ustunini o'chirish orqali olingan.

Mana bu uchinchi darajali voyaga etmaganlarning qurilishini ko'rsatadigan chizma
va .

Berilgan A matritsa uchun uchinchidan yuqori tartibli kichiklar yo'q, chunki .

A tartibli matritsaning nechta k-tartibli minorlari mavjud?

Tartibi k voyaga etmaganlar soni sifatida hisoblash mumkin, qaerda va - mos ravishda p dan k gacha va n dan k gacha bo'lgan kombinatsiyalar soni.

p tartibli A matritsaning k tartibli barcha minorlari n bo‘yicha qanday quriladi?

Bizga matritsa satr raqamlari va ustun raqamlari to'plami kerak. Hamma narsani yozib olish p elementlarning k bo'yicha birikmalari(ular k tartibli minorni qurishda A matritsasining tanlangan qatorlariga mos keladi). Satr raqamlarining har bir kombinatsiyasiga biz ketma-ket n ta elementning barcha kombinatsiyalarini k ustun raqamiga qo'shamiz. A matritsasining satr raqamlari va ustun raqamlari kombinatsiyalarining ushbu to'plamlari k tartibli barcha kichiklarni tuzishga yordam beradi.

Keling, bir misol keltiraylik.

Misol.

Matritsaning barcha ikkinchi tartibli kichiklarini toping.

Yechim.

Dastlabki matritsaning tartibi 3 dan 3 gacha bo'lganligi sababli, ikkinchi darajali kichiklarning umumiy soni bo'ladi .

A matritsaning 3 dan 2 tagacha qator raqamlarining barcha kombinatsiyalarini yozamiz: 1, 2; 1, 3 va 2, 3. 3 dan 2 ta ustun raqamlarining barcha kombinatsiyalari 1, 2; 1, 3 va 2, 3.

A matritsasining birinchi va ikkinchi qatorlarini oling. Ushbu qatorlar uchun birinchi va ikkinchi ustunlarni, birinchi va uchinchi ustunlarni, ikkinchi va uchinchi ustunlarni tanlab, biz mos ravishda voyaga etmaganlarni olamiz.

Birinchi va uchinchi qatorlar uchun xuddi shunday ustunlar tanlovi bilan bizda mavjud

Ikkinchi va uchinchi qatorlarga birinchi va ikkinchi, birinchi va uchinchi, ikkinchi va uchinchi ustunlarni qo‘shish qoladi:

Shunday qilib, A matritsaning ikkinchi tartibli to'qqizta kichiki topildi.

Endi biz matritsaning darajasini aniqlashga o'tishimiz mumkin.

Ta'rif.

Matritsa darajasi nolga teng bo'lmagan matritsa minorining eng yuqori tartibidir.

A matritsasining darajasi Rank(A) sifatida belgilanadi. Rg(A) yoki Rang(A) belgilarini ham ko'rishingiz mumkin.

Matritsaning darajalari va matritsaning minorlari ta'riflaridan xulosa qilishimiz mumkinki, nol matritsaning darajasi nolga teng, nolga teng bo'lmagan matritsaning darajasi esa kamida bitta.

Ta'rif bo'yicha matritsaning darajasini topish.

Shunday qilib, matritsaning darajasini topishning birinchi usuli kichik ro'yxatga olish usuli. Bu usul matritsaning darajasini aniqlashga asoslangan.

Tartibli A matritsaning darajasini topishimiz kerak.

Qisqacha tasvirlab bering algoritm voyaga etmaganlarni ro'yxatga olish usuli bilan ushbu muammoni hal qilish.

Agar noldan tashqari kamida bitta matritsa elementi bo'lsa, u holda matritsaning darajasi kamida bittaga teng bo'ladi (chunki nolga teng bo'lmagan birinchi darajali minor mavjud).

Keyinchalik, biz ikkinchi darajali voyaga etmaganlarni takrorlaymiz. Agar barcha ikkinchi darajali kichiklar nolga teng bo'lsa, matritsaning darajasi birga teng. Agar kamida bitta nolga teng bo'lmagan ikkinchi darajali minor mavjud bo'lsa, biz uchinchi darajali kichiklar ro'yxatiga o'tamiz va matritsaning darajasi kamida ikkitaga teng.

Xuddi shunday, agar barcha uchinchi darajali kichiklar nolga teng bo'lsa, matritsaning darajasi ikkitadir. Agar kamida bitta nolga teng bo'lmagan uchinchi darajali minor bo'lsa, u holda matritsaning darajasi kamida uchta bo'ladi va biz to'rtinchi darajali kichiklarni sanab o'tishga o'tamiz.

E'tibor bering, matritsaning darajasi p va n ning eng kichigidan oshmasligi kerak.

Misol.

Matritsaning darajasini toping .

Yechim.

Matritsa nolga teng bo'lmaganligi sababli uning darajasi birdan kam emas.

Ikkinchi darajali kichik noldan farq qiladi, shuning uchun A matritsasining darajasi kamida ikkitadir. Biz uchinchi tartibdagi voyaga etmaganlar ro'yxatiga o'tamiz. Ularning hammasi narsalar.

Barcha uchinchi darajali voyaga etmaganlar nolga teng. Shunday qilib, matritsaning darajasi ikkitadir.

Javob:

O'rin (A) = 2.

Voyaga etmaganlarni qirqish usuli bilan matritsaning darajasini topish.

Matritsaning darajasini topishning boshqa usullari mavjud bo'lib, ular kamroq hisoblash ishlari bilan natijani olish imkonini beradi.

Ushbu usullardan biri kichik qirqish usuli.

Keling, hal qilaylik chegaradosh voyaga etmaganlar tushunchasi.

Aytishlaricha, A matritsaning (k+1)-tartibdagi kichik M ok, A matritsaning k tartibli kichik M ni chegaralaydi, agar kichik M ok ga mos keladigan matritsa kichik matritsaga mos keladigan matritsani «o‘z ichiga olsa» M .

Boshqacha qilib aytganda, chegaralangan minor M ga mos keladigan matritsa M ok chegaralangan minorga mos keladigan matritsadan bitta satr va bitta ustun elementlarini o'chirish orqali olinadi.

Masalan, matritsani ko'rib chiqing va ikkinchi darajali kichikni oling. Keling, barcha chegaradosh voyaga etmaganlarni yozamiz:

Voyaga etmaganlarni chegaralash usuli quyidagi teorema bilan oqlanadi (biz uning formulasini isbotsiz keltiramiz).

Teorema.

Agar p tartibli A matritsaning k-tartibli minorini n ga chegaralagan barcha kichiklar nolga teng bo‘lsa, A matritsaning barcha tartibli (k+1) minorlari nolga teng bo‘ladi.

Shunday qilib, matritsaning darajasini topish uchun etarlicha chegaradosh bo'lgan barcha kichiklarni sanab o'tish shart emas. A tartibli matritsaning k-tartibli minor bilan chegaradosh kichiklar soni formula bo'yicha topiladi . E'tibor bering, A matritsaning k-tartibli minorlari bilan chegaradosh A matritsaning (k + 1)-tartibli minorlariga qaraganda ko'proq minorlar yo'q. Shuning uchun, aksariyat hollarda, voyaga etmaganlarni chegaralash usulidan foydalanish barcha voyaga etmaganlarni oddiygina sanab o'tishdan ko'ra foydaliroqdir.

Keling, voyaga etmaganlarni cheklash usuli bilan matritsaning darajasini topishga o'tamiz. Qisqacha tasvirlab bering algoritm bu usul.

Agar A matritsa nolga teng bo'lmasa, u holda A matritsaning noldan farq qiladigan istalgan elementini birinchi darajali minor sifatida olamiz. Biz uning chegaradosh voyaga etmaganlarini ko'rib chiqamiz. Agar ularning barchasi nolga teng bo'lsa, matritsaning darajasi bittaga teng. Agar kamida bitta nolga teng bo'lmagan chegaradosh kichik bo'lsa (uning tartibi ikkiga teng), biz uning chegaradosh voyaga etmaganlarini ko'rib chiqishga o'tamiz. Agar ularning barchasi nolga teng bo'lsa, Rank(A) = 2 bo'ladi. Agar kamida bitta chegaradosh kichik nolga teng bo'lsa (uning tartibi uchtaga teng), biz uning chegaradosh voyaga etmaganlarini ko'rib chiqamiz. Va hokazo. Natijada, agar A matritsaning (k + 1)-tartibdagi barcha chegaradosh kichiklari nolga teng bo'lsa, Rank(A) = k yoki bo'lmagan matritsa mavjud bo'lsa, Rank(A) = min(p, n) bo'ladi. nol minor tartib minoriga chegaradosh (min( p, n) – 1) .

Keling, misol yordamida matritsaning darajasini topish uchun voyaga etmaganlarni chegaralash usulini tahlil qilaylik.

Misol.

Matritsaning darajasini toping chegaradosh voyaga etmaganlar usuli bilan.

Yechim.

A matritsaning a 1 1 elementi nolga teng bo‘lmagani uchun uni birinchi darajali minor sifatida qabul qilamiz. Keling, noldan boshqa chegaradosh kichikni qidirishni boshlaylik:

Nolga teng bo‘lmagan chegaradosh ikkinchi tartibli minor topiladi. Keling, uning chegaradosh voyaga etmaganlarini sanab o'tamiz (ularning narsalar):

Ikkinchi darajali minor bilan chegaradosh barcha kichiklar nolga teng, shuning uchun A matritsasining darajasi ikkiga teng.

Javob:

O'rin (A) = 2.

Misol.

Matritsaning darajasini toping chegaradosh voyaga etmaganlarning yordami bilan.

Yechim.

Birinchi tartibdagi nolga teng bo'lmagan minor sifatida A matritsaning a 1 1 = 1 elementini olamiz. Uni ikkinchi darajali qirqish nolga teng emas. Bu voyaga etmagan uchinchi darajali voyaga etmagan bilan chegaralanadi
. U nolga teng emasligi va uning uchun chegaralovchi minor yo'qligi sababli, A matritsaning darajasi uchtaga teng.

Javob:

O'rin (A) = 3.

Matritsani elementar o'zgartirishlar yordamida darajani topish (Gauss usulida).

Matritsaning darajasini topishning boshqa usulini ko'rib chiqing.

Quyidagi matritsa o'zgarishlar elementar deyiladi:

• matritsa satrlarini (yoki ustunlarini) almashtirish;
• matritsaning istalgan satrining (ustunining) barcha elementlarini noldan farq qiluvchi ixtiyoriy k soniga ko'paytirish;
• matritsaning boshqa satrining (ustunining) mos keladigan elementlarining istalgan satri (ustun) elementlariga qo'shib, ixtiyoriy k soniga ko'paytiriladi.

B matritsa A matritsaga ekvivalent deyiladi, agar B A dan chekli sonli elementar o'zgartirishlar yordamida olingan bo'lsa. Matritsalarning ekvivalentligi "~" belgisi bilan belgilanadi, ya'ni A ~ B yoziladi.

Elementar matritsa o‘zgartirishlar yordamida matritsaning darajasini topish quyidagi gapga asoslanadi: agar B matritsa A matritsadan chekli sonli elementar o‘zgartirishlar yordamida olingan bo‘lsa, Rank(A) = Rank(B) .

Ushbu bayonotning to'g'riligi matritsa determinantining xususiyatlaridan kelib chiqadi:

• Matritsaning satrlari (yoki ustunlari) almashtirilganda uning determinanti belgini o'zgartiradi. Agar u nolga teng bo'lsa, u holda satrlarni (ustunlarni) almashtirishda u nolga teng bo'lib qoladi.
• Matritsaning har qanday satrining (ustunining) barcha elementlarini noldan farqli k ixtiyoriy soniga ko'paytirganda, olingan matritsaning determinanti k ga ko'paytirilgan dastlabki matritsaning determinantiga teng bo'ladi. Agar dastlabki matritsaning determinanti nolga teng bo'lsa, u holda har qanday satr yoki ustunning barcha elementlarini k soniga ko'paytirgandan so'ng, hosil bo'lgan matritsaning determinanti ham nolga teng bo'ladi.
• Matritsaning ma'lum bir qatori (ustunlari) elementlariga matritsaning boshqa qatori (ustunlari) mos keladigan elementlarni qandaydir k soniga ko'paytirish bilan qo'shish uning determinantini o'zgartirmaydi.

Elementar transformatsiyalar usulining mohiyati elementar transformatsiyalar yordamida biz darajasi topishimiz kerak bo'lgan matritsani trapetsiyaga (muayyan holatda, yuqori uchburchakka) olib kelishdir.

Bu nima uchun? Bunday turdagi matritsalar darajasini topish juda oson. Bu kamida bitta null bo'lmagan elementni o'z ichiga olgan qatorlar soniga teng. Va elementar transformatsiyalar paytida matritsaning darajasi o'zgarmasligi sababli, natijada olingan qiymat asl matritsaning darajasi bo'ladi.

Biz matritsalarning rasmlarini beramiz, ulardan biri transformatsiyalardan keyin olinishi kerak. Ularning shakli matritsaning tartibiga bog'liq.

Ushbu rasmlar biz A matritsasini o'zgartiradigan andozalardir.

Keling, tasvirlab beraylik usul algoritmi.

Faraz qilaylik, nolga teng bo'lmagan tartibli A matritsasining darajasini topishimiz kerak (p n ga teng bo'lishi mumkin).

Shunday qilib, . A matritsaning birinchi qatorining barcha elementlarini ga ko'paytiramiz. Bunday holda, biz ekvivalent matritsani olamiz, uni A (1) bilan belgilaymiz:

Olingan A (1) matritsaning ikkinchi qatori elementlariga birinchi qatorning mos keladigan elementlarini ga ko'paytiramiz. Uchinchi qatorning elementlariga birinchi qatorning mos keladigan elementlarini ko'paytiring. Va shunga o'xshash p-chi qatorga qadar. Ekvivalent matritsani olamiz, uni A (2) ni belgilaymiz:

Agar hosil bo'lgan matritsaning ikkinchidan p-chigacha bo'lgan qatordagi barcha elementlari nolga teng bo'lsa, bu matritsaning darajasi bittaga teng bo'ladi va shuning uchun asl matritsaning darajasi bo'ladi. birga teng.

Agar ikkinchidan p-chigacha bo'lgan qatorlarda kamida bitta nolga teng bo'lmagan element bo'lsa, biz o'zgarishlarni davom ettiramiz. Bundan tashqari, biz xuddi shunday harakat qilamiz, lekin faqat A matritsasining (2) rasmda belgilangan qismi bilan.

Agar bo'lsa, u holda A (2) matritsaning satrlari va (yoki) ustunlarini shunday joylashtiramizki, "yangi" element nolga teng bo'lmaydi.

Har qanday matritsa A buyurtma m×n to'plam sifatida qarash mumkin m qator vektorlari yoki n ustun vektorlari.

daraja matritsalar A buyurtma m×n chiziqli mustaqil ustun vektorlari yoki satr vektorlarining maksimal soni.

Agar matritsaning darajasi bo'lsa A teng r, keyin shunday yoziladi:

Matritsaning darajasini topish

Mayli A ixtiyoriy tartib matritsasi m× n. Matritsaning darajasini topish uchun A unga Gauss yo'q qilish usulini qo'llang.

E'tibor bering, agar yo'q qilishning qaysidir bosqichida etakchi element nolga teng bo'lsa, biz berilgan satrni etakchi element noldan farq qiladigan satr bilan almashtiramiz. Agar bunday qator yo'qligi aniqlansa, biz keyingi ustunga o'tamiz va hokazo.

Gaussni yo'q qilishning oldinga siljishidan so'ng, biz asosiy diagonal ostidagi elementlari nolga teng bo'lgan matritsani olamiz. Bundan tashqari, null qator vektorlari bo'lishi mumkin.

Nolga teng bo'lmagan qator vektorlari soni matritsaning darajasi bo'ladi A.

Bularning barchasini oddiy misollar bilan ko'rib chiqaylik.

1-misol

Birinchi qatorni 4 ga ko'paytirish va ikkinchi qatorga qo'shish va birinchi qatorni 2 ga ko'paytirish va uchinchi qatorga qo'shish bizda:

Ikkinchi qatorni -1 ga ko'paytiring va uchinchi qatorga qo'shing:

Biz ikkita nolga teng bo'lmagan qatorlarni oldik va shuning uchun matritsaning darajasi 2 ga teng.

2-misol

Quyidagi matritsaning darajasini toping:

Birinchi qatorni -2 ga ko'paytiring va ikkinchi qatorga qo'shing. Xuddi shunday, birinchi ustunning uchinchi va to'rtinchi qatorlari elementlarini nolga qo'ying:

Ikkinchi ustunning uchinchi va to'rtinchi qatorlari elementlarini -1 soniga ko'paytirilgan ikkinchi qatorga mos keladigan qatorlarni qo'shish orqali qayta o'rnatamiz.

Har bir matritsada ikkita daraja bog'lanishi mumkin: satr darajasi (satr tizimining darajasi) va ustun darajasi (ustun tizimining darajasi).

Teorema

Matritsaning satr darajasi uning ustun darajasiga teng.

Matritsa darajasi

Ta'rif

Matritsa darajasi$A$ - uning satrlar yoki ustunlar tizimining darajasi.

$\operatorname(rang) A$ bilan belgilanadi

Amalda, matritsaning darajasini topish uchun quyidagi bayonot qo'llaniladi: matritsaning darajasi matritsa bosqichli shaklga tushirilgandan keyin nolga teng bo'lmagan qatorlar soniga teng.

Matritsaning satrlari (ustunlari) ustidagi elementar o'zgarishlar uning darajasini o'zgartirmaydi.

Bosqichli matritsaning darajasi uning nolga teng bo'lmagan qatorlar soniga teng.

Misol

Mashq qilish.$ A=\left(\begin(massiv)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & ( matritsaning darajasini toping. 7) \ \ (10) & (18) & (40) & (17) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(massiv)\oʻng) $

Yechim. Uning satrlari ustidagi elementar transformatsiyalardan foydalanib, $A$ matritsasini bosqichli shaklga keltiramiz. Buning uchun birinchi navbatda uchinchi qatordan ikkinchi ikkitasini ayiring:

$$ A \sim \left(\begin(massiv)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & (7) \\ (2) & (2) & (4) & (3) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(massiv)\o'ng) $$

Ikkinchi qatordan biz to'rtinchi qatorni olib tashlaymiz, 4 ga ko'paytiriladi; uchinchidan - to'rtdan ikki:

$$ A \sim \left(\begin(massiv)(rrrr)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (-20) & (-50) & (-5) ) \\ (0) & (-12) & (-30) & (-3) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(massiv)\o'ng) $$

Birinchi beshlikni ikkinchi qatorga, uchinchi qatorga esa uchdan uch qismini qo'shamiz:

$$ A \sim \left(\begin(massiv)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(massiv)\o'ng) $$

Birinchi va ikkinchi qatorlarni almashtiring:

$$ A \sim \left(\begin(massiv)(cccc)(0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\end(massiv)\o'ng) $$

$$ A \sim \left(\begin(massiv)(cccc)(1) & (7) & (17) & (3) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) & (0)\end(massiv)\o'ng) \O'ng strelka \operator nomi(jiringlash) A=2 $$

Javob.$ \operator nomi (darajasi) A=2 $

Kichik chegara usuli

Matritsaning darajasini topishning yana bir usuli bu teoremaga asoslanadi - kichik chegara usuli. Ushbu usulning mohiyati kichik buyurtmalardan boshlab, yuqoriroqlarga o'tishda voyaga etmaganlarni topishdir. Agar $n$-tartibli minor nolga teng bo'lmasa va barcha $n+1$-tartibli minorlar nolga teng bo'lsa, u holda matritsaning darajasi $n$ ga teng bo'ladi.

Misol

Mashq qilish.$ A=\left(\begin(massiv)(rrrr)(1) & (2) & (-1) & (-2) \\ (2) & (4) & (3) matritsaning darajasini toping. & (0 ) \\ (-1) & (-2) & (6) & (6)\end(massiv)\o'ng) $ kichik chegaralash usuli yordamida.

Yechim. Minimal tartibdagi voyaga etmaganlar $A$ matritsasining elementlariga teng bo'lgan birinchi tartibli voyaga etmaganlardir. Masalan, kichik $ M_(1)=1 \neq 0 $ ni ko'rib chiqaylik. birinchi qator va birinchi ustunda joylashgan. Uni ikkinchi qator va ikkinchi ustun bilan chegaralab, biz kichik $ M_(2)^(1)=\left| \begin(massiv)(ll)(1) & (2) \\ (2) & (4)\end(massiv)\right|=0 $ ; ikkinchi darajali boshqa minorni ko'rib chiqamiz, buning uchun biz ikkinchi qator va uchinchi ustun yordamida minor $M_1$ ni chegaralaymiz, keyin bizda minor $ M_(2)^(2)=\left| \begin(massiv)(rr)(1) & (-1) \\ (2) & (3)\end(massiv)\right|=5 \neq 0 $ , ya'ni matritsaning darajasi kamida ikkita. Keyinchalik, biz kichik $ M_(2)^(2) $ ni o'rab turgan uchinchi darajali kichiklarni ko'rib chiqamiz. Ikkita bunday voyaga etmaganlar mavjud: uchinchi qatorning ikkinchi ustun bilan yoki to'rtinchi ustun bilan kombinatsiyasi. Biz bu voyaga etmaganlarni hisoblaymiz.