xususiy hosila z = f(x, y) funksiyalar x o'zgaruvchisi bo'yicha bu funktsiyaning hosilasi y o'zgaruvchining doimiy qiymatida chaqiriladi, u yoki z "x bilan belgilanadi.

xususiy hosila z = f(x, y) funktsiyalari y o'zgaruvchisi bo'yicha y o'zgaruvchining doimiy qiymatida y ga nisbatan hosila deyiladi; u yoki z "y bilan belgilanadi.

Bir necha o‘zgaruvchining funksiyasining bir o‘zgaruvchiga nisbatan qisman hosilasi, boshqa o‘zgaruvchilar doimiy deb hisoblangan taqdirda, ushbu funksiyaning tegishli o‘zgaruvchiga nisbatan hosilasi sifatida aniqlanadi.

to'liq differentsial z = f(x, y) funktsiya qandaydir M(X, y) nuqtadagi ifoda deyiladi

,

Bu yerda va M(x, y) nuqtada va dx =, dy = y nuqtada hisoblanadi.

1-misol

Funktsiyaning umumiy differentsialini hisoblang.

z \u003d x 3 - 2x 2 y 2 + y 3 M nuqtada (1; 2)

Yechim:

1) qisman hosilalarni toping:

2) M(1; 2) nuqtadagi qisman hosilalarning qiymatini hisoblang.

() M \u003d 3 1 2 - 4 1 2 2 \u003d -13

() M \u003d - 4 1 2 2 + 3 2 2 \u003d 4

3) dz = - 13dx + 4dy

O'z-o'zini nazorat qilish uchun savollar:

1. Antiderivativ deb nimaga aytiladi? Antiderivativning xossalarini sanab bering.

2. Nima deyiladi noaniq integral?

3. Noaniq integralning xossalarini sanab bering.

4. Asosiy integratsiya formulalarini sanab bering.

5. Qanday integratsiya usullarini bilasiz?

6. Nyuton-Leybnits formulasining mohiyati nimada?

7. Aniq integralga ta’rif bering.

8. Aniq integralni almashtirish usuli bilan hisoblashning mohiyati nimadan iborat?

9. Aniq integralni qismlar bo‘yicha hisoblash usulining mohiyati nimada?

10. Ikki o‘zgaruvchining funksiyasi deb qanday funksiya deyiladi? Qanday qilib belgilanadi?

11. Qanday funksiya uchta o‘zgaruvchili funksiya deyiladi?

12. Qaysi to‘plam funksiya sohasi deyiladi?

13. Tekislikdagi yopiq D hududni qanday tengsizliklar yordamida aniqlash mumkin?

14. z \u003d f (x, y) funksiyaning x o‘zgaruvchisiga nisbatan qisman hosilasi nima deyiladi? Qanday qilib belgilanadi?

15. y o‘zgaruvchiga nisbatan z \u003d f (x, y) funksiyaning qisman hosilasi nima deyiladi? Qanday qilib belgilanadi?

16. Funktsiyaning to'liq differensiali deb qanday ifoda deyiladi

1.2-mavzu Oddiy differensial tenglamalar.

Differensial tenglamalarga olib keladigan masalalar. Ajraladigan o'zgaruvchilar bilan differensial tenglamalar. Umumiy va shaxsiy echimlar. Birinchi tartibli bir jinsli differensial tenglamalar. Chiziqli bir jinsli tenglamalar doimiy koeffitsientli ikkinchi tartib.

Amaliy mashg'ulot No7 «Umumiy va xususiy yechimlarni topish differensial tenglamalar ajratiladigan o'zgaruvchilar bilan"*

Amaliy dars No8 “Chiziqli va bir jinsli differensial tenglamalar”.

Amaliy dars 9-son “2-tartibli differensial tenglamalarni yechish bilan doimiy koeffitsientlar»*

L4, 15-bob, 243-256-betlar

Ko'rsatmalar

Amaliy ish №2

"Funksiya farqi"

Darsning maqsadi: Berilgan mavzu bo‘yicha misol va masalalar yechishni o‘rganing.

Nazariy savollar (boshlang'ich daraja):

1. Ekstremumgacha bo'lgan funktsiyalarni o'rganish uchun hosilalardan foydalanish.

2. Funksiyaning differensialligi, uning geometrik va fizik ma’nosi.

3. To'liq differentsial ko'p o'zgaruvchilarning funktsiyalari.

4. Tananing holati ko'p o'zgaruvchilar funktsiyasi sifatida.

5. Taxminiy hisob-kitoblar.

6. Qisman hosilalar va to‘liq differentsialni topish.

7. Ushbu tushunchalarning farmakokinetika, mikrobiologiya va boshqalarda qo'llanilishiga misollar.

(o'z-o'zini tarbiyalash)

1. dars mavzusi bo'yicha savollarga javob berish;

2. misollar yechish.

Misollar

Quyidagi funksiyalarning differentsiallarini toping:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	20)

Funktsiyalarni o'rganish uchun hosilalardan foydalanish

y = f(x) funksiyaning [a, b] segmentida ortishi sharti.

y=f(x) funksiyaning [a, b] segmentida kamayishi sharti.

x= a da maksimal y=f(x) funksiyaning sharti

f"(a)=0 va f""(a)<0

Agar x \u003d a uchun f "(a) \u003d 0 va f "(a) \u003d 0 hosilalari bo'lsa, u holda x \u003d a nuqtasi yaqinida f "(x) ni tekshirish kerak. Funktsiya x \u003d a uchun y \u003d f (x) maksimalga ega , agar x \u003d nuqtadan o'tayotganda va f "(x) hosilasi belgisi "+" dan "-" ga o'zgartirilsa, minimal bo'lsa - "-" dan "+" gacha Agar x = a nuqtadan o'tganda f "(x) belgisi o'zgarmasa, bu nuqtada funktsiya ekstremumga ega emas.

Funktsiya differensial.

Mustaqil o'zgaruvchining differensialligi uning o'sishiga teng:

Funktsiya differensiali y=f(x)

Ikki funktsiya yig'indisining (farqining) differensiali y=u±v

Ikki funktsiya ko'paytmasining differensiali y=uv

Ikki funktsiyaning y=u/v bo'lakli differensialligi

dy=(vdu-udv)/v 2

Funktsiyaning o'sishi

Dy \u003d f (x + Dx) - f (x) ≈ dy ≈ f "(x) Dx

Bu erda Dx: argumentning o'sishi.

Funktsiya qiymatini taxminiy hisoblash:

f(x + Dx) ≈ f(x) + f "(x) Dx

Differensialni taxminiy hisoblarda qo'llash

Differensial u = f (x, y, z.) bilvosita o'lchovlardagi mutlaq va nisbiy xatolarni hisoblash uchun ishlatiladi. O'lchov natijasining mutlaq xatosi

du≈Du≈|du/dx|Dx+|du/dy|Dy+|du/dz|Dz+…

O'lchov natijasining nisbiy xatosi

du/u≈Du/u≈(|du/dx|Dx+|du/dy|Dy+|du/dz|Dz+…)/u

FUNKSIYA DIFFERENTIAL.

Funktsiya o'sishining asosiy qismi sifatida funktsiya differentsiali va. Funksiyaning differentsial tushunchasi hosila tushunchasi bilan chambarchas bog‘liq. Funktsiyaga ruxsat bering f(x) berilgan qiymatlar uchun uzluksiz X va hosilasiga ega

D f/Dx = f¢(x) + a(Dx), funktsiya o'sishi qaerdan Df = f¢(x)Dx + a(Dx)Dx, qayerda a(Dx) ® 0 da Dx ® 0. Cheksiz kichiklar tartibini aniqlaylik f¢(x)Dx Dx.:

Shuning uchun, cheksiz kichik f¢(x)Dx va Dx bir xil kattalik tartibiga ega, ya'ni f¢(x)Dx = O.

Cheksiz kichiklar tartibini aniqlaylik a(Dx)Dx cheksiz kichikga nisbatan Dx:

Shuning uchun, cheksiz kichik a(Dx)Dx cheksiz kichiklikdan yuqori kichiklik tartibiga ega Dx, ya'ni a(Dx)Dx = o.

Shunday qilib, cheksiz kichik o'sish Df differensiallanuvchi funksiya ikki atama shaklida ifodalanishi mumkin: cheksiz kichik f¢(x)Dx bilan bir xil kichiklik tartibida Dx va cheksiz kichik a(Dx)Dx cheksiz kichikga nisbatan kichiklikning yuqori tartibi Dx. Bu tenglikni anglatadi Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx da Dx® 0 ikkinchi muddat birinchisiga qaraganda "tezroq" nolga intiladi, ya'ni. a(Dx)Dx = o.

Birinchi muddat f¢(x)Dx, ga nisbatan chiziqli Dx, chaqirildi funktsiya differentsiali f(x) nuqtada X va belgilang dy yoki df("de o'yin" yoki "de ef" ni o'qing). Shunday qilib,

dy = df = f¢(x)Dx.

Differensialning analitik ma'nosi funktsiyaning differensialligi funktsiya o'sishining asosiy qismi ekanligida yotadi Df, argumentning o'sishiga nisbatan chiziqli Dx. Funktsiyaning differensialligi funktsiyaning o'sishidan kichiklikning yuqori tartibli cheksiz kichik biriga farq qiladi. Dx. Haqiqatan ham, Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx yoki Df = df + a(Dx)Dx . Argumentlar farqi dx uning o'sishiga teng Dx: dx=Dx.

Misol. Funksiyaning differentsial qiymatini hisoblang f(x) = x 3 + 2x, qachon X 1 dan 1,1 gacha o'zgarib turadi.

Yechim. Bu funksiyaning differentsialining umumiy ifodasini topamiz:

Qiymatlarni almashtirish dx=Dx=1,1–1= 0,1 va x=1 oxirgi formulada biz differentsialning kerakli qiymatini olamiz: df½ x=1; = 0,5.

QISMAN HOSILALAR VA DIFFERENTIALLAR.

Birinchi tartibli qisman hosilalar. z = f(x,y) funksiyaning birinchi tartibli qisman hosilasi ) argument bilan X ko'rib chiqilgan nuqtada (x; y) chegara deb ataladi

agar mavjud bo'lsa.

Funktsiyaning qisman hosilasi z = f(x, y) argument bilan X quyidagi belgilardan biri bilan belgilanadi:

Xuddi shunday, ga nisbatan qisman hosila da formula bilan belgilanadi va aniqlanadi:

Qisman hosila bitta argument funktsiyasining odatiy hosilasi bo'lgani uchun uni hisoblash qiyin emas. Buning uchun har bir holatda argumentlarning qaysi biri “doimiy son” sifatida qabul qilinishi va qaysi biri “differentsiatsiya o‘zgaruvchisi” bo‘lib xizmat qilishini hisobga olib, shu paytgacha ko‘rib chiqilgan barcha farqlash qoidalaridan foydalanish kerak.

Izoh. Masalan, argumentga nisbatan qisman hosilani topish x – df/dx, funksiyaning oddiy hosilasini topish kifoya f(x,y), ikkinchisini bitta argumentning funksiyasi deb hisoblasak X, a da- doimiy; topmoq df/dy- aksincha.

Misol. Funktsiyaning qisman hosilalari qiymatlarini toping f(x,y) = 2x2 + y2 nuqtada P(1;2).

Yechim. Hisoblash f(x,y) yagona argument funktsiyasi X va farqlash qoidalaridan foydalanib, biz topamiz

Shu nuqtada P(1;2) hosilaviy qiymat

f(x; y) ni bitta y argumentining funksiyasi sifatida ko‘rib chiqamiz

Shu nuqtada P(1;2) hosilaviy qiymat

TALABANING MUSTAQIL ISHI UCHUN TOPSHIRGI:

Quyidagi funksiyalarning differentsiallarini toping:

Quyidagi vazifalarni hal qiling:

1. Tomoni x = 10 sm bo'lgan kvadratning tomoni 0,01 sm ga kamaytirilsa, uning maydoni qanchaga kamayadi?

2. Tana harakati tenglamasi berilgan: y=t 3 /2+2t 2 , bu yerda s metrda, t soniyada ifodalangan. Harakat boshidan t=1,92 s ichida jism bosib o'tgan s yo'lni toping.

ADABIYOT

1. Lobotskaya N.L. Oliy matematika asoslari - M .: "Oliy maktab", 1978.C198-226.

2. Beyli N. Biologiya va tibbiyotda matematika. Per. ingliz tilidan. M.: Mir, 1970 yil.

3. Remizov A.N., Isakova N.X., Maksina L.G. Tibbiy va biologik fizika muammolari to'plami - M .: "Oliy maktab", 1987. C16-20.

Funktsiyani o'zgartirishni uning argumentlaridan faqat bittasini oshirishda ko'rib chiqing - x i, va keling, uni chaqiraylik.

Ta'rif 1.7.xususiy hosila argument bo'yicha funktsiyalarni bajaradi x i chaqirdi.

Belgilar: .

Shunday qilib, bir nechta o'zgaruvchining funksiyasining qisman hosilasi aslida funktsiyaning hosilasi sifatida aniqlanadi. bitta o'zgaruvchi - x i. Demak, bir o'zgaruvchining funksiyasi uchun isbotlangan hosilalarning barcha xossalari u uchun amal qiladi.

Izoh. Qisman hosilalarni amaliy hisoblashda biz bir o'zgaruvchining funksiyasini farqlashning odatiy qoidalaridan foydalanamiz, bunda differentsiatsiya amalga oshiriladigan argument o'zgaruvchan, qolgan argumentlar esa doimiy bo'ladi.

1. z= 2x² + 3 xy –12y² + 5 x – 4y +2,

2. z = x y,

Ikki o'zgaruvchili funktsiyaning qisman hosilalari geometrik talqini.

Sirt tenglamasini ko'rib chiqing z = f(x,y) va samolyot chizish x = const. Tekislikning sirt bilan kesishish chizig'idagi nuqtani tanlaymiz M (x, y). Agar siz argumentni o'rnatsangiz da o'sish D da va koordinatali egri chiziqdagi T nuqtasini ko'rib chiqing ( x, y+Δ y, z+ dy z), keyin O o'qining musbat yo'nalishi bilan sekant MT tomonidan hosil qilingan burchakning tangensi da, ga teng bo'ladi. dagi chegaraga o'tsak, biz qisman hosila nuqtadagi hosil bo'lgan egri chiziqqa teginish hosil qilgan burchakning tangensiga teng ekanligini olamiz. M O o'qining ijobiy yo'nalishi bilan y. Shunga ko'ra, qisman hosila burchakning O o'qi bilan tangensiga teng X sirt kesimidan kelib chiqadigan egri chiziqqa tangens z = f(x,y) samolyot y= const.

Ta'rif 2.1. u = f(x, y, z) funktsiyaning to'liq o'sishi deyiladi

Ta'rif 2.2. Agar u \u003d f (x, y, z) funktsiyaning (x 0, y 0, z 0) nuqtadagi o'sishini (2.3), (2.4) ko'rinishda ifodalash mumkin bo'lsa, u holda funktsiya differentsial deb ataladi. bu nuqtada va ifoda ko'rib chiqilayotgan funktsiyaning o'sishning asosiy chiziqli qismi yoki to'liq differentsial deb ataladi.

Belgilash: du, df (x 0 , y 0 , z 0).

Xuddi bitta o'zgaruvchining funktsiyasida bo'lgani kabi, mustaqil o'zgaruvchilarning differentsiallari ham ularning ixtiyoriy o'sishidir, shuning uchun

Izoh 1. Demak, “funksiya differensiallanadi” gapi “funksiyaning qisman hosilalariga ega” gapiga ekvivalent emas – differentsiallik bu hosilalarning ko‘rib chiqilayotgan nuqtada uzluksizligini ham talab qiladi.

4. Tangens tekislik va sirtga normal. Differensialning geometrik ma'nosi.

Funktsiyaga ruxsat bering z = f(x, y) nuqta qo'shnisida farqlanadi M (x 0, y 0). Keyin uning qisman hosilalari sirtning kesishish chiziqlariga teginishlarning qiyaliklaridir. z = f(x, y) samolyotlar bilan y = y 0 va x = x 0, bu sirtning o'ziga tegadigan bo'ladi z = f(x, y). Bu chiziqlardan o'tuvchi tekislik uchun tenglama yozamiz. Tangenslarning yo'nalish vektorlari (1; 0; ) va (0; 1; ) ko'rinishga ega, shuning uchun tekislikning normalini ularning vektor mahsuloti sifatida ko'rsatish mumkin: n = (- ,- , 1). Demak, tekislikning tenglamasini quyidagicha yozish mumkin:

qayerda z0 = .

Ta'rif 4.1.(4.1) tenglama bilan aniqlangan tekislik deyiladi tangens tekisligi funksiya grafigiga z = f(x, y) koordinatalari bo'lgan nuqtada (x 0, y 0, z 0).

Ikki o'zgaruvchining holati uchun (2.3) formuladan funktsiyaning o'sishi kelib chiqadi f nuqtaga yaqin joyda M quyidagicha ifodalanishi mumkin:

Demak, funktsiya grafigining ilovalari va tangens tekislik o'rtasidagi farq cheksiz kichik yuqori tartibdir. ρ, da ρ→ 0.

Bunda funksiyaning differensialligi f kabi ko'rinadi:

qaysi mos keladi funksiya grafigiga teginish tekisligi qo'llanilishining o'sishi. Bu differentsialning geometrik ma'nosi.

Ta'rif 4.2. Bir nuqtada teginish tekisligiga perpendikulyar nolga teng bo'lmagan vektor M (x 0, y 0) yuzalar z = f(x, y), deyiladi normal shu nuqtada yuzaga.

Ko'rib chiqilayotgan sirt uchun normal holat sifatida vektorni olish qulay - n = { , ,-1}.

Funktsiya qandaydir (ochiq) domenda aniqlansin D ball
o'lchovli fazo va
bu sohadagi nuqta, ya'ni.
D.

Funktsiyaning qisman o'sishi har qanday o'zgaruvchi uchun ko'p o'zgaruvchilar, agar biz ushbu o'zgaruvchiga o'sish bersak, boshqa barcha o'zgaruvchilar doimiy qiymatlarga ega deb faraz qilsak, funktsiya oladigan o'sish deyiladi.

Masalan, funktsiyani o'zgaruvchiga nisbatan qisman oshirish bo'ladi

Mustaqil o'zgaruvchiga nisbatan qisman hosila nuqtada
funktsiyadan qisman o'sish munosabatining chegarasi (agar mavjud bo'lsa) deyiladi
oshirish uchun funktsiyalar
o'zgaruvchan intilish paytida
nolga:

Qisman hosila quyidagi belgilardan biri bilan belgilanadi:

;
.

Izoh. Indeks quyida bu belgida lotin o'zgaruvchilarning qaysi biridan olinganligi va qaysi nuqta bilan bog'liq emasligi ko'rsatilgan.
bu hosila hisoblab chiqiladi.

Qisman hosilalarni hisoblash oddiy hosilalarni hisoblash bilan solishtirganda yangilik emas, faqat shuni yodda tutish kerakki, funktsiyani har qanday o'zgaruvchiga nisbatan farqlashda barcha boshqa o'zgaruvchilar doimiylar sifatida olinadi. Keling, buni misollar bilan ko'rsatamiz.

1-misolFunksiyalarning qisman hosilalarini toping
.

Yechim. Funktsiyaning qisman hosilasini hisoblashda
argument bilan funktsiyasini ko'rib chiqing faqat bitta o'zgaruvchining funktsiyasi sifatida , ya'ni. bunga ishon belgilangan qiymatga ega. Belgilangan vaqtda funktsiyasi
argumentning quvvat funktsiyasidir . Quvvat funksiyasini differensiallash formulasiga ko‘ra biz quyidagilarni olamiz:

Xuddi shunday, qisman lotinni hisoblashda qiymat belgilangan deb hisoblaymiz , va funktsiyani ko'rib chiqing
argumentning eksponensial funktsiyasi sifatida . Natijada biz quyidagilarni olamiz:

2-misol. Hqisman hosilalarni toping va funktsiyalari
.

Yechim. ga nisbatan qisman hosilani hisoblashda berilgan funksiya bir o‘zgaruvchining funksiyasi sifatida qaraymiz , va oʻz ichiga olgan ifodalar , doimiy omillar bo'ladi, ya'ni.
doimiy omil vazifasini bajaradi quvvat funktsiyasi bilan (
). ga nisbatan bu ifodani farqlash , biz olamiz:

.

Endi, aksincha, funktsiya bitta o‘zgaruvchining funksiyasi sifatida qaraladi , o'z ichiga olgan ifodalar esa , koeffitsient vazifasini bajaradi
(
).Differentsiyalash trigonometrik funktsiyalarni differentsiallash qoidalariga ko'ra, biz quyidagilarni olamiz:

3-misol Funksiyaning qisman hosilalarini hisoblang
nuqtada
.

Yechim. Biz birinchi navbatda bu funksiyaning qisman hosilalarini ixtiyoriy nuqtada topamiz
uning ta'rif sohasi. ga nisbatan qisman hosilani hisoblashda bunga ishon
doimiydir.

bilan farq qilganda doimiy bo'ladi
:

ga nisbatan qisman hosilalarni hisoblashda esa va tomonidan , shunga o'xshash, mos ravishda doimiy bo'ladi,
va
, ya'ni:

Endi biz ushbu hosilalarning qiymatlarini nuqtada hisoblaymiz
, o'zgaruvchilarning o'ziga xos qiymatlarini ularning ifodalariga almashtirish. Natijada biz quyidagilarni olamiz:

11. Funksiyaning qisman va to‘liq differentsiallari

Agar hozir shaxsiy o'sish uchun
o'zgaruvchiga nisbatan chekli o'sishlarda Lagranj teoremasini qo'llash , keyin, hisoblash uzluksiz, biz quyidagi munosabatlarni olamiz:

qayerda
,
cheksiz kichik miqdordir.

Funksiyaning qisman differensiali o'zgaruvchi bo'yicha qisman o'sishning asosiy chiziqli qismi deyiladi
, bu o'zgaruvchiga nisbatan qisman hosilaning ko'paytmasiga va bu o'zgaruvchining o'sishiga teng va belgilanadi.

Shubhasiz, qisman differentsial qisman o'sishdan cheksiz kichik yuqori tartib bilan farq qiladi.

To'liq funktsiyani oshirish ko'p o'zgaruvchilar uning o'sishi deb ataladi, u biz barcha mustaqil o'zgaruvchilarga o'sish berganimizda oladi, ya'ni.

qaerda, barcha
, bog'liq va ular bilan birga nolga moyil.

ostida mustaqil o'zgaruvchilarning differentsiallari nazarda tutishga rozi bo'ldi o'zboshimchalik bilan qo'shimchalar
va ularni belgilang
. Shunday qilib, qisman differentsialning ifodasi quyidagi shaklni oladi:

Masalan, qisman differentsial yoqilgan quyidagicha aniqlanadi:

.

to'liq differentsial
ko'p o'zgaruvchilarning funktsiyalari umumiy o'sishning asosiy chiziqli qismi deb ataladi
ga teng, ya'ni. uning barcha qisman differentsiallarining yig'indisi:

Agar funktsiya
uzluksiz qisman hosilalarga ega

nuqtada
, keyin u ma'lum bir nuqtada farqlanadi.

Differensiallanuvchi funksiya uchun yetarlicha kichik uchun
taxminiy tengliklari mavjud

,

taxminiy hisob-kitoblar uchun ishlatilishi mumkin.

4-misolFunksiyaning to‘liq differentsialini toping
uchta o'zgaruvchi
.

Yechim. Avvalo, biz qisman hosilalarni topamiz:

Ular barcha qiymatlar uchun uzluksiz ekanligini ta'kidlash
, topamiz:

Bir nechta oʻzgaruvchili funksiyalar differensiallari uchun bir oʻzgaruvchining funksiyalari uchun isbotlangan differensiallar xossalari boʻyicha barcha teoremalar toʻgʻri boʻladi, masalan: agar va o‘zgaruvchilarning uzluksiz funksiyalaridir
, barcha o'zgaruvchilarga nisbatan uzluksiz qisman hosilalarga ega bo'lgan va va ixtiyoriy konstantalar bo'lsa, u holda:

(6)

transkript

1 MA'RUZA N Yuqori tartibli to'liq differensial, qisman hosilalar va yuqori tartibli differensiallar To'liq differensial Qisman differensiallar Yuqori tartibli qisman hosilalar Oliy tartibli differensiallar 4 Kompleks funksiyalarning hosilalari 4 Jami differensial Qisman differentsiallar Agar z=f(,) funksiya differentsial bo'lsa, uning umumiy differensial dz teng dz= a +B () z z A=, B = ekanligini e’tiborga olib, () formulani quyidagi ko‘rinishda yozamiz z z dz= + () Funksiya differensial tushunchasini mustaqil o‘zgaruvchilarga ham kengaytiramiz, o‘rnatish mustaqil o'zgaruvchilarning differensiallari ularning o'sishiga teng: d= ; d= Shundan so'ng, funktsiyaning to'liq differentsial formulasi z z dz= d + d () d + d n o'zgaruvchilar ko'rinishini oladi, keyin du= d (d =) = d z=f (,)d ifodasi. (4) z=f(,) funksiyaning o‘zgaruvchiga nisbatan qisman differentsiali deyiladi; d z=f (,)d (5) ifoda z=f(,) funksiyaning o‘zgaruvchiga nisbatan qisman differensiali deyiladi.(), (4) va (5) formulalardan kelib chiqadiki, to‘liq differensial. a funktsiya uning qisman differentsiallari yig'indisidir: dz=d z+d z o'sish z= z z + + a (,) + b (,) uning chiziqli qismidan dz= z z + faqat oxirgi a hadlar yig'indisi bilan farq qiladi. + b, 0 va 0 da chiziqli qismning hadlariga nisbatan cheksiz kichik yuqori tartibli Shuning uchun dz 0 uchun differentsiallanuvchi funktsiya o'sishning chiziqli qismi funktsiya o'sishning asosiy qismi va z taxminiy formulasi deb ataladi. dz ishlatiladi, bu qanchalik aniq bo'lsa, argumentlar o'sishlarining mutlaq qiymati shunchalik kichik bo'ladi,97 Misol Taxminan arctg(),0 hisoblang

2 Yechish f(,)=arctg() funksiyani ko‘rib chiqaylik f(x 0 + x, y 0 + y) f(x 0, y 0) + dz formulasidan foydalanib, arctg(+) arctg() + [ ni olamiz. arctg() ] + [ arctg()] yoki + + arctg() arctg() () + () =, = bo‘lsin, keyin =-0,0, =0,0 Demak, (0,0 0,0 arctg) arctg( ) + (0,0) 0,0 = arctan 0,0 = + 0,0 + () + () p = 0,05 0,0 0,75 4 Taxminan z dz formulasini qo'llash natijasida hosil bo'lgan xato = M (+) sonidan oshmasligini ko'rsatish mumkin, bu erda M. Argumentlar + dan + ga va + ga o'zgarganda ikkinchi qisman hosilalarning mutlaq qiymatlarining eng katta qiymati f (,), f (,), f (,) Yuqori tartibli qisman hosilalar Agar u =f funktsiyasi bo'lsa. (, z) baʼzi (ochiq) D sohasidagi oʻzgaruvchilardan biriga nisbatan qisman hosilaga ega boʻlsa, topilgan hosila oʻzi, z funksiyasi boʻlib, oʻz navbatida, qaysidir nuqtada qisman hosilalarga ega boʻlishi mumkin (0, 0, z 0) bir xil yoki boshqa oʻzgaruvchiga nisbatan u=f(, z) asl funksiya uchun bu hosilalar ikkinchi tartibli qisman hosilalar boʻladi. Agar birinchi hosila olingan boʻlsa, masalan. ep, in, keyin uning, z ga nisbatan hosilasi quyidagicha belgilanadi: f (0, 0, z0) f (0, 0, z0) f (0, 0, z0) = ; = ; = yoki u, u, u z z z Uchinchi, to'rtinchi va shunga o'xshash tartiblarning hosilalari xuddi shunday aniqlanadi.E'tibor bering, yuqori tartibli qisman hosila turli o'zgaruvchilarga nisbatan olinadi, masalan, ; aralash qisman hosila deyiladi Misol u= 4 z, u holda, u =4 z ; u = 4z; u z = 4 z; u = z u=64z; uzz = 4; u = z u = z u z = 4 z; u z =8 z; u z =6 4 z; u z =6 4 z f(,) funksiyasi D (ochiq) sohada aniqlangan,) bu sohada birinchi f va f hosilalari, shuningdek, ikkinchi aralash f va f hosilalari va nihoyat,) bu oxirgi hosilalar mavjud. f va f, u ning funksiyalari sifatida, mintaqaning qaysidir (0, 0) nuqtasida uzluksiz bo'ladi D U holda bu nuqtada f (0, 0)=f (0, 0) Isbot Ifodani ko'rib chiqing.

3 f (0 +, 0 f (0 +, 0) f (0, 0 + f (0, 0) W=, bu yerda, nolga teng emas, masalan, musbat va bundan tashqari, shunchalik kichikki, D ni o‘z ichiga oladi. butun to'rtburchak [ 0, 0 +; 0, 0 +] 0 +) (, 0) ()= va shuning uchun uzluksiz Bu funksiya bilan f (0 +, 0 f (0 +, 0) f (0, 0 f () 0, 0) W= ga teng bo‘lgan W ifodasini quyidagicha qayta yozish mumkin: s (0 +) z (0) W= demak: W=s (0 + th, 0 f (0 + th, 0) (0) + th)= (0<θ<) Пользуясь существованием второй производной f (,), снова применим формулу конечных приращений, на этот раз к функции от: f (0 +θ,) в промежутке [ 0, 0 +] Получим W=f (0 +θ, 0 +θ), (0<θ <) Но выражение W содержит и, с одной стороны, и и, с другой, одинаковым образом Поэтому, можно поменять их роли и, введя вспомогательную функцию: Ψ()= f (0 +,) f (0,), путем аналогичных рассуждений получить результат: W=f (0 +θ, 0 +θ) (0<θ, θ <) Из сопоставления () и (), находим f (0 +θ, 0 +θ)=f (0 +θ, 0 +θ) Устремив теперь и к нулю, перейдем в этом равенстве к пределу В силу ограниченности множителей θ, θ, θ, θ, аргументы и справа, и слева стремятся к 0, 0 А тогда, в силу (), получим: f (0, 0)=f (0, 0), что и требовалось доказать Таким образом, непрерывные смешанные производные f и f всегда равны Общая теорема о смешанных производных Пусть функция u=f(, n) от переменных определена в открытой n-мерной области D и имеет в этой области всевозможные частные производные до (n-)-го порядка включительно и смешанные производные n-го порядка, причем все эти производные непрерывны в D При этих условиях значение любой n-ой смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования Дифференциалы высших порядков Пусть в области D задана непрерывная функция u=f(, х), имеющая непрерывные частные производные первого порядка Тогда, du= d + d + + d

4 Ko'ramiz, du ning ham funksiyasi, Agar u uchun ikkinchi tartibli uzluksiz qisman hosilalari bor deb faraz qilsak, du birinchi tartibli uzluksiz qisman hosilalarga ega bo'ladi va bu du differensialining to'liq differensialligi haqida gapirish mumkin. , d(du), u ikkinchi tartibli differensial (yoki ikkinchi differensial) deb ataladi; u d u bilan belgilanadi, d, d, d o'sishlar o'zgarmas hisoblanib, bir differensialdan ikkinchisiga o'tganda bir xil bo'lib qolishini ta'kidlaymiz (bundan tashqari, d, d nolga teng bo'ladi) Demak, d u=d(du)=d. (d + d + + d) = d() d + d() d + + d() d yoki d u = (d + d + d + + d) d + + (d + d + = d + d + + d + dd + dd + + dd + + Xuddi shunday uchinchi tartibli d u differensial aniqlanadi va hokazo.Agar u funksiya n-gacha va shu jumladan barcha tartiblarning uzluksiz qisman hosilalariga ega bo'lsa, u holda ning mavjudligi. n-differensial kafolatlanadi.Lekin ular uchun iboralar tobora murakkablashib bormoqda. Belgilanishni soddalashtiramiz Birinchi differensial ifodadagi “u” harfini chiqaramiz Shunda belgi ramziy bo‘ladi: du=(d + d + + d) u ;d u=(d + d + + d) u ; d n n u=(d + d + + d) u, buni quyidagicha tushunish kerak: birinchidan, qavs ichidagi “ko‘pnom” rasman darajaga ko‘tariladi. algebra qoidalariga ko'ra, barcha hosil bo'lgan atamalar u ga "ko'paytiriladi" (bu raqam n ga qo'shiladi) , va shundan keyingina barcha belgilar o‘z qiymatini hosila va differensial sifatida qaytaradi u d) d u t o‘zgaruvchiga qandaydir oraliqda: =p(t), =ps(t), z=l(t) Bundan tashqari, t bo‘lsin. o'zgarishlar bo'lsa, nuqtalar (, z) mintaqadan tashqariga chiqmaydi D qiymatlarni va z ni u funksiyaga almashtirsak, kompleks funktsiyani olamiz: u=f(s(t), ps(t), l(t)) Faraz qilaylik, u ning uzluksiz qisman hosilalari u, u va u z in va z va t, t va z t mavjud bo‘lsa, unda kompleks funksiyaning hosilasi mavjudligini isbotlash va uni hisoblash mumkin.. t o‘zgaruvchisiga bir oz o‘sish t beramiz. , u holda, va z mos ravishda o'sishlarni oladi va z, u funktsiyasi o'sishni oladi u funktsiyasining o'sishini quyidagi ko'rinishda ifodalaymiz: (buni qilish mumkin, chunki biz uzluksiz qisman hosilalar mavjudligini taxmin qildik. u, u va u z) u=u +u +u z z+a +b +ch z, bu yerda a, b, ch 0 at, z 0 ikkalasini ham ajratamiz. t bo'yicha tenglikning bir qismi, biz u z z = u + u + uz + a + b + ch t t t t t t t 4 ni olamiz.

5 Endi t o'sish nolga yaqinlashaylik: u holda z nolga moyil bo'ladi, chunki t ning z si uzluksiz (biz t, t, z t hosilalari mavjudligini taxmin qildik) va shuning uchun a, b, ch. nolga ham moyil bo'ladi Limitda biz u t =u t +u t +u z z t () ga erishamiz, biz qilingan farazlarga ko'ra, kompleks funktsiyaning hosilasi mavjudligini ko'ramiz.Agar biz differentsial yozuvdan foydalansak, u holda du d d dz () ko'rinadi. kabi , z bir nechta o'zgaruvchilarda t: =p(t, v), =ps(t, v), z=c(t, v) f(, z) funksiyaning qisman hosilalarining mavjudligi va uzluksizligidan tashqari, biz bu yerda t va v ga nisbatan funksiyalarning hosilalari bor deb faraz qilaylik, bu holat allaqachon ko‘rib chiqilganidan unchalik farq qilmaydi, chunki ikkita o‘zgaruvchili funksiyaning qisman hosilasini hisoblashda biz o‘zgaruvchilardan birini tuzatamiz va biz faqat bitta o‘zgaruvchi funksiyasi qolsa, () formulasi bir xil z bo‘ladi va () quyidagicha qayta yozilishi kerak: = + + (a) t t t z t z = + + (b) v v v z v Misol u= ; =s(t)=t ; =ps(t)=cos t u t = - t + ln t = - t- ln sint 5

Bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalari Tabiiy fanlar va boshqa fanlar geometriyasining ko'plab savollarida ikkita uch yoki undan ko'p o'zgaruvchining funktsiyalari bilan shug'ullanish kerak. Misollar: S a h uchburchakning maydoni, bu erda a asosdir

13. Yuqori tartibli qisman hosilalar Let = ega va D O bo'yicha aniqlangan. Funktsiyalar va funksiyalarning birinchi tartibli qisman hosilalari yoki funktsiyaning birinchi qismli hosilalari deb ham ataladi. va umuman

Loyimaning ta'rifi Argumentning qiymatlari bo'lsin va f) va f) - ((f funktsiyasining mos qiymatlari () Farq argumentning o'sishi deb ataladi va farq segmentdagi funktsiyaning o'sishi,

Amaliy mashq MURAKBEK VA YOSHIQ FUNKSIYANI DIFFERENSIYATI Kompleks funktsiyani differensiallash Bitta tenglama orqali berilgan noaniq funktsiyani differentsiallash Yashirin va parametrik berilgan tizimlar.

KO'P KO'P O'ZGANCHILIKLAR FUNKSIYALARI Bitta mustaqil o'zgaruvchining funksiyalari tabiatda mavjud bo'lgan barcha bog'liqliklarni qamrab olmaydi. Shunday ekan, funksional qaramlik tushunchasini kengaytirish va joriy etish tabiiydir

6 Implicit funksiyalar 6.1 Ta'riflar, fon

1. Asosiy tushunchalar. Bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalari. Biz ikkita va uchta o'zgaruvchining funktsiyalariga misollar yordamida bir nechta o'zgaruvchilar funktsiyasini o'rganamiz, chunki bu ta'riflarning barchasi va olingan natijalar

2.2.7. Differensialni taxminiy hisob-kitoblarga qo'llash. y = funktsiyaning differentsiali x ga bog'liq va x o'sishning asosiy qismidir. Siz formuladan ham foydalanishingiz mumkin: dy d Keyin mutlaq xato:

Ma’ruza 9. Yuqori tartibli hosilalar va differentsiallar, ularning xossalari. Funktsiyaning ekstremal nuqtalari. Ferma va Rol teoremalari. y funksiya qandaydir [b] oraliqda differentsiallanuvchi bo‘lsin. Bunday holda, uning hosilasi

5 F F F yoki bu hosilalardan kamida bittasi mavjud bo'lmagan nuqta sirtning yagona nuqtasi deyiladi.Bunday nuqtada sirt teginish tekisligiga ega bo'lmasligi mumkin Ta'rif Sirtga normal.

Aniq INTEGRAL. Integral yig'indilar va aniq integral [, b ] segmentida aniqlangan y = f () funksiya bo'lsin, bu erda< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

BIRINCHI TARTIBLI ODDIY DIFFERENTSIAL TENGLAMALAR.Asosiy tushunchalar Differensial tenglama deganda nomalum funksiya hosila yoki differentsial belgisi ostida kiruvchi tenglama tushuniladi.

6. Funksiyaning differensiali 1. Ta’rifi va geometrik ma’nosi TA’RIF. y = f(x) funksiya x 0 nuqtada differensiallanuvchi deyiladi, agar uning bu nuqtadagi o'sishini chiziqli funktsiyaning yig'indisi sifatida yozish mumkin bo'lsa.

Ma'ruzalar Bo'lim Bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalari Asosiy tushunchalar Bir nechta o'zgaruvchilarning ba'zi funktsiyalari yaxshi ma'lum Keling, bir nechta misollar keltiraylik Uchburchakning maydonini hisoblash uchun Heron formulasi S ma'lum

~ 1 ~ KO'P O'ZG'IRGuvchilar FUNKSIYASI 3 Ikki o'zgaruvchining vazifasi, ta'rif sohasi, ko'rsatish usullari va geometrik ma'no. Ta'rif: z f, ikkita o'zgaruvchining funksiyasi deyiladi, agar har bir qiymat juftligi,

Hosilasiga nisbatan yechilgan birinchi tartibli differensial tenglamalar Yechim uchun mavjudlik va yagonalik teoremasi Umumiy holatda birinchi tartibli differensial tenglama F () ko‘rinishga ega bo‘ladi.

3-ma'ruza Bir necha o'zgaruvchili funktsiyaning ekstremumlari D sohada bir nechta o'zgaruvchili u = f (x, x) funksiya aniqlansin va x (x, x) = nuqta shu sohaga tegishli u = f ( x, x) mavjud

Modul Mavzu Funksiya ketma-ketliklari va qatorlari Ketma-ketlik va qatorlarning bir xil yaqinlashuv xossalari Quvvatli qatorlar Ma’ruza Funksiyalar ketma-ketliklari va qatorlarining ta’riflari Bir xilda.

9 Hosila va differensial 91 Masalalarni yechish uchun asosiy formulalar va ta’riflar Ta’rif y f () funksiya nuqtaning ba’zi f (D) f () Dy qo’shnisida aniqlansin D D D uchun munosabat chegarasi, agar

1 Mavzu 1. Birinchi tartibli differensial tenglamalar 1.0. Asosiy ta'riflar va teoremalar Birinchi tartibli differentsial tenglama: mustaqil o'zgaruvchi; y = y() - kerakli funksiya; y = y () uning hosilasi.

8-ma'ruza Kompleks funktsiyani differensiallash Kompleks funktsiyani ko'rib chiqaylik t t t f bu erda s t t t t t t t f t t t t t t t t t t t t t t t.

MOSKVA DAVLAT FUQARO aviatsiyasining texnika universiteti V.M. Lyubimov, E.A. Jukova, V.A. Uxova, Yu.A. Shurinov

II DIFFERENTSIAL TENGLAMALAR Birinchi tartibli differensial tenglamalar Ta'rif Noma'lum o'zgaruvchilar va ularning funktsiyalari hosila yoki differentsial belgisi ostida bo'lgan munosabatlar deyiladi.

6 Hosila tushunchasiga olib boruvchi masalalar Moddiy nuqta s f (t) qonuniga binoan bir yo‘nalishda to‘g‘ri chiziq bo‘ylab harakatlansin, bu yerda t – vaqt va s – vaqt t nuqtasi bosib o‘tgan yo‘l – ma’lum bir momentga e’tibor bering.

Ma’ruza 3. Noaniq integral. Anti hosila va noaniq integral Differensial hisoblashda masala yechiladi: berilgan f () funksiya uchun uning hosilasini (yoki differentsialini) toping. Integral hisob

1 Ma’ruza 7 Yuqori tartibli hosilalar va differentsiallar Annotatsiya: Differensiallanuvchi funksiya tushunchasi bilan tanishtirilib, birinchi differentsialning geometrik talqini berilgan va uning o‘zgarmasligi isbotlangan.

Bir nechta argumentlarning funktsiyalari X to'plamidagi har bir x element uchun funktsiya tushunchasi y \u003d f (x) qonuniga ko'ra y o'zgaruvchining bitta qiymati bilan bog'liq bo'ladi Y to'plamidan har bir juft songacha.

V.P.Belkin tomonidan tuzilgan 1 1-ma'ruza Bir nechta o'zgaruvchilar funktsiyasi 1 Asosiy tushunchalar O'zgaruvchining 1, n o'zgaruvchilarga bog'liqligi \u003d f (1, n) n argumentning funktsiyasi deb ataladi 1, n Keyingi narsalarni ko'rib chiqamiz.

DIFFERENTSIAL TENGLAMALAR Umumiy tushunchalar Differensial tenglamalar mexanika, fizika, astronomiya, texnologiya va oliy matematikaning boshqa sohalarida juda ko'p va juda xilma-xil qo'llanilishiga ega (masalan,

I Bir necha oʻzgaruvchilar funksiyasining taʼrifi Taʼrif sohasi Koʻpgina hodisalarni oʻrganishda ikki yoki undan ortiq mustaqil oʻzgaruvchilarning funksiyalari bilan shugʻullanishga toʻgʻri keladi.Masalan, maʼlum bir momentdagi tana harorati.

8-ma’ruza Ferma, Rol, Koshi, Lagranj va L’Gospital teoremalari.

SA Lavrenchenko wwwlawrencenkoru 4-ma'ruza Murakkab funksiyalarni differentsiallash Yashirin differentsiatsiya Bir o'zgaruvchining funktsiyalari uchun differensiallash qoidasini eslang, zanjir qoidasi ham deyiladi (qarang.

Bo'lim Bir va bir necha o'zgaruvchili funksiyalarning differentsial hisobi Haqiqiy argument funksiyasi Haqiqiy sonlar Musbat butun sonlar natural sonlar deyiladi Natural sonlarga qo'shish

Seminar: “Funksiyaning differentsialligi va differentsiali” Agar y f () funktsiya nuqtada chekli hosilaga ega bo'lsa, u holda funktsiyaning bu nuqtadagi o'sishini quyidagicha ifodalash mumkin: y (,) f () () (), qayerda

Ma'ruza Inchi tartibli differensial tenglamalar Differensial tenglamalarning asosiy turlari va ularni yechish Differensial tenglamalar matematikaning eng keng tarqalgan vositalaridan biridir.

1-MAVZU HOZILMA FUNKSIYA DIFFERENTSIAL FUNKSIYA DASTURI SAVOLLARI: 11 Funksional bog`lanish Funksiya chegarasi 1 Funksiya hosilasi 1 Hosilaning mexanik fizik va geometrik ma'nosi 14 Asosiy.

M I N I S T E R S T O E D U R A O V A N I A I A N A U K I R O S I O Y FEDERAL DAVLAT AVTONOM OLIY TA’LIM MASSASASI “Milliy tadqiqot.

“Oliy matematika” FANI, kurs, semestr sirtqi ta’lim shakli MAVZU Matritsa algebra

V.V. Juk, A.M. Kamachkin Bir necha o'zgaruvchili funksiyalarning differentsialligi. Funktsiyaning nuqtadagi differentsialligi. Qisman hosilalar bo'yicha differentsiallik uchun etarli shartlar. Kompleks farqlash

4-bob Funksiya chegarasi 4 1 FUNKSIYA CHEGIRASI HAQIDA TUSHUNCHA Ushbu bobda asosiy etibor funksiya limiti tushunchasiga qaratilgan. Funktsiyaning cheksizlikdagi chegarasi, so'ngra nuqtadagi chegarasi, chegaralari aniqlangan

23-MA'RUZA KANONIK O'ZGARISHLAR. LIUVIL TEOREMASI FAZA HACMINI SAQLASH. BEPUL TRANSFORMATSIYA FOYDALANISH FUNKSIYASI Biz kanonik o'zgarishlarni o'rganishda davom etamiz. Avval asosiy narsani eslaylik

Matematika va informatika kafedrasi Matematik tahlil Masofaviy texnologiyalardan foydalangan holda tahsil olayotgan HPE talabalari uchun o‘quv-uslubiy majmua 3-modul Bir funksiyaning differentsial hisobi.

55 r n (,) ga nisbatan kichiklikning yuqori tartibli cheksiz kichik qiymatida, bu yerda r () + (), u holda u Peano ko‘rinishida n R, r bilan ifodalanishi mumkin. Misol n uchun Teylor formulasini yozing.

Mavzu Aniq integral Aniq integral Aniq integral tushunchasiga olib keladigan masalalar Egri chiziqli trapesiya maydonini hisoblash masalasi Oksi koordinata tizimida egri chiziqli trapesiya berilgan,

5 Quvvat qatori 5 Darajali qator: ta’rifi, yaqinlashish mintaqasi (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) ko‘rinishdagi funksional qatorlar darajalar qatorlari deyiladi.

Raqamli qator Sonli ketma-ketlik Opr Sonli ketma-ketlik natural sonlar toʻplamida aniqlangan sonli funksiya x - ketma-ketlikning umumiy aʼzosi x =, x =, x =, x =,

Differensial tenglamalar ma'ruza 4 Umumiy differentsiallardagi tenglamalar. Integrallashtiruvchi omil O'qituvchi Anna Igorevna Sherstneva 9. To'liq differentsiallardagi tenglamalar d + d = 14 tenglama tenglama deyiladi.

Metallurgiya fakulteti Oliy matematika kafedrasi

Matematik tahlil Bo'lim: Bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyasi Mavzu: FNP ning differentsialligi (oxirgi. Kompleks FNPning qisman hosilalari va differentsiallari. Yashirin funktsiyalarning differentsiatsiyasi. O'qituvchi Rojkova S.V.

(Ferma teoremasi - Darbu teoremasi - Rol teoremasi - Lagranj teoremasi o'rtacha qiymat teoremasi - o'rtacha qiymat teoremasining geometrik talqini - Koshi teoremasi - chekli o'sish formulasi - L'Hopital qoidasi

4-bob Differensial hisoblashning asosiy teoremalari Noaniqliklarni ochib berish Differensial hisoblashning asosiy teoremalari Ferma teoremasi (Pyer Ferma (6-665) fransuz matematigi) Agar funktsiya y f.

7-MA'RUZA BIR O'ZG'IRGAN FUNKSIYANI DIFFERENTSIAL HISOBI 1 Funksiyaning hosilasi haqida tushuncha.

Belarus Respublikasi Ta'lim vazirligi Vitebsk davlat texnologiya universiteti Mavzu. “Qatorlar” Nazariy va amaliy matematika kafedrasi. dots. tomonidan ishlab chiqilgan. E.B. Dunina. Asosiy

3-ma'ruza Teylor va Maklaurin seriyasi. Darajali qatorlarni qo'llash Funksiyalarni darajali qatorlarga kengaytirish Teylor va Maklaurin seriyalari Ilovalar uchun berilgan funktsiyani darajali qatorga kengaytira olish muhim, bu funktsiyalar.

58 Aniq integral() funksiya oraliqda berilgan bo’lsin.Funksiyani uzluksiz deb ko’ramiz, garchi bu shart bo’lmasada.3, n- oraliqda shartni qanoatlantirgan holda ixtiyoriy sonlarni tanlaymiz:

Yuqori tartibli differensial tenglamalar. Konev V.V. Ma'ruza konspekti. Mundarija 1. Asosiy tushunchalar 1 2. Tartibni qisqartirishga imkon beruvchi tenglamalar 2 3. Yuqori tartibli chiziqli differensial tenglamalar.

20-ma'ruza MUKAMMEK FUNKSIYA HOSILASI HAQIDA TEOREMA. y = f(u) va u= u(x) bo'lsin. X argumentiga qarab y funksiyani olamiz: y = f(u(x)). Oxirgi funktsiya funksiya yoki kompleks funksiya deb ataladi.

Yashirin funktsiyani differentsiallash (,) = C (C = const) funktsiyasini ko'rib chiqaylik.

Moskva Aviatsiya instituti (Milliy tadqiqot universiteti) Oliy matematika bo'limi Limitlar hosilalari Bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalari Ko'rsatmalar va boshqaruv variantlari

7-LABORATORIYA ISHI UMUMIY FONKSIYALAR I. ASOSIY TUSHUNCHALAR VA TEOREMALAR Haqiqiy o‘zgaruvchining barcha cheksiz differensiallanuvchi chekli funksiyalari to‘plamini D bilan belgilang. bu

3-bob. Tuzamalar yordamida funksiyalarni tekshirish 3.1. Ekstremumlar va monotonlik Ba'zi bir I R oralig'ida aniqlangan y = f () funktsiyani ko'rib chiqing. Nuqtada mahalliy maksimalga ega ekanligi aytiladi.

N.E nomidagi Moskva davlat texnika universiteti. Bauman fundamental fanlar fakulteti Matematik modellashtirish kafedrasi A.N. Kanatnikov,

Mavzu bo'yicha RGRning ko'rsatmalari va variantlari Dizayn mutaxassisligi talabalari uchun bir nechta o'zgaruvchilar funktsiyasi. Agar miqdor miqdorlarning qiymatlarini o'rnatish orqali yagona va bir-biridan mustaqil ravishda aniqlansa,

N.E nomidagi Moskva davlat texnika universiteti. Bauman fundamental fanlar fakulteti Matematik modellashtirish kafedrasi A.N. Kanatnikov, A.P. Krishenko

OLIY MATEMATIKA FANIDAN HISOBIYOT TOPSHIRIQLARI BO‘YICHA METODIK KO‘RSATMA “ODDAY DIFFERENTSIAL TENGLAMALAR SERIAL QO‘SH INTEGRALLAR” III QISM MAVZU SERIAL Mundarija Seriya Sonli qatorlar Konvergentsiya va divergensiya.

Funktsiya chegarasi. Raqamlar ketma-ketligi chegarasi ta'rifi. Cheksiz sonli ketma-ketlik (yoki oddiygina sonli ketma-ketlik) barcha to'plamlarda aniqlangan f f (funktsiyasi)

19-ma'ruza HOZILAMA VA UNING QO'LLANISHI. HOZILAMA TA'RIFI. Qaysidir oraliqda aniqlangan y=f(x) funksiyaga ega bo‘lsin. Bu oraliqdan x argumentining har bir qiymati uchun y=f(x) funksiya

Bir necha o‘zgaruvchili funksiyalarning differensial hisobi Bir necha o‘zgaruvchining funksiyasi Agar biror X to‘plamga tegishli bo‘lgan har bir M n nuqta berilgan bo‘lsa, kattalik n o‘zgaruvchilar funksiyasi deyiladi.

7-MA'RUZA .Kuch

3-ma’ruza Skayar tenglama yechimi uchun mavjudlik va yagonalik teoremasi Muammoning bayoni Asosiy natija Koshi masalasini ko‘rib chiqaylik d f () d =, () =

Federal ta'lim agentligi Moskva Davlat geodeziya va kartografiya universiteti (MIIGAiK) OLIY MATEMATIKA kursi bo'yicha MUSTAQIL ISHLAB CHIQISH BO'YICHA METODIK YO'RIQMALAR VA TOPSHIRMALAR