Differensiallash qoidalari TEOREMA 1. Yig'indi, ko'paytma va qismni differentsiallash. Agar f va g funksiyalar x nuqtada differentsiallansa, f + g, f g, f /g bu nuqtada differentsiallanadi (agar g(x) 0 bo'lsa) va bundan tashqari, y = f g bo'lsin. 1) (f (x) + g (x)) "= f" (x) + g "(x); 2) (f (x) g (x))" = f "(x) g (x) + f(x)g "(x); Isbot. Xususiyatning isbotini keltiramiz 2. f = f (x + x) – f(x) f (x + x) = f(x) + f ; g \u003d g (x + x) - g (x) g (x + x) \u003d g (x) + g. g "(x) f" (x) 0 x 0 da (to'g'ridan-to'g'ri differentsial funktsiya tufayli.)

TEOREMA 2. Differentsiatsiya murakkab funktsiya y = f(u) funksiya u 0, y 0 = f(u 0) nuqtada, u = (x) funksiya x 0, u 0 = (x 0) nuqtada differentsiallanuvchi bo lsin. Keyin y \u003d f ((x)) kompleks funksiyasi x 0 va f "((x 0)) \u003d f" (u 0) "(x 0) yoki QAYD nuqtasida differentsiallanadi. Hisoblash qoidasi murakkab funksiyaning hosilasi har qanday chekli sonli funksiyalar tarkibiga tarqaladi.Masalan: (f ((g (x))))" = f "((g (x))) "(g (x)) g " (x). Xulosa. Agar f (x) x va C \u003d const nuqtalarida differentsiallanadigan bo'lsa, u holda (C f (x))" \u003d C f "(x); (f (x) / C) " \u003d f "(x) / C.

1-misol. y \u003d cosx, x R. (cosx) \u003d (sin (/ 2 - x)) \u003d cos (/ 2 - x) (/ 2 - x) \u003d - sinx. y = tgx, x /2 + k, k Z. 1 va 2 teoremalardan foydalanib, hosilalarni topamiz. trigonometrik funktsiyalar y = ctgx, x + k, k Z.

TEOREMA 3. Teskari funksiyani differentsiallash. Agar y \u003d f (x) segmentda uzluksiz va qat'iy monoton bo'lsa va f "(x 0) hosilasiga ega bo'lsa, u holda unga teskari funktsiya x \u003d g (y) y 0 \u003d f nuqtasida differentsiallanadi. (x 0) va g "( y 0) \u003d 1/ f "(x 0). x0x0 x 0 - x 0 + y0y0 x y x y \u003d f (x) x \u003d g (y) y shunday bo'lsin. y 0 + y (,) belgilang x = g(y 0 + y) - g(y 0) 0 ning mavjudligini isbotlash kerak Isbot f(x) ga qat’iy ravishda ortib borsin. = f(x 0 -) , = f(x 0 +) U holda [,] da teskari funksiya x = g(y) uzluksiz va qat’iy ortib boruvchi va f(x 0) (,) y bo‘lsa, x ham shunday aniqlanadi, chunki x = g(y) y 0 da uzluksizdir.

2-misol. Teskari trigonometrik funksiyalarning hosilalarini toping

0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; to'rtta). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 " title="(!LANG: hosilalar jadvali elementar funktsiyalar 1)(C)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; to'rtta). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 "class="link_thumb"> 8 Elementar funksiyalarning hosilalari jadvali 1)(S)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; to'rtta). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) \u003d 1 / cos 2 x, x p / 2 + pn, n; 8) (ctg x) \u003d - 1 / sin 2 x, x pn, n; 9)10) 11)12) 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; to'rtta). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 "> 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R ; (e x)´ = e x, x R; 4) 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 x, x p / 2 + pn, n; 8) (ctg x) \u003d - 1 / sin 2 x, x pn, n; 9) 10) 11) 12) "\u003e 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; to'rtta). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2 "title="(!LANG: Elementar funksiyalarning hosilalari jadvali 1)(S)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; to'rtta). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2"> title="Elementar funksiyalarning hosilalari jadvali 1)(S)´= 0, C = const; 2)(x)´ = x -1, R, x > 0; (x n)´ = n x n-1, n N, x R; 3)(a x)´ = a x lna, a > 0, a 1, x R; (e x)´ = e x, x R; to'rtta). 5)(sin x) = cos x, x R; 6)(cos x) = - sin x, x R; 7)(tg x) = 1/ cos 2"> !}

n-tartibning hosilasi TA'RIFI. f(x) U (x 0) da aniqlansin va shu intervalning har bir nuqtasida f (x) hosilasi bo‘lsin. Agar x 0 nuqtada f (x) ning hosilasi mavjud bo'lsa, u f (x) funksiyaning shu nuqtadagi ikkinchi hosilasi deyiladi va belgilanadi.Xuddi shunday, har qanday funktsiyaning f (n) (x) hosilasi ham. tartib n \u003d 1, 2, ... Agar U (x 0) da f (n-1) (x) mavjud bo'lsa (bu holda nol tartibli hosila funktsiyaning o'zini anglatadi), u holda n = 1, 2 , 3, .... X to‘plamning har bir nuqtasida n-tartibgacha hosilalari bo‘lgan funksiya X to‘plamda n marta differentsiallanuvchi deyiladi.

f(x) va g(x) funksiyalar x nuqtada n-tartibli hosilalarga ega bo'lsin. U holda A va V doimiy bo'lgan Af(x) + Vg(x) funksiya ham x nuqtada hosilaga ega va (Af(x) + Vg(x)) (n) = Af (n) ( x) + Vg (n)(x). Har qanday tartibli hosilalarni hisoblashda ko'pincha quyidagi asosiy formulalar qo'llaniladi. y=x; y (n) = (-1)… (- (n-1)) x - n. y = x -1, y = (-1)x -2, y = (-1)(-2) x -3 ... Xususan, agar = m N bo'lsa, u holda y = a x ; y (n) = a x (lna) n. y \u003d a x lna, y \u003d a x (lna) 2, y \u003d a x (lna) 3, ... Xususan, (e x) (n) \u003d e x. y "= ((x + a) - 1)" = - (x+a) - 2, y "" = 2 (x + a) - 3, y """ = (x + a) - 4, …

Y = ln(x+a); y (n) \u003d (-1) n-1 (n-1)!(x + a) -n. y \u003d (x + a) -1, y \u003d - (x + a) -2, y \u003d 2 (x + a) -3, y (4) \u003d - 2 3 (x + a) - 4, ... y = sinax; y (n) = a n sin(ax+n /2) y = a cos ax = a sin(ax+ /2), y = a 2 cos(ax+ /2) = a 2 sin(ax+2 / 2) , y = a 3 cos(ax + 2 /2) = a 3 sin(ax+3 /2), … y = cos ax; y (n) = a n cos(ax+n /2) y = – a sin ax = a cos(ax+ /2), y = – a 2 sin(ax+ /2) = a 2 cos(ax + 2 /) 2), y = – a 3 sin(ax+2 /2) = a 3 cos(ax + 3 /2),...

Ikki funktsiya ko'paytmasining N-chi hosilasi (Leybnits formulasi) bu erda Bu formula Leybnits formulasi deb ataladi. Uni f(x) va g(x) funksiyalari x nuqtada n-tartibli hosilalarga ega bo'lsin, bu erda yozilishi mumkin. Induksiya orqali (f(x) g(x)) (n) = ekanligini isbotlashimiz mumkin?
5-misol. y \u003d (x 2 + 3x + 5) sin x, y (13) \u003d? = sin(x +13p /2) (x 2 +3x+5) + 13 sin (x +12p /2) (2x+3) + 78 sin (x +11p /2) 2 = = cos x (x 2) +3x+5) + 13 sin x (2x+3) + 78 (- cos x) 2 = = (x 2 +3x -151) cos x + 13 (2x+3) sin x. Biz Leybnits formulasini qo'llaymiz, unga f (x) \u003d sin x, g (x) \u003d (x 2 + 3x + 5) qo'yamiz. Keyin

Taqdimotlarni oldindan ko‘rishdan foydalanish uchun Google hisobini (hisobini) yarating va tizimga kiring: https://accounts.google.com

Slayd sarlavhalari:

Elementar funksiyalarning hosilalari. Umumlashtiruvchi takrorlash darsi 11-sinf Kruglova A.N., 186-sonli umumta'lim maktabi matematika o'qituvchisi.

Darsning maqsadi 1. Hosila tushunchasini umumlashtirish va mustahkamlash. 2. Funksiya chegarasi va uning uzluksizligi, hosila tushunchasini takrorlang. 3. Differensiallanish qoidalari, daraja hosilalari va ayrim elementar funksiyalarni takrorlang. 4. Bu bilimlarni differentsiallashda qo‘llang. 5. Shaxsiy ish rejimini amalga oshirish.

Tarix ma'lumotnomasi. "Funksiya" atamasi birinchi marta 1692 yilda nemis matematigi G. Leybnits tomonidan qo'llanilgan. 1748 yilda L. Eyler funksiyani aniqladi va f(x) belgisini kiritdi. 1834 yilda N.I.Lobachevskiy ikkita sonli to'plam o'rtasidagi moslik g'oyasiga asoslangan funksiya ta'rifini berdi. 1837-yilda nemis matematigi P.Dirichlet funksiyaning umumlashtirilgan tushunchasini shakllantirdi: “y - segmentdagi x o‘zgaruvchining funksiyasi, agar x ning har bir qiymati y ning ma’lum bir qiymatiga to‘g‘ri kelsa va bu qanday bo‘lishi muhim emas. yozishmalar o'rnatiladi - formula, grafik, jadval yoki og'zaki tavsif ". Cheklovning birinchi ta'rifini ingliz matematigi D. Vallis (1616-1703) bergan. Chegara usuli ingliz olimi I. Nyuton (1643-1727) asarlarida ishlab chiqilgan, u lim belgisini ham kiritgan. Differensial hisoblashning rivojlanishiga fransuz olimlari P.Ferma (1601-1665) va R.Dekart (1596-1650)larning katta hissasi bor. Nyuton hosila tushunchasiga mexanikadagi lahzalik tezlikni topishga oid masalalarni yechish orqali kelgan. “Hosila” atamasi 1800 yilda frantsuz matematigi L. Arbogast (1759-1803) tomonidan kiritilgan. y’ va f(x)’ hosilalarining yozuvi fransuz matematigi J.Lagranj (1736-1813) tomonidan kiritilgan. Differensial hisoblash nazariyasining muhim yaqinlashuvi zamonaviy taqdimot fransuz matematigi O. Koshi (1789-1857) ishini boshladi.

Funktsiya chegarasi. Funktsiyalar grafiklarini tuzing 1) y \u003d x + 1 2) x ² - 1 x - 1 uchun x 1 y \u003d 3 uchun x \u003d 1 3) y \u003d (x ² - 1): (x - 1) Savollarga javob bering a) Funksiya grafiklari nima? To'g'ri chiziqlar b) Grafiklar koordinata o'qlarining qaysi nuqtalari orqali o'tadi? (0;1) va (-1;0) c) Grafiklarning farqi nimada? Ikkinchi va uchinchi grafiklar "teshilgan" nuqtaga ega (1; 2), lekin x = 1 uchun ikkinchi grafikda funktsiyaning qiymati 3 ga teng.

Funksiya grafiklari. y y x x x 1 2 3

Xulosa Umumiy mulk x qiymatlari uchun funktsiyalar 1 ga yaqinmi? Har bir funktsiyaning qiymatlari 2 dan kam farq qiladi. Shuning uchun bu funksiyalarning har biri x = 1 nuqtada 2 ga teng chegaraga ega. Buni qanday yozish kerak? Biroq, birinchi funksiya uchun lim y(x) = y(1) = 2 Ikkinchi funksiya uchun lim y(x) ≠ y(1) , uchinchi funksiya uchun y(1) mavjud emas. Birinchi funksiya uzluksiz, ikkinchi va uchinchi funksiyalar x = 1 nuqtada uzluksiz deyiladi. lim y(x) = 2 x 1.

Hosila ta'rifi f (x) funksiyaning x 0 nuqtadagi hosilasi h → 0 uchun f (x 0 + h) - f (x 0) h ayirma munosabatlarining chegarasi deyiladi: ƒ'(x 0). ) = lim hosilani topish amali differensiallash deyiladi. 0h

Quvvatning hosilasi va ba'zi elementar funksiyalar. (O'ng tarafdagi formulalarning davomini toping) (x ⁿ) " = 1 2 3 4 5 6 () ' = 1 2 3 4 5 6 3. (ln x)' = 1 2 3 4 5 6 4. ( sin x) ' = 1 2 3 4 5 6 (cos x)' = 1 2 3 4 5 6 Davom etish = cos x = - sin x = = tg x = 1/x = nx ⁿˉ¹

Misollarni yeching 1) (x ³)' = 2) (2 x)' = 3) ()' = 4) (lnx)' = 5) (-4 lnx)' = 6) (3)' = 7) ( 5 cosx)' = 8) (0,3 sinx)' = 3x ² 2 - 10 x ˉ ³ 1 / x - 4 / x 3 e - 5 sinx 0,3 cosx

Farqlash qoidalari. Yig'indining hosilasi (f(x) + g(x))' = f'(x) – g'(x) = f'(x) + g'(x) = f'(x) * g'( x ) Doimiy koeffitsient (cf(x))' = = c + f'(x) = f'(x) – c = cf'(x) Ko'paytmaning hosilasi (f(x) g(x))' = f' (x) g(x) + f(x) g'(x) = f'(x) g'(x) = f'(x) g(x) g(x))' = f'( x)/g'(x) = (f'(x) g(x) - f(x) g'(x)) / g²(x) = f' (x) g(x) – f(x) g'(x) Keling, darsni davom ettiramiz.

slayd 1

slayd 2

slayd 3

slayd 4

slayd 5

slayd 6

Slayd 7

Slayd 8

Slayd 9

slayd 10

slayd 11

slayd 12

slayd 13

HOSILA

MOU Srednesantimirskaya o'rta maktabi

Matematika o'qituvchisi tomonidan bajarilgan

Singatullova G.Sh.

• Hosila tushunchasi.
• jismoniy ma'no hosila.
• .

• Differensiallashning asosiy qoidalari.
• Murakkab funktsiyaning hosilasi.
• Mavzu bo'yicha masalalar yechishga misollar hosila.

Hosila ta'rifi

y= funksiya qandaydir (a, b) oraliqda bo'lsin f(x). Bu oraliqdan istalgan x 0 nuqtani oling va x 0 nuqtadagi x argumentini ixtiyoriy ∆ x ga o'rnating, shunda x 0 + ∆ x nuqta shu intervalga tegishli bo'lsin. Funktsiya ortib boradi

hosila y = funktsiyalari f(x) x \u003d x 0 nuqtada ∆y funktsiyaning bu nuqtadagi o'sishining ∆x argumentining o'sishiga nisbati chegarasi deyiladi, chunki argumentning o'sishi nolga intiladi.

Hosilning geometrik ma'nosi

Funktsiya y= bo'lsin f(x) ba'zi bir intervalda (a, b) aniqlanadi. Keyin funksiya grafigiga sekant MP qiyaligi tangensi.

Bu yerda  tangens funksiyaning qiyaligi f(x) nuqtada (x 0 , f(x 0)).

Egri chiziqlar orasidagi burchakni bir nuqtada bu egri chiziqlarga chizilgan tangenslar orasidagi burchak sifatida aniqlash mumkin.

Egri chiziqqa tangens tenglamasi:

Hosilning fizik ma'nosi 1. Moddiy zarrachaning harakat tezligini aniqlash masalasi

Nuqta qandaydir to'g'ri chiziq bo'ylab s= s(t) qonuniga muvofiq harakatlansin, bu erda s - bosib o'tgan masofa, t - vaqt va nuqtaning t 0 momentidagi tezligini topish kerak.

t 0 vaqtga kelib, bosib o'tgan masofa s 0 = s(t 0), vaqt bo'yicha (t 0 + ∆t) - yo'l s 0 + ∆s=s(t 0 + ∆t) ga teng bo'ladi.

Keyin ∆t oralig'ida o'rtacha tezlik bo'ladi

∆t qanchalik kichik bo'lsa, o'rtacha tezlik t 0 momentidagi nuqtaning harakatini yaxshiroq tavsiflaydi. Shuning uchun, ostida nuqtaning momentdagi tezligi t 0 t 0 dan t 0 +∆t gacha bo'lgan oraliq uchun o'rtacha tezlik chegarasini tushunish kerak, ∆t⇾0 bo'lganda, ya'ni.

2. KIMYOVIY MADDATLARNING TEZLIK MASASI REAKSIYALAR

Biror modda kimyoviy reaksiyaga kirishsin. Bu moddaning Q miqdori reaksiya davomida t vaqtga qarab o'zgaradi va vaqtga bog'liq. ∆t vaqt ichida moddaning miqdori ∆Q ga o'zgarib tursin, u holda nisbat ifodalanadi o'rtacha tezlik kimyoviy reaksiya vaqt o'tishi bilan ∆t va bu nisbatning chegarasi

Kimyoviy reaksiyaning joriy tezligi

vaqt t.

3. VAZIFA RADIOAKTİV ERISH TEZATINI ANIQLASH

Agar m - radioaktiv moddaning massasi va t - vaqt bo'lsa, radioaktiv moddaning massasi vaqt o'tishi bilan kamayishi sharti bilan t vaqtdagi radioaktiv parchalanish hodisasi m = m(t) funktsiyasi bilan tavsiflanadi.

∆t vaqt ichida o'rtacha yemirilish tezligi nisbat bilan ifodalanadi

va t vaqtidagi oniy parchalanish tezligi

Hosilini hisoblash ALGORITMMI

y= f(x) funksiyaning hosilasini quyidagicha topish mumkin:

1. X argumentiga ∆x≠0 ni oshiramiz va y+∆y= f(x+∆x) funksiyaning yig’ilgan qiymatini topamiz.

2. ∆y= f(x+∆x) - f(x) funksiyaning o'sish qismini toping.

3. Biz munosabatlarni o'rnatamiz

4. ∆x⇾0 da bu nisbatning chegarasini toping, ya'ni.

(agar bu chegara mavjud bo'lsa).

Differensiallashning asosiy qoidalari

Mayli u=u(x) va v=v(x) - x nuqtada differentsiallanuvchi funksiyalar.

1) (u  v)  =u   v 

2) (uv)  =u  v+uv 

(cu)  = kub 

3) , agar v  0

Murakkab funktsiyaning hosilasi

Teorema. Agar funktsiya x nuqtada differentsiallanadigan bo'lsa va funktsiya

mos nuqtada differensiallanadi, u holda kompleks funksiya x nuqtada differentsiallanadi va:

bular. murakkab funksiyaning hosilasi funksiyaning oraliq argumentga nisbatan hosilasining x ga nisbatan oraliq argument hosilasi bilan teng.

Vazifa 1.

Vazifa 2 .

Vazifa 3 .

Vazifa 4 .

Vazifa 5 .

Vazifa 6 .

Vazifa 7 .

Vazifa 8 .