Ikki kvadrat matritsaning mahsuloti. Kvadrat matritsalar hosilasining aniqlovchisi. Ikki kvadrat matritsa ko'paytmasining aniqlovchisi
Matritsa determinanti - bu A kvadrat matritsani tavsiflovchi va tizimlarning yechimi bilan chambarchas bog'liq bo'lgan son. chiziqli tenglamalar. A matritsaning determinanti yoki bilan belgilanadi. n tartibli har qanday A kvadrat matritsaga ma'lum bir qonunga ko'ra, ushbu matritsaning n-tartibining determinanti yoki determinanti deb ataladigan hisoblangan son beriladi. Ikkinchi va uchinchi tartiblarning determinantlarini ko'rib chiqing.
Matritsa bo'lsin
,
keyin uning ikkinchi tartibli determinanti formula bilan hisoblanadi
.
Misol. A matritsaning determinantini hisoblang:
Javob: -10.
Uchinchi tartibli determinant formula bo'yicha hisoblanadi
Misol. B matritsaning determinantini hisoblang
.
Javob: 83.
n-tartibli determinantni hisoblash determinantning xossalariga va quyidagi Laplas teoremasiga asoslanadi: determinant. summasiga teng matritsaning istalgan qatori (ustunlari) elementlari va ularning algebraik to'ldiruvchilari mahsuloti:
Algebraik qo'shish element teng 
, bu yerda determinantdagi i-qator va j-ustunni oʻchirish natijasida olingan kichik element.
Kichik A matritsa elementining tartibi matritsaning (n-1)-chi tartibli determinanti bo'lib, A matritsadan i-satr va j-ustunni o'chirish yo'li bilan olinadi.
Misol. A matritsasining barcha elementlarining algebraik to‘ldiruvchilarini toping:
.
Javob: 
.
Misol. Uchburchak matritsaning matritsa determinantini hisoblang:
Javob: -15.
Determinantlarning xususiyatlari:
1. Agar matritsaning har qanday satri (ustunlari) faqat nollardan iborat bo'lsa, uning determinanti 0 ga teng.
2. Agar matritsaning istalgan satrining (ustunining) barcha elementlari songa ko‘paytirilsa, uning aniqlovchisi shu songa ko‘paytiriladi.
3. Matritsani ko‘chirishda uning determinanti o‘zgarmaydi.
4. Matritsaning ikki qatori (ustunlari) almashtirilganda uning determinanti teskari tomonga ishora qiladi.
5. Agar kvadrat matritsa ikkita bir xil qator (ustun) bo'lsa, uning determinanti 0 ga teng.
6. Agar matritsaning ikki qatori (ustunlari) elementlari proporsional bo‘lsa, uning aniqlovchisi 0 ga teng.
7. Matritsaning istalgan qatori (ustunlari) elementlarining ushbu matritsaning boshqa qatori (ustunlari) elementlarining algebraik to‘ldiruvchilariga ko‘paytmasining yig‘indisi 0 ga teng.
8. Agar matritsaning istalgan satri (ustunlari) elementlari boshqa qator (ustun) elementlariga qo‘shilsa, avval bir xil songa ko‘paytirilsa, matritsa determinanti o‘zgarmaydi.
9. Ixtiyoriy sonlar va har qanday satr (ustun) elementlarining algebraik to‘ldiruvchilari ko‘paytmalari yig‘indisi shu qator (ustun) elementlarini sonlar bilan almashtirib, berilganidan olingan matritsaning aniqlovchisiga teng bo‘ladi.
10. Ikki kvadrat matritsa ko‘paytmasining aniqlovchisi ularning aniqlovchilarining ko‘paytmasiga teng.
Teskari matritsa.
Ta'rif. Matritsa A kvadrat matritsaning teskari matritsasi deb ataladi, agar bu matritsa berilganga o'ng va chap tomonda ko'paytirilsa, bir xillik matritsasi olinadi:
.
Ta'rifdan kelib chiqadiki, faqat kvadrat matritsada teskari bo'ladi; bu holda teskari matritsa ham bir xil tartibdagi kvadratdir. Agar matritsaning determinanti nolga teng bo'lsa, unda bunday kvadrat matritsa nodegenerativ deb ataladi.
Teskari matritsaning mavjudligi uchun zarur va etarli shart: Teskari matritsa mavjud bo'ladi (va noyobdir), agar asl matritsa yagona bo'lmasa.
Teskari matritsani hisoblashning birinchi algoritmi:
1. Asl matritsaning determinantini toping. Agar determinant nolga teng bo'lmasa, asl matritsa yagona emas va teskari matritsa mavjud.
2. A ga ko‘chirilgan matritsani toping.
3. Ko‘chirilgan matritsa elementlarining algebraik to‘ldiruvchilarini topamiz va ulardan qo‘shma matritsa tuzamiz.
4. Teskari matritsani formula bo yicha hisoblang: .
5. Teskari matritsani hisoblashning to'g'riligini uning ta'rifiga asoslanib tekshiramiz 
.
Misol.
.
Javob: 
.
Teskari matritsani hisoblashning ikkinchi algoritmi:
Teskari matritsani matritsa satrlari bo'yicha quyidagi elementar o'zgartirishlar asosida hisoblash mumkin:
Ikki qatorni almashtiring;
Matritsa qatorini har qanday nolga teng bo'lmagan songa ko'paytirish;
Matritsaning bir qatoriga boshqa qatorni qo'shish, har qanday nolga teng bo'lmagan raqamga ko'paytiriladi.
A matritsa uchun teskari matritsani hisoblash uchun matritsani tuzish kerak , so'ngra elementar o'zgartirishlar orqali A matritsani E matritsasi ko'rinishiga keltiramiz, keyin bir xillik matritsasi o'rniga matritsani olamiz.
Misol. A matritsa uchun teskari matritsani hisoblang:
.
Biz B matritsasini shakllantiramiz:
.
Element = 1 va ushbu elementni o'z ichiga olgan birinchi qator qo'llanmalar deb ataladi. Keling, elementar o'zgarishlarni amalga oshiramiz, buning natijasida birinchi ustun birinchi qatordagi birlik bilan bitta ustunga aylanadi. Buning uchun ikkinchi va uchinchi qatorlarga mos ravishda 1 va -2 ga ko'paytirilgan birinchi qatorni qo'shing. Ushbu o'zgarishlar natijasida biz quyidagilarni olamiz:
.
Nihoyat, olamiz
.
Qayerda 
.
Matritsa darajasi. A matritsaning darajasi deyiladi eng yuqori tartib bu matritsaning nolga teng bo'lmagan kichiklari. A matritsaning darajasi rang(A) yoki r(A) bilan belgilanadi.
Ta'rifdan kelib chiqadi: a) matritsaning darajasi uning o'lchamlarining eng kichikidan oshmaydi, ya'ni. r(A) m yoki n sonlarning minimalidan kichik yoki unga teng; b) r(A)=0, agar A matritsaning barcha elementlari nolga teng bo‘lsagina; c) uchun kvadrat matritsa n-tartib r(A)=n, agar va faqat A matritsa birlik bo'lmagan bo'lsa.
Misol: matritsalar darajalarini hisoblang:
.
Javob: r(A)=1. Javob: r(A)=2.
Quyidagi matritsa konvertatsiyalarini elementar deb ataymiz:
1) Nolinchi qatorni (ustunni) rad etish.
2) Matritsa satrining (ustunining) barcha elementlarini nolga teng bo'lmagan songa ko'paytirish.
3) Matritsa satrlari (ustunlari) tartibini o'zgartirish.
4) Bir qatorning (ustunning) har bir elementiga boshqa qatorning (ustunning) mos keladigan elementlarini istalgan raqamga ko'paytirish.
5) Matritsaning transpozitsiyasi.
Elementar matritsa o'zgarishida matritsaning darajasi o'zgarmaydi.
Misollar: Matritsani hisoblang, bu erda
; 
;
Javob: .
Misol: Matritsani hisoblash 
, qayerda
; ; ; E - identifikatsiya matritsasi.
Javob: .
Misol: Matritsa determinantini hisoblang
.
Javob: 160.
Misol: A matritsaning teskarisi borligini aniqlang va agar shunday bo'lsa, uni hisoblang:
.
Javob: 
.
Misol: Matritsaning darajasini toping
.
Javob: 2.
2.4.2. Chiziqli tenglamalar sistemalari.
n ta o'zgaruvchiga ega m chiziqli tenglamalar tizimi quyidagi ko'rinishga ega:
,
bu yerda, ixtiyoriy sonlar, mos ravishda o'zgaruvchilarning koeffitsientlari va tenglamalarning erkin shartlari deb ataladi. Tenglamalar tizimining yechimi shunday n ta sonlar to'plamidir (), uni almashtirganda tizimning har bir tenglamasi haqiqiy tenglikka aylanadi.
Tenglamalar sistemasi kamida bitta yechimga ega bo'lsa konsentsial, yechimlari bo'lmasa nomuvofiq deyiladi. Qo'shma tenglamalar tizimi mavjud bo'lsa, aniq deyiladi yagona qaror, va agar u bir nechta yechimga ega bo'lsa, noaniq.
Kramer teoremasi:- "x" o'zgaruvchilar koeffitsientlaridan tuzilgan A matritsaning determinanti va - A matritsadan olingan j-ustunni erkin a'zolar ustuniga almashtirish orqali olingan matritsaning determinanti bo'lsin. U holda, agar , u holda sistema formulalar bilan aniqlangan yagona yechimga ega bo'ladi: (j=1, 2, …, n). Bu tenglamalar Kramer formulalari deb ataladi.
Misol. Kramer formulalari yordamida tenglamalar tizimini yeching:
Javoblar: (4, 2, 1). (1, 2, 3) (1, -2, 0)
Gauss usuli- o'zgaruvchilarni ketma-ket yo'q qilish usuli, elementar o'zgartirishlar yordamida tenglamalar tizimi bosqichli (yoki uchburchak) shakldagi ekvivalent tizimga keltirilishidan iborat bo'lib, undan barcha boshqa o'zgaruvchilar ketma-ket topiladi. soni bo'yicha oxirgi o'zgaruvchilar.
Misol: Gauss usuli yordamida tenglamalar tizimini yechish.
Javoblar: (1, 1, 1). (1, -1, 2, 0). (1, 1, 1).
Chiziqli tenglamalarning izchil tizimlari uchun quyidagi bayonotlar to'g'ri bo'ladi:
· agar qo'shma tizim matritsasining darajasi o'zgaruvchilar soniga teng bo'lsa, ya'ni. r = n, u holda tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega bo'ladi;
· agar qo'shma tizim matritsasining darajasi o'zgaruvchilar sonidan kam bo'lsa, ya'ni. r 2.4.3. EXCEL muhitida matritsalar ustida amallarni bajarish texnologiyasi. Keling, Excel elektron jadval protsessori bilan ishlashning ba'zi jihatlarini ko'rib chiqaylik, bu bizga optimallashtirish masalalarini hal qilish uchun zarur bo'lgan hisob-kitoblarni soddalashtirish imkonini beradi. Elektron jadval protsessori - jadval ko'rinishidagi ma'lumotlarni qayta ishlashni avtomatlashtirish uchun mo'ljallangan dasturiy mahsulot. Formulalar bilan ishlash. Elektron jadval dasturlarida formulalar juda ko'p turli xil hisoblarni bajarish uchun ishlatiladi. Excel yordamida siz tezda formula yaratishingiz mumkin. Formula uchta asosiy qismdan iborat: Teng belgisi; Operatorlar. Funktsiya formulalarida foydalaning. Formulalarni kiritishni osonlashtirish uchun siz Excel funksiyalaridan foydalanishingiz mumkin. Funktsiyalar Excelga o'rnatilgan formulalardir. Muayyan formulani faollashtirish uchun tugmalarni bosing Kiritmoq, Funksiyalar. Ko'rsatilgan oynada Funktsiya ustasi chap tomonda funksiya turlari ro'yxati mavjud. Turni tanlagandan so'ng, o'ng tomonda funktsiyalar ro'yxati joylashtiriladi. Funksiyalarni tanlash tegishli nomdagi sichqoncha tugmasini bosish orqali amalga oshiriladi. Matritsalar ustida amallarni bajarishda, chiziqli tenglamalar tizimini echishda, optimallashtirish masalalarini echishda siz Excelning quyidagi funktsiyalaridan foydalanishingiz mumkin: MULTIPLE - matritsalarni ko'paytirish; TRANSPOZA - matritsaning transpozitsiyasi; MOPRED - matritsaning determinantini hisoblash; MOBR - teskari matritsani hisoblash. Tugma asboblar panelida joylashgan. Matritsalar bilan amallarni bajarish funksiyalari turkumga kiradi Matematik. Funktsiya bilan matritsani ko'paytirish MUMNOZH
. MULTIP funksiyasi matritsalar mahsulotini qaytaradi (matritsalar 1 va 2 massivlarda saqlanadi). Natijada qatorlar soni 1-massiv bilan bir xil va ustunlar soni 2-massiv bilan bir xil bo‘lgan massiv hosil bo‘ladi. Misol. Excelda ikkita A va B matritsalarining mahsulotini toping (2.9-rasmga qarang): A2:C3 yacheykalarga A va E2:F4 yacheykalarga B matritsalarni kiriting. Ko'paytirish natijasi uchun hujayralar oralig'ini tanlang - H2: I2. Matritsani ko'paytirish formulasini kiriting =MMULT(A2:C3, E2:F4). CTRL+SHIFT+ENTER tugmalarini bosing. NIBR funksiyasidan foydalangan holda teskari matritsali hisoblar. MIN funksiyasi massivda saqlangan matritsaning teskarisini qaytaradi. Sintaksis: NBR (massiv). Shaklda. 2.10 Excel muhitida misol yechimini ko'rsatadi. Misol. Berilganiga teskari matritsani toping: 2.9-rasm. Matritsalarni ko'paytirish uchun dastlabki ma'lumotlar. . Ikki kvadrat matritsaning mahsuloti n tartib har doim aniqlanadi. Bu erda quyidagi teorema katta ahamiyatga ega. Teorema.
Mahsulot matritsasining determinanti omil matritsalarining determinantlari mahsulotiga teng: Isbot. Mayli Yordamchi aniqlovchi tuzing Laplas teoremasining xulosasiga ko'ra, bizda: Shunday qilib, Laplas teoremasi yordamida olingan determinantni oxirgisi nuqtai nazaridan kengaytirish P ustunlar, biz topamiz: Shunday qilib, biz va tengliklarini isbotladik, bundan kelib chiqadi. Ta'rif 1
.
Kvadrat matritsa berilsin LEKIN P-chi tartib. Kvadrat matritsa Bayonot.
Agar matritsaga teskari matritsa mavjud bo'lsa LEKIN, keyin bunday matritsa noyobdir. Isbot. Faraz qilaylik, matritsa matritsaga teskari bo'lgan yagona matritsa emas LEKIN. Boshqa teskari matritsani oling B. Keyin shartlar Mahsulotni ko'rib chiqing shundan kelib chiqadiki Teskari matritsaning mavjudligi haqidagi teoremani isbotlashda bizga “qo‘shma matritsa” tushunchasi kerak bo‘ladi. Ta'rif 2
.
Matritsa bo'lsin uning elementlari algebraik to'ldiruvchilardir E'tibor bering, qo'shma matritsani qurish uchun FROM matritsa elementlari LEKIN ularni algebraik to'ldiruvchilar bilan almashtirishingiz kerak, keyin esa olingan matritsani ko'chirishingiz kerak. Ta'rif 3.
kvadrat matritsa LEKIN chaqirdi degenerativ bo'lmagan
, agar Teorema.
Matritsa uchun LEKIN teskari matritsaga ega , bu matritsa zarur va etarli LEKIN nopok edi. Bunday holda, matritsa formula bilan aniqlanadi matritsa elementlarining algebraik to'ldiruvchilari qayerda LEKIN. Isbot. Matritsa bo'lsin LEKIN teskari matritsaga ega. Keyin shartlar bajariladi, bu shuni anglatadiki. Oxirgi tenglikdan biz aniqlovchi va Endi matritsaga ruxsat bering LEKIN degenerativ bo'lmagan. Keling, matritsa ekanligini isbotlaylik LEKIN teskari matritsaga ega va u (1) formula bilan aniqlanadi. Buning uchun ishni ko'rib chiqing matritsalar LEKIN FROM. Matritsani ko'paytirish qoidasiga ko'ra, element qayerda E- identifikatsiya matritsasi P-chi tartib. Tenglik Xulosa 1
.
Matritsa determinantlari LEKIN va bilan bog'liq. Natija 2
.
Bog'langan matritsaning asosiy xossasi FROM matritsaga LEKIN ifodalangan tenglik Xulosa 3
.
Degenerativ bo'lmagan matritsaning aniqlovchisi LEKIN va unga biriktirilgan matritsa FROM tenglik bilan bog'langan Tenglikdan 3-xulosa kelib chiqadi Bundan kelib chiqadiki. Misol. Matritsaga teskari matritsani toping LEKIN: Yechim. Matritsa determinanti noldan farq qiladi. Shuning uchun matritsa LEKIN teskarisiga ega. Uni topish uchun avval algebraik to'ldiruvchini hisoblaymiz: Endi (1) formuladan foydalanib, teskari matritsani yozamiz Ta'rif
1.
ostida elementar transformatsiyalar
yuqori o'lchamli matritsa quyidagi bosqichlarni tushuning. Matritsa ekvivalentligi quyidagi xususiyatlarga ega: 1) agar i-chi qator nolga teng, ya'ni. u holda faqat nollardan iborat 2) birinchi nolga teng bo'lmagan elementlar bo'lsa i-chi va -chi qatorlar raqamlar bilan ustunlarga joylashtiriladi k va l, keyin Misol. matritsalar bosqichli va matritsa qadam emas. Keling, elementar transformatsiyalar yordamida matritsani qanday kamaytirish mumkinligini ko'rsatamiz LEKIN bosqichli ko'rinishga. Gauss algoritmi
.
Matritsani ko'rib chiqing LEKIN hajmi. Umumiylikni yo'qotmasdan, biz buni taxmin qilishimiz mumkin Natijada, biz olamiz Oxirgi narsalar Matritsani ko'rib chiqing Agar barcha matritsa elementlari bo'lsa va ekvivalent bosqichli matritsa. Agar matritsa elementlaridan kamida bittasi nolga teng bo'lsa, biz umumiylikni yo'qotmasdan taxmin qilishimiz mumkin. mos ravishda, Bu yerda va , , … , Matritsaning darajasi usul bilan hisoblanadi qirrali voyaga etmaganlar
.
Yechim. determinantlar soni. Bayonot.
Matritsaning darajasi uning satrlari va ustunlarini elementar o'zgartirganda o'zgarmaydi. Belgilangan bayonot matritsaning darajasini hisoblashning ikkinchi usulini ko'rsatadi. U deyiladi elementar transformatsiyalar usuli
.
Matritsaning darajasini topish uchun uni Gauss usuli yordamida pog'onali ko'rinishga keltirish, so'ngra maksimal nolga teng bo'lmagan minorni tanlash kerak. Keling, buni bir misol bilan tushuntiramiz. Misol. Elementar transformatsiyalardan foydalanib, matritsaning darajasini hisoblang Yechim. Gauss usuliga muvofiq elementar o'zgartirishlar zanjirini bajaramiz. Natijada biz ekvivalent matritsalar zanjirini olamiz: Teorema:
Isbot: n tartibli kvadrat matritsalar berilsin. To'g'ri determinantni kvazi uchburchak shaklga keltirish uchun undagi 1 va 1+ n ustunlarni, 2 va 2+ n … n va 2 n ustunlarni almashtiramiz. Natijada biz tenglikni olamiz: Izoh: Ko'rinib turibdiki, teorema har qanday chekli matritsalar uchun amal qiladi. Ayniqsa Ta'rif: Agar a Ixtiyoriy kvadrat matritsani ko'rib chiqaylik A. Ushbu matritsa elementlarining algebraik to'ldiruvchilaridan biz matritsa tuzamiz va uni almashtiramiz. Biz C matritsasini olamiz: Shunday qilib, A -1 ning mavjudligi A matritsaning yagona emasligidan kelib chiqadi. Boshqa tomondan, agar A ning A -1 bo'lsa, AX=E matritsa tenglamasi echilishi mumkin. Natijada Teorema: P maydoni ustidagi kvadrat matritsa, agar u birlik bo'lmasa, teskari bo'ladi. Agar teskari matritsa mavjud bo'lsa, u quyidagi formula bo'yicha topiladi: Izoh:
Ta'rif: A matritsaning k-tartibli minori k-tartibli determinant boʻlib, elementlar har qanday k qator va har qanday k ustun kesishmasida joylashgan. Ta'rif: A matritsasining darajasi bu matritsaning 0 ta kichikidan tashqari eng yuqori tartibdir. Belgilangan r(A). aniq 0<=r(A)<=min(m,n).
Таким образом еслиr(A)=rто среди миноров матрицы А есть минорr-го порядка отличны от
0, а все минорыr+1 порядка
и выше равны 0. Ta'rif: Tartibi matritsaning darajasiga teng bo'lgan 0 dan boshqa har qanday minor matritsa ushbu matritsaning bazis minori deb ataladi. Ko'rinib turibdiki, matritsada bir nechta asosiy minorlar bo'lishi mumkin. Asosiy minorlarni tashkil etuvchi ustunlar va satrlar tayanch deyiladi. Teorema: A=(a i) m , n hosilaviy matritsada har bir ustun asosiy minor joylashgan asosiy ustunlarning chiziqli birikmasidir (satrlar uchun ham xuddi shunday). Isbot: r(A)=r bo‘lsin. Matritsadan bitta asosiy minorni tanlaymiz. Oddiylik uchun, asosiy minor matritsaning yuqori chap burchagida joylashgan deb faraz qilaylik, ya'ni. birinchi r qatorda va birinchi r ustunda. Keyin asosiy kichik janob quyidagicha ko'rinadi: Asosiy minorga bir necha k-ustun va s-qator qo'shamiz: ustun asosiy, keyin determinant qatoriga kiradi Natija: Agar A kvadrat matritsa va determinant A=0 bo'lsa, u holda matritsaning ustunlaridan biri qolgan ustunlarning chiziqli kombinatsiyasi va qatorlardan biri qolgan qatorlarning chiziqli birikmasidir. Isbot: Agar matritsaning determinantiA=0 bo‘lsa, bu matritsaning darajasi<=n-1,n-порядок матрицы. Поэтому,
по крайней мере одна строка или один
столбец не входят в число базисных. Эта
строка (столбец) линейно выраженная
через строки (столбцы) в которой расположен
базисный минор, а значит линейно
выраженная через остальные строки
(столбцы). [A] =0 uchun kamida bitta satr (ustun) uning boshqa satrlarining (ustunlarining) chiziqli birikmasi bo'lishi zarur va etarli. Teorema. A va B n tartibli ikkita kvadrat matritsa bo'lsin. Keyin ularning mahsulotining determinanti determinantlarning mahsulotiga teng bo'ladi, ya'ni. | AB | = | A| | B|. < Пусть A = (aij) (n x n), B = (bij) (n x n). Рассмотрим определитель (d) (2n) порядка 2n (d) (2n) = | A | | b | (-1)(^1+...+n+1+...+n) = | A | | B|. Agar (d) (2n) determinant C=AB matritsaning determinantiga teng ekanligini ko rsatsak, u holda teorema isbotlangan bo ladi. (d) (2n) da biz quyidagi o'zgarishlarni amalga oshiramiz: 1 qatorga (n + 1) qatorni a11 ga ko'paytiramiz; (n+2) qator a12 ga ko'paytiriladi va hokazo. (2n) satr (a) (1n) ga ko'paytiriladi. Olingan determinantda birinchi qatorning birinchi n ta elementi nolga teng bo'ladi, qolgan n ta element esa quyidagicha bo'ladi: a11* b11 + a12 * b21 + ... + (a) (1n) * (d) (1n) = c11 ; a11* b12 + a12 * b21 + ... + (a) (1n) * (d) (2n) = c12 ; a11* (d) (1n) + a12 * (d) (2n) + ... + (a) (1n) * (d) (nn) = (c) (1n) . Xuddi shunday, determinantning (d) (2n) ning 2, ..., n qatorida nollarni olamiz va bu qatorlarning har biridagi oxirgi n ta element C matritsaning mos keladigan elementlariga aylanadi. Natijada determinant. (d) (2n) teng determinantga aylantiriladi: (d) (2n) = | c | (-1))(^1+...+n+...+2n) = |AB|. > Natija. Cheklangan sonli kvadrat matritsalar ko'paytmasining aniqlovchisi ularning aniqlovchilarining ko'paytmasiga teng. < Доказательство проводится индукцией: | A1 ... (A) (j+1) | = | A1... Aj | | (A) (j+1) | = ... = | A 1 | ... | A i +1 | . Эта цепочка равенств верна по теореме.> teskari matritsasi. A = (aij) (n x n) P maydoni ustidagi kvadrat matritsa bo'lsin. Ta'rif 1. Agar uning determinanti 0 ga teng bo'lsa, A matritsa degenerativ deb ataladi. Aks holda A matritsa degenerativ deb nomlanadi. Ta'rif 2. A n Pn bo'lsin. Agar AB = BA=E bo'lsa, B Î Pn matritsasi A ga teskari deyiladi. Teorema (matritsaning o'zgarmasligi mezoni).A matritsa faqat va faqat degenerativ bo'lmagan taqdirdagina teskari bo'ladi. < Пусть А имеет обратную матрицу. Тогда АА(^-1) = Е и, применяя теорему об умножении определителей, получаем | A | | A(^-1) | = | E | или | A | | A(^-1) | = 1. Следовательно, | A | ¹ 0. Keling, orqaga, | A | ¹ 0. AB = BA = E bo'ladigan B matritsasi mavjudligini ko'rsatishimiz kerak. B sifatida biz quyidagi matritsani olamiz: bu yerda A ij a ij elementining algebraik to'ldiruvchisi. Keyin Shuni ta'kidlash kerakki, natijada identifikatsiya matritsasi bo'ladi (Laplas teoremasidan 1 va 2 xulosalarini qo'llash kifoya), ya'ni. AB \u003d E. Xuddi shunday, BA \u003d E. > Misol. A matritsa uchun teskari matritsani toping yoki uning mavjud emasligini isbotlang. det A = -3 Þ teskari matritsa mavjud. Endi biz algebraik qo'shimchalarni ko'rib chiqamiz. A 11 \u003d -3 A 21 \u003d 0 A 31 \u003d 6 A 12 \u003d 0 A 22 \u003d 0 A 32 \u003d -3 A 13 \u003d 1 A 23 \u003d -1 A 33 \u003d -1 Shunday qilib, teskari matritsa quyidagicha ko'rinadi: B = = Matritsa uchun teskari matritsani topish algoritmi 1. det A ni hisoblang. 2. Agar u 0 ga teng bo'lsa, u holda teskari matritsa mavjud emas. Agar det A teng bo'lmasa 0, biz algebraik qo'shimchalarni ko'rib chiqamiz. 3. Algebraik qo`shimchalarni tegishli joylarga qo`yamiz. 4. Olingan matritsaning barcha elementlarini det A ga bo'ling. CHIZIQLI TENGLAMALAR TIZIMLARI. Ta'rif 1. a1x1+ ....+an xn=b ko'rinishdagi tenglama, bu erda a, ... ,an sonlar; x1, ... ,xn noma’lumlar, bilan chiziqli tenglama deyiladi n noma'lum. s bilan tenglamalar n noma'lum tizim deyiladi s bilan chiziqli tenglamalar n noma'lum, ya'ni. (1) Agar A matritsaga erkin shartlar ustunini qo'shsak, u holda (1) tizimning kengaytirilgan matritsasini olamiz. X = - noma'lumlar ustuni. - bepul a'zolar ustuni. Matritsa ko'rinishida tizim quyidagi ko'rinishga ega: AX=B (2). (1) sistemaning yechimi tartiblangan to'plamdir n raqamlar (a1 ,…, a) shunday bo'lsinki, agar (1) x1 = a1, x2 = a2 ,…, xn = a ni almashtirsak, sonli o'xshashliklarni olamiz. Ta'rif 2. Tizim (1) agar uning yechimlari bo'lsa, izchil, aks holda mos kelmaydigan tizim deyiladi. Ta'rif 3. Ikki tizim, agar ularning yechimlari to'plami bir xil bo'lsa, ekvivalent deyiladi. Tizimni yechishning universal usuli mavjud (1) - Gauss usuli (noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilish usuli) Keling, qachon bo'lganini batafsil ko'rib chiqaylik s = n. Bunday tizimlarni hal qilish uchun Kramer usuli mavjud. d = det bo'lsin, dj - d ning determinanti, bunda j-ustun erkin a'zolar ustuni bilan almashtiriladi. KRAMER QOIDASI Teorema (Kramer qoidasi). Agar tizimning determinanti d ¹ 0 bo'lsa, u holda tizim formulalardan olingan yagona yechimga ega: x1 = d1 / d …xn = dn / d <Идея доказательства заключается в том, чтобы переписать систему (1) в форме матричного уравнения. Положим va X ustunli matritsasi noma'lum bo'lgan AX = B (2) tenglamani ko'rib chiqing. Chunki A, X, B o'lchamlar matritsalari. n x n, n x 1, n x 1 shunga ko'ra, AX to'rtburchaklar matritsalarining mahsuloti aniqlanadi va B matritsasi bilan bir xil o'lchamlarga ega. Shunday qilib, (2) tenglama mantiqiy. Tizim (1) va tenglama (2) o'rtasidagi bog'liqlik, agar va faqat bo'lsa, bu tizim uchun qanday echim bo'ladi ustun (2) tenglamaning yechimidir. Darhaqiqat, bu bayonot tenglikni anglatadi Oxirgi tenglik, matritsalar tengligi sifatida, tenglik tizimiga ekvivalentdir demak, bu tizimning yechimi (1). Shunday qilib, (1) sistemaning yechimi (2) matritsa tenglamasining yechimiga keltiriladi. A matritsaning d determinanti nolga teng bo'lmagani uchun u A -1 teskari matritsaga ega. Keyin AX = B z A(^-1)(AX) = A(^-1)B z (A(^-1)A)X = A(^-1)B z EX = A(^-1) In z X = A(^-1)B (3). Shuning uchun (2) tenglama yechimga ega bo'lsa, u holda (3) formula bilan beriladi. Boshqa tomondan, A(A(^-1)B) = (A A(^-1))B = EB = B. Shuning uchun, X \u003d A (^-1) B (2) tenglamaning yagona yechimidir. Chunki, bu yerda A ij - d determinantdagi a ij elementning algebraik to'ldiruvchisi, u holda qayerdan (4). Tenglikda (4) qavs ichida dj determinantning j ustuni elementlari bo'yicha kengaytma yoziladi, bu d determinantdan undagi almashtirilgandan keyin olinadi. j-ustun bo'sh a'zolar ustuni tomonidan. Shunung uchun, xj = dj/ d.> Natija. dan n chiziqli tenglamalarning bir jinsli sistemasi bo'lsa n noma'lumlar nolga teng bo'lmagan yechimga ega bo'lsa, bu tizimning determinanti nolga teng. Teorema. A va B n tartibli ikkita kvadrat matritsa bo'lsin. Keyin ularning mahsulotining determinanti determinantlarning mahsulotiga teng bo'ladi, ya'ni. | AB | = | A| | B|. ¢ A = (a ij) n x n, B = (b ij) n x n bo‘lsin. 2n tartibli d 2 n determinantni ko'rib chiqaylik d 2n = | A | | b | (-1) 1 + ... + n + 1 + ... + n = | A | | B|. Agar d 2 n determinant S=AB matritsaning determinantiga teng ekanligini ko rsatsak, u holda teorema isbotlangan bo ladi. d 2 n da quyidagi o'zgarishlarni bajaramiz: 1 qatorga (n+1) ko'paytirilgan qatorni 11 ga qo'shing; (n+2) satr 12 ga ko'paytiriladi va hokazo. (2n) satr 1 n ga ko'paytiriladi. Olingan determinantda birinchi qatorning birinchi n ta elementi nolga teng bo'ladi, qolgan n ta element esa quyidagicha bo'ladi: a 11 b 11 + a 12 b 21 + ... + a 1n b n1 = c 11; a 11 b 12 + a 12 b 22 + ... + a 1n b n2 = c 12; a 11 b 1n + a 12 b 2n + ... + a 1n b nn = c 1n. Xuddi shunday d 2 n determinantning 2, ..., n qatorida nollarni olamiz va bu qatorlarning har biridagi oxirgi n ta element C matritsaning mos keladigan elementlariga aylanadi. Natijada d 2 n determinant. teng determinantga aylantiriladi: d 2n = | c | (-1) 1 + ... + n + ... + 2n = |AB|. £ Natija. Cheklangan sonli kvadrat matritsalar ko'paytmasining aniqlovchisi ularning aniqlovchilarining ko'paytmasiga teng. ¢ Isbot induksiya orqali: | A 1 ... A i +1 | = | A 1 ... A i | | A i +1 | = ... = = | A 1 | ... | A i +1 | . Bu tenglik zanjiri teorema bo'yicha haqiqatdir. £ Teskari matritsa. A = (a ij) n x n R maydoni ustidagi kvadrat matritsa bo'lsin. Ta'rif 1. Agar determinant 0 ga teng bo'lsa, A matritsa degenerativ deb ataladi. Aks holda A matritsa degenerativ deb nomlanadi. Ta'rif 2. A n P n bo'lsin. Agar AV = VA=E bo'lsa, V O P n matritsasi A ga teskari deyiladi. Teorema (matritsaning o'zgarmasligi mezoni). A matritsa, agar u degenerativ bo'lmasa, teskari bo'ladi. ¢ A teskari matritsaga ega bo'lsin. Keyin AA -1 = E va determinantlarni ko'paytirish teoremasini qo'llagan holda, biz | A | | A -1 | = | e | yoki | A | | A -1 | = 1. Shuning uchun, | A | ¹0. Keling, orqaga, | A | ¹ 0. AB = BA = E bo'ladigan B matritsasi mavjudligini ko'rsatishimiz kerak. B sifatida biz quyidagi matritsani olamiz: bu yerda A ij a ij elementining algebraik to'ldiruvchisi. Keyin Shuni ta'kidlash kerakki, natijada identifikatsiya matritsasi bo'ladi (Laplas teoremasi § 6 dan 1 va 2 xulosalarini ishlatish kifoya), ya'ni. AB = E. Xuddi shunday, BA = E. £ ekanligi ko'rsatilgan Misol. A matritsa uchun teskari matritsani toping yoki uning mavjud emasligini isbotlang. det A = -3 teskari matritsa mavjud. Endi biz algebraik qo'shimchalarni ko'rib chiqamiz. A 11 \u003d -3 A 21 \u003d 0 A 31 \u003d 6 A 12 \u003d 0 A 22 \u003d 0 A 32 \u003d -3 A 13 \u003d 1 A 23 \u003d -1 A 33 \u003d -1 Shunday qilib, teskari matritsa quyidagicha ko'rinadi: B = = A matritsa uchun teskari matritsani topish algoritmi. 1. det A ni hisoblang. 2. Agar u 0 ga teng bo'lsa, u holda teskari matritsa mavjud emas. Agar det A 0 ga teng bo'lmasa, biz algebraik qo'shimchalarni hisoblaymiz. 3. Algebraik qo`shimchalarni tegishli joylarga qo`yamiz. 4. Olingan matritsaning barcha elementlarini det A ga bo'ling. 1-mashq. Teskari matritsa bitta qiymatli yoki yo'qligini aniqlang. 2-mashq. A matritsaning elementlari ratsional butun sonlar bo‘lsin. Teskari matritsaning elementlari butun ratsional sonlar bo'ladimi? Chiziqli tenglamalar sistemalari. Ta'rif 1. a 1 x 1 + ....+a n x n =b ko‘rinishdagi tenglama, bu yerda a, ... ,a n sonlar; x 1 , ... ,x n - noma'lum, bilan chiziqli tenglama deyiladi n noma'lum. s bilan tenglamalar n noma'lum tizim deyiladi s bilan chiziqli tenglamalar n noma'lum, ya'ni. (1) sistemaning noma’lumlari koeffitsientlaridan tuzilgan A matritsa (1) sistemaning matritsasi deyiladi. X = - noma'lumlar ustuni. Bepul a'zolar ustuni. Matritsa ko'rinishida tizim quyidagi ko'rinishga ega: AX=B (2). (1) sistemaning yechimi tartiblangan to'plamdir n sonlar (a 1 ,…, a n) shundaykiki, agar (1) x 1 = a 1 , x 2 = a 2 ,…, x n = a n ga almashtirishni amalga oshirsak, sonli birliklarni olamiz. Ta'rif 2. Tizim (1) agar uning yechimlari bo'lsa, izchil, aks holda mos kelmaydigan deb ataladi. Ta'rif 3. Ikki tizim, agar ularning yechimlari to'plami bir xil bo'lsa, ekvivalent deb ataladi. Tizimni yechishning universal usuli mavjud (1) - Gauss usuli (noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilish usuli), qarang, 15-bet. Keling, qachon bo'lganini batafsil ko'rib chiqaylik s = n. Bunday tizimlarni hal qilish uchun Kramer usuli mavjud. d = det bo'lsin, d j - determinant d, bunda j-ustun erkin atamalar ustuni bilan almashtiriladi. Teorema (Kramer qoidasi). Agar tizimning determinanti d ¹ 0 bo'lsa, u holda tizim formulalardan olingan yagona yechimga ega: x 1 \u003d d 1 / d ... x n \u003d d n / d ¢Isbot g'oyasi (1) tizimni matritsali tenglama ko'rinishida qayta yozishdan iborat. Keling, qo'ying va X ustunli matritsasi noma'lum bo'lgan AX = B (2) tenglamani ko'rib chiqing. Chunki A, X, B o'lchamlar matritsalari. n x n, n x 1, n x 1 shunga ko'ra, AX to'rtburchaklar matritsalarining mahsuloti aniqlanadi va B matritsasi bilan bir xil o'lchamlarga ega. Shunday qilib, (2) tenglama mantiqiy. Tizim (1) va tenglama (2) o'rtasidagi bog'liqlik, agar va faqat bo'lsa, bu tizim uchun qanday echim bo'ladi ustun (2) tenglamaning yechimidir. Darhaqiqat, bu bayonot tenglikni anglatadi Chunki bu yerda A ij - d determinantdagi a ij elementning algebraik to'ldiruvchisi, u holda = qayerdan (4). Tenglikda (4) qavslar ichida d determinantning j-ustunining elementlari bo'yicha kengayishi, undagi almashtirilgandan keyin d determinantdan olinadi. j-ustun bo'sh a'zolar ustuni tomonidan. Shunung uchun, x j = d j / d.£ Natija. dan n chiziqli tenglamalarning bir jinsli sistemasi bo'lsa n noma'lumlar nolga teng bo'lmagan yechimga ega bo'lsa, bu tizimning determinanti nolga teng. MAVZU 3. Bir o'zgaruvchidagi ko'p nomlilar.
; . .
6-ma'ruza
4.6 Ikki kvadrat matritsa ko'paytmasining aniqlovchisi.
va 
,
.
.
.
, buni ko'rsatamiz 
. Buning uchun determinantni quyidagicha aylantiramiz. birinchi birinchi P 
, qo'shish 
- ustun. Keyin birinchi P ustunlar mos ravishda ko'paytiriladi 
, qo'shish 
- ustun va boshqalar. Oxirgi bosqichda 
- birinchi ustun qo'shiladi P ustunlar mos ravishda ko'paytiriladi 
. Natijada determinantni olamiz
.
4.7 Teskari matritsa
bir xil tartibda chaqiriladi teskari matritsaga LEKIN, agar , qaerda E-identifikatsiya matritsasi P-chi tartib.
. Unda tenglik bor
. Shunday qilib, teskari matritsaning o'ziga xosligi isbotlangan.
elementlar 
matritsalar LEKIN, deyiladi biriktirilgan
matritsadan matritsaga LEKIN.
. 
, (1)
. Bu determinantlar munosabat bilan bog'langan 
. matritsalar LEKIN va degenerativ emas, chunki ularning determinantlari nolga teng emas.
ishlaydi 
matritsalar LEKIN va FROM shaklga ega: . Elementlarning hosilalari yig'indisidan boshlab i-tegishli elementlarning algebraik to'ldiruvchisi bo'yicha -chi qator j-
th qator nolga teng 
va determinant da 
. Binobarin,
. Shunday qilib, 
, bu shuni anglatadiki 
va matritsa 
matritsaning teskarisi hisoblanadi LEKIN. Demak, nosingular matritsa LEKIN teskari matritsaga ega, u (1) formula bilan aniqlanadi.
.
.
va determinantlarning xossalari, unga ko'ra, ko'paytirilganda P- bu raqamning kuchi. Ushbu holatda
.
, 
, 
,
, 
, 
,
, 
.
.
4.8. Matritsalar ustidagi elementar transformatsiyalar. Gauss algoritmi.
Ta'rif 2.
matritsalar LEKIN va DA qo'ng'iroq qilamiz ekvivalent
,
agar ulardan biri elementar transformatsiyalar orqali ikkinchisiga aylantirilsa. Yozadi
Matritsaning istalgan qatorini (ustunini) har qanday nolga teng bo'lmagan songa ko'paytirish.
har qandayiga qo'shimcha i-uning har qanday matritsasining qatori j-
th qator, ixtiyoriy raqamga ko'paytiriladi.
har qandayiga qo'shimcha i- har qanday matritsaning ustuni j-
th ustun ixtiyoriy raqamga ko'paytiriladi.
Matritsa satrlarini (ustunlarini) almashtirish.
.
Ta'rif 3
.
qadam tashladi
matritsa deb ataladi LEKIN quyidagi xususiyatlarga ega:
-chi qator ham null;
.
va 
. (Agar matritsada bo'lsa LEKIN hech bo'lmaganda nolga teng bo'lmagan element mavjud, keyin satrlarni va keyin ustunlarni almashtirish orqali siz ushbu elementning birinchi qator va birinchi ustunning kesishgan joyiga tushishini ta'minlashingiz mumkin.) Keling, matritsaning ikkinchi qatoriga qo'shamiz. LEKIN birinchi marta ko'paytiriladi 
, uchinchi qatorga - birinchi, ko'paytiriladi 
va hokazo.
.
qatorlar formulalar bilan aniqlanadi:
, 
, 
.
.
u holda nolga teng
(bu matritsaning satr va ustunlarini qayta tartiblash orqali erishish mumkin). Bu holda matritsani ham, matritsani ham o'zgartirish LEKIN, olamiz
.
, 
, 
.
. Matritsada LEKIN t qatorlar va uni A r ga, nolga teng bo'lmagan va yuqoridagi tartibning barcha kichiklariga olib kelish uchun r nolga teng. Matritsaning darajasi belgi bilan belgilanadi 
.
Misol. Fringing minor usuli yordamida matritsaning darajasini hisoblang
.
Yuqoridagi usul har doim ham qulay emas, chunki. katta hisoblash bilan bog'liq
.14. Matritsalar hosilasining aniqlovchisi haqidagi teorema.
va 
. Kvazi-uchburchak matritsaning determinanti haqidagi teorema asosida ( 
) bizda ... bor: 
bu matritsaning tartibi 2n. Determinantni o'zgartirmasdan, biz 2n tartibli matritsada quyidagi o'zgarishlarni amalga oshiramiz: birinchi qatorga qo'shing. Bunday o'zgartirish natijasida birinchi qatorning birinchi n pozitsiyasi hammasi 0 bo'ladi, ikkinchisida (ikkinchi blokda) A matritsasining birinchi qatori va matritsaning birinchi ustuni ko'paytmalari yig'indisi bo'ladi. B. 2 ... n qator bilan bir xil o‘zgartirishlarni bajarib, quyidagi tenglikni olamiz: 
.15. Teskari matritsaning mavjudligi haqidagi teorema.
matritsa yagona bo'lmagan (birlik bo'lmagan) deb ataladi. Agar a 
keyin matritsa degenerativ (maxsus) deb ataladi.
C matritsasi A matritsasiga nisbatan biriktirilgan deb ataladi. A*C va B*C koʻpaytmasini hisoblab chiqamiz. 
Natijada 
, Shunday qilib 
agar 
.
va. Olingan natijalarni birlashtirib, biz quyidagi bayonotni olamiz:
, bu erda C - bog'langan matritsa.
16. Matritsaning darajasini aniqlash. Asosiy minor teorema va uning natijasi.
. A matritsaning har qanday ustuni bu matritsaning bazis minor joylashgan birinchi ustunlarining chiziqli birikmasi ekanligini isbotlashimiz kerak, ya'ni. A matritsaning istalgan k-ustunida tenglik sodir bo'ladigan l j sonlar mavjudligini isbotlash kerak: bu erda. 
…
.
chunki qo'shilgan qator yoki
, ikkita bir xil qator (ustun) bilan determinant sifatida. Agar qator (ustun) qo'shilsa 
matritsa darajasining ta'rifiga ko'ra. Determinantni kengaytiring 
pastki qatorning elementlari bo'yicha biz olamiz: bu erdan biz olamiz: 
Bu erda l 1 … l r S soniga bog'liq emas, chunki Va Sj qo'shilgan S-qatorning elementlariga bog'liq emas. Tenglik (1) - bu bizga kerak bo'lgan tenglik. (p.t.d.)
(1) sistemaning noma’lumlari koeffitsientlaridan tuzilgan A matritsa (1) sistemaning matritsasi deyiladi. .
.
Agar A matritsaga erkin shartlar ustunini qo'shsak, u holda (1) tizimning kengaytirilgan matritsasini olamiz. 
=
,
,
