Matritsaning daraja tushunchasi bilan ishlash uchun bizga "Algebraik to'ldiruvchilar va minorlar. Minorlar va algebraik to'ldiruvchilarning turlari" mavzusidan ma'lumot kerak. Avvalo, bu "minor matritsa" atamasiga tegishli, chunki biz matritsaning darajasini voyaga etmaganlar orqali aniqlaymiz.

Matritsa darajasi uning voyaga etmaganlarning maksimal tartibini nomlang, ular orasida nolga teng bo'lmagan kamida bittasi bor.

Ekvivalent matritsalar darajalari bir-biriga teng bo'lgan matritsalardir.

Keling, batafsilroq tushuntiramiz. Faraz qilaylik, ikkinchi darajali voyaga etmaganlar orasida noldan farq qiladigan kamida bittasi bor. Va tartibi ikkidan yuqori bo'lgan barcha voyaga etmaganlar nolga teng. Xulosa: matritsaning darajasi 2. Yoki, masalan, o'ninchi tartibdagi voyaga etmaganlar orasida nolga teng bo'lmagan kamida bittasi mavjud. Va tartibi 10 dan yuqori bo'lgan barcha voyaga etmaganlar nolga teng. Xulosa: matritsaning darajasi 10 ga teng.

$A$ matritsasining darajasi quyidagicha belgilanadi: $\rang A$ yoki $r(A)$. $O$ nol matritsasining darajasi nolga teng, $\rang O=0$ oʻrnatiladi. Shuni eslatib o'tamanki, minor matritsasini hosil qilish uchun satr va ustunlarni kesib tashlash kerak, lekin matritsaning o'zida mavjud bo'lgandan ko'proq satr va ustunlarni kesib o'tish mumkin emas. Misol uchun, agar $F$ matritsasi $5\kart 4$ o'lchamiga ega bo'lsa (ya'ni, u 5 qator va 4 ustundan iborat bo'lsa), unda uning kichiklarining maksimal tartibi to'rtta bo'ladi. Endi beshinchi darajali voyaga etmaganlarni shakllantirish mumkin bo'lmaydi, chunki ular uchun 5 ta ustun kerak bo'ladi (va bizda faqat 4 tasi bor). Bu shuni anglatadiki, $F$ matritsasining darajasi to'rtdan katta bo'lishi mumkin emas, ya'ni. $\rang F≤4$.

Umumiyroq shaklda, yuqorida aytilganlar shuni anglatadiki, agar matritsada $m$ satrlari va $n$ ustunlari boʻlsa, uning darajasi $m$ va $n$ sonlarining eng kichigidan oshmasligi kerak, yaʼni. $\rang A≤\min(m,n)$.

Asosan, uni topish usuli darajaning aniq ta'rifidan kelib chiqadi. Ta'rif bo'yicha matritsaning darajasini topish jarayoni sxematik tarzda quyidagicha ifodalanishi mumkin:

Keling, ushbu diagrammani batafsilroq tushuntiraman. Keling, eng boshidan fikr yuritishni boshlaylik, ya'ni. $A$ matritsasining birinchi darajali kichiklari bilan.

1. Agar barcha birinchi tartibli minorlar (ya'ni $A$ matritsasining elementlari) nolga teng bo'lsa, $\rang A=0$ bo'ladi. Agar birinchi darajali voyaga etmaganlar orasida nolga teng bo'lmagan kamida bittasi bo'lsa, $\rang A≥ 1$ bo'ladi. Biz ikkinchi darajali voyaga etmaganlarni tekshirishga o'tamiz.
2. Agar barcha ikkinchi darajali kichiklar nolga teng bo'lsa, $\rang A=1$. Agar ikkinchi darajali voyaga etmaganlar orasida nolga teng bo'lmagan kamida bittasi bo'lsa, $\rang A≥ 2$. Biz uchinchi tartibdagi voyaga etmaganlarni tekshirishga o'tamiz.
3. Agar barcha uchinchi darajali kichiklar nolga teng bo'lsa, $\rang A=2$. Agar uchinchi tartibdagi voyaga etmaganlar orasida nolga teng bo'lmagan kamida bittasi bo'lsa, $\rang A≥ 3$. Keling, to'rtinchi tartibdagi voyaga etmaganlarni tekshirishga o'tamiz.
4. Agar barcha to'rtinchi darajali kichiklar nolga teng bo'lsa, $\rang A=3$. Agar to'rtinchi tartibning kamida bitta nolga teng bo'lmagan minor bo'lsa, $\rang A≥ 4$. Biz beshinchi tartibdagi voyaga etmaganlarni tekshirishga o'tamiz va hokazo.

Ushbu protsedura oxirida bizni nima kutmoqda? Ehtimol, k-tartibdagi kichiklar orasida noldan farq qiladigan kamida bittasi bo'lishi mumkin va (k + 1)-tartibdagi barcha kichiklar nolga teng bo'ladi. Bu shuni anglatadiki, k - voyaga etmaganlarning maksimal tartibi, ular orasida nolga teng bo'lmagan kamida bittasi mavjud, ya'ni. daraja k ga teng bo'ladi. Boshqa vaziyat bo'lishi mumkin: k-tartibdagi kichiklar orasida nolga teng bo'lmagan kamida bittasi bo'ladi va (k + 1) tartibli kichiklar hosil bo'lmaydi. Bunday holda, matritsaning darajasi ham k ga teng. Qisqasi, oxirgi tuzilgan nolga teng bo'lmagan minorning tartibi va matritsaning darajasiga teng bo'ladi.

Keling, ta'rif bo'yicha matritsaning darajasini topish jarayoni aniq tasvirlangan misollarga o'tamiz. Yana bir bor ta'kidlaymanki, ushbu mavzu misollarida biz faqat daraja ta'rifidan foydalangan holda matritsalar darajasini topamiz. Boshqa usullar (kichiklarni chegaralash usuli bilan matritsaning darajasini hisoblash, elementar transformatsiyalar usuli bilan matritsaning darajasini hisoblash) keyingi mavzularda ko'rib chiqiladi.

Aytgancha, №1 va 2-sonli misollarda bo'lgani kabi, unvonni eng kichik tartibdagi voyaga etmaganlardan topish tartibini boshlash kerak emas. Siz darhol yuqori darajadagi voyaga etmaganlarga borishingiz mumkin (3-misolga qarang).

№1 misol

$A=\left(\begin(massiv)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 matritsa darajasini toping & 0 & 1 \end(massiv)\o'ng)$.

Ushbu matritsaning o'lchami $3\kart 5$, ya'ni. uchta qator va beshta ustunni o'z ichiga oladi. 3 va 5 raqamlaridan 3 tasi minimaldir, shuning uchun $A$ matritsasining darajasi ko'pi bilan 3 ga teng, ya'ni. $\darajali A≤ 3$. Va bu tengsizlik aniq, chunki biz endi to'rtinchi tartibli voyaga etmaganlarni shakllantira olmaymiz - ularga 4 qator kerak, bizda esa faqat 3 ta. Keling, to'g'ridan-to'g'ri berilgan matritsaning darajasini topish jarayoniga o'tamiz.

Birinchi tartibdagi kichiklar orasida (ya'ni $A$ matritsasi elementlari orasida) nolga teng bo'lmaganlar ham bor. Masalan, 5, -3, 2, 7. Umuman olganda, bizni nolga teng bo'lmagan elementlarning umumiy soni qiziqtirmaydi. Kamida bitta nolga teng bo'lmagan element mavjud - va bu etarli. Birinchi darajali voyaga etmaganlar orasida kamida bitta nolga teng bo'lmaganligi sababli, biz $\rang A≥ 1$ degan xulosaga kelamiz va ikkinchi darajali voyaga etmaganlarni tekshirishga o'tamiz.

Keling, ikkinchi darajali voyaga etmaganlarni o'rganishni boshlaylik. Masalan, #1, #2 qatorlar va #1, #4 ustunlar kesishmasida quyidagi minorning elementlari mavjud: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end (massiv) \o'ng| $. Ushbu determinant uchun ikkinchi ustunning barcha elementlari nolga teng, shuning uchun determinantning o'zi nolga teng, ya'ni. $\left|\begin(massiv)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(massiv) \right|=0$ (determinantlar xususiyatidagi №3 xususiyatga qarang). Yoki bu aniqlovchini ikkinchi va uchinchi tartibli determinantlarni hisoblash bo‘limidagi №1 formuladan foydalanib oddiygina hisoblashingiz mumkin:

$$ \left|\begin(massiv)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(massiv) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

Biz tekshirgan ikkinchi tartibning birinchi minori nolga teng bo'lib chiqdi. U nima deydi? Ikkinchi darajali voyaga etmaganlarni qo'shimcha tekshirish zarurati haqida. Yoki ularning barchasi nolga aylanadi (va keyin daraja 1 ga teng bo'ladi) yoki ular orasida noldan farq qiladigan kamida bitta kichik bor. Elementlari #1, #2 qatorlar hamda #1 va #5 ustunlar kesishmasida joylashgan ikkinchi darajali minor yozish orqali yaxshiroq tanlov qilishga harakat qilaylik: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(massiv)\o'ng|$. Ikkinchi tartibdagi bu minorning qiymatini topamiz:

$$ \left|\begin(massiv)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(massiv) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

Bu minor nolga teng emas. Xulosa: ikkinchi darajali voyaga etmaganlar orasida noldan kamida bittasi bor. Demak, $\darajali A≥ 2$. Uchinchi tartibdagi voyaga etmaganlarni o'rganishga kirishish kerak.

Agar uchinchi tartibdagi voyaga etmaganlarni shakllantirish uchun biz 2-ustunni yoki 4-ustunni tanlasak, unda bunday voyaga etmaganlar nolga teng bo'ladi (chunki ular nol ustunni o'z ichiga oladi). Uchinchi tartibdagi faqat bitta kichikni tekshirish qoladi, uning elementlari 1-sonli, 3-sonli, 5-sonli ustunlar va 1-sonli, 2-sonli, 3-sonli qatorlar kesishmasida joylashgan. Keling, bu minorni yozamiz va uning qiymatini topamiz:

$$ \left|\begin(massiv)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(massiv) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$

Shunday qilib, barcha uchinchi darajali voyaga etmaganlar nolga teng. Biz tuzgan oxirgi nolga teng bo'lmagan minor ikkinchi darajali edi. Xulosa: noldan boshqa hech bo'lmaganda bittasi bo'lgan voyaga etmaganlarning maksimal tartibi 2 ga teng. Shuning uchun $\rang A=2$.

Javob: $\daraja A=2$.

№2 misol

$A=\left(\begin(massiv) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 matritsa darajasini toping \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(massiv) \o'ng)$.

Bizda to'rtinchi tartibli kvadrat matritsa bor. Biz darhol ta'kidlaymizki, bu matritsaning darajasi 4 dan oshmaydi, ya'ni. $\daraja A≤ 4$. Keling, matritsaning darajasini topishni boshlaylik.

Birinchi tartibdagi minorlar orasida (ya'ni $A$ matritsasining elementlari orasida) nolga teng bo'lmagan kamida bittasi bor, shuning uchun $\rang A≥ 1$. Biz ikkinchi darajali voyaga etmaganlarni tekshirishga o'tamiz. Masalan, 2-, 3-qator va 1- va 2-ustunlar kesishmasida biz ikkinchi tartibli quyidagi minorni olamiz: $\left| \begin(massiv) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(massiv) \right|$. Keling, hisoblab chiqamiz:

$$ \chap| \begin(massiv) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(massiv) \right|=0-10=-10. $$

Ikkinchi tartibli voyaga etmaganlar orasida nolga teng bo'lmagan kamida bittasi bor, shuning uchun $\rang A≥ 2$.

Keling, uchinchi tartibdagi voyaga etmaganlarga o'tamiz. Masalan, elementlari No1, No3, No4 qatorlar va No1, No2, No4 ustunlar kesishmasida joylashgan minorni topamiz:

$$ \chap | \begin(massiv) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(massiv) \right|=105-105=0. $$

Ushbu uchinchi darajali kichik nolga teng bo'lganligi sababli, boshqa uchinchi darajali kichikni tekshirish kerak. Yoki ularning barchasi nolga teng bo'ladi (keyin unvon 2 ga teng bo'ladi) yoki ular orasida nolga teng bo'lmagan kamida bittasi bo'ladi (keyin biz to'rtinchi darajali voyaga etmaganlarni o'rganishni boshlaymiz). Elementlari № 2, № 3, № 4 qatorlar va 2, № 3, 4 ustunlar kesishmasida joylashgan uchinchi tartibli minorni ko'rib chiqaylik:

$$ \chap| \begin(massiv) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(massiv) \right|=-28. $$

Uchinchi darajali voyaga yetmaganlar orasida kamida bitta nolga teng bo‘lmagan minor bor, shuning uchun $\rang A≥ 3$. Keling, to'rtinchi tartibdagi voyaga etmaganlarni tekshirishga o'tamiz.

To'rtinchi tartibdagi har qanday minor $A$ matritsasining to'rt qatori va to'rtta ustuni kesishmasida joylashgan. Boshqacha qilib aytganda, to'rtinchi tartibli minor $A$ matritsasining determinanti hisoblanadi, chunki bu matritsada atigi 4 qator va 4 ustun mavjud. Ushbu matritsaning determinanti "Aniqlovchining tartibini qisqartirish. Determinantning qatorga (ustun) parchalanishi" mavzusining 2-misolida hisoblab chiqilgan, shuning uchun faqat tugallangan natijani olaylik:

$$ \chap| \begin(massiv) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end (massiv)\o'ng|=86. $$

Demak, to‘rtinchi tartibli minor nolga teng emas. Biz endi beshinchi tartibdagi voyaga etmaganlarni shakllantira olmaymiz. Xulosa: eng yuqori tartib noldan boshqa kamida bittasi bo'lgan voyaga etmaganlar 4 ga teng. Natija: $\rang A=4$.

Javob: $\daraja A=4$.

№3 misol

$A=\left(\begin(massiv) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 matritsaning darajasini toping \end (massiv)\o'ng)$.

Darhol e'tibor bering, bu matritsa 3 qator va 4 ustundan iborat, shuning uchun $\rang A≤ 3$. Oldingi misollarda biz eng kichik (birinchi) tartibdagi voyaga etmaganlarni hisobga olgan holda darajani topish jarayonini boshladik. Bu erda biz eng yuqori darajadagi voyaga etmaganlarni darhol tekshirishga harakat qilamiz. $A$ matritsasi uchun bular uchinchi darajali kichiklar. Elementlari № 1, № 2, № 3 qatorlar va 2, № 3, 4 ustunlar kesishmasida joylashgan uchinchi tartibli minorni ko'rib chiqaylik:

$$ \chap| \begin(massiv) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(massiv) \right|=-8-60-20=-88. $$

Shunday qilib, voyaga etmaganlarning eng yuqori tartibi, ular orasida nolga teng bo'lmagan kamida bittasi mavjud 3. Shuning uchun matritsaning darajasi 3 ga teng, ya'ni. $\daraja A=3$.

Javob: $\daraja A=3$.

Umuman olganda, ta'rif bo'yicha matritsaning darajasini topish, umumiy holatda, ancha vaqt talab qiladigan ishdir. Masalan, nisbatan kichik $5\kart 4$ matritsasi 60 ta ikkinchi darajali kichiklarga ega. Va agar ulardan 59 tasi nolga teng bo'lsa ham, 60-chi kichik nolga teng bo'lishi mumkin. Keyin siz uchinchi darajali kichiklarni o'rganishingiz kerak, ulardan bu matritsa 40 ta bo'lakdan iborat. Odatda, kamroq mashaqqatli usullardan foydalanishga harakat qiladi, masalan, voyaga etmaganlarni chegaralash usuli yoki ekvivalent transformatsiyalar usuli.

Ta'rif. Matritsa darajasi vektor sifatida qaraladigan chiziqli mustaqil qatorlarning maksimal soni.

Matritsaning darajasi bo'yicha 1-teorema. Matritsa darajasi matritsaning nolga teng bo‘lmagan minorining maksimal tartibi.

Determinantlar haqidagi darsda biz allaqachon kichik tushunchani muhokama qildik va endi uni umumlashtiramiz. Keling, matritsadagi ba'zi qatorlar va ustunlarni olaylik va bu "narsa" matritsaning satr va ustunlari sonidan kam bo'lishi kerak, qator va ustunlar uchun esa bu "narsa" bir xil son bo'lishi kerak. Keyin nechta satr va nechta ustunlar kesishmasida bizning dastlabki matritsamizdan kichikroq tartibli matritsa bo'ladi. Ushbu matritsaning determinanti, agar eslatib o'tilgan "narsa" (satr va ustunlar soni) k bilan belgilansa, k-tartibning minori bo'ladi.

Ta'rif. Kichik ( r+1)-chi tartib, uning ichida tanlangan kichik yotadi r-chi tartib, berilgan kichik uchun chegaralovchi deyiladi.

Eng ko'p ishlatiladigan ikkita usul matritsaning darajasini topish. bu voyaga etmaganlarni qo'zg'atish usuli va elementar transformatsiyalar usuli(Gauss usuli bilan).

Voyaga etmaganlarni chegaralash usuli quyidagi teoremadan foydalanadi.

Matritsaning darajasi bo'yicha 2-teorema. Agar matritsa elementlaridan minor tuzish mumkin bo'lsa r nolga teng bo'lmagan tartib bo'lsa, matritsaning darajasi teng bo'ladi r.

Elementar transformatsiyalar usuli bilan quyidagi xususiyat qo'llaniladi:

Agar elementar o'zgartirishlar yo'li bilan dastlabkisiga ekvivalent trapezoidal matritsa olingan bo'lsa, u holda bu matritsaning darajasi to'liq noldan iborat bo'lgan satrlardan tashqari undagi satrlar soni.

Voyaga etmaganlarni chegaralash usuli bilan matritsaning darajasini topish

Chegaradagi voyaga etmagan shaxs, agar bu yuqori darajadagi voyaga etmaganda ushbu voyaga etmagan bo'lsa, unga nisbatan yuqori darajadagi voyaga etmagan hisoblanadi.

Masalan, matritsa berilgan

Keling, balog'atga etmagan bolani olaylik

chekka shunday kichiklar bo'ladi:

Matritsaning darajasini topish algoritmi Keyingisi.

1. Biz nolga teng bo'lmagan ikkinchi tartibli voyaga etmaganlarni topamiz. Agar barcha ikkinchi darajali kichiklar nolga teng bo'lsa, matritsaning darajasi birga teng bo'ladi ( r =1 ).

2. Agar nolga teng bo'lmagan kamida bitta ikkinchi darajali minor mavjud bo'lsa, biz chegaradosh uchinchi darajali minorlarni tuzamiz. Agar barcha uchinchi darajali chegaradosh voyaga etmaganlar nolga teng bo'lsa, matritsaning darajasi ikkita ( r =2 ).

3. Agar uchinchi tartibdagi chegaradosh voyaga etmaganlarning kamida bittasi nolga teng bo'lmasa, biz uni chegaralovchi voyaga etmaganlarni tuzamiz. Agar barcha chegaradosh to'rtinchi darajali voyaga etmaganlar nolga teng bo'lsa, matritsaning darajasi uchta ( r =2 ).

4. Matritsaning o'lchami imkon berguncha davom eting.

1-misol Matritsaning darajasini toping

.

Yechim. Ikkinchi darajali kichik .

Biz uni ramkaga solamiz. To'rt nafar voyaga etmaganlar chegaradosh bo'ladi:

,

,

Shunday qilib, uchinchi tartibdagi barcha chegaradosh voyaga etmaganlar nolga teng, shuning uchun bu matritsaning darajasi ikkita ( r =2 ).

2-misol Matritsaning darajasini toping

Yechim. Ushbu matritsaning darajasi 1 ga teng, chunki bu matritsaning barcha ikkinchi darajali voyaga etmaganlari nolga teng (bunda, keyingi ikki misolda chegaradosh voyaga etmaganlar holatlarida bo'lgani kabi, aziz talabalarni o'zlari tekshirishlari mumkin, ehtimol determinantlarni hisoblash qoidalaridan foydalangan holda) va birinchi darajali kichiklar orasida, ya'ni matritsaning elementlari orasida nolga teng emas.

3-misol Matritsaning darajasini toping

Yechim. Ushbu matritsaning ikkinchi darajali minorlari va bu matritsaning barcha uchinchi darajali minorlari nolga teng. Shunday qilib, ushbu matritsaning darajasi ikkitadir.

4-misol Matritsaning darajasini toping

Yechim. Ushbu matritsaning darajasi 3 ga teng, chunki bu matritsaning yagona uchinchi tartibli kichiki 3 ga teng.

Elementar o'zgartirishlar usuli bilan matritsaning darajasini topish (Gauss usuli bilan)

1-misoldan ko'rinib turibdiki, voyaga etmaganlarni chegaralash usuli bilan matritsaning darajasini aniqlash muammosi hisoblashni talab qiladi. katta raqam determinantlar. Biroq, hisoblash miqdorini minimal darajaga tushirishning bir yo'li mavjud. Bu usul elementar matritsalarni o'zgartirishdan foydalanishga asoslangan va Gauss usuli deb ham ataladi.

Matritsaning elementar transformatsiyalari quyidagi amallarni anglatadi:

1) matritsaning istalgan satri yoki ustunini noldan boshqa raqamga ko'paytirish;

2) matritsaning istalgan satri yoki ustunining elementlariga boshqa satr yoki ustunning mos keladigan elementlarini bir xil songa ko'paytirish;

3) matritsaning ikkita satri yoki ustunlarini almashtirish;

4) "null" qatorlarni, ya'ni barcha elementlari nolga teng bo'lganlarni olib tashlash;

5) bittadan tashqari barcha proportsional chiziqlarni o'chirish.

Teorema. Elementar o'zgartirish matritsaning darajasini o'zgartirmaydi. Boshqacha qilib aytganda, agar matritsadan elementar transformatsiyalardan foydalansak A matritsaga o'ting B, keyin.

O'lchamdagi A matritsasini ko'rib chiqing.

A=
Undagi k qator va k ustunni tanlang (
).

Ta'rif 26:Kichik A matritsaning k-tartibi kvadrat matritsaning determinanti bo'lib, berilganidan undagi tanlash yo'li bilan olinadi.

k qator va k ustun.

Ta'rif 27:daraja matritsa o'z kichiklarining nolga teng bo'lmagan tartiblarining eng kattasi deb ataladi, r (A).

Ta'rif 28: Tartibi darajasi bilan bir xil bo'lgan voyaga etmagan bola deyiladi asosiy kichik.

Bayonot:

1. Darajali butun son sifatida ifodalanadi.(
)

2.r=0,
A nolga teng bo'lganda.

Matritsalarning elementar transformatsiyalari.

Matritsalarning elementar o'zgarishlariga quyidagilar kiradi:

1) matritsaning istalgan satrining (ustunining) barcha elementlarini bir xil songa ko'paytirish.

2) matritsaning istalgan qatori (ustunlari) elementlariga boshqa qatorning (ustunning) mos keladigan elementlarini bir xil songa ko'paytirish;

3) matritsa satrlarini (ustunlarini) almashtirish;

4) nol qatorni (ustunni) tashlash;

5) matritsa qatorlarini mos ustunlar bilan almashtirish.

Ta'rif 29: Elementar o'zgarishlarda bir-biridan olingan matritsalar ekvivalent matritsalar deyiladi va "~" bilan belgilanadi.

Ekvivalent matritsalarning asosiy xossalari: Ekvivalent matritsalarning darajalari teng.

18-misol: r(A) ni hisoblang,

Yechim: Birinchi qatorni bosqichma-bosqich (-4)(-2) ga ko'paytiring

(-7) va keyin mos ravishda ikkinchi, uchinchi va to'rtinchi qatorlarga qo'shing.

~

ikkinchi va to'rtinchi qatorlarni almashtiring
ikkinchi qatorni (-2) ga ko'paytiring va to'rtinchi qatorga qo'shing; ikkinchi va uchinchi qatorlarni qo'shing.

uchinchi va to'rtinchi qatorlarni qo'shing.

~
null qatorni olib tashlang

~
r(A)=3
asl matritsaning darajasi

uchga teng.

Ta'rif 30: Agar asosiy diagonalning barcha elementlari bo'lsa, biz A matritsasini qadam matritsasi deb ataymiz 0 va asosiy diagonal ostidagi elementlar nolga teng.

Gap:

1) bosqichli matritsaning darajasi uning qatorlari soniga teng;

2) har qanday matritsani elementar o'zgartirishlar yordamida pog'onali shaklga keltirish mumkin.

19-misol: matritsaning qanday qiymatlarida
darajasi birga tengmi?

Yechim: Ikkinchi tartibli determinant nolga teng bo'lsa, daraja birga teng bo'ladi, ya'ni.

§6. Umumiy shakldagi chiziqli tenglamalar sistemalari.

ko'rish tizimi
---(9) umumiy shakl sistemasi deyiladi.

Ta'rif 31: Ikki tizim ekvivalent (ekvivalent) deyiladi, agar birinchi tizimning har bir yechimi ikkinchisining yechimi bo'lsa va aksincha.

(1) sistemada A= matritsa
sistemaning asosiy matritsasi deb ataladi va =
kengaytirilgan matritsa tizimi

Teorema. Kroneker-Kapelli

(9) sistema izchil bo'lishi uchun tizimning bosh matritsasining darajasi kengaytirilgan matritsaning darajasiga teng bo'lishi zarur va yetarli, ya'ni r(A)=r( )

Teorema 1. Agar izchil tizim matritsasining darajasi noma'lumlar soniga teng bo'lsa, u holda tizim yagona yechimga ega bo'ladi.

Teorema 2. Agar qo'shma tizim matritsasining darajasi noma'lumlar sonidan kichik bo'lsa, u holda tizim cheksiz sonli echimlarga ega.

Ixtiyoriy chiziqli tenglamalar tizimini yechish qoidasi:

1) tizimning asosiy va kengaytirilgan matritsalarining darajalarini toping. Agar a
, keyin tizim mos kelmaydi.

2) Agar
=r, u holda tizim izchil bo'ladi. r tartibidagi asosiy minorni toping. Biz asosiy minorni chaqiramiz, uning asosida matritsaning darajasi aniqlangan.

Koeffitsientlari asosiy minorga kiritilgan noma'lumlar asosiy (asosiy) va chapda chap deb ataladi, qolgan noma'lumlar esa erkin deyiladi va tenglamaning o'ng tomoniga o'tkaziladi.

3) Bosh noma’lumlarning erkinlari bo‘yicha ifodalarini toping. Tizimning umumiy yechimi olinadi.

20-misol: Tizimni o'rganing va agar u mos kelsa, yagona yoki umumiy yechim toping

Yechim: 1) T.Kroneker-Kapelli bo'yicha tizimning kengaytirilgan va asosiy matritsalarining darajalarini topamiz:

~
~

~
~
asosiy matritsaning darajasi ikkitadir

2) kengaytirilgan matritsaning darajasini toping
~
~
~

3) Xulosa:
=2, keyin tizim izchil bo'ladi.

Lekin

sistema noaniq va cheksiz ko'p echimlarga ega.

4) Asosiy noma'lumlar va , chunki ular asosiy minorga tegishli va - bepul noma'lum.

Mayli =c, bu erda c - istalgan son.

5) Oxirgi matritsa tizimga mos keladi

6) Javob:

7) Tekshirish: barcha noma'lumlar mavjud bo'lgan dastlabki tizimning har qanday tenglamalarida biz topilgan qiymatlarni almashtiramiz.

R soni A matritsaning darajasi deb ataladi, agar:
1) A matritsada r tartibli nolga teng bo‘lmagan minor mavjud;
2) barcha kichik tartibli (r + 1) va undan yuqori, agar ular mavjud bo'lsa, nolga teng.
Aks holda, matritsaning darajasi nolga teng bo'lmagan minorning eng yuqori tartibidir.
Belgilar: rangA , r A yoki r .
Ta'rifdan kelib chiqadiki, r musbat butun sondir. Null matritsa uchun daraja nolga teng deb hisoblanadi.

Xizmat topshirig'i. Onlayn kalkulyator topish uchun mo'ljallangan matritsa darajasi. Yechim Word va Excel formatlarida saqlanadi. yechim misoliga qarang.

Ko'rsatma. Matritsaning o'lchamini tanlang, Keyingiga bosing.

Ta'rif. r darajali matritsa berilsin. Noldan boshqa va r tartibli har qanday minor matritsa asosiy, uning komponentlarining satr va ustunlari esa asosiy satr va ustunlar deyiladi.
Ushbu ta'rifga ko'ra, A matritsasi bir nechta bazis minorlariga ega bo'lishi mumkin.

E identifikatsiya matritsasining darajasi n (qatorlar soni).

1-misol. Ikki matritsa berilgan, va ularning voyaga etmaganlari , . Ulardan qaysi birini asos qilib olish mumkin?
Yechim. Minor M 1 =0, shuning uchun u biron bir matritsa uchun asos bo'la olmaydi. Minor M 2 =-9≠0 va 2-tartibga ega, shuning uchun ular 2 ga teng darajalarga ega bo'lish sharti bilan uni A yoki / va B matritsalarining asosiy matritsalari sifatida olish mumkin. detB=0 (ikki proportsional ustunli determinant sifatida) boʻlgani uchun B matritsaning bazis minori sifatida rangB=2 va M 2 ni olish mumkin. A matritsaning darajasi 3 ga teng, chunki detA=-27≠ 0 va shuning uchun bu matritsaning bazis minorining tartibi 3 bo'lishi kerak, ya'ni M 2 A matritsa uchun asos emas. E'tibor bering, A matritsa A matritsasining determinantiga teng noyob bazis minorga ega.

Teorema (asosiy minor bo'yicha). Matritsaning har qanday satri (ustunlari) uning asosiy satrlarining (ustunlarining) chiziqli birikmasidir.
Teoremadan kelib chiqadigan natijalar.

1. r-darajali matritsaning istalgan (r+1) ustunlari (satrlari) chiziqli bog'liqdir.
2. Agar matritsaning darajasi uning satrlari (ustunlari) sonidan kichik bo'lsa, unda uning satrlari (ustunlari) chiziqli bog'liqdir. RangA uning satrlari (ustunlari) soniga teng bo'lsa, u holda satrlar (ustunlar) chiziqli mustaqildir.
3. Agar uning satrlari (ustunlari) chiziqli bog'liq bo'lsa, A matritsaning determinanti nolga teng bo'ladi.
4. Agar matritsaning bir qatoriga (ustuniga) noldan boshqa istalgan raqamga ko'paytiriladigan boshqa qator (ustun) qo'shilsa, u holda matritsaning darajasi o'zgarmaydi.
5. Agar siz boshqa qatorlar (ustunlar) ning chiziqli birikmasi bo'lgan matritsadagi qatorni (ustunni) kesib tashlasangiz, matritsaning darajasi o'zgarmaydi.
6. Matritsaning darajasi uning chiziqli mustaqil satrlarining (ustunlarining) maksimal soniga teng.
7. Chiziqli mustaqil qatorlarning maksimal soni bir xil maksimal raqam chiziqli mustaqil ustunlar.

2-misol. Matritsaning darajasini toping .
Yechim. Matritsa darajasining ta'rifiga asoslanib, biz noldan farq qiladigan eng yuqori darajadagi minorni qidiramiz. Birinchidan, biz matritsani oddiyroq shaklga aylantiramiz. Buning uchun matritsaning birinchi qatorini (-2) ga ko'paytiring va ikkinchisiga qo'shing, keyin uni (-1) ga ko'paytiring va uchinchisiga qo'shing.

Ushbu maqolada matritsaning darajasi va zarur qo'shimcha tushunchalar kabi tushunchalar muhokama qilinadi. Biz matritsaning darajasini topishga misollar va dalillar keltiramiz, shuningdek, kichik matritsa nima ekanligini va nima uchun bu juda muhimligini aytib beramiz.

Kichik matritsa

Matritsaning darajasi nima ekanligini tushunish uchun matritsa minorlari kabi tushunchani tushunish kerak.

Ta'rif 1

Kichikktartibli matritsa - A matritsa elementlarining o‘rnini saqlab qolgan holda, oldindan tanlangan k-satr va k-ustunlarda joylashgan A matritsaning elementlaridan tuzilgan k × k tartibli kvadrat matritsaning determinanti.

Oddiy qilib aytganda, agar A matritsada (p-k) satrlar va (n-k) ustunlarni o'chirib tashlasak va qolgan elementlardan A matritsa elementlarining joylashishini saqlagan holda matritsa hosil qilsak, natijada olingan matritsaning determinanti ​A matritsaning k tartibli minori.

Misoldan kelib chiqadiki, A matritsaning birinchi darajali minorlari matritsa elementlarining o'zlaridir.

2-tartibdagi voyaga etmaganlarga bir nechta misollar keltirishimiz mumkin. Keling, ikkita satr va ikkita ustunni tanlaymiz. Masalan, 1 va 2 qator, 3 va 4 ustunlar.

Elementlarning bunday tanlovi bilan ikkinchi tartibning minori - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2 bo'ladi.

A matritsaning yana bir 2-tartibli minori 0 0 1 1 = 0 ga teng

Keling, A matritsasining ikkinchi darajali kichiklarining qurilishiga oid rasmlarni keltiramiz:

3-tartibli minor A matritsasining uchinchi ustunini o'chirish orqali olinadi:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

A matritsaning 3-tartibli minori qanday olinganligi tasviri:

Berilgan matritsa uchun 3-tartibdan yuqori kichiklar yo'q, chunki

k ≤ m i n (p , n) = m i n (3 , 4) = 3

p×n tartibli A matritsa uchun nechta k-tartibli minorlar mavjud?

Voyaga etmaganlarning soni quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

C p k × C n k, g e C p k = p! k! (p - k) ! va C nk = n! k! (n - k) ! - mos ravishda p dan k gacha, n dan k gacha bo'lgan kombinatsiyalar soni.

A matritsaning kichiklari nima ekanligini aniqlaganimizdan so'ng, A matritsasining darajasini aniqlashga o'tishimiz mumkin.

Matritsa darajasi: topish usullari

Matritsa darajasi - matritsaning noldan tashqari eng yuqori tartibi.

Belgilash 1

O'rin (A), Rg(A), Rang(A).

Matritsaning darajalari va matritsaning minorlari ta'rifidan ma'lum bo'ladiki, nol matritsaning darajasi nolga teng, nolga teng bo'lmagan matritsaning darajasi esa noldan farq qiladi.

Ta'rif bo'yicha matritsaning darajasini topish

Kichik ro'yxatga olish usuli - matritsaning darajasini aniqlashga asoslangan usul.

Voyaga etmaganlarni ro'yxatga olish bo'yicha harakatlar algoritmi :

Tartibli A matritsaning darajasini topish kerak p× n. Agar kamida bitta nolga teng bo'lmagan element bo'lsa, u holda matritsaning darajasi kamida bittaga teng ( chunki nolga teng bo'lmagan 1-tartibli minordir).

Keyin 2-tartibdagi voyaga etmaganlarning ro'yxati keladi. Agar barcha 2-tartibli voyaga etmaganlar nolga teng bo'lsa, unda daraja birga teng. Agar 2-tartibning kamida bitta nolga teng bo'lmagan minor bo'lsa, 3-tartibdagi voyaga etmaganlar ro'yxatiga o'tish kerak va matritsaning darajasi, bu holda, kamida ikkita bo'ladi.

Keling, 3-darajali daraja bilan ham shunday qilaylik: agar matritsaning barcha kichiklari nolga teng bo'lsa, unda daraja ikkiga teng bo'ladi. Agar kamida bitta nolga teng bo'lmagan uchinchi darajali minor bo'lsa, matritsaning darajasi kamida uchta bo'ladi. Va shunga o'xshash, analogiya bo'yicha.

2-misol

Matritsaning darajasini toping:

A \u003d - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

Matritsa nolga teng bo'lmaganligi sababli, uning darajasi kamida bittaga teng.

2-tartibli minor - 1 1 2 2 = (- 1) × 2 - 1 × 2 = 4 nolga teng emas. Bu A matritsasining darajasi kamida ikkita ekanligini anglatadi.

Biz 3-tartibdagi voyaga etmaganlarni saralaymiz: C 3 3 × C 5 3 \u003d 1 5 ! 3! (5 - 3) ! = 10 dona.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (-1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (-1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

3-tartibdagi voyaga etmaganlar nolga teng, shuning uchun matritsaning darajasi ikkitadir.

Javob : daraja (A) = 2.

Voyaga etmaganlarni qirqish usuli bilan matritsaning darajasini topish

Fringing Minor usuli - kamroq hisoblash ishlari bilan natija olish imkonini beruvchi usul.

Kichik jingalak - minor M o k (k + 1) - A matritsaning k tartibli M kichik chegarasi bilan chegaradosh, agar minor M o k ga mos keladigan matritsa kichik matritsaga mos keluvchi matritsani “o‘z ichiga olgan” bo‘lsa. M.

Oddiy qilib aytganda, chegaralangan minor M ga mos keladigan matritsa bir satr va bir ustun elementlarini o‘chirish yo‘li bilan chegaralangan minor M o k ga mos matritsadan olinadi.

3-misol

Matritsaning darajasini toping:

A = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

Darajani topish uchun 2-tartibli minor M = 2 - 1 4 1 ni olamiz

Biz barcha chegaradosh voyaga etmaganlarni yozamiz:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

Voyaga etmaganlarni chegaralash usulini asoslash uchun biz formulasi isbot asosini talab qilmaydigan teoremani keltiramiz.

Teorema 1

Agar p tartibli A matritsaning k-tartibli minorini n ga chegaralagan barcha kichiklar nolga teng bo‘lsa, A matritsaning barcha tartibli (k+1) minorlari nolga teng bo‘ladi.

Harakat algoritmi :

Matritsaning darajasini topish uchun barcha voyaga etmaganlarni bosib o'tish shart emas, shunchaki chegaralarga qarang.

Agar chegaradosh voyaga etmaganlar nolga teng bo'lsa, matritsaning darajasi nolga teng. Agar nolga teng bo'lmagan kamida bitta voyaga etmaganlar mavjud bo'lsa, biz chegaradosh voyaga etmaganlarni ko'rib chiqamiz.

Agar ularning barchasi nolga teng bo'lsa, Rank(A) ikkitadir. Agar kamida bitta nolga teng bo'lmagan chegaradosh kichik bo'lsa, biz uning chegaradosh voyaga etmaganlarini ko'rib chiqishga kirishamiz. Va shunga o'xshash tarzda.

4-misol

Voyaga etmaganlarni o'rash usuli bilan matritsaning darajasini toping

A = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

Qanday qaror qilish kerak?

A matritsaning a 11 elementi nolga teng bo'lmagani uchun 1-tartibning minorini olamiz. Keling, noldan boshqa chegaradosh kichikni qidirishni boshlaylik:

2 1 4 2 = 2 x 2 - 1 x 4 = 0 2 0 4 1 = 2 x 1 - 0 x 4 = 2

Biz nolga teng bo'lmagan 2 0 4 1 ga teng bo'lmagan 2-tartibdagi chegaradosh minorni topdik.

Keling, chegaradosh voyaga etmaganlarni sanab o'tamiz - ((4 - 2) × (5 - 2) = 6 dona mavjud).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

Javob : Daraja(A) = 2.

Gauss usulida matritsaning darajasini topish (elementar o'zgartirishlar yordamida)

Elementar transformatsiyalar nima ekanligini eslang.

Elementar transformatsiyalar:

• matritsaning satrlarini (ustunlarini) qayta tartiblash orqali;
• matritsaning istalgan satrining (ustunining) barcha elementlarini ixtiyoriy nolga teng bo'lmagan k soniga ko'paytirish orqali;

har qanday satr (ustun) elementlariga matritsaning boshqa qatoriga (ustuniga) mos keladigan, ixtiyoriy k soniga ko'paytiriladigan elementlarni qo'shish orqali.

Ta'rif 5

Gauss usuli yordamida matritsaning darajasini topish - matritsa ekvivalentligi nazariyasiga asoslangan usul: agar B matritsa A matritsadan chekli sonli elementar o'zgarishlar yordamida olingan bo'lsa, u holda Rank(A) = Rank(B).

Ushbu bayonotning to'g'riligi matritsaning ta'rifidan kelib chiqadi:

• matritsaning satrlari yoki ustunlari almashtirilganda uning determinanti belgini o'zgartiradi. Agar u nolga teng bo'lsa, satrlar yoki ustunlarni almashtirishda u nolga teng bo'lib qoladi;
• matritsaning har qanday satrining (ustunining) barcha elementlarini nolga teng bo'lmagan ixtiyoriy k soniga ko'paytirganda, natijada olingan matritsaning determinanti ko'paytiriladigan dastlabki matritsaning determinantiga teng bo'ladi. k tomonidan;

matritsaning ma'lum bir satri yoki ustuni elementlariga k soniga ko'paytiriladigan boshqa qator yoki ustunning mos keladigan elementlari qo'shilgan taqdirda, uning determinantini o'zgartirmaydi.

Elementar transformatsiyalar usulining mohiyati : elementar transformatsiyalar yordamida darajasi topiladigan matritsani trapetsiya shakliga keltiring.

Sabab?

Bunday turdagi matritsalar darajasini topish juda oson. Bu kamida bitta null bo'lmagan elementga ega bo'lgan qatorlar soniga teng. Va elementar transformatsiyalar paytida daraja o'zgarmasligi sababli, bu matritsaning darajasi bo'ladi.

Keling, ushbu jarayonni tasvirlab beraylik:

• qatorlar soni p dan n gacha bo'lgan A tartibli to'rtburchaklar matritsalar uchun ko'proq raqam ustunlar:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b⋮ n - 010 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 , R a n k (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 k0 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0, R a n k (A) = k

• satrlari soni ustunlar sonidan kam bo'lgan p dan n gacha bo'lgan A to'rtburchaklar matritsalar uchun:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 p b 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 p b 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 p 0 1 ⋯ b p n, R a n k (A) = p

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 k0 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

• uchun kvadrat matritsalar Va n ni n bo'yicha tartiblang:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b⋮ n - 010 , R a n k (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 1 k0 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R a n k (A) = k ,< n

5-misol

Elementar transformatsiyalar yordamida A matritsasining darajasini toping:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

Qanday qaror qilish kerak?

a 11 elementi nolga teng bo'lmaganligi sababli, A matritsasining birinchi qatori elementlarini 1 a 11 \u003d 1 2 ga ko'paytirish kerak:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

2-qatorning elementlariga 1-qatorning mos keladigan elementlarini qo'shamiz, ular (-3) ga ko'paytiriladi. 3-qatorning elementlariga 1-qatorning elementlarini qo'shamiz, ular (-1) ga ko'paytiriladi:

~ A (1) \u003d 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ A (2) \u003d \u003d 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5) ) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

a 22 (2) elementi nolga teng emas, shuning uchun A matritsasining 2-qatorining elementlarini A (2) ga 1 a 22 (2) = - 2 3 ga ko'paytiramiz:

A (3) \u003d 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ A (4) \u003d 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

• Olingan matritsaning 3-qatorining elementlariga 2-qatorning mos keladigan elementlarini qo'shamiz, ular 3 2 ga ko'paytiriladi;
• 4-qatorning elementlariga - 2-qatorning elementlari, ular 9 2 ga ko'paytiriladi;
• 5-qatorning elementlariga - 2-qatorning elementlari, ular 3 2 ga ko'paytiriladi.

Barcha qator elementlari nolga teng. Shunday qilib, elementar transformatsiyalar yordamida matritsani trapetsiya shakliga keltirdik, undan R a n k (A (4)) = 2 ekanligini ko rish mumkin. Bundan kelib chiqadiki, asl matritsaning darajasi ham ikkiga teng.

Izoh

Agar siz elementar o'zgarishlarni amalga oshirsangiz, taxminiy qiymatlarga ruxsat berilmaydi!

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing