Chiziq M1 (x1, y1, z1) nuqtadan o'tib, vektorga (m ,n, l) parallel bo'lsin. Bu chiziq uchun tenglama yozamiz.

Bu chiziqning ixtiyoriy M (x, y, z) nuqtasini olaylik va x, y, z orasidagi munosabatni topamiz. Keling, vektor quraylik

Vektorlar kollinear.

- fazodagi to'g'ri chiziqning kanonik tenglamasi.

44 To'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari

Chunki bu tenglama chiziqning istalgan nuqtasining koordinatalari bilan qanoatlansa, natijada olingan tenglama chiziqning parametrik tenglamasi bo'ladi.

Ushbu vektor tenglamani koordinata shaklida ifodalash mumkin:

Ushbu tizimni o'zgartirib, t parametrining qiymatlarini tenglashtirib, biz kosmosdagi to'g'ri chiziqning kanonik tenglamalarini olamiz:

Ta'rif. To'g'ri chiziqning yo'nalish kosinuslari vektorning yo'nalish kosinuslari bo'lib, ularni quyidagi formulalar bilan hisoblash mumkin:

Bu yerdan biz olamiz: m: n: p = cosa: cosb: cosg.

m, n, p raqamlari chiziqning qiyaligi deyiladi. Nolga teng bo'lmagan vektor bo'lgani uchun m, n va p bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lishi mumkin emas, lekin bu raqamlarning bir yoki ikkitasi nolga teng bo'lishi mumkin. Bunday holda, to'g'ri chiziq tenglamasida mos keladigan sonlarni nolga tenglashtirish kerak.

45 Ikki xil berilgan nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziqning fazodagi tenglamasi.

Analitik geometriya

Berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasi.

M1(x1y1) va M2(x2y2) tekislikda berilgan bo'lsin. Bu ikki nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziqning kanonik tenglamasini tuzamiz, S yo'nalish vektori sifatida M1M2 ni olamiz.

uchlik.

Bu berilgan ikkita (x1 y1) va (x2, y2) nuqtalardan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasi.

Endi fazodagi to'g'ri chiziq va tekislik tenglamalariga murojaat qilaylik.

3 o'lchovli fazoda analitik geometriya

Ikki o'lchovli holatga o'xshab, x, y, z uchta o'zgaruvchiga nisbatan birinchi darajali har qanday tenglama Oxyz tekisliklari fazosidagi tekislikning tenglamasidir. M(x0,y0,z0) nuqtadan o’tuvchi va normal N(A,B,C) A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) ga ega bo’lgan tekislikning kanonik tenglamasi. =0 - bu tenglama qaysi?

X-x0, y-y0 va z-z0 qiymatlari joriy nuqta va sobit nuqta koordinatalari o'rtasidagi farqdir. Demak, a (x-x 0, y-y0, z-z0) vektor tasvirlangan tekislikda yotuvchi vektor, N vektor esa tekislikka perpendikulyar vektor, ya’ni ular bir-biriga perpendikulyar.

Keyin ularning skalyar mahsuloti nolga teng bo'lishi kerak.

Koordinata shaklida (N,a)=0 quyidagicha ko'rinadi:

A (x-x0)+B (y-y0)+C (z-z0)=0

Kosmosda vektorlarning o'ng va chap uchligi ajralib turadi. Koplanar bo'lmagan a, b, c vektorlarining uchligi to'g'ri deyiladi, agar ularning umumiy kelib chiqishiga ko'ra a, b, c vektorlari uchlarini belgilangan tartibda kesib o'tish soat yo'nalishi bo'yicha ketayotganga o'xshaydi. Aks holda a, b, c qoladi.

46 Fazodagi chiziqlar orasidagi burchak

Fazodagi to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak har qanday bo'ladi qo'shni burchaklar, ma'lumotlarga parallel ravishda ixtiyoriy nuqta orqali o'tkazilgan ikkita to'g'ri chiziqdan hosil bo'lgan.

Fazoda ikkita to'g'ri chiziq berilgan bo'lsin:

Shubhasiz, chiziqlar orasidagi burchak ph ni ularning yo'nalish vektorlari orasidagi burchak sifatida olish mumkin va. O'shandan beri, biz vektorlar orasidagi burchakning kosinus formulasiga ko'ra olamiz

Ikki chiziqning parallellik va perpendikulyarlik shartlari ularning yo'nalish vektorlarining parallellik va perpendikulyarlik shartlariga ekvivalentdir va:

Ikki chiziq parallel, agar ularning tegishli koeffitsientlari proportsional bo'lsa, ya'ni. l1 l2 ga parallel bo'ladi, agar u parallel bo'lsa .

Ikki chiziq perpendikulyar bo'ladi, agar mos koeffitsientlar ko'paytmalari yig'indisi nolga teng bo'lsa va faqat: .

l1 to‘g‘riga parallel M1(1;2;3) nuqtadan o‘tuvchi chiziq tenglamalarini toping:

Kerakli chiziq l l1 ga parallel bo'lganligi sababli, kerakli chiziqning yo'nalish vektori sifatida l1 chiziqning yo'nalish vektorini olishimiz mumkin.

“Teklikdagi toʻgʻri chiziq tenglamasi” mavzusining kichik bandlaridan biri toʻgʻri burchakli koordinatalar sistemasidagi tekislikdagi toʻgʻri chiziqning parametrik tenglamalarini tuzish masalasidir. Quyidagi maqolada ma'lum ma'lum ma'lumotlar uchun bunday tenglamalarni tuzish printsipi muhokama qilinadi. Parametrik tenglamalardan boshqa ko'rinishdagi tenglamalarga qanday o'tishni ko'rsatamiz; Keling, tipik masalalarning yechimini tahlil qilaylik.

Muayyan chiziqni ushbu chiziqqa tegishli nuqta va chiziq uchun yo'nalish vektorini ko'rsatish orqali aniqlash mumkin.

Faraz qilaylik, bizga O x y to'rtburchak koordinatalar sistemasi berilgan. Shuningdek, uning ustida yotgan M 1 nuqtani (x 1, y 1) va berilgan to‘g‘ri chiziqning yo‘nalish vektorini ko‘rsatuvchi a to‘g‘ri chiziq ham berilgan. a → = (a x , a y) . Berilgan a chiziqning tavsifini tenglamalar yordamida beramiz.

Biz ixtiyoriy M (x, y) nuqtadan foydalanamiz va vektorni olamiz M 1 M →; uning koordinatalarini boshlang'ich va oxirgi nuqtalarning koordinatalaridan hisoblang: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) . Natijani tavsiflaymiz: chiziq M (x, y) nuqtalar to'plami bilan berilgan, M 1 (x 1, y 1) nuqtadan o'tadi va yo'nalish vektoriga ega. a → = (a x , a y) . Belgilangan to'plam to'g'ri chiziqni faqat M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) va a → = (a x, a y) vektorlari kollinear bo'lganda belgilaydi.

Vektorlarning kollinearligi uchun zarur va yetarli shart mavjud bo‘lib, bu holda M 1 M → = (x - x 1 , y - y 1) va a → = (a x , a y) vektorlari uchun quyidagicha yozish mumkin. tenglama:

M 1 M → = l · a → , bu erda l - qandaydir haqiqiy son.

Ta'rif 1

M 1 M → = l · a → tenglama chiziqning vektor-parametrik tenglamasi deyiladi.

Koordinata shaklida u quyidagicha ko'rinadi:

M 1 M → = l a → ⇔ x - x 1 = l a x y - y 1 = l a y ⇔ x = x 1 + a x l y = y 1 + a y l

Hosil boʻlgan x = x 1 + a x · l y = y 1 + a y · l sistemaning tenglamalari toʻgʻri burchakli koordinatalar sistemasidagi tekislikdagi toʻgʻri chiziqning parametrik tenglamalari deyiladi. Nomning mohiyati quyidagicha: chiziqning barcha nuqtalarining koordinatalari barcha haqiqiy qiymatlarni takrorlashda x = x 1 + a x l y = y 1 + a y l ko'rinishdagi tekislikdagi parametrik tenglamalar bilan aniqlanishi mumkin ​l parametrining

Yuqoridagilarga ko'ra, x \u003d x 1 + a x l y \u003d y 1 + a y l tekislikdagi to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari to'rtburchaklar koordinatalar tizimida berilgan, M 1 nuqtadan o'tadigan to'g'ri chiziqni aniqlaydi. (x 1, y 1) va yo'naltiruvchi vektorga ega a → = (a x , a y) . Demak, agar to’g’ri chiziqning ma’lum nuqtasining koordinatalari va uning yo’naltiruvchi vektorining koordinatalari berilgan bo’lsa, u holda berilgan to’g’ri chiziqning parametrik tenglamalarini darhol yozish mumkin bo’ladi.

1-misol

To'g'ri to'g'ri chiziqning to'g'ri to'rtburchaklar koordinatalar sistemasidagi tekislikda parametrik tenglamalarini tuzish kerak, agar unga tegishli M 1 (2, 3) nuqta va uning yo'nalishi vektori berilgan bo'lsa. a → = (3 , 1) .

Yechim

Dastlabki ma'lumotlarga asoslanib, biz quyidagilarni olamiz: x 1 \u003d 2, y 1 \u003d 3, a x \u003d 3, a y \u003d 1. Parametrik tenglamalar quyidagicha ko'rinadi:

x = x 1 + a x l y = y 1 + a y l ⇔ x = 2 + 3 l y = 3 + 1 l ⇔ x = 2 + 3 l y = 3 + l

Keling, aniq tasvirlab beraylik:

Javob: x = 2 + 3 l y = 3 + l

Shuni ta'kidlash kerak: agar vektor a → = (a x , a y) bo'lsa. a to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori bo'lib xizmat qiladi va M 1 (x 1, y 1) va M 2 (x 2, y 2) nuqtalari shu chiziqqa tegishli bo'lsa, u holda uni ko'rinishdagi parametrik tenglamalarni o'rnatish orqali aniqlash mumkin. : x = x 1 + a x l y = y 1 + a y l , shuningdek, bu variant: x = x 2 + a x l y = y 2 + a y l .

Masalan, bizga to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori berilgan a → \u003d (2, - 1), shuningdek, ushbu chiziqqa tegishli M 1 (1, - 2) va M 2 (3, - 3) nuqtalari. Keyin to'g'ri chiziq parametrik tenglamalar bilan aniqlanadi: x = 1 + 2 · l y = - 2 - l yoki x = 3 + 2 · l y = - 3 - l .

Quyidagi faktga ham e'tibor qaratish lozim: agar a → = (a x , a y) a to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori bo'lsa, u holda vektorlarning har qandayi ham uning yo'naltiruvchi vektori bo'ladi m a → = (m a x, m a y), bu yerda m s R, m ≠ 0.

Shunday qilib, to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasidagi tekislikdagi a to‘g‘ri chiziqni parametrik tenglamalar yordamida aniqlash mumkin: x = x 1 + m a x l y = y 1 + m a y l m ning noldan farqli har qanday qiymati uchun.

Faraz qilaylik, a chiziq x = 3 + 2 l y = - 2 - 5 l parametrik tenglamalar bilan berilgan. Keyin a → = (2 , - 5) - bu chiziqning yo'nalish vektori. Shuningdek, m · a → = (m · 2, m · - 5) = 2 m , - 5 m , m ∈ R , m ≠ 0 vektorlarining har qandayi berilgan to‘g‘ri chiziq uchun yo‘nalish vektoriga aylanadi. Aniqlik uchun ma'lum bir vektorni ko'rib chiqing - 2 · a → = (- 4, 10) , u m = - 2 qiymatiga mos keladi. Bunda berilgan to'g'ri chiziqni x = 3 - 4 · l y = - 2 + 10 · l parametrik tenglamalar orqali ham aniqlash mumkin.

Tekislikdagi to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalaridan berilgan to'g'ri chiziqning boshqa tenglamalariga va aksincha o'tish

Ba'zi masalalarni yechishda parametrik tenglamalardan foydalanish eng maqbul variant emas, keyin to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalarini boshqa turdagi to'g'ri chiziq tenglamalariga o'tkazish kerak bo'ladi. Keling, buni qanday qilishni ko'rib chiqaylik.

x = x 1 + a x · l y = y 1 + a y · l to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari x - x 1 a x = y - y 1 a y tekislikdagi to'g'ri chiziqning kanonik tenglamasiga mos keladi.

Biz parametrik tenglamalarning har birini l parametriga qarab yechamiz, olingan tengliklarning to'g'ri qismlarini tenglashtiramiz va berilgan to'g'ri chiziqning kanonik tenglamasini olamiz:

x = x 1 + a x l y = y 1 + a y l ⇔ l = x - x 1 a x l = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y

Bunday holda, agar x yoki y nolga teng bo'lsa, bu noqulay bo'lmasligi kerak.

2-misol

x = 3 y = - 2 - 4 · l to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalaridan kanonik tenglamaga o'tishni amalga oshirish kerak.

Yechim

Berilgan parametrik tenglamalarni quyidagi shaklda yozamiz: x = 3 + 0 l y = - 2 - 4 l

Har bir tenglamada l parametrini ifodalaymiz: x = 3 + 0 l y = - 2 - 4 l ⇔ l = x - 3 0 l = y + 2 - 4

Biz tenglamalar tizimining to'g'ri qismlarini tenglashtiramiz va tekislikdagi to'g'ri chiziqning kerakli kanonik tenglamasini olamiz:

x - 3 0 = y + 2 - 4

Javob: x - 3 0 = y + 2 - 4

A x + B y + C = 0 ko'rinishdagi to'g'ri chiziq tenglamasini yozish zarur bo'lganda, tekislikdagi to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari berilganda, birinchi navbatda kanonik tenglamaga, so'ngra to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasiga o'tish. Keling, barcha harakatlar ketma-ketligini yozamiz:

x = x 1 + a x l y = y 1 + a y l ⇔ l = x - x 1 a x l = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0

3-misol

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini yozish kerak, agar uni aniqlovchi parametrik tenglamalar berilgan bo'lsa: x = - 1 + 2 l y = - 3 l

Yechim

Birinchidan, kanonik tenglamaga o'tamiz:

x = - 1 + 2 l y = - 3 l ⇔ l = x + 1 2 l = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3

Olingan nisbat tenglik bilan bir xil - 3 · (x + 1) = 2 · y. Qavslarni ochamiz va to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini olamiz: - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0 .

Javob: 3x + 2y + 3 = 0

Yuqoridagi harakatlar mantig'iga amal qilgan holda, to'g'ri chiziq tenglamasini olish uchun qiyalik omili, segmentlardagi to'g'ri chiziq tenglamasi yoki to'g'ri chiziqning normal tenglamasi, to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini olish va undan keyingi o'tishni amalga oshirish kerak.

Endi teskari harakatni ko'rib chiqing: ushbu to'g'ri chiziq tenglamalarining boshqa berilgan shakli uchun to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalarini yozish.

Eng oson o'tish: kanonik tenglamadan parametrik tenglamaga. Shaklning kanonik tenglamasi berilgan bo lsin: x - x 1 a x = y - y 1 a y . Ushbu tenglikning har bir munosabatini l parametriga teng olamiz:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = l ⇔ l = x - x 1 a x l = y - y 1 a y

X va y o'zgaruvchilar uchun hosil bo'lgan tenglamalarni yechamiz:

x = x 1 + a x l y = y 1 + a y l

4-misol

Agar tekislikdagi to'g'ri chiziqning kanonik tenglamasi ma'lum bo'lsa, to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalarini yozish kerak: x - 2 5 = y - 2 2.

Yechim

Ma'lum bo'lgan tenglama qismlarini l parametriga tenglashtiramiz: x - 2 5 = y - 2 2 = l . Olingan tenglikdan to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalarini olamiz: x - 2 5 = y - 2 2 = l ⇔ l = x - 2 5 l = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 l y = 2 + 2 l

Javob: x = 2 + 5 l y = 2 + 2 l

To'g'ri chiziqning berilgan umumiy tenglamasidan, qiya chiziqli to'g'ri chiziq tenglamasidan yoki segmentlardagi to'g'ri chiziq tenglamasidan parametrik tenglamalarga o'tish zarur bo'lganda, dastlabki tenglamani tenglamaga keltirish kerak. kanonik, so'ngra parametrik tenglamalarga o'ting.

5-misol

Ushbu to'g'ri chiziqning ma'lum umumiy tenglamasi bilan to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalarini yozish kerak: 4 x - 3 y - 3 = 0 .

Yechim

Berilgan umumiy tenglamani kanonik shakldagi tenglamaga aylantiramiz:

4 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

Tenglikning ikkala qismini l parametriga tenglashtiramiz va to'g'ri chiziqning kerakli parametrik tenglamalarini olamiz:

x 3 = y + 1 3 4 = l ⇔ x 3 = l y + 1 3 4 = l ⇔ x = 3 l y = - 1 3 + 4 l

Javob: x = 3 l y = - 1 3 + 4 l

Tekislikdagi to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalariga misollar va masalalar

To'g'ri to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi tekislikdagi to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalaridan foydalangan holda eng keng tarqalgan masalalar turlarini ko'rib chiqaylik.

1. Birinchi turdagi masalalarda nuqtalarning koordinatalari parametrik tenglamalar bilan tasvirlangan to‘g‘ri chiziqqa tegishli bo‘ladimi yoki yo‘qmi, berilgan.

Bunday masalalarni yechish quyidagi faktga asoslanadi: x \u003d x 1 + a x l y \u003d y 1 + a y l parametrik tenglamalardan aniqlangan raqamlar (x, y) ba'zi bir haqiqiy qiymat l uchun a ning koordinatalari hisoblanadi. to'g'ri chiziqqa tegishli nuqta, bu parametrik tenglamalar tasvirlangan.

6-misol

l = 3 uchun x = 2 - 1 6 · l y = - 1 + 2 · l parametrik tenglamalar bilan berilgan to'g'ri chiziq ustida yotgan nuqtaning koordinatalarini aniqlash kerak.

Yechim

Berilgan parametrik tenglamalarga ma'lum bo'lgan l = 3 qiymatini almashtiramiz va kerakli koordinatalarni hisoblaymiz: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

Javob: 1 1 2 , 5

Quyidagi masala ham mumkin: to‘rtburchaklar koordinatalar sistemasidagi tekislikda qandaydir M 0 (x 0, y 0) nuqta berilsin va bu nuqta x = x parametrik tenglamalar bilan tasvirlangan chiziqqa tegishli ekanligini aniqlash kerak. 1 + a x l y = y 1 + a y l.

Bunday masalani yechish uchun to‘g‘ri chiziqning ma’lum parametrik tenglamalariga berilgan nuqtaning koordinatalarini qo‘yish kerak. Har ikkala parametrik tenglamalar ham to'g'ri bo'lgan l = l 0 parametrining bunday qiymati mumkinligi aniqlansa, berilgan nuqta berilgan to'g'ri chiziqqa tegishlidir.

7-misol

M 0 (4, - 2) va N 0 (- 2, 1) nuqtalar berilgan. Ularning x = 2 · l y = - 1 - 1 2 · l parametrik tenglamalari bilan aniqlangan to'g'ri chiziqqa tegishli ekanligini aniqlash kerak.

Yechim

Berilgan parametrik tenglamalarga M 0 (4, - 2) nuqtaning koordinatalarini almashtiramiz:

4 = 2 l - 2 = - 1 - 1 2 l ⇔ l = 2 l = 2 ⇔ l = 2

M 0 nuqta berilgan chiziqqa tegishli degan xulosaga kelamiz, chunki l = 2 qiymatiga mos keladi.

2 = 2 l 1 = - 1 - 1 2 l ⇔ l = - 1 l = - 4

Ko'rinib turibdiki, N 0 nuqtasi mos keladigan l parametri yo'q. Boshqacha qilib aytganda, berilgan chiziq N 0 nuqtadan o'tmaydi (- 2 , 1) .

Javob: M 0 nuqtasi berilgan chiziqqa tegishli; N 0 nuqta berilgan chiziqqa tegishli emas.

1. Ikkinchi turdagi masalalarda to'g'ri burchakli koordinatalar tizimidagi tekislikdagi to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalarini tuzish talab qilinadi. Bunday muammoning eng oddiy misoli (chiziq nuqtasi va yo'nalish vektorining ma'lum koordinatalari bilan) yuqorida ko'rib chiqildi. Keling, birinchi navbatda yo'nalish vektorining koordinatalarini topish kerak bo'lgan misollarni ko'rib chiqamiz va keyin parametrik tenglamalarni yozamiz.

M 1 1 2, 2 3 nuqta berilgan. Ushbu nuqtadan o'tadigan to'g'ri chiziq va x 2 \u003d y - 3 - 1 parallel to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalarini tuzish kerak.

Yechim

Muammoning shartiga ko'ra, tenglamasi biz oldinga chiqishi kerak bo'lgan to'g'ri chiziq x 2 \u003d y - 3 - 1 to'g'ri chiziqqa parallel. Keyin yo'nalish vektori sifatida to'g'ri chiziq o'tadi berilgan nuqta, x 2 = y - 3 - 1 to'g'ri chiziqning yo'nalish vektoridan foydalanish mumkin, biz uni quyidagicha yozamiz: a → = (2 , - 1) . Endi kerakli parametrik tenglamalarni tuzish uchun barcha kerakli ma'lumotlar ma'lum:

x = x 1 + a x l y = y 1 + a y l ⇔ x = 1 2 + 2 l y = 2 3 + (- 1) l ⇔ x = 1 2 + x l y = 2 3 - l

Javob: x = 1 2 + x l y = 2 3 - l.

9-misol

M 1 nuqta (0, - 7) berilgan. Bu nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziqqa perpendikulyar 3 x – 2 y – 5 = 0 to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalarini yozish kerak.

Yechim

Tenglamasi tuzilgan bo'lishi kerak bo'lgan to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori sifatida 3 x - 2 y - 5 = 0 to'g'ri chiziqning normal vektorini olish mumkin. Uning koordinatalari (3 , - 2) . To'g'ri chiziqning kerakli parametrik tenglamalarini yozamiz:

x = x 1 + a x l y = y 1 + a y l ⇔ x = 0 + 3 l y = - 7 + (- 2) l ⇔ x = 3 l y = - 7 - 2 l

Javob: x = 3 l y = - 7 - 2 l

1. Uchinchi turdagi masalalarda berilgan to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalaridan uni aniqlaydigan boshqa turdagi tenglamalarga o'tish talab etiladi. Yechim shunga o'xshash misollar biz yuqorida ko'rib chiqdik, yana bittasini beramiz.

X = 1 - 3 4 · l y = - 1 + l parametrik tenglamalar bilan aniqlangan to'g'ri to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi tekislikdagi to'g'ri chiziq berilgan. Bu chiziqning qandaydir normal vektorining koordinatalarini topish kerak.

Yechim

Oddiy vektorning kerakli koordinatalarini aniqlash uchun biz parametrik tenglamalardan umumiy tenglamaga o'tamiz:

x = 1 - 3 4 l y = - 1 + l ⇔ l = x - 1 - 3 4 l = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0

X va y o'zgaruvchilarning koeffitsientlari bizga normal vektorning kerakli koordinatalarini beradi. Shunday qilib, x = 1 - 3 4 · l y = - 1 + l chiziqning normal vektori 1 , 3 4 koordinatalariga ega.

Javob: 1 , 3 4 .

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

To'g'ri chiziqning kanonik tenglamalarida har bir kasrni qandaydir parametrga tenglashtirish t:

Parametr orqali to'g'ri chiziqning har bir nuqtasining joriy koordinatalarini ifodalovchi tenglamalarni olamiz t.

Shunday qilib, to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari quyidagi ko'rinishga ega:

Berilgan ikkita nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamalari.

Ikki nuqta M 1 bo'lsin (x1,y1,z1) va M 2 (x2,y2,z2). Berilgan ikkita nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamalari xuddi tekislikdagi oʻxshash tenglamaga oʻxshab olinadi. Shuning uchun biz darhol ushbu tenglamaning shaklini beramiz.

Ikki tekislikning kesishmasidagi to'g'ri chiziq. Fazodagi to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi.

Agar ikkita parallel bo'lmagan tekislikni ko'rib chiqsak, ularning kesishishi to'g'ri chiziq bo'ladi.

Oddiy vektorlar bo'lsa va kollinear bo'lmagan.

Quyida misollarni ko'rib chiqayotganda biz bunday to'g'ri chiziq tenglamalarini kanonik tenglamalarga aylantirish usulini ko'rsatamiz.

5.4 Ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchak. Ikki chiziqning parallellik va perpendikulyarlik sharti.

Kosmosdagi ikkita to'g'ri chiziq orasidagi burchak ma'lumotlarga parallel bo'lgan ixtiyoriy nuqta orqali o'tkazilgan ikkita to'g'ri chiziqdan hosil bo'lgan har qanday burchakdir.

Ikki chiziq ularning kanonik tenglamalari bilan berilgan bo'lsin.

Ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchak uchun biz yo'nalish vektorlari orasidagi burchakni olamiz.

Va

Ikki to'g'ri chiziqning perpendikulyarlik sharti ularning yo'nalish vektorlarining perpendikulyarlik shartiga va , ya'ni skalyar ko'paytmaning nolga tengligiga keltiriladi: yoki koordinatali shaklda: .

Ikki chiziqning parallellik sharti ularning yo'nalish vektorlarining parallellik shartiga keltiriladi va

5.5 O'zaro tartibga solish tekis va tekis.

To'g'ri chiziq tenglamalari berilgan bo'lsin:

va samolyotlar. Chiziq va tekislik orasidagi burchak chiziq va uning tekislikka proyeksiyasidan hosil bo'lgan qo'shni ikkita burchakning har qandayi bo'ladi (5.5-rasm).

5.5-rasm

Agar chiziq tekislikka perpendikulyar bo'lsa, chiziqning yo'naltiruvchi vektori va tekislikka normal vektor kollineardir. Shunday qilib, to'g'ri chiziq va tekislikning perpendikulyarlik sharti kollinear vektorlar holatiga keltiriladi.

To'g'ri chiziq va tekislikning parallelligida ularning yuqorida ko'rsatilgan vektorlari o'zaro perpendikulyar bo'ladi. Shuning uchun to'g'ri chiziq va tekislikning parallellik sharti vektorlarning perpendikulyarlik shartiga keltiriladi; bular. ularning nuqta mahsuloti nolga teng yoki koordinatali shaklda: .

Quyida 5-bob mavzusiga oid masalalarni yechish misollari keltirilgan.

1-misol:

Tenglama bilan berilgan to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar A (1,2,4) nuqtadan o‘tuvchi tekislik tenglamasini yozing:

Yechim:

Berilgan vektorga perpendikulyar berilgan nuqtadan o‘tuvchi tekislik tenglamasidan foydalanamiz.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Nuqta sifatida biz A (1,2,4) nuqtani olamiz, u orqali tekislik shart bo'yicha o'tadi.

Chiziqning kanonik tenglamalarini bilib, biz chiziqqa parallel vektorni bilamiz.

Shartga ko'ra, to'g'ri chiziq kerakli tekislikka perpendikulyar bo'lganligi sababli, yo'nalish vektorini tekislikning normal vektori sifatida olish mumkin.

Shunday qilib, tekislik tenglamasini quyidagi shaklda olamiz:

2(x-1)+1(y-2)+4(z-4)=0

2x+y+4z-16=0

2x+y+4z-20=0

2-misol:

Samolyotda toping 4x-7y+5z-20=0 OP koordinata o'qlari bilan teng burchaklar hosil qiladigan P nuqta.

Yechim:

Keling, sxematik chizma tuzamiz. (5.6-rasm)

da

5.6-rasm

Bo'sh nuqta R koordinatalariga ega. Vektor koordinata o'qlari bilan bir xil burchaklarni hosil qilganligi sababli, bu vektorning yo'nalish kosinuslari bir-biriga teng.

Vektorning proyeksiyalarini topamiz:

u holda bu vektorning yo'nalish kosinuslari osongina topiladi.

Yo'nalish kosinuslarining tengligidan tenglik quyidagicha bo'ladi:

x p \u003d y p \u003d z p

P nuqta tekislikda yotganligi sababli, bu nuqtaning koordinatalarini tekislik tenglamasiga qo'yish uni o'ziga xoslikka aylantiradi.

4x p -7x p +5x p -20=0

2x p \u003d 20

x p \u003d 10

Mos ravishda: y r=10; z p=10.

Shunday qilib, kerakli P nuqta P koordinatalariga ega (10; 10; 10)

3-misol:

A (2, -1, -2) va B (8, -7,5) ikkita nuqta berilgan. AB segmentiga perpendikulyar B nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasini toping.

Yechim:

Masalani yechish uchun berilgan vektorga perpendikulyar berilgan nuqtadan o‘tuvchi tekislik tenglamasidan foydalanamiz.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Nuqta sifatida biz B nuqtasini (8, -7.5) va vektor sifatida tekislikka perpendikulyar vektorni ishlatamiz. Vektorning proyeksiyalarini topamiz:

u holda tekislik tenglamasini quyidagi shaklda olamiz:

6(x-8)-6(y+7)+7(z-5)=0

6x-48-6y-42+7z-35=0

6x-6y+7z-35=0

6x-6y+7z-125=0

4-misol:

OY o'qiga parallel va K(1,-5,1) va M(3,2,-2) nuqtalardan o'tuvchi tekislik tenglamasini toping.

Yechim:

Tekislik OY o'qiga parallel bo'lgani uchun biz tekislikning to'liq bo'lmagan tenglamasidan foydalanamiz.

Ax+Cz+D=0

K va M nuqtalar tekislikda yotganligi sababli ikkita shartga erishamiz.

Bu shartlardan A va C koeffitsientlarni D ko'rinishida ifodalaymiz.

Topilgan koeffitsientlarni tekislikning to'liq bo'lmagan tenglamasiga almashtiramiz:

dan beri, keyin D ni kamaytiramiz:

5-misol:

M(7,6,7), K(5,10,5), R(-1,8,9) uchta nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasini toping.

Yechim:

Berilgan 3 nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasidan foydalanamiz.

koordinatalarini almashtirish M, K, R nuqtalari birinchi, ikkinchi va uchinchi sifatida biz olamiz:

determinantni 1-satr bo'ylab kengaytiring.

6-misol:

M 1 (8, -3,1) nuqtalardan o'tuvchi tekislik tenglamasini toping; M 2 (4,7,2) va tekislikka perpendikulyar 3x+5y-7z-21=0

Yechim:

Keling, sxematik chizma tuzamiz (5.7-rasm)

5.7-rasm

Berilgan P 2 tekislikni va kerakli P 2 tekislikni belgilaymiz. Berilgan R 1 tekislik tenglamasidan R 1 tekislikka perpendikulyar vektorning proyeksiyalarini aniqlaymiz.

Vektorni parallel ko'chirish orqali P 2 tekisligiga ko'chirish mumkin, chunki masalaning shartiga ko'ra, P 2 tekislik P 1 tekislikka perpendikulyar, ya'ni vektor P 2 tekislikka parallel. .

R 2 tekislikda yotgan vektorning proyeksiyalarini topamiz:

endi biz ikkita vektorga egamiz va R 2 tekislikda yotamiz. aniq vektor , vektorlarning vektor mahsulotiga teng va R 2 tekislikka perpendikulyar bo'ladi, chunki u R 2 tekislikka perpendikulyar va shuning uchun uning normal vektori.

Vektorlar va ularning proyeksiyalari bilan berilgan, shuning uchun:

Keyinchalik vektorga perpendikulyar berilgan nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasidan foydalanamiz. Nuqta sifatida siz M 1 yoki M 2 nuqtalarining istalganini olishingiz mumkin, masalan, M 1 (8, -3.1); R 2 tekislikka normal vektor sifatida olamiz.

74(x-8)+25(y+3)+50(z-1)=0

3(x-8)+(y-3)+2(z-1)=0

3x-24+y+3+27-2=0

3x+y+2z-23=0

7-misol:

To'g'ri chiziq ikkita tekislikning kesishishi bilan belgilanadi. Chiziqning kanonik tenglamalarini toping.

Yechim:

Bizda quyidagi shaklda tenglama mavjud:

Bir nuqtani topish kerak x 0, y 0, z 0) to'g'ri chiziq va yo'nalish vektori o'tadigan.

Biz koordinatalardan birini o'zboshimchalik bilan tanlaymiz. Masalan, z=1, keyin ikkita noma'lumli ikkita tenglamalar tizimini olamiz:

Shunday qilib, biz kerakli chiziqda yotgan nuqtani topdik (2,0,1).

Kerakli to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori sifatida biz va vektorlarining ko'ndalang ko'paytmasini olamiz, chunki ular normal vektorlardir. , bu kerakli chiziqqa parallel degan ma'noni anglatadi.

Shunday qilib, to'g'ri chiziqning yo'nalishi vektori proyeksiyalarga ega. Berilgan vektorga parallel berilgan nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasidan foydalanib:

Shunday qilib, kerakli kanonik tenglama quyidagi shaklga ega:

8-misol:

Chiziq va tekislikning kesishish nuqtasi koordinatalarini toping 2x+3y+3z-8=0

Yechim:

To'g'ri chiziqning berilgan tenglamasini parametrik shaklda yozamiz.

x=3t-2; y=-t+2; z=2t-1

to'g'ri chiziqning har bir nuqtasi parametrning bitta qiymatiga mos keladi t. Parametrni topish uchun t chiziq va tekislikning kesishish nuqtasiga to'g'ri keladi, biz ifodani tekislik tenglamasiga almashtiramiz x, y, z parametr orqali t.

2(3t-2)+(-t+2)+3(2t-1)-8=0

6t-4-3t+6+6t-3-8=0

t=1

keyin kerakli nuqtaning koordinatalari

kerakli kesishish nuqtasi koordinatalariga ega (1;1;1).

9-misol:

Parallel chiziqlardan o'tuvchi tekislik tenglamasini toping.

Keling, sxematik chizma tuzamiz (5.9-rasm)

5.9-rasm

Kimdan berilgan tenglamalar chiziqlar va bu chiziqlarning yo'nalish vektorlarining proyeksiyalarini aniqlang. P tekislikda yotgan vektorning proyeksiyalarini topamiz va M 1 (1, -1,2) va M 2 (0,1, -2) chiziqlarning kanonik tenglamalaridan nuqta va nuqtalarni olamiz.

1. To'g'ri chiziqning parametrik tenglamasi

M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) nuqta toʻgʻri chiziqda va s = (l ,m ,n ) vektor yotqizilgan boʻlsin.

bu chiziq (yoki unga parallel). s vektori ham deyiladi to'g'ri yo'naltiruvchi vektor.

Bu shartlar kosmosdagi to'g'ri chiziqni o'ziga xos tarzda belgilaydi. Keling, uni topamiz

tenglama. Chiziqning ixtiyoriy M (x, y, z) nuqtasini oling. Vektorlar ekanligi aniq

M 0 M (x - x 0, y - y 0, z - z 0) va s kolineardir.

Demak, M 0 M = t s - to'g'ri chiziqning vektor tenglamasi.

Koordinata yozuvida oxirgi tenglama quyidagi parametrik tasvirga ega

ikkita to'g'ri chiziqdan hosil bo'lgan ikkita burchak, mos ravishda berilganga parallel va bitta nuqtadan o'tuvchi (bu to'g'ri chiziqlardan birining parallel tarjimasini talab qilishi mumkin).

Ta'rifdan kelib chiqadiki, burchaklardan biri orasidagi s burchakka teng

Chiziqlar s 1 s 2 l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0 ga perpendikulyar.

4. Chiziq va tekislik orasidagi burchak. Shartlar « » va « » to'g'ridan-to'g'ri va

samolyot

L chiziq uning kanonik tenglamasi x - l x 0 = y - m y 0 = z - n z 0 bo'lsin,

va P tekislik tenglama bo'yicha

Ax + By + Cz + D = 0.

Ta'rif. L chiziq orasidagi burchak

va p tekislik deyiladi o'tkir burchak L chizig'i va uning tekislikka proyeksiyasi o'rtasida.

Ta'rifdan (va rasmdan) kelib chiqadiki, kerakli burchak s qo'shimcha (yuqoriga qadar). to'g'ri burchak) normal vektor n (A , B ,C ) va orasidagi burchakka

yo'nalish vektori s (l , m , n ).

(. o'tkir burchakni olish uchun olinadi).

Agar L R bo'lsa, s n (s, n) = 0 bo'ladi

Endi topilgan "t" ni to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalariga almashtirsak, u holda biz kerakli kesishish nuqtasini topamiz.

Matematik analizning asosiy operatsiyalaridan biri kursda turli shakllarda yuzaga keladigan chegaraga o'tish operatsiyasi hisoblanadi. Biz sonlar ketma-ketligi deb ataladigan chegara tushunchasiga asoslanib, chegara operatsiyasiga o'tishning eng oddiy shakli bilan boshlaymiz. Bu chegara operatsiyasiga o'tishning yana bir juda muhim shaklini, funktsiyaning chegarasini joriy qilishni osonlashtiradi. Keyinchalik, differensial va integral hisoblarni qurishda chegaraga o'tishlarning konstruktsiyalari qo'llaniladi.



 Cheksiz kichik va cheksiz katta ketma-ketliklar

 Cheksiz katta va cheksiz kichik ketma-ketliklar orasidagi munosabat.

 Cheksiz kichik ketma-ketliklarning eng oddiy xossalari

 Ketma-ketlik chegarasi.

 Konvergent ketma-ketliklarning xossalari

 Konvergent ketma-ketliklar ustidagi arifmetik amallar

 Monotonik ketma-ketliklar

 Koshining yaqinlashuv mezoni

 E soni va uning iqtisodiy tasviri.

 Limitlarni iqtisodiy hisob-kitoblarda qo'llash

§ 1. Sonli ketma-ketliklar va oddiy xossalar

1. Raqamli ketma-ketlik tushunchasi. Ketma-ketliklar ustidagi arifmetik amallar

Raqamlar ketma-ketligi cheksiz sonlar to'plamidir. Misol ketma-ketliklari maktabdan ma'lum:

1) cheksiz arifmetik va geometrik progressiyaning barcha a'zolarining ketma-ketligi;

2) muntazam perimetrlar ketma-ketligi berilgan aylanaga yozilgan n-gonlar;

sonlar ketma-ketligi deb ataladi (yoki shunchaki ketma-ketlik).

Alohida x 3 , x 5 , x n sonlar (1) ketma-ketlikning elementlari yoki aʼzolari deb ataladi. X n belgisi bu ketma-ketlikning umumiy yoki n-a’zosi deyiladi. Umumiy x n terminida n = 1, 2, … qiymatini berib, mos ravishda birinchi x 1 , ikkinchi x 2 va hokazolarni olamiz. a'zolari.

Ketma-ketlik berilgan deb hisoblanadi (Qarang: Ta'rif). Ko'pincha ketma-ketlik ketma-ketlikning umumiy atamasi uchun formula bilan beriladi.

Belgilanishni qisqartirish uchun ketma-ketlik (1) ba'zan shunday yoziladi

Umumiy atamaning tuzilishi (uning formulasi) murakkab bo'lishi mumkin. Masalan,

Ba'zan ketma-ketlik deb atalmish tomonidan beriladi takrorlanuvchi formulalar, ya'ni. ma'lum oldingilaridan ketma-ketlikning keyingi a'zolarini topishga imkon beruvchi formulalar.

Misol (Fibonachchi raqamlari). x 1 = x 2 = 1 bo'lsin va n = 3, 4, … uchun x n = x n - 1 + x n - 2 takrorlanuvchi formulasi berilgan. Keyin bizda 1, 1 ketma-ketligi bor,

2, 3, 5, 8, ... (Fibonachchi laqabli Pizalik Leonardoning raqamlari). Geometrik jihatdan, raqamli ketma-ketlikni raqamli ketma-ketlikda tasvirlash mumkin

koordinatalari mos keladigan nuqtalar ketma-ketligi ko'rinishidagi o'q

ketma-ketlikning tegishli a'zolari. Masalan, ( x n ) = 1 n .

№ 8-9 ma'ruza Matematik analiz asoslari prof. Dymkov M.P. 66

Ketma-ketlik ( x n ) bilan birga boshqa ketma-ketlikni ( y n ) ko'rib chiqing: y 1 , y 2 , y ,n (2).

Ta'rif. Ketma-ketlikning yig'indisi (farq, mahsulot, qism).

qiymatlari ( xn ) va ( yn ) a'zolari bo'lgan ketma-ketlik (zn) deyiladi.

Ketma-ket (xn) va c R sonining mahsuloti ketma-ketlikdir (c xn).

Ta'rif. Ketma-ketlik ( xn ) chegaralangan deb ataladi

yuqoridan (pastdan), agar bu ketma-ketlikning har bir elementi xn tengsizni qanoatlantiradigan haqiqiy son M (m) bo'lsa.

xn ≤ M (xn ≥ m) . Agar ketma-ketlik m ≤ xn ≤ M dan yuqorida ham, pastda ham chegaralangan bo'lsa, chegaralangan deb ataladi. xn ketma-ketligi deyiladi

agar musbat A soni uchun (o'zboshimchalik bilan katta) cheklanmagan bo'lsa hech bo'lmaganda bor ketma-ketlikning bir elementi xn , qanoatlantiradi

bu xn > A tengsizlikni beradi.

( x n ) = ( 1n ) 0 ≤ x n ≤ 1.

( x n ) = ( n ) - pastdan 1 bilan chegaralangan, lekin chegaralanmagan.

( x n ) = ( - n ) - yuqoridan chegaralangan (-1), lekin chegaralanmagan.

Ta'rif. Ketma-ketlik ( x n ) deyiladi cheksiz kichik,

agar har qanday musbat haqiqiy son e uchun (qanchalik kichik bo‘lishidan qat’iy nazar) umumiy aytganda e ga bog‘liq bo‘lgan N soni mavjud bo‘lsa, (N = N (e )) shundayki, hamma n ≥ N uchun x n tengsizlik bo‘ladi.< ε .

Misol. ( x n ) = 1 n .

Ta'rif. Ketma-ketlik ( xn ) deyiladi cheksiz og'riq -

shoy agar A musbat haqiqiy son uchun (qanchalik katta bo'lishidan qat'iy nazar) N (N = N(A)) soni mavjud bo'lsa, barcha n ≥ N uchun

xn > A tengsizlik olinadi.

Samolyotlar orasidagi burchak

Tenglamalar bilan berilgan ikkita a 1 va a 2 tekisliklarni ko'rib chiqamiz:

ostida burchak ikki tekislik orasidagi bu tekisliklar hosil qilgan ikki burchakli burchaklardan birini nazarda tutamiz. Ko'rinib turibdiki, normal vektorlar bilan a 1 va a 2 tekisliklar orasidagi burchak ko'rsatilgan qo'shni ikki burchakli burchaklardan biriga teng yoki . Shunung uchun . Chunki va , keyin

.

Misol. Samolyotlar orasidagi burchakni aniqlang x+2y-3z+4=0 va 2 x+3y+z+8=0.

Ikki tekislikning parallellik sharti.

Ikki tekislik a 1 va a 2 parallel bo'ladi, agar ularning normal vektorlari parallel bo'lsa va shuning uchun. .

Shunday qilib, ikkita tekislik bir-biriga parallel bo'ladi, agar tegishli koordinatalardagi koeffitsientlar proportsional bo'lsa:

yoki

Tekisliklarning perpendikulyarligi sharti.

Ikki tekislik perpendikulyar bo'lishi aniq, agar ularning normal vektorlari perpendikulyar bo'lsa va shuning uchun, yoki .

Shunday qilib, .

Misollar.

To'g'ridan-to'g'ri kosmosda.

VEKTOR TENGLASHISHI TO'G'RI.

PARAMETRIK TENGLAMALAR TO'G'RI

To'g'ri chiziqning fazodagi o'rni uning har qanday qo'zg'almas nuqtasini ko'rsatish orqali to'liq aniqlanadi M 1 va bu chiziqqa parallel vektor.

To'g'ri chiziqqa parallel vektor deyiladi rahbarlik qilish bu chiziqning vektori.

Shunday qilib, to'g'ri bo'lsin l nuqtadan o'tadi M 1 (x 1 , y 1 , z 1) vektorga parallel to'g'ri chiziqda yotish.

Ixtiyoriy nuqtani ko'rib chiqing M(x,y,z) to'g'ri chiziqda. Buni rasmdan ko'rish mumkin .

Vektorlar va kollinear, shuning uchun bunday raqam mavjud t, nima , ko'paytuvchi qayerda t nuqtaning joylashuviga qarab har qanday raqamli qiymatni qabul qilishi mumkin M to'g'ri chiziqda. Faktor t parametr deyiladi. Nuqtalarning radius vektorlarini belgilash M 1 va M mos ravishda, va orqali, biz . Bu tenglama deyiladi vektor to'g'ri chiziq tenglamasi. Bu har bir parametr qiymatini ko'rsatadi t qaysidir nuqtaning radius vektoriga mos keladi M to'g'ri chiziqda yotish.

Bu tenglamani koordinata shaklida yozamiz. E'tibor bering, va bu yerdan

Olingan tenglamalar deyiladi parametrik to'g'ri chiziqli tenglamalar.

Parametrni o'zgartirganda t koordinatalari o'zgaradi x, y va z va nuqta M to'g'ri chiziqda harakat qiladi.

KANONIK TENGLAMALAR TO'g'ridan-to'g'ri

Mayli M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - to'g'ri chiziqda yotgan nuqta l, va uning yo'nalishi vektoridir. Shunga qaramay, to'g'ri chiziqda ixtiyoriy nuqtani oling M(x,y,z) va vektorni ko'rib chiqing.

Ko'rinib turibdiki, va vektorlar kollineardir, shuning uchun ularning tegishli koordinatalari proportsional bo'lishi kerak, shuning uchun

– kanonik to'g'ri chiziqli tenglamalar.

Izoh 1. E'tibor bering, chiziqning kanonik tenglamalari parametrni yo'q qilish orqali parametrik tenglamalardan olinishi mumkin. t. Haqiqatan ham, biz parametrik tenglamalardan olamiz yoki .

Misol. To'g'ri chiziq tenglamasini yozing parametrik usulda.

Belgilamoq , shuning uchun x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Izoh 2. Chiziq koordinata o'qlaridan biriga perpendikulyar bo'lsin, masalan, o'q ho'kiz. Keyin chiziqning yo'nalishi vektori perpendikulyar bo'ladi ho'kiz, Binobarin, m=0. Binobarin, to'g'ri chiziqning parametrik tenglamalari shaklni oladi

Parametrni tenglamalardan chiqarib tashlash t, shakldagi to'g'ri chiziq tenglamalarini olamiz

Biroq, bu holatda ham to'g'ri chiziqning kanonik tenglamalarini shaklda yozishga rozi bo'lamiz . Shunday qilib, agar kasrlardan birining maxraji nolga teng bo'lsa, bu chiziq mos keladigan koordinata o'qiga perpendikulyar ekanligini anglatadi.

Xuddi shunday, kanonik tenglamalar o'qlarga perpendikulyar to'g'ri chiziq mos keladi ho'kiz va Oy yoki parallel o'q Oz.

Misollar.

UMUMIY TENGLAMALAR TO'G'RISIYAT IKKI TASIZLIKNI KESIB KESISH CHIZIQ SIKIDA.

Kosmosdagi har bir to'g'ri chiziq orqali cheksiz sonli tekisliklar o'tadi. Ularning istalgan ikkitasi kesishib, uni kosmosda aniqlaydi. Demak, har qanday ikkita bunday tekislikning birgalikda ko'rib chiqiladigan tenglamalari bu chiziqning tenglamalari hisoblanadi.

Umuman olganda, umumiy tenglamalar bilan berilgan har qanday ikkita parallel bo'lmagan tekislik

ularning kesishish chizig'ini aniqlang. Bu tenglamalar deyiladi umumiy tenglamalar To'g'riga.

Misollar.

Tenglamalar bilan berilgan to‘g‘ri chiziqni tuzing

Chiziqni qurish uchun uning istalgan ikkita nuqtasini topish kifoya. Eng oson yo'li - chiziqning koordinata tekisliklari bilan kesishish nuqtalarini tanlash. Masalan, tekislik bilan kesishish nuqtasi xOy faraz qilib, to'g'ri chiziq tenglamalaridan olamiz z= 0:

Ushbu tizimni hal qilib, biz nuqta topamiz M 1 (1;2;0).

Xuddi shunday, taxmin qilish y= 0, biz chiziqning tekislik bilan kesishish nuqtasini olamiz xOz:

To'g'ri chiziqning umumiy tenglamalaridan uning kanonik yoki parametrik tenglamalariga o'tish mumkin. Buning uchun siz biron bir nuqtani topishingiz kerak M Chiziqda 1 va chiziqning yo'nalishi vektori.

Nuqta koordinatalari M 1 koordinatalardan biriga ixtiyoriy qiymat berib, ushbu tenglamalar tizimidan olamiz. Yo'nalish vektorini topish uchun bu vektor ikkala normal vektorga perpendikulyar bo'lishi kerakligini unutmang va . Shuning uchun, to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori uchun l olishingiz mumkin vektor mahsuloti Oddiy vektorlar:

.

Misol. Qo'rg'oshin umumiy tenglamalar To'g'riga kanonik shaklga.

To'g'ri chiziqdagi nuqtani toping. Buning uchun biz o'zboshimchalik bilan koordinatalardan birini tanlaymiz, masalan, y= 0 va tenglamalar tizimini yeching:

Chiziqni aniqlaydigan tekisliklarning normal vektorlari koordinatalarga ega Shuning uchun yo'nalish vektori to'g'ri bo'ladi

. Binobarin, l: .

HUQUQLAR ORASIDAGI BURChAK

burchak fazodagi to'g'ri chiziqlar orasidagi ma'lumotlarga parallel ravishda ixtiyoriy nuqta orqali o'tkazilgan ikkita to'g'ri chiziqdan hosil bo'lgan qo'shni burchaklarning har qandayini chaqiramiz.

Fazoda ikkita to'g'ri chiziq berilgan bo'lsin:

Shubhasiz, chiziqlar orasidagi burchak ph ni ularning yo'nalish vektorlari va orasidagi burchak sifatida olish mumkin. dan beri, keyin vektorlar orasidagi burchakning kosinus formulasiga ko'ra, biz olamiz