Chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechish chiziqli algebraning asosiy masalalaridan biridir. Bu vazifa ilmiy-texnikaviy masalalarni yechishda katta amaliy ahamiyatga ega bo‘lib, bundan tashqari, hisoblash matematikasi, matematik fizikaning ko‘plab algoritmlarini amalga oshirishda, eksperimental tadqiqotlar natijalarini qayta ishlashda yordamchi hisoblanadi.

Chiziqli algebraik tenglamalar tizimi shakldagi tenglamalar sistemasi deyiladi: (1)

qayerda – noma'lum; - bepul a'zolar.

Tenglamalar sistemasini yechish(1) tizimda (1) noma'lum o'rniga joylashtirilgan har qanday raqamlar to'plamini nomlang sistemaning barcha tenglamalarini haqiqiy sonli tengliklarga aylantiradi.

Tenglamalar sistemasi deyiladi qo'shma agar u kamida bitta yechimga ega bo'lsa va mos kelmaydigan agar uning yechimlari bo'lmasa.

Qo'shma tenglamalar tizimi deyiladi aniq agar u bitta yechimga ega bo'lsa va noaniq agar u kamida ikkita alohida yechimga ega bo'lsa.

Ikki tenglamalar tizimi deyiladi ekvivalent yoki ekvivalent agar ular bir xil echimlarga ega bo'lsa.

Tizim (1) chaqiriladi bir hil agar bepul shartlar nolga teng bo'lsa:

Bir hil tizim har doim izchil - uning yechimi bor (ehtimol, yagona emas).

Agar tizimda (1) bo'lsa, bizda tizim mavjud n chiziqli tenglamalar Bilan n noma'lum: qayerda – noma'lum; noma'lumlar uchun koeffitsientlar, - bepul a'zolar.

Chiziqli tizim yagona yechimga, cheksiz koʻp yechimga ega boʻlishi yoki hech biri boʻlmasligi mumkin.

Ikki noma'lumli ikkita chiziqli tenglamalar tizimini ko'rib chiqaylik

Agar tizim o'ziga xos echimga ega bo'lsa;

agar tizimda hech qanday yechim bo'lmasa;

agar u holda tizim cheksiz miqdordagi echimlarga ega bo'lsa.

Misol. Tizimda bir juft raqamlar uchun yagona yechim mavjud

Tizim cheksiz ko'p echimlarga ega. Masalan, bu sistemaning yechimlari sonlar juftligi va hokazo.

Tizimda hech qanday yechim yo'q, chunki ikki raqamning farqi ikki xil qiymatni qabul qila olmaydi.

Ta'rif. Ikkinchi tartibli determinant kabi ifoda deb ataladi:

Determinantni D belgisi bilan belgilang.

Raqamlar a 11, …, a 22 determinant elementlar deb ataladi.

Elementlar tomonidan yaratilgan diagonal a 11 ; a 22 qo'ng'iroq asosiy, elementlar tomonidan hosil qilingan diagonal a 12 ; a 21 − tomoni.

Shunday qilib, ikkinchi tartibli determinant asosiy va ikkilamchi diagonallar elementlarining ko'paytmalari orasidagi farqga teng.

Javob raqam ekanligini unutmang.

Misol. Determinantlarni hisoblaymiz:

Ikkita noma'lumli ikkita chiziqli tenglamalar tizimini ko'rib chiqing: qaerda X 1, X 2 – noma'lum; a 11 , …, a 22 - noma'lumlar uchun koeffitsientlar, b 1 ,b 2 - bepul a'zolar.


Ikki noma’lumli ikkita tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega bo‘lsa, uni ikkinchi tartibli determinantlar yordamida topish mumkin.

Ta'rif. Noma'lumlar koeffitsientlaridan tashkil topgan determinant deyiladi tizim kvalifikatsiyasi: D=.

D determinantning ustunlari mos ravishda koeffitsientlardir X 1 va da , X 2. Keling, ikkitasini tanishtiramiz qo'shimcha determinantlar, ustunlardan birini erkin a'zolar ustuni bilan almashtirish orqali sistemaning determinantidan olinadi: D 1 = D 2 =.

14-teorema(Kramer, n=2 holat uchun). Agar tizimning D determinanti noldan (D¹0) farq qilsa, u holda tizim formulalar bilan topiladigan yagona yechimga ega:

Bu formulalar deyiladi Kramer formulalari.

Misol. Biz tizimni Kramer qoidasiga ko'ra hal qilamiz:

Yechim. Keling, raqamlarni topamiz

Javob.

Ta'rif. Uchinchi tartibli determinant kabi ifoda deb ataladi:

Elementlar a 11; a 22 ; a 33 - asosiy diagonalni tashkil qiladi.

Raqamlar a 13; a 22 ; a 31 - yon diagonal hosil qiling.

Plyusli yozuv quyidagilarni o'z ichiga oladi: asosiy diagonaldagi elementlarning mahsuloti, qolgan ikkita shart asosiy diagonalga parallel bo'lgan uchburchaklar cho'qqilarida joylashgan elementlarning mahsulotidir. Minusli atamalar ikkilamchi diagonalga nisbatan xuddi shunday shakllanadi.

Misol. Determinantlarni hisoblaymiz:

Uchta noma'lumli uchta chiziqli tenglamalar tizimini ko'rib chiqing: qaerda – noma'lum; noma'lumlar uchun koeffitsientlar, - bepul a'zolar.

Yagona yechim bo'lsa, uchta noma'lumli 3 ta chiziqli tenglamalar tizimini 3-tartibli determinantlar yordamida yechish mumkin.

D tizimining determinanti quyidagi ko'rinishga ega:

Biz uchta qo'shimcha determinantni kiritamiz:

15-teorema(Kramer, n=3 holat uchun). Agar tizimning D determinanti nolga teng bo'lmasa, u holda tizim Kramer formulalari yordamida topiladigan yagona yechimga ega:

Misol. Tizimni Kramer qoidasidan foydalanib yechamiz.

Yechim. Keling, raqamlarni topamiz

Keling, Kramer formulalaridan foydalanamiz va dastlabki tizimning yechimini topamiz:

Javob.

E'tibor bering, Kramer teoremasi tenglamalar soni noma'lumlar soniga teng bo'lganda va D sistemaning determinanti noldan farq qilganda qo'llaniladi.

Agar sistemaning determinanti nolga teng bo'lsa, bu holda sistemaning yechimlari bo'lmasligi yoki cheksiz ko'p yechimlarga ega bo'lishi mumkin. Bu holatlar alohida o‘rganilmoqda.

Biz faqat bitta holatga e'tibor qaratamiz. Agar sistemaning determinanti nolga teng bo'lsa (D=0) va qo'shimcha determinantlardan hech bo'lmaganda bittasi noldan farq qilsa, u holda sistemaning yechimlari yo'q, ya'ni u mos kelmaydigan hisoblanadi.

Kramer teoremasini tizimga umumlashtirish mumkin n bilan chiziqli tenglamalar n noma'lum: qayerda – noma'lum; noma'lumlar uchun koeffitsientlar, - bepul a'zolar.

Agar noma'lum chiziqli tenglamalar tizimining determinanti bo'lsa, u holda tizimning yagona yechimi Kramer formulalari yordamida topiladi:

Agar noma'lum uchun koeffitsientlar ustunini o'z ichiga olgan bo'lsa, D aniqlovchidan qo'shimcha aniqlovchi olinadi x i bepul a'zolar ustuni bilan almashtiring.

E'tibor bering, D, D 1, …, D determinantlari n tartib bor n.

Chiziqli tenglamalar tizimini yechishning Gauss usuli

Chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechishning eng keng tarqalgan usullaridan biri noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilish usulidir. -Gauss usuli. Bu usul almashtirish usulining umumlashmasi bo'lib, bitta noma'lum tenglama qolguncha noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilishdan iborat.

Usul chiziqli tenglamalar tizimining ba'zi o'zgarishlariga asoslanadi, buning natijasida dastlabki tizimga ekvivalent bo'lgan tizim olinadi. Usulning algoritmi ikki bosqichdan iborat.

Birinchi bosqich deyiladi to'g'ri chiziqda Gauss usuli. Bu tenglamalardan noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilishdan iborat. Buning uchun birinchi bosqichda tizimning birinchi tenglamasi ga bo'linadi (aks holda tizim tenglamalari almashtiriladi). Olingan qisqartirilgan tenglamaning koeffitsientlari belgilanadi, koeffitsientga ko'paytiriladi va tizimning ikkinchi tenglamasidan chiqariladi va shu bilan ikkinchi tenglamadan chiqariladi (koeffitsientni nolga tenglashtirish ).

Qolgan tenglamalar xuddi shunday ko'rib chiqiladi va yangi tizim olinadi, uning barcha tenglamalarida ikkinchisidan boshlab, at koeffitsientlari faqat nollarni o'z ichiga oladi. Shubhasiz, natijada yangi tizim, dastlabki tizimga teng bo'ladi.

Agar yangi koeffitsientlar, da , hammasi nolga teng bo'lmasa, biz ularni uchinchi va keyingi tenglamalardan xuddi shu tarzda chiqarib tashlashimiz mumkin. Ushbu operatsiyani quyidagi noma'lumlar uchun davom ettirib, tizim uchburchak deb ataladigan shaklga keltiriladi:

Bu erda belgilar va raqamli koeffitsientlar va transformatsiyalar natijasida o'zgargan erkin atamalarni bildiradi.

Tizimning oxirgi tenglamasidan yagona yo'l ni aniqlang, keyin esa ketma-ket almashtirish orqali - qolgan noma'lumlarni.

Izoh. Ba'zan o'zgartirishlar natijasida har qanday tenglamada barcha koeffitsientlar va o'ng tomoni nolga aylanadi, ya'ni tenglama 0=0 bir xillikka aylanadi. Bunday tenglamani tizimdan chiqarib tashlash orqali noma'lumlar soniga nisbatan tenglamalar soni kamayadi. Bunday tizim yagona yechimga ega bo'lishi mumkin emas.

Agar Gauss usulini qo'llash jarayonida har qanday tenglama 0=1 ko'rinishdagi tenglikka aylansa (noma'lumlar uchun koeffitsientlar 0 ga aylanadi, o'ng tomoni esa nolga teng bo'lmagan qiymatni oladi), u holda dastlabki tizim hech qanday qiymatga ega emas. yechim, chunki bunday tenglik noma'lum qiymatlar uchun noto'g'ri.

Uchta noma'lumli uchta chiziqli tenglamalar tizimini ko'rib chiqing:

qayerda – noma'lum; noma'lumlar uchun koeffitsientlar, - bepul a'zolar. , topilgan o'rniga

Yechim. Ushbu tizimga Gauss usulini qo'llash orqali biz olamiz

Noma'lumlarning har qanday qiymatlari uchun oxirgi tenglik noto'g'ri, shuning uchun tizimda yechim yo'q.

Javob. Tizimda hech qanday yechim yo'q.

E'tibor bering, avval ko'rib chiqilgan Kramer usuli faqat tenglamalar soni noma'lumlar soniga to'g'ri keladigan va tizimning determinanti noldan farqli bo'lishi kerak bo'lgan tizimlarni echish uchun ishlatilishi mumkin. Gauss usuli ko'proq universaldir va har qanday tenglamalar soniga ega tizimlar uchun mos keladi.

matritsa shakli

Chiziqli tenglamalar tizimini matritsa shaklida quyidagicha ifodalash mumkin:

yoki matritsalarni ko'paytirish qoidasiga ko'ra,

AX = B.

Agar A matritsaga erkin shartlar ustuni qo'shilsa, u holda A kengaytirilgan matritsa deyiladi.

Yechim usullari

To'g'ridan-to'g'ri (yoki aniq) usullar ma'lum bir qator bosqichlarda yechim topishga imkon beradi. Iterativ usullar iterativ jarayondan foydalanishga asoslanadi va ketma-ket yaqinlashishlar natijasida yechim olish imkonini beradi.

To'g'ridan-to'g'ri usullar

  • Supurish usuli (uch diagonal matritsalar uchun)
  • Xoleskiyning parchalanishi yoki usuli kvadrat ildizlar(musbat-aniq simmetrik va germit matritsalari uchun)

Iterativ usullar

VBAda chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechish

Option Explicit Sub rewenie() Dim i As Integer Dim j As Integer Dim r() As Double Dim p As Double Dim x() As Double Dim k As Integer Dim n As Integer Dim b() Double Dim fayl sifatida Integer Dim y () Double fayl sifatida = FreeFile "C:\data.txt" ni ochish Fayl sifatida kiritish uchun #fayl kiriting, n ReDim x(0 dan n * n - 1 ) Double ReDim sifatida y(0 dan n - 1 ) Double ReDim sifatida r(0 To n - 1 ) As Double For i = 0 To n - 1 For j = 0 To n - 1 Kirish #fayl, x(i * n + j) Keyingi j Kirish #fayl, y(i) Keyingi i Yopish #fayl i = 0 uchun n - 1 p = x(i * n + i) j = 1 uchun n - 1 x(i * n + j) = x(i * n + j) / p Keyingi j y (i) = y(i) / p j = i + 1 uchun n - 1 p = x(j * n + i) uchun k = i uchun n - 1 x(j * n + k) = x(j) * n + k) - x(i * n + k) * p Keyingi k y(j) = y(j) - y(i) * p Keyingi j Keyingi i "Yuqori uchburchak matritsa i = n uchun - 1 dan 0 gacha qadam -1 p = y(i) j = i + 1 uchun n - 1 p = p - x(i * n + j) * r(j) Keyingi j r(i) = p / x(i * n + i) Keyingi i " Backtrack For i = 0 To n - 1 MsgBox r(i) Keyingi i "end sub

Shuningdek qarang

Havolalar

Eslatmalar


Wikimedia fondi. 2010 yil.

Boshqa lug'atlarda "SLAU" nima ekanligini ko'ring:

    SLAU- chiziqli algebraik tenglamalar tizimi ... Qisqartmalar va qisqartmalar lug'ati

    Bu atamaning boshqa maʼnolari ham bor, qarang: Slough (maʼnolari). Slough Englning shahar va unitar birligi. Slough Country ... Vikipediya

    - (Slough) Buyuk Britaniyadagi shahar, Buyuk Londonni o'rab turgan sanoat kamarining bir qismi temir yo'l London Bristol. 101,8 ming nafar aholi (1974). Mashinasozlik, elektrotexnika, elektron, avtomobilsozlik va kimyo ... ... Buyuk Sovet Entsiklopediyasi

    Slough- (Slough) Slough, janubdagi Berkshirdagi sanoat va tijorat shahri. Angliya, Londondan g'arbiy; 97400 nafar aholi (1981); yengil sanoat jahon urushlari orasidagi davrda rivojlana boshladi ... Dunyo mamlakatlari. Lug'at

    Slough: Slough — Angliyadagi shahar, Berkshir grafligidagi SLAU Chiziqli algebraik tenglamalar tizimi ... Vikipediya

    Röslau Röslau kommunasi Gerb ... Vikipediya

    Bad Vöslau shahri Bad Vöslau Gerb ... Vikipediya

    SLAE ni hal qilish uchun proyeksiya usullari iterativ usullar sinfi bo'lib, unda noma'lum vektorni ma'lum bir fazoga proyeksiyalash muammosi boshqa fazoga nisbatan optimal tarzda hal qilinadi. Mundarija 1 Muammo bayoni ... Vikipediya

    Bad Vöslau shahri Bad Vöslau Mamlakat AvstriyaAvstriya ... Vikipediya

    Yechimlarning asosiy tizimi (FSR) bir hil tenglamalar tizimining chiziqli mustaqil echimlari to'plamidir. Mundarija 1 Gomogen tizimlar 1.1 2-misol Geterogen tizimlar ... Vikipediya

Kitoblar

  • MatLab (+CD) yordamida tasvirni qayta tiklash, spektroskopiya va tomografiyaning bevosita va teskari muammolari, Sizikov Valeriy Sergeevich. Kitobda qurilmaning qo'llanilishi tasvirlangan integral tenglamalar(SI), chiziqli algebraik tenglamalar tizimlari (SLAE) va chiziqli-chiziqli bo'lmagan tenglamalar tizimlari (SLNU), shuningdek dasturiy vositalar ...
1-misol. Tizimning umumiy yechimini va ayrim maxsus yechimini toping

Yechim buni kalkulyator bilan bajaring. Biz kengaytirilgan va asosiy matritsalarni yozamiz:

Asosiy A matritsa nuqtali chiziq bilan ajratilgan.Yuqoridan sistema tenglamalaridagi atamalarning mumkin boʻlgan oʻrin almashtirishlarini hisobga olib, nomaʼlum sistemalarni yozamiz. Kengaytirilgan matritsaning darajasini aniqlab, biz bir vaqtning o'zida asosiyning darajasini topamiz. B matritsasida birinchi va ikkinchi ustunlar proportsionaldir. Ikki proportsional ustundan faqat bittasi asosiy minorga tushishi mumkin, shuning uchun keling, masalan, birinchi ustunni qarama-qarshi belgili kesilgan chiziqdan tashqariga o'tkazamiz. Tizim uchun bu atamalarni x 1 dan tenglamalarning o'ng tomoniga o'tkazishni anglatadi.

Matritsani uchburchak shaklga keltiramiz. Biz faqat qatorlar bilan ishlaymiz, chunki matritsa qatorini noldan boshqa raqamga ko'paytirish va tizim uchun boshqa qatorga qo'shish tenglamani bir xil raqamga ko'paytirishni va uni boshqa tenglamaga qo'shishni anglatadi, bu tizimning echimini o'zgartirmaydi. . Birinchi qator bilan ishlash: matritsaning birinchi qatorini (-3) ga ko'paytiring va ikkinchi va uchinchi qatorlarga navbat bilan qo'shing. Keyin birinchi qatorni (-2) ga ko'paytiramiz va to'rtinchi qatorga qo'shamiz.

Ikkinchi va uchinchi qatorlar proportsionaldir, shuning uchun ulardan birini, masalan, ikkinchisini kesib tashlash mumkin. Bu tizimning ikkinchi tenglamasini o'chirishga teng, chunki bu uchinchi tenglamaning natijasidir.

Endi biz ikkinchi qator bilan ishlaymiz: uni (-1) ga ko'paytiramiz va uchinchisiga qo'shamiz.

Nuqta chiziq bilan aylanib o'tgan minor bor eng yuqori tartib(mumkin bo'lgan minorlardan) va noldan farq qiladi (u asosiy diagonaldagi elementlarning mahsulotiga teng) va bu minor ham asosiy matritsaga, ham kengaytirilganga tegishli, shuning uchun rangA = rangB = 3 .
Kichik asosiy hisoblanadi. U noma'lum x 2, x 3, x 4 koeffitsientlarini o'z ichiga oladi, ya'ni noma'lum x 2, x 3, x 4 bog'liq, x 1, x 5 esa bepul.
Biz matritsani o'zgartiramiz, chapda faqat asosiy minorni qoldiramiz (bu yuqoridagi yechim algoritmining 4-bandiga to'g'ri keladi).

Ushbu matritsaning koeffitsientlari bo'lgan tizim asl tizimga teng va shaklga ega

Noma'lumlarni yo'q qilish usuli bilan biz quyidagilarni topamiz:
x 4 =3-4x 5 , x 3 =3-4x 5 -2x 4 =3-4x 5 -6+8x 5 =-3+4x 5
x 2 =x 3 +2x 4 -2+2x 1 +3x 5 = -3+4x 5 +6-8x 5 -2+2x 1 +3x 5 = 1+2x 1 -x 5
Biz x 2, x 3, x 4 bog'liq o'zgaruvchilarni erkin x 1 va x 5 orqali ifodalovchi munosabatlarga ega bo'ldik, ya'ni umumiy yechim topdik:

Erkin noma'lumlarga o'zboshimchalik bilan qiymatlar berib, biz har qanday miqdordagi aniq echimlarni olamiz. Keling, ikkita maxsus yechim topamiz:
1) x 1 = x 5 = 0, keyin x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3 bo'lsin;
2) x 1 = 1, x 5 = -1, keyin x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7 qo'ying.
Shunday qilib, biz ikkita yechim topdik: (0,1, -3,3,0) - bitta yechim, (1,4, -7,7, -1) - boshqa yechim.

2-misol. Muvofiqlikni o'rganing, tizimning umumiy va alohida yechimini toping

Yechim. Birinchi va ikkinchi tenglamalarni birinchi tenglamada birlik bo'lishi uchun qayta o'rnatamiz va B matritsasini yozamiz.

Biz birinchi qatorda ishlaydigan to'rtinchi ustunda nollarni olamiz:

Endi ikkinchi qatordan foydalanib uchinchi ustundagi nollarni oling:

Uchinchi va to'rtinchi qatorlar proportsionaldir, shuning uchun ulardan birini darajani o'zgartirmasdan kesib tashlash mumkin:
Uchinchi qatorni (-2) ga ko'paytiring va to'rtinchi qatorga qo'shing:

Ko'ramizki, asosiy va kengaytirilgan matritsalarning darajalari 4 ga teng va daraja noma'lumlar soniga to'g'ri keladi, shuning uchun tizim o'ziga xos echimga ega:
-x 1 \u003d -3 → x 1 \u003d 3; x 2 \u003d 3-x 1 → x 2 \u003d 0; x 3 \u003d 1-2x 1 → x 3 \u003d 5.
x 4 \u003d 10- 3x 1 - 3x 2 - 2x 3 \u003d 11.

3-misol. Tizimning mosligini tekshiring va agar mavjud bo'lsa, yechim toping.

Yechim. Biz tizimning kengaytirilgan matritsasini tuzamiz.

Birinchi ikkita tenglamani yuqori chap burchakda 1 bo'ladigan tarzda o'zgartiring:
Birinchi qatorni (-1) ga ko'paytirib, uchinchi qatorga qo'shamiz:

Ikkinchi qatorni (-2) ga ko'paytiring va uchinchisiga qo'shing:

Tizim nomuvofiqdir, chunki asosiy matritsa nollardan tashkil topgan qatorni oldi, daraja topilganda uni kesib tashlanadi va oxirgi qator kengaytirilgan matritsada qoladi, ya'ni r B > r A .

Mashq qilish. Tadqiqot bu tizim moslik tenglamalari va uni matritsa hisobi yordamida yechish.
Yechim

Misol. Chiziqli tenglamalar tizimining mosligini isbotlang va uni ikki usulda yeching: 1) Gauss usuli bilan; 2) Kramer usuli. (javobni x1,x2,x3 shaklida kiriting)
Yechim :doc :doc :xls
Javob: 2,-1,3.

Misol. Chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan. Uning mosligini isbotlang. Tizimning umumiy yechimini va bitta alohida yechimini toping.
Yechim
Javob: x 3 \u003d - 1 + x 4 + x 5; x 2 \u003d 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

Mashq qilish. Har bir tizim uchun umumiy va maxsus echimlarni toping.
Yechim. Biz bu tizimni Kroneker-Kapelli teoremasi yordamida o'rganamiz.
Biz kengaytirilgan va asosiy matritsalarni yozamiz:

1 1 14 0 2 0
3 4 2 3 0 1
2 3 -3 3 -2 1
x 1x2x 3x4x5

Bu erda A matritsa qalin harf bilan yozilgan.
Matritsani uchburchak shaklga keltiramiz. Biz faqat qatorlar bilan ishlaymiz, chunki matritsa qatorini noldan boshqa raqamga ko'paytirish va tizim uchun boshqa qatorga qo'shish tenglamani bir xil raqamga ko'paytirishni va uni boshqa tenglamaga qo'shishni anglatadi, bu tizimning echimini o'zgartirmaydi. .
1-qatorni (3) ga ko'paytiring. 2-qatorni (-1) ga ko'paytiring. 1-chi qatorga 2-qatorni qo'shamiz:
0 -1 40 -3 6 -1
3 4 2 3 0 1
2 3 -3 3 -2 1

2-qatorni (2) ga ko'paytiring. 3-qatorni (-3) ga ko'paytiring. 2-qatorga 3-qatorni qo'shamiz:
0 -1 40 -3 6 -1
0 -1 13 -3 6 -1
2 3 -3 3 -2 1

2-qatorni (-1) ga ko'paytiring. 1-chi qatorga 2-qatorni qo'shamiz:
0 0 27 0 0 0
0 -1 13 -3 6 -1
2 3 -3 3 -2 1

Tanlangan minor eng yuqori tartibga ega (mumkin bo'lgan kichiklar orasida) va noldan farq qiladi (u o'zaro diagonaldagi elementlarning mahsulotiga teng) va bu minor ham asosiy, ham kengaytirilgan matritsaga tegishli, shuning uchun rang( A) = rang(B) = 3 Bosh matritsaning darajasidan boshlab darajaga teng keyin uzaytirildi tizim hamkorlikda ishlaydi.
Bu kichik asosiy hisoblanadi. U noma'lum x 1, x 2, x 3 koeffitsientlarini o'z ichiga oladi, ya'ni noma'lum x 1, x 2, x 3 bog'liq (asosiy), x 4, x 5 esa erkindir.
Biz matritsani o'zgartiramiz, chap tomonda faqat asosiy minorni qoldiramiz.
0 0 27 0 0 0
0 -1 13 -1 3 -6
2 3 -3 1 -3 2
x 1x2x 3 x4x5
Ushbu matritsaning koeffitsientlari bo'lgan tizim asl tizimga teng va quyidagi shaklga ega:
27x3=
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Noma'lumlarni yo'q qilish usuli bilan biz quyidagilarni topamiz:
Biz x 1, x 2, x 3 bog'liq o'zgaruvchilarni erkin x 4, x 5 orqali ifodalovchi munosabatlarga ega bo'ldik, ya'ni topdik. umumiy qaror:
x 3 = 0
x2 = 1 - 3x4 + 6x5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
noaniq, chunki bir nechta yechimga ega.

Mashq qilish. Tenglamalar sistemasini yeching.
Javob:x 2 = 2 - 1,67x 3 + 0,67x 4
x 1 = 5 - 3,67x 3 + 0,67x 4
Erkin noma'lumlarga o'zboshimchalik bilan qiymatlar berib, biz har qanday miqdordagi aniq echimlarni olamiz. Tizim shunday noaniq

Hatto maktabda ham har birimiz tenglamalarni va, albatta, tenglamalar tizimini o'rganganmiz. Ammo ularni hal qilishning bir necha yo'li borligini ko'pchilik bilmaydi. Bugun biz ikkitadan ortiq tenglikdan iborat chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechishning barcha usullarini batafsil tahlil qilamiz.

Hikoya

Hozirgi kunda ma'lumki, tenglamalar va ularning sistemalarini yechish san'ati qadimgi Bobil va Misrda paydo bo'lgan. Biroq, odatdagi ko'rinishdagi tengliklar 1556 yilda ingliz matematigi Rekord tomonidan kiritilgan "=" teng belgisi paydo bo'lgandan keyin paydo bo'ldi. Aytgancha, bu belgi bir sababga ko'ra tanlangan: bu ikkita parallel teng segmentni bildiradi. Va haqiqat eng yaxshi misol tenglikni tasavvur qilib bo‘lmaydi.

Noma'lum va daraja belgilarining zamonaviy harf belgilarining asoschisi frantsuz matematigi bo'lsada, uning belgilari bugungi kundagidan sezilarli darajada farq qiladi. Masalan, kvadrat noma'lum sana u Q harfini (lat. "quadratus") va kubni - C harfini (lat. "cubus") belgilagan. Bu belgilar hozir noqulay ko'rinadi, lekin o'sha paytda bu chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yozishning eng tushunarli usuli edi.

Biroq, o'sha paytdagi hal qilish usullarining kamchiliklari matematiklarning faqat ijobiy ildizlarni hisobga olishlari edi. Ehtimol, bu salbiy qadriyatlarning amaliy qo'llanilishi yo'qligi bilan bog'liq. Qanday bo'lmasin, 16-asrda salbiy ildizlarni birinchi bo'lib ko'rib chiqqan italiyalik matematiklar Nikolo Tartalya, Gerolamo Kardano va Rafael Bombelli edi. LEKIN zamonaviy ko'rinish, asosiy yechim usuli (diskriminant orqali) faqat 17-asrda Dekart va Nyutonning ishi tufayli yaratilgan.

18-asr oʻrtalarida Shveytsariya matematigi Gabriel Kramer chiziqli tenglamalar tizimini yechishning yangi usulini topdi. Bu usul keyinchalik uning nomi bilan atalgan va biz hozirgacha undan foydalanamiz. Ammo biz Kramer usuli haqida biroz keyinroq gaplashamiz, ammo hozircha chiziqli tenglamalar va ularni tizimdan alohida yechish usullari haqida gaplashamiz.

Chiziqli tenglamalar

Chiziqli tenglamalar o'zgaruvchi(lar) bilan eng oddiy tenglamalardir. Ular algebraik deb tasniflanadi. ichiga yozib qo'ying umumiy ko'rinish shunday: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n \u003d b. Keyinchalik tizimlar va matritsalarni kompilyatsiya qilishda bizga ularning ushbu shaklda taqdim etilishi kerak bo'ladi.

Chiziqli algebraik tenglamalar sistemalari

Ushbu atamaning ta'rifi quyidagicha: bu umumiy bo'lgan tenglamalar to'plami noma'lum miqdorlar va umumiy yechim. Qoida tariqasida, maktabda hamma narsa ikki yoki hatto uchta tenglamali tizimlar tomonidan hal qilindi. Ammo to'rt yoki undan ortiq komponentli tizimlar mavjud. Keling, ularni keyinroq hal qilish uchun qulay bo'lishi uchun ularni qanday yozishni aniqlaylik. Birinchidan, agar barcha o'zgaruvchilar tegishli indeks bilan x shaklida yozilsa, chiziqli algebraik tenglamalar tizimlari yaxshiroq ko'rinadi: 1,2,3 va hokazo. Ikkinchidan, barcha tenglamalarni kanonik shaklga keltirish kerak: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n =b.

Ushbu harakatlardan so'ng, chiziqli tenglamalar tizimlarining echimini qanday topish haqida gapirishni boshlashimiz mumkin. Buning uchun matritsalar juda foydali.

matritsalar

Matritsa - bu qatorlar va ustunlardan tashkil topgan jadval va ularning kesishmasida uning elementlari joylashgan. Bu aniq qiymatlar yoki o'zgaruvchilar bo'lishi mumkin. Ko'pincha elementlarni belgilash uchun ularning ostiga pastki yozuvlar qo'yiladi (masalan, 11 yoki 23). Birinchi indeks satr raqamini, ikkinchisi esa ustun raqamini bildiradi. Matritsalarda, shuningdek, har qanday boshqa matematik elementda siz turli xil operatsiyalarni bajarishingiz mumkin. Shunday qilib, siz:

2) Matritsani qandaydir son yoki vektorga ko'paytirish.

3) Transpozitsiya: matritsa satrlarini ustunlarga, ustunlarni qatorlarga aylantirish.

4) Agar matritsalardan birining satrlari soni ikkinchisining ustunlari soniga teng bo'lsa, ularni ko'paytiring.

Biz ushbu texnikaning barchasini batafsilroq muhokama qilamiz, chunki ular kelajakda biz uchun foydali bo'ladi. Matritsalarni ayirish va qo'shish juda oson. Biz bir xil o'lchamdagi matritsalarni olganimiz sababli, bitta jadvalning har bir elementi boshqasining har bir elementiga mos keladi. Shunday qilib, biz bu ikki elementni qo'shamiz (ayitamiz) (ularning matritsalarida bir xil joylarda bo'lishi muhim). Matritsani raqam yoki vektorga ko'paytirishda matritsaning har bir elementini shu raqamga (yoki vektorga) ko'paytirish kifoya. Transpozitsiya juda qiziqarli jarayon. Ba'zida uni ko'rish juda qiziq haqiqiy hayot, masalan, planshetingiz yoki telefoningiz yo'nalishini o'zgartirganda. Ish stolidagi piktogrammalar matritsa bo'lib, o'rnini o'zgartirganda, u ko'chiriladi va kengayadi, lekin balandligi pasayadi.

Keling, bunday jarayonni tahlil qilaylik, garchi bu biz uchun foydali bo'lmasa ham, uni bilish foydali bo'ladi. Agar bitta jadvaldagi ustunlar soni boshqasidagi satrlar soniga teng bo'lsa, ikkita matritsani ko'paytirishingiz mumkin. Endi bir matritsa qatori elementlarini va boshqa matritsaning mos ustunining elementlarini olaylik. Biz ularni bir-biriga ko'paytiramiz va keyin qo'shamiz (ya'ni, masalan, a 11 va a 12 elementlarining b 12 va b 22 ga mahsuloti teng bo'ladi: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Shunday qilib, jadvalning bitta elementi olinadi va u shunga o'xshash usul bilan to'ldiriladi.

Endi chiziqli tenglamalar sistemasi qanday yechilishini ko'rib chiqishni boshlashimiz mumkin.

Gauss usuli

Bu mavzu maktabda boshlanadi. Biz “ikki chiziqli tenglamalar tizimi” tushunchasini yaxshi bilamiz va ularni yechish usullarini bilamiz. Ammo tenglamalar soni ikkitadan ko'p bo'lsa-chi? Bu bizga yordam beradi

Albatta, agar siz tizimdan matritsa yasasangiz, bu usuldan foydalanish qulay. Ammo siz uni o'zgartira olmaysiz va uni sof shaklda hal qila olmaysiz.

Xo'sh, chiziqli Gauss tenglamalari tizimi bu usul bilan qanday echiladi? Aytgancha, bu usul uning nomi bilan atalgan bo'lsa-da, u qadimgi davrlarda kashf etilgan. Gauss quyidagilarni taklif qiladi: oxir-oqibat butun to'plamni bosqichli shaklga qisqartirish uchun tenglamalar bilan amallarni bajarish. Ya'ni, yuqoridan pastgacha (to'g'ri joylashtirilgan bo'lsa) birinchi tenglamadan oxirgisigacha bitta noma'lum kamayishi kerak. Boshqacha qilib aytganda, biz uchta tenglamani olishimizga ishonch hosil qilishimiz kerak: birinchisida - uchta noma'lum, ikkinchisida - ikkita, uchinchisida - bitta. Keyin oxirgi tenglamadan biz birinchi noma'lumni topamiz, uning qiymatini ikkinchi yoki birinchi tenglamaga almashtiramiz va keyin qolgan ikkita o'zgaruvchini topamiz.

Kramer usuli

Ushbu usulni o'zlashtirish uchun matritsalarni qo'shish, ayirish ko'nikmalarini egallash juda muhim, shuningdek, aniqlovchilarni topa bilish kerak. Shuning uchun, agar siz bularning barchasini yomon qilsangiz yoki qanday qilishni bilmasangiz, o'rganishingiz va mashq qilishingiz kerak bo'ladi.

Bu usulning mohiyati nimada va uni chiziqli Kramer tenglamalar sistemasi olinadigan qilib yasash kerak? Hammasi juda oddiy. Biz chiziqli algebraik tenglamalar tizimining raqamli (deyarli har doim) koeffitsientlaridan matritsa qurishimiz kerak. Buning uchun biz shunchaki noma'lumlar oldidagi raqamlarni olamiz va ularni tizimda yozilgan tartibda jadvalga joylashtiramiz. Agar raqam oldidan "-" belgisi bo'lsa, biz salbiy koeffitsientni yozamiz. Shunday qilib, biz teng belgilardan keyingi raqamlarni hisobga olmaganda, biz noma'lumlar koeffitsientlarining birinchi matritsasini tuzdik (tabiiyki, tenglama faqat o'ng tomonda bo'lganda va barcha noma'lumlar kanonik shaklga keltirilishi kerak. koeffitsientlar chap tomonda). Keyin yana bir nechta matritsalar yaratishingiz kerak - har bir o'zgaruvchi uchun bittadan. Buning uchun birinchi matritsada o'z navbatida har bir ustunni tenglik belgisidan keyin raqamlar ustuni bilan koeffitsientlar bilan almashtiramiz. Shunday qilib, biz bir nechta matritsalarni olamiz va keyin ularning determinantlarini topamiz.

Determinantlarni topganimizdan so'ng, masala kichik. Bizda boshlang'ich matritsa bor va turli o'zgaruvchilarga mos keladigan bir nechta natija matritsalari mavjud. Sistemaning yechimlarini olish uchun natijaviy jadvalning determinantini dastlabki jadvalning determinantiga ajratamiz. Olingan raqam o'zgaruvchilardan birining qiymatidir. Xuddi shunday, biz barcha noma'lumlarni topamiz.

Boshqa usullar

Chiziqli tenglamalar sistemalarining yechimini olishning yana bir qancha usullari mavjud. Masalan, Gauss-Jordan usuli deb ataladigan tizim echimlarini topish uchun ishlatiladi kvadrat tenglamalar va matritsalardan foydalanish bilan ham bog'liq. Chiziqli algebraik tenglamalar tizimini yechish uchun Yakobi usuli ham mavjud. Bu kompyuterga moslashish uchun eng oson va kompyuter texnologiyalarida qo'llaniladi.

Qiyin holatlar

Murakkablik odatda tenglamalar soni o'zgaruvchilar sonidan kam bo'lganda paydo bo'ladi. Shunda biz aniq aytishimiz mumkinki, yo tizim nomuvofiq (ya'ni uning ildizlari yo'q) yoki uning yechimlari soni cheksizlikka intiladi. Agar bizda ikkinchi holat bo'lsa, unda chiziqli tenglamalar tizimining umumiy yechimini yozishimiz kerak. U kamida bitta o'zgaruvchini o'z ichiga oladi.

Xulosa

Mana biz oxiriga keldik. Keling, xulosa qilaylik: biz tizim va matritsa nima ekanligini tahlil qildik, chiziqli tenglamalar tizimining umumiy yechimini topishni o'rgandik. Bundan tashqari, boshqa variantlar ham ko'rib chiqildi. Biz chiziqli tenglamalar tizimini qanday yechishini bilib oldik: Gauss usuli va biz qiyin holatlar va echimlarni topishning boshqa usullari haqida gaplashdik.

Aslida, bu mavzu ancha kengroq va agar siz uni yaxshiroq tushunishni istasangiz, sizga ko'proq maxsus adabiyotlarni o'qishni maslahat beramiz.

Chiziqli tenglamalar tizimi n ta chiziqli tenglamaning birlashmasi bo'lib, har birida k o'zgaruvchi mavjud. Bu shunday yozilgan:

Ko'pchilik, birinchi marta yuqori algebra bilan duch kelganida, tenglamalar soni, albatta, o'zgaruvchilar soniga to'g'ri kelishi kerak, deb xato qiladi. Maktab algebrasida bu odatda shunday bo'ladi, lekin yuqori algebra uchun bu, umuman olganda, to'g'ri emas.

Tenglamalar tizimining yechimi sonlar ketma-ketligidir (k 1, k 2, ..., k n), bu tizimning har bir tenglamasining yechimi, ya'ni. bu tenglamaga x 1 , x 2 , ..., x n oʻzgaruvchilari oʻrniga qoʻyilganda toʻgʻri sonli tenglikni beradi.

Shunga ko’ra, tenglamalar sistemasini yechish deganda uning barcha yechimlari to’plamini topish yoki bu to’plam bo’sh ekanligini isbotlash tushuniladi. Tenglamalar soni va noma'lumlar soni bir xil bo'lmasligi mumkinligi sababli, uchta holat mumkin:

  1. Tizim mos kelmaydigan, ya'ni. barcha yechimlar to'plami bo'sh. Tizimni hal qilishning qaysi usulidan qat'i nazar, osongina aniqlanadigan juda kam uchraydigan holat.
  2. Tizim izchil va aniqlangan, ya'ni. aynan bitta yechimga ega. Maktabdan beri taniqli klassik versiya.
  3. Tizim izchil va aniqlanmagan, ya'ni. cheksiz ko'p echimlarga ega. Bu eng qiyin variant. “Tizim cheksiz yechimlar to‘plamiga ega” deb ta’kidlab o‘tishning o‘zi kifoya emas – bu to‘plam qanday joylashishini ta’riflash zarur.

X i o'zgaruvchisi, agar u tizimning faqat bitta tenglamasiga kiritilgan bo'lsa va koeffitsienti 1 bo'lsa, ruxsat etilgan deb ataladi. Boshqacha qilib aytganda, qolgan tenglamalarda x i o'zgaruvchisi uchun koeffitsient nolga teng bo'lishi kerak.

Har bir tenglamada bitta ruxsat etilgan o'zgaruvchini tanlasak, biz butun tenglamalar tizimi uchun ruxsat etilgan o'zgaruvchilar to'plamini olamiz. Ushbu shaklda yozilgan tizimning o'zi ham ruxsat etilgan deb nomlanadi. Umuman olganda, bitta va bir xil boshlang'ich tizimni turli ruxsat etilgan tizimlarga qisqartirish mumkin, ammo bu hozir bizga tegishli emas. Bu erda ruxsat etilgan tizimlarga misollar:

Ikkala tizim ham x 1, x 3 va x 4 o'zgaruvchilarga nisbatan ruxsat etiladi. Biroq, xuddi shu muvaffaqiyat bilan, x 1 , x 3 va x 5 ga nisbatan ikkinchi tizimga ruxsat berilganligi haqida bahslashish mumkin. Eng so'nggi tenglamani x 5 = x 4 ko'rinishida qayta yozish kifoya.

Endi umumiy holatni ko'rib chiqing. Faraz qilaylik, bizda jami k o‘zgaruvchi bor, ulardan r ga ruxsat berilgan. Keyin ikkita holat mumkin:

  1. Ruxsat etilgan o'zgaruvchilar soni r o'zgaruvchilarning umumiy soniga teng k: r = k. Biz r = k ruxsat etilgan o'zgaruvchilar bo'lgan k tenglamalar tizimini olamiz. Bunday tizim hamkorlik va aniq, chunki x 1 \u003d b 1, x 2 \u003d b 2, ..., x k \u003d b k;
  2. Ruxsat etilgan o'zgaruvchilar soni r dan kam umumiy soni o'zgaruvchilar k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Demak, yuqoridagi tizimlarda x 2 , x 5 , x 6 (birinchi tizim uchun) va x 2 , x 5 (ikkinchi tizim uchun) oʻzgaruvchilar erkindir. Erkin o'zgaruvchilar mavjud bo'lgan holat teorema sifatida yaxshiroq shakllantirilgan:

E'tibor bering: bu juda muhim nuqta! Yakuniy tizimni qanday yozishingizga qarab, bir xil o'zgaruvchiga ruxsat berilgan va bepul bo'lishi mumkin. Ko'pgina ilg'or matematika o'qituvchilari o'zgaruvchilarni leksikografik tartibda yozishni tavsiya qiladi, ya'ni. ortib borayotgan indeks. Biroq, bu maslahatga umuman amal qilish shart emas.

Teorema. Agar n ta tenglamalar sistemasida x 1 , x 2 , ..., x r oʻzgaruvchilarga ruxsat berilsa va x r + 1 , x r + 2 , ..., x k erkin boʻlsa, u holda:

  1. Agar biz erkin o'zgaruvchilarning qiymatlarini o'rnatsak (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k) va keyin x 1 , x 2 , qiymatlarini topamiz. .., x r , biz yechimlardan birini olamiz.
  2. Agar ikkita yechimdagi erkin o'zgaruvchilarning qiymatlari bir xil bo'lsa, ruxsat etilgan o'zgaruvchilarning qiymatlari ham bir xil bo'ladi, ya'ni. yechimlari teng.

Ushbu teoremaning ma'nosi nima? Ruxsat etilgan tenglamalar tizimining barcha yechimlarini olish uchun erkin o'zgaruvchilarni ajratib ko'rsatish kifoya. Keyin, erkin o'zgaruvchilarga turli qiymatlarni belgilash orqali biz tayyor echimlarni olamiz. Hammasi shu - shu tarzda siz tizimning barcha echimlarini olishingiz mumkin. Boshqa yechimlar yo'q.

Xulosa: ruxsat etilgan tenglamalar tizimi har doim mos keladi. Ruxsat etilgan tizimdagi tenglamalar soni o'zgaruvchilar soniga teng bo'lsa, tizim aniq, kamroq bo'lsa, noaniq bo'ladi.

Va hamma narsa yaxshi bo'lar edi, lekin savol tug'iladi: asl tenglamalar tizimidan qanday qilib hal qilinganini olish mumkin? Buning uchun bor