Xususiyatlari jismoniy jismlar va ob'ektlar tasvirlangan jismoniy miqdorlar . Bu miqdorlardan biri uchun elektr maydoni hisoblanadi kuchlanish. Oldindan tuzilgan ta'rifga muvofiq, u elektr maydonining ma'lum bir nuqtasida zaryadlangan jismlarga maydonning kuch ta'sirini tavsiflaydi. Agar maydon bir hil bo'lmasa, unda intensivlik turli nuqtalar maydonlar har xil. Va ko'p nuqtalarda maydonning xususiyatlarini tavsiflash uchun juda ko'p miqdordagi intensivlik qiymatlarini topshirish kerak. Bu sohani o'rganishni murakkablashtiradi va har bir aniq holatda inson tasavvurida soha g'oyasini yaratishga to'sqinlik qiladi.

Elektr maydonining kuchi uning quvvat xarakteristikasidir.

Bu elektr maydonining tuzilishini yaxshiroq ifodalashga yordam beradi grafik usuli. Grafik taqdimot usulining markazida elektr maydon tuzilmalari eksperimentlarda kuzatilishi mumkin bo'lgan haqiqiy hodisalar yotadi.

Ijobiy zaryadlangan to'pning elektr maydoniga musbat zaryadga ega bo'lgan moddaning kichik zarrasi kiritilsin. Agar bu zarracha erkin bo'lsa va tortishish maydonining ta'siri ahamiyatsiz bo'lsa, u holda elektr quvvati ta'sirida u to'pdan uzoqlashadi. Xuddi shunday holat zaryadlangan shar maydonining istalgan nuqtasida kuzatiladi (4.20-rasm).

Elektr maydonidagi ko'plab musbat zaryadlangan zarrachalarning harakat traektoriyalarini tasvirlab, ularga yo'nalishni ko'rsatib. ish kuchi, deb nomlangan rasmni olamiz spektr bu maydon.

Elektr maydonining spektrini tashkil etuvchi chiziqlar deyiladi kuchlanish chiziqlari elektr maydoni yoki elektr uzatish liniyalari.

tushuncha maydon chizig'i fanga birinchi marta M. Faraday tomonidan eksperimental tadqiqotlar jarayonida olingan bilimlar asosida kiritilgan.

M. Faradayga ma'lum bo'lgan tajribalar zamonaviy sharoitda amalga oshirilishi mumkin.

Keling, qog'oz chiziqlar biriktirilgan metall o'tkazgichni olaylik va uni elektrofor mashinasining o'tkazgichiga ulaymiz. Agar biz uni harakatga keltirsak, u holda qog'ozning barcha chiziqlari o'zaro itarish tufayli turli yo'nalishlarda ajralib chiqadi (4.21-rasm). Ushbu tajriba (va shunga o'xshash boshqalar) natijalari bitta zaryadlangan jismning elektr maydonining spektrini qurishga imkon beradi. Bu rasmda ko'rsatilgan. 4.22. Kuch chiziqlaridagi o'qlar maydonning ma'lum bir nuqtasida joylashgan musbat zaryadlangan jismga ta'sir qiladigan kuchning yo'nalishini ko'rsatadi.

Shuning uchun kuch chiziqlari musbat zaryadlangan jismni «tashlab», manfiy zaryadlangan jismga «kirish» (4.22-rasm). Shuni esda tutish kerakki, ular tananing yuzasiga perpendikulyar "chiqish" va "kirish".

Elektr maydon kuchlarining chiziqlari zaryadlangan jism yuzasiga ular boshlangan nuqtalarda perpendikulyar.saytdan olingan material

Keling, qog'oz chiziqlari bo'lgan ikkita metall o'tkazgichni olib, ularni elektrofor mashinasining o'tkazgichlariga ulaymiz. Biz elektrofor mashinasini ishga tushirdik va biz qog'oz chiziqlar bir-birini jalb qila boshlaganini ko'ramiz (4.23-rasm). Shunga ko'ra, qarama-qarshi zaryadlangan ikkita jismning maydoni shaklda ko'rsatilgan spektrga ega bo'ladi. 4.24.

Kuchlanish chiziqlarining egri chiziqli shakli har bir jismning yon tomondan musbat zaryadlangan zarrachaga ikkita kuch ta'sir qilishi bilan izohlanadi. Maydonning har bir nuqtasida bu kuchlarning natijasi keskinlik chiziqlariga tegadi.

Har qanday nuqtada musbat zaryadlangan nuqta tanasiga ta'sir qiluvchi kuchning yo'nalishini ko'rsatadigan teginish chiziqlari deyiladi elektr uzatish liniyalari.

Ikki zaryadlangan jism maydonining turli nuqtalarida harakat qiladigan kuchlarning yo'nalishlari shaklda ko'rsatilgan. 4.25.

Kesish chiziqlari har doim sirtga perpendikulyar bo'lganligi sababli, turli shakldagi jismlar maydonlarining spektrlari har xil bo'ladi (4.26-rasm).

Ushbu sahifada mavzular bo'yicha materiallar:

• Spektrlar el. turli zaryadlangan jismlarning maydonlari

• Elektr maydonining grafik tasviri abstrakt

• Tajribalarda elektr maydon chiziqlari tasvirlari

• a b

  

  Elektrostatik maydonning intensivlik vektorini uning har bir nuqtasida bilgan holda, bu maydonni intensivlik chiziqlari (vektor chiziqlari) yordamida ko'rish mumkin. ). kuch chiziqlari tarangliklar shunday chiziladiki, ularga har bir nuqtadagi teginish kuchlanish vektorining yo'nalishiga to'g'ri keladi (1.4-rasm, a).

  Bitta maydonga o'tuvchi chiziqlar soni dS, ularga perpendikulyar, vektor moduliga mutanosib ravishda chiziladi. (1.4-rasm, b).

  Kuch chiziqlariga vektor yo'nalishiga to'g'ri keladigan yo'nalish beriladi . Olingan kuchlanish chiziqlarini taqsimlash sxemasi ma'lum bir elektr maydonining turli nuqtalarida konfiguratsiyasini baholashga imkon beradi. Maydon chiziqlari da boshlanadi ijobiy zaryadlar va manfiy zaryadlarda tugaydi. Shaklda. 1.5 nuqtaviy zaryadlarning kuchlanish chiziqlarini ko'rsatadi (1.5-rasm, a, b); ikkita qarama-qarshi zaryadli tizimlar (1.5-rasm, ichida) - bir hil bo'lmagan elektrostatik maydon va ikkita parallel qarama-qarshi zaryadlangan tekisliklarga misol (1.5-rasm, G) yagona elektr maydoniga misol bo'la oladi.

  1.5. To'lovni taqsimlash

  Ayrim hollarda matematik hisob-kitoblarni soddalashtirish uchun diskret nuqta zaryadlarining haqiqiy taqsimotini xayoliy uzluksiz taqsimot bilan almashtirish qulay. Zaryadlarning uzluksiz taqsimlanishiga o'tishda zaryad zichligi tushunchasi qo'llaniladi - chiziqli , sirt  va hajmli , ya'ni.

  
  (1.12)

  bu yerda dq - uzunlik elementiga mos ravishda taqsimlangan zaryad
  
  , sirt elementi dS va hajm elementi dV.

  Ushbu taqsimotlarni hisobga olgan holda (1.11) formulani boshqa shaklda yozish mumkin. Masalan, agar zaryad hajm bo'yicha taqsimlangan bo'lsa, u holda q i o'rniga dq = dV dan foydalanish kerak va yig'indi belgisini integral bilan almashtiring, keyin

  
  . (1.13)

  1.6. elektr dipol

  Fizikada zaryadlar bilan bog'liq hodisalarni tushuntirish uchun tushunchadan foydalaniladi elektr dipol.

  Kattaliklari bir xil boʻlgan ikkita qarama-qarshi nuqta zaryadidan iborat boʻlgan, orasidagi masofa fazodagi oʻrganilayotgan nuqtalargacha boʻlgan masofadan ancha kichik boʻlgan sistemaga elektr dipol deyiladi. Dipolning ta'rifiga ko'ra, +q=q= q.

  

  Qarama-qarshi zaryadlarni (qutblarni) bog'laydigan to'g'ri chiziq dipol o'qi deb ataladi; nuqta 0 - dipolning markazi (1.6-rasm). Elektr dipol xarakterlanadi dipol qo'l: vektor , manfiy zaryaddan musbat zaryadga yo'naltirilgan. Dipolning asosiy xarakteristikasi elektr dipol momenti = q . (1.14)

  Mutlaq qiymat bo'yicha

  p = q . (1.15)

  SIda elektr dipol momenti bir metrga kulonlarda o'lchanadi (C m).

  Dipolning elektr maydonining potentsialini va kuchini hisoblab chiqamiz, uni nuqta deb hisoblaymiz, agar  r.

  Radius vektori bilan tavsiflangan ixtiyoriy nuqtada nuqtaviy zaryadlar tizimi tomonidan yaratilgan elektr maydonining potentsiali , biz quyidagi shaklda yozamiz:

  
  

  bu yerda r 1 r 2  r 2, r 1  r 2  r =
  
  , chunki r;   radius vektorlari orasidagi burchak va (1.6-rasm) . Buni hisobga olib, biz olamiz

  
  . (1.16)

  Potensial gradientni intensivlikka bog'lovchi formuladan foydalanib, biz dipolning elektr maydoni tomonidan yaratilgan intensivlikni topamiz. Keling, vektorni ajratamiz elektr dipol maydonini ikkita o'zaro perpendikulyar komponentga, ya'ni.
  
  (1. 6-rasm).

  Ulardan birinchisi radius vektori bilan tavsiflangan nuqtaning harakati bilan aniqlanadi (burchakning  qat’iy qiymati uchun), ya’ni E  qiymatini r ga nisbatan (1,81) differensiallash orqali topamiz, ya’ni.

  
  . (1.17)

  Ikkinchi komponent  burchakning oʻzgarishi bilan bogʻliq boʻlgan nuqta harakati bilan aniqlanadi (sobit r uchun), yaʼni E   ga nisbatan (1.16) differensiallash yoʻli bilan topamiz:
  
  , (1.18)

  qayerda
  
  ,d = rd.

  Olingan kuchlanish E 2 \u003d E  2 + E  2 yoki almashtirishdan keyin
  
  . (1.19)

  Izoh:  = 90 o da
  
  , (1.20)

  ya'ni dipol markazidan (ya'ni O) o'tuvchi va dipol o'qiga perpendikulyar bo'lgan to'g'ri chiziqdagi nuqtadagi intensivlik.

   = 0 atrofida bo'lganda
  
  , (1.21)

  ya'ni dipol o'qiga to'g'ri keladigan to'g'ri chiziqning davomidagi nuqtada.

  (1.19), (1.20), (1.21) formulalarni tahlil qilish shuni ko'rsatadiki, dipolning elektr maydonining kuchi r 3 ga teskari proportsional masofa bilan kamayadi, ya'ni nuqta zaryadiga qaraganda tezroq (r 2 ga teskari proportsional).

  Aniqroq bo'lishi uchun elektr maydoni ko'pincha kuch chiziqlari va ekvipotentsial yuzalar yordamida tasvirlangan.

  kuch chiziqlari – bular uzluksiz chiziqlar bo'lib, ular orqali o'tadigan har bir nuqtada tangenslar elektr maydon kuchlari vektoriga to'g'ri keladi (1.5-rasm). Maydon chiziqlarining zichligi (birlik maydonidan o'tadigan maydon chiziqlari soni) elektr maydon kuchiga proportsionaldir.

  Ekvipotensial yuzalar (ekvipotensiallar) – teng potentsial yuzalar. Bu harakatlanayotganda potentsial o'zgarmaydigan sirtlar (chiziqlar). Aks holda, ekvipotensial sirtning istalgan ikkita nuqtasi orasidagi potensiallar farqi nolga teng bo'ladi. Quvvat chiziqlari ekvipotensial yuzalarga perpendikulyar bo'lib, potentsialning eng keskin kamayishi yo'nalishiga yo'naltirilgan. Bu fakt (1.10) tenglamadan kelib chiqadi va matematik tahlilning "Skalar va vektor maydonlari" bo'limida isbotlangan.

  Misol sifatida, masofada hosil bo'lgan elektr maydonini ko'rib chiqaylik nuqta zaryadidan. (1.11,b) ga ko'ra, intensivlik vektori vektor yo'nalishiga to'g'ri keladi agar zaryad musbat bo'lsa va zaryad salbiy bo'lsa qarama-qarshi bo'lsa. Binobarin, kuch chiziqlari zaryaddan radial ravishda ajralib chiqadi (1.6-rasm, a, b). Maydon chiziqlarining zichligi, intensivlik kabi, masofaning kvadratiga teskari proportsionaldir (
  
  ) zaryadlash. Nuqtaviy zaryadning elektr maydonining ekvipotensial sirtlari zaryad joylashgan joyda markazlashgan sharlardir.

  

  

  Shaklda. 1.7 mutlaq qiymati bo'yicha ikkita teng, lekin ishorasi qarama-qarshi bo'lgan nuqta zaryadli tizimning elektr maydonini ko'rsatadi. Bu misolni o‘quvchilarning o‘zlari tahlil qilishlarini ixtiyoriga qoldiramiz. Biz shuni ta'kidlaymizki, kuch chiziqlari har doim musbat zaryadlardan boshlanadi va manfiy zaryadlarda tugaydi. Bir nuqtali zaryadli elektr maydonida (1.6-rasm, a, b), qarama-qarshi belgining juda uzoq zaryadlarida kuch chiziqlari uziladi, deb taxmin qilinadi. Butun olam neytral ekanligiga ishoniladi. Shuning uchun, agar bitta belgining zaryadi bo'lsa, unda bir joyda mutlaq qiymatda unga teng keladigan boshqa belgining zaryadi albatta bo'ladi.

  1.6. Vakuumdagi elektr maydoni uchun Gauss teoremasi

  Elektrostatikaning asosiy vazifasi fazoning har bir nuqtasida elektr maydonining kuchi va potentsialini topish muammosidir. 1.4-bo'limda nuqtaviy zaryadning maydoni masalasini yechdik va nuqtaviy zaryadlar tizimining maydonini ham ko'rib chiqdik. Ushbu bo'limda biz murakkabroq zaryadlangan jismlarning elektr maydonini hisoblash imkonini beruvchi teoremaga to'xtalamiz. Masalan, zaryadlangan uzun ip (to'g'ri chiziq), zaryadlangan tekislik, zaryadlangan shar va boshqalar. (1.12) va (1.13) tenglamalardan foydalanib, kosmosning har bir nuqtasida elektr maydon kuchini hisoblab, har bir nuqtadagi potentsialni yoki har qanday ikki nuqta orasidagi potentsial farqni hisoblash mumkin, ya'ni. elektrostatikaning asosiy muammosini hal qilish.

  Matematik tavsif uchun biz intensivlik vektorining oqimi yoki elektr maydonining oqimi tushunchasini kiritamiz. Oqim (F) vektori tekis kvadrat sirt bo'ylab elektr maydoni
  
  miqdori deyiladi:

  
  , (1.16)

  

  qayerda elektr maydon kuchi bo'lib, u sayt ichida doimiy deb hisoblanadi
  
  ;
  
  vektor yo'nalishi orasidagi burchakdir va birlik normal vektor saytga
  
  (1.8-rasm). Formula (1.16) vektorlarning skalyar mahsuloti tushunchasidan foydalanib yozilishi mumkin:

  
  . (1.15,a)

  Agar sirt bo'lsa tekis emas, oqimni hisoblash uchun uni kichik qismlarga bo'lish kerak
  
  , uni taxminan tekis deb hisoblash mumkin, so'ngra sirtning har bir qismi uchun (1.16) yoki (1.16, a) ifodasini yozing va ularni qo'shing. Sirt bo'lganda chegarada S i juda kichik (
  
  ), bunday yig'indi sirt integrali deyiladi va belgilanadi
  
  . Shunday qilib, ixtiyoriy sirt orqali elektr maydon kuchi vektorining oqimi ifoda bilan aniqlanadi:

  
  . (1.17)

  Misol sifatida radiusli sharni ko'rib chiqing , musbat nuqta zaryadiga markazlashtirilgan , va bu sharning sirtidan o'tadigan elektr maydon oqimini aniqlang. Zaryaddan chiqadigan kuch chiziqlari (masalan, 1.6, a-rasmga qarang) shar yuzasiga perpendikulyar va sharning har bir nuqtasida maydon kuchi moduli bir xil bo'ladi.

  
  .

  Sfera maydoni
  
  ,

  keyin
  
  
  
  
  
  .

  Qiymat
  
  va sfera yuzasi orqali elektr maydonining oqimini ifodalaydi. Shunday qilib, biz olamiz
  
  . Ko'rinib turibdiki, elektr maydonining sferasi yuzasidan o'tadigan oqim shar radiusiga bog'liq emas, balki faqat zaryadning o'ziga bog'liq. . Shuning uchun, agar siz bir qator konsentrik sferalarni chizsangiz, u holda bu barcha sohalar orqali elektr maydonining oqimi bir xil bo'ladi. Shubhasiz, bu sohalarni kesib o'tadigan kuch chiziqlari soni ham bir xil bo'ladi. Biz elektr maydonining oqimiga teng bo'lgan zaryaddan chiqadigan kuch chiziqlari sonini olishga rozi bo'ldik:
  
  .

  Agar shar boshqa har qanday yopiq sirt bilan almashtirilsa, u holda elektr maydonining oqimi va uni kesib o'tadigan kuch chiziqlari soni o'zgarmaydi. Bundan tashqari, yopiq sirt orqali elektr maydonining oqimi va shuning uchun bu sirtga kiradigan kuch chiziqlari soni tengdir.
  
  faqat nuqtaviy zaryad maydoni uchun emas, balki har qanday nuqtaviy zaryadlar to'plami, xususan, zaryadlangan jism tomonidan yaratilgan maydon uchun ham. Keyin qiymat yopiq sirt ichida joylashgan barcha zaryadlar to'plamining algebraik yig'indisi sifatida ko'rib chiqilishi kerak. Gauss teoremasining mohiyati shundan iboratki, u quyidagicha ifodalanadi:

  Elektr maydonining kuchlanish vektorining ixtiyoriy orqali o'tishiyopiq yuzasiga teng
  
  , qayerda
  
   algebraik ilova qilingan to'lovlar miqdoriichida bu sirt.

  Matematik jihatdan teorema quyidagicha yozilishi mumkin

  
  . (1.18)

  E'tibor bering, agar biron bir sirtda bo'lsa S vektor doimiy va vektorga parallel , keyin bunday sirt orqali oqim. Birinchi integralni o'zgartirib, biz birinchi navbatda vektorlar mavjudligidan foydalandik va parallel, ya'ni
  
  . Keyin qiymatni chiqarib tashladi sferaning istalgan nuqtasida doimiy bo'lganligi sababli integralning belgisi uchun . Muayyan masalalarni yechishda Gauss teoremasini qo‘llagan holda, ular ixtiyoriy yopiq sirt sifatida yuqorida tavsiflangan shartlar qondiriladigan sirtni tanlashga harakat qiladilar.

  Gauss teoremasini qo'llashga bir nechta misollar keltiramiz.

  1.2-misol. Bir xil zaryadlangan cheksiz filamentning elektr maydoni kuchini hisoblang. Bunday maydondagi ikkita nuqta orasidagi potentsial farqni aniqlang.

  Yechim. Aniqlik uchun ipni musbat zaryadlangan deb hisoblang. Masalaning simmetriyasidan kelib chiqib aytish mumkinki, kuch chiziqlari ipning o‘qidan radial ravishda uzoqlashuvchi to‘g‘ri chiziqlar bo‘ladi (1.9-rasm), ularning zichligi qandaydir qonunga ko‘ra ipdan uzoqlashgan sari kamayadi. Xuddi shu qonunga ko'ra, elektr maydonining kattaligi ham kamayadi . Ekvipotentsial sirtlar o'qi ip bilan mos keladigan silindrsimon sirtlar bo'ladi.

  Ip uzunligi birligi uchun zaryad bo'lsin . Bu qiymat chiziqli zaryad zichligi deb ataladi va SI birliklarida [C/m] o'lchanadi. Maydon kuchini hisoblash uchun Gauss teoremasini qo'llaymiz. Buning uchun o'zboshimchalik bilan yopiq sirt sifatida radiusli silindrni tanlang va uzunligi , uning o'qi ipga to'g'ri keladi (1.9-rasm). Keling, silindrning sirt maydoni bo'ylab elektr maydon oqimini hisoblaylik. Umumiy oqim - bu o'tadigan oqimning yig'indisi yon yuzasi silindr va asoslar bo'ylab oqadi

  Biroq,
  
  , tsilindrning asoslaridagi istalgan nuqtada beri
  
  . Bu shuni anglatadiki
  
  bu nuqtalarda. Yon sirt bo'ylab oqim
  
  . Gauss teoremasi bo'yicha bu umumiy oqim ga teng
  
  . Shunday qilib, biz oldik

  
  .

  Tsilindr ichidagi zaryadlarning yig'indisi chiziqli zaryad zichligi bilan ifodalanadi :
  
  . Sharti bilan; inobatga olgan holda
  
  , olamiz

  
  ,

  
  , (1.19)

  bular. bir tekis zaryadlangan cheksiz filamentning elektr maydon chiziqlarining intensivligi va zichligi masofaga teskari kamayadi (
  
  ).

  Masofalarda joylashgan nuqtalar orasidagi potentsial farqni toping va ipdan (radiusli ekvipotensial silindrsimon sirtlarga tegishli). va ). Buning uchun (1.9, c) shakldagi elektr maydon kuchi va potentsial o'rtasidagi bog'liqlikdan foydalanamiz:
  
  . (1.19) ifodani hisobga olgan holda biz ajratiladigan o'zgaruvchilarga ega differentsial tenglamani olamiz:

  
  
  
  
  
  
  
  

  
  
  
  
  
  .

  

  1.3-misol. Bir tekis zaryadlangan tekislikning elektr maydoni kuchini hisoblang. Bunday maydondagi ikkita nuqta orasidagi potentsial farqni aniqlang.

  Yechim. Bir tekis zaryadlangan tekislikning elektr maydoni rasmda ko'rsatilgan. 1.10. Simmetriya tufayli kuch chiziqlari tekislikka perpendikulyar bo'lishi kerak. Shuning uchun, biz darhol chiziq zichligi va, demak, elektr maydon kuchi tekislikdan masofa bilan o'zgarmaydi degan xulosaga kelishimiz mumkin. Ekvipotensial sirtlar berilgan zaryadlangan tekislikka parallel tekisliklardir. Samolyotning birlik maydoni uchun zaryad bo'lsin . Bu qiymat sirt zaryadining zichligi deb ataladi va SIda [C/m 2] birliklarida o'lchanadi.

  Gauss teoremasini qo‘llaylik. Buning uchun o'zboshimchalik bilan yopiq sirt sifatida uzunligi bo'lgan silindrni tanlang , uning o'qi tekislikka perpendikulyar va asoslari undan teng masofada joylashgan (1.10-rasm). Umumiy elektr maydon oqimi
  
  . Yon yuzadan o'tadigan oqim nolga teng. Har bir bazadan o'tadigan oqim
  
  , shunung uchun
  
  . Gauss teoremasiga ko'ra, biz quyidagilarni olamiz:

  
  .

  Tsilindr ichidagi zaryadlarning yig'indisi , sirt zaryad zichligi orqali topamiz :
  
  . Keyin qayerdan:

  
  . (1.20)

  Olingan formuladan ko'rinib turibdiki, bir xil zaryadlangan tekislikning maydon kuchi zaryadlangan tekislikgacha bo'lgan masofaga bog'liq emas, ya'ni. fazoning istalgan nuqtasida (bir yarim tekislikda) mutlaq qiymat bo'yicha ham, yo'nalishda ham bir xil bo'ladi. Bunday maydon deyiladi bir hil. kuch chiziqlari yagona maydon parallel, ularning zichligi o'zgarmaydi.

  Bir jinsli maydonning ikkita nuqtasi orasidagi potentsiallar farqini topamiz (ekvipotensial tekisliklarga tegishli). va zaryadlangan tekislikka nisbatan bir yarim tekislikda yotgan (1.10-rasm)). Keling, o'qni yo'naltiramiz vertikal yuqoriga, u holda bu o'qdagi kuchlanish vektorining proyeksiyasi kuchlanish vektorining moduliga teng bo'ladi.
  
  . Biz (1.9) tenglamadan foydalanamiz:

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  .

  Doimiy qiymat (maydon bir jinsli) integral belgisi ostidan chiqarilishi mumkin:
  
  . Integratsiyalash orqali biz quyidagilarni olamiz: . Demak, bir jinsli maydonning potentsiali chiziqli ravishda koordinataga bog'liq.

  Elektr maydonining ikkita nuqtasi orasidagi potentsial farq bu nuqtalar orasidagi kuchlanishdir ( ). Ekvipotensial tekisliklar orasidagi masofani belgilaymiz
  
  . Keyin biz buni bir xil elektr maydonida yozishimiz mumkin:

  
  . (1.21)

  Yana bir bor ta'kidlaymizki, (1.21) formuladan foydalanganda, biz miqdorni esga olishimiz kerak - 1 va 2 nuqtalar orasidagi masofa emas, balki bu nuqtalar tegishli bo'lgan ekvipotensial tekisliklar orasidagi masofa.

  1.4-misol. Yuzaki zaryad zichligi bilan bir xil zaryadlangan ikkita parallel tekislikning elektr maydon kuchini hisoblang
  
  va
  
  .

  Yechim. 1.3-misol natijasi va superpozitsiya tamoyilidan foydalanamiz. Ushbu printsipga ko'ra, kosmosning istalgan nuqtasida hosil bo'lgan elektr maydoni
  
  , qayerda va - birinchi va ikkinchi tekisliklarning elektr maydon kuchlari. Vektor tekisliklari orasidagi bo'shliqda va bir yo'nalishda yo'naltirilgan, shuning uchun hosil bo'lgan maydon kuchi moduli. Vektorning tashqi fazosida va turli yo'nalishlarga yo'naltirilgan, shuning uchun (1.11-rasm). Shunday qilib, elektr maydoni faqat tekisliklar orasidagi bo'shliqda mavjud. Bu bir hil, chunki u ikkita bir hil maydonning yig'indisidir.

  1.5-misol. Bir tekis zaryadlangan sharning elektr maydonining kuchi va potensialini toping. Sharning umumiy zaryadi , va sharning radiusi .

  Yechim. Zaryad taqsimotining simmetriyasi tufayli kuch chiziqlari sharning radiuslari bo'ylab yo'naltirilishi kerak.

  Sfera ichidagi hududni ko'rib chiqing. Ixtiyoriy sirt sifatida radiusli sharni tanlang
  
  , uning markazi zaryadlangan sharning markaziga to'g'ri keladi. Keyin sfera orqali elektr maydonining oqimi S:
  
  . Sfera ichidagi zaryadlar yig'indisi radius nolga teng, chunki barcha zaryadlar radiusli shar yuzasida joylashgan
  
  . Keyin Gauss teoremasi bo'yicha:
  
  . Chunki
  
  , keyin
  
  . Shunday qilib, bir xil zaryadlangan shar ichida maydon yo'q.

  Sferadan tashqaridagi hududni ko'rib chiqing. Ixtiyoriy sirt sifatida radiusli sharni tanlang
  
  , uning markazi zaryadlangan sharning markaziga to'g'ri keladi. Elektr maydonining shar orqali o'tishi :
  
  . Sfera ichidagi zaryadlar yig'indisi umumiy zaryadga teng zaryadlangan radiusli shar . Keyin Gauss teoremasi bo'yicha:
  
  . Sharti bilan; inobatga olgan holda
  
  , biz olamiz:

  
  .

  Elektr maydonining potentsialini hisoblaymiz. Tashqi maydondan boshlash qulayroqdir
  
  , biz bilamizki, sharning markazidan cheksiz masofada, potentsial nolga teng deb hisoblanadi. (1.11, a) tenglamadan foydalanib, ajratiladigan o'zgaruvchilarga ega differentsial tenglamani olamiz:

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  .

  Doimiy
  
  , chunki
  
  da
  
  . Shunday qilib, kosmosda (
  
  ):
  
  .

  Zaryadlangan shar yuzasidagi nuqtalar (
  
  ) salohiyatga ega bo‘ladi
  
  .

  Hududni ko'rib chiqing
  
  . Bu mintaqada
  
  , shuning uchun (1.11, a) tenglamadan biz quyidagilarni olamiz:
  
  
  
  
  
  . Funksiyaning uzluksizligi tufayli
  
  doimiy zaryadlangan shar yuzasidagi potentsial qiymatiga teng bo'lishi kerak:
  
  . Shunday qilib, sfera ichidagi barcha nuqtalardagi potentsial:
  
  .

  

  Shunday qilib, biz sferadan tashqarida bir xil zaryadlangan shar tomonidan yaratilgan elektr maydonining kuchi va potentsiali ushbu soha tomonidan yaratilgan maydonning kuchi va potentsialiga teng ekanligini aniqladik. nuqta zaryadi bir xil o'lchamda , bu sharning markazida joylashgan sharning zaryadidir. Ichki makonda maydon yo'q va potentsial barcha nuqtalarda bir xil. Zaryadlangan sharning elektr maydoni (maydon chiziqlari va ekvipotentsial yuzalar) rasmda ko'rsatilgan. 1.12. Sfera musbat zaryadlangan deb taxmin qilinadi. Sferadan tashqarida va kuch chiziqlari kosmosda nuqtaviy zaryadning kuch chiziqlari bilan bir xil tarzda taqsimlanadi.

  

  Shaklda. 1.13 bog'liqlik grafiklarini ko'rsatadi
  
  va
  
  . Funktsiya
  
  uzluksiz va funksiya
  
  zaryadlangan shar chegarasidan o'tganda keskin o'zgaradi. O'tish qiymati
  
  . Haqiqatan ham, zaryadlangan sharning yonida (
  
  ) kosmosdagi maydon kuchi
  
  , ichkarida esa nolga teng.

  Sakrashning kattaligi shardagi sirt zaryadining zichligi bilan ifodalanishi mumkin:

  
  .

  E'tibor bering, bu umumiy mulk elektrostatik maydon: zaryadlangan sirtda intensivlikning normal yo'nalishi bo'yicha proektsiyasi doimo sakrashni boshdan kechiradi.
  
  sirt shaklidan qat'iy nazar. Biz ushbu printsipni bir tekis zaryadlangan tekislik maydoni va ikkita parallel zaryadlangan tekislik maydoni uchun tekshirishni tavsiya qilamiz (1.3, 1.4-misollar).

  Matematika nuqtai nazaridan zaryadlangan sirt nuqtalaridagi potentsialning uzluksizligi shuni anglatadiki,
  
  . Fizika nuqtai nazaridan funksiyaning uzluksizligi
  
  quyidagicha izohlash mumkin. Agar ma'lum bir mintaqa chegarasidagi potentsial sakrashga (uzilish) ega bo'lsa, unda ma'lum bir zaryadning cheksiz kichik siljishi bilan. chegaraning bir tomonida yotgan 1-nuqtadan, ikkinchi tomonida yotgan 2-nuqtagacha, cheklangan ish bajariladi.
  
  , qayerda va  mos ravishda 1 va 2 nuqtalarning potentsiallari va qiymati
  
  mintaqa chegarasidagi potentsial sakrashga teng. Cheksiz kichik siljish bo'yicha bajarilgan yakuniy ish cheksiz katta kuchlar interfeysga ta'sir qilishini anglatadi, bu mumkin emas.

  Elektr maydonining kuchi, potentsialdan farqli o'laroq, mintaqa chegarasida juda keskin o'zgarishi mumkin (sakrash).

  1.6-misol. Ikki konsentrik radiusli sharlar va (
  
  ) kattaliklari teng, lekin ishorali zaryadlar bilan bir xilda zaryadlangan
  
  va
  
  (sferik kondansatör). Kosmosdagi elektr maydonining kuchini va potentsialini aniqlang.

  Yechim. Bu masalani yechish Gauss teoremasini qo'llashdan ham boshlanishi mumkin. Biroq, oldingi misol natijalari va superpozitsiya printsipi (1.13, 1.14) yordamida javobni tezroq olish mumkin.

  Kosmosning tashqi nuqtalarida (
  
  ) elektr maydoni ikkala sharning zaryadlari bilan hosil bo'ladi. Birinchi sharning maydon kuchining kattaligi
  
  va radiuslar bo'ylab sharlardan yo'naltiriladi. Ikkinchi sharning maydon kuchining kattaligi bir xil
  
  , lekin teskari yo'nalishda. Shuning uchun, superpozitsiya printsipiga ko'ra, kosmosning barcha tashqi nuqtalarida elektr maydoni bo'lmaydi.
  
  .

  Sferalar orasidagi bo'shliq nuqtalarini ko'rib chiqing (
  
  ). Bu nuqtalar manfiy zaryadlangan sharning ichki qismidir, shuning uchun bu sohada
  
  (1.5-misolga qarang). Musbat zaryadlangan shar uchun bu nuqtalar tashqi, shuning uchun
  
  . Shunday qilib, bu mintaqada maydon kuchining kattaligi
  
  . Bu erda maydon faqat kichikroq sharning zaryadlari bilan hosil bo'ladi.

  Nihoyat, kosmosning ichki nuqtalarida (
  
  )
  
  va
  
  , shuning uchun bu nuqtalarda elektr maydoni yo'q.

  Xuddi shunday, superpozitsiya printsipi potentsiallarga nisbatan qo'llanilishi mumkin. Quyidagi natijalar olinadi:

  
  :
  
  ;

  
  :
  
  ;

  
  :
  
  .

  Ushbu natijalarni mustaqil ravishda olishingizni, shuningdek, elektr maydonini sxematik ravishda tasvirlab, grafiklarni yaratishingizni tavsiya qilamiz.
  
  va
  
  .